（正文）2016-4（ ）

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1 第棾棾卷第棿期 棻椂年椄月 计算力学学报斆旇旈旑斿旙斿斒旓旛旘旑斸旍旓旀斆旓旐旔旛旚斸旚旈旓旑斸旍斖斿斻旇斸旑旈斻旙 斨旓旍棶棾棾斘旓棶棿 斄旛旂旛旙旚棻椂 斈斚斏椇棻棶椃椀棻棻棷旉旙旍旞棻椂棿棾棿 棻椂椀棻庄茁 页岩水力压裂中多簇裂缝扩展的全耦合模拟 曾庆磊庄茁灣柳占立王涛高岳 棬清华大学航天航空学院北京棻椄棿棭 摘 要椇水平井和水力压裂是页岩气开发中的关键技术暎对水力压裂中多簇裂缝同时扩展的物理过程进行了数 值模拟暎采用扩展有限元法棬斬斊斉斖棭模拟岩石中裂缝沿着任意路径扩展采用有限体积法棬斊斨斖棭模拟裂缝中流体的流动并且考虑井筒中流体流动以及在各簇裂缝间的流量动态分配暎通过牛顿迭代对全耦合物理过程进行数值求解重点研究了初始长度不同的两条裂缝的扩展过程证明较大的射孔摩阻能促进两条裂缝的同时扩展暎并通过算例证明了本方法的精度和有效性暎关键词椇水力压裂椈裂缝簇椈扩展有限元椈有限体积法椈全耦合模拟中图分类号椇斚棿棶棻椈斚棾椀文献标志码椇斄文章编号椇棻椃灢棿椃椄棬棻椂棭棿灢椂棿棾灢椂 棻引言 近年来在我国高效开采以页岩气为代表的非 常规油气资源得到高度关注暎我国页岩气储量丰 富但地质条件复杂页岩气开采难度相对较大暎 实现页岩气的高效开采是力学和石油工程界面临 椲棻椵的巨大挑战和机遇暎庄茁等系统阐述了水力压 裂中的关键力学问题其中在水平井中同时压裂多 簇裂缝时多簇裂缝能否齐头并进行稳致远是影 椲椵响页岩气产量的重要因素暎 同时压裂多簇裂缝涉及固体的变形和断裂暍压 裂液的流量分配以及在裂缝内的流动问题的复杂 性使得理论分析较为困难暎现有的水力压裂实验 装置大多只能进行单条裂缝的实验试件尺寸也受 椲棾椵到限制暎因此需要采用数值模拟来研究压裂过 程中多簇裂缝的扩展暎 椲棿椵椲椀灢椃椵斝斿旈旘斻斿等和斍旓旘斾斿旍旈旟等分别采用位移不 连续方法棬斈斈斖棭和扩展有限元法棬斬斊斉斖棭模拟了 水力压裂中单条裂缝扩展暎而对于通过井筒相互 连通多条裂缝的压裂过程的研究相对较少暎在多 条裂缝同时扩展的过程中裂缝彼此之间不仅会通 过应力阴影效应相互作用还会通过流体在各条裂 椲椄椆椵缝的流量动态分配相互产生影响暎斉旍斺斿旍等结 合单条水力裂缝扩展的理论模型采用数值方法模 收稿日期椇棻椂灢椀灢棻椈修改稿收到日期椇棻椂灢椃灢椃灡基金项目椇国家自然科学基金棬棻棻椀棾椄棻棻棾椃棻椀椃棭椈教育部 博士点专项研究基金棬棻棻棻椃椀棭资助项目棶作者简介椇曾庆磊棬棻椆椆棻灢棭男博士生椈 庄茁灣棬棻椆椀灢棭男博士教授棬斉灢旐斸旈旍椇旡旇旛斸旑旂旡椑旚旙旈旑旂旇旛斸棶斿斾旛棶斻旑棭棶 椲棻椵拟了同时压裂多个储层的过程暎斕斿斻斸旐旔旈旓旑等 椲棻棻棻椵和斪旛等分别建立了考虑井筒流量分配和射 孔摩阻的物理模型研究了更加接近真实情况的多 簇水力压裂过程暎文献椲棻灢棻椵均采用基于弹性场 理论解的斈斈斖方法模拟岩石断裂过程从而限制 了方法的适用范围椈且固体和流体通过不动点迭代 在一定程度上解耦后分别求解收敛效率较低暎 本文应用扩展有限单元法模拟开裂的页岩和 有限体积法模拟流场的压力通过井筒相互连通的 多条裂缝的压裂过程建立了井筒内流体流动暍射 孔摩阻导致压力损失暍裂缝内流体流动暍岩石变形 和开裂过程的全物理场耦合模型并采用牛顿迭代 进行求解具有较高的收敛效率且避免了强制解 耦方法中需要假设额外的边界条件暎研究了因为 裂缝之间的应力阴影效应和不同裂缝流量的动态 分配过程导致个别裂缝优先扩展的现象探讨了通 过增加射孔摩阻来抑制或者避免这种现象从而保 证多条裂缝齐头并进行稳致远地扩展暎 物理模型和控制方程 采用二维平面应变假设和结构上下对称模型 在一个水平井压裂段内同时压裂多簇裂缝如图棻 所示暎为同时压裂的裂缝簇数量为井筒内 不同位置的流体体积流量 为单位厚度的第 条裂缝的入口流量为第条裂缝入口处井筒 内压力岩石的厚度为井筒的半径为暎 棶棻 岩石的变形和断裂 岩石的变形需要满足如下控制方程暎

2 椂棿棿计算力学学报第棾棾卷 斊旈旂棶棻 图棻同时压裂多簇裂缝斖旛旍旚旈旔旍斿旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙斾旘旈旜斿旑旙旈旐旛旍旚斸旑斿旓旛旙旍旟 棶棾 棾灥灥掛灥掤椊灥灥梹梹掝棻灥梹棲掫 棬棭 棬棻棭 井筒内流体流动 井筒内流体的流动满足以下方程暎 质量守恒方程椇 椊 棴暺椊棻 棬椊棻暛棭 棬棻棻棭 平衡方程棬忽略体积力棭椇 暏椊棬棻棭 本构方程棬假设岩石发生线弹性变形棭椇 椊暶棬棭几何方程棬考虑小变形棭椇 棻椊椲 棲棬 棭斣椵 棬棾棭 边界条件棬忽略流体作用在固体上的切向力棭椇 暏椊棴 棴椊 旓旑 棴暏椊 旓旑 棲 旓旑 斸旑斾 棴 棬棿棭 棬椀棭 棬椂棭 为应力张量为应变张量为切线模量 矩阵为位移 给定位移的值棲和 上下表面棭 体上的压力为 线单位矢量暎 棴为位移边界为位移边界上 棴为流体压力边界棬即裂缝 为施加的外力边界暎流体作用在固 为裂缝面或者结构表面的外法 对于岩石的断裂采用相互作用积分计算应力 强度因子采用最大周向应力准则作为断裂判 椲棻棾椵据暎 棶 裂缝内流体流动 假设流体在每条裂缝内的流动为一维流动第 条裂缝内流体需要满足如下控制方程暎 泊肃叶方程椇 椊棴棬棾棷棻棭棬灥棷灥棭 连续方程和质量守恒方程棬忽略流体滤失棭椇 棬椃棭 灥棷灥棲灥棷灥椊棬棭棬椄棭 边界条件棬假设流体裂尖和固体裂尖重合棭椇 旚旈旔椊旚旈旔椊棬椆棭为沿着裂缝面的曲线坐标系在每条裂缝 的射孔处椊和 体压力暍体积流量和裂缝张开宽度 分别为裂缝内任一点的流 为流体的动 力粘度为时间棬棭为狄拉克函数表征流体在 椊注入旚旈旔和 旚旈旔 尖处的流体体积流量暎 分别为裂尖的张开宽度和裂 将泊肃叶方程棬椃棭代入质量守恒方程棬椄棭可得 雷诺方程为 面积 动量守恒方程椇 边界条件椇 灥棷灥椊棴棬毿棷棭 椊 棬棻棭 棬棻棾棭 为井筒内压力椊毿为井筒的横截面 为井筒对流体的剪切力暎假设井筒内流 动为层流式棬棻棭可以写为 灥棷灥椊棴棬椄棷毿棿棭棬棻棿棭 为井筒内体积流量暎 在流体通过射孔从井筒流到裂缝的过程中因 为射孔摩阻会存在较大的压力损失损失的压力 殼 斿旑旚旘旟为椲棻椵 殼斿旑旚旘旟椊棴椊暏旤旤棬棻椀棭 为第条裂缝内入口处压力为射孔 椲棻椵摩阻引起的压损系数与流体密度暍射孔个数暍 射孔直径以及射孔磨损程度相关暎 棾 棾棶棻 控制方程离散和求解 固体方程离散 水力裂缝在压裂过程中可能沿着任意路径扩 展采用斬斊斉斖可以有效地模拟多裂缝任意扩展 椲棻棿棻椀椵问题暎斬斊斉斖的基本思想是在标准近似场的 基础上添加扩充项从而对复杂未知场进行更加精 椲棻椂椵确的描述 棬棬棭棲棬棭棬棻椂棭棭椊暺炐暺暿为任意点的坐标棬棭为标准形函数 为标准自由度棬棭为扩充形函数为扩 充自由度暎对于裂尖所在单元的节点如图圆点 所示扩充形函数为裂尖位移场线弹性理论解的各 项组成的函数椈对于完全被裂缝穿过的单元的节点 棬且不属于裂尖所在单元棭扩充形函数具有阶跃函 数的性质暎 根据式棬棻暙椂棭通过加权余量法可以得到控制 椲棻棾椵方程的弱形式将位移表达式棬棻椂棭代入可得岩 石变形的离散方程 掛梹掝梹 掤梹撿掫梹椊擁梹 棻 擆掛掤掛梹梹擇掝梹掫梹棴掝梹 掤梹掫梹椊 棬棻椃棭

3 第棿期 曾庆磊等椇页岩水力压裂中多簇裂缝扩展的全耦合模拟 椂棿椀 上述方式积分并将边界条件棬椆棭代入即可暎裂缝张开的宽度可以通过固体的变形得到结合式棬棻椂棭得棲棴棬棭椊椲棬棭椵椊椲棬棭棴棬棭椵暏椊 暺暿 棲棴椲棬棭棴棬棭椵暏棬椀棭 图斬斊斉斖中节点扩充类型示意图 斊旈旂棶斉旑旘旈斻旇斿斾旑旓斾斿旚旟旔斿旙旈旑斬斊斉斖 和为相应自由度的集成刚 度矩阵对应的单元刚度矩阵为 撿梹梹擁 和 节点力椇 棾棶 撿梹椊梹梹擁 椊曇 擆梹梹椊曇椲擇 擆梹梹梹擇 斣椵 椲椵斾棬棻椄棭 撿梹椊梹梹擁 擆梹梹梹擇 棬棻椆棭 为对应标准自由度和扩充自由度的外部 棴斾 裂缝内流体流动离散 椊曇棲棴棲 棬棴棭斾棬棭 采用有限体积法棬斊斨斖棭对裂缝内的流体流动 进行离散暎以第 条裂缝为例如图棾所示按照 裂缝和有限元网格的交点将裂缝划分为 个流体 单元和为第个流体单元中心点的压强和 裂缝张开宽度暎将雷诺方程棬棻棭在椲棴棻棷棲棻棷椵 椊暛棴棻上进行积分其中压强梯度采用中 心差分近似时间导数采用向后差分近似可得 棴棻暏 棴棻棴暏棲棲棻暏 棲棻椊 棻椲棬殼棲棻棷棴棴棻棷棭暏棬棴棻棷棲棲棻棷棭棷棴 棬棲棻棷棴 棴棻棷棭暏棬棴棻棷棲 棲棻棷棭棷椵 棬椊暛棴棻棭棬棻棭 上标带有的量表示上一时间步的量 棲棻棷 可以通过和棲棻插值得到棴棻和棲棻为 对应压力变量的系数分别为 棴棻椊 棾棴棻棷 棻棬棴 棾棴棻棷 椊棻棬棴 棲棻椊 棾棲棻棷 棻棬棲棻棴 棴棻棭 棴棻棭 棾棲棻棷 棲棻棬棲棻棴 棭 对于第棻个流体单元和第 棭 棬棭 棬棾棭 棬棿棭 个流体单元类似 棲和棴分别为上下裂缝面的位置因为 棬棲棭椊 棬棴棭所以上不含与标准自由度 相关的项暎由式棬椀棭可知流体单元中心点的裂缝 宽度可以写成的函数棬棭暎 为了区分各条裂缝本文将用双下标 表示 第条裂缝上第个流体单元中心点的张开宽度 和压强暎记列向量棬棭椊椲棻暛椵斣和 椊椲暛椵斣分别表示第条裂缝各个棻流体单元中心点裂缝宽度和压强的集合第条裂 缝中流体的离散方程可以写为 椲棬棭椵暏棴椲棬棭椵椊棬椂棭 为式棬棻棭中的系数是棬棭的函数 是式棬棻棭的右端项是棬棭和的函数暎记 棬棭椊椲棬棻棭斣棬棭斣暛棬 棬 棭斣椵斣椊椲棬棭斣棻 棭斣暛棬棭斣椵斣为所有流体单元中心点裂缝宽 度和压强的集合椊椲暛椵斣为所有裂缝棻入口流量的集合则所有裂缝内流体流动的离散方 程可以组合为 棾棶棾 棾椊椲棬棭椵暏棴椲棬棭椵椊棬椃棭井筒内流体流动离散 下面考虑流体在井筒内的流动暎将井筒内的 流动近似为层流式棬棻棿棭可以离散为 棴 棲棻 椄椊棬棿椊棻暛棴棻棭棬椄棭毿 为第个射孔和第棲棻个射孔之间井筒 的长度暎 用裂缝内第棻个流体单元中心节点的压强 近似代替入口压强 则由式棬棻椀棭可得 椊棲暏旤旤椊棻棲暏旤旤棬椆棭将式棬棻棻椆棭代入式棬椄棭可得 棬 棲棻棻棲 棲棻旤棲棻旤棭棴棬 棻棲 棬椄棷毿棿棭棬棭椊棴暺椊棻棬椊棻暛棴棻棭 旤旤棭棲 图棾裂缝内流体的离散斊旈旂棶棾斈旈旙斻旘斿旚旈旡斸旚旈旓旑旓旀旀旍旛旈斾旀旍旓旝旈旑斸旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿 棻 棬棾棭

4 椂棿椂计算力学学报第棾棾卷 将式棬棻棻棭代入式棬棻棾棭可得 棴暺椊棻 椊 棬棾棻棭 将式棬棾棾棻棭一共 棾棶棿 方程组求解 个方程统一记为 棿椊 棬棾棭 由此已经得到需要求解的离散方程组包括 式棬棻椃椃棾棭将这些方程组统一表示为 棬棭椊 棬棾棾棭 椲棻椃椵采用牛顿迭代法求解方程棬棾棾棭即假设棬 棭作为初值则有 棻 掛掤掛梹梹梹棻梹梹梹梹梹椊梹棻梹梹梹棻掝梹掫梹掝梹 掤梹梹灥梹棴椲梹灥棬棭棬掫梹 棬棭 棭 棴棻椵 暏 棬棾棿棭 循环式棬棾棿棭迭代直到和均满足以下收敛 准则暎 棬 棻棴 棷 依次为和暎 棿算例 棿棶棻 验证性算例 棴椀棭椉棻 棬棾椀棭 本算例为验证性算例以证明本方法的有效 性暎如图棿所示在一个椀旐暳旐的结构中 有一条长度为椊椀旐的初始裂缝左边边界为对 称边界采用棻椂椃椄个四边形单元进行离散暎 椲棻椄椵斄斾斸斻旇旈给出了在无限大结构中压裂单条裂缝的 理论解在本算例中裂缝相对整体结构较短在裂 缝扩展长度达到一定值之前可以看成在无限大体 中扩展暎结构的弹性模量椊斍斝斸泊松比椊棶临界应力强度因子椊棿斖斝斸暏旐棻棷入口 流量椊棶棻旐棷旙流体粘性系数为椊棶椀 斝斸暏旙暎裂缝长度和入口压力随着时间的变化如图椀 所示可以看出数值结果和理论解基本一致暎 棿棶 同时压裂两条连通裂缝 本算例近似无限大结构中有两条初始长度不 同的裂缝裂缝棻初始长度为椄棶棻旐裂缝初始 图椀裂缝长度和入口压力随着时间的变化斊旈旂棶椀斆旇斸旑旂斿旓旀旀旘斸斻旚旛旘斿旍斿旑旂旚旇斸旑斾斿旑旚旘斸旑斻斿旔旘斿旙旙旛旘斿旝旈旚旇旚旈旐斿 长度为椄旐两条裂缝初始距离为棻椂棶棿旐如图椂 所示暎左边界对称上下边界和右边界固定暎同时 对两条裂缝进行压裂并且假设两条裂缝通过井筒 相连通暎弹性模量椊斍斝斸泊松比椊棶 临界应力强度因子椊椀棶椃斖斝斸暏旐棻棷井筒入 口流量椊棶椀旐棾棷旙流体粘性系数为椊棶棻斝斸暏旙井筒半径椊棶棻旐椊棻旐暎 在本算例中射孔压损系数分别取值棻棶椀棿棾棷旐椂椀椂暳棻斖斝斸暏旙和棻棶椀棿暳棻斖斝斸暏旙棷旐裂 缝在棻旙时的扩展路径如图椃所示棬在图椂基础 上局部放大显示棭暎可以看出当射孔压损系数较 小时因为裂缝棻的长度比裂缝长在应力屏蔽 和流体连通的双重影响下裂缝很快停止扩展而 裂缝棻持续扩展如图椃实线所示暎压损系数较大 时两条裂缝均能扩展且扩展长度基本相同如 图椃虚线所示暎 图棿压裂单条裂缝斊旈旂棶棿斄旙旈旑旂旍斿旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿 图椂同时压裂两条连通裂缝斊旈旂棶椂斣旝旓旍旈旑旊斿斾旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙斾旘旈旜斿旑旙旈旐旛旍旚斸旑斿旓旛旙旍旟

5 第棿期 曾庆磊等椇页岩水力压裂中多簇裂缝扩展的全耦合模拟 椂棿椃 图椄为不同压损系数下两个裂缝的入口流量暎可以看出当压损系数较小时裂缝棻的入口流量逐渐增加裂缝的入口流量逐渐减小直到负值说明裂缝棻长度较长时压迫裂缝内流体流出暎随着裂缝内流体的减少裂缝流出流量逐渐趋于暎当压损系数较大时流入两条裂缝的流量一直保持基本相等两条裂缝一起扩展暎 连通裂缝时的裂缝扩展路径暎计算结果显示在一般的压裂过程中因为长度不同的裂缝之间的应力阴影效应和流体的动态分配会导致一些裂缝优先扩展其他裂缝被抑制暎通过提高射孔摩阻系数可以促进多条裂缝齐头并进地扩展暎提高射孔摩阻系数之后如果某条裂缝优先扩展则需要更多的流体流入这条裂缝导致该条裂缝在射孔处损失 的压力增加相应地驱动裂缝扩展的压力变小反过来抑制了该条裂缝的扩展暎可见射孔摩阻系数能起到负反馈的作用抑制某条裂缝优先扩展暎 参考文献棬斠斿旀斿旘斿旑斻斿旙棭椇 椲棻椵庄茁柳占立王涛等棶页岩水力压裂的关键力学问题椲斒椵棶科学通报棻椂椂棻棬棻棭椇椃灢椄棻棶棬斱斎斦斄斘斍斱旇旛旓斕斏斦斱旇斸旑灢旍旈斪斄斘斍斣斸旓斿旚斸旍棶斣旇斿旊斿旟旐斿灢斻旇斸旑旈斻斸旍旔旘旓斺旍斿旐旙旓旑旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旈旑旙旇斸旍斿椲斒椵棶 图椃不同压损系数下裂缝扩展路径斊旈旂棶椃斍旘旓旝旚旇旔斸旚旇旓旀旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙旝旈旚旇斾旈旀斿旘斿旑旚旔斿旘旀旓旘斸旚旈旓旑斿旑旚旘旟旍旓旙旙斻旓斿旀旈斻旈斿旑旚 棻椂椂棻棬棻棭椇椃灢椄棻棶棬旈旑斆旇旈灢旑斿旙斿棭棭椲椵斅斸昿斸旑旚斱斝斢斸旍旜旈斸旚旓斖斆旇斸旛斨斣斿旚斸旍棶斪旇旟旀旘斸斻旊旈旑旂旝旓旘旊旙椲斒椵棶棻棿椄棻 棬棻棭椇棻棻棻棶椲棾椵斅旛旑旂斿旘斄斝斍旓旘斾斿旍旈旟斉斈斿旚旓旛旘旑斸旟斉棶斆旓旐旔斸旘旈旙旓旑斺斿旚旝斿斿旑旍斸斺旓旘斸旚旓旘旟斿旞旔斿旘旈旐斿旑旚旙斸旑斾斻旓旛旔旍斿斾旙旈旐旛旍斸灢旚旈旓旑旙旓旀旙斸旛斻斿旘灢旙旇斸旔斿斾旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙旈旑旇旓旐旓旂斿灢旑斿旓旛旙斺旘旈旚旍斿灢斿旍斸旙旚旈斻旙旓旍旈斾旙椲斒椵棶棻棾椂棻棬椃棭椇棻椂棾椂灢棻椂椀棿棶椲棿椵斝斿旈旘斻斿斄斈斿旚旓旛旘旑斸旟斉棶斄旑旈旐旔旍旈斻旈旚旍斿旜斿旍旙斿旚旐斿旚旇旓斾旀旓旘旐旓斾斿旍旈旑旂旇旟斾旘斸旛旍旈斻斸旍旟斾旘旈旜斿旑旀旘斸斻旚旛旘斿旙椲斒椵棶 图椄 压损系数较小棬棾棷旐椂椊棻棶椀棿暳棻斖斝斸暏旙棭和较大 棬椀棷旐椂椊棻棶椀棿暳棻斖斝斸暏旙棭时裂缝入口流量 斊旈旂棶椄斏旑旍斿旚旀旍旓旝旘斸旚斿旙旓旀旚旇斿旚旝旓旀旘斸斻旚旛旘斿旙旝旈旚旇 椀结论 棾棷旐椂棻斖斝斸暏旙斸旑斾 椊棻棶椀棿暳 椀棷旐椂椊棻棶椀棿暳棻斖斝斸暏旙 本文建立了考虑岩石变形和断裂暍裂缝流体流 动暍井筒流动和射孔压力损失的水力压裂物理模 型暎采用斬斊斉斖模拟岩石中裂缝扩展采用斊斨斖 模拟裂缝中流体流动结合流量动态分配过程建立 多场全耦合方程并首次采用牛顿迭代对全耦合方 程直接进行求解具有较好的精度和较高的收敛效 率且不需要提供额外的流体边界条件暎通过与水 力压裂单裂缝扩展的理论解对比证明本方法的有 效性暎 基于以上求解方法本文研究了同时压裂两条 椄棻椆椃棬棾棾棭椇椄椀椄灢椄椄椀棶椲椀椵斍旓旘斾斿旍旈旟斉斝斿旈旘斻斿斄棶斆旓旛旔旍旈旑旂旙斻旇斿旐斿旙旀旓旘旐旓斾斿旍旈旑旂旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旔旘旓旔斸旂斸旚旈旓旑旛旙旈旑旂旚旇斿斬斊斉斖椲斒椵棶棻棾椀棾椇棾椀灢棾棶椲椂椵斍旓旘斾斿旍旈旟斉斝斿旈旘斻斿斄棶斏旐旔旍旈斻旈旚旍斿旜斿旍旙斿旚旙斻旇斿旐斿旙旀旓旘旐旓斾斿旍旈旑旂旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙旛旙旈旑旂旚旇斿斬斊斉斖椲斒椵棶棻棾椂椂椇棻椀灢棻棿棾棶椲椃椵斍旓旘斾斿旍旈旟斉斝斿旈旘斻斿斄棶斉旑旘旈斻旇旐斿旑旚旙旚旘斸旚斿旂旈斿旙斸旑斾斻旓旑灢旜斿旘旂斿旑斻斿旔旘旓旔斿旘旚旈斿旙旓旀旚旇斿斬斊斉斖旀旓旘旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻灢旚旛旘斿旔旘旓斺旍斿旐旙椲斒椵棶棻椀椄棾椇棿椃棿灢椀棶椲椄椵斉旍斺斿旍斒斕斝旈旂旂旓旚斄斠斖斸斻旊斖斍棶斘旛旐斿旘旈斻斸旍旐旓灢斾斿旍旈旑旂旓旀旐旛旍旚旈旍斸旟斿旘旀旘斸斻旚旛旘斿旚旘斿斸旚旐斿旑旚旙椲斄椵棶斝斿旘旐旈斸旑斅斸旙旈旑斚旈旍斸旑斾斍斸旙斠斿斻旓旜斿旘旟斆旓旑旀斿旘斿旑斻斿椲斆椵棶斖旈斾旍斸旑斾斣斿旞斸旙棻椆椆棶

6 椂棿椄计算力学学报第棾棾卷 椲椆椵斖斸斻旊斖斍斉旍斺斿旍斒斕斝旈旂旂旓旚斄斠棶斘旛旐斿旘旈斻斸旍旘斿旔旘斿灢 旙斿旑旚斸旚旈旓旑旓旀旐旛旍旚旈旍斸旟斿旘旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘旈旑旂椲斄椵棶斣旇斿 旚旇棾棾斦棶斢棶斢旟旐旔旓旙旈旛旐旓旑斠旓斻旊斖斿斻旇斸旑旈斻旙棬斦斢斠斖斢棭 椲斆椵棶斢斸旑旚斸斊斿斘斿旝斖斿旞旈斻旓棻椆椆棶 椲棻椵斕斿斻斸旐旔旈旓旑斅斈斿旙旘旓斻旇斿旙斒棶斢旈旐旛旍旚斸旑斿旓旛旙旈旑旈旚旈斸旚旈旓旑斸旑斾 旂旘旓旝旚旇旓旀旐旛旍旚旈旔旍斿旘斸斾旈斸旍旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙旀旘旓旐斸 旇旓旘旈旡旓旑旚斸旍旝斿旍斺旓旘斿椲斒椵棶 棻椀椄椇棾椀灢椀椄棶 椲棻棻椵斪旛斔斚旍旙旓旑斒斉棶斖斿斻旇斸旑旈旙旐旙旓旀旙旈旐旛旍旚斸旑斿旓旛旙旇旟灢 斾旘斸旛旍旈斻灢旀旘斸斻旚旛旘斿旔旘旓旔斸旂斸旚旈旓旑旀旘旓旐旐旛旍旚旈旔旍斿旔斿旘旀旓旘斸旚旈旓旑 斻旍旛旙旚斿旘旙旈旑旇旓旘旈旡旓旑旚斸旍旝斿旍旙椲斒椵棶 斢斝斉灢棻椃椄椆椀灢斝斄棶 棻椀 椲棻椵斪旛斔斚旍旙旓旑斒斉棶斢旈旐旛旍旚斸旑斿旓旛旙旐旛旍旚旈旀旘斸斻旚旛旘斿旚旘斿斸旚灢 旐斿旑旚旙椇旀旛旍旟斻旓旛旔旍斿斾旀旍旛旈斾旀旍旓旝斸旑斾旀旘斸斻旚旛旘斿旐斿斻旇斸旑旈斻旙 旀旓旘旇旓旘旈旡旓旑旚斸旍旝斿旍旙椲斒椵棶 棾棾椃灢棾棿椂棶 椲棻棾椵斱旇旛斸旑旂斱斕旈旛斱斕斆旇斿旑旂斅斅斿旚斸旍棶 斦旑旈旜斿旘旙旈旚旟斝旘斿旙旙棻棿棶 棻椀棬棭椇 椲斖椵棶斚旞旀旓旘斾椇斉旍旙斿旜旈斿旘敠斣旙旈旑旂旇旛斸 椲棻棿椵斖旓昪旙斘斈旓旍斺旓旝斒斅斿旍旟旚旙斻旇旊旓斣棶斄旀旈旑旈旚斿斿旍斿旐斿旑旚 旐斿旚旇旓斾旀旓旘斻旘斸斻旊旂旘旓旝旚旇旝旈旚旇旓旛旚旘斿旐斿旙旇旈旑旂椲斒椵棶棻椆椆椆棿椂棬棻棭椇棻棾棻灢棻椀棶椲棻椀椵王涛高岳柳占立等棶基于扩展有限元法的水力压裂大物模实验的数值模拟椲斒椵棶清华大学学报棬自然科学版棭棻棿椀棿棬棻棭椇棻棾棿灢棻棾椆棶棬斪斄斘斍斣斸旓斍斄斚斮旛斿斕斏斦斱旇斸旑灢旍旈斿旚斸旍棶斘旛旐斿旘旈斻斸旍旙旈旐旛旍斸旚旈旓旑旙旓旀旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘旈旑旂旈旑旍斸旘旂斿旓斺旉斿斻旚旙旛旙旈旑旂斸旑斿旞灢旚斿旑斾斿斾旀旈旑旈旚斿斿旍斿旐斿旑旚旐斿旚旇旓斾椲斒椵棶棬棭棻棿椀棿棬棻棭椇棻棾棿灢棻棾椆棶棬旈旑斆旇旈旑斿旙斿棭棭椲棻椂椵斱斿旑旂斞斕旈旛斱斬旛斈斿旚斸旍棶斖旓斾斿旍旈旑旂斸旘斺旈旚旘斸旘旟斻旘斸斻旊旔旘旓旔斸旂斸旚旈旓旑旈旑斻旓旛旔旍斿斾旙旇斿旍棷旙旓旍旈斾旙旚旘旛斻旚旛旘斿旙旝旈旚旇斬斊斉斖椲斒椵棶棻椀棻椂棬棻棭椇棻棻椄灢棻棿棶椲棻椃椵斅斿旍旟旚旙斻旇旊旓斣斕旈旛斪斔斖旓旘斸旑斅棶椲斖椵棶斘斿旝斮旓旘旊椇斪旈旍斿旟棶椲棻椄椵斄斾斸斻旇旈斒棶斊旍旛旈斾灢斾旘旈旜斿旑斊旘斸斻旚旛旘斿旈旑斝斿旘旐斿斸斺旍斿斠旓斻旊椲斈椵棶斦旑旈旜斿旘旙旈旚旟旓旀斖旈旑旑斿旙旓旚斸斖旈旑旑斿斸旔旓旍旈旙棻棶 斊旛旍旟斻旓旛旔旍斿斾旐旓斾斿旍旈旑旂旀旓旘旐旛旍旚旈旔旍斿斻旍旛旙旚斿旘旙旂旘旓旝旚旇旓旀旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙旈旑旙旇斸旍斿 斱斉斘斍斞旈旑旂灢旍斿旈斱斎斦斄斘斍斱旇旛旓灣斕斏斦斱旇斸旑灢旍旈斪斄斘斍斣斸旓斍斄斚斮旛斿棬斢斻旇旓旓旍旓旀斄斿旘旓旙旔斸斻斿斉旑旂旈旑斿斿旘旈旑旂斣旙旈旑旂旇旛斸斦旑旈旜斿旘旙旈旚旟斅斿旈旉旈旑旂棻椄棿斆旇旈旑斸棭斄斺旙旚旘斸斻旚椇斎旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘旈旑旂旈旑旚旇斿旇旓旘旈旡旓旑旚斸旍旝斿旍斺旓旘斿旈旙斸旑斿旀斿斻旚旈旜斿旚斿斻旇旑旈旕旛斿旈旑旚旇斿斾斿旜斿旍旓旔旐斿旑旚旓旀旙旇斸旍斿旂斸旙棶斏旑旚旇旈旙旔斸旔斿旘旚旇斿旂旘旓旝旚旇旓旀旐旛旍旚旈旔旍斿旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙斻旍旛旙旚斿旘旙旈旙旙旈旐旛旍斸旚斿斾旑旛旐斿旘旈斻斸旍旟棶斣旇斿斿旞旚斿旑斾斿斾旀旈旑旈旚斿斿旍斿旐斿旑旚旐斿旚旇旓斾棬斬斊斉斖棭旈旙斸斾旓旔旚斿斾旚旓旐旓斾斿旍斸旘斺旈旚旘斸旘旟旔旘旓旔斸旂斸旚旈旓旑旓旀旚旇斿旀旘斸斻旚旛旘斿旙旈旑旙旇斸旍斿旘旓斻旊斸旑斾旚旇斿旀旈旑旈旚斿旜旓旍旛旐斿旐斿旚旇旓斾棬斊斨斖棭旈旙旛旙斿斾旚旓斾旈旙斻旘斿旚旈旡斿旀旍旛旈斾旀旍旓旝旈旑旚旇斿旀旘斸斻旚旛旘斿旙棶斣旇斿旀旍旓旝旈旑旇旓旘旈旡旓旑旚斸旍旝斿旍斺旓旘斿斸旑斾旚旇斿斾旟旑斸旐旈斻斾旈旙旚旘旈斺旛旚旈旓旑旓旀旚旇斿旀旍旓旝旈旑旚旓斾旈旀斿旘斿旑旚旀旘斸斻旚旛旘斿斻旍旛旙旚斿旘旙斸旘斿斻旓旑旙旈灢斾斿旘斿斾棶斣旇斿旀旛旍旟斻旓旛旔旍斿斾旀旈斿旍斾斿旕旛斸旚旈旓旑旙斸旘斿旙旓旍旜斿斾斺旟斘斿旝旚旓旑旈旚斿旘斸旚旈旓旑棶斘旛旐斿旘旈斻斸旍斿旞斸旐旔旍斿旙斸旘斿旔旘斿灢旙斿旑旚斿斾旚旓旜斸旍旈斾斸旚斿旚旇斿斸斻斻旛旘斸斻旟斸旑斾斿旀旈斻旈斿旑斻旟旓旀旚旇斿旐斿旚旇旓斾棶斣旇斿旔旘旓旔斸旂斸旚旈旓旑旔斸旚旇旙旓旀旚旝旓旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙斸旘斿旐旓斾斿旍斿斾旚旓斾斿旐旓旑旙旚旘斸旚斿旚旇斸旚旚旇斿旍斸旘旂斿旘旔斿旘旀旓旘斸旚旈旓旑斿旑旚旘旟旀旘旈斻旚旈旓旑斻斸旑旔旘旓旐旓旚斿旙旈旐旛旍旚斸旑斿旓旛旙旂旘旓旝旚旇旓旀旐旛旍旚旈旔旍斿旀旘斸斻旚旛旘斿斻旍旛旙旚斿旘旙棶斔斿旟旝旓旘斾旙椇旇旟斾旘斸旛旍旈斻旀旘斸斻旚旛旘斿旙椈旐旛旍旚旈旔旍斿旀旘斸斻旚旛旘斿斻旍旛旙旚斿旘旙椈斿旞旚斿旑斾斿斾旀旈旑旈旚斿斿旍斿旐斿旑旚旐斿旚旇旓斾椈旀旈旑旈旚斿旜旓旍旛旐斿旐斿旚旇旓斾椈旀旛旍旟斻旓旛旔旍斿斾旐旓斾斿旍