目 次

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1 目 次 銜接教材的導讀 i 一 乘法公式與多項式 - 平方公式. - 立方公式. 7 - 多項式的除法.. 二 因式分解 提公因式 十字交乘法 利用乘法公式.. 0 三 平方根與立方根 平方根 立方根. 4 四 一元二次方程式 一元二次方程式的解法 根的判別 一元二次方程式的根與係數的關係. 49

2 五 線型函數與二次函數 函數的概念 線型函數 二次函數的最大值與最小值 二次函數的圖形.. 60 六 不等式 一元一次不等式 不等量基本推論的應用 一元二次不等式 七 數列與級數 等差數列 等差級數 等比數列 等比級數.. 05 附錄一 : 集合的概念. 07 附錄二 : 平面幾何的基本性質.. 09 附錄三 : 三角函數的基本概念.. 銜接教材簡答... 8

3 銜接教材的導讀 在國中的課程中, 同學們學過 數與量 代數 圖形與空間 和 統計與機率 等主題的題材 由於暫行綱要能力指標和各版本課程設計的緣故, 使得在銜接高中一年級數學課程中的某些單元上, 或許有不順暢之處 因此, 我們歸納出 乘法公式與多項式 因式分解 平方根與立方根 一元二次方程式 線型函數與二次函數 不等式 和 數列與級數 等七個單元, 並在附錄中列出 集合的概念 平面幾何的基本性質 與 三角函數的基本概念 三個單元, 來協助同學們順利銜接高中課程的學習 這份教材除了提供給高中做為銜接教學的參考依據之外, 我們希望同學們也能自我學習 因此, 在每一個單元中, 我們會複習或說明國中階段的學習經驗, 再進入銜接的主要內容 此外, 我們也將立方根 一元二次不等式 一元二次方程式根與係數關係和二次函數的圖形等高一課程的子題納入教材中, 我們鼓勵同學們能按部就班的學習, 勇於接受挑戰 進入銜接單元之前, 我們將先介紹高中課程常用的數學概念或名詞 數系的發展 在國中的課程裡, 數的學習由正整數 正分數 正小數和零, 擴展至負整數 負分數和負小數 在數學上, 凡是能寫成兩個整數相除的數稱為 有理數 (Rational Number), 其中除數不為零 我們知道整數 分數和有限小數當然都是有理數 此外, 在小數中, 可分為有限小數和無限小數, 而且無限小數又分成循環的無限小數 ( 簡稱循環小數 ), 如 : 0. ( 記作 0. ). 55 ( 記作.5) 等, 和不循環的無限小數兩種類型 在高中課程的 等比級數 單元中, 會藉由無窮等比級數來說明循環 0 小數也可用分數來表示, 例如 : 0. 0.,.. 9 因此, 循環小數也是有理數 i

4 那麼, 不循環的無限小數應歸在數系裡的那一類呢? 在數學裡, 將不 為有理數的數統稱為 無理數 (Irrational Number) 也就是說, 不循環的 無限小數是無理數 此外, 在高中的課程中, 同學們將要學習如何證明 等平方根為無理數 此外, 圓周率 π.459 也是無理數 再者, 在數學上, 將有理數和無理數統稱為 實數 (Real Number), 並常以英文大寫字母 R 來代表實數, Q 代表有理數, Z 代表整數, 而以 N 代表正整數, 或稱自然數 在銜接教材中, 我們會使用整數 分數 有理數和實數這些名詞, 來 協助同學們提早適應 此外, 我們會用 非負數 來表示大於零, 或等於 零的數 ; 同樣的, 用 非正數 來表示小於零, 或等於零的數 除了實數, 高中的課程再將數系的學習擴展到複數 (Complex Number) 在數學上, 以 a+ bi(a b 皆為實數 ) 來表示複數, 其中 i 由於複數 的引進, 使得國中階段所討論的一元二次方程式都會有解 也就是說, 以前我們說某些一元二次方程式沒有解, 應該是說沒有實數解 方根的認識與計算 在國中的課程裡, 方根的學習侷限在平方根的認識為主, 較少觸及平 方根的計算 事實上, 以 a b ab a b a b a 為例, 上述 b 的算式已將國中階段指數律中的指數由整數擴展到, 也就是說, a b ( a b) a a b ( ) b 在高中的課程裡, 方根的學習將由平方根擴展到立方根 a 或 a, 乃 n 至於 n 次方根 n a 或 a 因此, 可將指數律的指數擴展至任意的有理數 a p q a p q a + ; a p b p p ( a b) 此外, 根式的化簡及有理化也是根式計算的重要項目 ii

5 推理過程與符號的使用 數學是一個深具知識結構的科學, 在推論的過程中講求 有因方有果 的邏輯 也就是說, 我們會在給定的條件下, 嘗試去做分析與推論 例如, 若 x >, 則 x > 這樣的推論, 也常用 假設 ( 已知 如果或因為 ) x >, 所以 ( 或因此 ) x > 等形式來表徵 有時候, 我們會用一些特殊的符號來簡化這些推論的表徵 例如, 以 代表 若 假設 已知 如果 或 因為, 並以 代表 所以或因此 因此, 以 因為 x >, 所以 x > 為例, 我們也可以用 x >, x > 來表徵 事實上, 因為 x >, 所以 x > 應有以下推論過程: 由 x >, 若對 x > 兩邊同乘以 x, 可得 x > x 因此, 由遞移律, 可得 x > x > 我們也常用箭頭符號 來表徵 由左向右 或 由上向下 推論的順序 因此, 上述的推論過程可寫成 : x > x >>0 x > x 或 x > x x > x > 這樣的寫法常用在代數式的推論中, 例如解 x + 5x+ 0時, 我們 可用下列的方式來解題 : 5x x + + ( x+ )( x+ ) x + 0, 或 x + 0 x, 或 x 因此, 在本教材中的某些範例中, 我們會在有些推論的過程中使用這些符號的表徵 0 iii

6 一 乘法公式與多項式 多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外, 還可運用於因式 分解 在本章中, 我們首先來複習已經學過的平方公式, 然後再延伸到立方公式 - 平方公式 二項式相乘公式 我們可利用分配律來展開 ( a+ b)( c+ d) 的乘積而得到下列的公式 : ( a + b)( c + d) ac + ad + bc + bd 公式 a c ac d ad b bc bd 另一方面, 也可利用幾何圖形來解釋這個公式 如上圖, 一個邊長分別為 ( a+ b) 和 ( c+ d) 的長方形, 可由四個面積分別為 ac ad bc 和 bd 的長方形所組成 我們可從大長方形的面積為四個較小的長方形的面積總和而得到這個公式 在應用上,a b c 及 d 可為數字或任何文字符號 範例 利用公式 展開下列各式 : () ( + a)( + b) () ( x+ )( x+ ) () ( x + y)( x y) 解 () ( + a)( + b) + b+ a + a b + a+ b+ ab () ( x+ )( x+ ) x x+ x + x+ x + 5x + 6 () ( x + y)( x y) ( x + y)[ x+ ( y)] x x+ x ( y) + y x+ y ( y)

7 6x xy + xy y 6x + xy y 在上例的第 () 題中, x + 5x + 6的 x 項 ( 或稱二次項 ) 係數為,x 項 ( 或稱 一次項 ) 係數為 5, 常數項為 6, 其中最高次項為二次, 所以稱 x 的二次多項式, 並簡稱為一元二次式 + 5x + 6為 x 在第 () 題中, 6 x + xy y 有 x y 兩個變數, 其中 6x xy 和 y 都是二 次項 因此, 它的最高次項為二次, 所以稱它為 x 和 y 的二次多項式, 並簡 稱為二元二次式 類題練習 展開下列各式 : () (5x+ )(x ) () ( x + y)(x 4 y) 二項式相乘公式也常運用於來簡化數的計算過程, 例如 : 求 的值 在上面的算式中, 我們觀察到 79 與 有公因數,7 與 7 79 有公因數 7, 所以 (79 + ) + 7 (79 + ) (79 + ) ( + 7) 完全平方公式 將公式 中的 c d 分別以 a b 代入, 即可得 ( a+ b)( a+ b) a a+ a b+ b a+ b b a + ab+ b,

8 因而得到和的平方公式 : a + ab+ b ( a+ b) 公式 範例 利用公式 展開下列各式 : () ( x + ) () 解 () ( x + ) x + x + x + x + (x + y) () (x + y) ( x) + ( x) ( y) + ( y) 4x + xy + 9y 同樣的, 若將公式 中的 b c d 分別以 b a b 代入, 即可得 ( a b)( a b) a a+ a ( b) + ( b) a+ ( b) ( b) a ab+ b, 因而得到差的平方公式 : ( a b) a ab+ b 公式 其實, 只要將公式 中的 b 改為 b, 也可得到公式 範例 利用公式 展開下列各式 : () ( x ) a () (x y) 解 () ( x a) x x a+ a x ax + a () (x ) y ( x) ( x) ( y) + ( y) 4x xy + 9y 我們也常用和或差的平方公式來簡化數的計算, 例如 : 在求 09 時, 可將 09 寫成 , 再利用公式 即可求得 : 09 (00 + 9)

9 我們知道 a+ b+ c (a + b) + c, 所以利用和的完全平方公式, 即可得到 : ( a+ b+ c) [( a+ b) + c] ( a+ b) + ( a+ b) c+ c a + ab + b + ac + bc + c a b c ab bc a c 因此, 得到三項和的完全平方公式 : ( a+ b+ c) a + b + c + ab+ bc+ ac 公式 4 範例 4 利用公式 4 展開下列各式 : () (x+ y+ ) () ( a+ b c) 解 () ( x+ y+ ) x + y + + x y+ y + x x + y + 9+ xy+ 6y+ 6x x xy y x y () ( a+ b c) [ a+ ( b) + ( c)] a + () b + () c + () a b + ()() b c + () c a a + 4b + 9c + 4ab bc 6ca 類題練習 利用公式 4 展開 (x y z) 若將公式 中的 c d 分別以 a b 取代, 即可得 : ( a+ b)( a b) a a+ a ( b) + b a+ b ( b ) 因而得到平方差公式 : a b ( a+ b)( a b) a b 公式 5 範例 5 利用公式 5 展開下列各式 : 4

10 () (x + 4 y)(x 4 y) () ( a+ b c)( a b+ c) 解 () (x + 4 y)(x 4 y) ( x) (4 y) 9x 6y () 因為 a + b c a + (b c) 和 a b + c a (b c), 所以可以 得到 : ( a+ b c)( a b+ c) [ a+ ( b c)][ a ( b c)] a ( b c) a ( b bc+ c ) a b + bc c 如同完全平方公式, 我們也常利用平方差公式來簡化數的計算 例 如 : 求 7 7 的值時, 我們可得到下列算式 : 7 7 (7 + 7)(7 7) 又如求 07 9 的值時, 我們觀察到 , 所以可得 到下列算式 : 07 9 (00 + 7)(00 7) 類題練習 求下列各式的展開式 : () ( x+ y+ )( x y ) () ( x+ y) ( x y) 5

11 家庭作業. 展開下列各式 : ( )( ) + a b ( x + 5 y)( x y) ( a+ b) 4 (x y+ ) 5 ( a b c)( a+ b+ c) 6 ( a + ab+ 4 b )( a ab+ 4 b ) 7 ( x )( x )( x ) 8 ( x+ )( x+ )( x+ )( x+ 4) 9 0 ( x )( x+ )( x + 4) ( x+ )( x )( x+ )( x ). 回答下列各題 : 76 求的值 求 的值 已知 8 8 (685.5) 685 x +, 求 x 的值 4 若 ( x + ax + )(x a) 的展開式中, x 的係數為 9, 求 a 的值 6

12 - 立方公式 在國中時期同學們較少接觸到立方的乘法運算, 事實上, 在多項式的乘法和因式分解的過程中, 立方公式也經常被引用 立方和與立方差 我們可利用分配律來展開一次式與二次式的乘積 例如, 展開 ( a+ b)( a ab+ b ) 即可得到 : ( a+ b)( a ab+ b ) 因此, 得到立方和公式 : a a b+ ab + a b ab + b a + b ( a+ b)( a ab+ b ) a + b 公式 6 範例 利用公式 6 展開下列各式 : () ( x+ )( x x+ 4) () (a+ 5 b)(4a 0ab+ 5 b ) 解 () ( x+ )( x x+ 4) ( x+ )( x x + ) x + x + 8 () (a+ 5 b)(4a 0ab+ 5 b ) (a+ 5 b)[( a) ( a)(5 b) + (5 b) ] ( a) + (5 b) 8a + 5b 同樣的, 我們可以展開 ( a b)( a + ab+ b ) 並經合併化簡後, 而得到立方差公式 : ( a b)( a + ab+ b 其實, 只要把公式 6 中的 b 以 b 代入, 即可得公式 7 ) a b 公式 7 7

13 範例 利用公式 7 展開下列各式 : () (x )(4x + x+ ) () a b a ab b ( )( + + ) 解 () (x )(4x + x+ ) (x )[( x) + ( x) + ] a b a ab b () ( )( + + ) ( x) 8x a b a a b b a b ( ) ( ) a b 7 8 ( )[( ) + + ( ) ] b 5ab b 類題練習 () 展開 (5 a )(5 a + + ) 4 () 展開 ( x xy 6 y )( x xy 4 y )( x xy 9 y ) () 已知 x, 求 ( )( 9 x x + x + ) 的值 完全立方公式 在展開 (a+ b) 時, 可先將 (a+ b) 寫成 ( a b)( a b) + +, 再利用和的平方公式與分配律展開即可, 也就是說 : ( a ) + b ( a+ b)( a+ b) ( a+ b)( a + ab+ b a + a b+ ab + a b+ ab + b a + a b+ ab + b ) 由此, 我們可得到和的完全立方公式 : ( a ) + b a a b ab b 公式 8 8

14 同樣的, 展開 (a b) 的乘積, 並經化簡後即可得到差的完全立方公式 : ( a ) b a a b+ ab b 公式 9 其實, 只要將公式 8 中的 b 以 b 代入, 同樣可得上式 範例 展開下列各式 : () ( x + ) () (x ) + y () (4a 5 b) 解 () ( x + ) x + x + x + () (x + y) () (4a 5 b) x + 6x + x+ 8 ( x) + ( x) ( y) + ( x)( y) + ( y) x xy xy y (4 a) (4 a) (5 b) + (4 a)(5 b) (5 b) 64a 40a b+ 00ab 5b 類題練習 展開下列各式 : () x + y) () ( (4 a b) 5 9

15 家庭作業. 展開下列各式 : ( x ) (a b) x y x xy y ( + )( ) 4 b b a a + ab+ 4 ( )(4 ) 5 ( x+ )( x )( x x+ )( x + x+ ) 6 ( a 9)( a + a+ 9)( a a+ 9). 回答下列各題 : 求 (5 ) + (4 ) 的值 已知 a+b 且 ab, 求 a + b 的值 已知 a b 且 a + b 5, 求 a b 的值 4 4 已知 x, 求 ( x )( x + x + ) 的值 0

16 - 多項式的除法 在小學時, 我們會以下列的長除法 ( 直式計算法 ) 來求出 58 除以 得到商數 4, 餘數 6: 4 ) 同時, 我們也知道 : 事實上, 在自然數的除法中, 我們有下列的規則 : 被除數 除數 商數 + 餘數, 其中, 商數和餘數為非負整數, 且餘數小於除數 同樣的, 在多項式的除法中, 我們也有類似的規則 : 被除式 除式 商式 + 餘式, 其中, 商式的次數等於被除式的次數減去除式的次數, 且餘式的次數要小於除式的次數 類似於自然數的除法, 多項式的除法運算也有直式計算法 ( 長除法 ); 為了簡化計算, 也常使用分離係數法 事實上, 這兩種方法的差別在於計算過程中, 有沒有將文字符號寫出來而已 範例 求( x + 4x+ ) ( x+) 的商式及餘式 解 方法一 : 直式計算法方法二 : 分離係數法 x (x + ) ( x + ) x + x + )x + 4x + x + x x + x + 商式為 x +, 餘式為 + + )

17 在完成多項式的除法後, 為了驗證所得結果是否正確, 除了重新檢視 運算過程外, 也常用上述 被除式 除式 商式 + 餘式 的概念來驗算 例如 : ( x+ )( x+ ) + ( ) x x + 4x+ ( 除式 商式 + 餘式 ) + 4x + ( 被除式 ) 範例 求(x + 5x + x+ 5) ( x+ ) 的商式及餘式 解 + + ) 商式為 x + x, 餘式為 7 做分離係數法時, 當除式或被除式缺項時, 需要補 0 範例 求(x + ) (x ) 的商式及餘式 解 因為 x + x + 0 x+, 所以用 來表示 x )

18 商式為 x +, 餘式為 4 4 範例 4 求(6x 7x 4x+ 8) (x + x ) 的商式及餘式 解 + ) 商式為 x, 餘式為 x + 範例 5 求(x + 8x + 7x + ) (x + x + ) 的商式及餘式 解 ) 商式為 x +, 餘式為 0 當餘式為 0 時, 我們稱除式整除被除式, 例如 : 在上例中,x + x + 整除 x + 8x + 7x + 類題練習 求下列各除法運算的商式及餘式 : () (x + x+ 5) ( x+ ) () ( ) ( x x x ) 4 () ( x ) ( x ) (4) (x + 5x) ( x + 5)

19 家庭作業. 求下列各除法運算的商式及餘式 : (9x + 8x+ 8) (x+ 4) (7x + x ) (x+ ) ( x + ) ( x ) 4 ( x + x ) ( x 5) ( x + x x+ 4) ( x + x ) 4 ( x + ) ( x ). 已知 x 6x + ( ax + b)( x x + ) +, 求 a b 的值. 已知某多項式除以 ( x ), 可得商式 ( x x + ), 餘式, 求此多項式 4. 已知 4x x + k 可被 (x + ) 整除, 求 k 的值 5. 已知一長方體的體積為 x + 4x + x 6 長為 x + 且寬為 x +, 求此長方體的高 4

20 二 因式分解 在第一章中, 我們知道兩個 x 的一次式乘積展開後成為 x 的二次多項式 反過來說, 如果能將一個 x 的二次式寫成兩個 x 的一次式的乘積, 我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解 此時, 這兩個一次式都稱為二次多項式的因式, 而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式 在高中的課程中, 我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積, 這種過程也稱為這個多項式的因式分解 例如 : 因式分解 x x x ( x+ )( x ) 乘積展開因式分解 6x + x 6 ( x )( x )( x ) 乘積展開在國中階段做因式分解時, 我們只考慮因式的係數為有理數 ( 整數或分數 ) 的情形 但從此以後, 我們將不再要求因式的係數一定是有理數 現在來介紹幾個常用的方法 : 提公因式 分組分解 十字交乘和利用乘法公式 - 提公因式 從各項提公因式 如果發現每一項都有共同的因式時, 我們可先將此公因式提出 範例 因式分解下列多項式 : () () x + 5x () ( a b) ( a b) ( x y) + ( y x ) 5

21 解 () x + 5x x x+ 5 x x( x + 5) () ( a b) ( a b) (a b)( a b) ( a b) (a b)[(a b) ] (a b)(a b ) () ( x y) ( y ) + x ( x y) ( x y) ( x y) [ ( x y)] ( x y) ( x+ y ) 分組提公因式 當各項沒有公因式時, 可嘗試分組或去括號重新分組, 使得每組之間有公因式 範例 因式分解下列多項式 : () 解 () x x x () xy+ 5x+ 4y+ 0 () ax x + ax (4) x x x () 方法一 : x ( x+ ) + ( x + ) ( x+ )( x + ) xy+ 5x+ 4y+ 0 (xy + 5 x) + (4y + 0) 方法二 : x(y+ 5) + (y+ 5) (y+ 5)( x+ ) xy z z x y ( + ) + ( + ) xy+ 5x+ 4y+ 0 (xy + 4 y) + (5x + 0) ( 交換律 ) () 方法一 : ax x + ax yx ( + ) + 5( x+ ) ( x+ )(y + 5) (ax x) + (ax ) x(ax ) + (ax ) (ax )( x + ) 6

22 方法二 : ax x + ax (ax + ax) (x + ) ax( x + ) ( x + ) ( x+ )(ax ) (4) 可嘗試去括號展開後, 再重新分組 xy( + z ) + z( x + y ) xy + xyz + zx + zy ( ) ( xy+ zx + xyz + zy ) x( y+ zx) + yz( xz+ y) x( y+ xz) + yz( y+ xz) ( y+ xz)( x+ yz) 從上面的例子我們可以看出, 某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解 拆項後分組提公因式 有時候, 可嘗試先將多項式中某一項拆開後, 再利用分組提公因式 範例 因式分解下列多項式 : () 4 x x x x () 4 x + x + x x 解 () x + x + x + x x x x + x x x ( x + x+ ) + ( x + x+ ) ( x + x+ )( x +) ( x x + x ) () 4 x + x + x x x + x + x x x 4 x ( x + x+ ) ( x + x+ ) ( x + x+ )( x ) ( x+ )( x+ )( x )( x+ ) ( x+ ) ( x+ )( x ) ( x x x ) 7

23 事實上, 範例 的第 () 題也可用分組的方式來因式分解 : 4 x x x x + + (x 4 + x ) + (x x) (x )(x + ) + x(x ) (x )(x + x + ) (x + )(x )(x + )(x + ) (x + ) (x + )(x ) 類題練習 因式分解下列多項式 : () 4 x + x + 6x + 5x+ 5 () 4 x x x x 家庭作業 因式分解下列多項式 :. ab+ 6ab. ( a )( b+ ) + 4( a)(+ b). ( a ) ( a a) 4. ab a + 6b 5. xy( z ) + z( x y ) 6. x 5x x + x x x 8. ( ax bx) ( b a ) x 9. ( x ) + ( x)( x 4x + ) 0. x + x + x 8

24 - 十字交乘法 因為大家都已熟悉十字交乘法, 所以在這裡只舉例, 而不做文字說明 二次三項式 範例 因式分解下列多項式 : () x x 90 () 6 + xy xy 5 解 () x x 90 ( x+ 9)( x 0) x x () 6xy + xy 5 (xy + 5)(xy ) xy + 5 xy 類題練習 因式分解下列多項式 : () 5x + x 5 () 80 x x 家庭作業 因式分解下列多項式 :. 5x 5x 0. ax ( a b) x b. ( x y) + ( y x) x 5x a 4ab b x 4 x ) 7. ( a+ b)( a+ b 4) 8. ( x x + ( x x) 7 9. ( x 4y)( x + 4y) + 6xy 9

25 - 利用乘法公式 對於某些多項式, 我們可直接利用乘法公式來做因式分解 完全平方 ( ) a+ b a + ab+ b ( ) a b a ab+ b 範例 因式分解下列各式 : () a + 6a+ 9 () 4x xy+ 9y () ( x+ y) + 6( x + y)( y x) + 9( x y) 解 () a + 6a+9 a + a + ( a + ) () 4x xy + 9y ( x) ( x) ( y) + ( y) (x y) () ( x+ y) + 6( x + y)( y x) + 9( x y) ( x + y) ( x+ y) [( x y)] + [( x y)] [( x + y) ( x y)] ( 5 ) x+ y ( 或寫成 (x 5 ) y ) 平方差 a b ( a+ b)( a b) 範例 因式分解下列各式 : () x ( x+ y) () 9 ( a + ) () x y + yz z 解 () x ( x+ y) [ x + ( x+ y)][ x ( x+ y)] ( x + x+ y)( x x y) (x + y)( y) ( x + y)( y) 4 yx ( + y) 0

26 ( ) 9 ( a + ) ( a + ) [ + ( a+ )][ ( a+ )] ( + a+ )( a ) ( a+ 5)( a ) () x y yz z + x ( y yz+ z ) x ( y z) [ x + ( y z)][ x ( y z)] ( x + y z)( x y+ z) 立方差 立方和 ( a b)( a ab b + + ) ( a b)( a ab b + + ) a a + b b 範例 因式分解下列各式 : () x () a + 8b () 6 6 x y 解 () x x ( x )( x x + + ) ( x )( x + x+ ) () a + 8b a + ( b) [ a+ ( b)][ a a ( b) + ( b) ] ( a+ b)( a ab+ 4b ) () x y 6 6 ( x ) ( y ) ( x + y )( x y ) ( )( )( )( x + y x xy+ y x y x + xy+ y ) 類題練習 因式分解下列各式 : () x + x () a 64b 6 6

27 在範例 的第 () 題中, 也可以將 x y 寫成 ( x ) ( y ), 因此得到 : 6 6 x y 6 6 ( x ) ( y ) ( )[( ) ( x y x + x y + y ) ] 4 4 ( x y )( x + x y + y ) 顯然的, x 4 + xy + y 4 可以再分解, 我們將在下一個單元裡, 介紹它的 分解方法 配方法 利用完全平方公式或完全立方公式, 再配合平方差公式或前面介紹的方法, 可以處理一些特殊多項式的因式分解, 這裡需要一些拆項 ( 分項 ) 或補項 ( 加減項 ) 的技巧, 要多練習 範例 4 因式分解下列多項式: 4 () a + a + () x + x 解 () a + a + a + a a + 4 a + a + a ( ) a + a ( )( a + + a a + a) ( a + a+ )( a a+ ) 4 () 9x + 5x + 9x 4 + 6x x x + x + x (x + ) x (x + + x)(x + x) (x + x+ )(x x+ ) 事實上, 在範例 4 的第 () 題中, 所見到的 也是一個常見的乘法公式 4 ( a + a+ )( a a+ ) a + a +

28 類題練習 因式分解下列各式 : 4 () a + a b + b 4 4 () 9x + x + 4 範例 5 因式分解下列多項式 : () x y () 4 x + 4 解 () 雖然可以直接引用立方差公式來因式分解 x 以用補項的概念來因式分解 x y x x y + xy y + x y xy ( x y) + xy( x y ) ( x y)[( x y) + xy] ( x y)( x xy+ y + xy) ( x y)( x + xy+ y ) y, 我們也可 4 () 很顯然, x + 4無法直接使用平方差公式來分解 所以, 我們嘗試用補項的方法來克服困難 4 x x + x + x ( x + ) (x) ( x + + x)( x + x) ( x + x+ )( x x+ ) 在國中時期, 因為我們要求因式分解後的各個因式的係數皆為有理數, 所以有些二次式無法分解 如果允許因式的係數可為任意實數, 那麼我們就可以用配方法來分解它 範例 6 因式分解 x + 4x + 解 x + 4x + x + 4x ( x + ) ( x + ) ( ) ( x+ + )( x+ )

29 類題練習 利用配方法的技巧, 來因式分解下列各式 : () x 4 + y () x + 64 () x + 8x + 9 家庭作業 因式分解下列各式 :. x 8. ( ) + a 4. x 4 xb ( a) + 4( a b) 4. x + 6y 5. x + x a + 6a a 8a b + 6b 8. x y + 6yz 9z 4 9. ( a )( b ) 4ab x 4

30 三 平方根與立方根 除了平方根以外, 三次方根 ( 也稱立方根 ) 及其它的高次方根也常出現在高中數學課程中, 如指數與三角函數等單元 在國中階段, 方根的學習是以認識及計算平方根為主, 在本章中, 我們將學習平方根與立方根的四則運算與根式中分母的有理化, 並介紹雙重根式的化簡 - 平方根 我們知道每一個正數 a 都有兩個平方根, 其中正的平方根記作 a, 讀作 二次根號 a, 並簡稱為 根號 a ; 而負的平方根記作 a, 例如 :4 的平方根記作 ± 4, 即 4 及 4 當 a0 時,a 的兩個平 方根都為 0 在這裡,a 稱為被開方數 在本節中, 除了在雙重根式的情形外, 所有的被開方數均為非負的有理數 平方根的乘法與除法 我們首先看如何做平方根之間的乘法及除法運算 因為 ( a ) b ( a b) ( a b) ( a a) ( b b) ( a) ( b) ab, 由定義我們知道 ( ab) ab, 所以 同樣的, 我們知道 a b ab, 其中 a b 0 a a a b, 其中 a 0 b > 0 b b 在數學上, 我們稱含有根號的算式為根式 例如 : + 5

31 和 都是根式 事實上, 形如 a 的數也稱為根式 範例 計算下列根式 : () () 8 () (4) 解 () 6 6 () () (4) 類題練習 計算下列根式 : () 5 0 () 75 () (4) 最簡根式 當一個整數 a 為某個整數的平方時, 我們就稱 a 為完全平方數, 也叫 做平方數, 例如 :8 9, 所以 8 為完全平方數, 因此 8 9 另外, 當被開方數是整數, 且不是一個完全平方數時, 我們可利用數的標準分解 式及平方根的乘法, 來化簡根式 例如 : 化簡 成標準分解式 : 60 時, 我們先把 60 寫 6

32 再化簡得到 60 5 ( ) 5, 60 ( ) 當被開方數為有理數時, 通常會將運算結果寫成分母不含有根號的 形式 例如 : 我們會將平方根 8 改寫成下列的形式 : 6 6 ( ) ( 或 6 ) p 也就是說, 習慣上我們會將一個正有理數的平方根寫成 q 形式, 其中 n 或 p n q p 為最簡分數,n 為大於 的整數, 並且不能被任何大於 q p 的整數的平方整除, 我們稱這種形式的根式 ( q n 或 p n q 的 ) 為 最簡根式 8 例如 : 6 0 和 6 都是最簡根式 ; 但 60 和就不是最簡根式 我們 稱將平方根化成最簡根式的過程為 平方根化簡 範例 將下列根式化為最簡根式 : () () 6 () 45 解 () 4 4 () () 類題練習 將下列根式化為最簡根式 : 7 () 4 () 80 () (4)

33 當兩個根式經過化簡後, 如果在它們的最簡根式的根號內有相同的 被開方數時, 我們就稱這兩個平方根為同類方根 例如 : ( 可化簡 為 ) 和 都是同類方根, 但 與 6 就不是同類方根 做根式的計算時, 我們通常會將式中的同類方根合併, 並且將結果 的每一項化為最簡根式 往後我們所稱的根式化簡是指將結果以最簡根式 的形式表示 範例 化簡下列根式 : () () () 解 () ( + 7) + ( 6) 4 4 () () 類題練習 化簡下列根式 : () () () 現在來看看如何做根式的乘積展開 事實上, 我們常利用乘法公式 ( a + b)( c + d) ac + ad + bc + bd 8

34 來展開形如 ( a + b)( c + d) 根式乘積的算式 範例 4 化簡下列根式 : () ( + )( 6 + ) () ( 7 + )( 7 ) 解 () ( + )( 6 + ) () 利用平方差公式, 可得 ( 7+ )( 7 ) ( 7) ( ) 7 5 類題練習 4 化簡下列根式 : () ( + 5)( + 75) () ( + )( ) 根式分母的有理化 如同方根, 一般來說, 我們會把根式化為分母不含根號的形式 現在 以下面的例子做說明 範例 5 將下列各式化為分母不含根號的根式: () () + 解 () 我們利用等值分數的特性及平方差公式, 使分母不含根號 9

35 + ( ) ( + )( ) ( ) () ( + ) ( )( + ) + ( ) ( ) + + 利用上述的方法, 將根式化為分母不含根號的形式的過程稱為分母的有理化 類題練習 5 有理化下列各式的分母: () () 5+ 5 範例 6 有理化 的分母 ( )(+ 解 因為 ) ( ), 4 + ( + ) 所以 ( + ) + ( )( + ) 0

36 類題練習 6 有理化 的分母 雙重根式的化簡 假設 a b 為兩個非負的數, 而且 a b 因為 所以 因此得到 : ± b ( ) ( ) ( a ) a + b ± ab a+ b± ab, a+ b± ab a± b 如果 x ± y a± b ( 其中 a b), 則 xa + b yab 範例 7 化簡下列各式 : () + () 8 8 解 () () 想想看 為何需要在 a+ b ab a b 這個公式中, 要求 a b? 類題練習 7 化簡下列各式: () 7+ () 4 5

37 範例 8 化簡 4 7 解 ( 7 ) 4 類題練習 8 化簡 + 5

38 家庭作業. 化簡下列各式 : 化簡下列根式 : 化簡下列各式 : 6( 8 5) ( 95+ 5)( 95 5) 5 ( )( 67 7) 6 ( 5 + )( 5 ) 4. 化簡下列各式 :

39 - 立方根 在本單元裡, 我們將討論立方根的性質和運算規則 不同於平方根的被開方數必須是非負的數, 立方根的被開方數可以是 任意實數 當實數 a 為某個實數 b 的三次方時, 我們就稱 b 為 a 的立方根, 並記作 a b, 其中 a 讀作 三次根號 a, 並稱 a 為 被開方數 例 如 :7 及, 所以 8 ( ) 7 及 8 顯然的, 被開方數與 它的立方根同號 我們只討論被開方數為有理數的立方根 立方根的乘法與除法 兩個立方根之間的乘法與除法運算類似於平方根的情形, 有下列的規則 : () a b ab a () a b, 其中 b 0 b a b 範例 計算下列各式 : () 5 () () 4 (4) 解 () () 4 4 () 4 4 (4)

40 類題練習 計算下列各式 : () 5 5 () () 5 5 (4) 5 6 ( ) 由規則 () 知道, 5 5 ( ) 5 5 因此, 習慣上, 我們常將 a 改寫成 a, 其中 a 為正數 最簡根式 當被開方數為整數且不是一個完全立方數時, 如同平方根的情形, 我們可以利用數的標準分解式及立方根的乘法, 來化簡根式 例如 : 化簡 70 4 時, 我們先將 70 寫成 5 5, 再利用乘法公式求得 當被開方數為有理數時, 通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式 例如, 我們會將 8 改寫成 ( 或 5 5 ) p n p 類似平方根的化簡, 我們將立方根寫成 最簡根式 n ( 或 ) q q 的形式, 其中 p 為最簡分數,n 為大於 的整數, 並且不能被任何大於 q 的整數的立方整除, 我們稱這樣的過程為 立方根化簡 例如 : 90 及 5 5 都是最簡根式 5

41 範例 化簡下列各式 : () 70 () 5 () 解 () () 因為 5 4 ( ), 所以 5 ( ) 6 () 我們可先將的分子 分母同乘於 後再做化簡, 即 8 8 類題練習 化簡下列各式 : () 5 () 000 () 5 當兩個立方根化為最簡根式後, 如果在它們的最簡根式的立方根號內 有相同的被開方數時, 我們就稱這兩個立方根為同類方根 例如, 4 ( 可化為 ) 和 - 都是同類方根, 但是 與 ( 可化為 ) 就不是 4 同類方根 4 在化簡根式時, 我們可以利用同類方根的合併來簡化數學式 範例 化簡下列各式: () () 解 () ( + 6) + ( 5) 4 6

42 () 註 : 7 和 7 不是同類方根 類題練習 化簡下列各式: () () 對於某些較為特殊的根式乘積, 可嘗試利用乘法公式 我們先複習兩個常用的立方公式 : ( a+ b)( a ab+ b ) a + b ( a b)( a + ab+ b ) a b 範例 4 利用立方公式化簡( + )( ) 解 我們可以利用第一個公式來化簡, 令 a b ( )( 9 6 4) + + ( ) + ( ) + 5 類題練習 4 利用立方公式化簡( 5 )( ) 7

43 根式分母的有理化 如同平方根的有理化技巧, 我們也可利用立方乘法公式來做分母含有立方根的根式的有理化 範例 5 有理化下列各根式的分母: () () 解 () 由立方公式, 我們知道 ( + )( 4 + ) ( ) + + 所以, 若想將分母的根號去掉, 可對分子與分母同乘以 ( 4 + ) 即可 因此得到 : + ( 4 + ) ( )( 4 ) () 我們對分子與分母同乘以, 即得 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 類題練習 5 有理化下列各根式的分母 : () ()

44 家庭作業. 求下列各數的立方根 : 64. 將下列各數化簡成最簡根式 : 化簡下列各式 : 化簡 化簡下列各式 : 化簡 ( )( ) 7. 有理化下列各根式的分母 :

45 四 一元二次方程式 就一般而言, 凡是使得方程式等號成立的數稱之為方程式的解 ; 而使得多項式的值為零的數稱之為多項式的根 因此, 一元二次方程式的解就是所對應的二次多項式的根 所以, 我們也稱此類方程式的解為根 我們將首先介紹常見的一元二次方程式的三種解法 : 因式分解法 配方法和公式解 然後, 利用判別式來探討兩根的特性, 最後再討論根與係數之間的關係 4- 一元二次方程式的解法 因式分解法 因為一元二次方程式 ax bx c + + 0(a b 和 c 為實數且 a 0) 的左式 為二次多項式, 如果我們能將這個多項式因式分解成兩個一次多項式的乘積, 就很容易求得方程式的解 我們以下面的例子來說明這種解法 範例 求 x + 5x 的解 解 利用移項可把原方程式改寫為 x 5x+ 0 由因式分解, 可得 5 x x+ (x )( x ) 因此, 原方程式改寫為 (x )( x ) 0 所以, 可得 x 0或 x 0 即 x 或 x 類題練習 求 x + 0x+ 0的解 40

46 配方法 我們也可以利用平方根的概念來解方程式, 例如將 x 4x+ 0 改寫 為 ( x ) 的形式, 進而解得 x ± 其過程如下 : x 4x+ 0 x 4x 兩邊同加 x x + + 左式可寫成完全平方式 ( x ) 右式為正, 兩邊開平方 x ± x ± 上面的例子是利用配成完全平方式的方法, 先將方程式改寫成 (x-h) k 的形式 當 k 0時, 我們就可以利用平方根的概念來解題 : 即 兩邊同時開方 ( ) x h k 0 x h ± k 移項 x h± k 註 :x h± k 表示 x h+ k 或 x h k 我們將這個方法稱為配方法, 也就是配成完全平方的意思 以下的例 題繼續來說明這種解法 範例 求下列各方程式的解 : () x 6x+ 8 0 () x + 4x 6 0 解 () x 6x+ 8 0 x x 8 x x + 8+ ( ) x x ± x 或 x x 或 x 4 4

47 () x + 4x 6 0 x + x 0 x + x x x ( ) x + 4 x + ± x + 或 x + x 或 x 在上例中, 我們當然也可用十字交乘法來做因式分解 但下面的例 題, 因不易做因式分解, 所以配方法會成為一個很好用的解法 範例 求下列各方程式的根 : () x 6x+ 0 () x + 5x 4 0 解 () x 6x+ 0 x 6x x x + + ( x ) 7 x ± 7 x 7或 x 7 x 7或 x + 7 註 : 我們常以 x ± 7 來表示 x + 7 或 x 7 () x + 5x 4 0 x + 5x x + x x x + ( ) + ( ) ( ) x x + 6 x ± 5±

48 觀察 : 在範例 第 () 題中, 兩個根的和為 ( + 7) + ( 7) 6, 兩個根的積為 ( 7) ( 7) + 在範例 第 () 題中, 9 7 ( 7) 兩個根的和為 +, ( 5) ( 7) 48 兩個根的積為 同學們能看出這兩個方程式的兩根和與積似乎和方程式的係數之間有著某種關係嗎? 類題練習 利用配方法求下列各式的解 : () x x 0 () 4x x 0 公式解 將配方法運用在一般式 方程式 兩邊同除以 a 常數項移到右邊 b 在左右二式同加 ( ) a 左式可化為完全平方 ax bx c (a 0) 的求解時, 其步驟如下 : ax bx c (a 0) b c x + x 0 a + a b c x + x a a x b b c b + x + ( ) + ( ) a a a a ( x + ) a 4a b b 4a 這個結果與前面 (x-h) k 的形式相同, 因為 ( x + 0, 所以當 b 4ac 0 時, 我們得到 c b a ) 恆為正數或 b b 4ac x + ±, a 4a 4

49 即 b b 4ac b± b 4ac x ± ( 或寫成 x ) a a a 也就是說, 當 b 4ac 0時, 方程式 ax + bx + c 0 的解為 : x + b b 4a a c 或 x b b 4a a c 雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較為複雜, 但觀察其過程, 每一步驟都有跡可循 若避開繁複的運算過程, 直接將方程式的係數代入這個解的通式, 即可得到方程式的解 因此, 我們利用上面的通式求解, 稱為公式解 雖然我們將在下一節中, 才會完整的討論如何由 b 4ac的符號來 了解方程式 ax + bx + c 0 兩個根的特性, 在這裡仍先稱 b 4ac為根的判別式 範例 4 用公式解求 x 6x+ 0的解 解 先檢驗判別式是否大於 0 或等於 0 因為 b 以方程式有實數解 由公式解得知 : 4ac 8>0, 所 x ( 6) ± 8 6± 7 ± 7 類題練習 利用根的公式解下列方程式: () x x 0 () 4x x 0 我們可以利用一元二次方程式的解法, 來解某些類型的方程式, 現在 來看下面的例子 44

50 範例 5 已知一個正數比其倒數的兩倍多, 求此數 解 設此正數為 x 依題意列式 兩邊同乘以 x, 得 移項得一元二次方程式 x x ( x+ )( x ) 0 x 或 x ( 不合題意 ) 所以, 此正數為 x x x x x x 0 類題練習 4 解方程式 x + 6 x b a b 範例 6 一個長為 a, 寬為 b 的矩形, 如果它的長與寬滿足 的 a b 關係, 我們稱之為 黃金矩形 求黃金矩形的長與寬的比值為何? 解 a 令 x b b a b a b a a b b b b b a x a b x 再來解 x x 兩邊同乘以 x, 得 移項得 利用根的公式, 可得 x x x x 0 ± x ( ) ( ) 4 ( ) 所以,x 或 x ( 負的不合 ) 45

51 + 5 因此, 長與寬的比值為 ( 約為.6) x x 類題練習 5 解方程式 + x x 6 家庭作業. 解下列各方程式 : 7 x + x 0 6 ( ) ( ) 0 x + 6x 4 0.5x 0.x 0.5. 已知 為 ax + x a 0的一根, 求 a 的值及另一根 +. 設為方程式 4x + 4x + c 0的一根, 求 c 的值 4. 已知 x 6x 可化為 ( x + p) + q 的形式, 求 p q 的值 利用 求方程式 x 6x 0 的兩根 5. 解下列各方程式 : x + 5 x 5 7 x + x + + x x 4 x x 4 6. 若 x 滿足 x + 4, 求 x 的值 x x 7. 已知某水果商人以 6000 元買進芒果一批 淘汰賣相不佳的芒果 0 公斤, 其餘的以每公斤按成本價加 0 元賣出, 商人共得款 800 元 問此商人 原先買進芒果多少公斤? x x 46

52 4- 根的判別 在前一節中, 我們利用配方法將方程式 ax + bx + c 0 (a 0) 改寫為 b b 4ac b b 4ac ( x + ) 因為 ( x + ) 恆為正數或 0, 所以右式中的 a 4a a 4a 分子 b 4ac必須為正數或 0, 方程式才會有實數解 當 b 4ac<0 時, b b 4ac 我們不可能找到一個實數 x 使得 ( x + ) 等於, 所以 a 4a ax bx c 沒有實數解 因此, 一個一元二次方程式有沒有實數解, 便可由 b 4ac 0, 或 b 4ac< 0來判別, 故稱 b 4ac為 根的判別式 或簡稱為 判別式 現在將方程式 ax + bx + c 0 根的判別規則整理如下 : () 若 b 4ac> 0, 則方程式的兩根為 : b+ b 4ac x 或 x a b b 4ac 因為兩根均為實數且不相等, 所以稱此方程式有兩個相異實根 () 若 b 4ac0, 則兩根為相等實數 所以稱此方程式有兩個相等 b 實根, 並常以 x ( 重根 ) 來表示 a () 若 b 4ac<0, 則此方程式無實根 註 : 當數系由實數擴充到複數時, 此方程式就會有兩個複數根 a 範例 判別下列方程式兩根的性質 : () x + x 5 0 () x 5x+ 6 0 () + x 6x 9 0 解 () 判別式 b 4ac 4 ( 5) 9> 0 方程式有兩個相異實根 : x () 判別式 b 4 ( 5) ± ± 4 ac ( 5) 4 6 < 0 方程式沒有實數解 () 判別式 ( ) ( 9) 0 b ac 9 47

53 方程式有一個二重根 : x ± ( ) ( 9 ( ) ) 6± 0 ( 重根 ) 範例 已知一元二次方程式 ax 解 原方程式有一個二重根 判別式等於 0 即 a 4 a 0 aa ( 8) 0 a 0 或 a 8 因為二次項係數 a 不能為 0, 所以 a 8 + ax + 0有一個二重根, 求 a 的值 類題練習 已知 a 為正整數且方程式 x 的最小值 ax+ 0有兩個相異根, 求 a 家庭作業. 判別下列方程式兩根的性質 : x 8x 0 0 6x 7x + 0 6x + 8x + 0. 設 a 為任意實數, 請問 x + ax + a 兩根的性質為何?. 已知 x + ( k 4) x + k 0有一個二重根, 求 k 的值 4. 設 m n 為相異兩數, 請判別 ( m + n ) x + ( m+ n) x+ 0兩根的性質 48

54 4- 一元二次方程式的根與係數的關係 現在來探討在 4- 的範例 中所提到的, 兩根的和 兩根的積與係數 之間的關係 設 α β 為方程式 ax + bx + c 0 的兩根, 因此 ax + bx + c 0 可化成 ax ( α)( x β ) 0 我們知道 ax + bx + c a( x α)( x β ) b a c a ax ( + x+ ) ax ( α)( x β ) b c x + x+ ( x α)( x β ) a a b c x + x+ a a x ( α + β) x+ αβ b 經由比較係數, 得到 α + β 及 α β a 程式的根與係數間有以下的關係 : c a 因此, 我們發現一元二次方 b c 若 ax + bx + c 0 的兩根為 α β, 則 α + β 及 α β a a 事實上, 直接由公式解也可得到 : 和 + α + β + a a b a b b 4ac b b 4ac b a + α β a a b b 4ac b b 4a ( b) ( b 4 ac) 4ac c 4a a 4a c 49

55 範例 設 α β 為 x + x 80的兩根, 求下列各式的值 : 解 () () α + β () + () α β α β α β 為 x + x 8 0的兩根 8 α + β αβ α β α αβ β αβ ( α + β) αβ ( ) ( 8) 5 () () β + α + α β αβ 8 8 ( α ) β α αβ + β ( + ) 4 α β αβ ( ) 4( 8) 4 所以 α β ± 4 若知道某一元二次方程式的兩根, 我們能不能反推而求得這個一元二次 方程式呢? 設 α β 為所求方程式 等號兩邊同除以 a, 得 ax bx c 的兩根 x + b c x 0 a + a b c 由根與係數的關係得知 : α + β αβ a a 因此, 方程式可以改寫成 x ( α + β) x+ αβ 0 範例 設 α β 為 x 解 以及為兩根的方程式可寫為 : α β + 0x 50 0 的兩根 求以 α 為兩根的方程式 β x ( + ) x+ 0 () α β α β 50

56 α β 為 x + 0x 50 0 的兩根 α + β 0 αβ 50 β + α 0 + () α β αβ 50 5 () α β αβ 將 () () 的結果代入 () 中得到 x x 因此, 該方程式可表為 x x 0, 或 50x 0x 類題練習. 設 α β 為 x + 4x 9 0的兩根, 求下列各式的值 : () α + β () αβ () α + β (4) β α + α β. 設 α β 為 x + 4x + 0 的兩根, 求以 α β 為兩根的方程式 範例 甲 乙兩生同解一個一元二次方程式 因為甲看錯一次項係數, 而解得兩根為 與 7; 因為乙看錯常數項, 而解得兩根為 與 0; 除此以外無其它錯誤 試求正確的兩根為何? 解 我們可設此一元二次方程式為 x + bx + c 0 以 與 7 為兩根的一元二次方程式為 x ( + 7)x x 9x 因為甲只看錯一次項係數, 所以常數項 c 4 是正確的 以 與 0 為兩根的一元二次方程式為 x ( 0 + )x + ( 0) 0 x + 9x 0 0 因為乙只看錯常數項, 所以一次項係數 b 9 是正確的 綜合以上的討論得知, 原方程式可表為 x + 9x + 4 0, 也就是 ( x+ )( x+ 7) 0, 所以正確的兩根為 或 7 5

57 家庭作業. 設 α β 為 x x 70的兩根, 求下列各式的值 : α β α + β β α + α β 4 ( α )( β ) 5 αβ+ αβ. 甲 乙兩生同解一元二次方程式 甲看錯常數項而得到兩根 和, 而乙看錯一次項係數得到兩根 4 和, 求正確的兩根 ± 5. 已知方程式的兩根為 4, 求此方程式 5

58 五 線型函數與二次函數 5- 函數的概念 在國中的課程裡, 我們學過代數式的值是由算式中的文字符號所代表 的數來決定 例如 : 當 x 時, x + 5 的值分別為 ; 4x 的值分別為 如果令 y 為某一個 x 的多項式, 那麼給定一個 x 值就會有一個 y 值 也就是 x 和 y 都代表變量, 而這兩個變量之間存在某種對應關係 事實上, 我們發現給定一個 x 值, 都恰有一個 y 值與它對應 像這種 x 與 y 的對應關係, 在數學上稱為 y 是 x 的函數 或簡稱為 函數 (function) 因此對於一個函數而言, 我們知道 : 任意給定的一個 x 值, 都恰有一個 ( 有一個且只有一個 )y 值與它對應 輸入一個 x 值 對應關係 恰有一個 y 值輸出 我們常將 x 的函數記作 f(x)( 讀作 f of x ), 且以 yf(x) 表示此一函數或對應關係 為了方便, 我們也可以用其它文字符號來表示 x 的函數, 如 g(x) h(x) 等 就一般情形而言, 當 x 值變化時,y 值可能隨著變化 所以, 我們稱 x 為此函數的自變數, 而 y 稱為應變數 x 自變數 f y f(x) 應變數 5

59 當變數 x 等於 a 時, 我們稱其所對應的 y 值為這個函數在 xa 時 的函數值, 且記作 f(a) 最常見的函數是由代數式所定義出的數量關係, 如 y x g(x) x 注意 f(x) x y x 和 yf(x) x 這些數學式都是 同一個函數的不同記法 對於函數 g(x) x 而言, 如果我們要找 x4 所對應的值 ( 即 g(4)) 時, 我們只需把 4 代入 g 的定義公式 ( 也就是多項 式 x ) 裡, 並算出 (4) 6 即可 因此 g(4) 同理, 我 們可以把任意的多項式當作一個函數, 並稱它為多項式函數 類題練習 () 設 f(x) x + 求 f(0) 和 f( () 設 f( x) x 求 f(5) 的值 5 ) 的值 當以數學式來描述函數時, 那麼式子中的數學運算必須有意義 以 f(x) 為例, 我們知道當 x 時, 數學式的分母為 0, 因此沒有 x x 它所對應的值 所以自變數 x 不可以為 ; 也就是說, 當 x 時, 函數 f(x) 沒有意義 ( 或稱為沒有定義 ); 明顯的, 函數 f(x) 在 x 等於 以外的數, 都有 其對應的值 又如 g(x) x, 對於任何大於 或等於 的數, 都有其所 對應的值, 而且 x 也只有等於這些數時,g(x) 才有定義 當自變數 x 不論為何值時, 函數值 y 永遠不變, 像這樣的函數稱為 常數函數 ( 常 是永恆的意思 ), 並以 f(x)c 或 yc 的形式表示, 其中 c 是一個確定的數 ( 或稱為常數 ), 這是最簡單的函數 接著來看看另外二種較為簡單的函數 首先, 令 a b c 為三個常數, 並且 a 0 我們稱形如 f(x)ax + b 的函數為一次函數, 並稱 ax 為 f(x) 的 一次項,a 為 x 的係數, 而 b 為 f(x) 的常數項 我們稱形如 f(x) ax + bx + c 的 函數為二次函數並稱 ax 為 f(x) 的二次項,a 為二次項的係數,bx 為一次項,b 為一次項的係數, 而 c 為 f(x) 的常數項 類題練習 () 設 f(x) 4x + 5,x 項的係數為, 常數項 為 () 設 f(x)5x x +, x 的係數為 為, 常數項為,x 項的係數 54

60 是不是所有的函數都可以用代數式來表示呢? 我們以民國 94 年每個 月份與它的天數 ( 見下表 ), 來說明另一種呈現函數的形式 月份 天數 如果想要找一個簡單的代數式, 使得它在每個月份的值等於上表中相對 應的值, 是一件不容易的工作 像這樣的函數, 與其找出這個代數式, 還不如用表列的方式來陳述月份與所對應天數之間的關係方便 動動腦 在上表中, 月份是天數的函數嗎? 家庭作業. 設 f(x) 4x + x, 求 f() 的值. 設 f( x) x 6, 求 f(5) 的值. 設 f(x) 4x 5,x 項的係數為, 常數項為 4. 設 f(x) x + x, x 的係數為, x 項的係數為, 常數項為 55

61 5- 線型函數 在坐標平面上, 描繪滿足 yf(x) 函數關係的所有點 (x,f(x)) 所得到的圖 形, 就稱為函數 f(x) 的圖形 我們如何描繪一次函數 f(x) 的圖形呢? 首先將 yax + b 改寫成 ax y + b0 的形式, 其中 a b 分別為給定的數 ( 常數 ) 而且 a 0 因此在圖形上的點, 其 x 坐標與 y 坐標滿足二元一次方程式 ax y + b0 所以我們可使用描繪二元一次方程式解的圖形所用的方法來畫 yax + b 的圖形 當然我們也可用列表再描點的方式來畫圖 範例 在坐標平面上畫出函數 f(x) x 的圖形 解 這個函數可以記為 yf(x) x, 因此 y + x0 x 0 y 0 y x 因為二元一次方程式解的圖形為直線, 所以只要找此二元一次方程式的兩個相異解 因此函數的圖形為通過 ( 0, 0) 及 (, ) 的直線 ( 如右圖 ): (0, 0) (,-) 對於任何一個二元一次方程式 ax + by + c0, 其中 b 0, 我們都可以 a c 把它改寫成 by ax c 或 y x b b 因此這個二元一次方程式解的 y 坐標可看成 x 坐標的函數 類題練習 在坐標平面上畫出函數 f(x)x + 的圖形 範例 在坐標平面上畫出函數 g(x) 的圖形 解 由於 g(x), 我們知道 y, 也就是 y 0 所以其圖形為通過 (0, ) 且與 x 軸平行的直線 56

62 x y y (-5, ) (0, ) (5, ) 類題練習 在坐標平面上畫出函數 h(x) 的圖形 從範例 及範例 的討論, 我們知道常數函數與一次函數的圖形都是 一條直線 因此, 我們通稱它們為線型函數 家庭作業. 在坐標平面上畫出函數 f(x)x + 5 的圖形. 在坐標平面上畫出函數 h(x)4 的圖形 57

63 5- 二次函數的最大值與最小值 ax + bx 我們學過利用配方法來解一元二次方程式, 也可以利用配方法將 + c 改寫成 的形式, 其中 ax ( h) + k b h k a 4ac b 4a 因此, 二次函數 y ax + bx + c 都可以改寫成 y ax ( h) ax ( h) k + 的形式 對於二次函數 y ax ( h) + k而言, 我們觀察到 :() 當 a > 0 時, 因為 0, 所以函數的值永遠不小於 k 並且當 xh 時, 函數的值為 k 因此, 函數的最小值為 k; 同理,() 當 a< 0 時, 函數的值永遠不大於 k 並且當 xh 時, 函數的值為 k 因此, 函數的最大值為 k 讓我們來看下面兩個例子 範例 有一位農夫想用 00 公尺的籬笆圍成一個矩形的菜園, 請問如何 才能圍出最大面積的菜園? 並求出此面積 解 設農夫所圍成矩形菜園的某一邊長為 x 公尺, 且以 y 平方公尺 表示菜園的面積 因為另一邊長為 50 x 公尺, 所以 y x(50 x) 50x x ( x 50x + 65) + 65 ( x 5) + 65 當 x5 時,y65 為最大值 也就是說, 當菜園一邊的邊長為 5 公尺, 而另一邊也為 公尺時, 能圍出面積最大 的菜園, 且其面積為 65 平方公尺 換句話說, 所圍出面積最大 的菜園是一個邊長為 5 公尺的正方形 58

64 類題練習 某人想用一條 00 公尺的繩子圍成一個矩形的停車場, 請問如何圍出面積最大的停車場, 並求出此停車場的面積 範例 如何把 分成兩數, 使得這兩數的平方和最小? 解 設其中一數為 x, 則另一數為 x 若以 y 表示這兩數的平方和, 可得 x + ( x) y x x+ x x 4x+ 44 ( x x+ 6) ( x 6) + 7 當 x6 時, 另一數為 66, 即是把 分成 6 和 6 時, 兩數的平方和為最小, 且其值為 7 類題練習 () 如何把 0 分成兩數, 使得這兩數的平方和最小? () 如何把 0 分成兩數, 使得這兩數的乘積最大? 家庭作業. 某人想用一條 00 公尺的繩子圍成一個矩形的停車場, 請問如何圍出最大面積的停車場, 並求出此停車場的面積. 如何把 0 分成兩數, 使得這兩數的平方和最小?. 如何把 0 分成兩數, 使得這兩數的乘積最大? 59

65 5-4 二次函數的圖形 從上一節中, 我們知道對於二次函數 y ax ( h) + k而言, 當 a > 0 時, 函數的值永遠不小於 k 因此, 函數圖形必在直線 yk 的上方 ; 同理,a < 0 時, 函數的值永遠不大於 k 因此, 函數圖形必在直線 yk 的下方 不論 在那一種情形下, 函數圖形都會與直線 yk 交於 (h, k), 並且稱 (h, k) 為圖形 的頂點 範例 寫出下列函數圖形的頂點 : () y ( x ) + () y ( x + ) + () y ( x ) (4) y ( x + ) 解 上列函數圖形的頂點分別為 : () (, ) () (, ) () (, ) (4) (, ) 類題練習 寫出下列圖形的頂點 : () y 4( x + ) + () y 5( x ) 我們也觀察到另一個有助於描繪二次函數圖形的事實 : 對於任何一個 數 c, 函數 y ax ( h) + k在 xh + c 及 xh c 所得到的函數值都為 ac + k 因此,(h+ c, ac + k ) 與 (h c, ac + k ) 兩點都在函數圖形上, 並 且在直線 x h 的左右兩側對稱, 因此稱直線 x h 為圖形的對稱軸 在描繪圖形時, 可用配方法將任何一個二次函數改寫成 y ax ( h) + k的 形式 所以, 我們首先畫形如 y ax 的函數圖形, 其次再來畫形如 y ax + k 及 y ax ( h) 的圖形, 並比較這些函數圖形之間的異同 最後, 總結如何從 y ax 的圖形來畫出 y ax ( h) + k的圖形 範例 在坐標平面上畫出 y x 的函數圖形 解 我們先將對應的函數值列表如下 : x y

66 在坐標平面上, 將表中所列的點一一描繪出, 得到下圖 : ( 4, 6) (4, 6) (, 9) (, 9) (, 4) (, 4) (, ) (0, 0) (, ) 如果在 -4 和 4 之間多取一些 x 值, 可得下表 : x y 然後再將這些數所對應的點描到同一坐標平面上, 得到下圖 : ( 4, 6) (4, 6) (, 9) (, 9) (, 4) (, 4) (, ) (0, 0) (, ) 6

67 同樣的, 在 4 和 4 之間取更多的 x 值, 然後再將這些數所對應的點描到同一坐標平面上, 得到下圖 事實上, 如果我們在單位長度內所取的數對越多, 則描到坐標平面上的對應點就越密, 不難看出這些點可以連接成一條平滑的曲線 將這些數對所代表的點描出來, 然後以平滑曲線, 將這些點連接起來, 如下圖所示就是函數 f(x) 的圖形 y x 因為上面的圖形可以向上無限延伸, 因此稱這種圖形為開口向上 我們也觀察到圖形的對稱性 :y x 的圖形以直線 x0 為對稱軸 同時, 也觀察到只要描繪幾個適當的點, 並以平滑的曲線連接這些點, 即可得到函數圖形 6

68 如果將 x 的係數改變, 圖形會有什麼改變呢? 讓我們來看以下的例子 範例 仿照畫出 f(x) x 的圖形, 來畫 f(x) x 的圖形 解 圖形的頂點位置在 (0, 0), 且以直線 x0 為對稱軸 將對應 的函數值列表如下, 然後再描點並以平滑的曲線連接這些點 ( 如下圖 ) x 0 y y x 因此這種圖形的開口向下, 並且與向上斜拋一物體落下的路徑相似 稱它為開口向下的拋物線 ; 從圖中我們也觀察到 y x 與 y x 的函數圖形 在 x 軸的上下對稱 也因此, 稱形如 y x 的圖形為開口向上的拋物線 範例 4 描繪 y x 的圖形 解 y x 的圖形是開口向上的拋物線, 其頂點位置在 (0, 0), 且 以直線 x0 為對稱軸 將對應的函數值列表如下, 然後再描點 並以平滑的曲線連接這些點 x 0 y

69 y x 類題練習 描繪 y x 的圖形 範例 5 描繪 y x 的圖形 解 y x 的圖形是開口向上的拋物線, 其頂點位置在 (0, 0), 且以直線 x0 為對稱軸 將對應的函數值列表如下, 然後再描 點並以平滑的曲線連接這些點 x 0 y y x 64

70 類題練習 描繪 y x 的圖形 我們在同一坐標平面上, 來比較 y x y x 和 y x 的圖形之間的關係 yx yx y x 我們觀察到 y x y x 和 y x 這些函數的 x 項係數都是正數, 並且它們的圖形都是開口向上而且以直線 x0 為對稱軸 因此, x 項係數 的正負號決定了開口的方向 : 正的開口向上, 而負的則是開口向下 ( 如 y x ) 另一方面, x 項係數的絕對值大小會影響開口的大小 : 若 x 項係數的絕對值越大, 則開口越小 類題練習 4 在同一坐標平面上, 比較 y x y x 和 y x 開口的 大小 接下來我們來畫形如 y ax (0, k) 且以直線 x0 為對稱軸 + k 的圖形 顯然的, 我們知道它的頂點在 65

71 範例 6 描繪 y x + 的圖形 解 y x + 的圖形是開口向上的 拋物線, 它的頂點位置在 (0, ), 且以直線 x0 為對稱軸 將函數的 對應值列表如右, 然後再描點並以 平滑的曲線連接這些點 x 0 y y x + 圖形平移 如果我們將 y x 及 y x + 的圖形同時畫在坐標平面上, 它們會有什麼關係呢? y x + y x 66

72 由上圖可知, 它們的圖形的形狀及開口大小都一樣 同時, 我們也發現只要 將 y x 的圖形 ( 沿 y 軸 ) 向上移動 個單位長, 即可以得到 y x + 的圖形 類題練習 5 () 將 y x 的圖形 ( 沿 y 軸 ) 向 移動 個單位長, 即 可以得到 y x 的圖形 () 描繪 y x 的圖形, 並寫出頂點坐標 範例 7 描繪 y x + 的圖形 解 y x + 的圖形是開口向上的拋物線, 其頂點位置在 (0, ), 且以直線 x0 為對稱軸 將對應的函數值列表如下, 然後再描點並以平滑的曲線連接這些點 x 0 y y x + 如範例 6, 我們也發現只要將範例 4 中 y x 的圖形 ( 沿 y 軸 ) 向上移動一個單位長, 即可以得到 y x + 的圖形 67

73 類題練習 6 描繪 y x + 的圖形, 並寫出頂點坐標 現在我們來畫形如 y ax ( h) 的圖形 我們知道它的頂點在 (h, 0) 及其對稱軸為直線 xh 範例 8 描繪 y ( x ) 的圖形 解 y ( x ) 的圖形是開口向上的拋物線, 它的頂點位置在 (, 0), 且以直線 x 為對稱軸 將函數的對應值列表如下, 然後再描 點並以平滑的曲線連接這些點 x 0 4 y y ( x ) 對稱軸是 x 範例 9 描繪 y ( x + ) 的圖形 解 y ( x + ) ( x ( )) 的圖形是開口向上的拋物線, 其頂點位置在 (, 0), 且以直線 x 為對稱軸 將函數的對應值列表如下, 然後再描點並以平滑的曲線連接這些點 x 4 0 y

74 y ( x ) 對稱軸是 x 我們再來比較 y x y ( x ) 及 y ( x + ) 圖形之間的異同 y ( x + ) y x y ( x ) 由上圖可知,y x y ( x ) 及 y ( x + ) 的圖形的形狀及開口大小 都一樣 我們也發現 : 若將 y x 的圖形 ( 沿 x 軸 ) 向右移動一個單位長, 即 可得到 y ( x ) 的圖形 ; 反之, 若將 y x 的圖形 ( 沿 x 軸 ) 向左移動一個單 位長, 便可得到 y ( x + ) 的圖形 我們也知道 y x y ( x ) 及 y ( x + ) 的圖形的形狀及開口大 小都一樣 但是, 它們頂點的位置分別在 (0, 0) (, 0) 及 (, 0) 如同前 面的說明, 如果將 y x 的圖形向右移動一個單位長, 就可以得到 69

75 y ( x ) 的圖形 ; 反之, 若將 y 得到 y + ( x ) x 的圖形向左移動一個單位長, 便可 的圖形 我們稱這樣將圖形左右或上下移動的過程為平移 類題練習 7 () y ( x ) 的圖形是將 y x 的圖形 ( 沿 x 軸 ) 向移動個單位長, 即可以得到 () y ( x + ) 的圖形是將 y x 的圖形 ( 沿 x 軸 ) 向移動個單位長, 即可以得到 範例 0 利用 yx 的圖形來描繪 y ( x ) 的圖形 解 y ( x ) 的圖形是開口向上的拋物線, 它的頂點位置在 (, 0), 且以 x 為對稱軸 所以, 只要將對稱軸為 x0 的 y x 的圖形沿 x 軸向右移動一個單位長, 即可到所要的圖形 x0 x yx y ( x ) 現在我們來畫 y ax ( h) + k的圖形 我們知道它的頂點在 (h, k) 且對稱軸為 xh 範例 利用範例 中的圖形及平移的方法, 來描繪 y ( x ) +的圖形 解 y ( x ) + 的圖形是開口向上的拋物線, 它的頂點位置在 (, ), 且以直線 x 為對稱軸 70

76 y ( x ) + 將範例 中的 y x 的圖形沿 y 軸向上平移三個單位長 ( 可得範 例 6 中的 y x +的圖形 ), 然後再沿 x 軸向右平移一個單位 長, 即可得到 y ( x ) + 的圖形 當然也可將 y x 的圖形沿 x 軸向右平移一個單位長 ( 可得範例 8 中的 y( x ) 的圖形 ), 然後再沿 y 軸向上平移三個單位長, 而得到 y( x ) + 的圖形 範例 利用範例 4 中的圖形及平移的方法來描繪 y ( x + ) + 的 圖形 解 y ( x + ) + ( x ( )) + 的圖形是開口向上的拋物線, 其 頂點位置在 (, ), 且以直線 x 為對稱軸 y ( x + ) + y x x 7

77 將範例 4 中的 y x 的圖形沿 y 軸向上平移一個單位長 ( 可得 範例 7 的中的 y x + 圖形 ), 然後再沿 x 軸向左平移一個單 位長, 即可得到所要的圖形 當然也可將範例 4 中的 y x 的圖形向左平移一個單位長, 然後再沿 y 軸向上平移一個單位長, 即可得到所要的圖形 類題練習 8 利用範例 4 中的圖形及平移的方法來描繪 y ( x ) + 4的圖形 圖形的應用 範例 有一農夫用 00 公尺的籬笆圍成一個矩形的菜園 試問菜園的 解 邊長及面積的可能範圍 設菜園的某一邊長為 x 公尺 因此另一邊長為 (50 x) 公尺 我們並以 y 平方公尺來表示此菜園的面積 依題意可列式 : yx(50 x)50x x 因為菜園的邊長必為正數, 所以 x > 0 且 50 x> > 0, 即 x 值的 範圍為 {x 0< x< 50} 由 5- 節範例 得知當此菜園為正方形時, 所圍成的面積 最大, 且其值為 65 平方公尺, 並從圖形我們得知 y 值 的範圍為 { y 0 < y 65} y 值的範圍 (5, 65) y50x- x x 值的範圍 7

78 範例 4 已知兩數和為 50 試問兩數乘積的範圍 解 假設其中一數為 x, 且以 y 表示兩數的乘積 因為兩數和為 50, 所以另一數為 50 x 依題意可列式 : yx(50 x)50x x 在本題中 x 可以為任意實數 由 5- 節範例 可知, 當 x5 時, 其乘積最大值為 65, 並 從圖形我們得知 y 的範圍為 { y y 65} (5, 65) y50x- x 由範例 和範例 4, 我們觀察到 : 依題意所列出的式子都是 yx(50 x)50x x 但是隨著題意情境的不同, 變數 x 的範圍及 y 值的範圍也會隨著變化 所以 討論函數時, 要注意 x 的範圍及 y 值的範圍 在高中課程中, 我們稱自變數 x 的範圍為定義域, 且其所對應 的 y 值範圍為值域 在範例 中的定義域為 { x 0 < x < 50} 且值域為 { y 0 < y 65}; 而範例 4 中的定義域為 { x x 為任意實數 } 且值 域為 { y y 65} 我們再引下面的例子來探討二次函數圖形在物理學上的應用 範例 5 在時間 t0 秒時, 某位跳水選手 從高為 呎的平台跳下 ( 如圖 ) 已知在時間為 t 秒時的高度為 h 6t + 6 t + ( 呎 ), 請問 什麼時候達到最高點, 並求出 最高點的位置 7 高度 ( 呎 ) (0, ) (, 6) 最高點位置 h 6t +6t + (, 0) 時間 ( 秒 )

79 解 h 6 t + 6 t + 6(t ) + 6 當 t 時,h 6 為最大值 所以, 在起跳後秒時, 達到最高點位置 : 高為 6 呎的地方 家庭作業. 在坐標平面上畫出 y ( x ) + 的圖形. 求 y x 4x 的頂點坐標及它的最大值. 求 y 5 x 0x + 的頂點坐標及它的最小值 4. 在時間 t 0 秒時, 某位跳水選手從高為 6 呎的平台跳下 已知時間為 t 秒時的高度為 h 8 t + 8 t + 6( 呎 ), 請問什麼時候達到最高點, 並求出最高點的位置 74

80 六 不等式 6- 一元一次不等式 什麼是一元一次不等式的解? 凡是使得一元一次不等式成立的數, 都是這個不等式的解 以不等式 x 0 為例, 凡是小於或等於的數都能使得不等式成 立, 而且也只有這些小於或等於的數才能滿足此不等式 此時要注意, 當我們提到不等式的解時, 並不是對某個單一特定的解而言, 而是指它所 有的解 所以, 不等式 x 0 的解就是指所有小於或等於的數 如 果只用文字來敘述不等式的解會有其不便性, 所以在國中時, 我們只有把 它化為 x 的形式, 並以它來表示 x 0 的解 然而, 在高中的課程 中, 我們常用集合的符號來表示不等式的解, 並以 x 所滿足形式最簡單的 不等式或其組合來陳述條件 例如 : 我們會以集合 { x x x 0 的解 在本單元裡, 我們將學習如何解形如下列的不等式 x > 4 x 5x x< x 5< x < 5 或 x > } 來表示不等式 在學習解不等式之前, 我們以 x 0 為例來複習如何用數線來圖示 不等式的解 0 在上圖中, 我們以圓點 來表示坐標為的點在這個不等式解的範 圍內 因為數線上的綠色部分的點所表示的數都小於或等於, 所以可用綠色部分來圖示不等式 x 0 所有解的範圍 75

81 範例 在數線上圖示不等式的所有解 : () x< () x 解 () 因為不等式 x< 與不等式 x 解的差異, 在於不是前 者的解, 所以不等式 x< 的圖示 ( 下圖 ) 與上圖類似, 並以 圓圈 來表示坐標為 範圍內 的點不在這個不等式 x< 解的 0 我們可以用集合 { x x < } 來表示不等式 x< 的解 () 因為由三一律知道, 不等式 x< 與不等式 x 不能有 共同的解, 並且任意一個數一定是其中某個不等式的解, 所以不等式 x 的解可圖示如下 : 我們可以用集合 { x x 從上面的例子及討論, 我們知道 : 0 } 來表示不等式 x 的解 () 集合 { x x } 與集合 { x x< } 沒有任何共同的部份像這樣的 兩個集合稱為互斥 () 上面的兩個集合可以共同組合成 ( 或稱為聯集 ) 整個實數系 ( 在此稱為宇集 ) 由() 可知兩個集合互為補集 ( 或稱為餘集 ) 類題練習 在數線上圖示下列不等式 : () x () x < () x > (4) x 4 76

82 我們再以另一個不等式 0 x< 為例 : 因為不等式 0 x< 即表示 0 x 和 x< 兩個不等式同時成立, 所以,0 x< 解的圖示為下圖中的綠色部 分, 也就是 x 0 和 x< 解的圖示重疊的部分 x < x 0 上圖中的綠色部分即為 { 0} 集 ), 並可用集合 { x 0 x } 0 x x 與 { x x< } < 來表示共同部分 的共同部分 ( 或稱為交 註 : 可用 { x x< } { x x 0} 來表示 { x x< } 與 { x x 0} 個交集也可用集合 { x x 0 且 x< } 來表示 類題練習 在數線上圖示下列不等式 : () < x< () x< 的交集, 其實這 解不等式 ax + b> c 如何解形如 ax + b > c 的不等式呢?( 其中 a b c 為常數 ) 在學習解不等式之前, 我們先複習常出現在解題過程中幾個不等量的 基本推論 : 當 a > b 時, 推論 : 對任意數 c, 我們恆有 a+ c> b+ c a c> b c; a b 推論 : 對任意正數 c > 0, 我們恆有 ac > bc > ; c c a b 推論 : 對任意負數 c < 0, 我們恆有 ac< bc < c c 此外, 對於不等號 < 和, 上述的推論也都成立 我們可引用推論 ~ 來改寫不等式, 並將原不等式化簡而改寫成形如 77

83 x > a,x< a,x a 或 x a 的最簡不等式 此時, 原不等式的解就是使得化簡後所得的最簡不等式成 立的所有數 我們以下面的例子來說明上述的方法 範例 解下列不等式 : () x > 4 () 5x 5 解 () x > 4 x + > 4 + x > 4 + x > 6 x > 所以, 不等式的解為所有大於 的數, 並可用集合 { x x > } 來表示 () 5x + 5 5x x 5 所以, 不等式的解為所有小於或等於 的數, 並可用 5 集合 { x x } 來表示 5 類題練習 解下列不等式 : + 解不等式 ax b> cx d () 4x + 7 () x <4 + 如何解形如 ax + b > cx + d 的不等式呢?( 其中 a b c 和 d 為常數 ) 範例 解不等式 x 5x 解 x 5x x 5x + x x 所以, 不等式的解為所有小於或等於 的數, 並可用集合 { x x } 表示 + 78

84 類題練習 4 解下列各題 : () 7x < 4x 5 () x 4 7 9x 我們如何解形如 x< x 5< 此類合併形式的不等式呢? 首先, 我 們需將這類的不等式改寫成某些不等式的組合, 然後再利用前面所學的方 法來解這些不等式 此時, 原不等式的解就是這些不等式解的組合 範例 4 解 x< x 5< 解 因為 x< x 5< 表示 x< x 5 和 x 5< 同時成立, 因 此, 先將這兩組不等式分別化簡成最簡不等式後, 再找出解的 共同部分 x< x 5 x< 5 x >5 且 x 5< x< 8 x< 6 又因為 x > 5 和 x< 6 須同時成立, 因此, 原不等式的解為所有大於 5 且小於 6 的數, 並可用集合 { x x > 5 且 x< 6}( 或可用 { x 5< x< 6}) 來表示 當然, 我們也可在數線上圖示 x< x 5< 的解 : 將上面的結果分別標示在數線上, 重疊的部分即為答案 : 圖中綠色部分的線段即為 { x x< 6} 與 { x x> 5} ( 交集 ) 的共同部分 註 : 如前, 可用 { x x< 6} { x x> 5} 來表示 { x x< 6} { x x> 5} 的交集 類題練習 5 解 4x 5x < 7 與 79

85 解合併形式的不等式時, 有時可將解題的過程合併在一起 範例 5 解 < x 解 方法一 : 因為不等式 < x 為 < x + 4 及 x 的 合併 因此, 可先分別求不等式 再找出它們共同的解 < x + 4 及 x 的解, < x + 4 4< x 6< x < x 且 x x 8 4 x 4 x 4 本題也可以把上面的過程合併如下 : 方法二 : < x < x < x 4 < x 所以, 由上面討論得知, 不等式的解為所有大於 且小於 等於 4 4 的數, 並可用集合 { x < x 4 } 表示 4 或 類題練習 6 解下列不等式: () 9 4x 7 () 4 x 8 () 5 7 ( x + 6) < 5 接下來, 我們來練習解含有絕對值的不等式 因為可用 a b 來表示 數線上 A(a) 與 B(b) 兩點的距離, 並且 x 可寫成 x 0, 所以 x 可 表示在數線上與原點的距離為 的點 P(x) 因此,x 可以等於 或 同理, 介於 與 之間的任何一個數都能滿足不等式 x <, 也就是說, 不等式 x < 的解即為所有介於 與 之間的數 因此, 它的解可以圖示如 下 : 0 80

86 顯然的, 對於任何一個正數 a, 不等式 x < a 的解即為所有介於 a 與 a 之 間的數, 並可用集合 { x a< x< a} 來表示 其實, 含有絕對值符號的不等式都可改寫成不含絕對值符號的不等 式 如果這個新不等式為一元一次式, 我們就可用前面提到的方法來解原 不等式 範例 6 解下列不等式 : () x () x < 5 解 () x x + x + x 所以, 不等式的解為所有介於 及 的數和 這兩個 數, 並可用集合 { x x } 表示 () 方法一 : x < 5 5 x < 5 < x < < x < 方法二 : x < 5 5< x < < x< 5 + 4< x< 6 < x< 因此, 不等式的解為所有介於 及 的數, 並可用集合 { x < x< } 來表示 在範例 6 第 () 題中, 因為 恰為 與 的中點, 所以我們常用 x 來表示 x 類題練習 7 回答下列各題 : () 解 4x <7 () 若 x m n的解為 x 6, 求 m n 的值 () 若 ax b < 4 的解為 < x< 5, 求 a b 的值 8

87 同前, 任何一個大於 或小於 的數都滿足不等式 x >, 也就是說, 不等式 x > 的解為所有大於 或小於 的數 因此, 它的解可圖示如下 : 0 顯然的, 對於任意正數 a, 不等式 x 並可用集合 { x x > a 或 x< a} 來表示 範例 7 解不等式 x > 解 x > x < 或 x > x< 或 x > 4 x< 或 x > > a 的解即為所有大於 a 或小於 a 的數, 因此, 不等式的解為所有小於 或大於 的數, 並可用集合 { x x< 或 x > } 表示 在範例 7 中, 不等式 x > 的解也可以由兩個集合 { x x< } 和 { x x > } 共同組成 ( 或稱聯集 ), 並可用 { x x< } { x x > } 來表示 集合 { x x< 或 x > } 另一方面, 我們也可用 x > 來表示 x > 或 x< 類題練習 8 解下列不等式 : () x >7 () 4x + 5 8

88 家庭作業. 在數線上圖示下列不等式 : x 5 x < x > 4 x 4 5 < x 6 x. 解下列不等式 : 5x+ 7 x 4 x < 6x 4 4x 4 8 7x 5 0 5x 6 5x+ 6 7 x < 5 8 4x > 6 9 4x x< x < 7 8

89 6- 不等量基本推論的應用 除了 6- 節中的三個基本推論外, 不等式的遞移律 : 如果 a > b 且 b > c, 則 a > c, 也是非常重要 事實上, 對不等號 < 和 而言, 這幾個基 本推論及遞移律也都成立 我們來看看遞移律與這些推論的幾個應用 假設已知 a > b 且 c > d 我們是否能比較 a + c 和 b + d 的大小呢? 所以得到 : 若對 a > b 的兩邊同加 c, 可得 a + c > b + c 若對 c > d 的兩邊同加 b, 可得 b + c > b + d 由遞移律可得 a + c > b + c > b + d 推論 4: 若 a > b 且 c > d, 則 a + c > b + c > b + d 當然, 對於不等號 < 和, 推論 4 也會成立 範例 已知 a< b 且 c< d 試推論 a d< b c 解 對 c< d 的兩邊同乘以 ( ), c > d 即 d< c 對 a< b 的兩邊同減 d, 可得 a d< b d 對 d< c 的兩邊同加 b, 可得 b d< b c 所以, 從遞移律可得 因此,a d< b c a d< b d< b c 動動腦 已知 a< b 且 c< d, 你能比較 a c 和 b d 的大小嗎? 範例 () 已知 a > b > 0 且 c > d > 0, 試推論 ac > bd () 已知 a< b< 0 且 c< d< 0, 試推論 ac > bd 84

90 解 () 因為 a > b 且 c > 0, 所以 ac > bc 同理, 因為 c > d 且 b > 0, 所以 bc > bd 由遞移律可得 ac > bc > bd 因此,ac > bd () 方法一 : 因為 a< b 且 c< 0, 所以 ac > bc 同理, 因為 c< d 且 b< 0, 所以 bc > bd 由遞移律可得 ac > bc > bd 所以,ac > bd 方法二 : 若對 a< b< 0 乘以 ( ) 可得 a > b > 0 同理, 對 c< d< 0 乘以 ( ), 可得 c > d > 0 因此, 由第 () 題的結果可推知 所以,ac > bd ( a)( c) > ( b)( d) 動動腦 已知 a > b 且 c > d, 請問 ac > bd 是否正確? 類題練習 請在下列各題中填入適當的不等號 : () 若 a > b > 0, 則 a ab b () 若 a< b< 0, 則 a ab b 85

91 家庭作業. 請在下列各題中填入適當的不等號 : 若 a > b, 則 a a + 5 b + 5; b a 4 b 4; c a b; e a + b + 若 a > x 且 x > 4, 則 a 4 若 a< b, 則 a 6 b 4 4 若 a > b 且 c > d, 則 a + c b + d 5 若 a > 且 c >, 則 ac 6 6 若 a< 且 c< 4, 則 ac 8 7 若 a > 5, 則 a 5 8 若 a< 4, 則 a 6. 填充題 : 若 ab > 0, 則 (a, b) 在第象限 若 ab< 0, 則 (a, b) 在第象限 d a b; 若 ab > 0 且 a b > 0, 則 (a, b) 在第象限 4 若 ab > 0 且 a + b< 0, 則 (a, b) 在第象限 5 已知 x >, 則 a x x; b x 4; c x 4 6 已知 x<, 則 a x x; b x 9; c x 9 86

92 6- 一元二次不等式 在國中的課程中, 我們學過用因式分解法 配方法及公式解來解一元 二次方程式 那麼, 我們是否也可用同樣的概念來解形如 ax + bx + c > 0 或 ax + bx + c 0 的一元二次不等式呢? 對於某些多項式 ax + bx + c, 我們可利用因式分解或公式解的概念把 它寫成兩個一次多項式的乘積 此時, 下面兩個不等量的基本推論就顯得 格外重要 : x a 推論 5: 若 ab > 0, 或 > 0, 則 a 與 b 同號, 也就是說 b () a > 0 且 b > 0 或 () a< 0 且 b< 0 a 推論 6: 若 ab< 0, 或 < 0, 則 a 與 b 異號, 也就是說 b () a > 0 且 b< 0 或 () a< 0 且 b > 0 現在, 我們利用幾個因式分解的技巧來解一元二次不等式 以 4x+ >0為例 : 因為 x 4x+ ( x )( x ), 所以可將原不等式寫成 ( x )( x ) > 0 因此,( x ) 與 ( x ) 同號 所以有二種可能 : () ( x ) > 0且 ( x ) > 0或 () ( x ) < 0且 ( x ) < 0 由 () 可得 x > 且 x >, 因此,x > ; 由 () 可得 x< 且 x<, 因此,x< 綜合上面的兩種情形, 知道原不等式的解為 { x x< 或 x > }, 並可圖示如下 : 87

93 事實上, 代表 和 的兩個點把數線分成三段 : { x x< } { x < x< } 及 { x < x} 如果將 { x x< } 及 { x < x} 中的任何一個數代入 (x ) 與 (x ) 中, 我們 發現 (x ) 與 (x ) 同號 因此,{ x x< } 及 { x < x} 中的任何一個數都能滿足 x 4x+ > 0 如果把 { x < x < } 中的任何數代入 (x ) 與 (x ) 中, 可知 (x ) 與 (x ) 異號, 所以 x 4x + < 0 因此, 這些數都不能滿足 x 4x + > 0 又因為, 當 x 或 x 時,x 4x + 0 所以,x 和 x 都不是不等 式 x 4x + > 0 的解 綜合上面的說明, 我們將各個數代入 x 4x + 所得的值的符號列表如下 : x x x 4x + x0 + x 0 0 x + x x 由上面的說明, 可得到下面的圖示 : 從上圖可以觀察出 : 只有當 x< 或 x > 時,x 4x + 的值才為正數 所以, 同樣的, 我們可以得到不等式的解為 { x x< 或 x > } 如果能將二次多項式 ax + bx + c 寫成兩個一次多項式的乘積, 上述的 方法是一個方便的解題方法 88

94 範例 解不等式 x x 4<0 解 x x 4 ( x+ )( x 4) 原不等式可寫成 ( x+ )( x 4) < 只有當 x > 且 x< 4 時,x x + 4 的值才為負數 所以, 得到不等式的解為 { x < x< 4} 類題練習 解下列不等式: () x 4x 5>0 () x 4x+ < 0 當二次項的係數為負數時, 可以把不等式的兩邊同乘以 ( ), 使 x 項的 係數為正數 注意 : 此時要改變不等式的方向 範例 解不等式 x + 4x+ 5 0 解 本題可以把不等式的兩邊同乘以 ( ), 使 x 項的係數為正數, 其解法如下 : x + 4x+ 5 0 x 4x 5 0 ( x+ )( x 5) 因為在 和 5 兩點, x + 4x + 5等於 0, 因此這兩點也是不等式的解 所以, 不等式的解為 { x x 5} 類題練習 解不等式 x + 5x

95 當二次項的係數不等於 時, 可以用下面的方法來解不等式 範例 解下列不等式: () x 5x+ 0 () x 5x+ < 0 解 () x 5x+ (x )( x ) x 5x+ 0 (x )( x ) 0 ( x )( x ) 0 ( x )( x ) 所以, 不等式的解為 { x x 或 x } () x 5x+ < 0 (x )( x ) < 0 + ( x )( x ) < 類題練習 解下列不等式 : 所以, 不等式的解為 { x < x < } () x + x > 0 () x + x 0 由上面的例題中可知 : 當 a > 0 且 α > β 時, a( x α )( x β ) > 0的解為 x < β 或 x > α ; a( x α )( x β ) 0 的解為 x β 或 x α ; 90

96 a( x α )( x β ) < 0 的解為 β < x < a ; a( x α )( x β ) 0 的解為 β x a 有時候, 也可以利用公式解的概念來解一元二次不等式 我們以下面 的例子做說明 範例 4 解下列不等式 : () x + x 4< 0 () x + 5x+ 0 + x 4 0 及 β, 其中 解 () 利用公式解來解, 得到兩根 α > β, 也就是 : α x 7 α + β 所以, 解為 { x < x < } () 利用公式解來解 x + 5x+ 0, 得到兩根 α β, > β, 也就是 : 其中 α 5 α + β 所以, 解為 { x x 或 x } 9

97 類題練習 4 解下列不等式: () x + 7x+ 0 () x + x+ 0 接下來, 我們利用配方法的概念及函數的最大值或最小值來解一元二次不等式 範例 5 解下列不等式 : () x 6x+ 9 0 () x x+ 5> 0 () x + 4x+ 0 0 (4) x 4x+ 4 0 x 6x + 9 解 () 因為 0 的判別式 ( 6) 4 9 x x 等於 0, 所以 6x + 9(x ) 0 只有一個二重根, 也就是說, 可將 6x+ 9 0改寫成 (x ) 0 事實上, 對任意實數 x, 我們恆有 x 6x+ 9( x ) 0, 因此, 不等式 x 6x 的解為任意實數 () x x+ 5 0的判別式 ( ) 4 5等於, 所以 x x+ 50沒有實根, 因此無法使用前面例題的方法來 解不等式 事實上利用配方法, 可得 x x+ 5 ( x ) + 4 所以對任意實數 x, 我們恆有 x x+ 5 ( x ) 因此, 不等式 x x > 的解為任意實數 () 因為 x + 4x+ 0 ( x+ ) +6, 所以, 當 x 為任意實數時, 我們恆有 ( x + ) > 0 因此, x + 4x+ 0 0無解 (4) x 4x+ 4 0 ( x ) 0 因為 ( x ) 不小於 0, 所以 ( x ) 0, 也就是說, 僅有 x 一個解 類題練習 5 解下列不等式 : () x 8x+ 6 0 () () x + 8x+ 0< 0 (4) x x x+ 6 > 0 4x

98 有時候, 我們可將分式不等式改寫成一元二次不等式 我們來看下面例子 x 範例 6 解不等式 0 x x 解 由不等式 0, 可知 x 與 x 異號且 x x 所以,(x )(x ) 0 且 x x 因為當 x 時, 0, 所以 x 也是不等式的解 因此, x 不等式的解為 { x x< } 類題練習 6 解下列不等式 : x + () < 0 () x 4 x + 0 x + 家庭作業 解下列不等式 : x x >0 x + 4x 5 0 x 4x >0 4 x + 4x+ > 0 x x x x x x >0 6 x 5x 0 5x+ <0 8 x 4x+ 4> 0 x x x+ < 0 + 6x+ 9 0 x x+ 6> 0 4x x x+ 5< 0 x 0 x 6 x + > 0 x 9

99 七 數列與級數 7- 等差數列 將一些 ( 通常為有限個 ) 數 ( 可重複的 ) 依序排成一列, 稱為 ( 有限 ) 數列 在一數列中, 每一個數稱為項 ; 稱第一個數為第一項或首項 ( 通常記為 ), 第二個數為第二項 ( 通常記為 a ), 當數列只有有限項時, 最後一個數 為末項 例如 : 在數列 0,0,40,50,60,70 中, 首項為 0, 第二項為 0, 末項為 70 如果在一數列中, 任意相鄰兩項的後面的項減去前面的項所得的差都是一樣, 就稱此數列為等差數列, 並稱所得的差為公差 通常以 d 代表公差, a 代表首項, an 代表第 n 項 例如 : 數列 0,0,40,50,60,70 a 因為後面的項減去前面的項所得的差都是 0, 所以這是一個公差為 0 的 等差數列 又如 : 數列 7,4,,, 5, 8, 因為後面的項減去前面的項所得的差都是, 所以這是一個公差為 的等差數列 範例 在下列各空格中填入適當的數, 使得每個數列成為等差數列 : () 5,8,, (),,, 94

100 解 () 因為公差 d 8 5, 所以此數列為 5,8,,4 () 因為公差 d 4, 所以此數列為,, 5, 9 類題練習 在下列空格中填入適當的數, 使得每個數列成為等差數列 : () 5,,,, (), 9,, 如果一個等差數列的首項為 a, 公差為 d, 則由等差數列的定義可知 : 第二項 a a + d a + ( )d; 第三項 a a + d a + ( )d; 第四項 a 4 a + d a + (4 )d;... 第 n 項 a n a + (n )d 範例 () 已知一個等差數列的首項為 8 且公差為 () 求等差數列 90,77,64, 的公差及第十三項, 求第十二項 () 已知某等差數列的首項為 6 且第四項為 8 求其公差並寫 出此數列的前五項 47 解 () a a + ( )d 8 + ( ) () 首項為 90, 公差為 a 90 + ( ) ( ) 66 () 假設公差為 d a 6,a 4 8 且 a 4 a + (4 )d d d 4 所以公差為 4, 且前五項為 6,0,4,8, 95

101 類題練習 () 已知某等差數列的首項為 6 且公差為, 求第二十項 () 求等差數列 5, 9, 的公差及第十項 () 已知某等差數列的首項為 且第三項為 8, 求其公差並 寫出此數列的前六項 範例 () 已知某等差數列的第五項為, 且公差為, 求第十四項 () 已知某等差數列的第三項為 9, 且第六項為, 求首項 公差 及第十項 解 () 設首項為 a 方法一 : a + 4 a a 4 + (4 ) 8 方法二 : a 4 a + d,a 5 a + 4 d a 4 a 5 + 9d a 4 a 5 9d a 註 : 由 a m a + (m )d,a n a + (n )d 可知 a m a n (m n)d a m a n + (m n)d () 假設首項為 a, 公差為 d a a + d 9,a 6 a + 5 d a,d 4 a 0 a +9 d 7 答 : 首項為, 公差為 4, 第十項為 7 類題練習 已知某等差數列的第三項為 0 且公差為 5, 求第二十項 範例 4 已知 4, 7,, 為一等差數列 請問第幾項 開始為正數? 解 設第 n 項開始為正數 a 4, 公差 d 7 ( 4) 6 a n 4 + (n ) 6 > 0 6n 49 > 0 96

102 n > 4 因為 n 必須為正整數, 所以 n 最小為 4 答 : 第 4 項開始為正數 類題練習 4 已知 4,5, 為一等差數列 請問第幾項開始為負數? 若 a,b,c 三數為一等差數列, 則稱 b 為 a 與 c 的等差中項 ( 或算術中項 或算術平均數 ) 例如 :9 是 5 與 的等差中項 b 當 a,b,c 三數成等差數列時, 由 b a c b 可知 b a+c, 所以 a+ c 範例 5 找出適當的 m 值使得,m 和 5 三數為一等差數列 解 m m 類題練習 5 找出適當的 n 值使得 8,n, 三數成等差數列 家庭作業. 在下列各空格中填入適當的數, 使得每個數列成為等差數列 : 6,0,, 5,,,. 已知一個等差數列的首項為 0 且公差為, 求第十三項 4. 求等差數列 5,, 的公差及第十一項 4. 已知某等差數列的首項為 4, 且第三項為 0, 求其公差並寫出此數列的 前六項 5. 已知某等差數列的第三項為, 且公差為, 求第二十項 6. 已知某等差數列第二項為 9, 且第七項為 4, 求首項 公差及第九項 7. 請問等差數列 4,, 從第幾項開始為正數? 8. 已知,7,m 三數為一等差數列, 求 m 值 9. 請問在 與 之間插入哪兩個數後, 可以成為等差數列 97

103 7- 等差級數 一個級數就是將一個數列的各項依次用 + 號連接 例如:,5, 5,5,65 為一個數列, 而 就是一個級數 因此, 一 個等差級數就是將一個等差數列的各項依次用 + 號連接 例如: 為一個等差級數 如果一個等差級數共有 n 項, 其首項為 a, 末項為 a n, 公差為 d, 則這個 等差級數的和通常以 S n 表示, 即 由 S n a + a + a + + a n S n a + (a + d) + (a + d) + + [a + (n )d] 將 式等號右邊各項的順序重新排列成為 S n [a + (n )d] + + (a + d) + (a + d) + a, 再將 兩式相加, 即可得到 : S n [a + (n )d] + [a + (n )d] + + [a + (n )d] S n n[a + (n )d] S 共 n 組 n n [ a ( ) ] + n d n ( a ) S n + a n 如果已經知道等差級數的首項, 公差和項數, 就可用下列的公式來求等差級數的和 : n S n [ a ( ) ] + n d 當然, 如果已經知道等差級數的首項, 末項和項數, 就可用下列的公式來求等差級數的和 : n ( a ) S n + a n 98

104 範例 () 已知一等差級數的首項為 且公差 5, 求前 0 項的和 () 求等差級數 6 + ( ) + ( 0) + + 第十五項的和 () 求等差級數 的和 解 () 首項 a, 公差 d 5, 項數 n 0 S 0 0[ a + (0 ) d] 0 [ + (0 )5 ] () 首項 a 6, 公差 d ( 6) S 5 00 [ a + d] 5 [ ( 6) + (5 ) ] 5 (5 ) () 假設此數列共有 n 項 首項 a 8, 公差 d 8 末項 a n 8 + (n ) 45 項數 n 0 0( a+ a0) 0(8 + 45) S 類題練習 () 求等差級數 第九項的和 () 求等差數列, 4, 7, 的前 0 項的和 () 求等差級數 的和 範例 () 已知一等差級數的首項為 8, 前十項和為 00, 求公差及第十項 () 設一等差級數的首項為 5, 末項為 4, 和為 70, 求此等差級數的項數及公差 () 已知等差級數 ( 6) + ( ) 第 n 項的和為 64 求 n 的值 解 () 設公差為 d 首項 a 8, 項數 n 0 0 S 0 [ 8 + (0 ) d ] 00 d 8 99

105 a () 假設數列共有 n 項, 公差 d 首項 a 5, 末項 a n 4 n ( a ) S n + a n n [ 5 + ( 4) ] a (0 ) d d () a 6, d ( ) ( 6) 4 n S n [ ( 6) + ( n ) 4] n( + 4n 4) n n 64 4n 6n 8 0 n 4n 0 ( n + 4)(n 8) n0 n 8 或 n 4( 不合, 項數必須為正數 ) 類題練習 () 設一等差級數的首項為 4, 前十項和為 00, 求公差及第 十項 () 設一等差級數的首項為 0, 末項為 9, 和為 66, 求此 等差級數的項數及公差 () 已知等差級數 第 n 項的和為 45, 求 n 的值 範例 已知某戲院共有 0 排座位, 依次每一排比前一排多 個座位, 且最後一排有 8 個座位, 請問這家戲院共有多少個座位? 解 假設第一排有 a 個座位 n 0,d,a

106 a 0 a + (0 ) 8 a 4 S 0 0(4 + 8) 590 答 : 共有 590 個座位 類題練習 已知某戲院共有 0 排座位, 依次每一排比前一排多 4 個座位, 且最後一排有 9 個座位, 請問這家戲院共有多少個座位? 範例 4 00 到 00 的整數中, 所有 7 的倍數的和等於多少? 解 00 到 00 的整數中, 最小的 7 的倍數為 05, 最大的 7 的 倍數為 94 a 05,a n 94,d (n ) 7 n 8 S 8 8( ) 5586 類題練習 4 00 到 400 的整數中, 能被 整除的所有數的和等於多少? 家庭作業. 求等差級數 第十項的和. 求等差數列, 5, 8, 的前 0 項的和. 求等差級數 的和 4. 設一等差級數的首項為 5, 前十一項和為 440, 求公差及第十項 5. 已知等差級數 ( 0) + ( 4) 第 n 項的和為 70, 求 n 的值 6. 設某一三角形的三個角的度數成等差數列, 若已知最大的角是 05 度, 則最小的角是幾度? 7. 假設一等差數列的前十項和為 0, 前九項和為 99, 求公差 0

107 7- 等比數列 觀察數列 :,6,8,54,6,, 我們發現 : 如果一個數列, 任意相鄰兩項的後面一項除以前面一項所得的商相同, 則此數列為等比數列, 相除所得相同的商稱為公比, 通常以 r 表示公比 如果一個等比數列的首項為 a, 公比為 r, 則由等比數列的定義可知 : a a a a a 4 a an r; a a a r; n a a r a r.r a r a r - ; a 4 a r a r.r a r a r 4- ;... a n a r n- 範例 在下列各空格填入適當的數, 使得每個數列成為等比數列 : () 5,0,, () 5,5,, 解 () 因為公比 r 0 5, 所以此數列為 5,0,0,40 () 因為公比 r 5 ( 5), 所以此數列為 5,5, 45,5 類題練習 在下列空格中填入適當的數, 使得每個數列成為等比數列 : (),0,, (), 5,, 0

108 範例 () 已知某一等比數列的首項為 0, 公比為, 求第四項 () 已知某一等比數列的首項為 6, 第四項為 寫出此數列 的前五項 () 已知某一等比數列第三項為, 第六項為 96, 求首項及 公比 (4) 已知某一等比數列第四項為 4, 公比為, 求第八項 4 4 解 () a4 a r 0 80 () 設公比為 r 首項 a 6, 第四項 a 4 a 4 a r 6 r r 8,r 所以, 前五項為 6,8,4,, () 設首項為 a, 公比為 r a a r,a 6 a r 5 96 r 8,r a 所以, 首項為, 公比為 (4) 設首項為 a, 公比為 r 方法一 : a 4 a r 4 a ( ) a a 8 ( ) 7 84 方法二 : a 4 a r,a 8 a r 7, 公比為 a 8 a 4 r 4 a 8 a 4 r 4 4 ( ) 4 84 註 : 由 a m a r m-,a n a r n- 可知 a n a m a r n- (a r m- ) r (n-) - (m-) r n - m a n a m r n - m 0

109 類題練習 () 已知某一等比數列的首項為, 公比為, 求第五項 () 已知某一等比數列的首項為 4, 第四項為 寫出此 數列的前五項 () 已知某一等比數列第二項為 8, 第五項為, 求首項及 公比 (4) 已知某一等比數列第七項為 64, 公比為, 求第十項 比例中項 當 a,b,c 三數為一等比數列時, 稱 b 為 a 與 c 的等比中項 ( 或者稱為 或比例中項 ) 例如 :0 是 5 與 0 的等比中項 b 如果 a,b,c 三數為一等比數列, 由 a c 可知 b ac, 所以 b ± ac b 範例 已知,m, 8 三數成等比數列, 求 m 值 解 m ( )( 8)6 m ± 4 類題練習 已知 5,m,0 三數成等比數列, 求 m 的值 家庭作業. 在下列各空格填入適當的數, 使得每個數列成為等比數列 :,8,, 8,,,. 已知某一等比數列的首項為 4, 公比為, 求第五項. 已知某一等比數列的首項為 8, 第四項為, 寫出此數列的前五項 4. 已知某一等比數列第三項為 4, 第六項為, 求首項及公比 5. 已知某一等比數列第五項為 4, 公比為, 求第十項 6. 已知,m,8 三數成等比數列, 求 m 的值 04

110 7-4 等比級數 如同等差級數, 一個等比級數就是將一個等比數列的每一項依次用 + 號連接, 例如 : 若 a,a,a,,a n 為一等比數列, 則 a + a + a + + a n 就是一個等比級數 如果一個等比級數的公比為 r, 怎麼計算這個等比級數的和呢? 共 n 項 () 當 r 時,S n a + a + a + + a na () 當 r 時,Sna + a + a + + a n- + a n 所以 S n a + a r + a r + + a r n- + a r n- 將 兩式相減即可得到 : rs n S n (r )S n rs n a r + a r + a r + + a r n- + a r n (a r a ) + (a r a r) + (a r a r ) + + (a r n- a r n- ) +(a r n a r n- ) (r )Sn a r n a a (r n ) a 因此,S n ( n r ) r n a ( r ) ( 或寫成 S n ) r r 特別說明 : 當 a,n 時,S + r + r r 由 式可得 ( + r + r )( r) r, 此與立方差公式 ( a b)( a + ab+ b ) a b 中,a br 代入的結果相同 範例 () 已知某一等比級數的首項為 7, 公比為, 且有 0 項, 求此級數的和 () 已知一等比級數, 首項為 4, 公比為, 和為 00, 求項數 0 解 () 因為 S 0 7( ) 7 ( ), 0 05

111 0 所以, 此等比級數的和為 7 ( ) () 假設級數有 n 項 4( n ) S n 00 n 55 n 56 8 n8 所以, 項數為 8 類題練習 () 已知某一等比級數的首項為 5, 公比為, 且有 5 項, 求此等比級數的和 () 已知某一等比級數的首項為, 公比為, 且和為 9 求項數 範例 小華想要開始儲蓄, 並計畫每天的存款為前一天的兩倍 第一天 存 元, 請問至少幾天後, 儲蓄總金額超過 000 元? 解 假設需要 n 天 ( n ) > 000 n > 000, n > 00 n 最小為 0 答 :0 天後 類題練習 小華想要開始儲蓄, 並計畫每天的存款為前一天的兩倍 第 一天存 元, 請問至少幾天後, 儲蓄總金額超過 500 元? 家庭作業. 已知某一等比級數的首項為 5, 公比為 4, 且共有 5 項 求此級數的和. 已知某一等比級數的首項為 4, 公比為, 且和為 508 求項數. 已知有 5 個桶子 在第一個桶子放入一個球, 第 個桶子放入 個球, 第 個桶子放入 9 個球, 以此類推, 也就是說, 後一桶放入的球數為前一桶放入球數的 倍 請問這 5 個桶子共有幾個球? 4. 已知某一等比級數的和為 80, 公比為, 且共有 6 項, 求首項 06

112 附錄一 : 集合的概念 數學系統原本非常複雜,9 世紀的一大成就, 就是把數學系統簡約了 這個過程的重要基礎, 就是康托 (Cantor) 所引進的集合的概念 有了 集合我們便可以把整個數學建立在整數上 在高中階段, 我們所要學習的數學概念及對象不再侷限於數 因此, 在陳述新的概念及對象時, 我們為了避免長的敘述和語意的混淆不清, 我們將逐步引用所謂的集合語言 首先, 我們來看所有滿足不等式 x- 0 的數 當然, 這些數必需滿 足 x 反之, 任何一個小於或等於的數, 都滿足原不等式 因此, 如果要用文字陳述這些數時, 我們必須用 小於或等於的數 來表述 這樣的概念 如果進一步地要求這些數必為整數時, 那麼, 我們必須用 小 於或等於的整數 來表述 除了用這樣的文字敘述外, 在數學上我們 會用下列的方式了來表達後面這一概念 : (a) { 0, -, -, -, -4, }; (b) { x x 為小於 (c) { x x 或等於的整數 }; 且 x 為整數 } { x Z x } 或 { x x 且 x Z} 在此, 不難看出所謂的集合方式及符號的便利性 在 (a) 中的 { 0, -, -,-, -4, } 這種表示法有點混淆不清, 這是因為每個人對其中的 可能有著不同解讀方式 所以, 我們應避免此方式, 儘管大家都可能看出這些已列出的數字所要表達出的規律 根據康托的說法, 當我們把一些清晰可分的 客觀世界中, 或我們思想中的事物看成 一體 時, 這個整體便稱為 集合 (Set) 以上述的例 07

113 子為例, 我們可以把這些數當成一個集合, 並且把這些數在括弧 { } 中以 (a) 形式表列出來, 並稱此方法為集合的表列法 集合中的事物稱為它的 元素, 如果 x 是集合 S 的元素, 我們便用符號 x S( 讀作 x 屬於 S) 表示 ; 若 x 不是 S 的元素, 則以 x S( 讀作 x 不屬於 S) 表示 ; 而不包含任何元素的集合稱為 空集合, 並記作 在列舉時, 元素並沒有一定的排序 ; 若有某元素重複列舉時, 我們可把它看成只列一次 例如, 由 a b 和 c 所構成的集合, 我們可用表列法表示 {a, b, c} 因此,{a, b, c} {b, c, a} {a, b, c, c, a } 都表示同一集合 倘若, 一個集合有很多元素 ( 或甚至有無窮多個元素 ) 時, 我們不方便或者甚至根本無法列舉時, 則可採用如 (b) 或 (c) 的方式, 把集合中元素的共同的特性來表示 ( 稱為構造法 ) 如果集合 A 中的每一個元素都屬於集合 B, 我們就稱 A 是 B 的 子集, 並記作 A B( 讀作 A 包含於 B) 或 B A( 讀作 B 包含 A) 如果進一步, 我們又知道 B 中的每一個元素也都屬於 A, 也就是說 A 與 B 兩集合有相同的元素, 那麼我們就說 A B 兩集合相同, 並記作 AB 注意: 我們要仔細區分 A 及 {} A 兩個符號的差異 () 我們稱由所有屬於 A 或屬於 B 的元素所形成的集合稱為 A 與 B 的 聯集, 並記作 A B, 即 A B{ x x A 或 x B} () 由 A 與 B 所有共同的元素所形成的集合稱為 A 與 B 的 交集, 並記作 A B, 即 A B{ x x A 且 x B} 若 A 與 B 的交集不為空集合, 則稱 A B 相交 ; 否則稱為 A B 互斥 () 若將 A 中所有屬於 B 的元素去掉所形成的集合稱為 A 對 B 的 差集, 並記作 A B, 即 A B{ x x A, 但 x B} (4) 假設所探討的集合都為某個給定集合 U 的子集, 則稱集合 U 為宇集 ; 而稱 U A 為 A 的 補集 或 餘集, 並記作 AU A 08

114 附錄二 : 平面幾何的基本性質 高中一年級的數學課程中, 雖然沒有 幾何 的章節, 但是, 在許多課程內容中, 需要具備一些幾何基本概念 例如 : 簡單的邏輯概念 中, 有許多的例子與幾何相關 ; 又如 : 在某些三角函數的推導過程中, 也涉及幾何知識 因此, 在本節中, 我們將平面幾何中有關平行 三角形 四邊形和圓的基本概念和性質, 分別條列如下, 以做為同學們複習的參考. 平行 定義 在平面上垂直於同一條直線的兩條直線稱為平行線 A L 如右圖,L 與 L 互相平行 ( 或稱 L 與 L 是平行線 ), 並記作 :L//L, 且 AB 的長度就是 L 與 L 的距離 基本性質 B L () 一線段若垂直於平行線中的一條直線, 必垂直於平行線中的另一條直線 A A A L () 兩平行線間的距離處處相等 如右圖 : AB AB AB () 平行線永遠不相交 B B B L (4)L //L (5)L //L L 與 L 被一直線所截, 且同位角相等 如右圖 : L 與 L 被一直線所截, 且同側內角互補 如右圖 : L L (6)L //L L 與 L 被一直線所截, 且內錯角相等 如右圖 : 動動腦 () 是否等於 8? () 4 與 6 的角平分線是否垂直? 09

115 . 三角形 基本性質. 內角和定理 : 任意一個三角形的三個內角和等於 80. 外角和定理 : 任意一個三角形的三個外角和等於 60. 外角定理 : 三角形的任一外角等於 其兩個內對角的和 如右圖 : + 4. 等腰三角形的兩底角相等, 正三角形的三個內角相等 動動腦 () 如右圖, 已知 DE // AB 你能否 D C E 推導出 ABC 的內角和為 80? () 三角形若不是正三角形, 是否一定有 一個內角大於 60? () 鈍角三角形的三內角都是鈍角嗎? 5. 直角三角形的商高定理 ( 又稱為畢氏定理 ): 兩股的平方和等於斜邊的平方 如右圖 : a + b c 6. 三角形中,a b c 為三邊長, 若 a + b < c, 則為鈍角三角形 ; 若 a + b > c b + c > a 和 c + a > b, 則為銳角三角形 A A c b B B a C 7. 三角形的任意兩邊和大於第三邊 8. 三角形的兩邊及其對應的角有下列關係 : 大邊對大角 ; 大角對大邊 如右圖 : 若 AB > BC, 則 C > A; 若 C > A, 則 AB > BC A C B 0

116 . 三角形的全等 定義 如果兩個三角形的對應邊相等, 對應角相等, 則稱這兩個三角形全等 基本性質. 全等性質 :SSS SAS AAS ASA RHS ()SSS 全等性質 : 如果兩個三角形的 三個邊分別對應相等, 則這兩個三角形全等 ()SAS 全等性質 : 如果兩個三角形各有的兩邊和它們的夾角分別對應相等, 則這兩個三角形全等 ()AAS 全等性質 : 如果兩個三角形各有兩角和其中一角的對邊分別對應相等, 則這兩個三角形全等 (4)ASA 全等性質 : 如果兩個三角形各有兩角 和這兩個角的夾邊分別對應相等, 則這兩個三角形全等 A B A B (5)RHS 全等性質 : 如果兩個直角三角形的 斜邊和一股分別對應相等, 則這兩個直角三角形全等

117 4. 相似三角形 定義 兩個三角形不論其大小是否相等, 只要形狀相同就稱為相似三角形 所以, 兩個相似三角形的對應角相等, 對應邊成比例 基本性質. SSS AAA AA SAS 相似性質 : ()SSS 相似性質 : 如果兩個三角形三組對 應邊成比例, 則這兩個 三角形相似 ()AAA 相似性質 : 如果兩個三角形的三組 對應角相等, 則這兩個 三角形相似 ()AA 相似性質 : 如果兩個三角形的二組 對應角相等, 則這兩個 三角形相似 (4)SAS 相似性質 : 如果兩個三角形有一組角對應邊相等, 且夾此角的兩組對應邊長成比例, 則這兩個三角形相似. () 三內角分別為 的三角形, 其對應邊邊長比為 : : 60 0 () 三內角分別為 的三角形, 其對應邊邊長比為 :: 45 45

118 5. 四邊形 圖形與定義 長方形正方形菱形平行四邊形梯形鳶形 長方形 ( 矩形 ): 四個角都是直角的四邊形稱為長方形 ; 如果一個長 方形的四邊都等長就稱為正方形 菱 形 : 四邊都等長的四邊形稱為菱形 平行四邊形 : 有兩雙平行邊的四邊形稱為平行四邊形 梯 形 : 一組對邊平行, 另一組對邊不平行的四邊形稱為梯形 等腰梯形 : 不平行的對邊等長的梯形稱為等腰梯形 鳶形 ( 箏形 ): 兩雙鄰邊分別相等的四邊形稱為鳶形 動動腦 () 菱形一定是平行四邊形嗎? () 正方形一定是菱形嗎? () 菱形一定是鳶形嗎? 性質 菱形 :() 菱形的對角線互相垂直平分 A 如右圖 : AC BD 互相垂直平分 () 菱形的對角線平分頂角 B E D 如右圖 : AC 平分 BAD C

119 平行四邊形 : () 平行四邊形的任一對角線將此平行四邊形分成兩個全等的三角形 如右圖 : ABC 與 CDA 全等, ABD 與 CDB 全等 () 平行四邊形的兩組對角分別相等 如右圖 : ABC ADC A D BAD BCD () 平行四邊形的兩組對邊分別相等 如右圖 : AB CD AD BC B E C (4) 平行四邊形的對角線互相平分 如右圖 : AE CE BE DE 鳶 ( 箏 ) 形 : () 對角線互相垂直 如圖 : AC BD () 其中一對角線被另一對角線所平分 B A E D 如右圖 : AC 平分 BD () 其中一對角線平分頂角 如右圖 : AC 平分 BAD 及 BCD C 梯形 : () 梯形 ABCD,E F 分別為 AB 與 CD 的中點, EF 稱為梯形 ABCD 的中線 如右圖 : 則 AD // EF // BC ; EF ( AD + BC ) B A E D F C () 等腰梯形的底角相等, 對角線等長 如右圖 : ABC BCD A D BAD ADC AC BD B C 4

120 6. 線的性質. D 基本性質 A C B. 中垂線性質 : 一線段的中垂線上任意一點到此線段的兩端點等距離 ; 與一線段的兩端點等距離的任何點必在此線段的中垂線上. 兩邊中點連線性質 : 連接三角形的兩邊中點的線段必平行於第三邊, A 且長度為第三邊的一半 D E 如圖 : 若 D E 分別為 AB 和 AC 的中點, 則 DE // BC 且 DE BC B C. 平行線截比例線段性質 : 如圖 : 若三條平行線 L L4 L5 被二直線 L L 所截, 則 AB DE BC EF L L A B D E L L 4 C F L 5 4. 角平分線性質 : 角平分線上的任何一點到角的兩邊等距離 ; 到角的兩邊等距離的任何一點必在角平分線上 F F D D A E E 5

121 7. 圓圓心角 定義與基本性質. 圓心角 : 以圓心為頂點, 兩個 半徑為邊的角稱為圓心角 半徑 o 半徑. 弧度 : 弧度等於該弧所對應的圓心角度數 弧 A B. 弦 : 連接圓周上兩點所成的線段 弦 o 弧度 4. 圓周角 : 以圓周上的點為頂點, 兩個弦為邊的角稱為圓周角 圓周角等於該角所對弧度數的一半 A 如圖 : BAC BDC o 半圓所對應的圓周角是直角 如圖 : BAC90 A B D C B o 直徑 C 5. 弦切角 : 圓的一條弦和一條切線相交於切點所形成的角 如圖 : 均為弦切角 弦切角的度數等於角的兩邊所夾弧度數的一半 6

122 6. 圓心與弦的關係 : 過圓心且與弦垂直的直線, 必平分此弦, 如圖 : AC BC A C o 弦 B 垂直且平分此弦的直線必過圓心 7. 弦心距 : 弦與圓心的距離叫做此弦的弦心距, 如圖 : 弦心距 OC 動動腦 () 已知四邊形 ABCD 有一外接圓, 是否能由圓周角推導出四邊形 ABCD 內角和為 60? () 弦切角與對應此弧的圓周角是否相等? 如右圖 : 是否等於? 8. 點與圓 基本性質 平面上的點與圓之間有下列三種關係 :. 點在圓外 : 點到圓心的距離 > 半徑. 點在圓上 : 點到圓心的距離 半徑. 點在圓內 : 點到圓心的距離 < 半徑 A 9. 圓與直線 基本性質 o 平面上的直線與圓有下列三種關係 :. 直線與圓不相交 : 直線與圓心的距離 > 半徑. 直線與圓只有一交點 : 直線與圓心的距離 半徑 我們稱這條直線為這個圓的切線, 它們的交點 稱為切點 A 切點 過一圓直徑端點的垂線為此圓的切線 圓心到切線的距離等於圓的半徑 o 切線 圓心與切點的連線必垂直過切點的切線 7

123 . 線與圓有兩交點 : 直線與圓心的距離 < 半徑 我們稱這條直線為這個圓的割線 A C B 割線 o 動動腦 () 過圓上一點能做幾條切線? () 過圓外一點能做幾條切線? 0. 圓與圓 基本性質. 兩圓關係 : 兩圓的位置關係有三種 : 兩圓不相交 ( 外離 內離 ) 相交於一點 ( 內切 外切 ) 相交於二點 兩圓關係 內離 內切 相交於二點 外切 外離 圖示. 連心線 : 在平面上兩圓的圓心所連結的直線稱為連心線. 連心線長 : 兩圓的圓心所連結的線段長稱為連心線長 連心線長 連心線長 8

124 4. 連心線長與兩圓關係如下 : 兩圓關係 連心線長與半徑關係 內離 連心線長 < 半徑的差 同心圓 連心線長 0 內切 連心線長 半徑的差 相交於兩點半徑的差 < 連心線長 < 半徑的和 外切 連心線長 半徑的和 外離 連心線長 > 半徑的和 5. 公切線 : 與兩圓同時相切的直線稱為此兩圓的公切線 兩圓關係 同心圓內離內切 相交於二點 外切 外離 外公切線 無 無 內公切線 無無無無 6. 公切線長 : 兩圓的圓心 O O, 半徑 r r 外公切線長 OO + ( r r ) r -r 內公切線長 OO ( r + r ) r +r 內公切線段 外公切線段 9

125 . 三角形與圓 定義與基本性質. 內心 何謂內心 : 三角形內切圓的圓心 如何求出 : 三角形三內角平分線交於一點, 此點就是內心 相關性質 : 內心到三邊等距離 三角形恰有一內切圓. 外心 何謂外心 : 三角形外接圓的圓心 如何求出 : 三角形三邊的中垂線交於一點, 此點就是外心 相關性質 : 外心到三頂點等距離 三角形恰有一外接圓 A 直角三角形的外心在斜邊中點 D 如圖 : 直角三角形 ABC 中, D 為 AB 的中點, DA DB DC B C 動動腦 () 已知圓 O 為 ABC 的外接圓, 利用圓周角性質, 推導三角形內角和為 80 () 直角三角形的斜邊是否為其外接圓的直徑? () 如右圖, 為什麼 ABC ABD 和 ABE A B 直徑都是直角三角形? C D E (4) 如圖 : 已知圓 O 為四邊形 ABCD 的外接圓, 為什麼 A 與 C B 與 D 互補? A B C D 0

126 . 重心 如何求出 : 三角形的三中線交於一點, 此點就是重心 相關性質 : 重心到一頂點的距離等於過此頂點的中線的 倍 三角形的三中線將此分為六個面積相等的三角形, 如圖中的 6 個小三角形的面積都相等 均勻的三角板的重心就是它們的質量中心

127 附錄三 : 三角函數的基本概念 一 源起 在下圖中的 Δ ABC 為一個直角三角形, 其中 C 90 B B B B A C C C C 我們從下面兩個觀點來觀察直角三角形邊長與角度的關係 : 當銳角 A 的大小固定時, 無論將直角三角形畫的多大或多小 ( 如上圖 ), 由於 B C BC B C // BC, 所以這些直角三角形都相似, 即 // ΔABC ~ ΔAB C ~ ΔAB C ~ Δ AB C 由相似形的性質, 下列的六個比值都不會隨著三角形的大小而有所改變 : BC BC BC ; AB AB AB BC BC BC ; AC AC AC AB AB AB ; AC AC AC AC AC AC ; AB AB AB AC AC AC ; BC B C B C AB AB AB BC B C B C 如右圖, 將直角 ΔABC 置於坐標平面上, 其中以 A 當原點,C 在 x 軸的正向, 並且以 AB 為半徑畫圓 當 A 的大小改變時, B B B 斜邊等長的直角三角形的兩股長也隨著變動, 於是上面的六個比值也會隨著 A 的 A C C C 大小而改變

128 由上述 的討論可知, 這六個比值不因三角形的大小而改變, 但會隨著 A 的大小不同而改變 當 A 的大小確定時, 這些比值也跟隨著確定 ; 我們把這種角度與比值之間的函數對應關係, 稱為 三角函數 二 三角函數的定義 如右圖, Δ ABC 為一個直角三角形, 其中 C 90 令 A 的對邊 BC a A 的鄰邊 AC b 和斜邊 AB c 現在將前面所提到的六個比值分別定義成下列的六個函數 : A A A A的對邊的正弦函數 斜邊 a c A的對邊 a 的正切函數 A的鄰邊 b 斜邊 c 的正割函數 A的鄰邊 b ; A ; A ; A A A的鄰邊 b 的餘弦函數 ; 斜邊 c A的鄰邊 b 的餘切函數 ; A的對邊 a 斜邊 c 的餘割函數 A的對邊 a c b B a C 為了方便, 我們將這六個函數分別簡記如下 : A 的正弦函數 sin A ; A 的餘弦函數 cos A; A 的正切函數 tan A ; A 的餘切函數 cot A; A 的正割函數 sec A; A 的餘割函數 csc A, 其中 sin cos tan cot sec 和 csc 分別為 sine cosine tangent cotangent secant 和 cosecant 的簡寫 範例 已知 Δ ABC 為一個直角三角形, 其中 C 90, A 為較大的銳角, 兩股長分別為 5 求 A 的六個三角函數值 解 AC 5 BC ( 大角對大邊 ) B 斜邊長 AB AC + BC A的對邊 BC sin A ; 斜邊 AB A的鄰邊 AC 5 cos A ; 斜邊 AB A的對邊 BC tan A ; A的鄰邊 AC 5 A的鄰邊 AC 5 cot A ; A的對邊 BC A 5 C

129 斜邊 AB sec A ; A的鄰邊 AC 5 斜邊 AB csc A A的對邊 BC 類題練習 已知 Δ ABC 為直角三角形, 其中 C 90 AC 和 AB 5 寫出的 六個三角函數在 B 的值 範例 已知 Δ ABC 為直角三角形, 其中 C 90 A 0 回答下列問題: () 求 tan A cot B sec A和 csc B 的值 () 求 (sin A ) + (cos A) 的值 () 求 (sin B ) + (cos B) 的值 解 如右圖, 直角三角形三邊長的比為 AC : BC : AB :: () A的對邊 BC tan A ; A的鄰邊 AC B的鄰邊 BC cot B ; B的對邊 AC 斜邊 AB sec A ; A的鄰邊 AC 斜邊 AB csc B B的對邊 AC BC AC () (sin A ) + (cos A) ( ) + ( ) ( ) + ( ) + AB AB 4 4 A 0 B C AC BC () (sin B ) + (cos B) ( ) + ( ) ( ) + ( ) + AB AB 4 4 上題中, 因為 A 0, 我們常將 sina 直接寫成 sin 0, 也就是說, sin 0 就是 0 角的正弦函數值 又為了方便書寫, 常將 (sin A) 寫成 sin A (cos A) 寫成 cos A 範例 分別求出 45 角的六個三角函數值 解 如右圖, 直角三角形三邊長的比例為 AC : BC : AB :: 4

130 所以 A的對邊 BC sin 45 斜邊 AB ; A的鄰邊 AC cos 45 ; 斜邊 AB A的對邊 BC tan 45 ; A的鄰邊 AC A的鄰邊 AC cot 45 ; A的對邊 BC 斜邊 AB sec 45 A的鄰邊 AC 斜邊 AB csc 45 A的對邊 BC 類題練習 完成下表: ; A sina cosa tana cota seca csca sin A cos A 範例 4 已知 Δ ABC 為直角三角形, 其中 C 90 cot A 求 + 的值 cot A tan A 解 4 因為 cot A, 所以 BC : AC : 4 因此, AC : BC : AB 4:: 5 所以 A的對邊 BC sin A ; 斜邊 AB 5 A的鄰邊 AC 4 cos A ; 斜邊 AB 5 A的對邊 BC tan A A的鄰邊 AC 4 A A sin cot cos + tan A A 類題練習 已知直角 ΔABC 中, 動動腦 設 Δ ABC 為直角三角形, 其中 C A sin A 為銳角且 sec A, 求 8 tan A A 7 5 B C cos A + 的值 cot A 以下各題將引導你發現六個三角 函數彼此之間的關係 : 5

131 BC AB. 例如 : sin A csc A csc A 或 A AB BC sin A csc A sin 我們稱 sin 與 csc 兩函數具有倒數關係, 請找出其它的倒數關係 A的對邊 BC B的鄰邊. 例如 : sin A cos B 斜邊 AB 斜邊因為 A + B 90, 我們稱 sin 與 cos 兩函數具有互餘關係, 請找出其它的互餘關係 BC sin A BC. 例如 : AB tan A cos A AC AC AB 我們稱上式的關係為商數關係, 請找出其它的商數關係 4. 例如 : 根據商高定理 a + b c, 將等號兩邊同除以 c 得到 a b ( ) + ( ) (sin A) + (cos A), 也就是 sin A + cos A c c 我們稱 sin 與 cos 兩函數具有平方關係, 請找出其它的平方關係 6

132 家庭作業. 已知 A 為銳角且 tan A, 求 A 的其它五個三角函數值. 求下列各式的值 : cos 0 sin 0 + cos 60 tan 45 + cot 60 tan 60 cot 0 sin 60 + cos0 + sin 60 cot 45 + sec0 tan 45 4 sec 60 tan 60 + cot 0 csc 0. 求 sin 80 cos80 tan 80 cot 80 sec80 csc80 的值 4. 在 Δ ABC 中, C 90 sin A 和 AB 0 試回答下列各題 : 5 求 BC 和 CA 的長 求 cos A cos B tan A 和 tan B 的值 AB 5. 在直角 Δ ABC 中, C 90 已知 BC CA, 求 tan A 的值 5 7

133 銜接教材簡答 - 類題練習 () 0x x 6 () 6x + 7xy y 類題練習 4x + y + 9z 4xy + 6yz zx 類題練習 () x 9y 6y () 4 4 x xy + y 家庭作業. + 4a b 6ab x + xy 5y 類題練習 () 類題練習 () 4 a + ab+ 9 b 4 4x 4xy+ y + x 6y a b bc c 4 6 a + 4a b + 6b 4 x 6x + x 6 x 5x x x x x x () 家庭作業. - 5 a b 8 6 () x 9xy 6y 6 () x + xy+ xy + y 64a 0a b+ 75a b x 6x x 8 x y b 8 8 b 8a 6a b+ 54ab 7b 4 8a x 類題練習 () 商式 x 5; 餘式 0 () 商式 x + ; 餘式 6 a 79 () 商式 x + x + x+ ; 餘式 0 (4) 商式 x 5; 餘式 5 7 家庭作業. 商式 x + ; 餘式 0 商式 x + 4 商式 x 4 商式 5 商式 x 6 商式. a, b + x + ; 餘式 x + 5x+ 7 ; 餘式 4 x + 5 ; 餘式 8x + 4 x + ; 餘式 ; 餘式 5 4

134 -. x 5x + 4x x 類題練習 () ( x + 5)( x + x+) () ( x ) ( x )( x+ ) 家庭作業. ab( a + b). ( )( ) a b+. ( a ) 4. (b )( a+ ) 5. ( y+ xz)( x yz) 6. (x )( ) x ( x )( x + x+ ) x( a b) ( x a b) + 9. ( ) x ( x+ )( x + x+ ) 0. - 類題練習 () (5x+ 7)( x ) () (9 x)(0 + x) 家庭作業. 5( x+ )( x ). ( ax + b) ( x ). (x y 5)( x y+ ) 4. (9x+ )( x 4) 5. 7( a 5 b)( a+ b) 6. (4x + )( x+ )( x ) 7. ( a+ b 6)( a+ b+) 8. ( x x )( x x+ ) - 9. ( x + 8 y)( x y) 類題練習 () ( x )( x x + + ) () ( a+ b)( a ab+ 4 b )( a b)( a + ab+ 4 b ) 類題練習 () ( a + ab+ b )( a ab+ b ) () (x + x+ )(x x+ ) 類題練習 () ( )( x + y x xy+ y ) () ( x + 4x+ 8)( x 4x+ 8) () ( x+ 4+ 7)( x+ 4 7) 家庭作業. ( x+ )( x ). (7 + a )( 5 a ). 4 ( x + a b) 4. ( x y)( x xy 4 y ) ( x )( x + 4x+ ) 6. (5a + a+ )(5a a+ ) 7. ( a+ b) ( a b) 8. ( x + y z)( x y+ z) 9. ( ab a b)( ab + a + b) 9

135 0. (5x )(5x + 0x+ 4) - 類題練習 () 0 () () 5 (4) 6 類題練習 () 6 () 6 5 () (4) 類題練習 () 6 () () 類題練習 4 () () 類題練習 5 () () 類題練習 6 ( + ) 想想看 因為 a+ b ab 0 類題練習 7 () + () 0 類題練習 家庭作業 ( ) + ( 7 + 6) - 7 ( 7 + )

136 類題練習 () 5 () 8 類題練習 () 類題練習 () 類題練習 4 () (4) 5 () 0 () () 類題練習 5 () () 家庭作業 類題練習 x, ± ± 4 類題練習 () x () x 8 ± ± 4 類題練習 () x () x 8 ± 類題練習 4 x ± 0 類題練習 5 x,, 家庭作業. x, x 6, x ± 6. a, 另一根為. c 4 x 5± 5 p, q 4 x ± x 6,,4 5 x

137 公斤 類題練習 4 家庭作業. 相異實根 無實根 相等實根. 相異實根. k,48 4. 無實根 4- 類題練習. () 4 () 9 () 4 (4). 家庭作業. x. 6, x x + 8x 類題練習 (), () 49 5 類題練習 () 4,5 () 5,, 動動腦 不是 家庭作業 , 5 4.,, 5- 類題練習 y 類題練習 y x x 家庭作業.. 5-

138 類題練習 邊長 50 公尺的正方形, 面積 500 平方公尺 類題練習 () 0, 0, 平方和 00 () 0, 0, 積 00 家庭作業. 邊長 75m, 面積 565 m. 5, 5, 平方和 , 5, 積 5 類題練習 () (,) () (, ) 類題練習 類題練習 類題練習 4 開口由大至小依序如右: y x, y x, y x 類題練習 5 () 下, 類題練習 6 頂點 (0,) () (0, ) 類題練習 7 () 右, () 左, 類題練習 8 家庭作業.. 頂點 (,), 最大值. 頂點 (, ), 最小值 起跳後秒時, 達到最高點位置 : 高為呎的地方