Microsoft PowerPoint _Discrete Distribution (S5)
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1 生物統計學 5 Probability Distribution ( 機率分配 ) 陳光琦助理教授 (Kuang-Chi Chen) chichen6@mail.tcu.edu.tw,, Office: H
2 Definition 1. 變數 (Variable) 隨機變數 (Random Variable, r.v.) 任何能被測量或分類的特性稱為變數, 若變數可以是一群不同的數值且任一數值是由機會決定的, 則稱為隨機變數 隨機變數是將樣本點轉換成實數的可測量函數 (a measurable function of samples points into a real number) 對於任何 ω Ω, X(ω) = x R (Ω : 樣本空間, R : 實數 ) e.g., 1. X( 成功 ) = 1, X( 失敗 ) = 0; 2. X( 染病 ) = 1, X( 正常 ) = 0 ; 3. X = 三個小孩的家庭中男孩子的數目, 則 X({b, b, g}) = 2, X({b, g, g}) = 1
3 2 機率分布 (Probability Distribution) 分布函數 (Distribution Functions) 機率分布是應用機率理論去描述隨機變數的特性, 離散型機率分布會列出隨機變數所有可能結果及各個結果發生的機率 ; 連續型機率分布則顯示數值在特定範圍內的機率 通常以 P X 表示, 描述一個隨機變數 X 的所有可能之發生機率 e.g., 對於事件 { X B}, P X (B) = P(ω: X(ω) B ) = P(X B)
4 機率分布 離散型機率分布 : 列出隨機變數所有可能結果及各個結果發生的機率 e.g., Ω X = {0, 1}; Ω X = {0, 1, 2,, n}; Ω X = {0, 1, 2, } 一個試驗的成功或失敗 輻射屋居民罹患某病的個數 連續型機率分布則顯示數值在特定範圍內的機率 e.g., Ω X = [0, ); Ω X = (-, ) 資工系學生的身高 某大學 50 歲以上的老師的血壓 若隨機變數表示大量的數值, 機率分布可能不是描述資料的好方法, 但, 如同分組資料的頻率分布, 我們可以使用集中趨勢與分散趨勢來描述機率分布 依據有限資料 (a finite amount of data) 計算的機率稱為經驗機率 (empirical probabilities); 而基於理論考量的稱為理論機率分布 (theoretical probability distributions)
5 離散變數之機率函數 期望值 變異數與累積分配函數 (1) 機率函數 (probability mass function): 隨機變數 X = x, 其機率值為 P X ({x}) = P(X = x),for all x e.g. Table 7.1 (p.163) 美國幼兒出生胎數之變數 X 機率分布 x Total P(X = x) (2) 期望值 (expected value, population mean): E(X) =μ X = k i= 1 x PX ( = x) i 期望值的性質 : (a) E(X + c) = E(X) + c, for a constant value c. (b) E(cX) = c E(X), for a constant value c. (c) E(X + Y) = E(X) + E(Y), for a random variable Y. i
6 Figure 7.1 is a histogram of the probability distribution shown in Table 7.1
7 (3) 變異數 (variance, population variance): 2 Var(X) =σ X2 = ( x μ ) PX ( = x) = E(X 2 ) μ 2 X i= 1 σ X = [Var(X)]. 5 ( 標準差, standard deviation of X) 變異數的性質 : (*) Var(c) = 0, for a constant value c, (a) Var(X + c) = Var(X), for a constant value c, (b) Var(cX) = c 2 Var(X), for a constant value c, (c) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y), for a random variable Y. (4) 累積分配函數 (cumulative distribution function): F X (x) = P(X x) = k i X i {: ix x} i PX ( = x) (non-decreasing, F(- ) = 0, and F( ) = 1) i
8 一 離散型機率分布 (Discrete Probability Distributions) 1. 伯魯立分布 (Bernoulli( Distribution, B(1, p)) 一事件可能發生的結果只有兩種, 二元的 (binary, dichotomous), 通常用 0 1 表示, 稱之為伯魯立試驗 (a Bernoulli trial) 具這種型式的隨機變數稱為伯魯立隨機變數 e.g., 試驗結果 - 失敗 成功 ; 性別 - 女 男 ; 健康狀態 - 沒病 有病 ; 存活狀態 - 死亡 存活 ; 吸煙狀態 - 無 有 ; 事件狀態 - 不發生 發生 若事件的發生記為 1, 機率為 p; 不發生記為 0, 機率為 1 p P(X = 1) = p 發生 ; P(X = 0) = 1 p 不發生 P(X = x) ) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1 ( 伯魯立分布 )
9 伯魯立分布的期望值 p 與變異數 p(1 p) - 伯魯立分布 (Bernoulli Distribution, B(1, p)) P(X = x) ) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1 E(X) ) =μ= X = k i= 1 xp( X = x) i = 0 P(X = 0) + 1 P(X = 1) = p i Var(X) ) =σ= 2 X = k 2 ( xi μ X) PX ( = xi) i= 1 = E(X 2 ) μ 2 X = (0 p) 2 P(X = 0) + (1 p) 2 P(X = 1) = p(1 p)
10 2. 二項分布 (Binomial Distribution, B(n, p)) n 個伯魯立隨機變數的加總所形成之分布 e.g., 隨機選出兩位懷孕婦女, 她們的小孩的性別分布 假設 X 1 = 第一個媽媽生的小孩的性別 X 2 = 第二個媽媽生的小孩的性別 小孩的性別是男孩記為 1, 女孩記為 0, 故 X i = 0( 女 ),1( 男 ); 而生男孩的機率為 p, 生女孩的機率為 1 p 則 X 1 ~ B(1, p), X 2 ~ B(1, p) (X 1, X 2 兩隨機變數是獨立 )
11 令 Y = X 1 + X 2, 這裡 Y 表示 2 個小孩中, 男孩的數目 X 1 X 2 Y 機率 (1 p) (1 p) p p (1 p) p 2 整理成只有 Y 之分布 P(Y = 0) = (1 p) 2 P(Y = 1) = 2 (1 p) p P(Y = 2) = p 2 2 y Y 機率 0 (1 p) (1 p) p 2 p 2 兩個都是女孩 恰好一個女孩, 一個男孩 兩個都是男孩 y 2 y P(Y = y) = p (1 p), y = 0, 1, 2
12 e.g., 三個小孩的家庭, 小孩的性別分布 假設 X 1, X 2, X 3 分別代表老大 老二 老三的性別 X 1 ~ B(1, p), X 2 ~ B(1, p), X 3 ~ B(1, p) ( 已知三者獨立 ) 令 Y = X 1 + X 2 + X 3,X i 的定義同上, 故 Y 為家庭中的男孩數 X 1 X 2 X 3 Y 機率 (1 p) (1 p) 2 p (1 p) p(1 p) (1 p) p p (1 p) p (1 p) p p 2 (1 p) p 3
13 整理成只有 Y 之分布 Y 機率 0 (1 p) (1 p) 2 p 2 3 (1 p) p 2 3 p 3 P(Y = 0) = (1 p) 3 P(Y = 1) = 3 (1 p) 2 p P(Y = 2) = 3 (1 p) p 2 P(Y = 3) = p 3 三個都是女孩 恰好二個女孩, 一個男孩 恰好一個女孩, 二個男孩 三個都是男孩 3 y 3 y P(Y = y) = p (1 p), y = 0, 1, 2, 3 y
14 二項分布的假設 二項分布是 n 個伯魯立隨機變數的加總所形成之分布 令 Y = X 1 + X X n (Y 代表 n 個 X i 中, 會等於 1 的個數 ) n P(Y = y) ) = p y (1 p) n y, y = 0, 1, 2,, n ( 二項分布 ) y 二項分布的數個假設 : 1. 試驗次數 n 是固定 2. n 次試驗結果是獨立的獨立的 3. 每次試驗結果必為二互斥結果之一二互斥結果之一 4. 每次試驗的成功機率皆為 p # 伯魯立分布是二項分布在 n = 1 的特例 (special case); 二項分布則是 n 個獨立伯魯立試驗的加總
15 二項分布的期望值 np 與變異數 npq 二項分布的機率函數 n y P(Y = y) ) = p y (1 p) n y, y = 0, 1, 2,, n ( 二項分布 ) 二項分布的期望值 n x n x E(X) ) = = x p q = x= 0 n x P( X = x) x= 0 x n x = n p q = x= 1 n 1 n 1 x 1 n 1 y n p q y n 1 n 1 = (let y = x 1) = y= 0 y ( n 1) y = np p q = np y= 0 y n + 1 n y 1 n x= 1 n x n 1 n x 1 n x= 1 x n x p q n x x n 1 y= 0 x n x p q n 1 np y p q y ( n 1) y
16 二項分布的變異數 n 2 Var(X) ) = ( x μ ) PX ( = x) = npq ( n/4 ) x= 0 X Note: : 由二項分布的變異數可知, 當 p 等於 0.5 時,npq, 的值是最大的 ( 大約一半的值是 0,, 一半的值是 1,, 則要預測特定的結果很困難 ); 若 p 接近 0 或 1 時, 則變異數降低 ( 大部分的結果都是一樣的, 結果間的變異當然小 ) e.g. Bin(10, p), x = 抽菸的人數 (p. 156, 157) 圖 7.2 (p = 0.29 < 0.5, 右偏 ), np = 2.9, npq = 圖 7.3 (p = 0.71 > 0.5, 左偏 ), np = 7.1, npq = 圖 7.4 (p = 0.5, 對稱 ), np = 5.0, npq = 2.5 # 當 n 20 時, 可由查表獲得二項分佈機率 ; 當 n>20 時, 可應用大樣本原理, 以逼近方式獲得近似值
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18 二項分布的圖形變化 Bin(6, p), x = 抽菸的人數
19 二項分布的圖形變化 Bin(100, p), x = 抽菸的人數
20 二項分布的圖形變化 Bin(n, 0.4), x = 抽菸的人數
21 The diagram is the graph of binomial distribution B(n, 0.5) for n = 20, 40, 60, 80, 100. We can see the approximation for the normal distribution.
22 二項分布的一些性質 1. n 0 n 0 1 n 1 x= 0 n n PX ( = x) = p(1 p) + p(1 p) n n... + p (1 p) + p (1 p) n 1 n n = [ p+ (1 p)] = 1 n 1 1 n 0 2. 二項分布的遞迴法則 (Recursion Rule) ( n x) p P( X = x+ 1) = P( X = x) x+ 1 1 p 3. P(X = x) = P(Y = n x), where X ~ Bin(n, p), Y ~ Bin(n, q)
23 # 二項分布的機率值可以查表得知, 表 A.1(p ) 選定 n p 值及 y 值, 然後由表 A.1 得知 P(Y = y) 的機率值 e.g., n = 3, p = 0.3, y = 1 n P(Y = 1) = p y (1 p n y ) = (0.3) (1 0.3) = y 1 # 當 p 值大於 0.5, 查表 A.1 須做轉換, 查 n (1 p) 及 (n y) 值 令 Y 1 = n Y, q = 1 p, 則 Y 1 ~ B(n, q) = B(n, 1 p) P(Y 1 = y 1 ) n y1 n y n 1 n y y = q (1 q) = q (1 q), ( y1 = n y代入 ) y1 n y n n y n y n = p (1 p) = P( Y = y), Q = y1 n y y1 故,P(Y = y) = P(Y 1 = n y), 此處 Y 1 ~ B(n, q)
24 Table A.1 Binomial Distribution
25 e.g., 前例, 兩個懷孕婦女的小孩性別皆為男孩, 則 P(B 1 B 2 ) = P(B 1 ) P(B 2 ) = (0.554)(0.554) = n = 2, p = 0.554, y = 2 P(Y = 2) = n 2 p y (1 p n y ) = (0.554) ( ) y 2 2 (0.446) 0 ( ) 2 0 = (0.554) 2 = ( 查 n = 2, p = 0.45) 三個小孩的家庭恰好兩個女孩一個男孩, n = 3, p = 0.55, y = 1 則 q = 1 p = 0.45, n y = 3 1 = 2 P(Y = 1) n 3 p y (1 p n y = ) = (0.55) (1 0.55) y n 3 = q = = n y 2 n y y (1 q) (0.45) (1 0.45)
26 3. 卜瓦松分布 (Poisson Distribution, Poisson(λ)) 假設隨機變數 X 表示每年罹患子宮頸癌的人數, 根據報告得知 1983~1984 年間, 每 1,000,000 位婦女中有 83 位子宮頸癌病例, 則子宮頸癌的盛行率為 這是一種二分法的結果 ( 生病與不生病 ), 就像二項分布, 但此處 n 是指全美國的女性人口, 所以非常大 當 n 很大時, 計算 n 個中取 x 個的所有組合數, n, 及 (1 p) n k 變得很複雜, 因此在這種情況下, x (n 很大,p 很小 ) 二項分布會形成另一常用的分布, 卜瓦松分布, 為二項分布的極限分布 卜瓦松分布描述某段時間內罕見事件或罕見疾病發生的事件
27 e.g., 人口中罹患結核病的人數 人體中細胞發生突變的數目 某段時間人口中汽車事故次數 一時間內超商走進客人的數目 染色體受藥物刺激產生斷裂的數目 細菌發生突變的數目 令隨機變數 X 表示在一時間內某事件發生的次數, 為零至無限大的任一正整數, 參數 λ 為時間內此事件發生的平均次數, 則 x e λ λ P(X = x) ) =, x = 0, 1, 2, 3, ( 卜瓦松分布 ) x! 卜瓦松分布的特性 : 1. 任一區間內, 單一事件發生的機率與區間長度成正比 2. 在一極小區間內, 事件發生一次以上的機率為零 3. 理論上, 單一區間內發生的次數可以為無限大 4. 在同一區間或不重疊的鄰近區間, 事件的發生是獨立的 # 卜瓦松是二項分布在 n 大 p 小的極限分布, 用於 sparse data
28 卜瓦松分布的期望值為 λ, 變異數為 λ # 卜瓦松分布的期望值與變異數相等, 皆為 λ(= np), 故變異數會隨著期望值變動, 期望值越大, 則變異數越大, 其離散程度亦越大 卜瓦松分布的曲線形狀隨 λ 變化, 當 λ= np 大於 5 時, 分布曲線接近對稱, 趨近常態分布 E(X) ) = Var(X) ) = x ( x 1) λ λ λ λ x P( X = x) = x e = λ e = λ x! ( x 1)! x= 0 x= 0 x= 0 n 2 ( x μx ) P( X = x) = λ = EX ( ) x= 0 # 卜瓦松分布的遞迴法則 (recursion rule) λ P( X = x+ 1) = P( X = x) x + 1
29 e.g., 欲知每一萬人口中, 發生機車事故的人數為 0 人 1 人 2 人 至少 3 人 大於 6 人的機率 已知機車事故的盛行率 , 故發生機車事故的平均人數 λ= np = (10,000)( ) = 2.4 P(X = x) = e -λ λ x / x! = e -2.4 (2.4) x / x! 故 x = 0,P(X = 0) = e -2.4 (2.4) 0 / 0! = e -2.4 = 即每一萬人口中, 沒有機車事故發生的機率為 ; 同樣,x = 1,P(X = 1) = e -2.4 (2.4) 1 / 1! = e -2.4 (2.4) = 即每一萬人口中, 發生機車事故人數為 1 人的機率為 x = 2,P(X = 2) = e -2.4 (2.4) 2 / 2! = e -2.4 (2.4) 2 / 2 = 即每一萬人口中, 發生機車事故人數為 2 人的機率為
30 至少 3 人,i.e., X 3 P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + = 1 [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] = 大於 6 人,X > 6,i.e., X 7 P(X 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + = 1 [P(X = 0) + P(X = 1) + + P(X = 6)] = 1 P(X 6) = 1 ( ) = 0.012
31 卜瓦松分布的機率值 卜瓦松分布的機率值亦可以查表得知, 見表 A.2 (p ) k = 1, λ= 2.4 表 A.2,k = 1,λ= 2.0 p = ; k = 1,λ= 2.5 p = 故 k = 1, λ= 2.4( 內插法 ) ( exact probability = ) p = ( )[( )/( )] = k = 2, λ= 2.4 表 A.2,k = 2,λ= 2.0 p = ; k = 2,λ= 2.5 p = 故 k = 2, λ= 2.4 ( exact probability = ) p = ( )[( )/( )] = 圖 7.5, 7.6,λ 值小, 分布呈偏斜, 隨著 λ 增加, 分布會變得較對稱
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33 Table A.2 Poisson Distribution Table shows cumulative probability functions of Poisson Distribution with various α. Example: to find the probability P(X 3) where X has a Poisson Distribution with α = 2, look in row 4 and column 4 to find P(X 3) = where X is Poisson(2).
34 Cumulative probability functions of Poisson Distribution. Table A.2 Poisson Distribution ( 續 )
35 Cumulative probability functions of Poisson Distribution. Table A.2 Poisson Distribution ( 續 )
36 Table shows p(k, a) = P(X = k) and F(k, a) = P(X k). Table A.2 Poisson Distribution
37 Table shows p(k, a) = P(X = k) and F(k, a) = P(X k). Table A.2 Poisson Distribution ( 續 )
38 e.g., 欲知每十萬人口中, 罹患子宮頸癌的人數為 1 2 人的機率 已知子宮頸癌的盛行率 , 罹患子宮頸癌平均人數 λ= np = (100,000)( ) = 8.3 P(X = x) = e -λ λ x / x! = e -8.3 (8.3) x / x! x = 1,P(X = 1) = e -8.3 (8.3) 1 / 1! = e -8.3 (8.3) = 即每十萬人口中,1 人罹患子宮頸癌的機率為 ; x = 2,P(X = 2) = e -8.3 (8.3) 2 / 2! = e -8.3 (8.3) 2 / 2 = 即每十萬人口中,2 人罹患子宮頸癌的機率為 ; 若查表 A.2(p ),k = 1, λ= 8.3 k = 1,λ= 8.0 p = ;k = 1,λ= 8.5 p = , 故 p = ( )[( )/( )] =
39 k = 2, λ= 8.3 k = 2,λ= 8.0 p = ;k = 2,λ= 8.5 p = , 故 p = ( )[( )/( )] = 負二項分布 (Negative( Binomial Distribution, NB(k, p), also known as the Pascal distribution or Pólya distribution) 設隨機變數 X 表示二項分布中, 達到第 k 次發生即結束之事件, x 1 k x k P( X x k, p) = p (1 p), x= k, k+ 1,... ( 負二項分佈 ) k 1
40 5. 幾何分布 (Geometric( Distribution, Geometric(p)) 隨機變數 X 表示二項分布中, 達到第 1 次發生即結束之事件, 常用於存活時間或使用期限的問題 e.g., 若燈泡在一天會燒壞的機率 0.001, 則至少持續 30 天的機率 P(X > 30) = x= 31 x 1 =.001(1.001) = (.999) 30 = (0.999) P(X = x p) ) = p (1 p) x 1, x = 1, 2, ( 幾何分布 ) 30
41 6. 超幾何分布 (Hypergeometric Distribution) N 個球中有個 M 白球 (N M) 個紅球, 以取出不放回 (without replacement) 的方式取出 K 個球, 其中有 x 個球是白球 (K x) 個是紅球的機會 M N M N PX ( = xnmk,, ) =, x 0,1,..., K x = K x K
42 6. 超幾何分布 (Hypergeometric Distribution) Let x and y be independent binomial random variables characterized by parameters n, p and m, p. The conditional probability of x given that x + y = k is Note that this is a hypergeometric distribution.
43 離散型隨機變數總整理
44 二 離散型隨機變數 (Discrete Variables) 1. 機率重量函數 (Probability( Mass Function, pmf) 離散型隨機變數 X 的點機率 (point probabilities) f X (x) = P(X = x), for all x = 0, 1, 2, e.g., 伯魯立分布 二項分布 多項分布 卜瓦松分布 負二項分布 幾何分布 超幾何分布 離散型均值分布 (i) 累積分配函數 (Cumulative Distribution Function, cdf) F X (x) = P(X x) = P(X = 0) + P(X = 1) + + P(X = x) (ii) P(a X b) = P(X = a) + P(X = a +1) + + P(X = b) = P(X b) P(X a 1)
45 (iii) 累積分配函數的性質 (a) lim x - F X (x) = 0,lim x + F X (x) = 1 (b) F X (x) 是一個非遞減函數 (non-decreasing function) (c) F X (x) 是右連續 (right-continuous), i.e., lim x b F X (x) = F X (b)
46 2. 期望值 (Expected Value) 及變異數 (Variance) (i) 期望值就是群體加權平均數 (population mean) E(X) =μ X = n i= 1 x P( X = x ) i ( 加權算數平均, weighted arithmetic mean) i n (ii) 變異數 Var(X) = σ 2 2 X = ( x ) ( ) = E(X 2 ) μ 2 i μ X PX= xi X i= 1 變數 X 與其期望值的差的平方的期望值 (i.e., 群體變異數 ) (iii) 期望值的性質 ( 同 樣本平均數 的性質 ) (a) E(c) = c, 對一個常數 c. (b) 若 Y = X + c, 則 E(Y) = E(X + c) = E(X) + c. ( y = x + c) (c) 若 Y = cx, 則 E(Y) = E(cX) = ce(x). ( y = cx) (d) E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ).
47 (iv) 變異數的性質 ( 同 樣本變異數 的性質 ) (a) Var(c) = 0, 對一個常數 c. 2 2 (b) Var(X + c) = Var(X), i.e., ( sy = sx ) (c) Var(cX) = c Var(X), i.e., ( sy = csx) (d) Var(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ), 若 X 1 與 X 2 是相互獨立的 (v) 離散型分布的期望值與變異數 (a) 伯魯立分布的期望值為 p, 變異數為 pq (b) 二項分布的期望值為 np, 變異數為 npq (c) 卜瓦松分布的期望值與變異數相等, 皆為 λ(= np = npq), 故變異數會隨著期望值變動, 期望值越大, 則變異數越大, 離散程度亦越大 卜瓦松分布的曲線形狀隨 λ 變化, 當 np 及 npq 大於 5 (or 10) 時, 分布曲線接近對稱, 趨近常態分布
48 Appendix : 二項分配, 卜瓦松分配與常態分配 (i) 二項分配的 mean = np,variance = npq 當 n 很大 p 很小時, 則 q = 1 p 接近 1, 故此時 npq np, 這也就是為什麼卜瓦松分配的 mean = variance =λ= np e.g., n = 1000, p = 0.01 二項分配 large n, small p 卜瓦松分配 (ii) 二項分配的 pmf 與卜瓦松分配的 pmf λ= np 5 常態分配 二項分布 s pmf large n, small p 卜瓦松分布 s pmf (iii) 二項分配逼近常態分配當 p 接近 0.5 時, 其分布會接近對稱, 故當 n 普通大時, 二項分配會近似常態分布 N(np, npq)( 以圖為證.).e.g., n = 25, p = 0.4
49 作業五 1. Exercise 7.8 (b), (c), (d) (p. 191) 2. Exercise 7.10 (a), (b), (c) (p. 192) 3. Exercise 7.16 (a), (b), (c) (p. 193)
50 n 階乘 (n factorial) (i) n!,n 階乘 (n factorial), 計算 n 個人排列的所有可能方式的數目 第一個位置有 n 種可能, 第二個位置有 (n 1) 種, 依此類推, 故 n! = n(n 1) (n 2) (3)(2)(1) ( 根據定義 0! = 1) (ii) n n!, 為 n 個中取 y 個的所有組合 (combination) = 數, 但不考慮排列的次序 y y!( n- y)! 注意 : n n! = n y ( n y)!( n ( n y))! n! n = = ( n y)! y! y
51 e.g., 三個小孩的家庭, 三個都是女孩的組合方式有 3 3! 3! = = 0 0!(3 0)! 1 3! = 1 種 (g, g, g) 恰好二個女孩, 一個男孩的組合方式有 3 3! 3! = = = 1 1!(3 1)! (1)(2!) 2 1 = 3 種 (g, g, b), (g, b, g), (b, g, g) # 二項分布的機率值可以查表得知, 表 A.1(p ) 選定 n p 值及 y 值, 然後由表 A.1 得知 P(Y = y) 的機率值 e.g., n = 3, p = 0.3, y = 1 n y 3 1 P(Y = 1) = p y (1 p) n y = (0.3) 1 (1 0.3) 3 1 =
52 The Binomial Distribution In many cases, it is appropriate to summarize a group of independent observations by the number of observations in the group that represent one of two outcomes. For example, the proportion of individuals in a random sample who support one of two political candidates fits this description. In this case, the statistic is the count X of voters who support the candidate divided by the total number of individuals in the group n. This provides an estimate of the parameter p, the proportion of individuals who support the candidate in the entire population.
53 The Binomial Distribution The binomial distribution describes the behavior of a count variable X if the following conditions apply: 1: The number of observations n is fixed. 2: Each observation is independent. 3: Each observation represents one of two outcomes ("success" or "failure"). 4: The probability of "success" p is the same for each outcome. If these conditions are met, then X has a binomial distribution with parameters n and p, abbreviated B(n, p).
54 Factorial, permutation, combination (i) n! = n factorial is defined as n! = n(n 1) (n 2) (3)(2)(1) (0! = 1) (ii) The number of permutations of n things taken k at a time is n P k = n(n 1) (n 2) (n k + 1) = n! / (n k)! (iii) The number of combinations of n things taken k at a time is n C k = n = k n! k!( n- k)! Note : For any nonnegative integers n, k, where n k, n n = k n k
Stochastic Processes (XI) Hanjun Zhang School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University 508 YiFu Lou talk 06/
Stochastic Processes (XI) Hanjun Zhang School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University hjzhang001@gmail.com 508 YiFu Lou talk 06/04/2010 - Page 1 Outline 508 YiFu Lou talk 06/04/2010
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十 一 機 率 (Probability).... 分 立 變 值 (discrete variate) 及 連 續 變 值 (continuous variate)..... 連 續 變 質 (Continuous variate)/ 連 續 變 數 (Continuous variable)..... 分 立 變 值 (Discrete variate)/ 間 斷 變 數 (Discrete variable)....
3.1 ( ) (Expectation) (Conditional Mean) (Median) Previous Next
3-1: 3.1 ( )........... 2 3.1.1 (Expectation)........ 2 3.1.2............. 12 3.1.3 (Conditional Mean)..... 17 3.1.4 (Median)............ 22 Previous Next First Last Back Forward 1 1.. 2. ( ): ( ), 3.
統計課程目錄95
統 計 課 程 10.0.1 起 統 計 學 上 課 講 義 : 上 課 內 容 老 師 自 訂 講 義 參 考 書 籍 : 統 計 學 3 版 劉 明 德 著 全 華 出 版 實 用 統 計 學 ( 第 二 版 ) 東 華 書 局 林 真 真 著 上 課 內 容 : 基 本 統 計 理 論 概 念, 由 老 師 授 課 學 生 需 配 合 練 習 成 績 計 算 : 平 時 ( 含 出 席 尚 可
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TFT-LCD Mura & Y.H. Tseng 2006.12.4 Outline Mura Mura Mura 類 度 Mura Mura JND Mura Convolution filter (Filter design) Statistical method (ANOVA,EWMA) Backgroup estimation (LSD) 2 What is Mura- Mura Mura
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What is a Probability Distribution( 機率分配 )? Probability Distributions McGraw-Hill/Irwin Chapter 6 The McGraw-Hill Companies, Inc. 008 Experiment: Toss a coin three times. Observe the number of heads. The
Random Variables
Random Variables W. M. Song 桑慧敏 Tsing Hua Univ. 清華大學 205.09.23 W. M. Song 桑慧敏 Tsing Hua Univ. 清華大學 Random Variables 205.09.23 / 6 Song 歌詞 2 樣本點, 實數值, 隨機變數結連理 3 cdf, pdf, 身份證件辨唯一 4 期望值, 變異數, 又名一二階動差 5 馬可夫,
2 R A B,, : A B,,.,,,.,,., (random variable),, X Y Z..,., ( 1.1),. 1.1 A B A B A, B ; A B A = B A B A B A B (intersection) A B A B (union) A B A B = A
,?,,,,,.,,. 1.1. 1.1.1. (random phenomenon),., (random experiment), trial(,, experiment trials).,, (sample space), Ω ;, (sample point), ω,, ω 1, ω 2,, ω n., (random event, ), (subset).., Ω, (sure event);,
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4302 動態光散射儀 (Dynamic Light Scattering) 代工實例與結果解析 生醫暨非破壞性分析團隊 2016.10 updated Which Size to Measure? Diameter Many techniques make the useful and convenient assumption that every particle is a sphere. The
➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 : Stochastic Processes? (Ω, F, P), I t I, X t (Ω, F, P), X = {X t, t I}, X t (ω)
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4 第四章抽樣與抽樣分配 006 年 8 月 9 日最後修改 4. 抽樣與抽樣方法 4. 抽樣分配概論 4. 常見的抽樣分配 4.4 中央極限定理 4. 抽樣與抽樣方法 母體 (populatio): 我們有興趣的研究對象, 一般是由許多個體或所組成的集合 樣本 (sample): 母體的部分集合 我們有興趣的是母體, 但是實際測量 研究的是樣本 我們希望經由樣本提供的資訊來推測母體的狀況 ( 推論統計
基礎統計
統計學 ( 一 ) 第四章離散型機率分佈 (Discrete Probability Distributions) 授課教師 : 唐麗英教授 國立交通大學工業工程與管理學系聯絡電話 :(03)5731896 e-mail:litong@cc.nctu.edu.tw 2013 本講義未經同意請勿自行翻印 本課程內容參考書目 教科書 P. Newbold, W. L. Carlson and B. Thorne(2013).
When the rejection rule for a test at every level α can be re-written as then xxx is the p-value of the test. xxx < α, If p-value < α, then the test c
Hypothesis Testing - review The null hypothesis (H 0 ) and the alternative hypothesis (H 1 ) Type I error: rejecting H 0 when H 0 is true Type II error: failing to reject H 0 when H 1 is true (H 0 is false)
index English to Chinese
probability A absolutely continuous random variables analytic theory of probability antithetic variables Archimedes Ars Conjectandi associative law for events axioms of probability axioms of surprise 绝
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.. 1. 2. ) () () Pilot test () 1. 2. 3. 4. Scale (1). (nominal scale) 1. 2. 3. (1,2,3) (scale value) (arithmetic mean) (median) (mode) (chi-square test) (2). (ordinal scale) 5 1 A>B>C>D>E A B C D (non-parametric
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機率 台大電機系葉丙成 微博 : weibo.com/yehbo 臉書 : facebook.com/prof.yeh 部落格 : pcyeh.blog.ntu.edu.tw 本週主題概述 8-: 聯合機率分佈 8-2: 邊際機率分佈 8-3: 雙變數期望值 2 8-: 聯合機率分佈 (JOINT PROBABILITY DISTRIBUTION) 第八週 3 當小明出國去交換時 X: 小美臉書 /QQ
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第三章機率分配 6 年 月 日最後修改. 機率分配概論. 離散隨機變數之機率分配. 連續隨機變數之機率分配.4 機率表.5 計算隨機變數的期望值與變異數.6 動差與動差母函數. 機率分配概論 機率分配 (robabiliy disribuio) 機率分配是隨機變數的機率函數 機率分配是一個函數, 其定義域是實數值, 值域是機率 ([, ]) 機率分配可以想像為相對次數分配表, 只是這裡分組是隨機變數的值
2004.6 2004.8,..,. I know of scarcely anything so apt to impress the imagination as the wonderful form of cosmic order expressed by the normal curve. The law would have been personified by the Greeks and
ii
i 概 率 统 计 讲 义 原 著 : 何 书 元 课 件 制 作 : 李 东 风 2015 年 秋 季 学 期 ii 目 录 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 3 1.1 试 验 与 事 件............................ 3 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型....................... 7 1.2.1 古 典 概 型.........................
Introduction to Hamilton-Jacobi Equations and Periodic Homogenization
Introduction to Hamilton-Jacobi Equations and Periodic Yu-Yu Liu NCKU Math August 22, 2012 Yu-Yu Liu (NCKU Math) H-J equation and August 22, 2012 1 / 15 H-J equations H-J equations A Hamilton-Jacobi equation
第一章合成.ppt
plsun@mail.neu.edu.cn 1. 2. 3. 4. 5. 1. Mathematical Statistics R.V.Hogg ( 1979) 2. Statistics -The Conceptual Approach G. R. Iversen, ed ( - 2000) 3. Mathematical Statistics and Data Analysis J. A. Rice
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理 (Managerial Statistics) 立 007.0.7 理 數 率 007.0.7 理 3/4/000 - 料 量 流 007.0.7 理 3 - 索 007.0.7 理 4 3/4/000 -3 (Model) (Method) 理 (Story) 料 (Data) (Contribution) 論 (SMMDC) 007.0.7 理 5-3 類 數量 AHP Fuzzy / 量數量
M ( ) K F ( ) A M ( ) 1815 (probable error) F W ( ) J ( ) n! M ( ) T ( ) L ( ) T (171
1 [ ]H L E B ( ) statistics state G (150l--1576) G (1564 1642) 16 17 ( ) C B (1623 1662) P (1601--16S5) O W (1646 1716) (1654 1705) (1667--1748) (1687--H59) (1700 1782) J (1620 1674) W (1623 1687) E (1656
綜合社會保障援助指引
綜 合 社 會 保 障 援 助 指 引 ( 網 上 版 ) 社 會 福 利 署 ( 2016 年 2 月 ) 綜 合 社 會 保 障 援 助 指 引 目 錄 章 節 頁 碼 1. 前 言 1 2. 綜 合 社 會 保 障 援 助 計 劃 的 目 的 2 3. 申 請 資 格 3-6 4. 自 力 更 生 支 援 計 劃 7-8 5. 申 請 程 序 9-10 6. 通 知 申 請 結 果 及 發 放
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Co-integration and VECM Yi-Nung Yang CYCU, Taiwan May, 2012 不 列 1 Learning objectives Integrated variables Co-integration Vector Error correction model (VECM) Engle-Granger 2-step co-integration test Johansen
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Lecture 05. Probability Distributions A distribution is a mathematical function used to describe (model, modeling) a set of observed data. A random variable is a function defined on a set of events, and
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Decision analysis 量化決策分析方法專論 2011/5/26 1 Problem formulation- states of nature In the decision analysis, decision alternatives are referred to as chance events. The possible outcomes for a chance event
(^) 全 国 二 级 建 造 师 执 业 资 格 考 试 用 书 第 四 版 20300000 動!9X1111^ 鬚 鱗 1 瞧 : 霸 義 爾 瓢 零 賴! 醐 飾 應, 鲫 ^ 1^ 1^ 編 鬅 ; 乾 : 鐵 桌 \ 苗 福! 纖 丨 々 1^ ^ 8111181^11 公 路 工 程 管 理 与 实 努 圓 雜 : :: 爾 ;: : : : : : 圖 纖 X \ ;\ 龈 ~ 襄
「香港中學文言文課程的設計與教學」單元設計範本
1. 2. 3. (1) (6) ( 21-52 ) (7) (12) (13) (16) (17) (20) (21) (24) (25) (31) (32) (58) 1 2 2007-2018 7 () 3 (1070) (1019-1086) 4 () () () () 5 () () 6 21 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ( ) 7 1. 2.
SB All Chinese_ITMU
SB240 ( 問 題 編 號 :2380) (000) 運 作 開 支 據 綱 領 指, 消 防 處 由 2015 年 3 月 31 日 預 算 設 有 的 10 245 個 非 首 長 級 職 位, 增 至 2016 年 3 月 31 日 的 10 390 個, 增 幅 為 145 個, 相 關 新 聘 請 的 職 位 類 別 及 工 作 性 質 為 何? 同 時, 現 有 消 防 處 設 有
全唐诗28
... 1... 1... 1... 2... 2... 2... 3... 3... 4... 4... 4... 5... 5... 5... 5... 6... 6... 6... 6... 7... 7... 7... 7... 8... 8 I II... 8... 9... 9... 9...10...10...10...11...11...11...11...12...12...12...13...13...13...14...14...14...15...15...15...16...16...16...17...17
EC(2003-04)18 第 2 頁 (c) 刪 除 以 下 常 額 職 位 2 個 顧 問 醫 生 職 位 第 4 / 第 3 / 第 2 點 ) ( 145,150 元 至 149,600 元 /127,900 元 至 135,550 元 /113,520 元 至 120,553 元 ) (
EC(2003-04)18 財 務 委 員 會 人 事 編 制 小 組 委 員 會 討 論 文 件 2004 年 2 月 11 日 總 目 37 生 署 分 目 000 運 作 開 支 請 各 委 員 向 財 務 委 員 會 提 出 下 述 建 議, 以 便 在 生 署 設 立 生 防 護 中 心 (a) 由 2004 年 4 月 1 日 起 開 設 以 下 新 職 系 和 職 級 生 防 護 中
:
: : 4.1....................... 1 4.1.1............... 1 4.2........... 10 4.2.1............... 10 4.2.2..... 14 4.2.3................ 18 4.2.4................ 24 4.3...................... 26 4.3.1..............
( ) ( ) ( NSC M )
( ) ( ) ( NSC 84-2121-M004-009) 2 ( 1) Minitab SPlus ( 1): 3 1.1 1.2 4 2 (1980) ( 1952 ) (Significant difference (Two sample) (Change-point problem (1980) ( t-test) (Chi-square test) 5 ( 2 P187 2.1 2.1.1
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13. Linear Regression and Correlation 數 1 Outline Data: two continuous measurements on each subject Goal: study the relationship between the two variables PART I : correlation analysis Study the relationship
(baking powder) 1 ( ) ( ) 1 10g g (two level design, D-optimal) 32 1/2 fraction Two Level Fractional Factorial Design D-Optimal D
( ) 4 1 1 1 145 1 110 1 (baking powder) 1 ( ) ( ) 1 10g 1 1 2.5g 1 1 1 1 60 10 (two level design, D-optimal) 32 1/2 fraction Two Level Fractional Factorial Design D-Optimal Design 1. 60 120 2. 3. 40 10
Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.25 No.4 Aug (,, ;,, ) (,, ) 应用概率统计 版权所有, Zhang (2002). λ q(t)
2009 8 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.25 No.4 Aug. 2009,, 541004;,, 100124),, 100190), Zhang 2002). λ qt), Kolmogorov-Smirov, Berk and Jones 1979). λ qt).,,, λ qt),. λ qt) 1,.
項 訴 求 在 考 慮 到 整 體 的 財 政 承 擔 以 及 資 源 分 配 的 公 平 性 下, 政 府 採 取 了 較 簡 單 直 接 的 一 次 性 減 稅 和 增 加 免 稅 額 方 式, 以 回 應 中 產 家 庭 的 不 同 訴 求 ( 三 ) 取 消 外 傭 徵 費 6. 行 政 長
2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案 ( 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 ) 進 度 報 告 在 2013 年 1 月 23 日 的 立 法 會 會 議 上, 由 葛 珮 帆 議 員 就 幫 助 中 產 動 議 的 議 案, 經 單 仲 偕 議 員 及 莫 乃 光 議 員 修 正 後 獲 得 通 過
(f) (g) (h) (ii) (iii) (a) (b) (c) (d) 208
(a) (b) (c) (d) (e) 207 (f) (g) (h) (ii) (iii) (a) (b) (c) (d) 208 17.29 17.29 13.16A(1) 13.18 (a) (b) 13.16A (b) 12 (a) 209 13.19 (a) 13.16A 12 13.18(1) 13.18(4) 155 17.43(1) (4) (b) 13.19 17.43 17.29
Microsoft Word - 08 单元一儿童文学理论
单 元 ( 一 ) 儿 童 文 学 理 论 内 容 提 要 : 本 单 元 共 分 成 三 个 小 课 目, 即 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 儿 童 文 学 创 作 和 儿 童 文 学 的 鉴 赏 与 阅 读 指 导 儿 童 文 学 的 基 本 理 论 内 容 包 括 儿 童 文 学 的 基 本 含 义 儿 童 文 学 读 者 儿 童 文 学 与 儿 童 年 龄 特 征 和 儿 童 文 学
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1993 79 2010 9 80 180,000 (a) (b) 81 20031,230 2009 10,610 43 2003 2009 1,200 1,000 924 1,061 800 717 600 530 440 400 333 200 123 0 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 500 2003 15,238 2009 31,4532003 2009
南華大學數位論文
南 華 大 學 哲 學 與 生 命 教 育 學 系 碩 士 論 文 呂 氏 春 秋 音 樂 思 想 研 究 研 究 生 : 何 貞 宜 指 導 教 授 : 陳 章 錫 博 士 中 華 民 國 一 百 零 一 年 六 月 六 日 誌 謝 論 文 得 以 完 成, 最 重 要 的, 是 要 感 謝 我 的 指 導 教 授 陳 章 錫 博 士, 老 師 總 是 不 辭 辛 勞 仔 細 閱 讀 我 的 拙
Microsoft Word - 3.3.1 - 一年級散文教案.doc
光 明 英 來 學 校 ( 中 國 文 學 之 旅 --- 散 文 小 說 教 學 ) 一 年 級 : 成 語 ( 主 題 : 勤 學 ) 節 數 : 六 教 節 ( 每 課 題 一 教 節 ) 課 題 : 守 株 待 兔 半 途 而 廢 愚 公 移 山 鐵 杵 磨 針 孟 母 三 遷 教 學 目 的 : 1. 透 過 活 動, 學 生 能 說 出 成 語 背 後 的 含 意 2. 學 生 能 指
第３２回独立行政法人評価委員会日本貿易保険部会 資料1-1 平成22年度財務諸表等
1 12,403 2,892 264,553 19,517 238,008 10,132 989 36 9,869 2,218 250 122 ( 126 108 1,563 278 159 260 478 35,563 1,073 74 190,283 104,352 140,658 20,349 16,733 21,607 (21,607) 58,689 303,699 339,262 339,262
第三章
第 三 章 :2017 年 行 政 長 官 產 生 辦 法 - 可 考 慮 的 議 題 行 政 長 官 的 憲 制 及 法 律 地 位 3.01 基 本 法 第 四 十 三 條 規 定 : 香 港 特 別 行 政 區 行 政 長 官 是 香 港 特 別 行 政 區 的 首 長, 代 表 香 港 特 別 行 政 區 香 港 特 別 行 政 區 行 政 長 官 依 照 本 法 的 規 定 對 中 央 人
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3 4 5 7 8 9..10..15..16..19..52 -3,402,247-699,783-1,611,620 1,790,627 : - - -7,493 - -1,687 2,863 1,176 2,863 - -148,617 - - 12,131 51,325 - -12,131-2,165 14-2,157 8-3,393,968-794,198-1,620,094 1,781,367
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ( ( 1 2 16 1608 100004 1 ( 2003 2002 6 30 12 31 7 2,768,544 3,140,926 8 29,054,561 40,313,774 9 11,815,996 10,566,353 11 10,007,641 9,052,657 12 4,344,697
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建 築 物 無 障 礙 設 施 設 計 規 範 內 政 部 97 年 4 年 10 日 台 內 營 字 第 0970802190 號 令 訂 定, 自 97 年 7 月 1 日 生 效 內 政 部 97 年 12 年 19 日 台 內 營 字 第 0970809360 號 令 修 正 內 政 部 101 年 11 年 16 日 台 內 營 字 第 1010810415 號 令 修 正 目 錄 第 一
概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招
I 概 述 随 着 中 国 高 等 教 育 数 量 扩 张 目 标 的 逐 步 实 现, 提 高 教 育 质 量 的 重 要 性 日 益 凸 显 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告, 是 高 等 学 校 建 立 健 全 就 业 状 况 反 馈 机 制 引 导 高 校 优 化 招 生 和 专 业 结 构 改 进 人 才 培 养 模 式 及 时 回 应 社 会 关 切 的 一 项
鱼类丰产养殖技术（二）.doc
...1...1...4...15...18...19...24...26...31...35...39...48...57...60...62...66...68...72 I ...73...88...91...92... 100... 104... 144... 146... 146... 147... 148... 148... 148... 149... 149... 150... 151...
1. 本文首段的主要作用是 A. 指出 異蛇 的藥用功效 說明 永之人爭奔走焉 的原因 B. 突出 異蛇 的毒性 為下文 幾死者數矣 作鋪墊 C. 交代以蛇賦稅的背景 引起下文蔣氏有關捕蛇的敘述 2. 本文首段從三方面突出蛇的 異 下列哪一項不屬其中之一 A. 顏色之異 B. 動作之異 C. 毒性之
1. 本文首段的主要作用是 A. 指出 異蛇 的藥用功效 說明 永之人爭奔走焉 的原因 B. 突出 異蛇 的毒性 為下文 幾死者數矣 作鋪墊 C. 交代以蛇賦稅的背景 引起下文蔣氏有關捕蛇的敘述 2. 本文首段從三方面突出蛇的 異 下列哪一項不屬其中之一 A. 顏色之異 B. 動作之異 C. 毒性之異 3. 太醫以王命聚之 中的 以 字與下列哪一項的 以 意思相同 A. 以齧人 B. 而吾以捕蛇獨存
疾病诊治实务（一）
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名人养生.doc
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嘉 義 地 區 客 家 禮 俗 研 究 第 一 章 前 言 嘉 義 地 區 的 客 家 族 群 約 略 可 分 為 福 佬 客 詔 安 客 與 北 部 客 等 三 種 類 別, 其 分 佈 區 域 以 海 線 地 區 平 原 地 形 沿 山 地 區 為 主 有 相 當 多 的 北 部 客 家 人, 是 二 次 大 戰 末 期 和 戰 後 初 期 才 移 民 嘉 義, 是 什 麼 因 素 令 許 多
05301930
國 立 中 正 大 學 法 學 系 碩 士 論 文 河 川 砂 石 法 規 範 之 探 討 - 以 採 取 土 石 及 挖 掘 河 川 認 定 基 準 為 主 指 導 教 授 : 盧 映 潔 博 士 研 究 生 : 王 瑞 德 中 華 民 國 一 百 零 一 年 五 月 目 錄 第 一 章 緒 論... 1 第 一 節 研 究 動 機... 1 第 二 節 研 究 目 的... 3 第 三 節 研
中老年保健必读（十）.doc
...1...2...3...4...5...6...8...9... 11 - -...13...15...17...18...20...22...23...25...26...28 I II...30...32...34...35...38...40...42...44...46...47...48...50...52...53 X...55...56...57...58...60...61...63...65
23 29 15.6% 23 29 26.2% 3 25 2 15 1 5 1,542 12,336 14,53 16,165 18,934 22,698 25,125 25 2 15 1 5 5,557 7,48 8,877 11, 13,732 17,283 22,485 23 24 25 26
4, 197823 2916.3%29 335, 23 29.5% 23 29 16.3% 14 35 33,535 14 135 13 125 1,292 1,3 1,38 1,314 1,321 1,328 1,335 3 25 2 15 1 5 1. 1.1 13,582 15,988 1.4 18,322 11.6 11.9 21,192 24,953 3,67 9. 8.7 12 1 8
海淀区、房山区（四）
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2005 10 1 1 1 2 2 3 5 4 6 2 7 3 11 4 1 13 2 13 3 14 4 14 5 15 6 16 7 16 8 17 9 18 10 18 2005 10 1 1. 1.1 2 1.2 / / 1.3 69(2) 70(2) 1.4 1.5 1.6 2005 10 1 2. 2.1 2.2 485 20(8) (a) (i) (ii) (iii) (iv) 571
北京理工大学.doc
( )...1...6...8...10...20...22...24...28...30...32...40 I ...53...55...61 ( )...62...71...74 ( )...77...81...84...86...88...89...91...92...96...99... 110...111... 112 II ... 113... 114... 115... 116...
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东城区（下）
...1...1...2...3...9...9... 12... 12... 17... 17... 18... 19... 20... 29... 31... 37... 41... 70... 73 I ... 74... 78... 78... 79... 80... 85... 86... 88... 90... 90... 90... 92... 93... 95... 95... 96...
果树高产栽培技术（一）.doc
( ) ...1...1...3...10... 11...12...15...17...18...19...20...22...23...24...26...27...28...30...31...32 I ...36...38...40...41...42...44...45...47...48...49...50...51...52...53...55...58...59...60...61...62...66...67
物质结构_二_.doc
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第一節 研究動機與目的
中 國 文 化 大 學 中 國 文 學 研 究 所 碩 士 論 文 華 嚴 一 真 法 界 思 想 研 究 指 導 教 授 : 王 俊 彥 研 究 生 : 許 瑞 菁 中 華 民 國 98 年 12 月 自 序 在 佛 教 經 典 中 最 初 接 觸 的 是 佛 說 無 量 壽 經, 此 經 乃 大 方 廣 佛 華 嚴 經 的 精 華 版 綱 要 版 為 了 瞭 解 經 義, 深 知 宇 宙 運
水力发电（九）
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中国古代文学家（八）.doc
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景观植物（一）
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Microsoft Word - 目录.doc
教 学 管 理 文 件 汇 编 目 录 教 育 法 规 和 指 导 性 文 件 1. 中 华 人 民 共 和 国 高 等 教 育 法 1 2. 中 华 人 民 共 和 国 教 师 法 8 3. 普 通 高 等 学 校 学 生 管 理 规 定 12 4. 高 等 学 校 学 生 行 为 准 则 18 5. 中 华 人 民 共 和 国 学 位 条 例 19 6. 高 等 学 校 教 学 管 理 要 点
园林植物卷（三）.doc
I II III IV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 84k 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
厨房小知识_一_
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中南财经大学（七）.doc
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赵飞燕外传、四美艳史演义
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厨房小知识（五）
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最新监察执法全书（十八）.doc
.............. I ..................................................... II .......................................... III ... 2003......... IV ,
园林植物卷（十二）.doc
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华东师范大学.doc
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國立中山大學學位論文典藏
I...1...1...4...4...6...6...13...24...29...44...44...45...46...47...48...50...50...56...60...64...68...73...73...85...92...99...105...113...121...127 ...127...131...135...142...145...148 II III IV 1 2
乳业竞争_一_
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最新执法工作手册（十）.doc
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最新执法工作手册（十六）
............................................. I ................................... II ........................... 2001......... III IV......................................... ........................
中国政法大学（六）.doc
...1...6...8 2004... 11...15 2003...16...20...29...32...34...38...39...42...43...44...48 I ...53...58...61...63...71...75...77...79...83...91...94...95...98... 100... 102... 102... 105... 106... 107...
胎儿健康成长.doc
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Microsoft Word - edu-re~1.doc
前 言 學 習, 可 以 為 個 創 造 未 來 ; 教 育, 能 夠 為 社 會 開 拓 明 對 個 而 言, 教 育 可 以 幫 助 每 個 發 展 潛 能 建 構 知 識 及 提 升 個 素 質 ; 它 賦 予 每 個 掌 握 前 途 和 開 拓 未 來 的 能 力 對 社 會 而 言, 教 育 不 單 可 以 培 育 才, 而 且 具 有 ㆒ 個 更 深 層 的 意 義, 它 給 予 社 會
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d y d = d 2 y d 2 = > 0 Figure45 :Price consumer curve not a Giffen good X & Y are substitutes From the demand curves. Figure46 Deman
Ch4. 個體經濟學一 M i c r o e c o n o m i c s (I) Comparative Statics and Demand EX: u(, y) = 2 + y, Ma,y 2 + y s. t. P + P y y = m FOC MRS y = P P y P + P y y = m MRS y = MU = 2 0.5 0.5 = P MU y 1 P y 1 0.5
Microsoft PowerPoint - Ch05
品質管理 - 現代化觀念與實務應用 Quality Management-Contemporary Concepts and Practical Applications 鄭春生 著 Chapter 5 應用於品質管制與改善之 統計方法 學習要點 透過本課程, 將可了解 : 1. 統計學之基本概念 2. 各種機率分配之理論和應用 3. 各種抽樣分配之理論和應用 4. 估計和假設檢定 5. 統計軟體之應用
(i) (ii) ( ) (iii) (i) (ii) n 1 n 2 n k (i) (ii) (iii) (iv) (v) (i) ( ) (ii) ( ) (iii) ( ) (iv) (v) (i) (ii) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 s (s+1) (s+2) N 6 12 18 K=N/n (i) (ii) (iii)
Monetary Policy Regime Shifts under the Zero Lower Bound: An Application of a Stochastic Rational Expectations Equilibrium to a Markov Switching DSGE
Procedure of Calculating Policy Functions 1 Motivation Previous Works 2 Advantages and Summary 3 Model NK Model with MS Taylor Rule under ZLB Expectations Function Static One-Period Problem of a MS-DSGE
一、
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ENGG1410-F Tutorial 6
Jianwen Zhao Department of Computer Science and Engineering The Chinese University of Hong Kong 1/16 Problem 1. Matrix Diagonalization Diagonalize the following matrix: A = [ ] 1 2 4 3 2/16 Solution The
(譯本)
機 密 ( 二 零 一 二 年 四 月 二 十 日 解 密 ) 都 會 規 劃 小 組 委 員 會 二 零 一 二 年 三 月 三 十 日 舉 行 的 第 463 次 會 議 記 錄 荃 灣 及 西 九 龍 區 [ 荃 灣 及 西 九 龍 規 劃 專 員 陳 偉 信 先 生 高 級 城 市 規 劃 師 / 特 別 職 務 梁 美 玲 女 士 高 級 城 市 規 劃 師 / 葵 青 洪 鳳 玲 女 士
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