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1 面向 世纪全国高校数学规划教材 高等数学 林益 肖兆武 李伶主编 杨殿生副主编

2 内容提要 本书是为普通高校和高职高专学生编写的基础课教材 高等数学, 内容包括函数与极限 导数及其应用 不定积分 定积分及其应用 空间解析几何 多元函数微分学 二重积分 微分方程, 级数等 本书本着 立足基本理论和基础知识, 普及科学教育, 适应专业需要, 保证未来发展 的指导思想, 按照 必需 够用 的原则, 努力提高学生学习兴趣和数学素养, 增强应用数学的能力 图书在版编目 (CIP) 数据 高等数学 / 林益, 李伶主编. 北京 : 北京大学出版社,5.8 ( 面向 世纪全国高校数学规划教材 ) ISBN X I. 高 II. 林 李 III. 高等数学 高等学校 : 技术学校 - 教材 IV. 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (5) 第 694 号 书 名 : 高等数学 著作责任者 : 林益李伶主编 责任编辑 : 黄庆生刘标 标准书号 :ISBN X/O 65 出 版 者 : 北京大学出版社 地 址 : 北京市海淀区成府路 5 号 87 电 话 : 邮购部 6755 发行部 编辑部 6765 网 址 : 电子信箱 :js@pup.pku.edu.c 印 刷 者 : 发 行 者 : 北京大学出版社 经 销 者 : 新华书店 787 毫米 9 毫米 6 开本 5.5 印张 千字 5 年 8 月第 版 5 年 8 月第 次印刷 定 价 :6. 元

3 编辑委员会 策 主 划 : 詹卫东黄庆生 编 : 林益李伶 副主编 : 肖兆武杨殿生 编写者 : 张兴鹤陈旭松 李伶周金诚肖兆武

4 前 言 高等数学, 既是一门必修的基础课程, 又是一门重要的工具课 针对当前普通高校 大专及高职教育的特点, 本着 立足基本理论和基础知识, 普及科学教育, 适应专业需要, 保证未来发展 的指导思想, 我们组织了一些长期从事高等数学教学的教师编写了此书, 供普通高校和高职学生使用 本书有以下特点 : () 每章框架构成包括 : 学习要求 教学内容 每节习题 每章复习题 特别是学习要求的设定, 对学生抓住重点 掌握知识有很好的引导作用 () 在教学内容的取舍上按照 必需 够用 的原则, 不过分追求理论上的系统性和完整性, 忽略了一些繁琐的公式推导及证明过程, 更加突出应用 () 兼顾了各专业的需要, 尽可能联系专业实际, 体现实用性 本书重点突出, 语言精练, 通俗易懂 使用方便 章节内容可选择空间大, 教师可根据普通高校专科或高职的教学特点, 以及专业需要对教学内容进行取舍, 教学时数可安排在 9~ 之间 本书由詹卫东 黄庆生策划, 林益 李伶任主编, 肖兆武 杨殿生任副主编, 参加编写的还有周金诚 张兴鹤 陈旭松 其中张兴鹤编写第 章 第 章, 陈旭松编写第 章 第 4 章, 李伶编写第 5 章, 周金诚编写第 6 章 第 7 章, 肖兆武编写第 8 章 第 9 章 本书作为一种教材, 广泛吸取了国内众多专家学者的研究成果, 编写的主要参考书目附后, 未及一一注明, 在此谨表谢意, 并请谅解 由于成书时间仓促, 同时限于水平, 本书存在着种种不足和缺点, 恳切希望得到大家的批评指正 编者 5 年 月

5 目 录 第 章函数 极限和连续.... 函数..... 变量和区间..... 函数的概念..... 函数的性质 反函数...5. 基本初等函数和初等函数 基本初等函数 复合函数 初等函数 函数模型举例...9. 极限..... 数列极限..... 函数极限..... 极限的性质两个重要极限 无穷小量和无穷大量 函数的连续性 连续函数的概念 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质... 复习题...4 第 章一元函数微分学...7. 导数的概念 瞬时速度曲线的切线斜率 导数的定义 用导数的定义求导数 导数的几何意义.... 求导法则..... 函数和 差 积 商的求导法则...

6 II 高等数学.. 复合函数的求导法则..... 反函数的导数 隐函数的导数 高阶导数...5. 微分 微分概念 微分的几何意义 微分公式和法则 一阶微分形式不变性 中值定理与罗必达法则 中值定理 罗必达法则 函数的单调性与极值 函数的单调性 函数的极值 函数的最值及其应用 曲线的凹凸性与函数作图 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘 导数在经济学中的应用 成本函数收入函数利润函数 边际分析 弹性的概念...58 复习题...59 第 章一元函数积分学...6. 不定积分的概念和性质 不定积分的概念 不定积分的性质 直接积分法 基本积分表 基本积分法 换元积分法 分部积分法...7. 积分表的使用 定积分的概念与性质...78

7 目录 III.4. 定积分的概念 定积分的几何意义和简单的物理意义 定积分的性质 牛顿 - 莱布尼兹公式 定积分的计算 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 无穷区间上的广义积分 定积分的应用 定积分的元素法 平面图形的面积 旋转体体积 定积分在物理上的应用 定积分在经济上的简单应用...96 复习题...97 第 4 章常微分方程 常微分方程的基本概念 一阶微分方程 可分离变量的一阶微分方程 一阶线性微分方程 几种可降阶的二阶微分方程 形如 = f( ) 的二阶微分方程 形如 = f(, ) 的二阶微分方程... = f, 的二阶微分方程 形如 ( ) 4.4 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程 二阶常系数线性非齐次微分方程... 8 复习题 4... 第 5 章空间解析几何 向量代数 空间直角坐标系 向量及其坐标表示 向量的乘法 平面与直线...

8 IV 高等数学 5.. 平面及其方程 直线及其方程 二次曲面 空间曲面 常见二次曲面及其方程... 4 复习题 第 6 章二元函数微分学 二元函数 二元函数的概念及几何意义 二元函数的极限与连续 偏导数与全微分 偏导数 全微分 二元复合函数与隐函数的偏导数 二元函数的极值 二元函数的无条件极值 二元函数的条件极值... 6 复习题 第 7 章二重积分 二重积分的概念与性质 二重积分的概念 二重积分的性质 二重积分的计算与应用 二重积分的计算 二重积分的简单应用 复习题 第 8 章无穷级数 数项级数 数项级数的概念 数项级数的性质 正项级数收敛的判别法 交错级数的莱布尼兹判别法 一般数项级数的收敛性 幂级数 幂级数及其收敛性... 89

9 目录 V 8.. 幂级数运算性质 函数展开成幂级数 泰勒级数 函数展开成幂级数 复习题 8... 第 9 章 Mthemtic 数学软件简介 算术运算 代数式与代数运算 微积分运算 函数作图... 8 附录积分表... 参考答案...

10 第 章函数 极限和连续 学习要求 :. 理解函数的概念 复合函数的概念, 了解反函数的概念.. 掌握基本初等函数的性质, 会建立简单实际问题中的函数关系式.. 理解极限的概念. 4. 掌握极限四则运算法则, 会用两个重要极限求极限 ; 了解无穷小 无穷大以及无穷小的阶的概念. 5. 理解函数在一点连续的概念. 了解间断点的概念 ; 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质 ( 介值定理和最大 最小值定理 ). 函数是微积分研究的主要对象, 极限方法是研究微积分的最基本的方法. 本章将在复习函数知识的基础上, 学习极限的概念 连续函数的概念与性质等, 为以后各章的学习奠定必要的基础.. 函数.. 变量和区间 在研究实际问题 观察各种现象的过程中, 人们会遇到各种各样的量. 在某个问题的研究过程中, 始终保持恒定值的量称为常量, 而能取不同数值的量称为变量. 例如, 一个超市的面积为常量, 而每天到超市购物的人数是变量. 在数学中常抽去常量或变量的具体含义, 只从数值方面加以关注, 表示常量和变量数值的分别是实常数或实变数, 但仍称为常量或变量. 习惯上, 常用字母, b, c 等表示常量, 而用,, z 等表示变量. 为描述一个变量, 常需指出其变化范围, 这就要用到实数的集合, 特别是区间的概念. 区间是特殊的数集. 设 b, 是实数, 且 < b, 集合 { < < b} 称为开区间, 记做 ( b, ), 它可在数轴上用点 和 b 之间, 但不包括端点 及 b 的线段来表示 ( 图 -). 集合 { b} 称为闭区间, 记做 [, b], 它可在数轴上用点 和 b 之间 包括两个端点的线 段来表示 ( 图 -).

11 高等数学 ( b, ) ( b, ) O b O i b i 图 - 图 - 还有其他类型的区间 :{ < b}, 记做 (, b] 称为左开右闭区间 ;{ < b} 做 [, b), 称为左闭右开区间. 上述区间均为有限区间, 其区间长度为 ( b ), 读作 无穷大, 于是 记. 还有无限区间, 这就需先引进记号 { > } 记做 (, + ),{ < } 记做 (,),{ 为任何实数 } 记做 (, ) 均为无穷区间. +, 它们 设 ε 为任一给定的正数, 则集合 { < ε} 称为点 的 ε 邻域, 它表示以 点为中 ε, + ε 表示 ; 集合 { < < ε} 称为点 的去心 心, 以 ε 为半径的开区间, 可用 ( ) 邻域, 该集合不含... 函数的概念. 函数 在同一自然现象或技术过程中, 往往同时有几个变量一起变化, 但是这几个变量不是彼此孤立的, 而是相互联系的, 遵从一定的规律变化着. 现在, 考虑两个变量的简单情形. 例 自由落体运动. 设物体下落的时间为 t, 下落距离为 s, 假定开始下落的时刻 t =, 那么 s 与 t 之间的依赖关系由 s = gt 给出, 其中 g 为重力加速度. 在这个关系中, 距离 s 随着时间 t 的变化而变化. 其特点是, 当下落的时间 t 取定一个值时, 对应的距离 s 的值也就惟一地确定了. 例 球的体积问题. 考虑球的体积 V 与它的半径 r 的依赖关系 4 V = π r 当半径 r 取定某一正的数值时, 球的体积 V 的值也就随着确定, 当半径 r 变化时, 体积 V 也随着变化. 还可以举出更多的例子. 在上面举的两个例子中, 如果抽去所考虑量的具体意义, 可

12 第 章函数 极限和连续 以看到, 它们都表达了两个变量间的依赖关系 : 当其中一个变量在某一范围内取一个数值时, 另一个变量就有惟一确定的一个值与之对应. 两个变量间的这种对应关系就是函数关系. 定义 设 是同一过程中的两个变量, 若当 在数集 D 内取任一值时, 按某种规则 f 总能惟一确定变量 的一个值与之对应, 则称 是 的函数, 记做 = f( ) 称变量 是自变量, 变量 是因变量. 表示对应法则的 f 是函数的记号, 集合 D 是函数的定义域. 由定义看出, 定义域与对应法则是函数概念的两大要素, 对于定义域 D 上的函数 = f( ), 集合 { = f( ), D } 称为函数的值域, 显然一个函数的值域由定义域及对应法则完全确定.. 分段函数 分段函数是函数的一种特殊表达形式. 当一个函数的自变量在定义域内不同区间上用不同式子表示时, 称该函数为分段函数. 例 函数 = f( ) = = < 定义域 D = (, + ), 它的图形如图 - 所示. 例 4 符号函数图形如图 -4 所示. > = sg = = < = f ( ) O i = sg O 图 - 图 -4

13 4 高等数学 对于分段函数, 要注意以下几点. () 分段函数是由几个公式合起来表示一个函数, 而不是几个函数 ; () 分段函数的定义域是各段定义域的并集 ; () 在处理问题时, 对属于某一段的自变量就应用该段的函数表达式... 函数的性质. 函数的奇偶性 定义 设函数 = f( ) 的定义域 D 关于原点对称, 即 D D, 若 f ( ) = f( ), D, 则称 f ( ) 为偶函数 ; 若 f ( ) = f( ), D, 则称 f ( ) 为奇函数. 例如, =, R, 是偶函数, 其图像如图 -5 所示. (, ) =, +, 是奇函数, 其图像如图 -6 所示. = = O O 图 -5 图 -6 偶函数的图像关于 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称. 两个偶函数之和 差 积 商仍是偶函数 ; 两个奇函数之和 差仍是奇函数 ; 两个奇函数之积 商是偶函数 ; 奇函数与偶函数之积 商是奇函数.. 函数的周期性 定义 给定函数 = f( ), D, 若存在常数 T, 使得 D + T D 且 f ( + T) = f( ), D, 则称 f ( ) 为周期函数. 满足上述条件的最小正数 T 称为 f ( ) 的周 期. 例如 si cos sec csc 是周期为 π 的函数,t cot 是周期为 π 的函数. 以

14 第 章函数 极限和连续 5 T 为周期的函数将其函数图像沿 轴方向左右平移 T 的整数倍后, 图像将重合.. 函数的单调性 定义 4 给定函数 ( ) 设区间 若对, (, ) () 有 f ( ) < f ( ), 则称 f ( ) 在区间 I 单调增加 ( 图 -7). () 有 f ( ) > f ( ), 则称 f ( ) 在区间 I 单调减少 ( 图 -8). f, D, I D, b, <, O O 图 -7 图 -8 有 f f, 则称 f 在区间 I单调不减. () ( ) ( ) ( ) (4) ( ) ( ) ( ) 有 f f, 则称 f 在区间 I单调不增. 单调增加与单调减少分别称为递增与递减. 单调增加与单调减少的函数统称为单调函数. 例如 =, 在 时 ; 单调增加, 而在 时, 单调减少. 4. 函数的有界性 定义 5 给定函数 ( ) f, D, 集合 X D, 若存在正数 M 使得对任何 X 都有 f ( ) M 则称 f ( ) 在 X 上有界, 否则称为无界. 例如函数 = cos 在区间 (, + ) 内有 cos, 所以函数 cos 有界的. = 在 (, ) + 内是..4 反函数 定义 6 设函数 = f ( ), X, Y ( Y { f( ), X} 一,X 内都有惟一确定的 与之对应, 使 f ( ) = = ), 如果对于 Y 内的任 =, 则在 Y 上确定了一个 是 的函数,

15 6 高等数学 这个函数称为 做 = f( ) 的反函数, 记做 = f ( ), Y. 但习惯上, 用 表示自变量, 用 表示因变量, 于是把 f( ) 函数 函数 = f ( ) = f( ) 的定义域和值域分别是函数 f ( ) = f( ) 和它的反函数 f ( ) = 的反函数 f ( ) = 的值域和定义域. = 的图像关于直线 = 对称. 可以证明单调函数存在反函数, 且函数与其反函数单调性相同. 例 5 求函数 = [, +) 解因为函数 = 在区间 [ ), 的反函数. =,, 于是 = 的反函数为 = [, + ]. 用区间表示变量的变化范围. = 记,+ 上单调递增, 所以存在反函数. 由 = 解得,, 通常表示为 = [, +) 习题. () < 9 () () > 4 (4) 6. 求下列函数的定义域. () = + + () = () = (4) = 4 + π si, <. 设 ϕ ( ) = ϕ π ϕ π ϕ π ϕ π 6 4 4, 4. 判断下列函数是奇函数 偶函数还是非奇函数非偶函数. () = cos () ( e e = + ), 求,,, ( ), 并作出函数 ϕ ( ) () = (4) = si cos + 5. 判断下列函数是否是周期函数, 若是求出其周期. () = si () = si + cos () = cos (4) = t 6. 研究下列函数的单调性. () = () =,. = 的图形.

16 第 章函数 极限和连续 7 7. 求下列函数的反函数, 并写出反函数的定义域. () =, () + = () = (4) + ( ) = lg, >. 基本初等函数和初等函数.. 基本初等函数 在中学学过的常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 这些函数中的多数函数我们已经比较熟悉, 这里只做简要复习. () 常数函数 C,, C 且平行于 = (C 为常数 ), 定义域为 ( + ), 图像为过点 ( ) 轴的直线. 微积分中也经常将常数视为常数函数, 读者可根据具体情况予以识别. () 幂函数 = ( α 为实数 ), 该函数的定义域因 α 的取值不同而不同. 但无论 α 为何值, 它在区间 (, + ) 内总有定义, 且图像过点 (, ). α > 和 α < 时的图像分别如图 -9 和 - 所示. = = = = = = = O O () 指数函数 = > 且 图 -9 图 - ( ), 定义域为 (, +, ) 值域为 ( ), +. α > 时, 函数单调递增 ; α < 时, 函数单调减少. 图像过点 (,). 在科学记数中常用到以 e(e 为无理数, e =.788 ) 为底的指数函数 = e.

17 8 高等数学 (4) 对数函数 = log > 且, 定义域为, +. α > 时函数单调递增 ; < α < 时函数单调减少. 图像过点 (, ). 在科学记数中, 常用到以 e 为底的对数函数, 称为自然对数, 记做 = l. ( ) (, + ), 值域为 ( ) (5) 三角函数. π π 正弦函数 = si 的定义域为 (, + ), 值域为 [, ], 在 kπ kπ+, 上 π π 单调增加, 在 kπ+ kπ+, 上单调减少 ( k Z ), 它是以 π 为周期的周期函数. 余弦函数 = cos 的定义域 值域和周期与正弦函数相同, 在 ( k ) π, kπ 上 π, + π 上单调减少 ( k Z). π π 正切函数 = t, 定义域为 kπ, kπ+ k Z 为周期的周期函数, 在有定义的区间上单调增加. 4 余切函数 cot kπ, k + π k Z 单调增加, 在 k ( k ) +, 是以 π ( ), 值域为 (, ) =, 定义域为 ( ( ) )( ), 值域为 (, ) +, 是以 π 为 周期的周期函数, 在有定义的区间上单调减少. 5 在微积分中还会遇到正割函数和余割函数, 它们的记号和定义分别为 sec =, csc = cos si (6) 反三角函数 反正弦函数. 函数 si 在定义域, + 内不是单调函数, 在该区间内不存 = ( ) π π 在反函数, 但在区间, 上单调增加, 所以在该区间上存在反函数, 称为反正弦函数, π π 记做 = rcsi, 定义域为 [,], 值域为,, 显然 si(rcsi ) =. 反余弦函数. 函数 cos 在区间,π 上单调减少, 存在反函数, 称为反余弦函 = [ ] =, ], 值域为 [ ] 数, 记做 rccos, 定义域为 [,π, 显然 cos(rccos ) =. π π 反正切函数. 函数 = t 在开区间, 内单调增加, 存在反函数, 称为反正 π π 切函数, 记做 = rct, 定义域为 (, + ), 值域为,, 显然 t(rct ) =. = rccot,, +,, π, 显然 cot(rccot ) =. 4 反余切函数. ( ) ( )

18 第 章函数 极限和连续 9.. 复合函数 先来看一个例子, 对于给定的两个函数 : = u 及 ( ) u= +. 由于 = u 的定义域为 全体实数, 故用 + 代替 u 中的 u 时便得到一个新的函数 = +. 这就是说, 函 数 ( ) u = ( ) = + 是由 = u 经过中间变量 u = + 复合而成的. 一般地, 有如下的复合函数的概念 : = f u, u U, u = ϕ, X 且由 X 确定的函数值 定义 7 设函数 ( ) ( ) = ϕ ( ) 均落在函数 = f ( u) 的定义域 U 内, 则 = f ϕ ( ) 称为由 f ( u) u = ϕ ( ) 为里层函数, 称 f ( u) 成的复合函数, 称 u 为中间变量, 称 函数为 u 例 6 设 =, u = si, 因 u = si 的值域含在 = si =. u ( ) = 和 u = ϕ 构 = 为外层函数. 的定义域内, 故它们的复合 复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成. 例如, 由函数 = si u, u = e v, t v= t 复合后可得复合函数 = si e. 函数. 例 7 函数 = si e 是由哪些基本初等函数复合而成的? 解设 u = e, v=, 则.. 初等函数 = si e 是由函数 = siu, u = e v, v= 复合而成的复合 基本初等函数以及对基本初等函数作有限次四则运算与有限次函数复合运算而得到的由一个式子表示的函数叫做初等函数, 否则就是非初等函数. 例如 = +, = 7si9 =, l 等都是初等函数, 而某些分段函数, 如 si, f ( ) = =. 就不是初等函数, 而分段函数 =, 则为初等 函数.( 固 = )..4 函数模型举例 = = 用数学解决实际问题时, 往往要建立相应的数学模型, 其中一类较简单的问题便是建立函数关系. 下面给出几个建立函数关系的实例. O 图 -

19 高等数学 例 8 由直线 =, = 及 轴围成一个等腰直角三角形 AOB, 如图 - 所示, 在底边 OB 上任取一点 [, ], 过 作垂直 轴的直线, 将图上阴影部分的面积表示成 的函数. 解设阴影部分的面积为 S, 当 (, ) 时, S =. 当 [, ] 时, S = ( ) =. 所以 (,) S = [,] 例 9 单利问题. 在金融业务中有一种利息叫做单利, 设 P 是本金,r 是计息期的利率, 是计息期数,I 是 个计息期应付的单利,P 是本利和, 求本利和 P 与计息期数 的函数模型. 解一个计息期的利息为 P r, 个计息期应付的单利为 I = Pr, 本利和为 P = P + I = P + Pr 这便是本利和与计息期数的函数关系, 即单利模型 P = P( + r). 例 复利问题. 设本金为 P, 计息期 ( 如一年 ) 的利率为 r,t 是计息期数. 如果每 P = P + Pr = P + r. 期结算一次, 则第一个计息期满后的本利和为 ( ) 把 P 作为第 个计息期的本金, 则第 个计息期满 ( 如两年 ) 后的本利和为 ( ) 于是第 t 个计息期满后的本利和为 P P ( r) P = P + Pr = P + r = P( + r) t = +, 这就是复利模型. t 例 人口模型. 已知 98 年底我国人口为. 亿, 如果不实行计划生育政策, 按照年均 % 的自然增长率计算, 那么到 年底, 我国人口将是多少? 解设 t 年后我国人口为 P, 已知 98 年底人口为. 亿, 那么. +.. =. +. ( 亿 ), 年后人口为 ( ) =. +. ( 亿 ), 年后人口为 ( ) ( ) ( ) t t 年后人口为 ( ) t P =. +. =.. ( 亿 ), 8 到 年底, 即 8 年后, 我国人口为 P = ( 亿 ). 一般地, 设某地人口为 P, 人口自然增长率为 r, 那么 t 年后的人口 P 为 P P ( r) 这就是某地的人口模型. = +, t 习题.

20 第 章函数 极限和连续. 指出下列各复合函数的复合过程. () si () = = cos ( + ) () = l ( + ) (4) =. 设 f (si ) = cos, 求 f ( cos ).. 设 f ( ) f f ( ) rct = +, 求. 4. 将半径为 R, 中心角为 α 的扇形做成一个无底的圆锥体, 试将圆锥体体积 V 表示为 的函数.. 极限 函数给出了变量间的对应关系, 但研究变量, 仅靠对应关系是不够的, 还需要通过变量变化的趋势来研究. 若一个变量在变化过程中表现出与某一常数无限接近的趋势, 则说此变量在该变化过程中有极限, 并称这常数值为变量的极限. 极限是微积分中最基本最重要的概念... 数列极限 数列是我们熟知的概念, 它本质上是以自然数 为自变量的函数 f ( ) =, 当 依次 取,,, 所得的一列函数值,,,,, 称为无穷数列, 简称数列. 数列中 的各个数称为数列的项, = f ( ) 称为数列的通项, 数列常简记为 { }. 下面分析一个数列的变化趋势, 并由此引出数列极限的概念. 例 早在 年前, 我国春秋战国时期的哲学名著 庄子 记载了庄子的朋友惠施的名言 : 一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. 意思是 : 一尺长的杆第一天截取一半, 第 二天截取余下的一半, 即 4, 如此继续, 每天截取前一天剩余的一半, 以至无穷, 永无止境. 把每天截取的量按顺序写出来就构成等比数列 : 日子序号 4 5 截取量 f() 4 当日子序号 ( 即数列的项数 ) 无限增大时, 对应的截取量 8 6 就无限地接近于, 但又

21 高等数学 永远不等于, 正如 庄子 所说 : 万世不竭. 上述例子反映了一类数列的共同特征 收敛性. 定义 8 设有数列 { } 和常数 A, 若当项数 无限增大 ( 记做 ) 时, 通项 无限接近于 A, 则称常数 A 为数列 { } 的极限, 称数列 { } 收敛于 A, 记做 lim = A或 A( ) 如果数列无极限, 就说数列是发散的. 通过数列的图形容易得到下列数列极限 lim =, lim C = C( 常数 ), lim = 例 设 S q q q = , 其中 q 是实数, 求数列 { } 的极限. q q 解设 q <, 因为 S = + q+ q + + q = =, q q q 所以, 当 q < 时, lim q ( 证明从略 ), 于是 { S } 收敛, 且 lim S 当 q = 时, = S S =, 当 时, S 无限增大, 故 { S } 的极限不存在. =. q 当 q =-时, S = ++ +( ) -, 或为 或为, 其极限不存在. 当 q > 时, 综上所述, 当 q < 时,{ 不存在. q 无限增大, 从而 S 增大 { S } 的极限不存在. S S } 的极限存在, 且 lim S = ; 当 q 时,{ S } 的极限 q.. 函数极限 数列是自变量取正整数时的特殊函数, 我们已经了解数列的极限, 但是微积分的主要研究对象是一般的函数, 因此需研究一般的函数的极限, 需要研究一般函数在自变量变化时函数值的变化趋势. 实际上, 函数极限是微积分学的最基本概念, 微积分中的基本概念都是用极限来定义的, 微积分的理论是建立在极限的基础上的. 例 4 当 无限增大时, 观察函数 f ( ) = 是如何变化的 ( 图 -). 解从图 - 看到, 的值无限增大或无限减小时, 函数值无限地逼近. 这种情况记做 ( ) 或 lim =. f = 是如何变化的. 例 5 当 无限地逼近于 时, 观察函数 ( ) si 解从图 - 看到, 在 的两侧无限地逼近于 时, 函数值 ( 图像上的点的纵坐标 ) si 无限地逼近.

22 第 章函数 极限和连续 这种情况记做 si ( ) 或 lim si = 仔细观察上述两个例子后, 就能够理解函数极限的下述直观描述. o O 图 - 图 - 定义 9 设 = f( ) 是给定函数, 如果自变量 在定义域内按照以下 6 种情形中的某 种趋势变化时, 如 时, 函数值与某个常数 A 可无限接近 ( 甚至相等 ), 则称 f ( ) 在 此变化过程中有极限,A 为其极限, 记做 lim f ( ) = A, 否则称 f ( ) 在此过程中无极限. 关于自变量的变化过程可用以下 6 种不同的符号来表达 : () +: >, 且 的值无限地增大, 读作 趋于正无穷大 ( 包括 只取正整数的情况, 即 ). () : <, 且 的值无限地减小, 读作 趋于负无穷大. () : 无限地增大, 读作 趋于无穷大. (4) + : 大于 且无限地逼近, 读作 趋于 加, 称 lim f ( ) 为 f ( ) 在 点 + 的右极限, 记做 f (+). (5) : 小于 而无限地逼近于, 读作 趋于 减, 称 lim f ( ) 为 f ( ) 在 点的左极限, 记做 f ( ). (6) :, 且 无限地逼近于, 读作 趋于. 应当注意, 具体讨论某一极限时, 在极限记号 li m 的下方必须写明自变量的变化过程, 否则就无意义了. 为了进一步理解函数极限的概念, 再看下述 个例子. 例 6 设 f ( ) =, (,), 则 lim f( ) = ( 图 -4). 例 7 设 g( ) =, (,) (,), 则 lim g= ( ) ( 图 -5).

23 4 高等数学 4 (, 4) 4 (, 4) i (, ) (, ) O.5.5. O O 图 -4 图 -5 = 例 8 设 h ( ) = (,) (, ) 则 lim h ( ) =. 上述 f ( ) g( ) h ( ) 是 个不同的函数, 但 时的极限都是. 个函数的差 别在于定义域不同, 或在 = 处的函数值不同. 这说明在自变量 时, f ( ) 的极限与 函数值 f ( ) 有没有定义, 究竟如何定义毫无关系, 也就是说, 自变量 趋于 并不要求 =, 能否取 值, 并不影响极限的存在及极限的值... 极限的性质两个重要极限 以下极限性质对所有的极限过程均成立, 故略去极限过程的表示, 将极限简记为 lim f ( ) 等.. 极限的性质 设 lim f ( ),lim g( ) 均存在.C 为常数, 则有 : ()lim C = C () lim = ()lim C f ( ) = C f ( ) (4)lim [ f ( ) ± g( )] = lim f ( ) ± lim g( ) (5)lim [ f ( ) g( )] = lim f ( ) lim g( ) f (6)lim () g() = lim f ( ) lim g( ) (lim g( ) )

24 第 章函数 极限和连续 5 (7) lim f ( ) = A f (+) = f ( ) = A( 极限与左 右极限的关系 ) 例 9 求 lim ( 6 ). 解 lim ( 6 )= lim ( ) lim 6 lim = ( lim ) 6 lim lim = 6 = 例 求 lim. 解 ( + + ) ( ) + + lim + + lim = lim = = 例 求 lim 9. 解 lim = lim = lim = ( )( ) 例 求 lim 解 ( )( + ) ( )( )( ) ( )( )( ) 4 lim = lim = lim = lim = = 4 ( )( + ) ( 4 )( 4 + ) 由上述几个例子可以发现, 分母极限 g( ) lim 时, 往往可以直接将 = 代入式子, 即得极限值, 这是初等函数极限的一个特征.. 两个重要极限 si () 重要极限 : lim = si 图 -6 显示了函数在 = 的邻近的变化趋 势. 这一重要极限有两个特征如下. 函数极限是 型. 图 -6 si 后的变量与分母在形式上完全一致, 故只要 lim f( ) =, 便有

25 6 高等数学 si f( ) lim =. f( ) 利用这一重要极限, 可以求得一系列涉及三角函数的极限. t 例 求 lim. t si si 解 lim = lim = lim lim = cos cos rcsi 例 4 求 lim. 解令 t = rcsi, 则 = sit, 于是 rcsi t lim = lim = lim = t si t t si t t rct 同理可得 lim = cos 例 5 求 lim. si si cos 解 lim = lim = lim( ) = () 重要极限 : lim( + ) = e或 lim( + ) = e e 是一个无理数, 其值是 e = , 数 e 是一个重要的常数, 以 e 为底的指数函数 e 及对数函数 l 常出现在重要问题之中. 这个重要极限有两个特征如下. 函数极限是 l 型. 底为两项之和, 第一项是常数, 第 项是无穷小量, 指数为无穷大量, 且与底的第 f ( ) 项互为倒数, 故当 lim f( ) = 时, 有 lim[ + ] = e, 或当 f( ) 且 lim ( ) f( ) f = 时, f ( ) 有 lim[ + f( )] = e. ( ) 利用这一重要极限, 可以求得一系列涉及幂指函数 u ( ) v 的极限. 例 6 求 lim +.

26 第 章函数 极限和连续 7 解 lim lim + = + = e u 例 7 求 lim( ) +. 解 lim( + ) = lim ( + ) = e l ( + ) 例 8 求 lim. l ( + ) 解 lim = lim l ( + ) = liml ( + ) = l lim( + ) = l e = 注 : 本例解法中用到 l 的连续性, 详见下节. e 例 9 求 lim. 解令 t = e, 则 = l(+t), 于是 e t lim = lim = t l + t ( ) 例 求 lim. 解令 = +, 解得 = u +, 当 时, u, 于是, u u+ u lim = lim + = lim + + = e = e u u u u..4 无穷小量和无穷大量 无穷小量和无穷大量是极限过程中常见的两种变量.. 无穷小量 () 无穷小量的概念定义 若函数 f ( ) 在 的某一变化过程中以 为极限, 则称 f ( ) 为该过程中的无 穷小量, 简称无穷小. 例如 : f ( ) =, g( ) = 都是 + 时的无穷小量. 无穷小量是变量, 不是很小的常量, 但常函数 例外, 它符合无穷小量的定义, 是特

27 8 高等数学 殊的无穷小量. 无穷小量在微积分的逻辑体系中具有重要的理论意义. 因为微积分的许多重要概念都以极限为基础, 而极限与无穷小有着密切的联系. 这种联系表现为下面的定理, 称为变量 极限与无穷小的关系定理 ( 证明从略 ). 定理 函数 = f( ) 在 的某个变化过程中以常数 A 为极限的充分必要条件是, 函 数 = f( ) 能表示为常量 A 与无穷小 α 之和的形式, 即 f ( ) = A+α. () 无穷小量的性质下面介绍无穷小量运算的主要性质, 这些性质易于理解, 证明从略. 有限个无穷小量的代数和是无穷小量. 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷小量与无穷小量的乘积是无穷小量. 4 常量与无穷小量的乘积是无穷小量. 例 求 lim si. 解因 si, lim = 故无穷小量 与有界量 si 的积是无穷小量, 于是 lim si =. () 无穷小量阶的比较在数学上, 两个无穷小量虽然都以 为极限, 但它们趋于 的快慢可能相同 也可能不同. 对此, 可以由它们的比值的极限来判断, 并称为无穷小量阶的比较. 定义 设 α与 β 是同一极限过程中的两个无穷小量, α 如果 lim β =, 则称 α 是比 β 高阶的无穷小, 记为 α = o( β ). 如果 lim α β =, 则称 α 是比 β 低阶的无穷小. α 如果 lim C β =, 则称 α 与 β 是同阶的无穷小. α 4 如果 lim β =, 则称 α 与 β 是等阶的无穷小, 记为 α ~ β. 例如 : 因 lim =, 故当 时, 是比 高阶的无穷小. 因 lim =, 故当 时, 与 是同阶的无穷小.

28 第 章函数 极限和连续 9 si 因 lim =, 故当 时, si 与 是等价的无穷小.. 无穷大量 定义 若函数 f ( ) 在 的某一变化过程中, 其绝对值 f ( ) 无限增大, 则称 f ( ) 为 上述过程中的无穷大量 ( 简称无穷大 ), 记做 lim f( ) =, 其中 lim 是简记符号, 可表 示成 ( 或 +, ), ( +, ) 如 : 函数 f( ) =, 当 时, f( ) = 无限增大, 则由无穷大定义知, f( ) = 是当 π 时的无穷大量, 即 lim =. 因为 lim t =, 所以 t 是 时的无穷大量. π e 无穷小与无穷大之间有一种简单的关系, 即定理 在自变量 的某个变化过程中, () 如果 f ( ) 是无穷大量, 那么是无穷小量 ; f () 如果 f( ) 且 f( ) 是无穷小量, 那么是无穷大量. f( ) ( ) 证明从略. 例如 : 当 时, 是无穷小量, 是无穷大量 ; 当 +时, e 是无穷大量, 是无穷小量. 在求极限时, 经常要用到无穷小量与无穷大量的这种倒数关系. 习题.. 下列变量在给定的变化过程中, 哪些是无穷小量? 哪些是无穷大量? () + + = ( ) () = ( ) 9 () + = ( ) (4) = l ( ). 求下列极限. + () lim () lim 9 si (5) lim si5 4 + () lim + + (4) lim + rcsi 6 (6) lim si

29 高等数学 (7) lim si π π + (9) lim + +. 讨论 lim 是否存在. (8) lim + 6 () lim.4 函数的连续性 连续函数是微积分的主要研究对象, 而且微积分中的主要概念 定理 公式 法则等往往要求函数具有连续性. 本节将以极限为基础, 介绍连续函数的概念 连续函数的运算及连续函数的一些性质..4. 连续函数的概念 定义 若函数 = f( ) 在 = f( ) 在 处连续, 称为函数 = f( ) 的连续点. O f ( ) 若函数 = 图 -7 f ( ) + 的一个邻域内有定义, 且 lim f ( ) f ( ) =, 则称函数 设 =, 且称之为自变量 的改变量, 记 = f + f, 称为函数 = f ( ) f ( ) 或 ( ) ( ) = f( ) 在 处的增量 ( 图 -7), 那么函数 = f( ) 在 处 连续可以叙述为 : 定义 4 设函数 = f( ) 在 的一个邻域内有定义, 且 f ( ) f ( ) = 或 f ( ) f ( ) lim lim + =, 即 lim =, 则称函数 = f( ) 在 处连续. 上述定义 4 表明, 函数 = f( ) 在 处连续的直观意义是 : 当自变量的改变量很小时, 函数相应的改变量也很小. 由函数 f ( ) 在 = 处连续的定义知, lim f ( ) = f( ). = f( ) 在 处有 lim f ( ) = f ( ) 或 lim f ( ) = f ( ), 则分别称函数 = f( ) + 在 处是左连续或右连续. 由此可知, 函数 = f( ) 在 处连续的充要条件可表示为 : lim ( ) ( ) lim ( ) f = f = f, 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点左 右连续. + 如果函数 = f( ) 在开区间 (, b) 内的任意一点都连续, 则称此函数为区间 (, b) 内的连

30 第 章函数 极限和连续 续函数 ; 如果不仅在开区间 (, b) 内连续, 而且 f ( ) 在左端点 处为右连续 右端点 b 处为 左连续, 则称 = f( ) 是闭区间 [, b] 上的连续函数. 例 证明函数 = 在 = 处连续. 证当自变量 的增量为 时, 函数 = 对应的增量是 = ( + ) = + ( ) 由于 lim = lim + ( ) =, 因此 = 在 处连续. 根据定义, 函数 = f( ) 在点 处连续的条件如下. () 函数 = f( ) 在点 处有定义, 即 ( ) () lim f ( ) 存在. () lim f ( ) = f ( ) f 存在. 以上 个条件同时满足, 则函数 f ( ) 在点 处连续. 其中任何一个条件不满足时, 则 函数 f ( ) 点 处都是间断的. f =, 虽然 lim f =, 但此函数在 = 处无意义, 故 = 处是间断 例如函数 ( ) ( ) 点. 又如 因 lim f ( ), f ( ) = <. 不存在, 故 = 是间断点..4. 初等函数的连续性 根据连续函数的定义, 利用极限的四则运算法则, 可得下面的定理 : 定理 如果函数 f ( ) 和 g( ) 都在点 处连续, 那么它们的和 差 积 商 f ( ) f ( ) ± g( ), f ( ) g( ), ( 在商的情况下要求 g( ) ) 在 处也连续. g( ) 定理 4 设函数 = f (u) 在 u 处连续, 函数 u = ϕ ( ) 在 处连续, 且 u ϕ ( ) 函数 f ( ϕ ( ) ) 在 处连续. =, 则复合 定理 5 ( 反函数的连续性 ) 如果函数 = f( ) 在某区间 I 上单调增 ( 或单调减 ) 且连 续, 则其反函数 = ϕ ( ) 在对应的区间 { f( ), I} = 上连续且单调增 ( 或单调减 ). 证明从略. 根据上述定理 和定理 4, 可以得到关于初等函数连续性的定理 :

31 高等数学 定理 6 初等函数在其定义区间内是连续的. 定理 4 说明, 今后在求初等函数定义区间内各点的极限时只要计算它在指定点处的函数值即可. 例 求 lim cos( ) π π. 解因为函数 cos( ) 例 4 求 lim 解 = π 是初等函数, = π 是定义域内一点, 于是 ( ) ( ) lim cos π = cos π π = cos = π +. ( + )( + + ) ( + + ) + lim = lim = lim = = 闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有重要的性质, 它们的证明涉及严密的实数理论, 这里可以借助几何直观来理解. 定理 7 ( 最大值和最小值定理 ) 闭区间 [, b] 上的连续 C = f ( ) 函数一定存在最大值和最小值. B 如图 -8 所示, 曲线弧 AB 是闭区间 [, b] 上的连续函 A D 数 = f( ) 的一段, 在该曲线上, 至少存在一个最高点, D, f, 显然 O 图 -8 b C( f ( ) ), 也至少存在一个最低点 ( ( ) ) f ( ) f ( ) [ b], f ( ) f ( ) [ b] f ( ) 和 f ( ) 分别是 ( ) (, ) (, ) f 在闭区间上 [, b] 的最大值 和最小值. 定理 8 ( 介值定理 ) 设函数 f ( ) 在闭区间 [, b] 上连 续, 且 f ( ) f ( b), 则对于 f () 与 f (b) 之间的任何数 C, 总存在点 ξ ( b, ), 使得 f ( ) ξ = C. 该定理也可以叙述为 : 闭区间 [, b] 上的连续函数 f ( ), 当 从 变到 b 时, 要经过 f () 与 f (b) 之间的一切数. 如图 -9 所示, 闭区间 [, b] 上的连续函数 f ( ) 的图像从 A 画到 B 时, 至少要与直线 = C 相交一次. 本图中有 个交点, 它们的横坐标为 ξ, ξ, ξ ( b)., 由定理 8 可得如下推论 : 推论 在闭区间 [, b] 上的连续函数 f ( ), 必然取介于最大值 M 和最小值 m 之间的

32 第 章函数 极限和连续 任何数. 推论 ( 根存在定理 ) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, b] 上连续, 且 f ()f (b) <, 则至少存 在一个点 ξ ( b, ), 使得 ( ) f ξ = ( 图 -). = f ( ) ξ ξ ξ O ξ b 图 -9 图 - π 例 5 证明方程 si = 在区间, π 内至少有一根. π 证设函数 f ( ) = si, 由于它是初等函数, 所以 f ( ) 在, π 上连续, 又 π π f( ) = <, f( π ) =π> π π 即 f ( ) 与 f ( π) 异号, 由根的存在定理可知, 方程 si = 在闭区间, π 上至少存在一个根 ξ, 使 ξ siξ =. 习题.4. 讨论函数 f ( ) = 的连续性, 并画出函数的图形. <. 设 ( ) e + < f = k = 为连续函数, 问 k 取何值. si >. 求下列函数的极限. () lim 5 4 () lim + () lime + (4) liml(si ) π

33 4 高等数学 (5) ( ) π si si (6) lim lim t (7) lim ( ) + 4. 设 f ( ) + (8) lim( + cos ) sec π e < =, 应当怎样选择数, 使得 ( ) 证明方程 = 至少有一个根介于 和 之间. f 在 (, ) + 内连续. 复习题 一 选择题.. 函数 = cos 在区间 ( ) 内有界. A. (, + ) B. (, + ) C. (, + ) D.(, ). 曲线 = e 与 = l ( ). A. 是同一条曲线 B. 关于 轴对称 C. 关于 轴对称 D. 关于直线 = 对称. 下列函数为复合函数的是 ( ). A. = + + B. = si l C. = rccos( + e ) D. = t 4. 当 时, si 是 ( ). A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 无穷变量 D. 有界变量 5 5. lim = ( ). 5 5 A. B. 6. 当 时, 与 + 等阶的无穷小量是 ( ). C. D. A. B. C. D 函数 f( ) = 的间断点是 ( ). 6 A. = B. = C. = 和 = D. 不存在 8. 函数 f( ) = 在 = 处 ( ). <

34 第 章函数 极限和连续 5 A. 左连续 B. 右连续 C. 连续 D. 左右都不连续 e > 9. 设函数 f( ) = 在 = 处连续, 则 k =( ). + k A. B. C. D.. 若函数在区间 I 上连续, 且在该区间上取得最大值与最小值, 则 I 为 ( ) A. (, +) B.[, b] C.(, b) D. [ b, ) 二 填空题.. 函数 = e 的定义域是.. 已知 f( + ) = , 则 f ( ) =.. 设 f ( ) =, ϕ( ) =, 则 f [ ϕ ( )] =. si k 4. 若 lim = 5, 则 k =. 5. 若 α =, 则当 时, t 与 α 等阶. 6. lim 7. 若 lim 7 5 ( ) + =. + k 为有限值, 则 k = 函数 f( ) = 的间断点为. ( ) si 9. 设 f( ) = 在 = 处连续, 则 =. = f( ). 设 f ( ) 在 = 处连续, 且 lim =, 则 f () =. 三 解答题.. 已知 f ( ) = + b+ c, 且 f( ) = f() =, f() =, 求 b c. (e ). 判断函数 f( ) = 的奇偶性. e +. 求 lim [l( + ) l ] 证明方程 e = 在区间 (,) 内至少有一个根. 5. 当某商品调价的通知下达后, 有 % 的市民听到此通知, 两小时后,5% 的市民知道这一消息, 假定消息按规律 Yt () = 传播, 其中 Y(t) 表示 t 小时后知道此消息的人口比例,c 与 k 为正常数. + c e kt () 求 lim Y( t) t +, 并对结果做出解释. () 多少小时后有 75% 的市民知道这一消息. 6. 某企业对一产品的销售策略是 : 购买不超过 kg, 每公斤 元 ; 购买不超过 kg, 超过 kg

35 6 高等数学 的部分每公斤 7 元 ; 购买超过 kg 的部分, 每公斤 5 元. 试写出购买量为 的费用函数 C ().

36 第 章一元函数微分学 学习要求 :. 理解导数和微分的概念, 理解导数 微分的几何意义.. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法, 掌握基本初等函数的导数公式, 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性.. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶 二阶导数, 会用罗必达法则求不定式的极限. 4. 掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法, 会用导数判断函数图形的凹凸性, 会求拐点, 会求较简单的最大值和最小值的应用问题. 数学中研究导数 微分及其应用的部分叫微分学. 本章主要内容有导数 微分的概念与导数 微分的运算法则以及导数的应用等.. 导数的概念.. 瞬时速度曲线的切线斜率. 变速直线运动的瞬时速度 从物理学中知道, 如果物体作直线运动, 它所移动的距离 s 是时间 t 的函数, 记为 s = s(t), 则从时刻 t 到 t + t s s( t + t) s( t) 的时间间隔内的平均速度为 =. 在匀速运动中, 这 t t s 个比值是常量, 但在变速运动中, 它不仅与 t 有关, 而且与 t 有关, 当 t 很小时, 显然 t s 与在 t 时刻的速度相近似. 如果当 t 时, 平均速度的极限存在, 那么, 这个极限 t 值显然就是物体在时刻的瞬时速度, 记做 vt, 即 t ( ) ( + ) ( ) vt ( ) = lim t t s t t s t

37 8 高等数学 = f(). 曲线切线的斜率 在点 α 图 - 在中学时学过, 切线定义为与曲线只交一点的直线. 这种定义只适合于少数几种曲线, 如圆 椭圆等, 对高等数学中研究的曲线就不适合了. 下面给出一般曲线切线的定义. 设点 M 是曲线 L 上的一个定点, 点 M 是动点, 当点 M 沿着曲线 L 趋向于点 M 时, 如果割线 MM 的极限位置 M T 存在, 则称直线 M T 为曲线 L 在点 M 处的切线 ( 如图 -). 下面求曲线的切线斜率 : 设曲线方程 = f( ) ( 图 -) M (, ) 的附近取一点 M (, ) f ( + ) f ( ) 于是切线 TM 的斜率为 t = + +, 那么割线 MM 的斜率为 ( + ) ( ) lim f f... 导数的定义 上述两个例子尽管实际意义不同, 但从数量关系分析上看, 都是研究函数的增量与自变量增量比的极限问题, 这类问题在其他问题里也会遇到, 由此, 可从它们中抽象出导数的概念. 定义 设函数 = f( ) 在 的某一邻域内有定义, 当自变量 在 处有增量 时 + 仍在该邻域内, 相应的函数有增量 = f( + ) f( ). 如果极限 f ( + ) f( ) lim = lim 存在, 则称 = f( ) 在 处可导, 称极限值为 f ( ) 在 处的导数, 通常记为 df d f ( ) 或 = 或 =, = d d 如果上述极限不存在, 则称 f ( ) 在 处不可导. 是自变量从 变到 + 时函数 f ( ) 的平均变化速度, 称为函数的平均变化率, 而导数 f ( ) = lim 是函数在 处的变化速度, 称为函数 f ( ) 在 处的瞬时变化率, 于是导数可简单地表述为 : 导数是平均变化率的极限. 如果函数 = f( ) 在区间 (,b) 内的每一点处都可导, 则称函数 f ( ) 在区间 (,b) 内可导,

38 第 章一元函数微分学 9 这时, 函数 = f( ) 在区间 ( b, ) 内的每一 值都对应着一个确定的导数 f ( ), 则 f ( ) 是 的函数, 称为函数 f ( ) 的导函数, 通常仍称为导数, 记做 或 f ( ) 或. 显然, 函数 = f( ) 在 处的导数 f ( ) 就是导函数 f ( ) 在 = 处的函数值, 即 ( ) = ( ) f f = 下面研究函数可导与连续的关系. 设函数 = f( ) 在 处可导, 即 lim = f ( ) 存在, = + α, 其中 lim α =. 上式两边同乘以 = f + α. 由具有极限的函数与无穷小的关系知道 f ( ), 得 ( ) 由此可见, 当,, = f( ) 在 处连续. 也就是说, 如果函数 = f( ) 在点 处可导, 那么函数在该处一定连续, 但它的逆命题不成立. 如 = 在 = 处连续但不可导... 用导数的定义求导数 根据导数定义求导数, 可归纳为以下 个步骤. () 对给定的, 求出相应的函数改变量 = f( + ) f( ). () 计算并化简 ; () 求 lim. 例 证明常数函数的导数恒等于. 证设 = f( ) = C(C 为常数 ) () = f( + ) f( ) = () = () lim = 故 f 例 求函数 ( ) = = 的导数. 解 () = ( + ) = + ( ) () = + ( C ) =.

39 高等数学 lim = lim + = () ( ) 故 ( ) =. 一般地, 对于幂函数 f ( ) α ( α (, )) =. α α = + 的导数, 有 ( ) α 这就是幂函数的求导公式. 利用此公式可以很方便地求出幂函数的导数. 例如 : ( ) ( ) = =, = = = 例 求 = f( ) = si 的导数. 解 () = si ( + ) si = cos + si si () = cos + si () lim = lim cos + = cos 故 si = cos, 类似地, 可以证明 cos = si. ( ) ( ) 例 4 求 = f ( ) = l 的导数. 解 ( ) l + l = lim = lim l + 即 = lim l lim l + = + = l e = ( l ) =

40 第 章一元函数微分学..4 导数的几何意义 根据导数定义及曲线的切线斜率的求法可知, 函数 = f( ) 在 处的导数的几何意义, 就是曲线 = f( ) 在点, f ( ) 处的切线的斜率, 即 tα = f ( ) (α 为切线倾斜角 ( ) π 且 α ). 由此可知, 曲线 法线方程为 : = f( ) 上点 P 处的切线方程为 ( )( ) = f = f ( ) ( )( ( ) ) f 例 5 求曲线 = 在点 (,) 处的切线和法线方程. 解由导数的几何意义可知, 曲线在点 (,) 处的切线斜率 k = = =, 则所求切线 方程为 = ( ) 即 =, 所求法线方程为 = ( ), 即 + =. 习题.. 根据导数的定义求下列函数在指定点的导数. f = + = () ( ), () ( ) f =, =. 求下列给定曲线在指定点处的切线方程和法线方程. () 过曲线 = 上的点 (4,) () 过曲线 = si 上的点 (π,). 设函数 f ( ) = + b > 4. 试指出抛物线 = 上哪些点的切线具有下列性质., 为使 f ( ) 在 = 处可导, 应如何选取常数,b? () 平行于 轴 () 与 轴成 45 () 与直线 = + 平行 5. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度 T 与时间 t 的函数关系为 T = T(t), 应怎样确定物体在时刻 t 的冷却速度?. 求导法则 在上一节中, 按照导数的定义求出了一些简单函数的导数, 但是对于比较复杂的函数, 直接根据定义来求它们的导数相当麻烦, 有时还很困难. 本节将介绍求导数的法则和基本初等函数的求导公式, 以解决初等函数的求导问题.

41 高等数学.. 函数和 差 积 商的求导法则 定理 设 u = u() 和 v = v() 是 的可导函数, 且 v ( ), 则 证在这里仅证明 ( ) u± v = u ± v ( ) uv = u v + uv ( ) u+ v = u + v. u u v uv = v v ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) u v u v u( ) + v( ) = lim u( + ) u( ) v( + ) v( ) = lim + lim = u + v ( ) ( ). 特别地, 若令 v() = C(C 为常数 ), 则 Cu ( ) = Cu ( ). 例 6 设 f ( ) = + si cos+ 9, 求 f ( ) = + + 解 f ( ) ( ) ( si) ( cos) ( 9) = + cos + si. 例 7 设 f ( ) = l, 求 f ( ) f = l = l + l = l + = l + f. 解 ( ) ( ) ( ) ( ) 例 8 设 f ( ) log =, 求 ( ) l = = = l l l. 解 f ( ) ( l ). 例 9 设 f ( ) = t, 求 f ( ) 解 ( ) si ( si ) cos si ( cos ) cos + si = = = = = sec cos cos cos cos f t = sec cot = csc ( ) ( ) f = 求 f ( ). 即. 类似地得. 例 设 ( ) sec 解 si f ( ) = sec t ( csc ) = =, 类似地得 = csc cot. cos cos

42 第 章一元函数微分学.. 复合函数的求导法则 定理 ( 链式法则 ) 设 = f ϕ ( ) 是由函数 = f ( u) 和 u ϕ ( ) 并设函数 u = ϕ ( ) 可导, = f ( u) 也可导, 则复合函数 = f ϕ ( ) u d d d = u d du d ( ( ) ( ) 表示 对中间变量 u 的导数, 而 u ϕ ( ) = 复合而成的函数, 的导数为 也可表示为 = u u ( ) ) = f ( u) u ϕ ( ) ϕ 或 f ϕ, 其中 = 表示 对 的导数, f u 表示中间变量 u 对 的导数. 证明从略. 上述法则表明 : 复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. = +, 求. 例 设 ( ) 解 设 = u, u 例 设 = l t, 求. = +, 则 u u 6( ) = = = +. u sec 解设 = l u, u = t, 则 = uu = sec = = sec cot. u t 熟练掌握复合函数的求导方法后, 就不必写出中间变量了, 可采用如下两例的方法 : 例 设 = l cos, 求. 解 = ( cos ) = si = t cos cos 例 4 设 = l + si, 求. 解 ( ) d = + d + si ( si ) si = si (si ) = si cos = + si + si + si.. 反函数的导数 定理 如果单调函数 = ϕ ( ) 在 处可导, 且 ( ) ϕ, 那么它的反函数 = f( ) 在 d 对应的 处可导, 且有 f ( ) = 或 =, 即反函数的导数等于原来函数导数的倒数. ϕ ( ) d d d

43 4 高等数学 证证明定理的后半部分. 设 = f( ) 可导, 且 = f ϕ ( ) 对该式两边求关于 的导数, 得 = f ( ) ϕ ( ). 因 ϕ ( ), 得 则有 f ( ) =. ϕ ( ) 例 5 求函数 = rcsi ( < <) 的导数. 解 π π d = rcsi 是 = si 在, = si = cos 上的反函数, 可导, 且, d = = = = cos si 用类似的方法可得 ( rccos ) ( rct ) ( rc cot ) =, =, =. + + 例 6 求 = ( > ) 解 且的导数. = 是 = log l l 的反函数, = 则 = = =, 即 l 特别地 (e ) = e. ( ) l =...4 隐函数的导数如果方程 F(, ) = 确定了 是 的函数, 那么, 这样的函数叫做隐函数. 设隐函数 关于 可导, 可根据复合函数求导法则求出函数 对 的导数, 以例示之. 例 7 方程 + l = 确定了 是 的隐函数, 求. 解因为 是 的函数, 所以 l 是 的复合函数, 于是方程两端对 求导有 + = 解出, 得 例 8 求圆 =. + = 4 上一点 M (, ) 处的切线方程.

44 第 章一元函数微分学 5 解根据导数的几何意义, 先求隐函数 的导数, 方程两边对 求导, 有 + =, 解得 =, 即有 = =. (, ) (, ) 根据直线的点斜式方程, 可得所求圆的切线方程为 例 9 求 = ( > ) 的导数. 解 两边分别取自然对数, 得 l = = ( ). l, 两边再对 求导得 ( l ) ( l ) = + = + l = +, 从而 上例中先取对数再求导数的方法称为对数求导法, 该方法除适用于幂指函数 v ( ) ( ) ( ) = u ( u > ) 外, 也适用于含有多个因式相乘除或开方的函数. 例 ( )( ) ( )( ) + + 求 = 的导数 解先对原式两边取对数, 得 l = l ( + ) + l ( + ) l ( + ) l ( + 4), 上式两边对 求导得 : = , 于是 = 高阶导数 那么就 一般地, 函数 f( ) 把 f ( ) = 的导数 = f ( ) 仍然是 的函数. 如果导函数 f ( ) 的导数称为函数 = f( ) 的二阶导数, 记做 f ( ), 即 = ( ) 或 f ( )=( f ( )). 类似地, 二阶导数的导数称为函数 = f( ) 的三阶导数, 记为 f ( ) 或. 一般地, 如果 的 阶导数, 记为 f f ( ) 的 ( ) 阶导数 ( ) ( ) 或 ( ) f ( ) ( ) 仍然可导, 仍是 的可导函数, 则它的导数称为 f ( ) ( (, 即 f ) ( ) = f ) ( ) ( ) ( ) 或.

45 6 高等数学 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 显然, 求高阶导数的方法就是逐次求导, 直求到所需要的阶数, 原则上不需要任何新的方法. 例 求 = e 的 阶导数. 解 = (e ) = e, = ( ) = (e ) = e, 一般地, 例 求 = si 的 阶导数. ( ) π 解 = cos = si +, π π π = cos + = si + +, π π = cos + = si +, 一般地, 可得 用类似的方法可得 例 解 一般地, 可得 ( ) = e. π = si + ( ) ( cos ) π = cos + 求函数 = l( + ) 的 阶导数. ( 4), ( ), ( ), 4 + ( + ) ( + ) = = = =. 求下列函数的导数. ( ) ( ) = 习题. ( ) ( + )!. () = + 6 () = l ( ) ( + ) () = e cos (4) = t sec l cot (5) = (6) = +,

46 第 章一元函数微分学 7. 求下列函数的导数. ( ) 5 () = + () = () = si( + ) (4) = l ( + ) ( ) ( 5) = si + si (6) = l l. 求下列函数的导数. () = rcsi ( + ) () ( ) = e cos ( 4) = e 4. 求由下列方程所确定的隐函数 对 的导数. = rccos () + + = () = cos + () ( ) = (4) e = 5. 求下列方程所确定的隐函数 = f ( ) 在给定点处的导数. () + =,(,) () e + l =,(,) 6. 求下列函数的二阶导数. () = + () rcsi = e () cos (4) = rcsi = ( ). 微分.. 微分概念 在实际问题中, 常常会遇到这样的问题 : 当自变量 有微小变化 时, 求函数 = f( ) 的微小改变量. 对于复杂的函数, 差值 = f ( + ) f ( ) 是一个更复杂的表达式, 不易求其值. 这时, 们设法将 表示成 的线性函数, 就 可把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的数学模型. 先看下面的例子. 设有一边长为 的正方形铁皮, 则面积 S 为 S =, 当铁皮均匀加热后, 边长伸长 时, 面积改变量为 ( S = + ) = + ( ) 如图 - 所示 S 由两部分构成, 一部分是两个长方形面积之和, 一部分是小正方形的面积. 当 很小时,( ) 可忽略不计, 于是 S 的数值取决于第一部分, 显然 图 -

47 8 高等数学 是关于 的线性表达式, 这样, 就可以放弃更微小部分 ( ) 而把线性部分 作为面积改变量 s 的近似值, 即 S = + = ( ) ( ) 这就完成了差值的线性化. 在 S 的表达式中, 关于 的线性部分 称为函数 S = 的微分. 由上例, 可以抽象出微分概念. 定义 如果函数 = f( ) 在点 处可导, 则把函数 = f( ) 在 处的导数 f ( ) 与自变量在 处的增量 之积 f ( ) 称为函数 = f( ) 在点 处的微分, 记做 d, 即 ( ) d = f, 这时称函数 = f( ) 在 处可微. 对自变量 的微分, 可以认为是对函数 = 的微分, 有 d = d= =. 于是 d = f( ) 的微分又可记为 d = f ( ) d, 由此式可得 = f ( ). d 这就是说, 函数 = f( ) 的微分 d 与自变量的微分 d 之商等于函数 = f( ) 的导 数. 因此, 导数也叫微商. 由此可见, 函数 = f( ) 在 处可微与可导等价, 即 d d = f ( ) d = f ( ). d.. 微分的几何意义 如图 -,MT 是曲线 = f( ) 上一点 M 处的切线, 设它 与 轴的正向的夹角为 α, QP = MQ t α = f ( ), 所以 d = QP, 即函数 = f( ) 在 处相对于 的微分 ( ) d = f. 它表示曲线上点 M 处切线的纵坐标的改变量... 微分公式和法则 由微分定义可知, 只需求出 f ( ) =, 再乘以自变量的微分 d, 即得函数 = f( ) 的微 分. 可见求微分归结于求导数, 并不需要新方法, 因而求导数和求微分的方法统称为微分法. 现在把导数公式和法则与对应的微分公式和法则排列出来, 以便比较和记忆. (. 导数公式和微分公式 C = ) ( ) d( C ) = u u u u ( ) ( ) d( ) = u = u d O = M f ( ) i α N 图 - i i P d Q + T

48 第 章一元函数微分学 9 l l = () ( log ) = d ( log ) (4) ( ) ( ( ) d l 5) ( ) = l d( ) (6) ( si ) = cos d ( si ) (7) ( cos ) = si d ( cos ) (8) ( 9) d = l d = = ld = cos d = si d ( t ) = sec ( ) = d t sec d ( cot ) = csc ( ) = () ( sec ) = sec t ( ) () ( csc ) = csc cot d ( csc ) () ( ) d cot csc d d sec = sec t d = csccotd rcsi = d( rcsi) = d rccos = d( rccos) = d rct = d( rct) = d + + rc cot = d( rccot) = d + + () ( ) (4) ( ) (5) ( ). 导数法则和微分法则 () ( u± v) = u ± v d( ) () ( ) uv u v uv ( ) = + d( ) u± v = du± dv uv = vdu + udv u u v uv d d = d u v u u v = v v v v (4) = u d= u d u..4 一阶微分形式不变性 定理 4 不论 u 是自变量还是中间变量, 函数的微分形式总是 d = f u du. u ( )

49 4 高等数学 证当 u 是自变量时, 由微分定义可知 d f ( u) du ( ) 均可微, 则复合函数 = [ g( )] 的微分有 ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) du. 此性质称 微分 不变性. u= g f =, 当 u 为中间变量时, 设 = f( u), d = d= f u g d= f u du. 即 d = f u u. 由此可见, 不论是自变量还是中间变量, 函数的微分形式总是 d = f u 为一阶形式 例 4 = cos (+), 求 d. 解 d = si (+)d(+ ) = si (+)d 例 5 = + e, 求 d. l ( ) e 解 d = d( + e ) = + e + e si 例 6 = e, 求 d =π. si 解 ( ) d si d e d si e cos d si = =, 从而 d = π e cos π =π d = d 导数又称为微商, 用此方法可计算参数方程的导数. π 例 7 求椭圆 = cost, = bsi t( t π ) 在 t = 所对应点 M 处的切线方程. 解依题意, 点 M 坐标为, b, 其切线 斜率 d bcostdt b k = = = d sitdt π π t= t= 故切线方程为 b b= 由于微分是函数增量的近似值, 即 = f ( + ) f ( ) d = f ( ) 因此有 f + f + f ( ) ( ) ( ) 令 = +, =, 则 f ( ) f ( ) + f ( )( ). ( ) ( ) = 时, 如果 很小, 则有 + ( ) 应用 f ( ) f ( ) + f ( ) 得到如下几个常用的近似值公式. 特别地, 当 f f f. () + + () e (4) si (5) t 例 8 计算 si 的近似值. + () ( ) l +

50 第 章一元函数微分学 4 解 π π π 设 f ( ) = si, = =, = =, 则 f ( ) = cos, f = 于是 π π π π π π si = si + si + cos = 例 9 求.97. 解.97 = + (. ). 取 =., =, 利用公式 + +, 得 习题.. 设 的值从 = 变到 =., 试求 = 的增量 和微分 d.. 求下列函数的微分. () = + 4 () = si + () = (4) = e d. 求下列参数方程所确定的函数的导数 d. t () = = 4t 4. 计算下列函数的近似值. rcsi = l( + t ) () = t rctt () cos 9 () =. 5. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立. ( ) d( ) = d () d( ) = d () d( ) = cos d (4) d( ) = e d l (5) d( ) = d (6) d( ) = d.4 中值定理与罗必达法则.4. 中值定理微分中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关

51 4 高等数学 系, 因而称为中值定理. 下面只利用导数的几何意义从几何图形上说明而不加证明地介绍几个中值定理. 定理 5 ( 罗尔定理 ) 如果函数 = f( ) 满足条件 :() 在闭区间 [,b] 上连续,() 在开区间 (,b) 内可导,()f () = f (b) 则至少存在一点 ξ ( b, ) f ( ξ ) =, 使得. 罗尔定理的几何意义为 : 如果连续光滑曲线 = f( ) 在 [,b] 上的两个端点的值相等, 且在 (,b) 内每点都存在不垂直于 轴的切线, 则至少有一条平行于 轴的切线 ( 图 -4). 注意 : 定理中 个条件缺一不可, 否则结论可能不成立. C C B A B A O ξ b O ξ b 图 -4 图 -5 例 f ( ) 4 解 f ( ) = 4+ 为二次多项式, 故处处连续可导, 且 f ( ) f ( ) = + 在 [,] 上是否满足罗尔定理? 若满足, 找出定理中的 ξ. =, 满足罗尔定 理中的 个条件. 因 f( ) = 4, 令 f( ) =, 得 =, 故可取 ξ =, 作为满足罗尔定理的中值点 ξ. 定理 6( 拉格朗日定理 ) 如果函数 = f( ) 满足条件 : () 在闭区间 [,b] 上连续. () 在开区间 (,b) 内可导. 则在 (,b) 内至少存在一点 ξ, 使得 或写成 ( ξ ) f = ( ) f ( ) f b b ( ) ( ) = ( ξ )( ) f b f f b 拉格朗日中值定理的几何意义 : 若连续曲线 = f( ) ( b, ) 的弧 AB 除端点外处处具有不垂直于 轴的切线, 则在这弧上至少存在一点 C, 使曲线在 C 点的切线平行于弦 AB ( 图 -5). 格朗日中值定理中, 若 f = f b, 则这个定理就变成罗尔定理. 在拉 ( ) ( ) 推论 设函数 f ( ) 在 ( b, ) 内可导, 且 f ( ), 则 f ( ) 数, 即 f ( ) 常数. 证在 (, ) b 内任取两点 < 在该区间内是一个常数函 和 ( ), 则由拉格朗日中值定理可知, 存在 ( b, ) ξ,

52 第 章一元函数微分学 4 ' 使得 f ( ) f ( ) = f ( ξ )( ) =, 即 f ( ) = f ( ). 因, 是 (, ) f ( ) 在 ( b, ) 内的函数值是相等的, 即 f ( ) 为常数函数. 推论 设函数 f ( ) 和 g( ) 在 ( b, ) 内可导, 且它们的导数处处相等, 即 f ( ) g ( ) 则 f ( ) 和 g( ) 相差一个常数, 即 ( ) = ( ) +, (, b) f g C 证令 F( ) = f ( ) g( ), 则 F = f g. ( ) ( ) ( ) ( ) 由推论 知, F( ) 在, b 内为一常数 C, 即 ( ) ( ) =, (, ) f g C b b 内任意两点, 故 例 设函数 f ( ) = l, 在闭区间 [,e] 上验证拉格朗日中值定理的正确性. 解 设 函数 f ( ) = l在 [,e] 上连续, 在 (,e) 内可导, 且 f () =, f ( e) =, f ( ) =. ( e) ( ) f ( e) f ( ) =, 从而得 ξ = e. 故可取 ξ = e, 使 f ( ξ ) = f f e ξ 拉格朗日中值定理可用来证明一些不等式. 例 证明 si si b b 证 故 令 f ( ) = si, 则 f ( ) 在 [,b] 上满足拉格朗日中值定理, 有 si si b= (cos ξ)( b), ξ (, b) si si b = cosξ b b e =, 成立..4. 罗必达法则 当在某一极限过程中, 不妨以 为例, 两个函数 f ( ) g( ) 都趋近于 或都趋向 ( ) ( ) f 于无穷大, 这时极限 lim g 可能存在, 也可能不存在. 若存在, 其极限值也不尽相同, 通常把这种极限叫做未定式, 并分别简记为型或型. 对于这样的未定式极限, 不能直 接利用极限的四则运算法则来计算. 下面要介绍的罗必达法则, 它提供了用导数求未定式极限的简便有效的方法. 定理 7 ( 罗必达法则 ) 设函数 f ( ) 和 g( ) 在 = 附近 ( 点可以除外 ) 可导, 如果 () f ( ) g( ) 或 f ( ) g( ), 且 g( ) lim = lim = lim = lim =

53 44 高等数学 f 则 lim g ( ) ( ) ( ) ( ) f () lim 存在 g ( ( 或为 ) 存在或为 且 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f lim = lim g g 上述定理中的 可以是有限数, 也可以是无穷大, 可以是双侧极限, 也可以是单侧极限. 定理证明从略. 4 例 求 lim. 8 解这是型, 应用罗必达法则, 得 4 5 lim = lim = 8 6 si m 例 4 求 lim. si si m mcos m m 解 lim = lim = si cos f ( ) 若 lim 仍属或型未定式, 且 f ( ) g ( ) 满足 f ( ) g( ) 所要满足的条件, g ( ) 那么可连续使用罗必达法则. cos 例 5 求 lim. si cos cos + si si + si + cos cos 解 lim = lim = lim = lim + si cos si si = π rct 例 6 求 lim. + π rct 解 + lim = lim = lim = 例 7 求 lim. e +

54 第 章一元函数微分学 45 解 lim = lim = lim = + e + e + e 例 8 求 lim l. + 解这是 型未定式, 不能直接用罗必达法则, 现将 l 改写成 l, 于是得到 + 时的型未定式, 便用罗必达法则. l lim l = lim = lim = lim ( ) = > si 例 9 求 lim. + + si cos 解因 lim 不存在, 故不能用罗必达法则. 将分子分母同除以 得 + + cos si si lim = lim = + + si + si + 习题.4. 下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的所有条件? 如果满足求出定理中的 ξ. () f ( ) =, [, ] () f ( ) = rct, [,]. 求下列极限 : si () lim si 4 l () lim e () lim + e e + (4) lim (5) lim,( > ) (6) lim si + e si. 验证 lim 是否存在, 但不能用罗必达法则. si.5 函数的单调性与极值.5. 函数的单调性函数的单调性是函数的重要性质, 前面给出了函数在某个区间内单调性的定义, 由定

55 46 高等数学 义知道, 单调增加 ( 减少 ) 函数的图形是一条沿 轴正方向上升 ( 下降 ) 的曲线. 这时, 如图 -6 所示曲线上各点处的切线斜率都是非负的 ( 都是非正的 ). 即 = f,( = f ), ( ) ( ) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. B A = f ( ) = f ( ) A B O b O () () b 图 -6 利用导数的正负号可方便地判断函数的增减性. 定理 8 设函数 = f( ) 在 [,b] 上连续, 在 (,b) 内可导. () 如果在 (,b) 内 f ( ) () 如果在 (,b) 内 f ( ) ( ) >, 那么 = f( ) 在 [,b] 上单调增加. <, 那么 = f( ) 在 [,b] 上单调减少. 证 () 在区间 [,b] 内任取两点, 不妨设 <, 由拉格朗日中值定理知, 存在 ξ,, 使得 故 f ( ) f ( ) > 即 f ( ) f ( ) f ( ) 在 (,b) 内小于 ( ) ( ) f f ( ξ ) = f > >. 由, 的任意性可知, f ( ) 在 (,b) 内是单调增加的. 零的情况请读者自己证明. 若把判别法中的闭区间换成其他各种区间 ( 包括无穷区间 ), 结论仍成立. f = + 的单调性. 例 4 判定函数 ( ) 解由于 f ( ) >, ( +, ), 因此 f ( ) 在 (, ) 例 4 求函数 f ( ) = 9 + 的单调区间. 解函数的定义域为 (, + ), = =, =. = + + 内是单调增加的. ( ) = + f 6 8 令 f ( ), 得 把函数的定义区间 (, + ) 分成 个区间 : (,] [,] [, + ),,.

56 第 章一元函数微分学 47 列表讨论如下 : (,) (,) (, + ) f ( ) + + f ( ) 故函数 f ( ) 在 (,] [, + ) 上单调增加, 在 [,] 上单调减少. 注 : 箭头 和 分别表示函数在指定区间递增和递减. ( ) = ( ) (, +) 例 4 讨论函数 f 的单调性. 解函数的定义域为, 5 f ( ) = ( ) + = 令 f ( ) =, 得 =, 此外 = 为 f ( ) 的不可导点, 于是 = 和 = 分定义区间 5 5,,,, + 5,. 5 列表讨论如下 : 为 个区间 : ( ] (, ) 5 5 (,), + 5 f ( ) + 不存在 + f ( ) 所以函数在区间 (,] [, ) 5 + 上单调 增加, 在 [, 5 ] 上单调减少. 利用函数的单调性可以用来证明不等式. 例 4 证明当 > 时, e > e. 证设 f ( ) = e e, 则 ( ) e e f = > (>), 所以 ( ) f 在 (, +) 内单调增. 由单调函数定义知, 当 > 时, f > f =, 所以, 当 > 时 e > e, ( ) ( ) 图 -7

57 48 高等数学 证毕..5. 函数的极值 从图 -7 看到, 函数 f ( ) 在点 5的函数值 f ( ) f ( ) f ( 5 ) 比它们近旁点的函数值都大, 而在点 4的函数值 f ( ) f ( 4 ) 比它们近旁点的函数值都小. 对于这种性质的点在应用上有重要的意义, 对此, 我们做一般性的研究. 定义 设函数 f ( ) 在 处及其附近有定义, 若对于 的某一邻域中的所有 ( ) 都有 f ( ) > f ( ( ) 或 f( ) < f( ) ) 则称 f ( ) 为函数 f ( ) 的极大值 ( 或极小值 ),, 并称 为 f ( ) 的极大值点 ( 或极小值点 ). 极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点. 注 :() 极值是一个局部性概念, 是一个邻域内的最大值与最小值, 而未必是整个所考虑的区间内的最大值与最小值 ; () 极值只能在区间内取得. 从图 -7 还可以看到, 在函数的极值点处, 曲线上的切线是水平的, 这说明, 可导函数的极值点可在导数等于 的点中寻找. 下面介绍函数取得极值的必要条件. 定理 9 ( 极值的必要条件 ) 设函数 f ( ) 在 处的一个邻域内有定义, f ( ) 在 处可导, 且在 处取得极值, 则 f ( ) =. 满足 f ( ) = 的点 称为函数 f ( ) 的驻点. 定理 9 说明, 可导函数 f ( ) 的极值点必是 f ( ) 驻点, 反过来, 驻点却不一定是 f ( ) 的 极值点. 例如 = 点是 f ( ) = 的驻点, 但不是极值点. 对于一个连续函数, 它的极值点 还可能是导数不存在的点. 例如 f () =, f () 不存在, 但 = 是函数的极小值点. 总之, 函数的驻点或导数不存在的点可能是这个函数的极值点, 连续函数仅在这种点上才可能取得极值. 但这种点是不是极值点? 如果是极值点, 它是极大值点还是极小值点? 这还需进一步判定. 下面给出极值的充分条件. 定理 ( 极值第一充分条件 ) 设连续函数 f ( ) 在 的一个邻域内可导, 且 f ( ) = ( 或 f() 在 的邻域内除 外处处可导, 且 f ( ) 在点 处连续 ). () 当 < 时, f ( ) > ; 而当 > 时, f ( ) <, 那么函数 f ( ) 在 处取得极大值 f ( ). () 当 < 时, f ( ) < ; 而当 > f 时, ( ) >, 那么函数 f ( ) 在 处取得极 小值 f ( ).

58 第 章一元函数微分学 49 () 当 < 和 > 时, f ( ) 不变号, 那么 f ( ) 在 处无极值. 证对于情形 (), 在 的左侧邻域内, 函数 f ( ) 单调增加, 在 的右侧邻域内, 函 数 f ( ) 单调减少, 即在 的去心邻域内恒有 f ( ) < f ( ). 由定义知 f ( ) 是 f ( ) 的极大值, 对于情形 () () 可做类似的证明. 例 44 求函数 f ( ) = 的极值. 解 f ( ) = = 令 f ( ) =, 得 =, 当 = 时, f ( ) 不存在, 讨论如下 : (,) (,) (, + ) f ( ) + 不存在 + f ( ) 极大值 极小值 所以极大值为 f () =, 极小值为 f () =. 综合以上讨论, 可得求函数极值步骤如下. f. () 求函数导数 ( ) ( f ( ) () 考察 f ( ) ) 求出函数的驻点及导数不存在的点. 在驻点及导数不存在的点左右两侧的符号, 以确定哪些点是极值点. 当函数在驻点处二阶导数存在时, 根据其符号可以确定函数在此点是否取得极值. 定理 ( 极值第二充分条件 ) 设函数 f ( ) 在 处有二阶导数, 且 f ( ) =, f, 那么 ( ) ( 当 f ( ) < 时, 函数 ( ) () 当 f ( ) > ( ) ) f 在 处取得极大值. 证明从略. 例 45 求 f ( ) = 的极值. 时, 函数 f 在 处取得极小值. ' 解 f ( ) =, 由 f ( ) = 得驻点 =, =. 因 ( ) = 6 () f ( ) = 6<. 于是 = 时, 函数取得极大值 f ( ) = ; () f ( ) = 6>, 于是 = 时, 函数取得极小值 f ( ) =.. 确定下列函数的单调区间. 习题.5 f, 故

59 5 高等数学 () f ( ) = + () f ( ) e. 证明下列不等式. =. () > (>) () > l ( + ) (>). 求下列函数的极值. () = + () = l ( ) = e + (4) =. e ( ).6 函数的最值及其应用 在实际应用中, 常常会碰到求最大值和最小值的问题, 如求用料最省 容量最大 花钱最少 效益最高等问题. 因而求最大 最小值问题在工程技术 国民经济以及自然科学和社会科学等领域有广泛应用的现实意义. f 在定义域 [,b] 上的函数值满足 若函数 ( ) m f ( ) M 则 m 和 M 分别称为函数 f ( ) 的最小值和最大值, 设 ( ) ( ) 为 f ( ) 的最小值点, 称为最大值点. f = m, f = M, 则 称 函数的最值与函数的极值是有区别的, 最值是指在整个区间上所有函数值当中的最大 ( 小 ) 者, 它是一个全面 整体的概念. 若 f 在 [,b] 上必存在最大值和最小值. 显然, 这最 f ( ) 在闭区间 [,b] 上连续, 则 ( ) 大值或最小值可能在闭区间内取得, 也可能在区间的两个端点处取得. 当最值在区间内取得时, 这最大 ( 小 ) 值点也是极大 ( 小 ) 值点. 而极值点只能在驻点或导数不存在的点处 f 在 [,b] 上的最大 ( 小 ) 值的步骤 : 取得, 因此得出求函数 ( ) ( ) 求出 f ( ) 在 [,b] 上的所有驻点和导数不存在的点 ; () 求出函数 f ( ) 在驻点 导数不存在的点以及端点处的函数值 ; () 对上述函数值进行比较, 取其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 例 46 求 f ( ) = ( ) 在 [, ] 上的最大值和最小值. 5 解 () f ( ) =, 令 f () =, 得驻点 = 又 = 为不可导点的点. 5

60 第 章一元函数微分学 5 () 计算 f ( ) 在 及 处的函数值. f( ) = f( ).57 f( ) = f() = 5 f ( ) = f ( ).5 () 比较上述 4 个函数值的大小, 知 f ( ) 在 [, ] 上的最 f ( ) =. 大值为 f () =, 最小值为 对于实际问题, 需先建立函数关系, 确定自变量的变化范围, 再来求最大 ( 小 ) 值. 一般而言, 如果确立的函数是连续函数且在 (,b) 内只有一个驻点, 而从该实际问题本身又可以知道在 (,b) 内函数的最大值 ( 或最小值 ) 确实存在, 那么 f ( ) 就是所求的最大值 ( 或最小值 ) 例 47 心理学研究表明, 小学生对新概念的接受能力 G( 即学习兴趣, 注意力, 理解力的某种量度 ) 随学习时间 t 的变化规律为 G(t) =. t +.6t+4 问 t 为何值时学生学习兴趣激增或减退? 何时学习兴趣最大? 解 G t =.t +.6 =. t. ( ) ( ) 由 G () t = 得惟一驻点 t =. 当 t < 时, G () t >, Gt () 单调增加 ; 当 t > 时, G () t <, Gt () 单调减少. 可见讲课开始后, 分钟时, 小学生兴趣最大, 在此时刻之前 学习兴趣递增, 在此时刻之后兴趣递减. 例 48 要用铁皮做一个容积为 V 的带盖圆柱形桶, 问圆桶的底半径为何值时用料最省? 解设所做圆桶的表面积为 S, 底圆半径为 r, 高为 h, 建立面积 S 与底圆半径 r 之间的函数关系. S = S r = π r + π rh V 由 V =π r h得 h= πr ( ), 代入上式消去 h 得 V r ( ) = π r +, r (, +) S r V V V 令 S ( r) = 4πr =, 解得 r =, 于是求得一驻点 r =. r π π 由实际意义知, 圆桶最省的用料存在, 且驻点惟一, 所以在 r = V 处取得极小值, 也 π

61 5 高等数学 是 S 的最小值. 即底圆半径 r = V 时用料最省. π 习题.6. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值. 5 4 () = , +,, [ ] ; () = [,4]. 设有一边长为 的正方形铁皮, 从 4 个角截去同样的方块, 使其做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子容积最大?.7. 曲线的凹凸性与拐点 O = = 图 -8 由定义知曲线.7 曲线的凹凸性与函数作图 研究函数的增减性和极值对描绘函数图形是很有帮助的, 但这还不能完全反映函数曲线变化规律. 例如, 函数 = = 与在 时都是单调增加的, 但其图形有很大 的差异 ( 图 -8). = 位于它的每一条切线的上方, 其曲线是向上弯曲 的 ; 而 = 位于它的每一条切线的下方, 其曲线是向下弯 曲的. 对上述两种形式的曲线给出如下定义 : 定义 4 设函数 = f( ) 在区间 (,b) 可导, 若曲线 = f( ) 在 (,b) 上每一点的切线都位于该曲线的上 ( 下 ) 方, 则称曲线 = f( ) 在区间 (,b) 内是凸 ( 凹 ) 的. = 在 ( ) = 在 (,+),+ 内是凹的, 内是凸的. 下面通过函数的二阶导数来反映次曲线的凹凸性. 定理 设 = f( ) 在区间 (,b) 内具有二阶导数, () 若在 (,b) 内 f ( ) () 若在 (,b) 内 f ( ) >, 则曲线 = f( ) 在区间 (,b) 内是凹的. <, 则曲线 = f( ) 在区间 (,b) 内是凸的. 定理 中的区间若改为无穷区间, 结论也成立 ( 证明从略 ). 例 49 判断曲线 = l 的凹凸性. =, = <, 所以曲线 l 解 = 在 ( ),+ 是凸的.

62 定义 5 设点 (, ( ) ) 第 章一元函数微分学 5 M f 为曲线 = f( ) 上一点, 若曲线在 M 点两侧存在不同的凹 凸性, 则称点 M 为曲线 = f( ) 的一个拐点. 8 5 例 5 求曲线 = 的凹凸区间和拐点. 解 函数定义域为 (, + ). 因 =, = = 故当 = 时, = ; 当 = 时, 不存在. 4 讨论如下 : (,) ( 4 ) (, ) (, ) 不存在 + = f ( ) 的图 形 凹拐点 (,) 凸拐点 (, ) 凹 从讨论可知, = 在 (,) 拐点为 (,) 和 (, ) 及 (, ) 4 + 内曲线为凹的, 在 (, ) 4 内曲线为凸的,.7. 函数图形的描绘 函数图形的描绘, 又称为函数作图. 前文中我们通过一阶导数的符号, 确定函数单调区间和极值点 ; 通过二阶导数的符号, 确定函数的凹凸区间和拐点. 这些信息提供了函数图象的大致情形, 对准确作出函数图形是非常有益的. 但这还不够, 为了讨论函数曲线, 还须引出渐近线的概念. 定义 6 对于函数 f( ) lim f = b(b 为常数 ), 则称 = b 为曲线 = f( ) =, 如果 ( ) 的水平渐近线 ; 如果有常数 使得 lim f ( ) =, 则称 = 为曲线 = f( ) 的垂直渐近线. + 例如, = 为 = 的水平渐近线, = 为 = + 的垂直渐近线 ( 请读者自行验 证 ). 通过以上的准备, 就可以全面地掌握函数变化状态, 准确地描述函数图形. 作图一般步骤如下 :

63 54 高等数学 () 确定函数的定义区间 ; () 判定函数的奇偶性 周期性与有界性 ; () 求出一阶导数 二阶导数, 以确定函数的单调区间 极值点 凹凸区间与拐点 ; (4) 求曲线的渐近线 ; (5) 讨论并描绘函数曲线的图形. 例 5 描绘函数 = + 的图形. 解 () = + 的定义区间为 (,) (, + ). ( ) 函数无奇偶性和周期性, 且为无界函数. ( + )( + ) () = =, = + =. 在 的定义区间内, = 的根为 =, = 的根为 =. 讨论如下 : (, ) (, ) (,) (, ) + + (, ) = f ( ) 的图拐点单调减 凹形 (,) i 单调减 凸单调减 凹极小值 单调减 凹 (4) 渐近线 : 因为 lim( + ) =, 所以 = 为曲线垂直渐近线. (5) 作图 ( 图 -9). 习题.7 i 图 -9. 求下列函数的凹凸区间与拐点. ( ) = () = l +., b 为何值时, 点 (,) 是曲线 = + b 的拐点?. 求曲线 = e 的渐进线. + ( ) 4. 作出下列函数图形 : () = + () = l ( + )

64 第 章一元函数微分学 55 i i.8 导数在经济学中的应用 经济活动中的要素有成本 收入和利润, 而经营决策 效益取决于成本 收入以及二者关于产量的变化率..8. 成本函数收入函数利润函数 成本函数 C ( ) 是生产数量为 的某种产品的总成本, 它是固定成本与变动成本之和, 显然成本函数 C ( ) 为单调增函数. 收入函数 R ( ) 表示售出数量为 的某种商品所获得的总收入 ( 收入 = 价格 数量 ), 即 R ( ) = P, 其中 P 为产品的价格. 生产经营的决策者十分重视利润, 利润 = 收入 成本, 即 L ( ) = R ( ) C ( ). 例 5 某工厂生产某种产品, 年产量为 ( 百台 ), 总成本 C( 万元 ), 其中固定成本两万元, 每生产 台, 可变成本增加 万元. 市场上每年可销售此种商品 4 台, 其销售收入 R( 万元 ) 是 ( 百台 ) 的函数 ( ) 4 4 ; R = R = 8 > 4, 写出成本函数和利润函数. 解成本函数 C = C() = + 利润函数

65 56 高等数学 L = R() C() = + 4 ; 6 > 边际分析 经济学中的边际概念, 通常指经济变化的变化率, 即是指某一函数中的因变量随着某一自变量的单位变化而产生的变化. 经济学中通常称某一函数 f ( ) 的导函数 f ( ) 为边际函数, f ( ) 在 的值称为边际值.. 边际成本 设某企业生产某种产品的总成本函数为 C = C(), 其中 为单位时间内的产量, 当产总本的增长量 C = C + h C, 则总成本的平均增长量为 量由 增加到 +h 时, 成为 ( ) ( ) C( + h) C( ) C = h h C( + h) C( ) 若 lim 存在, 则称此极限为产量 的边际成本, 即 C ( ) 为边际成本函 h h C( + h) C( ) 数, 记做 MC. 由于 h 的最小变化单位只能为, 所以令 C ( ) 中的 h = h 得 C + C C ( ) ( ) ( ) 从上式看到 : 在经济意义上, 边际成本表示在一定产量 的基础上, 再增加生产一个单位产品所增加的总成本. 由边际成本的意义, 得出下述两个结论. () 边际成本仅与变动成本有关, 与固定成本无关. C P C > P, 则应停 () 设某产品的价格为 p, 若 ( ) <, 则可继续增加产量 ; 若 ( ) 止生产, 而在改进质量 提高价格或降低成本上下功夫.. 边际收入 边际收入定义为多销售一个单位产品时总收入的增量. 类似边际成本定义, 边际收入为总收入关于产品销售量 的变化率, 设收入函数为 R = R(), 则边际收入为 R ( + ) R( ) MR = R ( ) = lim 边际收入的经济意义是每多销售一个单位产品所增加的收入.. 边际利润

66 第 章一元函数微分学 57 设某产品销售量为 时的总利润 L = L (), 当 L() 可导时称 L () 为销售量为 时的边际利润, 它近似等于销售量为 时再多销售一个单位产品所增加的利润. L = R C 得边际利润为 根据 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ML= L = R C 例 5 某加工厂生产 A 类产品的总成本 ( 元 ) 函数和总收入 ( 元 ) 函数分别为 C = + +. ( ) ( ) R = 7+. 求边际利润函数及日产量分别是 kg 5kg 和 kg 时的边际利润, 并说明其经济意义. 解总利润函数为 L = R C = + 5. 边际利润函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 L =. 日产量为 kg 5kg 和 kg 时的边际利润分别为 L = 元 5 L = ( 元 ). ( ) ( ), L ( ) = ( 元 ), ( ) 其经济意义为 : 在日产量为 kg 的基础上, 再增产 kg, 则总利润可增加 元 ; 在日产量为 5kg 的基础上, 再增产 kg, 则总利润无增加 ; 在日产量为 kg 时, 再增产 kg, 反而亏损 元. 4. 最大利润 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 已知总收入 R 和总成本 C, 可得利润函数 L = R C. 欲求最大利润, 即要求 L( ) 的最大值. 因 根据 ( ) 令 L =, 得 这样, 使 L ( ) ( ) ( ) ( ) L = R C, ( ) = ( ) R C = 的驻点正是边际收入等于边际成本的产量值. 若最大利润在区间 内取得, 则可得出, 利润在使边际成本等于边际收入时的生产水平上达到最大值, 经济学 L 在最大生产能力范围, 推断, L( ) 要满足一定的条件才是利润函数, 其条件之一就是 ( ) 有惟一的极大值, 即存在某一水平的产量, 使得 L =, 即 R = C ( ) ( ) ( ) ( ) <, 即 ( ) < ( ) L R C 不难看出, 在此状态下, 在产量 水平上再增加产量, 企业的利润反而减少.

67 58 高等数学 例 54 某工厂生产某种产品 个单位产品的费用为 C( ) 5 入为 R( ). 少? 解利润函数 = + ( 元 ), 所得的收 = ( 元 ), 问生产多少个单位产品时才能使利润最大? 最大利润为多 = = ( ) = ( ) ( ) =. ( 5 + ) L R C = + L = + 5 ( ). ( ). L =. 5 令 L ( ), 得 5, 因为 L ( 5) =. < 故在 = 5 时利润最大, 最大利润为 L( ).8. 弹性的概念 5 = = 445 ( 元 ) 在经济问题中, 需要定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度, 这就要引入弹性的概念. 定义 7 设函数 = f( ) 在 的邻域内有定义, 且 f ( ) 存在. 函数的相对变量 f ( + ) f( ) = 与自变量的相对变量之比, 称为函数 f ( ) 从 到 f ( ) + 间的相对变化率或两点间的弹性. ( ) ( ) 如果 lim f ( + ) f f = lim 存在, 则称此极限的值为函数 E = f( ) 在 处的点弹性, 记做. 由定义得弹性计算公式为 E = E = d f ( ) = E = f ( ) f ( ) d = 下面讨论需求弹性. 对于经济中的需求关系, 价格是影响需求的主要因素, 我们关心的是, 当商品价格下降 ( 或提高 ) 一个百分点时, 其需求量将可能增减多少个百分点, 这就是需求量对价格变动的敏感性问题. 设某商品的需求量 Q 是价格 P 的函数 Q = Q(P), P Q 和分别表示价格和需求量的 p Q

68 第 章一元函数微分学 59 QQ Q P Q ( P) 增减率, 若 lim = lim = P 存在, 则称此极限为需求量对价格的弹性, P P P P P Q Q( P) 在经济学中称为需求弹性. 它表示在单价为 P 元时, 单价每变动 %, 需求量变化的百分数, 也称之为需求量对价格的弹性函数..P 例 55 某种商品市场的需求量 D( 件 ) 是价格 P( 元 ) 的函数 D = D(P) = e, ED 如果这种商品的价格是每件 元, 求这时需求量对价格的弹性系数 E, 并给出适当的经 济解释. 解由题意得 : D ( P ) = e. P 当 P = 时, 有 D() = e 5 ( 件 ) D = e.5( 件 ) 于是 E ( ) P dd.5 = D E = ( ) P D dp = 5 这就是说, 当这种商品的价格在每件 元的水平时, 单价格上升 %, 市场需求量相应地下降约为 %. 习题.8. 某粮油加工厂利用副产品经过初步加工生产饲料的半成品, 其生产能力为每月 吨吨, 设这项业务的总收入和总成本是产量 ( 吨 ) 的函数 ( ) R = 4 C( ) = 求 :() 产量为 7 吨时的平均成本 平均收入和平均利润 ;() 产量为 9 吨时的边际成本 边际收 入和边际利润.. 某产品的需求量函数为 P = Q 与平均成本 C = Q, 问当产品的需求量为多少时可使利润最大? 并求出最大利润.. 求函数 = e 和 = e 的弹性. 4. 市场上对某百货品的需求量 ( 件 ) 是单价 ( 元 ) 的函数. 求 () 需求对价格的弹性 ; Q ( P) P 4 = e () 当商品的单价分别为.5 元 4 元 4.5 元时的需求弹性, 并说明其经济意义. P

69 6 高等数学 复习题 一 选择题. π. 设 f ( ) = si, 则 f ( ) = ( ). π A. B. C. D. π. 设 f( + ) =, 则 f ( ) = ( ). + B. C. A. D. ( ) ( + ) +. 设 = e + e, 则 = ( ). A. e + e B. e e C. e e D. e + e 4. 设 = e, 则 d = ( ). A. ed B. ( + )e d C. ( )e d D. ed 5. 下列极限中能使用罗必达法则的是 ( ). si A. lim si B. lim + si t C. lim π si 6. 函数 = ( ) + 在 (, +) 内的极小值点为 ( ). D. l( e + lim ) A. B. C. D. 不存在 7. 设函数 f( ) = l( + ), 则点 = 是 f ( ) 的 ( A. 间断点 B. 可微点 C. 驻点 D. 拐点 8. 函数 = + 的最小值点为 ( ). A. B. C. D. 9. = ( ). A. 有极大值为 B. 有极小值为. 曲线 = ( ( ) ). ). C. 有极大值为 e A. 有水平渐近线 B. 无垂直渐近线 e D. 无极值 C. 无水平渐近线 D. 既无水平渐近线也无垂直渐近线 二 填空题.. 设 f ( ) =, 则 f ( ) =.. 设 = e( si+ cos ), 则 =.

70 第 章一元函数微分学 6 ( ) (). 设 f ( ) =, 则 lim f f =. 4. 设 = l cos +, 则 d =. 5. 设 = + e, 则 d =. 6. 函数 = ( ) 的单调增区间是. 7. 若函数 = + ( > ) 在 = k 处取得最小值, 则 =. 8. 曲线 = e 的拐点坐标是 曲线 = + 的凸区间是. 4 l. 曲线 = + 的垂直渐近线是. 三 解答题.. 求函数 = l( + ) 的单调区间. [ ]. 求函数 = + 在区间,4 上的最大值和最小值.. 证明曲线 = 上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形面积等于常数. 4. 设一物体沿抛物线 = 运动, 当 = 6 cm 时, 其横坐标 以 cm/s 的速度增加, 问此时 坐 6 标增加的速度为多少? 5. 从一块半径为 R 的圆铁皮上挖去一个扇形做成一个漏斗, 问留下的扇形的中心角 ϕ 取多大时做成的漏斗容积最大?

71 第 章一元函数积分学 学习要求 :. 理解不定积分的概念和性质, 掌握不定积分的基本公式.. 掌握不定积分 定积分的换元法与分部积分法, 会求简单有理函数的积分.. 理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理, 掌握牛顿 (Newto) 莱布尼兹 (Leibiz) 公式. 4. 了解广义积分的概念. 5. 会应用定积分解决一些实际问题 ( 如求面积 体积, 在物理学及经济学上的某些应用 ). 在第 章里, 讨论了如何求一个函数的导函数的问题, 本章首先要讨论它的逆问题, 即要求一个可导函数, 使它的导函数等于已知函数. 例如当质点作直线运动时, 如果已知它的路程函数为 s() t, 那么, 通过求导, 可求得速度函数, vt () = s () t. 反过来, 如果已知 它的速度函数为 vt (), 如何求它的路程函数 s() t 呢? 再进一步, 如何求质点从 t 时刻到 t 时 刻内通过的路程呢? 这就是积分学所要讨论的二个重要问题. 因此本章将学习不定积分和定积分的概念 性质 计算方法以及定积分的应用.. 不定积分的概念和性质.. 不定积分的概念 定义 如果在区间 I 上, 可导函数 F( ) 的导函数为 f ( ), 即当 I 时, 则称 F( ) 为 f ( ) 在区间 I 上的原函数. F () = f ( ) 或 d ( F( ) ) = f ( ) d 例如, 在区间 (, + ) 内, ( ) =, 故 是 在 (, + ) 上的一个原函数. 又如, 在区间 (, + ) 内, (si ) = cos, 故 si 是 cos 在 (, + ) 内的原函数. 一个函数具备什么条件, 其原函数一定存在? 对此, 下面先介绍一个原函数存在的充分条件 : 定理 ( 原函数存在定理 ) 连续函数一定有原函数.

72 第 章一元函数积分学 6 因为初等函数在其定义区间内连续, 所以初等函数在其定义区间内一定有原函数. 注意以下几点 : () 如果 f ( ) 在 I 上有原函数 显然有 F( ), 即 F () = ( ) [ F( ) +c]' = f ( ) f, I, 那么, 对任何常数 C, 也就是说, 对任何常数 C, 函数 F( ) +C 也是 f ( ) 的原函数. 因此, 如果 f ( ) 有一个 原函数, 那么 f ( ) 就有无限多个原函数. () 在区间 I 上, 如果 F( ) Φ () 都是 f ( ) 的原函数, 那么, 由拉格朗日中值定理 的推论 知 F( ) Φ () = C(C 是任意的常数 ), 这说明任意两个原函数之间只相差一个常 数. 下面给出不定积分的定义. 定义 在区间 I 上, 函数 f ( ) 的带有任意常数项的原函数称为 f ( )( 或 f ( )d) 在 区间 I 上的不定积分, 记做 f ( )d 其中记号 ( 拉长的 S) 称为积分号, f ( ) 称为被积函数, f ( )d 称为被积表达式, 称为积分变量. 如果 F( ) 是 f ( ) 在区间 I 上的一个原函数, 那么在 I 上有 f ( )d = f ( ) + C 即求一个函数的不定积分实际上只需求出它的一个原函数, 再加上一个任意常数即得... 不定积分的性质 由不定积分的定义, 可得如下性质 : 性质 : f ( )d = f( ), 或 d f ( )d = f( )d 性质 : F ( )d = F( ) + C, 或 d F( ) = F( ) + C 由上面两个性质可见, 除可能相差一个常数外, 微分运算 ( 以记号 d 表示 ) 与求不 定积分的运算 ( 简称积分运算, 以记号 表示 ) 互为逆运算, 当记号 与 d 连 在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数. 上述性质也可简单记述为 : 先积后微, 形式不变 ; 先微后积, 差一个常数. 性质 : [ ± ] = ± f ( ) g( ) d f( )d g( )d 这个性质可推广到有限个函数的和与差的求积分运算中去. 性质 4: kf ( )d = k f ( )d (k 是常数, 且 k )

73 64 高等数学 即与求分变量无关的常数 k, 可以提出积分号... 直接积分法 内 现利用不定积分的 4 个性质来求不定积分. 例 求 d. 解因为 ( ) =, 所以 d = + C. 例 求 d. 解当 > 时, 因 ( l )' =, 所以 l 是 d = l +C; 在 (, ) 内的一个原函数, 即在 (,+ ) 当 < 时, 因 [ l( )]' = ( ) ( ) =, 所以在 (,) 内, d = l ( )+c. 将 > 及 < 结合起来, 可写成 d = l + C 例 求 d. 解因为 ( )' =, 所以 d l = +C. l 例 4 求 cos d. 解因为 (si ) = cos, 所以 cos d = si + C. 由于积分运算是微分运算的逆运算, 所以可以从导数公式得到不定积分公式, 因此由导数公式表可得到积分表 ( 同时添加了几个常见的积分公式 )...4 基本积分表 常见的积分如下.. d = C. d = + C( + + ). d = l + C

74 第 章一元函数积分学 d = rct+ C + 5. d = rcsi+ C 6. si d= cos + C 7. cos d= si + C sec d t = + C csc d cot = + C. t sec d = sec + C. cot csc d = csc + C. ed= e + C. d= + C l 4. t d= l cos + C 5. cot d= l si + C 6. sec d= l sec + t 7. csc d= l csc cot + C + C d 8. = rct + C + 9. d rcsi C = d. = l + C +. d l = + + C. d l + = C 4 例 5 求 d. +

75 66 高等数学 4 4 ( )( ) d + d + + 解 = = d = ( + )d + = d d+ d + = rct + + C 例 6 以初速度 v 将质点垂直上抛, 不计阻力, 求它的运动规律. 解所谓运动规律就是指质点的位置关于时间 t 的函数关系, 为表示质点的位置, 取坐标系如图 - 所示, 把质点运动所在的铅直线取作坐标轴 ( 轴 ), 方向向上, 轴与地面的交点取作坐标原点. 设运动开始时刻为 t =, 当 t = 时, 质点所在的位置坐标为, 在时 刻 t 坐标为, 于是 = t () 便是所要求的函数. 按导数的物理意义可知 d vt () dt = 即在时刻 t 质点向上运动的速度为 vt ()( 如 vt () <, 运动方向向下 ), 又因 O d dv = = t (), dt dt 且时刻 t 质点向上运动的加速度 (t) = g, 故 dv g dt = 因此 vt () = ( g )d t = gt + C. 由 t = 时 v= v, 得 C = v, 于是 vt () = gt+v, vt () = gt+ v d 再求 (t). 由 vt () dt =, 得 () t = vt () dt= ( gt + v)dt = gt + vt+ C. 由 t = 时 =, 得 C =. 于是所求运动规律是 T t = gt + vt +, t [, T ]. 图 -

76 第 章一元函数积分学 67 函数图形如图 - 所示.. 求下列不定积分. 习题. () d () si d () ed (4) d + (5) ( + ) d (6) d + (7) ( )d (8) sec (sec t )d. 一物体由静止开始作直线运动, 经 t 秒后的速度为 t (m/s), 问 () 经 s 后物体离开出发点的距离是多少? () 物体与出发点的距离为 6m 时经过了多长时间?. 证明 : 函数 ( ) ( ) rcsi, rccos, rcsi 都是 ( ) 的原函数.. 基本积分法 利用直接积分法及不定积分的定义和性质所能计算的不定积分是很有限的, 因此有必要寻找其他的积分方法. 本节介绍两种最基本的求不定积分的方法 换元积分法和分部积分法... 换元积分法. 第一类换元积分法 定理 设 ( ) f u 具有原函数 ( ), u = ϕ 可导, 则有换元公式 Fu ( ) f( ϕ( ))d( ϕ ( )) = [ f( u)d u] u= ϕ( ) = ( F( u) + C) u= ϕ( ) = F( ϕ ( ) )+C 这里 f ( u)du是易求的不定积分 ( 如基本积分公式表中给出的不定积分 ), 在求 f ( ϕ ( ))d( ϕ( )) 时只需将 ( ) 本定理容易证明, 请读者自行完成. 例 7 求 cosd. f u 的不定积分 F( u) C u ϕ ( ) + 中的换作即可.

77 68 高等数学 解被积分函数中,cos 是一个复合函数 :cos = cosu,u =. 作变换令 u =, 则有 cosd= cos d= cosd = cosudu = siu+ C = si+. ( ) ( ) C 例 8 求 e d. 解因 ( ) =, 故令 u =, 于是 u u e d e ( = ) d= e d = e du = e + C = e + 例 9 求 t d. 解 si ( cos ) t d= d= d= d cos cos cos cos 令 u = cos = du = l u + C = l cos +C u 用类似的方法, 可求得 cot d= l si + C 例 求 d. 4 + 解 d= d= d 令 u =. 第二类换元积分法 du = rctu+ C + u = rct + C 定理 设 f ( ) 连续, = ϕ (t) 的导数 ϕ (t) 也连续, 且 ϕ (t), 若 则有换元公式 其中 t = f ( ϕ ( t)) ϕ ( t)d t = G( t) + C, f ( )d [ f [ ( t )] ( t )d t ] ( G ( t ) C ) G ϕ ϕ ( ( ) C = = + = ϕ +, t= ϕ ( ) t= ϕ ( ) ϕ () 为 = ϕ (t) 的反函数. 略去定理的证明. C

78 第 章一元函数积分学 69 由于根式积分比较困难, 通过变量代换, 设法消去根式, 以简化不定积分的计算. 例 求 d (>). 解 根号内是 的二次多项式, 呈平方差的形式, 且. 为了消去根号, 可利用正 弦 ( 或余弦 ) 代换. 令 π π = si t ( < t < ) 则 t = rcsi, = cost, d= costdt. 于是 原式 = cos tdt + cost = d t t si t = ( + ) + C 4 = t + si tcost + C. 为了便于代回原变量, 可作出如图 - 的辅助直角三角形. 由直角三角形的边角关系得 t si t =, cost =, t = rcsi. 因此 d = + rcsi + C. 图 - 例 求 d + ( > ). 解根号内是 的二次多项式, 呈平方和的形式. 为了消去根号, 可作正切 ( 或余切 ) π π 代换, 令 = t t( < t < ), 则 t = rct, + = sect, d= sec tdt. 代入, 得 sec t 原式 = d t sect = sectt d = l sect + t t + C

79 7 高等数学 + 因 tt =, sect = ( 图 -), 故 d + = l( + ) + C = l( + + ) + C( C = C l ). + 例 求 d ( > ). 解 根号内是 的二次多项式, 呈平方差的形式, 且 <. 为了消去根号, 可作正割 ( 或余割 ) 代换. 令 = sect(o<t<π/), 则 = t t, d= sectt tdt, 代入, 得 sec t 原式 t t d t sec t d t tt = l sect+ t t + C. 因 sect =, t t = ( 图 -4), 故 d = l + + C = l + + C. + t t 图 - 图 -4 例 4 d 求 + 解 根号内是 的一次多项式, 故令 = t, 则 = t,d = t dt. 于是 d + t = + t ( t + ) = dt + t = ( )dt + t