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妣僪
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1 東吳經濟統計 B 組學年上學期期末考題庫大致分數分配 : 定義解釋名詞及改錯 %, 補充題目 35%, 課本例題習題老師講義及上課練習 35%, 沒看過的新鮮題目 % 英文考題在整份考卷中約佔 % 以上原則可能誤差 ± 5% 補充題目. ( 年高考三級 ) 設以,, 6, 8,,, 構成一個大小為 7 之母體, 自此母體中以還原方式隨機抽出一個的樣本, 並求算其平均數 x.5, s : ( 一 ) 此母體變異數之值為何?(5 分 ) 答 : 用七筆資料算出之母體平均數 µ 8, 母體變異數 7 7 ( X i µ ) ( X i 8) i i 6, N 7 ( 二 ) X 之平均數變異數標準誤 (stadard eor) 分別為何? (5 分 ) 答 :7 定理 5.: 若 Y, Y,..., Y 是個獨立隨機變數, 則 E aiyi aie ( Yi ), i i V aiyi ai V ( Yi ) 樣本平均數 X X, 故 X 之平均數是 i i i i E ( X ) E X i E ( X i ) µ 8, X 之變異數是 i i 6 V X ( X ) V X i i V ( X i ), X 之標準誤是 X 6 i 6,. (97 高考 7-3) 若 XYZ 公司之每日股價變動 X 為一隨機變數, 其隨機分配如下 X x 3 P ( X x)... ( 一 ). 試求隨機取二個樣本之平均數的抽樣分配答 : 下表前兩欄是 X 分配, 後四欄是由所有可能兩日樣本所得到的 X 分配依據分配資料可算出各自之平均數與標準差 ( 二 ). 每日股價變動,X 隨機抽取兩日平均股價變動, X 機率 X 機率 P ( X x) X X X f ( X ) µ X.8, X.56 µ X.8,.8,.59 X X

2 ( 三 ). 根據 ( 一 ) 式, 計算樣本平均數之期望值和標準差答 : 直接由上表可算出.8,.59 X X µ X.8, ( 四 ). 利用中央極限定理計算出樣本平均數之期望值和變異數答 : 利用中央極限定理,.56 E ( X ) µ.8, 標準誤.8 和上述計算結果相同 X 3. ( 年高考三級 ) 某政府單位想瞭解 A 城市與 B 城市之家庭平均收入的差異性, 抽樣調查的結果如下 : 樣本數平均收入 ( 干元 ) 標準差 A 城市 35 B 城市 398 ( 一 ) 兩樣本平均差的標準誤為何?(5 分 ) 答 : 因為樣本數都超過 3, 故可用中央極限定理並以樣本 s 代替母體故算出標準誤為 s s ( 二 ) 若想檢定 H µ 時, 檢定統計量為何?(5 分 ) 答 : 以 Y, Y 分別表示 A 城市與 B ( ) y y 城市之平均收入, 則檢定統計量是 z ( 三 ) 當標準差相等時, 若想檢定 H µ 時, 檢定統計量為何? 檢定統計量之值為何? 答 : 若標準差相等, 合併兩樣本計算合併標準差 s 統計檢定量 z ( 四 ) 當標準差相等時, 在 H µ 呈現常態分配, 平均數為 ( µ µ ) z ( Y Y ) ( µ µ ) s ( ) ( ) 3 39 s s 35 ( Y Y ) ( µ µ ) s, 其值為 z 時, 檢定統計量的分配為何? 答 : 樣本平均數差異 ( Y Y ), 標準差是 s 呈現 Z (,) 的標準常態分配, 標準化後就得到統計檢定量 ( 五 ) 當標準差相等時, 若想檢定 H µ vs. H µ, 在顯著水準 α.5下, 你如何下結論?(5 分 ) 答 : 雙尾檢定之關鍵值為 zα z.5.96, 不論標準差是否相等, 樣本統計量都落在拒絕區間之外, 故結論是無法拒絕兩城市家庭平均收入相等之虛無假設

3 . ( 高考 3 級 ) 具有自由度 a 和 b 的 F 分配的 ( α ) th 百分位數以 F ( a, b) α 表示 : ( 一 ) 百分位數 Fα ( a, b) 與 F α ( b, a) 的關係式為何?(5 分 ) 答 : 其關係為 Fα ( a, b) 課本 367, 作業 7.8 是電腦題, 7.9 證明此關係之一半 ( 二 ) 若兩組樣本數分別為與, 樣本變異數分別為比 S S 的實際分配為何 F α ( b, a) S 與 S 與, 則兩個常態母體樣本變異數 ( 三 ) 若兩組樣本數分別為與 5, S 96 與 S, 則兩個常態母體變異數比的 9% 信賴區間為何? ( 三 ) 若想檢定 H : v.s. H :, 在 α.下, 你如何下結論? 5. (9 初等,8-) 若已知 E( X ) 5, ( X ) 多少的樣本? 答 : X 5 標準化後得到 5, 若欲達到 P ( X 5 ). 99 z, 故需抽樣 66 人 5 的準確度, 需抽樣 6. (98 初等, 8-5) 隨機抽取某藥廠所生產的毫升瓶裝感冒藥水瓶, 得到其容量的樣本標準差為. 毫升設藥水容量之母體分配為常態, 請計算該藥廠所生產的瓶裝感冒藥水的容量之母體變異數的 95% 信賴區間為何答 :(.95,.33) 7. (95 初等, 8-8) 假設某公司業務員接訂單每筆金額呈現常態分配, 平均金額為 35 元, 標準差為元某業務員一個月接 6 筆訂單 a. 求該業務元月平均銷售金額 95% 雙尾信賴區間答 : (96, 39) 請注意, 此處是用常態分配, 因為題目給的是母體資料 b. 若信賴水準 9%, 則 t 信賴區間與常態信賴區間的長度相差多少答 : 信賴水準 9%, 標準常態關鍵值 z.5.65,df8 的 t 分配關鍵值是 t 故 t 信賴區間長度 ,z 信賴區間長度前者比後者長 (93 公務人員委任升等 ) 某民調機構意欲以簡單隨機抽樣方式, 進行高雄市市長候選人支持度民調, 事先規劃民調的抽樣誤差最多為.5%, 並訂定信賴水準為 95% 請問: a. 該民調公司至少得從全市市民當中隨機抽選多少人, 才能達到以上的要求? 答 :E.5 z.96 表示抽樣誤差, 由 ( ) ( 78.) , 樣本 E.5 應選取 537 人 b. 若該民調公司依據您在第小題所算出的樣本數進行民調, 並且在所有被選中的市民中, 6 有 6 人支持甲候選人請算出甲候選人支持度的 99% 信賴區間答 :. 39, 537 3

4 99% 信賴水準之 z.5.58, 標準差 ( ) ( ) , 故信賴區間為 : ± zα.39 ± ±.3, 也就是甲候選人 99% 信賴區間介於.3583 到.5 之間 9. (9 地方政府三等 ) 某社團有社員 5, 位, 每年的社員大會參與人數比例為, 今年利用電話隨機抽取位, 結果有 6 為決定參加, 其餘決定不參加試問之 9% 信賴區間為何?. M 公司原來處理個案的平均成本是 6, 比同業要高故 M 公司推行成本節約計畫, 其後處理 9 個案之平均成本是 X 5, 假設我們知道母體標準差母體標準差是 8( 所以用? 分配 ) M 公司經理決定用.5 顯著水準來檢定推行節約計畫後平均成本是否低於 6 但是他也擔心會有型二誤差, 所以經理用其他公司資料 µ 5.5 當成對立假設 a. 請畫出型一與型二誤差圖形 b. 型二誤差與檢定力各是多少?. (96 地方政府三等,9-) 台灣某藥廠在廣告上宣稱該藥廠所研發的藥品對某種疾病的治癒率為 8%, 藥品檢驗中心對該藥廠之 A 藥進行例之臨床治療實驗, 結果有例治癒跟舉此臨床治療實驗結果, 請問該藥廠對 A 藥品的廣告所述是否真實? 請以 α 5% 檢定之答 : 雙尾檢定, H : π.8,h : π.8 決策規則是拒絕 H 如果 z >. 96 由資.7.8 料算出樣本 z.9, 研究結論是拒絕 H.8(.8). (96 專技高考,9-3) 假設某個國家在去年個登記結婚的男性國民中, 平均年齡為 6 歲, 標準差為 8 歲在使用.5 的顯著水準下, 試問這是否暗示現在男性結婚年齡大於歲? 答 : 單尾檢定, H,H > 決策規則是拒絕 H 如果 z>.65 由資料算出樣 6 本 z. 5, 研究結論是拒絕 H 8 3. (95 身心障礙三等, 9-37) 假設 X,,X 6 為由母體 N X, 所抽出的一組隨機樣本若令放棄虛無假設 (ull hyothesis)h 之區域為 X < 及 X > 5 a. 當 6 時, 試求在 µ.5 下, 第一型錯誤 (tye I error) 的機率為何? 答 : ~ N( µ,) 當 µ.5 時, Pr ( X < ) Pr( z <.5). 3, Pr ( X > ) Pr( z >.75). 66 誤差 α b. 當 5 時, 試求在 µ 下, 第二型錯誤 (tye II error) 的機率為何? 5 X, 型一

5 5 答 : X ~ N µ, 但是我們需要 µ 和型一誤差 α 才能算型二誤差, 故原題目敘述不完整, 6 建議可以這樣做用上小題的 µ.5 當作 H 以及上一小題的 α, 然後對 H 求型二誤差上一小題的接受區域是 < X < 5, 對 µ 可以計算出.6 < z <., 故型二誤差 β.35. (9 初等,9-7) 假設 H :.75,H : >.75, 其中為在職工作者希望取得碩士文憑之比例當隨機抽樣某群體樣本 5 在職工作者, 其中有 35 位希望取得碩士文憑, 問所需的標準化統計檢定量 Z 為何? 答 : z (.5) 5 5. (96 年高考,9-65) 某年全省民營加油站經度量衡檢定所抽查油量計 795 具, 發現超過法定誤 7 差範圍的有具而公營加油站抽驗的 9 具中, 只有 7 具不合格 A 先生認為 > 故應對民營加油站加強檢驗工作 B 先生則認為應該進行統計檢定, 並選擇 H : P公 P民 vs. H : P 公 > P民但是 C 先生卻認為虛無假設和對立假設應設為 H : P公 P民 vs. H : P 公 < P民 ( 已知 Z.5.65,Z.5.96) ( 一 ). 請協助 B 先生進行假設檢定答 : 先計算民營比例 P民.337, 公營比例 X 公 X民 7 P 公.77, 和混合比例 Pc.33 B 先生的假設是 9 公民 H : P公 P民 vs. H : P 公 > P民 ( 若怕混淆, 可將對立假設改寫為 H : P 公 P民 > ), 這是右尾檢定, 5% 顯著水準關鍵 z.65 代入資料後算出樣本 P公 - P民 z c ( - c ) c ( c ) , 故結論是無法拒絕 H : P公 P民, 我們尚無足夠證據來說公營加油站不合格比例低於民營不成立 ( 二 ). 請問 B 先生和 C 先生的虛無和對立假設之設定對統計檢定的影響答 :C 先生的假設是 H : P公 P民 vs. H : P 公 < P民現在是左尾 5% 顯著水準, 故關鍵 z-.65 由資料算 P公 - P民出樣本 z c ( - c ) c ( c ) , 故結論是無法拒絕 H : P公 P民, 我們尚無足夠證據來說公營加油站不合格比例高於民營不成立 ( 三 ). 請問您支持 A B C 哪一位先生的結論, 請說明理由答 : 首先要做假設檢定才能決定是否可由樣本資料來決定母體有顯著差異至於如何建構假設, 支持 C 先生作法因為樣本資 5

6 料顯示公營加油站不合格率較低, 故合理的推想應該是 H : P 公 < P民, 這正是 C 先生的對立假設雖然目前樣本 z 還無法拒絕 H, 但至少方向正確而 B 先生的對立假設 H : P 公 > P民也可寫成 H : P 公 P民 >, 其關鍵 z 值是正數, 是公營不合格率大於民營時較可能成立, 這與目前觀察到資料的趨勢相反 ** 如果要判斷單尾檢定的方向, 可以這樣想 : 樣本 z 在右方就進行右尾檢定, 樣本 z 在左方就進行左尾檢定 6. (96 年普考,9-59) 一位研究人員欲瞭解兩種肥料對韓國草的生長影響他隨機選擇所學校區域並將每個區域劃分為兩塊, 分別施灑兩種肥料進行觀察, 並記錄韓國草的高度如下 : A 肥料 B 肥料 ( 一 ) 請問此種蒐集資料方式的優點或缺點? 答 : 在每塊土地都使用兩種肥料, 也就是蒐集成對母體資料, 之後就可專注於分析兩種肥料效果是否有差異, 而不考慮韓國草在各塊土地生長速率不同缺點則是自由度降低, 雖然試種塊土地, 但是因為當作成對母體, 故自由度只有 -9 ( 二 ) 協助此為研究人員進行單尾統計檢定和推論, 顯著水準 5% 答 : 首先由上述資料算出 A 肥料與 B 肥料之差異 d 如下表 da 肥料 -B 肥料因為 d 大多是正數, 故將虛無假設與對立假設建構為 H d, H d > 右尾檢定自由度 9 的 t 分配,α.5 之關鍵值是.833, 故決策規則是拒絕 H 如果 t >.833 d 的平均 ( ) 值是 d.8, 變異數 d d s d.68, 標準差 d s.66 故 d 的標準誤是 s d.66 d.8.87 代入成對母體平均數檢定公式得到 t.757, 落在 sd.87 拒絕區間, 故結論為兩種肥料有顯著差異, 使用 A 肥料的韓國草顯著高於 B 肥料 6

Microsoft Word - 95_1_stat_handout_04抽樣與抽樣分配.doc

Microsoft Word - 95_1_stat_handout_04抽樣與抽樣分配.doc 4 第四章抽樣與抽樣分配 006 年 8 月 9 日最後修改 4. 抽樣與抽樣方法 4. 抽樣分配概論 4. 常見的抽樣分配 4.4 中央極限定理 4. 抽樣與抽樣方法母體 (populatio): 我們有興趣的研究對象, 一般是由許多個體或所組成的集合樣本 (sample): 母體的部分集合我們有興趣的是母體, 但是實際測量研究的是樣本我們希望經由樣本提供的資訊來推測母體的狀況 ( 推論統計