數學 數學考科 武陵高中 洪榮良 老師 翰林我的網即將刊登 100 學測模擬卷 word 檔 敬請期待 發行人 陳炳亨 出 總召集 周耀琨 發行所 7 0 4 8 臺南市新樂路 76 號 版 民國九十九年十月 總編輯 蔣海燕 編輯部 7 0 5 臺南市新忠路 8-1 號 主 編 陳俊龍 電 校 對 李忠穎 E-mail periodical@hanlin.com.tw 美 編 黃素美 翰林我的網 http://www.worldone.com.tw NO.00847 話 (06)61961 #314 本書內容同步刊載於翰林我的網 http://www.worldone.com.tw ZXCV
ZX100 ZX 數學 武陵高中 洪榮良老師 壹前言 從 91 起, 大學入學考試分為在寒假舉行 學科能力測驗 和在暑假舉行的 指定科目考試 學科能力測驗 主要適用的入學方式是推薦甄試與申請入學 早期, 各主要大學在推甄與申請釋放的名額並不多, 故大部分的學生還是利用指考的管道進入大學 ; 近年來, 各大學漸漸重視推薦甄試與申請入學這兩種管道, 有些科系甚至於將錄取總額的六成放在這兩個管道, 使得 學科能力測驗 愈來愈受到重視 在七月的分發入學, 有些科系也會採計 學科能力測驗 的成績, 更顯 學科能力測驗 的重要性 民國 100 年, 教育部規劃將 繁星計畫 與 推薦甄試 合併為 繁星推甄, 利用此管道的招生名額, 預計增加到 8000 名, 其中錄取條件之一, 須 100 學科能力測驗成績通過校系之檢定標準, 故同學不可再有 學科能力測驗 考不好還有 指定科目考試 這種錯誤的觀念 貳命題範圍 100 年學測命題範圍與 99 相同, 為 95 年實施的 九五暫綱, 數學考科的範圍涵蓋所有高一 高二的全部章節 在 98 前的考古題中, 須排除 和差化積 反三角函數的基本概念 和 三階行列式 的試題, 還要納入 信賴區間與信心水準 同時, 三角函數的圖形中, 餘切 正割 餘割 的圖形亦不納入命題範圍 其中 信賴區間與信心水準 為 九五暫綱 的新增內容, 亦成為近年來 學科能力測驗 的熱門考題, 卻也是教師或考生概念比較不清晰的單元, 故復習此單元時更需花時間將概念弄清楚 參配分 依大考中心的測驗目標來分類, 學科能力測驗 的試題可分為以下三類: 1 概念性試題 : 評量考生是否了解數學的基本概念 程序性試題 : 評量考生是否以適當的程序運算數與符號 3 解題能力知識 : 評量考生是否運用推理能力, 或用數學語言來表達解題過程, 並使用相關的數學知識或策略轉換問題
表一 91 99 數學考題單元分數分布表冊別第一三多項式 0 5 5 10 10 15 5 5 5 第二5 5 10 5 0 5 5 10 0 第三三圓與球面 5 0 5 5 0 5 5 5 5 第四數學 學科能力測驗的測驗目標主要在檢測考生是否具備各考科的一般知能, 也就是是否具備就讀大學所需要的基本學科能力, 考試的範圍較小, 難度較低 數學考科測驗時間為 100 分鐘, 共 0 個題目, 每題 5 分, 題型包含了單選題 多選題與選填題 選擇題計分方式為單選題答錯不倒扣, 多選題自 100 起, 改為以往指考多選題的扣分方式, 但扣到該題零分為止 ; 近年來, 選擇題維持在 11 題或 1 題, 填充題在 8 題到 9 題 近年來, 題目的難度稍有增加, 但所有題目解題的概念都來自於課本的基本觀念, 只是同學對陌生題目的解讀能力較差, 故同學在準備上, 除熟悉基本概念外, 對於從沒看過的題目的分析與對題目的解讀亦須加強 肆歷年各單元占分 一 91~99 數學考題各單元所占分數 章節單元 91 9 93 94 95 96 97 98 一數與坐標系 35 小 0 小 10 小 15 小 5 小 5 小 15 小 15 小 0 小冊二數列與級數 5 計 0 計 5 計 5 計 5 計 5 計 5 計 5 計 5 計 40 5 0 30 40 5 5 5 99 10 一指數與對數 5 10 10 10 5 10 15 5 5 三角函數的小小小小小小小小二 5 5 5 5 0 5 5 10 0 冊基本概念計計計計計計計計 三角函數的 15 0 5 0 5 0 5 5 三性質與應用 一向量 10 10 10 10 5 10 10 5 0 小小小小小小小小空間中的冊二 5 計 5 計 10 計 10 計 0 計 5 計 10 計 15 計 5 直線與平面 0 15 5 5 5 0 5 5 小計 5 小計 30 一圓錐曲線 5 10 5 10 5 15 10 10 15 小小小小小小小小二排列 組合 5 0 5 5 10 5 5 0 10 冊計計計計計計計計機率與統計三 15 5 15 5 15 5 10 5 15 30 10 30 5 0 15 5 10 (I) 小 計 35 由表一統計資料可看出 : 學科能力測驗 因題目較多, 故各單元比例分配大致平均, 準備時各單元都不可偏廢 近二年第二冊第三章 ( 三角函數的性質與應用 ) 第三冊第二章 ( 空間中的直線與平面 ) 第四冊第一章( 圓錐曲線 ) 第四冊第三章機率與統計 (I) 等章節, 更是出題重點
ZX100 二近五年學科能力測驗數學科原始分數與級分對照表 ( 資料來源 : 大考中心 ) 表二近五年學科能力測驗數學科原始分數與級分對照表 95 96 97 98 99 級距 6.67 6.7 6.51 5.97 6.3 級分分數區間百分比分數區間百分比分數區間百分比分數區間百分比分數區間百分比 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 93.39 100.00 86.7 93.38 80.05 86.71 73.38 80.04 66.71 73.37 60.04 66.70 53.37 60.03 46.70 53.36 40.03 46.69 33.36 40.0 6.69 33.35 0.0 6.68 13.35 0.01 6.68 13.34 0.01 6.67 0.00 0.00 3.36 4.38 3.11 5.15 5.95 4.56 7.7 8.66 6.39 87.79 100.00 81.5 87.78 75.5 81.51 68.98 75.4 6.71 68.97 56.44 6.70 50.17 56.43 43.90 50.16 37.63 43.89 10.43 31.36 37.6 10.88 5.09 31.35 7.9 18.8 5.08 10.7 1.55 18.81 7.65.85 0.89 6.8 1.54 0.01 6.7 0.00 0.00 1.4 1.94 1.8 3.7 3.3 6.47 5.6 91.15 100.00 84.64 91.14 78.13 84.63 71.6 78.1 65.11 71.61 58.60 65.10 5.09 58.59 10.68 45.58 5.08 8.57 39.07 45.57 14.45 3.56 39.06 9.93 13.7 7.65 8..36 0.46 6.05 3.55 19.54 6.04 13.03 19.53 6.5 13.0 0.01 6.51 0.00 0.00 1.98 83.59-100.00.73.4 4.9 3.53 6.46 7.77 6.13 77.6 83.58 71.65 77.61 65.68 71.64 59.71 65.67 53.74 59.70 47.77 53.73 41.80 47.76 10.3 35.83 41.79 7.39 9.86 35.8 11.38 3.89 9.85 11.7 8. 11.4 3.85 0.8 17.9 3.88 11.95 17.91 5.98 11.94 0.01 5.97 0.00 0.00 1.5 1.15.66.79 6.4 5.3 6.5 88.49 100.00 8.17 88.48 75.85 8.16 69.53 75.84 63.1 69.5 56.89 63.0 50.57 56.88 10.35 44.5 50.56 7.78 37.93 44.4 1.95 31.61 37.9 9.53 5.9 31.60 10.08 18.97 5.8 13.05 1.65 18.96 6.59 3.1 0.78 6.33 1.64 0.01 6.3 0.00 0.00 1.47.08 1.89 3.37.8 5.07 3.9 6.8 5.5 9.94 7.84 14.55 11.9 15.96 6.0 1.5
數學 由表二可看出 98 學的題目較難,15 級分的原始分數最低, 達到 15 級分的百分比亦偏低 ;99 學的題目, 普遍認為為近年較難的一次, 但 15 級分的原始分數卻較 98 學為高, 可見對頂尖的學生而言, 並不覺得題目較難 事實上, 只要同學熟讀基本概念並會加以應用, 要拿高分並不難 三數學考科歷年五標與所占的百分比 ( 資料來源 : 大考中心 ) 表三數學考科歷年五標與所占的百分比 91 9 93 94 95 96 97 98 99 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 級分 百分比 頂標 11 17.39 10 14.89 11 13.8 11 14. 1 16.01 10 18.39 11 14.77 11 14.10 10 16.67 前標 9 34.46 8 6.40 9 7.15 9 6.05 10 6.53 8 34.68 9 8.99 9 5.67 8 7.40 均標 7 5.58 5 54.85 6 5.83 6 56.65 6 59.7 6 57.70 6 5.83 6 56.76 5 50.68 後標 4 8.59 9.55 4 80.64 4 79.34 4 77.89 4 81.33 4 75.9 4 76.37 3 76.53 底標 94.98 1 97.17 3 88.85 96.77 3 88.61 3 88.98 95.35 3 89.4 9.48 伍各單元重點整理 重點一 數論 1 整數除法原理 : 若 a4b 為整數, 則存在唯一的一組整數 q 與 r, 使 a=bq+r,0r<wbw 若 a4b4c4m4n 為整數, 若 awb 且 awc, 則 aw(mb+nc) 3 一個大於 1 的整數 p, 若只有 1 和 p 兩個正因數, 則稱 p 為質數 ; 若不大於 Qp 的質數都不是 p 的因數, 則 p 必為質數 將質數 p 分解為兩個正整數相乘, 只有一種方式, 即為 1 p 4 1 的倍數 : 個位數字是 的倍數 ;4 的倍數 : 末兩位數是 4 的倍數 3 的倍數 : 數字總和是 3 的倍數 ;9 的倍數 : 數字總和是 9 的倍數 3 5 的倍數 : 個位數字是 5 的倍數 4 11 的倍數 :( 偶位數字和 )-( 奇位數字和 ) 是 11 的倍數 5 輾轉相除法的原理 : 設 a 和 b 都是正整數且 a=bq+r(0r<b), 則 (a4b)=(r,b) 被除數與除數的最大公因數 = 除數與餘數的最大公因數 6 有理數 : 可以表示為 m n 形式的數, 其中 m,n 是整數且 nm0, 我們稱之為有理數 有理數的和, 差, 積, 商 ( 除數不為 0) 仍是有理數
ZX100 重點二 直線與平面坐標系 1 兩點的中點坐標與距離公式 : 平面上兩點 P(x 1 4y 1 ) 和 Q(x 4y ) 間的距離 為 #PQ=A(Sx S-Sx 1 S) S+S(Sy S-Sy 1 S), 中點坐標為 ( x 1+x 4 y 1+y ) 直線 L 上兩相異點 P 1 (x 1 4y 1 ),P (x 4y ), 則 L 的斜率 m= y 1-y x 1 -x ; 若 L:ax+by+c=0, 則 L 的斜率為 - a b ( 若 L 為鉛直線 (x 1 =x ), 則 L 沒有斜率 3 相異兩直線 L 1 4L 的斜率分別為 m 1 4m, 若 L 1 平行 L 1 時,m 1 =m ; 若 L 1 垂直 L 時,m 1 m =-1 4 各種直線方程式 :( 只要有直線的斜率和直線上一點的坐標, 即可求直線方程式 ) 1 點斜式 : 通過定點 A(x 0 4y 0 ) 且斜率為 m 的直線方程式可設為 L:y-y 0 =m(x-x 0 ) 斜截式 : 斜率為 m 且 y 截距為 b 的直線方程式可設為 L:y=mx+b 3 截距式 : 直線 L 的 x 截距為 a,y 截距為 b, 則 L: x a + y b =1 4 參數式 : 直線 L 過 (x 0 4y 0 ), 方向向量為 (a4b), 則直線! L: x=x 0+at # %y=y 0 +bt 5 設 L:ax+by+c=0, 則平行 L 的直線可設為 L 1 :ax+by=k; 垂直 L 的直線可設為 L :bx-ay=t 6 任一複數 z=a+bi 對應到複數平面上的點 (a4b), 則 WzW=Aa S+Sb 7 WzW 代表 z 到原點的距離,Wz 1 -z W 代表複數平面上 z 1 到 z 兩點間的距離 重點三 一元二次方程式 1 實係數一元二次方程式 ax +bx+c=0 的解為 x= -brab S-S4aSc a 令 D=b -4ac 1 D>0: 此方程式有兩相異實根 D=0: 此方程式有兩相等實根 3 D<0: 此方程式有兩共軛虛根 設實係數一元二次方程式 ax +bx+c=0 的兩根為 a4b, 則 a+b=- b a,ab= c a 3 以 a4b 為二根的方程式可設為 (x-a)(x-b)=0 c x -(a+b)x+ab=0
數學 重點四 數列與極限 1 數列 <a n > 滿足 a n+1 -a n =d( 定值 ), 稱 <a n > 為等差數列, 將等差數列每一項相加 稱為等差級數 ; 1 第 n 項 a n =a 1 +(n-1)d 前 n 項和 S n = n (a 1+a n )= n a 1+(n-1)d 3 a n +a n+ =a n+1 (a n+1 為 a n,a n+1 的等差中項 ) a 1 +a + +a 3n 為等差級數, 則 S n 4S n -S n 4S 3n -S n 成等差 3 數列 <a n > 滿足 a n+1 =r( 非零定值 ), 稱 <a n > 為等比數列, 將等比數列每一項相 a n 加稱為等比級數 ; 1 第 n 項 a n =a 1.r n-1!na 1 (r=1) $ 前 n 項和 S n = # a 1 (1-r n ) $ (rm1) % 1-r 3 a n.a n+ =a n+1(a n+1 為 a n,a n+ 的等比中項 ) 4 lim n 9 a n =a 表示: n 非常大時,a n 的值會趨近於 a, 此時稱 a 為數列 a n 的極限值, 數列 a n 收斂到 a 極限存在的數列稱收斂數列, 否則稱發散數列! 0,-1<r<1 c 收斂數列 $ 5 lim n 9 r n = # 1,r=1 c 收斂數列 $ % 不存在,r=-1 或 WrW>1 c 發散數列 6 級數 S= S 9 a i=a 1 +a +a 3 +a 4 + +a n +,S n = S n a i=a 1 +a +a 3 +a 4 + +a n, 則 i=1 i=1 S=limS n n 9 7 無窮等比級數 S=a 1 +a 1 r+a 1 r +a 1 r 3 + +a 1 r n-1 + 1 當 WrW<1 時收斂, 且 S= a 1 1-r ; 當 WrW31 時發散, 不能求和 8 循環小數可用無窮等比級數來表示, 並化為分數 例如 : 0.$5=0.555 = 5 10 + 5 5 10 10 + 10 3+ = 1-1 10 9 S 的運算性質 :1 S n (a k±b k )= S n a k± S n k=1 k=1 ( 注意 : S n k=1 a kb k m S n k=1 a k S n k=1 b k, S n k=1 a k b k m 5 S n k=1 a k S n k=1 a k = 5 9 k=1 b k; S n ) k=1 c.a k=c. S n k=1 a k(c 為常數 )
ZX100 0 S 的運算公式: 1 1++3+ +n= S n 1 + +3 + +n = S n k=1 n(n+1) k= k=1 k = n(n+1)(n+1) 6 3 1 3 + 3 +3 3 + +n 3 = S n k=1 k3 = n(n+1) 重點五 多項式 1 多項式的除法原理 : 設 f(x) 與 g(x) 為兩個多項式且 g(x)m0, 則存在恰一組商式 q(x), 餘式 r(x), 使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x), 其中 r(x)=0 或 degr(x)<degg(x) 餘式定理 : 多項式 f(x) 除以一次式 ax-b 的餘式為 f( b a ) 3 f(a) 的意義 :1 f(x) 在 x=a 時的函數值 f(x) 除以 x-a 餘式 4 設 f(x) 為多項式,ax-b 是一次多項式, 若 ax-b 是 f(x) 的因式 l f( b a )=0 5 整係數一次因式檢驗法 : 整係數多項式 f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0, 若 ax-bwf(x), 其中 a,b 是互質的整數, 則 awa n 且 bwa 0 6 輾轉相除法 : 1 若 d(x)wf(x) 且 d(x)wg(x), 則 d(x)wm(x)f(x)+n(x)g(x) 設 f(x)=g(x).q(x)+r(x), 則 (f(x),g(x))=(r(x),g(x) 重點六 二次函數 1 二次函數的圖形 : 二次函數 y=ax +bx+c=a(x+ b a ) + 4ac-b =a(x-h) +k 4a 的圖形是一拋物線,1 a>0 開口向上,a<0 開口向下 頂點是 (h4k)=(- b a, 4ac-b ), 對稱軸為 x=h 4a 二次函數圖形平移 c 只需觀察頂點的平移 例如 : 將 y=ax ( 頂點 (0,0)) 的圖形向右平移 p 個單位, 再向上平移 q 個單位 後, 所得的二次函數為 y=a(x-p) +q ( 因為頂點由 (040) 平移至 (p4q)) 3 設 f(x)=ax +bx+c 為二次函數, 令 D=b -4ac 1 若 D>0, 則 f(x) 的圖形與 x 軸交於二點 若 D=0, 則 f(x) 的圖形與 x 軸交於一點 3 若 D<0, 則 f(x) 的圖形與 x 軸不相交 4 設 f(x)=ax +bx+c 為二次函數, 令 D=b -4ac 1 f(x)>0 恆成立, 則 a>0 且 D<0
數學 f(x)<0 恆成立, 則 a<0 且 D<0 5 如何由圖形判斷 y=f(x)=ax +bx+c 中各項係數的正負 : 1 a: 開口向上 c a>0; 開口向下 c a<0 b: 利用頂點的 x 坐標 (- b 合 a 的正負判斷 a ) 在 y 軸的左 (- b a <0) 右 (- b a >0) 方, 配 3 c: 利用與 y 軸的交點坐標在 x 軸的上方或下方判別之 ( 二次函數與 y 軸的交 點坐標為 (0,c)) 4 b -4ac: 由圖形與 x 軸的交點個數判斷 重點七 多項方程式論 1 方程式的複數根 : 實係數方程式 f(x)=0 1 若 z 為一複數, 則 f($z)=#f(z) 若 a+bi(a4bjr) 是 f(x)=0 的一複數根, 則 a-bi 必為 f(x)=0 的根 代數基本定理 :n 次方程式恰有 n 個複數根 ( 重根須重複計算 ) 3 勘根定理 : 設 f(x) 為一多項式函數,a<b 1 若 f(a)f(b)<0, 則方程式 f(x)=0 在 a 與 b 之間有奇數個實根 ( 重根須重複計算 ) 若 f(a)f(b)>0, 則方程式 f(x)=0 在 a 與 b 之間有偶數個實根 ( 重根須重複計算 ) 重點八 多項不等式 1 二次不等式 : 設 f(x)=a(x-a)(x-b), 其中 a>0,a<b 1 f(x)>0 的解為 x<a 或 x>b f(x)<0 的解為 a<x<b 高次不等式 : 1 使最高次項的係數為正 找出使 f(x)=0 的所有實根,a 1 <a < a n 3 配合下列數線, 觀察各區間的正負號, 正號區間即為 f(x)>0 的解, 負號區間即為 f(x)<0 的解 3 分式不等式 : 1 不等式 g(x) f(x) 30!g(x)f(x)30 的解, 即 # 的解 %f(x)n0 不等式 g(x) f(x) 0!g(x)f(x)0 的解, 即 # 的解 %f(x)n0
ZX100 重點九 指數與對數 1 設 a4b 為正實數,r4s 為有理數,n 為正整數,m 為整數, 則 1 a r a s =a r+s (a r ) s =a rs 3 a r b r =(ab) r 4 a 1 n =n Qa 5 a m n =n Aa m =( n Qa) m 6 a -n = 1 a n 7 am 指數函數的圖形 : 指數函數 f(x)=a x ( 其中 a>0 且 am1) a n =am-n 1 函數圖形恆在 x 軸上方 函數圖形一定通過 (041) 3 x 軸為漸近線 ( 圖形非常接近 x 軸, 但不相交 ) 4 a>1,f(x)=a x 為增函數 ;0<a<1,f(x)=a x 為減函數 3 指數方程式與不等式 : 1 指數方程式 :a x =a y (am1) 時,x=y 指數不等式 :1 當 a>1 時, 若 a x >a y, 則 x>y 當 0<a<1 時, 若 a x >a y, 則 x<y 4 對數的意義 : 設 a>0,an1, 且 b>0,a x =b l x=log a b 5 對數的基本公式 : 1 同底運算公式 設 a>0,an1, 且 M 與 N 均為正實數, 則 1 log a 1=0,log a a=1 log a MN=log a M+log a N 3 log a M N =log am-log a N 4 log a M r =rlog a M 換底公式 設 a>0,am1, 且 r>0,rn1,b 為正實數, 1 log a b= log rb log r a log a rb s = s r log ab 3 log a b log b c=log a c 4 a log r b =b log r a 6 對數函數 f(x)=log a x( 其中 a>0,an1, 且 x>0) 10
數學 1 函數圖形恆在 y 軸的右方 ( x>0) 函數圖形一定通過 (140) 3 y 軸為漸近線 ( 圖形非常接近 y 軸但不相交 ) 4 a>1,f(x)=log a x 為增函數 ;0<a<1,f(x)=log a x 為減函數 7 對數方程式與不等式 : 自然限制 : 底數大於 0, 底數不等於 1, 真數大於 0 1 對數方程式 :log a x=log a y c x=y 對數不等式 :1 當 a>1 時, 若 log a x<log a y, 則 0<x<y 當 0<a<1 時, 若 log a x<log a y, 則 x>y>0 8 首數與尾數若 A=a 10 n ( 其中 1a<10,n 為整數 ), 則 loga=n+loga= 首數 + 尾數 重點十 三角函數 1 三角函數的基本關係式 1 倒數關係: sinq.cscq=1,cosq.secq=1,tanq.cotq=1 商數關係: tanq= sinq cosq,cotq= cosq sinq 3 平方關係 :sin q+cos q=1,tan q+1=sec q,cot q+1=csc q 4 餘角關係 :sin(901-q)=cosq,cos(901-q)=sinq,tan(901-q)=cotq cot(901-q)=tanq,sec(901-q)=cscq,csc(901-q)=secq 廣義角:平面上, 將射線 OA 繞著 O 點旋轉到射線 OB 所成的角, 其中射線 OA 稱為 角的始邊, 射線 OB 稱為終邊, 並規定 : 逆時針方向旋轉出的角為正向角, 順時針 方向旋轉出的角為負向角 3 同界角 : 兩個角有相同的始邊和終邊, 當有向角 q 與 f 是同界角 l 會有一整數 n 使得 q=f+3601 n(n 是整數 ) 4 廣義角的三角函數值設 q 是一個標準位置角, 在 q 的終邊上任意取一點 P(x4y)(P 不是原點 ), 令 #OP=r=Ax S+Sy 規定 q 角的三角函數值為 :sinq= y r,cosq= x r,tanq= y x, cotq= x y,secq= r x,cscq= r y 11
ZX100 1 5 各象限中三角函數值的正負符號整理如下: q 所在象限 (x4y) 的正負符號 sinq,cscq cosq,secq tanq,cotq 第一象限 (+,+) + + + 第二象限 (-,+) + - - 第三象限 (-,-) - - + 第四象限 (+,-) - + -! Funq,n 為偶數 6 化任一角為銳角 :Fun(901 nrq)=# % cofunq,n 為奇數 其中 1 Fun 表任一個三角函數,CoFun 表 Fun 的餘函數 ;q 視為銳角 須填入正負號 r 號的取法 : 依原函數的角度 901 nrq 所在的象限判斷 Fun 的函數值正負來決定 ( 若函數值正, 則取正;負則取負 因為 q 視為銳角, 所以 Funq,CoFunq 必為正 數 ) 7 正弦定理 : 若 a4b 和 c 分別表 ABC 三內角 qa,qb 和 qc 的對邊長, 而 ABC 的外接圓半徑為 R, 則 由正弦定理可得 : a sina = b sinb = c sinc =R 1 sina:sinb:sinc=a:b:c sina= a R,sinB= b R,sinC= c 8 餘弦定理 : 若 a,b 和 c 分別表 ABC 三內角 qa,qb 和 qc 的對邊長, 則 a =b +c -bccosa,b =c +a -cacosb,c =a +b -abcosc 9 三角形面積公式整理 若 a4b 和 c 分別表 ABC 三內角 qa4qb 和 qc 的對邊長, 且 s= a+b+c, 則 ABC 的面積 = 1 bcsina= 1 casinb= 1 absinc=qs(ws-waw)w(wsw-wbw)w(wsw-wcw) 0 三角測量解題原則 : = 1 rs(r 表內切圓半徑 )= abc 4R (R 表外接圓半徑 ) 1 根據題意作出適當的圖形, 並標出已知量與未知量 將已知邊與未知邊變在同一三角形內 ; 1 若是直角三角形, 則利用三角函數的定義或畢氏定理解題 若非直角三角形, 則利用正弦定理或餘弦定理解題 q 弧度 : 設圓 O 的半徑為 r, 若圓周上一圓弧 (PQ 的弧長等於 r, 則圓 弧 (PQ 所對的圓心角 qpoq 為 1 弧度 1 1801=p 弧度,1 弧度 5711784588 R
數學 若扇形的圓心角為 q( 弧度 ), 弧長為 r, 扇形的面積為 A, 則 s=rq, 且 A= 1 r q= 1 rs w 1 和角公式 :sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)= tana+tanb tana-tanb,tan(a-b)= 1-tanatanb 1+tanatanb 二倍角公式 :sinq=sinqcosq,cosq=cos q-sin q=1-sin q=cos q-1 3 半角公式 :sin q tanq= tanq 1-tan q =rz 1#-#cosq,cos q =rz 1#+#cosq 4 三倍角公式 :sin3q=3sinq-4sin 3 q,cos3q=4cos 3 q-3cosq 5 積化和差公式 :sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b) cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b) -sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) e 正餘弦函數的疊合 :y=asinx+bcosx 可以寫成 y=aa S+Sb sin(x+q) 的形式, 其中 cosq= a Aa S+Sb,sinq= b Aa S+Sb r 複數的極式 : 複數 z=x+yi(x,y 為實數 ) 對應於點 P(x4y) 令 r=#op=wzw,q 為以 x 軸的正向為始邊,#OP 為終邊的有向 角, 此時 x=rcosq,y=rsinq 並稱 r(cosq+isinq) 為複數 z 的極式,q 稱為複數 z 的輻角 若 0q<p, 則稱 q 為複數 z 的主輻角, 以 Arg(z) 表示 t 極式的乘法與除法 若 z 1 =r 1 (cosq 1 +isinq 1 ),z =r (cosq +isinq ) 為 z 1 4z 的極式, 則 1 z 1.z =r 1 r (cos(q 1 +q )+isin(q 1 +q )) z 1 z = r 1 r (cos(q 1 -q )+isin(q 1 -q )), 其中 z m0 y 棣美弗定理 : 若複數 z 的極式為 r(cosq+isinq), 則對於任意正整數 n z n =r n (cosnq+isinnq) 均成立 u 複數的 n 次方根 : 1 設 n 是一個正整數, 且 a=waw(cosf+isinf) 是一個非零的複數, 設 a 的 n 個 n 次方根為 x 則 x= n QWWaW cos( f+kp n )+isin( f+kp n ),k=04144 4n-1 13
ZX100 因為 WxW= n Q WaW, 所以這 n 個 n 次方根全部都落在以原點為圓心, n Q WaW 為 半徑的圓上, 並且是圓內接正 n 邊的 n 個頂點 設 w=cos p n +isinp n, 則 x n =1 的 n 個根為 14w4w 4 4w n-1 1 w n =(cos p n +isinp n )n =cosp+isinp=1 1+w+w + +w n-1 = 1.(1-wn ) =0 1-w 3 x n -1=(x-1)(x n-1 +x n- + +x +x+1) =(x-1)(x-w)(x-w ) (x-w n-1 ) c x n-1 +x n- + +x +x+1=(x-w)(x-w ) (x-w n-1 ) i 極坐標 : 複數 z=x+yi=r(cosq+isinq), 其中 r=wzw 此時 z 在複數平面上對應的點為 (x4y), 極坐標為 r4q 重點十一 平面向量 1 向量的內積 : 設兩向量!a,!b 的夾角為 q, 則!a.!b=W!aWW!bWcosq 在平面上, 設!a=(x 1 4y 1 ),!b=(x 4y ), 則!a.!b=x 1 x +y 1 y 1!a.!a=W!aW W!ar!bW =W!aW r!a.!b+w!bw 3!a 0!b l!a.!b=0 向量平行的條件 1!a //!b l 必存在實數 a 使得!b=a!a 設!a=(x 1 4y 1 ),!b=(x 4y ) 且 x y m0, 則!a //!b l x 1 x = y 1 3 分點公式 若 A-P-B 且 #AP:#PB=m:n,O 為任一點, 則 @OP= n m+n @OA+ P(x4y), 則 x= nx 1+mx m+n 4 三點共線的條件 n m+n @OB; 設 A(x 1 4y 1 ),B(x 4y ), 4y= ny 1+my m+n 1 A4B4P 三點共線 l 存在 tjr, 使得 @AP=t@AB(tm0) 若 A4B4P 共線 l 存在 a4bjr, 使得 @OP=a@OA+b@OB 且 a+b=1 5 三角形之重心 : 設 G 為 ABC 之重心,O 為任一點, 則 1 @AG= 1 3 @AB+ 1 3 @AC y 14 @OG= 1 3 (@OA+@OB+@OC)
數學 3 @GA+@GB+@GC=@0 6 向量坐標表示法 : 若 A(x 1,y 1 ),B(x,y ) 則 @AB=(x -x 1,y -y 1 ),W@ABW=A(Sx S-Sx 1 S) S+S(Sy S-Sy 1 S) 7 單位向量 : 長度為 1 的向量稱為單位向量 ; 與!a 平行之單位向量為 r!a W!aW 8 直線 L 的方向向量!d=(a4b)m!0 則直線 L 的斜率為 b a 9 柯西不等式 : 1 向量形式 :W!a.!bWW!aWW!bW, 等號成立 l!a //!b 一般形式 : 設 a 1 4a 4b 1 4b 為任意實數, 則 (a 1 b 1 +a b ) (a 1+a )(b 1+b ) 而等號成立 l a 1 = b 1 (l a 1 b =a b 1 ) a b 0 法向量 : 設!nm!0, 若!n 與直線 L 垂直, 則稱!n 是 L 的法向量 ; 直線 L:ax+by+c=0 之法向量!n 可取為 (a4b) q 兩直線之夾角 : 如右圖, 兩直線 L 1 4L 之夾角恰為兩直線法向 量之夾角 設!n 1 4!n 分別是 L 1 4L 的法向量, 則!n 1 與!n 的夾 角 q 滿足 cosq=±!n 1.!n W!n 1 WW!n W w 點到直線的距離與平面上兩平行線的距離 1 若 P(x 0 4y 0 ) 到直線 L:ax+by+c=0 之距離為 d(p4l), 則 d(p4l) = Wax 0+by 0 +cw Aa S+Sb 已知二平行直線 L 1 :ax+by+c 1 =0,L :ax+by+c =0, 則此二平行直線之距 離 d(l 1 4L )= Wc 1-c W Aa S+Sb e 三角形面積公式 : 若三角形 ABC 中,@AB=(x 1 4y 1 ),@AC=(x 4y ), 則 ABC 面積 = 1 AWS@ABSW SWS@ASCSW S-S(S@ABS.S@ACS) = 1 x 1 y 1 x y 重點十二 空間向量 1 三垂線定理 : 若 #AB 0 平面 E,#BC 0 L, 則 #AC 0 L 空間向量相關公式 : 1 若 P(x 1 4y 1 4z 1 ),Q(x 4y 4z ) 為空間坐標中兩點, 則 @PQ=(x -x 1 4y -y 1,z -z 1 ) 且 W@PQW=A(Sx S-Sx 1 S)S S+S(Sy S-Sy 1 S) S+S(Sz S-Sz 1 S) 若!v 1 =(x 1 4y 1 4z 1 ),!v =(x 4y 4z ), 則 1!v 1 +!v =(x 1 +x 4y 1 +y 4z 1 +z ),!v 1 -!v =(x 1 -x 4y 1 -y 4z 1 -z ) a!v 1 =(ax 1 4ay 1 4az 1 ),!v 1.!v =x 1 x +y 1 y +z 1 z 15
ZX100!v 1 //!v l 存在一個 tjr 使得!v 1 =t!v ( 當 x 4y 4z 皆不為 0 時, 可得 x 1 x = y 1 y = z 1 z ) 3!v 1 0!v l!v 1.!v =0 l x 1 x +y 1 y +z 1 z =0 4 柯西不等式 :W!v 1.!v WW!v 1 WW!v W, 當!v 1 //!v 時, 等號成立 ; 即 (x 1 x +y 1 y +z 1 z ) (x 1+y 1+z 1)(x +y +z ), 當 x 1 x = y 1 y = z 1 等號成立 z 時, 重點十三 空間中的直線與平面 1 平面方程式 ( 只需找平面上的一點和平面的法向量 ) 1 點向式 : 坐標空間中, 若!n=(a4b4c) 為平面 E 的法向量, 且點 A(x 0 4y 0 4z 0 ) 為平面 E 上任一點, 則平面 E 的方程式為 a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+c(z-z 0 )=0 一般式 :ax+by+cz+d=0 3 截距式 : 若平面 E 與 x4y4z 軸分別交於 A(a4040)4B(04b40)4 C(0404c), 則平面 E 之方程式為 x a + y b + z c =1 利用外積求平面的法向量 : 設!u=(x 1 4y 1 4z 1 ),!v=(x 4y 4z ), 則定義!u 與!v 之外積!u!v 為!u!v=( y 1 z 1 y z, z 1 x 1 z x, x 1 y 1 x y ) =(y 1 z -y z 1,x z 1 -x 1 z,x 1 y -x y 1 ), 且!u!v 0!u,!u!v 0!v 3 兩平面的夾角 : 1 若 E 1 :a 1 x+b 1 y+c 1 z=d 1, 則法向量!n 1 =(a 1 4b 1 4c 1 );E :a x+b y+c z=d, 則法向量!n =(a 4b 4c ) 設 E 1 4E 的夾角為 q, 則 E 1 4E 的夾角 =!n 1 4!n 之夾角, 且 cosq=r!n 1.!n W!n 1 WW!n W E 1 0 E l!n 1.!n =0 3 E 1 // E l!n 1 //!n 4 點到平面的距離與二平行面間之距離 1 點 P(x 0 4y 0 4z 0 ) 到平面 E:ax+by+cz+d=0 的距離為 d(p4e)= Wax 0+by 0 +cz 0 +dw Aa S+Sb S+Sc E 1 :ax+by+cz+d 1 =0,E :ax+by+cz+d =0 為二平行平面, 則 E 1 與 E 之距 離為 Wd 1-d W Aa S+Sb S+Sc 5 兩平面 E 1 :ax+by+cz+d 1 =0,E :ax+by+cz+d =0 的角平分面方程式為 16
數學 Wa 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 W Aa S+Sb S+Sc 6 空間中的直線方程式 = Wa x+b y+c z+d W c a 1x+b 1 y+c 1 z+d 1 =r a x+b y+c z+d Aa S+Sb S+Sc Aa S+Sb S+Sc Aa S+Sb S+Sc 1 設直線 L 通過點 A(x 0 4y 0 4z 0 ) 且!d=(l4m4n) 為其方向向量, 則直線 L 之 方程式可表成! x=x 0 +lt $ 1 # y=y 0 +mt,tmr( 直線參數式 ) $ % z=z 0 +nt x-x 0 = y-y 0 l m = z-z 0 (lmnm0)( 對稱比例式 ) n 設 E 1 :a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0,E :a x+b y+c z+d =0, 則 E 1 與 E 之交線方程!a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 式 L 為 #, 此種表示法稱為兩面式 %a x+b y+c z+d =0 重點十四 二階行列式 1 二階行列的運算法 : a b c d =ad-bc 1 行與列依序對調其值 c 不變 將某行 ( 列 ) 乘上某數再加到另一行 ( 列 ) 其值 c 不變 3 某列 ( 行 ) 有公因數提出後其值 c 不變 4 相鄰兩列 ( 行 ) 互換後, 其值 c 變號 5 行列式中某列 ( 行 ) 全為 0, 其值 c 0 6 行列式中任兩行 ( 列 ) 成比例, 其值 c 0 a+e b+f 7 行列式拆項原理 : = a b c d c d + e f c d 行列式的應用 : 使用二階行列式的符號, 令 T= a 1 b 1,Tx= c 1 b 1,Ty= a 1 c 1, 則二元一次方程組 a b c b a c! a 1 x+b 1 y=c 1!T.x=T x # 可整理成 # % % T.y=T, a x+b y=c y Tm0 恰有一解 ( Tx T 4 Ty T )( 克拉瑪公式 )( 相容方程組 ) T=0 T x,t y 有一不為 0 無解 ( 矛盾方程組 ) T x =T y =0 無限多解 ( 相依方程組 ) 17
ZX100 重點十五 圓 1 圓方程式 : 1 定義式 :(x-h) +(y-k) =r,(r>0), 點 (h4k) 為圓心 圓的直徑式 : 設 P 1 (x 1 4y 1 ),P (x 4y ) 為平面上的兩個定點, 則以 P 1 (x 1 4y 1 ),P (x 4y ) 為直徑的圓為 (x-x 1 )(x-x )+(y-y 1 )(y-y )=0 3 圓的一般式 :x +y +dx+ey+f=0 使用時機 :1 已知三點使用 求外接圓 4 圓的參數式 :(x-h) +(y-k) =r c x=h+rcosq,y=k+rsinq 點與圓的相關位置 : 1 點 P(x 0 4y 0 ) 在圓 x +y +dx+ey+f=0 外 c x 0+y 0+dx 0 +ey 0 +f >0 點 P(x 0 4y 0 ) 在圓 x +y +dx+ey+f=0 內 c x 0+y 0+dx 0 +ey 0 +f<0 3 圓之切線 1 若 P(x 0 4y 0 ) 在圓內則無切線 1 若 P(x 0,y 0 ) 在圓 (x-h) +(y-k) =r 上, 則過 P 之切線方程式為 (x-h)(x 0 -h)+(y-k)(y 0 -k)=r 若 P(x 0 4y 0 ) 在圓 x +y +dx+ey+f=0 上, 則過 P 之切線方程式為 x 0 x+y 0 y+d x 0+x +e y 0+y +f=0 3 若 P(x 0 4y 0 ) 在圓外, 則切線方程式求法 : 1 設切線 y-y 0 =m(x-x 0 )( 點斜式 ) 利用 d( 圓心, 切線 )= 半徑, 求出 m 注意 :m 有二解, 若 m 只有一解, 表另一條切線為過 (x 0 4y 0 ) 之鉛直線 x=x 0 4 點到圓周上的最大與最小距離 設一圓的圓心為 A, 半徑為 r,p 為平面上任一點 則無論 P 在圓內 圓上或圓外均 有 :1 P 與圓上之點的最大距離 M=#PA+r P 與圓上之點的最小距離 m=w#pa-rw 5 圓與直線的關係 18 同一平面上, 設 L:ax+by+c=0, 圓 C:x +y +dx+ey+f=0( 圓心 C(- d 4- e =(h4k),r= Ad S+Se S-S4f 位置關係如下 : ),d(c4l)= Wah+bk+cW Aa S+Sb, 則直線 L 與圓 C 之!ax+by+c=0 1 L 與 C 相離 ( 沒交點 )l d(c;l)>r l # 無解 (D<0) % x +y +dx+ey+f=0 L 與 C 相切 ( 交一點 )l d(c;l)=r l!ax+by+c=0 # % x +y +dx+ey+f=0
數學 恰有一解 (D=0)!ax+by+c=0 3 L 與 C 相交於二點 ( 相割 )l d(c;l)<r l # % x +y +dx+ey+f=0 有二組解 (D>0) 重點十六 球 1 球面方程式 1 標準式 : 以 A(h4k4l) 為球心,r 為半徑之球面方程式為 (x-h) +(y-k) +(z-l) =r 直徑式 : 以 A(x 1 4y 1 4z 1 ),B(x 4y 4z ) 為直徑端點之球面方程式 (x-x 1 )(x-x )+(y-y 1 )(y-y )+(z-z 1 )(z-z )=0 3 一般式 : 過不共面四點恰可決定一球 點與球面的位置關係 設球 x +y +z +dx+ey+fz+g=0, 將四點代入, 解出 d e f g 設球面 f(x4y4z)=x +y +z +dx+ey+fz+g=0, 點 P(x 1 4y 1 4z 1 ) 令 f(x4y4z)=x +y +z +dx+ey+fz+g 1 P 在球面 S 之內部 l f(x 1 4y 1 4z 1 )<0 P 在球面 S 上 l f(x 1 4y 1 4z 1 )=0 3 P 在球面 S 之外部 l f(x 1 4y 1 4z 1 )>0 3 點到球面上的最大與最小距離 設一球面 S 的球心為 A, 半徑為 r,p 為平面上任一點 則無論 P 在球內 球上或球 外均有 : 1 P 與 S 的最大距離 M=#PA+r P 與 S 的最小距離 m=w#pa-rw 4 直線與球面的位置關係 設球面 S:x +y +z +dx+ey+fz+g=0, 直線 L 的參數式 L:x=x 0 +at,y=y 0 +bt z=z 0 +ct 將 L 代入 S 中化簡可得一個 t 的二次方程式 :At +Bt+C=0 1 B -4AC>0 l S 與 L 交兩點 B -4AC=0 l S 與 L 相切 3 B -4AC<0 l S 與 L 不相交 5 球與平面關係 設球面 S:(x-x 0 ) +(y-y 0 ) +(z-z 0 ) =r,a 為球心, 平面 E:ax+by+cz+d=0 則球心至平面的距離 d(a4e)= Wax 0+by 0 +cz 0 +dw Aa S+Sb S+Sc 1 若 d(a;e)>r, 則 S 與 E 不相交 若 d(a;e)=r, 則 S 與 E 相切 19
ZX100 3 若 d(a;e)<r, 則 S 與 E 相交, 交集為一圓 6 球面上兩點的距離 : 球面上 A B 兩點的球面距離, 以球心 O 與 A B 所決定的平面截球於大圓上劣弧 AB 的弧長 7 球之切平面 1 過球上一點 P(x 0 4y 0 4z 0 ) 作球 x +y +z +dx+ey+fz=0 之切平面只有一個, 方程式為 x 0 x+y 0 y+z 0 z+d x 0+x +e y 0+y +f z 0+z +g=0 過球上一點 P(x 0 4y 0 4z 0 ) 作球 (x-a) +(y-b) +(z-c) =r 之切平面只 有一個, 方程式為 (x-a)(x 0 -a)+(y-b)(y 0 -b)+(z-c)(z 0 -c)=r 重點十七 拋物線 1 拋物線的定義 : 在平面上, 到一定點與到定直線等距離的所有點所成的圖形 1 但此定點不在此定直線上 d(p4l)=d(p4f),p 為動點,F 為焦點,L 準線 求方程式的方法 : 1 對稱軸與 y 軸平行 c 設 y=ax +bx+c 對稱軸與 x 軸平行 c 設 x=ay +by+c 3 拋物線的光學性質 : 由拋物線焦點射出之光線, 射到拋物線上任一點 P, 反射線都會與軸平行 ; 反之, 與軸平行之入射光, 反射後都經過焦點 重點十八 橢圓 1 橢圓的定義 : 在平面上, 到二定點的距離和為一定值的所有點所成的圖形 1 動點到二定點的距離和大於二定點的距離 #PF 1 +#PF =a,a>0, 為 P 動點,F 1,F 為二焦點,a 為長軸長 橢圓的定義式的討論 : 設 #PF+#PF8=a,a>0,#FF8=c,c>0 1 當 a<c, 則無圖形 當 a=c, 則圖形為一線段 3 當 a>c, 則圖形為橢圓 3 橢圓的光學性質 : 由橢圓之一焦點射出之光線, 射到橢圓上任一點 P, 反射後都會經過另一焦點 重點十九 雙曲線 1 雙曲線的定義 : 在平面上, 到二定點的距離差的絕對值為一定值的所有點所成的圖形 1 動點到二定點的距離差的絕對值小於二定點的距離 W#PF 1 -#PF W=a,a>0, 為 P 動點,F 1 4F 為二焦點,a 為長軸長 0
數學 雙曲線的定義式討論 :W#PF 1 -#PF W=a,a>0,#FF8=c,c>0 1 當 a>c, 則無圖形 當 a=c, 則圖形為二射線 3 當 a<c, 則圖形為雙曲線 3 雙曲線的漸近線 : 雙曲線 x a - y 4 等軸雙曲線 : 貫軸與共軛軸的長度相等之雙曲線 b =1 的漸近線為 bx-ay=0 與 bx+ay=0 5 共軛雙曲線 : 若雙曲線的貫軸與共軛軸為另一雙曲線的共軛軸與貫軸稱之 6 雙曲線的光學性質 : 由雙曲線之一焦點射出之光線, 射到雙曲線上任一點 P, 反射 光的相反射線會經過另一焦點 重點廿 排列組合 1 排容原理 : 設 A 為一有限集合, 其元素個數以 n(a) 表之 N(AaB)=n(A)+n(B)-n(ApB) n(aabac)=n(a)+n(b)+n(c)-n(apb)-n(bpc)-n(apc)+ n(apbpc) 完全相異物的直線排列 : 自 n 個相異物中不可重複的取出 r 個排成一列, 稱為直線 排列, 其方法數記為 P n r 取出的 r 件事物涉及次序關係 J 與次序有關係為排列 公式 :1 P n r= n! (n-r)! P n n=n! 3 P n 0=1 3 不盡相異物之直線排列 : 設有 n 個物品, 其中含有 k 種不同的種類, 而第 1 類有 m 1 個, 第 類有 m 個,, 第 k 類有 m k 個 ( 此處 m 1 +m + +m k =n), 則將此 n 個物品排成一列, 共有 n! m 1!m! m k! 種不同的排法 4 重複排列 : 從 n 種不同物中, 每次選取 k 個而排列之, 若各物可以重複使用稱為重 複排列, 其排列總數為 n k 5 環狀排列 :n 個相異物全取之環狀排列數為 : Pn n n = n! n =(n-1)! 6 不可重複之組合 : 自 n 個相異物中, 每次不可重複的取出 r 個為一組 (0.r.n), 同一組內事物若不計其前後順序, 就叫做 n 中取 r 的組合 所有組合的總數稱為組 合數, 以符號 C n r 表示 公式 :1 Cr= n Pn r r! = n! r!(n-r)! = n(n-1)(n-) (n-r+1) r(r-1)(r-).1 C n r=c n n-r;c n x=c n y c x=y 或 x+y=n 3 C n 0=C n n=1 7 使用組合數 C n r 的條件 : 選取時不得重複, 取出後不計較其次序關係 ( 意即不作排列 1 n 為自然數,r 為自然數或 0, 且 n,r n 個事物必須完全相異 8 巴斯卡定理 :C n r=c n-1 r +C r n-1 1
ZX100 9 重複組合 : 從 n 類相異物中, 可重複任取 m 個為一組 (m,njn), 這種方式稱為 n 中取 m 的重複組合, 其方法數以 H n 種類 m 表示 (H 所取總數 ) 公式 :H n m=c m n+m-1 = (n+m-1)! m!(n-1)! 推廣 :1 方程式 x 1 +x + +x n =m(mjn) 的非負整數解共有 H n m 組 自 n 種不同的球中 ( 每種至少 m 個 ), 任取 m 個 ( 可以重複選取 ), 其 方法數相當於 x 1 +x +x 3 + +x n =m 的非負整數解的組數, 即 n-1 個 +,m 個 1 的排列數, 故 H n m=c m n+m-1 = (n+m-1)! m!(n-1)! 0 二項式定理 :njn,(x+y) n =C n 0x n +C n 1x n-1 y+c n x n- y + +C n rx n-r y r + +C n ny n = S n r=0 C n rx n-r y r q 推廣公式 1 (1+x) n =C n 0+C n 1x 1 +C n x + +C n rx r + +C n nx n x=y=1, 則 C n 0+C n 1+C n + +C n n-1+c n n= n 3 x=1,y=-1 則 C n 0-C n 1+C n - +(-1) n C n n=0 4 C n 0+C n +C n 4+ =C n 1+C n 3+C n 5+ = n-1 w 多項式定理 :(x+y+z) n 展開式中, 1 x p y q z r 之係數為 n! p!q!r! p+q+r=n,p4q4r 為非負整數解 展開式共有 H 3 n=c n 3+n-1 個不同類項 3 所有係數的和 c x,y,z 均用 1 代入即得 重點廿一 機率 1 拉普拉斯古典機率 :P(A)= n(a) n(s) = n(a) n 設 S 為有 n 個樣本點的樣本空間, 又假設其中各樣本點出現的機會均等 若 AgS 為一事件, 則事件 A 發生的機率為 A 之元素個數與 n 之比, 記為 P(A)= n(a) n(s) = n(a) n, 其中 n(a) 為 A 之元素個數 期望值 : 設一變數 X 的所有可能數值為 x 1,x,,x n, 它們對應的機率分別為 P 1,P,,P n ( 其中 P 1 +P + +P n =1), 則變數 X 的數學期望值 ( 簡稱期望 值 ) 為 E(X)=x 1 P 1 +x P + +x n P n 重點廿二 統計 1 算術平均數 : 算術平均數為一群數的總和除以這一群數的個數, 以 $X 表之 ;
數學 $X= S n r=1 X i n 性質 :#X#+a=$X+a,#bX=b$X,#bX#+a=b$X+a 中位數 : 將一群數按大小順序排列後, 位置居中之一數稱為中位數, 以 Me 表之! a n+1, 當 n 為奇數 $ 設 a 1 a a n, 則中位數 Me= # a n+a n $ +1, 當 n 為偶數 % 3 眾數 : 一組資料中出現次數最多的數 4 全距 : 一筆數量資料中最大值與最小值的差距, 以 R 表示 5 四分位差 : 中位數前之資料的中位數稱做第 1 四分位數, 以符號 Q 1 表示, 中位數後 之資料的中位數稱做第 3 四分位數, 以符號 Q 3 表示, 定義四分位差為 Q.D.=Q 3 -Q 1 6 標準差的求法 : 樣本標準差 S=Z 1 n-1 X S n 之算術平均數 性質 : (x i-$x) =Z 1 i=1 n-1 X( Sn i=1 x i)-n($x)x,$x 是 x 1 4 4x n 1 設 n 個數值 X:x 1 4x 4x 3,,x n 的算術平均數是 $x,s x 表 x 的標準差, 則 ax+b:ax 1 +b4ax +b4ax 3 +b4 4ax n +b 的算術平均數為 a$x+b, 標準差 為 WaWS x S x =0 l x 中各數均相等 7 常態分布 : 資料的直方圖呈鐘形 ($x-s4$x+s)c 約有 68% 的資料 ($x-s4$x+s)c 約有 95% 的資料 ($x-3s4$x+3s)c 約有 99.7% 的資料 8 信賴區間的意義 : 所謂調查樣本數 n 的 95% 信賴區間為 (p-e4(p+e, 它的真正 意義是重複這種抽樣方式共做 k 次調查, 每次調查樣本數都是 n, 每次可得到一個 信賴區間, 若 k 很大, 則這 k 個信賴區間中約有 k 95% 個區間包含真正的得票率 p ((p 為樣本比率,e 為最大誤差 ) 9 母體比率 p 的 68%,95%,99.7% 信賴區間 母體比率 p 的信賴區間為 (p-e4(p+e 其中,(p 為樣本比率,e 為最大誤差 ( 亦 稱誤差界限 ), 信心水準 68%,95%,99.7% 所對應的最大誤差 e 分別為 1 e=z (p #(#1#-(#p) Qn 3 e= 3 A(pS(S1S-S(p) Qn e= A(pS(S1S-S(p) Qn 3
ZX100 陸結語 在現今大學入學的錄取率幾乎達百分之百之際, 考上大學已非難事 ; 近年大陸地區有愈來愈多的大學也採計臺灣的學測成績, 做為錄取臺灣地區學生的標準, 故學科能力測驗的重要性與日俱增, 尤其數學一科更是學科能力測驗的勝負關鍵 在距離學測剩下不到四個月的時間, 以下幾點提供給同學做參考 : 1 慎選複習教材 : 好的複習教材要有以下特點 : 重點整理部分要涵蓋所有課本的基本概念和性質, 題目方面要有思考性 有思考性並非難題, 每個題目都要有解題的概念, 此解題概念應包含一些基本的定義和性質, 而非教同學很多特殊的解法 同學複習時, 應一題一題仔細的思考, 遇到不會的題目宜和老師同學討論, 而非將解答背起來 詳定複習進度 : 複習進度可照著學校的複習考走, 每天要有固定的複習時間, 不要兩天打漁三天曬網 一步一腳印, 長期下來, 必見成效 3 正常的作息 : 要有適度的運動, 勿熬夜, 勿日夜顛倒唸書 睡眠充足, 唸書才會有精神 4 必做考古題 : 整個複習過後, 應將歷屆考題做過一次 考過的題目再考的機會不高, 但卻可從考古題中了解出題的方式 每年考的題目會改變, 但重點差異不大, 考古題可讓你掌握方向 程度不好的同學, 可先從歷屆考試較常考的單元準備起, 相信 有耕耘就有收穫, 尤其學測題目較簡單, 常常會有意想不到的 黑馬 出現, 只要肯努力 有信心, 相信下一個 黑馬 就是你 在此先預祝要參加 100 年學科能力測驗的同學都能發揮應有的實力, 應考順利 4