0 0 当或 0 0 当或 0 当 4 当 0 时, 时, 0 二等比数列的前项和公式时, 时, 是递增数列 ; 是递减数列 ; 为常数列 ( 0) ; 为摆动数列, 所有的奇数项 ( 偶数项 ) 同号, 奇数项与偶数项异号首项为, 公比为的等比数列, 的前项和的公式为 ( ), (

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莲戚
5 years ago
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() 理解等比数列的概念 () 掌握等比数列的通项公式与前项和公式 () 了解等比数列与指数函数的关系一等比数列等比数列的概念如果一个数列从第项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ( 0), 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比注意 :() 等比数列的每一项都不可能为 0; () 公比是每一项与其前一项的比, 前后次序不能颠倒, 且公比是一个与

1 () 理解等比数列的概念 () 掌握等比数列的通项公式与前项和公式 () 了解等比数列与指数函数的关系一等比数列等比数列的概念如果一个数列从第项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ( 0), 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比注意 :() 等比数列的每一项都不可能为 0; () 公比是每一项与其前一项的比, 前后次序不能颠倒, 且公比是一个与无关的常数等比中项如果在与 b 中间插入一个数 G, 使, G,b 成等比数列, 那么 G 叫做与 b 的等比中项, 此时 G b 等比数列的通项公式及其变形首项为, 公比为的等比数列的通项公式是 (, 0) 等比数列通项公式的变形 : m m 4 等比数列与指数函数的关系等比数列数, y x 的通项公式还可以改写为, 当 x 且 0 时, y 是指数函 x 是指数型函数, 因此数列的图象是函数 y 的图象上一些孤立的点凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666

2 0 0 当或 0 0 当或 0 当 4 当 0 时, 时, 0 二等比数列的前项和公式时, 时, 是递增数列 ; 是递减数列 ; 为常数列 ( 0) ; 为摆动数列, 所有的奇数项 ( 偶数项 ) 同号, 奇数项与偶数项异号首项为, 公比为的等比数列, 的前项和的公式为 ( ), () 当公比时, 因为 0, 所以是关于的正比例函数, 则数列,,,,, 的图象是正比例函数 y x 图象上的一群孤立的点 () 当公比时, 等比数列的前项和公式是 ( ), 即, 设 m, 则上式可写成的形式, 则数列,,,,, 的图象是函数 m m x y m m图象上的一群孤立的点由此可见, 非常数列的等比数列的前项和是一个关于的指数型函数与一个常数的和, 且指数型函数的系数与常数项互为相反数三等比数列及其前项和的性质若数列是公比为的等比数列, 前项和为, 则有如下性质 : () 若 m p, 则 m p ; 若 m r, 则 ( m,, p,,r N * ) m r 推广 : ; 若 m t p r, 则 mt pr i i () 若 m,, p 成等差数列, 则,, 成等比数列 m p () 数列 ( 0) 仍是公比为的等比数列 ; 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666

3 数列 { } 是公比为的等比数列 ; 数列是公比为的等比数列 ; 若数列 b 是公比为 ' 的等比数列, 则数列 m (4) k, k m, k m, k m, 成等比数列, 公比为 k (5) 连续相邻 k 项的和 ( 或积 ) 构成公比为 ( b 是公比为 ' 的等比数列 k 或 ) 的等比数列 (6) 当时, m ; 当时, m m m m (7) m m m (8) 若项数为, 则偶奇, 若项数为, 则奇偶 (9) 当时, 连续 m m 项的和 ( 如 m, m m, m m, ) 仍组成等比数列 ( 公比为, m ) 注意 : 这里连续 m 项的和均非零等比数列的判定与证明常用的方法 : 考向一等比数列的判定与证明 () 定义法 : ( 为常数且 0) 数列 { } 是等比数列 () 等比中项法 : ( *, 0) N 数列 { } 是等比数列 () 通项公式法 : t ( t 0, N * ) 数列 { } 是等比数列 (4) 前项和公式法 : 若数列的前项和 A A ( A 0, 0, ), 则该数列是等比数列其中前两种方法是证明等比数列的常用方法, 而后两种方法一般用于选择题填空题中注意 :() 若要判定一个数列不是等比数列, 则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 () 只满足的数列未必是等比数列, 要使其成为等比数列还需要 0 0 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666

典例设数列 {} 的前项和为, 若对于任意的正整数都有 =-, 设 b=+ 求证 : 数列 {b} 是等比数列, 并求已知各项为正数的数列 {}, =,(+-)(---)=0(, N * ), 证明 :{+} 是等比数列考向二等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法, 在高考中常有所体现, 多以选择题或填空题的形式呈现, 有时也会出现在解答题的第 ()

4 典例设数列 {} 的前项和为, 若对于任意的正整数都有 =-, 设 b=+ 求证 : 数列 {b} 是等比数列, 并求已知各项为正数的数列 {}, =,(+-)(---)=0(, N * ), 证明 :{+} 是等比数列考向二等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法, 在高考中常有所体现, 多以选择题或填空题的形式呈现, 有时也会出现在解答题的第 () 问中, 属基础题 () 等比数列的基本运算方法 : 学 & 科网等比数列由首项与公比确定, 所有关于等比数列的计算和证明, 都可围绕与进行对于等比数列问题, 一般给出两个条件, 就可以通过解方程 ( 组 ) 求出与, 对于,,,, 五个基本量, 如果再给出第三个条件就可以知三求二 () 基本量计算过程中涉及的数学思想方法 : 方程思想等比数列的通项公式和前项和公式联系着五个基本量, 知三求二是一类最基本的运算, 通过列方程 ( 组 ) 求出关键量和, 问题可迎刃而解, 分类讨论思想等比数列的前项和公式为 ( ),, 所以当公比未知或是代数凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 4

5 式时, 要对公比分和进行讨论此处是常考易错点, 一定要引起重视整体思想应用等比数列前项和公式时, 常把, 当成整体求解典例已知是等比数列, 且 6, 6 0, 则 8 等于 A B4 C 4 D48 答案 B 典例 9 设是等比数列的前项和,,, 则公比 A B C 或 D 或答案 C 9 9 解析, 又, 解得或 6, 选 C 设公比为的等比数列的前项和为, 若,, 则 A B C D 考向三求解等比数列的通项及前项和凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 5

6 求等比数列的通项公式, 一般先求出首项与公比, 再利用求解但在某些情况下, 利用等比数列通项公式的变形 m m 可以简化解题过程求解时通常会涉及等比数列的设项问题, 常用的设项方法为 : () 通项法设数列的通项公式来求解 ; () 对称设元法 : 若所给等比数列的项数为 ( N ) 且各项符号相同, 则这个数列可设为,,,,,, ;, 若所给等比数列的项数为 ( N ), 则这个数列可设为,,,,,, 当时, 若已知,,, 则用 ( ) 求解较方便 ; 若已知,,, 则用求解较方便 ( ) 形如 p ( p, p 0) 的递推关系式, 利用待定系数法可化为 p ( ) p p, 当 0 时, 数列 { } 是等比数列 ; 由 p p p, p ( ), 两式相减, 得 p( ), 当 0 时, 数列 { } 是公比为 p 的等比数列 () 形如 + c d ( c d, cd 0) 的递推关系式, 除利用待定系数法直接化归为等比数列外, 也可以两边同时除以 d, 进而化归为等比数列典例 4 已知等比数列 5 5 的前项和为,, 且 4, 则 4 A 4 B 4 C D 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 6

7 答案 D 解析因为 ( ), 5 5, 所以 ( ), 解得 4 [ ( ) ] ( ) 4( ) 4,, 那么 4 所以, 故选 D 典例 5 已知等比数列的各项均为正数, 且 6 () 求数列的通项公式 ; () 若数列 * b 满足 : b N, 求数列, 4 7 b 的前项和 - ( ) ( ) ( ) 在数列中, 已知 () 求数列的通项公式 ; () 求数列的前项和, 4 考向四等比数列的性质的应用凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 7

8 等比数列的性质是高考考查的热点之一, 利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量, 题型以选择题或填空题为主, 难度不大, 属中低档题, 主要考查通项公式的变形等比中项的应用及前项和公式的变形应用等注意 :() 在解决等比数列的有关问题时, 要注意挖掘隐含条件, 利用性质, 特别是性质若 m+=p+, 则 m =p, 可以减少运算量, 提高解题速度学 & 科 * 网 () 在应用相应性质解题时, 要注意性质成立的前提条件, 有时需要进行适当变形此外, 解题时注意设而不求思想的运用典例 6 在等比数列中,, 5 是方程 x 6x8 0的根, 则 7 9 A B C D 答案 A 解析由等比数列的性质知 , 故 7 9 8, 故选 A 典例 7 已知等比数列的前项和为, 若 0 0, 0 =60, 则 0 答案方法 : 根据等比数列前项和的性质, 可得, 即 , 解得, 所以方法 : 根据等比数列前项和的性质, 可知 0, 0 0, 0 0 成等比数列, 则 ( ) ( ), 即 (60 0) 0( 60), 解得凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 8

9 4 已知为等比数列, 4 7, 9 8, 则 0 A7 B5 C 7 D 5 考向五数列的新定义问题数列新定义问题能充分考查对信息的阅读提取及转化能力, 综合性强, 难度较高, 在实际问题中往往需要对题目进行阅读, 再借助定义进行转化即可进行求解对于此类问题, 应先弄清问题的本质, 然后根据等差数列等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决典例 8 若数列 { A } 满足 A A, 则称数列 { } A 为平方递推数列已知数列 { } 中, 9, 点 (, ) 在函数 f ( x) x x 的图象上, 其中为正整数 () 证明 : 数列 { +} 是平方递推数列, 且数列 {lg( +)} 为等比数列 ; () 设 () 中平方递推数列的前项之积为 T, 求 lgt ; () 在 () 的条件下, 记 b lgt, 设数列 { b } lg( +) 的前项和为, 求使 40 成立的的最小值 ( ) lgt lg[( )( ) ( )] lg( ) lg( ) lg( ) 则 () 由 () 知 b lgt ( ), lg( +), 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 9

10 又 40, 即 40, 即 07, 又 0, 所以 mi 07, 故使 40 成立的的最小值为 07 已知等比数列为递增数列, 若 0, 且, 则数列 A 或 B 的公比 C D- 在等比数列中,,, A B4 C5 D6 各项为正的等比数列中, 4 与 4 A4 B C D, 则项数为的等比中项为, 则 log 7 log 的值为 4 在等比数列 { } 中, 已知, , 则 5 的值为 A 5 6 C 5 B 6 D 5 在等比数列 { } 中, =4, 公比, 前项和为, 若数列 { +} 也是等比数列, 则等于 A B C D 6 设正项等比数列 { } 的前项和为, 且 A 6或 0 B 5 C0 D 6, 若 5 0, 5 64, 则 4 7 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题 : 三百七十八里关, 初行健步不为难, 此日脚痛减凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 0

11 一半, 六朝才得到其关, 要见此日行数里, 请公仔仔细算相还, 其意思为 : 有一个人走 78 里路, 第一天健步行走, 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6 天后到达目的地, 请问第二天走了 A96 里 B48 里 C9 里 D4 里 8 在等比数列 5 中, 若, 且 7 4 6, 4 7 5, 则 = 8 A C 6 B D6 9 若数列, 0 若等比数列已知数列 * b 满足 b, b, b, N, 则的各项均为正数, 且 0 9 e, 则 l l l 0 的前项和为, 且 4 () 求的通项公式 ;, 求数列 b () 设 b 的前项和 T 已知数列为等比数列,, 且凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666

意思是 : 一座 7 层塔共挂了 8 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍, 则塔的顶层共有灯 A 盏 B 盏 C5 盏 D9 盏 7 6 (07 江苏 ) 等比数列

12 () 求 ; () 若数列满足, 求 (07 新课标全国 II 理科 ) 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题 : 远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯? 意思是 : 一座 7 层塔共挂了 8 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍, 则塔的顶层共有灯 A 盏 B 盏 C5 盏 D9 盏 7 6 (07 江苏 ) 等比数列 { } 的各项均为实数, 其前项和为, 已知, 6, 则 (07 新课标全国 Ⅲ 理科 ) 设等比数列满足 + =, =, 则 4 = 变式拓展解析因为 (+-)(---)=0(, N * ), 且 >0, 所以 =-+(, N * ), 所以 +=(-+)( ), 所以 = 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666

13 又 +=, 故数列 {+} 是以为首项, 为公比的等比数列答案 B 解析, 即, 即, 即解得, 故选 B, 解得 ( 舍去 ) 或, 当时, 代入, 得, 解析 () 4 4, 0, 所以数列, 公比为 4 的等比数列, 则 4 4 是首项为 () 因为 4 答案 C 4, 所以 4 考点冲关答案 B 解析由等比数列的定义可得答案 C, 即 0, 解之得, 故选 B 解析根据等比数列通项公式有 ( ), 解得 5, 故选 C 答案 B 解析由等比数列中, 4 与 4 的等比中项为, 得 4 4 8, log log log ( ) log ( ) log 8, 故选 B 又答案 B 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666

14 5 7 ( 4) 解析 4 4 5, ( ),, 5, 故选 B 答案 C 解析由数列{+} 是等比数列可得 +, +, + 成等比数列, 则 ( +) =( +)( +), 代入等比数列的前项和公式整理可得 (6+4) =4(++ )+, 解得 =(=0 舍去 ) 科网 6 答案 C 5 0 解析由, 得, 即数列 { } 为递减数列, 由得 , 故可得 4, 即 64,, 8, 故 4 0, 故选 C 答案 A 解析记每天走的路程里数为, 易知是公比 , 9, 9 96, 故选 A 8 答案 A 的等比数列, 由题意知 9 答案 07, 所以, 则数列解析由题意得 b 是等比数列, 公比为由已知得 b 5, 则 4, 因此答案 50 5 解析由题意知 e, 所以, e e e, 因此对因此 l l l l l e 5 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 4

15 解析 () 4, 时, 4, 即 4, 解得 ; 时, 4, 4, 由 - 得, 数列是首项为, 公比为的等比数列, 则 () 由 () 知 b, 4 T b b b = 直通高考答案 B 解析设塔的顶层共有灯 x 盏, 则各层的灯数构成一个首项为 x, 公比为的等比数列, 结合等比数 7 x( ) 列的求和公式有 8, 解得 x, 即塔的顶层共有灯盏, 故选 B 名师点睛用数列知识解相关的实际问题, 关键是列出相关信息, 合理建立数学模型数列模型, 判断是等差数列还是等比数列模型 ; 求解时要明确目标, 即搞清是求和求通项还是解递推关系问题, 所求结论对应的是解方程问题解不等式问题还是最值问题, 然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中, 进行检验, 最终得出结论答案凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 5

解析当时, 显然不符合题意 ; ( ) 7 4 7 当时,, 解得 6 4, 则 8 ( ) 6 4 4 名师点睛在解决等差等比数列的运算问题时, 有两个处理思路 : 利用基本量, 将多元问题简化为一元问题, 虽有一定量的运算, 但思路简洁, 目标明确 ; 利用等差等比数列的性质, 性质是两种数列基本规律的深刻体现, 是解决等差等比数列问题既快捷又方便的工具, 应有意识地去应用

16 解析当时, 显然不符合题意 ; ( ) 当时,, 解得 6 4, 则 8 ( ) 名师点睛在解决等差等比数列的运算问题时, 有两个处理思路 : 利用基本量, 将多元问题简化为一元问题, 虽有一定量的运算, 但思路简洁, 目标明确 ; 利用等差等比数列的性质, 性质是两种数列基本规律的深刻体现, 是解决等差等比数列问题既快捷又方便的工具, 应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质成立的前提条件, 有时需要进行适当变形在解决等差等比数列的运算问题时, 经常采用巧用性质整体考虑减少运算量的方法答案 8 名师点睛等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题, 解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用, 尤其需要注意的是, 在使用等比数列的前项和公式时, 应该要分类讨论, 有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/wghi0666 6

图客巴巴

图客巴巴第二节等差 1. 等差的相关概念 (1) 定义 : 如果一个从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 那么这个就叫做等差. 符号表示为 (n 2,n N a * n -a n -1=d, d 为常数 ). (2) 等差中项 : 若 a,a,b, 成等差, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项, 且 A= a+b 2. 2. 等差的通项公式 (1) 若等差 {a n } 的首项是