中華民國第49屆中小學科學展覽會

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誉漆
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1 中華民國第 50 屆中小學科學展覽會 R 作品說明書國小組數學科佳作揭開數的神秘面紗不同數字組合及其運算關係學校名稱 : 國立東華大學附設實驗國民小學作者 : 指導老師 : 小六鍾沂廷小六蕭亦廷李瑜霏陳貞泰小六石慧醫小六張弘軒小六王元聖關鍵詞 : 數字根同價數字根帶分數 ( 整數 + 假分數 )

2 摘要本作品是以 ~9 的 9 個數字為主軸, 藉由數數字和與數字根之間的關係, 探討不重覆使用 ~9 的九個數字, 把它們分成不同的幾組數, 使其中的一組數會等於其它組數相加相減相乘相除的結果等趣題壹研究動機為了準備一年一度的數學競賽, 在寒假中, 我翻遍了家裡的數學參考書及一些趣味數學, 甚至到圖書館借了數學推理遊戲叢書回家研讀書中有一個問題是 : 不重複使用 ~9 九個數字, 應如何分成八組, 才能使其中七組數字各自拼成的數相加的和等於第八組數字所拼成的數? 答案共有幾組? 我試著一一拼湊, 最後發現答案只有一組, 是 : 在過程中, 我想 : 這個有趣的問題是否可以拓展成更一般性的問題? 例如 : 把問題改成 : 不重複使用 ~9 的九個數字, 應如何分成七組六組五組四組三組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他組數字各自拼成的數之和? 那麼答案應該不只有一種, 有沒有什麼方法可以系統性的找到所有的答案呢? 於是引起我的興趣, 便邀集幾位同學一起來探究貳研究目的與研究問題我們想要利用數字和與數字根的關係, 在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 探討如何將這九個數字分組, 才能使得各組數字之間存在某種運算關係, 例如 : 和差積商整數比值等因此, 我們的研究問題如下 : 一在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成七組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他六組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 二在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成六組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他五組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 三在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成五組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他四組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 四在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成四組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他三組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 五在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成三組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他二組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 六在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成三組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他二組數字所拼成的數之差? 這樣的情形共有幾種? 其最大的差與最小的差各是多少? 七在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成三組, 才能使得其中一

3 組數字所拼成的數恰為其他二組數字所拼成的數之積? 這樣的情形共有幾種? 其最大的積與最小的積各是多少? 八在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成三組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他二組數字所拼成的數之商? 這樣的情形共有幾種? 其最大的商與最小的商各是多少? 九在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成二組, 才能使得這二組數字所拼成的數的比值恰為? 十在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字表示成值為 00 的帶分數? 這樣的情形共有幾種? 帶分數中最大的整數與最小的整數各是多少? 參名詞解釋一數字根 : 任一正整數 A, 若 A 9 所得的餘數為 r, 即稱 r 為 A 的數字根 ; 若餘數為 0 時, 我們定義數字根為 9 二同價數字根 : 若一正整數 A 之數字根為 q, 則對任意數字和為 9 n + q 的正整數 B, 其中 n 為非負整數, 就稱正整數 B 與正整數 A 具有同價數字根三 P n m 表示從 n 個不同的事物中取 m 個排列的方法數, 其中 P n n ( n ) ( n ) L ( n m + ), 此外, 我們將 n ( n ) ( n ) L 記成 n!, 讀做 m n 階乘共有 m 項連乘四 C n m 表示從 n 個不同的事物中取 m 個組合的方法數, 其中 n ( n ) ( n ) L ( n m + ) 共有 m項連乘 C n m m ( m ) ( m ) L 肆設備及器材共有 m項連乘本研究所使用的設備及器材為計算器紙筆紙牌撲克牌伍研究方法為了找出數字與數字根之間的關係與規律性, 我們做了一些加乘的運算, 並在每個數標示 [ 數字和 ] 與 ( 數字根 ) 5 [0] () [6] (7) 7 6 [6] (7) 9 [9] (9) [0] () [5] (6) [7] (8) [6] (8) [] () 5 6 [] (4) [9] () 4 0 [9] (9) 結果我們果然發現了以下的規律與性質 : 原理 : 一正整數 A 的數字和 R 與此正整數 A 的數字根 q 之間的關係為 :R9p+q, 其中 p 為非負整數, q 9, 且 q 為整數

4 性質 :. 兩個正整數和的數字根兩個正整數數字和的和的數字根兩個正整數數字根之和的數字根. 兩個正整數乘積的數字根兩個正整數數字和乘積的數字根兩個正整數數字根乘積的數字根 [ 証 ]:( 見附件 ) 例如 : [6](8) [6](7) [4](5) [4](5) [4](8) 陸研究過程與結果討論一在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成七組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他六組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 由於要分成前六組數與和的七組數, 且包含 ~9 的九個數字, 並使前六組數字各自拼成的數加起來的和等於第七組數字所拼成的數而將 ~9 的九個數字分成七組的前六組數, 與和的型態中, 可能成立的只有一位數一位數一位數一位數一位數兩位數與兩位數的類型, 即 : ( a + b + c + d + e + fg hi ) 而其總和的二位數必為數字根為 9 的 , 等 8 個二位數 ; 但由於前六組數的個位數字之和為 f6- f, 且 f 6,7,8,9; 否則 a + b + c + d + e + fg >8 而不合故 f6- f 5, 即 h 比 f 大因此可得 : () () () (4) 又因上述 4 種情形中, 當個位數字位置固定時, 十位數字的排列方法共有 P 6 種, 都不會影響其總和合計可得種可以成立的情形, 而其總和最大為 8, 最小為 45 二在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成六組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他五組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 由於要分成前五組數與和的六組數, 且包含 ~9 的九個數字, 並使前五組數字各自拼成的數加起來的和等於第六組數字所拼成的數而將 ~9 的九個數字分成六組的前五

5 組數與和的型態中, 可能成立的只有 : (i) 一位數一位數一位數二位數二位數與二位數及 (ii) 一位數一位數一位數一位數二位數與三位數兩種類型 (i) 一位數一位數一位數二位數二位數與二位數的類型, 即 : a + b + c + de + fg hi 由 [ 過程一 ] 所得的結論中, 知 hi 的數字根必為 9: hi , 等 8 個二位數, 扣除不可能成立的等五個二位數後, 可得 : () 4 () 4 () 又因上述種情形中, 當個位數字位置固定時, 二個十位數字的排列方法共有 5 P 種, 都不會影響其總和, 且 ~9 的九個數字都只用了一次因此符合 a + b + c + de + fg + hi, 且 h + i 的數字和為 9 者, 計有 0 60 種我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前五組數字各自拼成的數加起來符合 a + b + c + de + fg hi 的計有 60 組其總和最大為 8, 最小為 6 (ii) 一位數一位數一位數一位數二位數與三位數的類型, 即 : ( a + b + c + d + ef ghi ) 由於 a + b + c + d + ef 的數字和最大為皆小於 ~9 的九個數字中所組成的最小三位數, 故此種類型不可能成立綜合以上論述, 我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前五組數字各自拼成的數加起來的和等於第六組數字所拼成的數, 共計 60 組, 其和最大為 8, 最小為 6 三在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成五組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他四組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 由於要分成前四組數與和的五組數, 且包含 ~9 的九個數字, 並使前四組數字各自拼成的數加起來的和等於第五組數字所拼成的數而將 ~9 的九個數字分成五組的前四組數與和的型態中, 可能成立的只有 :(i) 一位數一位數二位數二位數與三位數及 4

6 (ii) 一位數一位數一位數三位數與三位數兩種類型 (i) 一位數一位數二位數二位數與三位數的類型, 即 : ( a + b + c d + ef ghi ) 由 [ 過程一 ] 所得的結論中, 知 (a) ghi 的數字和為 9 時 : ghi 的數字和必為 9 或 8, 且數字根為 9 ghi 6,6,6,6, 6,6,5,5,5,5,5,5,4,4,4,4,4,4 等 8 個三位數, 然而, 對 6,6,6,6,6,6 等 6 個三位數而言, 扣除 6 三個數字後, 剩餘的數字中所能組成的一位數 + 一位數 + 二位數 + 二位數的和, 最大為 , 而最小為 , 因此 6,6,6,6 等 4 個三位數皆不合同理,5,5,5,5,4,4,4,4,4,4 亦不合因此我們只需討論總和為 6,6,5,5 等 4 個三位數即可可得 : 又因上述 6 種情形中, 當個位數字位置固定時, 二個十位數字的排列方法共有 4 P 4 種, 都不會影響其總和, 且 ~9 的九個數字都只用了一次因此符合 a + b + c d + ef ghi () 8 () () 6 種 (b) ghi 的數字和為 8 時 : (4) (5) (6) , 且 g+h+i 的數字和為 9 者, 計有 6 7 ghi 98,97,96,954,945,96,97,98,89,87,864,846,87,89,79,78,765,756,7 8,79,69,684,675,657,648,69,594,576,567,549,495,486,468,459,96,87,78,69,97, 79,98,89 等 4 個三位數, 然而在 ~9 九個數字中所能組成的一位數 + 一位數 + 二位數 + 二位數的和最大為皆小於上述所列舉的 4 個三位數中的前 4 5

7 個, 又 89 經驗證後亦不合, 故不存在符合 a + b + c d + ef ghi g+h+i 的數字和為 8 的三位數我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前四組數字各自拼成的數加起來符合 a + b + c d + ef ghi 計有 7 種, 其總和最大為 6, 最小為 6 (ii) 一位數一位數一位數三位數與三位數的類型, 即 : ( a + b + c + d ef ghi ) 且由於 ghi 的 g 必比 d ef 的 d 大所以, (a) ghi 的數字和為 9 時, 我們只需討論 ghi 6,6,5,5, 5,5, 4,4 等 8 個三位數, 可得 : 又因上述種情形中, 當個位數字位置固定時, 十位數字及百位數字這組數的 4 排列方法共有 P 4 種, 都不會影響其總和, 且 ~9 的九個數字都只用了一次, 因此符合 a + b + c + d ef ghi 種 (b) ghi 的數字和為 8 時, 我們只需討論 :, 且 ghi 數字和為 9 者, 計有 4 ghi 97,96,954,945,96,97,89,864,846,89,79,78,78,79,69,684,648,69,57 6,567,495,486,468,459,96,87,978,69,97,79 等 0 個三位數, 但由於 ghi 00(g-)+00+ hi, 而在上列的 0 個三位數中, 扣除 d(g-) 的數字後, () 4 () 6 () 所餘數字組合成 a + b + c + ef 最大數為皆會小於上列 0 個三位數的 00+ hi ; 故不存在符合 a + b + c + d ef ghi g+h+i 的數字和為 8 者的三位數我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前四組數字各自拼成的數加起來符合且 6

8 a + b + c + d ef ghi 計有種其總和最大為 6, 最小為 5 綜合以上論述, 我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前四組數字各自拼成的數加起來的和等於第五組數字所拼成的數, 計有 84 種, 其總和最大為 6, 最小為 6 四在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成四組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他三組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 由於要分成前三組數與和的四組數, 且包含 ~9 的九個數字, 並使前三組數字各自拼成的數加起來的和等於第四組數字所拼成的數而將 ~9 的九個數字分成四組的前三組數與和的型態中, 可能成立的只有 : (i) 一位數二位數三位數與三位數及 (ii) 二位數二位數二位數與三位數兩種類型 (i) 一位數二位數三位數與三位數的類型, 即 : a + b c + def ghi 由 [ 過程一 ] 所得的結論中, 知 (a) ghi 的數字和為 9 時 : ghi 的數字和必為 9 或 8, 且數字根為 9 ghi 6,6,6,6,6,6,5,5,5,5,5,5,4,4,4,4,4,4 等 8 個三位數, 然其中對 6,6,6,6,5,5 等 6 個數必小於另三組數之和而不合又所餘的個數中的 g 必比 d 大, 剔除 4,4,4,4 等 4 個數, 依此原理再搭配 a+c+f 和的個位數字等於 i 的數字的觀念可得 : 又因上述 7 種情形中, 當個位數字位置固定時, 二個十位數字的排列方法共有 P 6, 而當十位數字固定時, 百位數字的排列方法共有 P 種, 都不會影響其總和, 且 ~9 的九個數字都只用了一次因此符合 a + b c + def ghi, 且 g+h+i 的數字和為 9 者, 合計共有 () 4 () 6 () (4) 9 (5) 7 (6) 6 (7) ( 6 ) 種不同的組合方式 (b) ghi 的數字和為 8 時 : 7

9 ghi 98,97,96,954,945,96,97,98,89,87,864,846,87,89,79,78,765,756,7 8,79,69,684,675,657,648,69,594,576,567,549,495,486,468,459,96,87,78,69,97, 79,98,89 等 4 個三位數, 然其中 89, 98 等兩個數必小於另三組數的和而不合又所餘的 40 個數中的 g 必比 d 大, 剔除等 9 個數, 依此原理再搭配 a+c+f 和的個位數字等於 i 的數字的觀念可得 : () () () (4) (5) (6) (7) 又因上述 7 種情形中, 當個位數字位置固定時, 二個十位數字的排列方法共有 P 6, 而當十位數字固定時, 百位數字的排列方法共有 P 種, 都不會影響其總和, 且 ~9 的九個數字都只用了一次因此符合 a + b c + def ghi, 且 g+h+i 的數字和為 8 者, 計有 ( 6 ) 種我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前三組數字各自拼成的數加起來的和等於第四組數字所拼成的數, 計有 68 組, 其和最大為 846, 最小為 4 (ii) 二位數二位數二位數與三位數的類型, 即 : a b + cd + ef ghi 由於二位數 + 二位數 + 二位數中, 最大為 , 因此在 : (a) ghi 的數字和為 9 時, 我們只需討論 : ghi 6,6,6,5,5,4,4 等 7 個三位數, 可得 : () 6 () 6 () 5 (4)

10 又因上述 8 種情形中, 當個位數字位置固定時, 三個十位數字排列方法共有 P 6 種, 都不會影響其總和, 且 ~9 的九個數字都只用了一次因此符合 a b + cd + ef ghi, 且 g+h+i 的數字和為 9 者, 計有種 (b) ghi 的數字和為 8 時, 我們只需討論 : ghi 98,89, 等個三位數, 可得 : 又因上述每一種情形中, 當個位數字位置固定時, 三個十位數字排列方法共有 P 6 種, 都不會影響其總和, 且 ~9 的九個數字都只用了一次因此符合 a b + cd + ef ghi, 且 g+h+i 的數字和為 8 者, 計有 6 6 種 (5) 4 (6) 5 (7) 8 (8) 我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前三組數字各自拼成的數加起來的和等於第四組數字所拼成的數, 共計有 54 組, 其和最大為 4, 最小為 5 綜合以上論述, 我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前三組數字各自拼成的數加起來的和等於第四組數字所拼成的數, 共計種, 其和最大為 846, 最小為 5 五在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成三組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他二組數字所拼成的數之和? 這樣的情形共有幾種? 其最大的和與最小的和各是多少? 由於要分成被加數加數與和的三組數, 且包含 ~9 的九個數字, 並使前兩組數字各自拼成的數加起來的和等於第三組數字所拼成的數而將 ~9 的九個數字分成三組的被加數加數與和的型態中, 可能成立的只有 : (i) 一位數 (ii) 二位數三位數及 (iii) 三位數三位數三位數三種類型 (i) 一位數的類型, 即 :( a + bcde fghi ) 由於 ( 被加數 ) 一位數的數字為 ~9 的九個數字中的任一個數, 且和與加數皆為, 所以顯然地和 ( )- 加數 ( ) 9, 所以在 ~9 的九個數字中必有其中八個作為和與加數的數字, 又和的千位數比加數的千位數大, 且加數的後三位數在剩餘數字中拼成最大數, 而和的後三位數在剩餘數字中拼成最小數, 如此, 才可找到和與加數的差為最小, 例如 : > 一位數, 因此在一位數的類型必然無法成立 (ii) 二位數三位數的類型, 即 :( a b + cde fghi )

11 由於為 ~9 的九個數字中能組成最大的三位數為 987( 即 cde 時能組成最大的二位數為 65( 即 a b () 6 7 () 6 () (4) (5) 6 8 (6) (7) 7 8 (8) 6 8 (9) (0) 8 6 () 4 6 () ), 而剩餘數字中此 ), , 最後所剩餘的四個數字中能組成最小的為 4, 但 4>05 亦即二位數三位數中, 二位數 + 三位數必不可能等於, 故二位數三位數的類型也無法成立 (iii) 三位數三位數三位數的類型, 即 :( a bc + def ghi ) 9 如果, 我們以三位數 + 三位數三位數而一一計算, 那總計產生 C C 6 C 680 種三位數, 再由 680 種三位數中, 任取兩種做加法運算, 所以總計需做 C 4060 次的加法運算後, 再逐一審查, 方可找出有幾組可適合三位數 + 三位數三位數天啊! 這是何其浩大繁複無趣的工作! 有無較簡化的方法呢? 依據性質, 我們得知 : 兩整數和的數字根兩整數數字根之和, 由於 ~9 的九個數字中能組成最大的三位數為 987, 而 987 的數字和為 4, 數字根為 6; 能組成最小的數為, 而的數字和為 6, 其數字根亦為 6, 又 ~9 的九個數字和為 45, 而 45-4, 而數字和的數字根為, 故三位被加數 + 三位加數 987 不成立同理 : 我們列出表格 ( 附件二 ), 來尋找可能成立的總和依照表格 ( 附件二 ), 可能成立的有 [A] ( 表 A 數的數字和 )9 或 8, 而 [A]9 時的三位數, 有等 8 個三位數, 但此 8 個三位數皆不等於另三組三位數之和,(Q 所剩數字中, 取最小的兩個作為被加數與加數的百位數, 其和就大於總和的百位數 ), 因此我們只需討論 [A]8 的狀況 ( 見附件三 ) 總計符合 [A]8 者, 計有種情形, 但在總和為 96,87,78,69,97,79,98,89 等八種情形都會小於剩餘的數字作為被加數與加數的總和, 因此剩下的只有 4 種型態以下我們就以有可能成立的 4 種型態, 逐一運算驗證, 剔除無法組合出適宜的被加數與加數者 ( 例如 : 和為 765 與 756), 可得 4 種只允許每個數字出現一次三位數的被加數 ( 即 a bc )+ 三位數的加數 ( 即 def ( 即 ghi ) 可以成立的情形 : ) 三位數的和

12 () (4) (5) 7 (6) 9 (7) 5 9 (8) (9) (0) 5 4 () 5 () 8 () 5 9 (4) (5) 9 (6) (7) 8 (8) 8 4 (9) 4 8 (0) () () 8 () 8 4 (4) 4 8 (5) 4 8 (6) (7) 6 8 (8) 5 9 (9) 7 5 (40) 8 6 (4) 5 7 (4) 又因上述 4 種情形中, 二個個位數字排列的方法有 P 種, 當個位數字固定時, 二個十位數字排列的方法有 P, 而當個位數字及十位數字固定時, 二個百位數字排列的方法也有 P 種, 都不會影響其總和, 且 ~9 的九個數字都只用了一次, 每種情形共有 8 種不同的排列因此符合三位數的被加數 ( 即 a bc )+ 三位數的加數 ( 即 def ) 三位數的和 ( 即 ghi 的情形總計有 8 46 種綜合以上論述, 我們得知 : 包含 ~9 的九個數字, 使前兩組數字各自拼成的數加起來的和等於第三組數字所拼成的數, 計有 6 組, 其和最大者為 98, 最小為 459 六在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成三組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他二組數字所拼成的數之差? 這樣的情形共有幾種? 其最大的差與最小的差各是多少? 由於減法是加法的逆運算, 所以加法中有幾組成立, 減法也就有幾組成立, 因此減法仍有 6 組的包含 ~9 的九個數字, 並使前兩組數字各自拼成的數字減起來的差等於第三組數字所拼成的數字, 在觀察加法運算中所列出的直式運算, 我們得知 : 最小差為 4, 最大差為 784 七在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成三組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他二組數字所拼成的數之積? 這樣的情形共 )

13 大的積與最小的積各是多少? 由於要分成被乘數乘數與積的三組數, 且包含 ~9 的九個數字, 並使前兩組數字各自拼成的數乘起來的積等於第三組數字所拼成的數而將 ~9 的九個數字分成三組的被乘數乘數積的型態中, 根據被乘數 44 乘數積的理論, 在被乘數 44 乘數積可能成立的類型有 : u 位數 v 位數 ( u+ v) 或 ( u+ v-) 位數 u 位數 v 位數 ( u+ v) 或 ( u+ v-) 位數 ( 一 ) 一位數 ( 簡稱一四四類 ) ( 二 ) 二位數三位數 ( 簡稱二三四類 ) 等二類型由於被乘數數字與乘數數字及乘積數字的和是 45, 其數字根是 9 如果我們把這九個數字任意地分成三組, 那麼這三組數字根之和將也是 9 又根據性質 : 被乘數數字根乘數數字根積的數字根我們可將其數字根組合的情形分成 : () 4 4 型 () 6 8 型 ( 即 6 9 型 ) () 4 4 型 (4) 6 8 型 ( 即 6 9 型 ) (5) 型 ( 即型 ) 等五種, 但在 -6-8 型與 6--8 型中的乘積數字根 8, 及型中的乘積數字根 8, 其本身數字根還是 9 ( 一 ) 一位數 ( 簡稱一四四類 ) 即 r stuv wxyz, 其數字根型為 : ()-4-4 型 :( stuv wxyz ) 由於一位數的數字即為一位數的數字根, 此一位數即為, 故 stuv wxyz, 但 stuv wxyz, 所以不成立 ()-6-8 型 ( 即 -6-9 型 ):( stuv wxyz ) 由於一位數的數字即為一位數的數字根, 此一位數即為又乘數的數字根為 6, 而數字和可為 (6 與不合 ), 因在 ~9 數字中扣除的數字後有等數字, 其數字和最小為 , 最大為 , 故數字根為 6, 而數字和應為 5 與 4 (i) 數字和為 5 的 stuv 之數字可為 : (a) 4 8: 但 v, 4, 8; 則有 stuv 48, 84,48, 48,84, 84, 經驗證後皆不合有幾種? 其最 (b) 5 7: 但 v, 7, 且 v 也 5,Q 若 v 5, 則乘積的個位數 ( 即 z) 必

14 為 5 或 0, 與題意不合, 因而有 stuv 57,75,57,57,75, 75, 經驗證後皆不合 (ii) 數字和為 4 的 stuv 之數字可為 : (a) 時 : 但 v, 6, 而有 stuv 689,698,869,968,689,698,689,698,869,869,968, 968, 經驗證後皆不合 (b) 時 : 但 v 5, 而有 stuv 589,598,859,958,589,598,589,985,589,598, 598, 859,859,859,895,958,958,958, 經驗證後皆不合 (c) 時 : 但 v,9, 而有 stuv 796,976,976,976,796,796,697,967,967,967,697, 697, 經驗證後皆不合 (d) 時 : 但 v 5, 而有 stuv 4569,4596,4659,4956,5469,5496,5649,5694,5946,5964,6459, 6549, 6594,6954,9456,9546,9564,9654, 經驗證後皆不合 (e) 時 : 但 v 5,8, 而有 stuv 4587,4857,5487,5784,5847,5874,7584,7854,8457,8547,8574, 8754, 經驗證後皆不合故 -6-8 型 ( 即 -6-9 型 ) 不存在 ()4--4 型 :( 4 stuv wxyz ) 由於一位數的數字即為一位數的數字根, 此一位數即為 4 又乘數的數字根為, 而數字和可為 ( 0 與 7 不合 ), 因在 ~9 數字中, 扣除 4 的數字後有等數字, 而其數字和最小為 , 最大為 , 故數字根為, 而數字和應為 9 8 (i) 數字和為 9 的 stuv 之數字可為 : (a) 7 9 時 : 但 v, 則 stuv 有 8 種組合, 經驗證後皆不合 (b) 6 9 時 : 但 v,6,9, 則 stuv 有 6 了外, 皆不合所求種組合, 經驗證後, 除

15 (c) 7 8 時 : 但 v,7, 則 stuv 有了外, 皆不合所求 (d) 時 : 但 v,5,6, 則 stuv 有 6 不合 (e) 5 9 時 : 但 v,5, 則 stuv 有不合 (f) 6 8 時 : 但 v,,6,8, 故 stuv 不成立 (ii) 數字和為 8 的 stuv 之數字可為 : 種組合, 經驗證後, 除種組合, 經驗證後, 皆種組合, 經驗證後, 皆 : 但 v 5,6,9, 則有 stuv 有 6 組合, 經驗證後皆不合故 4--4 型中有與合於所求 (4)6--8 型 ( 即 6--9 型 ):( 6 stuv wxyz ) 由於一位數的數字即為一位數的數字根, 此一位數即為 6 又乘數的數字根為的數字和可為 0( 與 0 不合 ), 因在 ~9 數字中, 扣除 6 的數字後有等數字, 而其數字和最小為 , 最大為 , 故乘數的數字根為, 而數字和應為 (i) 乘數數字和為的 stuv 之數字可為 : 4 5: 但 v,,4,5, 故 stuv 不存在 (ii) 乘數數字和為的 stuv 之數字可為 : (a) 8 9 時 : 但 v,,8, 則 stuv 有 6 種組合, 經驗證後, 皆不合 (b) 時 : 但 v,4,9, 則 stuv 有 6 種組合, 經驗證後, 皆不合 (c) 7 9 時 : 但 v,7, 則 stuv 有種組合, 經驗證後, 皆不合 (d) 時 : 但 v,4,7,8, 故 stuv 不存在 4

16 (e) 時 : 但 v 4,5,9, 則 stuv 有 6 不合故 6--8 型 ( 即 6--9 型 ) 不存在 (5)9-9-8 型 ( 即型 ):( 9 stuv wxyz ) 種組合, 經驗證後, 皆由於一位數的數字即為一位數的數字根, 此一位數即為 9 又乘數的數字根為 9 的數字和可為 (9 7 6 與 45 皆不合 ), 因在 ~9 數字中扣除 9 的數字後有等數字, 而其數字和最小為 , 最大為 , 故乘數數字根為 9, 而數字和應為 8 數字和為 8 的 stuv 之數字可為 : (a) 7 8 時 : 但 v,,8, 則 stuv 有 6 種組合, 經驗證後, 皆不合 (b) 6 8 時 : 但 v, 則 stuv 有 8 種組合, 經驗證後, 皆不合 (c) 時 : 但 v,5, 則 stuv 有種組合, 經驗證後, 皆不合 (d) 5 8 時 : 但 v,5,8, 則 stuv 有 6 不合 (e) 6 7 時 : 但 v,7, 則 stuv 有不合種組合, 經驗證後, 皆種組合, 經驗證後, 皆 (f) 時 : 但 v 5, 則 stuv 有 8 種組合, 經驗證後, 皆不合故在型 ( 即型 ) 皆不存在綜合以上論述, 我們得知 : 在一位數 ( 簡稱一四四類 ) 中, 只有與兩種合於所求 ( 二 ) 二位數三位數 ( 簡稱二三四類 ) 即 rs tuv wxyz, 其數字根型為 : ()-4-4 型 : 由於兩位整數的數字根為, 其數字和為 , 但因被乘數是二位數, 其數字和最小為 +, 最大為 8+97, 故被乘數 ( 即 rs ) 數字和應為 0, 數字和 5

17 是 0 的二位數有 : 等組合又乘數是三位數的數字根為 4, 而數字和是 4, 但因乘數是三位數的數字和最小為 ++6, 最大為 , 故乘數是三位數的數字和應為 (i) 數字和為的 tuv 之數字可為 : (a),,9(b),4,8(c),5,7(d),,8(e),4,7(f),5,6(g),4,6 而 rs tuv wxyz 的運算中, 例如 9 tuv 之數字, 剔除有數字重複的 (a),,9(b),4,8(c),5,7 及 (d),,8 所拼成三位數中的個位放置 8,(f),5,6 所拼成三位數中的個位放置 5,(g),4,6 所拼成三位數中的個位放置 4 6 的情形, 那麼剩下的三位乘數 tuv 有 8,8,56,56,56,65,46,64, 47,74,47, 47,74, 74等 4 組, 經驗證後皆不合於 rs tuv wxyz 的要求如 :9 8577( 數字重複 ) (ii) 數字和為時, 仿照 (i) 的討論過程, 結果皆不合於 rs tuv wxyz 的要求又被乘數為二位數的為也比照上述處理, 結果只有合於所求 ( 見附件四 ) ()-6-8 型 (-6-9 型 ): 亦仿照 -4-4 型處理, 成立的有 : 與等三組 ( 見附件五 ) ()4--4 型 : 亦仿照 -4-4 型處理, 但都不成立 ( 見附件六 ) (4)6--8 型 ( 即 6--9 型 ): 亦仿照 -4-4 型處理, 結果只有一組可以成立 ( 見附件七 ) (5)9-9-8 型 ( 即型 ): 亦仿照 -4-4 型處理後, 發現有與等兩組可以成立 ( 見附件八 ) 我們得知 : 在二位數三位數 ( 簡稱二三四類 ) 中, 計有 : (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 等七種合於所求綜合以上論述 : 包含 ~9 的九個數字中分為三組, 且使前兩組數字各自拼成的數乘起來的積等於第三組數字所拼成的數, 又因乘法運算具有交換律, 所以被乘數與乘數互換就有兩種組合, 計有 9 8 組, 其中乘積最大的為 785, 最小的為 496 八在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成三組, 才能使得其中一組數字所拼成的數恰為其他二組數字所拼成的數之商? 這樣的情形共有幾種? 其最大的商與最小的商各是多少? 由於除法是乘法的逆運算, 所以乘法中, 有幾組成立, 除法也就有幾組成立, 因此 6

18 除法中仍只有 9 8 組包含 ~9 的九個數字, 並使前兩組數字各自拼成的數除起來的商等於第三組數字所拼成的數 ; 在觀察乘法運算中所列出的算式裡, 我們得知 : 最小商為與的 4, 而最大商則為的 96 九在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字分成二組, 才能使得這二組數字所拼成的數的比值恰為? 由於 ~9 的九個數字各只一次出現於分子分母, 所以分子數字與分母數字總和必然是 45, 其數字根是 9 如果我們把這九個數字任意地分成兩組, 那麼兩組數字根的和也是 9 事實上, 這兩組數字根必定是 9-9 型 8- 型 7- 型 6- 型或 5-4 型, 而在 9-9 型的情況中, 實際上的和是 8, 但這個數本身的數字根還是 9 A B n [ A]( A) 我們設 ( n,, L,9), 因為分子 A 與分母 B 的數字根之和將總是 9, 又根據 [ B]( B) 性質 : 被乘數 (B) 的數字根乘數 (n) 的數字根乘積 (A) 的數字根的性質, 我們得知 : 是 9; 而和 9 情況中的解答必定是 9-9 型的, 也就是分子數字根與分母數字根都 5 和情況中的解答是 -6 型的, 而較大的數字根可以出現在分子上也可以出現在分母上 ( 即 6- 型 ), 例如 : 和, 其中前兩種分數中, 分子數字根與分母數字根分別是與 6, 而後兩種分別是 6 與而, 它的兩組數字根可以是 9-9 型 8- 型 7- 型 6- 型 5-4 型 4-5 型 -6 型 -7 型或 -8 型這九種類型中的任何一種我們把這些分數的分子看成是把分母分別乘以和 9 而得到的為了使乘積是一個五位數, 當然要在乘了位於最左邊數字後產生進位 ; 若不進位個位十位可通過互換數字位置的方法來產生不同的解答, 例如 : 與中的 6 9 與就互換了位置 ( Q 9 與 6 都不進位 ) 而在乘以都 5 9 必須進位, 在到的情況中, 就要逐一運算, 才可找出完整的解答現在, 我們就開始逐一找出 ( 一 ) : 由上述討論中, 我們得知 vwxyz 五位數 rstu 與 9 : 為 -6 型, 分母數字根為 6, 所以 r + s + t + u ( 其中 6 與不合 ),Q 數字和最小為 +++40, 最大為 (i) 若 r + s + t + u 5 時, 則 r,s,t,u 四數字為 : () 9,() 4 8() 5 7,(4) 4 7 7

19 (5) 5 6 時, 因 r 必大於 4 才能進位, 則 v 必為, 皆因導致數字的重複而不成立而至於 (6) r,s,t,u 四數字為 4 6;v,w,x,y,z 五數字為 , 此時 u,, 6, 然因 r 必等於 6, 才會進位, 但 ( 不合 ), ( 不合 ), 故 r + s + t + u 5 時, 皆不成立 (ii) 若 r + s + t + u 4時, 則 r,s,t,u 四數字為 : () 6 8 9, 因 r6,8,9, 則 v 必為, 故不成立 () 6 7 9;v,w,x,y,z 五數字為 4 5 8, 此時 r,(q 不進位 ) 或 u 6 必不成立, 故 rstu 679,697, ,697,697,769,769,769,796,967,967,967,976, 但驗證後有等六組可以成立也可以為 6- 型, 分母數字根為, 而其數字和為 r + s + t + u 0( 其中與不合 ), Q v, r + s + t + u 最小為 , 最大為 0 (i) 若 r + s + t + u 時, 則 r,s,t,u 四數字為 : () 4 6 9,() 4 7 8() 4 5 9,(4) (5) 經討論驗算後皆不成立但在 (6) 7 9 時, r,, 故 rstu 79,79, 79, 79,79,79,97,97,97,97,97, 97, 經驗證後有 : 等六組可以成立 (iii) 若 r + s + t + u 0 時, 則 r,s,t,u 四數字為 : , 但 u,r 8, 9, 而有 rstu , 經驗證後皆不成立所以在時, 計有 : 等種, 其中最小的一對數為 679 與 458, 最大的一對數為 97 與 8654 ( 二 ) : 由上述討論中, 我們得知為 9-9 型的,Q 0 r + s + t + u 0, r + s + t + u ( 其中 9 與 6 不合 ), Q u 5, 而 v 必等於或 (i) 若 r + s + t + u 8 時, 則 : () r,s,t,u 四數字為 4 9;v,w,x,y,z 五數字為 , 8

20 但 u 4, 故 rstu 有種, 經驗證後皆不成立 () r,s,t,u 四數字為 6 7;v,w,x,y,z 五數字為 , 但 u, 故 rstu 有 8 種, 經驗證後皆不成立 () r,s,t,u 四數字為 4 5 7;v,w,x,y,z 五數字為 6 8 9, 但 u 4 5, 故 rstu 有種, 經驗證後皆不成立 (4) r,s,t,u 四數字為 4 5 6;v,w,x,y,z 五數字為 7 8 9, 但 u 5, 故 rstu 有 8 種, 經驗證後皆不成立 (5) r,s,t,u 四數字為 5 8;v,w,x,y,z 五數字為 , 但 u 5, 故 rstu 有 8 種, 經驗證後, 只有與兩組可以成立 (ii) 若 r + s + t + u 7 時, 則 : () r,s,t,u 四數字為 7 8 9;v,w,x,y,z 五數字為 4 5 6, 但 u 9, 故 rstu 有種, 經驗證後皆不成立 () r,s,t,u 四數字為 ;v,w,x,y,z 五數字為 5 7, 但 u 6 8, 故 rstu 有種, 經驗證後皆不成立 ()r,s,t,u 四數為 ;v,w,x,y,z 五數字為 4 8, 但 u 5 9, 故 rstu 有種, 經驗證後皆不成立故 r + s + t + u 7 皆不成立所以在時計有等兩種, 而最小的一對數為 58 與 7469, 最大的一對數為 58 與 ( 三 ) : 仿照的討論方式 ( 見附件九 ), 得到可以成立的 9-9 型有 , 即等四種, 而最小的一對數為 94 與 5768 最大的一對數為 7956 與 ( 四 ) 5 : 9

21 仿照的討論方式 ( 見附件十 ), 得到可以成立的 -6 型, 有等六組也得到可以成立的 6- 型有等六組所以在時, 計有與等種, 而最小的一對數為 697 與 485, 最大的一對數為 97 與 4865 ( 五 ) 6 : 仿照的討論方式 ( 見附件十一 ), 得到可以成立的 9-9 型有 , 即等三種, 而最小的一對數為 94 與 7658, 最大的一對數為 5697 與 48 ( 六 ) 7 : 仿照的討論方式 ( 見附件十二 ), 得到可以成立的 9-9 型有 , 即等七種, 而最小的一對數為 94 與 6758, 最大的一對數為 764 與 598 ( 七 ) 8 : 8 由上述討論中, 我們得知可為 9-9 型 -8 型 -7 型 -6 型 4-5 型 5-4 型 6- 型 7- 型 8- 型, 仿照各型上述方法操作 ( 見附件十三 ), 而得 : 9-9 型 : 有 , 即等四種型 : 有 , 即 ,,,,,, 等七種

22 -7 型 : 有 , 即 ,,,,, 等六種型 : 有 , 即 ,,, 等四種型 : 有 , 即,,,, 等五種型 : 有 , 即 ,,, 等四種型 : 有 , 即 ,,, 等四種型 : 有 , 即,,,, 等五種型 : 有 , 即 ,,,,,, 等七種合計共 46 種, 最小的一對數為 87 與 5496, 最大的一對數為 954 與 768 ( 八 ) 9 : 亦仿照的討論方式 ( 見附件十四 ), 得到可以成立的 9-9 型只有 , 即與等三種而最小的一對數為 68 與 5749, 最大的一對數為 86 與 7549 綜合以上論述, 我們得知 : 在包含 ~9 的九個數字中, 使其兩組數字各自拼成的數之比值恰為, 共計有下列 89 種情形 :

23 ( )., ()., ()., (4)., (5)., ( 6)., (7)., (8)., (9)., (0)., ( ).,().,().,(4).,(5). 4, ( 6). 4,(7). 4,(8). 4,(9). 5,(0). 5, ( ). 5,(). 5,(). 5,(4). 5,(5). 5, ( 6). 5,(7). 5,(8). 5,(9). 5,(0). 5, ( ). 6,(). 6, (). 6,(4). 7,(5). 7, ( 6). 7,(7). 7,(8). 7,(9). 7,(40). 7, ( 4). 8, (4). 8,(4). 8, (44). 8,(45). 8, ( 46). 8,(47). 8,(48). 8,(49). 8,(50). 8, ( 5). 8,(5). 8, (5). 8,(54). 8,(55). 8, (56). 8,(57). 8, (58). 8,(59). 8,(60). 8, (6). 8, (6). 8,(6). 8,(64). 8,(65). 8, (66). 8,(67). 8,(68). 8,(69). 8,(70). 8, (7). 8,(7). 8, (7). 8,(74). 8,(75). 8, (76). 8,(77). 8, (78). 8,(79). 8,(80). 8, (8). 8,(8). 8, (8). 8,(84). 8,(85) (86). 8,(87). 8, (88). 9,(89). 9 等 89 種十在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 應如何將這九個數字表示成值為 00 的帶分數? 這樣的情形共有幾種? 帶分數中最大的整數與最小的整數各是多少? 由於 ~9 的九個數字只能用一次且僅一次, 而把 00 表示成一個帶分數, 所以這裡的分數必定代表著整數, 因此將它們寫成整數 + 假分數的形式來進行討論, 會比較方便對於任何整數而言, 把這個整數補成 00 的那個假分數的數字根必定呈現某種特定

24 48 的模式例如 : 的情形中, 依據性質, 知分子的數字根必為分 57 母的數字根的 4 倍, 又因整數部分已出現 9 6 兩數字, 因此所剩的數字只有分子 , 而 4 ( 一位數 ), 分子分母分別為與三位數分母由於 , 其數字根為, 與其同價數字根有 0... (9n+), 我們設分母的數字根為 x, 則分子數字根與分母數字根之和為 5x 5x - 設 5 x 9n + ( x 9,n 為正整數 ), n, 故 x6,n( 即分母數字根 9 為 6), 其數字和為 6 5 4, 與分子數字和為相對應 (Q 分子與分母數字和 0), 而分子數字根為 6 又因在等七個數字中, 可形成 : (i) 數字和 6 的三位數的分母的數字, 僅有等三個, 而此三位數為 :, 且 449( 不合 ) 485( 不合 ) 494( 不合 ) 484( 不合 ) 458( 不合 ) 448( 不合 ), 因為其中數字重複, 故均不成立 (ii) 數字和 5 的三位數的分母的數字, 僅有 4 8 與 5 7 等兩組, 而此三位數為 : ( 不合 ) 75( 不合 ) 因為 5 40 出現 0 這個數字, 經驗證後, 只有成立 (iii) 數字和 4 的三位數的分母的數字, 因為扣除 9 6, 所餘的數字中, 最大的三個數字和 < 4, 所以數字和 4 的三位數的分母不存在故只有與 96 合於所求至於在整數 + 假分數形式中, 除了整數 96 外的其餘整數, 當然也都可比照上述方法處理, 只是如此雖然簡化了不少過程, 但仍嫌繁雜, 因此, 我們使用了以下的方法來刪除不可能成立的整數 : () 整數 + 假分數形式中, 整數的個位數字為 5 者, 都可剔除因為整數的個位數為 5 者, 那麼在假分數就會有一個 0 或第二個 5 而不合, 因此可剔除整數部分為的整數 () 整數 + 假分數形式中, 整數的個位數字為 0 者, 都可剔除因為要求的數字中不具有 0; 因此可剔除的整數部分為的整數 () 整數 + 假分數形式中, 整數的個位數字為 9 者, 都可剔除因為當整數的個位數字為 9 時, 假分數值的個位數必為, 這會導致數字重複因此可剔除的整數部分為的整數 (4) 整數 + 假分數形式中, 數字發生重複的整數, 亦可剔除如 : (5) 整數 + 假分數形式中, 凡假分數值為的倍數減者 ( 即假分數值

25 y z 或 k -, k ), 亦即整數值為的倍數加者 ( 即整數值 wt r +, 0 r ), 都可剔除如整數為 : 或 ( 見附件十五 ) 例如 : , 等就是這種情況, 它們也必須立即拋棄 ; 因此我們又可以剔除在整數 + 假分數形式中, 整數部分為現在我們製作一張表格, 剔除不合於整數 + 假分數的形式者 : 整數再剔除整數為者, 剩餘可能成立的整數, 計有 : 等 4 個數對此 4 個整數, 我們仿照前述討論方式, 逐一探討, 可得下列種可成立的情形 ( 見附件十六 ): ().96 [5](6) [5](6) [5](6) ().96 [5](6) [5](6) [5](6) ().96 [5](6) [5](6) [5](6) (4).94 [](4) []() []() (5).9 [0]() [8](9) [7](8) (6).9 [0]() [8](9) [7](8) (7).9 [0]() [8](9) [7](8) (8).8 [0]() [8](9) [7](8) ( 9).8 [9](9) [8](9) [8](9) (0).8 [9](9) [8](9) [8](9) (). []() [0]() []() 且分子數字根與分母數字根必呈特定的模式, 即 96+4 有三種皆為 6-6 型, 94+6 為 - 型, 9+9 有三種皆為 9-8 型, 8+8 為 9-8 型 8+9 有三種皆為 9-9 型, +97 為 - 型又最大最小整數各為 96 與 4

26 柒結論一在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 將這九個數字分成各種不同的組數, 使得其中一組數所拼成的數字恰為其他組數所拼成的數字之和, 其結果如下表分成的組數符合的情形最大的和最小的和三 6 種四種五 84 種 6 6 六 60 種 8 6 七 4 種 8 45 二在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 將這九個數字分成三組數, 使得其中一組數所拼成的數字恰為其他二組數所拼成的數字之差, 其結果如下表分成的組數符合的情形最大的差最小的差三 6 種三在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 將這九個數字分成三組數, 使得其中一組數所拼成的數字恰為其他二組數所拼成的數字之積, 其結果如下表分成的組數符合的情形最大的積最小的積三 8 種四在不重複用 ~9 九個數字的前提下, 將這九個數字分成三組數, 使得其中一組數所拼成的數字恰為其他二組數所拼成的數字之商, 其結果如下表分成的組數符合的情形最大的商最小的商三 8 種 96 4 五在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 將這九個數字分成二組數, 使得這二組數的比值恰為, 共有 89 種情形, 其結果如下表比值符合的情形最小的分子最大的分子種種種種種種種種

27 六在不重複使用 ~9 九個數字的前提下, 將這九個數字表示成值為 00 的帶分數, 其結果共有種情形, 帶分數中最大的整數為 96 最小的整數為七利用數字根的性質, 可以迅速的驗證運算的結果是否正確, 若數字根不相等, 其結果一定是錯誤的 ; 但數字根相等時, 其運算結果因同價根的關係, 未必一定正確捌心得一起初, 我們利用紙牌撲克牌, 玩起 ~9 的九個數字的加法遊戲下課時, 常有同學加入我們的挑戰行列, 看誰先排出符合條件的答案, 歡呼嘆息聲常在教室走廊迴盪, 真是有趣極了能變成好玩又充滿挑戰性的遊戲, 讓我們覺得很有成就感, 是我們當初意想不到的事二沒想到 ~9 九個最熟悉最基本的數字, 運用加減乘除等運算符號後, 從簡單的加法到反運算的減法, 再到乘法除法甚至沒見過的新奇帶分數, 經過巧妙的安排, 竟然也能有如此繁複而奇妙的變化, 真是有趣三同心協力一起完成這次的探究活動, 探討數字的奧妙, 我們發現 : 只要有條理有系統, 按部就班的推理, 就是解決問題的最佳方法玖參考資料凡異出版社 (005) 數學的神秘與奇趣新竹市: 凡異出版社 P95 程國政譯 (996) 數學解謎入門 ( 藤村幸三郎田村三郎原著 ) 台北市: 牛頓出版社, p9~0 龍騰出版社 (007) 高中數學第四冊第二章排列組合台北縣 : 龍騰出版社南一出版社 (009) 國中數學第一冊 ~-- 因數與倍數台北市 : 南一出版社康軒出版社 (008) 國小數學第十一冊第二單元分數的乘法台北市 : 康軒出版社康軒出版社 (008) 國小數學第十一冊第九單元分數的除法台北市 : 康軒出版社 6

28 評語利用數字根的概念探討將 9 個數如何分組問題, 有系統的逐步找出答案, 頗符合數學精神, 值得鼓勵. 關鍵處可在文中再說明清楚, 使人了解為何所以然

中華民國第　四十七　屆中小學科學展覽會

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中華民國 第49屆中小學科學展覽會

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