前言 高考命题规律 年份 题号 题型 考查内容 思想方法 分值 理 :7 解答题 等比数列求通项 求前 项和 方程组思想 分 0 年 文 :6 选择题 等差数列的基本公式 方程组思想 5 分 文 :7 解答题 等比数列求通项 求前 项和 方程组思想 0 分 理 :5 选择题 等比数列的性质 方程组思
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1 数列综合讲义 前言...0 第 讲数列通项 公式法 累加法 累乘法 差商法 构造辅助数列...09 第 讲数列求和...0. 公式法.... 倒序相加.... 分组球和....4 裂项求和....5 错位相减 等差绝对值求和 奇偶幷项求和...6 第 讲 数列的通项与求和综合...7 第 4 讲 数列的性质 单调性 数列的最值 奇偶 ( 性 ) 幷项 周期性...8 第 5 讲 简单的数列不等式证明...9 第 6 讲 存在性问题 ( 整除问题 )... 第 7 讲 创新型问题... 第 8 讲 数阵问题 ( 数列群 )...5 第 9 讲 数列与其他知识综合...6 第 0 讲 (extr) 放缩法证明数列求和不等式...8
2 前言 高考命题规律 年份 题号 题型 考查内容 思想方法 分值 理 :7 解答题 等比数列求通项 求前 项和 方程组思想 分 0 年 文 :6 选择题 等差数列的基本公式 方程组思想 5 分 文 :7 解答题 等比数列求通项 求前 项和 方程组思想 0 分 理 :5 选择题 等比数列的性质 方程组思想 5 分 0 年 理 :6 填空题 数列的周期性 利用周期性求和 5 分 文 : 选择题 数列的周期性 利用周期性求和 5 分 文 :4 填空题 等比数列前 项和 方程思想 5 分 理 :7 选择题 等差数列前 项和 方程思想 5 分 0 年 理 : 选择题 与三角形的综合应用判断数列的增 ( 减 ) 性 特殊 比较 5 分 理 :4 填空题由 与 S 关系求 比差法 5 分 文 :6 选择题 等比数列通项 前 项和 方程思想 5 分 文 :7 解答题 等差数列通项 前 项和 方程组 列项相消 分 理 :7 解答题 与 S 关系判定及证明 比差法 分 04 年 05 年 由 文 :7 解答题等差数列通项前 项和 理 :7 解答题 及一元二次的解法, 与 S 关系求通项 ; 前 项 由 和 乘公比错位相消 方程组 换元法, 裂项相消 法 分 分 文 :7 选择题等差数列 : 基本量求某一项 ; 方程思想 5 分 文 : 填空题等比数列 : 基本量求项数方程思想 5 分 06 年理 : 选择题等差数列, 基本量求某一项方程思想 5 分 理 :5 填空题等比数列, 累积求最值函数思想 5 分 文 :7 解答题等差数列通项公式, 等比数列前 项和 S 赋值, 利用公式 求和 分 07 年理 :4 选择题等差数列, 基本量求公差方程思想 5 分 理 : 选择题数列分群问题等比数列求和 5 分 文 :7 解答题等比数列求通项, 判定等差方程思想 分 纵观全国 Ⅰ 卷的数列试题, 我们可以发现, 全国 Ⅰ 卷的数列题注重基础, 强调双基, 讲究解题的通性通法, 常常以 找常数 找邻居 找配对 构函数 作为数列问题一大亮点 从 0 年至 07 年, 全国 Ⅰ 卷理科试题共考查了 道数列题, 其中 9 道都是标准的等差或等比数列, 主要考查等差或等比数列的定义 性质 通项 前 项和 某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识 而文科试题共考查了 道数列题, 其中 9 道也都是标准的等差或等比数列, 主要考查数列的性质 求通项 求和 求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识
3 基础知识 一 等差等比对比类型项目 等差数列 等比数列 定义 d ( ) q 中项 (, A, b ) b A b A 通项公式 ( ) d = ( m) d m m q mq m p q m p q m p q S, S S, S S m m m m m 成公差为 m d 的等差数列 m 成公比为 q 的等比数列 S 单调性 p q S ( ) S d 或 单调递增 : d 0 单调递减 : d 0 q S ( q ) q 或 q q q 0, q (,, 4,8) 单调递增 0, 0 q ( 8, 4,, 0,0 q (8,4,,) 单调递减 0, q (,, 4,8) 二 等差等比补充 等差数列篇 : 判定: d ( ) ; d ( ) ; ( ) ( 等差中项法 ) k b, ( ), p q S d S A B ( 可用于选择填空快速判断, 不可用于证明 )
4 函数的观点看数列 d d d, 所以该通项公式可看作 关于 的一次函数, (i) 从而可通过函数的角度分析等差数列的性质 d (ii) S d ( d ), 即 S 是关于项数 的二次函数, 且 不含常数项, 可记为 S A B 的形式 从而可将 S 的变化规律图像化 S 数列{ } 也是等差数列 4 若两个等差数列{ },{ b } 的前 和分别为 S, T, 则 b S T 5 奇偶数项问题 ( 会自行推导 ) 项数为 项 : S S奇 d 项数为 项 : S S 偶奇偶 等比数列篇 : 判定: q N 对于 N, 均有 ( 等比中项法 ) k q ( 指数类函数 ) ( q ) S q k q k q q q 函数的观点看数列 等比数列 ( 可用于选择填空快速判断, 不可用于证明 ) 的通项公式 q ( q 0) 还可以改写成 q q 当 q 0 且 0 时, y q x 是一个指数函数, 而 y q x 是指数型函数. q 因此等比数列 的点列 (, ) 分布在指数型函数 y q x 的图像上, q 即等比数列 的图像是函数 y q x 的图像上的一群孤立点 q, 4
5 三 数列的周期性 类比周期函数的概念, 我们可定义 : 对于数列 { }, 如果存在一个常数 T ( T N ), 使得对任意的正整数 0 恒有 T 成立, 则称数列 { } 是从第 0 项起的周期为 T 的周期数列 若 0, 则称数列 { } 为纯周期数列, 若 0, 则称数列 { } 为混周期 数列,T 的最小值称为最小正周期, 简称周期 常见周期如下所列 : () s T s T x y 特别地,, x b T k b () s T s T T T T () T 4 (4) T 6 T T 4 T 6 t t ( 类比 t( ) 6 ) 6 t t 6 四 几个常见的求和公式 () i ( ) i ( )( ) () i 6 i ( ) () i [ ] i 5
6 第 讲 数列通项 高考真题 (06 全国 Ⅰ 卷文 ) 已知 { } 是公差为 的等差数列, 数列 { b } 满足 b, b, b b b, 则 { } 的通项公式是 (05 全国 Ⅰ 卷 ) S 为数列 { } 的前 项和. 已知 则 { } 的通项公式为 >0, = 4S (0 全国 Ⅰ 卷文 ) 已知等差数列 { } 的前 项和 S 满足 S 0, S5 5, 则 { } 的通项 公式是 (0 全国 Ⅰ 卷理 ) 若数列 { } 的前 项和 S, 则 { } 的通项公式是 (00 全国 Ⅰ 卷理 ) 设数列 { } 满足,, 则 { } 的通项公式是 (009 全国 Ⅰ 卷文 ) 设等差数列 { } 的前 项和为 S, 公比是正数的等比数列 { b } 的前 项和为 T. 已知, b, b 7, T S, 求 { },{ b } 的通项公式 (007 全国卷 Ⅰ 文 ) 设 { } 是等差数列,{ b } 是各项都为正数的等比数列, 且 b, b5, 5 b, 求 { } { b } 的通项公式 (005 全国卷 Ⅰ 文 ) 设正项等比数列 的首项, 前 项和为 S, 且 0 0 S0 ( ) S0 S0 0, 则 { } 的通项公式是 6
7 . 公式法 等差比通项公式 万能公式 S,( ) 注意通项能否合并 S S,( ) (07. 化州二模 ) 已知 S 为数列 { } 的前 项和, 且 log ( S ), 则数列 { } 的通项公式为 (06.9 广东适应性考试 ) 已知数列 { } 的各项均为正数, S 为其前 项和, 且对任意 N, 均有 S 成等差数列, 则. 累加法 形如 f ( ) 型的递推数列 例 : 数列 { } 满足 :, 且, 求 (07.04 武汉调研 ) 已知数列 { } 满足 若 ( ) (, N ), 则数列 { } 的通项 ( ) (A) (B) (C) (D) (07 河北衡水六调改 ) 若数列 { } 满足, 且对于任意的 N, 则 都有 7
8 . 累乘法 形如 f ( ) f ( ) 型的递推数列 例 : 已知数列 { } 满足 :, 且, 求 变式 : 设 { } 是首项为 的正项数列, 且 ( ) 0( i,,,...), 则.4 差商法 (07. 广州调研 ) 已知数列 求数列 的通项公式 满足 N. L..., 求 已知数列 中,, 对所有 N 且 时都有 8
9 .5 构造辅助数列类型 : 形如 p q ( 其中 p, q 均为常数且 p 0 ) 类型 : 形如 p f ( ) ( p ) m 类型 : 形如 p q 类型 4: 形如 p q 特别地, 当 p q 时, 便是著名的兔子数列, 也就是斐波那契数列, 其通项可通过特征根方程求得 类型 5: 形如 q p ( p 0, 0) [( ) ( ) ] 5 (07.0 惠州二调 ) 已知数列 满足, ( N ), 则数列 的 通项公式为 变式 : 已知数列 满足, ( N ), 则数列 的 通项公式为 变式 : 已知数列 满足, ( N ), 则数列 的 通项公式为 变式 : 已知数列 满足, ( N ), 则数列 的 通项公式为 (07 云南师大附中月考 ) 已知数列 则 满足, 且 (, N ), 设数列 满足 :,, 且对于其中任意三个连续的项,,, 都有 :, 求 通项公式 9
10 第 讲 数列求和 高考真题 (06 全国 Ⅰ 卷文 ) 已知 { } 是公差为 的等差数列, 数列 { b } 满足 b, b, b b b, 求 { b } 的前 项和 (05 全国 Ⅰ 卷文 ) 数列 则 中,, S 为 的前 项和, 若 S 6, (05 全国 Ⅰ 卷理 ) S 为数列 { } 的前 项和. 已知 b, 则数列 b 的前 项和为 >0, = 4S, 设 (0 全国卷 Ⅰ 文 ) 已知等差数列 { } 的前 项和 S 满足 S 0, S5 5, 求数列 { } 的前 项和 (0 全国 Ⅰ 文 ) 已知数列 { } 的前 项和为 S,, S, 则 S ( ) (A) (B) ( ) (C) ( ) (D) 0
11 (00 全国 Ⅰ 文 ) 记等差数列 { } 的前 项和为 S, 设 S, 且,, 成等比 数列, 求 S (00 全国 Ⅰ 卷理 ) 设数列 { } 的前 项和 满足,, 设 b, 求数列 { b } (009 全国卷 Ⅰ 理 ) 在数列 { } 中,, ( ) (Ⅰ) 设 b, 求数列 { b } 的通项公式 (Ⅱ) 求数列 { } 的前 项和 S (007 全国卷 Ⅰ 文 ) 设 { } 是等差数列,{ b } 是各项都为正数的等比数列, 且 b,, 5 b, 求 { } 的前 项和 b b5 (005 全国 Ⅰ 文 ) 设正项等比数列, 求 S S ( ) S S 的首项, 前 项和为 S, 且 的前 项和 T
12 . 公式法 p q () 等差数列求和公式 : S p q () 等比数列求和公式 : S S d q q, q, q. 倒序相加 通项公式特点 : 等差 等比, 比如, 其中 代表一个等差数列的通项公式 ( 关 于 的一次函数 ), 代表一个等比数列的通项公式 ( 关于 的指数型函数 ), 那么便可以使用错位相减法 例 : 已知函数 f x x, 求 : f ( ) f ( ) f ( ) f f f ( 07. 衡水六调 ) 已知函数 f x x e x e, 数列 为等比数列, 且, 则 l 0, f l f l f
13 . 分组求和通项公式特点 : 有一类数列, 既不是等差数列, 也不是等比数列, 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合, 使其转化成常见的数列, 然后分别求和, 再将其合并即可 例 求数列的前 项和 :, 4, 7,,, 例 求数列 的前 项和..4 裂项求和 通项公式特点 : 的表达式能够拆成形如 f f k 的形式 ( k=,, ), 从 而在求和时可以进行相邻项 ( 或相隔几项 ) 的相消 从而结果只存在有限几项, 达到求和目 的 其中通项公式为分式和根式的居多 较为常见的裂项形式 : () ( ) () () ( ) ( )( ) (4) [ ] ( )( ) ( ) ( )( ) (5) ( ) (6) ( ) ( ) ( )
14 (07.0 惠州二调 ) 已知等差数列 的前 项和为 则数列 的前 0 项和为 ( ) S (A) (B) 0 (C) 9 0 S, 且 9 6, 4, (D) 8 9 (07 衡水四调 ) 已知数列 的前 项和为 5, 则 (07. 河北鸡泽月考 ) 已知数列 { } 项和 T 4 的各项均为正数,,, 若数列 4 的前 项和 S, 则数列 { } 的前 (07. 天一联 ) 设等差数列 { } 的前 项和为 S, 首项, 且 (Ⅰ) 求 及 S (Ⅱ) 求数列 { } 的前 项和 T SS S08 S07 = (04, 桐乡市校级期中 ) 设数列, 其前 项和 S,b 为单调递增的等比数 列, b b b 5, b b () 求数列, b 的通项公式 () 若 c b b b, 求数列 c 的前 项和 T 4
15 .5 错位相减求和 通项公式特点 : 等差 等比, 比如, 其中 代表一个等差数列的通项公式 ( 关 于 的一次函数 ), 代表一个等比数列的通项公式 ( 关于 的指数型函数 ), 那么便可以 使用错位相减法 (07.0 珠海期末 ) 已知 { } 为等比数列,, 4 7, S 为等差数列 { b } 的前 项和, b, S 5 5 (Ⅰ) 求 { } 和 { b } 的通项公式 (Ⅱ) 设数列 { c } 满足 c b ( N), 求数列 { c } 的前 项和 T (07 山西五校联考 ) 已知等差数列 的公差 0 (Ⅰ) 求数列 (Ⅱ) 求数列 的通项公式 的前项和 T d, 且 6, 4 5
16 .6 等差绝对值求和 例 : 已知数列 为等差数列, 其前 项和为 S, 且 5, S9 9, 数列 b (Ⅰ) 求 的通项公式 (Ⅱ) 求数列 b 的前 项和 T (06.0 珠海高三期末 ) 已知等差数列 { } 的公差不为零,, 且, 5, 6 成等 比数列. (Ⅰ) 求 { } 的通项公式 (Ⅱ) 设 S +, 求 S..7 奇偶幷项求和 ( 详见 4. 数列的奇偶性 ) 6
17 第 讲数列的通项与求和综合 高考真题 (07 全国 Ⅰ 卷文 7) 记 { S } 为等比数列 { } 的前 项和, 已知 S, S 6 (Ⅰ) 求 { } 的通项公式 ; (Ⅱ) 求 S, 并判断 S, S, S 是否成等差数列 (0 全国 Ⅰ 卷理 ) 设等差数列 { } 的前 项和为 S, 若 Sm, Sm 0, Sm, 则 m ( ) (A) (B)4 (C)5 (D)6 (04 全国 Ⅰ 理 ) 已知数列 { } 的前 项和为 S,, 0, S, 其 中 为常数, (Ⅰ) 证明 : [ 来源 : 学 科 网 Z X X K (Ⅱ) 是否存在, 使得 { } 为等差数列? 并说明理由 (0 全国 Ⅰ 文 ) 已知等比数列 { } 中, (Ⅰ) S 为 { } 的前 项和, 证明 : S, 公比 q (Ⅱ) 设 b log log... log, 求 { b } 的通项公式 (008 全国 Ⅰ 文 ) 在数列 { } 中,, (Ⅰ) 设 b. 证明 : 数列 b (Ⅱ) 求数列 的前 项和 S 是等差数列 7
18 典例精讲 (07. 上海金山区一调 ) 数列 { } 的通项公式是, 数列 { b } 的通项公式是 b N ( ), 令集合 A {,,... }, B { b, b,... b }. 将集合 A B 中的所有元素 按从小到大的顺序排列, 构成的数列记为 { c }. 则数列 { c } 的前 8 项的和 S8 ( 南昌摸底 ) 已知数列 { } b ( ) S N. (Ⅰ) 求数列 { } 的通项公式 (Ⅱ) 求数列 { b } 的前 项和 T 的前 项和 S, 数列 { b } 满足 (07.0 广州一模 ) 已知数列 { } 的前 项和为 S, 且 S (N ) (Ⅰ) 求数列 { } 的通项公式 (Ⅱ) 求数列 { S } 的前 项和 T 4 ( 安徽六校一联 ) 已知数列 的前 项和为 S, 满足, S, (Ⅰ) 求数列 的通项公式 (Ⅱ) 若数列 b 满足 : b log, 求数列 b 的前 项和 S 5 (07.0 河南天一联二测 ) 已知数列 的首项为 (Ⅰ) 求数列 的通项公式 ; (Ⅱ) 若 b log ( ), 求数列 { } 的前 项和 T. bbb, 且 N. 8
19 6 (07. 广东七校二联 ) 设数列 { } 满足 5 ( ) (Ⅰ) 求 { } 的通项公式 (Ⅱ) 数列 b 满足 log ( ) b, 求数列 b 的前 项和 S 7 (07 衡水四调 ) 已知数列 的前 项和为 S, 且 S N,, 数列 b 满 4log b, N 足 (Ⅰ) 求, b (Ⅱ) 求数列 b 的前 项和 T 8 (07 衡水一调 ) 已知数列 (Ⅰ) 求数列 的通项公式 是等差数列, 且, (Ⅱ) 令 b, 求数列 b 的前 项和 S 9 (07. 化州二模 ) 设数列 { } 满足, 点 (, ) ( N ) 均在直线 y x 上. (Ⅰ) 证明 : 数列 { } 为等比数列, 并求出数列 } 的通项公式 { (Ⅱ) 若 b log ( ), 求数列 {( ) b } 的前 项和 T 9
20 0 (07. 广东百校二联 ) 已知正项数列 的前项和 S 满足 S. (Ⅰ) 求数列,b 的通项公式 满足,, 数列 b (Ⅱ) 求数列 { } b 的前 项和 T (07. 福建华安月考 ) 已知等差数列 的前 项和为 S, 公差为, 且, S, S 4 成等比数列. (Ⅰ) 求数列 的通项公式 (Ⅱ) 设 b ( N ), 求数列 b 的前 项和 (07.04 山东德州二模 ) 已知等比数列 的前 项和为 ( N ). (Ⅰ) 求 的值及数列 的通项公式 S, 且 6S (Ⅱ) 设 b ( ) ( ) (log ) (log ), 求 b 的前 项和 T 0
21 第 4 讲数列的性质 高考真题 (05 全国 Ⅰ 卷 ) 设等比数列 { } 满足 0, 4 5, 则... 的最大值为 (05 全国 文 ) 已知 { } 是公差为 的等差数列, S 为 { } 的前 项和, 若 S8 4S4, 则 0 ( ) (A) 7 (B) 9 (C)0 (D) [ 来源 : 学 科网 ZXXK] (0 全国 Ⅰ 文 ) 设首项为, 公比为 的等比数列 { } 的前 项和为 S, 则 ( ). (A) S (B) S (C) S 4 (D) S (0 全国 Ⅰ 文 ) 设 S 为等差数列 的前 项和, 若, 公差 d, S S 4, 则 k ( ) (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 (00 全国 Ⅰ 文 ) 已知各项均为正数的等比数列 { } 中, 5, , 则 456 ( ) (A) 5 (B) 7 (C) 6 (D)4 (009 全国 Ⅰ 文 ) 设等差数列 { } 的前 项和为 S, 若 S9 7, 则 4 9 (008 全国 Ⅰ) 已知等比数列 { } 满足, 6, 则 7 ( ) (A)64 (B)8 (C)8 (D)4 (007 全国 Ⅰ 文 ) 等比数列 { } 的前 项和为 S, 已知 S, S, S 成等差数列, 则 { } 的公比为
22 4. 单调性. 判断数列单调性的方法 : () 根据数列单调性的定义判断 : 若 是递减数列 ; 若, 则 是常数列 ;, 则 是递增数列 ; 若 () 根据数列通项公式转化为对应函数, 利用函数性质判断 ; () 根据函数图像判断 ;. 根据数列的单调性可以解决数列中的最值问题 : () 利用当 小项来求数列的最值 ; 时, 是数列中的最大项 ; 利用当, 则 时, 是数列中的最 () 构造函数, 通过作差. 作商等方法来确定函数单调性, 从而进一步求出数列的最值 ; 例 : 已知数列 (Ⅰ) 求,, 前 项和 的通项公式 (Ⅱ) 设 c ( ), 若数列 c S S 0 S 满足 是单调递减数列, 求实数 的取值范围 数列 是递增数列, 且对于任意的 N, 恒成立, 则实数 的取值范围 9 ( ) 0 已知数列 中第 k 项最大, 则 k = 数列 中, 0, 则此数列最大项的值是 ( ) 0 (A) 50, (B), 44 (C) 45, 44 (C) 45, 50
23 ( ) x ( x 7), 4 设函数 f ( x) 数列 x6 满足 f ( ), ( x 7), = f ( ), N, 且数列 是递增数列, 则实数 的取值范围是 N, 且数列 满足 5 (0 全国 Ⅰ 卷理 ) 设 A BC 的三边长分别为, b, c, A B C 的面积为,,,,... c b S, 若 b c, b c,, b, c, 则 ( ) (A){ S } 为递减数列 (B){ S } 为递增数列 (C){ S } 为递增数列, { S } 为递减数列 (D){ S } 为递减数列,{ S } 为递增数列 6 (04 湖南卷 ) 已知数列 满足, p, N (Ⅰ) 若 是递增数列, 且,, 成等差数列, 求 p 的值 (Ⅱ) 若 p, 且 是递增数列, 是递减数列, 求数列 的通项公式
24 4. 数列的最值 ( 范围 ) 例 : 设等差数列 的前 项和为 S, 且满足 S5 0, S6 0, 则 S, S,, S 5 5 中最大 的项为 ( ) S (A) 7 7 S (B) 6 6 S (C) 9 9 S (D) 8 8 例 : 已知 是等差数列, 公差 d 0, 其前 项和为 S, 若, 4, 8 成等比数列, 则 ( ) (A) d 0, ds 4 0 (B) d 0, ds 4 0 (C) d 0, ds 4 0 (D) d 0, ds 4 0 (07.0 厦门一测 ) 已知 是等差数列, 其前 项和为 S, 5 5, 4 6 0, 则 S 的最大值为 (07 安徽马鞍山二模 ) 设等差数列 的前项和为 S, 若 S4 0, S 5 5, 则 4 的最大值为 ( ) (A) (B) (C)4 (D)5 (07. 广州调研 ) 在各项都为正数的等比数列 的最小值为 中, 若 08, 则 (07. 上海徐汇区一调 ) 若公差为 d 的等差数列 { } N 公差 d 的取值范围是 满足 0, 则 4 5 (07.0 广州一模 ) 设 S 为数列 的前 项和, 已知, 对任意 p, qn, 都有, 则 f p q p q S 60 ( N ) 的最小值为. 4
25 6 (07.09 衡水金卷 ) 已知数列 { } 与 { b } 的前 项和分别为 S, T, 且 0, 6S, N,, 若 N, k T 恒成立, 则 k 的最小值 b ( )( ) 是 ( ) (A) 7 (B) 49 (C) 49 (D) (07. 上海松江区一调 ) 已知数列 若对任意 m, N m 都有 (,6) 6 的通项公式为 q q( q 0, N ),, 则实数 q 的取值范围为 8 (07.0 安徽安庆二模 ) 已知数列 { } 是各项均不为零的等差数列, S 为其前 项和, 且 S ( N ), 若不等式... log 对任意 N 立, 则实数 的最大值是 8 恒成 9 (07. 上海徐汇区一调 ) 若不等式 ( ) ( ) 对任意正整数 恒成立, 则 实数 的取值范围是. 0 (07.0 厦门一测 ) 已知数列 的前 项和为 x y 交于 A, B ( N ) 两点, 且 S S, 直线 y x 与圆 4 A B. 若 对任意 N 恒成立, 则实数 的取值范围是 ( ) (A)( 0, + ) (B)(, + ) (C)[ 0, + ) (D)[, + ) 5
26 (07. 化州二模 ) 已知有穷数列 { } 中,,,,, 79, 且 ( )( ), 从数列 { } 中依次取出, 5, 4, 构成新数列 { b }, 容易发现数列 { b } 是以 为首项, 为公比的等比数列, 记数列 } 的所有项的和为 S, 数列 b } 的所有项的和为 T, 则 ( ) { { A. S T B. S T C. S T D. S 与 T 的大小关系不确定 (07.04 福建质检 ) 已知数列 列, 其前三项和为, 且 b 是 b, b 5 的等比中项. (Ⅰ) 求, b ; (Ⅱ) 若 的前项和 S.b b b b t, 求实数 t 的取值范围 是公差不为 0 的等差数 6
27 4. 奇偶 ( 性 ) 幷项 例 : 数列 满足,, 则 07 (07 重庆二诊 ) 已知数列 的前项和为 S, 若 则 S00.( 用数字作答 ),,, (0 全国 Ⅰ 卷理 ) 数列 { } 满足 ( ), 则 { } 的前 60 项和为 ( ) ) (07.0 东三省一模 ) 已知数列 { } 的前项和为 S, (, S 008, 07 则 的值为 4 (07 黑龙江哈师大附中三模 ) 已知数列 50 项的和为 满足, 则 4 cosπ 的前 5 ( 福建三明质检 ) 已知函数 f cos, 数列 f f N, 则 满足 6 (07.05 福建三明质检 ) 已知数列 的前项和为 S, 且 则 S06 ( ), N, (A) 008 (B) 06 (C) 009 (D) 已知数列 的通项公式为 为正奇数 为正偶数, 求其前 项和 S 7
28 4.4 周期性 例 : 已知数列 满足,,, N, 且对于 N,, 设 的前 项和为 S, 则 S08 (07.0 黄冈调研 ) 已知数列 (, 0 ), 且 x 的值为 ( ) x 满足 x x x ( N ), 若 x, x x 对于任意正整数 均成立, 则数列 x 的前 05 项和 S05 (A)67 (B)67 (C)4 (D)44 (07.07 珠海一中期末考 ) 多个数求和用符号 表示, 多个数求乘积可以用符号 表 示, 如 xi xx x xi, 若数列 i 值为. 07 满足, ( N ), 则 i i 的 ), (07 郑州二模 ) 已知数列 { } 满足 ( 为数列 的前 项和, 则 S 07 的值为 ( ) m, (A) 07 m (B) 07m (C) m (D), S 4 数列{ } 中, 已知,, ( N ), 则 08 5 已知数列 { } 满足条件 :,,, 则对 0 的正整数, 的概率为 6 6 已知实数列{ } 满足 ( 为实数 ), ( N ), 求 08 8
29 第 5 讲 简单的数列与不等式证明 高考真题 ( 04 广东文 ) 设各项均为正数的数列 { } 的前 项和为 S, 且 S 满足 S ( ) S ( ) 0, N (Ⅰ) 求 的值 (Ⅱ) 求数列 { } 的通项公式 (Ⅲ) 证明 : 对一切正整数, 有... ( ) ( ) ( ) (0 全国理 ) 设数列 { } 满足 0 且 (Ⅰ) 求 { } 的通项公式 (Ⅱ) 设 b, 记 S b, 证明 : S k k (006 全国理 ) 设数列 { } (Ⅰ) 求首项 与通项 4 的前 项和 S,,,,... (Ⅱ) 设 T,,,..., 证明 : S i T i 9
30 ( 07. 洛阳一模 ) 已知各项不为 0 的数列 { } 的前 项和为 S, 且满足 S N 4, 4( ) (Ⅰ) 求数列 { } 的通项公式 8 (Ⅱ) 设数列 { b } 满足 b log, 数列 { b } 的前 项和为 T, 求证 : T 9 (07.08 广东七校一联 ) 设公差不为零的等差数列 的前 5 项的和为 55, 且,, 4 9 成等比数列 6 7 (Ⅰ) 求数列 的通项公式. (Ⅱ) 设 b 6 4, 数列 b 的前 项和为 S, 求证 : S. (07.04 重庆二诊 ) 已知等差数列 { } 的前 项和为 S, 4 9, S 5. (Ⅰ) 求 S (Ⅱ) 设数列 { } 的前 项和为 T, 证明 : T S 4 0
31 第 6 讲存在性问题 ( 整除问题 ) m 例 : 已知数列 的通项公式为 7, 若 m m 为数列 中的项, 则 m 4 (07.09 珠海摸底理 ) 已知数列 满足, 若从 中提取一个公比为 q 的等比数列, 其中 k, 且 k k... k, k N, 则满足条件的最小 q 的值为 k ( 广东七校联考 ) 已知 是递增数列, 其前 项和为 0 S ( )( ), N. (Ⅰ) 求数列 的通项 ; S,, 且 (Ⅱ) 是否存在 m,, k N, 使得 ( m ) k 成立? 若存在, 写出一组符合条件的 m,, k 的值 ; 若不存在, 请说明理由 ; (04 湖北 ) 已知等差数列 满足 : (Ⅰ) 求数列 的通项公式, 且,, 5 成等比数列 (Ⅱ) 记数列 的前 项和为 S, 是否存在正整数, 使得 S ? 若存在, 求 的最小值 ; 若不存在, 说明理由 4 已知数列 是各项均不为 0 的等差数列, S 是其前 项和, 且满足 S, 令 b, 数列 b 的前 项和为 T (Ⅰ) 求数列 的通项公式及 T (Ⅱ) 是否存在正整数 m, m m, 的值 ; 若不存在, 请说明理由, 使得 T,, T T 成等比数列? 若存在, 求出所有的 m
32 5 (07. 上海长宁一调 ) 已知数列 { } 满足 :, 4 (Ⅰ) 求数列 { } 的通项公式 (Ⅱ) 设数列 { b } 的前 项和为 使得数列 { b } 为等差数列 S S S, 且满足 6 8, N., 试确定 b 的值, 6 (07. 上海金山区一调 ) 若数列 { } 中存在三项, 按一定次序排列构成等比数列, 则 称 { } 为 等比源数列. (Ⅰ) 已知数列 { } 中,, +, 求数列 { } 的通项公式 ; (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的结论下, 试判断数列 { } 是否为 等比源数列, 并证明你的结论 7 (06. 无锡辅仁高中月测 ) 已知数列, b 满足, b, b b, N (Ⅰ) 求证 : 数列 { } b 是等差数列, 并求数列 b 的通项公式 (Ⅱ) 设数列 c 满足 c 5, 对于任意给定的正整数 p, 是否存在正整数 q, r p q r, 使得,, c c c p q r 成等差数列? 若存在, 试用 p 表示 q, r ; 若不存在, 请说 明理由
33 第 7 讲创新型数列问题 例 : 设数列 中,,, b, N b, 则数列 b 的通项公式为 (07.04 重庆二诊 )( 数学文化 ) 张丘建算经 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题 : 今有女不善织, 日减功迟, 初日织五尺, 末日织一尺, 今共织九十尺, 问织几日?, 已知 日减功迟 的具体含义是每天比前一天少织同样多的布, 则此问题的答案是 ( ) (A)0 日 (B) 0 日 (C)0 日 (D)40 日 (07 衡水一调 ) 已知数列 是等差数列, 数列 都有 b, 则数列 b 的通项公式为 b 是等比数列, 对一切 N, (07. 上海徐汇区一调 ) 著名的斐波那契数列 :,,,,5,8,, 满足, N, 那么 是斐波那契数列 中的第 项 4 (07.0 河南天一联二测 ) 已知数列 和为 S, 则下列说法正确的个数为 ( ) 满足,, 其前 项 数列 为等差数列 ; ; S. (A)0 (B) (C) (D) 5 (07 湖南娄底二模 ) 已知各项都为整数的数列 满足,, 则 07 中,, 且对任意的 N,
34 6 (06 长沙一中月考八 ) 用 g( ) 表示自然数 的所有因数中最大的那个奇数, 例 :9 的因数有,,9, g(9) 9,0 的因数有,,5,0, g(0) 5, 那么 06 g() g() g() g( ) (A) 4 (B) 4 (C) 4 (D) 4 7 (07 长沙一中月考五 ) 数列 { } 06 的整数部分是 满足, 对任意 N,, 则 8 ( 深圳二调 ) 若数列, b, N. 则 b 满足 b, b, 9 对于数列, 如果对任意正整数, 总有不等式 : 为向上凸数列 ( 简称上凸数列 ). 现有数列 () 数列 为上凸数列, 且, 0 8 ; 成立, 则称数列 满足如下两个条件 :[ 来源 : 学科网 ZXXK] () 对正整数 ( 0, N ), 都有 b 0, 其中 b 6 0. 则数列 中的第五项 5 的取值范围为. 4
35 第 8 讲数阵问题 ( 数列群问题 ) 例 : 把等差数列 依次按第一个括号一个数, 第二个括号两个数, 第三个括号三个数, 第四个括号一个数, 循环分为,,5, 7,9,,, 5,7, 9,,, 5,, 则第 50 个括号内各数之和为 ( ) (A) 90 (B) 9 (C) 94 (D) 96 (07 全国 Ⅰ 卷理 ) 几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件, 为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了 解数学题获取软件激活码 的活动, 这款软件的激活码为下面数学问题的答案 : 已知数列,,,,, 4,,, 4, 8,,, 4, 8, 6,, 其 0 0 中第一项是, 接下来的两项是, 6, 在接下来的三项式,,, 依次类推, 求满足如下条件的最小整数 N : N 00 且该数列的前 N 项和为 的整数幂. 那么该款软件的激活码是 ( ) (A) 440 (B) 0 (C) 0 (D)0 (07.09 衡水摸底 ) 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型 : 数字 出现 在第 行 ; 数字, 出现在第 行, 数字 6,5,4( 从左至右 ) 出现在第 行 ; 数字 7,8, 9,0 出现在第 4 行 ; 依此类推, 则第 0 行从左至右算第 4 个数字为. (07 安徽马鞍山二模 ) 如图所示的 数阵 的特点是 : 每行每列都成等差数列, 则数字 7 在图中出现的次数为 4 (07.0 湖北八校二联 ) 记 f ( ) 为最接近 f (), f (4), f (5),..., 若 正整数 m 的值为 ( ) (A) (B) ( N ) 的整数, 如 : f (), f (), f () f () f () f ( m), 则 07 (C) (D)
36 第 9 讲数列与其他知识点综合 (07. 上海杨浦区一调 ) 数列 { } 的前 项和为 S, 若点 (, S ) ( N y log ( x ) 的反函数的图像上, 则 = ) 在函数 (07. 上海杨浦区一调 ) 在 ABC中, 若 si A, si B, si C 成等比数列, 则角 B 的 最大值为 (07. 上海崇明区一模 ) 已知等差数列 的公差为 d, 前 项和为 S, 则 d 0 是 S 4 + S 6 S 5 的 ( ) (A) 充分不必要条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 4 (06.09 珠海摸底 ) 己知函数 f ( x) x bx 的图象在点 A(, f ()) 处的切线 l 与直线 x y 0 平行, 若数列 的前 项和为 S, 则 S 05 的值为 ( ) f ( ) A B. 0 0 C D (07 内蒙包头十校联考 ) 已知各项均为正数的等比数列 { } 满足 6 5, 若存 4 在两项 m,, 使得 m 4, 则 的最小值为 m 6 (07. 青浦区一调 ) 已知 S 为数列 的前 项和,, 平面内三个不共 线的向量 OA, OB, OC, 满足 OC ( ) OA ( ) OB,. N, 若 A, B, C 在同一直线上, 则 S08 7 (07. 上海虹口区一模 ) 在 ABC 中, D 是 BC 的中点, 点列 P ( N ) AC 上, 且满足 P A P B P D, 若, 则数列 的通项公式 在直线 6
37 8 (07.08 安徽六校一联 ) 已知函数 f ( x) si x cos x, x [0, ), 直线 l 过原点且 与曲线 y f ( x) 相切, 其切点的横坐标从小到大依次排列为 x, x, x,, x,, 则下列 说法正确的是 ( ) (A) f ( x ) (B) 数列 { x } 为等差数列 (C) x t( x ) (D)[ f ( x)] 4 x x 9 (07.04 江西八校联考 ) 已知 f (x) 是 R 上可导的增函数, g (x) 是 R 上可导的奇函数, 对 成立, 等差数列 x, x R 都有 g x ) g( x ) f ( x ) f ( ) ( x 的前 项和为 S, f (x) 同时满足下列两件条件 : f ( ), f ( 9 ), 则 S 0 的值为 0 ( 07. 上海宝山区一调 ) 若 (, N ) 个不同的点 Q (, b ), Q (, b ),..., Q(, b ) 满足 :... 列. 设四个实数 k, x, x, x 使得 k( x x ), x,x, 则称点 Q, Q,..., Q 按横序排 成等差数列, 且两函数 y x, y x 图象的所有.. 交点 P ( x, y), P ( x, y), P ( x, y ) 按横序排列, 则实数 k 的值为 7
38 题型一 先放缩再裂项类型 () 的放缩 () S () S 4 类型放缩 () S (4) S 第 0 讲 (extr) 放缩法证明数列求和不等式 4 4 (5) S 4 4 () S () S 类型放缩 () S 8
39 () 的放缩 S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 的放缩 () ( ) S () ( ) S (4) S ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 题型二 直接裂项但是不好裂的类型 () ( ) () ( )( ) () ( ) (4) ( ) ( ) (5) ( ) (6) ( )! 题型三 放缩成等比数列类型 () () 9
40 例 (05 珠海一模 ) 已知数列 的前 项和为 S, 且 S, N, 其中 (Ⅰ) 求数列 的通项公式 ; (Ⅱ) 若 b, 数列 b 的前 项和为 T, 求证 : T 4 例 (05 广二模 ) 已知点, P b 的交点, 数列 是公差为 的等差数列. (Ⅰ) 求数列,b 的通项公式 (Ⅱ) 求证 :. PP 6 PP PP N 在直线 l : y x 上, P 是直线 l 与 y 轴 例 (04 广东高考 ) 正数数列 前 项和为 S, 且 S ( ) S ( ) 0, N (Ⅰ) 求 的值 ; (Ⅱ) 求数列 的通项公式 ; (Ⅲ) 证明 : 对一切正整数, 有 ( ) ( ) ( ) 40
41 例 (0 广东高考 ) S 设数列 的前 项和为 S. 已知,, N. (Ⅰ) 求 的值 ; (Ⅱ) 求数列 的通项公式 ; 7 (Ⅲ) 证明 : 对一切正整数, 有. 4 例 4: (0 广东高考 ) 设数列 { } 的前 项和为 S, 满足, 5, 成等差数列. 且, N, S (Ⅰ) 求 的值 ; (Ⅱ) 求数列 { } 的通项公式 ; (Ⅲ) 证明 : 对一切正整数, 有. 4
42 进阶 : l l l 4 l 5 6 求证: ( N ) 4 6 求证 : l( ) 求证: ( )( ) ( e!!! ) 4 求证: ( )( ) ( ) e 已知数列 满足, ( N ). (I) 求数列 的通项公式 ; b b b b (II) 若数列 b 滿足 ( ) ( N ) (Ⅲ) 证明 :... ( N )., 证明 : 数列 b 是等差数列 ; 6 已知数列 { } 满足 :, ( ) (,, ). 求证 : 4
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