iv 2 6 [1] [2] [1] A.. [ ], [ ]. 3 [M]. :, 2008 [2] R. [ ], [ ]. [M]. :, 2013 [3]. [M]. :, [4]. 2 [M]. :, [5]. 2 [M]. :, [6]
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- 夸 弘
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3 iv 2 6 [1] [2] [1] A.. [ ], [ ]. 3 [M]. :, 2008 [2] R. [ ], [ ]. [M]. :, 2013 [3]. [M]. :, [4]. 2 [M]. :, [5]. 2 [M]. :, [6],,. [M]. :, 2000.
4 3 a b c d e a c
5 vi b P 10 i=1 a i a a
6 vii xx T x T x Ax + b 1 c 2 # p 1 p = p + 1 #
7 viii p = p + 1 d e a 3
8 ix 1 Ruby Ruby Ruby Ruby Ruby Ruby Ruby Ruby 1
9 Ruby Gnuplot Maxima xlispstat
10 m n A n m n x n m m Ax F
11 xii A ( ) A = A = det A =
12 xiii 0 A 0 ( ) 0 0 A = A 0 det A = 0
13 xiv A ( ) A = A 0.5 deta < 0
14 xv A ( ) A = A A 1 ( ) ( ) ( A ) ( )
15 xvi ( ) A =
16 xvii ( ) A = = 0.39 det A = 0.39 =
17 xviii A ( ) A = A A Im A 1 (rank A = 1) (rank A < 2) A rank A = 2 A det A = 0 ( ) ( 1 0 A 1 01 ) A 2
18 xix ( ) A = = 0
19 xx A ( ) A = p A Ker A p 2 Ker A 1 = Im A 1
20 xxi ( ) 1 2 A = ( ) det A < 0 ( ) ( ) det = det
21 = = = 44
22 xxiii =??? =
23 xxiv LU LU LU LU LU LU LU LU LU Jordan
24 xxv Jordan Jordan Jordan Jordan Jordan Jacobi QR QR QR Hessenberg Householder Hessenberg QR
25 xxvi A 330 B 331 C 336 D 341 D.1 dx/dt = f(x) 341 D.2 dx/dt = ax + g(t) 342 E 346 E E E E E E E E E F 354 F F F
26 n 1
27
28
29
30
31 ( ) /7 3 π (2, 3, 5, 8) 2 (2, 3, 5, 8) T = T Transpose T = (2, 3, 5, 8) f x f(x) A x Ax x xa f(x) x.f 1 2
32 , 1, 2, 3,, 2, 1, 0, 1, 2, ( ) + ( ) i i (i 2 = 1) i 2 x 1 y 1 x 1 + y =. : = 14 (1.1) x n y n x n + y n c x 1 cx c. =. : 3 9 = 27 (1.2) x n cx n j c, x j cx j x j, cx j
33 x 1 y 1.. = x 1 y 1., x 1. / x 1 /y 1 =. y 1. x n y n x n y n x n y n x n /y n x + y = z x y z x y z x + y = z xy = z x y z xy x v e x v e 0 o = (0,, 0) T ( 1)x x x + ( 1)y x y 2x + 3y (2x) + (3y) c c x y
34 (3, 5) T 3 5 ( 2.2, 1.5) T o = (0, 0) T O 3 3 O
35 a + b = b + a a b b a 1.5 (a) a
36 x O 1 2 x v e x x o
37 x = (x 1, x 2 ) T x x E 1.8 x = (x 1, x 2 ) T y = (y 1, y 2 ) T x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 E x y n E x = (x 1, x 2, x 3 ) T y = (y 1, y 2, y 3 ) T x y = ((x 2 y 3 x 3 y 2 ), (x 3 y 1 x 1 y 3 ), (x 1 y 2 x 2 y 1 )) T
38 [6] 1 3 x y x y x y [6] 1.9 v 1.4 e 1 e 2 e 1 3 e 2 2 v v = 3 e e 2 1 [6]
39 e 1 e 2 e 1 3 e 2 2 ( e 1, e 2 ) v v = (3, 2) T 1 ( e 1, e 2 ) e 1 e v v v v 1
40 v v = (v 1, v 2 ) T v 1, v 2 v v v v 1 v v 2 p p
41 Jacobian ( e 1,, e n ) 1. v v = x 1 e x n e n x 1,, x n
42 x = (x 1,, x n ) T y = (y 1,, y n ) T x y (x 1,, x n ) T (x 1,, x n) T x 1 e x n e n x 1 e x n e n x 1 e x n e n = x 1 e x n e n (x 1,, x n ) T = (x 1,, x n) T 1 u 1 e u n e n = o u 1 = = u n = 0 2 x 1 e x n e n = x 1 e x n e n (x 1 x 1) e (x n x n) e n = o 1 A B B A 2 e 1,, e n 2.3.4
43 18 1 u 1 = x 1 x 1 u 2 = x 2 x 2 u 1 e u n e n e 1,, e n u 1,, u n u 1 e u n e n e 1,, e n 1 x e 1,, e n ( e 1,, e n ) n n = = C 1.13 x = (x 1, x 2, x 3, ) y = (y 1, y 2, y 3, ) c u = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3, ) v = (cx 1, cx 2, cx 3, ) u = x + y v = cx D.1 1 u 1,, u n
44 v x y c x + y = (x 1 + y 1 ) e (x n + y n ) e n c x = (cx 1 ) e (cx n ) e n
45 20 1 ( ) ( ) /7 7 π A i j A (i, j) (2, 1) 7 (1, 3) 1/7 (i, j) a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a A = (a ij ) row column
46 a 11 a 1n b 11 b 1n a 11 + b 11 a 1n + b 1n =.. (1.3) a m1 a mn : b m1 b mn a m1 + b m1 a mn + b mn ( ) ( ) ( ) = c a 11 a 1n c.. = ca 11 ca 1n.. (1.4) a m1 a mn ca m1 ca mn ( ) ( ) : 3 = A = ( 1)A A B = A + ( B) 2A + 3B = (2A) + (3B) x x x y y y = a x + a x + a x (1.5) y = a x + a x + a x (1.6) a a ( y y ) ( ) a a a = a a a x x x (1.7)
47 22 1 x x x a m n n a 11 a 1n x 1 a 11 x a 1n x n... =. (1.8) a m1 a mn x n a m1 x a mn x n : 2 7 ( ) = = x x x y y a x + a x + a x 1 A x + y = z Ax + Ay = Az cx = y c(ax) = Ay A x y z c 3
48 f(x + y) = f(x) + f(y) f(cx) = cf(x) f x, y c f(x) A f e 1 = (1, 0, 0,, 0) T e 2 = (0, 1, 0,, 0) T f a i = f(e i ) x = (x 1,, x n ) T f(x) = x 1 a x n a n a 1,, a n A = (a 1,, a n ) A f(x) f(x) = Ax ( ) = = n 1 n ( 31 4 ) n 1 n m n n 1 m n n
49 j i y = Ax (i, j) j i x x y y y = a x + a x = x + x y = a x + a x = 2x + 4x a = a = ( ) ( y a = y a a a ) ( ) ( ) ( x 1 1 = x A B x x )
50 a a 11 a 21 a a 12 a 22 a 32 x 1 1 x y 1 y 2 = a ( ) 11 a 12 a 21 a 22 x 1 x y 3 a 31 a y = Ax LCR y = Ax n x m n A m y = Ax A 1 1 n m
51 A = ( ) x Ruby 1 Ax Gnuplot 2 F 1.10 A = ` x A
52 O 1 A e 1 = ( ) ( ) 0.7 e2 = ( ) ( ) 0.6 A 1 e 1 A 2 e 2 e 1 e 2 m n A n m A 1 e 1 2 e e 1, e 2, 2 A B Ax = Bx x A = B Ae 1 = Be 1 A 1 B 1 Ae 2 = Be 2 A 2 B 2 x A = ` ` B = x = (0, 1) T Ax = Bx = (0, 3) T A B
53 = k m B = (b ij ) m n A = (a jp ) b 11 b 1m a 11 a 1n.... b k1 b km a m1 a mn (b 11 a b 1m a m1 ) (b 11 a 1n + + b 1m a mn ) =.. (1.9) (b k1 a b km a m1 ) (b k1 a 1n + + b km a mn ) : 2 7 ( ) ( ) ( ) = 2 1 ( ) ( ) = ( ) ( ) 10 9 k m m n k n a 11 a 1n B.. B a 11.,, B a 1n. a m1 a mn a m1 a mn b 11 a b 1m a m1 b 11 a 1n + + b 1m a mn.,,. b k1 a b km a m1 b k1 a 1n + + b km a mn (b 11 a b 1m a m1 ) (b 11 a 1n + + b 1m a mn ).. (b k1 a b km a m1 ) (b k1 a 1n + + b km a mn )
54 x A y = Ax y B z = B(Ax) BA x z x A BA 1.12 y B z 1.12 A B BA (BA)x = B(Ax) x BAx (BA)x B(Ax) 1.13 B A 1.13 z = (BA)x B i A j z i x j BA (i, j) B i A j 1.9
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