7.2 旋轉體體積 7.2 旋轉體體積定義平面上有一區域及一不與該區域內部相交的直線, 將該區域繞此直線旋轉而得一立體, 稱為旋轉體 (solid of revolution) 圓盤法 (Volumes by Slicing, Disk Method) 定理令旋轉軸

Size: px

Start display at page:

Download "7.2 旋轉體體積 7.2 旋轉體體積定義平面上有一區域及一不與該區域內部相交的直線, 將該區域繞此直線旋轉而得一立體, 稱為旋轉體 (solid of revolution) 圓盤法 (Volumes by Slicing, Disk Method) 定理令旋轉軸"

决娴酆
5 years ago
Views:

1 臺灣大學開放式課程微積分甲 - 朱樺教授第 7 章積分應用 (Applictions of Integrtion) 目錄 7.1 切片法求體積旋轉體體積平面曲線之弧長旋轉面表面積力矩與質心 Pppus 定理機率微分方程 (i) 以立體體積, 旋轉體體積, 曲線弧長, 旋轉面表面積, 力矩與質心等之求法為例, 介紹如何應用積分 (ii) 介紹 Pppus 定理 (iii) 介紹一階線性微分方程 7.1 切片法求體積 (Volumes by slicing) 定義令 S 為介於 x = 及 x = b 之間的立體區域 P x 是通過 x- 座標為 x, 且與 x- 軸垂直之平面假設 S 在 P x 的截面積是 A (x), 而 A (x) 為可積的函數, 則 S 的體積為 V = n lim A (x i ) x = b A (x) dx n i=1 例金字塔形的立體, 底為邊長 L 的正方形, 高為 h 求其體積例 (Cvlieri 原理 ) 兩立體高度相等, 且對每個高度, 其截面積均相等, 則它們的體積相等例一立體底部是半徑為的圓, 與底垂直之截面為等邊三角形求其體積例兩個半徑為的圓柱, 其軸垂直相交求相交部分內部的體積例一個楔形體 (wedge) 是從一個半徑為 4 之直圓柱中利用兩平面切出一平面是與 z- 軸垂直, 另一平面則與該平面在直徑處交 30 求該立體體積 84 本著作除另有註明外, 採取創用 CC 姓名標示 - 非商業性 - 相同方式分享台灣 3.0 版授權釋出

2 7.2 旋轉體體積 7.2 旋轉體體積定義平面上有一區域及一不與該區域內部相交的直線, 將該區域繞此直線旋轉而得一立體, 稱為旋轉體 (solid of revolution) 圓盤法 (Volumes by Slicing, Disk Method) 定理令旋轉軸為 x- 軸, 且該區域所在之範圍為 x [, b] 若此區域在 x- 座標為 x 處的旋轉半徑為 R(x), 則旋轉體體積為 V = b A(x)dx = π b R(x)2 dx [ 註 ] 若旋轉軸不是 x- 軸, 仍可利用同樣的想法寫出其積分式例求半徑為 r 之球體體積例求底半徑為 r, 高為 h 之直圓錐體的體積例將曲線 y = x 2, y = 1 所圍之區域繞直線 y = 2 旋轉, 求其體積例一個區域 R 是由 x = 2y y 2 及 y- 軸所圍之區域求其繞 y- 軸旋轉的旋轉體體積例將 y = x 3, y = 8, x = 0 所圍區域繞 y- 軸旋轉得一立體, 求其體積例令 R 為 x = y 與 x = 3 所圍區域將其繞直線 x = 3 旋轉, 求其體積定理若一區域由 y = R(x), y = r(x), x =, x = b 所圍成, 旋轉後得到環狀體, 其截面為環狀, 外半徑為 R(x), 內半徑為 r(x), 則體積為 V = π b [R(x)2 r(x) 2 ]dx 例一區域 R 以 y = x 及 y = x + 3 為界將其繞 x- 軸旋轉, 求其旋轉體體積柱狀殼法 (Cylindricl Shell Method) 定理令 R 為 y = f(x) 0, x b 與 x- 軸及 x =, x = b 所圍成的區域將 R 繞 x = L (L ) 旋轉, 則旋轉體體積為 V = 2π b ( 殼半徑 )( 殼高 )dx = 2π b (x L)f(x)dx 例將曲線 y = x 在 [0, 1] 上的區域繞 x- 軸旋轉, 求其體積例將曲線 y = 2x 2 x 3 及 y = 0 所圍的區域繞 y- 軸旋轉, 求旋轉體體積例將曲線 y = x x 2 及 y = 0 所圍的區域繞 x = 2 旋轉, 求其體積例將 x = 3y 2 2 及 x = y 2 所圍成之區域繞 x- 軸旋轉, 求其體積例將圓 (x b) 2 + y 2 = 2, < b, 繞 y- 軸旋轉得一 torus, 求旋轉體體積例區域 R 是由 y = x 及 y = x 2 所圍成 (1) 將 R 繞 x- 軸旋轉 ; (2) 將 R 繞 y- 軸旋轉 ; (3) 將 R 繞 y = 2 旋轉 ; (4) 將 R 繞 x = 1 旋轉, 求其體積例將 y = sin x, 0 x π 及 x- 軸所圍成的區域繞 y = c, 0 c 1 旋轉求 c 之值, 使其繞成的體積最小例將 y = 1 2 x2, x = 0 及 y = 5 所圍之區域繞 y- 軸旋轉得一碗, 將水以每秒 3 單位的速率倒入, 則在水面高 4 單位時, 水面上升速率若干? 微積分講義, 85

3 7.3 平面曲線之弧長 7.3 平面曲線之弧長 (Lengths of plne curves) 定義 (1) 若 f 在 [, b] 上連續, 則曲線 y = f (x), x b, 的弧長 (rc length) 是 b b ( ) 2 L = 1 + [f (x)] 2 dx = 1 + dx dx (2) 若曲線為 x = g (y), c y d, g (y) 為連續, 則弧長為 d d L = 1 + [g (y)] 2 = 1 + 例求半徑為 r 之圓的圓周長例求曲線 y = x x 2 1 x 2, 之弧長例求曲線 y = 1 2 (ex + e x ), 0 x 2, 之弧長例求拋物線 y 2 = x 從 (0, 0) 到 (1, 1) 的弧長 c c ( ) 2 dx 例求曲線 semicubicl prbol y 3 = x 2 在 (1, 1) 到 (8, 4) 之間的弧長 x 例討論橢圓 2 + y2 2 b 2 = 1 之周長定義若平滑曲線 (smooth curve) C 的方程式是 y = f (x), x b, 則從 (, f ()) 為起點的弧長函數 s(x) 為 s(x) = x 1 + [f (t)] 2 dt, x [, b] 例曲線 y = x ln x 以 P 0 (1, 1) 為起點, 求弧長函數例一曲線 y = f(x) 以 (1, 1) 為起點, 到曲線上任一點 (t, f(t)) 所經過的弧長為 dx, 求出所有可能的 f(x) 4x t 旋轉面表面積 (Surfce Are for Revolution) 定義 (1) 若 f(x) 0, 且在 [, b] 上連續可微, 將曲線 y = f (x), x b 繞著 x- 軸旋轉, 得一旋轉面 (surfce of revolution), 其表面積 (surfce re) 為 S = b 2πf (x) 1 + [f (x)] 2 dx = 2πyds (2) 若曲線為 x = g (y), c y d, 繞著 y- 軸旋轉, 則表面積為 d [ ] 2 dx S = 2πx 1 + = 2πxds 例求半徑為之球的表面積 c 例將曲線 y = 4 x 2, 1 x 1, 繞 x- 軸旋轉, 求旋轉面表面積微積分講義, 86

4 7.5 力矩與質心例將拋物線 y = x 2, 0 x 1 的弧繞 y- 軸旋轉, 求旋轉面表面積例曲線 y = e x, 0 x 1, 繞 x- 軸旋轉, 求旋轉面表面積例星狀線 x y 2 3 = 2 3 繞 x- 軸旋轉, 求旋轉面之表面積例在曲線 y = x, 0 x 3 上有一堵圍牆, 在每一點 (x, y) 之高度為 y, 求圍牆的面積例 (Gbriel horn) 將 y = 1 x, x 1 繞 x 軸旋轉, 求 (1) 旋轉體體積, (2) 旋轉體表面積 7.5 力矩與質心 (Moments nd Center of Mss) 定義假設一區域 R 是在 y = f (x), x- 軸, x = 及 x = b 之間, y = f (x) 及密度 ρ(x) 是連續函數則 (1) 質量 (mss) 為 m = b f (x) ρ(x)dx; (2) 對 x- 軸的力矩 ( 一次距,moment) 為 M x = b b xf (x) ρ(x)dx; (3) 質心 (center of mss) 為 ( x, ȳ), x = M y m (4) 若密度為常數, 則質心為形心 (centroid) 例長 l 公尺之細桿, 其密度在長 x 處為 δ(x) = kx, 求其質心例求半徑為 r 之半圓的形心例求半徑為 r 之半圓盤 (disk) 的形心 1 (f 2 (x))2 ρ(x)dx, 對 y- 軸的力矩為 M y = = b xf(x)ρ(x)dx Mx b, ȳ = = 1 b 2 (f(x))2 ρ(x)dx f(x)ρ(x)dx m b f(x)ρ(x)dx 例一薄片置於平面上 0 x, 0 y b 的區域, 其密度為 ky 求質心例一個梯形四頂點為 (0, 0), (1, 0), (1, 2), (0, 1), 求其形心例一個半徑為, 圓心在原點的圓盤, 在 (x, y) 處的密度是 δ = k(2 + x), 求其質量例求 y = x 2 及 y = x 所圍區域的形心例一個底半徑為 R, 高為 H 的直圓柱體, 在高為 h 處之密度為 δ = δ 0 (1 + h)g/cm 3, 求其質量例一個半徑為 R 的星球, 在距圓心 r 處之密度為 δ = δ 0 1+r 2 kg/m 3, 求其質量例求半徑為 R 之半球體, 在距離底之高度為處為 δ = kz, 求其質心例區域 R 是由 y = 4 x 2 及 x- 軸在第一象限所圍成, 將其繞 y- 軸旋轉, 求旋轉體的形心例一條電線形狀是圓弧 AB ( 如圖 ) (1) 求其質心 d (2) 其質心到弦 AB 的距離為 d, 證明 h (3) 證明 lim α 0 d h = 2 3 = sin α α cos α α α cos α 微積分講義, 87

5 7.6 Pppus 定理 7.6 Pppus 定理定理 ( 體積的 Pppus 定理 ) 一個平面區域繞一直線 L 旋轉, 其中 L 不通過該區域的內點則旋轉體體積為 V = 2πρA, 其中 A 為區域面積, ρ 為形心到旋轉軸的距離定理 ( 表面積的 Pppus 定理 ) 一個平滑曲線繞平面一直線 L 旋轉,L 不通過該曲線的內點則旋轉面表面積為 S = 2πρl, 其中 l 為曲線長, ρ 為曲線形心到旋轉軸的距離例將半徑為的圓繞一直線 L 旋轉, L 與圓心距離為 b (b ), 得一環狀體 (torus) (1) 求環狀體體積, (2) 求環狀面表面積例利用 Pppus 定理, 求半圓 0 y 2 x 2 及半圓周 y = 2 x 2 的形心 7.7 機率 (Probbility) 定義 (1) 某種事件的結果是屬於一個實數區間此數值稱為連續隨機變數 X (continuous rndom vribles), 每一個隨機變數 X 都有一個機率密度函數 f(x) (probbility density function) 則 X 在 [, b] 之間的機率為 P ( X b) = b f (x) dx 它要滿足 f (x) 0 x 和 f (x) dx = 1 (2) 一個 pdf 的中值 medin 是數值 m 滿足 f (x) dx = 1 m 2 (3) X 的平均值 (men) 或期望值 (expecttion) 定義為 µ = E(X) = xf (x) dx (4) X 的函數 g 之期望值為 E(g(X)) = g(x)f (x) dx (5) X 的變異數 (vrince) 定義為 σ 2 = V r(x) = (x µ)2 f (x) dx (6) X 的標準差為 σ = (V r(x)) 註 σ 2 = E((X µ) 2 ) = E(X 2 ) µ 2 例令 f (x) = 0.006x (10 x), 0 x 10, 驗證它是 pdf, 並求 P (4 x 8) 例若 X 是 [, b] 上的均勻分佈 (uniform distribution), 求 µ 及 σ, 並求 Pr(µ σ X µ + σ) 例若 X 是 [0, ) 上的指數分佈 (exponentil distribution), 即 f(x) = ke kx, 求 µ 及 σ, 並求 Pr(µ σ X µ + σ) 例等候時間通常是以指數分佈為模式一個顧客電話的等候時間的平均值是 5 分鐘 () 求在一分鐘內接電話的機率 (b) 求超過五分鐘接電話的機率例一個 pdf 滿足 f (x) = 1 σ 2π 均值, σ 為標準差 (stndrd devition) (x µ) 2 e 2σ 2 稱為正規分佈 (norml distribuction), µ 為平例若 Z 是標準正規分佈, 即 µ = 0, σ = 1, 求 Pr( 1.2 Z 2.0), Pr(Z 1.5) 例若 X 是正規分佈, 即 µ = 2, σ = 0.4, 求 Pr(1.8 X 2.4), Pr(X 2.4) 例 IQ 分數是正規分佈, 平均值是 100, 標準差是 15 () IQ 分數在 85 到 115 之間的百分比是多少? (b) 超過 140 分的人數百分比為何? 微積分講義, 88

6 7.8 微分方程 7.8 微分方程 (Differentil Equtions) 可離微方 (Seprble Differentil Equtions) 定義一個微方 y (seprble eqution) 例解例解例解 dx = x y dx = x2 y 3, y(1) = 3 dx = (1 + y2 )e x = f(x, y) 如果可以寫成例解 y = x 2 y 例解微分方程 x = dx ey+x, 且 y(0) = 0 例解 y(x) = x 1 ty(t)dt dx = g(x)h(y) 的形式, 則稱為可離微方例一容器內有 1000 L 鹽水, 其中有 50 kg 鹽將含鹽 10 g/l 之鹽水以 10 L/min 之速率倒入容器, 並隨時加以攪拌, 且以 10 L/min 之速率流出問 40 分鐘後含鹽多少? 例化學反應中, 起初有 A 物質 mol/cm 3, B 物質 b mol/cm 3 在時間 t 產生 C 物質 x(t) mol/cm 3, 則其滿足微方 dx dt = k( x)(b x) 試解此微方例求一曲線族, 使每一曲線均與 y = Cx 2 正交例一曲線通過 (3, 2), 且曲線上每一點之法線的 y- 截距均為 6, 求該曲線的方程式一階線性微方 (First-Order Liner Differentil Equtions) 定義 dx + p (x) y = q (x) 稱為一階線性微方 (first-order liner differentil eqution), 其中 p (x),q (x) 為連續函數 (1) 積分因子法 (Integrtion Fctor): 兩側都乘上積分因子 e µ(x), 並加以積分 (2) 參數變動法 (Method of vrition of prmeters): 假設相應齊次微方之解為 Ke µ(x), 現假設此微方之解為 k(x)e µ(x) 例解例解 dx + y x = 1, x > 0 dx + xy = x3 例解 L dl dt + RI = V, I(0) = 0, 求 lim t I(t) 例解 x dx = x2 + 3y, x > 0 例解 x 2 y + xy = 1,x > 0,y (1) = 2 例解 dx + 3x2 y = 6x 2 例解微分方程 (x + 1) dx 2(x2 + x)y = ex 2 例在銀行以 A 元開戶, 以年利率 100R% 的連續複利計息, 同時連續的在 t ( 年 ) 將 (Ct + D) 元存入求 t 年的本利和 x+1 微積分講義, 89

7. 基本積分公式 (8) sec u tn udu = sec u + C (9) csc u cot udu = csc u + C () tn udu = ln cos u + C = ln sec u + C () cot udu = ln sin u + C = ln csc u + C

7. 基本積分公式 (8) sec u tn udu = sec u + C (9) csc u cot udu = csc u + C () tn udu = ln cos u + C = ln sec u + C () cot udu = ln sin u + C = ln csc u + C 第 7 章積分技巧目錄 7. 基本積分公式............................... 7 7.2 分部積分................................. 72 7.3 遞迴公式................................. 73 7.4 三角函數的冪次.............................. 74 7.5 有理函數的積分..............................

7.2 旋轉體體積 7.2 旋轉體體積 定義 平面上有一區域及一不與該區域內部相交的直線, 將該區域繞此直線旋轉而得一立體, 稱為旋轉體 (solid of revolution) 圓盤法 (Volumes by Slicing, Disk Method) 定理 令旋轉軸

7.2 旋轉體體積 7.2 旋轉體體積定義平面上有一區域及一不與該區域內部相交的直線, 將該區域繞此直線旋轉而得一立體, 稱為旋轉體 (solid of revolution) 圓盤法 (Volumes by Slicing, Disk Method) 定理令旋轉軸