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偿便霁祖
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1 第二章经典单方程计量经济学模型 : 一元线性回归模型一内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法首先, 本章从总体回归模型与总体回归函数样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始, 建立了回归分析的基本思想总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述, 由总体回归模型在若干基本假设下得到, 但它只是建立在理论之上, 在现实中只能先从总体中抽取一个样本, 获得样本回归函数, 并用它对总体回归函数做出统计推断本章学习的一个重点是如何获取线性的样本回归函数, 主要涉及到普通最小二乘法 OLS 的学习与掌握同时, 也介绍了极大似然估计法 ML 以及矩估计法 MM 本章的另一个学习的重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断, 即进行所谓的统计检验统计检验包括两个方面, 一是先检验样本回归函数与样本点的拟合优度, 第二是检验样本回归函数与总体回归函数的接近程度后者又包括两个层次 : 第一, 检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系, 通过变量的检验完成 ; 第二, 检验回归函数与总体回归函数的接近程度, 通过参数估计值的区间检验完成本章还有三方面的内容不容忽视其一, 若干基本假设样本回归函数参数的估计对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的其二, 参数估计量统计性质的分析, 包括小样本性质与大样本性质, 尤其是无偏性有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则 Goss-markov 定理表明 OLS 估计量是最佳线性无偏估计量其三, 运用样本回归函数进行预测, 包括被解释变量条件均值与个值的预测预测置信区间的计算及其变化特征等二典型例题分析例令表示一名妇女生育孩子的数目, 表示该妇女接受过教育的年数生育率对教育年数的简单回归模型为 + +

2 随机扰动项包含什么样的因素? 它们可能与教育水平相关吗? 上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗? 请解释解答 : 收入年龄家庭状况政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素, 在上述简单回归模型中, 它们被包含在了随机扰动项之中有些因素可能与增长率水平相关, 如收入水平与教育水平往往呈正相关年龄大小与教育水平呈负相关等当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平相关时, 上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响, 因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形, 违背了基本假设例. 已知回归模型 α + N +, 式中为某类公司一名新员工的起始薪金元, N 为所受教育水平年随机扰动项的分布未知, 其他所有假设都满足从直观及经济角度解释 α 和 OLS 估计量 α 和满足线性性无偏性及有效性吗? 简单陈述理由 3 对参数的假设检验还能进行吗? 简单陈述理由解答 : α + N 为接受过 N 年教育的员工的总体平均起始薪金当 N 为零时, 平均薪金为 α, 因此 α 表示没有接受过教育员工的平均起始薪金是每单位 N 变化所引起的的变化, 即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值 OLS 估计量 α 和仍满足线性性无偏性及有效性, 因为这些性质的成立无需随机扰动项的正态分布假设 3 如果的分布未知, 则所有的假设检验都是无效的因为检验与 F 检验是建立在的正态分布假设之上的例 3 在例中, 如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为元, 估计的截距项与斜率项有无变化? 如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月, 估计的截距项与斜率项有无变化? 解答 : 首先考察被解释变量度量单位变化的情形以 * 表示以百元为度量单位的薪金, 则由此有如下新模型 * α + N + * α / + / N + /

3 或 * α * + * N + * 这里 α * α /, * / 所以新的回归系数将为原始模型回归系数的 / 再考虑解释变量度量单位变化的情形设 N * 为用月份表示的新员工受教育的时间长度, 则 N * N, 于是 α + N + α + N * / + 或 α + / N * + 可见, 估计的截距项不变, 而斜率项将为原回归系数的 / 例 4 对没有截距项的一元回归模型 + 称之为过原点回归 regrsso hrough he org 试证明如果通过相应的样本回归模型可得到通常的正规方程组 e e 则可以得到的两个不同的估计值 : ~, ~ 在基本假设下, 与均为无偏估计量 3 拟合线 ~ ~ 通常不会经过均值点,, 但拟合线则相反或求解得 4 只有是的 OLS 估计量解答 : 由第一个正规方程 e 得 ~ ~ ~ / 由第个正规方程得求解得 / 3

4 ~ 对于 /, 求期望 ~ [ + ] [ { + ] 这里用到了的非随机性对于 /, 求期望 / + [ + ] 3 要想拟合值通过点,, 必须等于但通常不等于这就意味着点, 不太可能位于直线上 ~ 相反地, 由于, 所以直线 ~ 经过点, 4OLS 方法要求残差平方和最小 M 关于求偏导得 RSS RSS e 即可见是 OLS 估计量, 例 5. 假设模型为 α + + 给定个观察值,,,,,,, 按如下步骤建立的一个估计量 : 在散点图上把第个点和第个点连接起来 4

5 并计算该直线的斜率 ; 同理继续, 最终将第个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜率 ; 最后对这些斜率取平均值, 称之为, 即的估计值画出散点图, 给出的几何表示并推出代数表达式计算的期望值并对所做假设进行陈述这个估计值是有偏的还是无偏的? 解释理由 3 证明为什么该估计值不如我们以前用 OLS 方法所获得的估计值, 并做具体解释解答 : 散点图如图 - 所示,,, 图 - 首先计算每条直线的斜率并求平均斜率连接, 和, 的直线斜率为 / 由于共有 - 条这样的直线, 因此 [ ] 因为非随机且, 因此 [ α + ] [ + α + + ] + [ ] 这意味着求和中的每一项都有期望值, 所以平均值也会有同样的期望值, 则表明是无偏的 3 根据高斯 - 马尔可夫定理, 只有的 OLS 估计量是最佳线性无偏估计量, 因此, 这里得到的的有效性不如的 OLS 估计量, 所以较差例 6. 对于人均存款与人均收入之间的关系式 S α + + 使用美国 36 年的年度数据得如下估计模型, 括号内为标准差 : S

6 R.538 的经济解释是什么? α 和的符号是什么? 为什么? 实际的符号与你的直觉一致吗? 如果有冲突的话, 你可以给出可能的原因吗? 3 对于拟合优度你有什么看法吗? 4 检验是否每一个回归系数都与零显著不同在 % 水平下同时对零假设和备择假设检验统计值其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述你的结论是什么? 解答 : 为收入的边际储蓄倾向, 表示人均收入每增加美元时人均储蓄的预期平均变化量由于收入为零时, 家庭仍会有支出, 可预期零收入时的平均储蓄为负, 因此 α 符号应为负储蓄是收入的一部分, 且会随着收入的增加而增加, 因此预期的符号为正实际的回归式中, 的符号为正, 与预期的一致但截距项为正, 与预期不符这可能是由于模型的错误设定造成的如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为, 省略该变量将对截距项的估计产生影响 ; 另一种可能就是线性设定可能不正确 3 拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力模型中 53.8% 的拟合优度, 表明收入的变化可以解释储蓄中 53.8 % 的变动 4 检验单个参数采用检验, 零假设为参数为零, 备择假设为参数不为零双变量情形下, 在零假设下分布的自由度为由分布表知, 双侧 % 下的临界值位于.75 与.74 之间斜率项计算的值为.67/.6.9; 截距项计算的值为 384.5/ 可见斜率项计算的值大于临界值, 截距项小于临界值, 因此拒绝斜率项为零的假设, 但不拒绝截距项为零的假设附录 : 一些理论结果的证明令和分别为对回归和对回归中的斜率, 证明 r 其中 r 为与之相的线性相关系数证明 : 容易知道, 在上述两回归中斜率项分别为 6

7 , 于是 r 记样本回归模型为 + + e, 试证明 : 估计的的均值等于实测的的均值 : 残差和为零, 从而残差的均值为零 : e, e 3 残差项与不相关 : e 4 残差项与估计的不相关 : e ; 证明 : 由于故 + 这里用到了由一元回归中正规方程组中的第一个方程知 : e, e e 3 由一元回归中正规方程组中的第二个方程知 : e 4 由及 3 易知 e + e + e e 3 对一元线性回归模型 + +, 试证明普通最小二乘估计量在所有线性无偏估计量中具有最小方差性 7

8 证 : 设 * 是其他方法得到的关于的线性无偏估计量 : * c 其中, c k + d, d 为不全为零的常数, 于是 c c c + c + * c 由 * * 的无偏性, 即可知 : c c + 已知 c, 从而 c * * 的方差 var var c c var c var k d k + σ σ d σ + σ c σ + k d 由于 k d k c k kc k c c c k k * 故 var k + + σ d σ σ σ d var + σ 因为 d 所以 * var var 当 d,,, 等号成立, 此时, c k, * 就是 OLS 估计量 d 4 试证明一元线性回归模型随机扰动项的方差 σ 的无偏估计量为 σ 证 : 给定一组样本 {, }, 容易写出模型 + + 的离差形式为 : + 根据样本回归函数的离差形式 : 易知 e 8

9 9 k k k e Σ Σ Σ + Σ Σ Σ Σ + Σ Σ + Σ Σ Σ Σ + Σ Σ + + Σ + Σ Σ Σ 因为 var σ σ + σ σ + j j j 所以 σ σ σ σ + e 从而 σ Σ e 5 对一元线性回归模型 + +, 试证明, Cov σ 证 : var, Cov σ

10 四补充练习题 -. 解释下列概念 : 总体回归函数样本回归函数 3 随机的总体回归函数 4 线性回归模型 5 随机误差项 6 残差项 e 7 条件期望 8 回归系数或回归参数 9 回归系数的估计量最小二乘平方法最大似然法估计量的标准差 3 总离差平方和 4 回归平方和 5 残差平方和 6 协方差 7 拟合优度检验 8 检验 -. 判断正误并说明理由 : 随机误差项和残差项 e 是一回事总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值 3 线性回归模型意味着变量是线性的 4 在线性回归模型中, 解释变量是原因, 被解释变量是结果 5 随机变量的条件均值与非条件均值是一回事 -3. 回答下列问题 : 总体方差与参数估计方差的区别与联系随机误差项和残差项 e 的区别与联系 3 根据最小二乘原理, 所估计的模型已经使得拟合误差达到最小, 为什么还要讨论模型的拟合优度问题? 4 为什么用决定系数 R 评价拟合优度, 而不用残差平方和作为评价标准? 5 回归分析与相关分析的区别与联系 6 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么? 说明它们有何区别? 7 为什么要进行解释变量的显著性检验? 8 是否任何两个变量之间的关系, 都可以用两变量线性回归模型进行分析?

11 -4. 表 - 列出若干对自变量与因变量对每一对变量, 你认为它们之间的关系如何? 是正的负的还是无法确定? 并说明理由表 - 因变量 GNP 利率个人储蓄利率 3 小麦产出降雨量自变量 4 美国国防开支前苏联国防开支 5 棒球明星本垒打的次数其年薪 6 总统声誉任职时间 7 学生计量经济学成绩其统计学成绩 8 日本汽车的进口量美国人均国民收入 -5. 参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么? 从参数估计量的无偏性和有效性证明过程说明, 为什么说满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性和有效性? -6. 试证明过原点回归模型 + 中斜率项有 Var σ -7. 为什么在一元线性方程中, 最小二乘估计量与极大似然估计量的表达式是一致的? e 证明 σ 的 ML 估计量 σ 是有偏的 -8. 现代投资分析的特征线涉及如下回归方程 : r + rm + u ; 其中 :r 表示股票或债券的收益率 ; r m 表示有价证券的收益率用市场指数表示, 如标准普尔 5 指数 ; 表示时间在投资分析中, 被称为债券的安全系数, 是用来度量市场的风险程度的, 即市场的发展对公司的财产有何影响依据 956~976 年间 4 个月的数据,Fogler 和 Gapah 得到 IBM 股票收益率的回归方程如下 : r r m.3.78 R.47 要求 : 解释回归参数的意义 ;

12 如何解释 R? 3 安全系数 > 的证券称为不稳定证券, 建立适当的零假设及备选假设, 检验 IBM 是否是易变股票 α 5% -9. 已知模型 α + +, 证明 : 估计量 α 可以表示为 : α W, 这里 W -. 一个消费分析者论证了消费函数 C α + 是无用的, 因为散点图上的点 C, 不在直线 C α + 上他还注意到, 有时上升但 C 下降因此他下结论 : C 不的函数请你评价他的论据这里 C 是消费, 是收入是 -. 证明 : 仅当 R 时, 对的线性回归的斜率估计量等于对的线性回归的斜率估计量的倒数 -. 证明 : 相关系数的另一个表达式是 : r S 其中一次项系数的估计值, S S 分别为与的样本标准差 S 为一元线性回归模型 -3. 对于经济计量模型 : + +, 其 OLS 估计参数的特性在下列情况下会受到什么影响 : 观测值数目增加 ; 各观测值差额增加 ; 3 各观测值近似相等 ; 4-4. 假定有如下的回归结果 : , 其中, 表示美国的咖啡的消费量每天每人消费的杯数, 表示咖啡的零售价格美元 / 杯, 表示时间问这是一个时间序列回归还是横截面序列回归? 做出回归线 ; 如何解释截距的意义, 它有经济含义吗? 如何解释斜率? 3 能否求出真实的总体回归函数? 4 根据需求的价格弹性定义 : 弹性斜率 /, 依据上述回归结果, 你能求出

13 对咖啡需求的价格弹性吗? 如果不能, 计算此弹性还需要其他什么信息? -5. 假设某人通过一容量为 9 的样本估计了如下消费函数 C α + +, 并获得下列结果 : C R 要求 : 利用值检验假设 : 取显著水平为 5%; 确定参数估计量的标准差 ; 3 构造的 95% 的置信区间, 这个区间包括吗? -6. 表 -3 给出了某社区每月家庭的收入与消费支出的调查数据表 -3 每月收入元每月消费支出元 8 55,6,65,7,75 65,7,74,8,85,88 79,84,9,94,98 4 8,93,95,3,8,3,5 6,7,,6,8,5 8,5,,3,35,4,36,4,44,45 35,37,4,5,57,6,6 4 37,45,55,65,75,89 6 5,5,75,78,8,85,9 要求 : 对每一收入水平, 计算平均的消费支出,, 即条件期望值 ; 以收入为横轴消费支出为纵轴作散点图 ; 在散点图中, 做出中的条件均值点 ; 你认为与之间与的均值之间的关系如何? 3 写出其总体回归函数 4 如果对每一个值, 随机抽取一个值, 结果如下 : 求样本回归函数 5 在同一个图中, 做出总体回归线与样本回归线, 它们相同吗? -7. 表 -4 给出了某国 99~996 年间的 CPI 指数与 S&P5 指数要求 : 3

14 以 CPI 指数为横轴 S&P 指数为纵轴做图 ; 你认为 CPI 指数与 S&P 指数之间关系如何? 3 考虑下面的回归模型 : S & P + CPI +, 根据表中的数据运用 OLS 估计上述方程, 并解释所得结果表 -4 年份 CPI S&P5 指年份 CPI S&P5 指数表 -5 给出了美国 3 所知名学校的 MBA 学生 994 年基本年薪 ASP GPA 分数从 ~4 共四个等级 GMAT 分数以及每年学费的数据要求 : 用双变量回归模型分析 GPA 是否对 ASP 有影响? 用合适的回归模型分析 GMAT 分数是否与 ASP 有关? 3 每年的学费与 ASP 有关吗? 你是如何知道的? 如果两变量之间正相关, 是否意味着进到最高费用的商业学校是有利的 ; 4 你同意高学费的商业学校意味着高质量的 MBA 成绩吗? 为什么? 表 -5 学校 ASP 美元 GPA GMAT 美元 Harvard Saford Columba Darmouh Wharo Norhweser Chcago MIT Vrga UCLA Berkele Corell NU Duke Carege Mello Norh Carola

15 Mchga Teas Idaa Purdue Case Weser Georgeow Mchga Sae Pe Sae Souher Mehods Tulae Illos Lowa Mesoa Washgo 表 -6 给出了 988 年 9 个工业国的名义利率与通货膨胀率的数据要求 : 以利率为纵轴通货膨胀率为横轴做图 ; 用 OSL 进行回归分析 ; 3 如果实际利率不变, 则名义利率与通货膨胀率的关系如何? 表 -6 国家 % % 国家 % % 澳大利亚墨西哥加拿大瑞典.. 法国英国德国 4..6 美国意大利答 : ⑴ 总体回归函数是指在给定补充练习参考答案将总体被解释变量的条件期望表示为解释变量的某种函数数下分布的总体均值与所形成的函数关系或者说 : ⑵ 样本回归函数指从总体中抽出的关于的若干组值形成的样本而建立的回归函 ⑶ 随机的总体回归函数指含有随机误差项的总体回归函数是相对与条件期望形式而言 5

16 的 ⑷ 教材中所讲的线性回归模型既指对变量是线性的, 也指对参数为线性的即解释变量与参数只以它们的次方出现 ⑸ 随机误差项也称误差项, 是一个随机变量, 针对总体回归函数而言 ⑹ 残差项是一随机变量, 针对样本回归函数而言 ⑺ 条件期望又称条件均值, 指取特定值时的的期望值 ⑻ 回归系数或回归参数指回归模型中等未知但却是固定的参数 ⑼ 回归系数的估计量指用参数的结果方法方法等表示的用已知样本提供的信息所估计出来总体未知 ⑽ 最小二乘法又称最小平方法, 指使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的 ⑾ 最大似然法又称最大或然法, 指用产生该样本概率最大的原则去确定样本回归函数的 ⑿ 估计量的标准差是度量一个变量变化大小的测度量 ⒀ 总离差平方和用 TSS 表示, 用以度量被解释变量的总变动 ⒁ 回归平方和用 SS 表示, 用以度量由解释变量变化引起的被解释变量的变化部分 ⒂ 残差平方和用 RSS 表示, 用以度量实际值与拟合值之间的差异, 是由除解释变量以外的其他因素引起的被解释变量变化的部分 ⒃ 协方差用 Cov, 表示, 是用来度量二个变量关联程度的统计量 ⒄ 拟和优度检验指检验模型对样本观测值的拟合程度, 用 R 表示, 该值越接近, 模型对样本观测值拟合得越好 ⒅ 检验是针对每个解释变量进行的显著性检验, 即构造一个统计量, 如果该统计量的值落在置信区间外, 就拒绝原假设 -. 答 : 错误 ; 随机误差项是针对总体回归模型而言的, 它是模型中其他没有包含的因素的综合体 ; 而残差项是针对样本回归模型而言的, 它是实际观测值与样本回归线上值的离差两者的含义不同, 后者只能说成是对前者的一个估计 6

17 错误 ; 总体回归函数给出了对应于第一个自变量的被解释变量的均值 3 在不考虑参数非线性的情况下是正确的 4 正确 ; 这是建立回归模型的前提 5 错误 ; 只有在解释变量与随机误差项不相关时, 随机误差项与条件均值与非条件均值才是一回事在基本假设成立的情况下, 两者是一回事 -3. 答 : 总体方差又称随机误差项的方差, 用 Var σ 表示它是参数估计量方差的有机组成部分如在一元线性回归模型 + + 中, σ Var, Var σ, 随机误差项是指总体观测值与回归方程理论值之间的偏差, 而残差项 e 是指样本观测值与回归方程理论值之间的偏差, 二者是有区别的 ; 但是, 由于总体观察值无法得到, 从而造成总体回归函数事实上是未知的, 因此, 一般的做法是通过样本观测获得的信息去估计总体回归函数, 这样, 残差 e 就是随机误差项的一个样本估计量 3 普通最小二乘法所保证的最好拟合是同一个问题内部的比较, 即使用给出的样本数据满足残差的平方和最小 ; 拟合优度检验结果所表示的优劣可以对不同的问题进行比较, 即可以辨别不同的样本回归结果谁好谁坏 SS RSS 4 判定系数 R, 含义为由解释变量引起的被解释变量的变化占 TSS TSS 被解释变量总变化的比重, 用来判定回归直线拟合的优劣该值越大说明拟合得越好 ; 而残差平方和与样本容量关系密切, 当样本容量比较小时, 残差平方和的值也比较小 ; 尤其是不同样本得到的残差平方和是不能做比较的此外, 作为检验统计量的一般应是相对量而不能用绝对量, 因而不能使用残差平方和判断模型的拟合优度 5 回归分析是讨论被解释变量与一个或多个解释变量之间具体依存关系的分析方法 ; 相关分析是讨论变量之间线性相关程度的分析方法 ; 二者的区别在于 : 研究的目的不同, 相关分析着重探讨变量间的关联程度, 而回归分析却要进一步探寻变量间具体依赖关系, 即希望根据解释变量的固定值去估计和预测被解释变量的平均值 ; 对变量的处理不同, 相关分析对称地处理相互联系的变量, 而回归分析必须明确解释变量与被解释变量二者的联系在于 : 回归分析建立在相关分析基础之上, 当相互有关联的变量进一步有因果关系时, 可进一步进 7

18 行回归分析相关分析中线性相关系数的平方等于回归分析中的拟合优度 6 最小二乘法和最大似然法都是常用于对线性回归模型参数进行估计的方法最小二乘法的基本原理是 : 用使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数 ; 最大似然法的基本原理是 : 用产生该样本概率最大的原则去确定样本回归函数它们的区别在于 : 最小二乘法的估计量具有线性无偏性与有效性, 随机误差项方差估计量也是无偏的 ; 而最大似然法的估计量仅具有线性无偏性有效性, 其随机误差项方差的估计量是有偏的 7 对解释变量进行显著性检验的目的, 是为了决定该变量是否应作为解释变量被保留在模型中, 如果该变量对被解释变量的影响并不显著, 就应该将其剔除, 并寻找其他可能的变量建立模型 8 不是当变量间存在非线性关系时, 可建立非线性回归模型 -4. 答 : 无法确定 ; 正的因果关系 ; 3 因果关系但不能确定正负 ; 4 正的因果关系 ; 5 正的相关关系 ; 6 无法确定 ; 7 正的因果关系 ; 8 正的相关关系 -5. 答 : 参数估计量的无偏性是指 : 参数估计量的均值等于模型参数值, 即, 参数估计量的有效性是指 : 在所有线性无偏估计量中, 该参数估计量的方差最小从参数估计量的无偏性和有效性的证明过程中看出, 得出无偏性有效性是利用了随机误差项具有零均值和同方差及随机误差项与解释变量之间不相关的基本假设, 所以说只有满足基本假设的 OLS 参数估计量才具有无偏性和有效性 -6. 证明 : 易知, 模型 + 的参数的 OLS 估计量为 : + + 因此, 8

19 Var Var + Var σ -7. 答 : 在一元线性方程中, 最小二乘估计量与最大似然估计量的表达式之所以会一致, 原因在于两种方法都存在对 + 式求极小的步骤证明最大似然估计量 e σ 是有偏的过程如下 : 对 σ e σ e σ σ σ 式两边取数学期望, 并考虑 e σ 得结果表明, 在小样本下, σ 偏小, 使得估计值比真实值低, 是有偏的 ; 在样本无限增大时,, 从而使 lm -8. 答 : σ σ, 即 σ 是渐近无偏的 ⑴ 回归方程的截距.764 表明, 当 r m 为时的股票或债券收益率, 它本身没有经济意义 ; 回归方程的斜率.598 表明当有价证券的收益率每上升或下降个点将使股票或债券收益率上升或下降.598 个点 ; ⑵ R 为判定系数, 是度量回归方程拟合优度的指标, 它表明该回归方程中 47.% 的股票或债券收益率的变化是由 r m 的变化引起的当然 R. 47 也表明回归方程对数据的拟合效果不是很好 ⑶ 建立零假设 H, 备择假设 H, α. 5, 4, : 查表得临界值 , 由于 : > 9

20 S 故 <, 接受零假设 : H, 拒绝备择假设 : > H 说明此期间 IBM 不是易变证券 -9. 证明 : α 由于于是 W α -. 答 : 他的论据是错误的原因是他忽略了随机误差项, 这个随机误差项可取正值和负值, 但是另外, 将 C 与的关系表达为 C α + 是不准确的, 它应是一个平均关系 -. 证明 : 设 :, α α +, + 则 α, 于是 R α 从而 α

21 又所以 -. 证明 : 由于 S, S S S r -3. 解 : 由 + + / 知 : / ⑴ 随着观测值数目的增加, 根据大样本性质, 参数更接近真实值 ; ⑵ 由于 ⑶ 如果法计算 ; 各观测值差额增加, 意味着增加, 将使得更接近真实值 ; 各观测值近似相等, 意味着趋于零, 会使得变得很不稳定, 甚至无 ⑷, 并违背随机误差项同方差的性质, 所以既不会对的无偏性产生影响, 也不会对有效性产生影响 -4. 解 : ⑴ 这是一个时间序列回归图略 ⑵ 截距.69 表示咖啡零售价在时刻为每磅美元时, 美国平均消费量为每天每人.69 杯, 这个数字没有明显的经济意义 ; 斜率表示咖啡零售价与消费量负相关, 表明咖啡价格每上升美元, 则平均每天每人消费量减少.4795 杯, 即约半杯 ; ⑶ 不能 ; 原因在于要了解全美国所有人的咖啡消费情况几乎是不可能的 ; ⑷ 不能 ; 在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同, 若要求出, 须给出具体的值及与之对应的值 -5. 解 : ⑴ 由于参数估计量的的绝对值为 8.7, 明显大于, 故拒绝零假设 H : 而在统计上是显著的 ;, 从

22 ⑵ 参数 α 的估计量的标准差为 5/3.4.84, 参数的估计量的标准差为.8/8.7.43; ⑶ 由 ⑵ 的结果, 的 95% 的置信区间为 : , , ,.9 显然这个区间不包括 -6. 解 : 每月家庭消费支出元每月家庭收入水平下, 消费支出的条件均值计算见表 -7 表 -7 每月家庭收入元条件概率 /5 /6 /5 /7 /6 /6 /5 /7 /6 /7 条件均值 ⑵ 以收入为横轴消费支出为纵轴作散点图如图 -3 所示其中条件均值点显示为的点, 这些点近似形成一条直线虚线表示显然, 与之间是正向相关关系 ; 与的均值间的关系近似线性

23 图 -3 3 由于与的均值间的关系呈现线性关系, 可以估计总体回归函数如下任取两点 8,65, 6,73, 写出总体回归方程 : 整理得在 vews 软件下, 容易得到样本回归函数为 R.96 5 图中同时画出了总体回归线虚线与样本回归线实线, 可以看出两者并不相同原因是存在随机误差 -7. 解 : ⑴ 利用所给数据作图 SANDP CPI 图 -4 ⑵ 从图 -4 可见,CPI 指数与 S&P 指数正相关, 且呈近似的线性关系 ⑶ 使用 vews 软件回归结果如下 : Depede Varable: S&P Varable Coeffce Sd. rror -Sasc Prob. C CPI R-squared.943 Mea depede var Adjused R-squared S.D. depede var.378 S.. of regresso Akake fo crero Sum squared resd Schwarz crero Log lkelhood F-sasc Durb-Waso sa.874 ProbF-sasc.79 3

24 回归结果显示,CPI 指数与 S&P 指数正相关, 斜率表示当 CPI 变化个点, 会使 S&P 变化.8 个点 ; 截距表示当 CPI 为时,S&P 为 , 此数据没有明确的经济意义 -8. 解 : ⑴ 使用 vews 软件,ASP 对 GPA 的回归结果如下 : Depede Varable: ASP Varable Coeffce Sd. rror -Sasc Prob. C GPA R-squared Mea depede var 686. Adjused R-squared.3543 S.D. depede var S.. of regresso Akake fo crero.89 Sum squared resd Schwarz crero.7533 Log lkelhood F-sasc Durb-Waso sa.73 ProbF-sasc.3 从回归结果看,GPA 的系数是统计显著的, 对 ASP 有正的影响 ⑵ 使用 vews 软件,ASP 对 GMAT 的回归结果如下 : Depede Varable: ASP Varable Coeffce Sd. rror -Sasc Prob. C GMAT R-squared.7775 Mea depede var 686. Adjused R-squared.7774 S.D. depede var S.. of regresso Akake fo crero.939 Sum squared resd.7+9 Schwarz crero.3848 Log lkelhood F-sasc 7. Durb-Waso sa.889 ProbF-sasc. 从回归结果看,GMAT 与 ASP 显著正相关 ⑶ 使用 vews 软件,ASP 对学费的回归结果如下 : Depede Varable: ASP Varable Coeffce Sd. rror -Sasc Prob. C R-squared Mea depede var 686. Adjused R-squared.496 S.D. depede var S.. of regresso Akake fo crero Sum squared resd Schwarz crero.57 Log lkelhood F-sasc Durb-Waso sa.478 ProbF-sasc.5 从计算结果看, 每年的学费与 ASP 显著正相关学费高,ASP 就高 ; 但学费仅解释了 ASP 变化的一部分不到 5%, 明显还有其他因素影响着 ASP ⑷ 使用 vews 软件回归结果如下 : Depede Varable: GPA Varable Coeffce Sd. rror -Sasc Prob. C

25 R-squared.75 Mea depede var Adjused R-squared.48 S.D. depede var.466 S.. of regresso.95 Akake fo crero Sum squared resd.93 Schwarz crero Log lkelhood F-sasc.739 Durb-Waso sa.7758 ProbF-sasc.4768 从回归结果看, 尽管高学费的商业学校与高质量的 MBA 成绩略有正相关性, 但学费对 GAP 的影响是不显著的而且也无法得出学费是影响 GAP 的主要原因的结论 -9. 解 : ⑴ 以利率为纵轴通胀率为横轴作图图 -5 vews 软件中的 OLS 回归如下 : Depede Varable: Varable Coeffce Sd. rror -Sasc Prob. C R-squared.993 Mea depede var 4.5 Adjused R-squared.994 S.D. depede var S.. of regresso.7458 Akake fo crero Sum squared resd Schwarz crero Log lkelhood F-sasc.778 Durb-Waso sa ProbF-sasc. 3 上述回归结果表明, 如果实际利率不变, 名义利率与通胀率呈正向关系 ; 斜率.53 表明通胀率上升个点, 名义利率上升.5 个点 5

<4D F736F F F696E74202D20CAB5CFB0C1F920CAFDD6B5B1E4C1BFD7CAC1CFB5C4CDB3BCC6CDC6B6CF E707074>

<4D F736F F F696E74202D20CAB5CFB0C1F920CAFDD6B5B1E4C1BFD7CAC1CFB5C4CDB3BCC6CDC6B6CF E707074> 卫生统计学实习何平平北京大学公共卫生学院流行病与卫生统计学系 Tel: 82801619 实习六数值变量资料的统计推断 ( 三 ) 第 237~249 页一直线回归 (linear regression) ( 一 ) 定义 : 用直线方程表达 X( 自变量,independent variable) 和 Y ( 应变量,dependent variable) 之间的数量关系 Yˆ = a+