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弗詹
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1 第章敘述統計. 資料型態與資料蒐集. 資料型態與資料蒐集. 資料的整理與呈現 PS: 更新 pp. 9,0,0.. 資料型態 ( 一 ) 屬性資料 (qualtatve data) ( 二 ) 屬量資料 (quattatve data) () 離散資料 (dscrete data) () 連續資料 (cotuous data).. 資料蒐集 ( 一 ) 調查 (survey) () 普查 (cesus) () 抽樣 (samplg) ( 二 ) 觀察 (observato) ( 三 ) 實驗 (expermet).. 資料型態 (/3).. 資料型態 (/3) 資料型態依其屬性分為以下兩類 : ( 一 ) 屬性資料 (qualtatve data) 不可以數值來表示, 僅以類別來區分的資料, 又稱為類別資料 (categorcal data) 一般以性別學歷國籍汽車品牌來區分的資料均屬於類別資料 ( 二 ) 屬量資料 (quattatve data) 可依數值來衡量的資料一般以身高體重年齡分數時間來區分的資料均屬於屬量資料而屬量資料進一步地可分為離散資料與連續資料 () 離散資料 (dscrete data): 屬於可數的屬量資料, 此類型資料之資料值均為離散之數值, 在任兩個數值間不可能插入無限多個數值資料 () 連續資料 (cotuous data): 屬於不可數的屬量資料, 此類型資料之資料值為連續之數值, 在任兩個數值間可插入無限多個數值的資料 3 4

2 .. 資料型態 (3/3).. 資料蒐集 (/3) 資料蒐集包含以下三種方法 : ( 一 ) 調查 (survey) 調查法是一種對母體特性不做控制的情況下, 與研究對象接觸, 進行資料蒐集的方法調查法又可分為以下兩種 : () 普查 (cesus): 蒐集母體中所有個體, 它是普遍性全面性的例如, 戶口普查清查公司所有產品類別等 () 抽樣 (samplg): 只針對母體中的一部分, 進行資料蒐集例如, 民意調查收視率調查等 6.. 資料蒐集 (/3).. 資料蒐集 (3/3) ( 二 ) 觀察 (observato) 研究者只對研究對象做觀察記錄, 不與研究對象接觸之資料蒐集方法例如, 生物學家觀察某昆蟲的作息, 只做觀察記錄 ; 交管系同學站在中華路紅綠燈下, 觀察車輛的流動數量等 ( 三 ) 實驗 (expermet) 必須對母體的某些因素加以控制的資料蒐集方式例如, 白鳳豆癌症療效的實驗 PC 板的軟體測試等 7 8

3 . 資料的整理與呈現.. 表格法與圖示法. 資料的整理與呈現.. 統計測量值 ( 一 ) 屬性資料 ( 二 ) 屬量資料 ( 三 ) 兩個變數資料的整理 ( 一 ) 中央趨勢 (cetral tedecy) ( 二 ) 分散度衡量 (measures of dsperso) ( 三 ) 平均數與標準差之應用 ( 四 ) 離群值之判定 ( 五 ) 兩變量相關性之統計測量值 () 表格法 (tabular method) () 圖示法 (graphc method ) () 表格法 (tabular method) () 圖示法 (graphc method ) 列聯表 (cotgecy table) 9 () 平均數 (mea) () 中位數 (meda) (3) 眾數 (mode) (4) 百分位數 (percetle) () 四分位數 (quartles) () 全距 (rage) () 四分位距 IQR (3) 變異數 (varace) (4) 標準差 (stadard devato) () 變異係數 (CV) ()Z 分數 (Z-score) () 柴比雪夫定理 (3) 經驗法則 ()Z 分數判定法 () 盒形圖判定法 () 共變異數 (covarace) () 相關係數 (correlato coeffcet ) 0 ( 一 ) 屬性資料.. 表格法與圖示法 (/8) () 表格法 (tabular method): 將蒐集的資料整理成表格的形式依其將呈現之特性, 可分為以下兩種圖表 : 次數分配表 (frequecy dstrbuto table): 將資料依其類別分成若干組, 並計算各組的資料個數, 由此顯示資料分佈的情形參見例. 相對次數分配表 (relatve frequecy dstrbuto table): 假設資料共有個, 第組的相對次數 = 第組個數, 而相對次數分配表即是以表格呈現各組相對次數之方式參見例... 表格法與圖示法 (/8) 例題. 中華公司五位員工所使用汽車之品牌資料為 {Ford, Toyota, Ford, Nssa, Toyota}, 則其次數分配表如下 : 3

4 .. 表格法與圖示法 (3/8).. 表格法與圖示法 (4/8) 例題. 承例. 的資料, 中華公司五名員工所使用之汽車品牌的相對次數分配表如下 : ( 一 ) 屬性資料 () 圖示法 (graphc method ): 將蒐集的資料以圖形的方式呈現出來的一種方法, 一般可分為長條圖與圓形圖長條圖 (bar graph): 以座標軸的方式來描述一份已經彙整成次數分配或相對次數分配之屬性資料參見例.7 圓形圖 (pe chart): 將一個圓依各組相對次數的比例加以劃分之資料呈現方式, 通常用來描述屬性資料的相對次數分配參見例表格法與圖示法 (/8) 例題.7 承例., 中華公司員工所使用之汽車品牌的長條圖如下 :.. 表格法與圖示法 (6/8) 例題.8 承例., 中華公司五位員工所使用之汽車品牌的相對次數之圓形圖如下 : 6 4

5 .. 表格法與圖示法 (7/8) ( 二 ) 屬量資料 () 表格法次數分配表 : 記錄各組所觀察到的數量, 通常每組都具有等值的區間, 且整體需涵蓋所有樣本的資料參見例.9 相對次數分配表 : 與屬性資料之相對次數分配相同參見例.0 累積次數分配表 (cumulatve frequecy dstrbuto table) : 係指將各組次數 ( 相對次數 ) 累加後計算其次數 ( 相對次數 ), 然後再加以呈現之表格參見例. 累積相對次數分配表 (cumulatve relatve frequecy dstrbuto table): 7.. 表格法與圖示法 (8/8) 例題.9 最年輕的為 3 歲, 最年長的為 79 歲, 組寬為 (79-3)/8=9., 捨入後得其值為 0, 下表為此資料之次數分配 : 表表格法與圖示法 (9/8) 例題.0 承上例, 旅行團之相對次數分配如下 :.. 表格法與圖示法 (0/8) 例題. 例.9 及例.0 之累積次數分配與累積相對次數分配如下 : 年齡 ~0 ~0 ~30 3~40 4~0 ~60 6~70 7~80 相對人數年齡累積次數累積相對次數

6 .. 表格法與圖示法 (/8) ( 二 ) 屬量資料 () 圖示法點圖 (dot dagram): 它是展現少量屬量資料詳細簡單的一種方式, 以資料值為水平座標軸, 而每個資料值上所對應的點數即為此資料值出現的次數參見例. 直方圖 (hstogram): 以座標軸的方式來描述一份已經彙總成次數分配或相對次數分配的資料參見例.3 肩形圖 (ogve): 一種展現累積次數或累積相對次數的座標圖形參見例.4 莖葉圖 (stem-ad-leaf dagram): 在莖葉圖的架構中, 主要將資料值分成兩個部分 : 一者莖, 它為資料值的前幾位數另一者為葉, 它為資料值的末幾位數參見例... 表格法與圖示法 (/8) 例題. 樣本資料為 { }, 則其點圖如下 :.. 表格法與圖示法 (3/8) 例題.3 假設某次工管系二年甲班統計成績之次數分配直方圖如下 : 例題.4 承例.3 工管系二年甲班統計成績之肩形圖如下 : 累積次數.. 表格法與圖示法 (4/8) 3 4 6

7 .. 表格法與圖示法 (/8).. 表格法與圖示法 (6/8) 例題. 假設某公司有 8 位員工, 其年齡之莖葉圖如下 : ( 三 ) 兩個變數資料的整理在資料整理中, 有時研究者會想利用統計的方法來瞭解兩個變數之間的關聯性, 我們必須將蒐集到之資料區分成兩個變數之資料, 然後再以列聯表 (cotgecy table)( 或稱交叉表 ) 來呈現參見例表格法與圖示法 (7/8).. 表格法與圖示法 (8/8) 例題.6 中華公司針對其所屬的三個部門進行一重大政策執行之意見反應的抽樣調查, 其調查結果之列聯表如下 : 承上頁 () 請問此樣本中, 贊成的比例為何? () 請問此樣本中, 各部門贊成之比例分別為何? () 贊成之比例 =4/400=6.% ()A 部門之贊成比例 =8/0=6.67% B 部門之贊成比例 =90/0=60% C 部門之贊成比例 =70/00=70% 7 8 7

8 .. 統計測量值 (/4) ( 一 ) 中央趨勢呈現資料分配之中心位置或共同趨勢而常用的中央趨勢測量值有下列五種 : () 平均數 (mea) # 母體平均數 (populato mea): 以 μ 表之, 若母體有 N 個, 分別為 x, x,,x N, 則其數學式如下 : N x = x + x + + x x bar N μ = = N N # 樣本平均數 (sample mea): 以 x 表之, 若樣本資料有個, 分別為 x, x,,x, 則其數學式如下 : x = x = x + x + + = x 參見例統計測量值 (/4) 例題.8 若二年甲班共有個人, 其體重分別為 40, 46, 44, 4, 63, 8, 70, 73, 4, 4, 46, 4, 4, 44, 44, 今從此班級中抽出個人, 得其體重分別為 46, 4, 70, 46, 8, 求以此班級為母體之母體平均數及抽樣所得之樣本平均數母體平均數 μ = =.8 樣本平均數 x = = 統計測量值 (3/4).. 統計測量值 (4/4) () 中位數 (meda): 將資料值依大小順序排列, 取其正中央之數值或正中央之兩數值之平均數其數學式如下 : # 若為奇數, x = x + # 若為偶數, x = x + x + 參見例. 3 例題. 已知一樣本資料 X 為 {9,7,6,,7,3,0}, 另一樣本資料 Y 為 {9,7,6,,7,3,0,}, 試問樣本資料 X Y 之中位數為何? 計算 X 之中位數前, 需先將其資料排序 { 6,7,7,9,0,,3} 且因其樣本個數 7 為奇數, 所以 X 之中位數 ~ x = x + x 7 = ( 4 ) = Y 之樣本資料排序之結果為 { 6,7,7,9,0,,3,} 且因其樣本個數 8 為偶數, 因此 Y 之中位數 ~ y(4) + y( ) 9+ 0 y = = 9 =

9 .. 統計測量值 (/4) (3) 眾數 (mode): 樣本或母體中出現次數最多且大於次的數值因此眾數可能不只一個參見例. 例題. 已知樣本資料 A 為 {6, 7,, 7, 4, 3, 7, 3},B 為 {,, 4, 7, }, C 為 {,,, 3, 4, 3}, 求樣本資料 A B C 之眾數為何? # 因為 7 出現於樣本資料 A 共 3 次, 為出現最多次之資料, 所以資料 A 之眾數為 7 # 因為樣本資料 B 之資料值均只出現一次, 因此沒有眾數 # 因為及 3 均出現於樣本資料 C 有次, 其餘資料值僅出現一次, 所以資料 C 之眾數為及統計測量值 (6/4) (4) 百分位數 (percetle): 將按大小順序排列後將資料化分為一百等分, 若至少有 P % 的資料小於或等於資料中之某資料值 x, 且至少有 (00-P%) 的資料大於或等於 x, 則稱 x 為第 P 百分位數, 其計算方式如下 : # 將資料按順序排列大小 x() x( ) x ( ) # 令 =(P/00), 其中為樣本個數 # 若為整數,(x () +x (+) ) 為第 P 百分位數 ; 若不為整數且 m 為整數使得 m < < m +, 則 x (m+) 即為第 P 百分位數參見例.3 () 四分位數 (quartles): 第四分位數 Q 為第百分位數, 第四分位數 Q 為第 0 百分位數, 即中位數 Q ; 第 3 四分 = x 位數 Q 3 為第 7 百分位數參見例統計測量值 (7/4) 例題.3 考慮樣本大小為 8 的資料 {0,,, 3,, 7,, 7}, 請算出它的第 0,, 7 百分位數樣本按順序排列為, 7, 0,,, 3,, 7 0 () P = 0, = 8 =.6, 故第 0百分位數為 7 00 x() + x(3) () P=, = 8 =, 故第百分位數為 = (7 + 0) / = x(6) + x(7) (3) P = 7, = 8 = 6, 故第 7 百分位數為 = (3+ ) = 統計測量值 (8/4) 例題.4 某次 000 人參加之高中數學模擬考試成績分布如下 : 分數 0 分以下 ~0 人數 0 80 ~30 3~40 4~0 ~60 6~70 7~80 8~90 90 分以上請問此資料之 Q Q 3 分別位在哪個分數範圍內? ()Q 為第百分位數, 佔全部人數 000 人之 %, 即由小至大之第 0~ 人所在位置, 因此位在 3~40 分之中 ()Q 3 為第 7 百分位數, 佔全部人數 000 人之 7%, 即由小至大之第 70~7 人之所在位置, 或由大至小之第 49~0 人之所在位置, 因此位在 ~60 分之中 36 9

10 .. 統計測量值 (9/4).. 統計測量值 (0/4) ( 二 ) 分散度衡量在資料的分析中, 除了中央趨勢外, 資料的分散程度或變異性也常是一重要的考量以下我們討論一些常用之分散度的測量值 : () 全距 (rage): 樣本或母體中最大值與最小值的差若資料由小到大依序排列為 x(), x(),, x( ), 則 R 以表示, 其數學式如下 : R = x x ( ) () 參見例. 例題. 某次統計學期中考試, 甲乙兩班之成績如下 : 甲班 :0,,, 8, 60, 60, 6, 63, 6, 69, 70, 7, 73, 7, 78 乙班 :0, 0, 0, 4, 8, 60, 6, 6, 6, 70, 70, 73, 73, 7, 7, 7 試問甲乙兩班個別之統計學期中考試成績之全距為何? () 甲班成績之全距 () 乙班成績之全距 R = 78 0 = 8 R = 7 0 = 統計測量值 (/4) () 四分位距 (terquartle rage, IQR): 第 3 四分位與第四分位之差此種分散度之測量可避免極端值造成的影響換言之, 四分位距即為中間 0% 資料之全距公式如下 : IQ R = Q 3 Q 參見例統計測量值 (/4) 例題.6 承例., 試問甲乙兩班統計學期中考試成績之四分位距為何? () 甲班成績之 Q Q 3 如下 : Q = x(4) = 8 ( = % = 3.7) Q3 = x() = 7 ( = 7% =.) 因此, 甲班成績之 IQR = Q3 Q= 7 8 = 3 () 乙班成績之 Q Q 3 如下 : x(4) + x() Q = = = 6 ( = % 6 = 4) x() + x(3) Q3 = = = 73 ( = 7% 6 = ) 因此, 乙班成績之 IQR = Q3 Q= 73 6 =

11 .. 統計測量值 (3/4) (3) 變異數 (varace): 考量每一個資料與平均值之間的差距, 這個值稱之為對平均數的離差, 然而, 若將所有資料值對平均數的離差加總, 則 x = ( x x) = x x= x x= x = 0 = = = = = 即呈現正的離差與負的離差相互抵消, 離差的平均值便無法測量資料的變異程度而為了防止離差的正負抵消, 其中一種方法為求離差絕對值的平均值, 這個數值稱之為平均絕對離差 (MAD), 另一種方法為離差的平方取平均數, 此值稱之為變異數思考 : MAD 表示法? x x.. 統計測量值 (4/4) # 母體變異數 (populato varace): 當資料為母體時, 離差平方的平均值即為母體變異數, 以 σ 表示之則母體變異數之數學式可表示如下 : N ( x μ) = σ = N # 樣本變異數 (sample varace): 樣本變異數之定義為樣本資料之離差平方和除以樣本個數減一, 以 s 表示之則其數學式可表示如下 : ( x x ) = s = 參見例統計測量值 (/4).. 統計測量值 (6/4) 例題.7 假設某人於市區與郊區分別經營兩家便利商店, 今得知此兩家便利商店一星期的營收如下 : 日期市區郊區一 3 二 6 4 三 4 若以此資料為樣本, 求兩家便利商店此一星期之平均營收及其營收之變異數四 7 3 五 6 8 六 6 0 日承上頁 () 市區便利商店之平均營收及營收之變異數 : x = = 6 7 ( 6) + (6 6) + ( 6) + (7 6) + (6 6) + (6 6) + (7 6) s = = () 郊區便利商店之平均營收及營收之變異數 : x = = 6 7 (3 6) + (4 6) + (4 6) + (3 6) + (8 6) + (0 6) + (0 6) s = 7 =

12 .. 統計測量值 (7/4) 另外, 當樣本個數很大時, 利用 s 的定義來計算顯然太慢了, 而以下定理便提供了另一種較快的計算方式定理 - ( x x) x ( x) = = = s = = 參見例.8 ( ) 例題.8 已知一樣本資料為 {3,4,,6,7,9,0,,,3,6,7,8, 0,,6}, 求其樣本變異數 s 因為 x = 0, x = 397, 且 = 6, 利用定理., ( ) s = = = 統計測量值 (8/4) (4) 標準差 (stadard devato): 標準差為變異數之平方根, 其數學式可表示如下 : N ( x μ) 母體標準差 : = σ = σ = N ( x x ) 樣本標準差 : = s = s = () 變異係數 (coeffcet of varace ): 所謂的變異係數即為標準差除以平均數, 以 CV 表示之其數學式表示如下 : 當資料為母體 : σ CV = 00% μ 當資料為樣本 : s 參見例.30 CV = 00% x 46.. 統計測量值 (9/4).. 統計測量值 (0/4) 例題.30 假設甲乙兩班由不同的二位老師教授, 且二位老師給分標準不同, 若二班之統計學期中考的平均分數分別為 80 分及 60 分, 其標準差分別為 0 分及 9 分, 請以變異係數比較甲乙兩班統計學期中考成績之分散程度何者較大? 0 甲班 : CV = 00% =.% 80 9 乙班 : CV = 00% = % 60 由此可知, 乙班統計學期中考成績分配之分散程度較大 47 ( 三 ) 平均數與標準差的應用在這一節中, 將進一步地將平均數與標準差結合起來, 來探討以平均數及變異數相關之母體參數與統計測量值, 以作為爾後統計分析之基礎 ()Z 分數 (Z-score): 決定資料中各資料值之相對位置, 以 z 表示第個 x 資料之 Z 分數, 其數學式可表示如下 : 母體資料 : x μ z = σ 樣本資料 : x x z = 參見例.3 s 48

13 .. 統計測量值 (/4) 例題.3 如例.3, 請問 () 若林同學之統計學成績為 0 分, 則其 Z 分數為何?() 若李同學之微積分成績為 0 分, 則其 Z 分數為何?(3) 統計學考 0 分與微積分考 0 分之成績可否視為相同? 0 60 z = = () 林同學之統計學 0 分之 Z 分數為 z = = 0 () 李同學之微積分 0 分之 Z 分數為 (3) 由 () () 得知, 兩者之 Z 分數不相同, 其中微積分 0 分之 Z 分數大於統計學 0 分之 Z 分數, 因此以標準化值來比較, 微積分之 0 分高於統計學之 0 分 49.. 統計測量值 (/4) () 柴比雪夫定理 (Chebyshev s Theory): 在十九世紀早期, 蘇聯數學家柴比雪夫證明至少有一定的數量之資料值與平均數距離的絕對值小於或等於 k 倍的標準差定理 - 當 k 時, 任一組資料至少有 ( k ) 比例的觀測值會落在距離平均數 k 個標準之內由以上定理得知, 當 k = 時, 至少有 7% 的資料會落在距離平均數兩個標準差內當 k = 3 時, 至少有 89% 的資料會落在距離平均數三個標準差內參見例.3 ( Chebyshev ' s Iequalty) If the radom varable X has a mea ad varace the for every k, P( X - μ kσ). k μ σ 0.. 統計測量值 (3/4).. 統計測量值 (4/4) 例題.3 假設有 00 位學生體重的平均數為 60 公斤, 標準差為公斤請利用柴比雪夫定理算出此 00 位學生至少有多少學生的體重介於至 68 公斤之間? 介於至 68 之間, 代表與平均數距離有 = =.6 個標準差, 由柴比雪夫定理得知, = = k (.6) 故在此 00 位學生中至少有 60 位體重介於至 68 公斤之間 (3) 經驗法則 (the emprcal rule): 實際上我們發現許多資料的分佈形狀為鐘 ( 山 ) 形分佈, 由下圖可知, 在距離平均數的一個標準差內的資料數比例將明顯多於零, 因此經驗法則乃針對鐘 ( 山 ) 形分佈的資料, 提供一個能獲得較精確值的方式 3

14 .. 統計測量值 (/4).. 統計測量值 (6/4) 定理 -3 經驗法則若資料呈鐘 ( 山 ) 形分佈, 則 () 接近 68% 的資料會落在距離平均數個標準差內 ; () 接近 9% 的資料會落在距離平均數個標準差內 ; (3) 幾乎所有的資料會落在距離平均數 3 個標準差內 ( 四 ) 離群值之判定在蒐集資料的時候, 常常會因為某種原因 ( 如筆誤打瞌睡等 ) 而產生不正常的極端大或極端小的資料值, 此值稱之為離群值 (outler) 而此離群值的存在將會影響統計決策之判定其常用之判定方法有以下兩種判定法則 : ()Z 分數判定法 : 若資料值 x 的 Z 分數為 z, 當 z > 3, 則 x 可視為離群值關於 Z 分數的判定法則主要是來自經驗法則, 因為在現實生活中, 有許多資料分佈呈現鐘形分佈參見例統計測量值 (7/4) 例題.33 隨機抽取天天蔬菜油工廠內之蔬菜油 0 罐, 得其蔬菜油內容量如下所示 :( 單位 : 公升 ).8,.9,.,.0,.0,.,.9,.6,.,.0,.,.9,.9,.0,.,.6,.0,.,.9,.9 請以 Z 分數判定法則判定此資料是否有離群值? 經計算得知此資料之樣本平均數與樣本標準差 x =, s = 0.89 以 Z 分數判定法判定離群值之臨界值為 x± 3s= ± = ± 由此得知, 此資料中.6 大於臨界值為一離群值, 其餘資料均非離群值.. 統計測量值 (8/4) () 盒形圖判定法 : 所謂盒形圖 (box-whsker plot) 是將資料最小值 x, Q, Q, Q 及最大值以盒形及直線之方式表示 () 3 如圖. 的圖形 x( ) Q : 第 0 百分位數思考 : 資料.0 是離群值? 6 4

15 .. 統計測量值 (9/4).. 統計測量值 (30/4) 圖. 之盒形長度為 IQR, 此盒形圖可以幫助我們瞭解資料的分佈情形 : # 若 Q 至 Q 的距離比 Q 至 Q 3 的距離長, 則可知資料偏右 ( 即右邊資料較多 ) # 若 Q 至 Q 的距離比 Q 至 Q 3 的距離短, 則可知資料偏左 ( 即左邊資料較多 ) 而以盒形圖判定離群值的方法如下 : # 當資料值超出 Q 3 有. 倍的四分位距或小於 Q 有. 倍的四分位距, 則此值為懷疑之離群值 # 當資料值超出 Q 3 有 3 倍的四分位距或小於 Q 有 3 倍的四分位距, 則此值為認定之離群值參見例統計測量值 (3/4).. 統計測量值 (3/4) 例題.34 今隨機檢測 6 個燈泡壽命 ( 單位 : 月 ), 結果如下 : 3, 9,, 4, 34, 6, 6, 3, 0, 8,, 6,,, 0, () 請找出此資料的 Q Q Q 3 () 請畫出此組資料之盒型圖 (3) 請問此組資料是否有離群值? () 首先將 6 個資料按大小順序排列 :4,, 6, 9, 0, 0,,, 3, 3,,, 6, 8, 6, 34 x Q : 因為 6 4 (4) + x() = = 9+ 0 Q = = = x(8) + x(9) Q = + 3 x = = =. 7 x() + x(3) + 6 Q 3 : 因為 = 6 = Q3 = = = 承例.34 () 因為 x () = 4 Q = 9. Q =. Q 3 =. x (6) = 34 所以其盒型圖如下 : 60

16 .. 統計測量值 (33/4).. 統計測量值 (34/4) 承例.34 (3) 四分位距 IQR =. 9. = 6, 因此, 內圍值為 [ Q. IQR, Q3 +.IQR] = 9.. 6, = 0., 4. 外圍值為 [ ] [ ] [ Q 3IQR, Q3 + 3IQR] = [ , ] = [ 8., 33.] 因為資料 6 (4., 33.), 即資料 6 落在內外圍之間, 所以 6 為懷疑之離群值而資料 34 > 33., 即資料 34 落於外圍之外, 所以 34 可認定為離群值 ( 五 ) 兩變量相關性之統計測量值前面所介紹之統計測量值均為單變量之樣本資料, 現在若考量兩個變量的樣本資料 ( x, y), x, y,, x, y, 則在兩個變量之資料中, 兩個變量之間可能會有多種不同型態的關係, 最常見的關係便是線性關係假設有兩個變量 X Y, 若 X Y 具有正的線性相關, 則 X 愈大,Y 也愈大, 或 X 愈小,Y 也愈小 ; 另一方面, 若 X Y 具有負的線性相關, 則 X 愈大,Y 愈小, 或 X 愈小,Y 愈大圖.4 說明了 X Y 之線性關係 { ( ) ( )} 統計測量值 (3/4) 63.. 統計測量值 (36/4) () 共變異數 (covarace) # 母體共變異數 (populato covarace): 假設母體資料為 {( x, 則母體共變異數可以, y),( x, y),,( xn, yn )} σ 或 Cov( X, Y) 表示如下 : N ( x μ X )( y μy) = σ = Cov( X, Y) = N # 樣本共變異數 (sample covarace): 假設樣本資料為 {( x, 則樣本共變異數, y),( x, y),,( x, y)} 可以表示如下 : ( x x)( y y) = s = 參見例

17 .. 統計測量值 (37/4).. 統計測量值 (38/4) 例題.3 假設 A B 兩種產品過去五個月的銷售量如下 : A 3 B 求此樣本共變異數? 由資料可得 A B 兩種產品之樣本平均數如下 : A= = 4., B = 7 = 6.8, ( A 4.)( B 6.8). = = =.8 4 = s AB 6 6 例.3 中, s AB =.8 所代表的意義為何呢? 我們由圖. 可知 A B 具有正線性關係 66.. 統計測量值 (39/4).. 統計測量值 (40/4) 若我們將兩變量之資料區分為四個區域, 則資料可能分配之區域如圖.6 所示 : 67 共變異數與兩變量之線性關係可由圖.6 說明如下 : # 若共變異數大於 0: 則表示 X, Y 同時比平均數大, 或同時比平均數小的情形較顯著, 即表示大部分的資料值均落在圖.6 之 Ⅱ Ⅲ 兩區, 因此 X, Y 變量具有正的線性關係 # 若其共變異數小於 0: 則表示 X 大於平均數且 Y 小於平均數或 X 小於平均數且 Y 大於平均數的情形較為顯著, 即表示大部分的資料值均落在圖.6 中之 Ⅰ Ⅳ 兩區, 因此 X, Y 變量具有負的線性關係 # 若共變異數等於 0: 即表示資料值平均分散在 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 四區中, 則 X, Y 變量沒有線性關係 68 7

18 .. 統計測量值 (4/4).. 統計測量值 (4/4) () 相關係數 (correlato coeffcet ): 由於不同的樣本資料可能有不同單位, 因此共變異數的大小很難決定兩個變量線性關係的強弱母體相關係數 : ρ 樣本相關係數 : γ Cov( X, Y) ( x μx)( y μy) = = σ σ ( x μ ) ( y μ ) X Y X Y s ( x x)( y y) = = s s ( x x) ( y y) X Y 定理 -4 科西不等式 (Cauchy equalty) () ab a b = = = a () 等式成立若且唯若對所有 =,,,, = k b, 其中 k 為一非零之常數定理 - 相關係數介於 - 及之間, 即 γ ( ρ ) 定理 -4 - 便證明了相關係數介於 - 與之間統計測量值 (43/4) 定理 - 證明由柯西不等式得知, ( x x)( y y) ( x x) ( y y) = = = γ ( x x)( y y) ( x x) ( y y) = = = = ( x x)( y y) ( x x) ( y y) = = 7.. 統計測量值 (44/4) 相關係數之特性如下 : x x # 若 γ, 則由柯西不等式可知, 對所有觀測值 = = k y y 且 k > 0, 即表示 X, Y 變量有完美的正的線性關係 x x # 若 γ, 則由柯西不等式可知, 對所有觀測值 = k = y y 且 k < 0, 即表示 X, Y 變量有完美的負的線性關係 # 若 0< γ <, 則 s > 0, 即 X, Y 變量具有正的線性關係 # 若 < γ < 0, 則 s < 0, 即 X, Y 變量具有負的線性關係 # 若 γ = 0, 則 s = 0, 即 X, Y 變量沒有的線性關係參見例

19 .. 統計測量值 (4/4) 例題.36 承例.3, 試求 A B 之相關係數 γ AB, 並判斷 A B 之相關性 ( x 4.)( y 6.8).. γ AB = = = = ( x 4.) ( y 6.8) = = 因此 A B 有很強的正線性關係 73 9

Microsoft PowerPoint - stat_02.ppt

Microsoft PowerPoint - stat_02.ppt . 資料型態與資料蒐集. 資料的整理與呈現. 資料型態與資料蒐集.. 資料型態 ( 一 ) 屬性資料 (qualtatve data) ( 二 ) 屬量資料 (quattatve data) () 離散資料 (dscrete data) () 連續資料 (cotuous data).. 資料蒐集 ( 一 ) 調查 (survey) () 普查 (cesus) () 抽樣 (samplg) ( 二 )