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1 滁州学院 教师授课教案 课程名称 : 计量经济学

2 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 目的要求 重 点 难 第一章绪论. 计量经济学. 建立计量经济模型的步骤与要点.3 计量经济模型的应用 ( 了解计量经济学的性质 ; 计量经济学与相关学科的区别与联系 ; 模型的设计 参数估计 模型检验的要求 ; 计量经济模型的应用领域 ( 记住模型中的变量及其类型 ; 参数估计的准则 ; 计量经济研究中数据的类型 ; 建立计量经济模型的依据 ; 常用的模型形式 ( 什么是计量经济学 ; ( 计量经济学的研究方法 ; (3 变量 数据 参数与模型 计量经济学的建模步骤 点

3 . 计量经济学一 计量经济学 经济学的一个分支学科 96 年挪威经济学家 R.Frsh 提出 Economercs 93 年成立世界计量经济学会 933 年创刊 Economerca 世纪 4 5 年代的大发展和 6 年代的扩张 世纪 7 年代以来非经典 ( 现代 计量经济学的发展 定义 用数学方法探讨经济学可以从好几个方面着手, 但任何一个方面都不能和计量经济学混为一谈 计量经济学与经济统计学绝非一码事 ; 它也不同于我们所说的一般经济理论, 尽管经济理论大部分具有一定的数量特征 ; 计量经济学也不应视为数学应用于经济学的同义语 经验表明, 统计学 经济理论和数学这三者对于真正了解现代经济生活的数量关系来说, 都是必要的, 但本身并非是充分条件 三者结合起来, 就是力量, 这种结合便构成了计量经济学 在经济学科中占据极重要的地位克莱因 (R.Klen: 计量经济学已经在经济学科中居于最重要的地位, 在大多数大学和学院中, 计量经济学的讲授已经成为经济学课程表中最有权威的一部分 萨缪尔森 (P.Samuelson : 第二次大战后的经济学是计量经济学的时代 二 计量经济学模型 模型 经济数学模型 计量经济学模型 经济理论分析 ( 行为分析 数理分析 数量分析三 计量经济学的内容体系 广义计量经济学和狭义计量经济学 广义计量经济学是利用经济理论 数学以及统计学定量研究经济现象的经济计量方法的统称, 包括回归分析方法 投入产出分析方法 时间序列分析方法等 狭义计量经济学, 也就是我们通常所说的计量经济学, 以揭示经济现象中的因果关系为目的, 在数学上主要应用回归分析方法 本课程中的计量经济学模型, 就是狭义计量经济学意义上的经济数学模型 初 中 高级计量经济学 初级以计量经济学的数理统计学基础知识和经典的线性单方程模型理论与方法为主要内容 ; 中级以用矩阵描述的经典的线性单方程模型理论与方法 经典的线性联立方程模型理论与方法, 以及传统的应用模型为主要内容 ; 高级以非经典的 现代的计量经济学模型理论 方法与应用为主要内容 本课程定位于初级水平上, 适当引入中级的内容

4 理论计量经济学和应用计量经济学 理论计量经济学是以介绍 研究计量经济学的理论与方法为主要内容, 侧重于理论与方法的数学证明与推导, 与数理统计联系极为密切 除了介绍计量经济模型的数学理论基础 普遍应用的计量经济模型的参数估计方法与检验方法外, 还研究特殊模型的估计方法与检验方法, 应用了广泛的数学知识 应用计量经济学则以建立与应用计量经济学模型为主要内容, 强调应用模型的经济学和经济统计学基础, 侧重于建立与应用模型过程中实际问题的处理 经典计量经济学和非经典计量经济学 经典计量经济学 (Classcal Economercs 一般指 世纪 7 年代以前发展并广泛应用的计量经济学 R.Frsh 创立 T.Haavelmo 建立了它的概率论基础 L.R.Klen 成为其理论与应用的集大成者 经典计量经济学在理论方法方面特征是 : ⑴ 模型类型 随机模型 ; ⑵ 模型导向 理论导向 ; ⑶ 模型结构 线性或者可以化为线性, 因果分析, 解释变量具有同等地位, 模型具有明确的形式和参数 ; ⑷ 数据类型 以时间序列数据或者截面数据为样本, 被解释变量为服从正态分布的连续随机变量 ; ⑸ 估计方法 仅利用样本信息, 采用最小二乘方法或者最大似然方法估计模型 经典计量经济学在应用方面的特征是 : ⑴ 应用模型方法论基础 实证分析 经验分析 归纳 ; ⑵ 应用模型的功能 结构分析 政策评价 经济预测 理论检验与发展 ; ⑶ 应用模型的领域 传统的应用领域, 例如生产 需求 消费 投资 货币需求, 以及宏观经济等 非经典计量经济学一般指 世纪 7 年代以来发展的计量经济学理论 方法及应用模型, 也称为现代计量经济学 主要包括 : 微观计量经济学 非参数计量经济学 时间序列计量经济学和动态计量经济学等 其内容体系 : 模型类型非经典的计量经济学问题 模型导向非经典的计量经济学问题 模型结构非经典的计量经济学问题 数据类型非经典的计量经济学问题和估计方法非经典的计量经济学问题 本课程以经典计量经济学为主, 适当介绍一些简单的 应用较多的现代计量经济学理论方法的进展 微观计量经济学和宏观计量经济学 微观计量经济学于 年诺贝尔经济学奖公报中正式提出 内容集中于 对个人和家庭的经济行为进行经验分析 ; 微观计量经济学的原材料是微观数据, 微观数据表现为截面数据和平行 (penal 数据

5 从计量经济学与数理统计学的区别看宏观计量经济学名称由来已久, 但是它的主要内容和研究方向发生了变化 经典宏观计量经济学 : 利用计量经济学理论方法, 建立宏观经济模型, 对宏观经济进行分析 评价和预测 现代宏观计量经济学的主要研究方向 : 单位根检验 协整理论以及动态计量经济学 四 计量经济学是一门经济学科 从计量经济学的定义看 从计量经济学在西方国家经济学科中的地位看 从建立与应用计量经济学模型的全过程看 从诺贝尔经济学奖看. 建立计量经济学模型的步骤和要点 一 理论模型的建立 ⑴ 确定模型包含的变量根据经济学理论和经济行为分析 例如 : 同样是生产方程, 电力工业和纺织工业应该选择不同的变量, 为什么? 例如, 消费和 GDP 之间的因果关系 考虑数据的可得性 注意因素和变量之间的联系与区别 3 考虑入选变量之间的关系 4 要求变量间互相独立 二 样本数据的收集 ⑴ 几类常用的样本数据时间序列数据截面数据虚变量离散数据联合应用 ⑵ 数据质量完整性准确性可比性一致性三 模型参数的估计 ⑴ 各种模型参数估计方法 ⑵ 如何选择模型参数估计方法 ⑶ 关于应用软件的使用课堂教学结合 Evews 能够熟练使用一种四 模型的检验 ⑴ 经济意义检验根据拟定的符号 大小 关系例如 :ln( 人均食品需求量 -.-.5ln( 人均收入 - 4.5ln( 食品价格.8ln( 其它商品价格 ln( 人均食品需求量 -..5ln( 人均收入 -4.5ln( 食品价格.8ln( 其它商品价格

6 ln( 人均食品需求量 -..5ln( 人均收入 -.8ln( 食品价格.8ln( 其它商品价格 ⑵ 统计检验由数理统计理论决定包括 : 拟合优度检验 总体显著性检验 变量显著性检验 ⑶ 计量经济学检验由计量经济学理论决定包括 : 异方差性检验 序列相关性检验 共线性检验 ⑷ 模型预测检验由模型的应用要求决定包括稳定性检验 : 扩大样本重新估计预测性能检验 : 对样本外一点进行实际预测五 计量经济学模型成功的三要素 理论 数据 方法.3 计量经济学模型的应用一 结构分析 经济学中的结构分析是对经济现象中变量之间相互关系的研究 结构分析所采用的主要方法是弹性分析 乘数分析与比较静力分析 计量经济学模型的功能是揭示经济现象中变量之间的相互关系, 即通过模型得到弹性 乘数等 应用举例二 经济预测 计量经济学模型作为一类经济数学模型, 是从用于经济预测, 特别是短期预测而发展起来的 计量经济学模型是以模拟历史 从已经发生的经济活动中找出变化规律为主要技术手段 对于非稳定发展的经济过程, 对于缺乏规范行为理论的经济活动, 计量经济学模型预测功能失效 模型理论方法的发展以适应预测的需要 三 政策评价 政策评价的重要性 经济政策的不可试验性 计量经济学模型的 经济政策实验室 功能 四 理论检验与发展 实践是检验真理的唯一标准 任何经济学理论, 只有当它成功地解释了过去, 才能为人们所接受 计量经济学模型提供了一种检验经济理论的好方法 对理论假设的检验可以发现和发展理论

7 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 目的要求 重 点 难 点 第二章一元线性回归模型. 回归分析概述. 一元线性回归模型的参数估计一 一元线性回归模型的基本假设二 参数的普通最小二乘估计 (OLS 三 最小二乘估计量的性质 ( 理解回归与相关的关系 ; 回归分析的本质 ; 总体回归函数与样本回归函数的实质和联系 ;( 熟练掌握线性回归的基本假定及其意义 ; (3 掌握最小二乘法的原理以及一元线性回归模型的 OLS 估计量及其性质 ( 回归分析的本质 ; ( 一元线性回归模型的基本假定及其意义 ; (3 一元线性回归模型的 OLS 估计量及其性质 ( 总体回归函数与样本回归函数的实质和联系 ; ( 一元线性回归模型的 OLS 估计的推导 ; (3 一元线性回归模型的 OLS 估计量性质的证明

8 授课内容 性质 : 被解释变量的样本平均值等于其估计值的平均值 即 : Yˆ Y 证明 : Yˆ βˆ βˆ 两边取均值得 Yˆ ( Y-βˆ βˆ Y βˆ ( - Y 性质 3: 残差和等于零, 即 e 由正规方程组 ( Y- ˆ β - ˆ β ( ( Y- Yˆ e 性质 4: 残差 e和预测的 Y( Yˆ 值不相关, 即 Ye ˆ 证明 : Ye ˆ ( yˆ Y e ye ˆ Ye ˆ ˆ ˆ βxe βx( y βx ˆ ˆ ˆ xy βxy βx ( 由于 β x ˆ β x ˆ β x 性质 5: 残差 e和 不相关, 即 e 证明 : e ( x e xe e ˆ ˆ xy xy βx ( 由于 β x ( ˆ x y βx

9 三 最小二乘估计量的性质当模型参数估计出后, 需考虑参数估计值的精度, 即是否能代表总体参数的真值, 或者说需考察参数估计量的统计性质 一个用于考察总体的估计量, 可从如下几个方面考察其优劣性 : ( 线性性, 即它是否是另一随机变量的线性函数 ; ( 无偏性, 即它的均值或期望值是否等于总体的真实值 ; (3 有效性, 即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量 (bes lner unbased esmaor, BLUE 当不满足小样本性质时, 需进一步考察估计量的大样本或渐近性质 : (4 渐近无偏性, 即样本容量趋于无穷大时, 是否它的均值序列趋于总体真值 ; (5 一致性, 即样本容量趋于无穷大时, 它是否依概率收敛于总体的真值 ; (6 渐近有效性, 即样本容量趋于无穷大时, 是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差 高斯 马尔可夫定理 (Gauss-Markov heorem 在给定经典线性回归的假定下, 最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量

10 注 : ˆ β也是随机变量因为 Y β β u, ˆ β也是扰动项 u的线性函数 无偏性, 即估计量 ˆβ ˆβ 的均值 ( 期望 等于总体回归 参数真值 β 与 β ˆ x x x β Y β β u ( x x x x β β u x x x x( x x x β u β u x x x ˆ x E( β β E( u β x ˆ ˆ x β Y β Y Y n x x x Y β β u n x ( n x x x x β β u n x n x n x x x n x x x x n x n x ˆ x E( β β E( u n x β 3 有效性 ( 最小方差性, 即在所有线性无偏估计量 中, 最小二乘估计量 ˆβ ˆβ 具有最小方差 ( 先求方差 ( 然后这个证明最小性 ( 证明不作要求 普通最小二乘估计量 (ordnary leas Squares Esmaors 称为最佳线性无偏估计量 (bes lnear unbased esmaor, BLUE

11 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 目的要求 重 第二章一元线性回归模型. 一元线性回归模型的参数估计.3 一元线性回归模型的统计检验 ( 掌握参数估计量的概率分布及误差项方差的估计 ;( 理解一元线性回归模型进行统计检验的原因与思路 ;(3 掌握一元线性回归模型进行统计检验的各种统计量与检验步骤 一元线性回归模型进行统计检验的各种统计量与检验步骤 点 难 点 一元线性回归模型进行统计检验的各种统计量与检验步骤

12 .4 一元线性回归分析的应用 : 预测问题问 : 样本回归的例子 Yˆ 其中 Yˆ 是对应于给定 的真实 EY ( 的估计量 这一描述 历史的回归 能有什么用处? 预测 给定收入水平 的未来消费支出 Y 有两种预测的含义 : ( 对应选定的, 预测 Y的 条件均值 ( mean predcon ( 预测对应于 的 Y的一个 个别值 ( ndvdual predcon 一 Ŷ 是条件均值 E(Y 或个值 Y 的估计 对总体回归函数 E(Y β β, 时 E(Y β β 于是 Yˆ ˆ β ˆ β 可见,Ŷ 是条件均值 E(Y 的无偏估计 当然,Ŷ 可以作为 Y 的估计 二 总体条件均值与个值预测值的置信区间 由 Yˆ ˆ β ˆ β 得到, EY ( ˆ β β 令 δ Yˆ EY ( ˆ, 则 δ ~ 正态分布 其中 E( δ ˆ ˆ ( var( δ EY ( EY ( σ ( n x 将 δ 标准化得 δ ~ N(, ( σ ( n x 用 ˆ σ 代替 σ 得 : Yˆ ˆ EY ( ~ (n- ( ˆ σ ( n x 所以 EY ( 的预测区间为 : EY ( ˆ E( ˆ β ˆ β E( ˆ β E( ˆ β β β ˆ ( ( Y ( EY ( Y ( ˆ ˆ ˆ α σ α σ n x n x

13 由 Yˆ ˆ β ˆ β 以及 Y β β u 令 ξ Yˆ Y, 则 ξ ~ 正态分布 其中 E( ξ ˆ ( var( ξ EY ( Y σ ( n x 将 ξ 标准化得 ( Yˆ Y ~ N(, ( σ ( n x ˆ σ 用代替得 : Yˆ Y ˆ ( n x σ σ ( 所以 EY ( 的预测区间为 : ~ (n- ˆ ( Y ˆ ( Y α σ n x ˆ ( Y ˆ σ ( α n x 对于 Y 的总体均值 E(Y 与个体值的预测区间 ( 置信区间 : ( 样本容量 n 越大, 预测精度越高, 反之预测精度越低 ; ( 样本容量一定时, 置信带的宽度当在 均值处最小, 其附近进行预测 ( 插值预测 精度越大 ; 越远离其均值, 置信带越宽, 预测可信度下降.5 案例分析 ( 课本 P4-45 本章复习 模型设计 : 理论假说理论模型计量模型 模型估计 : 数据估计方法 模型检验 : 经济统计计量 模型应用 : 经济预测政策评价结构分析检验和发展经济理论

14 模型设定 总体回归模型 β β Y u E(u Var (u σ Cov(u, u j ( j Cov( j, u j 样本回归模型 模型估计 ˆ xy β 样本回归方程 总体回归方程 x ˆ ˆ ˆ Y EY ( β β β β ˆ β ˆ Y β ˆ x ˆ x β Y, β Y, x n x 线性性 ˆ ˆ β ˆ ˆ β满足 无偏性 E( β β,e( β β 有效性 Var( ˆ σ β, Var( BLUE估计量 模型检验 ( 拟合优度检验 ( 样本决定系数 ( 标准差 Y ˆ β ˆ β e σ ˆ β x n x S R RSS ESS yˆ e TSS TSS y y e e R 越大, 越接近于, 拟合优度越高 ˆ, S ˆ β β ( n x n( n x 标准差越小, 参数估计量的近似程度越好 (3 显著性检验 (4 区间估计 ˆ β S ˆ β ( n, 接受 H : β, α / 即认为 和 Y之间存在显著的线性关系 ( ˆ β 类似 β ( ˆ β S, ˆ β S α/ ˆ β α/ ˆ β 估计误差为 ˆ β β < S α / ˆ β

15 模型应用 ( 点预测 ˆ ˆ ˆ Y Y β β是 的估计 E(Y ( 区间预测 ˆ e e Y ( Y Y ( ( ˆ ( α α n n x n n x ˆ e e Y ( EY ( Y ( ( ˆ ( α α n n x n n x

16 概要 目的要求 重 第三章多元线性回归模型 3. 模型的建立及假设一 多元线性回归模型的定义及矩阵表达二 多元线性回归模型的基本假设 ( 理解多元线性回归模型的产生背景 意义 ( 掌握多元线性回归模型的定义 矩阵表达及其基本假设 多元线性回归模型的定义及基本假设 点 难 多元线性回归模型的基本假设 点

17 3. 多元线性回归模型的建立及基本假设一 多元线性回归模型多元线性回归模型 : 表现在线性回归模型中的解释变量有多个 一般表现形式 : Y β β β β µ k k 其中 :k 为解释变量的数目,βj 称为回归参数 (regresson coeffcen 习惯上 : 把常数项看成为一虚变量的系数, 该虚变量的样本观测值始终取 这样: 模型中解释变量的数目为 (k β β β β Y µ 也被称为总体回归函数的随机表达形式 它的非随机表达式为 : E( Y,, k β β k k β β 方程表示 : 各变量 值固定时 Y 的平均响应 β j 也被称为偏回归系数, 表示在其他解释变量保持不变的情况下, j 每变化 个单位时,Y 的均值 E(Y 的变化 ; 或者说 β j 给出了 j 的单位变化对 Y 均值的 直接 或 净 ( 不含其他变量 影响 总体回归模型 n 个随机方程的矩阵表达式为 其中 Y β μ n n k k kn n ( k k k β β β β β k ( k μ µ µ µ n n 6

18 样本回归函数 : 用来估计总体回归函数 k k Y β β β β ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 其随机表示式 : k k e Y β β β β ˆ ˆ ˆ ˆ e 称为残差或剩余项 (resduals, 可看成是总体回归函数中随机扰动项 µ 的近似替代 样本回归函数的矩阵表达 : β Y ˆ ˆ 或 e β Y ˆ 其中 : β k β β ˆ ˆ ˆ ˆ β e n e e e 二 多元线性回归模型的基本假定假设, 解释变量是非随机的或固定的, 且各 之间互不相关 ( 无多重共线性 假设, 随机误差项具有零均值 同方差及不序列相关性 ( E µ ( ( σ µ µ E Var (, ( j j E Cov µ µ µ µ n j j,,,, 假设 3, 解释变量与随机项不相关, ( j Cov µ 假设 4, 随机项满足正态分布 (, ~ σ µ N k j,, 上述假设的矩阵符号表示式 : 假设,n (k 矩阵 是非随机的, 且 的秩 ρk, 即 满秩 -- 解释变量间不存在多重共线性 假设, ( ( ( n n E E E E µ µ µ µ μ ( n n E E µ µ µ µ ( μ μ n n n E µ µ µ µ µ µ I var(, cov(, cov( var( σ σ σ µ µ µ µ µ µ n n n

19 假设 4, 向量 µ 正态分布, 即, ( ~ I μ σ N 假设 3,E( µ, 即 ( ( ( K K E E E E µ µ µ µ µ µ

20 授课时间年月日星期第节 授课内容概要 目的要求 重 点 难 第三章多元线性回归模型 3. 多元线性回归模型的参数估计二 参数估计量的性质三 样本容量问题 3.3 多元线性回归模型的统计检验一 拟合优度检验二 方程的显著性检验 (F 检验 ( 熟记与理解 OLS 估计量的性质 ; ( 掌握为什么要进行逆合优度检验, 并掌握如何进行这种检验 ; (3 掌握如何进行方程的显著性检验 ( 参数估计量的性质 ; ( 多元线性模型的拟合优度检验 ; (3 方程的显著性检验 参数估计量的性质的有关证明 点

21 无偏性 E( ˆ β β 证明 : β ˆ [( ] Y [( ]( β U β [( ] U ˆ E( β β [( ] EU ( β 3 有效性( 最小方差性 ˆ ( var( β σ ( 证明 : var( ˆ β E[( ˆ β E( ˆ β( ˆ β E( ˆ β ] E U U {( [( ]} ( EUU ( ( σ ( ˆ var( β σ (,,,, k ˆ ˆ cov( β, β j σ (, j, j,, k ( 最小方差性 在 β的所有线性无偏估计量中, OLS估计量的方差最小 ( 证明略 ⒈ 最小样本容量 满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度 : n>3 时,Z 检验才能应用 ; n-k 8 时, 分布较为稳定 二 参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下, 其结构参数 β 的普通最小二乘估计 最大或然估计及矩估计仍具有 : 线性性 无偏性 有效性 同时, 随着样本容量增加, 参数估计量具有 : 渐近无偏性 渐近有效性 一致性 线性性 ˆ β ( Y AY 其中,A( - 为一仅与固定的 有关的行向量 三 样本容量问题 所谓 最小样本容量, 即从最小二乘原理和最大或然原理出发, 欲得到参数估计量, 不管其质量如何, 所要求的样本容量的下限 样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目 ( 包括常数项, 即 n k 因为, 无多重共线性要求 : 秩 (k

22 一般经验认为 : 当 n 3 或者至少 n 3(k 时, 才能说满足模型估计的基本要求 3.3 多元线性回归模型的统计检验一 拟合优度检验 可决系数与调整的可决系数 则 模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明 总离差平方和的分解 TSS ( Y Y 总离差平方和 由于 RSS ( Yˆ Y ESS ( Y Yˆ TSS ( Y Y RSS ( Yˆ Y ESS ( Y Yˆ 可决系数 ( Y Yˆ( Yˆ Y e ( Yˆ Y Ye ˆ Ye 回归平方和 所以有 : TSS ( Y Y ( Yˆ Y ( Y Yˆ RSS ESS 剩余平方和 总离差平方和 回归平方和 剩余平方和 RSS ESS R TSS TSS 该统计量越接近于, 模型的拟合优度越高 问题 : 在应用过程中发现, 如果在模型中增加一个解释变量, R 往往增大 (Why? 这就给人一个错觉 : 要使得模型拟合得好, 只要增加解释变量即可 但是, 现实情况往往是, 由增加解释变量个数引起的 R 的增大与拟合好坏无关,R 需调整 调整的可决系数 (adjused coeffcen of deermnaon 在样本容量一定的情况下, 增加解释变量必定使得自由度减少, 所以调整的思路是 : 将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度, 以剔除变量个数对拟合优度的影响 : ESS /( n k R TSS /( n 其中 :n-k- 为残差平方和的自由度,n- 为总体平方和的自由度

23 R R, lm R R n R n R ( R n k ( k增加 R 也增加 二 方程的显著性检验 (F 检验 方程的显著性检验, 旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断 方程显著性的 F 检验 k ( k增加 R ( k增加 R 增加 ; k 减少 即检验模型 Y β β β β k k u 中的参数 β j 是否显著不为,,,n 可提出如下原假设与备择假设 : H : β β β β k H : β j 不全为 F 检验的思想来自于总离差平方和的分解式 : TSSRSSESS. 由于回归平方和 RSS是解释变量 的联合体对 被解释变量 Y的线性作用的结果, 考虑比值 RSS/ESS y e ˆ 如果这个比值较大, 则 的联合体对 Y 的解释程度高, 可认为总体存在线性关系, 反之总体上可能不存在线性关系 因此, 可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断 根据数理统计学中的知识, 在原假设 H 成立的条件下, 统计量 F RSS/k ESS/(n k 服从自由度为 (k, n-k- 的 F 分布给定显著性水平 α, 可得到临界值 F α (k,n-k-, 由样本求出统计量 F 的数 值, 通过 F> F α (k,n-k- 或 F F α (k,n-k- 来拒绝或接受原假设 H, 以判定原 方程总体上的线性关系是否显著成立

24 方程的总体线性关系显著 每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的 因此, 必须对每个解释变量进行显著性检验, 以决定是否作为解释变量被保留在模型中 这一检验是由对变量的 检验完成的 统计量 由于 Var( ˆ β σ ( 以 c 表示矩阵 ( - 主对角线上的第 个元素, 于是参数估计量的方差为 : Var( ˆ β σ c, 其中 σ 为随机误差项的方差, 在实际计算时, 用它的估计量代替 : ˆ σ e e e n k n k ˆ ~ (, N c, β β σ 因此, 可构造如下 统计量 ˆ β ˆ β β β ~ n ( k S ˆ ee β c, n k 检验 设计原假设与备择假设 : H :β (, k H :β 给定显著性水平 α, 可得到临界值 α/ (n-k-, 由样本求出统计量 的数值, 通过 > α/ (n-k- 或 α/ (n-k- 来拒绝或接受原假设 H, 从而判定对应的解释变量是否应包括在模型中 注意 : 一元线性回归中, 检验与 F 检验一致一方面, 检验与 F 检验都是对相同的原假设 H :β 进行检验 ; 另一方面, 两个统计量之间有如下关系 : ˆ yˆ ˆ β x β F e ( n e ( n e ( n x e ˆ β ( n x ˆ β e n x

25 四 参数的置信区间. 参数的置信区间 : 参数的置信区间用来考察 : 在一次抽样中所估计的参数值离参数的真实值有多 近 在变量的显著性检验中已经知道 ˆ β ˆ β β β ~ n ( k S ˆ ee β c, n k 推出 : 在 (-α 的置信水平下 β 的置信区间是 ( β s, β s α β β 其中, α/ 为显著性水平为 α 自由度为 n-k- 的临界值. 缩小置信区间 : ⑴ 增大样本容量 n, 因为在同样的样本容量下,n 越大, 分布表中的临界值越小, 同时, 增大样本容量, 还可使样本参数估计量的标准差减小 ; ⑵ 提高模型的拟合优度, 因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比, 模型优度越高, 残差平方和应越小 ⑶ 提高样本观测值的分散度, 一般情况下, 样本观测值越分散, (` - 的分母的 ` 的值越大, 致使区间缩小 α

26 概要 目的要求 重 点 难 3.4 多元线性回归模型的预测一 E(Y 的置信区间二 Y 的置信区间掌握多元线性回归模型的预测方法, 能够用来分析实际问题 多元线性回归模型的预测 多元线性回归模型的预测 点

27 一 E(Y 的置信区间 由于 ( ˆ β β 是标量 容易证明 EY ( ˆ E( ˆ β E( ˆ β β EY ( VarY ( ˆ E ( ˆ β β E ( ( ˆ β β ( ˆ β β Var( Yˆ E( ( ˆ β β( ˆ β β E( ˆ β β( ˆ β β σ ( Y ˆ ~ N ( βσ, ( ˆ σ 二 Y 的置信区间如果已经知道实际的预测值 Y, 那么预测误差为 : e Y ˆ E(Y Y ( Yˆ ~ ( n k 于是, 得到 (-α 的置信水平下 E(Y 的置信区间 : Yˆ α ˆ σ ˆ ( < E( Y < Y α σ ( 其中, α/ 为 (-α 的置信水平下的临界值 ˆ 容易证明 Ee ( E( β u ˆ β Eu [ ( ˆ β β] Eu U [ ( ] Var( e E( e Eu [ ( U ] σ [ ( ]

28 e 服从正态分布, 即 e 授课内容 ~ N(, σ ( ( Yˆ ˆ ˆ σ ( ( σ e 构造 统计量 Yˆ Y ~ ( n k ˆ σ e 可得给定 (-α 的置信水平下 Y 的置信区间 : α ˆ σ ˆ ( < Y < Y α σ ( ˆ

29 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 目的要求 重 点 难 第四章 4. 多重共线性的概念 4. 多重共线性的来源与后果 4.3 多重共线性的检验 4.4 多重共线性的修正方法 4.5 案例分析 多重共线性 理解多重共线性的基本含义, 记住经济现象中的共线性表现 ; 了解模型中解释变量出现共线性的后果及多重共线性的诊断 ; 掌握几种常用的补救多重共线性的方法 什么是多重共线性 ; 多重共线性产生的后果 ; 多重共线性的检验 ; 多重共线性的补救措施 多重共线性的检验与补救 点

30 一 多重共线性概念 对于模型 : 4. 多重共线性的概念 Y β β β β k k u,,,n 其基本假设之一是解释变量是互相独立的 如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性, 则称为多重共线性 Mulcollneary. 完全多重共线性 如果存在 c c c k k,,,n 其中 : c 不全为, 则称为解释变量间存在完全共线性 (perfec mulcollneary. 近似共线性 如果存在 c c c k k v,,,n 其中 c 不全为,v 为随机误差项, 则称为近似共线性 (approxmae mulcollneary 或交互相关 (nercorrelaed 二 多重共线性的矩阵表达 在矩阵表示的线性回归模型 : YβU 中, 完全共线性指 : 秩 (<k, 即 中, 至少有一列向量可由其他列向量 ( 不包括第一列 线性表出 如 : λ, 则 对 Y 的作用可由 代替 注意 : n n 完全共线性的情况并不多见, 一般出现的是在一定程度上的共线性, 即近似共线性 k k kn

31 4. 多重共线性的来源与后果 一 多重共线性的来源一般地, 产生多重共线性的主要原因有以下三个方面 : ( 经济变量相关的共同趋势时间序列样本 : 经济繁荣时期, 各基本经济变量 ( 收入 消费 投资 价格 都趋于增长 ; 衰退时期, 又同时趋于下降 横截面数据 : 生产函数中, 资本投入与劳动力投入往往出现高度相关情况, 大企业二者都大, 小企业都小 ( 滞后变量的引入在经济计量模型中, 往往需要引入滞后经济变量来反映真实的经济关系 例如, 消费 f( 当期收入, 前期收入 显然, 两期收入间有较强的线性相关性 (3 样本资料的限制由于完全符合理论模型所要求的样本数据较难收集, 特定样本可能存在某种程度的多重共线性 一般经验 : 时间序列数据样本 : 简单线性模型, 往往存在多重共线性 截面数据样本 : 问题不那么严重, 但多重共线性仍然是存在的 二 多重共线性的后果 ⒈ 完全共线性下参数估计量不存在 的 OLS 估计量为 : Y β U ˆ β ( 如果存在完全共线性, 则 ( - 不存在, 无法得到参数的估计量 例 : 对离差形式的二元回归模型 Y y β x β x u 如果两个解释变量完全相关, 如 x λx, 则 y ( β λβ x u 这时, 只能确定综合参数 β βλ 的估计值 :

32 二 近似共线性下 OLS 估计量非有效近似共线性下, 可以得到 OLS 参数估计量, 但参数估计量方差的表达式为 : Var( ˆ β σ ( 由于, 引起 ( - 主对角线元素较大, 使参数估计值的方差增大,OLS 参数估计量非有效 例如 : 二元线性模型 yβ x β x u ˆ σ x σ / x var( β σ ( x x ( x x ( x x x x ( x x x x σ x r 恰为 与 的线性相关系数的平方 r 由于 r, 故 /(- r 当完全不共线时, r : 当近似共线时 < r <: var( ˆ β σ / x ˆ σ σ var( β > x r x 多重共线性使参数估计值的方差增大,/(-r 为方差膨胀因子 (Varance Inflaon Facor, VIF 表 4.3. 方差膨胀因子表 相关系数平方 方差膨胀因子 当完全共线时, r : var( ˆ β 三 参数估计量经济含义不合理如果模型中两个解释变量具有线性相关性, 例如 λ, 这时, 和 前的参数 β β 并不反映各自与被解释变量之间的结构关系, 而是反映它们对被解释变量的共同影响 β β 已经失去了应有的经济含义, 于是经常表现出似乎反常的现 象 : 例如 β 本来应该是正的, 结果恰是负的 四 变量的显著性检验失去意义

33 存在多重共线性时 参数估计值的方差与标准差变大 容易使通过样本计算的 值小于临界值, 误导作出参数为 的推断 可能将重要的解释变量排除在模型之外 五 模型的预测功能失效变大的方差容易使区间预测的 区间 变大, 使预测失去意义 注意 : 除非是完全共线性, 多重共线性并不意味着任何基本假设的违背 ; 因此, 即使出现较高程度的多重共线性,OLS 估计量仍具有线性性等良好的统计性质 问题在于, 即使 OLS 法仍是最好的估计方法, 它却不是 完美的, 尤其是在统计推断上无法给出真正有用的信息 4.3 多重共线性的检验 一 简单相关系数检验法含义 : 简单相关系数检验法是利用解释变量之间的线性相关程度去判断是否存在严重多重共线性的一种简便方法 判断规则 : 一般而言, 如果每两个解释变量的简单相关系数 ( 零阶相关系数 比较高, 例如大于.8, 则可认为存在着较严重的多重共线性 注意事项 : 较高的简单相关系数只是多重共线性存在的充分条件, 而不是必要条件 特别是在多于两个解释变量的回归模型中, 有时较低的简单相关系数也可能存在多重共线性 因此并不能简单地依据相关系数进行多重共线性的准确判断 二 方差扩大 ( 膨胀 因子法 ^ 统计上可以证明, 解释变量 j 的参数估计值 β j 的方差可表示为 : ^ σ σ Var( β j VIF j xj Rj xj 其中的 VIF j 是变量 j 的方差扩大因子 (Varance Inflaon Facor, 即 VIFj ( R j 其中 R 是多个解释变量辅助回归的可决系数 j

34 经验规则 : 方差膨胀因子越大, 表明解释变量之间的多重共线性越严重 反过来, 方差膨胀因子越接近于, 多重共线性越弱 经验表明, 方差膨胀因子 时, 说明解释变量与其余解释变量之间有严重的多重共线性, 且这种多重共线性可能会过度地影响最小二乘估计 三 直观判断法 ( 当增加或剔除一个解释变量, 或者改变一个观测值时, 回归参数的估计值发生较大变化, 回归方程可能存在严重的多重共线性 ( 从定性分析认为, 一些重要的解释变量的回归系数的标准误差较大, 在回归方程中没有通过显著性检验时, 可初步判断可能存在严重的多重共线性 (3 有些解释变量的回归系数所带正负号与定性分析结果违背时, 很可能存在多重共线性 (4 解释变量的相关矩阵中, 自变量之间的相关系数较大时, 可能会存在多重共线性问题 四 逐步回归检测法 逐步回归的基本思想将变量逐个的引入模型, 每引入一个解释变量后, 都要进行 F 检验, 并对已经选入的解释变量逐个进行 检验, 当原来引入的解释变量由于后面解释变量的引入而变得不再显著时, 则将其剔除 以确保每次引入新的变量之前回归方程中只包含显著的变量 在逐步回归中, 高度相关的解释变量, 在引入时会被剔除 因而也是一种检测多重共线性的有效方法 4.4 多重共线性的补救措施一 修正多重共线性的经验方法 剔除变量法把方差扩大因子最大者所对应的自变量首先剔除再重新建立回归方程, 直至回归方程中不再存在严重的多重共线性 可能引起模型的设定误差 增大样本容量如果样本容量增加, 会减小回归参数的方差, 标准误差也同样会减小 因此尽可能地收集足够多的数据可以改进模型参数的估计 3 变换模型形式一般而言, 差分后变量之间的相关性要比差分前弱得多, 所以差分后的模型可以有效地降低出现共线性的可能性, 此时可直接估计差分方程 差分会丢失一些信息, 差分模型的误差项可能存在序列相关, 可能会违背经典线性回归模型的相关假设, 在具体运用时要慎重

35 4 利用非样本先验信息 授课内容 通过经济理论分析能够得到某些参数之间的线性关系, 可以将这种线性关系作为约束条件, 将此约束条件和样本信息结合起来进行约束最小二乘估计 5 横截面数据与时序数据并用 首先利用横截面数据估计出部分参数, 再利用时序数据估计出另外的部分参数, 最后得到整个方程参数的估计 包含假设 : 参数的横截面估计和从纯粹时间序列分析中得到的估计是一样的 6 变量变换变量变换的主要方法 : ( 计算相对指标 ( 将名义数据转换为实际数据 (3 将小类指标合并成大类指标变量数据的变换只是有时可得到较好的结果, 但谁也无法保证一定可以得到很好的结果 二 逐步回归法 ( 用被解释变量对每一个所考虑的解释变量做简单回归 ( 以对被解释变量贡献最大的解释变量所对应的回归方程为基础, 按对被解释变量贡献大小的顺序逐个引入其余的解释变量 若新变量的引入改进了 R 和 F 检验, 且回归参数的 检验在统计上也是显著的, 则在模型中保留该变量 若新变量的引入未能改进 R 和 F 检验, 且对其他回归参数估计值的 检验也未带来什么影响, 则认为该变量应该舍弃 若新变量的引入未能改进 R 和 F 检验, 且显著地影响了其他回归参数估计值的数值或符号, 同时本身的回归参数也通不过 检验, 说明出现了严重的多重共线性, 应剔除该变量 4.5 案例分析 一 研究的目的要求提出研究的问题 为了规划中国未来国内旅游产业的发展, 需要定量地分析影响中国国内旅游市场发展的主要因素 二 模型设定及其估计影响因素分析与确定 影响因素主要有国内旅游人数, 城镇居民人均旅游支出 3, 农村居民人均旅游支出 4, 并以公路里程 5 和铁路里程 6 作为相关基础设施的代表理论模型的设定 : Y β β β3 3 β4 4 β5 5 β6 6 u 其中 : Y 第 年全国国内旅游收入

36 数据的收集与处理 年份 国内旅游收入 Y( 亿元 国内旅游人数 ( 万人次 城镇居民人均旅游支出 3 ( 元 农村居民人均旅游支出 4 ( 元 公路里程 5( 万公里 铁路里程 6( 万公里 数据来源 : 中国统计年鉴 4 对模型进行 OLS 回归, 结果如表 4.3 表 4.3 R.9954 R.9897, 由此可见, 该模型 可决系数很高,F 检验值 , 明显显著 但是当 α.5 时 α n k.5, 不仅 6 ( ( 系数的 检验不显 著, 而且 6 系数的符号与预期的相反, 这表明很可能存在严重的多重共线性 计算各解释变量的相关系数 三 消除多重共线性采用逐步回归法检验和解决多重供线性问题 分别作 Y 对 的一元回归 R 大小排序为 : 以 3 为基础, 顺次加入其他变量逐步回归

37 四 回归结果的解释与分析 最后消除多重共线性的结果 Yˆ R ( ( ( R F 这说明, 在其他因素不变的情况下, 当城镇居民人均旅游支出 3 和农村居民人均旅游支出 4 分别增长 元时, 国内旅游收入将分别增长 4. 亿元和 3. 亿元 在其他因素不变的情况下, 作为旅游设施的代表, 公路里程 5 每增加 万公里时, 国内旅游收入 Y 将增长 3.63 亿元

38 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 第五章 5. 异方差的概念 5. 异方差的来源与后果 5.3 异方差的检验 5.4 异方差的修正方法 5.5 案例分析 异方差 目的要求 重 点 难 点 理解异方差性含义, 异方差性的表现与某个解释变量之间的关系 ; 经济现象中的异方差性 ; 异方差性对模型的影响 ; 掌握检验和处理异方差性的主要方法 ( 异方差性的含义与产生背景 ( 异方差性对模型的影响 (3 异方差性的检验 (4 异方差性的补救措施 异方差的检验与补救措施

39 一 什么是异方差 第五章异方差 5. 异方差的概念与类型 异方差性 (heeroscedascy: 回归模型误差项的方差不相同 同方差性 (homoscedascy: 回归模型误差项的方差相同 例 : 截面资料下研究个人工资与受教育年限的关系 Yββu Y: 第 个人的工作 ; : 第 个人的受教育年限 一般而言, 对于不同的受教育年限, 工资的波动不存在明显差别, 即满足同方差的例 : 截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yββu Y: 第 个家庭的储蓄额 : 第 个家庭的可支配收入 高收入家庭 : 储蓄的差异较大 低收入家庭 : 储蓄则更有规律性, 差异较小 u 的方差呈现单调递增型变化 概率密度 对于 Y β β β β u k k Var( u E( u,,, k σ Var( u E( u,,, k σ 异方差性 : 同方差性 : 也即 : 异方差性 : Var(Y,,, σ k k σ 同方差性 : Var( Y,,, : 收入 Y: 储蓄 Y

40 二 异方差的类型 : 同方差性假定 :σ 授课内容 常数 f( 异方差时 : σ f( 异方差一般可归结为三种类型 : ( 单调递增型 : σ 随 的增大而增大 ( 单调递减型 : σ 随 的增大而减小 (3 复杂型 : σ 与 的变化呈复杂形式 5. 异方差性的来源与后果一 结合异方差的来源分析 : 随机误差项 u, 包括 回归模型中省略的变量 ( 产生异方差的主要原因 ; 人们的随机行为 ; 3 建立的数学模型的形式不够完善 ; 4 经济变量之间的合并误差 ; 5 测量误差 ( 对异方差也有较大影响 二 异方差的后果 : 计量经济学模型一旦出现异方差性, 如果仍采用 OLS 估计模型参数, 会产生下列不良后果 : 参数估计量仍具有线性无偏性 但非有效 OLS 估计量仍然具有线性无偏性, 因为在证明线性性 无偏性中没有用到同方差假设 ; 在证明有效性中用到了同方差假设 E(UU σi 因而不具有效性 而且, 在大样本情况下, 尽管参数估计量具有一致性, 但仍然不具有渐近有效性

41 例 : Y β β u 其中, E( u σ 保留古典模型的所有其它假定 ˆ xy x( Y Y 则, β β x x x ( β β u x x E( ˆ β β即线性无偏 x u x u x ( x 但, var( ˆ β ( var( 变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中, 构造了 统计量 x σ 3 模型的预测失效一方面, 由于上述后果, 使得模型不具有良好的统计性质 ; 所以, 当模型出现异方差性时, 参数 OLS 估计值的变异程度增大, 从而造成对 Y 的预测误差变大, 降低预测精度, 预测功能失效

42 5.3 异方差性的检验一 检验思路 : 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值, 随机误差项具有不同的方差 那么 : 检验异方差性, 也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的 形式 问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法 : 首先采用 OLS法估计模型, 以求得随即误差项的估计量 ( 注意该估计量是不严格的, 我们称之为 近似估计量, 用 e 表示, 于是有 Var( u E( u e e Y ( Yˆ 即用表示随机误差项的方差 OLS e 二 异方差的检验方法 : 图示法 ( 用 -Y 的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大 缩小或复杂型趋势 ( 即不在一个固定的带型域中 (- e ~ 的散点图进行判断看是否形成一斜率为零的直线 ( 带 ~e ~ e 同方差 递增异方差 ~e ~ e 递减异方差 复杂型异方差

43 帕克(Park 检验与戈里瑟 (Gleser 检验基本思想 : 尝试建立方程 : 或 e~ f ( e~ f ( j ε j ε 选择关于变量 的不同的函数形式, 对方程进行估计并进行显著性检验, 如果存在某一种函数形式, 使得方程显著成立, 则说明原模型存在异方差性 如 : 帕克检验常用的函数形式 : f α ε σ ( e e lnσ α ln j ε j j 或 ln( ~ 若 α 在统计上是显著的, 表明存在异方差性 戈里瑟检验, 则是用 e 对 的不同次幂进行回归 p e α β ε ( p是可以确定的常数 j 若 β 在统计上是显著的, 表明存在异方差性 3 戈德菲尔德- 匡特 (Goldfeld-Quand 检验 G-Q 检验以 F 检验为基础, 适用于样本容量较大 异方差递增或递减的情况 G-Q 检验的思想 : 先将样本一分为二, 对子样 和子样 分别作回归, 然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验 由于该统计量服从 F 分布, 因此假如存在递增的异方差, 则 F 远大于 ; 反之就会等于 ( 同方差 或小于 ( 递减方差 G-Q 检验的步骤 : 将 n 对样本观察值 (,Y 按观察值 的大小排队 将序列中间的 cn/4 个观察值除去, 并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本, 每个子样样本容量均为 (n-c/ 3 对每个子样分别进行 OLS 回归, 并计算各自的残差平方和 j

44 4 在同方差性假定下, 构造如下满足 F 分布的统计量 ~ n c e ( k n c n c F ~ F( k, k ~ n c e ( k 5 给定显著性水平 α, 确定临界值 Fα(v,v, 若 F> Fα(v,v, 则拒绝同方差性假设, 表明存在异方差 当然, 还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增 型异方差还是递减异型方差 3 怀特 (Whe 检验怀特检验不需要排序, 且适合任何形式的异方差怀特检验的基本思想与步骤 ( 以二元为例 : Y β β β u 然后做如下辅助回归 : e~ α α α 3 α 4 α 5 可以证明, 在同方差假设下 : α ε R 为 (* 的可决系数,h 为 (* 式解释变量的个数, 表示渐近服从某分布 注意 : 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性, 因此, 辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方 如果存在异方差性, 则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性, 这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的 检验值较大 当然, 在多元回归中, 由于辅助回归方程中可能有太多解释变量, 从而使自由度减少, 有时可去掉交叉项 4 斯皮尔曼 (Spearman 等级相关检验 ( 适用于变量不能用具体值的情况 斯皮尔曼等级相关检验的步骤 : Y u β β β... βk k

45 ⑴ 先对该模型进行 OLS 估计, 得到相应的残差 ( 确定 与对应 e 的等级 ( 由小到大的位次 ( 3 将 的等级由小到大排列, e 的等级相应调整, j j 其等级差依次为 d, d,..., d ( ρ为 等级与 e 等级的相关系数 n d 3 N n n H: ρ n 6 (4 等级相关系数 r ~ (, 由此判断 H 是否成立. 若否定 H, 则说明异方差存在 n j 5.4 异方差的修正 模型检验出存在异方差性, 由于其不良后果, 故此需要消除, 常用的办法 : 一 对模型进行变换 : 例如, 如果对一多元模型, 经检验知 : Var( u E( u σ f ( σ j f ( j Y β β β f ( f ( f ( j j j 新模型中, 存在 Var v Y β k f ( j k f ( j µ ( u E( u E( u σ f ( ( f ( j j f j 令 : Y * * u f ( β * j Y f ( j β, * * ( j,,..., k;,,..., n... β 此模型满足同方差性, 可用 OLS 法估计 k f ( * k j v, * j j f ( j

46 例 : 对于一元线性模型 : Y β β u, 设异方差的形式为 : Var( u σ k 对于模型的两端同除以 Y β u β u 变换了的扰动项 就是同方差的, 因为 u Var Var( u σ k 例 : 对于一元线性模型 : Y β β u, 设异方差的形式为 : Var( u σ k 对于模型的两端同除以 Y β u β 变换了的扰动项 就是同方差的, 因为 u Var Var( u σ k u

47 二 加权最小二乘法加权最小二乘法的基本思想 : 普通最小二乘法 : 使残差平方和最小, 不同点的残差平方权重相同, 这在同方差下合理, 因为不同点相对于回归直线的离散程度相同 ; 而在异方差的情况下, 方差大的点离散程度大, 其在回归直线的位置就不那么准确, 故此因不太重视这些点, 在残差平方和中对较小的残差平方 e 赋予较大的权数, 对较大的残差平方 e 赋予较小的权数, 这就是加权最小二乘法我们自然考虑权重采用方差的倒数即 :W/σ 下面通过例子来说明 WLS 如何小异方差的影响 ( ( (, ( ( :, : 3: k u Var u Var u u Y k u Var u Y σ α α α α α α α α α α α α β α α β α α α α α α σ β β 就是同方差的因为变换了的扰动项对于模型的两端同除以设异方差的形式为对于一元线性模型例 ] ˆ ˆ ˆ ( [ k k Y W e W β β β 二者的目标函数只差一常数故其解一样最小残差平方和方法要求就是同方差的可以使用变换了的扰动项对于模型的两端同除以最小加权最小二乘法使设异方差的形式为对于一元线性模型例, ˆ ˆ ( ˆ ˆ, OLS, ˆ ˆ ( ( :, : : Y Y u u Y Y k e k u Var u Y β β β β β β β β σ σ β β

48 三 广义最小二乘法 : 一般情况下 : 对于模型 : YβU 存在 EU ( ; Var U E UU W dag w w ( ( σ σ (,..., n 即存在异方差性 W 是一对称正定矩阵, 存在一可逆矩阵 D 使得 WDD 用 D - 左乘 YβU 两边, 得到一个新的模型 : D Y * Y D * β U β D 该模型具有同方差性 因为 * * * E( U U E( D UU D D E( UU D D σ WD σ D DD D σ I 用 OLS估计新模型 ˆ * * * * β ( Y ( D D D ( D D D ( W W 这就是原模型 YβU Y D D 的广义最小二乘估计量, 是无偏 有效的估计量 ( 因为只存在异方差, 故其也是加权最小二乘估计量 这里权矩阵为 D -, 它来自于原模型残差项 U 的方差 - 协方差矩阵 σ W Y Y U

49 如何得到 σ W? 授课内容 从前面的推导过程看, 它来自于原模型残差项 U 的方差 - 协方差矩阵 因此 仍对原模型进行 OLS 估计, 得到随机误差项的近似估计量 e ~, 以此构成权矩阵的估计量, 即 σ Wˆ e~ ~ e n 这时可直接以 D dag / e,/ e,,/ } 作为权矩阵 ~ ~ { 注意 :⑴ 在实际操作中人们通常采用如下的经验方法 : ⑵ 不对原模型进行异方差性检验, 而是直接选择加权最小二乘法, 尤其是采用截面数据作样本时 ⑶ 如果确实存在异方差, 则被有效地消除了 ; ⑷ 如果不存在异方差性, 则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法 5.5 案例分析 ( 课本, 结合 Evews 研究个人储蓄 Y 与可支配收入 之间的关系 Y β β u 准备工作 ( 首先要建立工作文件 (Ineger dae 命令 :creae u 3 ( 然后输入数据命令 :daa Y ⑶ 用 OLS 估计方程命令 :LS Y C 得到相应的回归分析结果 方法一 : 图示法 和 Y 的散点图 ( 右图 (sca x y ~ e n

50 ~ e 散点图 GENR eresd^ Sca e spearman 等级相关检验 Sor daa dd GENR eabs(resd Sor e Daa e dd genr r-6*@sum((dd-dd^/(3^3-3 genr Zr*@sqr(3 3 G-Q 检验 Sor Smpl Ls y c x( 记下第一个残差平方和 : Smpl 3 Ls y c x( 记下第二个残差平方和 : 计算 F, 查表作出判断

51 4 Whe 检验 方程窗口 :Vew resdual es whe heeroskedascy(no cross erms whe heeroskedascy(cross erms Whe Heeroskedascy Tes: F-sasc Probably.7699 Obs*R-squared Probably.554 Tes Equaon: Dependen Varable: RESID^ Mehod: Leas Squares Dae: /8/5 Tme: 4:49 Sample: 3 Included observaons: 3 Varable Coeffcen Sd. Error -Sasc Prob. C ^ R-squared.9363 Mean dependen var Adjused R-squa.4377 S.D. dependen var S.E. of regress Akake nfo creron Sum squared res.9e Schwarz creron Log lkelhood F-sasc Durbn-Wason s Prob(F-sasc WLS 估计 Smpl 3 这里用残差绝对值的倒数作为权重 Genr WW/ abs(resd Ls(WWW Y C Mehod: Leas Squares Dae: /8/5 Tme: 4:59 Sample: 3 Included observaons: 3 Weghng seres: WW Varable Coeffcen Sd. Error -Sasc Prob. C Weghed Sascs R-squared Mean dependen var Adjused R-squared.9869 S.D. dependen var S.E. of regresson 5.87 Akake nfo creron.7374 Sum squared resd Schwarz creron.845 Log lkelhood F-sasc Durbn-Wason sa.48 Prob(F-sasc. Unweghed Sascs R-squared Mean dependen var Adjused R-squared.9399 S.D. dependen var S.E. of regresson Sum squared resd Durbn-Wason sa.436

52 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 目的要求 重 点 难 点 6. 非自相关假定 6. 自相关的来源与后果 6.3 自相关检验 6.4 自相关的解决办法 6.5 自相关系数的估计 6.6 案例分析 第六章 自相关 理解自相关性的基本含义及数学表现形式 ; 经济现象中的自相关性表现 ; 了解自相关性对模型产生的影响 掌握诊断和处理自相关性的方法 ( 自相关性的概念 ( 自相关性的后果 (3 自相关性检验 (4 自相关性的补救措施 自相关检验与处理

53 一 自相关的概念 : 6. 自相关概述 自相关 (auo correlaon, 又称序列相关 (seral correlaon 是指总体回归模型的随机误差项之间存在相关关系 即不同观测点上的误差项彼此相关 一阶自相关系数 : ρ n n u 二 自相关产生的原因 : ㈠经济系统的惯性 式 (6. u u n u 自相关系数 ρ 的定义与普通相关系的公式形式相同, ρ 的取值范围为 - ρ 式 (6. 中 u - 是 u 滞后一期的随机误差项, 因此, 将式 (6. 计算的自相关系数 ρ 称为一阶自相关系数 自相关现象大多出现在时间序列数据中, 而经济系统的经济行为都具有时间上的惯性 如 GDP 价格 就业等经济指标都会随经济系统的周期而波动 例如, 在经济高涨时期, 较高的经济增长率会持续一段时间, 而在经济衰退期, 较高的失业率也会持续一段时间, 这种现象就会表现为经济指标的自相关现象 ㈡经济活动的滞后效应 滞后效应是指某一指标对另一指标的影响不仅限于当期而是延续若干期 由此带来变量的自相关例如, 居民当期可支配收入的增加, 不会使居民的消费水平在当期就达到应有水平, 而是要经过若干期才能达到 因为人的消费观念的改变客观上存在自适应期 ㈢数据处理造成的相关 因为某些原因对数据进行了修整和内插处理, 在这样的数据序列中就会有自相关 例如, 将月度数据调整为季度数据, 由于采用了加合处理, 修匀了月度数据的波动, 使季度数据具有平滑性, 这种平滑性产生自相关 对缺失的历史资料, 采用特定统计方法进行内插处理, 使得数据前后期相关, 产生了自相关

54 ㈣蛛网现象 蛛网现象是微观经济学中的一个概念 它表示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出来的某种规律性, 即呈蛛网状收敛或发散于供需的均衡点 如 : 许多农产品的供给呈现为蛛网现象, 供给对价格的反应要滞后一段时间, 因为供给需要经过一定的时间才能实现 如果时期 的价格 P 低于上一期的价格 P-, 农民就会减少时期 的生产量 如此则形成蛛网现象, 此时的供给模型为 : 供给 ββ 价格 -u ㈤模型设定偏误 如果模型中省略了某些重要的解释变量或者模型函数形式不正确, 都会产生系统误差, 这种误差存在于随机误差项中, 从而带来了自相关 由于该现象是由于设定失误造成的自相关, 因此, 也称其为虚假自相关 Y β β β u 而建立模型时, 模型设定为 : Y β β u 则 3 对 Y 的影响在式 中便归入随机误差项 u 中, 由于 3 在不同观测点上是相关的, 这就造成了 u 在不同观测点是相关的, 呈现出系统模式, 此时 u 是自相关的 模型形式设定偏误也会导致自相关现象 如将 U 形成本曲线设定为线性成本曲线, 则必定会导致自相关 由设定偏误产生的自相关是一种虚假自相关, 可通过改变模型设定予以消除 注意 : 自相关关系主要存在于时间序列数据中, 但是在横截面数据中, 也可能会出现自相关, 通常称其为空间自相关 (Spaal auo correlaon 三 自相关的表现形式 : 自相关的性质可以用自相关系数 ρ 的符号判断自相关的方向, 即 ρ < 为负相关, ρ > 为正相关 当 ρ 接近 时, 表示相关的程度很高 但自相关是 u,u,,un 序列自身的相关, 因 n 个随机误差项的关联形式不同而具有不同的自相关形式 自相关大多出现在时间序列数据中

55 对于样本观测期为 n 的时间序列数据, 可得到总体回归模型 (PRF 的随机误差项为 u,u,,u n, 如果自相关形式为 u ρu - - v ; -<ρ< ( 6. 5 其中 ρ 为自相关系数,v 为经典误差项, 即 E(v, Var (v σ,cov (v,v s,s 则式 (6.5 称为一阶自回归模式, 记为 AR ( 因为模型 (6.5 中 u - 是 u 滞后一期的值, 因此称为一阶 式 (6.5 中的 ρ 也称为一阶自相关系数 如果式 (6.5 中的随机误差项 v 不是经典误差项, 即 v 中包含有 u 的成份, 如包含有 u - 则需将 u - 显含在回归模型中, 其为 u ρ u - ρ u - v ( 6. 6 其中,ρ 为一阶自相关系数, ρ 为二阶自相关系数, v 是经典误差项 式 (6. 6 称为二阶自回归模式, 记为 AR( 一般地, 如果 u,u,,u 之间的关系为 u ρ ρ ρ u u mu m v ( 6. 7 其中,v 为经典误差项 则称式 (6.7 为 m 阶自回归模式, 记为 AR(m 在经济计量分析中, 通常采用一阶自回归形式, 即假定自回归形 式为一阶自回归 AR( 6. 自相关的后果一 参数估计的影响 : 当存在自相关时, 普通最小二乘估计量不再是最佳线性无估计量, 即它在线性无偏估计量中不是方差最小的 在实际经济系统中, 通常存在正的自相关, 即 ρ>, 同时 序列自身也呈正相关, 因此, 在有自相关的条件下, 仍然使用普通最小二乘法将低估估计量 ˆβ 的方差 Var( ˆ β 将低估真实的 ˆ σ σ Σe ( n k

56 二 对模型检验的影响 : ( 一 考虑自相关时的检验 由于 界值 Var( ˆ β 由于 是不正确的 SE( ˆ β α / 授课内容 并不是所有线性无偏估计量中最小的, 使用 检验判断回归系数的显著性时就可能得到错误的结论 估计值 ˆ β 检验的统计量为 估计量的标准误 Se( ˆ β 的错误夸大, 得到的 统计量就可能小于临, 从而得到参数 β 不显著的结论 而这一结论可能 ( 二 忽视自相关时的检验 如果我们忽视自相关问题依然假设经典假定成立, 使用 ( ˆ σ Var β Σ x, 将会导致错误结果 当 ρ >, 即有正相关时, 对所有的 j 都有 ρ > 另外回归模 型中的解释变量在不同时期通常是正相关的, 对于 x 和 x j 来说 j 是大于 的 R 普通最小二乘法的方差 ˆ σ Var( β 通常会低估 Σ x 真实方差 当 ρ 较大和 有较强的正自相关时, 普通 小二乘估计量的方差会有很大偏差, 我们会夸大估计量的 估计精度, 即得到较小的标准误 因为 ˆβ 的标准误是 ˆβ 的标准差的估计值, 在有自相关时, 普通最小二乘估计 ˆβ 的标准误就不可靠了 一个被低估了的标准误意味着一个较大的 统计量 因此, 当 ρ> 时, 通常 统计量都很大 这种有偏的 统计量是不能用来判断回归系数的显著性的 综上所述, 在自相关情形下, 无论考虑自相关, 还是忽视自相关, 通常的回归系统显著性的 检验都将是无效的 类似地, 由于自相关的存在, 参数的最小二乘估计量是无效的, 使得 F 检验和 R 检验也是不可靠的

57 三 对模型预测的影响 : 模型预测的精度决定于抽样误差和总体误差项的方差 σ 抽样误差来自于对 β 的估计, 在自相关情形下 β, 的方差的最小二 ˆ j 乘估计变得不可靠, 由此必定加大抽样误差 同时, 在自相关情形下, 对 σ的估计 ˆ σ Σe / n k 也会不可靠 由此可看出, 影响预测精度的两大因素都会因自相关的存在而加大不确定性, 使预测的置信区间不可靠, 从而降低预测的精度 6.3 自相关的检验一 图示法检验 : 图示法是一种直观的诊断方法, 它是把给定的回归模型直接用普通最小二乘法估计参数, 求出残差项 e,e 作为 u 随机项的真实估计值, 再描绘 e 的散点图, 根据散点图来判断 e 的相关性 残差 e 的散点图通常有两种绘制方式 ˆ j e e - 图 6. e 与 e - 的关系 绘制 e -,e 的散点图 用 ( e -,e (,, n 作为散布点绘图, 如果大部分点落在第 Ⅰ Ⅲ 象限, 表明随机误差项 u 存在着正自相关, 如图 6. 所示 e 在 如果大部分点落 e - 第 Ⅱ Ⅳ 象限, 图 6. e 与 e - 的关系 那么随机误差项 u 存在着负自相关, 如图 6. 所示

58 e 图 6.3 e 的分布 按照时间顺序绘制回归残差项 e 的图形 如果 e (,,,n 随着 的变化逐次有规律地变化, 呈现锯齿形或循环形状的变化, 就可断言 e 存在相关, 表明存在着自相关 ; 如果 e 随着 的变化逐次变化并不断地改变符号, 那么随机误差项 u 存在负自相关 ; 如图 6.3 所示 如果 e 随着 的变化逐次变化并不频繁地改变符号, 而是几个正的 e 后面跟着几个负的, 则表明随机误差项存 u 在正自相关, 如图 6.4 所示 e 图 6.4 e 的分布 二 DW 检验法 DW 检验是 J.Durbn( 杜宾 和 G.S.Wason( 沃特森 于 95 年提出 的一种适用于小样本的检验方法 DW 检验只能用于检验随机误差项具 有一阶自回归形式的自相关问题 这种检验方法是建立经济计量模型中最常用的方法, 一般的计算机软件都可以计算出 DW 值 随机误差项的一阶自回归形式为 : u ρu v (6. 为了检验序列的相关性, 构造的原假设是 : H : ρ (6. 为了检验上述假设, 构造 DW 统计量首先要求出回归估计式的残差 e 定义 DW 统计量为 : DW n ( e e n e

59 DW 授课内容 n n n e e ee n e n n n e e e (6.3 则 : n n ee ee DW n ˆ ρ n e (6 4 e 所以 : DW ( DW 的取值范围对应 : ρ ρ DW - 4 (-, (,4 (, (, 由上述讨论可知 DW 的取值范围为 : DW 4 根据样本容量 n 和解释变量的数目 k ( 不包括常数项 查 DW 分布表, 得临界值 dl 和 du, 然后依下列准则考察计算得到的 DW 值, 以决定模型的自相关状态 表 6. DW 检验决策规则 DW dl dl<dw du du<dw<4-du 4-dU DW<4-dL 4-dL DW 4 误差项 u,u,,un 间存在正相关不能判定是否有自相关 误差项 u,u,,un 间无自相关不能判定是否有自相关 误差项 u,u,,un 间存在负相关

60 表 6. 可以用坐标图更加直观地表示出来 : f (DW 正自相 不能确 无自相 不能确 负自相 d d DW 图 6.5 DW 检验示意图 注意 : DW 检验尽管有着广泛的应用, 但也有明显的缺点和局限性 DW 检验有两个不能确定的区域, 一旦 DW 值落在这两个区域, 就无法判断 这时, 只有增大样本容量或选取其他方法 ; DW 统计量的上 下界表要求 n 5, 这是因为样本如果再小, 利 用残差就很难对自相关的存在性做出比较正确的诊断 ; 3 DW 检验不适应随机误差项具有高阶序列相关的检验 ; 4 只适用于有常数项的回归模型并且解释变量中不能含滞后的被解释变量 6.4 自相关的修正 对于虚假自相关, 由于是模型设定偏误造成的, 只能通过改变模 型的设定去消除 对于设定正确的模型, 如随机误差项有自相关, 则为真实的自相关 对于真实的自相关可采用如下方法予以消除 一 广义差分法二 Cochrane - Orcu 迭代法三 其它方法 : 一阶差分法 德宾两步法

61 一 广义差分法 : 对于自相关的结构已知的情形可采用广义差分法解决 由于随机误差项 u 是不可观测的, 通常我们假定 u 为一阶自回归形 式, 即 u ρu - v (6.5 其中, ρ <,v 为经典误差项 当自相关系数为已知时, 使用广义差分法, 自相关问题就可彻底解决 我们以一元线性回归模型为例说明广义差分法的应用 对于一元线性回归模型 : Y β β u (6.6 将模型 (6.6 滞后一期可得 Y β β u (6.7 用 ρ 乘式 (6.7 两边, 得 ρy ρβ ρβ ρu (6.8 用式 6.7 减式 6.8 可得 : Y ρy β( ρ β( ρ u ρu (6.9 式 (6.9 中,u -ρu - v 是经典误差项 因此, 模型 (6.9 已经是经典线性回归 : 令 : * * Y Y ρy, ρ β * β ρ ( 注意 : 在进行广义差分时, 解释变量 与被解释变量 Y 均以差分形式出现, 因而样本容量由 n 减少为 n-, 即丢失了第一个观测值 如果样本容量较大, 减少一个观测值对估计结果影响不大 但是, 如果样本容量较小, 则对估计精度产生较大的影响 此时, 可采用普莱斯 - 温斯滕 (Pras-Wnsen 变换, 将第一个观测值变换为 Y ρ 和 ρ * * 补充到差分序列 Y, 中, 再使用普通最小二乘法估计参数 二 Cochrane - Orcu 迭代法 在实际应用中, 自相关系数 ρ 往往是未知的,ρ 必须通过一定的方法估计 最简单的方法是据 DW 统计量估计 ρ 由 DW 与 ρ 的关系可知 : DW ˆ ρ

62 但是, 式 (6.3 得到的是一个粗略的结果, 是对 ρ 精度不高的估计 其根本原因在于我们对有自相关的回归模型使用了普通最小二乘法 为了得到 ρ 的精确的估计值, 人们通常采用科克伦 奥克特 (Cochrane Orcu 迭代法 该方法利用残差 e 去估计未知的 ρ 对于一元线性回归模型 Y β β u (6.3 假定 u 为一阶自回归形式 : u ρu v( 6.33 科克伦 - 奥克特迭代法估计 ρ 的步骤如下 : 使用普遍最小二乘法估计模型 ( Y β β u (6.3 获得残差 e ( 利用残差 e 做如下的回归 : e ( ˆ ( ( ρ e v (6.34 ( 3 利用式 (6.34 得到的 ˆρ, 对模型 (6.3 进行广义差分, 即 ( ( ( ( Y ˆ ˆ ˆ ˆ ρ Y β( ρ β( ρ u ρ u (6.35 令 * ( Y ˆ Y ρ Y ˆ ρ * ( * ( ˆ 对式 (6.35 使用普通最小二乘法, 可得样本回归函数为 : * * * * ( Y ˆ ˆ β ˆ β e (6.36 ( 4 因为据式 (6.34 得到 ˆρ 并不是对 ρ 的最佳估计, 必须进一步迭代, 寻求最佳估计 由前一步估计的结果有 : ˆ * ( * β ˆ β ˆ ˆ ˆ /( ρ 和 β β 将 ˆ β ˆ, β 代入原回归方程 (6.3, 求得新的残差如下 : (3 e Y β β (6.37 (3 5 利用残差 e 做如下的回归 : (3 ( (3 e ˆ ρ e v (6.38 ( 这里得到的 ˆρ 就是 ρ 的第二轮估计值 ( 我们并不能确认 ˆρ 是否是 ρ 的最佳估计值, 我们还要继续估计 ( ρ 的第三轮估计值 这种方法是迭代法, 当估计的 ˆ ρ k 与 (3 ˆρ ( β β ρ ( ˆ ρ k 相差很小时, 就找到了 ρ 的最佳估计值 在模型实践中, 通常采用科克伦 奥克特两步法 第一步, 据式 (6.34 估计 ρ 第二步, 用估计值 ˆρ 做广义差分, 估计广义差分方程的参数 这种两步法与上述迭代方法结果很相近

63 三 其他方法简介 : ㈠一阶差分法一阶差分法是消除序列相关的一种简单有效的方法 我们仍以一元线性回归模型来说明一阶差分法的应用 Y β β u 式中,u 为一阶自回归 AR( 将模型 (6.39 变换为 Y β u u (6.4 如果原模型存在完全一阶正自相关, 即 ρ 则 u u v (6.4 其中,v 为经典误差项 则式 (6.4 的随机误差项为经典误差项, 无自相关问题 对式 (6.4 使用普通最小二乘法估计参数, 可得到最佳线性无偏估计量 ㈡德宾两步法当自相关系数未知时, 也可采用德宾提出的两步法, 消除自相关 将广义差分方程 (6.9 表示为 : Y β ( ρ β ρβ ρy v (6.4 采用如下的两个步骤消除自相关 第一步, 把式 (6.4 作为一个多元回归模型, 使用普通最小二乘法估计参数 把 Y - 的回归系数看作 ρ 的一个估计值 第二步, 求得 ˆρ 后, 使用 ˆρ 进行广义差分, 求得序列 : 和 * ρ * 然后使用普通最小二乘法对广义差分方程估计参数 Y ˆ Y ρy, 求得最佳线性无偏估计量 6.5 案例分析研究对象 : 中国农村居民收入 - 消费模型 (985~3 研究目的 : 消费模型是研究居民消费行为的工具和手段 通过消费模型的分析可判断居民消费边际消费倾向, 而边际消费倾向是宏观经济系统中的重要参数 Y β β u 建立模型 : Y - 居民消费, - 居民收入,u - 随机误差项 数据收集 :985~3 年农村居民人均收入和消费 ( 见表 6.3 ˆ

64 据表 6.3 的数据使用普通最小二乘法估计消费模型得 : R Yˆ ( ,F ,df 7,DW.776, 该回归方程可决系数较高, 回归系数均显著 对样本量为 9 一个解释变量的模型 5% 显著水平, 查 DW 统计表可知,dL.8,dU.4, 模型中 DW<dL, 显然消费模型中有自相关 这一点也可从残差图中看出, 点击 EVews 方程输出窗口的按钮 R Resds 可得到残差图, 如图 6.6 所示 自相关问题的处理 : 使用科克伦 - 奥克特的两步法解决自相关问题据模型 (6.44 可得残 差序列 e, 在 EVews 中, 每次回归的残差存放在 resd 序列中, 为了对残差进行回归分析, 需生成命名为 e 的残差序列 在主菜单 选择 Quck/Generae Seres 或点击工作文件窗口工具栏中的 Procs/Generae Seres, 在弹出的对话框中输入 e resd, 点击 OK 得到残差序列 e 使用 e 进行滞后一期的自回归, 在 EVews 命今栏中输入 ls e e (- 可得回归方程 : e.496e 由该式可得 : ˆρ.496, 对原模型进行广义差分, 得到广义差分方程 : Y.496 Y β (.496 β (.496 u 对上式的广义差分方程进行回归, 在 EVews 命令栏中输入 : ls Y-.496*Y (- c -.496* (- 回车可得方程输出结果如表 6.4

65 表 6.4 广义差分方程输出结果 Dependen Varable: Y-.4964*Y(- Mehod: Leas Squares Dae: 3/6/5 Tme: :3 Sample(adjused: Included observaons: 8 afer adjusng endpons Varable Coeffcen Sd. Error -Sasc C *( R-squared.9694 Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regresson.5584 Akake nfo creron Sum squared resd Schwarz creron Log lkelhood F-sasc Durbn-Wason sa Prob(F-sasc Prob 由表 6.4 可的回归方程 : Y ˆ ˆ * * R.969 F df 6 DW.3979 * * Y Y.496Y.496 由于使用了广义差分数据, 样本容量减少了 个, 为 8 个 查 5% 显著水平的 DW 统计表可知 d L.6,d U.39, 模型中 DW.3979>d U, 说明广义差分模型中已无自相关 同时, 可决系数 R F 统计量均达到理想水平 我们使用普莱斯 - 温斯腾变换补充第一个观测值, 即.496 和 Y.496 得到普莱斯 - 温斯腾变换的广义差分模型为 : * * Y 对比模型 (6.47 和 (6.46 可发现两者的参数估计值和各检验统计量的差别很微小, 说明在本例中使用普莱斯 - 温斯腾变换与直接使用科克伦 - 奥克特两步法的估计结果无显著差异, 这是因为本例中的样本还不算太小 如果实际应用中样本较小, 则两者的差异就会较大 通常对于小样本, 应采用普莱斯 - 温斯腾变换补充第一个观测值

66 由差分方程 (6.46 可知 : 授课内容 ˆ β 由此, 我们得到最终的中国农村居民消费模型 : (6.48 Y (6.49 由模型 (6.49 的中国农村居民消费模型可知, 中国农村居民的边际消费倾向为.5833, 即中国农民每增加收入 元, 将增加消费支出.5833 元

67 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 目的要求 重 点 难 点 7. 随机解释变量 7. 滞后变量 8. 虚拟变量 8. 时间变量 第七章 模型中的特殊解释变量 掌握解决随机解释变量的处理方法 工具变量, 了解分布滞后模型与自回归模型的产生背景及在经济分析中的作用 ; 了解分布滞后模型估计的困难及处理方法, 自适用预期模型与局部调整模型的估计难点及修正的估计方法 随机解释变量的存在与工具变量法 ; 滞后变量 虚拟变量与时间变量的概念 存在特殊解释变量的模型的估计问题

68 8. 随即解释变量一 问题的提出在古典假定中要求解释变量 是确定的变量, 并且与 u不相关, 即 : cov(, u 但是从实际意义上看, 模型中的解释变量与被模型 省略的变量之间完全可能相关 于是, cov(, u 因此, 当上述古典假定不满足的时候, 这时的模型称为随机解释变量模型 ㈠相关基本概念 A. 大小样本特征 小样本特性: 样本容量有限时的统计特性 大样本特性: 小样本时不具备的统计性质, 样本容量增大时, 随机量的统计特性 B. 序列 β的估计量序列 随机序列 : ˆ ( n ˆ ( ˆ ( ˆ ( n { β }: β, β,... β,... 期望序列 数值序列 : ˆ ( n ˆ ( ˆ ( ˆ ( n { E( β }: E( β, E( β,... E( β,... 3 方差序列 数值序列 : ˆ ( n ˆ ( ˆ ( ˆ ( n {var( β }: var( β, var( β,...var( β... C. 概率极限 定义设 { n} 为随机变量序列, 若对任意给定的 ε > < η < 存在 N使得当 n> N时, P{ n a < ε} > η 则称序列 { n} 依概率收敛于 a, 记为 Plm a n n 运算法则 Plm ( Y Plm PlmY n n n n n n n Plm ( Y Plm PlmY n n n n n n n Plm ( / Y Plm / PlmY n n n n n n n 注 : 假定上述极限存在且分母不为零

69 D. 渐近性 渐近期望 : E ˆ β lm ( ( n n 授课内容 渐近无偏 : E ˆ β lm ( ( n n β ˆ 渐近方差: asyvar β E n ˆ β E ˆ β n 3 ( ( n lm [ ( ( n ( ( n ] n E. 一致性 一致估计量若 P ˆ 则称 ˆ 是的一致估计量 ( n lm β β, ( n β β n 区别 ˆ ( ˆ ( ˆ ( n β, β,... β,... ˆ ( ˆ ( ˆ ( n 无偏性 : E( β β, E( β β,... E( β β,... 渐近无偏性 : E ˆ β E ˆ β E ˆ β ( β n ( ( ( n (, (,... (,... p ˆ ( ˆ ( ˆ ( n β β β β 一致无偏性 :,,...,... ( n 3 一致性的性质 ( 若 E( ˆ, 则有 lm ˆ ( n β β P ( n β β n ( 无偏 一致无偏 ( 若 E ˆ β ( β 渐近无偏 lm ( ( n n ˆ ( n 且 Var( β ( n ˆ ( n 则有 P lm β ( β 一致无偏 n 二 随机解释变量模型 随机, cov(, u, 下面讨论 OLS在三种不同情形下的性质 : ( 一 与 u独立 ( 则一定不相关 模型 : Y β U, 除了 随机以外, 古典假设的其他条件成立 估计 : ˆ β ( ' - ' OLS Y 线性性 : 无 ˆ ' - ' ' - ' [( ] [( ] 虽然 β Y β U 但是 是随机的, 因此线性性不成立

70 无偏性 : 成立 E( ˆ β( β 用到独立性 3 方差性 ˆ β ' - ' ' - var( E[( UU ( ' ] σ E ( ' - 结论 : 仍可以用 OLSE, 无偏性成立, 方差计算合理 ( 二 与 u不独立不相关 EU ( 假定 E( UU ' σ I plm UU ' σ I n plm U ' ( 无关 n plm ' ( 存在可逆 n OLS 估计的性质 : 线性性 无 一致无偏性成立 p ˆ β p β U - lm lm[ ( ' ' ] - β plm( ' U ' n n - β β ( 三 与 u相关 plm U ' U n OLS估计的性质 ˆ β非一致 ˆ p β β p U n n lm lm( ' ( ' β β U 结论 : 不能用 OLS 改用工具变量法三 工具变量法

71 ( 一 工具变量 [,..., ] k 如果能够找到一个变量 Z [ Z,..., Z ] 满足 plm Z'U ( 无关 n plm Z' 可逆 ( 相关 Z n plm Z' Z ZZ n 则称 Z 为 的工具变量 ( IV InsrumenalVarable ( 二 IV法对于 Y β u ˆ IV ( Z' ' 两边左乘 Z' 得 : ZY ' Z' β ZU ' n n n n plm ZU ', 舍去 ZU ' n n 得到 IV正规方程组 : Z ' Y Z ' ˆ βiv n n β ZY 注 : OLS是 IV法得特殊情况 ( Z ( 三 工具变量估计 ( IVE 的特征 : ˆ IV ( Z' ZY ' 是一致估计量 ˆ IV ( Z' Z' Y ( Z' Z'( β u β β β ( Z ' ' ˆ p p Z Zu n n lm βiv β lm( ' ( ' β ZY Zu β ( 四 IV的局限性 Z难选 Z不唯一 3 最小方差性不满足 k

72 7. 滞后变量模型 一 滞后变量模型在经济运行过程中, 广泛存在时间滞后效应 某些经济变量不仅受到同期各种因素的影响, 而且也受到过去某些时期的各种因素甚至自身的过去值的影响 通常把这种过去时期的, 具有滞后作用的变量叫做滞后变量 (Lagged Varable, 含有滞后变量的模型称为滞后变量模型 滞后变量模型考虑了时间因素的作用, 使静态分析的问题有可能成为动态分析 含有滞后解释变量的模型, 又称动态模型 (Dynamcal Model 滞后效应与与产生滞后效应的原因因变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为滞后效应 表示前几期值的变量称为滞后变量 如 : 消费函数通常认为, 本期的消费除了受本期的收入影响之外, 还受前 期, 或前 期收入的影响 : C β β Y β Y - β 3 Y - µ Y -,Y - 为滞后变量 产生滞后效应的原因 心理因素 : 人们的心理定势, 行为方式滞后于经济形势的变化, 如中彩票的人不可能很快改变其生活方式 技术原因 : 如当年的产出在某种程度上依赖于过去若干期内投资形成的固定资产 3 制度原因 : 如定期存款到期才能提取, 造成了它对社会购买力的影响具有滞后性 滞后变量模型以滞后变量作为解释变量, 就得到滞后变量模型 它的一般形式为 : Y β βy β Y... β Y α α α... α q q s s q,s: 滞后时间间隔自回归分布滞后模型 (auoregressve dsrbued lag model, ADL: 既含有 Y 对自身滞后变量的回归, 还包括着 分布在不同时期的滞后变量有限自回归分布滞后模型 : 滞后期长度有限无限自回归分布滞后模型 : 滞后期无限, ( 分布滞后模型 (dsrbued-lag model 分布滞后模型 : 模型中没有滞后被解释变量, 仅有解释变量 的 当期值及其若干期的滞后值 : Y α β u s

73 β : 短期 (shor-run 或即期乘数 (mpac mulpler, 表示本期 变化一单位对 Y 平均值的影响程度 β (,,s: 动态乘数或延迟系数, 表示各滞后期 的变动对 Y 平均值影响的大小 s β 称为长期 (long-run 或均衡乘数 (oal dsrbued-lag mulpler, 表示 变动一个单位, 由于滞后效应而形成的对 Y 平均值总影响的大小 如果各期的 值保持不变, 则 与 Y 间的长期或均衡关系即为 E( Y α ( β 自回归模型 (auoregressve model 自回归模型 : 模型中的解释变量仅包含 的当期值与被解释变量 Y s 的一个或多个滞后值 Y α α βy u s 而 : Y α α βy u 称为一阶自回归模型 (frs-order auoregressve model 二 分布滞后模型的参数估计 ㈠分布滞后模型估计的困难无限期的分布滞后模型, 由于样本观测值的有限性, 使得无法直接对其进行估计 有限期的分布滞后模型,OLS 会遇到如下问题 : 没有先验准则确定滞后期长度 ; 如果滞后期较长, 将缺乏足够的自由度进行估计和检验 ; 3 同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关, 即模型存在高度的多重共线性 ㈡分布滞后模型的修正估计方法 人们提出了一系列的修正估计方法, 但并不很完善 各种方法的基本思想大致相同 : 都是通过对各滞后变量加权, 组成线性合成变量而有目的地减少滞后变量的数目, 以缓解多重共线性, 保证自由度 ( 经验加权法根据实际问题的特点 实际经验给各滞后变量指定权数, 滞后变量按权数线性组合, 构成新的变量 权数据的类型有 : s

74 递减型 : 即认为权数是递减的, 的近期值对 Y 的影响较远期值大 如消费函数中, 收入的近期值对消费的影响作用显然大于远期值的影响 例如 : 滞后期为 3 的一组权数可取值如下 : /, /4, /6, /8 则新的线性组合变量为 : 矩型 : 即认为权数是相等的, 的逐期滞后值对值 Y 的影响相同 如滞后期为 3, 指定相等权数为 /4, 则新的线性组合变量为 : 倒 V 型 : 权数先递增后递减呈倒 V 型 例如 : 在一个较长建设周期的投 W 3 资中, 历年投 资 为产出 Y 的影响, 往往在周期期中投资对本期产出贡献最大 如滞后期为 4, 权数可取为 /6, W 3 3 /4, /, /3, /5 则新变量为 : W 例 对一个分布滞后模型 : Yˆ Y α β β β β µ 3 3 给定递减权数 :/, /4, /6, /8 令 W 3 原模型变为 : 4 6 αw 8 Y α µ 该模型可用 OLS 法估计 假如参数估计结果为 ˆα.5 ˆα.8 则原模型的估计结果为 : 经验权数法的优点是 : 简单易行缺点是 : 设置权数的随意性较大通常的做法是 : 多选几组权数, 分别估计出几个模型, 然后根据常用的统计检验 (R 方检验,F 检验, 检验,D-W 检验, 从中选择最佳估计式

75 W s β Y α µ s ( 授课内容 ( 阿尔蒙 (Almon 多项式法主要思想 : 针对有限滞后期模型, 通过阿尔蒙变换, 定义新变量, 以减少解释变量个数, 然后用 OLS 法估计参数 主要步骤为 : 第一步, 阿尔蒙变换 对于分布滞后模型 : s Y α β u 假定其回归系数 β 可用一个关于滞后期 的适当阶数的多项式来表 示, 即 : β m k,,,s 其中,m<s- 阿尔蒙变换要求先验地确定适当阶数 k, 例如取 k, 得 k β α k ( α( α ( (* k 将 (* 代入分布滞后模型 s k α ( α k ( k s s α ( α ( α µ 定义新变量 : α ( k k Y µ s W ( 将原模型转换为 : αw α W Y α µ 第二步, 模型的 OLS 估计 : 对变换后的模型进行 OLS 估计, 得再计算出 : k β α k ( α( α ( k ˆ αα, ˆ, ˆ α

76 求出滞后分布模型参数的估计值 : 授课内容 ˆ β, ˆ,, ˆ β β s 由于 m<s, 可以认为原模型存在的自由度不足和多重共线性问题已得到改善 需注意的是, 在实际估计中, 阿尔蒙多项式的阶数 m 一般取 或 3, 不超过 4, 否则达不到减少变量个数的目的 三 自回归模型的参数估计 自回归模型的构造 一个无限期分布滞后模型可以通过科伊克变换转化为自回归模型 许多滞后变量模型都可以转化为自回归模型, 自回归模型是经济生活中更常见的模型 以适应预期模型以及局部调整模型为例进行说明 ( 自适应预期 (Adapve expecaon 模型 在某些实际问题中, 因变量 Y 并不取决于解释变量的当前实际值, 而取决于 的 预期水平 或 长期均衡水平 e 例如, 家庭本期消费水平, 取决于本期收入的预期值 ; 市场上某种商品供求量, 决定于本期该商品价格的均衡值 因此, 自适应预期模型最初表现形式是 Y β µ e β 由于预期变量是不可实际观测的, 往往作如下自适应预期假定 : e e e r( 其中 :r 为预期系数 (coeffcen of expecaon, r 该式的经济含义为 : 经济行为者将根据过去的经验修改他们的预期, 即本期预期值的形成是一个逐步调整过程, 本期预期值的增量是本期实际值与前一期预期值之差的一部分, 其比例为 r 这个假定还可写成 : e e r ( r

77 将 得 e e r ( r Y β β r ( r ] µ 代入 Y β µ e β [ e (* 将 (* 式滞后一期并乘以 (-r, 得 r Y β r β r r µ (** e ( ( ( ( 以 (* 减去 (**, 整理得 其中 Y β β v r r ( r Y µ ( r v µ 可见自适应预期模型转化为自回归模型 ( 局部调整 (Paral Adjusmen 模型 局部调整模型主要是用来研究物资储备问题的 例如, 企业为了保证生产和销售, 必须保持一定的原材料储备 对应于一定的产量或销售量, 存在着预期的最佳库存 Y e 局部调整模型的最初形式为 Y β β µ e (9.3.7 Y e 不可观测 由于生产条件的波动, 生产管理方面的原因, 库存储备 Y 的实际变化量只是预期变化的一部分 储备按预定水平逐步进行调整, 故有如下局部调整假设 : 或 : Y Y Y e δ ( Y Y e Y ( δ Y δ (* 其中,δ 为调整系数, δ 将 (* 式代入 Y µ e β β 得 Y δβ δµ δβ ( δ Y 可见, 局部调整模型转化为自回归模型

78 自回归模型的参数估计 授课内容 对于自回归模型 考伊克模型 : Yˆ q α Y α β Y µ cov( Y, v cov( v, v α α α α 估计时的主要问题 : 滞后被解释变量的存在可能 导致它与随机扰动项相关, 以及随机扰动项出现序列相关性 自适应预期模型 : 显然存在 : 局部调整模型 : Y ( λ α β λ v Y v µ λµ Y v β r βr ( r Y v µ ( r µ Y δβ δβ δ Y δµ ( 存在 : 滞后被解释变量 Y - 与随机扰动项 δµ 的异期相关性 因此, 对自回归模型的估计主要需视滞后被解释变量与随机扰动项的不同关系进行估计 以一阶自回归模型为例说明 : ( 工具变量法 对于一阶自回归模型 Y α α α Y µ 若 Y - 与 u 同期相关, 则 OLS 估计是有偏的, 并且不是一致估计 因此, 对上述模型, 通常采用工具变量法, 即寻找一个新的经济变量 Z, 用来代替 Y - 参数估计量具有一致性 在实际估计中, 一般用 的若干滞后的线性组合作为 Y - 的工具变 量 : s s

79 由于原模型已假设随机扰动项 µ 与解释变量 及其滞后项不存在相 关性, 因此上述工具变量与 µ 不再线性相关 一个更简单的情形是直接用 - 作为 Y - 的工具变量 ( 普通最小二乘法若滞后被解释变量 Y - 与随机扰动项 u 同期无关 ( 如局部调整模 型, 可直接使用 OLS 法进行估计, 得到一致估计量 注意 : 上述工具变量法只解决了解释变量与 u 相关对参数估计所造成的 影响, 但没有解决 u 的自相关问题 事实上, 对于自回归模型, u 项的自相关问题始终存在, 对于此 问题, 至今没有完全有效的解决方法 唯一可做的, 就是尽可能地建立 正确 的模型, 以使序列相关性的程度减轻 例 3 建立中国长期货币流通量需求模型 经验表明 : 中国改革开放以来, 对货币需求量 (Y 的影响因素, 主要有资金运用中的贷款额 ( 以及反映价格变化的居民消费者价格指数 (P 长期货币流通量模型可设定为 e β β Y β P µ 由于长期货币流通需求量不可观测, 作局部调整 : e Y Y δ (** ( Y Y (* 将 (* 式代入 (** 得短期货币流通量需求模型 : δβ δβ P ( δ Y Y δβ δµ 表 5.. 中国货币流通量 贷款额 居民消费价格指数历史数据 单位 : 亿元, 上年 年度贷币流通量民民消费 贷款额 年度贷币流通量民民消费 贷款额 Y 价格指数 P Y 价格指数 P

80 对局部调整模型 运用 OLS 法估计结果如下 Y Y δβ δµ δβ δβ P ( δ Y (-.93(.86 (3. (.87 P Y 最后得到长期货币流通需求模型的估计式 : Y P e 注意 : 尽管 D.W..733, 但不能据此判断自回归模型不存在自相关 (Why? 但 LM.7855, α5% 下, 临界值 χ (3.84, 判断 : 模型已不存在一阶自相关 如果直接对下式作 OLS 回归 得 Y β β β P µ Y P (-4.8 (58.79 (5.5 可见该模型随机扰动项具有序列相关性,

81 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 目的要求 重 点 难 点 第八章虚拟变量回归 8. 虚拟变量掌握解决协变量含有虚拟变量的回归问题虚拟变量与时间变量的概念 存在虚拟变量的模型的估计问题

82 8. 虚拟变量 一 截距移动设有模型, y β β x β D u, 其中 y,x 为定量变量 ;D 为定性变量 当 D 或 时, 上述模型可表达为, y β β x u, (D (β β β x u, (D

83 6 Y D 4 D β β β 4 6 D 或 表示某种特征的有无 反映在数学上是截距不同的两个函数 若 β 显著不为零, 说明截距不同 ; 若 β 为零, 说明这种分类无显著性差异 例 : 中国成年人体重 y(kg 与身高 x(cm 的回归关系如下 : 5 x D ( 男 y - x - 5D x D ( 女 注意 : 若定性变量含有 m 个类别, 应引入 m- 个虚拟变量, 否则会导致多重共线性, 称作虚拟变量陷阱 (dummy varable rap 关于定性变量中的哪个类别取, 哪个类别取, 是任意的, 不影响检验结果 3 定性变量中取值为 所对应的类别称作基础类别 (base caegory 4 对于多于两个类别的定性变量可采用设一个虚拟变量而对不同类别采取赋值不同的方法处理 如 : ( 大学 D ( 中学 - ( 小学 二 斜率变动以上只考虑定性变量影响截距, 未考虑影响斜率, 即回归系数的变化 当需要考虑时, 可建立如下模型 : y β β x β D β 3 x D u, 其中 x 为定量变量 ;D 为定性变量 当 D 或 时, 上述模型可表达为, (β β (β β 3 x u, (D y β β x u, (D 通过检验 β 3 是否为零, 可判断模型斜率是否发生变化

84 Y 情形 ( 不同类别数据的截距和斜率不同 7 6 Y T 情形 ( 不同类别数据的截距和斜率不同 三 分段回归有时 Y 对 的回归在某一范围内服从一种线性关系, 而在另一范围内服从另一种线性关系 可建立分段回归模型 * Y β β β( D u 表示 分界值, D表示虚拟变量 * > D < * *

85 四 时间变量 授课内容 β β D Y * β β ( β β D 在许多情况下, 时间序列观测值时期所代表的时间可作为解释变量, 用于描述被解释变量的变化趋势, 又称趋势变量 趋势变量一般取值为 :,,,T; 有时为了处理方便也对称取值, 如 :,-3,-,-,,,,3, 3 含有趋势变量的模型估计 检验与预测与一般的模型完全一样

86 授课时间 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 年 月 日 星期 第 节 授课内容概要 目的要求 重 点 难 点 第九章时间序列计量经济模型 9. 时间序列计量经济分析的基本概念 9. 时间序列平稳性的单位根检验 9.3 协整. 使学生了解时间序列计量经济分析的基本概念 ;. 掌握随机过程的概念 ; 3. 熟悉时间序列平稳性的定义 ; 4. 了解和掌握时间序列平稳性的单位根检验 ; 5. 了解协整的概念 ; 6. 了解格兰杰因果检验 伪回归问题 ; 时间序列的平稳性 Dckey-Fuller 检验 ;Augmened Dckey-Fuller 检验 ; 误差修正模型 时间序列的平稳性的概念 ;Dckey-Fuller 检验 ;Augmened Dckey-Fuller 检验

87 9. 时间序列计量经济分析的基本概念 一 伪回归问题传统计量经济学模型的假定条件 : 序列的平稳性 正态性 所谓 伪回归, 是指变量间本来不存在相依关系, 但回归结果却得出存在相依关系的错误结论 世纪 7 年代,Grange Newbold 研究发现, 造成 伪回归 的根本原因在于时序序列变量的非平稳性 二 随机过程有些随机现象, 要认识它必须研究其发展变化过程, 随机现象的动态变化过程就是随机过程 例如, 考察一段时间内每一天的电话呼叫次数, 需要考察依赖于时间 的随机变量,{ξ } 就是一随机过程 又例如, 某国某年的 GNP 总量, 是一随机变量, 但若考查它随时间变化的情形, 则 { GNP } 就是一随机过程 三 时间序列的平稳性所谓时间序列的平稳性, 是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化 直观上, 一个平稳的时间序列可以看作一条围绕其均值上下波动的曲线 从理论上, 有两种意义的平稳性, 一是严格平稳, 另一种是弱平稳 时间序列的非平稳性 是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化, 即生成变量时间序列数据的随机过程的特征随时间而变化 在实际中遇到的时间序列数据很可能是非平稳序列, 而平稳性在计量经济建模中又具有重要地位, 因此有必要对观测值的时间序列数据进行平稳性检验 9. 时间序列平稳性的单位根检验一 单位根过程为了说明单位根过程的概念, 我们侧重以 AR( 模型进行分析 : Y φy ε - 根据平稳时间序列分析的理论可知, 当 ϕ < 时, 该序列 {} 是平稳的, 此模型是经典的 Box-Jenkns 时间序列 AR( 模型

88 当 ϕ, 则序列的生成过程变为如下随机游动过程 (Random Walk Process: Y Y ε 其中 { ε } 独立同分布且均值为零 方差恒定为 σ 随机游动过程的方差为 : Var( Y Var( Y ε - Var( Y ε ε - - Var( ε ε... ε ε σ - 当 时, 序列的方差趋于无穷大, 说明随机游动过程是非平稳的 如果一个序列是随机游动过程, 则称这个序列是一个 单位根过程 将一阶自回归模型表示成如下形式 : Y - ϕy ε 或 (- ϕly ε 其中, L 是滞后算子, 即 LY Y- - 根据模型的滞后多项式 -ϕ L, 可以写出对应的线性方程 :-ϕ Z ( 通常称为特征方程 该方程的根为 : Z / ϕ 当 ϕ < 时序列是平稳的, 特征方程的根满足条件 Z > ; 当 ϕ 时, 序列的生成过程变为随机游动过程, 对应特征方程的根 Z, 所以通常称序列含有单位根, 或者说序列的生成过程为 单位根过程 结论 : 随机游动过程是非平稳的 因此, 检验序列的非平稳性就变为检验特征方程是否有单位根, 这就是单位根检验方法的由来 从单位根过程的定义可以看出, 含一个单位根的过程, 其一阶差分 : Y Y -Y u - 是一平稳过程, 像这种经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整 Y I( 序列 (Inegraed Process, 记为 { }

89 有时, 一个序列经一次差分后可能还是非平稳的, 如果序列经过二阶 Y 为二阶单整序列, 记为 差分后才变成平稳过程, 则称序列 { } { Y } I( 一般地, 如果序列经过次差分后平稳, 而 d- 次差分却不平稳, 那么称为 d 阶单整序列, 记为 { Y } I( d, 称为整形阶数 特别地, 若序列 { Y } 本身是平稳的, 则称序列为零阶单整序列, 记为 { Y } I( 二 Dckey-Fuller 检验 (DF 检验 大多数经济变量呈现出强烈的趋势特征 这些具有趋势特征的经济变量, 当发生经济振荡或冲击后, 一般会出现两种情形 : 受到振荡或冲击后, 经济变量逐渐又回它们的长期趋势轨迹 ; 这些经济变量没有回到原有轨迹, 而呈现出随机游走的状态 若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程, 一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果 这是研究单位根检验的重要意义所在 假设数据序列是由下列自回归模型生成的 : Y γy ε - 其中, ε 独立同分布, 期望为零, 方差为 σ, 我们要检验该序列是否含有单位根 检验的原假设为 : H : γ 回归系数的 OLS 估计为 : ˆ y y γ y ˆ γ -γ 检验所用的统计量为 : ˆ σ ˆ γ - - 在 H : γ 成立的条件下, 统计量为 : ˆ γ - ˆ σ Dckey Fuller 通过研究发现, 在原假设成立的情况下, 该统计量不服从 分布 所以传统的 检验法失效 但可以证明, 上述统计量的极限分布存在, 一般称其为 Dckey-Fuller 分布 根据这一分布所作的检验称为 DF 检验, 为了区别, 统计量的值有时也称为 τ 值 ˆ ρ

90 Dckey Fuller 得到 DF 检验的临界值, 并编制了 DF 检验临界值表供查 在进行 DF 检验时, 比较 统计量值与 DF 检验临界值, 就可在某个显著性水平上拒绝或接受原假设 在实际应用中, 可按如下检验步骤进行 : Y γy ε - ( 根据观察数据, 用 OLS 法估计一阶自回归模型, 得到回归系数的 OLS 估计 : ˆ γ ( 提出假设 H : γ H: γ y y y 检验用统计量为常规 统计量, ˆ γ -γ ˆ σ (3 计算在原假设成立的条件下 统计量值, 查 DF 检验临界值表得临界值, 然后将 统计量值与 DF 检验临界值比较 : 若 统计量值小于 DF 检验临界值, 则拒绝原假设, 说明序列不存在单位根 ; 若 统计量值大于或等于 DF 检验临界值, 则接受原假设, 说明序列存在单位根 Dckey Fuller 研究发现,DF 检验的临界值同序列的数据生成过程以及回归模型的类型有关, 因此他们针对如下三种方程编制了临界值表, 后来 Macknnon 把临界值表加以扩充, 形成了目前使用广泛的临界值表, 在 EVews 软件中使用的是 Macknnon 临界值表 这三种模型如下 : 模型 I: ˆ γ Y γy ε - 模型 Ⅱ: 模型 Ⅲ : Y α γy ε - Y α β γy ε -

91 三 Augmened Dckey-Fuller 检验 (ADF 检验 DF 检验存在的问题是, 在检验所设定的模型时, 假设随机扰动项不存在自相关 但大多数的经济数据序列是不能满足此项假设的, 当随机扰动项存在自相关时, 直接使用 DF 检验法会出现偏误, 为了保证单位根检验的有效性, 人们对 DF 检验进行拓展, 从而形成了扩展的 DF 检验 (Augmened Dckey-Fuller Tes, 简称为 ADF 检验 假设基本模型为如下三种类型 : 模型 I: 模型 Ⅱ: 模型 Ⅲ: Y Y γ Y µ - α γ Y µ - Y α β γ Y µ - 其中 µ 为随机扰动项, 它可以是一个一般的平稳过程 为了借用 DF 检验的方法, 将模型变为如下式 : 模型 I: 模型 Ⅱ: 模型 Ⅲ: Y γy α Y ε p - - Y α γy α Y ε p Y α β γy α Y ε 可以证明, 在上述模型中检验原假设的 统计量的极限分布, 与 DF 检验的极限分布相同, 从而可以使用相同的临界值表, 这种检验称为 ADF 检验 例.: 根据 中国统计年鉴, 得到我国 978 年的 GDP 序列 ( 如教材表., 检验其是否为平稳序列 p

92 由 GDP 时序图可以看出, 该序列可能存在趋势项, 因此选择 ADF 检验的第三种模型进行检验 估计结果如下 : ^ GDP GDP.7395 GDP GDP - - 在原假设下, 单位根的 检验统计量的值为 ˆ γ γ ˆ σ ˆ γ 在 % 5% % 三个显著性水平下, 单位根检验的 Macknnon 临界值分别为 , 显然, 上述 检验统计量值大于相应临界值, 从而不能拒绝 H, 表明我国 978 年度 GDP 序列存在单位根, 是非平稳序列 - 一 协整的概念 9.3 协整 引例 : 一个货币需求分析的例子 依照经典理论, 一国或一地区的货币需求量主要取决于规模变量和机会成本变量, 即实际收入 价格水平以及利率 以对数形式的计量经济模型将货币需求函数描述出来, 形式为 : ln M β β ln P β lny β r u 3 其中, M 为货币需求,P 为价格水平,Y 为实际收入总额,r 为利率, u 为扰动项, β 为模型参数

93 问题 : 估计出来的货币需求函数是否揭示了货币需求的长期均衡关系? ( 如果上述货币需求函数是适当的, 那么货币需求对长期均衡关系的偏离将是暂时的, 扰动项序列是平稳序列, 估计出来的货币需求函数就揭示了货币需求的长期均衡关系 ( 相反, 如果扰动项序列有随机趋势而呈现非平稳现象, 那么模型中的误差会逐步积聚, 使得货币需求对长期均衡关系的偏离在长时期内不会消失 上述货币需求模型是否具有实际价值, 关键在于扰动项序列是否平稳 货币供给量 实际收入 价格水平以及利率可能是 I( 序列 一般情况下, 多个非平稳序列的线性组合也是非平稳序列 如果货币供给量 实际收入 价格水平以及利率的任何线性组合都是非平稳的, 那么上述货币需求模型的扰动项序列就不可能是平稳的, 从而模型并没有揭示出货币需求的长期稳定关系 反过来说, 如果上述货币需求模型描述了货币需求的长期均衡关系, 那么扰动项序列必定是平稳序列, 也就是说, 非平稳的货币供给量 实际收入 价格水平以及利率四变量之间存在平稳的线性组合 上述例子向我们揭示了这样一个事实 : 包含非平稳变量的均衡系统, 必然意味着这些非平稳变量的某种组合是平稳的 这正是协整理论的思想 所谓协整, 是指多个非平稳变量的某种线性组合是平稳的 例如, 收入与消费, 工资与价格, 政府支出与税收, 出口与进口等, 这些经济时间序列一般是非平稳序列, 但它们之间却往往存在长期均衡关系 下面给出协整的严格定义 : 对于两个序列 { } 和 { Y}, 如果 y I(, x I( αα, 使得 αx α y ~ I(, 则称 { } 和 { Y} 常数, 而且存在一组非零 之间是协整的 协整概念的提出对于用非平稳变量建立经济计量模型, 以检验这些变量之间的长期均衡关系非常重要 ( 如果多个非平稳变量具有协整性, 则这些变量可以合成一个平稳序列 这个平稳序列就可以用来描述原变量之间的均衡关系

94 ( 当且仅当多个非平稳变量之间具有协整性时, 由这些变量建立的回归模型才有意义 所以协整性检验也是区别真实回归与伪回归的有效方法 (3 具有协整关系的非平稳变量可以用来建立误差修正模型 由于误差修正模型把长期关系和短期动态特征结合在一个模型中, 因此既可以克服传统计量经济模型忽视伪回归的问题, 又可以克服建立差分模型忽视水平变量信息的弱点 二 协整检验 协整性的检验有两种方法 基于回归残差的协整检验, 这种检验也称为单一方程的协整检验 ; 基于回归系数的完全信息协整检验 这里我们仅考虑单一方程的情形, 而且主要介绍两变量协整关系的 EG 两步法检验 EG 两步检验法 : 第一步 : 若 即 Y 与 Y 是一阶单整序列, 和是平稳的, 用 OLS 法对回归方程 : 进行估计, 得到残差序列 : α βy u e -( ˆ α ˆ βy 第二步, 检验 e 的平稳性 若 e 为平稳的, 则 与 Y 是协整的, 反 之则不是协整的 因为若 与 Y 不是协整的, 则它们的任一线性组 合都是非平稳的. 因此残差将是非平稳 换言之, 对残差序列是否具有平稳性的检验, 也就是对 与 Y 是否存在协整的检验 检验 e 为非平稳的假设可用两种方法 : 一种方法是对残差序列进行 DF 检验, 即对进行单位根检验, 其检验方法在前面已介绍, 但要注意的是,DF 检验和 ADF 检验使用的临界值应该用 Engle-Granger 编制的专用临界值表 三 误差修正模型 (Error Correcon Model,ECM 误差修正模型 (ECM, 也称误差修正模型 是一种具有特定形式的计量经济模型

95 建立误差修正模型一般采用两步, 分别建立区分数据长期特征和短期待征的计量经济学模型 第一步, 建立长期关系模型 即通过水平变量和 OLS 法估计出时间序列变量间的关系 若估计结果形成平稳的残差序列时, 那么这些变量间就存在相互协整的关系. 长期关系模型的变量选择是合理的, 回归系数具有经济意义 第二步, 建立误差修正模型 将长期关系模型各个变量以一阶差分形式重新构造, 并将第一步中的残差引入 在一个从一般到特殊的检验过程中, 对短期动态关系进行逐项检验, 剔除不显著项, 直到得到最适当的模型形式 注意, 解释变量引入的短期关系模型的残差, 代表着在取得长期均衡的过程中各时点上出现 偏误 的程度, 使得第二步可以对这种偏误的短期调整或误差修正机制加以估计 一 格兰杰因果关系 格兰杰因果关系的直观思想 : 9.4 格兰杰因果检验 对于时间序列变量 和 Y, 如果 是 Y 变化的原因, 则 的变化应该发生在 Y 变化之前, 而且 的过去值应该有助于预测 Y 的未来值, 但 Y 的过去值不应该能够预测 的未来值. 作 Y 关于 Y 的滞后变量的回归, 这相当于是一个有约束回归 : s Y α Y u 在上述回归中添加 的滞后变量作为独立解释变量, 得到一个无约束回归 : s Y αy β u 如果 是 Y 变化的原因, 无约束回归模型的解释能力应该显著强于有约束回归模型的解释能力 如果存在这样一种关系, 称 是 Y 的格兰杰原因 反之, 如果添加 的滞后变量作为解释变量后, 没有显著增加回归模型的解释能力, 称 不是 Y 的格兰杰原因 二 格兰杰因果检验的实施 m

96 根据格兰杰因果关系的意义, 对 Y 是否存在格兰杰因果关系的检验, 可通过检验以 Y 为被解释变量的方程中是否可以把 的全部滞后变量剔除掉而完成 对于两个平稳时间序列 和 Y, 考虑分别作上述两个有约束和无约束的回归 检验 对 Y 存在格兰杰因果关系的零假设是 : H β β q : 即变量 不是变量 Y 的格兰杰原因 检验可用 F 统计量完成 : ( SSRR SSRU/ m F SSR / [ n ( s m ] 在零假设成立的条件下, 检验统计量 F~ Fmn [, ( s m] 在显著性水平 α 下, 如果 F> F[ mn, ( s m], 则拒绝零假设, 即变量 是变量 Y 的格兰杰原因 α U 9.5 案例分析 中国城镇居民的生活费支出与可支配收入关系的研究 书表.3 是我国城镇居民月人均可支配收入 (SR 和生活费支出 ( ZC 的调整序列 现用 EG 两步法考察它们之间是否存在协整关系 在 EVews 中建立中作文档, 录入人均可支配收入 (SR 和生活费支出 ( ZC 序列的数据 双击人均可支配收入 (SR 序列, 出现工作文件窗口, 在其左上方点击 EVews 键出现下拉菜单, 点击 Un Roo Tes, 出现对话框 ( 图., 选择带截距项 (nercep, 滞后差分项 (Lagged dfferences 选 阶, 点击 OK, 得到估计结果, 见表.4

97 从检验结果看, 在 % 5% % 三个显著性水平下, 单位根检验的 Macknnon 临界值分别为 , 检验统计量值 大于相应临界值, 从而不能拒绝 H, 表明人均可支配收入 ( SR 序列存在单位根, 是非平稳序列 为了得到人均可支配收入 (SR 序列的单整阶数, 在单位根检验 (Un Roo Tes 对话框 ( 图.3 中, 指定对一阶差分序列作单位根检验, 选择带截距项 (nercep, 滞后差分项 (Lagged dfferences 选 阶, 点击 OK, 得到估计结果, 见表.5

98 从检验结果看, 在 % 5% % 三个显著性水平下, 单位根检验的 Macknnon 临界值分别为 , 检验统计量值为 , 小于相应临界值, 从而拒绝 H, 表明人均可支配收入 (SR 的差分序列不存在单位根, 是平稳序列 即 SR 序列是一阶单整的, ~I( 为了分析可支配收入 (SR 和生活费支出 ( ZC 之间是否存在协整关系, 我们先作两变量之间的回归, 然后检验回归残差的平稳性 以生活费支出 ( ZC 为被解释变量, 可支配收入 (SR 为解释变量, 用 OLS 回归方法估计回归模型, 结果见表.6 为了检验回归残差的平稳性, 在工作文档窗口中, 点击 Genr 功能键, 命令 u resd, 将上述 OLS 回归得到的残差序列命名为新序列 u, 然后双击 u 序列, 对 u 序列进行单位根检验 由于残差序列的均值为, 所以选择无截距项 无趋势项的 DF 检验, 模型设定见图.4, 估计结果见表.7

99 在 5% 的显著性水平下, 检验统计量值为 -7.43, 大于相应临界值, 从而拒绝, 表明残差序列不存在单位根, 是平稳序列, 说明可支配收入 (SR 和生活费支出 ( ZC 之间存在协整关系 可支配收入 (SR 和生活费支出 ( ZC 之间存在协整, 表明两者之间有长期均衡关系 但从短期来看, 可能会出现失衡, 为了增强模型的精度, 可以把协整回归 (.5 式中的误差项 u 看作均衡误差, 通过建立误差修正模型把生活费支出的短期行为与长期变化联系起来 在 EVews 中, 点击 Genr 功能键, 生成可支配收入 (SR 和生活费支出 ( ZC 的差分序列 : DSR SR SR -SR - DZC ZC ZC - ZC - 然后以 DZC 作为被解释变量, 以 DSR 和 - u 作为解释变量, 估计回归模型 (.6, 结果见表.8

100 最终得到误差修正模型的估计结果 : 小结 ZC SR -.779ˆ u - R (.94 (.88 ( DW 大多数经济时间序列是非平稳的 如果直接将时间序列作回归分析, 则可能造成 伪回归, 造成 伪回归 的根本原因在于时序序列变量的非平稳性. 时间序列的平稳性, 是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化 严格平稳是指随机过程的联合分布函数与时间的位移无关 弱平稳是指随机过程的一阶矩和二阶矩不随时间推移而变化 3. 单位根过程是最常见的非平稳过程 如果非平稳序列经过 d 次差分后平稳, 而 d- 次差分却不平稳, 那么称为 d 阶单整序列,d 称 为整形阶数 4. 时间序列平稳性的检验方法主要有两类 : 自相关函数检验法和单位根检验法 DF 检验法和 ADF 检验法 5. 协整是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的 协整分析对于检验变量之间的长期均衡关系非常重要, 而且也是区别真实回归与伪回归的有效方法 6. 任何一组相互协整的时间序列变量都存在误差修正机制 误差修正模型把长期关系和短期动态特征结合在一个模型中, 既可以克服传统计量经济模型忽视伪回归的问题, 又可以克服建立差分模型忽视水平变量信息的弱点. 7. 格兰杰 (Granger 检验方法主要是检验一个经济变量的历史信息是否可用来预测另一个经济变量的未来变动, 该检验的重要价值在于预测 格兰杰因果关系不等于实际因果关系, 实际因果关系还需借助经济理论进行进一步的分析 ; 但统计意义上的格兰杰因果关系也是很有意义的, 对于经济预测将起很大的作用