概率论与数理统计
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1 数理统计 上海财经大学 统计与管理学院
2 Contents 第二章抽样分布 2.1 总体与样本 2.2 样本数据的整理与显示 2.3 统计量及其分布 2.4 三大抽样分布 2.5 充分统计量
3 第二章抽样分布 例 2.1 某公司要采购一批产品, 每件产品不是合格品就是不合格品, 但该批产品总有一个不合格品率 p 由此, 若从该批产品中随机抽取一件, 用表示这一批产品的不合格数, 不难看出服从一个二点分布 b(1, p), 但分布中的参数 p 是不知道的 一些问题 : p 的大小如何 ; p 大概落在什么范围内 ; 能否认为 p 满足设定要求 ( 如 p 0.05)
4 2.1 总体与样本 总体与个体 总体的三层含义 : 研究对象的全体 ; 数据 ; 分布
5 2.1.1 总体与个体 例 2.2 磁带的一个质量指标是一卷磁带 (20m) 上的伤痕数 每卷磁带都有一个伤痕数, 全部磁带的伤痕数构成一个总体 这个总体中相当一部分是 0( 无伤痕, 合格品 ), 但也有 1,2,3 等, 但多于 8 个的伤痕数非常少见 研究表明, 一卷磁带上的伤痕数 X 服从泊松分布 P(λ), 但分布中的参数 λ 却是不知道的 显然, λ 的大小决定了一批产品的质量, 它直接影响生产方的经济效益 本例中总体分布的类型是明确的, 是泊松分布, 但总体还有未知参数 λ, 故总体还不是一个特定的泊松分布 要最终确定总体分布, 就要确定 λ
6 2.1.1 总体与个体 例 2.3 对网络购物时支付方式使用情况进行分析, 支付方式共有以下八种方式 : 第三方支付平台 网上银行 货到付款 银行柜台转账付款 邮寄汇款 手机银行 使用个人手机卡 ( 账号 ) 支付 通过网点用户终端支付, 设这八种支付方式在网络购物中所占的比例分别为 p 1,, p 8, p 1,, p 8 的大小如何 ; p 1,, p 8 的范围 ; p 1,, p 8 能否满足一定的要求 ( 如 p 1 < 0.4).
7 2.1.1 总体与个体 例 2.4 考察常见的测量问题 一个测量者对一个物理量 μ 进行重复测量, 此时一切可能的测量结果是,, 因此总体是一个取值于, 的随机变量 X, 关于该总体的分布我们可以知道些什么? 测量结果 X 可以看作物理量 μ 与测量误差 ε 的叠加, 即 X = μ + ε, 这里 μ 是一个确定的但未知的量, 我们称之为参数, 于是关于总体分布的假定主要是关于 ε 的分布的假定 如下几种假定各在一些场合是合理的
8 2.1.1 总体与个体 (1) 由中心极限定理, 最常见的是假定随机误差 ε~n(0, σ 2 ), 于是测量值的总体就是一个正态分布, 即 X~N(μ, σ 2 ), 这里总体中有两个未知参数 μ, σ 2. (2) 假如不仅知道误差服从正态分布, 还知道分布的方差, 于是, 就可假定 ε~n(0, σ 0 2 ), 其中 σ 0 是一个已知的常数, 如此, 总体仍是一个正态分布族 N(μ, σ 0 2 ), 但总体只有一个未知参数 μ (3) 假如并没有理由认定误差服从正态分布, 但可以认为误差的分布是关于 0 对称的, 则总体分布就变成一个分布类型未知但带有某种限制的分布, 通常它不能被有限个参数所描述, 常称为非参数分布
9 2.1.2 样本 样品 样本 样本量 : 样本具有两重性 一方面, 由于样本是从总体中随机抽取的, 抽取前无法预知它们的数值, 因此, 样本是随机变量, 用大写字母 X 1, X 2,, X n 表示 ; 另一方面, 样本在抽取以后经观测就有确定的观测值, 因此, 样本又是一组数值 此时用小写字母 x 1, x 2,, x n 表示是恰当的 简单起见, 无论是样本还是其观测值, 样本一般均用 x 1, x 2,, x n 表示, 应能从上下文中加以区别
10 2.1.2 样本 例 2.5 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为 640 克 由于随机性, 事实上不可能使得所有的啤酒净含量均为 640 克 现从某厂生产的啤酒中随机抽取 10 瓶测定其净含量, 得到如下结果 : 641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640 这是一个容量为 10 的样本的观测值, 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量 这样的样本称为完全样本
11 2.1.2 样本 例 2.6 考察某厂生产的某种电子元件的寿命, 选了 100 只进 行寿命试验, 得到如下数据 : 寿命范围元件数寿命范围元件数寿命范围元件数 (0 24] 4 ( ] 6 ( ] 4 (24 48] 8 ( ] 3 ( ] 4 (48 72] 6 ( ] 3 ( ] 1 (72 96] 5 ( ] 5 ( ] 2 (96 120] 3 ( ] 5 ( ] 2 ( ] 4 ( ] 3 ( ] 3 ( ] 5 ( ] 5 ( ] 1 ( ] 4 ( ] 1 > 上表中的样本观测值没有具体的数值, 只有一个范围, 这样的样本称为分组样本
12 2.1.2 样本 例 2.7 对某大学新生进行身高统计, 随机抽取 40 名学生的身高 ( 厘米 ), 其结果如下 身高范围 人数 身高范围 人数 (140,145] 1 (160,165] 13 (145,150] 2 (165,170] 6 (150,155] 5 (170,175] 3 (155,160] 9 (175,180] 1 这也是一个分组样本的例子
13 2.1.2 样本 样本的要求 : 简单随机样本 要使得推断可靠, 对样本就有要求, 使样本能很好地代表总体 通常有如下两个要求 : 随机性 : 总体中每一个个体都有同等机会 被选入样本 -- X i 与总体 X 有相同的分布 独立性 : 样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值 -- X 1, X 2,, X n 相互独立
14 2.1.2 样本 用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本, 也简称样本 于是, 样本 X 1, X 2,, X n 可以看成是独立同分布 ( iid ) 的随机变量, 其共同分布即为总体分布 设总体 X 具有分布函数 F(x),X 1, X 2,, X n 为取自该总体的容量为 n 的样本, 则样本联合分布函数为 F x 1,, x n = n i=1 F(x i ).
15 2.1.2 样本 总体分为有限总体与无限总体 实际中总体中的个体数大多是有限的 当个体数充分大时, 将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象 对无限总体, 随机性与独立性容易实现, 困难在于排除有意或无意的人为干扰 对有限总体, 只要总体所含个体数很大, 特别是与样本量相比很大, 则独立性也可基本得到满足
16 2.1.2 样本 例 2.8 设有一批产品共 N 个, 需要进行抽样检验以了解其不合格品率 p 如果把合格品记为 0, 不合格品记为 1, 则总体为一个二点分布 现从中采取不放回抽样抽出 2 个产品, 这时, 第二次抽到不合格品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格品, 如果第一次抽到不合格品, 则 P X 2 = 1 X 1 = 1 = (Np 1)/(N 1) 而若第一次抽到的是合格品, 则第二次抽到不合 格品的概率为 P X 2 = 1 X 1 = 0 = (Np)/(N 1)
17 2.1.2 样本 显然, 如此得到的样本不是简单随机样本 但是, 当 N 很大时, 我们可以看到上述两种情形的概率都近似等于 p 所以当 N 很大, 而 n 不大 ( 一个经验法则是 n / N 0.1) 时可以把该样本近似地看成简单随机样本 思考 : 若总体的密度函数为 f(x), 则其样本的 ( 联合 ) 密度函数是什么?
18 函数 2.2 样本数据的整理与显示 经验分布函数 设 x 1, x 2,, x n 是取自总体分布函数为 F(x) 的样本, 若将样本观测值由小到大进行排列, 为 x (1), x (2),, x (n), 则 x (1), x (2),, x (n) 为有序样本, 用有序样本定义如下函数 : F n (x) = 0 x < x (1) k n x (k) x < x k+1, k = 1,, n 1. 1 x (n) x 则 F n (x) 是一非减右连续函数, 且满足 F n ( ) = 0 和 F n (+ ) = 1 由此可见, F n (x) 是一个分布函数, 并称 F n (x) 为经验分布
19 函数 2.2 样本数据的整理与显示 经验分布函数 设 x 1, x 2,, x n 是取自总体分布函数为 F(x) 的样本, 若将样本观测值由小到大进行排列, 为 x (1), x (2),, x (n), 则 x (1), x (2),, x (n) 为有序样本, 用有序样本定义如下函数 : F n (x) = 0 x < x (1) k n x (k) x < x k+1, k = 1,, n 1. 1 x (n) x 则 F n (x) 是一非减右连续函数, 且满足 F n ( ) = 0 和 F n (+ ) = 1 由此可见, F n (x) 是一个分布函数, 并称 F n (x) 为经验分布
20 2.2.1 经验分布函数 例 2.9 某食品厂生产听装饮料, 现从生产线上随机抽取 5 听饮料, 称得其净重 ( 单位 : 克 ) 这是一个容量为 5 的样本, 经排序可得有序样本 : x (1) = 344, x (2) = 347, x (3) = x (4) = 351, x (5) = 355
21 2.2.1 经验分布函数 其经验分布函数为 听装饮料净重的经验分布函数 F n (x) = 0, x < , 344 x < , 347 x < , 351 x < 355 1, 355 x Fn(x) 净重 ( 克 )
22 2.2.1 经验分布函数 2.10 我国自 1984 年 23 届洛杉矶奥运会以来历届奥运会的金牌数如表所示 : 这是一个容量为 7 的样本, 经排序可得有序样本 :
23 2.2.1 经验分布函数 x (1) =5, x (2) =15, x (3) = x (4) = 16, x (5) = 28, x (6) = 32, x (7) =51 则金牌数的经验分布函数为 : F n x = 0 x < x < x < x < x < x < x 51
24 2.2.1 经验分布函数 由伯努里大数定律 : 只要 n 相当大,F n (x) 依概率收敛于 F(x) 更深刻的结果也是存在的, 这就是格里纹科定理 定理 2.1( 格里纹科定理 ) 设 X 1, X 2,, X n 是取自总体分布函数为 F(x) 的样本, F n (x) 是其经验分布函数, 当 n 时, 有 P sup F n x F x 0 = 1 格里纹科定理表明 : 当 n 相当大时, 经验分布函数是总体分布函数 F(x) 的一个良好的近似 经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据, 其理由就在于此
25 2.2.2 频数频率表 样本数据的整理是统计研究的基础, 整理数据的最常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表 例 2.11 为研究某厂工人生产某种产品的能力, 我们随机调查了 20 位工人某天生产的该种产品的数量, 数据如下
26 2.2.2 频数频率表 对这 20 个数据 ( 样本 ) 进行整理, 具体步骤如下 : (1) 对样本进行分组 : 作为一般性的原则, 组数通常在 5~20 个, 对容量较小的样本, 通常分 5 组或 6 组 ; (2) 确定每组组距 : 近似公式为 组距 d = ( 最大观测值 最小观测值 )/ 组数 ; (3) 确定每组组限 : 各组区间端点为 a 0, a 1 = a 0 + d, a 2 = a 0 + 2d,, a k = a 0 + kd, 形成如下的分组区间 a 0, a 1, a 1, a 2,, a k 1, a k 其中 a 0 略小于最小观测值, a k 略大于最大观测值. (4) 统计样本数据落入每个区间的个数 频数, 并列出其频数频率分布表
27 2.2.2 频数频率表 例 2.11 的频数频率表 组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率 (%) 1 (147,157] (157,167] (167,177] (177,187] (187,197] 合计 20 1
28 2.2.3 样本数据的图形显示 一 直方图 直方图是频数分布的图形表示, 它的横坐标表示所关心变量的取值区间, 纵坐标有三种表示方法 : 频数, 频率, 最准确的是频率 / 组距, 它可使得诸长条矩形面积和为 1 凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择, 直方图本身并无变化
29 2.2.3 样本数据的图形显示 例 年我国的人口出生率如下表所示, 年份 出生率 ( ) 年份 出生率 ( ) 年份 出生率 ( ) 年份 出生率 ( )
30 2.2.3 样本数据的图形显示 则 年我国的人口出生率的频数频率表 序数 分组区间 组中值频数 频率 累计频率 频率 / 组距 1 (11.5,13.5] (13.5,15.5] (15.5,17.5] (17.5,19.5] (19.5,21.5] (21.5,23.5] 合计 35 1
31 频率 / 组距 样本数据的图形显示 由上表可得到我国 年人口出生率的频率直方图为 : 人口出生率频率直方图 人口出生率
32 2.2.3 样本数据的图形显示 二 茎叶图 把每一个数值分为两部分, 前面一部分 ( 百位和十位 ) 称为茎, 后面部分 ( 个位 ) 称为叶, 然后画一条竖线, 在竖线的左侧写上茎, 右侧写上叶, 就形成了茎叶图 如 : 数值分开茎和叶 和 2
33 2.2.3 样本数据的图形显示 例 2.13 某公司对应聘人员进行能力测试, 测试成绩总分为 150 分 下面是 50 位应聘人员的测试成绩 ( 已经过排序 ): 我们用这批数据给出一个茎叶图, 见下页
34 2.2.3 样本数据的图形显示 测试成绩的茎叶图
35 2.2.3 样本数据的图形显示 在要比较两组样本时, 可画出它们的背靠背的茎叶图 例 2.11 中需要对两个车间某天各 40 名员工生产的产品数量进行比较 : 甲车间 乙车间 注意 : 茎叶图保留数据中全部信息 当样本量较大, 数据很分散, 横跨二 三个数量级时, 茎叶图并不适用
36 2.2.3 样本数据的图形显示 例 历届奥斯卡奖最佳女 / 男演员奖得主的年龄如下表所示 : 女演员年龄 ( ) 男演员年龄 ( )
37 2.2.3 样本数据的图形显示 则历届奥斯卡奖女 / 男最佳演员奖得主的年龄的茎叶图如图所示 : 女演员 最佳演员年龄茎叶图 男演员
38 2.3 统计量及其分布 统计量与抽样分布 当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识时, 最好的方法是构造样本的函数, 不同的函数反映总体的不同特征 定义 2.1 设 X 1, X 2,, X n 为取自某总体的样本, 若样本函数 T = T(X 1, X 2,, X n ) 中不含有任何未知参数 则称 T 为统计量 统计量的分布称为抽样分布
39 2.3.1 统计量与抽样分布 按照这一定义 : 若 X 1, X 2,, X n 为样本, 则 i=1 n X i, n 2 i=1 X i 以及经验分布函数 F n (x) 都是统计量 而当 μ, σ 2 未知时,X 1 μ, σ 等均不是统计 量 尽管统计量不依赖于未知参数, 但是它的分布一 般是依赖于未知参数的 下面介绍一些常见的统计量及其抽样分布 X 1
40 2.3.2 样本均值及其抽样分布 定义 2.2 设 X 1, X 2,, X n 为取自某总体的样本, 其 算术平均值称为样本均值, 一般用 X 表示, 即 X = (X X n )/n 思考 : 在分组样本场合, 样本均值如何计算? 二者结果相同吗?
41 2.3.2 样本均值及其抽样分布 样本均值的基本性质 : 定理 2.2 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差, 则样本所有偏差之和为 0, 即 n i=1 X i X = 0 定理 2.3 数据观测值与均值的偏差平方和最小, 即在形如 X i c 2 的函数中, X i X 2 最小, 其中 c 为任意给定常数
42 2.3.2 样本均值及其抽样分布 例 2.15 设有一个由 20 个数组成的总体, 现从该总体同时取出容量为 5 的样本, 记录后放回, 再抽第二个样本 下图记录了前四个样本及其样本均值
43 2.3.2 样本均值及其抽样分布 上述抽样过程可以无限重复, 从而得到大量的 x 的值 下图给出前 500 个 x 的值所形成的直方图, 它反映了 x 的抽样分布
44 2.3.2 样本均值及其抽样分布 样本均值的抽样分布 : 定理 2.4 设 X 1, X 2,, X n 是来自某个总体的样本, X 为样本均值 (1) 若总体分布为 N(μ, σ 2 ), 则 X 的精确分布为 N(μ, σ 2 /n); (2) 若总体分布未知或不是正态分布, 但 E X = μ, Var X = σ 2, 则 n 较大时 X 的渐近分布 为 N(μ, σ 2 /n), 常记为 X~AN μ, σ2 布是指 n 较大时的近似分布. n, 这里渐近分
45 2.3.2 样本均值及其抽样分布 例 2.16 右图给出三个不同的总体样本均值的分布 : 1 均匀分布 2 倒三角分布 3 指数分布
46 2.3.3 样本方差与样本标准差 定义 2.3S 2 n = 1 n 算术平方根 S n = i=1 n x i x 2 称为样本方差, 其 S n 2 称为样本标准差 在 n 不大时, 常用 S 2 = 1 n 1 n i=1 X i X 2 作为样本方差 ( 也称无偏方差, 其含义在第六章讲述 ), 其算术平方根也称为样本标准差
47 2.3.3 样本方差与样本标准差 n 在这个定义中, i=1 X i X 2 称为偏差平方和,n 1 称为偏差平方和的自由度 其含义是 : 在 X 确定后, n 个偏差 X 1 X, X 2 X,, X n X 中只有 n 1 个数据可以自由变动, 而第 n 个则不能自由取值, 因为 X i X = 0 样本偏差平方和有三个不同的表达式 : X i X 2 = X 2 i X i 2 = X 2 n i n X 2 它们都可用来计算样本方差 思考 : 分组样本如何计算样本方差?
48 2.3.3 样本方差与样本标准差 样本均值的数学期望和方差, 以及样本方差的数学期望都不依赖于总体的分布形式 定理 2.5 设总体 X 具有二阶矩, 即 E X = μ <, Var X = σ 2 < X 1, X 2,, X n 为从该总体得到的样本, X 和 S 2 分别 是样本均值和样本方差, 则 E X = μ, Var X = σ 2 /n, E S 2 = σ 2
49 2.3.4 样本矩及其函数 样本均值和样本方差的更一般的推广是样本矩, 这是一类常见的统计量 定义 2.4 A k = ( X i k ) n 称为样本 k 阶原点矩, 特别, 样本一阶原点矩就是样本均值 B k = X i X k /n 称为样本 k 阶中心矩 特别, 样本二阶中心矩就是样本方差
50 2.3.4 样本矩及其函数 当总体关于分布中心对称时, 我们用 X 和 S 刻画样本特征很有代表性, 而当其不对称时, 只用 X 和 S 就显得很不够 为此, 需要一些刻画分布形状的统计量, 如样本偏度和样本峰度, 它们都是样本中心矩的函数 定义 2.5 β s = B 3 /B 2 3/2 称为样本偏度, β k = B 4 B 称为样本峰度 样本偏度 β s 反映了样本数据与对称性偏离程度和偏离方向 样本峰度 β k 是反映总体分布密度曲线在其峰值附近的陡峭程度和尾部粗细的统计量
51 2.3.5 次序统计量及其分布 一 定义 另一类常见的统计量是次序统计量 定义 2.6 设 X 1, X 2,, X n 是取自总体 X 的样本,X (i) 称为该样本的第 i 个次序统计量, 它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第 i 个观测值 其中 X (1) = min{x 1, X 2,, X n } 称为该样本的最小次序统计量, 称 X (n) = max{x 1, X 2,, X n } 为该样本的最大次序统计量
52 2.3.5 次序统计量及其分布 我们知道, 在一个样本中, X 1, X 2,, X n 是独立同分布的, 而次序统计量 X (1), X (2),, X (n) 则既不独立, 分布也不相同, 看下例 例 2.17 设总体 X 的分布为仅取 0,1,2 的离散均匀分布, 分布列为 X p 1/3 1/3 1/3 现从中抽取容量为 3 的样本, 其一切可能取值有 3 3 =27 种, 表 2.3.6( 见教材 272 页 ) 列出了这些值
53 2.3.5 次序统计量及其分布 由此可给出 X (1), X (2), x (3) 分布列如下 : X (1) p 19/27 7/27 1/27 X (2) p 7/27 13/27 7/27 X (3) p 1/27 7/27 19/27 我们可以清楚地看到这三个次序统计量的分布是不相同的
54 2.3.5 次序统计量及其分布 进一步, 我们可以给出两个次序统计量的联合分布, 如, X 1 和 X (2) 的联合分布列为 X (2) X (1) 0 7/27 9/27 3/ /27 3/ /27 因为 P(X 1 = 0, X (2) = 0) = 7/27, 而 P(X 1 = 0) P(X (2) = 0) = (19/27) (7/27), 二者不等, 由此可看出 X 1 和 X (2) 是不独立的
55 2.3.5 次序统计量及其分布 二 单个次序统计量的分布 定理 2.6 设总体 X 的密度函数为 f(x), 分布函数为 F(x),X 1, X 2,, X n 为样本, 则第 k 个次序统计量 X (k) 的密度函数为 f k x = n! k 1! n k! F x k 1 1 F x n k f(x)
56 2.3.5 次序统计量及其分布 例 2.18 设总体密度函数为 f(x) = 3x 2, 0 x 1. 从该总体抽 得一个容量为 5 的样本, 试计算 P(X (2) 1/2) 解 : 从次序统计量密度函数出发 当 0 x 1, F x = x 3 当 0 x 1, f x 2 x = 5! F x F x 5 2 f(x) 5 2! = 20x 3 3x 2 1 x 3 3 = 60x 5 1 x 3 3 P(X (2) 1/2) = 0 1/2 60x5 1 x 3 3 dx =
57 2.3.5 次序统计量及其分布 例 2.19 设总体密度函数为 f x = e x, 0 < x <, 从该总体中抽得一个容量为 4 的样本, 求 P(X (4) 3) 解 : 有两种求法 : 法一 从古典概型出发 ; P X 4 3 = 1 P X 4 < 3 = 1 P(X 1 < 3, X 2 < 3, X 3 < 3, X 4 < 3) = 1 P X 1 < 3 4 又 P X 1 < 3 = 0 3 e x dx = 1 e 3 故 P X 4 3 = 1 1 e 3 4
58 2.3.5 次序统计量及其分布 解 ( 续 ): 法二 从次序统计量密度函数出发 当 x > 0, F x = 0 x e u du = 1 e x 当 x > 0, f x 4 x = 4! 4 1! [F(x)]4 1 f x = 4 1 e x 3 e x P X 4 3 = e x 3 e x dx = 1 1 e 3 4
59 2.3.5 次序统计量及其分布 例 2.20 设总体分布为 f x = 1, x = 1,2,3,4,5,6 (i.e. 6 离散的均匀分布 ) 从该总体中抽得一个容量为 5 的样本, 求证 X (1) 的分布为 f 1 x = 7 x x 6 5, x = 1,2,3,4,5,6
60 2.3.5 次序统计量及其分布 解 : f 1 x = P X (1) x P X (1) x 1 = 1 P X 1 > x 1 P X 1 > x 1 = P X 1 > x 1 P(X 1 > x) = 7 x x 6 5 注 : 次序统计量的密度函数公式不适用 Why?
61 2.3.5 次序统计量及其分布 * 三 多个次序统计量的联合分布 对任意多个次序统计量可给出其联合分布, 以两个为例说明 : 定理 2.7 X i, X j 在定理 2.6 的记号下, 次序统计量, (i < j) 的联合分布密度函数为 f i,j y, z = n! i 1! j i 1! n j! F y i 1 F z F y j i 1 1 F z n j f y f z y z
62 2.3.5 次序统计量及其分布 * 次序统计量的函数在实际中经常用到 如样本极差 R n = X (n) X 1, 样本中程 X n X 1 /2 样本极差是一个很常用的统计量, 其分布只在很少几种场合可用初等函数表示
63 2.3.5 次序统计量及其分布 * 例 设总体分布为 U(0,1), X 1, X 2,, X n 为样本, 则 (X 1, X (n) ) 的联合密度函数为 f 1,n y, z = n n 1 z y n 2, 0 < y < z < 1 解 : 令 R n = X (n) X 1, 由 R > 0, 可以推出 0 < X (1) = X (n) R 1 R, 则 f R r = 0 1 r n n 1 y + r y n 2 dy = n n 1 r n 2 (1 r) 这正是参数为 (n 1, 2) 的贝塔分布
64 2.3.5 次序统计量及其分布 * 例 2.21 设总体密度函数为 f x = e x, 0 < x <, 从该总体中抽得一个容量为 4 的样本, 求样本极差 R 4 2 的概率 解 : 设 X (1) = y 和 X (n) = z 的联合密度函数为 : f y, z = n! n 2! e y e z e y e z n 2 做变换 R n = z-y Y=y y=y z=r n + Y 雅克比行列式绝对值 J = 1.
65 2.3.5 次序统计量及其分布 * 则 R n 和 Y 的联合密度 n! f Rn, Y r, y = n 2! e y e (r+y) e y e (r+y ) 2 f Rn r = = n n 1 e 4y e r 1 e r 2 + = n(n 1) e 4y e r 1 e r 2 dy e 4y e r 1 e r 2 dy = 3e r 1 e r 2 P r 2 = 2 + 3e r 1 e r 2 dx = 1 1 e 2 3
66 2.3.6 样本分位数与样本中位数 样本中位数也是一个很常见的统计量, 它也是次序统计量的函数, 通常如下定义 : m 0.5 = 1 X ( n+1 2 ), n 为奇数 2 X n 2 + X n 2 +1, n 为偶数 更一般地, 样本 p 分位数 m p 可如下定义 : m p = X ([np+1]), np 不是整数 1 2 X np + X np+1, np 是整数
67 2.3.6 样本分位数与样本中位数 * 定理 2.8 设总体密度函数为 f(x),x p 为其 p 分位数, f(x) 在 X p 处连续且 f X p > 0, 则当 n 时样本 p 分位数 m p 的渐近分布为 m p ~N(x p, p(1 p) n f 2 (x p ) ) 特别, 对样本中位数, 当 n 时近似地有 m 0.5 ~N(x 0.5, 1 4n f 2 (x 0.5 ) )
68 2.3.6 样本分位数与样本中位数 * 例 2.22 设总体为柯西分布, 密度函数为 f(x, θ) = 1/[ (1 + x θ 2 )], x + 不难看出 θ 是该总体的中位数, 即 X 0.5 = θ 设 X 1, X 2,, X n 是来自该总体的样本, 当样本量 n 较大时, 样本中位数 m 0.5 的渐近分布为 m 0.5 ~AN(, 2 /4n).
69 2.3.6 样本分位数与样本中位数 * 例 2.23 设 X 1, X 2,, X n 是来自正态总体 N(μ, σ 2 ) 的样本, 当 n 足够大时, 求样本中位数 m 0.5 的分布 解 : 对样本中位数, 当 n 时近似地有 1 m 0.5 ~N(x 0.5, 4n f 2 (x 0.5 ) ) 其中 x 0.5 = 1 X ( n+1 2 ), n 为奇数 2 X n 2 + X n 2 +1, n 为偶数
70 2.3.6 样本分位数与样本中位数 通常, 样本均值在概括数据方面具有一定的优势 但当数据中含有极端值时, 使用中位数比使用均值更好, 中位数的这种抗干扰性在统计中称为具有稳健性 例如样本值为 5 个数, 3, 5, 9, 10, 13, 在计算机输入时不小心输为 3, 5, 9, 10, 133. 则计算得出样本均值由 8 变为 32, 而中位数为 9 保持不变
71 2.3.7 五数概括与箱线图 次序统计量的应用之一是五数概括与箱线图 在得到有序样本后, 容易计算如下五个值 : 最小观测值 X min = X (1), 最大观测值 X max = X (n), 中位数 m 0.5, 第一 4 分位数 Q 1 = m 0.25, 第三 4 分位数 Q 3 = m 所谓五数概括就是指用这五个数 : X min, Q 1, m 0.5, Q 3, X max 来大致描述一批数据的轮廓
72 2.3.7 五数概括与箱线图 箱线图 五数概括的图形表示, 其主要包括 : 一个箱体 : 箱体内部的竖线位置对应样本中位数 m 0.5 箱体左 右边线的位置分别对应 Q 1 和 Q 3 两根线 : 从箱体两侧分别延伸出一条线 左边延伸至 max{x 1, Q 1-1.5IQR} 右边延伸至 min{x n, Q IQR} 其中 IQR=Q 3 -Q 1 称为四分位数间距, 作为描述数据离散度统计量,IQR 显然比极差更稳健 异常值点 落在 [Q 1-1.5IQR, Q IQR] 之外的数据称为异常值, 在图中单独标出
73 2.3.7 五数概括与箱线图 箱线图 箱线图可以看出数据分布的中心位置 散布程度 对称性
74 2.3.7 五数概括与箱线图 分布的形状与箱线图
75 2.4 三大抽样分布 大家很快会看到, 有很多统计推断是基于正态分布的假设的, 以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用, 这是因为这三个统计量不仅有明确背景, 而且其抽样分布的密度函数有明显表达式, 它们被称为统计中的 三大抽样分布
76 分布 ( 卡方分布 ) 定义 2.7 设 X 1, X 2,, X n, 独立同分布于标准正态分布 N(0,1), 则 χ 2 = X X2 n 的分布称为自由度为 n 的 χ 2 分布, 记为 χ 2 ~χ 2 n. χ 2 分布具有可加性 E (χ 2 ) = n,var χ 2 = 2n
77 分布 ( 卡方分布 ) 该密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布
78 分布 ( 卡方分布 ) 当随机变量 χ 2 ~χ 2 n 时, 对给定 α(0 < α < 1), 称满足 P(χ 2 2 χ 1 α (n)) = 1 2 的 χ 1 α (n) 是自由度为 n 的卡方分布的 1 分位数 2 分位数 χ 1 α (n) 可以从附表 3 中查到
79 分布 ( 卡方分布 ) 定理 2.9 设 X 1, X 2,, X n 是来自 N(μ, σ 2 ) 的样本, 其样本均值和样本方差分别为 X = X i /n 和 S 2 = X i X 2 /(n 1) 则有 (1) X 与 S 2 相互独立 ; (2) X~N(μ, σ 2 /n); (3) n 1 S 2 σ 2 ~χ 2 (n 1)
80 2.4.2 F 分布 定义 2.8 设 X 1 ~χ 2 m, X 2 ~χ 2 n, X 1 与 X 2 独立, 则称 F = ( X 1 m) ( X 2 n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F 分布, 记为 F~F(m, n), 其中 m 称为分子自由度,n 称为分母自由度 1/F 也服从 F 分布, 即 1 F ~F n, m
81 2.4.2 F 分布 该密度函数的图象也是一个只取非负值的偏态分布
82 2.4.2 F 分布 当随机变量 F~F(m, n) 时, 对给定 α(0 < α < 1), 称满足 P F F 1 α m, n = 1 α 的 F 1 α m, n 是自由度为 m 与 n 的 F 分布的 1 α 分位数 由 F 分布的构造知 F α n, m = 1 F 1 α m, n.
83 2.4.2 F 分布 推论 2.1 设 X 1, X 2,, X m 是来自 N(μ 1, σ 1 2 ) 的样本, Y 1, Y 2,, Y n 是来自 N(μ 2, σ 2 2 ) 的样本, 且此两样本 相互独立, 则有 F = S X 2 /σ 1 2 S Y 2 /σ 2 2 ~F(m 1, n 1) 特别, 若 σ 2 1 = σ 2 2, 则 F = S X 2 ~F(m 1, n 1) S Y 2
84 2.4.3 t 分布 定义 2.9 设随机变量 X 1 与 X 2 独立, 且 X 1 ~N 0,1, X 2 ~χ 2 n, 则称 T = X 1 X 2 /n 的分布为自由度为 n 的 t 分布, 记为 T~t(n) 自由度为 1 的 t 分布就是标准柯西分布, 它的均值不存在 ; n 1 时, t 分布的数学期望存在且为 0; n 2 时,t 分布的方差存在, 且为 n/(n 2); 当自由度较大 ( 如 n 30) 时, t 分布可以用正态分布 N(0,1) 近似
85 2.4.3 t 分布 t 分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布, 与标准正态分布的密度函数形状类似, 只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标准正态分布的大一些
86 2.4.3 t 分布 当随机变量 T ~t(n) 时, 称满足 P(T t 1 (n)) = 1 的 t 1 (n) 是自由度为 n 的 t 分布的 1 分位数, 分 位数 t 1 (n) 可以从附表 4 中查到 譬如 n = 10, α = 0.05, 那么从附表 4 上查得 t = t = 由于 t 分布的密度函数关于 0 对称, 故其分位数间 有如下关系 : t n 1 = t 1 (n 1)
87 2.4.3 t 分布 推论 2.2 设 X 1, X 2,, X n 是来自正态分布 N μ, σ 2 的一个样本, X 与 S 2 分别是该样本的 样本均值与样本方差, 则有 T = n( X μ) ~t(n 1) S
88 2.4.3 t 分布 推论 2.3 在推论 的记号下, 设 并记 则 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2, S 2 w = m 1 S X n 1 S Y m + n 2 = i=1 n X i X 2 n + i=1 m + n 2 Y i Y 2 X Y (μ 1 μ 2 ) 1 S w m + 1 ~t(m + n 2) n
89 2.4 三大抽样分布 例 2.24 设 X 1, X 2,, X 2n 取自正态分布总体 N(0,1) 的简单样本, 试求 : Y 1 = (2n 3) 3 2 i=1 X i 2n X 2, Y 2 = 1 i 2 i=1 2n X 2 i + n i=1 3 i=4 解 : (1) X i ~N 0,1, 且 X i 独立同分布 2n i=4 X 2 i ~χ 2 (2n 3) X 2i 1 X 2i 的分布 3 i=1 X i 2 ~χ 2 (3) 且 2n i=4 X i 与 i=1 X i 相互独立 ; Y 1 = (2n 3) 3 2 i=1 X i 2n X 2 ~F(3,2n 3) i 3 i=4
90 2.4 三大抽样分布 (2) Y 2 = 1 2 i=1 2n X 2 i + n i=1 X 2i 1 X 2i = 1 n 2 i=1 = n i=1 X 2i 1 + X 2i 2 X 2i 1 + X 2i 2 2 X 2i 1 + X 2i ~N 0,1, X 2i 1 + X 2i 2 2 n 2 X 2i 1 + X 2i Y 2 = ~χ 2 (n) 2 i=1 之间相互独立
91 2.4 三大抽样分布 例 2.25 设随机变量 T~t(n), 则 证明 : 1 T 2 ~F n, 1. T~t(n), 则根据定义 T 可写 T = X, Y n 其中 X~N 0,1, Y~χ 2 (n), 且 X 和 Y 相互独立, 又 X 2 ~ χ 2 (1), 1 = Y n T 2 X2 ~F n, 1.
92 2.4 三大抽样分布 例 2.26 设样本 (X 1,, X 5 ) 来自于正态总体 N(0,1), (1) 试求常数 a, 使得 a(x 1 + X 2 ) 2 服从 χ 2 分布, 并指出自由度 ; (2) 试求常数 b, 使得 b(x 1 +X 2 ) X 3 2 +X 4 2 +X 5 2 服从 t 分布, 并指出 自由度 ;
93 2.4 三大抽样分布 解 :(1) X i ~N 0,1 (i = 1,2,3,4,5) 且相互独立, (X 1 +X 2 )~N 0,2 (X 1+X 2 ) ~N(0,1) 2 (X 1+X 2 ) 2 ~χ a = 1 2, 自由度为 1
94 2.4 三大抽样分布 (2) (X 3 2 +X X 5 2 )~χ 2 (3), X 1 + X 2 ~N 0,2, 且 (X 3 2 +X X 5 2 ) 与 X 1 + X 2 相互独立, 则由 t 分布的定义可得 : X1+X2 2 X 3 2 +X4 2 +X5 2 3 ~t(3) b = 3 2, 自由度为 3.
95 2.4 三大抽样分布 例 2.27 设 X 1, X 2, X n, X n+1 是取自正态总 N(μ, σ 2 ) 的一个样本, 记 n X n = 1 X n i,s 2 i = 1 (X n i X n ) 2 i=1 i=1 n 求统计量 n 1 n+1 X n+1 X n S n 的分布
96 2.4 三大抽样分布 解 : X n ~N μ, σ2 n X n+1 ~N μ, σ 2, 且 X n+1 与 X n 相互独立, (X n+1 X n )~N(0, n+1 n σ2 ) X n+1 X n n+1 n σ2 ~N(0,1)
97 2.4 三大抽样分布 由 X i X 2 σ 2 ~χ 2 ns2 n 1 得 n σ 2 ~χ2 n 1 X n 与 S n 2 相互独立,S n 2 与 X n+1 相互独立 X n+1 X n 与 ns n 2 σ 2 相互独立 X n+1 X n n + 1 n σ2 ns n 2 (n 1)σ 2 = n 1 X n+1 X n ~t(n 1) n + 1 S n n+1 n σ2
98 2.5 充分统计量 * 充分性的概念 例 2.28 为研究某个运动员的打靶命中率, 我们对该运动员进行测试, 观测其 10 次, 发现除第三 六次未命中外, 其余 8 次都命中 这样的观测结果包含了两种信息 : (1) 打靶 10 次命中 8 次 ; (2) 2 次不命中分别出现在第 3 次和第 6 次打靶上
99 2.5.1 充分性的概念 * 第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的 一般地, 设我们对该运动员进行 n 次观测, 得到 X 1, X 2,, X n, 每个 X j 取值非 0 即 1, 命中为 1, 不命中为 0 令 T = X X n,t 为观测到的命中次数 在这种场合仅仅记录使用 T 不会丢失任何与命中率 θ 有关的信息, 统计上将这种 样本加工不损失信息 称为 充分性 样本 x = (X 1, X 2,, X n ) 有一个样本分布 F θ (x), 这个分布包含了样本中一切有关 θ 的信息
100 2.5.1 充分性的概念 * 统计量 T = T(X 1, X 2,, X n ) 也有一个抽样分布 F θ T (t), 当我们期望用统计量 T 代替原始样本并且不损失任何有关 θ 的信息时, 也就是期望抽样分布 F θ T (t) 像 F θ (x) 一样概括了有关 θ 的一切信息, 这即是说在统计量 T 的取值为 t 的情况下样本 X 的条件分布 F θ (X T = t) 已不含 θ 的信息, 这正是统计量具有充分性的含义
101 2.5.1 充分性的概念 * 定义 2.10 设 X 1, X 2,, X n 是来自某个总体的样本, 总体分布函数为 F ( x ; θ), 统计量 T = T(X 1, X 2,, X n ) 称为 θ 的充分统计量, 如果在给定 T 的取值后, X 1, X 2,, X n 的条件分布与 θ 无关.
102 2.5.1 充分性的概念 * 例 2.28( 续 ) 设 X 1, X 2,, X n 是来自总体 b(1, p) 的样本, 证明命中次数, 即统计量 T = X 1 + X X n 为 p 的充分统计量. 解 :T ~ b(n, p) P X 1 = x 1,, X n = x n T = t) = P(X 1 = x 1,, X n = x n, T = t) P(T = t) t = 1/C n P X 1 = x 1,, X n = x n T = t) 与 p 无关 = pt (1 p) n t C n t p t (1 p) n t
103 2.5.2 因子分解定理 * 充分性原则 : 在统计学中有一个基本原则 -- 在充分统计量存在的场合, 任何统计推断都可以基于充分统计量进行, 这可以简化统计推断的程序 定理 2.10 设总体概率函数为 f(x; θ),x 1, X 2,, X n 为样本, 则 T = T(X 1, X 2,, X n ) 为充分统计量的充分必要条件是 : 存在两个函数 g(t, θ) 和 h(x 1, x 2,, x n ), 使得对任意的 θ 和任一组观测值 x 1, x 2,, x n, 有 f x 1, x 2,, x n ; θ = g(t x 1, x 2,, x n, θ)h(x 1, x 2,, x n ) 其中 g(t, θ) 是通过统计量 T 的取值而依赖于样本的
104 2.5.2 因子分解定理 * 例 2.29 设 X 1, X 2,, X n 是取自总体 U(0, θ) 的样本, 即总体的密度 函数为 f x; θ = 1 θ, 0 < x < θ 0, 其他 于是样本的联合密度函数为 1 f x 1 ; θ f x n ; θ = θ 0, 其他由于诸 x i > 0, 所以我们可将上式改写为 n, 0 < min{x i } < max x i < θ f x 1 ; θ f x n ; θ = 1/θ n I x n <θ 取 T = X (n), 并令 g t, θ = (1 θ) n I x n <θ,h X = 1 由因子分解定理知 T = X (n) 是 θ 的充分统计量
105 2.5.2 因子分解定理 * 例 2.30 设 X 1, X 2,, X n 是取自总体 N μ, σ 2 的样本, θ = μ, σ 2 是未知的, 则联合密度函数为 f x 1, x 2,, x n ; θ = 2πσ 2 n/2 exp 1 n 2σ 2 i=1 = 2πσ 2 n/2 exp nμ2 2σ 2 exp 1 n 2σ 2 ( x 2 i 2μ i=1 取 t 1 = x i, t 2 = x i 2, 并令 x i μ 2 g t 1, t 2, θ = 2πσ 2 n/2 exp{ nμ 2 /2σ 2 } exp{ (t 2 2μt 1 )/2σ 2 }, 其中 h(x) = 1, 由因子分解定理, T = ( X i, X i 2 ) 是充分统计量 n i=2 x i )
106 2.5.2 因子分解定理 * 进一步, 我们指出这个统计量与 X, S 2 是一一对应的, 这说明在正态总体场合常用的 X, S 2 是充分统计量 一般地, 有如下命题 : 定理 2.11 若统计量 T 是充分统计量, 统计量 S 与统计量 T 一一对应, 则统计量 S 也是充分统计量
107
第五章 数理统计中的统计量 及其分布
第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
:
: : 4.1....................... 1 4.1.1............... 1 4.2........... 10 4.2.1............... 10 4.2.2..... 14 4.2.3................ 18 4.2.4................ 24 4.3...................... 26 4.3.1..............
前 言 数理统计学是研究怎样用有效的方法去收集和使用具随机性影响的数据的科学 当今信息时代是充满数据的时代 数据是信息的载体 数理统计作为一门分析数据并从数据中寻找规律的学科 随着计算机的广泛使用 必然会发挥越来越重要的作用 本书的理论和方法为解决实际问题中的数据分析问题提供了有力的工具 数理统计
内容简介本书介绍了工科研究生 数理统计 课程的基本内容 包括 预备知识 抽样分析 参数估计 假设检验 方差分析 正交实验设计 回归分析和多元统计分析初步等 同时还介绍了 及其在统计分析中的应用 本书各章末均配有适量习题 书末附有部分习题参考答案 本书可作为工科各专业研究生的教学用书 也可作为具有一定数学基础的读者的自学用书 图书在版编目 数据 数理统计 凌能祥 李声闻 宁荣健编 合肥 中国科学技术大学出版社
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第五章 : 随机变量的收敛性 随机样本 :IID 样本, 统计量 : 对随机样本的概括 Y = T X1 X X (,..., ) X1, X..., X X i ~ F Y 为随机变量,Y 的分布称为统计量的采样分布 如 : 样本均值 样本方差 样本中值 收敛性 : 当样本数量 趋向无穷大时, 统计量的变化 大样本理论 极限定理 渐近理论 对统计推断很重要 收敛性 主要讨论两种收敛性 依概率收敛
: Previous Next First Last Back Forward 1
7-3: : 7.3.................. 1 7.3.1.............. 2 7.3.2..... 8 7.3.3.............. 12 Previous Next First Last Back Forward 1 7.3,, (X 1,, X n )., H 0 : X F Karl Pearson χ 2. : F ˆF n, D( ˆF n, F ),
《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC
3 4 5 6 7 χ χ m.303 B = f log f log C = m f = = m = f m C = + 3( m ) f = f f = m = f f = n n m B χ α χ α,( m ) H µ σ H 0 µ = µ H σ = 0 σ H µ µ H σ σ α H0 H α 0 H0 H0 H H 0 H 0 8 = σ σ σ = ( n ) σ n σ /
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在终极的分析中. 一切知识都是历史. 在抽象的意义下 一切科学都是数学. 在理性的世界里 所有的判断都是统计学. ----C.R. 劳 数理统计学的基本概念 数理统计学与概率论是两个有密切联系的姊妹学科. 大体上可以说 : 概率论是数理统计学的基础 而数理统计学是概率论的重要应用. 数理统计是一门应用广泛 分支很多的学科 它在和其它学科的结合中产生出许多新的分支 是社会经济分析研究 科学试验中必不可少的工具之一.
标题
第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 :1000 5471(01)01 0011 05 1 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 张耿, 陈守全, 王超 西南大学数学与统计学院, 重庆 400715
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3.1 ( ) (Expectation) (Conditional Mean) (Median) Previous Next
3-1: 3.1 ( )........... 2 3.1.1 (Expectation)........ 2 3.1.2............. 12 3.1.3 (Conditional Mean)..... 17 3.1.4 (Median)............ 22 Previous Next First Last Back Forward 1 1.. 2. ( ): ( ), 3.
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7-2: : 7.2......... 1 7.2.1....... 1 7.2.2......... 13 7.2.3................ 18 7.2.4 0-1 p.. 19 7.2.5.... 21 Previous Next First Last Back Forward 1 7.2 :, (0-1 ). 7.2.1, X N(µ, σ 2 ), < µ 0;
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
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4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
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PowerPoint 演示文稿
频率直方图, 频率直方图是统计学中表示频率分布的图形, 该图形在直角坐标系中, 用横轴表示随机变量的取值, 横轴上的每个小区间对应一个组的组距, 作为小矩形的底边 ; 纵轴表示频率与组距的比值, 并用它作小矩形的高, 以这种小矩形构成的一组图称为频率直方图..3 连续型随机变量及其概率分布 概率密度函数 案例某制造商为给其所生产的某种型号的晶体管打寿命标签, 对该型号的晶体管的使用寿命进行了抽查,
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2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2
第二章随机变量及其分布 2. 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其分布 3.4 随机变量函数的分布 2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2 . 离散型随机变量的分布律 定义 2.2. 设离散型随机变量 的所有可能的不同取 的值为 x 而 取值,,2, x 的概率为 p, 即 x p,,2,
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2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
Microsoft PowerPoint - 09_10_RandomVariables.ppt
上节课内容 概率理论 第二章 : 随机变量 概率公理及推论 随机事件之间的关系 : 条件概率 独立 / 条件独立 贝叶斯公式 本节课内容 随机变量及其分布 随机变量变换 常见分布族 多元随机向量的分布 联合分布 边缘分布 条件分布 独立 随机变量 统计推断是与数据相关的 随机变量就是将样本空间 / 随 机事件与数据之间联系起来的纽带 随机变量是一个映射 : Ω R, 将一个实数值 ( ω) 赋给一个试验的每一个输出
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
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定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
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微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
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() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
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附件1：理论课程教学大纲修订样表
一 课程基本信息 概率论与数理统计 A 教学大纲 课程名称概率论与数理统计 A 课程代码 C4803001 英文名称 Probability Theory And Statistics A 归属学科 ( 系 部 ) 统计系 学分 4 学时 64 学时, 其中实践 4 学时开课学期 3 预修课程 高等数学 面向专业计算机 163(33 人 ) 二 课程性质与教学目标 概率论与数理统计 是研究大量随机现象统计规律性的一门学科,
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005 1 1.. 3. 1-1 - total quality management, TQM 1961 3 1931 199 0 50 1961 6sigma 4 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 19511 6 1 3 4 5 6 5 - - a) b) c) 6 1 1 3 4 5 6 7 8 1 3 4 5 6 3 4 1) ) 3) 4) - 3 - 5)
三 区间估计 单个正态总体的区间估计设样本 来自正态总体 N 注意与 B 的区别 则 已知时 的置信度为 的置信区间为 u u 未知时 的置信度为 的置信区间为 t t 已知时 的置信度为 的置信区间为 4 未知时 的置信度为 的置信区间为 两个正态总体的区间估计设总体 ~ ~ N N 分别是 的一
第 7 章参数估计 一 点估计设 是来自总体 的一个样本 记 A k k 特别地 A Bk k k 利用统计量去估计总体未知参数的真值称为点估计 常用的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法 一般要求掌握一个或两个参数的情形 矩估计法 若只有一个未知参数 则建立方程 E 求解 ; E 若有两个未知参数 则建立方程方程组 求解 D B k 注 若有 m 个未知参数 则可利用 E A k m 建立方程组求解
1-1 + 1 + + 2 + + 3 + 4 5 + 6 + 7 8 + 9 + 1-2 1 20000 20000 20000 20000 2 10000 30000 10000 30000 3 5000 5000 30000 4 10000 20000 10000 20000 5 3000 3000 20000 6 3000 3000 20000 7 5000 15000 8 5000 15000
x y z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.1. (X, Y ) 3.2 P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y 1 ) F (x 1, y 2
3 3.... xy z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.. (X, Y ) 3.2 P (x < X x 2, y < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y ) F (x, y 2 ) + F (x, y ) 3. F (a, b) 3.2 (x 2, y 2) (x, y 2) (x 2, y ) (x,
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2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
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试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
从定理我们可以看出, 符号秩统计量可以用来检验对称性质, 例如取 n W + = ϕ i R + i, (3) 如果统计量太大或者太小都说明总体分布函数 F 不关于 0 对称 两样本问题 对于一样本的统计问题, 秩统计量用处不是太大, 符号秩统计量可以用来检验对称性, 这里我们看看两样本问题 从一样
第三章秩统计量与秩方法 王成 * http://math.sjtu.edu.cn/faculty/chengwang/ 上海交通大学数学系 1 秩 (Rank) 的定义 Definition 1.1 ( 秩 ) 对于互不相等的一组实数 x 1,..., x n,x k 在从小到大的次序 x (1) < < x (n) 中所在位置 r k 称为其秩 ; 对应的对于样本 X 1,..., X n, 称为
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
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.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
.. Boxplot( 盒形图 / 箱线图 ) Yi Xianfu Institute of Health Sciences Shanghai Institute for Biological Science Chinese Academy of Science D
.. Boxplot( 盒形图 / 箱线图 ) Yi Xianfu xfyin@sibs.ac.cn Institute of Health Sciences Shanghai Institute for Biological Science Chinese Academy of Science December 19, 2011 Yixf (IHS, SIBS, CAS) boxplot December
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第一章合成.ppt
plsun@mail.neu.edu.cn 1. 2. 3. 4. 5. 1. Mathematical Statistics R.V.Hogg ( 1979) 2. Statistics -The Conceptual Approach G. R. Iversen, ed ( - 2000) 3. Mathematical Statistics and Data Analysis J. A. Rice
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1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
7,:,,,,,,,,,, (CIP),.3. :, 006. ( ) ISBN O CIP (006)007 : ( 7, 50640) : : ( ) c : : :4
() 7,:,,,,,,,,,, (CIP),.3. :, 006. ( ) ISBN 7-563-0337-.... O CIP (006)007 : ( 7, 50640) : :00-873487 87048 ( ) E-mail:scutc3@scut.edu. c : : 787960 6 :4. 75 :630 : 006 3 : 3 00036 000 : 3. 00 http :www.
第三单元 : 常用的统计量 平均数 中位数 众数方差 标准差, 样本方差 样本标准差标准系数协方差 相关系数 数据的集中程度 : 平均数 数学期望 众数 中数 数据的偏离程度 离散程度 波动程度 : 方差 标准差 变异系数 数据之间的关联程度 : 协方差 相关系数 平均数 简单算术平均数 加权算术平
第二单元 : 统计表和统计图 一 统计表 1 二维统计表 高维统计表 2 个人家庭财务报表 : 资产负债表 收入支出表 二 统计图 1 直方图 2 散点图 3 饼状图 4 盒形图 :K 线图 考题 : 三级 2010-5 多 104. 常见的统计图方式有 ( ) ( A ) 直方图 (B ) 散点图 ( C ) 饼状图 (D ) 盒形图 ( E ) 对比图 考题 : 三级 2009-5 单 58.
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第一章 随机事件与概率 （考研）
概率统计冲刺 真题解析及重点题型 济大科大版说明 : 要求解析 9,,6,8 四年的概率真题四年的概率真题共 题左右, 全面性不够, 以这四年为主, 适当补充其他真题 通过真题解析达到三个目的 : 复习相应的知识点, 查遗补漏 ; 把握命题规律, 强化重点题型 ; 掌握应试技巧, 避免常见错误 冲刺阶段概率统计备考策略 理清结构, 突出重点 真题热身, 实战模拟 查遗补漏, 调整状态 冲刺阶段的复习
➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 (Stationary Processes) X = {X t ; t I}, n 1 t 1,..., t n I, n F n (t 1,..., t n ; x 1,..., x
➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 : Stochastic Processes? (Ω, F, P), I t I, X t (Ω, F, P), X = {X t, t I}, X t (ω)
招商证券基金宝集合资产管理计划
2005 2005 05 25 2005 12 31 1 29 2005 2005 4 4 [2005]38 2006 2 28 2005 2005 5 25 2005 12 31 2 29 2005 4 5 7 9 10 10 24 27 28 28 3 29 2005 2005 5 25 1,358,234,544.22 1,769,758,099.90 1991 7 A 38-45 A 38-45
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随机信号分析 第三章 泊松过程 (Poisso Processes) Sigal processig & Iformaio Neworkig i Commuicaios 罗锴 提纲 u 泊松过程定义 u 泊松过程的数字特征 u 时间间隔分布 等待时间分布及到达时间的条件分布 u 非齐次泊松过程 u 复合泊松过程 泊松过程定义 泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程 例如 : 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数