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断麻
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1 估計定義. 參數 (parameter): 全體對象的特徵值稱參數. 估計的意義 (estimatio): 所謂估計就是指根據資料推測代表值 ( 參數 ) 並評估其精確度, 在母體中, 利用樣本去推測某參數值方法區間估計 (iterval estimatio): 現在要對於全體研究對象 ( 母體 ) 的某一未知的特徵值 ( 參數值 ), 我們想瞭解估計值與真正值究竟有多接近作了解時, 除了點估計外, 也可用區間估計, 按一定的可信度推測參數值的範圍問題為何要用區間估計來估計參數? 解 : 因為使用點估計是以單一的值來估計母體參數, 不論方法如何, 或增加樣本數, 都很難完全精確地估計母體參數, 更幾乎不可能剛好等於母體參數, 所以我們以區間估計來估計參數樣本空間與事件定義. 樣本空間 (sample space): 一隨機試驗 (radom eperimet) 所有可能的結果 (outcome). 樣本點 (sample poit): 樣本空間中的每一元素稱為一樣本點 3. 事件 (evet): 試驗之一些可能的結果之集合 4. 隨機變數 (radom variable): 定義在樣本空間的實函數 5. 隨機區間 (radom iterval): 一區間若有一端點為一隨機變數, 就稱為隨機區間

2 分佈函數定義. 累積分佈函數 (cumulative distributio fuctio): 定義成 F( ) = P( X ), R, 簡稱分佈函數, 縮寫為 d. f.. 機率密度函數 (probability desity fuctio): 針對連續型隨機變數, 定義成 f ( ) = P( X = ), R, 縮寫為 p. d. f. 3. 機率質量函數 (probability mass fuctio): 針對離散型隨機變數, 定義成 f ( ) = P( X = ), R, 縮寫為 p. m. f. 4. 期望值 (epected value 或 mea): 定義成 = f ( ), 連續型 E( ), 常以 µ 表示 f ( ), 離散型 5. 動差 (momet): 設為一整數, 若 E( X ) 存在, 稱此為隨機變數 X 的次動差 ( th momet) 6. 次中心動差 ( th cetral momet): 設為一整數, 若 E (( X µ ) ) 稱為隨機變數 X 的次動差 ( th momet), 其中 µ = E(X ) 7. 變異數 (variace): 二次中心動差 E(( X E( X )) ) 稱為 X 的變異數, 以 σ 或 Var(X ) 表示, 可得知 E(( X E( X )) ) = E( X ) ( E( X )) 8. 標準差 (stadard deviatio): Var(X ) 之正平方根, 以 σ X 表示, 又稱標準離差或均方差範例. P ( < X < 3) = p 意義等價於 P ( X < 6 < 3X ) = p, P ( < X < 3) = p 解釋為隨機變數落在區間 (,3) 的機率為 p, 但 P ( X < 6 < 3X ) = p 解釋為隨機區間 ( X,3X ) 會包含 6 的機率為 p. 設 X 有 ε () 分配, 試求 ( 3X,6X ) 包含 6 的機率, 並求此區間長度之期望值及變異數解 : P ( 3X < 6 < 6X ) = P( < X < ) = e d = e X e, 且區間長度之期望值為 E( 6X 3X ) = E( 3X ) = 3E( X ) = 3, 區間長度之變異數為 Var( 6X 3X ) = Var( 3X ) = 9Var( X ) = 9 3. 設 X, X, L, X 為由 N( µ, σ ) 分配所產生之一組隨機樣本, 則知 σ σ σ X ~ N( µ, ) 試求隨機區間 ( X, X + ) 會包含 µ 之機率 σ σ X µ 解 : P( X µ X + ) = P( ) σ = P( Z ) = Φ() =.977 = σ 注意 : 此題之區間長度是常數, 而不是隨機變數, 且對一給定的 σ, 只要夠大, 區間長度可以任意的小

3 常用分佈分佈. 伯努力分佈 (Beroulli distributio): (). 一隨機變數 X 若滿足 P ( X = ) = p, P( X = ) = p, 其中 p, 稱 X 為具有參數 p 之伯努力分佈 (). 以 Ber ( 表示, 可寫成 X ~ Ber( p, = (3). p. d. f. 為 f ( ) = p, =,other (4). f ( X = ) = f( X = ) + f ( X = ) = ( p ) + p = (5). E (X ) = p + (` = p (6). E ( X ) = p + (` = p (7). Var(X ) = E( X ) ( E( X )) = p + (` p = p( (8). 使用時機 : 只有所謂成功與失敗兩種情形的試驗 ; 或者只有兩種情形的試驗. 二項分佈 (biomial distributio): (). 觀測個獨立的伯努力試驗, 每次成功之機率設為 p 隨機變數 X 表成功之總次數, 稱 X 為具有參數及 p 之二項分佈, 其中為一正整數, p (). 以 B(, 表示, (3). p. d. f. 為 f ( ) = C p (, =,, L (4). f ( X = ) = C (5). (6). E(X ) = = C = p E( X = t= = p ) =, p ( f ( ) = C p ( = t= = ( ) p + p ( t + ) C t= tc t t p f ( ) = C p t+ t p ( ( t = = ( p + ( = C p ( t+ ( t+ ) Ct p ( = p t= t + p p ( t= C t t p ( t C t t p ( t (7). Var(X ) = E( X ) ( E( X )) = ( ) p + p ( = p( (8). 使用時機 : 連續伯努力實驗中成功的總次數, 例如自袋中取球後放回, 觀察其取到白球之總次數 ; 或者獨立投擲銅板, 出現正面的總次數 ; 或者投擲骰子次, 點數出現的次數

4 3. 幾何分佈 (geometric distributio): (). 連續地投擲一出現正面的機率為 p > 之銅板, 設每次的投擲為獨立, 直到出現一正面才停止隨機變數 X 表投擲總次數, 稱 X 為具有參數 p 之幾何分佈 (). 以 Ge( 表示 (3). p. d. f. 為 f ( X = ) = p(, =,,, L (4). f ( X = ) = p( = p = ( d (5). E(X ) = f ( ) = p( = p ( ( ) dp d p = p ( ) = dp p p p (6). E( X ) = = p d = p ( dp ( + ) ( f ( ) = ( + p ) p p( ( ( d ( = p ( ) dp p p = p p p (7). Var(X ) = E( X ) ( E( X )) = ( ) ( ) = p p p p (8). 使用時機 : 對於無記憶性質的試驗 ; 或者每次成功機率已知, 問至少要試驗幾次才能成功的問題 4. 負二項分佈 (egatie biomial distributio): (). 給定一正整數 r, 持續進行伯努力試驗, 直到 r 次成功才停止隨機變數 X 表投擲總次數, 稱 X 為具有參數 r 及 p 之負二項分佈, 又稱巴斯卡分佈 (Pascal distributio) (). 以 NB( r, 表示 r r (3). p. d. f. 為 f ( X = ) = C p (, = r, r, L r + (4). f ( X = ) r r = C r p ( = p r p r = r r r( (5). E( X ) = p r( (6). Var(X ) = E( X ) ( E( X )) Var( X ) = p (7). 使用時機 : 對於投擲銅板而言, 二項分佈就是投擲的次數固定, 看其中出現幾次正面, 而負二項分佈則是要求出現的正面數固定, 看需要投擲幾次 ; 在負二項分佈裡, 令 r =, 便得到幾何分佈

5 5. 超幾何分佈 (hypergeometric distributio): (). 袋中有 N 個球, 其中有 D 個白球, N D 個非白球, 自其中隨機地取出個球, 每次取出後不放回 (without repalcemet), 隨機變數 X 表取得之白球總數, 稱 X 具有超幾何分佈 (). 以 H( N, D, ) 表示 D N D C C (3). p. d. f. 為 f ( X = ) =,ma{, N + D} mi{, D} N C D (4). E ( X ) = N D( N )( N D) (5). Var(X ) = E( X ) ( E( X )) Var ( X ) = N ( N ) (6). 使用時機 : 只要是取出不放回, 通常就是超幾何分佈, 例如民意調查 ; 或者如品質管制, 即從 N 個零件中, 內含 D 個不良品, 取出個不放回, 觀察其不良品的個數 6. 波松分佈 (Poisso distributio): (). 在二項分配 B(, 中, 若很大時且 p 很小, 而 p 適當地大隨機變數 X 表成功之總次數, 其中 λ >, 稱 X 有參數 λ 之波松分佈 (). 以 B (λ) 表示 λ e λ (3). p. d. f. 為 f ( ) =, =,, L! (4). f ( X = ) e λ λ = λ λ λ = e = e λ e =!! (5). E(X ) = f ( ) λ e λ = λ λ = e = λe! ( )! λ = λe λ = λe λ e λ = λ! (6). E( X ( X )) = ( ) f ( ) e = ( ) = λ λ λ = λ e = λ e e = λ ( )! (7). Var(X ) λ = E = λ + λ λ λ ( X ) ( E( X )) λ λ! λ = e λ = E( X ( X )) + E( X ) ( E( X )) λ ( )! λ ( )! = λ (8). 使用時機 : 因為指數次方 e 及 λ 的計算比組合中的 C 容易求, 尤其當比較大時 ( 一般計算機只能算到 69! ),, 所以當很大時, 以波松分佈之機率值來作為二項分佈之機率值的近似值 ( 簡稱波松近似 ), 是有實際上的便利性但是 p 究竟要多大呢? 通常 p 7 時, 波松分配對二項分配提供一個很好的近似值 ( 有人認為 p 時就可用 ), 但是 p 過大就不宜用波松分佈來當作二項分佈之近似值例如交通意外事件可以波松分佈當模式

6 7. 離散型的均勻分佈 (discrete uiform distributio): (). 袋中有 N 張紙牌, 編號為至 N ( N 為一正整數 )隨機地取一張紙牌, 隨機變數 X 表所得之點數, 稱 X 具有離散型的均勻分佈 (). 以 D U(, N) 表示 (3). p. d. f. 為 f ( X = ) =, =,, L, N N N N (4). f ( X = ) = N = N N = N N( N + ) + (5). E(X ) = ( ) = = N N N N N( N + )(N + ) ( N + )(N + ) (6). E( X ) = ( ) = = N 6 N 6 ( N + )(N + ) N + (7). Var(X ) = E( X ) ( E( X )) = ( ) = N 6 8. 常態分佈 (ormal distributio): (). 若給定兩參數 µ ( 位置參數 ) 及 σ ( 尺度參數 ), 其中 µ R, σ >, 隨機 ( µ ) σ 變數 X 之 p. d. f. 為 f ( X = ) = e, R, 則稱 X 具有常態分 πσ 佈若 X ~ N(,), 稱 X 具有標準常態分佈 (stadard ormal distributio), 一般以符號 Z 表示具有標準常態分佈之隨機變數, 且常態分佈之機率值皆可藉由標準常態分佈之機率值求得 (). 以 N( µ, σ ) 表示 (3). p. d. f. 為 f ( X = ) = (4). E(Z) e πσ ( µ ) σ, R = zf ( Z = z) dz = ze dz = e π π (5). E( Z ) = z f ( Z = z) dz = z e dz π z z = ze + e dz = π π (6). Var(Z) = E( Z ) ( E( Z)) = = (7). E (X ) = E( µ + σz ) = µ +σe(z ) = µ z z z z = zde π = (8). Var (X ) = Var( µ + σz ) = σ Var( Z) = σ (9). 使用時機 : 常態分佈在分係上比較容易處理, 圖形為鐘型曲線 (bell shaped curve), 且左右對稱, 又由於中央極限定理, 使得在不太強的條件下, 常態分佈可當作不少大樣本的近似分佈

7 大數法則定義. 機率收斂 (coverges i probability): 設 X, X,L 為一數列的隨機變數, 若存在一隨機變數 X, 使得 p lim P( X X < ε ) =, ε >, 則稱 X > 機率收斂至 X, 以 X X < 表示 lim P( X X < ε ) =, ε > 等價於下列式子 : lim P( X X ε ) =, ε > lim P( X X > ε ) =, ε > lim P( X X ε ) =, ε >. 弱大數法則 (Weak law of large umbers): 設 X,,L 為 i. i. d. 之隨機變數, 且 E (X ) = µ 存在, 則樣本平均 X p X µ X σ 註 : 利用柴比雪夫不等式證明 lim P( X X ε ) = 即可得證 ε ε 3. 大數法則 (Law of large umbers): 隨機樣本的樣本平均的機率會收斂至期望值注意. 有時我們會說該發生的, 總會發生或該錯的總是會錯, 從機率的角度來看是對的, 這句話的意義就是實驗中某事件發生的機率為正, 則持續重複此實驗, 此事件遲早會發生的而且若某事件發生的機率為 p, 若持續重複此實驗, 則該事件發生之相對頻率 (relative frequece) 會接近 p 此即機率中的重要定理大數法則 (Law of large umbers). 大數法則是說當樣本夠多, 樣本平均會收斂至母體期望值例如伯努力試驗中, 樣本平均就是事件發生之相對頻率, 而母體期望值即事件發生之機率, 也就是多次實驗結果的機率會趨近理論上的機率 3. 對於樂透彩券 (~4 號 ), 並不是每一次每個號碼都會開一次, 而是開獎的次 6 數越多, 各號碼出現的相對頻率會越接近, 大約為, 此即大數法則或 4 者擲骰子, 只擲六次, 要每個點數各有的出現機率是很難的, 有時差異也 6 非常大但若擲六億次, 每個點數出現的機率就會都非常接近 6

8 中央極限定理定義. 分佈收斂 (coverges i distributio): 設 X,,L 為一數列的隨機變數, X 的分佈函數以 () 表示, 若存在一 X 隨機變數 X, 以 F () 為分佈函數, 使得 lim ( ) = F( ), 對函數 F() 的每 FX d 個連續點都成立, 則稱 X > 分佈收斂至 X, 以 X X 表示 ; 或說 < FX X > 分佈收斂至以 F 為分佈函數之分佈 F 又稱為 X > 之極限分佈 < < (limitig distributio). 中央極限定理 (Cetral limit Theorem): 設 X,,L 為 i. i. d. 之隨機變數, 且 E (X ) = µ, Var ( X ) = σ 皆存在令 F (X ) X X 表 µ 之分佈函數, 則 lim F e du R σ ( ) = Φ( ) =, 即 π X d 分佈收斂至 N(,) 分佈, 亦可以 µ N (,) 表示注意. 中央極限定理說明了為何常態分配可用來作為很多實際現象的模式. 在很多的實際狀況下, 通常樣本數 3 就已經適用, 誤差不會太大 X d 3. 定理中的 µ N (,) 亦可表成 σ σ i= µ X i µ d N(,) σ X µ σ

9 定義. 常態分配 : 常態分佈 ( 常態分配 ) 設變數 X 的算術平均數為 µ, 標準差為 σ, y = f () 的圖形是平滑鐘形曲線, 如圖 : 常態分佈機率分配圖 f () 為變數 X 的機率分配, 且 f (X ) 像這樣的機率分配就是常態分配, 其圖形稱為常態分配曲線, 或稱常態曲線. 標準常態分配 : 平均數為, 標準差為的常態分配稱為標準常態分配 X

10 性質常態分配與常態曲線有下列特性 :. 常態曲線是單峯對稱尾部下降很快且接近軸的曲線. 常態分配變數的算術平均數中位數眾數都一樣 3. 平均數相同, 標準差不同的常態曲線, 它們的中心對稱軸相同, 而曲線變化不同, 如下圖所示 ; 標準差較小的常態曲線其形狀較陡, 較窄, 表示數據較集中 4. 平均數不同, 標準差相同的常態曲線, 它們的形狀完全相同, 由平均數決定圖形的中心位置, 如下圖所示, 這表示各組數據中, 數據的差異是一樣的

11 5. 常態機率分配曲線下的總面積等於, 較常用的常態分配機率的範圍, 如下圖所示 µ 3 σ µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ µ + 3σ 6. y = f () 的圖形對鉛直線 = µ 對稱, 如下圖所示, 曲線下在 = µ 的左邊與右邊的面積都是, 也就是母體資料數據中, 小於 µ 與大於 µ 的機率都是.5 5% 5% 的資料的資料 µ 3 σ µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ µ + 3σ 7. Z 的機率分配為標準常態分配 (). 定義 F( a) = P( Z a), 表示小於等於 α 的所有 z 的機率, 也就是位於 z = a 左邊的面積 (). 位於 z a 的機率 P( Z a), 表示大於等於 a 的所有 z 的機率, 也就是位於 z = a 右邊的面積, 等於 P ( Z < a) = F( a) (3). 任意位於 a z b 的機率 P( a Z b), 表示介於 a 與 b 之間的所有 z 所占的機率, 等於 F( b) F( a) a b 標準常態分配

12 8. 對於一般常態隨機變數 X 的平均值為 µ, 標準差為 σ, µ 若變數 Z = X, 則變數 Z 的平均數為, 標準差為 σ a µ µ b µ (). 任意位於 a b 的機率為 P( a b) = P ( ), σ σ σ b µ a µ 等於 F ( ) F( ) σ σ µ a µ (). 位於 a 的機率為 P ( ), σ σ µ a µ a µ 等於 = F ( < ) = F ( ) σ σ σ 9. 利用累積機率表, 我們可求任意事件發生的機率下表是標準常態分配 Z 的機率分配表 ( Z α 的機率 ): α 機率 α 機率 α 機率 α 機率例題. 求 P ( Z.5) 與 P( Z.5) 時, 已知 P ( Z ) =. 5, 又由表 P( Z.5) =.433, 所以 P( Z.5) = =. 933, 而 P ( Z.5) = P( Z.5) =.933 = P( Z.) =.3849, 又由對稱性可知 P (. Z ) = P ( Z.), 因此 P ( Z.) = P ( Z.) = ( ) = 求 P(. Z.4) 時, 由上面已得 P(. Z ) =. 3849, 再由 P( Z.4) =. 498, 所以 P(. Z.4) = =. 8767

13 規律規律 : 常態曲線有很多, 每個常態曲線都可以用各自的平均數和標準差來描述, 但所有的常態分配都有下面的規律 :. 大約有 68% 的觀測值落在距平均數一個標準差的範圍內. 大約有 95% 的觀測值落在距平均數兩個標準差的範圍內 3. 大約有 99.7% 的觀測值落在距平均數三個標準差的範圍內這個常態分配的通則, 我們常稱為規律常態分配曲線規律圖示如下圖所示 68% 95% 99.7% µ 3 σµ σµ σµµ + σµ + σµ + 3σ 例題設某地區成年男性 ( 母體 ) 的身高分配, 其圖形近似常態曲線 ; 若此地區成年男性的身高平均 µ = 68公分, 標準差為 σ = 5. 8 公分, 則由規律可知 :. 約有 68% 的成年男性的身高在 68 ± 5. 8 公分之間. 約有 95% 的成年男性的身高在 68 ± 5. 8 公分之間問題某次考試共有人參加, 考試結果成績分布接近常態分布已知平均成績 48 分, 標準差為 3 分假設定成績及格標準為 4 分, 試求此次考試成績及格者大約有多少人?

14 二項分佈 ( 二項分配 ) 定義二項分佈 : 一個試驗的結果只有成功與失敗兩種, 每次試驗中成功的機率為 p, 這樣稱為伯努利試驗, 其平均值為 µ = p, 標準差為 σ = p( 若每一次試驗的結果不影響另一次的試驗結果, 現在重複實行次的伯努利試驗, 則以成功的次數 X 為隨機變數的分配是二項分佈可以求出 X = k 的機率即次的伯努利試驗中有 k k k 次成功與 k 次失敗的機率為 C p ( k

15 例題. 例如當 p =.5 時, 投擲 5 次硬幣的分布如下表 : 正面次數 X 機率 ( ) 5( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) 直方圖如下 : 5 而二項分佈的平均值為 µ = p, 標準差為 σ = p(, 當滿足時 p 5且 ( 5時, 可以用一個常態曲線來逼近, 這個常態曲線的平均值為 µ = p, 標準差為 σ = p(. 以下列出 =, p =., =, p =. 及 = 5, p =., 的二項分佈的機率分布的情形, 當 = 5, p =.時, 就很接近常態曲線機率機率.. =, p =. 機率機率 =, p =. 機率機率 = 5, p =.

16 性質. 對於二項分布中的成功機率 p 是多少, 我們不一定知道, 當我們抽出一個樣本數大小為的隨機樣本, 隨機變數 X 代表成功的個數, 若其中有個是成功的, 那麼樣本中的成功比例 p ˆ = 應該與 p 差不多, 故可以用 pˆ 估計 p 但是到底這個估計有多好呢? 因為 p 值未知, 我們無法知道確實差距, 現在抽很多個樣本數大小為的隨機樣本, 則這些 pˆ 值的平均數為 p, 標準差為 p (, 當夠大時, pˆ 有近似常態分布. 對於平均數為 µ, 標準差為 σ 的隨機變數 X, X, L, X, 那麼當夠大時, X + X + L + X 依據中央及限定理可得, 樣本平均數 X = 會接近平均數為 σ a µ µ b µ µ, 標準差為的常態分布, 則 P( a b) = P( ) σ σ σ 3. 若對於小樣本而言, 且標準差 σ 未知時, 可以用樣本標準差 s = 估計, 此時 s = i= ( i ) i= ( i ) µ, 現在取隨機變數 t =, 則 t 形成學生 t 分布 s

17 信賴區間與信心水準探討參數是用來描述母體特徵的數字, 例如 : 以全國高中學生為母體, 身高為變數 X, 全體學生身高 X 的期望值是一個參數 θ, 而隨機抽出位學生當樣本求平均數, 其平均身高用來估計此參數參數的估計有兩種方式 :. 參數的點估計 : 要估計母體參數, 我們可從母體中取一個樣本, 用來估計母體參數, 稱為參數的點估計如上段中, 隨機抽出位學生當樣本求平均身高, 以估計全校平均身高, 這種估計方式就是參數的點估計. 參數的區間估計 : 抽樣過程中, 估計數剛好等於參數的機會相當低, 如果實驗或調查重複了很多次時, 不同的隨機樣本得到的估計值不一定相同, 所以常利用一個區間來估計母體參數, 這種估計方式就是參數的區間估計使用統計量來估計母體參數時, 每次隨機抽取樣本, 並且求出估計值 ; 再隨機抽取一個樣本, 並且求出另一個估計值若我們作了很多次抽樣得到許多的不同樣本時, 估計值會隨著樣本而變而一直的抽下去, 當樣本數足夠大時, 這些估計值的分布會很接近常態曲線, 換句話說, 也就是樣本的抽樣分布很接近常態分布假設參數 θ, 樣本數, 求得參數 θ 的估計量 θˆ 的抽樣分布很接近常態分布, 這個分布有常態曲線中規律, 若標準差為 σ, 則. ( θ σ, θ + σ ) 內的面積約為.68. ( θ σ, θ + σ ) 內的面積約為 ( θ 3σ, θ + 3σ ) 內的面積約為.997 如前, 即 P ( ˆ θ θ σ ) =. 95 之意, 又可表成為 P ( ˆ θ σ θ ˆ θ + σ ) =. 95, 其中 ( ˆ θ σ, ˆ θ + σ ) 這個區間將未知母體參數 θ 包含在內的機率為.95, 我們稱此區間為參數 θ 的 95% 信賴區間就是如果我們不斷重複的抽取樣本數為的所有可能的隨機樣本, 每次得到一個統計量 θˆ 及一個信賴區間 ( ˆ θ σ, ˆ θ + σ ), 這許許多多的區間有些會把母體參數 θ ( 某個定數 ) 包含在內有些則不會, 但所有這些區間中, 有 95% 會涵蓋到未知的參數 θ 也就是對一次抽樣得到的信賴區間 ( ˆ θ σ, ˆ θ + σ ), 我們有 95% 的信心, 信賴區間會包含未知的母體參數 θ, 但到底有沒有包含未知母體參數 θ, 實際上我們也不知道

18 定義. 信心水準 (cofidece level): 從全體對象中隨機抽取樣本大小為的所有可能樣本, 由每個樣本計算出一個平均值, 理論上其中有 ( α ) % 的樣本計算出的平均值將包含參數值, ( α ) % 稱為信心水準 ( 信賴係數 ), 其中 α 為到之間的實數. 信賴區間 (cofidece iterval): 以 θˆ 為參數 θ 估計量時, 區間 ( ˆ θ a, ˆ θ + a) 就稱為參數 θ 的信心水準為 ( α ) % 的信賴區間常用的三個信賴區間如下 : (). ˆ θ S, ˆ θ + S ) 稱為 θˆ 的 68.6% 信賴區間 ( ˆ θ ˆ θ (). ˆ θ S, ˆ θ + S ) 稱為 θˆ 的 95.44% 信賴區間 ( ˆ θ ˆ θ (3). ˆ θ 3 S, ˆ θ + 3 S ) 稱為 θˆ 的 99.7% 信賴區間 ( ˆ θ ˆ θ 意義. 信賴係數為.95 的區間稱為 θ 的一個信心水準為 95% 的信賴區間, 也就是如果我們重複很多次抽樣, 求出信賴區間 ( 樣本數不變 ), 那麼長期下來, 平均每回的抽樣中有 95 回所得到的信賴區間會包含未知參數 θ 在內. 當參數的信賴區間估計之信心水準為 95% 時, 以下所言皆正確 : () 在所有可能樣本中, 有 95% 的樣本值會包含參數在內 () 對某一樣本而言, 有 95% 的信心會包括參數在此信賴區間內 (3) 信心水準 99 % 的信賴區間較信心水準 95% 的信賴區間為寬 3. 樣本的估計值為 θˆ, 母體的參數為 θ, 那 θˆ 是否會等於 θ? 通常樣本估計值與母體參數不會一樣, 只能說樣本估計值 θˆ 接近母體參數 θ, 那究竟有多接近呢? 信賴區間就是具體說明了接近的意義 4. 如果抽出大小為的一個隨機樣本, 若這個樣本的成功比例為 pˆ, 變數 X 的期望值為 p, 標準差為 σ = p ( 通常我們只作一次隨機抽樣, 當母體 p ˆ( pˆ ) 參數 p 的估計值為 pˆ 時, 因母體參數 p 未知, 我們常用作為樣本分配的標準差估計值 5. 當樣本數夠大時 ( 通常取樣本數滿足 p 5 且 ( 5, 若 p 未知時, 可用 pˆ 來估計 ), 可以利用常態分配表來推算一次隨機抽樣可得到的母體參數 p 的信賴區間

19 問題擲一個出現正面機率 p 的硬幣 5 次, 其中正面出現次數為 3 次, 也就是正面出 3 現的比率為 p ˆ = =.46, 則 pˆ 會近似常態分布, 樣本平均的期望值為 p, 標準 5 差為 S 於是 pˆ 的值落在平均數 p 左右各兩個標準差內的機率為.95, 即 P pˆ p S =. ( ) 95 pˆ( pˆ) 當 = 5, 樣本標準差 S 的估計值 =. 7 p ( ( 會與有誤差, 但當夠大時, 可以忽略 ), 於是 P (.46 p S ) =. 95, 即 P ( p.46.7) =. 95, 亦即 P (.46.7 p ) =. 95 因此區間 (.3,.6) ( 或表成.46 ±. 4 ) 包含未知參數 p 的機率為.95 也就是對一次抽樣得到的 p 的信心水準為 95 % 的信賴區間 (.3,.6), 我們有 95% 的信心, 區間 (.3,.6) 會包含母體參數 p 同樣道理可得:. p 的信心水準為 68 % 的信賴區間為 ( p ˆ S, pˆ + S). p 的信心水準為 99.7% 的信賴區間為 ( p ˆ 3S, pˆ + 3S) 通常我們只藉著一次抽樣, 由樣本數據來推估參數的信賴區間, 在求信賴區間時, 應該如何增加信心? 一個方法是加寬信賴區間, 信賴區間的範圍越大, 就越有信心, 會包含真正的 p 值另一個方法就是增加樣本數, 因信賴區間為 pˆ( pˆ) pˆ ± k, 其寬度與樣本數大小有關, 所以當樣本數越大時, 信賴區間的寬度就越小, 此時我們可以預期得到的樣本比例與母體參數比例差距會較小在日常生活中, 常有媒體報導某些民意調查的結果, 這些民調也是藉著抽樣調查一些特定事件民眾贊成與反對的比例, 這與擲硬幣試驗出現正面與反面的情況一樣有了信賴區間與信心水準的概念, 我們就可解讀民調的意涵

20 理論因為對於標準常態分配中.95 = (.96 z.96) P, 即有 95% 的機率, 其估計值 pˆ 會落在加減. 96 個標準差的範圍內, pˆ p 也就是.95 = P , σ ( 此是可以表成.95 = P ( p.96 σ ( pˆ p +.96 σ ( ), 解釋成有 % 95 的機率估計值 pˆ 會落在區間 ( p.96 σ (, p +.96 σ ( ) 中, 反之當你以估計值 pˆ 為中心作一區間, 則其會有 95% 的機率包含 p 此時由於區間的寬度未知 ( 實際應為 σ ( ), 所以我們以估計值 pˆ 的標準差代替 σ (, pˆ( pˆ) 也就是以 SE( pˆ) = 來代替, 如此就已經夠接近了所此式子變成.95 = P ( pˆ.96 σ ( pˆ ) p pˆ +.96 σ ( pˆ ), 就是當我們重複作很多次抽樣時, 區間 ( pˆ.96 ( pˆ), pˆ σ ( pˆ) ) σ 會包含母體真正 p 值的機率為 95%, 此區間就稱為信心水準為 95% 的信賴區間這裡 pˆ ±.96 σ ( pˆ ) 中的. 96 σ ( pˆ ), 也就是常常聽到的信賴水準討論下列出一些常用的信賴水準對照表 : α 下表是 P ( Z ) 所對應之數值 z α : α α α α z 故之前的討論可以改寫成為 α = P pˆ z α σ ( pˆ) p pˆ + z α σ ( pˆ ) 此時誤差即 E ( pˆ) = z = z α σ α pˆ( pˆ) ) * z α p ( 由此可以推估 = E p * ) * ( 其中 p 為真正母體 p 值的猜測值 )

21 注意. 信賴區間隨機的部分是區間的上下界, 而不是參數的部分. 參數的 95% 信賴區間的意思是說有 95% 的可能樣本會包括參數在此信賴區間內, 而信賴區間會隨著樣本大小及母群體標準差大小而變化當信心水準確定後, 抽樣誤差愈小 ( 區間長度之半 ), 信賴區間愈窄 3. 抽樣後得到的信賴係數 95% 的信賴區間, 並非該區間有. 95的機率包含未知母體參數 θ, 因為信賴區間不是包含就是不包含 θ, 即包含 θ 的機率不是就是所謂 95 % 的意義為抽樣前得到的區間 ( X, X + ) 包含 θ 的機率為.95, 而抽樣後所得到的區間就是一個固定區間了, 不能說成包含 θ 的機率為一般不說成參數落在 (falls) 某一區間, 而說成一區間包含 ( 涵蓋 )(covers) 參數因為對於任一個特定區間, 說它有 95% 的機率會包含參數, 如此是沒有意義的, 因此一特定區間已非隨機區間, 此區間包含參數的機率不是就是參數是不動的, 因此說它會落在某一特定的區間較不適合但在抽樣前說它會落在隨機區間中的機率為.95就無妨了 5. 一般而言, 信賴區間的長度越短越好, 否則大家取 (, ) 就可保證參數落在此一區間中了 6. 隨機抽取個樣本後, 若抽樣越多, 區間長度越短, 如此更不容易使區間包含參數, 是否正確? 注意在此情況下, 雖然長度變短, 但是信賴係數並沒有減少, 所以說成參數不易落在對應的信賴區間內是不正確的由大數法則可知, 當越大時, X 有越靠近 µ 的傾向, 因此當越大時, 以 X 為中心, 只需要較小的半徑, 該區間仍有相同的機率會包含參數 7. 包含參數的機率相同時, 我們偏好取區間長度較小者因為此時區間長度越短, 表示推論的越精準, 這就是取樣多所換得的代價例如選舉中想瞭解某候選人的支持度, 若抽樣 5 中有 7 人支持該候選人與抽樣中有 54 人支持該候選人, 看起來比例相同, 但是當我們用二項分配取代超幾何分配時, 所得到的信賴係數為 95% 的信賴區間 ( X Z X ( X ), X + Z X ( X ) ) ( α α 分別為.4,.678) 及 (.5,.57), 但由第一個信賴區間看來該候選人也有很大的可能落敗, 但由第二個信賴區間雖然長度便短, 但是看來該候選人當選的可能性很高

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Microsoft Word - 基礎統計講義1.docx 第三章敘述統計量描述統計資料之特性的統計量數有二項 : 1. 集中趨勢量數 : 眾數 (Mode) 中位數(Media) 平均數(Mea). 離散趨勢量數 : 全距 (Rage) 標準差(tadard Deviatio) 變異數 (Variace) 變異係數(Coefficiet of Variatio) 四分位(Quartile) 四分位距 (Iter-quartile Rage) 十分位(decile)