概率统计 B 第七章回归分析方法 根据李东风老师课件修改 2017 春季学期 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 1 / 90
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1 概率统计 B 第七章回归分析方法 根据李东风老师课件修改 2017 春季学期 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 1 / 90
2 本节目录..1 一元线性回归 经验公式与最小二乘法 平方和分解公式与线性相关关系 数学模型与相关性检验 预报与控制.2 多元线性回归.3 逻辑斯蒂 (Logistic) 回归 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 2 / 90
3 回归分析方法 回归分析方法是数理统计的重要工具, 是处理多个变量之间相关关系的一种数学方法 函数关系 : 确定性关系 如自由落体运动 s = 1 2 gt2 (0 t T ) 相关关系是给定了 x 的值后并不能确定 y 的值, 但 y 的值与 x 的值有关 即使是确定性关系的变量, 其测量值因为含有误差所以也有不确定性 回归分析可以建立变量间的关系的数学表达式 ( 经验公式 ), 并可判断这样的公式的有效性, 以及如何利用所得到的经验公式去达到预测 控制等目的 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 3 / 90
4 一元线性回归 在一元线性回归分析中, 考察随机变量 Y 与一个普通变量 x( 非随机 ) 之间的联系 数据成对观测 : (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 4 / 90
5 例 1.1 例 1.1 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有关 有 24 个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的实测记录 设拉伸倍数为 x, 强度为 Y, 希望根据观测数据找出 x 和 Y 的关系式 数据 ( 部分 ) 如 (1.9, 1.4), (2.0, 1.3), (2.1, 1.8),..., (9.5, 8.1), (10.0, 8.1) 一种直观的考察方式是散点图 ( 演示 ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 5 / 90
6 纤维强度对拉伸倍数的散点图 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 6 / 90
7 散点图中每个点以 x 为横坐标, 以 y 为纵坐标 从散点图看散点围绕在一条直线周围, 有 ŷ = a + bx (1.1) 其中 ŷ 表示建立 Y 与 x 的关系后用 x 对 Y 做的预测 于是借助于散点图确定了经验公式的形式 只需要确定 (1.1) 中的 a 和 b b 叫做回归系数, 关系式 ŷ = a + bx 叫做回归方程 线性 : x 每增加 1,y 的变化量是恒定的 非线性 : x 每增加 1,y 的变化量不是恒定的 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 7 / 90
8 求解回归直线 要找一条直线与散点图中所有点尽可能最接近 直接作图过于粗略, 且无法推广到多个自变量的情形 定义距离 : 用 [y i (a + bx i )] 2 衡量点 (x i, y i ) 到直线 ŷ = a + bx 的距离 这是两个纵坐标的距离平方, 不是点到直线的垂直距离 理由 : 需要衡量的是对 Y 的预测精度 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 8 / 90
9 最小二乘原则 平方和 Q(a, b) = [y i (a + bx i )] 2 (1.2) 衡量直线 ŷ = a + bx 与所有散点的距离远近 求回归直线问题化为 : 找两个数 â, ˆb, 使得二元函数 Q(a, b) 在 a = â, b = ˆb 处达到最小 这种方法叫做最小二乘法 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 9 / 90
10 最小二乘求解的微分法 为了求 Q(a, b) 的最小值点, 求解其一阶偏导数都等于零的方程 : Q a = 2 [y i (a + bx i )] = 0 (1.3) Q b = 2 [y i (a + bx i )] x i = 0 (1.4) 由 (1.3) 解得 na = y i b x i a =ȳ b x (1.5) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 10 / 90
11 由 (1.4) 得 把 (1.5) 代入上式可得 b b x i [y i a bx i ] = 0 x i [y i ȳ b(x i x)] = 0 x i (x i x) = (x i x) 2 = x i (y i ȳ) (x i x)(y i ȳ) ˆb = n (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2 (1.6) 代入 (1.5) 可得 â = ȳ ˆb x 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 11 / 90
12 当 x 1, x 2,..., x n 不全相等时有解 可以证明这样用微分法求得的 (â, ˆb) 是 Q(a, b) 的最小值点 事实上, 二阶导数矩阵, 即海色阵为 ( ) 2n 2n x H = 2n x 2 ( n (x i x) 2 + n x 2) 易见其主子式都大于零,H 正定,Q(a, b) 的唯一的一阶偏导数等 于零的点一定是全局最小值点 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 12 / 90
13 最小二乘解的配方法 拆分平方与交叉项 : Q(a, b) = = {(y i ȳ) + [ȳ (a + b x)] b(x i x)} 2 (y i ȳ) 2 + n[ȳ (a + b x)] 2 + b 2 (x i x) 2 2b (x i x)(y i ȳ) 其中 [ȳ (a + b x)] 是常数, 所以它与 x i x 和 y i x 的交叉项为零 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 13 / 90
14 记 则 l xx = l xy = (x i x) 2 l yy = (y i ȳ) 2 (x i x)(y i ȳ) Q(a, b) =l yy + n[ȳ (a + b x)] 2 + l xx b 2 2l xy b ( =l yy + n[ȳ (a + b x)] 2 + l xx b l ) 2 xy l2 xy l xx l xx l yy l2 xy l xx 等于号成立当且仅当 b = l xy l xx = n (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2,a = ȳ b x 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 14 / 90
15 Q(a, b) 的最小值为 Q(â, ˆb) =l yy l2 xy l xx =l yy ˆbl xy = (y i ȳ) 2 ˆb (x i x)(y i ȳ) 得到了 â, ˆb 就确定了回归的经验公式, 确定了回归直线 易见点 ( x, ȳ) 落在回归直线上 : ȳ = â + ˆb x 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 15 / 90
16 回归一般使用统计软件计算 比如在 R 中 lm1 <- lm(y ~ x) summary(lm1) plot(lm1) 可以计算并显示回归结果 画回归诊断图形 对于例 1.1 的 24 个点, 计算得 ˆb = 0.859, â = 0.15, 纤维强度 (Y ) 与拉伸倍数 (x) 的经验公式为 ŷ = x 经验公式也叫回归方程, 相应的直线叫做回归直线 回归系数 b 的含义 : 拉伸倍数 (x) 每增加一个单位, 强度 (Y ) 平均增加 个单位 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 16 / 90
17 非线性关系线性化 某些非线性关系可以通过变换转化为线性关系 例 1.2 彩色显影中, 染料光学密度 Y 与析出银的光学密度 x 有如下类型的关系 Y Ae B/x, B > 0 这不是线性关系 两边取对数得 令 ln Y ln A B 1 x Y = ln Y x = 1 x 则 Y ln A Bx 为线性关系 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 17 / 90
18 从 n 组数据 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) 得到变换的数据 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, yn) 对变换后的数据建立线性回归方程 ŷ = â + ˆbx 反变换得 Â =eâ ˆB = b 则有 Ŷ = Âe ˆB/x 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 18 / 90
19 例 1.3 炼钢钢包随使用次数增加而容积增大 测量了 13 组这样的数据 ( 部分 ): (2, ), (3, ), (4, ),..., (19, ) 画出了散点图 ( 演示 ) 用双曲线 1 y a + b 1 x 令 x = 1/x, y = 1/y, 化为线性模型 y a + bx 解得 ˆ= , ˆb = , 经验公式为 1 ŷ = x 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 19 / 90
20 线性相关性 只要数据中 x 1, x 2,..., x n 不全相等, 最小二乘法存在唯一解, 总可以得到经验公式 ŷ = â + ˆbx 所以, 经验公式并不都能反映实际情况 需要判别 x 与 Y 之间是否真的具有线性相关关系 :Y 是否随着 x 增大而线性地增大 ( 或者线性地减小 ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 20 / 90
21 平方和分解公式 对于任意 n 组数据 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), 只要 x 1, x 2,..., x n 不全相等, 就有 (y i ȳ) 2 = (y i ŷ i ) 2 + (ŷ i ȳ) 2 (1.7) 其中 ȳ 是 y 1, y 2,..., y n 的平均值, ŷ i = â + ˆbx i (i = 1, 2,..., n) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 21 / 90
22 证 = (y i ȳ) 2 = [(y i ŷ i ) + (ŷ i ȳ)] 2 (y i ŷ i ) (y i ŷ i )(ŷ i ȳ) + (ŷ i ȳ) 2 注意 ŷ i =â + ˆbx i = ȳ ˆb x + ˆbx i =ȳ + ˆb(x i x) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 22 / 90
23 所以交叉项 = (y i ŷ i )(ŷ i ȳ) [y i ȳ ˆb(x i x)]ˆb(x i x) { =ˆb (y i ȳ)(x i x) ˆb =0 } (x i x) 2 于是 = (y i ȳ) 2 (y i ŷ i ) 2 + 即平方和分解公式 (1.7) 成立 (ŷ i ȳ) 2 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 23 / 90
24 平方和分解公式的解释 (1.7) 式坐标的 n (y i ȳ) 2 是因变量的离差 ( 偏差 ) 平方和 (Corrected Sum of Squares), 描述了因变量的分散程度, 是我们要用模型解释的目标 记为 l yy 考虑分解的第一项 n (y i ŷ i ) 2 这是用模型得到的因变量拟合值 ŷ i 与实际因变量值 y i 之间的差距的一个度量, 是最小二乘法最后得到的最小化的目标函数值 这个平方和越小, 说明模型与实际数据越相符 记 ˆε i =y i ŷ i (i = 1, 2,..., n) 称为残差 (residual) 记 Q = (y i ŷ i ) 2 = ˆε 2 i, 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 24 / 90
25 分解的第二项 : U = (ŷ i ȳ) 2 易见 1 n ŷ i = 1 n (â + ˆbx i ) =â + ˆb x = ȳ 所以 U 是拟合值 ŷ 1, ŷ 2,..., ŷ n 的离差平方和 U 受什么因素影响呢? 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 25 / 90
26 U = = =ˆb 2 (â + ˆbx i ȳ) 2 (ȳ ˆb x + ˆbx i ȳ) 2 (x i x) 2 =ˆb 2 l xx l xx 是自变量的离差平方和 所以 U 代表了自变量对因变量的变化的解释, 在分解中 U 越大, 残差平方和 Q 越小, 模型对数据拟合越好 U 叫做回归平方和 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 26 / 90
27 所以, 平方和分解公式把因变量的变差 ( 离差平方和 ) 分解为两部 分 : l yy = Q + U U 来源于自变量 x 的分散程度, 通过线性关系影响了因变量 Y 造 成 Y 的变差, 是模型可以解释的部分 ; Q 是模型拟合的误差的度量, 是自变量和模型不能解释的部分 分解中,U 越大,Q 越小, 模型越准确描述自变量和因变量之间的 线性相关关系 反之, 如果 Q 很大, 则自变量和因变量之间没有线性相关关系 取统计量 F = U Q/(n 2) (1.9) 则当 F 相当大时, 表明 x 对 Y 的线性影响越强, 两者有线性相关 性 否则没有线性相关性 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 27 / 90
28 F 值多大才认为线性相关性成立? 这是一个假设检验问题 需要对模型进行进一步细化 设数据满足如下结构 Y 1 =a + bx 1 + ε 1 Y 2 =a + bx 2 + ε 2 (1.10) Y n =a + bx n + ε n 其中 ε 1, ε 2,..., ε n 是独立同分布随机变量列, 共同分布为 N(0, σ 2 )(σ 2 未知 ) 这样的模型是单总体模型 两总体模型的进一步推广 它等价于 Y i N(a + bx i, σ 2 ), i = 1, 2,..., n 且相互独立 这给出了 n 维随机向量 (Y 1, Y 2,..., Y n ) 的联合分布 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 28 / 90
29 在承认了 (1.10) 模型基础上,x 与 Y 之间有无线性相关关系的问题变成假设 H 0 : b = 0 当 H 0 成立时, 模型 (1.10) 退化为 Y i =a + ε i, i = 1, 2,..., n 模型中不含自变量 x, 所以这时 x 与 Y 没有线性相关关系 当 H 0 不成立时,Y 与 x 有线性相关关系 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 29 / 90
30 相关性检验 当 H 0 成立时, 统计量 F 服从 F(1, n 2) 分布 对检验水平 α, 取 F(1, n 2) 分布的右侧 α 临界值 λ,h 0 的否定域为 W ={F > λ} 从样本中计算统计量 F 的值, 当 F > λ 时拒绝 H 0, 认为 x 与 Y 之间存在线性相关性 ( 有显著的线性相关性 ); 当 F λ 时 H 0 相容, 认为 x 与 Y 之间没有显著的线性相关性 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 30 / 90
31 随机误差方差估计 可以证明 从而 所以 E 1 σ 2 Q χ2 (n 2) ( ) 1 E σ 2 Q ( ) 1 n 2 Q ŝ 2 = 1 n 2 Q = 1 n 2 =n 2 =σ 2 (y i ŷ i ) 2 是 σ 2 的无偏估计 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 31 / 90
32 ( 样本 ) 相关系数 设 U, V 是两个随机变量, 其相关系数定义为 ρ = Cov(U, V ) D(U)D(V ) 若 (U, V ) 有样本 (u 1, v 1 ), (u 2, v 2 ),..., (u n, v n ), 则可计算样本相关 系数 n R = (u i ū)(v i v) n (u i ū) 2 n (v i v) 2 在线性回归中虽然 x 是非随机的变量, 但也可以定义样本相关系数 为 n R = (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2 n (y i ȳ) 2 当 R 相当大时拒绝 H 0 : b = 0 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 32 / 90
33 复相关系数平方 易见 R 2 = l2 xy = l2 xy l xx l yy lxx 2 lxx l yy =ˆb 2 l xx l yy = U l yy = 1 Q l yy 一般地, 定义 R 2 = U l yy = 1 Q l yy, 称 R 2 为复相关系数平方, 这个定义在多元回归时照样适用 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 33 / 90
34 R 2 取值于 [0, 1], 代表了回归平方和在总平方和中的比例,R 2 越接近于 1, 回归模型对数据拟合得越好 当 R 2 = 1 时,Q = 0, 所有的 n 个数据点 (x i, y i ), i = 1, 2,..., n 都落在直线 ŷ = â + ˆbx 上 R 2 = 1 的情况一般只出现在确定性关系中 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 34 / 90
35 F 统计量与 R 2 检验 H 0 : b = 0 用的 F 统计量与 R 2 一一对应 : U U F = = (n 2) Q/(n 2) l yy U R 2 =(n 2) 1 R 2 = n R 2 两者为一一对应的严格单调递增关系 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 35 / 90
36 两个平方和的计算公式 按定义, U = Q = (ŷ i ȳ) 2 (y i ŷ i ) 2 但是, 在有了 l yy, l xx,l xy, ˆb 后可简单计算为 U =ˆb 2 l xx = ˆbl xy (1.11) Q =l yy U (1.12) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 36 / 90
37 例 1.4 例 1.4 炼钢基本是氧化脱碳的过程, 原来碳含量越高, 需要的冶炼时间越长 有某平炉 34 炉的熔毕碳 (x) 与精炼时间 (y) 的记录如下 ( 部分 ): (180, 200), (104, 100),..., (143, 160) 散点图见演示 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 37 / 90
38 计算过程 : 见 R 程序演示 主要结果 â = 23.20, ˆb =1.270 F =145.0 R 2 = F(1,32) 右侧 0.01 分位数为 λ = 4.15,F > λ, 可以认为 x, Y 之间存在线性相关关系, 或 : 直线回归是显著的 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 38 / 90
39 回归模型的作用 揭示变量之间的数量关系 ; 预报 ; 控制 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 39 / 90
40 预报 设 Y = a + bx + ε, ε N(0, σ 2 ) 由数据 (x i, y i ), i = 1, 2,..., n 得到参数最小二乘估计 â, ˆb 和误差方差估计 s 2 对新的自变量值 x 0, 设 用 Y 0 = a + bx 0 + ε 0 ŷ 0 = â + ˆbx 0 预报 Y 0 的值 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 40 / 90
41 还需要衡量预报精度 若 ε 0, ε 1, ε 2,..., ε n iid N(0, σ 2 ), 则 t = Y 0 ŷ 0 t(n 2) s n + (x 0 x) 2 l xx 为了求 Y 0 的预报区间, 设 λ 为 t(n 2) 分布的双侧 α 临界值, 由 P Y 0 ŷ 0 s n + (x 0 x) 2 λ = 1 α (1.13) l xx 得 Y 0 的置信度 1 α 的预报区间为 ŷ 0 ± λs n + (x 0 x) 2 l xx (1.14) 演示 : 熔毕碳与精炼时间的预报区间, 连线为曲线, 但只有单点意 义 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 41 / 90
42 x 0 离 x 越远, 预报区间长度越长 注意 : 回归模型的应用范围不能超出原数据的范围 作为 (1.14) 的近似, 当 n 较大且 x 0 离 x 不远的时候, n + (x 0 x) 2 l xx 1 所以预测区间近似为 [ŷ 0 λs, ŷ 0 + λs] 当 n 较大时 λ 可以用标准正态分布的双侧 α 临界值, 如 α = 0.05 时用 λ = 1.96 误差标准差估计 s 越小, 预报区间越短, 预报越精确 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 42 / 90
43 控制问题 控制问题是 : 要求控制 Y 在区间 [A, B] 内, 如何选取 x 的值? 办法是要求 (1.14) 得到的上下限都在 [A, B] 内, 反解符合要求 x 0 的区间 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 43 / 90
44 回归诊断和残差分析 即使线性相关性检验否定了 H 0 : b = 0, 也并不说明模型就是合适的 常见问题包括 : 缺少重要自变量 ; 有非线性相关 ; 误差项方差非恒定 ; 误差项存在序列相关 ; 自变量严重共线 ( 多元回归中 ); 数据有异常值或强影响点 可以用残差散点图等进行回归诊断 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 44 / 90
45 残差分析 残差 ˆε i = y i ŷ i 令 h i = 1 n + (x i x) 2 l xx Q s = n 2 ˆε i r i = s 1 h i 则在 (1.10) 模型成立时 r 1, r 2,..., r n 近似相互独立, 且近似服从标准正态分布 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 45 / 90
46 有 P ( r i > 2) 0.05 当 n 比较大时,r i, i = 1, 2,..., n 应该只有约 [0.05n] 个绝对值大于 2 这可以用来检验模型关于误差项的假设是否成立, 以及发现异常值点 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 46 / 90
47 本节目录..1 一元线性回归.2 多元线性回归模型最小二乘估计与正规方程平方和分解公式与 σ 2 的无偏估计相关性检验偏回归平方和与因素主次的判别多元回归的例子.3 逻辑斯蒂 (Logistic) 回归 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 47 / 90
48 多元线性回归 考虑多个自变量与因变量的关系 要解决的问题与一元回归相同 解决方法类似 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 48 / 90
49 模型 设因变量 Y 与自变量 x 1, x 2,..., x k 有关系式 Y = b 0 + b 1 x b k x k + ε 其中自变量 x 1, x 2,..., x k 是非随机的变量,ε 是随机项 有 n 组数据 (y 1 ;x 11, x 12,..., x 1k ) (y 2 ;x 21, x 22,..., x 2k ) (y n ;x n1, x n2,..., x nk ) (2.1) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 49 / 90
50 假定数据满足 Y 1 =b 0 + b 1 x 11 + b 2 x b k x 1k + ε 1 Y 2 =b 0 + b 1 x 21 + b 2 x b k x 2k + ε 2 Y n =b 0 + b 1 x n1 + b 2 x n2 + + b k x nk + ε n (2.2) 这里 Y t 写成大写是为了强调在模型中它是随机变量 其中 b 0, b 1,..., b k 是待估参数,ε 1, ε 2,..., ε n 相互独立且服从相同 的 N(0, σ 2 ) 分布 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 50 / 90
51 说明 多元 是指自变量有多个, 但因变量还是只有一个 另外, 自变量是非随机的普通变量, 因变量是随机变量 (2.1) 中的各个 y t 是数据值,(2.2) 中大写的 Y t 看作随机变量 把 y t 看作 Y t 的观测值 (2.2) 表示 Y 与 x 1, x 2,..., x k 有线性相关关系 对于某些非线性关系, 可以通过变换转化为线性 比如一元多项式回归 ŷ = b 0 + b 1 x + b 2 x b k x k 只要记 x 1 = x, x 2 = x 2,..., x k = x k 就变成自变量为 x 1, x 2,..., x k 的多元线性回归 ŷ = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b k x k 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 51 / 90
52 为估计未知参数, 最小化误差平方和 Q(b 0, b 1,..., b k ) = [y t (b 0 + b 1 x t1 + b 2 x t2 + + b k x tk )] 2 t=1 使 Q(b 0, b 1,..., b k ) 达到最小值的点 ˆb0, ˆb 1,..., ˆb k 称为参数 b 0, b 1,..., b k 的最小二乘估计 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 52 / 90
53 记 ȳ = 1 n x i = 1 n y t, t=1 x ti, i = 1, 2,..., k t=1 l ij =l ji = l iy = (x ti x i )(x tj x j ), i, j = 1, 2,..., k t=1 (x ti x i )(y t ȳ), i = 1, 2,..., k t=1 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 53 / 90
54 则 ˆb1, ˆb 2,..., ˆb k 为如下 n 阶线性方程组的解 : l 11 l 12 l 1k b 1 l 21 l 22 l 2k b 2 =. l k1 l k2 l kk 而 b k l 1y l 2y. l ky b 0 = ȳ b 1 x 1 b 2 x 2 b k x k 这 k + 1 个方程组成的方程组叫做正规方程 可以证明, 最小二乘估计一定存在, 而且 b 0, b 1,..., b k 是最小二乘 估计的充分必要条件为满足正规方程 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 54 / 90
55 当如下矩阵 1 x 11 x 12 x 1k 1 x 21 x 22 x 2k 1 x n1 x n2 x nk 为满秩矩阵 ( 要求 n > k + 1, 满秩指列满秩 ) 时正规方程的解唯 一, 所以最小二乘估计唯一 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 55 / 90
56 平方和分解公式 平方和分解公式 : l yy =Q + U l yy = (y t ȳ) 2 Q = U = t=1 (y t ŷ t ) 2 ( 残差平方和 ) t=1 (ŷ t ȳ) 2 ( 回归平方和 ) t=1 =ˆb 1 l 1y + ˆb 2 l 2y + + ˆb k l ky ŷ t =ˆb 0 + ˆb 1 x t1 + ˆb 2 x t2 + + ˆb k x tk, t = 1, 2,..., n 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 56 / 90
57 σ 2 的无偏估计 Q/σ 2 χ 2 (n k 1), 所以 记 ( E ˆσ 2 为 σ 2 的无偏估计 有时记为 s 2 E(Q/σ 2 ) =n k 1 ) =σ 2 1 n k 1 Q ˆσ 2 1 = n k 1 Q 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 57 / 90
58 相关性检验 最小二乘估计总存在, 所以不管 Y 和 x 1, x 2,..., x k 之间有没有线性相关关系总能建立回归方程 必须检验线性相关关系是否成立 转化为 : H 0 : b 1 = b 2 = = b k = 0 的检验 当 H 0 成立时, 模型中不出现自变量 x 1, x 2,..., x k, 所以没有线性相关关系 当 H 0 不成立时,Y 与 x 1, x 2,..., x k 有线性相关关系 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 58 / 90
59 检验统计量为 F = 在 H 0 下 F F(k, n k 1) U/k Q/(n k 1) 给定检验水平 α 后查 F(k, n k 1) 的临界值表得 λ 计算 F 的值后, 当且仅当 F > λ 时拒绝 H 0, 认为 Y 与 x 1, x 2,..., x k 有线性相关关系, 也称回归方程显著 若 F 的值为 v, 可以计算检验的 p 值 p = P (F > v) 其中 F 为服从 F(k, n k 1) 分布的随机变量, 当且仅当 p 值小 于 α 时拒绝 H 0 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 59 / 90
60 因素主次的判别 多元回归时, 即使能否定 H 0 : b 1 = b 2 = = b k = 0, 仍然有可能一部分自变量与 Y 没有线性相关关系 或者, 虽然某自变量 x i 与 Y 有线性相关关系, 但是其它自变量能够代表它, 所以 x i 也不需要出现在模型中 另外, 即使部分自变量都是在模型中有意义的, 也会有因素主次之分 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 60 / 90
61 偏回归平方和 在平方和分解中, 回归平方和 U 代表了所有 k 个自变量的作用 为了研究某个自变量的贡献, 不妨考虑 x k 的作用 从原来的数据中建立 Y 对 x 1, x 2,..., x k 1 的回归, 得到一个回归平方和 U (k), 一定有 U (k) U 称 u k = U U (k) 为 x 1, x 2,..., x k 中 x k 的偏回归平方和 类似可以定义每个自变量的偏回归平方和 u i, i = 1, 2,..., k 注意偏回归平方和都是在一个变量集合的前提下讨论的 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 61 / 90
62 偏回归平方和的计算 u i 的计算不需要真的重新拟合回归模型, 而是有公式 其中 c ii 为 u i = ˆb 2 i c ii L = (l ij ) k k 的逆矩阵的第 i 个主对角线元素 为了检验 H 0 : b i = 0, 可以用 在 H 0 下 F i F(1, n k 1) F i = u i s 2 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 62 / 90
63 单个自变量的显著性 设 F i 的值为 v, 则 p = P (F > v) ( 其中 F 为 F(1, n k 1) 分布随机变量 ) 是检验的 p 值 当 p 值小于 0.05 时称变量 x i 是显著的 当 p 值小于 0.01 时称变量 x i 是高度显著的 当 F i 的值很小时, 应该从回归方程中剔除自变量 x i 注意 : 当 x i 不显著时, 可能有两种原因 : x i 对 Y 没有线性的影响 ; x i 对 Y 有线性的影响, 但存在其它的自变量能够代替 x i 对 Y 施加相同的影响 即使回归方程显著, 所有自变量显著, 也不能断言模型就是符合实际的, 还可能有各种模型设定错误或缺陷 ( 类似一元回归时所述 ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 63 / 90
64 多元回归的计算 各统计软件都可以很容易地计算多元回归 比如, 在 R 软件中输入了自变量 x1,x2 和因变量 y 后, 只要用 lm1 <- lm(y ~ x1 + x2) summary(lm1) plot(lm1) 就可以得到回归结果并绘制回归诊断图形 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 64 / 90
65 例 2.1( 广告策略 ) 例 2.1( 广告策略 ) 研究广告费用 x 与纯利润 y 之间的关系, 以 确定最佳的广告策略 数据 : x y x y 试找出 y 与 x 的相关关系是并确定最优的广告策略 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 65 / 90
66 画出散点图 : 可以看出 y 与 x 不是线性关系 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 66 / 90
67 最简单的非线性关系是一元二次多项式, 设 y = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ε 其中 ε 是随机项 若令 x 1 = x, x 2 = x 2, 则方程化为 y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + ε 但是, 在多项式回归时为了避免共线性问题, 令 x 1 =x x 2 =(x 3) 2 用统计软件计算得 ŷ = x 1.504(x 3) 2 = x 1.504x 2 s = F =35.08, p 值 < 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 67 / 90
68 为了求 ŷ 的最大值 ( 纯利润最大值 ), 求导得 时达到最大值 x = ( 1.504) = 3.02 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 68 / 90
69 例 2.2( 生理节律模型 ) 例 2.2( 生理节律模型 ) 为了测定一个人在 24 小时内的生理节律 ( 例如血压如何随时间变化 ), 一些学者提出了如下模型 : f(t) = M + A cos(ωt + ϕ) 其中 M 是基准值,A 是振幅,ϕ 是想为,ω 是角频率 ( 周期 T = 2π/ω) 问 : 设有观测值 y j = f(t j ) + ε j, j = 1, 2,..., n 这里 t j 是第 j 个观测时刻,ε 1, ε 2,..., ε n 是相互独立的随机项, ε j N(0, σ 2 )(σ 2 未知 ) 如何估计 M, A, ϕ(0 ϕ < 2π)? 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 69 / 90
70 解模型是非线性的, 设法转换为线性 易见 记 y j =M + A cos ϕ cos(ωt j ) A sin ϕ sin(ωt j ) + ε j x j = cos(ωt j ), z j = sin(ωt j ) β =A cos ϕ, γ = A sin ϕ 则 化为线性模型 y j = M + βx j + γz j + ε j, (j = 1, 2,..., n) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 70 / 90
71 计算正规方程中各项 : l 11 = (x j x) 2, l 22 = (z j z) 2 l 12 = l 1y = j=1 (x j x)(z j z) j=1 (x j x)(y j ȳ), l 2y = j=1 j=1 j=1 (z j z)(y j ȳ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 71 / 90
72 解正规方程得 ˆβ = l 22l 1y l 12 l 2y l 11 l 22 l12 2, ˆγ = l 12l 1y + l 11 l 2y l 11 l 22 l12 2 M =ȳ ˆβ x ˆγ z 反推得到原始模型参数估计 Â = ˆβ 2 + ˆγ 2 ˆϕ = Arg( ˆβ iˆγ) ( 这里 i 表示虚数单位, ˆϕ 是平面直角坐标系中坐标为 ( ˆβ, ˆγ) 的点的 辐角 ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 72 / 90
73 检验 y 与 t 是否有指定的非线性关系, 可检验 H 0 : A = 0, 等同于 检验 仍使用统计量 H 0 : β = γ = 0 F = U/2 Q/(n 3) 取 F(2, n 3) 的右侧 α 水平临界值 λ, 当且仅当 F > λ 时拒绝 H 0, 认为回归方程显著 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 73 / 90
74 . 实际中 t j 一般是等间隔的, t j = j 1, j = 1, 2,..., n n 且 ω = 2π( 周期为 1), 常用 n = 24 或 n = 12 这时公式可以化简 : j=1 x j = cos(ωt j ) = 0 j=1 j=1 j=1 z j = sin(ωt j ) = 0 j=1 x j z j = cos(ωt j ) sin(ωt j ) = 0 j=1 j=1 n 1 x 2 j = zj 2 = n 2 j=1 k=0 1 + cos(2kθ) 2 = n 2 ( θ = 2π ) n 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 74 / 90
75 于是得 ˆM =ȳ ˆβ = 1 n ˆγ = 1 n x j y j j=1 z j y j j=1 F = nâ2 /2 Q/(n 3) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 75 / 90
76 本节目录..1 一元线性回归.2 多元线性回归.3 逻辑斯蒂 (Logistic) 回归 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 76 / 90
77 二值因变量的问题 经典线性回归分析中因变量和自变量都是连续取值的 实际工作中经常需要处理因变量为二分类值的情况 比如,x 表示一个家庭年收入,Y = 1 表示该家庭在某段时间购买某种耐用消费品 ( 如汽车 ),Y = 0 表示不购买 研究 P (Y = 1) 与 x 的关系 更一般地, 若随机变量 Y 只取值 0 或 1, 有若干个变量 x 1, x 2,..., x k 影响 Y 的取值, 关心 p = P (Y = 1) 如何依赖于 x 1, x 2,..., x k 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 77 / 90
78 优比和 logit 函数 p 对 0 < p < 1, 有 1 p (0, ) 为 p 的严格单调递增函数, p 1 p 叫做发生比或优比 (odds ratio) 定义函数 logit(p) = ln p 1 p, 0 < p < 1 则 logit(p) (, ) 是 p 的严格单调递增函数, 叫做 logit 函数 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 78 / 90
79 逻辑斯蒂回归模型 设因变量和自变量间的关系为 logit(p) = β 0 + k β i x i (3.1) 其中 p = P (Y = 1),β 0, β 1,..., β k 是常数, 这时称二分类变量 Y 与自变量 x 1, x 2,..., x k 的关系符合逻辑斯蒂回归模型 易见 (3.1) 等同于 P (Y = 1 x 1, x 2,..., x k ) = exp(β 0 + k β ix i ) 1 + exp(β 0 + k β ix i ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 79 / 90
80 逻辑斯蒂回归参数估计 模型 (3.1) 中的常数 β 0, β 1,..., β k 通常是未知的, 需要从数据中估 计 这个模型中没有方差项 下面只考虑 k = 1, 即只有一个自变量的情形, 用 x 表示 x 1 (3.1) 化为 ln 令 p(x) = P (Y = 1 x), 则 p 1 p =β 0 + β 1 x (3.2) p(x) = exp(β 0 + β 1 x) 1 + exp(β 0 + β 1 x) (3.3) 参数估计可以用最大似然法和最小二乘法 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 80 / 90
81 最大似然估计 设数据为 (x i, y i ), i = 1, 2,..., n 则 P (Y = y i x i ) = [p(x i )] y i [1 p(x i )] 1 y i 观测值 (x i, y i ), i = 1, 2,..., n 对应的似然函数为 n L(β 0, β 1 ) = [p(x i )] y i [1 p(x i )] 1 y i 对数似然函数为 ln L(β 0, β 1 ) = y i (β 0 + β 1 x i ) ln(1 + e β 0+β 1 x i ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 81 / 90
82 令一阶偏导数都等于零的似然方程组 (y i eβ 0+β 1 ) x 1 + e β 0+β 1 =0 x (y i eβ 0+β 1 ) x 1 + e β 0+β 1 x x i =0 若 ( ˆβ 0, ˆβ 1 ) 是似然方程组的根且 x 1, x 2,..., x n 不全相等, 则似然方 程组的根是惟一的, 而且 ( ˆβ 0, ˆβ 1 ) 是 L(β 0, β 1 ) 的最大值点从而是模 型参数的最大似然估计 可以证明 ln L(β 0, β 1 ) 是二元严格凹函数 似然方程组有时无解, 如所有 y i 都等于 1 时 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 82 / 90
83 加权最小二乘估计 数据有特殊要求 设 x = x i 时共有 n i 次观测,n i 较大, 其中事件 {Y = 1} 发生了 γ i 次 (i = 1, 2,..., m)(x 1, x 2,..., x m ) 两两不同 ) 用 z i = ln γ i n i γ i 作为 ln p(x i) 1 p(x i ) 的估计值 (i = 1, 2,..., m) 令 (3.4) ν i = (n i + 1)(n i + 2)) (i = 1, 2,..., m) (3.5) n i (γ i + 1)(n i γ i + 1) m 1 Q(β 0, β 1 ) = (z i β 0 β 1 x i ) 2 ν i 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 83 / 90
84 使 Q(β0, β 1 ) 达到最小值的 β0, β 1 称为 β 0, β 1 的加权最小二乘估计 可以证明加权最小二乘估计存在且惟一 令两个一阶偏导数都等于零的方程组 m β 0 m β 0 1 ν i + β 1 x i ν i + β 1 m m x i ν i = x 2 i ν i = m m z i ν i x i z i ν i 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 84 / 90
85 记 l 1 = l 3 = l 5 = m m m 1 ν i, l 2 = x 2 i ν i l 4 = z i ν i m m x i ν i x i z i ν i 则 β 0 = l 5l 3 l 2 l 4 l 1 l 3 l 2 2 β 1 = l 1l 4 l 2 l 5 l 1 l 3 l 2 2 (3.6) (3.7) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 85 / 90
86 加权最小二乘法的理由 应该用 续型修正变成 可以证明, γ i p(x n i γ i 作为 i ) γ i +0.5 n i γ i p(x i ) 的估计, 为避免分子和分母出现零, 做连 z i = ln γ i n i γ i 近似服从正态分布 ( ) p(x i ) N ln 1 p(x i ), 1 n i p(x i )[1 p(x i )] 利用 (3.2), 有 z i = β 0 + β 1 x i + ε i, i = 1, 2,..., m 其中 ε 近似服从 N(0, ν i ) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 86 / 90
87 令 ε i = 1 νi ε i 则 1 z i = 1 (β 0 + β 1 x i ) + ε i, i = 1, 2,..., n νi νi 其中 ε 1, ε 2,..., ε n 的方差相等, 仿照最小二乘法思想令 m [ 1 z i 1 ] 2 (β 0 + β 1 x i ) νi νi 达到最小, 即 Q(β0, β 1 ) 达到最小 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 87 / 90
88 例 3.1( 社会调查 ) 例 3.1( 社会调查 ) 一个人在家是否害怕生人来? 研究人的文化程度对此问题的影响 因变量 Y = 1 表示害怕,0 表示不害怕 自变量 x 是文化程度,x 1 = 0 表示文盲,x 2 = 1 表示小学,x 3 = 2 表示中学,x 4 = 3 表示大专以上 根据一项社会调查有如下数据 : 自变量 (x) 不害怕人数 害怕人数 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 88 / 90
89 用逻辑斯蒂回归模型分析 用 p(x) 表示文化程度为 x 的人害怕生 人的概率 设模型 ln 用加权最小二乘法估计 β 0, β 1 p(x) 1 p(x) = β 0 + β 1 x 计算得 z 1 = , z 2 = , z 3 = , z 4 = , ν 1 = , ν 2 = , ν 3 = , ν 4 = 用 (3.6) 和 (3.7) 得 β0 = 0.013, β 1 = 0.25 回归方程为 ln p(x) x 1 p(x) 可见文化程度越高, 害怕生人的概率越低 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 89 / 90
90 在统计软件中计算逻辑斯蒂回归 一般用统计软件计算逻辑斯蒂回归 如上例的 R 程序 : x <- 0:3 n1 <- c(11, 45, 664, 168) n0 <- c(7, 32, 422, 72) y <- cbind(n1, n0) glm1 <- glm(y ~ x, family=binomial) print(summary(glm1)) 根据李东风老师课件修改 () 概率统计 B 第七章回归分析方法 2017 春季学期 90 / 90
相关与回归分析
第三节 多元线性回归 一. 多元线性回归模型二. 回归参数的估计三. 回归方程的显著性检验四. 回归系数的显著性检验五. 多元线性回归的预测 1 多元线性回归模型 2 多元线性回归模型 ( 概念要点 ) 1. 一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归 2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 1, x 2,, x p 和误差项 ε 的方程称为多元线性回归模型 3. 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
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卫生统计学实习 何平平 北京大学公共卫生学院流行病与卫生统计学系 Tel: 82801619 实习六 数值变量资料的统计推断 ( 三 ) 第 237~249 页 一 直线回归 (linear regression) ( 一 ) 定义 : 用直线方程表达 X( 自变量,independent variable) 和 Y ( 应变量,dependent variable) 之间的数量关系 Yˆ = a+
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
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Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
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2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
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高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
<4D F736F F F696E74202D20B5DA3135BDB220D2BBD4AACFDFD0D4BBD8B9E9B7D6CEF6205BBCE6C8DDC4A3CABD5D205BD0DEB8B4B5C45D>
一元线性回归分析 一 一元线性回归定义二 a,b 的估计三 误差方差的估计四 线性假设的显著性检验五 b 的置信区间六 回归函数值的点估计和置信区间七 Y 的观察值的点预测和预测区间 变量与变量之间的关系 确定性关系 : 当自变量给定一个值时, 就确定应变量的值与之对应 如 : 在自由落体中, 物体下落的高度 h 与下落时间 t 之间有函数关系 : 1 h= gt 确定性关系 相关性关系 相关性关系
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第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
李俊新 崔 敏 刘艳春 姚艳君 周广芬 孙 宝 河北科技大学理学院 河北石家庄 滦南县职业教育中心基础部 河北滦南 在物理化学实验的基础上 对一级反应的 种不同数据处理模型进行比较和分析 通过对 实验数据处理模型进行系统的比较 来改善传统实验数据处理中存在的一些问题 从而简化数据处 理 减小作图工作量与作图误差 提升实验水平 提高数据处理结果的准确性 一级反应 数据处理模型 过氧化氢 图 过氧化氢分解实验装置图
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幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC
3 4 5 6 7 χ χ m.303 B = f log f log C = m f = = m = f m C = + 3( m ) f = f f = m = f f = n n m B χ α χ α,( m ) H µ σ H 0 µ = µ H σ = 0 σ H µ µ H σ σ α H0 H α 0 H0 H0 H H 0 H 0 8 = σ σ σ = ( n ) σ n σ /
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数学建模 哈尔滨理工大学应用数学系 数学是知识的工具, 亦是其它知识工具的泉源 勒内 笛卡尔 第 5 章统计分析模型 主讲人 : 陈东彦教授 哈尔滨理工大学应用数学系 dychen_004@aliyun.com 内容 1 3 回归分析模型 聚类分析模型 判别分析模型 数学建模 第 13 讲 回归分析模型 数学建模 回归分析方法是 黑箱 建模中常用的方法 利用给定函数 f(x) 的一组观测值 ( x,
第五章 数理统计中的统计量 及其分布
第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.
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Outline 线性回归 Gauss Markov 模型最小二乘估计的性质预测误差正态误差下的假设检验回归模型的延伸分类问题
多元回归模型 王成 上海交通大学数学科学学院 Outline 线性回归 Gauss Markov 模型最小二乘估计的性质预测误差正态误差下的假设检验回归模型的延伸分类问题 线性回归 问题背景 观察到 n 个样本 (X 1, Y 1 ),, (X n, Y n ), 其中 X 1,, X n R p 为解释变量, Y 1,, Y n R 为应变量 特别的如果 Y i 的取值为离散的如 0 或 1, 那么对应的就是分类问题
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试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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31 4 2012 8 JournalofLanzhouJiaotongUniversity Vol31No4 Aug2012 :1001-4373(2012)04-0097-07 * 张友兵 张 波 ( 100073) : 分析了列车运行过程中的受力情况 给出了制动过程中减速度的计算方法 并采用正向 反向两种迭代方式计算列车制动曲线 两种方式计算出的制动曲线一致 证明了计算制动曲线的方法是正确的
, 13.4
2019 1 15 26 3.4, 13.4 BLUE t F 1 1. TSS ESS RSS TSS = ESS + RSS R 2 := ESS/TSS = 1 RSS/TSS R 2 := 1 [RSS/(n k)]/[tss/(n 1)] 2. y i ŷ i y i x i 2 2 3. 1 2 k F 1 F 4. 2 2 3 1 5 1.1 pp. 60, 272...........
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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CECS 102:2002 Technical specification for steed structure of light-eight Buildings ith gabled frames 2003 1 Technical specification for steed structure of light-eight Buildings ith gabled frames CECS102:2002
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