抽樣調查是觀測研究當中很重要的一種

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溪劳
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1 什麼是信賴區間鄭惟厚教授 / 淡江大學數學系抽樣調查是觀測研究當中很重要的一種, 它是從某個特定母體中抽取樣本, 然後從樣本中擷取關於整個母體的資訊如此從小推大從樣本推母體, 屬於推論統計 (inferential statistics) 的範疇推論做得好不好, 和樣本好壞有極大的關係好樣本的例子 : 簡單隨機樣本 ( 比如樂透彩的號碼, 任何一組六個號碼被抽中的機率都相同 ) 壞樣本的例子 : 方便樣本 ( 我想知道一般大眾對某議題的意見, 但是為了方便, 我只問了我手機通訊錄當中每一個人的意見 ) 自發性回應樣本 ( 比如扣應, 樣本不是被抽中的, 而是自己主動加入的 ) 這裡的重點是 : 一定要用隨機樣本, 不僅僅是因為隨機樣本才有代表性, 也是因為從樣本推母體背後的依據也必須植基在隨機樣本的假設之上, 如果不是隨機樣本, 則母體和樣本之間的關係就很不清楚了抽樣調查當中大家最熟悉的一種就是民意調查了, 而民調的結果要如何解讀呢? 比如說, 如果在縣市長選舉之前, 一項對北部某縣兩大候選人支持度所做民調結果告訴我們說 : 有 37% 選民支持甲候選人,23% 支持乙候選人 ; 在 95% 信心水準下, 抽樣誤差在正負三點一個百分點以內這是什麼意思呢? 意思是說, 我們有 95% 信心, 支持甲的選民比例, 在 (.339,.401) 範圍內, 而支持乙的選民比例, 在 (.199,.261) 範圍內括弧內的數字是分別用 37% 和 23% 加減 3.1% 得來的, 而這兩個範圍, 就是我們要討論的信賴區間 (confidence interval) 有了信賴區間, 還是有很多問題要問, 比如說 95% 信心確實是什麼意思? 從樣本 ( 受訪的選民 ) 得到的結果 (37%, 23%), 又怎樣可以代表母體 ( 該縣全體選民 ) 呢? 以下就用一個例子來做詳細說明信賴區間例一 : 詐騙電話 -11-

2 假設我們想知道全台灣成年人當中, 有多少百分比接到過詐騙電話我們沒法子問到全台灣的成年人, 因此只能抽樣本來做調查, 抽樣調查的目的, 就是要根據樣本的數據來對母體做結論民國 93 年 4 月, 聯合報就做了這樣一項調查, 得到的結果是 : 過去一年來, 高達六成七受訪者表示曾親自接到詐騙電話另外還有 : 調查於四月十九日至四月二十日進行, 成功訪問了九百一十二位成年民眾, ; 在百分之九十五的信心水準下, 抽樣誤差在正負三點二個百分點以內調查是以台灣地區住宅電話為母體作尾數兩位隨機抽樣 ( 見 93 年 4 月 22 日聯合報 ) 我們來探討一下這項報導的內容應如何解讀在這項調查以及許多其他問題當中我們所想要知道的, 是用來描述母體的一個數 ( 例如百分比或平均數 ), 這樣一個描述母體的數叫做參數 (parameter), 在上面的例子中, 就是全台灣成年人當中接到過詐騙電話的百分比, 我們通常用 p 這個符號來表示這樣的一個母體比例,p 代表 proportion 母體通常很大無法掌握, 所以若要估計母體參數, 我們可以從母體取一個樣本 ( 用隨機方式 ), 並利用從樣本算出的某個統計量 (statistic) 的值來當做我們的估計統計量是樣本的函數, 一旦取得樣本統計量的值就可以算得出來在上面的例子中, 統計量就是樣本比例 (sample proportion), 也就是受訪民眾中接到過詐騙電話的比例, 它的值也就是報導中的 67% 母體比例( 全台灣成年人當中接到過詐騙電話的百分比 ) 也會是 67% 嗎? 通常是不會, 因為我們知道樣本結果通常不會和母體的真正比例一模一樣我們只能說, 全台灣成年人當中接到過詐騙電話的百分比, 大約是 67% 而信賴區間把這個大約具體化了 95% 信賴區間 95% 信賴區間是從樣本數據計算出來的一個區間, 保證在所有樣本當中, 有 95% 會把真正的母體參數包含在區間之中什麼意思呢? 把例一中的 67% 分別加減報導中提到的抽樣誤差 3.2%, 所得到的區間 (.638,.702) 就是對於母體比例 p 的 95% 信賴區間 95% 的確實意義是這樣的 : 如果我們重新抽一個同樣大小的樣本 (912 人 ), 樣本中 -12-

3 接到過詐騙電話的百分比還會是 67% 嗎? 多半不會, 因為樣本的組成份子會改變, 我們假設這次得到的樣本比例是 69.5% 好了, 加減 3.2% 就得到 (.663,.727); 如果再重抽一次, 假設得到 65%, 區間就變成 (.618,.682); 假設我們如此這般一直重複下去, 得到無數的區間, 則在這些區間當中, 有 95% 會把真正的母體比例, 也就是 p ( 全台灣成年人當中接到過詐騙電話的百分比 ), 包含在區間裡面民調實際得到的區間 (.638,.702) 有沒有把 p 包含在裡面呢? 這只有老天爺知道但是因為包含 p 的區間佔所有區間的 95%, 所以這個區間包含 p 的機會是頗大的, 如果這是事實的話, 代表真正的 p 就介於.638 和.702 之間如果運氣不好, 這個區間正好屬於不包含 p 的 5%, 則代表真正的 p 不是大於.702 就是小於.638 要真正了解信賴區間, 必須對它的背景有所認識, 現在來介紹信賴區間背後的依據信賴區間的背景知識假設我們要估計母體成員中擁有某種特質的比例 p, 這個特質可能是指贊成某議題, 或者如果母體是某家工廠生產的所有零件時, 這個特質就可能是指瑕疵品我們把正在考慮的這個特質叫做成功我們用簡單隨機樣本的成功比例 pˆ, 來估計母體的成功比例 p: pˆ = 樣本中的成功計數 / 樣本大小統計量 pˆ 做為參數 p 之估計表現如何? 要知道答案, 我們會問 : 如果我們抽取許許多多樣本, 會發生什麼情況? 首先我們知道, pˆ 的值會隨著樣本而變, 每一次抽樣之前, 都不可能預知結果 ; 然而長期下來, 如果我們把所有 pˆ 的值放在一起考慮的話 ( 比如說畫一個直方圖 ), 它會有很清楚的型態, 用常態曲線可以把這個型態描繪得相當接近 ( 參考附圖, 出處 : 統計學的世界 ) 什麼是常態曲線直方圖可以用來描述數值變數的分布密度曲線是另一種圖, 但也做同樣用途密度曲線底下的面積必定是 1, 而曲線的形狀可以描述一個分布的整體型態曲線底下的面積, 代表觀測值會落在對應的區間內的比例用目測法可以找到密度曲線的中位數 ( 等面積點 ) 及平均數 ( 平衡點 ) 的大致位置常態曲線是一族特別的密度曲線, 適合用來描述某些種類數據的整體型態常態曲 -13-

4 線是對稱的鐘形 ( 也可說是丘型 ) 任何特定的常態曲線都可以完全由它的平均數和標準差來決定所有常態分布都遵循規則規則在任何常態分布當中, 大約有 68% 的觀測值會落在距平均數一個標準差的範圍內 95% 的觀測值會落在距平均數二個標準差的範圍內 99.7% 的觀測值會落在距平均數三個標準差的範圍內樣本比例之抽樣分布一個統計量的抽樣分布, 是指同一母體所抽出, 同樣大小的所有可能樣本, 其統計量的值之分布從一個成功比例為 p 的很大母體抽取一個大小為 n 的 SRS( 簡單隨機樣本 ) 用 pˆ 表示成功的樣本比例 : pˆ = 樣本中的成功計數 /n 則當樣本夠大時 : pˆ 的分布為近似常態 (approximately normal) 抽樣分布的平均數和 p 相等抽樣分布的標準差是 p ( 1 p) n 抽樣分布描述的是從同一母體抽出的許多樣本之結果上述結果是有名的中央極限定理 (Central Limit Theorem) 的一種版本, 這個定理在大部份機率統計教科書中都可以找得到根據上面說的抽樣分布可以得知, 對於 pˆ 來說, 有 95% 的機會, pˆ 會落在平均數 p 加減兩個標準差範圍內, 用不等式表示就是 : p ( 1 p) pˆ -p <2 n 但是絕對值裡面的兩項可以掉換位置, 所以我們也可以說 : 當母體比例的值為 p 時, 有 95% 的樣本, 其所得 pˆ 值往左右各延伸 2 個標準差所得到 -14-

5 的區間, 會把 p 值包含進去, 也就是說有 95% 的機會,p 會落在下面的區間當中 pˆ ±2 p ( 1 p) n 本來這已可當作信賴區間了, 只是還有一個傷腦筋的問題, 就是我們不知道 p 的值是多少, 當初不就是因為沒法知道 p 的值, 才需要大費周章想辦法估計它的嗎? 幸好還有辦法補救, 就是在標準差公式中, 將未知的 p 用統計量 pˆ 的值取代, 如果我們猜測的 p 值合理靠近真正 p 值的話, 用猜測的值算出來的標準差就會大致正確如此我們可以得到以下結果 ( 當然是經過嚴謹的証明得到的 ): 比例之 95% 信賴區間從一個成功佔未知比例 p 的大母體抽取一個大小為 n 的簡單隨機樣本把這個樣本中的成功比例叫做 pˆ 參數 p 的一個近似 95% 信賴區間為 : pˆ ± 2 pˆ ( 1 pˆ ) n 這個結果的意思是說, 我們每抽一次樣本 ( 樣本大小為 n), 就會得到一個 pˆ 值, 因此就可以算出一個信賴區間假設我們重複這個步驟, 繼續不斷抽樣下去, 樣本大小不變, 每個樣本都會產生一個新的 pˆ 和新的信賴區間如此不停地抽樣下去, 所有的區間當中, 有 95% 會包含真正的參數值 p 不論真正的參數值是什麼, 都會是這樣我們的區間只是近似的 95% 信賴區間, 不是確實的 95% 信賴區間有兩個理由 : 樣本比例 pˆ 的抽樣分布並不是確實符合常態分布還有我們所用的 pˆ 值之標準差也不是完全正確, 因為我們在公式中用 pˆ 取代了未知的 p 這兩個弱點造成的影響, 會隨著樣本大小 n 的增加而愈來愈小所以我們的公式只適用於較大之樣本還有, 我們的方法有假設母體很大至少要有樣本大小的 10 倍大所謂較大樣本沒有標準答案, 有人建議 30 以上, 也可以用以下建議, 就是 : 必須符合 np 5 而且 n(1-p) 5, 當然不知道 p 時, 又可用 pˆ 來估計專業的統計學家使用較複雜的方法, 會把母體大小也納入考慮, 這些方法連小樣本都可以適用 -15-

6 現在回到我們的詐騙電話例子 : 例二 : 計算信賴區間我們想知道全台灣成年人當中, 有多少百分比接到過詐騙電話聯合報 93 年民調結果說 : 高達六成七受訪者表示曾親自接到詐騙電話成功訪問到的人共有 912 位, 而在百分之九十五的信心水準下, 抽樣誤差在正負三點二個百分點以內我們來用公式算一算, 找出全台灣成年人真正接到詐騙電話比例,p, 之信賴區間把 pˆ =.67 帶入以下公式 ( 1 pˆ ) pˆ pˆ ± 2 可得到.67± 2( ) =.67± n 如果取到小數第三位, 就得到 (0.639, 0.701) 這個信賴區間了所以我們有 95% 的信心, 真正的比例就在這個範圍當中報導中說 : 抽樣誤差在正負三點二個百分點以內, 而我們算出的抽樣誤差是 , 並不矛盾因為這裏所用的常態分布是一個近似結果, 所以這個抽樣誤差也可說是近似值, 我們慣用的四捨五入在這裏不太恰當, 報導正負三點二個百分點以內應是較穩當的作法補充資料常態密度曲線是怎樣的函數? 它的函數式為 f ( x ) = 2 ( µ ) 1 x 2 e 2σ, - <x< 2π σ 其中的 μ 是它的平均數而 σ 2 是它的變異數所有密度曲線 f(x) 的共同特性 : 1. f(x) 0 對所有 x 均成立 2. f(x) 底下的總面積為 1 而常態密度曲線還有以下性質 ( 可自行驗證 ): -16-

7 1. 它的圖形對稱於 μ 2. 它有反曲點在 x = μ-σ 及 x = μ+σ 3. 符合規則平均數為 0 標準差為 1 的常態分布叫做標準常態 (standard normal) 分布 ; 若 X 代表平均數為 μ 標準差為 σ 的常態隨機變數, 則 (X-μ)/σ 就會是標準常態隨機變數 ( 因為平均數會是 0, 標準差會是 1) 主要參考資料 : 統計學的世界天下文化出版 -17-

8 圖片出處 : 統計學的世界, 天下文化出版 -18-

9 95 課綱信賴區間教學活動利用隨機數字表, 以 2 個數字為一組, 模擬從母體抽樣, 算出樣本中贊成合法賭博的比例, 共做三個樣本, 樣本大小分別為 (a)n=5, (b)n=10, (c)n=25 再用 n=25 的結果找出 95% 信賴區間起始點之選擇 : (1) 身分證最後二碼 ab 在 01~50 之間, 從列 1ab 第 b 行開始. ( 若 b=0, 從第 10 行始.) (2) 身分證最後二碼 ab 在 51~99 之間, 從列 (50+ab) 第 b 行開始. ( 若 b=0, 從第 10 行始.) (3) 身分證最後二碼 00, 從任何地方開始. 要寫出 (A) 起始位置 (B)2 個數為一組的號碼 ( 同一個樣本中, 重複的號碼要刪除, 畫一斜線即可 ), 以及對應之贊成與否 ( 可用圈叉表示 ) (C) 贊成比例 (D) 信賴區間 -19-

10 隨堂練習的母體, 包含 100 個個體有些個體 ( 白色圓圈 ) 贊成合法賭博, 其他的不贊成 -20-

11 隨機數字表 101 列

12 95% 信賴區間表 ( 樣本數 n=25) pˆ 1 pˆ pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) 25 pˆ (1 pˆ) 25 2 pˆ(1 pˆ) 25 95% 信賴區間左端點 95% 信賴區間右端點

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Microsoft PowerPoint - CH11決定樣本的大小.ppt 第十一章決定樣本的大小中興大學行銷系黃文仙本章大綱 1. 樣本大小的規則. 以接近信賴區間決定樣本大小 3. 樣本大小的公式 4. 決定樣本大小時的實務考量 5. 決定樣本大小的其他方法 6. 兩種樣本大小的特殊決定情況 1 前言樣本選擇的方法會影響樣本代表性樣本大小並不能判斷代表性, 但會影響到樣本結果的正確性樣本正確性 (sample accuracy) 是指隨機樣本的統計值與母體值的接近程度