Microsoft PowerPoint - SMC #3.ppt

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走允幸
5 years ago
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1 滑動模式控制 Sliig moe cotrol T. C. Kuo

2 線性非時變單輸入系統 Liear time-ivariat sigle iput system 動態方程式 (yamics equatio) x & = Ax + Bu 其中 x R, u R, A R, B R 定義誤差 (error) e = x x 其中為追蹤訊號 (esire sigal), x R x 選擇滑動函數 (sliig fuctio) 為 σ = Ce 其中 C R 幾個輸入就選擇幾個滑動函數追蹤控制 Trackig cotrol 滑動函數 (sliig fuctio), 滑動線 (sliig lie), 滑動平面 (sliig surface), 滑動變數 (sliig variable), 滑動超平面 (sliig hyperplae) C 由設計者決定 2

3 線性非時變單輸入系統推導控制法則令輸入為其中 u o 為正規輸入 (omial iput),u s 為切換輸入 (switchig iput) 當系統軌跡到達滑動平面時, σ =, 令 σ& = 可推導出 u o, σ& 選擇 u = u o + u s & = C( x& x& ) = Cx& CAx CBu = = C e o uo = ( CB) ( Cx& CAx) u s = ( CB) k sg( σ ), k > 所以輸入為 u = ( CB) ( Cx & CAx) + ( CB) k sg( σ ) CB 的反矩陣必須存在 3

4 線性非時變單輸入系統穩定性證明將輸入訊號代入滑動函數的微分, 可得 & σ = Ce& = C( x& x& ) = Cx& 對上式左右乘上 σ σ & σ = = Cx& < CAx CB = k sg(σ ) k σ CAx CBu [( CB) ( Cx & CAx) + ( CB) k sg( σ )] 由以上可知當時間趨近於無窮大時, 系統的軌跡會收斂到目標值 4

5 線性非時變單輸入系統符號函數 (sig fuctio) sg( σ ) = +, σ >, σ < 切跳 (chatterig) 現象由 u s 所造成, 使用邊界層 (bouary layer) 方式來改善, 即使用飽和函數 (saturatio fuctio) 取代符號函數 σ sat( ) ε +, σ > ε σ =, ε σ ε ε, σ < ε -ε σ sat( ) ε ε σ 5

6 線性非時變單輸入系統調節器 regulator 動態方程式 (yamics equatio) x & = Ax + Bu 其中 x R, u R, A R, B R 選擇滑動函數 (sliig fuctio) 為 σ = Cx 其中 C R 推導控制法則令輸入為 u = u o + u s 當到達滑動平面時, σ = i.e. σ& = σ& = C& x = CAx + CBuo = 選擇 = ( CB) k sg( σ ), k > u s 所以輸入為 u o = ( CB) CAx u = ( CB) CAx ( CB) k sg( σ ) 6

7 具有雜訊的線性非時變單輸入系統 Liear time-ivariat sigle iput system with oise 動態方程式 (yamics equatio) x & = Ax + Bu + D 其中 x R, u R, A R, B R, D R, R 定義誤差 (error) e = x x 其中為追蹤訊號 (esire sigal), e R x 選擇滑動函數 (sliig fuctio) 為 σ = Ce 其中 C R 7

8 具有雜訊的線性非時變單輸入系統推導控制法則令輸入為 u = u o + u s 其中 u o 為正規輸入,u s 為切換輸入當系統軌跡到達滑動平面時, σ =, 在不考慮雜訊的影響下, 令 σ& = 可推導出 u o, σ& C e& = C( x& x& ) = Cx& CAx CBu = = o uo = ( CB) ( Cx& CAx) 選擇 u s = ( CB) k sg( σ ), k > 所以輸入為 CD u = ( CB) ( Cx & CAx) + ( CB) k sg( σ ) 8

9 具有雜訊的線性非時變單輸入系統穩定性證明將輸入訊號代入滑動函數的微分, 可得 & σ = Ce& = C( x& x& ) = Cx& CAx CBu + CD [( CB) ( Cx & = Cx& CAx CB CAx) + ( CB ) k sg( σ )] + CD = k sg(σ ) + CD 對上式左右乘上 σ σ & σ = k σ + CDσ k σ + CD σ = ( k + CD )σ < 由以上可知當時間趨近於無窮大時, 系統的軌跡會收斂到目標值 9

10 具有雜訊的線性非時變單輸入系統 Example: x & = x & = x 2 2 x 3 x & 3 = x + 3x2 x3 + u+ ( x, t) ( x, t) =.5x 2 cos(.5 t) + si(3 t) where (x,t) is the oise( 雜訊 ),. Desig a sliig moe cotroller to make the sates achieve the esire poit, x =. Sol: Rewrite the yamics as x & = Ax + Bu + D where x x = 2,, x A = B =, D x 3 3 =,

11 具有雜訊的線性非時變單輸入系統 Choose the sliig fuctio is σ = Cx, C = c c c Let the eigevalues are - a -2. The characteristic equatio is Therefore, [ ] The omial cotrol iput is The switchig cotrol iput is Therefore, cotrol iput is ( λ + )( λ + 2) = λ + 3λ + 2 = c = 2, c2 = 3, c3 =, C = 2 x u o [ 2 3 ]. u = u + u = x 5 x ( x 2 + 2)sg( s) o s = ( CB) CAx = x 5x2 2x3 u s = CB) k sg( s) = ( x + 2) sg( s) ( 2

12 具有雜訊的線性非時變單輸入系統 Simulatio results: Iitial value: x =.5 Samplig time. Without isturbace Usig sig fuctio [ ] T Iput x x 2 x States Sliig fuctio

13 具有雜訊的線性非時變單輸入系統 Simulatio results: Iitial value: [.5 ] T x = Samplig time. Without isturbace Usig saturatio fuctio, ε =. Iput x x 2 x States Sliig fuctio

14 具有雜訊的線性非時變單輸入系統 Simulatio results: Iitial value: Samplig time. Disturbace is Usig sig fuctio [.5 ] T x = ( x, t) =.5x2 cos(.5t) + si(3t) Iput x x 2 x States Sliig fuctio

15 具有雜訊的線性非時變單輸入系統 Simulatio results: Iitial value: Samplig time. Disturbace is [.5 ] T x = Usig saturatio fuctio ( x, t) =.5x2 cos(.5t) + si(3t) ε =. Iput States x x 2 x Sliig fuctio

16 具有參數擾動的線性非時變單輸入系統 Liear time-ivariat sigle iput system with parameter variatio 動態方程式 (yamics equatio) x& = ( Ao + ΔA) x + Bu 其中 x R, u R, Ao R, ΔA R, B R 下標 o 代表正規的部分 (omial part), 符號 Δ 代表不確定的部分 (ucertai part) 定義誤差 (error) e = x x 其中為追蹤訊號 (esire sigal), x R x 選擇滑動函數 (sliig fuctio) 為 σ = Ce 其中 C R 令 F = ΔAx, F f 6

17 具有參數擾動的線性非時變單輸入系統推導控制法則令輸入為 u = u o + u s 其中 u o 為正規輸入,u s 為切換輸入當系統軌跡到達滑動平面時, σ =, 在不考慮參數擾動的影響下, 令 σ& = 可推導出 u o, σ& C e& = C( x& x& ) = Cx& CA x CBu = = o & CAo x) uo = ( CB) ( Cx 選擇 u s = ( CB) k sg( σ ), k 所以輸入為 > CΔAx u = ( CB) ( Cx & CAx) + ( CB) k sg( σ ) 7

18 具有參數擾動的線性非時變單輸入系統穩定性證明將輸入訊號代入滑動函數的微分, 可得 & σ = Ce& = C( x& x& ) = Cx& CAo x CΔAx CBu [( CB) ( Cx & = Cx& CA x CΔAx CB CA x) + ( CB) k sg( σ )] = CΔAx k sg(σ ) 對上式左右乘上 σ σ & σ = o CΔAxσ k σ CΔAx σ k σ ( )σ = CΔAx k < 由以上可知當時間趨近於無窮大時, 系統的軌跡會收斂到目標值 o 8

19 Homewoks#3 如下所示的系統 x & = x & = x & = x 2 2 x 3 3 x 4 x & 4 = x x2 2x3 + x4 + u+ ( x, t) x =.3, 其中 ( x, t) = ( x + x2)cos(.5 t) + 2si( t), 假設系統的初始值為 x2 =, x3 =.2, x4 =, 請設計一個滑動模式控制器使得所有的狀態都收斂到 9

<4D6963726F736F667420576F7264202D2032303037C4EAC6D5CDA8B8DFB5C8D1A7D0A3D5D0C9FAC8ABB9FACDB3D2BBBFBCCAD4CEC4BFC6D7DBBACDCAD4BEEDBCB0B4F0B0B82DD6D8C7ECBEED2E646F63>

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