在數學的三一律中, 就有兩個不等符號, 所以在一般的運算過程中, 經常會碰到不等式 解任何不等式都要用到求方程式的根, 所以要特別留意不等式與方程式之間的關係, 一次不等式的重要應用就是線性規劃 應用線性規劃的基本假設是 : 將決策上所面臨的問題, 利用線性的數學式來加以描述, 在線性等式及不等式組的條件下, 使用特定的方法, 以求得最符合決策者要求的解 而數學式中變數或式子的數目, 端視問題的複雜性而定, 限於篇幅, 本書所討論的為兩個變數 ( 二元 ) 的式子 線性規劃雖然為較新的題材, 但已迅速地變成應用數學的一個重要部分 線性規劃的方法是在物資分配和各種類型之計畫表的管理領域內, 作出管理決策的一種工具 171
4-1 二元一次不等式的圖形 4-1 二元一次不等式的圖形 4-1.1 二元一次不等式的圖形 在第一冊時, 我們曾學過二元一次方程式 ax+by+c=0 的圖形為一條直 線, 此直線將平面分割成兩個半平面 直線上的任一點 (x 0 y 0 ) 代入皆使 ax 0 +by 0 +c=0 的等式成立, 直線外的點代入則會使 ax+by+c 0, 根據三 一律知, 整個平面包含三個部分 : 直線與兩個半平面 至於 ax+by+c > 0 或 ax+by+c < 0 代表哪一個半平面呢? 接下來我們就針對此問題討論 圖解 x+2y-2 0 令 x+2y-2=0 y=1-1 2 x 在坐標平面上畫直線 L:y=1-1 2 x 如圖所示 : 在直線 L 外任取一點 P(x 0 y 0 ) 過 P 作 x 軸的垂線交 L 於 Q 點, 得 Q ( x 0 1-1 2 x 0) 若 P(x 0 y 0 ) 在 L 的上方 則 P 點的縱坐標 y 0 大於 Q 點的縱坐標 1-1 2 x 0 172
不等式及其應用 4 即 y 0 > 1-1 2 x 0 故 x 0 +2y 0-2 > 0 若 P(x 0 y 0 ) 在 L 的下方 P 點的縱坐標 y 0 小於 Q 點的縱坐 標 1-1 2 x 0 即 y 0 < 1-1 2 x 0 故 x 0 +2y 0-2 < 0 由以上的說明, 我們得知 x+2y-2 上方, 且包含直線 L, 如右圖所示 0 的圖形是在直線 L 的右 滿足二元一次不等式的解有無限多個, 無法一一列出, 所以我們通常以圖解的方式來表示二元一次不等式的解 圖解二元一次不等式時, 在直線同側的點會滿足相同的不等式, 故只需代入一個不在直線上的點, 若能使不等式成立, 即可得到我們所要求的半平面 例如在上圖中, 如果我們用點 (21) 代入不等式 x+2y-2 0 中, 得 2+21-2 0, 不等式成立, 則點 (21) 所在的半平面 ( 直線 x+2y-2=0 的右上方 ) 就是不等式 x+2y-2 0 的解, 當然也包含直線本身 為了便於計算, 在解二元一次不等式時, 通常以 (00) (10) 或 (01) 代入不等式測試 說 明 不等號 或, 指直線包含在所求的解中, 圖解時直線部分以 實線 繪出 不等號 > 或 <, 指直線不包含在所求的解中, 圖解時直線部分以 虛線 繪出 173
4-1 二元一次不等式的圖形 圖解 2x-3y 6 圖解下列不等式 : x 2 x <-1 利用原點代入不等式中測試, 得知所求的解在直線 x=2 的右側, 且包含直線 x=2, 如圖所示 利用原點代入不等式中測試, 得知所求的解在直線 x=-1 的左 側, 且不包含直線 x=-1, 如圖所示 圖解 x+3 > 0 見解析 174
不等式及其應用 4 圖解 : y -1 y < 2 利用原點代入不等式中測試, 得知所求的解在直線 y=-1 的上方, 且包含直線 y=- 1, 如圖所示 利用原點代入不等式中測試, 得知所求的解在直線 y=2 的下 方, 且不包含直線 y=2, 如圖所示 圖解 y-3 > 0 見解析 175
4-1 二元一次不等式的圖形 圖解 2x-3y < 6 在坐標平面上, 以 虛線 畫直線 2x-3y=6 的圖形 以原點 (00) 代入不等式中 20-30 < 6 0 < 6 此不等式成立故原點所在的半平面即為所求, 如圖所示 圖解 x+y+1 0 圖解 3y-4x 12 因為不等式中有等號, 故在坐標 平面上, 以 實線 畫直線 3y-4x=12 以原點 (00) 代入不等式中 30-40 12 0 12 此不等式不成立故原點所在的半平面不為所求, 亦即不包含原點的半平面即為 所求, 如圖所示 圖解 x-3y+3 0 176
不等式及其應用 4 x y 為自然數, 滿足 x+2y 5 的 (xy) 共有幾組解? 滿足 x+2y 5 的解逐一找出, 如下表 x 1 1 2 3 y 1 2 1 1 故所求的解有 (11) (12) (21) (31) 共 4 組 在平面坐標上, 圖解不等式 x+2y 5 如右圖, 因為 x y 為自然數, 故只需在三角形 區域中找整數的點 ( 稱為格子點 ) 即 可, 解如右圖 x y 為自然數, 滿足 2x+y < 6 的 (xy) 共有幾組解? 4 組 設 A(51) B(-2-2), 直線 AB 將坐標平面分成兩部分, 試寫出 包含直線 AB 及原點部分所表示的不等式 利用直線的兩點式先求得直線 AB 的方程式 y-1 = -2-1 -2-5 (x-5) 得方程式為 3x-7y-8=0 將原點 (00) 代入多項式 3x-7y-8 兩點式 y-y 1 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 (x-x 1 ) (x 1 x 2 ) 177
不等式及其應用 4 作直線 L 2 :x+y-3=0 在不等式 x+y-3 0 中 以 (00) 代入得知不等式 x -y+3 的圖解區域在直線 L 2 的左側, 如圖 圖與圖的重疊區域即為聯立 圖 不等式 如圖 x-y-1 0 x+y-3 0 的圖解, 圖解聯立不等式 x-2y-4 < 0 2x+y+2 > 0 圖 179
4-1 二元一次不等式的圖形 圖解聯立不等式 2x-y+2 < 0 2x-y-4 > 0 作直線 L 1 :2x-y+2=0( 虛線 ) 不等式 2x-y+2 < 0 中, 就 x 項而論, 不等式 x < 1 2 (y-2) 之圖解區域在直線 L 1 的左側作直線 L 2 :2x-y-4=0( 虛線 ) 不等式 2x-y-4 > 0 中, 就 x 項而論, 不等式 x > 1 2 (y+4) 之圖解區域在直線 L 2 的右側由右圖我們發現 L 1 //L 2, 且兩不等式的圖解沒有重疊區域, 故此聯立不等式無解 圖解下列聯立不等式 : 見解析 x 0 y 0 y 1 y 4 180
不等式及其應用 4 圖解聯立不等式 x -1 x-2y-2 0 x+y-2 0 作直線 L 1 :x=-1 不等式 x -1 的解在直線 L 1 的右側 作直線 L 2 :x-2y-2=0 不等式 x-2y-2 0 的解在直線 L 2 的左上側 作直線 L 3 :x+y-2=0 不等式 x+y-2 0 的解在直線 L 3 的左側 圖解的重疊區域 ( 三角形 ) 即為 此聯立不等式的圖解, 如圖所示 圖解聯立不等式 見解析 y 3 x-y 0 x+y-1 0 181
4-1 二元一次不等式的圖形 試將右圖藍色斜線部分以聯立不等式表示之 利用直線的兩點式分別求得直線 AB 與 AC 的方程式 AB:y-2 = 0-2 3-0 (x-0) 得 2x+3y-6=0 AC:y-2 = 0-2 -1-0 (x-0) 得 2x-y+2=0 將原點 (00) 代入多項式 2x+3y-6 得 20+30-6 < 0 故藍色區域在直線 AB 的左下方, 其不等式為 2x+3y-6 0 將原點 (00) 代入多項式 2x-y+2 得 20-0+2 > 0 故藍色區域在直線 AC 的右下方, 其不等式為 2x-y+2 0 藍色區域的聯立不等式為 2x+3y-6 0 2x-y+2 0 試將右圖藍色區域部分以聯立不等式表 示之 2x+3y-4 > 0 x+1 > 0 182
不等式及其應用 4 一 基礎型 x y 為自然數, 滿足 2x+3y < 10 的 (xy) 共有幾組解? k 為實數, 若 4x-3y-k+3 0 的圖形包含原點, 求 k 的範圍 提示 : 包含原點, 則原點代入滿足此不等式 圖解下列不等式 : 3x > 2y -x+2y-3 > 0 圖解下列聯立不等式 : x 2 - y 1 3 y -2x+5 x-y-1 0 y-x-2 0 x < 3 y < 2 x > y 二 研究型 設 A(-12) B(3-2), 直線 AB 將坐標平面分成兩部分, 試寫 出包含直線 AB 及原點部分所表示的不等式 試將下圖之三角形區域以聯立不等式表示之 183
4-2 線性規劃 4-2 線性規劃 在某些限制條件下, 列出二元一次聯立不等式, 在此聯立不等式的解之中, 找一個能使某一次函數達到最大值或最小值的解, 此類問題稱為線性規劃 線性規劃所研究的問題主要有兩類 : 一是一項任務確定後, 如何統籌安排, 儘量做到用最少的資源完成這一任務 ( 求最小值 ); 二是在一定數量的資源下, 如何利用它們, 使得完成的任務最多 ( 求最大值 ) 在 x 0 y 0 x+2y 8 3x+y 9 的條件下, 試求 x+y 的最大值 聯立不等式的圖解如圖 在圖中, 四邊形 OABC( 包含四 邊 ) 中, 我們要如何找到一組 x y 值使得 x+y 有最大值呢? 令 f(xy)=x+y, 則 方程式 x+y=k 的圖形為一直線, 當 k 值變動時, 我們可得到 一組斜率為 -1 的平行線, 如圖 中的虛線 圖 圖 184
不等式及其應用 4 在四邊形 OABC 中, 任取若干點代入函數 f(xy)=x+y f(11)=1+1=2 f(22)=2+2=4 f(13)=1+3=4 f(23)=2+3=5 由以上所得出函數值, 我們會發現 (22) 與 (13) 兩點在同一條直線上, 所以函數值一樣, 且離原點愈遠的直線 (x+y=k), 由其上的點所求得的函數值愈大, 所以 f(xy) 的最大值必發生在四邊形 OABC 區域的頂點上, 即圖中的 B 點, 故當 x=2 y=3 時, x+y 有最大值 5 在例題 1 中, 目的在求函數 f(xy)=x+y 的最大值, 我們稱此函數為目標函數 滿足聯立不等式解的區域, 即四邊形 OABC, 稱為可行解區域, 在可行解區域中能使目標函數達成目標的解, 如例題 1 中的 B 點, 稱為最佳解 一般而言我們可簡化線性規劃解題的步驟 : 解題步驟畫出可行解區域, 並求各個頂點 由於目標值必發生在可行解區域的頂點, 故將各頂點坐標代入目標函數中, 即可求得目標值及最佳解 x 0 在 y 0 x+2y 6 的條件下, 求 2x+3y 的最大值 2x+y 6 10 185
4-2 線性規劃 在 x 0 y 0 x+y 10 x+3y 18 的條件下, 求 2x+3y 的最大值 圖解聯立不等式, 並將可行解區域 ( 四邊形 OABC) 的頂點一一 求出, 如圖所示 令 f(xy)=2x+3y f(00)=0+0=0 f(100)=210+30=20 f(64)=26+34=24( 最大 ) f(06)=20+36=18 故當 x=6 y=4 時, 得 2x+3y 的最大值為 24 x 0 在 y 0 x+2y 39 的條件下, 求 39x+23y 的最大值 2x+y 36 751 186
不等式及其應用 4 在 x 0 y 0 3x+y 12 x+y 8 x+3y 12 的條件下, 求 4x+3y 的最小值 圖解聯立不等式, 並將可行解區域的頂點一一求出, 如圖所示 令 f(xy)=4x+3y f(012)=40+312=36 f(26)=42+36=26( 最小 ) f(62)=46+32=30 f(120)=412+30=48 故當 x=2 y=6 時, 得 4x+3y 的最小值為 26 x 0 在 y 0 3x+4y 12 的條件下, 求 7x+8y 的最小值 2x+y 4 124 5 任何生產業或企業都是希望花費最少, 而能獲得最大利潤, 而線性規劃就 是為達此目的的一種方法, 現以實例說明如下 187
4-2 線性規劃 一農夫有地 6 甲, 若種水稻, 則每甲每期產量為 8000 公斤 ; 若種花 生, 則每甲每期產量為 2000 公斤 但水稻每甲每期成本需 80000 元, 花生只要 20000 元 ; 花生每公斤可賣 70 元, 稻米只賣 30 元 現在農夫 只有 240000 元, 假設他只種稻米與花生, 試問稻米與花生應各種若干 甲, 才能賺得最多的錢? 此類問題的文字敘述都很長, 所以我們先予以列表, 簡化題目的 條件 : 條件種類 產量 ( 甲 ) 成本 ( 甲 ) 售價 ( 公斤 ) 種植面積 稻米 8000 公斤 80000 元 30 元 x 甲 花生 2000 公斤 20000 元 70 元 y 甲 設水稻種 x 甲, 花生種 y 甲, 依題意列出二元一次不等式 : x 0 y 0 80000x+20000y 240000 x+y 6 化簡得 x 0 y 0 4x+y 12 x+y 6 圖解聯立不等式, 並求可行解區域的頂點, 如圖所示 : 希望賺得最多的錢, 故目標函數為總售價減成本, 即 f(xy)=(308000-80000)x+(702000-20000)y =160000x+120000y 188
不等式及其應用 4 f(00)=1600000+1200000=0 f(06)=1600000+1200006=720000 f(24)=1600002+1200004=800000 f(30)=1600003+1200000=480000 故 6 甲地中水稻種 2 甲, 花生種 4 甲時, 可賺得 800000 元利潤最多 某工廠用兩種不同原料, 均可生產同一產品, 若採用甲種原料, 每公 斤成本 1000 元, 運費 500 元, 可得產品 7 公斤 若採用乙種原料, 每公斤成本 1500 元, 運費 400 元, 可得產品 14 公斤 若預算要求成本不得超過 6000 元, 運費不得超過 2000 元, 則此工廠每日最大生產量為多少公斤? 56 公斤 某工廠欲購買甲 乙兩種機器以生產某一樣物品, 甲機器每台價值 30 萬元, 只需 1 人操作, 每天產生的利潤為 250 元 乙機器每台價值 10 萬元, 需 2 人操作, 每天產生的利潤為 200 元 此工廠的資本額為 300 萬元, 且最多只能僱用 20 個工人 問甲 乙兩機器要各買幾台才能獲得最大利潤? 先列表分析題意, 下表中之 x y 皆為整數 : 種類 條件 每台買價操作人員利潤數目 甲機器 30 萬元 1 人 250 元 x 台 乙機器 10 萬元 2 人 200 元 y 台 資本 300 萬元 最多僱用 20 人 189
4-2 線性規劃 依題意列出二元一次不等式為 x 0 y 0 x+2y 20 300000x+100000y 3000000 簡化得 x 0 y 0 x+2y 20 3x+y 30 圖解聯立不等式, 並求可行解區域的頂點, 如圖所示 : 目標函數 f(xy)=250x+200y f(00)=2500+2000=0 f(010)=2500+20010=2000 f(86)=2508+2006=3200( 最大 ) f(100)=25010+2000=2500 故買甲機器 8 台, 乙機器 6 台, 可獲得最大利潤 在面積 3000 坪的建築用地上, 以總經費不超過 2000 萬元的建築經費 建造 A B 兩種不同形式的住宅, 已知 A 種每戶占地 200 坪, 每戶造價 400 萬元 可獲利 200 萬元,B 種每戶占地 300 坪, 每戶造價 100 萬元 可獲利 250 萬元, 則在此建地建築 A B 兩種住宅, 總共最多可獲利多少元? 2600 萬元 190
不等式及其應用 4 一 基礎型 0 x 4 在 0 y 6 的條件下, 求 f(xy)=3x+4y 的最大值 2x+y 10 x 0 在 y 0 3x+y 3 的條件下, 求 f(xy)=x+5y 的最大值 2x+3y 6 x 0 y 0 在 x+y 5 的條件下, 求 3x+2y 的最小值 4x+y 8 2x+7y 20 二 研究型 1 公克的麵包含蛋白質 0.08 公克 脂肪 0.01 公克 ;1 公克的黃油含蛋 白質 0.02 公克 脂肪 0.8 公克 如果一個人每天最少需要蛋白質 82 公克 脂肪 90 公克,1 公克的麵包要花費 0.004 元,1 公克的黃油要花費 0.07 元, 而假設此人除了麵包與黃油外, 不吃其他食物, 問他在最節儉的條件下, 最少應該吃麵包與黃油各多少公克? 191
4-3 一元二次不等式 4-3 一元二次不等式 4-3.1 一元一次不等式 一個不等式若在經過移項後化成 ax+b < 0 ax+b 0 ax+b > 0 或 ax+b 0 的形式, 其中 a b 為實數,a 0, 則這個不等式稱為一元一次不等式 所謂 解不等式, 意指求滿足不等式之 x 的最大範圍 現在我們用下面的例子來討論一般的一元一次不等式的解法 解不等式 -2x+3 > 7-2x > 7-3( 常數項 3 移至不等號右邊 ) (-2x)(-2)<4(-2) ( 不等式除以負數, 不等號要改變方向 ) x <-2, 如圖所示 ( 藍色部分為解 ) 解不等式 - 1 2 x+1 > 5 x <-8 192
不等式及其應用 4 一元一次不等式的圖解中, 圖中藍線部分所有的點代表不等式解的範圍, 黑線部分上的點, 不是我們所求的解 實心圓圈表示的點, 包含在我們所求的解範圍內, 空心圓圈所表示的點不在解的範圍內 解不等式 ax+b > 0,a b 為實數,a 0 ax+b > 0 經移項後, 得 ax >-b 若 a > 0, 則 x >- b a 如下圖 ( 藍色部分為解 ) 若 a < 0, 則 x <- b a ( 不等號要改變方向 ) 如下圖 ( 藍色部分為解 ) 解不等式 ax-bx+c > 0,a b 為實數,a b 若 a > b, 則 x > -c a-b ; 若 a < b, 則 x < -c a-b 193
4-3 一元二次不等式 不等式在乘 除負數時, 不等號要改變方向 同學在此一步驟易犯錯, 故 建議同學如果 x 的係數為負的時候, 移動 x 至不等號另一邊, 使 x 的係數變為 正的, 不等式符號就不需改變方向 4-3.2 一元二次不等式 設 a b c 為實數,a 0, 則經移項化簡形如 ax 2 +bx+c > 0 或 ax 2 +bx+c < 0 的式子都是一元二次不等式 而形如 ax 2 +bx+c 0 的不等式是指滿足 ax 2 +bx+c=0 或 ax 2 +bx+c > 0 的實數解都是 ax 2 +bx+c 0 的解 ; 同 理,ax 2 +bx+c 0 亦然 ( ) 若 ab > 0, 則 a 與 b 同號, 也就是說 a > 0 且 b > 0 或 a < 0 且 b < 0 解一元二次不等式 x 2-2x-3 > 0 先利用十字交乘法因式分解 x 2-2x-3, 得 (x-3)(x+1)> 0 十字交乘法 1 1 1-3 欲使上列不等式成立,(x-3) 或 (x+1) 必須同為正或同為負, 即 x-3 > 0 x+1 > 0 或 x-3 < 0 x+1 < 0 若 x-3 > 0 x+1 > 0 得 x > 3 x >-1, 如下圖 194
不等式及其應用 4 圖形重疊區域 x > 3 即為此部分的解 若 x-3 < 0 x+1 < 0 得 x < 3 x <-1, 如下圖 圖形重疊區域 x <-1 即為此部分的解 將 的解合併, 得一元二次不等式 x 2-2x-3 > 0 的解為 x <-1 或 x > 3, 如下圖 解不等式 x 2 -x-30 0 x 6 或 x -5 195
4-3 一元二次不等式 解不等式 2x 2 +x-3 0 因式分解 2x 2 +x-3, 得 (2x+3)(x-1) 0 欲使上列不等式成立 (2x+3) 與 (x-1) 必須一式為正, 另一式為負, 即 2x+3 0 x-1 0 或 2x+3 0 x-1 0 若 2x+3 0 x-1 0 得 x - 3 2, 如下圖 x 1 圖形重疊區域 - 3 2 x 1 即為 2x+3 0 的解 x-1 0 若 2x+3 0 x-1 0 得 x - 3 2, 如下圖 x 1 圖形沒有重疊區域, 故 2x+3 0 無解 x-1 0 將的解合併, 得不等式 2x 2 +x-3 0 的解為 - 3 2 x 1, 如下圖 196
不等式及其應用 4 解不等式 3x 2-10x+3 < 0 1 3 < x < 3 仿照以上兩個例題的說明, 我們可得一元二次不等式較簡捷的解法 : 一元二次不等式的解 若一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0(a > 0) 的兩實根為 且 < : 不等式 ax 2 +bx+c > 0 之解為 x < 或 x >, 如下圖 不等式 ax 2 +bx+c < 0 之解為 < x <, 如下圖 不等式若為 或, 其解類似, 圖解中空心圓圈改為實心圓圈即可 解不等式 20+x-x 2 0 解不等式時, 最高次項的係數為正的時候, 較便於討論, 故將 原不等式同乘以 -1, 使得二次項係數為正 ( 用移項的方式亦可 ) x 2 -x-20 0( 不等號要改變方向 ) 方程式 x 2 -x-20=0 的兩根為 x=-4 或 x=5 故 x 2 -x-20 0 的解為 -4 x 5 如圖所示 197
4-3 一元二次不等式 解不等式 2x 2-5x-3 < 0-1 2 < x < 3 解不等式 3x 2 +13x-10 > 0 3x 2 +13x-10 因式分解得 (3x-2)(x+5) 所以方程式 3x 2 +13x-10=0 的兩根為 x=-5 或 x = 2 3 故不等式 3x 2 +13x-10 > 0 的解為 x <-5 或 x > 2 3 如圖所示 試解下列不等式 : x 2 -x-12 > 0 x 2 +x-1 < 0 x <-3 或 x > 4-1 - 5 < x < -1 + 5 2 2 198
不等式及其應用 4 若不等式 2x 2 +ax+b < 0 的解為 因為 1 2 < x < 2, 試求 a b 的值 1 2 < x < 2, 所以 ( x - 1 2 ) (x-2)< 0 展開後得 x 2-5 2 x+1 < 0 將不等式改成整數係數 2x 2-5 x+2 < 0 與 2x 2 +ax+b < 0 比較係數得 a=-5 b=2 若不等式 x 2 +ax+b > 0 的解為 x < 1 或 x > 5, 試求 a b 的值 a=-6,b=5 解不等式 x 2 +4x+4 0 因為 x 2 +4x+4=(x+2) 2 所以方程式 x 2 +4x+4=0 有兩等根 -2-2 即根的判別式 4 2-414=16-16=0 當 x 為任一實數時,x 2 +4x+4=(x+2) 2 的值恆大於或等於 0, 故以任意實數代入不等式 x 2 +4x+4 0 恆成立, 即 不等式 x 2 +4x+4 0 的解為所有實數 解不等式 x 2-6x+9 > 0 199
4-3 一元二次不等式 若將例題 8 改為 x 2 +4x+4 < 0, 則 (x+2) 2 < 0, 此與 實數的平方恆 為正或零 的性質互相矛盾, 即在實數內找不到一個數能滿足不等式 x 2 +4x+4 < 0, 故不等式 x 2 +4x+4 < 0 無實數解 解不等式 x 2 +x+1 > 0 方程式 x 2 +x+1=0 根的判別式為 1 2-411=-3 < 0, 沒有實根 判別式 D=b 2-4ac 又由配方得 x 2 +x+1= ( x 2 +x + 1 4 ) + 3 4 = ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 所以當 x 為任一實數時,x 2 +x+1 的值恆大於 0, 故 x 2 +x+1 > 0 的解為所有實數 解不等式 2x 2 -x+3 > 0 所有實數 200
不等式及其應用 4 解不等式 x 2-2x+15 0 方程式 x 2-2x+15=0 根的判別式為 (-2) 2-4115=-56 < 0, 沒有實根又由配方得 x 2-2x+15=(x 2-2x+1)+14 =(x-1) 2 +14 > 0 所以當 x 為任一實數時,x 2-2x+15 的值理應恆大於 0, 任一實數皆不符題設, 故 x 2-2x+15 0 無實數解 解不等式 x 2-3x+9 < 0 無實數解 ( ) 不等式 x 2 +1 > 0 的解為所有實數, 不等式 (x+1) 2 > 0 的解亦為 所有實數 201
4-3 一元二次不等式 一般而言可得 : 結 論 設 a > 0, 多項式 ax 2 +bx+c 中, 令 D=b 2-4ac 若 D=0 不等式 ax 2 +bx+c > 0 的解為所有實數, 但 x - b 2a 不等式 ax 2 +bx+c 0 的解為所有實數 不等式 ax 2 +bx+c < 0 無實數解 不等式 ax 2 +bx+c 0 的解為 x=- b 2a 若 D < 0 不等式 ax 2 +bx+c > 0 的解為所有實數 不等式 ax 2 +bx+c 0 無實數解 ( ) 不等式 x 2-6x+9 0 的解為 x=3 設 k 為實數, 任意實數 x 均能使 x 2 +kx+4 的值恆為正, 試求 k 的範圍 因為任意實數 x 均能使 x 2 +kx+4 的值恆為正即不等式 x 2 +kx+4 > 0 的解為所有實數故 k 2-414 < 0 因式分解得 (k+4)(k-4)< 0 k 的範圍為 -4 < k < 4 202
不等式及其應用 4 設 k 為實數, 任意實數 x 均能使 2x 2-5x+k 的值恆為正, 試求 k 的範 圍 不等式中出現有絕對值符號的稱為絕對值不等式, 如 2x+1 3, x+1 x-1, 2x+1 + x-1 10 等, 其解法是先將絕對值符號去 除, 再按照前述的不等式解法繼續運算 解不等式 2x-1 x+1 ( 提示 : 利用 a 2 =a 2 來去除絕對值符號 ) 因為不等號兩邊皆大於或等於零, 所以先把不等號的兩邊平方 2x-1 2 x+1 2 展開 4x 2-4x+1 x 2 +2x+1 移項整理 3x 2-6x 0 因式分解 3x(x-2) 0 得 0 x 2 解不等式 2x-1 5-2 x 3 203
4-3 一元二次不等式 一 基礎型 解下列一元一次不等式 : 1 2 x+1 < x-4 1 3 (x+1) 1 2 (1-x) 2(1-x)-3(2x+1) 4(x-3) 解下列一元二次不等式 : 2x 2-5x-12 0 x 2-21x+80 > 0 (x+1)(x-1) x+1 x 2 +6x+9 > 0 x 2-4x-1 < 0 3-x-x 2 < 0 x 2 +3x+10 > 0 x 2-4x+5 0 二 研究型 設 k 為實數, 任意實數 x 均能使 x 2 -kx+3 的值恆為正, 試求 k 的範 圍 若不等式 x 2 +ax+b < 0 的解為 -3 < x < 5, 試求 a b 的值 若 ax+5 4x-7 的解為 x 2, 試求實數 a 值 204
不等式及其應用 4 4-4 絕對不等式 不論用任何數值代入一個不等式的不定元, 它都成立, 這樣的不等式叫作絕對不等式, 例如 :x 2 +1 0(x 為實數 ); 如果一個不等式中的不定元需要取某些特定的值不等式才成立, 而對另外一些值不成立, 這樣的不等式叫作條件不等式 例如 :2x+1>0 x 2-3x+2 < 0 x+2 2x-3 在本節中, 我們將要介紹兩個重要的絕對不等式 : 柯西不等式與算幾不等式 4-4.1 算幾不等式 我們先說明兩個新的名詞 : 算術平均數與幾何平均數 設 a 1 a 2 a 3 a n 表示 n 個正實數, 則 a 1 a 2 a 3 a n 的算術平均數 A = a 1 +a 2 +a 3 + +a n n 例如 : 二正數 a 與 b 的算術平均數 A = a+b 2 三正數 a b 與 c 的算術平均數 A = a+b+c 3 a 1 a 2 a 3 a n 的幾何平均數 G= n a 1 a 2 a 3 a n 例如 : 二正數 a 與 b 的幾何平均數 G = ab 三正數 a b 與 c 的幾何平均數 G = 3 abc 所謂算幾不等式, 就是算術平均數不小於幾何平均數的簡稱, 接下來我們 來說明算幾不等式 : 205
4-4 絕對不等式 算幾不等式 設 a 1 a 2 a 3 a n 表示 n 個正實數, 則 a 1 +a 2 +a 3 + +a n n n a 1 a 2 a 3 a n ( 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 = =a n ) 說明 : n=2 時因為 a 1 與 a 2 為正實數 所以 ( a 1 - a 2 ) 2 0( 等號成立 a 1 =a 2 ) a 1-2 a 1 a 2 +a 2 0 a 1 +a 2 2 a 1 a 2 n=4 時 由 知 a 1 +a 2 2 a 1 a 2 且 a 3 +a 4 2 a 3 a 4 a 1 +a 2 + a 3 +a 4 2 2 2 a 1 a 2 + a 3 a 4 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 4 4 a 1 a 2 a 3 a 4 ( 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 =a 4 ) 依此方式類推得知 n=2 4 8 16 2 m 時, 算幾不等式皆成立 n=3 時 令 由 a 1 +a 2 +a 3 =k 3 知 206
不等式及其應用 4 a 1 +a 2 +a 3 +k 4 4 a 1 a 2 a 3 k 3k+k 4 4 a 1 a 2 a 3 k k k 4 4 a 1 a 2 a 3 k a 1 a 2 a 3 k k 3 a 1 a 2 a 3 k n=5 時 3 a 1 a 2 a 3 即 a 1 +a 2 +a 3 3 3 a 1 a 2 a 3 ( 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 ) 令 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 5 = k a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +k+k+k 8 由 的模式, 我們可推得 8 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 kkk a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 5 5 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ( 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 =a 4 =a 5 ) 同理 n=6 7 時, 亦可用 8 個正數的平均數推得又 n=9 10 15 時, 可用 16 個正數的平均數推得 n=17 18 31 時, 可用 32 個正數的平均數推得由以上說明得知對任意自然數 n a 1 +a 2 +a 3 + +a n n 其中 等號 成立 n a 1 a 2 a 3 a n 恆成立 a 1 =a 2 =a 3 = =a n 一般解題時, 利用算幾不等式常用 n=2 或 n=3 的情形 : 207
4-4 絕對不等式 n=2 時 a 1 +a 2 2 a 1 a 2, 等號 成立 a 1 =a 2 n=3 時 a 1 +a 2 +a 3 3 3 a 1 a 2 a 3, 等號 成立 a 1 =a 2 =a 3 設 a > 0 b > 0 c > 0 且 a+b+c=6, 試求 abc 的最大值, 並求此時 的 a b c 之值 由算幾不等式知 a+b+c 3 3 abc 6 3 3 abc 8 abc 當 a=b=c 時,abc 有最大值 8, 又已知 a+b+c=6 故得 a=2 b=2 c=2 已知兩正數的和為 10, 試求此兩正數的乘積之最大值, 並求此時兩正 數各為多少? 最大值為 25, 且 a=5,b=5 208
不等式及其應用 4 設 a > 0 b > 0, 且 a+b=6, 試求 a 2 b 的最大值, 並求此時的 a b 之值 因為 a 2 b=aab 中有 2 個 a 與 1 個 b 所以我們要在已知的 a+b=6 中找出 2 個 a 故將 a+b=6 改寫成 由算幾不等式知 a 2 + a 2 + b 3 a 2 + a 2 + b=6 3 a 2 a 2 b 帶入得 6 3 3 a 2 b 4 整理得 8 當 a 2 b 4 故 32 a 2 b a 2 = a 2 = b 時, a 2 b 有最大值 32, 又已知 a+b=6 故得 a=4 b=2 設 a > 0 b > 0 且 a+b=30, 試求 ab 2 的最大值, 並求此時的 a b 之值 最大值為 4000, 且 a=10,b=20 209
4-4 絕對不等式 設 a > 0 b > 0 c > 0, 試證 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc 由算幾不等式知 a+b 2 ab b+c 2 bc c+a 2 ca 將三式相乘, 得 ( a+b 2 )( b+c 2 )( c+a 2 ) ab bc ca (a+b)(b+c)(c+a) 8 故 (a+b)(b+c)(c+a) a 2 b 2 c 2 =abc 8abc 設 a > 0 b > 0 c > 0 且 a+b+c=1, 試利用例題 3 推得下列不等 式 (1-a)(1-b)(1-c) 8abc 見解析 ( ) 設 a b c 為正數, 由算幾不等式 a b + b c + c a 3 3 a b b c c a = 3, 所以當 a=b=c 時, a b + b c + c a 有最小值 3 210
不等式及其應用 4 4-4.2 柯西不等式 我們先說明二次函數 f(x)=ax 2 +bx+c(a > 0) 的一個性質 : f(x)=ax 2 +bx+c=a ( x 2 + 2 ( b 2a ) x + b 2 4a 2 ) - b 2 4a 2 + c a =a ( x + b 2a ) 2 - b 2-4ac 4a 2 對任意實數 x, 欲使 f(x) 0 成立需要有何條件呢? 因為 a > 0, ( x + b 2a ) 2 0,4a 2 > 0 故 b 2-4ac 0 因此, 我們可得如下的結論 : 設 a > 0 且 a b c 均為實數, 若 f(x)=ax 2 +bx+c 0 對任意實數 x 恆成 立, 則判別式 D=b 2-4ac 0, 反之亦然 ( ) 若 b 2-4ac 0, 則二次函數 f(x)=ax 2 +bx+c(a > 0) 的圖形為 開口向上的拋物線, 且與 x 軸至多有一個交點 接下來我們來說明柯西不等式 : 柯西不等式設 a 1 a 2 a n,b 1 b 2 b n 是 2n 個實數, 則 (a 1 2 +a 2 2 + +a n 2 )(b 1 2 +b 2 2 + +b n2 ) (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 設 a 1 a 2 a n 不全為 0; 柯西不等式的等號成立存在有一實數 t, 使得 a 1 t=b 1 a 2 t=b 2 a n t=b n 211
4-4 絕對不等式 說明 : 若 a 1 =a 2 = =a n =0 或 b 1 =b 2 = =b n =0, 柯西不等式的等號顯然成立若 a 1 a 2 a n 不全為 0 時, 則考慮二次函數 f(x)=(a 1 x-b 1 ) 2 +(a 2 x-b 2 ) 2 + +(a n x-b n ) 2 很明顯當 x 為實數時,f(x) 0 將 f(x) 展開整理後得 f(x)=(a 2 1 +a 2 2 2 + +a n )x 2-2(a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n )x +(b 2 1 +b 2 2 2 + + b n ) 0 因為二次項係數 a 2 1 +a 2 2 + + a 2 n > 0, 又 f(x) 恆 0 所以 f(x) 的判別式 D 0 即 4(a 1 b 1 + a 2 b 2 + +a n b n ) 2-4(a 2 1 + a 2 2 2 + +a n )(b 2 1 +b 2 2 2 + + b n ) 0 故 (a 2 1 + a 2 2 2 + +a n )(b 2 1 + b 2 2 2 + + b n ) (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 柯西不等式中的 等號 成立二次函數 f(x) 的圖形與 x 軸相切, 也就是說有一實根 t 使得 f(t)=(a 1 t-b 1 ) 2 +(a 2 t-b 2 ) 2 + +(a n t-b n ) 2 =0 此時 a 1 t-b 1 =a 2 t-b 2 = =a n t-b n =0 亦即 a 1 t=b 1 a 2 t=b 2 a n t=b n 212
不等式及其應用 4 一般在利用柯西不等式時, 常用到 n=2 或 n=3 的情形, 因此整理如下 : n=2 時 (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ) (ax+by) 2 等號 成立 at=x bt=y;ab 0 時 n=3 時 a=b=0 或有一實數 t 使得 x a = y b = t (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) (ax+by+cz) 2 等號 成立 at=x bt=y ct=z; abc 0 時 a=b=c=0 或有一實數 t 使得 x a = y b = z c = t 設 x y 為實數, 且 x 2 +y 2 =1, 試求 3x+4y 的最大值及最小值 在柯西不等式中指數部分有很多是 2 因此利用柯西不等式時要留意指數 2 的位置由柯西不等式知 (3 2 +4 2 )(x 2 +y 2 ) (3x+4y) 2 251 (3x+4y) 2-5 3x+4y 5 上列不等式等號成立時有最大值與最小值, 且有一實數 t 使得 x=3t y=4t 代入 x 2 +y 2 =1 得 t 2 = 1 25 t = 1 或 - 1 5 5 213
4-4 絕對不等式 若 t = 1 5 則 x = 3 5 y = 4 5 3x+4y=3 3 5 +44 5 = 5 若 t=- 1 5 則 x=- 3 5 y =- 4 5 3x+4y=3 ( - 3 5 ) +4 ( - 4 5 ) =-5 故當 x = 3 5,y = 4 5 時 3x+4y 有最大值 5 當 x =- 3 5,y=- 4 5 時 3x+4y 有最小值 -5 利用柯西不等式, 求 3 +4 的最大值與最小值 最大值為 5, 最小值為 -5 214
4-4 絕對不等式 設 a > 0 b > 0 c > 0, 證明 (a+b+c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) 9 由柯西不等式知 (a+b+c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) = ( a) 2 +( b) 2 +( c) 2 ( 1 a ) 2 + ( 1 b ) 2 + ( 1 c ) 2 ( a 1 a + b 1 b + c 1 c ) 2 所以 (a+b+c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) (1+1+1) 2 故 (a+b+c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) 9 a b 為二正實數, 試求 (a+4b) ( 9 a + 1 b ) 的最小值 25 ( ) 設 x y z 為正數, 若 x+ y+ z= 15, 根據柯西不等式 (1+1+1)(x+y+z) ( x+ y+ z) 2 得 x+y+z 15 3 = 5, 故 x+y+z 的最大值為 5 216
不等式及其應用 4 一 基礎型 設 a b 為二正數, 若 3a+b=12, 試求 ab 的最大值, 並求此時的 a b 之值 設 x y z 為三正實數, 且 xyz=4, 試求 x+2y+z 的最小值 x y 二實數滿足 x 2 +4y 2 =8, 試求 3x+6y 的最大值與最小值 a b c 三實數滿足 4a 2 +9b 2 +16c 2 =61, 試求 a+b+c 的最大值 與最小值 a b c 三實數滿足 a+b+c=1, 試求 a 2 +b 2 +c 2 的最小值 二 研究型 有一長方體其所有稜線的長度和為 60, 試求此長方體最大體積為 何? 並求此時各稜線的長度 217
4 1 重點摘要 根據三一律, 一直線分平面成三個部分 : 一條直線 (ax+by+c=0) 與兩個半平面 (ax+by+c > 0 或 ax+by+c < 0) 決定二元一次不等式代表哪一個半平面, 找直線外的任一點測試即可 得, 通常以 (00) (10) 或 (01) 代入不等式中測試 不等式中的不等號, 若為 或, 圖解時直線部分以 實 線 繪出 不等式中的不等號, 若為 > 或 <, 圖解時直線部分以 虛 線 繪出 二元一次聯立不等式的圖解區域為各個不等式圖解的重疊區域 ; 若無 重疊區域, 則此聯立不等式無解 4 2 重點摘要 線性規劃 : 在某些限制條件下, 列出二元一次聯立不等式, 在此聯立不等式的解之中, 找一個能使某一次函數達到最大值或最小值的解, 此類問題稱為線性規劃 線性規劃中, 一次函數稱為目標函數 ; 聯立不等式的圖解區域稱為可行解區域 ; 在可行解區域中能使目標函數達成目標的解, 稱為最佳解 線性規劃的解題步驟 : 畫出可行解區域, 並求各個頂點坐標 將可行解區域的各頂點坐標代入目標函數, 即可求得目標值 218
4 3 重點摘要 一元一次不等式 :(a b 為實數,a 0) ax+b > 0 ax+b 0 ax+b < 0 ax+b 0 不等式 ax+b > 0 的解 : 若 a > 0 得 x >- b a 若 a < 0 得 x <- b a ( 不等號改變方向 ) 解不等式的過程中, 乘 除一個負數, 不等號要改變方向 設一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0(a > 0) 的兩實數根為, 且 < : 不等式 ax 2 +bx+c > 0 之解為 x < 或 x > 不等式 ax 2 +bx+c < 0 之解為 < x < 設一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0(a > 0) 有兩相等實根, 即 b 2-4ac=0, 則 不等式 ax 2 +bx+c 0 之解為所有實數 不等式 ax 2 +bx+c < 0 無解 219
設一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0(a > 0) 無實根, 即 b 2-4ac < 0: 不等式 ax 2 +bx+c > 0 之解為所有實數 不等式 ax 2 +bx+c 0 無解 4 4 重點摘要 設 a > 0, 且 a b c 均為實數 若 f(x)=ax 2 +bx+c 0, 對任意實數 x 恆成立 則判別式 D=b 2-4ac 0 算幾不等式 a 1 a 2 a n 表示 n 個正實數, 則 a 1 +a 2 + +a n n n a 1 a 2 a n 等號 成立時,a 1 =a 2 = =a n 柯西不等式 設 a 1 a 2 a n,b 1 b 2 b n 是 2n 個實數, 則 (a 1 2 +a 2 2 + +a n 2 )(b 1 2 +b 2 2 + +b n2 ) (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 若 a 1 a 2 a n 不全為 0, 等號 成立時, 必有一實數 t 存在使得 a 1 t=b 1 a 2 t=b 2 a n t=b n 220
( ) 不等式 2x-3y > 2 的圖形不通過第 一 二 三 四 二和三象限 4 1 ( ) 若 (2k) 為 x-2y > 8 的圖形內一點, 則 k 的範圍為 k > 3 k <-3 k <-6 k > 6 k >-3 4 1 ( ) 下列何點不在不等式 3x-4y < 1 的圖形內? (00) (15) (0-1) (-10) (100100) 4 1 ( ) 圖所示的斜線部分, 是下列哪一個不等式的圖形? 2x-y-2 < 0 2x+y+2 0 x-2y-2 0 x+2y-2 > 0 2x-y+2 < 0 4 1 圖 圖 ( ) 圖斜線區域所表示的不等式為 3x 2y x 3 + y 2 1 x 2 + y 3 0 x 2 + y 3 1 2x+3y+6 0 4 1 221
( ) 不等式 x-y+1 < 0 的圖形不含哪個象限的點? 一 二 三 四 三和四象限 4 1 ( ) 若 P(k-1) 不在 x+3y-5 < 0 的圖形內, 則 k 的範圍為 k > 8 k < 8 k < 2 k 2 k 8 4 1 ( ) 在坐標平面上, 不等式組 -3 x 2-2 y 5 所圍之區域面 積為 10 15 35 48 50 4 1 ( ) 在 x 0 y 0 x+2y-2 0 2x+y-2 0 之條件下,2x+3y 的最大值為 1 5 4 3 3 4 10 3 4 2 ( ) 在 x 0 y 0 3x+4y 12 2x+y 6 的條件下, f(xy)=5x+3y 的最大值為 9 15 12 78 5 88 5 4 2 ( ) 在 x 0 y 0 x+2y-2 0 2x+y-2 0 之條件下,2x+3y 的最小值為 1 5 4 3 3 4 10 3 4 2 ( ) 在不等式組 x 0 y 0 2x+y-6 0 x+2y-6 0 的圖解區 域中, 若 x y 為整數, 則點 (xy) 共有多少個? 8 9 10 11 無限多 4 2 222
( ) 不等式 3-3x > 2(4+x) 的解為 x >-1 x < 11 x < 11 5 x < 1 x <-1 4 3 ( ) 不等式 1 2 (3x-1)- 1 3 (2x-1)< 1 的解為 x < 6 x < 2 5 x < 7 5 x < 1 x < 4 5 4 3 ( ) 不等式 x 2-3x-18 < 0 的解為 -3 < x < 6-6 < x < 3-6 < x <-3 x <-3 或 x > 6 x <-6 或 x > 3 4 3 ( ) 滿足不等式 2x 2-3x-35 0 的整數個數有 5 8 9 10 無限多個 4 3 ( ) 若不等式 x 2 +ax+b < 0 的解為 2 < x < 5, 則 a+b= 17 3-3 -17 7 4 3 ( ) 不等式 x 2-4 0 的解為 0 x 4-4 x 0-2 x 2 x -2 或 x 2 無解 4 3 ( ) 不等式 x 2 -x+1 > 0 的解為 -1 < x < 1 x <-1 或 x > 1-1 - 3 2 < x< -1 + 3 2 全部實數 無解 4 3 223
( ) 不等式 x 2 +21x+80 0 的解為 5 x 16-5 x -16-16 x -5 x -16 或 x -5 x 5 或 x 16 4 3 ( ) 6-5x-x 2 > 0 的解為 -6 < x < 1 x <-6 或 x > 1-3 < x < 2 x <-2 或 x > 3 無解 4 3 ( ) 若不等式 x 2 +4x+k 0 的解為所有實數, 則 k 的範圍為 k=4 k > 4 k < 4 k 4 k 4 4 3 ( ) 不等式 x 2 +x 0 的解為 無解 所有實數 x 0-1 x 0 x -1 或 x 0 4 3 ( ) 若不等式 x 2 +ax+b < 0 的解為 -3 < x < 4, 則 a+b= -13 1 7-1 11 4 3 ( ) 不等式 x 2 +3 > 0 的解為 無解 所有實數 - 3< x < 3 x <- 3 或 x > 3-3 < x < 3 4 3 ( ) 不等式 x 2-6x+9 0 的解為 x > 3 x < 3 x=3 所有實數 無解 4 3 ( ) 設 x y z 為正實數, 滿足 x+y+z=2, 則 xyz 的最大值為 8 27 2 3 1 2 8 4 4 224
( ) 設 a b x y 為實數, 且 a 2 +b 2 =6 x 2 +y 2 =24, 則 ax+by 的 最大值為 30 最大值為 12 最小值為 -6 最小值為 -18 最小值為 -144 4 4 ( ) 設為任意角, 則 6-8 的 最小值為 -2 最小值 為 0 最大值為 10 最大值為 14 最大值為 48 4 4 ( ) 設 a > 0 b > 0, 則 (a+2b) ( 1 a + 2 b ) 的最小值為 6 7 8 9 10 4 4 225