極大值與極小值 第二章 導數的應用 1. 最大值 : 最小值 : 極大值 : 極小值 : 說明 :(1) 最大值又稱為絕對極大值, 最小值又稱為絕對極小值極大值也稱為相對極大值或局部極大值 () 最大值一定是極大值 ; 但極大值不一定是最大值 (3) 最大值與最小值最多只能各有一個 ; 但極大值與極小值可能有很多個 (4) 最大值一定比最小值大 ; 但極大值卻不一定比極小值大. 定理一 : 若函數 f (x) 在 x = a 處有極值, 且 f (x) 在 x = a 處可微分, 則 f (a) = 3. 函數 f (x) 的極值只可能出現在下列三種情形 : (1) 滿足 f (a) = 的點 a 有水平切線 () f (x) 不可微分的點 例如折點或不連續的點 (3) f (x) 的定義域的端點 4. 定理二 : 函數 f (x) 在 a 點附近的各點都可微分, 且 f (a) = (1) 若在 a 點附近, 當 x<a 時, f (x) >; 當 x>a 時, f (x) <, 則 f (x) 在 x = a 處有極大值 1
() 若在 a 點附近, 當 x<a 時, f (x) <; 當 x>a 時, f (x) >, 則 f (x) 在 x = a 處有極小值 5. f (x) 是可微分函數, 若 f (a) 是極值, 則 f (a) = ; 但 f (a) =, f (a) 不一定是極值, 可能是反曲點 6. f (x) 是可微分函數, 且 f (a) 存在 (1) 若 f (a) =, f (a ) > f (a) 是極小值 () 若 f (a) =, f (a ) < f (a) 是極大值 (3) f (a ) > 表示凹口向上 (4) f (a) < 表示凹口向下 (3) f (a) = 表示反曲點 多項函數的極值 3 例 1. 求 = x 3x 9x 的極大值與極小值 [ 7, 5 ] 3 例. 求 = x 3x ( x 3) 的絕對極大值與絕對極小值 [ 18, ] 練習題 3 (1) 求 = x 3x 9x 的極大值與極小值 [ 5, 7 ] 3 () 求 x 3x 9x = ( 4 4) x 的絕對極大值與絕對極小值 [ 5, 76 ]
絕對值型與離散型函數 : 畫出圖形觀察之 注意折點 不連續之點 端點 1 3 1 例 3. 求函數 = x 3x x x 1 的極值 3 例 4. 函數 f 3x 5 x 3 x) = x 4x 7 x 1 ( x < x 1 1 < x 3 3 < x 4 求 f (x) 的極大值 極小值 最大值與最小值 練習題 (1) = x x, 試求 f (x) 之極值及對應之 x 值 [ x = 1時有極小值 1 ] x 4 3 x < 1 () = x 1 1 x < 1 試求 f (x) 之極值 x 1 x < [x= 3 時有極小值,x= 1時有極大值,x= 時有極小值 1 ] 有理函數的極值 x 1 1 1 例 5. 求 = 之極值 [ 極大值, 極小值 ] x 3 6 練習題 : x (1) 求 = 之極值 [ 極大值 x 1 f ( 1) = 1, 極小值 1 f ( 1) = ] 3
() 求 = x 之極值 [ 極小值 f ( 1) =, f (1) = ] x 1 (3) 求 1 x = 之極值 [ 無極值 ] 1 x 無理函數的極值 : 注意 x 之範圍限制 例 6. = x x x, 試求 f (x) 之最大值 最小值及對應之 x 值 [ x = 時最大值為 1,x = 時最小值為 ] 練習題 : 求下列各函數之極值 x 1 (1) = x 1 [ x=1 時有極小值, x= 時有極大值 ] () = 3 x [ x= 時有極小值 3 ] (3) x = x 3 [ = 4 x 時有極大值,x= 4 時有極小值 16 ] 例 7. 三次函數 [ x = 4 時有極小值, x=4 時有極大值 16 ] f (x), 在 x = 1 處有極小值 4, 且 lim = 3, 求 f (x) x x 3 [ 5x 6x 3x ] 例 8. 三次函數 f (x) 的圖形在 x = 1 處的切線為 y = 4x 3, 在 x = 1處有極小值 7, 練習題 : 3 67 求 f (x) 與極大值 [ = x x 5x 4, 極大值為 ] 7 (1) 三次函數 3 = x ax 3ax 4a, 在 x = 1處有極大值, 4
則 a =, 當 x = 時, f (x) 有極小值 () 三次函數 f (x) 的圖形在 x = 1 處的切線為 8 x y =, 且在 [ 3, 3, 9 ] 1 x = 處有 3 極大值 56, 求 7 [ 3 f (x) 4x 7x 6x 1 ] 應用問題注意範圍限制 例 9. 點 P(,1) 到拋物線 y = x 的最短距離為 [ 11 6 4 3 ] 練習題 拋物線 y = x x 1上一點 P,O 為原點, 當 P 為時,OP 有最小值 [( 1 1, ), ] 4 45 例 1. 半徑為 r 之球, 其內接直圓錐體之最大體積為 [ 3 r 81 π 3 ] 例 11. 半徑為 1cm 之球, 其內接直圓柱體有最大體積時, 此時底半徑為, 高為 [ 1 6 3, ] 3 3 練習題 : (1) 有一直圓錐, 底半徑為 4, 高為 1, 其內接直圓柱體之最大體積為 56 [ π ] 9 () 邊長 18cm 的正方形硬紙板, 四角各截去一個全等的小正方形, 摺成一個無蓋之紙盒, 求此紙盒之最大容積為 cm 3 [ 43 ] 5
函數圖型的描繪 一 描繪函數圖形的步驟 : 1. 求出極大值與極小值. 決定圖形上升 下降的變化狀況 3. 利用圖形彎曲方向的變化情形描繪出圖形的大略形狀 二 遞增函數與遞減函數 : 函數 f (x) 在 (a,b) 內的每一點都可微分, 1. 若 f (x) 在 (a,b) 內每一點的導數都是負數, 則 f (x) 在 (a,b) 上為遞減函數. 若 f (x) 在 (a,b) 內每一點的導數都是正數, 則 f (x) 在 (a,b) 上為遞增函數 三 凹口方向 : 1. x = a 時, 凹口向上 P 點沿曲線 y = f (x) 運動時, 在 ( a, f ( a) ) 處向左彎在 ( a, f ( a) ) 處之切線斜率隨 a 之增加而增加 f (x) 在 x = a 附近為增函數 f (a) >. x = a 時, 凹口向下 P 點沿曲線 y = f (x) 運動時, 在 ( a, f ( a) ) 處向右彎在 ( a, f ( a) ) 處之切線斜率隨 a 之增加而減少 f (x) 在 x = a 附近為減函數 f (a) < 6
3. 反曲點 ( 拐點 ) (1) 函數 y = f (x) 在 ( a, f ( a) ) 處附近, 若 x<a 時 f (x) 的凹向與 x>a 時 f (x) 的凹向相反, 則點 ( a, f (a) ) 稱為 f (x) 的一個反曲點 () f (a) =, 則在 x = a 處為反曲點 四 判斷極大值與極小值 : 函數 f (x) 在 a 點附近都可微分, 且 f (a ) 存在 (1) f (a) =, f (a ) <, 則 f (x) 在 x = a 處有極大值 () f (a) =, f (a ) >, 則 f (x) 在 x = a 處有極小值 五 三次函數的圖形 : 3 = ax bx cx d (1) a> () a< 7
3 1. = ax bx cx d f ( x) = 3ax bx c f ( x) = 6ax b 方程式 f ( x) = 可能有相異兩實數解, 一實數解或無解方程式 f ( x) = 恰有一解. 各種情形如下 :( 參考上圖 ) (1) 方程式 f ( x) = 有相異兩實數解方程式 f ( x) = 恰有一解 () 方程式 f ( x) = 有等根方程式 f ( x) = 恰有一解 (3) 方程式 f ( x) = 無解方程式 f ( x) = 恰有一解例 1. 討論下列函數的遞增 遞減情形 3 (1) = x 3x 9x [ x 3 或 x 1 遞減 3 x 1 遞增 ] () x = [ x 或 x 遞增 x 遞減 ] x 4 5 3 3 (3) = x 5x [ x 或 x 遞增 x 遞減 ] x x 1 (4) = x 1 重點 : 假分式時先化為帶分式 導數比較好計算 [ x -3 或 x 1 遞增 -3 x<-1 或 -1<x 1 遞減 ] 8
練習題 : 3 1. 試證 : = x 3x 5x 3為遞增函數 1 3. a 為實數, 試證 : = x ax 3a x 為遞減函數 6 例. 討論下列函數的凹向情形 3 (1) = x 3x 9x [ x>-1 凹口向下, x<-1 凹口向上 ] () x = x 4 [ x < 3, < x < 3 凹口向上, 3 < x <, x > 3 凹口向下 ] 練習題 : 1. = x 4x 1 [ 凹口向上 ] 例 3. 試描繪下列函數圖形 3 (1) = x 3x 9 x () x = x 4 例 4. 設 = x 1 x (1) 求 f (x) 的定義域 [{x -1 x 1} ] () 求 f (x) 與 f (x ) (3) 討論 f (x) 的增減情形與凹向, 並畫出圖形 (4) 求 f (x) 的極值, 及其對應的 x 值 9
練習題 1. 設 = x 3 x (1) 求 f (x) 的定義域 () 求 f (x) 的極大點坐標 (3) 求 f (x) 的反曲點坐標 (4) 討論 f (x) 的增減情形與凹向, 並畫出圖形 重點 : 三次函數的圖形對稱於反曲點即反曲點是三次函數圖形的對稱中心 例 5. 曲線 y = x 3 x 3x 1 的對稱中心是 [(/3, 11/7) ] 重點 :deg f (x) =3 若函數 f(x) 沒有極值 方程式 f (x)= 沒有兩個相異的實數解方程式 f (x)= 的判別式 D 3 例 6. (1) 函數 = x 8x kx 6無極值, 求 k 之範圍 [ k -64/3 ] 3 () 函數 = x 3x ax 1無極值, 求 a 之範圍 [ a 3 ] 3 (3) 函數 = x 3ax 3( a ) x 1有極大值與極小值, 求 a 之範圍 [ a<-1 或 a> ] 1
3 例 7. 三次函數 = ax bx cx d 的圖形如右 試判別 a,b,c,d 之正負 [ a>,b>,c>,d< ] 練習題 : 3 1. 三次函數 = ax bx cx d 的圖形如右 試判別 a,b,c,d 之正負 [ a>,b>,c>,d> ] 3. 三次函數 = ax bx cx d 的圖形如右 試判別 a,b,c,d 之正負 [ a>,b<,c>,d> ] 3 3. 三次函數 = ax bx cx d 的圖形如右 試判別 a,b,c,d 之正負 [ a<,b<,c<,d> ] 3 4. 三次函數 = ax bx cx d 的圖形如右 試判別 a,b,c,d 之正負 [ a>,b>,c>,d> ] 重點 :degf(x)=3 (1) 若 f(x)= 有二正一負根 y=f(x) 的圖形與 x 軸有三個交點, 且有二個交點在正向, 一個在負向 11
()f(a) 與 f(b) 為 f(x) 的極值, 且 f(x)= 有三個相異實根 f(a)f(b) < 例 8. x 3 3x 4x k = 有相異二正一負根, 求 k 之範圍 [ <k<8 ] 3 例 9. 求 x ax b = 有相異三實根的條件 [ 4a 3 7b < ] 例 1. 3x 4 8x 3 6x 4x a = 有相異二實根, 二虛根, 求 a 之範圍 [-8<a<19 或 a<-13 ] 3 例 11. x x a = 有相異二正一負根, 求 a 之範圍 [-4/7<a< ] 練習題 : 1. x 3 3x 9x k = 有相異二正一負根, 求 k 之範圍 [-5<k< ]. x 3 3x a = 有相異二正一負根, 求 a 之範圍 [-4<a< ] 4 3 3. x x x a = 有四個不等的實根, 求 a 之範圍 [-1/16<a< ] 4. 試判別 x 3 x a = 的正根與負根之個數 [ 二正一負 ] 1
圓錐曲線的切線與法線 1. 利用隱函數的微分求切線 函數 y=g(x), 切點 (a.f(a)), 則切線 : y f ( a) = f ( a)( x a). 已知切點求切線 一個變, 一個不變 圓錐曲線 : 一般式 ax bxy cy dx ey f = 切線 ax x b xy yx cy y d x x e y y f = xy 規則 : x xx, y yx yy, xy, x x x, y y, 常數項 不變 y 3. 已知斜率 m, 求切線方法一判別式法 1 設切線 y = mx k 代入二次式中 3 相切 判別式 D=, 可求得 k 方法二 曲線方程式 切線方程式 公式法 圓 x y =r y = mx ± r 1 m (x-h) (y-k) =r 拋物線 橢圓 雙曲線 ( y =4ax y k = m( x h) ± r 1 m a y = mx m y = mx am x =4ay (y-x) =4a(x-h) y k = m( x h) (x-h) =4a(y-k) a h) a a m y k = m( x h) am x y = 1 y = mx ± m a b b x ( y k) b y = 1 b = 1 y k = m( x h) ± m a b x y = mx ± m a b a y x = 1 y = mx ± m a b a b ( x h) ( y k) = 1 y k = m( x h) ± m a b a b ( y k) ( x h) = 1 y k = m( x h) ± m a b b a 13
4. 過曲線外一點 P(x,y ), 求切線方法一判別式法 1 設切線 y y = m( x x ) 代入二次式中 3 相切 判別式 D=, 可求得 m 缺點 : 無法得知切點坐標方法二 1 設切線斜率為 m 由公式法可寫出切線方程式 L 3 P 在 L 上,P(x,y ) 代入, 可求得 m 缺點 : 無法得知切點坐標方法三利用一個變, 一個不變 1 設切點為 A(x 1,y 1 ) 利用一個變, 一個不變, 可寫出切線方程式 L 3 P 在 L 上,A 在曲線上, 代入解聯立, 可求得 x 1,y 1 優點 : 可得知切點坐標 5. 圓錐曲線的光學性質 (1) 過拋物線上任意點的切線與過此點的焦半徑所夾的銳角等於此切線與過此點而平行於拋物線之軸的直線所夾的銳角 () 橢圓的任意切線與過切點的兩焦半徑所夾的銳角相等 (3) 雙曲線的任意切線與過切點的兩焦半徑所夾的銳角相等 14
例 1. 求過拋物線 4x y = 3 上一點 P(3,-3) 的切線方程式 [ x3y=-3 ] 例. 求過 A(3,-1) 而與圓 x y = 5 相切的直線方程式 [ x-y=5 or xy=5 ] 例 3. 求點 (1,-1) 關於 x xy 3y x y 3 = 的切線與法線方程式 [ xy-1=, x-y-3= ] ] 例 4. 不論 a 為任何實數, 拋物線 y = x ( a 3) x a 8a 恆與一條直線 L 相切, 求 L 的方程式為 [y=x-16 ] 例 5. 求過點 (,-) 且與橢圓 Γ: x y 4x y 6 = 相切的直線方程式, 切點及法線 [ 4xy-6=,(1,),x-4y7= ; y=,(-1,-),x1= ] 重點 : 欲求切點, 先設切點, 再利用一個變, 一個不變 例 6. 橢圓 x y = 1 4 9 在直線 xy-= 上之射影長為 [ 4 ] 15
例 7. 求橢圓 x = y 4 與拋物線 y = 4 x 之公切線方程式 1 1 [ y = x, y = x ] 證明題 例 8. 設 Px (, y) 為曲線 ax bxy cy dx ey f = 上一點, 則過 P 的切線為 ax x b xy yx cy y d x x e y y f = 例 9. 試證 : 橢圓之兩焦點到其任一切線的距離乘積為一個定值 例 1. 過拋物線上任意點的切線與過此點的焦半徑所夾的銳角等於此切線與過此點而平行於拋物線之軸的直線所夾的銳角 例 11. 橢圓的任意切線與過切點的兩焦半徑所夾的銳角相等 16
例 1. 設過雙曲線上任一點 P 的切線與其兩條漸近線相交於 Q R 兩點, 試證 : PQ = PR 例 13. 設過雙曲線上任一點 P 的切線與其兩條漸近線所圍成的三角形的面積為一個定值, 試證之 17