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1 22 線性規劃在日常生活中, 我們常會面臨如下的問題 : 如何把有限的資源, 做最佳且最有效地運用, 以收到最大效益? 例如 : 好康生技工廠這個月生產 A,B 兩種健康食品, 每公斤的成本分別為 150 元和 300 元, 且每公斤的利潤分別為 450 元和 600 元已知該工廠生產這兩種健康食品的總量不超過 2400 公斤, 且可用的資金最多是元根據市場調查, 這兩種健康食品都可以銷售出去, 那麼好康生技工廠應如何分配 A,B 兩種健康食品的產量, 才能獲得最多的利潤? 這就是一個典型的規劃問題, 而解決這類規劃的問題, 我們必須先根據題意, 設定目標 ( 如上述問題, 即建立利潤函數 ); 再從問題中找出限制條件, 轉化為代數式 ; 最後尋求最佳策略, 以達成規劃問題的目標規劃問題的限制條件, 轉化為代數式後, 通常是以不等式的型態出現, 而上述問題牽涉含有兩個變數的一次不等式, 所以就讓我們先探討這種二元一次不等式及其解區域 ( 甲 ) 二元一次不等式的解區域二元一次不等式的解區域 : 二元一次不等式是指 a+b+c>(<,,)0 這種形式的不等式二元一次不等式 a+b+c>(<,,)0 的解區域, 即為所有滿足該不等式的解 (0,0) 所形成的圖形 (1) 如何判別兩點在一直線的同側或異側? 原理 : 設 L:p+q+r=0,P(1,1) Q(2,2), (a) 若 P Q 兩點在直線 L 的異側, 則 (p1+q1+r)(p2+q2+r)<0 (b) 若 P Q 兩點在直線 L 的同側, 則 (p1+q1+r)(p2+q2+r)>0 [ 證明 ]: (a) 因為 P Q 兩點在直線 L 的異側, 令 PQ 與直線交於 R(,) PR 設 RQ =m, 根據分點公式, 可得 = 1+m2 1+m,=1+m2 1+m 因為 R(,) 在直線 L 上 p( 1+m2 1+m )+q(1+m2 1+m )+r=0 (p1+q1+r)+m(p2+q2+r)=0 m= (p1+q1+r) (p2+q2+r) >0 (p1+q1+r)(p2+q2+r)<0 (b) 設在直線 PQ 上取一點 R, 使得 R(,) 分別與 P Q 落在直線 L 異側根據 (a) 的證明可得 (p+q+r)( p1+q1+r)<0 且 (p+q+r)( p2+q2+r)<0 (p1+q1+r)(p2+q2+r)>0 Q R Q P P L L ~221~ R

2 (2) 如何找出二元一次不等式的解? 例子一 : 請在座標平面上畫出滿足 +24<0 的點 (,) 所形成的區域? [ 解法一 ]: 如右圖, 考慮鉛直線 =0, 它與 +24=0 的交點為 A(0, 40 2 ), 又在 A 點正下方設 B(0,) A( 0, ) 很顯然 < 40 (0,2) <0 B( 0,) 因此 B(0,) 滿足 +24<0 換句話說, 鉛直線上落在 A 點下方的所有點 (,) 均滿足 +24<0 現在讓 =0 作變動它會通過所有 +24<0 的解 (,), 因此可以得到, 滿足 +24<0 的點 (,) 形成的圖形區域是直線 +24=0 的下方區域 [ 解法二 ]: ( 0,0) (4,0) 利用判別兩點在直線的同側與異側的條件, 可以先代一個已知點 A(0,0) 顯然 (0,0) 是 +24<0 的解, 因此與 A(0,0) 同側的點都是 +24<0 的解, 而與 A(0,0) 異側的點都不是 +24<0 的解, 因此 +24<0 的解 (,) 所形成的區域是與 (0,0) 同側的點所成的圖形, 因此是直線 +24=0 的下方區域結論 : 設 L:p+q+r=0 (a) 若 P Q 兩點在直線 L 的異側, 則 (p1+q1+r)(p2+q2+r)<0 若 P Q 兩點在直線 L 的同側, 則 (p1+q1+r)(p2+q2+r)>0 (b) 設直線 L 將座標平面分成兩個半平面 H1 H2 設 (0,0)H1 且 p0+q0+r>0, 則對於任意點 (,)H1 恆有 p+q+r>0, 而對於任意點 (,)H2, 恆有 p+q+r<0 [ 例題 1] 試在坐標平面上, 圖解下列各二元一次不等式 : (1) ; (2) >0 [ 解答 ]: (1) 因為 , 即 2 + 6<0 或 = 0, 所以之解集合為一直線與一半平面的聯集, 而 2 + 6<0, 即 > 2 + 6, 其解為 = 0 之上半平面, 故的圖解如下圖左 (2) >0, 式中不含等號, 故其解集合為一半平面, 而不含直線 = 0, 故先以虛線表示此直線, 再檢查因原點不是 >0 的解, 故 >0 之解為不含原點之另一半平面, 圖解如下圖右 (0,6) (0,3) (-3,0) (2,0) ~222~

3 ( 練習 1) 試在坐標平面上, 圖解下列各二元一次不等式 : (1) ; (2) <0; (3) + 2 2>0 ( 練習 2) 坐標平面上, 已知直線 L:212 0, 點 A(a, 6) B(3, b), (1) 設 A 在 L 之右半平面中, 求 a 值的範圍 ; (2) 設 B 在 L 之下半平面中, 求 b 值的範圍 Ans:(1)a>9 (2)b<18 [ 例題 2] 設 A( 5,6 ),B( 2,0 ),C( 1, 2 ) 為坐標平面上的三點 (1) 試以聯立不等式表示 ABC 的內部? (2) 若 P(k,k1) 為 ABC 內部一點, 則實數 k 的範圍為 Ans:(1) (2) 1 5 <k<3 A B C ( 練習 3) 試圖示不等式組的解, 並求其可行解區域的面積 0 0 Ans: 10 ~223~

4 ( 練習 4) 圖示不等式組 Ans: 面積的解, 並求其可行解區域的面積 2 6 ( 乙 ) 線性規劃在二元一次不等式組的限制下, 尋求符合實際應用的最佳解答, 這是應用數學中的一門學問, 稱為線性規劃 (Linear Programming) 常見的有兩類 : 某些條件限制下, 研究最節省的人力或物力就可完成目標在一定的人力物力限制下, 創造最高的利潤例子 : 某工廠用兩種不同的原料均可生產同一產品, 若採用甲原料, 每噸成本 1000 元, 運費 500 元, 可生產出產品 90 公斤 ; 若採用乙原料, 每噸成本 1500 元, 運費 400 元, 可生產出產品 100 公斤現在工廠的預算是成本不可超過 6000 元, 運費不得超過 2000 元, 請問在此預算下, 最多可生產出多少公斤的產品? [ 解法 ]: 0 0 (1) 設甲原料用噸, 乙產品用噸根據預算可得聯立不等式組 :, 將這個聯立不等式組的解 (,) 畫在坐標平面上所形成的區域, 稱為可行解區域甲原料用噸, 乙產品用噸可以生產出 f(,)= 公斤因此整個問題的核心, 就是要在聯立不等式組的條件下 ( 在預算的限制下 ), 求 f(,) 的最大值, 我們稱 f(,) 為目標函數這樣的過程就是線性規劃最簡單的形式 : 0 0 接下來的問題是, 要如何在聯立不等式組 : 的條件下, 找出目標函數 f(,)= 的最大值 ~224~

5 (2) 平行線法 : 首先, 先畫出可行解區域, 如左下圖當點 P(,) 在可行解區域中, 目標函數 f(,)= 的最大值為何? 令 k=90+100, 因此可以將 =k 視為一群平行直線 9+10=0 的直線在可行解區域中的點 P(m,n), 代入 f(,) 得到的 k0 直線 =k0 會與可行解區域交於點 P(m,n) 另一方面, 直線 =k1 與可行解區域沒有交點可行解區域中的任何點 P(m,n) 代入 f(,) 中都不會有 k1 的值產生 10+15=60 5+4=20 B B(0,4) C( 12 7,20 7 ) C A(4,0) A 9+10=0 根據前面的說明, 可知在與可行解區域有交點的平行直線中, 要找出最大的 k k 相當於求最大的截距 90, 因此從圖形可以看出來, 當平行線通過 C 點時, k 會有最大的截距 90, 所以當 (,)=( 12 7,20 7 ) 時,f( 12 7,20 7 )=440 為最大值 (3) 頂點法 : 從另一觀點來看, 當可行解區域為凸區域時, 而目標函數為 f(,)= =k 視為一群平行直線, 而 k 的最大值與最小值都會發生在頂點之處因此另一方法就是將各頂點代入 f(,), 即可求出最大值頂點 A(4,0) B(0,4) C( 12 7,20 7 ) (0,0) f(,)= 現在我們再把前面解決規劃問題的方法整理如下 : 找出問題的目標 :( 建立利潤函數 ) ~225~

6 問題的目標是要求最大利潤, 而利潤可以表成, 的一次式 f(,)= 這個二元一次式也可以稱為此問題的目標函數, 它的變數是, 從問題中找出條件限制式 ( 即二元一次聯立不等式 ): 這個聯立不等式的每一個解, 稱為此問題的可行解 ; 由全部可行解所成的區域, 稱為此問題的可行解區域如何做最佳決策以達成問題的目標 : 利用平行線法或頂點法, 在可行解區域中, 找出使目標函數 f(,) 之值最大 ( 或最小 ) 的解 (,), 這個解 (,) 就稱為此問題的最佳解 [ 例題 3] 右圖坐標平面上, 為原點, 點 A F 分別在軸軸上, 已知直線 DEF 3 2 直線 BCE 直線 ACD 之斜率分別是 4, 且數對 (, ) 之可行解 5 3 區域 R 是五邊形 FECA 及其內部, 試問 : 下列各直線分別與 R 交於何點時其常數項有最大值? (1) L1:3 + = k1;(2) L2: + 3 = k2;(3) L3:32 = k3 [ 解答 ]: (1) L1:3 + = k1 斜率為 3, 因 3 4<3<, 而 L1 由經處越往右上平移其 k1 值越大, 故 5 L1 過 E 點時 k1 有最大值 1 3 (2) 同理,L2: + 3 = k 2 之斜率介於與 0 之 3 5 間, 而 L2 位置越往右上其 k2 值越大, 得 L2 於過 C 點時 k2 有最大值 (3) L3:32 = k3 斜率為, >, 而 L1 由經點處越往右下平移其 k3 值越大, L3 過 F 點時 k3 有最大值 ~226~

7 [ 例題 4] 若, 滿足 0,0,3+2120,+20, 則 (1)(,)=? 時,2+3 有最大值 =? (2) 的最大值 =? 最小值 =? (3) 的最大值 =? 最小值 =? Ans:(1)(,)=(4,0), 最大值 =11 (2)36,2 (3)8, 2 5 C D A B [ 例題 5] 設 (, ) 滿足 , 若 4, 1可使 k 27 取得最大值, 求 k 值的範圍為 Ans: 2 k 2 3 ~227~

( 練習 5) 設實數, 受限於 5 32 27 與 35 +3 31, 試在坐標平面上圖示其可行解區域, 並求下列各式的範圍 : 6 (1) 值 ; (2) 值 ; (3) 3; (4) 2+7; (5) 15 Ans:(1)5 13 (2) 12 8 6 3 (3) 5 3 33 (4) 82 2+7 70(5)6 15 7 2 12 3 21 ( 練習 6) 設實數, 受限於,

8 ( 練習 5) 設實數, 受限於與 , 試在坐標平面上圖示其可行解區域, 並求下列各式的範圍 : 6 (1) 值 ; (2) 值 ; (3) 3; (4) 2+7; (5) 15 Ans:(1)5 13 (2) (3) (4) (5) ( 練習 6) 設實數, 受限於, 今有定義於此範圍之二函數 f1 與 f2, 0 0 (1) 試在坐標平面上圖示其可行解區域 ; (2) f1(, ) = 2+7, 求 f1(, ) 的最小值 ; (3) f2(, ) = m, 若直線 +2 = 12 與 3+ = 21 交於點 P(a, b), 且 f2(, ) 之最小值為 f2(a, b), 求實數 m 值的範圍 (0,21) (7,0) (12,0) 1 Ans:(1) (2)24 (3) 3 m 2 ( 練習 7) 設一線性規畫的可行解區域為如圖所示之正六邊形內部 ( 含邊界 ), 而目標函數為 a, 若已知 A 點為此目標函數取得最大值之唯一的點, 則 a 值的範圍要有限制若以不等式表示, 則 a 之範圍為 Ans: (0,6) 3<a<0 (6,3) ~228~

[ 解法 ]: 設推出甲型預售屋棟, 推出乙型預售屋棟,, 為整數 (1) 寫出目標函數問題要求最大利潤, 亦即使目標函數 P=500+500( 萬元 ) 的值最大 (2) 根據問題, 列出二元一次聯立不等式, 並作出可行解區域由上表得 : 500+200 3500,

9 [ 例題 6] 建築公司在房市熱絡時推出甲乙兩型熱門預售屋企業部門的規劃如下 : 甲型屋每棟地價成本為 500 萬元, 建築費用為 900 萬元, 乙型屋每棟地價成本為 200 萬元, 建築費用為 1500 萬元, 公司在資金部份限制地價總成本上限為 3500 萬元, 所有建築費用的上限為 1 億 2000 萬元 ; 無論甲型或乙型售出, 每棟獲利皆為 500 萬元, 假設推出的預售屋皆可售出, 請問推出甲乙兩型預售屋各幾棟, 公司才可得到最大利潤? [ 解法 ]: 設推出甲型預售屋棟, 推出乙型預售屋棟,, 為整數 (1) 寫出目標函數問題要求最大利潤, 亦即使目標函數 P= ( 萬元 ) 的值最大 (2) 根據問題, 列出二元一次聯立不等式, 並作出可行解區域由上表得 : , , 0, 0 即 , , 0, 0 作出可行解區域如圖 : 各頂點的坐標為 (0,0),A(0,8),B(5,5),C(7,0) (3) 尋求最佳解依據題意,, 須是整數, 而各頂點也都是格子點, 故將各頂點坐標代入目標函數, 得其對應值如下 : 最佳解是 (5,5) 所以推出甲乙型預售屋各 5 棟, 公司才可得到最大利潤 5000 萬元 ~229~

[ 例題 7] 有一營養師規劃利用食物 A 與食物 B 組成營養餐的主食已知各食物含營養成分如下表 : 食物 A 每 100 公克需 30 元, 食物 B 每 100

100 + 100 = 3 10 + 4 10 ( 元 ) 的值最小 (2) 根據問題, 列出二元一次聯立不等式, 並作出可行解區域 : 60 20 100 + 100

10 [ 例題 7] 有一營養師規劃利用食物 A 與食物 B 組成營養餐的主食已知各食物含營養成分如下表 : 食物 A 每 100 公克需 30 元, 食物 B 每 100 公克需 40 元假設營養師希望營養餐的主食最少能提供 12 單位的蛋白質,9 單位的鐵質以及 16 單位的碳水化合物, 那麼他必須使用食物 A 與食物 B 各幾公克組合成營養餐的主食, 才能使花費最低? [ 解法 ]: 假設該營養師使用公克的食物 A 與公克的食物 B 組合成營養餐的主食 (1) 寫出目標函數 : 問題要求最低花費, 亦即使目標函數 P= = ( 元 ) 的值最小 (2) 根據問題, 列出二元一次聯立不等式, 並作出可行解區域 : , 3+ 60, 由上表得 , + 30, 即 , , 0, 0 0, 0 作出可行解區域, 如右圖 : 可行解區域的頂點坐標分別為 A(0,60),B(15,15),C(20,10),D(40,0) (3) 尋求最佳解 : ~2210~

5),D(27,0) (3) 尋求最佳解 : +=k 表一組斜率為 -1 的平行線, 愈往右上方移動, 截距愈大,k 值也就愈大, 而且直線 +=k 的斜率介於 2+=15 與 +2=22 兩直線的斜率之間, 所以當直線 +=k 通過點 B( 8 3, 29 3 ) 時,k 值最小, 但根據題意,, 必須為整數, 所以可行解區域中的格子點才符合題意將 = 8 29 8 3,= 3 代入 +,

11 將各頂點坐標代入目標函數, 得其對應值如下 : [ 例題 8] 一家積木玩具工廠, 欲將兩種大小不同的木板裁成甲乙丙三種規格的積木兩種木板可裁得這三種規格的積木個數如右表所示若欲得甲乙丙三種規格的成品各 15,22,27 個, 則這兩種木板各需多少塊, 才能使總數最少? [ 解法 ]: 設使用第一種木板塊, 第二種木板塊 (1) 寫出目標函數 : 問題要求兩種木板使用的總數最少, 即是使目標函數 P=+ 的值最小 (2) 根據問題, 列出二元一次聯立不等式, 並作出可行解區域 : 2+ 15, +2 22, 由上表得 +3 27, 0, 0 作出可行解區域, 如右圖 : 可行解區域各頂點的坐標為 A(0,15),B( 8 3, 29 3 ),C(12, 5),D(27,0) (3) 尋求最佳解 : +=k 表一組斜率為 -1 的平行線, 愈往右上方移動, 截距愈大,k 值也就愈大, 而且直線 +=k 的斜率介於 2+=15 與 +2=22 兩直線的斜率之間, 所以當直線 +=k 通過點 B( 8 3, 29 3 ) 時,k 值最小, 但根據題意,, 必須為整數, 所以可行解區域中的格子點才符合題意將 = ,= 3 代入 +, 得 = 37 3 =12 1 3, 於是可行解區域裡的每個點 (,) 滿足 , 而其中的格子點 (,) 必須滿足 + 13 因此可行解區域中滿足 +=13 的格子點就是問題的最佳解將直線 +=k 往右上方移動, 當 k=13 時, 直線 +=13 與可行解區域相交的格子點有 (2,11),(3,10),(4, 9), 用不等式組檢驗, 這三個格子點的確都在可行解區域內, 所以第一種木板與第二種木板各需 2,11 塊或 3,10 塊或 4,9 塊, 其總數 13 塊最少 ~2211~

12 ( 練習 8) 某公司有甲乙二廠生產三種型式的彩色電視機,其營業狀況如下表所示:每日生產廠別甲廠乙廠量 ( 架 ) 型式問甲乙兩廠每週開工幾日就可以最節省的方式供應所需? Ans: 每週甲開工 2 日,乙開工 4 日最節省每週至少需要量 ( 架 ) I II III 每日開支 ( 元 ) ( 練習 9) 王先生採收酪梨共獲 1080 粒, 要打包裝箱上市已知大箱一箱可裝 25 粒, 小箱一箱可裝 8 粒 ; 每個大箱子成本 60 元, 每個小箱子成本 20 元試問能將這 1080 粒的酪梨剛好裝完, 所用的箱子成本最少為元 Ans: 社詳解設用大箱子個, 小箱子個 8t 0 t =1080 設 =8t,=13525t 且 t 0 t 5.8 所以 t=0,1,2,3,4,5 成本 :60+20=60(8t)+20(13525t)=270020t 當 t=5 時, 成本有 Min=2600 ( 練習 10) 大盛紙業有限公司有兩家工廠, 第一廠生產 A4 紙張 40 噸, 第二廠生產 A4 紙張 50 噸今該公司自甲乙兩家經銷商接獲訂單, 甲經銷商申購 A4 紙張 30 噸, 乙經銷商申購 A4 紙張 40 噸如果自第一二廠運送 A4 紙張至甲乙兩家經銷商每噸的運費如右上表所示 : 請幫該公司找出最佳方法 ( 運費最低 ), 以分配兩廠將 A4 紙張運至甲乙兩經銷商 Ans: 第一廠 30 噸至甲,10 噸至乙 ; 第二廠 30 噸至甲,20 噸至乙 ~2212~

13 綜合練習 (1) 已知 A(3, 10) B(1, 2), 直線 L : 72 + k = 0, 若直線 L 與線段 AB 有交點, 求實數 k 之範圍 (2) 試作不等式 (2+-8)(+-5) 0 與軸及軸圍成的區域及其面積 4 2 (3) 設聯立方程組的解形成的區域面積為 2 (4) 如右圖, 設 (0,0),A(0,5),B(2,7),C(4,3), D(4,0) (a) 試以二元一次聯立不等式表示五邊形 ABCD 的內部區域 ( 含邊界 ) (b) 若 (,) 為五邊形 ABCD 內部區域 ( 含邊界 ) 的點, 求 2+3 的最大值與最小值 (5) 已知點 P(a,b) 在三條直線 L1:4+312=0 L2:2+4=0 L3: 349=0 所圍成的三角形內部或邊界上, 則 P(a,b) 的坐標必滿足下列哪些不等式? (A)3a4b90 (B)2ab+40 (C)a 2 +b 2 61 (D)5a3 (E)11a+b3 (6) 設 A(1,3),B(4,1),C(5,6), 直線 m 1恆與 ABC相交, 則 m 的範圍為 (7) 已知右圖為二元一次聯立不等式 a 0 b c 5的解區域, 試求 a,b,c 0 (8) 坐標平面上滿足聯立不等式 + 2, 之區域的面積為 (2002 指定考科甲 ) (9) 已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形 ABCD 及其內部, 其中 A(4,0), B(8,10),C(6,14), D(2,6) 為坐標平面上的四個點若目標函數 k=a+b+32(a,b 為實數 ) 在四邊形 ABCD 的邊界上一點 (4,10) 有最小值 18, 試求數對 (a,b)=? (2010 指定乙 ) (10) 某公司召聘新員工, 共有 1600 人應徵參加筆試筆試場地借用甲大學的教室, 該校可租借的大教室有 50 間, 每間可容納 40 人, 每間租金 500 元 ; 小教室有 60 間, 每間可容納 20 人, 每間租金 1 50 元考慮監考人員的限制, 筆試教室不能超過 60 間試問租借大教室間, 小教室間, 來進行筆試, 最省租借場地費用 (2009 指定乙 ) (11) 為預防禽流感, 營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養素 A 至少 72 單位的營養素 B 和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群這三種營養素可由兩種飼料中獲得, 且知第一種飼料每公斤售價 5 元並 ~2213~ A(2,6) B(5,0)

14 含有 7 單位的營養素 A,3 單位的營養素 B 與 3 單位的營養素 C; 第二種飼料每公斤售價 4 元並含有 2 單位的營養素 A,6 單位的營養素 B 與 2 單位的營養素 C (1) 若雞場主人每天使用公斤的第一種飼料與公斤的第二種飼料就能符合營養師吩咐, 則除了 0 0 兩個條件外, 寫下, 必須滿足的不等式組 (2) 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求, 則, 的值為何? 最少的飼料成本又是多少? (2006 指定考科乙 ) (12) 南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤, 該植物每 200 公斤可提煉 1 公斤的中草藥, 每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品中草藥每公斤可獲利 5000 元, 健康食品每公斤可獲利 100 元 ; 根據市場調查, 每年中草藥最大需求量為 30 公斤, 健康食品最大需求量是 1800 公斤如果南北生技農場決定提煉中草藥公斤, 並製成健康食品公斤, 設 P 為其可獲利潤 (a) 試以, 表示 P (b) 如果想獲得最大利潤, 則, 的值為何? 說明理由 (2004 指定乙 ) (13) 建築公司在房市熱絡時推出甲乙兩型熱門預售屋企劃部門的規劃如下 : 甲型屋每棟地價成本為 500 萬元, 建築費用為 900 萬元, 乙型屋每棟地價成本為 200 萬元, 建築費用為 1500 萬元, 公司在資金部分限制地價總成本上限為 3500 萬元, 所有建築費用的上限為 1 億 2000 萬元 ; 無論甲型或乙型售出, 每棟獲利皆為 500 萬元, 假設推出的預售屋皆可售出, 請問推出甲乙兩型預售屋各幾棟, 公司才可得到最大利潤 (2008 指定乙 ) 0 6 (14) 設 a,b 為實數已知坐標平面上滿足的區域是一個菱形 2 0 a b (1) 試求此菱形之邊長 (2) 試求 a,b 的值 (2011 指定乙 ) (15) 某工廠可以買甲乙兩種規格的鐵板來製作熊大徽章兔兔徽章和饅頭人徽章每塊甲規格的鐵板可以製作 8 個熊大徽章 4 個兔兔徽章及 8 個饅頭人徽章, 每塊乙規格的鐵板可以製作 4 個熊大徽章 4 個兔兔徽章及 16 個饅頭人徽章已知甲規格的鐵板每塊的成本為 400 元, 乙規格的鐵板每塊的成本為 320 元 ; 然而零售商需要 28 個熊大徽章 20 個兔兔徽章及 48 個饅頭人徽章為了滿足零售商的需求, 設工廠要買進塊甲規格鐵板塊乙規格鐵板, 其中和為非負整數, 由下列步驟, 求出何時才能達到最低成本 (a) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數 (b) 求可行解區域的所有頂點的坐標 ~2214~

15 (c) 工廠所需最低成本為多少元? (2014 指定乙 ) ( 1)(2 2) 0 (16) (a) 試求不等式 0 所圍成圖形之面積為何? 2 (b) 若直線 =m3 與 (a) 圖形相交, 則實數 m 之範圍為何? 2 4 (17) 設 k 為實數,F 為坐標平面上由下列不等式所定義之區域 : 1, 0, 0 若 z=+k 在 (2,1) 處有最大值, 試求 k 之範圍 (18) 設一線性規劃的可行解區域如右圖所示六邊形內部區域 ( 含界 ), 而目標函數為 -a; 若已知 A 點為此目標函數取得最大值之唯一點, 則 a 值的範圍要有限制, 若以不等式表示, 求 a 之範圍 (19) 設 R 且滿足 0, 0,3 3, 2 3 6, 則下列各選項何者正確? (A)2 的最大值為 2 (B)2 的最小值為 (C) ( 2) ( 1) 的最小值為 5 (D) 1 3 的最大值為 2 2 (20) 一農民有田五甲, 手頭資金共元, 依他的經驗, 在他田地上種稻每甲每年產量為 8000 公斤, 種花生則為 2000 公斤, 但種稻成本每甲每期為元, 花生為 4000 元今設稻米之收益為每公斤 2.6 元, 花生為 6.5 元試問這位農民能得到的最大收益為元 (21) 某自行車公司在新竹台中個有一個倉庫, 新竹存貨 700 輛自行車, 台中存貨 800 輛自行車, 現在公司接獲桃園客戶訂 480 輛台北客戶訂 360 輛, 而由新竹運到桃園每輛自行車運費 46 元, 由新竹運到台北每輛自行車運費 53 元, 由台中運到桃園每輛自行車運費 50 元, 由台中運到台北每輛自行車運費 55 元, 現在想知道公司要如何配送才能使總運費最低? 設配送方式為新竹送到桃園輛, 新竹送到台北輛, 試求 : (a), 必須滿足的不等式組 (b) 總運費的目標函數 (c) 在平面上做出 (a) 的圖形 (d) 如何配送才能使得總運費最低? 最低運費又是多少? (22) 一五金商有二工廠,第一廠有產品 40 單位,第二廠有產品 50 單位,該商人自甲乙二鎮獲貨單,甲鎮申購產品 30 單位,乙鎮申購產品 40 單位,如果自第一二廠運產品至甲乙兩鎮,每單位運費如下表所示,應如何分配二廠產品數量至甲乙,以使運費最低? (a) 第一廠運單位到甲鎮, 單位到乙鎮. (b) 第二廠運單位到甲鎮, 單位到乙鎮. ~2215~

16 (c) 最低運費甲鎮第一廠 10 元第二廠 12 元乙鎮 14 元 15 元元. (23) 某貨運公司有載重 4 噸的小貨車 7 輛, 載重 5 噸的大貨車 4 輛, 及 9 名司機, 現在受託每天至少要運送 30 噸的煤, 則 (a) 這家公司有幾種調度車輛的辦法? (b) 設運送一趟的成本, 小貨車需花費 500 元, 大貨車需花費 800 元, 則公司如何調派才能使成本最節省? 花費多少元? 進階問題 (24) 坐標平面上, 已知 A(2, 15) B(6, 1) C(8, 3), 今有一個由 ΔABC 及其內部所組成的三角形區域 T, 如果在區域 T 中有無限多個點可使目標函數 f(, ) = m + 取得最大值, 求 m 之值 (25) 設 a b 為實數, 若 f() = a+b, 且 2< f(1)< 6,2< f(3)< 10, 求 (a) f ( 2 1 ) 之範圍 ;(b) f (10) 之範圍 (26) 在一個牽涉到兩個未知量, 的線性規劃作業中, 有三個限制條件坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域假設目標函數 a b (a, b 是常數 ), 在此三角形的一個頂點 (19,12) 上取得最大值 31, 而在另一個頂點 (13,10) 取得最小值 23 現因業務需要, 加入第四個限制條件, 結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域, 頂點少了 (19,12), 新增了 (17,13) 和 (16,11) 在這四個限制條件下, 請選出正確的選項 (A) a b 的最大值發生在 (17,13) (B) a b 的最小值發生在 (16,11) (C) a b 的最大值是 30 (D) a b 的最小值是 27 (2003 指定考科甲 ) (27) 坐標平面上, 有直線 L: = m( 5 3 )+6(m 為實數 ) 與 A(0, 9) B( 6 3, 6 3 ) 二點, 若直線 L 與線段 AB 有交點, 試求 (a) L 之斜率 m 的範圍 ;(b) L 之斜角 α 的範圍 (28) p0,q0,r0,p+q+r=1, 求滿足 =p+3q+4r,=2p+q+3r, 之點 (,) 所形成區域面積 (29) 設 abc2,3a+2bc=4, 則 a+2b+c 的最大值 =? (30) 坐標平面上,D, 16 6 為一多邊形區域, 試求 (a) D 之頂點坐標 ;(b) D 之面積 ;(c) D 中使 3 最大的點坐標 (31) 在坐標平面上, + 10 的圖形, 如右圖所示 : (a) 請畫出 ( + 1)( )0 的圖形 (b) 請畫出 ( + 1)( )( )0 的圖形 ~2216~

17 (c) 請求出 ( + 1)( )( )( n1 )0 之面積 An (32) 已知 01,f()= 21, 試求 (a) 作出 =f(f()) 之圖形 (b) 滿足方程式 f(f(f()))= 的值有幾個 (33) 實係數二次方程式 2 a+b=0 的二實根, 滿足 10,12, 如此的 (a,b) 圍成一區域, 試求 (a)2a+b 的最大值 =? 最小值 =? (b)a 2 +b 2 的最小值 =? (34) 設為非負整數, 若 + 2 是 5 的倍數, + 是 7 的倍數, 而且 , 求 (a) (, ) 共有幾組解 ;(b) 7+11 的最大值 ~2217~

(1) 1 k 11 (2) 11 2 (3) 16 5 (4) (a) -+5 0, 2+- 11 0, 4, (5) (B)(C)(D) 0, 0 綜合練習解答 (b) 最大值 25, 最小值 0 (6) m4 或 m 1 2 (7) a= 1 3,b=1,c=1 2

已知最小值發生在邊界的內點 E(4,10), 故邊界上的點 ( 包含頂點 ) 都會發生最小值經畫圖或檢查斜率, 可以得知 E(4,10) 會落在 CD 上, 因此目標函數 k=a+b+32 會在頂點 C D 上發生最小值故可以得到

18 (1) 1 k 11 (2) 11 2 (3) 16 5 (4) (a) -+5 0, , 4, (5) (B)(C)(D) 0, 0 綜合練習解答 (b) 最大值 25, 最小值 0 (6) m4 或 m 1 2 (7) a= 1 3,b=1,c=1 2 (8) = 2 即 + = 2 上移 1 單位 3 可得所求面積之對角線 AB 3, AC, 2 所以面積 = 9 2 (9) (14,7) [ 解答 ]: 因為可行解區域為四邊形區域, 且目標函數 k=a+b+32 所以最小值會發生在頂點或邊界上已知最小值發生在邊界的內點 E(4,10), 故邊界上的點 ( 包含頂點 ) 都會發生最小值經畫圖或檢查斜率, 可以得知 E(4,10) 會落在 CD 上, 因此目標函數 k=a+b+32 會在頂點 C D 上發生最小值故可以得到 18=4a+10b+32,18=2a+6b+32, 解得 a=14 或 b=7 (10) (11) (1) 2 24 (2) 目標函數 f(,)= 在 (,)=(18,3) 時有最小值 102 (0,1800) (5,1800) (30,800) (30,0) ~2218~

0 30 (12) (a) P 5000 100 (b) 依題意 (, ) 滿足 : 0 1800 200 5 10000 0 30 0 1800 40 2000 可行解區域如右圖 P 5000 100 表斜率為 50的直線在可行解區域平行移動到過 ( 30,800) 時有最大值, 提煉中草藥 30 公斤, 製成健康食品 800 公斤, 可獲得最大利潤 (13) 各推 5 棟預售屋 (14)

19 0 30 (12) (a) P (b) 依題意 (, ) 滿足 : 可行解區域如右圖 P 表斜率為 50的直線在可行解區域平行移動到過 ( 30,800) 時有最大值, 提煉中草藥 30 公斤, 製成健康食品 800 公斤, 可獲得最大利潤 (13) 各推 5 棟預售屋 (14) (1)2 5 (2)a=2,b=3 10 [ 提示 : 可行解區域如圖所示 ] (15) 依題意可以得知線性規劃不等式為 , 為非負整數目標函數 ( 成本 )= 畫出可行解區域如下 : 利用頂點法, 考慮目標函數 f(,)= 在各頂點 (0,7) (2,3) (4,1) (6,0) 的值, 可以得知 : 當 (,)=(2,3) 時,f(2,3)=1760 最小故工廠所需最低成本為 1760 元 (16) (a) (17) 1k2 (18) 2<a<0 (19) (A)(C)(D) (20) 元 (b)m 1 2 或 m7 ~2219~

0 480 0 360 (21) (a) (b)2+ (c) 略 700 40 (d)=480 =220 時總運費 41440 元最低 (22) (a)30,10, (b)0,30, (c)890 (23) (a) 10 種 ;(b) 小貨車 5 輛, 大貨車 2 輛, 花費最省花費 4100 元詳解 (1) 設小貨車用輛, 大貨車用輛 0 7 0 4,Z 0 9 4 5 30

20 (21) (a) (b)2+ (c) 略 (d)=480 =220 時總運費元最低 (22) (a)30,10, (b)0,30, (c)890 (23) (a) 10 種 ;(b) 小貨車 5 輛, 大貨車 2 輛, 花費最省花費 4100 元詳解 (1) 設小貨車用輛, 大貨車用輛 ,Z 在可行解區域可找到的格子點有共有 10 個格子點有 10 種調度車輛的方式 (2) 目標函數 f (, ) = 將格子點代入, 則 f ( 5,2 ) = 4100 有最小值需小貨車 5 輛, 大貨車 2 輛, 花費最省為 4100 元 (24) m = 2 (25) (a) 3< f ( 2 1 )<5;(b) 12< f (10)<52 (26) (A)(C) (27) (a) m 1 或 m 3 ; (b) 60 α 135, 但 α 90 (28) 5 2 [ 提示 : 用, 表示 p,q,r p= ,q= +1 2,r= , 再根據 p0,q0,r0 求出滿足條件之點 (,) 的區域 ] (29) 4 (30) (a) (0,0) (11,11) (6,16) (3,3);(b) 110;(c) (11,11) (31) (c)an= 8 5 [1(1 4 )n ] (0,1) ~2220~

21 (32) (a) (b)8 個解 [ 提示 : 先作 = 21 的圖形, 再將 = 21 的圖形沿軸伸縮 2 倍再下移 1 單位, 再將軸下方的圖形對軸作鏡射即可得 (a) 的圖形 (b)= f(f(f())) 的圖形是將 (a) 的圖形沿軸伸縮 2 倍再下移 1 單位, 再將軸下方的圖形對軸作鏡射所得到的, 再討論與 = 的交點即可知有 8 個交點 ] (33) (a)4,1 (b) 1 2 [ 提示 : 令 =f()= 2 a+b, 根據 10,12 1 a b 0 b 0 可得 f(1)>0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0 ] 1 a b 0 4 2a b 0 (34) (a) 26 組 ;(b) 365 ~2221~

22 補充教材其它不等式的解若 f(,)=0 為一封閉區域, 則通常滿足 f(,)>0 或 f(,)<0 的點 (,) 會形成一個區域例一 : 考慮 = 的圖形 ( 此時 f(,)= ), 如右圖, 它是一個折線, 而 f(,)>0 的圖形為折線上方的區域 f(,)<0 的圖形為折線下方的區域 B 例二 : 如右圖, + =4 的圖形為菱形 ABCD 則滿足 + <4 的點 (,) 會形成菱形 ABCD 的內部而滿足 + >4 的點 (,) 會形成菱形 ABCD 的外部 C A D [ 例題 9] 試圖示所表示之區域,並求此區域面積 Ans: 面積 = 85 2 [ 例題 10] 求不等式 ( 3 2 6)(2 3 6) 0 的圖形之面積為 Ans: 24 5 ~2222~

23 [ 例題 11] (1) 請畫出 = 2 之圖形, (2) 請就 k 的值, 討論 2 =k 的實數解的個數 [ 分析 ]: (1) 將 =f() 的圖形在軸下方的部分對軸作對稱, 再加上 =f() 原先在軸上方的圖形, 即可構成 = f() 的圖形 f ( ) (2)f()=k 的實數解個數 = 交點個數 k [ 解法 ]: 先畫 = 2 的圖形 : 再將 = 2 的圖形在軸下方的部分 (0,2) 對軸作對稱, 即可得 = 2 之圖形 = 2 = 2 (0,2) (0,2) 2 (2) 考慮的交點個數可得 k k<0 無實數解 k=0 或 k>2 有二個實數解 0<k<2 有四個實數解 k=2 有三個實數解 (0,2) = 2 (0,2) ( 練習 11) 求所圍面積 = Ans:16 ~2223~

24 ( 練習 12) 下列哪些方程式圖形所圍的面積與 1 所圍區域面積大小相等? 2 3 (1) (2) 1 (3) (4) (5) Ans:(1)(2)(3)(5) ( 練習 13) 求作的圖形, 其區域面積為 Ans:8 ( 練習 14) 作下列不等式之圖形, 並求其面積: ( + -1)( + -2)( + -3) 0 Ans: 面積 =12 ( 練習 15) = 2 之圖形與 =m+5 之圖形恰有二個交點, 請問 m 的範圍 =? Ans:m1 或 m1 ~2224~

. 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x

. 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x - 一元二次不等式基礎型. 試解下列各不等式 ()x+ > x, 答 : () x + x < x, 答 : () ( x+ )( x), 答 : 答 () x < () x > () x 解 ()x+ > x + > x x > x () 同乘 6 得 :( x) (x+ ) < 6(x ) 9x x < 8x 6 + 6< 8x 5x < x () 同乘 ( ) 得 : ( x+ )(x )