Chapter 1 統計學與資料分析簡介

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臭范
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1 Chapter 8 單樣本與雙樣本的估計問題

2 8. 統計推論統計推論 (statistical inference) 理論包含了對一個母體做推論或將之推廣的所有方式分為古典法 (classical method) 與貝氏法 (Bayesian method) 可以分成兩個主要領域 : 估計值 (estimation) 假說檢定 (test of hypothesis) 87

3 8.3 古典估計法點估計值 (point estimate) 某母體參數的點估計值是其對應之統計值 ˆ 中的一個計算值無偏見估計法 ˆ 定義 8.1 如果 ˆ E( ˆ ), 則統計值稱為對母體參數的無偏見 ˆ 估計法 (unbiased estimator) 88

4 範例 8.1 請證明 S 是母體參數的無偏見估計法 89

5 8.3 古典估計法變異數的點估計法定義 8. 如果我們考慮一母體參數的多個無偏見估計法, 則其中擁有最小之抽樣分佈的變異數之估計法為母體參數的最有效估計法 (most efficient estimator) 90

6 8.3 古典估計法圖 8.1 顯示母體參數的 3 種不同的估計法 : ˆ 以 1 ˆ 及 ˆ 3 的抽樣分佈 90

7 8.3 古典估計法區間估計法的詮釋 ˆ ˆ ˆ ˆ 樣本中計算出來的區間 (, ) 使得, 稱為 100(1 )% 的信賴區間 (confidence interval), 而 (1 ) 則稱為信賴係數 (confidence coefficient) 或是信賴程度 (degree of confidence), 且區間的端點值則稱為信賴極限 (confidence limit) 的上限和下限 L U L U 91

8 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計 93

9 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計假設已知, 的信賴區間假設母體之變異數已知如果 x 是一樣本數為 n 的隨機樣本之平均值, 給定且 0 1, 則母體平均值的 100(1 )% 信賴區間為 z / x z x z n 其中代表在標準常態分佈曲線下其在右邊的面積和為 / 的 z 值 / / n z / 93

10 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計圖 8.3 表示我們共做了 10 次實驗, 不同樣本對母體參數值的信賴區間的示意圖 94

11 範例 8. 在河川的 36 個不同地點所做的鋅的濃度測量, 其測量的平均濃度是.6 克 / 毫升請分別求出 95% 以及 99% 信心水準下, 該河川中含鋅的平均濃度的信賴區間假設已知母體的標準差為

12 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計定理 8.1 如果我們用 x 來估計, 則我們有 100(1 )% 信心水準相信其估計誤差不會超過 z / n 95

13 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計定理 8. 如果我們用 x 來估計, 則我們有 100(1 )% 信心水準相信其估計誤差不會超過一個指定的量 e 時所需的樣本數為 / n z e 96

14 範例 8.3 在範例 8. 中, 請問如果我們希望有 95% 的信心水準相信估計值與實際值的誤差小於 0.05, 則需要多大的樣本數? 96

15 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計單邊之信賴區間界假設已知, 的單邊之信賴區間界限假設母體之變異數已知如果 X 是一樣本數為 n 的樣本平均值給定且 0 1, 則母體平均值的 100(1 )% 單邊之信賴區間界限為單邊上限 : 單邊下限 : x z / n x z / n 其中 z 代表在標準常態分佈曲線下其在 z 右邊的面積和為的 z 值 97

16 範例 8.4 在某個心理測試實驗中隨機挑選了 5 個受試者測量其對某特定實驗的反應時間 ( 以秒計 ) 已知從過去的經驗中, 這種實驗的反應時間的變異數為 4, 且其反應時間為常態分佈假設此次的實驗其平均時間為 6. 秒, 請問其母體平均值之 95% 的單邊信賴上限為何? 97

17 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計 98

18 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計參照圖 8.5, 我們可得 P( t T t ) 1 / / 其中 t / 是自由度為 n 1 的 t- 分佈曲線其在 t / 右邊的面積為 /的 t-值 98

19 8.4 單樣本個案 : 平均值的估計假設未知, 的信賴區間假設母體之變異數未知如果 x 和 s 分別為 n 一樣本數為的常態母體之隨機樣本的平均值與標準差, 給定且 0 1, 則母體平均值的 100(1 )% 信賴區間為 S x t x t n / / 其中 t / 是自由度為 n 1 之 t-分佈曲線其在 t / 右邊的面積為 / 的 t-值 S n 99

20 範例個相似的含硫酸容器中其量測的容量分別為 9.8, 10., 10.4, 9.8, 10.0, 10. 和 9.6 升假設容器中含硫酸溶液近似於常態分佈, 請求出此類容器的平均值之 95% 信心水準下的信賴區間 300

21 範例 8.6 在一所高中裡隨機挑選 500 位學生, 並測得其學力測驗之平均分數 x 與標準差 s 分別為 501 以及 11 請求出該高中學生之學力測驗平均值之 99% 信心水準下的信賴區間 300

22 8.5 點估計法的標準誤差假設母體標準差已知, 我們欲估計母體平均值, 而樣本平均值 X 的變異數為 X n X 的標準差, 或稱為標準誤差 (standard error) 為 / n 對於而言, 其所計算出的信賴區間的極限 X x z / 可記為 x z / s.e.( x) n 其中符號 s.e. 代表標準誤差 301

23 8.5 點估計法的標準誤差假設未知, 的信賴極限 s x t/ x t/ s.e. ( x n ) 30

24 8.6 預測區間假設已知, 未來觀察值之預測區間對於一常態分佈而言, 假設其平均值未知但變異數已知, 則對於一未來觀察值之 0 準下之預測區間為 x 100(1 )% 信心水其中 z / 的 z 值 x z 11/ n x x z 11/ n / 0 / 為在標準常態分佈 Z 下其右邊的面積和為 / 303

25 範例 8.8 某位肉品督察員隨機測量 30 包來自宣稱有 95% 瘦肉的牛肉包, 其得到的樣本平均值為 96.%, 樣本標準差為 0.8% 請問, 再重新挑選一牛肉包, 則其有 99% 瘦肉之預期區間為何? 假設母體為常態分佈解 : 303

26 8.7 容許區間我們以一平均值為, 變異數為的常態母體來做說明很明顯的, 該母體的觀察值中, 以平均值為中心, 有 95% 的觀察值會落於 1.96 的區間中 ( 註 :) 我們稱上述區間為容許區間 (tolerance interval) 305

27 8.7 容許區間容許區間對於一平均值標準差都未知之常態分佈的測量值而言, 其容許區間 (tolerance interval) 的定義為 x ks 100(1 )% (1 ), 其中 k 為一個常數,k 值的決定是在信心水準下, 其容許區間最少會包含比例的觀察值 306

28 範例 8.9 在範例 8.8 中, 請求出在 95% 信心水準下有 90% 以上的牛肉包滿足該肉商所宣稱的有 95% 是瘦肉的容許區域我們假設母體分佈近似於常態分佈 306

29 個案研究 8.1 機器的品質某機器設計用來生產一圓柱形金屬片我們對該機器的產品隨機挑選並測量其直徑, 結果分別為 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 以及 1.03 公分以下將以此數據分別計算 3 種不同類型的區間, 並以應用的角度讓讀者瞭解其相互之間的關聯以及不同的意義在以下的計算中, 我們假設母體分佈近似於常態分佈此外, 由隨機樣本的數據我們可以計算其樣本平均值以及樣本標準差 x s (a) 請問對於母體平均值其 99% 信賴區間為何? (b) 針對單一樣本來說, 請問其 99% 預測區間為何? (c) 請問會包含 95% 之這個機器所製造的圓柱形金屬片的 99% 的容忍區間為何? 307

30 8.8 雙樣本個案 : 個平均值的差的估計假設已知, 之信賴區間, 1 1 有個常態分佈, 其變異數分別為, 假設已 1, 1, 知如果 x 分別為個獨立樣本其樣本數分別 1, x n1, n 之樣本平均值, 若給定且 0 1, 則之 1 100(1 )% 信賴區間為 / 1 1 / n1 n n1 n ( x x ) z ( x x ) z 其中為標準常態分佈曲線下其右邊面積和為的 z 值 z / / 309

31 範例 8.10 某項實驗是針對種不同的引擎 :A B 做比較, 該實驗的目的是測量個引擎其每加侖汽油可行駛的里程數假設共有 50 個 A 類引擎以及 75 個 B 類引擎做里程數的實驗, 在測量的時候, 所有所使用的汽油以及車況的條件都保持相同由實驗結果得知,A 類引擎其每加侖可行駛的里程數為 36, 而 B 類引擎為 4 請求出 B 的 96% 的信賴區間, 其中 A A 和 B 分別為 A 類和 B 類引擎每加侖汽油平均可行駛的里程數我們假設 A 類和 B 類引擎的標準差已知, 分別為 A 6 B 8 310

32 8.8 雙樣本個案 : 個平均值的差的估計母體變異數未知但卻相等的情形以符號代表樣本變異數其利用共同資料 S P 聯合得到的母體變異數的估計值, 我們稱為共資估計值 (pooled estimation) 變異數之共資估計值 S ( n1 1) S1 ( n 1) S P n1n 311

33 8.8 雙樣本個案 : 個平均值的差的估計但未知之的信賴區間 1 1 如果 x 以及分別為個獨立之隨機樣本平均值, 其樣 1 x 本數分別為 n 以及假設個母體近似為常態分佈, 且 1 n 其變異數未知, 但母體之變異數相等則母體平均值的差之 100(1 )% 信賴區間為 ( x x ) t s ( x x ) t s 1 / p 1 1 / p n1 n n1 n 其中 s P 代表樣本標準差共資聯合得到的母體標準差的估計值, t / 是自由度 n 之分佈曲線下其右邊面 1 n t- 積和為 / 的 t- 值 31

34 範例 8.11 在環境污染期刊中所發表之一篇以大型無脊椎動物族群結構作為酸性礦物污染之指示劑的文章, 該論文中的數據是在美國阿拉巴馬州凱恩溪所進行的調查該論文欲在其所選擇的參數與各種不同的大型無脊椎動物族群結構之間決定它們的關係調查的目的之一是對以數值表示的物種多樣性指數之效力做評估, 以數值顯示出因為酸性礦物排放而造成的水中生物退化就概念上而言, 如果大型無脊椎動物物種多樣性指數較高的話, 代表著水生系統未受壓迫 ; 反觀, 若多樣性指數變低的時候, 則表示這是一個受到壓迫的水生系統 31

35 範例 8.11 這項研究選擇了個獨立的資料抽樣站, 一個在酸性礦物釋放點的下游, 而另一個位於其上游對於下游資料抽樣站收集了 1 個月的樣本, 其物種多樣性指數的平均值為 x1 3.11, 標準差為 s 在上游資料抽樣站收集了 10 個月的樣本, 其物種多樣性指數的平均值為 x.04, 標準差為 s 請問這個資料抽樣站的母體平均值之間的差值之 90% 的信賴區間為何? 我們假設個母體有相同的變異數, 且其分佈近似於常態分佈 313

36 8.8 雙樣本個案 : 個平均值的差的估計且未知之的信賴區間 1 1 如果 x 以及 1 s x 分別為個獨立之隨機樣本平均 1 s 值與變異數, 其樣本數分別為 n 以及假設個母體近 1 n 似為常態分佈, 其變異數 1 且未知, 則母體平均值的差之信賴區間為 100(1 )% 1 s1 s s1 s 1 / 1 1 / n1 n n1 n ( x x ) t ( x x ) t 其中 t / 是自由度之 t- 分佈曲線下其右邊面積和為的 t-值, 其中 ( s1 / n1 s / n ) [( s / n ) /( n 1)] [( s / n ) /( n 1)] / 315

37 範例 8.1 維吉尼亞理工學院與州立大學動物系進行一項研究, 他們在美國詹姆士河上的個不同的測量站取得磷酸濃度的測量, 並對者之間的差值做統計推論假設磷酸濃度是以每公升溶液中含磷酸的毫克數為單位在第 1 號測量站中共收集了 15 個樣本, 而在第號測量站中取得了 1 個樣本由數據中, 我們可求得來自第 1 號測量站的樣本平均數為 3.07, 標準差為 3.84; 而來自第號測量站的樣本平均數為 1.49, 標準差為 0.80 請問對這個測量站其平均值差之 95% 的信賴區間為何? 我們假設所有觀察值都來自近似於常態分佈但變異數不同的母體 316

38 8.9 成對的觀察值成對的觀察值之的信賴區間假設 d 以及 sd 分別代表從常態分佈中隨機挑選的 n 組成對觀察值之差值的樣本平均值與標準差, 則之 100(1 )% D 信賴區間為 1 D 1 s d t d t n d / D / s d n 其中 t 是自由度為 n 1 的分佈曲線下其右邊的面 / t- 積和為 / 的 t-值 318

39 範例 8.13 光化層雜誌中報導的一項研究是對可能接觸過柑橘催化劑的 0 個越戰老兵其戴奧辛 TCDD 的指數表 8.1 紀錄的是該 0 個老兵其血漿和脂肪組織中的 TCDD 指數假設 1 與分別為血漿和脂肪組織中的 TCDD 指數的實際平均值, 假設其差值近似於常態分佈, 請問的 95% 的信賴區間為何? D 1 319

40 範例

41 8.10 單樣本個案 : 比例的估計大樣本數之 p 的信賴區間如果 pˆ x / n 為一樣本數為 n 之二項式試驗其成功樣本比例, 令 qˆ, 1則二項式分佈參數 pˆ p 的近似 100(1 信賴區 )% 間為 ( 方法一 ) 或為 ( 方法二 ) pˆ z pq ˆ ˆ / n p pˆ z pq ˆ ˆ / n pˆ / / z z / ˆ / ˆ ˆ p n z pq z / n z / pq ˆ ˆ z / p / / n 4 / / n 4 z z n z z n n n n n 其中 z / 是標準常態分佈 Z 曲線下其右邊機率和為 / 的 z 值 31

42 範例 8.14 在加拿大漢米爾敦市中隨機挑選的 500 個擁有電視機的家庭組成一樣本數 n = 500 的隨機樣本, 其中有 x = 300 個家庭訂閱 HBO 頻道請問該城市中訂閱 HBO 頻道之家庭其實際比例 p 的 95% 信賴區間為何? 31

43 8.10 單樣本個案 : 比例的估計定理 8.3 如果 ˆp 是實際值 p 的一估計值, 則我們有 100(1 )% 信心水準其誤差值不會超過 z / pq ˆ ˆ / n 3

44 8.10 單樣本個案 : 比例的估計定理 8.4 ˆp 100(1 )% 如果是實際值 p 的一估計值, 則我們有信心水準其估計誤差會小於一個指定的數 e, 此時樣本數 n 的近似值為 n z / e pq ˆ ˆ 33

45 範例 8.15 在範例 8.14 中, 請問我們需要多大的樣本數 n 才可在 95% 信心水準下估計值與實際值的誤差小於 0.0? 33

46 8.10 單樣本個案 : 比例的估計定理 8.5 如果用 ˆp 來估計實際值 p, 且其樣本數為 n z / 4e 則我們最少 (at least) 有 100(1 )% 值不會超過一個指定的量 e 的信心水準相信其誤差 34

47 範例 8.16 在範例 8.14 中, 請問我們需要多大的樣本數 n 才最少有 95% 信心水準相信估計值與實際值的誤差小於 0.0? 34

48 8.11 雙樣本個案 : 個比例的差的估計大樣本數之 p1 p 的信賴區間如果 ˆp 以及 ˆp 1 為一樣本數分別為 n 以及 n 之個二項式試 1 驗其成功樣本比例令 qˆ 以及, 則個二項式 1 1 pˆ 1 qˆ 1 pˆ 分佈參數的差值 p p 其近似之信賴區間為 100(1 )% 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( pˆ pˆ ) z p q p q p p ( pˆ pˆ ) z p q p q / 1 1 / n1 n n1 n 其中 z / 是標準常態分佈 Z 曲線下其右邊機率和為 /的 z 值 36

49 範例 8.17 我們考慮一零件生產線中是否該更換某一個程序假設我們從原有生產程序與新的生產程序所製造的產品中分別隨機挑選 1500 件與 000 件樣本, 並檢查其是否為瑕疵品已知原生產線中的 1500 個產品中有 75 個瑕疵品, 而新生產線中的 000 個產品有 80 個瑕疵品請問, 原生產程序與新生產程序之其真正瑕疵品比例的差之 90% 的信賴區間為何? 36

50 8.1 單樣本個案 : 變異數的估計 38

51 8.1 單樣本個案 : 變異數的估計的信賴區間如果 s 是常態母體中隨機挑選之樣本數為 n 的樣本變異數, 則母體變異數之的信賴區間為 100(1 )% / 1 / ( n 1) s ( n 1) s 其中以及 1 / / 分別為自由度為 n 1 的開方分佈曲線下其右邊的面積和分別為 1 / 以及 / 的值 38

52 範例 8.18 一家製造公司分派到外地之 10 包牧草的種子產品之重量 ( 以公錢為單位 ) 分別為 :46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45. 以及 46.0 請問該公司牧草種子產品重量之變異數的 95% 信賴區間為何? 假設該公司製造的牧草種子的重量為常態分佈 38

53 8.13 雙樣本個案 : 個變異數比值的估計 39

54 8.13 雙樣本個案 : 個變異數比值的估計的信賴區間 1 / 如果以及分別為來自個常態母體之樣本數分別為和的獨立隨機樣本之變異數, 則母體變異數比值的 s 1 s n1 n 1 / 100(1 )% 信賴區間為 s1 f / ( 1, ) s s s (, ) / 1 其中 f / ( 1, ) 為在自由度為 1 n11 以及的 n 1 F -分佈曲線下其右邊的面積和為 /的 f -值而且 f / (, 1 ) 是自由度為以及的分佈曲 n 1 1 n11 F- 線下其右邊的面積和為 / 的 f -值 f 330

55 範例 8.19 範例 8.1 是考慮美國詹姆士河上的個不同的資料收集站所取得的河流其磷酸濃度之平均值之差值的信賴區間的問題, 在例子中我們假設母體為常態分佈, 且其變異數是不相等的所有樣本資料如範例 8.1 中所示, 請問 / 以及之 98% 信賴區間為何? 其中 1/ 1 以及 1 分別為第 1 號資料收集站以及第號收集站的母體變異數 331

Microsoft PowerPoint - 第11章統計估計-區間估計.ppt [相容模式]

Microsoft PowerPoint - 第11章統計估計-區間估計.ppt [相容模式] 第 11 章統計估計 - 區間估計 1 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004 學習目的 1. 了解統計學的性質重要性學習統計學的目的及一些基本觀念如母體樣本參數樣本統計量等. 了解統計學的應用與誤用 3. 了解敘述統計及推論統計的基本觀念及其相互間的關係 4. 了解歸納法與演繹法的基本觀念及其與敘述統計及推論統計間的關係 5. 了解統計方法及其實施步驟以及在經濟政治社會及日常生活上的應用