Microsoft Word - 94_4_stat_handout_10順序資料之假設檢定.doc

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1 0 第十章順序資料之假設檢定 006 年 9 月 日最後修改 0. 順序資料檢定概論 0. 符號檢定 0.3 符號秩檢定 ( 成對樣本檢定 0.4 秩和檢定 ( 兩獨立樣本檢定 0.5 Krusal-Walls 檢定 ( 變異數分析 0.6 等級相關分析 0.7 統計量推導 0. 順序資料檢定概論 順序資料無法使用量化資料的假設檢定 順序資料檢定的原則 : 將資料排序, 給名次, 然後對名次作量化的計算 順序資料檢定的模式 : ( 符號檢定 ( 中位數檢定 成對樣本檢定 ( 符號秩檢定 ( 成對樣本檢定 (3 秩和檢定 ( 兩獨立樣本檢定 (4 Krusal-Walls 檢定 ( 變異數分析 (5 順序尺度相關分析 秩 (ra 排序後給的名次符號秩 (sged ra 帶有正 負號的名次, 正負符號的目的在於將樣本分成兩組 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0- 頁

2 0. 符號檢定 符號檢定 (sg test 符號是分組的依據, 分成兩組, 我們有興趣那組稱為 + 組或成功組 資料的順序特性只用來將資料分組 統計技術為計數 計算成功組的出現次數 用以檢定的機率分配為二項分配 範例 0. 二項分配與符號檢定 下表是員工作某項訓練課程之前後測驗成績, 請檢定該測驗是否有效 ( α 0. 員工 訓練前 訓練後 Good Outstadg Far Excelet 3 Excelet Good 4 Poor Good 5 Excelet Excelet 6 Good Outstadg 7 Poor Far 8 Excelet Outstadg 9 Good Far 0 Poor Good Good Outstadg Far Excelet 3 Good Far 4 Good Outstadg 5 Poor Good 解 虛無假設為 訓練與測驗成績無關 若這個虛無假設為真, 則訓練後成績比訓練前 進步 與 退步 的機率應該相同; 亦即, 去除不進不退者後, 進步 的機率應佔 50% 真正用於檢定的虛無假設為 H 0 : p 0.5, 其中 p 為進步的機率 以進步為 + 退步為 不進不退為 0, 則結果如下表 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0- 頁

3 員工 訓練前 訓練後 進步與否 Good Outstadg + Far Excelet + 3 Excelet Good 4 Poor Good + 5 Excelet Excelet 0 6 Good Outstadg + 7 Poor Far + 8 Excelet Outstadg + 9 Good Far 0 Poor Good + Good Outstadg + Far Excelet + 3 Good Far 4 Good Outstadg + 5 Poor Good + 統計結果為 人進步,3 人退步 ( 不進不退者不列入計算 H : 0 訓練與測驗成績無關 ( H 0 : p 0.5 檢定統計量 x( 正向反應個數 為 4 p 0.5 的二項分配 α 0.05 下拒絕區域 R { x< 3或 x> 0} ( 也可以寫成 R { x 或 x } 樣本檢定統計量值 x R, 拒絕 H 0, 該訓練課程有正面效果 範例 0. 大樣本之二項分配 上題中, 若進步者 + 有 35 人 退步者 有 人, 請以 α 0.05 檢定該訓練 課程是否有效 解 大樣本, 以 z 分配來取代二項分配, 注意 ± 的修正問題 H : 0 訓練與測驗成績無關檢定統計量 x( 正向反應個數 為 μ 8 σ 的常態分配 ( 其中, p σ p p μ ( α 0.05 下拒絕區域 R { z >.96} x μ 樣本檢定統計量值 z.00 R, 拒絕 H 0 σ 該訓練課程有正面效果 範例 0.3 中位數檢定 某次考試的成績如下 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-3 頁

4 解 請檢定這 60 是否為中位數 ( α 0.05 統計結果高於 60 者有 人, 低於 60 者有 3 人 ( 等於 60 者不列入計算 H : meda 60 0 檢定統計量 x( 正向反應個數 為 4 p 0.5 的二項分配 α 0.05 下拒絕區域 R { x< 7或 x> 6} ( 也可以寫成 R { x 6或 x 7} 樣本檢定統計量值 x R, 拒絕 H 0,60 不是中位數 0.3 符號秩檢定 ( 成對樣本檢定 符號秩檢定 (sged ra test 成對樣本檢定量化資料版本 : d μ d 計算, 檢定統計量 d sd d x y d s t 順序尺度資料版本 : 符號秩檢定的假設 : + { } { } 排序後名次, { 0, } { 0} d x y r d R r d > R r d < + 計算 Σ R Σ r, Σ R Σ r + r R r R + { } 檢定統計量 T m ΣR, ΣR 成對樣本內是等距尺度 ( x y 間可加減, 樣本間為順序尺度 ( d d j 間不可加減 Wlcoxo 符號秩檢定統計量 (T 假設取得的兩組資料為 與 B, 計算 Wlcoxo 符號秩 T 的步驟 : ( 將兩資料相減, 得 d ; 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-4 頁

5 ( 將該差值取絕對值, 得 d ; (3 將 d 排序 給名次, d 最小者為, 最大者為, 如有相同值則平分名次 ( d 0 者不參與排名 ; (4 將上一步驟得到的名次, 依據 d 的正 負分成兩組, R + 與 R ; (5 計算兩組名次的總和, Σ R + 與 R + T m ΣR, Σ R 此 T 為 Wlcoxo 符號秩的檢定統計量 Σ, 最後計算 { } Wlcoxo T 的期望值與變異數分別如下 : ( ET ( V T ( + 4 ( + ( + 4 其中, 為 R + R 兩組個數的總和 注意, 不一定等於樣本數, 為什麼? Wlcoxo T 需查其特有的機率分配表, 而如同其他分配, 在大樣本 ( > 30 時趨近 於常態分配 範例 0.4 成對樣本的檢定 解 下表 B 欄分別是 員工訓練前 後的成績, 請以 α 0.05 檢定該訓練法是否有效 資料排序 整理的結果如下 : 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-5 頁

6 B B 排名 R+ R { }, T m ΣR, Σ R 假設檢定的結果如下 : ( Ho: 兩者無差異 ( 雙尾 ( 檢定統計量 T 為 的 Wlcoxo Sged-Ra 檢定 (3 α0.05, 拒絕區域 R { T 0 } (4 樣本統計量 T 不屬於 R, 無法拒絕 Ho 0.4 秩和檢定 ( 兩獨立樣本檢定 秩和檢定 (ra-sum test 獨立樣本檢定量化資料版本 : 計算 x, s, y, s 計算 s 檢定統計量 t 順序尺度資料版本 : x y x y a b a b a b { x, xj}, { r } { rj } { x },{ xj} 將混合排名令, 分別為的名次 a 計算 W Σ r, W Σr b B j 檢定統計量 W W ( x y ( μx μ y s x y Wlcoxo 秩和檢定統計量 (W 假設取得的兩組資料為 與 B, 計算 Wlcoxo 秩和 W 的步驟 : ( 將 與 B 組資料作混合排名, 即最小者名次為, 最大者名次為 + B, 其中, B 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-6 頁

7 分別為兩組的樣本數 ; ( 求該排名的總和, W W B, 令 W W Wlcoxo W 的期望值與變異數如下 : ( EW ( V W 其中, W W ( + + B ( + + Wlcoxo W 在大樣本時 ( { } 需查特殊分配表 max, > 0 可以用常態分配來近似, 小樣本的情況 B Ma-Whtey 秩和檢定統計量 (U Ma-Whtey 將 Wlcoxo W 作以下的轉換 : { } ( + ( + + B U + W + W B( B + B( + B + U + W + W U m U, U B B B Ma-Whtey U 的期望值與變異數如下 : ( EU ( V U B ( + + 兩者相比較,Ma-Whtey U 的好處在於期望值的計算式中, 是對稱的 B 範例 0.5 兩獨立樣本 Wlcoxo 檢定 下表 B 欄分別兩個部門之員工測驗成績, 請以 α 0.05 檢定兩部門員工該測驗的 成績是否有差異 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-7 頁

8 解 Wlcoxo W 統計量值計算過程如下 : Ra Ra B , 5, W W 48 假設檢定過程如下 : ( Ho: 組比較大 ( 右尾 ( 檢定統計量 W 為 (, (6, 5 的 Wlcoxo Ra-Sum 檢定 (3 α0.05, 拒絕區域 R { W>40 } (4 樣本統計量 W 48 屬於 R, 拒絕 Ho 0.5 Krusal-Walls 檢定 ( 變異數分析 K-W 檢定 (Krusal-Walls test 變異數分析量化資料版本 : 計算 SST, SSB, SSE 計算 MSB, MSE MSB 檢定統計量 F MSE 順序尺度資料版本 : { x a, b, c, }, { a } { b } { a },{ b xj x r rj x xj} 將 混合排名令,, 分別為, 的名次 計算 SSB SSB SSB 檢定統計量 H σ MSE + 其中, MSE σ 測量誤差 ( ( ( χ 分配 Krusal-Walls 檢定統計量 (H 與 Fredma 檢定統計量 ( F r 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-8 頁

9 順序尺度資料在需要變異數分析時, 如同上兩節的技術, 先將資料轉成排名值後, 再 以該排名值來計算檢定統計量 我們有兩個順序尺度的變異數分析統計量 : 單因子時用 Krusal-Walls H 統計量 雙因子時用 Fredma F r 統計量 兩者皆為自由度 的 χ 分配, 其中 為組數 假設 組的樣本數分別為,,, 名次等級和分別為 R,, R, 則 Krusal-Walls H 的計算公式為 R R R H ( 其中, Fredma F r 的計算公式如下 ( R R R Fr b( + ( + b b b 其中,b 為集區數, 即 b 範例 0.6 K-W 檢定 就以下順序尺度資料, 作變異數分析 C 解 Krusal-Walls H 統計量值計算過程如下 : 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-9 頁

10 C 合計 Σ (Σ²/ R R R H ( ( [ 808.4] 3 ( 4 ( 假設檢定過程如下 : ( Ho: 各組沒有差異 ( 右尾 ( 檢定統計量 H 為 df 3 的 χ² 分配 (3 α 0.05, 拒絕區域 R { χ² > 5.99 } (4 樣本統計量 H 7.95 屬於 R, 拒絕 Ho (p 值 等級相關分析 等級相關 (ra-order correlato 量化資料相關係數 :Pearso 相關係數 (Pearso coeffcet of correlato Σ( ( ( ( ( Σx ( Σy Σxy r Σ x x Σ y y Σx Σy x x y y ( ( Σx Σy 順序尺度資料 :Spearma 等級相關係數 (Spearma coeffcet of ra correlato r s Σ( a a( b b 6Σd ( a a ( b b ( Σ Σ 其中,{ a } { b } 分別為 { x } { y } 排序後名次, d ( a b 等級相關係數檢定 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-0 頁

11 如同量化資料的相關係數, 當虛無假設 H : ρ 0 0 時, 檢定統計量 r s ( r ( s 為自由度 df 的 t 分配 範例 0.7 Spearma 相關係數檢定 解 請計算下列順序尺度資料的相關係數並作檢定 B Spearma 相關係數的計算過程如下 : Ra Ra B d d² Σ d rs ( ( rs t ( r ( ( s ( 假設檢定的過程如下 : 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0- 頁

12 ( Ho:ρ0 ( 雙尾 ( 檢定統計量 (rρ / [(r²/(] 為 df 0 的 t 分配 (3 α0.0, 拒絕區域 R { t<-3.69 或 t>3.69 } (4 樣本統計量 t 屬於 R, 拒絕 Ho (p 值 統計量推導 幾個基本公式 其中 ( + Σ ( + ( + Σ 6 Σ j ( + V( σ ( + ( ( 3 + Σ Σ Σ j j,,, j,, j ( ( Σ +Σj ( + ( + ( + ( + ( ( 3 + Σ j Σ Σ 4 6 ( V ( Σ ( + ( + ( + Σ 6 4 ( + Wlcoxo T 的期望值與變異數 { } T x + x + + x, x,,,, x出現的機率為 ( ( E T E x x x Σ 4 ( 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0- 頁

13 ( ( ( V T Σ x + x + + x E T Σ + Σj 4 Σ Σ ( Σ Σj 4 Σ 4 ( + ( + 4 Wlcoxo W 的期望值與變異數 { } W W x + x + + x, x,,,, + ( EW a a b a a Σ ( + ( ( ( V W Σ x+ x + + x E T ( a ( ( a ( a a a Σ + Σj Σ a a a Σ + ( Σ Σ ( Σ Σ Σ a b a b ( ( ( ( + a b ( ( + ( + ( + ( + a b ( 6 4 ( a b Ma-Whtey U 的期望值與變異數 { } ( + ( + + B U + W + W B( B + B( + B + U + W + W U m U, U B B B B 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-3 頁

14 ( + EU ( E + W + ( + ( + + ( + V( U V B + W V W ( ( + + Krusal-Walls H R R R Σ R R R + SSB MSE σ SSB H σ ( ( + ( + ( ( ( + R R R R R R ( Spearma 等級相關係數 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-4 頁

15 r s Σ( a a( b b ( a a ( b b Σ Σ ( Σ Σab Σ ( Σ ( Σ Σ Σ Σa Σ ab +Σb Σ ( Σ Σ 6Σ( a b ( + ( ( Σa ( Σb ( Σa ( Σb Σa Σb Σab Σab ( a b ( + ( 006 陳欣得統計學 順序資料之假設檢定第 0-5 頁

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