編輯室墨記 隨著十二年國教的展開 高中職的數學教學都將面臨學生程度差異大 學習態度改變 特色課程開設 等問題與挑戰相信一開始的階段 許多老師對於數學的選修課程或特色課程並不清楚 該如何編出一套兼具趣味數學並著重新課綱的內容 必定是一大難題許志農教授將 兩岸四地華羅庚金盃少年數學菁英邀請賽 的遊戲題目與解析稍做修飾 提供給老師們參考使用江慶昱老師說 聽音 即可 辨形 你可以辦得到嗎? 讓我們來看看江老師是怎麼聽音辦形鍾國華老師刊載在龍騰數亦優第 刊的文章 利用單形法求線性規劃的問題 引起許多學生的興趣 但若遇到無意義的分數解時該怎麼辦呢? 本期中 鍾老師提出 切面法 來解決這個問題判斷圓和直線的相交情形有兩種方法 如果將圓換成其他非退化的圓錐曲線呢? 陳鑫達老師發現以 幾何觀點 的解法關鍵和一個古老的極值問題有關您也想了解的話 請勿錯過陳老師的 從一個極值問題判斷直線和圓錐曲線的相交情形 百密必有一疏常是玩數學遊戲時的寫照 很多學生想了一些情況之後就認定遊戲應該無解事實上 學生經常是漏掉或疏忽可能發生的不尋常情況當不得其解時 應該將所有可能的解法思索一遍 一定可以找出答案秉持這個想法 試試動手玩數學中遊戲 9 您可以找出答案嗎? 竭誠邀稿 : 歡迎將您的教學生活趣聞 甘苦談 教案分享 教材探討 以 ~ 字的內容 註明主 題 作者簡歷 聯絡電話與地址 投稿予 joanne_lee@lungteng.com.tw 發行人 : 李枝昌 發行所 : 龍騰文化事業股份有限公司 編輯顧問 : 許志農 地 址 :8 新北市五股區五權七路 號 總編輯 : 陳韻嵐 執行編輯 : 莊莉錚 美術編輯 : 林佳瑩 電話 :()99-96 傳真 :()98-97 創刊日 :6// 出刊日 :// 網 址 :http://www.lungteng.com.
龍騰數亦優. 目次 龍騰業務跑天下數學質好畫亦優 許志農臺灣師大數學系 兩岸四地華羅庚金盃少年數學菁英邀請賽 第一 二屆 江慶昱衛道中學退休教師 聽音辨形 等周長定理 鍾國華臺北市立祐德高中 利用切面法求整數規劃的問題 陳鑫達臺中市大里高中 從一個極值問題判斷直線和圓錐曲線的相交情形 許志農臺灣師大數學系 動手玩數學專欄 動手玩數學 第 期 破解秘笈
許志農 / 臺灣師大數學系隨著十二年國教的開展 高中職的數學教學面臨許多問題與挑戰 例如學生程度的落差變大 學習態度的改變 特色課程的開設 等許多學校都想開數學的選修課程或特色課程 但市面上並沒有這方面的資料與教案 究竟高中職的數學特色課程該長成何種模樣? 我想每個老師的答案可能都不一樣或不清楚有些學校想開趣味數學為主 有些想玩數學遊戲 有些著重課綱內容的熟悉 有些是加深與加廣 但都面臨著編出一套合適 好用教材的困擾我覺得這些題目的長相與設計方式非常適合提供國內開數學特色課程的老師參考 所以我把這些遊戲題目與解析稍做修飾 放在龍騰數亦優供老師們參考與使用 第一屆一 競賽試題 * 第一題 :6 變 是容易?( 限時 分鐘 ) 利用大會提供的 枝竹籤砌成如下圖的一個正六邊形 圖中共有六個等邊三角形 想想看 : 你能否每次從圖中抽起兩枝竹籤 並且放回圖中 從而使圖中三角形的數目按下列次序遞減 : 6 個三角形 個三角形 個三角形 個三角形 個三角形抽放規則 :a. 所砌出來的三角形的大小可以是不相同的 ; b. 砌得的三角形不存在大三角形包小三角形或重疊三角形的形式 ; c. 在砌得的圖形中 枝竹籤都一定是三角形的一部分補充 : 每隊只准演示一次各隊需派一代表 在評判面前演示三角形數目遞減的過程 6 ; 當演示開始了 每一步驟不可以退回前一步 不接受重新再開始若限時到了 即使演示未完結 活動亦告結束 數亦優
* 第二題 : 大變小 仍是方!( 限時 分鐘 ) 利用大會提供的剪刀 沿虛線剪開正方形 並將 A 部分的小正方形交回給評判用餘下的八部分重新砌成一個正方形 * 第三題 : 猜猜看 是黑還是白?( 限時 分鐘 ) 每隊的 位組員排成一行 坐在椅子上工作人員將會為各組員戴上黑色或白色的帽子每位組員只能看見前面組員戴在頭上帽子的顏色由排第 的組員開始猜頭上帽子的顏色 然後到排第 的組員猜自己頭上帽子的顏色 如此類推到排第 和排第 的組員猜自己頭上帽子的顏色 只需要排第 至排第 的組員能夠猜對自己頭上帽子的顏色 即使排第 的組員猜錯了自己頭上帽子的顏色 猜帽活動也算成功規則 :a. 在工作人員為各組員戴上黑色或白色的帽子開始 組員不得擰轉頭看自己或其他隊友帽子的顏色 組員不可以交談或發出任何聲音 違例者整隊的比賽分數作 分處理 ; b. 組員在猜自己頭上帽子的顏色時 只需以選擇工作人員提供的紅 白卡紙作表示 工作人員會記錄隊員的答案在答題紙上 並交及下一組員作參考在整個過程中 組員不可以交談或發出任何聲音 違例者整隊的比賽分數作 分處理 ; c. 共有三個獨立的猜帽活動 各隊需猜帽三次 若限時到了 即使猜帽演示未能完成 活動亦告結束 數亦優
* 第四題 : 怎麼分開來呢?( 限時 分鐘 ) 先把大會提供的兩條繩子 按照工作人員的指示 使兩條繩交錯地縛在兩位組員雙手的手腕上問在不可以把繩子從雙手手腕脫出及弄斷繩子的情況下 兩位組員怎樣才能分開來? 規則 :a. 組員可以交談 討論及試演解難的方法 但發出的聲音不可以過大 ; b. 能在 分鐘內找得解難的方法 並成功演示出來得 分 數亦優
二 解析. 給分 : 每完成一次改變 正確的便會取得相應的分數 ; 活動的總分是所取得的分數的總和 () 6 個三角形 個三角形 ( 分 ); () 個三角形 個三角形 ( 分 ); () 個三角形 個三角形 (7 分 ); () 個三角形 個三角形 ( 分 )參考解答 :. 參考解答 :. 工作人員給隊員戴帽的次序 : th rd nd st 第 個猜帽演示 : 白 黑 白黑 (7 分 ); 第 個猜帽演示 : 黑 白 白白 ( 分 ); 第 個猜帽演示 : 黑 黑 白白 (8 分 ) 策略 :() 第 個猜白 代表首前三位是白白白或兩黑一白 ; 第 個猜黑 代表首前三位是黑黑黑或兩白一黑 () 第 個猜白 代表首前三位白色帽的數目是單數 ; 第 個猜黑 代表白色帽的數目是偶數. 給分 :() 能在 分鐘內找得解難的方法 並成功演示出來得 分 ; () 能在 分鐘內找得解難的方法 並成功演示出來得 分 數亦優 6
第二屆 一 競賽試題 * 第一題 ( 限時 分鐘 ) 下圖是 的長方形 黑色兩塊是邊長為 與 的磁磚 其餘的部分尚未鋪磁磚 : 鋪磁磚的師傅說 : 只需邊長為 7898 的正方形磁磚各一塊 ( 共七塊 ) 就可以將整個長方形鋪滿 試著鋪看看 * 第二題 ( 限時 分鐘 ) 桌面上有編號 至編號 的十枚硬幣 甲 乙兩人輪流取這十枚硬幣 規則如下 :a. 甲先取 乙後取 被取走的硬幣不再放回桌上 ; b. 當一方取走 a 號硬幣時 桌面上編號為 a 的因數的硬幣也同時被此人拿走例如 : 當甲取 號硬幣時 編號 的硬幣都歸甲所有 故剩下 6789 號的硬幣 ; 接著若乙取走 9 號硬幣 則 9 號硬幣就歸乙所有 ; c. 最後把所有硬幣取完的人獲勝試問 : 甲第一次需取幾號硬幣 他才有絕對的把握可以贏得比賽 ( 答案可能有好幾個 ) 數亦優 7
* 第三題 ( 限時 分鐘 ) 準備七枚十元硬幣 先將一枚放在桌子上 然後將其餘的六枚放在此枚的四周 ( 不可以重疊 ) 這六枚的中心剛好構成一個正六邊形 再將六枚中的任意一枚拿掉這時桌上只剩下六枚硬幣 每次操作只能在桌子上滑動六枚硬幣中的一枚 使其與至少兩枚硬幣相外切 而且滑動過程不能動到其餘的五枚硬幣你是否有辦法在有限次的滑動之後 使這六枚硬幣的中心剛好構成一個正六邊形 ( 如果可以的話 至少需多少次操作才能完成 ) * 第四題 ( 限時 分鐘 ) 在 7 7的土地上 當在某一個格子內立一盞燈時 由這格子所畫出的水平線 鉛直線及兩條斜對角線所經過的格子 都會被照亮 其餘的格子無法被照亮試問 : 應該立幾盞燈 才會照亮所有的格子 又該立在哪幾個格子上 ( 所立的燈愈少愈好 ) 數亦優 8
二 解析. 給分 () 分鐘內得到解答 分 () 分鐘內得到解答 分 () 分鐘內得到解答 分 參考解答. 給分 ()答案中沒有 ()答案中恰含 ()答案中含 確答案 答案 甲先取 或 者得 分 或 其中之一者 從 分往下扣 每多寫一個錯誤答案扣 分 與 與 者從 分往下扣 每多寫一個錯誤答案扣 分 也就是說 寫正 者得 分 可保證獲勝. 給分 () 分鐘內得到解答 分 () 分鐘內得到解答 分 答案 四次 操作如下. 給分 ()立四盞燈得 分 ()立五盞燈得 分 ()立六盞燈得 分 答案 立四盞燈即可 如下圖所示 數亦優 9
楞嚴經 : 不由前塵所起知見 明不循根 寄根明發 由是六根互相為用阿難 汝豈不知? 今此會中 阿那律陀 無目而見 ; 跋難陀龍 無耳而聽 ; 殑河神女 非鼻而聞香 ; 驕梵缽提 異舌知味 ; 舜若多神 無身覺觸 ; 摩訶迦葉 久滅意根 圓明了知 不因心念 一 楔子 大約 99 年 衛道中學一位同事跟我說 想要指導學生證明等周長定理 : 周長固定的平面簡單 ( 自身不相交 ) 封閉曲線中圓的面積最大 我試問自己 : 等周長定理可以用初等數學證明嗎? 後來到清華大學進修 學分班 跟全任重先生學動態幾何 對反演幾何有比較深入的接觸 反演幾何是史坦那 (Jacob Steiner 796~86) 於 8 年發展的同時跟沈昭亮先生學到史坦那對稱化法 88 年史坦那就是用對稱化法 證明 了等周長定理 這是最早用綜合幾何的方法證明等周長定理的人這時候對等周長定理才有比較深入的理解 二 歷史背景 具有相等面積的平面圖形中 以圓形周長最短 或者它的等價敘述 周長固定的平面圖形中 以圓的面積最大 這就是等周長定理 (isoperimetric theorem) 公元前 年的歐幾里得已經知道矩形的等周長定理後來禪德羅斯 (Zenodorus BC~BC) 寫了一本 等周圖形 的書 但流失了公元 年帕伯斯 (Pappus of Aleandria 9~) 重新敘述並證明他的結果事實上 他 認為 他證明了等周長定理 一個周長為 L 所圍區域面積為 A 的閉曲線 其等周商 IQ(Isoperimetric Quotient) 定義為 A 與具有相同周長的圓的面積比 顯然一個平面圖形的等周商 IQ 因此 匈牙利數學家波 L 里亞 (G. Pólya 887~98) 把等周長定理改成這樣 : 一個平面圖形的等周商 IQ 換句話說 圓的等周商 IQ 是最大的各種平面圖形的等周商如下表 : 圖形 圓 正方形 / 圓 : 矩形 半圓 /6 圓 : 矩形 正三角形 : 矩形 IQ.78.77.7.78.79.699.6.8 三 史坦那對稱化法 江慶昱 / 衛道中學退休教師 所謂史坦那對稱化法是這樣的 : 考慮一個凸體 在給定的方向上畫一條直線 L 移動每條垂直於此直線的弦 使得 L 成為此弦的垂直平分線 平移後的弦端點構成一個新的對稱圖形 它與原圖形有相同的面積 但是周長較小 ( 稱為反射原理 跟後面習作有關 ) 數亦優
以下是史坦那關於等周長定理證法的脈絡 :. 如果圖形不是凸的 用反射原理可以找到一個周長相等 但是面積較大的圖形. 一個凸的圖形 如果不是圓形 一定存在一軸使該圖不對稱 則我們對該軸作史坦那對稱化 則找到一個面積相等 周長較小的圖形 所以等周長定理成立註 : 此處反射原理請參看凡異出版社出版的 幾何不等式 P.6 67 史坦那並沒有證明最大面積的存在性 所以維爾斯特拉斯 (Karl Weierstrass 8~897) 必須進一步發展微積分來證明 四 數學與物理交會的地方 97 年我大學二年級 當時微分幾何是黃海先生教的 課程教完後他說要到國外念書 聽說是去念 聽音辨形 沒錯 就是聽到一個振動體發出的聲音 就可以知道它的形狀武俠小說中 聽音辨形 是修練暗器的功夫 聽音辨形 聽起來蠻厲害的拿一把吉他 按住弦中點所發出的音調比空弦時高八度 這件事古希臘的畢達哥拉斯早已知道了十七世紀是分析學的肇始時代 分英國與歐陸兩學派英國學派宗主是牛頓 7 年牛頓的學生 泰勒 (Brook Taylor 68~7) 解決了弦振動的基本頻率公式 它完全由弦的長度 拉力與密度決定 76 年 法國數學家達朗貝爾 (Jean Le ond d Alembert 77~78) 證明了琴弦的許多種振動都不是正弦式駐波 78 年 瑞士數學家尤拉 (Euler 77~78) 推出了琴弦的 波動方程式 並求出其解到這裡 我們可以說 聽到琴弦發出的頻率可以知道它的 形狀 了解決了一維的問題 當然要處理二維的東西了二維振動的樂器中 自然就想到鼓了 79 年尤拉開始研究鼓的問題 並再度導出一個波動方程式那麼聽到鼓音的頻率可以知道鼓的形狀嗎? 瑞利爵士 (Lord ayleigh 8~99) 把許多等面積 不同形狀的羊皮均勻的繃在鼓上 然後測量它們發出的主頻率 得到 圓具有最低的主頻率 的結論於是他提出瑞利猜測 : 聽到一個振動體發出的聲音 就可以知道它的形狀 這是由觀察 歸納 類比到猜想的過程 當然數學家想要從猜想得到證明 966 年 波蘭數學家卡克 (Mark Kac 9~98) 重提這個問題 : 你可以聽到鼓的形狀嗎?( 一個黎曼流形是否由其拉普拉斯譜決定?) 瑞利猜測再度引起注意因此可知黃海先生就是為瑞利猜測出去的結果如何呢?99 年 ( 大約是黃海先生出國的 年後 ) 達特茅斯學院的女教授戈登 (Carolyn S. Gordon) 瑋伯(David L. Webb) 與沃伯特 (Scott Wolpert) 找到了反例換句話說 瑞利猜測已得到否定的答案 可以找到不同形狀的鼓 它們聽起來是一樣的但這不是重點 整個數學史的發展一直都是這樣的 結論其實並不是最重要的 重要的是從求解的過程中我們會得到很多方法或數學內容數學的等周長定理與物理的瑞利的膜片實驗為什麼有那麼密切的關聯呢? 理由是因為它們都來自同一個宇宙本體所謂 人法地 地法天 天法道 道法自然 有尤拉的波動方程式 才有馬克斯威爾的電磁學 有電磁學才有電視機 我們日常生活用品的背後有很嚴密的數學支持著 數學是文化重要的一環 我們是用數學的模式解讀自然 數亦優
五 後記 具有等體積的所有立體中 以球有最小的表面積 這是等周長定理的延伸其實這件事小貓也知道 當寒冬來臨 貓都是蜷曲著身體體積固定 表面積愈小 則散熱愈少 小貓便是以此保持體溫等周長定理的名稱是笛卡爾最先在 思想的法則 一書中提出的笛卡爾另一本比較有名的著作是 我思故我在 其實那沒什麼了不起 我很小的時候有一次走路不小心 腳趾踢到石頭 痛入心扉 就知道 我痛故我在 的道理了 六 習作. 證明周長固定的三角形中 以正三角形面積最大. 試證面積固定 底固定的三角形中 以等腰三角形周長最小. 面積固定 上 下底固定的梯形中 以等腰梯形周長最小. 利用史坦那對稱化法求 a by cy ( b ac ) 所圍的區域面積解答第 題用到海龍公式與算幾不等式 ; 第 題是國中數學 可以輕易解決. 對稱化 ( 對 軸 ): 搬動線段 AB 使得 AB 的中點落在 軸上 設 A ( y) B ( y ) 則 ( y y ) ( y y y y A B ) 設 X Y 欲求 ( X Y ) 滿 足的方程式 b y y c y y 是 cy by a 的兩根 所以 (*) a yy c 又 a b y cy a b y cy 兩式相加得 a b y y c y y cy y ac b 代入 (*) 化簡得 c 因為長軸之半為 c ac b X cy 得證 短軸之半為 c 所以面積為 ac b 數亦優
參考資料 :. 凡異出版社 (999) 幾何不等式 新竹 : 凡異出版社 P.6 67. 葉李華 ( 譯 )(996) 史都華 大自然的數學遊戲 臺北 : 天下文化 P.9. 牛頓雜誌 第 期 P.. 歐陽鐘汕 劉寄星 (99) 從肥皂泡到液晶生物膜 臺北 : 牛頓出版社 P.. 李心燦 ( 譯 )(99)G. Polya 數學與猜想 臺北 : 九章出版社 P.8 6. 史坦那的生平 數學傳播季刊 第 卷第 期 P.8 7. 我們可以聽出鼓的形狀嗎?(Peter Greiner 演講 ) 數學傳播季刊 第 卷第 期 P. 8. Mark Kac(966)Can one hear the shape of a drum? American Mathematical Monthly 7 P.~ 9. 等周長定理與不等式 : http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml(.. 取自 ). You can t always hear the shape of a drum: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-9976(.. 取自 ). Drums that sound alike: http://www.maa.org/mathland/mathland.html(.. 取自 ) 數亦優
一 前言 鍾國華 / 臺北市祐德高中 在龍騰數亦優第 刊的文章 : 利用單形法求線性規劃的問題 刊出後 再度引起學生們的興趣因為在線性規劃的問題中 若決策變數為分數 例如雇用工人.6 人 購買.7 部機器 等 則分數解並無意義因此 上課中學生們最常提到的兩個問題 : 問題一 : 圖解法中如何解決整數問題 是否採用最佳分數的左右整數值 即可得到最佳整數解? 問題二 : 是否還有其他的解法? 本文提出切面法 (Cutting Plane Method) 以解答學生的學習問題 二 切面法 (Cutting Plane Method). 沿史 : 美國數學家高默理 (. E. Gomery) 於 98 年提出切面法 用以解決整數規劃的問題. 原理 : 切面法在求解時首先忽略整數條件 而以單形法 (Simple Method) 來求最佳解 如果解值不是整數 則再加上一個限制條件 稱之為 Gomery 條件 (Gomery Condition) 這個限制條件所代表的意義是在線性規劃的可行解區域內 加上一個整數限制條件 以縮小可行解區間 然後以對偶單形法 (Dual Simple Method) 求解如果經過這個步驟仍不能求得整數解 則再一次加 Gomery 條件求解 一直反覆 直到所有變數均為整數為止 三 最小的非負值分數 (Smallest Nonnegative Fraction) 在還沒有說明新增 Gomery 條件前 先解釋一個符號 f( 最小的非負值分數 ) 這是一個在 之間的分數當非整數的數字減去一個分數後 其結果成為整數求 f 的原則是 :. 若原數為正數 則直接取其尾數為 f 例如 則 f 因為. 若原數為負數 則取其尾數與 形成互補 (Complement) 之數字例如 則 f 因為 6. 若原數為整數 則 f 四 切面法的求解步驟 第一步 : 解沒有整數限制的線性規劃問題 令 為最佳解 且令 p ( 表示第 次的切面數 ) 第二步 : 若 全為整數 則為整數規劃的最佳解 停止否則 到第三步 第三步 : 令 fq ma fi fi bi b i fi b i 是最佳解的右手係數 (ight-hand Coefficient) b i 是小於等於 b i 的最大整數 數亦優
第四步 : 令 dqj aqj a qj 增加一個限制式 ( 切面 ): d f 以上 p 是新的虛擬基本變數 p qj j q j是非基本變數 a qj 是最佳解非基本變數 j 的第 q 列的係數 第五步 : 增加以上限制條件到目前的線性規劃問題中 求其最佳解 ; 或者將上列限制條件加到目前最佳解表中 再利用對偶單形法求解第六步 : 若以上線性規劃問題 無可行解 則整數規則無解 停止若 p M (M 是最大切面數 ) 停止否則 為線性規劃的最佳解 令 p p 回到第二步 在第五步驟中 所提到對偶單形法有兩個運算規則如下 : 規則一 選擇一個負數最小的基本變數(Basic Variables) 做為退出的變數 即 Br min Bi for Bi ( 即 bi ) 規則二 以 cj zj 來除該退出變數方程式之變數中技術係數 ( a rj ) 為負值者而計算其比例 並考慮目標函數 :. 如果是求極大值的題目 計算比例時選最小者 以決定進入變數 即 cj z j min for arj ( 註 : c j z j 為 m 者不考慮 ) arj. 如果是求極小值的題目 計算比例時選最大者 以決定進入變數 即 cj z j ma for arj ( 註 : c j z j 為 m 者不考慮 ) arj 注意 : 對偶單形法是先選退出變數 然後再決定進入變數 ; 而單形法則相反! 五 整數規劃的問題與求解 在高中數學課本第三冊 - 節之課本習題 : 若 y 均為整數 且滿足 7 y y97y 求 8y 之最小整數解為何? 解一 : 利用圖解法求解 目標函數 : min f ( y ) 8y 7 y 結構限制式 : S.T y 為 ~9 的非負整數 y 9 7y 利用直角坐標系之圖解找出可行解區域及端點 整理限制條件 : 7 y y97 y y 皆為 ~9 的非負整數 作可行解區域 ABCD 如右圖 端點 : A( ) B(7 ) C(7) D () 代入目標函數 7 69 分別為 ( 最小值 ) 6 7 7 因 y 分數解不合題意 數亦優
取 的左右整數值 ( ) 代入 求符合不等式的 值 : 當 時 y y97 y 交集無解 6 當 時 y y87 y 6 交集 y 取最小整數 y 7 格子點 ( ) 代入目標函數為 7 但不是最小整數值因本題的最佳解為 y 目標函數的最小整數值為 6 顯然採用最佳分數的左右整數值 並不一定得到最佳整數解解二 : 利用切面法求解我們先採用單形法求解 ( 請參考龍騰數亦優第 刊的文章 利用單形法求線性規劃的問題 )第一步 : 將線性規劃模式轉化為標準式及常式. 將所有不等式化為等式 使成為線性形式 所加變數之目標函數係數為 min z 8 6 S.T 7 6 9 7 非負性 j 6. 將標準式轉化為常式 : j min z 8 m 6 7 S.T 7 6 7 9 7 非負性 j 67 j 第二步 : 按常式建立表格 並採用單形法求解 如下表 : 6 7 8 9 c B 數亦優 6 m 8 m c c c j 8 m B 6 7 7 z j z j 7 z j j z j j m m m m 7 7m 8 7m 8 7 8 7m 7m 8 m m m m m m b i 7 9 m 7 m
7 8 9 6 7 7 z j 8 69 8 c j z j m 第一輪的演算過程 第三步 : 使用內積法則 先計算 () zj cb aij ( 看第 列 );() cj cj zj ( 看第 6 列 ) 第四步 : 因第 6 列有 cj cj zj 尚未達到最佳解. 進入非基本變數 : min( m8 7 m) 8 7m( 看第 6 列係數 ) 選 9. 退出基本變數 : 採用 min( ) 7 ( 看第 行 c 係數 ) 選. 重新樞運算 : 本身 ( 基本變數 ) 行係數為 其他行係數為 () 列係數 ( 看第 8 列係數 ): 因行係數為 故 8 () 列係數 ( 看第 7 列係數 ): 因行係數為 故 7 () 列係數 ( 看第 9 列係數 ): 8 ( ) 9 () 7 列係數 ( 看第 列係數 ): 8 ( 7) () 重新回到第三步驟 第二輪的演算過程第三步 : 使用內積法則 先計算 () zj cb aij ( 看第 列 );() cj cj zj ( 看第 列 ) 第四步 : 因第 列有 cj cj zj 尚未達到最佳解. 進入非基本變數 : min( m) m( 看第 列係數 ) 選 7. 退出基本變數 : 採用 min( ) ( 看第 行 c 係數 ) 選 7. 重新樞運算 : 本身 ( 基本變數 ) 行係數為 其他行係數為 () 列係數 ( 看第 6 列係數 ): 6 () 列係數 ( 看第 列係數 ): 6 ( ) 7 () 列係數 ( 看第 列係數 ): 因行係數為 故 8 () 列係數 ( 看第 列係數 ): 6 ( ) 9 () 重新回到第三步驟 數亦優 7
數亦優 8 第三輪的演算過程第三步 : 使用內積法則 先計算 () j B ij z c a ( 看第 7 列 );() j j j c c z ( 看第 8 列 ) 第四步 : 因第 8 列所有 j j j c c z 其解為 因為 不是整數解 故需加上 Gomery 條件先在右手邊的分數解中找 f 最大者 : 6 9 找到 f 取第二列 ( 看第 列 ) 非基本變數 則新增條件為 6 7 再化為常式 : 6 7 8 將此條件加入前述表格的最後一列 ( 第 列 ) 成為 : B c j c 8 m i b B 6 7 8 8 8 7 7 9 6 7 j z j j c z 8 m 69 8 9 8 7 7 j z j j c z 8 m 6
第一輪的演算過程第三步 : 使用內積法則 先計算 () zj cb aij ( 看第 6 列 );() cj cj zj ( 看第 7 列 )第四步 : 因為有 bi 改用對偶單形法求解 選第 列. 退出基本變數 : 選 a rj 係數為負數者 採用 min( ) ( 看第 列係數 ) 選 8. 進入非基本變數 : ma( ( ) ( )) ( 看第 7 係數 ) 選 ( 註 : c j z j 為 m 者不考慮 ). 重新樞運算 : 本身 ( 基本變數 ) 行係數為 其他行係數為 () 列係數 ( 看第 列係數 ): ( ) () 列係數 ( 看第 8 列係數 ): ( 7 ) 8 () 列係數 ( 看第 9 列係數 ): ( ) 9 () 列係數 ( 看第 列係數 ): ( ) () 列係數 ( 看第 列係數 ): ( 7 ) (6) 重新回到第三步驟 第二輪的演算過程第三步 : 使用內積法則 先計算 () zj cb aij ( 看第 列 );() cj cj zj ( 看第 列 ) 第四步 : 因第 列所有 c c z 達到最佳解的條件 j j j 最佳解為 目標函數的最小整數值為 6 六 結論 由上述整數規劃的例題中可發現 它與線性規劃最大不同在於可行解區間線性規劃之可行解區間為整個區間 而整數規劃之可行解區間只是一些可行解的集合 (A Set of Feasible Points) 就可行解來看 整數規劃的可行解是圖形中的格子點 ( 與 y 均為整數的點 )因此在兩個變數條件下 圖解法採用最佳分數 的左右整數值代入 再求符合不等式的 y 值為整數解 由本例題中顯示不可行由於這種格子點的取法看似簡單容易 但是當變數數目增加後 則需要嘗試的格子點將急遽上升 其繁可知因此 採用切面法並配合電腦程式 SAS/O 求解功能來計算 則計算問題就輕鬆解決了 參考資料 :. 高孔廉 張緯良 (8) 作業研究 五南圖書出版公司. 陳文賢 (8) 管理科學 作業研究與數量方法 三民書局. 鍾國華 () 利用單形法求線性規劃的問題 龍騰數亦優 第 刊 P.6~ 數亦優 9
一 前言 陳鑫達 / 臺中市大里高中 數亦優 多年以來 高中數學關於 判斷圓和直線相交情形 的教學一直使用下面兩種方法 :. 代數觀點 : 利用 一元二次方程式的判別式 設圓方程式為 C: y dey f 直線方程式為 L: y m k將直線 L 方程式代入圓 C 方程式 化簡後可得一個一元二次方程式 假設為 A B C 會有以下結果 : 若判別式 D B AC 則 () 當 D> 時 直線 L 和圓 C 交於兩點 () 當 D= 時 直線 L 和圓 C 交於一點 即直線 L 是圓 C 的切線 () 當 D< 時 直線 L 和圓 C 不相交 第二種方法要用到 平面上點到直線的距離公式 先敘述如下 : 定義 平面上一點 P 到直線 L 的距離 以符號 dpl ( ) 表示 a by c 定理 設平面上定點為 P ( y ) 直線為 L: a byc 則 dpl ( ) a b 證明 : 自行參考任一版本高中數學課本. 幾何觀點 : 利用 圓心到直線的距離和半徑比較大小 設圓方程式為 : C h yk r 直線方程式為 L: a byc 若圓心 Ohk ( ) 半徑 ah bk c r 可得 dol ( ) 則 a b () 當 dol ( ) r時 直線 L 和圓 C 交於兩點 () 當 dol ( ) r時 直線 L 和圓 C 交於一點 即直線 L 是圓 C 的切線 () 當 dol ( ) r時 直線 L 和圓 C 不相交 在筆者念高中的時候 數學老師翁玉忠先生曾說第一種方法的計算 連數字簡單的題目都不容易算對! 而第二種方法 在計算上卻可以輕鬆得出答案可惜的是把圓換成其他非退化的圓錐曲線 ( 例如 : 橢圓 雙曲線 拋物線 ) 時 目前只有第一種方法 沒有第二種方法換句話說 橢圓 雙曲線 拋物線的圖形要判斷和直線相交的情形 計算上都很繁雜相信很多人在學生時代 只要一聽到老師說 這個問題很有名 不過目前為止還沒有人解得出來! 此時都會忍不住想要嘗試一下 夢想自己可以成為那個解決難題的人 當時的我也不例外 但結果當然是失敗又過了好多年 自己也成為了高中數學老師 還是找不出以 幾何觀點 的解法 不過幾年前的某一天 事情有了轉機! 二 預備定理 筆者找到從幾何觀點去 判斷直線 L 和圓錐曲線相交情形 的方法時 發現解法的關鍵和
一個古老且著名的極值問題有關 這個問題的結果在國中數學的幾何題目很常見 敘述如下 : 問題 如下圖 給定平面上一直線 L 及線外兩點 A B 任取線上一點 P 請找出線段和 PA PB 的最小值及此時的 P 點位置 ( 順便說明 A B 兩點可以在 L 的異側或同側 分別對應圖 和圖 ) 圖 圖 上面問題的結果如下 可知 當 A B 在 L 的異側 時 答案是顯而易見的 較難的情形是 當 A B 在 L 的同側 不過只要利用 線對稱 ( 即物理上的 鏡射 ) 就能巧妙地把此情形轉換成 A B 在 L 的異側 來考慮 進而求解 定理 承問題 如下圖 : 圖 圖 () 如圖 若 A B 在 L 的異側 則線段 AB 和 L 的交點就是所求的 唯一 P 點 且 PA PB 的最小值是 AB () 如圖 若 A B 在 L 的同側 把 A 對直線 L 做對稱點 A 則線段 AB 和 L 的交點就是所求的 唯一 P 點 且 PA PB 的最小值是 AB 證明 :() 利用三角形中 任兩邊和大於第三邊 的性質即可 () 因 A 是 A 對直線 L 的對稱點 可得 PA PA 所以 求 PA PB 的最小值 等價於 求 PA PB 的最小值 再利用 () 的結果即可把問題 的 PA PB 換成 PA PB 可得出另一個對應的問題及結果 敘述如下 : 問題 如下圖 給定平面上一直線 L 及線外兩點 A B 請找出線段差 PA PB 的最大值及此時 P 點的位置 ( 同樣地 A B 可以在 L 的異側或同側 分別對應圖 和圖 6) 圖 圖 6 數亦優
問題 較容易的情形是 A B 在 L 的異側 但問題 反而是 A B 在 L 的同側 類似地 再次利用 線對稱 把 A B 在 L 的異側 轉換成 A B 在 L 的同側 的情形求解 結果如下 : 定理 承問題 如下圖 : 圖 7 圖 8 () 如圖 7 若 A B 在 L 的同側且 d( A L) d( B L) 則 AB 和 L 的交點就是所求的 唯一 P 點 且 PA PB 的最大值是 AB () 如圖 8 若 A B 在 L 的異側且 d( A L) d( B L) 把 A 對直線 L 做對稱點 A 則 AB 和 L 的交點就是所求的 唯一 P 點 且 PA PB 的最大值是 AB () 不管是 A B 在 L 的同側或異側 只要 d( A L) d( B L) 則此問題的 P 點不存在 證明 :() 利用三角形中 任兩邊差小於第三邊 的性質即可 () 因 A 是 A 對直線 L 的對稱點 可得 PA PA 所以 求 PA PB 的最大值 等價於 求 PA PB 的最大值 再利用 () 的結果即可 () 如圖 9 若 A B 在 L 的同側且 d( A L) d( B L) 可知 AB // L 所以 AB 和 L 沒有交點 則此問題的 P 點不存在同理 如圖 若 A B 在 L 的異側且 d( A L) d( B L) 設 A 是 A 對直線 L 的對稱點 可得 d( A L) d( B L) 則 AB // L 所以 AB 和 L 也是沒有交點 圖 9 圖 值得一提的是 問題 中 當 d( A L) d( B L) 時 是無解的 此一細節鮮少有人提起 但這卻是了解新方法是否正確的關鍵之一 三 判斷直線與橢圓的相交情形 先給出關於橢圓的幾何定義 : 定義 給定平面上兩點 F F 且 FF c a( 定值 ) 則滿足 PF PF a 的點 P 所成的圖形是橢圓 其中 F F 稱為橢圓的焦點 數亦優
由上面的定義可知 若平面上 P 點滿足 PFPF a 則 P 點在橢圓外 類似地 若滿足 PF PF a 則 P 點在橢圓內 定義 若一直線 L 和一橢圓只有一交點 則稱 L 是此橢圓的切線 我們得出下面的定理 判斷直線與橢圓的相交情形 : 定理 給定平面上一直線 L 和一橢圓 設 的焦點為 F F 長軸長 a 若考慮 L 上一動點 Q 欲使 QF QF 有最小值 由定理 可知滿足條件的 Q 點是 唯一 的設此 Q 點為 點 則 QF QF 對應的最小值就是 F F 我們有下列結果: () 若 F F a 則直線 L 和橢圓 不相交 () 若 F F a 則直線 L 和橢圓 交一點 即直線 L 是橢圓 的切線 () 若 F F a 則直線 L 和橢圓 交兩點 證明 :() 如圖 是使 QF QF 有最小值的 唯一 Q 點 L 上任一點 Q 均滿足 QFQF F F 若 F F a 則 QF QF a 根據定義 表示 L 上任一點 Q 均在 外 故 L 和 不相交 圖 () 如圖 若 F F a 根據定義 可知 在 上 已知 點是 唯一 的 表示 L 和 只交於一點 ( 就是 點 ) 且由定義 可知 L 是 的切線 圖 () 如圖 若 F F a 由定義 可知 在 內 故 L 必和 交兩點 圖 定理 是 判斷直線和橢圓相交情形 的幾何形式 接下來要把這個定理轉換成代數形式 定理 給定平面上橢圓 y : a b 設 的兩焦點為 F F 且 FF c d F L df L d d 不失一般性取 a b 則長軸長 a(>c) 短軸長 b a c 可 得 () 若 F F 在 L 的同側且 dd () 若 F F 在 L 的同側且 dd 的切線 b 則直線 L 和橢圓 不相交 b 則直線 L 和橢圓 交一點 即直線 L 是橢圓 數亦優
() 若 F F 在 L 的同側且 dd b 若 F F 有一點在 L 上 ( 即 dd ) 若 F F 在 L 的異側且 dd c 符合以上其中一種情形 則直線 L 和橢圓 交兩點證明 :() 如圖 若 F F 在 L 的同側 不失一般性可設 d d 要使用定理 必須先求出 QF QF 的最小值 F F 仿定理 把 F 對 L 做對稱點 F 連 FF 交 L 於 則 F F FF 設 F F 對 L 做的垂足分別為 A A 可分 A A及 A A兩種情形討論情形 圖 A 若 A 則 d AF d A F A F 從 F 對直線 FF 做垂足 B BFAA 是長方形 BA FA d 可得 BF d d BF d d BF FF BF c d d 則 FF BF BF d d c d d d d d d c d d d d d d c 由定理 可知 若 F F a 則直線 L 和橢圓 不相交 由 F F FF 則 F F a等價 FF a 等價 再由 dd c a dd a c dd b 情形 如圖 若 A A(=) F F d d 且 d d c 由定理 可知 若 FF a 則直線 L 和橢圓 不相交 d d a d d a 即 a F F 又由 cd d d d c d d a d dd d c d dd d a dd c a dd c a dd b 圖 數亦優 () 仿 () 由定理 可得到對應的結果 () 要分成兩焦點 F F 在 L 的同側 有一點在 L 上或 L 的異側 共三種情形討論 : F F 在 L 的同側 圖形同圖 由定理 可得 若 dd b 則直線 L 和橢圓 交兩點 的結果
F F 有一點在 L 上不失一般性 設 F 在 L 上 得 dd 且直線 L 和橢圓 交兩點 F F 在 L 的異側如圖 6 設兩焦點 F F 若 FF 交 L 於 對 L 做的垂足分別是 A A 可分 A A及 A A兩種情形討論 情形 若 A A 不失一般性 可設 d d 由定理 可知 F F FF 圖 6 FA 9 d F 同理 FA 9 d F 得 d d F F FF c d d d d ( d d ) dd c 又 故 dd c ( 注意! c 不一定 b ) 由定理 可知 若 dd c 時 直線 L 和橢圓 交兩點 情形 如圖 7 若 A A d d FF c d d d d ( d d ) 又 dd c 故 dd c 由定理 可知 若 dd c 時 則直線 L 和橢圓 交兩點 圖 7 定理 中當兩焦點 F F 在 L 的異側時 判斷條件 dd c 無法納入其他情形的判 斷條件 dd 和 b 比較大小 實在可惜! 不過 只要做一點修改 就可使兩條件合而為一 定義 平面上定點 P ( y ) 到直線 L: a byc 的 有號 距離定為 a by c DPL ( ) a b 和 dpl ( ) 比較 不難看出 D( PL ) 是具有 正負號 的距離 可得 dpl ( ) DPL ( ) 因此 可把定理 修改如下 : 定理 6 給定平面上一直線 L 和一橢圓 y : a b 設 的兩焦點為 F F 且 FF c D F L D D F L D 不失一般性取 a b 則長軸長 a(>c) 短軸長 b a c 可得 () 若 D D () 若 D D () 若 D D b 則直線 L 和橢圓 不相交 b 則直線 L 和橢圓 交一點 即直線 L 是橢圓 的切線 b 則直線 L 和橢圓 交兩點 數亦優
證明 :() 當 L 和 不相交時 F F 必在 L 的同側 dd DD 由定理 () 知此結果成立 () 當 L 和 交一點時 F F 必在 L 的同側 dd DD 由定理 () 知此結果成立 () 若 L 和 交兩點 分三種情形討論 : 若 F F 在 L 的同側 可得 dd DD 若 F F 有一點在 L 上 可得 dd DD 以上可由定理 () 的 知成立 若 F F 在 L 的異側 可得 dd DD 由定理 () 的 可知 DD c 時 L 和 交兩點 即 c DD 由上可知 若 DD b 時 直線 L 和橢圓 交兩點 有兩點值得特別說明 :. 定理 6 中的橢圓取 a>b 即短軸長是 b 若是改成 a<b 則橢圓的短軸長變為 a 定理 6 的敘述中的 b 也要對應地改成 a 簡單來說 乘積 DF L DF L 和半短軸平方兩個值的大小決定直線 L 和橢圓 的相交情形. 設平面上橢圓 y : a b y 和圓 C : 可以看出 當橢圓滿足 ab r( 即 F r r F 圓心 O) 時 則圓 C 可看成是 等軸橢圓 因此 定理 6 的結果也可用來判斷 直線 L 和圓 C 的相交情形 如下 : 因圓的圓心 O 和 F F 重合 可知 F F 必在 L 的同側或有一點在 L 上 則 D D F L D O L D DF L DO L DD D( O L) 且 ab r 於是 () 若 D( OL ) r D( OL ) r () 若 D( OL ) r () 若 則直線 L 和圓 C 不相交 則直線 L 和圓 C 交一點 即直線 L 是圓 C 的切線 則直線 L 和圓 C 交兩點 等價 () 若 D( OL ) r 則直線 L 和圓 C 不相交 () 若 D( OL ) r 則直線 L 和圓 C 交一點 即直線 L 是圓 C 的切線 () 若 D( OL ) r 則直線 L 和圓 C 交兩點 因 D( OL ) dol ( ) 所以上式就等價於一般高中課本中以 幾何方法 判斷 直線和圓的相交情形 的結果以下給出高中課本上常見的題型 作為說明 : 例 : 依序判斷 L : y L : y L : y7 L : y 和橢圓 y : 的相交情形 6 解 : 先求出 的兩焦點 F ( ) F ( ) 半短軸平方為 () D D a 故 L 和 相切 a 數亦優 6
() 7 DD a 故 L 和 交兩點 () 7 7 7 DD a 故 L 和 不相交 () DD a 故 L 和 交兩點 例 : 已知直線 L: y k和橢圓 : y 相切 求 k? 解 : 可求出 F ( ) F ( ) 且半短軸平方 b L 一般式為 yk k k L 和 相切 DD k k k 例 : 若直線 L 過點 ( 6) y 且與橢圓 : 相切 求 L 的斜率? 6 解 : 可求出 F ( ) F ( ) 且半短軸平方 a 設 L 的斜率為 m 由點斜式 y m( 6) 可得一般式為 m y 6m L 和 相切 DD 6m 6m m m 6m m m 6m 四 判斷直線與雙曲線的相交情形 有了橢圓的判斷定理 自然可以對應地導出雙曲線的判斷定理 先給出雙曲線的幾何定義 定義 給定平面上兩點 F F 且 FF c a( 定值 ) 則滿足 PF PF a 的動點 P 所成的圖形是雙曲線 其中 F F 稱為雙曲線的焦點仿橢圓的定義 如圖 8 若平面上 P 點滿足 PF PF a 則稱 P 在雙曲線的 外部 ( 下圖斜線區域 ) 類似地 稱滿足 PF PF a 的 P 點在雙曲線的 內部 圖 8 定義 6 若一直線 L 和一雙曲線只有一交點且此直線不平行雙曲線的任一條漸近線 則稱 L 是此雙曲線的切線 ( 注意! 這個切線定義在筆者查閱的書中並未出現過!) 定理 7 給定平面上一直線 L 與一雙曲線 設 的兩焦點為 F F 且 FF c(>a) 貫 軸長 a 共軛軸長 b c a 若考慮 L 上一動點 Q 使 QF QF 有最大值 數亦優 7
由定理 我們有下列結果 : 情形 若使 QF QF 有最大值的 Q 點存在 設此 唯一 的 Q 點為 則 QF QF 對應的最大值就是 F F 可得 () 若 F F a 則直線 L 和雙曲線 不相交 () 若 F F a 若直線 L 平行雙曲線 的漸近線之一 則直線 L 和雙曲線 交一點但不相切 若直線 L 不平行任一雙曲線 的漸近線 則直線 L 和雙曲線 相切 () 若 F F a 若直線 L 平行雙曲線 的漸近線之一 則直線 L 和雙曲線 交一點但不相切 若直線 L 不平行任一雙曲線 的漸近線 則直線 L 和雙曲線 交兩點情形 若使 QF QF 有最大值的 Q 點不存在 () 當 F F 在直線 L 的同側或在直線 L 上 則直線 L 和雙曲線 交兩點 () 當 F F 在直線 L 的異側 若 dfl ( ) b 則直線 L 和雙曲線 不相交 若 dfl ( ) b 則直線 L 和雙曲線 不相交且 L 是 的兩條漸近線之一 dfl ( ) b 則直線 L 和雙曲線 交兩點 若 證明 : 情形 若使 QF QF 有最大值的 Q 點存在 () 如圖 9 是使 QF QF 有最大值的 唯一 Q 點 L 上任一點 Q 均滿足 FF QF QF 若 F F a 則 QFQF a 根據定義 表示 L 上任一點 Q 均在 的內部 故 L 和 不相交 () 如圖 及 設 的兩條漸近線分別是 L L 圖 9 F F a 根據定義 可知 在 上 因 已知 點是 唯一 的 表示 L 和 只交於一點 且由定義 6 可知 如圖 若 L// L 或 L 則 L 和 交一點但不相切 如圖 若 L // L 或 L 則 L 和 交一點 ( 即 點 ) 且相切 數亦優 8 圖 圖
() 如圖 若 F F a 由定義 可知 在 的外部 若 L 平行 漸近線之一 如圖 L 和 交一點不相切 若 L 不平行任一 漸近線 如圖 L 必和 交兩點 圖 圖 情形 若使 QF QF 有最大值的 Q 點不存在由定理 可知 dfl ( ) df ( L) () 當 F F 在 L 的同側或在直線 L 上 如圖 可得 F F // L 故 L 和 交兩點 圖 () 當 F F 在 L 的異側 dfl ( ) df ( L) L 必過 FF 中點 O 若 dfl ( ) b 則 L 和 不相交 如圖 若 dfl ( ) b 則 L 和 不相交且 L 是 的兩條漸近線之一 若 dfl ( ) b 則 L 和 交兩點 圖 定理 7 是 判斷直線和雙曲線相交情形 的幾何形式 接下來 要把這個定理轉換成代數形式 定理 8 給定平面上一直線 L 和一雙曲線 y : a b 設 的兩焦點為 F F 且 FF c 兩條漸近線為 L L dfl ( ) d df ( L) d 則貫軸長 a(<c) 共軛軸長 b c a 可得 () 當 L 和 FF 平行或重合 則直線 L 和雙曲線 交兩點 () 當 L 和 FF 不平行且不重合 若 dd b 則直線 L 和雙曲線 不相交 若 dd b 分三種情形 : (a) d d (=b) 則 L 和 不相交且 L 是 L L 之一 (b) d d 且 L 平行 L 或 L 則 L 和 交一點但不相切 (c) d d 且 L 不平行 L 及 L 則 L 和 交一點且相切 數亦優 9
若 dd b 分兩種情形 : (a) L// L 或 L 則 L 和 交一點但不相切 (b) L // L 及 L 則 L 和 交兩點 證明 :() 當 L 和 FF 平行或重合因 d d 且 F F 在 L 的同側或重合 由定理 7 情形 的 () 可知 L 和 交兩點 () 當 L 和 FF 不平行且不重合 dd b 分兩種情形討論 : (i) 若使 QF QF 有最大值的 Q 點存在 下面分三種 case: CaseF F 在 L 的異側如圖 6 因 d d 不失一般性 可設 d d 仿定理 把 F 對 L 做對稱點 F 連 FF 交 L 於 則 F F FF 設 F F 對 L 做的垂足分別為 A A 可分 A A及 A A兩種情況說明 A A 如圖 7 d AF d A F A F 做垂足 B 若 則 圖 6 從 F 對直線 FF BFAA 是長方形 BA FA d 可得 BF d d BF d d BF FF BF c d d 則 FF BF BF d d c d d 圖 7 d dd d c d dd d c dd 由定理 7 情形 的 () 可知 若 F F a 則直線 L 和雙曲線 不相交 由 F F FF F F a 等價 FF a等價 FF a 再由 c d d a d d c a d d b 數亦優
A 若 A (=) 如圖 8 FF d d且 d d c 6 由定理 7 情形 的 () 可知 若 FF a 則直線 L 和雙曲線 不相交 由 6 知 d d a d d a 又由 6 cd d 圖 8 d d c d d a d dd d c d dd d a dd c a dd c a dd b CaseF F 在 L 的同側 由圖 9 可知 L 上必有點不在 的內部 由定義 得 L 和 必交兩點 ( 不合 ) 圖 9 CaseF F 有一點在 L 上由圖 可知 L 上必有點不在 的內部 由定義 得 L 和 必交兩點 ( 不合 ) (ii) 若使 QF QF 有最大值的 Q 點不存在 由定理 可知 d d( F L) d( F L) d 又 dd b d b ; 又 d b d b 由定理 7 情形 () 的 可知 L 和 不相交 (a) 若 d d(=b) d d( F L) b 由定理 7 情形 () 的 可知 L 和 不相交且 L 是 L L 之一 (b) 若 d d且 L 平行 L 或 L d d 由定理 7 情形 () 或 () 可知 L 和 交一點但不相切 (c) 若 d d且 L 不平行 L 及 L 由定理 7 情形 () 的 可知 L 和 交一點且相切 (a) L// L 或 L 分兩種情形討論 : (i) 若使 QF QF 有最大值的 Q 點存在 下面分三種 case: CaseF F 在 L 的異側 若 A A FF c dd 由定理 7 情形 () 的 可知 圖 數亦優
數亦優 F F a且直線 L 不平行任一雙曲線 的漸近線 則直線 L 若 和雙曲線 交兩點 由 可知 F F FF F F a等價 FF a等價 FF a 由 得 c dd a dd c a dd b 若 A A(=) 由 6 得 FF d d且 d d c 由定理 7 情形 () 的 可知 若 F F a且直線 L 平行雙曲線 的漸近線之一 則直線 L 和雙曲線 交一點但不相切 由 和 6 知 d d a d d a cd d d d c d d a d dd d c d dd d a dd c a dd c a dd b CaseF F 在 L 同側由定義 得 L 和 交兩點 CaseF F 有一點在 L 上由定義 得 L 和 交兩點 (ii) 若使 QF QF 有最大值的 Q 點不存在 由定理 可知 d d 又 dd b d b ; 又 d b d b 由定理 7 情形 () 的 可知 L 和 交兩點 (b) L // L 及 L 仿 (a) 及定理 7 情形 () 的 可得證定理 8 的判斷情形有點繁雜 同樣地 可以利用定義 的 有號 距離來簡化定理 8 的結果 修改如下 : 定理 9 給定平面上一直線 L 和一雙曲線 y : a b 設 的兩焦點為 F F 且 FF c 兩條漸近線分別為斜率 m 的 L 斜率 m 的 L 若 DF ( L) D DF ( L) D 則 的貫軸長 a(<c) 共軛軸長 b c a 可得 () 若 m m 或 m 且 D b 則 L 和 不相交且 L 是 L 或 L 之一 D b 則 L 和 交一點但不相切 () 若 m m 和 m 且 DD b 則 L 和 交兩點 ( 可分交點在 同側或異側 ) DD b 則 L 和 交一點且相切 DD b 則 L 和 不相交證明 :() 若 m m 或 m 且 D b dfl ( ) b且 m m 或 m 又由 6 由定理 8() 的 (a) 可知 L 和 不相交且 L 是 L 或 L 之一
D b 由定理 8() (b) 及 ()(a) 可知 L 和 交一點但不相切 () 若 m m 和 m ( 即 L 不平行 L 和 L ) DD b 由定理 8() 的 (b) 可知 L 不平行時 若 dd b 則 L 和 交兩點分兩種情形討論 : (a) F F 在 L 的同側或 F F 有一在 L 上 DD 另外 由定理 8() 可知 當 L 和 FF 平行或重合 則 L 和 交兩點 (b) F F 在 L 的異側 DD dd 又 dd b 故 D D b 時 L 和 交兩點 另外 由定理 8() 可知 當 L 和 F F 平行或重合 則 F F 必在 L 的同側或在 L 上 DD 故 L 和 交兩點 由上可知 若 DD b 則 L 和 交兩點 DD b 由定理 8() 的 (c) 可知 若 dd b d d 且 L 不平行 L 及 L 則 L 和 交一點且相切 若 L 和 相切 可得 F F 必在 L 的異側 dd DD 故 DD b 則 L 和 交一點且相切 DD b 由定理 8() 的 可知 若 dd b 則 L 和 不相交 若 L 和 不相交 可得 F F 必在 L 的異側 dd DD 故 D D b 則 L 和 不相交 說明一下 如果用 L L 的 m m ( 設 m m) 看 L 和 的相交情形可分為 6 種 : m m m m m 或 L 和 交兩點 () L L 或 L () L 和 交一點但不相切 m m m L 和 有 () 交兩點 () 相切 () 不相交 或 m m 數亦優
以下同樣給出常見題型作為說明 : 例 : 依序判斷 L : y L : y L : y L : y L : y L 6 : y 和雙曲線 : y 的相交情形 y 解 : 化標準式為 求出 F ( ) F ( ) 及半共軛軸平方為 b 漸近線斜率 m m 設 L ~ L 6的斜率分別為 M ~ M 6 () M m 且 D b L 和 交一點但不相切 () M m 且 D b L 是斜率 m 的漸近線 () M m 和 m DD L 和 交兩點 ( 在 的異側 ) () M m 和 m DD () M m 和 m DD L 和 交兩點 ( 在 的同側 ) (6) M 6 m 和 m D D L 6 和 交一點且相切 7 b b 6 b b L 和 不相交 例 : 試討論 L: y k和雙曲線 :9 y 6的相交情形 y 解 : 化標準式為 得 9 F ( ) F ( ) 兩條漸近線 L : y 斜率 m ; L : y 斜率 m 且半共軛軸平方為 b 9 k k k L 斜率 m m 和 m DD 若 D D b k 9k 7k 7 或 7 () 當 k 7 或 k 7 時 L 和 交兩點 () 當 k 7 時 L 和 交一點且相切 () 當 7 k 7 時 L 和 不相交 k 數亦優
例 6: 試討論 L: y m 和雙曲線 : y 的相交情形 y 解 : 化標準式為 可得 ( ) F F ( ) 和兩條漸近線 L : y m ; L : y m 且 b () 若 m m 或 m D b 若 m L 和 交一點但不相切 m m 8m () 若 m DD m m m 8m 若 DD b 則 m m 8m m m 8 m m 若 m 且 m 則 L 和 交兩點 若 m 則 L 和 交一點且相切 若 m 或 m 則 L 和 不相交 五 直線和橢圓 雙曲線相交情形的判斷定理 兩者間更深一層的關係 再一次觀察定理 6 和定理 9 會發現 定理 6 和定理 9 中 m m 和 m 的情形有類似的結果 只要將定理 9 的 DD 改成看 DD 則兩者結果相同 相交情形定理 6 條件定理 9 m m 和 m 條件 () L 和 不相交 DD b DD b () L 和 交一點且相切 DD b DD b () L 和 交兩點 DD b DD b 從上面的表可以看出這兩個定理有 等價性 但是該怎麼說明這件事呢? 一般而言 橢圓 的標準式設為 y : a b 而雙曲線的標準式設為 y : a b 利用下面的變換 T 可 以將這兩個圖形互相映射 其中 i ( 變換 T y ) iy 值得注意的是 y iy 將 實數 y 映射到 純虛數 y yi 而且這個變換不是 保長的 對於一條實數平面上的直線 L: a byc 變換 T 會將 L 映射到複數平面上的另一直線 L: abiyc 這樣的性質告訴我們 實數平面一直線 L 和橢圓 的相交情形 可以經由變換 T 一對一且映成 地映射成 複數平面上另一直線 L 和雙曲線 的相交情形 如圖 和 : 數亦優
圖 圖 可是為什麼定理 9 還有 m m 或 m 的情形呢? 只要定義 雙曲線 分別和其漸近線 L 和 L 相交於無窮遠點 P 和 P 則定理 9 中 m m 或 m 的情形可用下表說明 其實可以看成 L 和 都交於兩點 定理 9 m m 或 m 條件 相交情形 () D b L L 或 L 和 交於 P 和 P () D b L 和 交於 P 和 P ( 或 P ) 利用 雙曲線和其漸近線交於無窮遠點 的新看法 定理 9 就可敘述成和定理 6 等價 的形式 如下 : 定理 9A 無窮遠點 觀點 假設同定理 9 () 若 DD b 則直線 L 和雙曲線 不相交 () 若 DD b 則直線 L 和雙曲線 交一點 即直線 L 是雙曲線 的切線 () 若 DD b 則直線 L 和雙曲線 交兩點 ( 包含交點是 無窮遠點 的情形 ) 只要將定理 6 中的 DD 改為 DD 就可得出定理 9A 這一點可以用兩個定理中 相切 的情形來看 若直線 L 和橢圓相切 則 F F 必在 L 的同側 故 DD 的值必為正 ; 而若直線 L 和雙曲線相切 則 F F 必在 L 的異側 故 DD 的值必為負其實用 不相交 的情形來理解也可以從變換 T 來看 直線和橢圓的相交情形 及 直線和雙曲線的相交情形 是 等價地 也就是這兩種相交情形是 同構的 相信這個深刻的結果會令許多唸過高中數學的人大吃一驚! 六 判斷直線和拋物線的相交情形 處理完 直線和橢圓 雙曲線的相交情形 剩下的當然就是 直線和拋物線的相交情形 不過使用 代數觀點 的解法在計算上並不會造成太多的麻煩 這是因為拋物線 的方程式不管是上下型或左右型 都含有 或 y 的一次項所以 把直線方程式 L: abyc 代入拋物 線 方程式 cy 或 y c 得到 或 y 的一元二次方程式 再利用判別式判斷相交情形的計算並不難不過 為了完整性還是把 幾何觀點 的解法說明一下能找出 直線和橢圓 雙曲線的相交情形 判斷定理 主要是利用定理 和定理 的幾何極值性質 可是在拋物線的情形 沒有類似的性質可用因此 要另外找替代的性質來推導 我們先寫出兩個定義 : 數亦優 6
定義 7 給定平面上一定點 F 及一直線 L 則滿足 PF d( P L) 的動點 P 所成的圖形是拋物線 其中 F 和 L 分別稱為拋物線的焦點及準線 定義 8 若一直線 L 和一拋物線只有一交點 則稱 L 是此拋物線的切線接下來 觀察 一直線 L 和拋物線 相切的圖形 如圖 : 圖 設切點 P 對 L 做的垂足是 H 可得 PH PF 由圖 可看出 過 P 的切線 L 似乎是 HF 的中垂線 該如何證明呢? 其實這一點不用擔心 筆者在民國 99 年 月的 數學傳播 季刊中 張海潮先生的文章已經引用此一性質 有興趣的讀者可自行查閱參考資料的第 點下面定理給出完整的敘述 : 定理 給定平面上一拋物線 其焦點為 F 準線為 L 若直線 L 和 相切於點 PP 向 L 做的垂足為 H 則切線 L 就是 HF 的中垂線證明 : 參考資料第 點 數學傳播 第 卷第 期 拋物線的斜角坐標方程式和拋物線弓形面積 第 ~ 頁由上面的定理 可以找出 判斷直線和拋物線相交情形 的幾何解法 如下所述 : 定理 給定平面上一直線 L 和一拋物線 ( 其焦點為 F 準線為 L) 設 F 對 L 做的對稱點為 F 可得 () 若 F 和 F 在 L 的異側 則直線 L 和拋物線 不相交 () 若 F 在 L 上 則直線 L 和拋物線 交一點且相切 () 若 F 和 F 在 L 的同側 且 L 不平行 的對稱軸 則直線 L 和拋物線 交兩點 L 平行 的對稱軸 則直線 L 和拋物線 交一點但不相切證明 :() 如圖 任取 L 上一點 P F 和 F 對稱 L PF PF F 和 F 在 L 的異側 PF d( P L) 可得 PF d( P L) 由定義 7 可知 P 在 外 故 L 和 不相交 圖 數亦優 7
() 若 F 在 L 上 分三種情形用窮舉法討論 : (a) 設 L 和 不相交 由 () 可知 F 和 F 在 L 的異側 但因 F 在 L 上 故矛盾 (b) 設 L 和 交兩點於 P P 如圖 由 P 對 L 做垂足 H P 在 上 PF PH F 和 F 對稱 L PF PF 可得 PH PF 但因 PH F 9 故矛盾由上可知 L 和 交一點且相切 () 若 F 和 F 在 L 的同側 且 圖 L 不平行 的對稱軸 分三種情形用窮舉法討論 : (a) 若 L 和 不相交 由 () 可知 F 和 F 在 L 的異側 矛盾 (b) 若 L 和 交一點且相切 由 () 可知 F 在 L 上 矛盾由上可知 L 和 交兩點 L 平行 的對稱軸 如圖 6 明顯地 L 和 交一點但不相切 圖 6 在給出常見題型說明前 因為使用定理 必須用到 一點對一直線做對稱點 的公式 先說明如下 : 定理 給定平面上一定點 P ( y ) 和一直線 L: a byc 則 P 對 L 做的對稱點 P P D( P L) N 其中 N ( ab ) 是 L 的法向量 N 證明 : 利用向量即可導出以下給出常見題型做為說明 : 例 7: 依序判斷 L : y L : y L : y L : y 和拋物線 : y 的相交情形解 : 先求出 的焦點 F ( ) 準線 L: 及對稱軸 M : y 設 F 對 L ~ L 做的對稱點分別為 F ~ F () F () () () () ( ) F 在 L 上 故 L 和 相切 () F ( ) () ( ) () ( ) F 和 F 在 L 的同側且 L // M 故 L 和 交兩點 如圖 7 圖 7 數亦優 8
() F ( ) () ( ) () ( ) F 和 F 在 L 的異側 故 L 和 不相交 () L // M 故 L 和 交一點但不相切 例 8: 試討論 L : y k 和拋物線 : 8y 的相交情形 解 : 先求出 的焦點 F( ) 準線 L: y 及對稱軸 M : k k 6 k 6 k F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 若 F 和 F 在 L 的異側 6 k 6k k 6 k 8 時 L 和 不相交 () 若 F 在 L 上 k 8 時 L 和 交一點且相切 () 若 F 和 F 在 L 的同側 k 8 時 L 和 交兩點 例 9: 設直線 L 過 A( ) 且斜率 m 已知拋物線 : y 試就 m 值討論 L 和 的相交情形解 : 先求出 的焦點 F ( ) 準線 L: 及對稱軸 M : y L 為 y m( ) m ym 設 m m 6m m 6m F ( ) ( m ) ( ) ( m ) ( ) m m m m m () 若 F 和 F 在 L 的異側 m m m m m m m 或 m 時 L 和 不相交 () 若 F 在 L 上 m 時 L 和 交一點且相切 () 若 F 和 F 在 L 的同側 且 L // M m 且 m m 即 m 且 m 時 L 和 交兩點 m L // M 且 m m 即 m 時 L 和 交一點但不相切 定理 和定理 6 定理 9A 仍有一點不同 就是 當 F 和 F 在 L 的同側且 L 平行 的對稱軸 則 L 和 交一點但不相切 如果同樣地引用 無窮遠點 的觀點 是否可以修改成 L 和 交兩點 呢? 這一點請參考下面的說明 數亦優 9
七 直線與拋物線相交情形與直線與圓 橢圓 雙曲線的相交情形之間更深一層的關係 先看直線和拋物線 圓的相交情形 仿照直線和橢圓 雙曲線相交情形的討論 先看一個 例子 設拋物線 : y 圓 C: y 利用下面的變換 T 可以將拋物線 映射為圓 C 說明一下 上式中 y y ( 變換 T ) y y 可得 y y 表示原拋物線 : y 中 y 的部 分 不會映射至新的 y 平面 而 y 的部分 則是同時映射至圓 C 的上 下半圓各 次如圖 8 先考慮下面 條直線 即 L : y L : y L : y 和 L : 分別和拋物線 : y 的相交情形 圖 8 接下來 設 L L L L 經變換 T 映射後的圖形分別為 M : y 和 M : y M : y 和 M : y M : y M : 這些圖形和圓 C: y 的相交情形如圖 9 圖 9 數亦優
將直線和拋物線 圓相交情形的對應關係 整理成下表 序直線和拋物線 相交情形直線和圓 C 相交情形 () L 和 不相交 () L 和 交一點且相切 M ( M ) 和 C 不相交 M ( M ) 和 交一點且相切 () L 和 交兩點 M 和 交兩點 () L 和 交一點但不相切 M 和 交兩點 由上表可以看出雖然未使用 無窮遠點 的觀念 第 種相交情形仍可看出 直線 L 和拋物線 交一點但不相切 對應到 直線 M 和圓 C 交兩點 這跟 直線和橢圓 雙曲線的相交情形 之間的對應是一致所以 綜合前面的說明 直線和圓 橢圓 雙曲線 拋物線的相交情形 每一種子情形彼此都互相相應 這可以說是一個出人意外的漂亮結果 八 後記 這些判斷定理的發現從筆者念高中迄今已經約 年 筆者在數學史的書曾看過 尤拉 (Euler) 找到下列的著名等式 n 6 也是經過了 年的思索我想這些能力的培養都要感謝曾教過我的師長 尤其是臺灣師範大學林福來教授的高等幾何及數學教育的啟蒙 洪萬生教授的數學史 謝豐瑞教授的數學教育 許志農教授的代數特論 碩士班黃森山指導教授的理論推導訓練 如果沒有他們不可能有這些成果當然 十分歡迎高中數學教師在教學上使用這篇文章的結果 如果有商業上的使用也請與我聯絡謝謝! 參考資料 :. 余文卿 ( 民 98)- 圓錐曲線的光學性質 高中數學第四冊 P.7~8 翰林出版公司. 張海潮 ( 民 99) 拋物線的斜角坐標方程式和拋物線弓形面積 數學傳播 第 卷第 期 P.~ 數亦優
動手玩數學 許志農 / 臺灣師大數學系 藍委員半夜患了急性盲腸炎 需馬上動手術 但是他同時感染了一種具有高度傳染力的皮膚病遊戲 9 為了慎重起見 三位住院醫師依 序輪流進去幫他動手術每位動手術的醫師雙手必須戴手套 而且藍委員的皮膚病一定會汙染使用過手套的外部 玩鎖 玩索 百密必有一疏是這道遊戲的寫照 很多學生想了一些情況之後就認定此遊戲無解事實上 學生經常是漏掉或疏忽可能發生的不尋常情況當你不得其解時 應該將所有可能的戴法思索一遍 答案一定可以找著這道題目是在臺北市某國小教書的洪淑琳網友問我的 他說這道問題是臺北美國學校七年級的數學功課本人將題目的情境稍作修改 取闌尾炎的諧音藍委員這道遊戲可以延伸一下 : 當醫師人數是四人時 想要完全完成手術 所需的最少手套數量是多少呢? 依此可以推廣到 n 個醫師的一般情況有興趣做專題研究或數學科展的同學 不妨想想看! 除了藍委員外 三位住院醫師可能有一位也已經得了這種皮膚病 但我們並不清楚是哪一位醫師得這種皮膚病正當手術要進行時 護理師才發現只有兩副消過毒的手套可用 而且手術馬上要進行 已經沒時間消毒或再準備手套了為了不讓醫師間互相感染及被藍委員傳染皮膚病 該如何使用手套呢? 護理師說他知道你知道嗎? 數亦優
清風在 Google 上輸入 Euler Polynomial 查詢 果真查到一個次數為五次的尤拉多項式遊戲 9 f( ).網頁內容說道 此多項式有兩個二重根 而且它們都是實數根 試求出此多項式的所有根 遊戲 9 設 AB 與 C 是完全獨立的三個事件 而且發生 AB 與 C 事件的機率分別為 pq 與 r 在下圖中 標出三個事件 AB 與 C 中至少發生兩個事件以上的區域 並計算其對應的機率 ( 以 pqr 表示 ) 玩鎖 玩索 了解 重根 與 f ( ) 的關係 是這道問題的解決關鍵 有一道不等式問題的敘述是這樣的 : 已知 pqr 求證 pq qr rp pqr.請利用機率的模型證明上述不等式 玩鎖 玩索 這是利用機率與文氏圖解不等式問題的好例子 數亦優
設 abc 是閉區間 上的三個實數 且函數 f ( ) 為 遊戲 96 a b c f( ). () 求 f () f () 的值 () 證明 : 可以在閉區間 上找到實數 使得 f( ). 玩鎖 玩索 中間值定理是一個幾何上很直觀的定理 但中學生卻很少使用它 數亦優
動手玩數學 ~ 破解秘笈 遊戲 89 如下圖所示 a b ab b ab a 矛盾也就是說 不可能利用五個正方形 在要求的相關位置上 圍出一個大矩形 滑輪捲動的繩子長度為 遊戲 9 作如下的輔助線 利用同底等高可以得到圖中面積分別為 aabb 的四個三角形 PA PB 而輪船前進的距離為 AB.由 PAB 的三角形不等式知道 PAPB AB 即滑輪捲動的繩子長度 < 輪船前進的距離 遊戲 9 假設有五個小正方形可以圍成大矩形 並令中央及右下角的正方形邊長為 a 與 b( ab ) 依逆時鐘方向將其餘三個小正方形的邊長以 ab 來表示 即右上正方形的邊長為 a b 左 上正方形的邊長為 aab a b 左下正方形的邊長為 aaba b 同樣利用同底等高可以得到 APB BPC BPD SD DQ DP. 將兩式相加 得 BPD DP BPD APB SD a b 即 APQB CSD BQC. 證得四邊形 APQBBQCCSD 的面積構成等差數列這解法是某位得一等獎的參賽學生之作法 可以算是妙解 玩鎖 玩索 解析如下圖所示 分別從圓心連線到圓的切點 會形成兩個梯形 I 與 II 因為圍成大矩形 所以左側的高等於右側的高 即 數亦優
設小中大圓之半徑分別為 ab 與 c 因為梯形 II 是梯形 I 的放大 ( 想想看 ) 所以上底與下底的比例要一樣 即 得到 b a b. b c ac 故三圓的半徑構成等比數列 遊戲 9 () 根據上述規則 得 a6 8 a7 67 與 a8 7 () 根據上述規則 得 a 9 a 7與 a 7 () 當 n 時 a 7 恆為定值 n 數亦優 6