Microsoft Word - 95_1_stat_handout_01敘述統計學.doc

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靓镕袁
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1 第一章敘述統計學 007 年月 30 日最後修改. 原始資料. 統計表.3 統計圖.4 統計量值.5 一些經驗法則. 原始資料下表是測量 34 個體 (tems) 之 7 個變數的原始資料 : 編號性別年齡學歷年資職位城市月薪男台北 44,00 男 3 3 台中 6,600 3 女高雄 30,0 4 女 3 高雄 6,400 5 女 3 台北 0,00 6 女高雄 9,600 7 男高雄 34,800 8 男 37 4 台北 6,0 9 男台北 43,00 男台北 3,000 男台北 3,300 女高雄 9,800 3 男台北 43,0 4 女台北 43,600 5 男台中 8,800 6 男高雄 7,0 7 男台北 9,600 8 男 3 3 台中,500 9 女台中 8,800 0 女 8 台中,00 男高雄 36,700 女台北 3,0 3 男高雄 30,300 4 男高雄 36,800 5 男 30 4 高雄 34,0 6 男高雄,800 7 男台北 3,0 8 男 3 3 台北 3,000 9 女 3 3 台北 3, 女高雄 8,00 3 女 3 3 高雄 4,0 3 女台中 35,0 33 女 33 6 高雄,00 34 女 30 4 台中 3, 陳欣得統計學敘述統計學第 - 頁

2 原始資料 (source data) 每欄 ( 行 ) 表示一變數, 每列表示一個測量的個體測量尺度在原始資料中並不一定看得出來若只有一個變數, 原始資料會如下表 ( 質性資料 ) 台北台中高雄高雄台北高雄高雄台北台北台北台北高雄台北台北台中高雄台北台中台中台中高雄台北高雄高雄高雄高雄台北台北台北高雄高雄台中高雄台中或 ( 量化資料 ) 分組 (groupg) 原始資料的觀察個數 ( 列數 ) 一般會超過人類可以輕鬆處理的 5~9 項分組是處理大量資料的典型作法統計表 (charts) 與統計圖 (graphs) 統計表類似原始資料表, 只是給的是分組後的資料, 而且內容是組出現次數統計圖是將統計表的訊息 ( 各組出現次數 ) 以圖形來表示次數城市次數台北 3 台中 7 高雄 4 合計台北台中高雄統計量 (statstc) 另一種處理大量資料的作法為用一個數值來表示這個數值稱為統計量 ( 嚴格而言應為統計量值 ) 006 陳欣得統計學敘述統計學第 - 頁

3 最常見的統計量為平均數變異數極大值極小值等. 統計表製作統計表有三個動作 : () 分組 ;() 計數 ;(3) 整理成統計表其中最重要的是分組分組分組的原則 : 互斥且周延組數最好不要超過 9 組, 一般建議 5 至 7 組組數的決定也與觀測值的個數有關, 觀測個數少則不適合分太多組質性資料有自然的分組, 但仍須注意是否需合併以免過多組數量化資料需人工分組量化資料分組程序 : () 決定全距 (rage), R R= x x max m ( 全距 = 極大值極小值 ) () 決定組數 (3) 決定組距 (class wdth), w R w = 全距組距 = 組數 (4) 寫出組限 (class lmts), u m ( ) = xm + w u = x + w ( = x, = u, > ) m + (5) 寫出分組準則 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -3 頁

4 第一組 : x x u m ( ) 第組 : < x u 各組組距不一定要相等順序尺度以上資料之分組應依次序 ( 由大而小或由小而大 ) 排列範例. 定組限就以下 00 個測量值的資料 : 極小值與極大值分別為 x m = x max = 85, 全距為 R = 85 = 74 我們決定分成 = 8 組, 組距應為 R 74 w = = = 為了符合一般習慣, 將組距第一組的下限作以下調整 : w=, = x m 則各組上下限依次為 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -4 頁

5 u = = 0, u = = 30, u = 90, 3 8 各組條件寫出如下表 x 0 0 < x < x 90 如果取得的是離散資料 ( 整數數值 ), 則第一組以後可以寫成 x 0, x 30, 8 x 90 統計表分類 : () 次數分配表 (frequecy tables) () 相對次數分配表 (relatve frequecy tables) (3) 累計次數分配表 (cumulatve frequecy tables) 累計相對次數分配表 (4) 列聯表 (cotgecy tables 交叉表) 次數分配表城市次數台北 3 台中 7 高雄 4 合計 34 相對次數分配表累計次數分配表城市次數相對次數台北 3 3/34 台中 7 7/34 高雄 4 4/34 合計 34 年資次數相對次數累計次數 ( 以下 ) 累計次數 ( 以上 ) ~ 6 6/ ~5 3 3/ ~9 / 以上 4 4/ 只有順序尺度以上資料才可以有累計次數分配表 ( 為什麼?) 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -5 頁

6 相對次數分配表有助於不同資料間的比較相對次數分配表是推論統計的基礎, 需多注意列聯表列聯表 (cotgecy table, 交叉表 ): 將兩個變數的次數分配列於同一個統計表列聯表中的邊際次數 (margal frequecy) 即個別變數的次數分配年資 \ 城市台北台中高雄邊際次數 ~ 6 3~ ~9 3 6 以上邊際次數統計圖以原始資料為基礎的統計圖 : () 莖葉圖分組整理資料並呈現 () 點圖分組整理資料並呈現 (3) 散佈圖呈現兩變數的變化關係以統計表為基礎的統計圖 : () 長條圖直方圖比較分組間的次數大小 () 圓餅圖比較分組次數占整體的比例 (3) 折線圖肩形圖比較組間次數的變化趨勢長條圖直方圖長條圖 (bar chart): 用於質性資料直方圖 (hstogram): 用於量化資料 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -6 頁

7 城市別長條圖 8 4 台北台中高雄年資直方圖 8 4 ~ 3~5 6~9 以上圓餅圖圓餅圖 (pe chart): 用於相對次數分配表年資以上 ~ 6~9 3~5 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -7 頁

8 折線圖肩形圖折線圖 : 用於順序尺度以上之資料肩形圖 (ogve): 用於累計次數表 ( 累計相對次數表 ) 年資折線圖 8 4 ~ 3~5 6~9 以上 34 年資肩形圖 ~ 3~5 6~9 以上莖葉圖莖葉圖 (stem-ad-leaf dsplay): 保留原始資料範例. 莖葉圖例資料前 5 筆畫入莖葉圖如下 : 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -8 頁

9 其中第一行稱為莖, 其餘為葉圖中表示五十幾的有 3 筆, 分別是前 30 筆填入的結果如下 : 莖葉圖只適用於小量資料,00 筆太多了點圖點圖 (dot plot): 適用於觀測數量大的資料散佈圖散佈圖 (scatter dagram): 瞭解兩量化資料為正相關或負相關 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -9 頁

10 年齡年資散佈圖年資年齡.4 統計量值順序尺度資料的統計量值 : () 中位數 (meda, M e ) 至少有 50% 的數值小於等於 M, 且最少有 50% 的數值小於 M () 眾數 (mode, M o ) e e 出現次數最多的數值, 可能有一個以上的眾數 (3) 四分位數 (quartles, Q Q Q 3 ) 至少有 5% 的數值小於等於 Q, 且最少有 5% 的數值小於 Q Q 稱為第一四分位數, Q 3 稱為第三四分位數 Q = M e (4) 百分位數 (percetles, P P P 90 P 99 ) (5) 極值至少有 % 的數值小於等於 P5 = Q P 50 = Q = M e P 75 = Q 3 P, 且最少有 % 的數值小於 P 006 陳欣得統計學敘述統計學第 - 頁

11 量化資料的統計值 : () 位置測量值 : 平均數 (mea, μ ) x + x + + xn Σx μ = = N N x + x + + x Σx 樣本平均數 : x = = () 離散測量值 : 標準差 (stadard devato,σ ) 變異數(varace, σ ) ( ) x μ x N μ Σ Σ σ = = N N Σ Σ 樣本變異數 : s = = ( ) x x x x (3) 變異係數 (coeffcet of varace,cv) CV = σ 0% 或 CV = s 0% μ x (4) 偏態 (sewess, α 3 ) Σ α = ( x μ ) σ N α 3 < 0 的情況稱為左偏 (egatvely sewed); α 3 > 0 的情況稱為右偏 (postvely sewed) 偏態係數 (coeffcet of sewess) S = ( μ M ) 3 e σ S < 0 稱為左偏 S > 0 為右偏 (5) 峰態 (urtoss, α 4 ) Σ α = ( x μ ) σ N α < 稱為低闊峰 (platy-urtoss) α 4 > 3 稱為高狹峰 (lepto-urtoss) 陳欣得統計學敘述統計學第 - 頁

12 兩變數間相關性的統計量值 : () 共變數 (covarace, σ xy ) ( )( ) Σ x μx y μy Σxy N μx μ y σ xy = = N N Σ( x x)( y y) Σxy x y Σxy ( ΣxΣy) 樣本共變數 : sxy = = = () 相關係數 (correlato coeffcets, ρ ) ( μx)( μy) σ Σ x y xy Σxy N μx μy ρ = = = σσ Σ Σ Σ μ Σ μ ( x μ ) ( y μ ) x N y N x y x y x y 樣本相關係數 : sxy Σxy x y Σxy ( ΣxΣy) r = = = ss Σx x Σy y Σx Σx Σy Σy ( ) ( ) x y ρ, ρ = 時稱完全負相關 ρ = 時稱完全正相關第百分位數 ( P ) 的求解步驟 () 求所在位置的名次 ( 令總觀察值數目為 N) = N % () 找第名的數值即為 P (a) 未分組資料 (a) 需要報告觀察值 P = x roud () (a) 不需要報告觀察值 xi + xi+ P = 或 P = x 為整數其中,I 為之整數部分 (b) 分組資料 ( ) 0.5 N % N N P = + w = + w 006 陳欣得統計學敘述統計學第 - 頁

13 其中, N w 為所在組的下限該組個數該組前累計個數組寬第百分位數 ( P ) 的求解步驟 ( 課本的作法 ) () 求所在位置的名次 ( 令總觀察值數目為 N) = N % () 找第名的數值即為 P (a) 未分組資料 (a) 若為整數 x + x + P = (a) 若不是整數 P = x I + 其中,I 為之整數部分 (b) 分組資料 N % N N P = + w = + w 其中, N w 為所在組的下限該組個數該組前累計個數組寬第百分位數 ( P ) 的求解步驟 (Excel 內建函數的作法 ) () 求所在位置的名次 ( 令總觀察值數目為 N) ( ) = N % + () 找第名的數值即為 P (a) 未分組資料 (a) 若為整數 P = x (a) 若不是整數 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -3 頁

14 ( ) P = x + R x x I I+ I 其中,I 為之整數部分,R 為之小數部分 (b) 分組資料 (Excel 未提供此部分解答 ) 範例.3 未分組資料之 P 就下列資料 : 求 P : 求 Q Q 3 : N = 30, = = 3.5, 則 ( 需給觀察值 ) P = x ( 3.5) = x4 = 9 roud x3 + x ( 不需觀察值 ) P = = = 7.5 N = 30, = = 8 = = = = 3, 則 x5 + x Q = x8 = 38 Me = Q = x5.5 = = = 50 Q 3 = x 3 = 59 IQR = Q3 Q = = IQR 稱為四分位數距 ( 課本作法 ) N = 30, = 4 30 = 7.5 = 4 30 = = 4 30 =.5, 則 x5 + x Q = x8 = 38 Me = Q = = = 50 Q 3 = x 3 = 59 IQR = Q3 Q = = (Excel 作法 ) N = 30, = = 8.5 = = = =.75, 則 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -4 頁

15 8 9 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q = x x x = = 38.5 M = Q = x x x = = 50 e Q = x x x = = IQR = Q3 Q = = 0.75 範例.4 分組資料之 P 就下列資料 : 求 P : 求 Q Q 3 : 組別次數 0 X< X< X<50 50 X< X< X 80 7 總和 50 N = 50, = = 5.5, 則 =, = 30, = 6, N = 4, w = 0.5 N P = + w = 30 + = N = 50, = = 3 = = = = 38, 則 0.5 N Q = x3 = 3 + w3 = 40 + = N Me = Q = x5.5 = 4 + w4 = 50 + = N Q3 = x38 = 5 + w5 = 60 + = IQR = Q3 Q = =.06 盒鬚圖 (box chart): 將 m Q Q Q 3 max 化在同一圖上 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -5 頁

16 m Q Q Q3 max 範例.5 盒鬚圖就下列資料 : x m = 0 x max = 77 x5 + x Q = x8 = 38 Me = Q = x5.5 = = = 50 Q 3 = x 3 = 59 其盒鬚圖如下 : 由盒鬚圖得知這些數值整體而言呈對稱分配, 但有一點左偏動差 (momets) () 零動差 (zero momets) Σ 級零動差 = N x () 主動差 (prcple momets) 級主動差 M ( x μ ) ( x μ ) Σ Σ = M = = N ( μ ) ( ) Σ x Σx Σx N = = N N N M = 陳欣得統計學敘述統計學第 -6 頁

17 M = σ 3 M = α σ M = α σ 4 4 範例.6 未分組資料之變異數就下列資料 : x 計算工作表如下 x x² , ,46 ( ) ( Σ ) x x x =Σx ( ) Σx 58 Σx 母體變異數 σ X = = = = ( ) Σx 58 Σx 樣本變異數 s X = = = = 範例.7 分組資料之變異數就下列資料 : 組別次數 0 X< X< X<50 50 X< X< X 80 7 總和陳欣得統計學敘述統計學第 -7 頁

18 計算工作表如下組別代表數次數累計次數 X X 0 X< , X< , X< , X< , X< , X ,375 總和 50,600 45,450 x 600 μ = Σ = = 5 N 50 ( ) Σx Σx N 45,450, σ = = = 05 N 50 σ = 05 = 4.3 CV 4.3 = σ = = = 7.54% μ 5 範例.8 分組資料之相關係數就下列資料 : 計算工作表如下 x y x y x² y² xy 47 44, , ,65, , ,56 8,0 3, , ,489, ,096, ,46 3,778,409 s x ( )( ) Σ X ΣY X X Y Y =ΣXY ( x) Σ Σx 3, 46 = = 8 = = 陳欣得統計學敘述統計學第 -8 頁

19 s s y xy ( y) Σ Σy 3,778 = = 8 = 5. = Σ x Σ y Σxy, = = = = sxy 4.50 r = = = 0.94 ss x y 平均數中位數眾數的關係皮爾森公式 : () 中位數一定介於平均數與眾數之間 () 眾數中位數 = 平均數中位數左偏 μ M e M o 右偏 M o M e μ 範例.9 皮爾森公式解已知 μ = 0 M e = 6, 求 M o 由 M e < μ 知此資料為右偏, 且 M < M = 6, 因 M M μ M ( ) = = 0 6 = 8, o e e o e 故 M = M 8= 6 8= 8 o e 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -9 頁

20 .5 一些經驗法則 z 分數 (z-score) z x μ σ = 或 z = x s x 範例. z 分數求以下數值的 z 分數 : 解計算平均數與標準差, 工作表如下 : 其中 x x² z-score Σ x= Σ x = = 37, 3, 5 故 ( ) Σx 37 Σx Σx x = = = s = = = 5 5 s= = x x z = = = 0.46 s 3.05 x x z = = = 0.5 s , 9.3, Z 分數小於零表示該觀測值小於平均數 ;z 分數之絕對值越大, 表示該觀測值離平均數越遠 z =.8 表示該觀測值大於平均數有.8 個標準差 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -0 頁

21 柴比雪夫定理 (Chebyshev s theory) 一組觀察值中, 至少有比例的觀察值, 落在距離平均數個標準差之內 ( ) 以機率符號表示則為 ( μ σ) P x 範例. 柴比雪夫定理已知企管系 0 名學生, 統計學的平均分數為 60 分, 變異數為 6; (a) 請估計至少有多少人分數落在 55 分到 65 分之間 ; (b) 請找出至少有 89 個學生在內的區間 ; (c) 請估計至少有多少人分數落在 55 分到 75 分之間解 (a) = = = P( 55 X 65) = = ( ) 至少有 0 = 36 位同學 5 (b) (c) 89 機率 = = = 範圍為 { 60 6 X } = { 48 X 7} = =, = = P( 55 X 75) = + = = 5 5 ( ) ( ) 經驗法則 (the emprcal rule) 若資料呈鐘形 ( 單峰對稱 ) 分佈, 則 006 陳欣得統計學敘述統計學第 - 頁

22 () 約 68% 的觀察值落在離平均數個標準差內 ; () 約 95% 的觀察值落在離平均數個標準差內 ; (3) 約 99.7% 的觀察值落在離平均數 3 個標準差內 ; (4) 約 0. 的觀察值落在離平均 ( 4 ) 個標準差內範例. 經驗法則已知企管系 0 名學生, 統計學的分數呈常態的鐘形分配, 其平均分數為 60 分, 變異數為 6; (a) 請估計至少有多少人分數落在 56 分到 64 分之間 (b) 請找出至少有 95 個學生在內的區間解 μ = 60, σ = 6 = 4 (a) z = = = P( 56 X 64) = 68% 6 6 至少有 68% 0 = 68 位同學 (b) 95 機率 = = 95% z = 0 { 60 z 6 X 60 + z 6} = { 5 X 68} 範圍為離群值 (outler) 離平均數太遠, 以致於被認為不屬於該群資料的數值離群值的判斷 ()z 分數法 () 盒鬚圖法若 z > 3, 則 x 可視為離群值若 Q x >.5 IQR 或 x Q3 >.5 IQR, 則 x 認定為懷疑離群值 ; 006 陳欣得統計學敘述統計學第 - 頁

23 若 Q x > 3 IQR 或 x Q3 > 3 IQR, 則 x 認定為確定離群值外圍內圍範例.3 離群值就下列資料 : 請判斷是否有離群資料解平均數 97.0 樣本標準差. max m 74 計算結果 : x = 97.0, s=., max =, m = 74 下界限值 = = 63.7, 上界限值 = = 30.3 沒有任何離群值範例.4 離群值解就下列資料 : (a) 請分別計算懷疑之離群值的上下界限值 ( 內圍值 ); (b) 請分別計算確定之離群值的上下界限值 ( 外圍值 ); (c) 請問本組資料有沒有確定之離群值或懷疑之離群值 006 陳欣得統計學敘述統計學第 -3 頁

24 Q= 5.0 mea = 3. Q= 6.5 meda = 6.5 Q3= 34.0 mode = 6 IQR= 9.0 MAX= 65.0 MIN=.0 (a) 懷疑離群值之上下限分別離 Q Q.5 個 IQR : Q +.5 IQR= = Q.5 IQR= =.5 3 (b) 確定離群值之上下限分別離 Q Q 3 個 IQR : Q +3 IQR= = 6 3 Q 3 IQR= 5 3 9= 3 (c) 本組資料有確定離群值陳欣得統計學敘述統計學第 -4 頁

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Microsoft Word - 基礎統計講義1.docx 第三章敘述統計量描述統計資料之特性的統計量數有二項 : 1. 集中趨勢量數 : 眾數 (Mode) 中位數(Media) 平均數(Mea). 離散趨勢量數 : 全距 (Rage) 標準差(tadard Deviatio) 變異數 (Variace) 變異係數(Coefficiet of Variatio) 四分位(Quartile) 四分位距 (Iter-quartile Rage) 十分位(decile)