第三章導函數之應用 第. 節極值 個人或企業經常需面臨求極值的情況, 例如個人投資理財如何穫取最大利潤 ( 極大值 ), 企業如何降低成本 ( 極小值 )? 如何擴大營業額 ( 極大值 )? 其實這都是屬 於最佳化的問題 定義.. 絕對極值 設函數 f 定義於區間 I 上, c I () 若 f ( c) f ( ), I, 則稱 c 為 f 在 I 上之絕對極大點, 而稱 f() c 為 f( ) 在 I 上之絕對極大值 (absolute maimum) [ 其實極大點為 ( c, f ( c )) ] () 若 f ( c) f ( ), I, 則稱 c 為 f 在 I 上之絕對極小點, 而稱 f() c 為 f( ) 在 I 上之絕對極小值 (absolute minimum) 絕對極大值與絕對極大值合稱絕對極值, 簡稱極值 (etreme value) 定理.. 極值存在定理 (The Etreme Value Theorem) 若函數 f 在閉區間 [ ab, ] 為連續函數, 則 f 在閉區間 [ ab, ] 上絕對極值存在, 4; 例. 設 f( ) 則 f( ) 在 [, ] 絕對極小值為 6, 絕對極大值 4,4. 不存在 ( 因為 f( ) 在 [, ] 不是連續函數 ) 例. 設 f ( ), 雖然則 f( ) 在 (, ) 為連續續函數, 但其值是不存在的 ( 因為 f( ) 定義在開區間 (, ) 上 ) 求函數 f 在閉區間 [ ab, ] 上之絕對極值的步驟 : () 先求臨界點 (critical point; cp): 包括 (a) 穩定點 (stationary point): 即在 [ ab, ] 上滿意足 f( ) 之各點 (b) 奇異點 (singular point): 即在 [ ab, ] 上 f ( ) 不存在 ( 不可微分 ) 之各點 (c) 邊界點 (boundary point): 即 ab, () 求各臨界點之函數值, 再逐一比較大小即可 4 例. 設 f ( ) 8, 試求 f( ) 在閉區間 [, ] 上之絕對極值 解 :() 求臨界點 : f ( ) 8 4 f ( ) 4 4 4 ( )( 5),, 5 (5 [, ]) 故臨界點有,,,
() 求值 : f ( ) 9 f () f () f () 8 Ma Min 例 4. 設 f ( ) 解 :() 求臨界點 :, 試求 ( ) f ( ) f ( ) f () 不存在 故臨界點有,, 8 () 求值 : f ( ) f () 絕對極小值 f (8) 4 絕對極大值 f 在閉區間 [, 8] 上之絕對極值 定義.. 相關極值 設 f 為一函數, c D f () 若存在 使得 f ( c) f ( ), ( c, c) ( c, c ), 則稱 c 為 f( ) 之相 關極大點, 而稱 f() c 為 f( ) 之相關極大值 (relative maimum) [ 其實極大 點為 ( c, f ( c )) ] () 若存在 使得 f ( c) f ( ), ( c, c) ( c, c ), 則稱 c 為 f( ) 之相 關極小點, 而稱 f() c 為 f( ) 之相關極小值 (relative minimum) 定理.. 相關極值之必要條件若函數 f( ) 在 c處有相關極值, 則 f( c) 或 f () c 不存在 由定理 4.. 可知 : f( c) 或 f () c 不存在為函數 f( ) 在 c處有相關極 值的必要條件, 故若要求 f( ) 之相關極值時, 可從此處著手 定義.. 遞增與遞減設 f( ) 為一函數, c Df, 區間 I Df () 若存在 使得 f ( c) f ( ), ( c, c), f ( c) f ( ), ( c, c ) 則稱 f 之在 c 處遞增 (increasing) () 若存在 使得 f ( c) f ( ), ( c, c), f ( c) f ( ), ( c, c ) 則稱 f 之在 c 處遞減 (decreasing) 4
() 對任意, I, 若 均可推得 f ( ) f ( ), 則稱 f( ) 之在 I 上遞增 (4) 對任意, I, 若 均可推得 f ( ) f ( ), 則稱 f( ) 之在 I 上遞減 (5) 若 f( ) 之在 I 上遞增或遞減, 則稱 f( ) 之在 I 上單調 (monotonic) (6) 於 ()~(4) 中, 若不等式 ( ) 中等式 (=) 恆不成立, 則稱為 嚴格 (strictly), 即 嚴格遞增 (strictly increasing) 或嚴格遞減 (strictly decreasing) 定理.. 單調性之判別 若設函數 f( ) 在 [ ab, ] 上連續, 且在 ( ab, ) 上可微分 () 若 f ( ), ( a, b), 則 f( ) 在 [ ab, ] 上為遞增 () 若 f ( ), ( a, b), 則 f( ) 在 [ ab, ] 上為遞減 定理..4 增減之判別 設函數 f( ) 在 a處可微分 () 若 f( a), 則 f( ) 在 a處為遞增 () 若 f( a), 則 f( ) 在 a處為遞減 若 f( a) 或 f ( a) 不存在, 則 f( ) 在 a處可能產生相關極值 定理..5 相關極值之判別 若設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上可微分, c ( a, b) 為 f( ) 在 ( ab, ) 上之臨界點 () 若 f ( ), ( a, c), 且 f ( ), ( c, b), 則 f() c 為 f( ) 之相關極大 值 ( 先遞增再遞減 相關極大 ) () 若 f ( ), ( a, c), 且 f ( ), ( c, b), 則 f() c 為 f( ) 之相關極小 值 ( 先遞減再遞增 相關極小 ) () 若 f ( c ) f ( c ) 則 f() c 不為 f( ) 之相關極值 ( 前後增減未變 並非相關極值 ) 求函數 f 相關極值的步驟 : () 先求臨界點 : 包括 (a) 穩定點 (b) 奇異點 () 以函數之增減性, 判別相關極值 4 例 5. 設 f ( ), 試討論 f( ) 之遞增與遞減, 並求其相關極值解 :() 先求臨界點 f ( ) 4 f ( ) 4 4 4 ( )( ),, cp () 判斷 - f ( ) - + - + 5
故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為遞增, 在 (, ) (,) 上為遞減 而 f ( ) 相關極小值 f () 相關極大值 f ( ) 相關極小值 例 6. 設 f ( ) ( ), 試討論 f( ) 之遞增與遞減, 並求其相關極值 解 :() 先求臨界點 f ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) f () 不存在 故臨界點計有, () 判斷 f ( ) - + 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為遞增, 在區間 (, ) 上為遞減 而 f () 相關極大值 f () 相關極小值 習題.. 在 ()~(4) 題中, 求函數 f 在指定區間內之絕對極值 : () f ( ),[,] () f( ),[,4] () 4 f ( ) 6,[,] (4) f ( ) ( ),[,]. 在 (5)~(8) 題中, 求函數 f 之相關極值 : () f ( ) 4 () f( ) () 6 f ( ) (4) f ( ) (5) f( ) (6) f 4 ( ) 4 6
第. 節均值定理 對曲線 C : y f ( ) 而言, 設 P( a, f ( a )), Q( b, f ( b )) 為曲線 C 上之二點有 一個有趣的問題 在怎樣的條件下可確保在 [ ab, ] 上曲線存在至少一條切線平行割線 PQ? 為解答這個問題, 我們要介紹這種現象的特例, 也就是法國數學 家洛爾 (Rolle) 所提出的洛爾定理 (Rolle s Theorem) 定理.. 洛爾定理 設函數 f( ) 滿足以下三個條件 : () f( ) 在閉區間 [ ab, ] 上連續, () f( ) 在開區間 ( ab, ) 上可微分, () f ( a) f ( b), 則存在 c ( a, b) 使得 f( c) 證 : 因為 f( ) 在閉區間 [ ab, ] 上連續, 故 f( ) 在閉區間 [ ab, ] 上之絕對極值存在 令最大值為 M, 最小值為 m 其只有二種可能 : ()M = m f( ) 為常數函數 f ( ), ( a, b) () M m 因為 f ( a) f ( b), 故 M 與 m 最少有一者不等於 f( a ) 或 f() b WLOG, 令其為 M, 且 f () c 上可微分, 故 f( c) M, 其中 c ( a, b) 又因 f( ) 在開區間 ( ab, ) 4 例. 設 f ( ) 8, 試求在 (, ) 上所有 c 值使得 f( c) 解 : 因為 f( ) 在 [, ] 上連續, 在 (, ) 上可微分, 且 f( ) f(), 由洛 爾定理推得 : 存在 c(, ) 使得 f( c) f 4 ( ) 8 f ( ) 4 4 4 ( )( ) 令 f ( c) c,, 例. 設, 試問在 (, ) 上有無 c 值使得 f ( c) f ( ) ( ) 解 : 檢查洛爾定理的三個條件 : () f( ) 在閉區間 [, ] 上連續, () f() f() () f ( ) ( ) f ( ), (, ) 之所以不存在 c (, ) 使得 f( c), 乃由於 f( ) 在 處不可微分 7
定理.. 均值定理 設函數 f( ) 在閉區間 [ ab, ] 上連續, 且 f( ) 在開區間 ( ab, ) 上可微分, 則存在 c ( a, b) 使得 f ( b) f ( a) f() c b a 亦即 f ( b) f ( a) f ( c)( b a) f ( b) f ( a) 證 : 令 F( ) f ( ) f ( a) ( a) b a () F ( ) 在閉區間 [ ab, ] 上連續, 且 F ( ) 在開區間 ( ab, ) 上可微分 () F( a) F( b) 根據洛爾定理 c ( a, b) 使得 F( c) 而 F( ) f ( ) 故 f() c f ( b) f ( a) b a f ( b) f ( a) b a 例. 設 f ( ), [,] 固然 f( ) 在閉區間 [,] 上連續, 但 f( ) 在開 區間 (,) 上不是可微分函數 ( 因為 f( ) 在 不可微分 ), 故不存在 c(,) f() f( ) 上使得 f( c) ( ) 定理.. 若 f ( ), ( a, b), 則 f ( ) c, ( a, b), 其中 c 為常數 例 4. 試證明 tan cot, R 證 : 令 f ( ) tan cot, R 習題. f( ) 由定理 4.. f ( ) c, R, 其中 c 為常數 4 4 R f() tan cot tan cot,. 試證明 sin cos, (, ). 說明 f ( ) 4 在 [, ] 中滿足洛爾定理之條件, 並求 c 使得 f( c) 8 c
第. 節凹向性與反曲點 函數的遞增或遞減性質, 以及極值都是函數的重要特徵除此之外, 函數圖 形的凹向性 (concavity) 與反曲點 (inflection point) 也是函數的重要特徵鐵軌的鋪 設一定要仔細考量它們的曲度, 同時不應有密集的反曲點, 否則容易造成翻車事 件再者, 考量股價變化趨勢時, 反曲點常被視為股價翻轉的先期指標故本節 要介紹凹向性與反曲點 定義.. 凹向性 設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上可微分 () 若 f ( ) 在 ( ab, ) 為遞增, 則稱 f( ) 之圖形在 ( ab, ) 上為凹向上 (concave up) () 若 f ( ) 在 ( ab, ) 為遞減, 則稱 f( ) 之圖形在 ( ab, ) 上為凹向下 (concave down) 定理.. 凹向性之判別 設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上二次可微分 () 若 f ( ), ( a, b), 則 f( ) 之圖形在 ( ab, ) 上為凹向上 () 若 f ( ), ( a, b), 則 f( ) 之圖形在 ( ab, ) 上為凹向下 4 例. 設 f ( ), 試討論 f( ) 之圖形的凹向性 解 : f ( ) f ( ) 4 6 4 f ( ) ( ) f ( ) + - + 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為凹向上, 在區間 (, ) 上為凹向下 定義.. 反曲點 設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上連續, c ( a, b) 若 f( ) 在 ( ac, ) 上為凹向上且在 ( cb, ) 上為凹向下 ; 或者在 ( ac, ) 凹向下且在 ( ab, ) 上為凹向上, 則點 ( c, f ( c )) 為 f( ) 之圖形的反曲點 定理.. 反曲點之必要條件 設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上二次可微分 c ( a, b) 且點 ( c, f ( c )) 為 f( ) 之圖形的 反曲點, 則 f( c) 由定理 4.. 可知 : 點 ( c, f ( c )) 為 f( ) 之圖形的反曲點之必要條件為 f( c) 或 f () c 不存在故欲求 f( ) 之圖形的反曲點當從讓 (i) f( ) 或 (ii) f ( ) 不存在之所有點著手 9
4 例. 設 f ( ) 6, 試討論 f( ) 之圖形的凹向性, 並求其反曲點 4 解 : f ( ) 6 f ( ) 4 f ( ) ( )( ) 令 f ( ), ( 可能為反曲點之點 ) - f ( ) + - + 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為凹向上, 在區間 (,) 而反曲點有 (, 5) 及 (, 5) 上為凹向下 例. 設 f ( ), 試討論 f( ) 之圖形的凹向性, 並求其反曲點 解 : f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) 5 5 9 ( ) f () 不存在 可能為反曲點 f ( ) - + 故 f( ) 在區間 (,) 上為凹向下, 在區間 (, ) 上為凹向上 而反曲點有 (, ) 定理.. 以凹向性判定相關極值 設函數 f( ) 在 ( ab, ) 上二次可微分, c ( a, b) 且 f( c) ( 亦即 c 為臨界點 ) () 若 f( c) ( 凹向上 ), 則 f() c 為 f( ) 之相關極小值 () 若 f( c) ( 凹向下 ), 則 f() c 為 f( ) 之相關極大值 4 例 4. 設 f ( ), 試求 f( ) 之相關極值 4 解 :() f ( ) f ( ) 4 4 4 ( )( ) 令 f ( ),, cp () 判斷 f ( ) 4 f( ) 8 f( ) 相關極大值 f() 4 f() 相關極小值 f() 8 f() 相關極大值 4
利用凹向性判定相關極值, 有一個缺點也就是當 f( c) 且 f( c) 時, 是無法判定 f() c 是否為相關極值此時可引用下述定理判定之 定理.. 以高階導數判定相關極值 設函數 f( ) 為一函數, ( n f ) ( c), 則 () 若 n 為偶數, 且 () 若 n 為偶數, 且 ( n) c D, 且 f ( c) f ( c) f ( c), 而 f ( n f ) ( c), 則 f() c 為 f( ) 之相關極小值 ( n f ) ( c), 則 f() c 為 f( ) 之相關極大值 () 若 n 為奇數, 則 f() c 並非 f( ) 之相關極值 4 例 5. 試函數 f ( ) 4 之相關極值 4 解 :() f ( ) 4 f ( ) ( ) 令 f ( ), cp () 判斷 f ( ) 4 6 f() f() 相關極大值 f () 相關極值的情況未明 f f f ( n) ( ) 4 7 () 4 () n 為奇數 f () 並非相關極值 習題.. 在 ()~(4) 題中, 試討論函數 f 之凹向性, 並求出 f 之相關極值及反曲點 : () f ( ) () f( ) 4 () f ( ) 6 (4) f ( ) 5 6 6 5. 設三次函數 f ( ) a b c d, 其在 處有相關極大值, 在 處有相關極小值, 求 a, b, c 與 d 之值 b. 求 a 與 b 之值使 f ( ) a 有反曲點 (4,) 4. 設函數 f ( ) e 之反曲點 4
第.4 節函數圖形的描繪 描繪函數圖形, 基本上是引用描點法, 也就是先選取若干自變數 的值, 再 求對應之因變數 y 的值, 將該對應關係 (, y) 畫在座標平面上, 再用平滑的曲線依 序將各點連起來不過在繪製函數 f( ) 之圖形時, 首先除了需確認函數的定義 域 D 外, 還要繪出以下各項特徵 : f () 函數的遞增與遞減, 以及 ( 相關 ) 極值 () 圖形的凹向性, 以及反曲點 () 漸近線 (4) 截距 (intersection) 與 y 截距 (5) 對稱性 (symmetry) ()~() 項在前面各節已述及, 不再贅述此處僅就 (4) 及 (5) 項說明 截距 截距包括 截距與 y 截距, 分述如下 : () 截距 : 即圖形與 軸之交點的 座標 欲求 截距, 只要解方程式 f( ) 即可 () y 截距 欲求 y 截距, 即求 f () 之值 例. 設 f ( ), 試求 f( ) 之圖形的 截距與 y 截距 解 :() 截距 令 f ( ) ( )( )( ),, 截距 () y 截距 : 即 f () y 截距 對稱性 定義.4. 對稱性 設 f( ) 為一函數, 其定義域為 D () 若 f ( ) f ( ), Df, 則 f( ) 之圖形對稱 (symmetric) 於 y 軸 () 若 f ( ) f ( ), Df, 則 f( ) 之圖形對稱於原點 f 4
6 例. 討論以下函數的對稱性 :() f( ) 6,() f( ) 4 6 6 解 :() f ( ) ( ) ( ) 6 6 f ( ) () f ( ) 之圖形對稱於 y 軸 ( ) f( ) f ( ) ( ) 4 4 f ( ) 之圖形對稱於原點 例. 設 f ( ) 5 5, 試繪 ( ) f 之圖形 解 :() 定義域 : f D R 5 ( ) 5 f () 遞增 遞減與極點 f f 令 f ( ),, cp 5 4 ( ) 5 ( ) 5 5 5 ( )( ) - f ( ) + - - + 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為遞增, 在 (,) 而 f ( ) 相關極大值 f() 相關極小值 f() 並非相關極值 () 凹向性與反曲點 f ( ) 6 6 ( )( ) f ( ),, 可能為反曲點 令 f ( ) - + - + 上為遞減 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為凹向下, 在 (, ) (, ) 上為凹向上 (, ), (, ), (, ) 為 f( ) 之三個反曲點 7 7 而 8 8 (4) 對稱性 5 5 f( ) ( ) 5( ) 5 f ( ), R f( ) (5) 漸近線 : 無 (6) 截距 之圖形對稱於原點 4
(i) 令 f ( ) 5 ( )( ) 5 5 5,, 截距 5 5 (ii) f () y 截距 4 例 4. 設 f ( ) 6 5, 試繪出 f( ) 之圖形 4 解 :() 定義域 : f ( ) 6 5 Df R () 遞增 遞減與極點 f f 4 ( ) 6 5 ( ) 4 4 ( )( ) 令 f ( ),, cp f ( ) - + - + 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為遞減, 在 (, ) (, ) 上為遞增 而 f ( ) 4 相關極小值 f() 5 相關極大值 f( ) 4 相關極小值 () 凹向性與反曲點 f ( ) ( )( ) 令 f ( ), 可能為反曲點 f ( ) + - + 故 f( ) 在 (, ) (, ) 上為凹向上, 在 (,) 而 (, ), (, ) 為 f( ) 之二個反曲點 44 上為凹向下
(4) 對稱性 4 4 f ( ) ( ) 6( ) 5 6 5 f ( ), R f( ) 之圖形對稱於 y 軸 (5) 漸近線 : 無 (6) 截距 4 (i) 令 f ( ) 6 5 ( )( )( 5)( 5) 5,,, 5 截距 (ii) f () 5 y 截距 例 5. 設 f( ), 試繪 f( ) 之圖形 解 :() 定義域 : f ( ) D {,} f R () 遞增 遞減與極點 f ( ) f ( ) ( ) ( ) 無臨界點 無相關極點 ()( ) ( ) ( ) f ( ), Df 故 f( ) 為遞減函數 () 凹向性與反曲點 f( ) ( )( ) ( )()( )( ) ( ) 4 6 ( ) ( ) ( ) 令 f ( ) 可能為反曲點 f ( ) - + - + 45
故 f( ) 在 (, ) (,) 上為凹向下, 在 (, ) (, ) 上為凹向上 而 (, f ()) (, ) 為 f( ) 之反曲點 (4) 對稱性 f ( ) f ( ), R {,} f( ) (5) 漸近線 ( ) 之圖形對稱於原點 lim f( ) lim f( ) 之圖形有水平漸近線 y 令分母為, f( ) 圖形之垂直漸近線 ( lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) ) (6) 截距 (i) 令 f ( ) 截距 (ii) f () y 截距 習題.4. 在 ()~() 題中, 試繪出函數 f 之圖形 : () f ( ) () f( ) 4 () f ( ) (4) f ( ) 5 6 6 5 5 4 (5) f ( ) 4 4 (6) f( ) ( ) (7) f ( ) (8) f ( ) 4 5 5 4 (9) f( ) () f( ) 46
第.5 節極值的應用問題 於第. 節中已介紹極值的求解方法, 但在實際問題上, 我們可能面臨以語言或文字來敘述問題遇到這種情形, 如何依據一個具體可行的求解規則, 以有效解決問題是重要課題求解極值應用問題的步驟 : () 理解問題中之已知事實 ( 指自變數, 可能有若干個 ), 以及待求的未知量 ( 指因變數 ) () 若可能, 畫出相關圖形, 並標示出自變數 () 確立自變數與因變數的關係, 即確立目標函數 (4) 求出所有臨界點 (5) 判斷各臨界點的所發生的情況 例. 我們想由邊長 公分正方形紙板, 由四個角截去大小相同的正方形, 以做 成一個無蓋的盒子試求盒子的最大容積? 解 :() 設所截去正在方形的邊長為 公分 盒子之底 ( 為正方形 ) 的邊長為, 高為 () 盒子的體積為 f ( ) ( ), 5 () 求臨界點 : f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( )( ) 9 4 ( 5)( 5) 令 f ( ) 5, 5( 不合 ) (4) 判斷 f ( ) 4 4 f (5) f (5) Ma 例. 求點 P(, 4) 與拋物線 y 解 :() 設 Q(, y) 為拋物線 y y Q 之座標可表為 (, y ) 之最短距離的點 上之任一點 y ()P 與 Q 之距離的平方為 f ( y) ( ) ( y 4) y () f ( y) ( )( y) ( y 4) y 8 令 f ( y) y cp 47
(4) f ( y) y f () f () 5 Min 又拋物線 y 上與點 P(, 4) 距離最短之點的座標為 (, ) 例. 在第一象限中, 內接於拋物線 y 4 之矩形的最大面積 解 :() 設內接點的座標為 (, y), 其亦可表為 (, 4 ) () 內接矩形之面積為 f ( ) (4 ), () f ( ) (4 ) f ( ) (4 ) ( ) 4 令 f ( ) ( 負不合 ) (4) f ( ) 6 f ( ) 6 6 f ( ) 9 Ma 習題.5. 求拋物線 y 上與點 (, 4) 最接近之點, 又其距離為何?. 設二正數之差為 4, 求其積最小為何? 又此二數之值為何?. 設二正數之和為 4, 求其積最大為何? 又此二數之值為何? 4. 若我們欲由半徑為 r 之圓形紙張截去一個扇形, 餘者做成圓錐, 則圓錐之最 大體積為何? 5. 蘋果園主人依經過得知, 若每公畝種 4 棵蘋果樹, 成熟之果樹每年可收成 6 個蘋果又若每公畝多種 棵果樹, 則成熟之果樹每年少收成 個蘋果若 欲使產量最大, 則每公畝應種多少棵果樹? 6. 證明 : 點 P(, y ) 至直線 L : a by c 之最短距離為 a by c d( P, L) a b 7. 一窗戶之形狀為一矩形加一半圓若窗戶的周長為 l, 則窗戶最大面積為何? 8. 求點 (,) 與圓 y 之最短距離 y 9. 求內接於橢圓 之矩形的最大面積為何? a b. 已知標的物位於點 (4, ) 的位置, 競爭者沿直線 4y 逼進標的物, 試問手槍之射程至少為何方可擊中標的物, 又應在何處射擊 48
第.6 節羅比達律 在求函數之極限時, 當收斂或發散的情況已明確, 則稱此型式之極限為定型 ; 又當極限收斂與否並不明確時, 則稱該極限為不定型注意 : 不定型是求極限的過程中所面臨的一種情境, 透過不斷試算, 極限存在與否終將明確而不定型計有 7 種型態, 其求極限的方法概述如表.6. 表.6. 不定型的種類及其求解方法 序號型態處理方法 () 透過因式分解, 直接約去共同因子 ; 或乘上有理化因 式, 再約去共同因子 () 此 型合稱為基本型, 當分子與分母均可微分時, 可 引用羅比達律 透過通分, 或乘上有理化因式, 轉換成基本型再做 4 移動 項到分母, 轉換成基本型再做 5 () 此 型合稱冪次型 6 7 () 可利用 ep( ) 與 ln 互為反函數, 且連續的性質, 來求 解冪次型極限的問題 由上表可知 : 羅比達律是求解極限的重要方法, 將介紹於後如果要證明羅 比達律, 則需先了解柯西均值定理 ( 法國數學家柯西所提出 ) 定理.6. 柯西均值定理設二函數 f( ) 與 g ( ) 在 [ ab, ] 上均連續, 在 ( ab, ) 上均可微分若 g( ), ( a, b), 則存在 c ( a, b) 使得 f ( b) f ( a) f ( c) g( b) g( a) g ( c) f ( ) f ( a) g( ) g( a) 證 : 令 F( ) f ( ) f ( a) g( ) g( a) F ( ) 在 [ ab, ] 上均連續, 在 ( ab, ) 上均可微分, F( a) F( b) 根據洛爾定理 c ( a, b) s. t. F( c) f ( b) f ( a) 而 F( c) f ( c) g( c) g( b) g( a) f ( b) f ( a) f ( c) 故 g( b) g( a) g ( c) 49
定理.6. 羅比達律第一型 ( 型 ) 設二函數 f( ) 與 g ( ) 在 ( a, c) ( c, b) 上均可微分, lim f ( ) lim g( ), f( ) g( ), ( a, c) ( c, b), 且 lim c g ( ) c c 收斂或發散至 ( ), 則 f ( ) f ( ) lim lim ( 表 = 左右二極限有相同的斂散性 ) c g( ) c g( ) 例. 求 lim 解 : lim( ), lim( ) 屬 型, 又分子與分母均可微分 lim lim cos 例. 求 lim 解 : lim( cos ), lim 屬 型, 又分子與分母均可微分 cos ( sin ) sin lim lim lim,( ) cos lim 定理.6. 羅比達律第二型 ( 型 ) 設二函數 f( ) 與 g ( ) 在 ( a, c) ( c, b) 上均可微分, lim f( ) ( ), f( ) lim g ( ) ( ), g( ), ( a, c) ( c, b), 且 lim 收斂或發散至 c c g ( ) ( ), 則 c f ( ) f ( ) lim lim ( 表 = 左右二極限有相同的斂散性 ) c g( ) c g( ) 前述羅比達律在 ( ) 時, 仍然適用 例. 求 lim e 5
解 : lim lim e lim lim,( ) e e 屬 型, 又分子與分母均可微分 lim e sin 例 4. 求 lim 解 : 如果引用羅比達律會是這樣子的 : sin cos lim lim 極限不存在 其實這是不對的 ( 再仔細看看定理.6. 及定理.6. 羅比達律 )正確做法如下 : sin lim, lim ( 用挾擠定理求之 ) sin sin lim lim lim 例 5. 求 lim sin 解 : lim, lim sin 屬 型 ( 通常移 項至分母, 轉換為 ( ) sin lim sin lim,( ) cos lim lim cos ) 例 6. 求 lim sin 解 : lim, lim sin 屬 型 ( 通分後, 轉換為 ( ) ) 5
sin lim lim,( ) sin sin cos lim,( ) sin cos sin lim cos cos ( sin ) 求極限 lim f( ), 遇到,, 等 型時, 可採以下步驟 : a () 對原極限式, 先取對數函數 ln, 再取指數函數 ep, 即 lim f ( ) limep(ln f ( )) a a () 因為指數函數 ep 為連續函數, 故可先將 lim 移入 ep 內, 即 limep(ln f ( )) ep(limln f ( )) a a () 此時, 已將,, 等 型轉換為,,, 等 4 型如果為基本型 (, ), 則引用羅比達律 ; 又如果為, 等 型, 則還需轉換成基本型 再做 a 例 7. 求 lim 解 : 明顯的, 此極限屬 型 lim lim ep(ln ) ep( lim ln ),( ) ln ep(lim ),( ) ep( lim ) ep( lim ) ep() 例 8. 求 lim( ) 解 : 明顯的, 此極限屬 型 ln( ) lim( ) lim ep(ln( ) ) ep(lim ),( ) ep(lim ) ep() e 例 9. 求 lim( a), 其中 a 5
解 : 明顯的, 此極限屬 型 ln( a) lim( a) lim ep(ln( a) ) ep(lim ),( ) a ep(lim a ) ep() 習題.6. 試求以下諸極限 : () lim 5 5 cos () lim (5) lim ln (7) lim sin () lim ln ln (4) lim ln (6) lim ln sin (8) lim sin ln (9) lim( ) b () lim( a),( ab ) 5 () lim( e ) () lim () lim( ) sin (4) lim 9 sin, ;. 設 f( ) 5 a,., 試求 a 值使 f( ) 為連續函數 a 4. 已知 lim e a, 求 a 值 5