1. (10%) 解微分方程 y = y(y 2 1),y 為非常數函數 1052 微乙班期末考解答和評分標準 Solution: 題目要考慮 y 非常數函數, 即 y 不恆為零的解, 即 y 不總是為 0 或 ±1 因此透過移項可得針對左式使用部分分式, 即考慮待定常數 A, B,

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钵早俞
4 years ago
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1 . (%) 解微分方程 y = y(y ),y 為非常數函數 5 微乙 -5 班期末考解答和評分標準題目要考慮 y 非常數函數, 即 y 不恆為零的解, 即 y 不總是為或 ± 因此透過移項可得針對左式使用部分分式, 即考慮待定常數 A, B, C 滿足 dy y (y ) d = y (y ) = A y + 容易解得 A = B = C =, 因此題目的微分方程寫為 B y + + C y ( y + y + + y ) dy d = 如此取同不定積分根據對數函數的特性可以整理得即有此處 C = e C 為正數現在去掉絕對值後 C 可為實數, 即如此能夠解出 ln y + ln y + + ln y = + C ln y = + C y y = C e y y y y = = C e C e 故 y = ( C e ) 或 y = ( C e ) 評分原則 :. 空白或與題目無關的作答者得分. 未正確移項者得分或分 ( 如直接對方程兩邊直接對 y 積分者得分, 而知道要使用分離變數法者得分 ) 3. 正確移項後未進行任何處理者得分 ; 如有處理但不正確者則得 3 分至 5 分不等 4. 同取積分時, 等號另一邊為自變數積分, 若誤以為對 y 積分者扣分 ; 若未有積分常數者也扣分 5. 忽略絕對值者扣分 6. 其餘錯誤扣分至分不等 ( 如忽略正負號者扣分 ) 7. 未有說明就使用積分因子法者得分, 完整陳述積分因子法如何使用者得分. (%) 解微分方程 x dy dx = y + x3 ln x, x >, y() = x dy dx y = x3 ln x dy dx x y = x ln x Page of 5

2 Inegraing facor: e x dx = x ( y x ) = ln x When y() =, c = y = x(ln x ) + c x y(x) = x 3 (ln x ), x > Noe:. The mehod of separaion of variables canno be applied here.. For he inegraing facor, don leave ou he minus sign, e x dx is wrong. 3. Need o show he process of ln xdx 3. (5%) 假設隨機變數 X 的取值是 {,, } 若 E(X) = 和 Var(X) = 3, 求 (a) (4%+4%) P (X = ) 和 P (X = ) (b) (7%) Var(X ) (a) Le P (X = ) = a, P (X = ) = b, P (X = ) = c a + b + c = c a = c + a = 3 (4 poins) a = b = c = 3 P (X = ) = P (X = ) = 3 (+ poins) (b) V ar(x ) = E(X 4 ) E (X ) (3 poins) E(X ) = a + c = 3 ( poins) E(X 4 ) = a + c = 3 ( poins) V ar(x ) = 3 ( 3 ) = 9 4. (%) 若對所有 i =,,,, X i X, 且 {X, X,, X } 是獨立的假設 E(X) = 和 Var(X) =, 求 (a) (5%) E(5X X X ) (b) (5%) Var( X + X + + X ) (a) E(5X X X ) = 5E(X ) E(X ) E(X ) (4 poins) = 5 ( poin) (b) V ar( X + X + +X ) = V ar(x ) + V ar(x ) + +V ar(x ) (4 poins) = = ( poin) 5 Page of 5

3 5. (%) 計算積分 (x + )e x +6x dx. ( 可利用 e x dx = π). (5p) 對指數項配方 (x + )e (x 3) +9 dx = e 9 (x + )e (x 3) dx.. (p) 令新變數 y = x 3, 做變數變換 x = y + 3, dx = dy, 積分範圍 < x < < y <. 得到 3. (p) 計算暇積分極限存在原式 = e 9 (y + 7)e y dy. ye y dy = lim a a ye y a a = lim =. dy + lim e y dy + lim ye y b b b b dy e y dy 或者考慮到對任意 y 均有 ye y /, 故知暇積分為絕對收斂, 因而 ye y 為奇函數, 故 4. (p) 餘下代入已知的積分, 因此 ye y dy 原式 = e 9 ye y dy =. e y / dy <, 7e y dy = 7e 9 π. e, > 6. (5%) 若 f X () = f Y () =,., 且隨機變數 X, Y 獨立 (a) (8%) 令隨機變數 Z = X + Y, 求 Z 的機率密度函數 f Z () (b) (7%) 令隨機變數 W = X, 求 W 的機率密度函數 f W () For, f Z () =. For >, f Z () = = = e f X (v)f Y ( v)dv ve v ( v)e ( v) dv v v dv = e ( v 3 v3 ) = 6 3 e Noe:. Make sure he formula for f Z () is wrien correcly.. Be careful of he range of inegraion, i is from o. 3. Don leave ou he case when. Page 3 of 5

4 Soluion 6(b). F W () = P (W ) = P (X ) = P ( X ) = = f X (s)ds, f W () = F W () = e, > se s ds, > 7. (5%) (5%+5%+5%) 令 X 為隨機變數, 其密度函數為 f X () = 3e 3, 求 (a) P ( X ),(b) E(X) 和 (c) Var(X). (a) 按定義計算如下 : 評分標準 : P ( X ) = f X () d = 3e 3 d = e 3 = e 3 e 6. 空白或僅抄寫題目得分. 搞錯被積分函數者扣 3 分 3. 上下界搞錯扣分 4. 積分的過程如正負號或忘記除以 3 或多乘以 3 皆扣分 (b) 方法一由於 f X () = 3e 3, 為指數分配 ( 其 λ = 3), 因此 E (X) = λ = 3 方法二依期望值的定義以及分部積分法計算如下方法三依定義表達如下 E (X) = 令 u = 3, 則 E (X) 使用 Γ 函數改寫可得評分標準 :. 空白或僅抄寫題目得分 f X () d = = [e 3 = e 3 3 = 3 E (X) = 3e 3 d = e 3 d] = f X () d = de 3 e 3 d 3e 3 d E (X) = 3 ue u du = 3! = 3. 直接使用指數分配特性者得 5 分, 但須註明清楚考生知道該分配為指數分配, 誤寫為指數函數等不另外扣分. 搞錯被積分函數者扣 3 分 3. 上下界搞錯扣分 4. 積分的過程如正負號或忘記除以 3 或多乘以 3 皆扣分 5. 運用 Γ 函數者需正確使用代換 Page 4 of 5

5 (c) 方法一由於 f X () = 3e 3, 為指數分配 ( 其 λ = 3), 因此 E (X) = λ = 9 方法二依變異數的定義以及分部積分法計算如下方法三依定義表達如下 Var (X) =E (X ) E (X) = 3 e 3 d 9 = = [ e 3 = 9 9 = 9 利用 Γ 函數可以將變異數改寫並計算如下 Var (X) = =3 de 3 9 e 3 d] 9 = ( E (X)) f X () d ( ) e 3 d e 3 d 9 評分原則同 (b) Var (X) = [ 9! 9! + 9!] = 9 8. (5%) 若某無線通訊中心接收到呼叫次數是一個 Poisson 過程且平均每小時接收到次呼叫試求出以下機率 : (a) (7%) 第次接收到呼叫已經超過 3.5 分鐘的機率 (b) (8%) 在 3.5 分鐘之內所接收到的呼叫的次數比 3 次少的機率 (a) λ = = (imes/min), and T = 3.5(min), so m = λt = 7(3%) 6 P (k) = mk k! e m = 7k k! e 7 (%) P () = e 7 (%) (b) λ = 6 = (imes/min), and T = 3.5(min), so m = λt = 7(3%) P (k) = mk k! e m = 7k k! e 7 (%) P () + P () + P () = e 7 + 7e e 7 = 65 e 7 (3%) Page 5 of 5

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01.dvi 物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f

1. (10%) 解微分方程 y = y(y 2 1),y 為非常數函數 1052 微乙 班期末考解答和評分標準 Solution: 題目要考慮 y 非常數函數, 即 y 不恆為零的解, 即 y 不總是為 0 或 ±1 因此透過移項可得 針對左式使用部分分式, 即考慮待定常數 A, B,

1. (10%) 解微分方程 y = y(y 2 1),y 為非常數函數 1052 微乙班期末考解答和評分標準 Solution: 題目要考慮 y 非常數函數, 即 y 不恆為零的解, 即 y 不總是為 0 或 ±1 因此透過移項可得針對左式使用部分分式, 即考慮待定常數 A, B,