第五章不定積分 反導微 - 簡介 定義 : 若, F, 其中 為一個區間 則稱 F 為 在 上 的一個反導微 tdervtve, 或不定積分 dete tegrl, 並以符號 d F c 其中 c 為常數 表之 [ 注意 ]: s the 唯一 dervtve o F o F s 不一定唯一 tdervtve o F o 與不定積分有關的三個問題 : 一 存在性 : 若 是定義在區間 上的任何一個函數, 試問 : 在 上是否必有反導微? 二 唯一性 : 若 是定義在區間 上的一個函數, 且 在 上卻有反導微, 試問 : 的反導微是否唯一? 三 建構性 : 若 是定義在區間 上的任何一個函數, 且 在 上卻有反導微, 試問 : 如何求出 之反導微? ANS: 一 之部分解答 :No 因為由 Dros 定理可知 : 導函數在區間上必具有中間值性質, 故凡是無中間值性質之函數 如 Drchlet 函數 高斯函數, 必不可能有反導微, 但若 在 上連續, 則 在 上必有反導微 見 F.T.C- 不定積分根本定理 Dros 定理 : 最大 最小值定理推廣, 封閉有界 設 F,, 即設 是 F 在, 上的導函數, 則 在, 上有中間值性質, 即若 k 介於, 之間, 則 c, c k 證 : 令則 G F k G F k k
G G k k F G k k F G 由 Fermt 定理知, c G c G 不存在, 而由 F,, 得 k c F k F c G c c, 即 k c 故 k c c, 二 之解答 :No 因為若 F 則仍成立 c F 其中 c 可為任意常數 但 在 上的任意兩個反導微之間, 至多只差一個常數 見定理 * 故若不考慮常數差, 則反導函數可視為唯一 定理 : 設 G F,, 為一個區間, 則可找到一個常數 c 使得 c G F, 證 : 即 為常數.. 由 : c G F c G F c c H M V T G F H G F H R H
- 基本不定積分公式. g d d g d. d 證 : d let D F DF F d F. d d. d d l c c DF o,, d e c.e 6. d s c 7.s d o R c o R k 8.sec d t c o R, k csc d cot c 9. k. t sec d sec c o R, k csc cot d csc c.. d s c o d c Eercse: 試證,, s, R. d t c o d s. d sec c sec :, k,,
- 變元代換法定理 : 若 d F c 則 g g d F g c [ 注意 ]: 此公式借助 微分 之符號, 可簡記如下 : g g d g dg d g F c F g c 例 : 求 d [ 解 ]: 原式 d d c c 例 : sec d [ 解 ]: sec d sec sec t d sec t sec sec t d sec t dsec t sec t d sec t c sec t c 公式 : csc d csc cot c sec d sec t c [ 分析 ]: Rs, d型式之積分, 可以照下列方式計算 若 R s, Rs, 則可令 若 Rs, Rs, 則可令 s 若 R s, Rs,
則可令 t 或 cot 在以上三種情形都不成立時, 則可令 t t 理由 : 以 為例, 說明如下 : 設 Rs, Rs, Rs, 則 Rs, d d R s, d R s, R s, s R, d R d [ 解 ]: sec d d d d s s d s d c s s c d d s 例 :. t d. t sec d. t sec d. t sec d.s d [ 解 ]:. 原式 s d
d d c c 例 :.. 原式 s s. s 6 d d d t d sec d t s d d d t c t c [ 解 ]:. 原式. 原式 c t s d t sec d t d t t d t d c s s d s 6
例 :. e d. d [ 解 ]:. 原式 e d e d. 原式 d d t c t c 要點 : 帶有根式之積分, 一般而言, 只有下列二型式一定可以積成初等函數 : R, R, c d d c d 此外之情形, 除非型式特殊, 否則不可能積出來 r d. r Z. Z. r Z 例 :.. 6 d 解 :. 原式 d d 6 d s c 7
s c. 原式 d d 再令 v, * 則 v, d vdv v dv v v dv v t v c t c t c ------* - 分部積分法 tegrto y prts [ 定理 ]: 設. g 均在區間 上可微, 則 g d g g d [ 注意 ]: 此公式可以記為 : dg g 或記為 : dv v vd g d, v g 例 :. e d. s d [ 解 ]:. 原式 de e e d e e c. 原式 d d d d s [ s s d] s c 8
[ 研究 ]: 以下三種積分均為同型之積分 : e d s d d 此型均選, 餘下之部分為 dv e s 例 :. d. s d. d. t d. d [ 研究 ]:. 代 d 或 代 s d,... 此型式, 一般取 或 s,... 餘下之部分為 dv, 進行 分部積分法. 又. 中之型式也可以考慮下法令 或 s,... 則 e, d e d, 以變元代換法解之 [ 解 ]:. d d d d d c. 原式 s d s d s 9
s d s c s 則 s, d d s d s s d s d 另解 : 令, 原式 d d s c s s c c. 原式 t d [ t d t ] t d t d t d d t c 6 6 例 : 設. 是均不為 之實數, 試求 e s d及 e d [ 解 ]: 設 則 e s d, J e d e [ e e e d de e e ] d d s
e [ e s s ] de e e s s ] e d e e s e e s [ e s e ] k [ e s e ] 若將 e [ 解 ]: 視為, 則自始至終均要將 e 視為. e d [ e de ] e e d e J ------ J e c 又 J e d s [ e s s de ] [ e s e s d] [ e s ] J e 解 : s c ------ 得 e s e c e s e k J [ 解 ]: 利用微導保型之概念來作 : e ps q e p p 為 之多項函數
均為 微導保型 之函數 設 e sd e ps q k ------* * 兩邊對 微 e 求 e d? s e p qs e e 由此可以解得 p p q. k [ p qs p q] p q p q q e s d e s 設 e d e c k ------* * 兩邊對 微 得 e e e c e [ c] c c D [ 解 ]: 利用 e s 之定義 設 e d, J e s d 則 J e e e e d d s d e A B A, B R e s A B e [ s s ] A B. 均為常數 ps q k
[ e s A] [ e s e [ s ] A J e [ s ] B B ] 漸化式 redcto orml 例 : 求 sec d Z 之漸化式 利用 求 sec d [ 解 ]: 設 sec d Z 則 sec d t sec sec sec sec sec sec t t d sec t t t sec sec t t t sec sec sec sec t d d d d t sec t sec t 時 由 知 : sec d sec t sec 例 : 試求 d N, 之漸化式 d 並利用之, 以求出 sec d t t c [ 研究 ]: 若 R 為一個真分式, 則 R d之計算, 經過分項分式之過程, 可化為 至多不超過 以下四種形式之組合
. N d c., N d. d. N d [ 解 ]: 由設 d d d d d ] [ d d ] [ 上式中, 以 取代, 得公式 ] [ 此為所求由此漸化式可知 : d ] [ ] [ c ] t [ 6 6
6 8 t 6 c D h e e D sh e e d [ 研究 ]: 的其他算法 [ 分析 ]: R, d 型式之積分 其中 可以令 t t, 則此積分可以化為 R s, d 之型式 R, d [ 解 ]: 令 t t 則 R t, sec sec d R d sec d sec s, d d ------* 8 8 * d 8 8 s s c 8 s s c 6 8 t c 6 8
t 6 8 c s s t t sec t 公式 : 設 t 則 s 正切之三角代換可將三角函數有理化 t s t t t 有理函數之積分 要點 : 有理函數均可借助化分項分式之方法, 化為下列四種型式之積分 : 6
c d, d, d, 而此種型式均可積成初等函數, 故知, 有理函數必可積成初等函數 理論上 d 例 :. d 6 6 8 d.. d. [ 解 ]:. 首先 d 6 6 去分母, 得 A B C A B C 8 以 以 以 代入 得 A, A 代入 得 B, B 代入 得 6 C, C 故由 知, 原積分.[ 法 ] 首先設 A B C D ---- d E ------ ------ 去分母, 得 8 A B C D E ------ 8 A B [ 法 ] 首先設 ------ 其中 為一個二次函數 去分母, 得 8 A B ------ 以 代入 得 8 B, B 8------ 兩邊對 微, 得 A A B 7
再以 代入上式得 B A------ 由 及 知 A B 8 ------* 故由 知, 8 8 6 8 6 8 7 7 ------** 故由 * ** 及 知 8 7 7 d 8 7 7 d 8 7 7 c 原積分 p [ 研究 ]: m 可以令 d 型式之積分 其中 p 為多項函數 化為 之函數積分 Ostrogrdsky 當 m. 是比較大的數字時, 此法較分項分式為佳 [ 法 ] 令 ------ 由, 由, d d ------ 由 代入原式得 8 d ------ 8 8 d 8 7 d 7 8 d 7 8 d 8
9 9 d d d. 首先設 C B A ------ 去分母得 C B A ------ 比較 兩邊之係數得 C A C B A B A 解之得 7 9 C B A 故由 知, 原積分 d 7 9 d d 7 9 9 d 9 d c t 9 c t 9 c t 9. 首先令 A ------ 其中 為一個多項函數 去分母, 得 A ------ 以 代入 得, A A ------ 代入 得 6 6
由 及 知, 再計算 ------ 原積分 d d d d d d t d d如下 : 令 t, t 則 d sec d sec ** 代入 * 即得 d d s k s k t k ------* ------** 正餘弦之積與冪之積分 m 主題 :s d, m. Z 一 t d, Z 型式 即 s m d 滿足 m 之特別情形 方法. 利用漸化式 見例 方法. 令 t 或 cot 不論 奇或 偶 時 時 又若 奇, 也可令 s 或
例 : 試導 t d 之漸化式 Z 6 並應用之以求 t d cot d [ 解 ]: 設 t d 則 t t d 由, t sec d t sec d t dd t t t, 得 t 此式中之 設為 t 由 及 知, 所求之漸化式為 t t 6 故 t d 6 d 時 ------ t t t t t t t t t c d 又 cot t cot cot 時 ------ [ t ] cot d s cot s c cot
6 例 : 計算下列二積分, 但不許使用漸化式 : t d cot d 6 [ 解 ]: 一 先求 t d 令 t, t 則 d d 6 6 t d d d t c t t t c 二 cot d [ 研究 ]: d 令 cot, cot 則 d d cot d d d [ ] c cot cot cot c s 或 cot 也可以用 解之如下 : s s d s s d s d cot d d 代換
m 二 d 數 s 型式 m. Z 參考 p.9 此型積分, 可考慮下述方法 : 當 m, 不是很大的數時, 可觀察 m. 之奇 偶 若 m 是奇數, 可令 若 是奇數, 可令 s c 若 m 均為偶數, 可令 t 或 cot 又, 此時若 m 均為非負之偶數, 也可考慮壓低正弦之次 當 m 或 很大時, 可以利用漸化式 見定理 例 : 求下列個積分 s s d d d s [ 解 ]: 原式 s d d s d d c c s 原式 8 8 6 8 6 8 d d d d 6 8 6 8 s s d s 6 6 6 6 s s s d s 6 6 6 6
s s s s c 6 6 6 6 8 s s c 6 8 6 s s s d d [ 法 ] 原式 d d dv v v v d s s 則 d d d t 6 sec d t sec sec d t t d t t d t d c t t cot c [ 法 ] 令 t, t 原式 6 m [ 定理 ]: s d 之漸化式
m 設 m, s d, m, Z, 則 m m s m, m m 若 m ------ 甲 m, s m, m m 乙 丙 ------ 丁 [ 証 ]: m, s m m 若 m ------ m m m, m 若 m --- m s m m, 若 s m s s s s s s m d d s s d s m m m ms s [s m m ] d s m m m m m s m d s m d s d m m, [ m, m, ] m m, m s m, m m, m m, s m m, ------* m, s m, m m 若 m 由 *, m ------ 乙 m 又由 *, m, s m m, m, s m 此式中的 改為 得, m m, 若 m m, s m m, ------ 丁 若
6 例 : 利用漸化式重作上例 :, s d, s,] s [ s c s s, s d, 6 s 6,] s [ 6 s 6 s s 6,] s [ 8 c 6 s 6 s s 6, s d, s ], [ sec csc, sec sec csc c s s sec sec csc d s, d s s s d s v dv v v dv v v
v v c 三角代換此處我們研究下列三種型式之積分. R, d. R, d. R, d 其中 為一個不為 的常數 此三種型式可利用三角代換消除平方根 : 型式. 可令 s s 型式. 可令 sec sec 注意 : sec [, [, r t t 型式. 可令 例 : 求下列各積分. d. d. d.. d d [ 解 ]:. 原式 d d 令 s s 則 d s d ------ 7
d d s c s c s c s c. 令 s s 則原式 s d s s d s d d d d 7 7 7 c 7 7 7 c c. 令 t t 則原式 sec sec sec sec d dt d. sec sec 則原式 t d sec sec 8
t sec t d sec t d sec d t c sec sec c c 6. 原式 d d, 令 sec sec * dsec t sec t d t sec d sec t c ------* c c 可有理化之代換 c 型式. R, d c d 型式 此型只要令 理由 : 令 c c d c d 由 c d r ------ 9 d 即可 ------
由, d r d 由 知 ------ R, d c d R r, r d R d 例 : 求下列各積分. d. d d.. d. 6. 7. d d d 6 [ 解 ]:. 令 ------ 6 由, ------ 由, d 6 d ------ 由 知, 6 d 6 d 原式 =
d d. 令 ------ 由, 由, 由 知, 原式 再令 由 ------ d ------ d d ------* t ------ t ------ t t t t d t t t * = t t t t t t t t t t dt t t dt dt 6. 原式 令 由 d ------* ------
由, 6 d d 由 知, ------ ------ * 6 = d d * 型式 : R, c d 型式 其中,, c R, 且 此型式有一個有名之代換 :Eler 代換 若, 可令 c t 或 t t c 若 c, 可令 c t c 或 c t c c, 若 c, 可能得二實根 可令 c t 或 理由 : 以 為例, 說明如下 : 設, 令 c t t ------ 由, c t t t c t r t ------ t 代入 得 c r t t r t ------ 又由, d r t dt r t dt ------ 由 知, R, c d R r t, r t r t dt R t dt
= 例 : 求下列各不定積分 :. d.. d d [ 解 ]:. 令 t ------ t 由, t t t ------ t t t t t t t t t d dt t 代入 得 又由, ------ 代入原式得 t t 原式 dt t t t t t t t t t dt t t t t dt = t. 令 t ------ 由 t t t 由, ------ t t ------
又由 得, 6t d dt t 代入原式得 原式 ------ 6 t 6t dt t t t t 6t dt t t t dt t t 6 dt t dt t t r 型式 : d型式 其中.. r Q, 且. 為異於 之常數此型式也有一個有名的方法 :Cheyshev 代換 若 r Z, 而 dt p p, q q q. q N, p p Z. 令 q q 即可 p * 若 Z, 而 r q N, p Z q 令 q 即可 若 r Z, r p 而 q N, p Z q 令 q 即可且除此三種情形之外, 此型式必不可能積成初等函數 Red:tegrto Fte Terms 理由 : 以 為例, 說明如下 : p 設 Z, r q q 令 由, 而 N, p Z q ------ q
由, q r d r d d r d ------ ------ r 由 知, d p p q p q p r r d R d d d 例 : 求下列各積分 : d d d d [ 解 ]:. 原式 d ------* 第 種型式 令 ------ 由, 由, d d ------ d d------ 由 知 * d d c
c. 原式 d------* 第 種型式 令 ------ 由, ------ 由, d d d d------ 由 知, * d d 6 d 7 7 c 7. d d ------* 第 種型式 令 ------ 由, ------ 由, d d d d------ 由 知,* d c d c 7 d c 型式 : R s, d型式此型若不滿足三種特別情形之一 6
則可令 t t 理由 : 若令 t, 則 s, d d Rs, d R, d R d 例 :. s d s d s s d s t t 則 s,, d d 原式 d d.. [ 解 ]:. 令 d d c t t t c s d s s s d s [ 令法 ]: 原式 7
csc d csc d csc = cot d csc cot d. 令 t t 則 s,, d d d d d d c 原式 t t c.[ 解 ]: 令 t [ 解 ]: 令 t t 則原式 d t d t d d = d [ 解 ]: 利用 Ds, D s 之關係解 設 s d, J s d s 8
9 則 s s c d d J ------ 又 d J s s s s d s c ------ 得 s c k s 同理可求 J [ 解 ]: s s s s s 其中 是滿足 s 的任何一角 原式 d s s s s d d s s d s s s s s d d c s s =
型式 : R e d型式此型式令 理由 : e 即可 R e e R e de e R d R e d e d R d e 例 : d e [ 解 ]: 令 e, 即, d d d d 則原式 e d e c [ 研究 ]: 若積分型式為 s, d 或 e d d t 為一般函數 亦可考慮 t 或 e 之代數 先化為 之函數再考慮下一步 例 :. e e d. d. d
[ 解 ]:. 令 e, 即, d d 則原式 d d sec c sec e c.[ 解 ]: 令 t, t 則 s,, d d d d 原式 d 一 若, 此時 * d ------* d 再令 v ------ 由, v v ------ 由, d vdv d vdv ------ 由 知,** ------** d
v v vdv dv v dv v v dv v v v v c [ 解 ]: 令 即 d d 原式 d s d d s d s s d s d s ------* 一 若 s 取, 即取 之範圍 則 * d s
d s csc d csc cot c c s c s s c s s c s = Lovlle 定理 : 設. g 均為有理函數, 而且若 e g 之反導函數亦為初等函數, 則 e g 之反導函數必具有如下型式 : e w c, 其中 w 仍為有理函數 c 為常數 換言之, 若 e g d可以積成初等函數, 則其必為 tergrd 同型 :
即 e g d e w 其中 w 為有理函數 e c, [ 研究例 ]: 試証 d不是初等函數 e [ 証 ]: 設 d是初等函數 數 由 Lovlle 定理可設 e d e w c 又可令 簡記為 ------* 其中 w 為有理函數, c 為常 p w. q q p q * 兩邊對 微, 得 e qp pq e q qp pq q q 由 知, q qp pq e p q p 為二個互質多項式 p q qp pq q pq pq ------ 其中 qp pq pq 為一個多項式, q 故可設 q s N ------ 其中 s 為多項式, 且 s 由 知, q t ------ 其中 t 為多項式, 且 t 及 代入 得, 故知 s s sp sp pt pt ps sp pt ps pt sp ps s sp ps pt p t e 類題 :. 試証 e d s -- 矛盾 不是初等函數 d不是初等函數 ps. 試証... e d 可積成初等函數之
! 充要條件為 :...!! 定積分 黎曼積分 一 定積分之定義 定義 : 分割 prtto 設 [, ] 是一個閉區間, p,,... 是滿足下列條件之任何一個集合 :... 則 p 稱為 [, ] 上的一個分割, 以符號 p [, ] 表 [, ] 的一切分割所成的 定義 : 分割的模 or 設 p,,... p[, ], 令,,..., 乃 p 分 [, ] 的第 個子區間之長度 D m 又定義 p m,,..., 稱 p 為 p 之模 或範數 定義 : 正規分割 sglr prtto 設 p,,... p[, ], 滿足下列條件 :..., 則 p 稱為 [, ] 上的一個 等分之 正規分割 [ 注意 ]: 若 p,..., 是 [, ] 的一個正規分割,
則 p, 且此時,,,,..., *** 定義 : 黎曼和 & 定積分 設 是定義在閉區間 [, ] 上的一個函數, 對任何 p,,... p[, ] 而言, D 令 p t, R R 其中 t, ], p [ 稱為 對於 p 的一個黎曼和 Rem Sm 注意 : 即使 與 p 均已知, R p 仍有無窮多個可能之數值 若存在一個實數 使得下式成立 :,, p p[, ], p R p A ------* 可記為 lm p A------** p R 則稱 在 [, ] 上 黎曼 可積分並且稱此極限值 A 為 在 [, ] 上之定積分 黎曼積分, 以符號 表之 [ 注意 ]: ** 亦可記為 lm t A ------** m 其中,,... p[, ], 而且 t [, ], 又 ** 亦可記為,,,,... p[, ] m t A ------* 其中 t, ], [ 由定義知, 在 [, ] 上可積分 lm R p 存在 p lm m 亦可用如下符號表示 : 存在 *** 由定義知, 若 在 [, ] 上可積分, t d. [, ] 存在 6
則 D d lm t m :[, ] R. 分割 p,,... p[, ]. 取樣本 t. 取和 t. 取極限 lm t m d 定積分 例 : 設 :[, ] R 為一個常數 試問 在 [, ] 上是否可積分? 若可積分, 其積分值為何? [ 解 ]: 設 p,,... p[, ], 則 R p t, t [, ], lm R p p [ 証 ]: 設, 任取一個正數, 則 p p[, ] p R p 在 [, ] 上可積分, 且 d 即 d 二 可積分之條件 lm p R p 存在不切實際 D 可積分 在 [, ] 有界 [ ] ----- ------ 反例 : 在 [, ] 連續 在 [, ], Q, Q 7
可積分 條件 在, ] [ 有界 [, 不. 在 [, ] 有界但 在 ]. 在 [, ] 幾平處 連續 s cot o [, ].e 在點 D cot,, y, y y D 在集合 A cot, A,, y A, D y y 在集合 A 均勻連續,, A, y A, y y 補充 : 定義 : 設 定義 : 設 :[, ] R 定義 [, 在 不連續 D D ] :[, ] R 定義 在 [, ] 上幾平處 cot D 表測度, Q, Q D, D [, ] D 三 定積分之基本性質 6- [ 定理 ]: 積分函數之線性 若. g 均在 [, ] 可積分,. 為任意二常數, 則 g 在 [, ] 也可積分, 且 g [ 略証 ]: 設 在 [, ] 可積分, g 在 [, ] 可積分, 則 lm R p p g D D 8
lm R g p p g 而 p p[, ], R p R p R p lm R p g p g lm R p R p g g p g 在 [, ] 可積, 且 g R p 推論 :H 設 C g 且 在 c 點連續 g t t,,... 均在 [, ],,... g t 可積, R... 在 [, ] t g t R 可積, p R 在 c 點不連續 g p...... 在點 c 連續 在點 c 不連續 g g c D D c D D, D D * 在 [, ] 可積 在 [, ] 可積, Q :[, ] R, Q 則 [, ],, 在, ] D D 但, [, ] 在 [, ] 上為常函數, 在 [, ] 上可積分 [ 上不可積 定義 : D 故知 9
[ 定理 ]: 上下限之線性 若 在閉區間 可積分, 則 在 的任何閉子區間上仍可積分, 且,, c, c c ------* 若 c,* 成立, 則其他情形,* 一定成立 在 [, ] 可積 在 [, ] 可積 *[ 定理 ]: 積分之保號性 若 在 [, ] 上可積分 ------ 且 在 [, ] 上非負 ------ o[, ], 意即 : [, ], 則 ------ 又條件 中的 可積分 改成 連續 則 取等號 推論 : 積分單調性 若. g 均在 [, ] 可積分 ------ 且在 [, ] 上, g ------ 則 g ------ 又若條件 中之 可積分, 改為 連續, 則 取等號 g 推論 : 與 之定積分 若 在 [, ] 上可積分則 在 [, ] 上也可積分 且
四 如何計算定積分 理論 F.T.C Lemm: 積分均值定理 若 在 [, ] 上連續, 則 c, c [ 証 ]: 設 在 [, ] 連續 ------ 由 知, 在 [, ] 上有最大值及最小值設 在 [, ] 上之最小值為 m, 最大值為 M, 則 [, ], m M ------ 又不妨假設 m, M. [, ] 分成以下兩種情形討論之 : 一 若 m M, 此時由 知, [, ], m M 此時任取, 上的一點 c, 可得 d md m c 二 若 m M, 則由 知, md d Md m M m M 由 知, c c 介於. 之間 c 而 c 介於. 之間 c, c, c 即 c, c [ 定理 ]:
H :[, ] R 為一個可積分函數 H F :[, ] R 定義如下 : F C F 在 [, ] 連續 C 若 在 連續, [, ], 則 F 在 可微, 且 F [ 略証 C ]: 設 H 均成立, 則 在 [, ] 有界, H M,, M, y, F F y ------* 若 y, 則 * M M y M y y y y y 若 y, 則 * M M y M y 由 知, F F y M y y y y F. 在 [, ] 可積 F 在 [, ] 連續 且 F o [, ]. e. 在 [, ] 連續 F 在 [, ] 可微 且 F o [, ] [ 嚴証 ]: 設 H H 成立, 設 是 [, ] F F lm 欲証 : 上任意一點 把 固定 設, 在 連續,, ------* 對於此 而言, F F c 由 * 以上証得, 其中 c 介於. 之間 c
F F,, F F 即 lm F 在 可微分, 且 F 由於 是 [, ] 上任取的一點, F 在 [, ] 上可微分, 且 F, [, ] [ 定理 ]:F.T.C. 第 根本定理 H 在 [, ] 連續 H G 是 在 [, ] 上的一個反導函數 即 [, ], G C d G G G [ 証 ]: 設 H 均成立, H 令 F :[, ] R F 則 F, [, ] 由 F.T.C [, ], F G 由 M.V.T 知, c R, [, ], F G c d F F F G c G c G G [ 注意 ]: 由 F.T.C 知, 若 在 [, ] 連續, 則 d d 可積 求得出 之不定積分 d d d d 結論 :. 條件 :. 何種條件下 例 : 計算下列定積分. d
. s d [ 解 ]:. d d 7 8 s. s d d s s d s d d 例 : 求 t [ 研究 ]: 若 在區間 上連續, g 是一個可微函數, 且 d d dt rg d g 則 t dt g g d F t dt F d g d t dt F g d d 推廣之, 可知在適當條件下, 以下各結果成立 d d d d. t dt h h h g. t dt g g h h h [ 解 ]: t dt 例 : 計算 d. d d d. t t e dt t dt
d d. t t s d d t dt t t [ 解 ]:. 原式 e dt te dt e e t dt e t dt e d d d [s d. 原式 t t s t s [ [ t t s s s t dt t tdt s ] ] s t tdt s s t t s tdt t t t t s tdt] t tdt t s t t s tdt t s tdt t tdt 定積分之計算 [ 定理 ]: 定積分之分部積分法 若. g 均在 [, ] 可微 且.g 均在 [, ] 連續 則 [ 証 ]: g d g g d [ 注意 ]: 此公式可記為 : 例 : 計算. dv v s d vd
. t d [ 解 ]:. 原式 d [ d ] [ s d] d s s d. 原式 t d [ t d t [ ] d 8 d [ t ] 8 [ ] 8 ] *[ 定理 ]: 定積分的變元代換法 若 在區間 上連續, g 在 [, ] 上具有連續的導函數 g 則 rg g g d 記 g g d 法 : g g d g dg d g 6 g g [ 証 ]: 設 成立定義 F. G :[, ] R為如下之二函數 D F g t g t d G D g g d
由 知, F. G 均為 well-deed g [, ]rg R g [, ] R g g s cot 則由 F.T.C. 知, F g g, [, ] ------ 且 G g g, [, ] ------ 由. 知, F G, [, ] 故知 F G c, [, ] ------ 其中 c 為一個常數 由 F. G 之定義知, F g t g t d g G d g 由 知, c F G 故知 [, ], F G 即 F G g g d g g d 例 : 計算 d d d d [ 解 ]: 令 sec sec, 則 原式 sec d sec sec t sec t d sec sec sec s s d d s 7
d s 8 令 sec sec, 則 原式 sec d sec sec t sec t d sec sec sec s d s d s d s 8 [ 討論 ]: 偶函數 令 t, t, 則 d d dt t dt t t dt t 8 d d 設 ------ 由, 由, 由 知, 原積分 ------ ------ 8 8 d d ------* 令 t t, 則 8
8t * sec d sec 8s d d s s 原式 d------* 令 ------ 由, 由, d d 由 知, d d ------ * ------ d d d 9 9 定積分的一些特殊問題 一 利用漸化式之算法 : 9
例 : 設 s d,,,... 求 之漸化式, 並利用之以求 s 7 d, s 試証 是一個嚴格遞減且界於下之數列 証明 lm s [ 解 ]: 設 d N 即 s d [s d s [ [ s s s ] s d] 若 s d s d d 時, d] d 此即為所求 即 又 由此漸化式知, s d 故知 7 6 6 6 6 s d 7 7 7 7 7 8 7 7 s d 8 8 6 8 6 8 d 之值 6
s, [, ] s s s s s s o [, ] [,, 等號只有在 ] 時成立 由 知,, ------* 由 * 知,..., 嚴格遞減, 且 知 由 故由 ** 知, 今 lm 嚴格証 : 歸納法 ------** N N N lm lm 例 : 設 在 [, ] 連續 試証 : 利用, 求 s d s d s d之值 [ 解 ]: 設 在 [, ] 連續 又設 s d 6
令, 則, d d s d s d s d s d s d s d s d s d s d s 由 知, d s d d d d t 習題 : 求值 s s d t d. d... d, 其中 是一個在 [,] 連續, 且滿足, [,] 之函數 e. d 6
6 例 : 求下列各極限之值.... lm. ] [ lm [ 研究 ]: 若 在 ], [ 上可積分則由定積分之定義知, lm d 是 對於 ], [ 的 等分正規分割的一個黎曼和 即 lm d 此結果可推廣, 例如 : lm d lm [ 解 ]:. 設... 則 其中 故知, 乃函數 對於 ], [ 的 等分正規分割的一個黎曼和而 在 ], [ 可積分 在 ], [ 連續 lm lm d d. 設 ] [ 則 ] [ ] [ ] [
其中 故知, 乃函數 對於 [,] 的 等分正規分割的一個黎曼和, 而 在 [,] 可積 在 [,] 連續 lm lm lm d d d d d e e lm e e e e 例 : 設 在 [, 上為連續而遞減之正函數 令...,,......,,... 試研究 lm.lm 是否存在?, 試証 lm... 存在 [ 解 ]: 設 在 [ 上為連續且遞減, D D,,...,,... 6
例 : 利用 Eler 常數, 求下列極限之值 lm...... c [ 解 ]: 設 N 定義 : 則 lm c 為 Eler 常數... lm... lm c c 設. g 均為定義在 [, ] 上之函數, 若 [, ] g 則稱 與 g 在 [, ] 上幾乎相等 g o [, ]. e [ 定理 ]: H H. g 均在 [, ] 有界 g o [, ]. e C 若 在 [, ] 可積, g 也在 [, ] 可積, 且 g 例 : 計算 [ ] d [ ] d d, 其中 :[,] R, 定義如下 : [ ], 先証明 在 [,] 上確實可積分, [ 解 ]: [ ] d [ ] d [ ] d [ ] d 6
d d d 令, d d 8 [ ] d 8 [ ] d 6... d d... 7 9 原積分 6 8 7 7 7d 8 7 [ ] d 定積分之應用 未聲明時, 本章所論函數至少是連續函數 面積 : 公式. 設 在 [, ] 上為連續之正函數, 則曲線 y 與 軸之間, 自 至 之區域, 其面積為 d 公式. 公式 之推廣 設. g 均為在 [, ] 上連續之函數, 則曲線 y 與 y g 之間, 自 至 之區域, 其面積為 g d 例 : 設., 試求曲線 所圍區域之面積 y : y [ 解 ]: 設 ------* 之略圖如下 66
67 對稱於 軸 y 軸 所圍之面積為 在第一象限的部分與兩軸所圍面積的 倍, 而在第一象限 之圖形, 即函數 之圖形故所求面積為 d d ------** 令 s, s 則 ** d d d d s 若,* 即 y, 答案則為 例 : 設 為一個拋物線, 而 PQ 為 上的一弦, M 為 PQ 之中點, 過 M 作 的軸之平行線, 此線交 於點 P. 試証 PQR 之面積是 與 PQ 所圍區域面積之幾分之幾 [ 証 ]: 設 之方程式為 : c y 設, c P, c Q 為 P 的一個弦則 M 之 座標為, R 之座標為, c R 故 PQR 之面積為 c c c c c c c c 8
又 與 PQ 所圍區域面積為 A [ [ c 由 及 知, 例 : 試求曲線 PQR c c 8 c ] c c c c [ ] d ] d d ------ c[ ] c[ ] c [ 6 ] 6 c 6 c ------ 6 c 8 c 6 面積是 與 PQ 所圍區域面積的 y s 與 y [ 解 ]: 所求為 s d s d s d s 之間, 自 至 之區域面積 s d s [ ] [ s d ] 習題 :, 求 y y 所圍之區域面積 68
例 : 試求拋物線 y 與曲線 y y 所圍成區域之面積 [ 解 ]: 設 : y ------ : y y ----- 即 : y : y y 解 及 得 與 y ------ ------ or y 7 8 7 or 8 y 交於,,,,, 三點, 略圖如下 : 故知所求之面積為 y y y dy [ y y y ] dy 7- 體積 [ y * 一 截面法之體積公式 : 設 S 為一個立體, 而 L 為一條數線, 過數線上 [, ] 的任一點, 作垂直 L 之平面, 若此平面截 S 之截面積為 A A 是在 [, ] 上連續之函數 則 S 介於, 之間的區域 其體積為 A d y y ] dy. 分割 : 設 P,,,... P[, ]. 取樣本 : 由 P 所得的 S 的第 塊薄片, 其體積約為 A t t [, ] 69
. 取和 : S 介於 體積約為 與. 取極限 : 所求之體積為 lm m A t A t 之間的區域 A d 例 : 求 y 繞 軸之旋轉體體積 A 例 : 某立體之底面為一個橢圓形區域, y 9 橢圓之方程式為 若垂直於 軸之任何平面截此立體之截面均為正三角形, 試求此立體之體積 [ 解 ]: 設通過, 其中 而垂直於 軸之平面, 截此立體之截面積為 A 則 A 即以 為一邊邊長的正三角形面積 9 即 A s 故知, 此立體之體積為 9 9 A d d 9 9 6 習題 : 求兩圓柱相交之體積 As: 8 8 利用正方形先考慮第一卦限體積 d 7
二 旋轉體之體積 A 圓盤法 Dsc method 與圈帶法 設 是定義在 [, ] 上的連續正函數, 而 R 表 圖形與 軸之間自 至 R, y, y 即 則 R 繞 軸旋轉, 所得旋轉體 其體積為 d y d 之平面區域 之推廣 A g A g 設. g 均為定義在 [, ] 上之連續正函數, 而 R 為. g 圖形之間自 至 之平面區域 即 R, y, m, g y m, g 則 R 繞 軸旋轉, 所得旋轉體之 體積為 g d 其他推廣公式, 依此類推 例 : 試求由 9, y, 所圍區域繞 軸旋轉所得旋轉體體積 y 與 7
[ 解 ]: 所求為 y d 9 d [ [ [ 9 ] 86 9 d d 9 ] d] 例 : 設 R 是由拋物線 y, 直線 及 y 所圍成的區域試求 : R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體體積 R 繞 軸旋轉所得旋轉體體積 R 繞 軸旋轉所得旋轉體體積 [ 解 ]: R 之略圖如下 : 所求為 dy y dy y y y y dy y 96 所求為 [ y dy y y y y dy y 8 所求為 [ ] d 8 9 d 8 8 7
B 層殼法 Shell method 薄殼法 補充概念 Blss Sm 設. g 均為定義在 [, ] 上的函數, 則對任何 P,,... P[, ] 令 B. g D, P g 其中, [, ] B. g P 為 與 g 在 [, ] 上對於分割 P 的一個 Blss 和 稱 [ 定理 ]: 若. g 均在 [, ] 連續, 則 lm B. g P g d p 設 是定義在 [, ] 上的連續正函數, 其中 而 R 表 圖形與 軸之間自 至 之區域, 即 R, y, y 則 R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體 體積為 d yd. 分割 : 設 P,,,... P[, ]. 取樣本 : 由 P 所分 R 得的第 塊平面區域, 繞 y 軸旋轉之體積約為 t 其中 t t t t t 7
. 取和 : 旋轉體體積約為. 取極限 : 旋轉體體積約為 此公式可以推廣為各種形式 m t t lm t t d c- yd c - g d 例 : 試求由 y, y, 與 繞 y 軸旋轉所得旋轉體之體積 [ 解 ]: 所求為 y d d d s [ s 所圍區域 [ ] [ ] s d] 例 : 試求由 y 6 9, y,, 所圍的區域 R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體體積 [ 解 ]: 設 : y 6 9 列表如下 : 9 7
由此表可知, 在 [,], 且 [,], 故知 R 的略圖如下 : 故知 R 繞 y 軸旋轉所得旋轉體體積 yd 6 6 9 d 9 d 例 : 試求由 y, y, y, y 6 所圍區域 R 繞 軸旋轉所得旋轉體之體積 : y [ 解 ]: 設 : y 略圖如下 :. 相交於,,8,6 R 繞 軸旋轉所得的旋轉體之體積 6 6 y y y dy y y dy y y 6 7 6 6 7
弧長與旋轉面的面積 平滑函數 定義 : 設 為一個區間, 定義 在 上平滑 : R s smooth o D 在 上可微, 且 在 連續 s, 例 : : R R, 在 R 上是否可微? Yes s,, D s lm lm lm s 若 在 R 可微, 問 是否在 R 上平滑? No lm lm s 在 不連續 lm g 存在又 lm g 存在 lm 存在 不存在 在 二階可微 在 平滑 在 可微 夾擠定理 s s 取極限 76
一 弧長基本問題設 :[, ] R 為一個平滑函數, : y 試問 是否有長度? 若有的話, 其長度之公式為何? As: 若 在 [, ] 上 smooth, 則 y 自 至 之弧有長度 參考 Rd Prcple o Mthmtcl Aslyss 美亞 ch6 最後一個定理 且其長度公式為 d dy d d ds ds d dy 弧長單元. 分割 : 設 P,,,... P[, ]. 取樣 : 由 P 分段的第 段弧, 其長約為 y y y y t. 取和 : 此曲線之長度約為. 取極限 : 此曲線之長為 lm m t [ t t d, ] 弧長公式 : d dy d ds d ds d dy 弧長單元 77
g :[, ] R g, 問 : g 在 [, ] 上是否可積? As: 平滑, 連續, g 連續, g 在 [, ] 可積 例 : 試求曲線 y 由, 至, [ 解 ]: 所求為 d 令 9 間之弧長 dy d d ------ 9 d ------* 9 9 8 d d 9 由, 由, 代入 * 得 ------ ------ 弧長 8 8 d 7 8 d 9 9 例 : 試求曲線 6 y [ 解 ]: 設 : 6y y y 由 y 至 y 即 : y 6 y 故知 自 y 至 y 之弧長為 間的弧長 7 y y ds d dy dy y y y dy y y dy y 7 y y dy 78
79 二 旋轉面之表面積設 y : 其中 在 ], [ 上為一個平滑的非負函數則曲線 即 y 自 至 之弧繞 軸旋轉, 所得旋轉面的面積為 d yds d d dy y. 分割 : 設 ], [,...,, P P. 取樣本 : 由 P 所得的第 段弧繞 軸旋轉, 所得旋轉面之面積約為 y y y y y y ], [ t t t t s t s ], [. 取和 : 此旋轉面之面積約為 t t. 取極限 : 此曲線之長為 t t m lm d 例 : 設, 求橢圓 y 繞 軸旋轉所得的旋轉面面積 [ 解 ]: 所求即 y 繞 軸旋轉所得旋轉面面積
8 即 d d dy y yds ------* d dy y y ------** ** 代入 * 得 * d d ------*** 其中 令 s, s 則 *** d s s co d s s co d s s s s s
8 s [ 研究 ]: lm s lm 令 y y s, s s lm s lm y y y s lm s lm s lm