第二节 微积分的研究对象 函数 主要内容 : 函数 基本初等函 数与复合函数
一 函数 常量 : 保持不变的量. 如常数 1-50 e π 变量 : 可以取不同值的量. 如 sin 中的, sin ln(1+ ) 中的, ln(1+ )
定义 ( 传统定义 ) 如果在变化过程中有两个变量 y, 在 某个变化范围 X 内的每一确定的值, 按照某个对应法则 f, y 都有唯一确定的值与它对应, 那么 y 就是 的函数. 记作 y = f (), 称 为自变量, X 是 f 的定义域, 全体函数值的集合称作函数的值域.
函数的定义 表明了函数的结 构. 函数是由定义域 对应法则 值域组成的. 函数的模型如同一部机 器, 把 X 中任一原材料 输入 f (), 就可产出实数 y = f ().
定义域 y=f() y f ( ), D ( D [ a, b ] ) 因变量 自变量 0 y y M 0, y ) ( 0 定义域是自变量所能取的, 使算式有意义的一切实数值. a b O 0 对应规律的表示方法 : 解析法 图像法 列表法.
如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相等的. 如 3 4 3 f ( ), g( ) 3 1. 如果两个函数定义域和对应法则二者有一个不同, 那么这两个函数是不同的. 如 f ( ) sin, g( ) 1 cos 实际上 g ( ) 1 cos sin.
1 例 1 设 f ( ), 求 f ( f ( ) 1). 1 1 11 解 f( ) 1 1 1 1 1 f ( f ( ) 1) 1 1 1 1 1 4.
例 在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数, 它反映了一个国家的富裕程度, 也是国际通用的一项重要指标. 富裕程度 绝对富裕比较富裕小康水平温饱贫困 O 在定义域的不同区间上由不同的代数式来表示的函数称为分段函数. 0 40 50 60 100 (%)
函数的性质 : 单调性 奇偶性 周期性. 有界性 : 设 y f ( ) 的定义域是 ( a, b), M 0, 若对 ( a, b) 满足 f ( ) M, 称 f ( ) 是区间 ( ab, ) 内的有界函数. 如 : sin cos 在定义域内是有界函数 : sin 1, cos 1. 3 1 1 在定义域内是无界函数, 而在 [-,] 内 有界 : 3 3.
二 反函数的定义 设函数 y f ( ), D,Y 是值域. 如果对于 Y 内的任一 y, D 内都有唯一确定的 与之对应, 使 f () = y, 则在 Y 上确定了一个函数, 这个函数称为函数 y = f ( ) 的反函数. 记作 = f -1 ( y ), y Y. 1 由 y f ( ) 确定的 y f ( ) 称为反函数. 原来的函数 y = f ( ) 称为直接函数.
y e y e 与 y ln 互为反函数. y ln
y 反函数 y ( ) Q( b, a) 直接函数 y f ( ) o P( a, b) 直接函数与反函数的图形关于直线 y = 对称. 反函数存在性定理 : 单调函数存在反函数, 且函数与其反函数的单调性相同.
例设 4 y 1, 求其反函数. 提示与分析 : 由反函数存在性定理, 当函数 y为单调函数时, 才有反函数, 所以 y 1 在 (-,+ ) 内不存在反函数. 需将 (-,+ ) 分成 0与 0两个区间, 再求 y的反函数. 解 0时, y单调递减 ; 0时, y单调递增, y在 (-,+ ) 内不存在反函数.
原函数在单调增区间 [ 0, ), 存在反函数 y 1, 定义域为 D [ 1, ). 在单调减区间 (,0], 存在反函数 y 1, 定义域为 D [ 1, ). f( ) o
三 基本初等函数 1. 幂函数 y ( 是常数 ), 在 ( 0, ) 内总有定义 y y y y 1
. 指数函数 y a ( a 0, a 1) y e 是常用的指数函数 1 y ( ) a 1 0 1 a y a( a 1) (0,1)
3. 对数函数 y log y ln a ( a 0, a 1) 是常用的对数函数 (1,0) y log a
4. 三角函数 正弦函数 y sin y= sin,y =cos 的定义域是 (-,+ ), 值域是 [- 1,1], 以 π 为最小周期, 有界函数. 余弦函数 y cos
正切函数 y tan π π 定义域 : ( kπ, kπ ), k Z; 值域 (, ), π π 以 π 为周期, 在每个开区间 ( kπ, kπ ) 上 递增.
余切函数 y cot 定义域 :( kπ,( k 1) π ), k Z; 值域 (, ), 以 π 为周期, 在每个开区间 (π k,( k 1) π) 上递减.
5. 反三角函数反正弦函数 y arcsin π π 定义域 [ 1,1], 值域 [, ] sin( arcsin ).
反余弦函数 y arccos 定义域 [ 1,1], 值域 [0, π] cos( arccos ).
反正切函数 y arctan π π 定义域 : (, ), 值域 (, ), 单增函数, tan( arctan ). 渐近线 y π y π 渐近线
把常数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函 数统称为基本初等函数.
例 5 讨论 y 1 1 arcsin 的定义域. 5 5 提示与分析 : 所给函数是两个函数之和形式, 所以 f( ) 的定义域是使两个函数同时有意义的取值范围, 即应是两个函数定义域的交集.
解 1 5 4 1, 5, 1 5且 5 4 6且 5 5, 于是, 定义域是 [, ). 5 5 5 [ ) 4 0 5 6 两个函数和的定义域, 是这两个函数定义域的公共部分.
四 复合函数 设 y f ( u), uu; u ( ), X 由 y f ( Xu ) 确定的函数值称为 u ( ) 落在 外层函数 函数 y f ( u) 的定义域 U内, 则称 y f [ ( )] 为复合函数. 自变量中间变量 如, y 1 是由 y u, u 1 复合 而得的. 基本初等函数 u ( ) 称为 里层函数
初等函数 : 由基本初等 函数经过有限次四则运 u 由 y e, u v, v 1 算和复合运算构成的函复合而得的. 数并可用一个式子表示的函数. 幂函数 y cos 1 3 ln[1 arcsin( 表面形式复杂, 但依然是初等函数. 分段函数不是初等函数. 1 如, y e 是 1 )] 3 指数函数 分解复合函数原则 : 观察各层函数是否为基本初等函数或多项式函数. 多项式函数
注意 : 1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. 例如 u y arcsin u, ; y arcsin u的定义域是 [ 1,1], y 1, 不能复合成一个函数的. arcsin( ). 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 中间变量 例如 y cot, y u, u cot v, v. 而 u 这两个函数是 自变量 把一个复合函数分成不同层次的函数中间变量, 叫做复合函数的分解.
综上所论 : 复合函数 y f ( u), u ( ) y f [ ( )] 由基本初等函数经有限次四则 初等函数 : 运算和有限次复合运算构成 指数函数 y a, y e 初等函数的 对数函数 y loga, y ln 结构关系 幂函数 y 三角函数 y= sin, y= cos, y tan, 基本初等函数 y cot, y sec, y csc 反三角函数 y arc sin, y arc cos, y arc tan, y arcco t 常数 y c 1 反函数 y f ( )
五 应用 例 6 用函数关系探测古墓的年代考古人员研究了长沙马王堆一号古墓, 发现了棺盖板是由杉木做成的, 并且盖板所含的 C 14 放射性物质和现代杉木的 C 14 的比值为 76.7%, 问此古墓是什么时候建的? 解已知放射性物质 C 14 的半衰期为 5570 年, 并且生物体死亡后 C 14 的含量 b 与原始含量 a 随时间 t 的变化满足下面的函数关系 : b t ct a, e c为常数, b 1 时,e, a ct 5570
ln 0.5 5570 4 可得, c 1.4410, b a 4 1.4410 t 即有 0.767 e, ln 0.767 t 13( 年 ). 4 1.4410 因此推算出古墓是在 13 年前建成的.
课后作业 习题 1 (page 6-7),3(),4(6),5(3),8