<4D F736F F D20B5DAC1F9D5C220CAFDC0EDCDB3BCC6D1A7B5C4BBF9B1BEB8C5C4EE2E646F63>

Size: px
Start display at page:

Download "<4D F736F F D20B5DAC1F9D5C220CAFDC0EDCDB3BCC6D1A7B5C4BBF9B1BEB8C5C4EE2E646F63>"

Transcription

1 在终极的分析中. 一切知识都是历史. 在抽象的意义下 一切科学都是数学. 在理性的世界里 所有的判断都是统计学. ----C.R. 劳 数理统计学的基本概念 数理统计学与概率论是两个有密切联系的姊妹学科. 大体上可以说 : 概率论是数理统计学的基础 而数理统计学是概率论的重要应用. 数理统计是一门应用广泛 分支很多的学科 它在和其它学科的结合中产生出许多新的分支 是社会经济分析研究 科学试验中必不可少的工具之一. 数理统计学是研究统计工作的一般原理与方法的科学 它主要阐述如何搜集 整理 分析统计数据 并据此对未知参数给出估计 或做出某种统计推断. 如何获取数据的阶段称为 统计计划 包括抽样技术 试验设计等分支 ; 有了数据以后 通过分析数据达到某种结论 作出某种判断的阶段称为 统计推断 包括参数估计和假设检验两个主要部分. 数理统计学是一门应用性很强的学科 有其方法 应用和理论基础. 在西方 数理统计学 一词是专指统计方法的数学基础理论那部分而言. 在我国则有较广的含义 即包括方法 应用及理论基础都在内 而这在西方是称为 统计学. 在我国 因为还有一门被认为是社会科学的统计学存在 这两个名词的区别使用 有时是必要的. 6. 数理统计学的基本概念 6.. 引例当我们用试验或观察的方法研究一个问题时 首先要通过适当的观察或试验以取得必要的数据 然后就是对所得数据进行分析 以对所提问题作出尽可能正确的结论 为什么说 尽可能正确 呢? 因为数据一般总是带有随机性误差. 需要指出的是 这里指的误差 主要并不是通常意义下的因测量不准而招致的误差 例如测量一个人的高度 因仪器和操作的原因必然有一定的误差 自然 这种误差也是构成数据误差的一个可能的来源. 这里所说的数据误差 主要指的是由于观察和试验所及 一般只能是所研究的事物的一部分 而究竟是哪一部分则是随机的. 例如一个学校有上万名学生 你从中抽出 00 人来研究该校学生的学习情况 抽取的 00 个人不同 所得数据就不同 这完 5

2 全凭机会定. 我们说的随机误差主要是指这个 由于数据带有这样的随机性 通过分析这些数据而作出的结论 也就难保其不出错了. 分析方法的要旨 就在于使可能产生的错误愈小愈好 发生错误的机会愈小愈好 这就需要使用概率论作为工具 在此我们就可以初步看出概率论和数理统计学的密切关系. 数理统计学就是这样一门学科 : 它使用概率论和数学的方法 研究怎样收集带有随机误差的数据 并在设定的模型之下 对收集的数据进行分析 以对所研究的问题作出推断. 我们通过以下的例子来说明有关的概念. 例 6.. 某工厂生产大批的电子元件. 按第二章的理论 我们认为有理由假定元件的寿命服从指数分布. 在实际应用中 我们可以提出许多感兴趣的问题. 例如 : ( 元件的寿命如何? ( 如果你是使用单位 要求平均寿命达到某个指定的数 l 例如 000 小时. 问这批元件可否被接受? 在此 元件寿命服从指数分布 提供了一个数学模型 即本问题的统计模型. 如果你知道了该分布中的参数 λ 之值 则据第三章 我们知道元件的平均寿命为 / λ 于是上面两个问题马上就可以得到回答. 但实际上 λ 往往是未知 于是我们就只好从这一大批元件中随机抽出若干个 例如 个 测出其寿命分别为 L. 这里首要的问题是这 个元件如何选取? 主要是要保证这大批元件中 每一件有同等的被抽出的机会 而这并不是很容易办到的事情 需要想些办法 既能减轻工作量 又能尽可能保证上述同等机会的要求. 有了数据 L 后 一个自然的想法是 : 用其算术平均值 ( / /. 当然 不一定恰好等于 = L 去估计未知的平均寿命 λ / λ. 但实际问题中 我们不会也不可能要求所作的估计分毫不差. 但误差可能有多大? 产生指定大小的误差的机会 ( 概率 有多大? 为了使这概率降至指定的限度 ( 例如 0. 抽出的元件个数 至少达到多少? 这些问题的解决方法及有关理论 就是数理统计学的内容. 本例提出的第一个问题称为参数估计问题 因为 λ 是元件寿命分布中的一个未知参数 而我们的问题是要估计具有决定性的一个量 即 / λ. 也可以把问题提为要求估计参数 λ 本身 这时我们可考虑用 / 来估计 λ. 参数估计是最重要的统计问题之一. 现在来谈第二个问题. 可能认为 : 至少就本例而言 解决了第一个问题也就解决了第二个问题 因为 既然用 去估计平均寿命 那就看 是否不小于指定的数 l 若 l 则接受该批产品 否则就不接受. 但还应注意到 如上文所指出的 : 因 估计平均寿命有误差 我们得根据实际需要进行一定的调整. 即把接受的准则定为 l l 是某选定的数 可以大于 等于或小于 l l 定得大些 表示我们的检验更严格 这在对元件质量要求很高且供货渠道较多时可能是适当的. 反之 l 定得小些 表示检验更宽 这在对元件质量要求不很高 或急需这些元件而供货渠道很少时 也可能采取. 从统计上说 无论你怎么定 l 理论上你都可能犯两种错误之一 : 一是元件平均寿命达到要求而你拒收 一是元件平均寿命达不到要求而你接受了 这两种错误各有一定的规律 它们在很大程度上决定了接受准 则 l 中的 l 选择. 5

3 第二个问题与第一个问题不同 : 它不是要求对分布中的未知参数作出估计 而是要在两个决定 ( 就本问题而言就是接受或拒收该批产品 中选择一个. 这类问题称为假设检验问题 也是数理统计的重要内容之一. 6.. 总体与样本总体 : 研究对象的某项数量指标的值的全体. 个体 : 总体中的每个元素. 总体依其包含的个体总数分为有限总体和无限总体. 例如我们研究某班学生的身高 每个同学的身高数据放在一起就构成一个供我们讨论的总体 这是有限总体. 研究某电视机厂生产的电视机寿命 可以把已经生产的和将来生产的每台电视机的寿命都计算在内 这就是一个无限总体. 其实 在数理统计研究的范围内 我们总假设讨论的总体是无限总体. 无限总体的概念由英国统计学家 Fisher 提出 大大方便了用分析手段来研究统计问题. 我们研究的总体 即研究代表总体的某项数量指标 它是一个随机变量 它的取值在客观上有一定的分布 所以对总体的研究 也就是对相应的随机变量 的分布的研究. 这样 从数学意义上来说 总体可以作为随机变量 所有可能取值的全体 个体就是其中的一个具体值. 因而随机变量 的分布就完全描述了总体中所研究的数量指标的分布情况. 今后 我们把总体与数量指标 可能取值的全体所组成的集合等同起来 用随机变量 表示 总体的分布就是指数量指标 的分布. 研究总体 从理论上讲 只要将总体中的每个个体逐个研究观察 就可以将总体的规律全部弄清. 但在实际中是行不通的. 因为实际中不但不可能将每个个体逐个研究观察 而且有时甚至只能研究很少量的个体. 如何通过对有限的 少量的个体的研究 得到总体的客观规律性呢? 数理统计就是常用的方法. 它研究的问题就是怎样有效地利用收集到的有限的资料 尽可能地对被研究的随机现象的规律性作出精确而可靠的结论. 样本 : 从总体中抽取一个个体 也就是对代表总体的随机变量 进行一次试验 ( 观察 得到一个观察值 ; 在相同的条件下 对总体 进行 次独立重复的观察 其观察结果按试验的次序记为 L. L 具有下列两个特点 :( 相互独立 ( 分布相同 ( 即都与总体 的分布相同. 我们称这样的 L 为来自总体 的一个简单随机样本 ( 简称样本 称为这个样本的容量. 当 次观察完成 得到一组实数 x x L x 它们依次是随机变量 L 的观察值 称为样本值. 定义 6.. 设 是具有分布函数 F (x 的随机变量 若 L 是具有同一分布函数 F (x 的 相互独立的随机变量 则称 L 为从分布函数 F (x ( 或总体 F (x 或总体 得到的容量为 的简单随机样本 ( 简称样本 它们的观察值 x L x 称为样本值 又称为 的 个独立的观察值. x 由定义 6.. 知 : L 的联合分布函数为 x x = F( x i F( x L 若 具有概率密度 f (x 则 L 的联合概率密度为 54

4 x x = f ( x i f ( x L 例 6.. 对一批 N 件产品情况进行检查 从中有放回的抽取 件. 分别以 0 表示某件产品为合格品和次品 以 θ ( 0 θ 表示产品的合格率 则总体指标 服从参数 x x 为 θ 的 (0- 分布 即 P( = x= θ ( θ x = 0. 这样抽取得到的观察结果为 为一个简单随机样本 也就是说 L 是相互独立且均服从参数为 θ 的 (0- 分布 故样本 ( L 的联合分布律为 xi x i = x = x... = x = ( P( θ θ x i = 0. 每组观察值 (x x x 为由 0 组成的一个 维向量 其样本空间为 Ω ={(x x x x i =0 }. 共有 个样本点. 一般地 若总体 的概率密度或联合分布律为 f (x 则样本 ( L 的联合密度或联合分布律为 L ( x x... x = f ( x i 并称 L(x x x 为样本 ( L 的似然函数. 对于个体为有限的总体来说 采用有放回随机抽样就能得到简单随机样本. 但有放回抽样使用起来很不方便. 又由于当总体的个体为无限时 有放回抽样与不放回抽样没有什么区别 因此 在实际问题中 当总体中个体数 N 很大 而样本容量 相应较小时 可把总体看作是无限的 从而可将不放回抽样当作有放回抽样来处理. 6.. 统计量样本是进行统计推断的依据 应用时 需要对不同的实际问题构造样本的适当函数 再利用这些样本的函数进行统计推断. 统计量设 L 是来自总体 的一个样本 ( L 的函数 若 g 是连续函数且 g 中不含任何未知参数 则称 g( L g L 是 为一个统计量. 统计量可以说是对样本的加工 把通常是一大堆杂乱无章的数据加工成少数几个有代表性的数字 它们集中地反映了样本中所包含的我们感兴趣的信息. 设 x x L x 是相应于样本 L 的样本观察值 则称 g( x x L x 是 g( L 的观察值. 常用的统计量及其观察值 55

5 下面列出统计中几个常用的统计量及其观察值 : 样本平均值( 样本均值 观察值 = i ; x = 样本方差 S = ( i ; s x i = ( x i x 具体计算样本方差时用公式 S = ( i 样本标准差 ( S = S = i ; s = s = ( x i x 4 样本 k 阶 ( 原点 矩 k k Ak = i k = L ; ak = xi k = L 5 样本 k 阶 ( 中心 矩 k k Bk = ( i k = L ; bk = ( xi x k = L 6 顺序统计量: 设 x x L x 是样本 L 的一组样本观察值 将它们按从小到大的递增次序重新排列为 : x x L x 记 k 是这样的随机变量 当 L 取值 x x L x 时 k 取值 x k k = L. 这样得到的 个新的随机变量 L 称为总体 的一组顺序统计量 k ( k = L 称为第 k 位顺序统计量. 由定义知 L mi( L max( L 且 = =. 7 样本 p 分位数和样本极差 : 称 设 0 < p < 则 ([( + p] 称为样本 p 分位数 + ~ m = ( m + m+ = m + = m. 为样本中位数. 称 R = 为样本极差. 样本中位数和样本极差在质量控制中有重要的作用 经验分布函数 56

6 设 x x L x 是相应于总体 的一组样本观察值 将它们按由小到大的顺序排列 得到 则称 为总体 的经验分布函数. (x x L x x 0 当 x < x 当 x x < x L F ( x = k 当 xk x < xk + L 当 x > x F 既是 的分布函数 ( 近似分布 又是顺序统计量 L 的函数. 应当注意到 对于固定的 x 经验分布函数是依赖于样本观测值的 由于样本观 测的抽取是随机的 因而 F (x 具有随机性. 根据大数定律我们知道 事件发生的频率依概率收敛于这个事件发生的概率. 因此 可用事件 { x} 发生的频率 k / 来估计 { x} 理论分布 F( x = P{ x}. P 即用经验分布函数 (x 来估计 的 定理 6.. ( 格列汶科定理 设总体 的分布函数为 F (x 经验分布函数为 F (x 则当 时 F (x 以概率 关于 x 均匀地收敛于 F (x 即 P lim sup F ( x F( x = 0 = < x< 例 6.. 设一商店 00 天内销售电视机的情况如下 : F 日售出台数 合计 天数 求样本容量 样本均值 样本方差 经验分布函数. 解由题设知样本容量 = 00 样本均值 = 00 x =. 85 样本方差 s = [

7 经验分布函数 F ( x = x < x < x < 4 4 x < 5 5 x < 6 x 数理统计方法的特点 ⑴ 从统计学的定义可以看出 : 统计数据既是统计研究的出发点 又是统计方法加以实施的载体 而且也是推断结论的唯一证实依据. 因此可以说 一切由数据说话 是统计方法的第一个 也是最重要的特点. 这一特点决定了统计方法完全不涉及问题的专业内涵 因而是一件完全 中性 的 任何人都可使用的工具. ⑵ 统计分析的结果常常会出错 而且这种错并非是由方法的误用所引起的 ; 然而与此同时 分析结论也会告诉你出错的机会不会超过一个较小的界限. ⑶ 统计方法研究和揭示现象之间在数量表现层面上的相互关系 但不肯定因果关系 ⑷ 统计方法使用的是归纳推理 统计数据是作为总体的一部分的样本观察值 在选定的一组假设或设定的模型下 基于数据要推断整个总体的情况 因此统计推理是归纳推理. 与此相区别的数学的推理是演绎推理. 演绎推理和归纳推理. 是两种截然不同的推理. 例如对同一假设下的同一数学问题 不论任何人 由演绎推理只能得出同一个结果 ; 但统计问题则不然 在同一个统计模型的假设下 对同一统计问题不同的人使用归纳推理可以得到不同的结果. 其原因是一个统计推断结果既同采用什么样本有关 也同采取什么样的统计方法有关. 如果两个人分别采用不同的样本 或者虽然使用同一组样本但使用不同的统计方法 得到的推断结果当然可以不一样 数理统计的基本思想当代公认的统计大师 C.R.Rao 在 统计与真理 中 从哲学的角度阐述了数理统计的思想与特征 其中有这样的一段话 : 十九世纪以来统计学面临种种问题 要回答这种类型的问题的主要障碍 是随机性 --- 缺乏原因和结果之间的一一对应关系. 基于随机性的基础 人们如何行动呢? 这是个长期困扰人类的问题 直到本世纪初 我们才学会了掌握随机性 发展成能做出聪明决策的科学 --- 统计学. Rao 的这段论述表明 统计学的发展历史是同对随机性的把握相伴的 通过对看起来是随机的现象进行统计分析 推动人们将随机性归纳于可能的规律性中 这是统计思想的重要体现. 概率的统计定义 概率的频率解释以及统计结果的解释和评估都是这种思想的重要表现. 统计思想另一重要表现则是对差异的把握 即从差异中看发展趋势. 由于随机性 同一对象不同时间的观察以及不同的对象对同一指标的观察总是有差异的. 如果观察到的差异超出一定的界限 以致不能由数据本身的随机性加以解释 此时变化趋势就发生了. 后面第八章假设检验有许多这种表现的例子 统计模型 58

8 常称样本的联合分布为统计模型 必须指出的是 统计模型与概率模型是不同的 统计模型中总会有未知的成分 ( 如例 6.. 中的 θ 而概率模型则不然 对于每一个统计问题我们总是根据实际情况 经验及主观因素提出一些假设而建立模型. 一般的 我们可将统计模型分为两大类. 若总体 的分布函数 F (x 的具体形式已知 但其中可能含有未知参数 θ(θ 可能为向量 即 F (x;θ θ 的取值范围记为 Θ 称为参数空间 则此类模型为参数模型. 例如总体 ~ N( µ 其中 θ = ( µ 未知 这里 Θ = {( µ µ R > 0} 这就是通常所说的单个正态总体. 另外 若总体 的分布函数 F (x 的具体形式未知 则称为非参数模型. 例如 仅知总体 是一个连续型的随机变量. 一般地说 统计模型不同 则选用的统计方法也不一样 本书中以讨论参数模型为主. 59

9 6. 正态样本统计量的抽样分布 统计量是样本的函数 它是一个随机变量. 统计量的分布称为抽样分布. 理论上只要知道总体的分布就可以求出统计量的分布 但一般情况下想求出统计量的分布是相当困难的. 我们仅就总体为正态分布时 给出有关抽样分布的结果 在作统计分析推断时常常用到这些分布. 下面介绍统计中几个常用的分布 : 6.. 正态分布 设总体 ~ N ( µ L 是 的一个样本 则有 统计量 = i ~ N( µ 统计量 µ Y = ~ N (0 设总体 ~ N ( µ Y ~ N ( µ L 是 的一个样本 Y Y L Y 是 Y 的一个样本 Y 分别是对应的样本均值 则 统计量 ( Y ( µ + µ ~ N (0 特别地 若 = = 则 统计量 ( Y ( µ µ + ~ N (0 6.. χ ( 卡方 分布 设 L 为来自总体 ~ N (0 χ = + + L + = i 的一个样本 则称随机变量 服从自由度为 的 χ 分布 记为 χ ~ χ ( 其中自由度 表示 χ = + + L + = i 中的独立随机变量的个数. χ 分布在数理统计中具有重要意义 它是现代统计学 的奠基人之一的 K.Perso 提出来的 是统计学中的一个非常有用的著名分布. χ ( 分布的密度函数为 60

10 x f ( x = Γ( 0 e x x > 0 其它 y = = 4 = 0 = 0 注 : χ ( 实际上是 Γ 分布的特例 即 χ = 分布的性质 : 0 x 图 6- χ 分布密度函数曲线 ( 设 Y ~ χ ( 则 E( Y = D( Y =. i ~ ( Γ 由 Γ 分布的性质可得 χ ( 可加性 : Y ~ χ ( Y ~ χ ( 且 Y 与 Y 相互独立 则 Y + Y ~ χ ( +. 推广 : 有若 Y i ~ χ ( ( i = L m 且 Y Y L Ym 相互独立 则 Y + Y + LY ( ~ χ + + L +. m i 例 6.. 设 L 为来自正态总体 N ( µ 的一个样本 其中 µ 为已知常 数 求统计量 Γ = 解记 Y ( k k = 故 Γ 服从 χ ( 分布 µ 的分布. k µ k = L 则 Y Y L Y 相互独立且都服从 N (0 分布 于是 k = Γ = k = µ k 例 6.. 设总体 服从正态分布 N ( µ ( > 0 从该总体中抽取简单随机样本 L ( 其样本均值为 = i 求统计量 Y = ( 学期望 E(Y. i + + i m 的数 6

11 解 : E( + + = 0 故 i i EY = E ( i + + i = D ( i + + i i = = D ( L i + i i+ L + i + + i L = ( ( ( + [ + ] = = ( 下面介绍分布的上 α 分位点的概念 在后面将会经常用到. 定义 6.. 设随机变量 的密度函数为 (x f 对给定的 α ( 0 < α < 称满足条 件 { x } = 的实数 x α 为 的上 α 分位点. + P α x f ( x dx 设 ~ N (0 对于给定的 α 0 < α < 称满足条件 + α P ( > uα = z ϕ( x dx = α 0 < α < α 则称 u α 为标准正态分布的上 α 分位点. 由正态分布的上 α 分位点 u α 的定义知 : u α = uα. 对于给定的 α 0 < α < 称满足条件 P ( χ + χ α ( > χα ( = f ( y dy = α α 的点 χ ( 为 χ ( 分布的上 α 分位点. 注当 充分大时 ( 通常 > 45 即可 近似有 χ α ( ( uα + 这里 u α 为标准正态分布的上 α 分位点. 定理 6.. 设总体 ~ N ( µ L 是 的一个样本 S 分别是样 本均值和样本方差 则 S 相互独立 且 ( 统计量 ( i µ ~ χ ( ( 统计量 S ~ χ (. 6

12 注结论 ( 中 χ ( 分布自由度说明如下 : i i 因为 ( = [( µ ( µ ] = ( µ ( µ S i = i µ = i µ / µ 其中 ~ N(0 各个 / i µ i µ ~ µ χ ( / 所以 S 的自由度为 便可以理解了. 6.. t 分布 ( 学生分布 相互独立且服从 N (0 所以 ~ χ (. 设 ~ N (0 Y ~ χ ( 且 Y 相互独立 则随机变量 T = Y 服从自由度为 的 t 分布 记为 T ~ t (. 这个分布是以英国统计学家 W.S.Gosset 于 907 年首次以笔名 Studet 发表的 所以有时也将它称为 学生氏分布. 自由度为 的 t 分布的概率密度函数为 h( t = Γ[( + ] π Γ( ( t + ( + < t < = =

13 对于给定的 α 0 < α < 称满足条件 + ( tα ( P t > tα ( = h( t dt = α 的点 t α ( 为 t ( 分布的上 α 分位点. 注由 t 分布上 α 分位点的定义及概率密度函数 h (t 图形的对称性知 t α ( = t α ( 可以证明 : 对 t 分布的概率密度函数 h (t 由 Γ 函数的性质 有 lim h( t = + e π t < t < + 即当 足够大时 t 分布近似于标准正态分布 N (0. 一般地 当 > 45 正态近似 : t ( α z α 当 较小时 t 分布与标准正态分布 N (0 相差很大 此时不能近似. 时 t 分布就用 设总体 ~ N ( µ L 是 的一个样本 S 分别是样本均值和样 本方差 则 统计量 µ S ~ t ( 设总体 ~ N ( µ Y ~ N ( µ L 是 的一个样本 Y Y L Y 是 Y 的一个样本. Y 分别是对应的样本均值 S S 分别是对应的样本方差 S w ( = S + ( S + 则 统计量 ( Y ( µ µ ~ t ( + + S w 例 6.. 已知 L 9 Y Y L Y9 i. i. d. ~ N(0 则统计量 W = Y + + Y + L + + L + Y 9 9 服从分布 参数为. 解因为 U = ( + + L + 9 / ~ (0 N + Y + Y9 χ V = Y L + U 由 t- 分布的定义知 : = W ~ t(9 V / 9 ~ (9 64

14 例 6..4 L 9 是正态总体样本 Y = ( + L Y = ( S 9 证设 L ~ N( µ ( Y 9 = ( i Y Z = 7 S 则 Y ~ N( µ Y ~ N( µ S / ~ χ ( 6 且三者相互独立 Y Y ~ N(0 = N(0 与 S 独立. 6 ( Y 故 Y /( / Y Y Z = = ~ t( S S / / Y. 证明 :Z ~ t ( 6..4 F 分布 ( ( 设随机变量 ~ χ Y ~ χ 且 Y 相互独立 则随机变量 F = Y 服从自由度为 的 F 分布 记为 F ~ F. F 分布是以著名统计学家 Fisher 的 ( 名字命名的. F 的概率密度函数为 ( ψ Γ[( y Γ( 0 f m (x ( / + ]( y ( = ( + Γ( [ + ( y ] y > 0 其它 (m=0= (m=0=50 (m=0=0 (m=0= x 65

15 由定义知 若 F ~ F 则 ( ~ F ( F 对于给定的 α 0 < α < 称满足条件 ( + Fα ( P F > Fα ( = ψ ( y dy = α 的点 F α 为 F 分布的上 α 分位点. ( ( F 分布的上 α 分位点有性质 F α ( = F α ( 设总体 ~ N ( µ Y ~ N ( µ L 是 的一个样本 Y Y L Y 是 Y 的一个样本 S ; Y S 分别是对应的样本均值和样本方差 则 统计量 ( ( Y j= j i µ µ ~ F ( 统计量 S S ~ F ( 例 6..5 ( 可作为结论直接使用 设随机变量 服从自由度为 k 的 t 分布 求随机变 量 的分布. U 解 = 其中 U ~ N (0 V ~ χ ( k 且 U V 相互独立 V k 则由 U ~ N (0 得 U ~ χ ( 所以 U U = = ~ F ( k V k V k 例 6..6 设总体 ~ N ( µ L 是 的一个样本 S 分别是样本均值和样本方差 问 µ ( U = ( 服从什么分布? µ ( V = ( 服从什么分布? S 解 ( µ µ U = ( = ( ~ χ ( / 66

16 ( µ ( µ / V = ( = ~ F ( S ( S ( 例 6..7 设总体 ~ N ( µ L 是 的一个样本 S 分别是样本 均值和样本方差. ( 求 P(( µ ; S ( 如果 很大 求 P(( µ ; S ( 若 = 6 求 P(( µ. µ 解 ( P(( µ = P( µ = P( / = Φ ( Φ( = Φ( = S µ µ ( 由 ( µ 得 而 ~ t ( 当 很大时 近似 S / S / 有 µ S / ~ N (0 S µ 所以 P(( µ = P( S / = Φ ( Φ ( = Φ ( = ( = 6 µ 时 记 T = ~ t (5 S / S 4S µ P(( µ = P(( µ = P( 6 S / = P ( T > P( T > ( 记 t α ( 5 = t α (5 = = P ( T > t α (5 P( T > tα (5 = α α = α 由 t ( 5 = 反查 t 分布表得 α α 67

17 S 故 P(( µ 0.05 = 例 6..8 从正态总体 N ( µ 中抽取容量为 6 的样本 试求 : ( 已知 = 5 ;( 为未知 但已知样本方差 S = 0. 8 总体均值 µ 之差的绝对值小于 的概率. 解 ( 由于统计量 因此在 已知时 P { µ < } = P U = x µ = P < µ ~ N ( 0 µ 4 = P < 的情况下 样本均值 x 与 { U <.6} = Φ(.6 Φ(.6 = Φ(.6 = = ; ( 由于 未知 但 S =0.8 这时统计量 因此 µ P { µ < } = P S / = P { t <. 754 } = P { t µ t = ~ t( S < S. 754 / } = µ P S / < / 6 查 t 分布表得 t 0.05 (6-=.75P (t.75=0.05. 由此可得 P { µ < } = 补充与注记 : 迷信和心理作用当问到伦理学家斯马利安 (R.Smullya 为什么不相信占星术时 他说他是双子星座的人 双子星座的人绝不会信占星术 我的一个朋友是一个虔诚的基督教徒 他把刚参加工作得到的第一个月的薪水全部捐给了教会 当我问他是否相信上帝时 他回答到 : 我不知道上帝是否存在 但相信上帝的存在并以此来行动 是安全的 或许 信仰和迷信在每一个人的生活中都存在 一旦当它们变成一个人行动的惟一指导时 就会产生危险 心理作用会对一个人身体的生物功能产生影响吗? 很遗憾 对这个问题还没有实验证据 但是已经不断有研究报告 涉及到支持所谓 心于物质之上 的谈论 最近有一个研究报告 圣地亚哥的加利福尼亚大学的菲力普斯 (D.Phillips 花了 5 年的时间 对老年美籍华裔妇女在一个重要的节日 中秋节前后的死亡率进行的调查 他发现节日 68

18 前一周死亡率比通常低 5.% 节日后一周死亡率比通常高出 4.6% 看起来 人具有一种能力来延续死亡直到经历某个吉祥的时刻 在菲力普斯较早 (977 年 的研究中 对 5 个著名的美国人的出生和死亡月份数据的调查的论证也有类似的结果 表 6. 给出了菲利普斯报告的数据 以及英国皇家学会中印度籍会员的有关数据 表 6 出生月前后以及出生月间的死亡率出出生月前出生月后总比率生数 P 月 4 5 样本 样本 样本 注 p = 在出生月和出生月后死亡的人的比率 样本 400 个著名美国人 中所列出的非常有名的人 样本 现代名人录 (Who Is Who 三卷中 (897~9494~95095~960 著名家庭中的家长 样本 英国皇家学会中去世的印度籍理事 从表 6. 可以看出 出生月前去世的人数比在出生月中和出生月后去世的人要少 这个现象在最著名人物的集合中是比较显著的 整个数据看起来显示了一个趋向 : 延缓死亡到诞生月后 这些研究结果是否显示一些人能够运用他们的能力延缓死亡日期 直到某个重要的事件发生 如生日 节日或纪念日与这个类似的一个著名例子是有关托马斯 杰弗逊 (Thomas Jefferso 的报道 据说他延长了他的死亡直到 86 年的 7 月 4 日 刚好独立宣言签字后的第 50 年 他仅仅问了医生 : 今天是 7 月 4 日吗? 就去世了 像菲利普斯发表的这样有关死亡日期的研究报告 并不一定能说明整个问题 研究工作中 普遍的是有很多研究者在研究同一问题 或许是偶然地 仅仅发表了那些肯定的结果 而那些否定的结果一般没有报道 保留在文件夹里 成为 待考 的问题 因此 如果仅仅引用发表了的结果 要从中得出什么结论的话 均需谨慎处理 69

19 习题 A. 在总体 N (56. 中随机抽取一容量为 6 的样本 求样本均值 落在 50.8 至 5.8 之间的概率.. 在总体 N (800 中随机抽取一容量为 00 的样本 求样本均值与总体均值的差的绝对值大于 的概率.. 查表计算临界值 : ( t 0.05 (0 ; ( t 0.05 (6 ; ( t 0.0(4 由查表得到的数值 λ 求概率 P { t(4 < λ} P { t(4 > λ} P { t(4 < λ} P { t(4 > λ} ; (4 χ 05 (9 ; (5 χ 99 ( ; (6 χ 9 (8 对查表得到的数值 λ 求概率 P { χ (8 > λ} 和 P { χ (8 < λ}. 4. 已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布 在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取 0 只 测得其寿命 ( 以小时计 为 : 试用样本数字特征法求出寿命总体的均值 µ 和方差 的估计值 并估计这种灯泡的寿命大于 00 小时的概率. 5. 设各种零件的重量都是随机变量 它们相互独立 且服从相同的分布 其数学期望为 0.5 公斤 均方差为 0. 公斤 问 5000 只零件的总重量超过 50 公斤的概率是多少?( 提示 : 当 较大时 随机变量之和 = + + L+ 近似地服从正态分布 以下第 6 题 第 7 题也适用 6. 部件包括 0 个部分 每部分的长度是一个随机变量 它们相互独立 且服从同一分布. 其数学期望为 毫米 均方差为 0.05 毫米 规定总长度为 0 ± 0. 毫米时产品合格 试求产品合格的概率. 7. 计算机进行加法时 对每个加数取整 ( 即取最接近于它的整数 设所有的取整误差是相互独立的 且它们都在 ( 上服从均匀分布. ( 若将 500 个数相加 问误差总和的绝对值超过 5 的概率是多少? ( 几个数加在一起 可使得误差总和的绝对值小于 0 的概率为 0.90? 8. 对某圆柱体的直径进行 次测量 测得数值为 x x L x. 设 i ~ N( µ = i 欲使 P ( µ < 不小于 0.95 问至少需要进行多少次测 4 量? 若进行 00 次测量 上述概率可达到多少? 9. 设某设备的寿命 T( 单位 : 千时 服从三段模型 0. λe ( 在 (06 上服从 λ =0.07 的指数分布 有 f ( t = 0 λt t > 0 t 0 ( 在 (660 上服从 (060 上的均匀分布 ( 在 (60+ 上服从 N (759 70

20 ( 求 0 < T < 0 的概率 ;( 求寿命超过 50( 千时 的概率. 0. 设总体 具有概率密度 x 0 < x < f ( x = 0 其它从总体 抽取样本 4 求最大顺序统计量 T = max ( 4 的概率密度.. 已知一台电子设备的寿命 T( 单位 :h 服从指数分布 其概率密度为 0.00e f ( t = t t > 0 t 0 现在检查了 00 台这样的设备 求寿命最短的时间小于 0h 的概率 0.6. 设 L 是正态总体 N ( µ 的样本 d = i µ. 试证 : E (d = D( d = (. 提示 : 设 Y i = i µ 则 Yi = ( i µ ~ N(0. π π E( Y i = ye π 0 y dy.. 设 L 是来自正态总体 N ( µ S 满足下式的最小值 : P ( 的简单随机样本 S 为样本方差 求 4. 设 L 0 为 N (00. 的一个样本 求 P { i >.44} x x < 5. 设总体 ~ f ( x = L 50 为取自总体 的一个样本 试求 : 0 其他 ( 的数学期望与方差 ;( S 的数学期望 ;( P { > 0.0} 0 6. 假定 是取自正态总体 N (0 ( 的一个样本 试求概率 P[( + /( < 4]. 7. 已知 L 是从正态总体 N (0 抽取的样本. 证明 : 6 6 T = ( / ( + ~ F (66 i i i i 7

21 习题 B 选择题. 设总体 Z ~ N(0 Z Z L Z 为简单随机样本 则下面统计量的分布中不正确的是 i ( A Z ( C ~ χ ( ; Z ~ t( ; Z i ( B Zi ( D[( ~ N(0; Z Z i i ] ~ F( ( >. 设 i ( i = 4 的分布如下 则 P > E( P( E( 的是 ( i i i i ( A i ~ N( µ ; ( B ~ U ( a b; ( C ~ f ( t = e θ 0 t θ t > 0 t < 0 x x < 0 ( D 4 ~ f ( x = x 0 x 0 其它. 设有随机变量 4 记 E ( i µ i D( i = i = 则 P µ < < µ + = P( µ < < µ 不成立的是 ( i i i i i i i i ( A ~ N( µ ; ( B ~ U ( a b; ( C ~ f ( t = e 0 t θ t > 0 θ ; t < 0 + x x < 0 ( D 4 ~ f ( x = x0 x 0 0 其它 4. 设随机变量 ~ N( µ 对非负常数 k P{ µ k} (A 只与 k 有关 ;(B 只与 µ 有关 ;(C 只与 有关 ;(D 与 µ k 有关. 5. 设随机变量 服从 F(. 记 p = P{ } p = P{ } 则 (A p > p ; (B p < p ; (C p = p ; (D 因自由度 未知 无法比较 p 与 p 大小 6. 已知 个随机变量 i i = L 相互独立且服从相同的两点分布 即 P{ i = } = a P{ i = 0} = a 则 = i 服从 ( A 两点分布 ; ( B 二项分布 ; ( C 泊松分布 ; ( D 正态分布 7. 设随机变量 ~ N( µ ~ µ Y χ ( 且相互独立 记统计量 T = 则 Y 7

22 ( A T 服从 t ( 分布 ; (B T 服从 t ( 分布 ; ( C T 服从 N (0 分布 ; (D T 服从 F ( 分布 8. 设 L 8 与 Y Y L Y0 分别是来自两个正态总体 N ( 和 N (5 的样本 且相互独立 S 和 S 分别是两样本的样本方差 则服从 F (79 的统计量为 S 4S ( A ; ( B 5S ; ( C 5S 5S S 5S ; ( D 4S 9. 设随机变量 Y 相互独立 且 ~ N(0 Y ~ N( 则 ( A P { + Y 0} = ; (B P { + Y } = ; ( C P { Y 0} = ; (D P { Y } = 0. 设随机变量 ~ t( ( > Y = 则 ( A Y ~ χ ( ; (B Y ~ χ ( ; ( C Y ~ F( ; (D Y ~ F( C 填空题. 设 4 是来自正态总体 N (0 的简单随机样本 = a ( + b( 则当 a= b= 时 统计量 服从 χ 分布 其自由 4 4 度为.. 设总体 服从参数为 λ 的泊松分布 L 是取自此总体的一个样本 S 分别为样本均值和样本方差 则 E = D = ES =.. L 是取自 χ ( 的一个样本 S 分别为样本均值和样本方差 则 E = D = ES =. 4. 设某商店 00 天销售电视机的情况有如下统计资料 : 7

23 日售出台数 k 合计 天数 f 则样本容量 = 样本均值 = 样本方差 S =. 5. 设 L 是来自于正态总体 N ( µ 的一个样本 和 S 分别为样本均值和 µ 样本方差 则 ~ 分布 ~ µ 分布 ~ S 分布 ( S ~ 分布. 6. 设随机变量 Y 相互独立 均服从正态分布 N (0 且 L 9 与 Y Y L Y9 分 别是来自总体 Y 的简单随机样本 则统计量 U = Y + L+ 9 + L+ Y 9 服从自由度为 的 分布. µ 7. 设 L 是来自于正态总体 N ( µ 的一个样本 则 ~ ( i ( 分布. 8. 设 4 是来自于正态总体 N (0 的一个样本 则统计量 + 4 服从 分布 参数为. 9. 设总体 服从标准正态分布 而 L 是来自 的简单随机样本 则统计量 5 Y = ( i i ( > 5 服从 5 6 分布 参数为 设 L 6 是来自总体 ~ N( µ 的一个样本 S = ( i 则 5 D ( S =. 74

24 求 ab. 第六章综合练习 例. 已知 L 7 i. i. d. ~ N( µ 且 a( + + b( ~ χ ( 解 E ( + = 0 D( + = = 6 [( + / 6] ~ χ ( a / 6 = 同理 E( D ( = b = / 4 例. 4 是 N (0 的样本 = + b( 4 4 Y = a( 则 a = b = 时 Y ~ χ 分布 自由度为 D ( = + 4 = 5 = 0 0 ~ χ ( a = 0 D ( 4 4 = = 5 = ~ χ ( b = 例. 设 L i. i. d. ~ N( µ S = = ( 00 k k S = k= ( k S = k= ( k µ S4 = k= ( k µ 则服从 t (- 的随机变量是 (B. µ (A S / µ (C S / µ (B S / µ (D S / 4 注 (C (D 的分布自由度为 题中条件自由度为 - 而 (A 不符合定 75

25 理 结论. 例 4. 设 r. v. 和 Y 相互独立都服从 N(09 而 L 9 和 Y Y L Y9 分别是 来自总体 和 Y 的简单随机样本 求统计量 Z = + L 9 所服从的分布 并指明参 Y + LY 9 数. 解由于 / ~ N(0 Y i 9 Y 9 i 故 Y = = Yi ~ χ ( 再由 = i ~ N(0 根据 t 分布的定义 有 9 使 U = Y / 9 ~ t(9 例 5. 设 L 9 是来自总体 ~ N(0 的简单随机样本 求系数 abc + + b( c( Q = a( + 服从 χ 分布 并求其自由度. 解由于 L 9 是来自总体 ~ N(0 的简单随机样本 由正态分布的线性 运算性质有 + ~ N( ~ N( ~ N(06 于是 由 χ = χ + χ + L + χ k 有 ( Q = + 8 ( 故 a=/8b=/c=/6 自由度为. 5 ( ~ χ 例 6. 设随机变量 Y 和 Z 相互独立 且 ~ N(0. Y ~ N(0 Z ~ χ (. 又 L 5 Y Y Y Z Z 分别来自总体 YZ 的简单随机样本. 求统计量 U = Y 5 + Y + L+ + Y + Z + Z 所服从的分布 并指明其参数. 解因为 L 5 独立同分布且服从 N (0. 记 = + L + 5 则 5 76

26 µ V = = 5( 0. ~ N(0 / 由于 Y Y Y 是 i. i. d. N(0 故 又 Z Z ~ χ ( χ Y + Y + Y ~ ( 因此 + Y + Y + Z Z χ W = Y + ~ (5 且 VW 相互独立 故 V W 5 = 5( / 5 = U = W / 5 Y + Y + L+ + Y 5 + Z + Z ~ t(5 例 7. 设总体 服从正态分布 ~ N( µ 从中抽取样本 L + 记 = i S = ( i 证明 Q E( = D( + = D + + D = + U = ~ N(0. + ( S 又 V = ~ χ ( 且 UV 独立 故 + 证明 : ~ t( + S + + S = U V /( ~ t(. 例 8. 设总体 服从正态分布 ~ N(0 而 L 5 是来自总体的简单随 机样本 则随机变量 Y = ( + L+ + L+ 0 5 服从 分布 参数为 0 χ 解由 i ~ N(0 知 i / ~ N(0 从而 / 4( + L + ~ (0 77

27 / 4( + L+ 0 /0 / 4( + L + 5 ~ χ (5 因而 Y = ~ F(05 / 4( + L+ / 5 例 9. 设总体 ~ N(0 而 L 9 是来自总体的简单随机样本 试确定 的值 使 P { < < } 的值为最大 分析这是一个概率论与高等数学的综合题 先计算 P { < < } 的值 其值是关于 的函数 然后再计算该函数的极值 解由 ~ N(0 知 ~ N(0 9 于是有 从而 令 6 得 e = = ~ N(0 9 P { < < } = { < 9 P < } = Φ ( Φ( dp { < < } = Φ ( Φ( = ϕ( ( ϕ( ( d = e + e π π 9 7 = e ( e =0 π 6 可求得 = l 6 因驻点唯一 又由已知条件知存在最大值 所以当 = 时 P { < < } 的值最大 l 最大值为 9 l l P { < < } = Φ ( Φ( 6 6 = Φ (.6479 Φ( = 0.47 例 0. 从正态总体 N (.46 中抽取容量为 的样本. 如果要求其样本均值位于区间 (.45.4 内的概率不小于 问样本容量 至少应取多大? 解以 表示其样本均值 则 从而有.4 6 ~ N (0 P (.4 < < 5.4 = P( <.4 <.4 = P (.4 < = P ( <

28 = Φ( 故 Φ( 因此得 96. 即 ( 所以 至少应取 5. 例. 设总体 ~ N( µ Y ~ N( µ 从二总体中分别抽取样本 得数据如下 : = = 8 x = 0.5 s = 4.5; = 0 y =.4 s 56.5; 求概率 : ( P < 4.40}; ( P { µ < µ } 假定 =. { 解 ( 由 6..4 知 : s s ~ F(8 0 于是 P{ 4.5 < 4.40} = P{ 56.5 = 0.05 = 0.95 ( 由 6..4 知 : 4.5 <.04} = P{ } Y ( µ µ ~ t( + sw + ( s + ( s 其中 s w = = = 于是 ( µ µ P { µ < µ } = P{ > 0.88} =

第五章 数理统计中的统计量 及其分布

第五章 数理统计中的统计量 及其分布 第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.

More information

2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C

2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C 9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为

More information

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于

More information

第一章 随机事件与概率 (考研)

第一章 随机事件与概率 (考研) 概率统计冲刺 真题解析及重点题型 济大科大版说明 : 要求解析 9,,6,8 四年的概率真题四年的概率真题共 题左右, 全面性不够, 以这四年为主, 适当补充其他真题 通过真题解析达到三个目的 : 复习相应的知识点, 查遗补漏 ; 把握命题规律, 强化重点题型 ; 掌握应试技巧, 避免常见错误 冲刺阶段概率统计备考策略 理清结构, 突出重点 真题热身, 实战模拟 查遗补漏, 调整状态 冲刺阶段的复习

More information

《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC

《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC 3 4 5 6 7 χ χ m.303 B = f log f log C = m f = = m = f m C = + 3( m ) f = f f = m = f f = n n m B χ α χ α,( m ) H µ σ H 0 µ = µ H σ = 0 σ H µ µ H σ σ α H0 H α 0 H0 H0 H H 0 H 0 8 = σ σ σ = ( n ) σ n σ /

More information

Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α

More information

高等数学A

高等数学A 高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March

More information

前 言 数理统计学是研究怎样用有效的方法去收集和使用具随机性影响的数据的科学 当今信息时代是充满数据的时代 数据是信息的载体 数理统计作为一门分析数据并从数据中寻找规律的学科 随着计算机的广泛使用 必然会发挥越来越重要的作用 本书的理论和方法为解决实际问题中的数据分析问题提供了有力的工具 数理统计

前 言 数理统计学是研究怎样用有效的方法去收集和使用具随机性影响的数据的科学 当今信息时代是充满数据的时代 数据是信息的载体 数理统计作为一门分析数据并从数据中寻找规律的学科 随着计算机的广泛使用 必然会发挥越来越重要的作用 本书的理论和方法为解决实际问题中的数据分析问题提供了有力的工具 数理统计 内容简介本书介绍了工科研究生 数理统计 课程的基本内容 包括 预备知识 抽样分析 参数估计 假设检验 方差分析 正交实验设计 回归分析和多元统计分析初步等 同时还介绍了 及其在统计分析中的应用 本书各章末均配有适量习题 书末附有部分习题参考答案 本书可作为工科各专业研究生的教学用书 也可作为具有一定数学基础的读者的自学用书 图书在版编目 数据 数理统计 凌能祥 李声闻 宁荣健编 合肥 中国科学技术大学出版社

More information

! # % & ( & # ) +& & # ). / 0 ) + 1 0 2 & 4 56 7 8 5 0 9 7 # & : 6/ # ; 4 6 # # ; < 8 / # 7 & & = # < > 6 +? # Α # + + Β # Χ Χ Χ > Δ / < Ε + & 6 ; > > 6 & > < > # < & 6 & + : & = & < > 6+?. = & & ) & >&

More information

Microsoft PowerPoint - 09_24_Convergence.ppt

Microsoft PowerPoint - 09_24_Convergence.ppt 第五章 : 随机变量的收敛性 随机样本 :IID 样本, 统计量 : 对随机样本的概括 Y = T X1 X X (,..., ) X1, X..., X X i ~ F Y 为随机变量,Y 的分布称为统计量的采样分布 如 : 样本均值 样本方差 样本中值 收敛性 : 当样本数量 趋向无穷大时, 统计量的变化 大样本理论 极限定理 渐近理论 对统计推断很重要 收敛性 主要讨论两种收敛性 依概率收敛

More information

& & ) ( +( #, # &,! # +., ) # % # # % ( #

& & ) ( +( #, # &,! # +., ) # % # # % ( # ! # % & # (! & & ) ( +( #, # &,! # +., ) # % # # % ( # Ι! # % & ( ) & % / 0 ( # ( 1 2 & 3 # ) 123 #, # #!. + 4 5 6, 7 8 9 : 5 ; < = >?? Α Β Χ Δ : 5 > Ε Φ > Γ > Α Β #! Η % # (, # # #, & # % % %+ ( Ι # %

More information

幻灯片 1

幻灯片 1 .3 连续型随机变量及其概率分布 一 连续型随机变量的概念 定义 设 X 是一随机变量, 若存在一个非负可积函数 f ( ), 使得 F( ) = f ( t)dt < 其中 F ( ) 是它的分布函数 < + 则称 X 是连续型随机变量,f ( ) 是它的概率密度函数 ( p.d.f. ), 简称为密度函数或概率密度 注 1: 连续性随机变量的分布函数连续. 注 :f () 不唯一. 分布函数 F

More information

2016考研数学三线性代数题目及试题答案

2016考研数学三线性代数题目及试题答案 6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b

More information

untitled

untitled 4 y l y y y l,, (, ) ' ( ) ' ( ) y, y f ) ( () f f ( ) (l ) t l t lt l f ( t) f ( ) t l f ( ) d (l ) C f ( ) C, f ( ) (l ) L y dy yd π y L y cosθ, π θ : siθ, π yd dy L [ cosθ cosθ siθ siθ ] dθ π π π si

More information

! " # " " $ % " " # # " $ " # " #! " $ "!" # "# # #! &$! ( % "!!! )$ % " (!!!! *$ ( % " (!!!! +$ % " #! $!, $ $ $ $ $ $ $, $ $ "--. %/ % $ %% " $ "--/

!  #   $ %   # #  $  #  #!  $ ! # # # #! &$! ( % !!! )$ %  (!!!! *$ ( %  (!!!! +$ %  #! $!, $ $ $ $ $ $ $, $ $ --. %/ % $ %%  $ --/ "##$ "% "##& " "##( )$ "##%! ) "##$ * "##( "##$ "##(!!!!!!!!! ! " # " " $ % " " # # " $ " # " #! " $ "!" # "# # #! &$! ( % "!!! )$ % " (!!!! *$ ( % " (!!!! +$ % " #! $!, $ $ $ $ $ $ $, $ $ "--. %/ % $

More information

/ Ν #, Ο / ( = Π 2Θ Ε2 Ρ Σ Π 2 Θ Ε Θ Ρ Π 2Θ ϑ2 Ρ Π 2 Θ ϑ2 Ρ Π 23 8 Ρ Π 2 Θϑ 2 Ρ Σ Σ Μ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ2 Σ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ Η Σ Π 2 ϑ Η 2 Ρ Π Ρ Π 2 ϑ Θ Κ Ρ Π

/ Ν #, Ο / ( = Π 2Θ Ε2 Ρ Σ Π 2 Θ Ε Θ Ρ Π 2Θ ϑ2 Ρ Π 2 Θ ϑ2 Ρ Π 23 8 Ρ Π 2 Θϑ 2 Ρ Σ Σ Μ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ2 Σ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ Η Σ Π 2 ϑ Η 2 Ρ Π Ρ Π 2 ϑ Θ Κ Ρ Π ! # #! % & ( ) % # # +, % #. % ( # / ) % 0 1 + ) % 2 3 3 3 4 5 6 # 7 % 0 8 + % 8 + 9 ) 9 # % : ; + % 5! + )+)#. + + < ) ( # )# < # # % 0 < % + % + < + ) = ( 0 ) # + + # % )#!# +), (? ( # +) # + ( +. #!,

More information

# # # #!! % &! # % 6 & () ) &+ & ( & +, () + 0. / & / &1 / &1, & ( ( & +. 4 / &1 5,

# # # #!! % &! # % 6 & () ) &+ & ( & +, () + 0. / & / &1 / &1, & ( ( & +. 4 / &1 5, # # # #!! % &! # % 6 & () ) &+ & ( & +, () + 0. / & / &1 / &1, & ( 0 2 3 ( & +. 4 / &1 5, !! & 6 7! 6! &1 + 51, (,1 ( 5& (5( (5 & &1 8. +5 &1 +,,( ! (! 6 9/: ;/:! % 7 3 &1 + ( & &, ( && ( )

More information

三 区间估计 单个正态总体的区间估计设样本 来自正态总体 N 注意与 B 的区别 则 已知时 的置信度为 的置信区间为 u u 未知时 的置信度为 的置信区间为 t t 已知时 的置信度为 的置信区间为 4 未知时 的置信度为 的置信区间为 两个正态总体的区间估计设总体 ~ ~ N N 分别是 的一

三 区间估计 单个正态总体的区间估计设样本 来自正态总体 N 注意与 B 的区别 则 已知时 的置信度为 的置信区间为 u u 未知时 的置信度为 的置信区间为 t t 已知时 的置信度为 的置信区间为 4 未知时 的置信度为 的置信区间为 两个正态总体的区间估计设总体 ~ ~ N N 分别是 的一 第 7 章参数估计 一 点估计设 是来自总体 的一个样本 记 A k k 特别地 A Bk k k 利用统计量去估计总体未知参数的真值称为点估计 常用的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法 一般要求掌握一个或两个参数的情形 矩估计法 若只有一个未知参数 则建立方程 E 求解 ; E 若有两个未知参数 则建立方程方程组 求解 D B k 注 若有 m 个未知参数 则可利用 E A k m 建立方程组求解

More information

Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π

Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π ! # % & ( ) + (,. /0 +1, 234) % 5 / 0 6/ 7 7 & % 8 9 : / ; 34 : + 3. & < / = : / 0 5 /: = + % >+ ( 4 : 0, 7 : 0,? & % 5. / 0:? : / : 43 : 2 : Α : / 6 3 : ; Β?? : Α 0+ 1,4. Α? + & % ; 4 ( :. Α 6 4 : & %

More information

&! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( %

&! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( % &! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( % &! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( % ,. /, / 0 0 1,! # % & ( ) + /, 2 3 4 5 6 7 8 6 6 9 : / ;. ; % % % % %. ) >? > /,,

More information

9!!!! #!! : ;!! <! #! # & # (! )! & ( # # #+

9!!!! #!! : ;!! <! #! # & # (! )! & ( # # #+ ! #! &!! # () +( +, + ) + (. ) / 0 1 2 1 3 4 1 2 3 4 1 51 0 6. 6 (78 1 & 9!!!! #!! : ;!! ? &! : < < &? < Α!!&! : Χ / #! : Β??. Δ?. ; ;

More information

. /!Ι Γ 3 ϑκ, / Ι Ι Ι Λ, Λ +Ι Λ +Ι

. /!Ι Γ 3 ϑκ, / Ι Ι Ι Λ, Λ +Ι Λ +Ι ! # % & ( ) +,& ( + &. / 0 + 1 0 + 1,0 + 2 3., 0 4 2 /.,+ 5 6 / 78. 9: ; < = : > ; 9? : > Α

More information

!! # % & ( )!!! # + %!!! &!!, # ( + #. ) % )/ # & /.

!! # % & ( )!!! # + %!!! &!!, # ( + #. ) % )/ # & /. ! # !! # % & ( )!!! # + %!!! &!!, # ( + #. ) % )/ # & /. #! % & & ( ) # (!! /! / + ) & %,/ #! )!! / & # 0 %#,,. /! &! /!! ) 0+(,, # & % ) 1 # & /. / & %! # # #! & & # # #. ).! & #. #,!! 2 34 56 7 86 9

More information

! /. /. /> /. / Ε Χ /. 2 5 /. /. / /. 5 / Φ0 5 7 Γ Η Ε 9 5 /

! /. /. /> /. / Ε Χ /. 2 5 /. /. / /. 5 / Φ0 5 7 Γ Η Ε 9 5 / ! # %& ( %) & +, + % ) # % % ). / 0 /. /10 2 /3. /!. 4 5 /6. /. 7!8! 9 / 5 : 6 8 : 7 ; < 5 7 9 1. 5 /3 5 7 9 7! 4 5 5 /! 7 = /6 5 / 0 5 /. 7 : 6 8 : 9 5 / >? 0 /.? 0 /1> 30 /!0 7 3 Α 9 / 5 7 9 /. 7 Β Χ9

More information

! # % & # % & ( ) % % %# # %+ %% % & + %, ( % % &, & #!.,/, % &, ) ) ( % %/ ) %# / + & + (! ) &, & % & ( ) % % (% 2 & % ( & 3 % /, 4 ) %+ %( %!

! # % & # % & ( ) % % %# # %+ %% % & + %, ( % % &, & #!.,/, % &, ) ) ( % %/ ) %# / + & + (! ) &, & % & ( ) % % (% 2 & % ( & 3 % /, 4 ) %+ %( %! ! # # % & ( ) ! # % & # % & ( ) % % %# # %+ %% % & + %, ( % % &, & #!.,/, % &, ) ) ( % %/ ) 0 + 1 %# / + & + (! ) &, & % & ( ) % % (% 2 & % ( & 3 % /, 4 ) %+ %( %! # ( & & 5)6 %+ % ( % %/ ) ( % & + %/

More information

附件1:理论课程教学大纲修订样表

附件1:理论课程教学大纲修订样表 一 课程基本信息 概率论与数理统计 A 教学大纲 课程名称概率论与数理统计 A 课程代码 C4803001 英文名称 Probability Theory And Statistics A 归属学科 ( 系 部 ) 统计系 学分 4 学时 64 学时, 其中实践 4 学时开课学期 3 预修课程 高等数学 面向专业计算机 163(33 人 ) 二 课程性质与教学目标 概率论与数理统计 是研究大量随机现象统计规律性的一门学科,

More information

4= 8 4 < 4 ϑ = 4 ϑ ; 4 4= = 8 : 4 < : 4 < Κ : 4 ϑ ; : = 4 4 : ;

4= 8 4 < 4 ϑ = 4 ϑ ; 4 4= = 8 : 4 < : 4 < Κ : 4 ϑ ; : = 4 4 : ; ! #! % & ( ) +!, + +!. / 0 /, 2 ) 3 4 5 6 7 8 8 8 9 : 9 ;< 9 = = = 4 ) > (/?08 4 ; ; 8 Β Χ 2 ΔΔ2 4 4 8 4 8 4 8 Ε Φ Α, 3Γ Η Ι 4 ϑ 8 4 ϑ 8 4 8 4 < 8 4 5 8 4 4

More information

., /,, 0!, + & )!. + + (, &, & 1 & ) ) 2 2 ) 1! 2 2

., /,, 0!, + & )!. + + (, &, & 1 & ) ) 2 2 ) 1! 2 2 ! # &!! ) ( +, ., /,, 0!, + & )!. + + (, &, & 1 & ) ) 2 2 ) 1! 2 2 ! 2 2 & & 1 3! 3, 4 45!, 2! # 1 # ( &, 2 &, # 7 + 4 3 ) 8. 9 9 : ; 4 ), 1!! 4 4 &1 &,, 2! & 1 2 1! 1! 1 & 2, & 2 & < )4 )! /! 4 4 &! &,

More information

! # %& ( %! & & + %!, ( Α Α Α Α Χ Χ Α Χ Α Α Χ Α Α Α Α

! # %& ( %! & & + %!, ( Α Α Α Α Χ Χ Α Χ Α Α Χ Α Α Α Α Ε! # % & ( )%! & & + %!, (./ 0 1 & & 2. 3 &. 4/. %! / (! %2 % ( 5 4 5 ) 2! 6 2! 2 2. / & 7 2! % &. 3.! & (. 2 & & / 8 2. ( % 2 & 2.! 9. %./ 5 : ; 5. % & %2 2 & % 2!! /. . %! & % &? & 5 6!% 2.

More information

标题

标题 第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 :1000 5471(01)01 0011 05 1 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 张耿, 陈守全, 王超 西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

More information

, ( 6 7 8! 9! (, 4 : : ; 0.<. = (>!? Α% ), Β 0< Χ 0< Χ 2 Δ Ε Φ( 7 Γ Β Δ Η7 (7 Ι + ) ϑ!, 4 0 / / 2 / / < 5 02

, ( 6 7 8! 9! (, 4 : : ; 0.<. = (>!? Α% ), Β 0< Χ 0< Χ 2 Δ Ε Φ( 7 Γ Β Δ Η7 (7 Ι + ) ϑ!, 4 0 / / 2 / / < 5 02 ! # % & ( ) +, ) %,! # % & ( ( ) +,. / / 01 23 01 4, 0/ / 5 0 , ( 6 7 8! 9! (, 4 : : ; 0.!? Α% ), Β 0< Χ 0< Χ 2 Δ Ε Φ( 7 Γ Β Δ 5 3 3 5 3 1 Η7 (7 Ι + ) ϑ!, 4 0 / / 2 / 3 0 0 / < 5 02 Ν!.! %) / 0

More information

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f

More information

! Ν! Ν Ν & ] # Α. 7 Α ) Σ ),, Σ 87 ) Ψ ) +Ε 1)Ε Τ 7 4, <) < Ε : ), > 8 7

! Ν! Ν Ν & ] # Α. 7 Α ) Σ ),, Σ 87 ) Ψ ) +Ε 1)Ε Τ 7 4, <) < Ε : ), > 8 7 !! # & ( ) +,. )/ 0 1, 2 ) 3, 4 5. 6 7 87 + 5 1!! # : ;< = > < < ;?? Α Β Χ Β ;< Α? 6 Δ : Ε6 Χ < Χ Α < Α Α Χ? Φ > Α ;Γ ;Η Α ;?? Φ Ι 6 Ε Β ΕΒ Γ Γ > < ϑ ( = : ;Α < : Χ Κ Χ Γ? Ε Ι Χ Α Ε? Α Χ Α ; Γ ;

More information

Π Ρ! #! % & #! (! )! + %!!. / 0% # 0 2 3 3 4 7 8 9 Δ5?? 5 9? Κ :5 5 7 < 7 Δ 7 9 :5? / + 0 5 6 6 7 : ; 7 < = >? : Α8 5 > :9 Β 5 Χ : = 8 + ΑΔ? 9 Β Ε 9 = 9? : ; : Α 5 9 7 3 5 > 5 Δ > Β Χ < :? 3 9? 5 Χ 9 Β

More information

《分析化学辞典》_数据处理条目_2.DOC

《分析化学辞典》_数据处理条目_2.DOC lg lg ) (lg µ lg lg lg g g g lg lg g lg g () f ma m ) ( ma f ) ( m f w w w w w / s s µ w sw w s w m s s m ( y Y ) w[ y ( a b Q w Q w w + Q w w a b )] a b H H H H H H α H α H H β H H H α H H α H H α α H

More information

& &((. ) ( & ) 6 0 &6,: & ) ; ; < 7 ; = = ;# > <# > 7 # 0 7#? Α <7 7 < = ; <

& &((. ) ( & ) 6 0 &6,: & ) ; ; < 7 ; = = ;# > <# > 7 # 0 7#? Α <7 7 < = ; < ! # %& ( )! & +, &. / 0 # # 1 1 2 # 3 4!. &5 (& ) 6 0 0 2! +! +( &) 6 0 7 & 6 8. 9 6 &((. ) 6 4. 6 + ( & ) 6 0 &6,: & )6 0 3 7 ; ; < 7 ; = = ;# > 7 # 0 7#? Α

More information

2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4.

2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4. 9 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 时, 若 ta 与 是同阶无穷小, 则 k = A B C D4 k - ta -, 若要 - ta 与 是同阶无穷小, \ k = \ 选 C,, 设函数 f ( ) 则 = 是 f() 的 l,, A 可导点, 极值点 B 不可导点,

More information

第一章 随机事件与概率 (考研)

第一章 随机事件与概率 (考研) 考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. ( D). ( D ) P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型

More information

精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E

精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( )

More information

8 9 8 Δ 9 = 1 Η Ι4 ϑ< Κ Λ 3ϑ 3 >1Ε Μ Ε 8 > = 8 9 =

8 9 8 Δ 9 = 1 Η Ι4 ϑ< Κ Λ 3ϑ 3 >1Ε Μ Ε 8 > = 8 9 = !! % & ( & ),,., / 0 1. 0 0 3 4 0 5 3 6!! 7 8 9 8!! : ; < = > :? Α 4 8 9 < Β Β : Δ Ε Δ Α = 819 = Γ 8 9 8 Δ 9 = 1 Η Ι4 ϑ< Κ Λ 3ϑ 3 >1Ε 8 9 0 Μ Ε 8 > 9 8 9 = 8 9 = 819 8 9 =

More information

Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :! 9 9 & ϑ Κ & ϑ Λ &! &!! 4!! Μ Α!! ϑ Β & Ν Λ Κ Λ Ο Λ 8! % & Π Θ Φ & Ρ Θ & Θ & Σ ΠΕ # & Θ Θ Σ Ε

Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :! 9 9 & ϑ Κ & ϑ Λ &! &!! 4!! Μ Α!! ϑ Β & Ν Λ Κ Λ Ο Λ 8! % & Π Θ Φ & Ρ Θ & Θ & Σ ΠΕ # & Θ Θ Σ Ε ! #!! % & ( ) +,. /. 0,(,, 2 4! 6! #!!! 8! &! % # & # &! 9 8 9 # : : : : :!! 9 8 9 # #! %! ; &! % + & + & < = 8 > 9 #!!? Α!#!9 Α 8 8!!! 8!%! 8! 8 Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :!

More information

untitled

untitled 995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =

More information

: ; # 7 ( 8 7

: ; # 7 ( 8 7 (! # % & ( ) +,. / +. 0 0 ) 1. 2 3 +4 1/,5,6 )/ ) 7 7 8 9 : ; 7 8 7 # 7 ( 8 7 ; ;! #! % & % ( # ) % + # # #, # % + &! #!. #! # # / 0 ( / / 0! #,. # 0(! #,. # 0!. # 0 0 7 7 < = # ; & % ) (, ) ) ) ) ) )!

More information

第一章 随机事件与概率 (考研)

第一章 随机事件与概率 (考研) 考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型 计算较简便. 也可先写出两个随机变量的概率密度,

More information

第一章 随机事件与概率 (考研)

第一章 随机事件与概率 (考研) 考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. ( D). ( D ) P( A B) P( AB) P( AB) 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算. 解一般骰子掷两次 其基本事件总数为 6 方程有实根的充分必要条件是 B C 或 C B 方程有重根的充分必要条件是 B C 或 C B B 6 使 C B 的基本事件个数

More information

) Μ <Κ 1 > < # % & ( ) % > Χ < > Δ Χ < > < > / 7 ϑ Ν < Δ 7 ϑ Ν > < 8 ) %2 ): > < Ο Ε 4 Π : 2 Θ >? / Γ Ι) = =? Γ Α Ι Ρ ;2 < 7 Σ6 )> Ι= Η < Λ 2 % & 1 &

) Μ <Κ 1 > < # % & ( ) % > Χ < > Δ Χ < > < > / 7 ϑ Ν < Δ 7 ϑ Ν > < 8 ) %2 ): > < Ο Ε 4 Π : 2 Θ >? / Γ Ι) = =? Γ Α Ι Ρ ;2 < 7 Σ6 )> Ι= Η < Λ 2 % & 1 & ! # % & ( ) % + ),. / & 0 1 + 2. 3 ) +.! 4 5 2 2 & 5 0 67 1) 8 9 6.! :. ;. + 9 < = = = = / >? Α ) /= Β Χ Β Δ Ε Β Ε / Χ ΦΓ Χ Η Ι = = = / = = = Β < ( # % & ( ) % + ),. > (? Φ?? Γ? ) Μ

More information

8 9 < ; ; = < ; : < ;! 8 9 % ; ϑ 8 9 <; < 8 9 <! 89! Ε Χ ϑ! ϑ! ϑ < ϑ 8 9 : ϑ ϑ 89 9 ϑ ϑ! ϑ! < ϑ < = 8 9 Χ ϑ!! <! 8 9 ΧΧ ϑ! < < < < = 8 9 <! = 8 9 <! <

8 9 < ; ; = < ; : < ;! 8 9 % ; ϑ 8 9 <; < 8 9 <! 89! Ε Χ ϑ! ϑ! ϑ < ϑ 8 9 : ϑ ϑ 89 9 ϑ ϑ! ϑ! < ϑ < = 8 9 Χ ϑ!! <! 8 9 ΧΧ ϑ! < < < < = 8 9 <! = 8 9 <! < ! # % ( ) ( +, +. ( / 0 1) ( 2 1 1 + ( 3 4 5 6 7! 89 : ; 8 < ; ; = 9 ; ; 8 < = 9! ; >? 8 = 9 < : ; 8 < ; ; = 9 8 9 = : : ; = 8 9 = < 8 < 9 Α 8 9 =; %Β Β ; ; Χ ; < ; = :; Δ Ε Γ Δ Γ Ι 8 9 < ; ; = < ; :

More information

邱 江 吴玉亭 张庆林 西南师范大学心理学院 重庆 选取 个具体内容的条件命题作为实验材料 以小四 初一 高一 大三的学生为被试 探讨了命题内容对青少年条件推理的影响机制及其发展特点 结果表明 对同一年级而言 不同内容的条件命题的相同推理 之间表现出显著的差异 对不同年级而言 相同内容的条件命题的四种推理之间也存在显著的差异 青少年的条件推理过程似乎是一种基于对事件发生概率估计的直觉判断 这一判断过程主要取决于个体知识经验的增长和主体认知水平的提高

More information

2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ! ϑ Β Β Β ϑ Χ Β! Β Χ 5 ϑ Λ ϑ % < Μ / 4 Ν < 7 :. /. Ο 9 4 < / = Π 7 4 Η 7 4 =

2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ! ϑ Β Β Β ϑ Χ Β! Β Χ 5 ϑ Λ ϑ % < Μ / 4 Ν < 7 :. /. Ο 9 4 < / = Π 7 4 Η 7 4 = ! # % # & ( ) % # ( +, & % # ) % # (. / ). 1 2 3 4! 5 6 4. 7 8 9 4 : 2 ; 4 < = = 2 >9 3? & 5 5 Α Α 1 Β ΧΔ Ε Α Φ 7 Γ 9Η 8 Δ Ι > Δ / ϑ Κ Α Χ Ε ϑ Λ ϑ 2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ!

More information

第一章 随机事件与概率 (考研)

第一章 随机事件与概率 (考研) 考研数学强化班答案概率统计叶宏第 页共 页版权所有翻录必究 第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型 计算较简便. 也可先写出两个随机变量的概率密度,

More information

% %! # % & ( ) % # + # # % # # & & % ( #,. %

% %! # % & ( ) % # + # # % # # & & % ( #,. % !!! # #! # % & % %! # % & ( ) % # + # # % # # & & % ( #,. % , ( /0 ) %, + ( 1 ( 2 ) + %, ( 3, ( 123 % & # %, &% % #, % ( ) + & &% & ( & 4 ( & # 4 % #, #, ( ) + % 4 % & &, & & # / / % %, &% ! # #! # # #

More information

> # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ # Κ Μ 0 Ν Ο Κ Ι Π, Ι Π Θ Κ Ι Π ; 4 # Ι Π Η Κ Ι Π. Ο Κ Ι ;. Ο Κ Ι Π 2 Η

> # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ # Κ Μ 0 Ν Ο Κ Ι Π, Ι Π Θ Κ Ι Π ; 4 # Ι Π Η Κ Ι Π. Ο Κ Ι ;. Ο Κ Ι Π 2 Η 1 )/ 2 & +! # % & ( ) +, + # # %. /& 0 4 # 5 6 7 8 9 6 : : : ; ; < = > < # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ #

More information

<4D F736F F D2035A1A BFBCD1D0CAFDD1A7D2BBD5E6CCE2BCB0B4F0B0B8BDE2CEF6A3A8CEC4B6BCB0E6A3A9>

<4D F736F F D2035A1A BFBCD1D0CAFDD1A7D2BBD5E6CCE2BCB0B4F0B0B8BDE2CEF6A3A8CEC4B6BCB0E6A3A9> 8 考研数学 ( 一 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 下列函数中, 在 处不可导的是 ( ) A. f ( ) si B. f ( ) si C. f ( ) cos D. f ( ) cos 答案 :(D) 解析 : 方法一 : f( ) f() si

More information

!! )!!! +,./ 0 1 +, 2 3 4, # 8,2 6, 2 6,,2 6, 2 6 3,2 6 5, 2 6 3, 2 6 9!, , 2 6 9, 2 3 9, 2 6 9,

!! )!!! +,./ 0 1 +, 2 3 4, # 8,2 6, 2 6,,2 6, 2 6 3,2 6 5, 2 6 3, 2 6 9!, , 2 6 9, 2 3 9, 2 6 9, ! # !! )!!! +,./ 0 1 +, 2 3 4, 23 3 5 67 # 8,2 6, 2 6,,2 6, 2 6 3,2 6 5, 2 6 3, 2 6 9!, 2 6 65, 2 6 9, 2 3 9, 2 6 9, 2 6 3 5 , 2 6 2, 2 6, 2 6 2, 2 6!!!, 2, 4 # : :, 2 6.! # ; /< = > /?, 2 3! 9 ! #!,!!#.,

More information

( ) (! +)! #! () % + + %, +,!#! # # % + +!

( ) (! +)! #! () % + + %, +,!#! # # % + +! !! # % & & & &! # # % ( ) (! +)! #! () % + + %, +,!#! # # % + +! ! %!!.! /, ()!!# 0 12!# # 0 % 1 ( ) #3 % & & () (, 3)! #% % 4 % + +! (!, ), %, (!!) (! 3 )!, 1 4 ( ) % % + % %!%! # # !)! % &! % () (! %

More information

= Υ Ξ & 9 = ) %. Ο) Δ Υ Ψ &Ο. 05 3; Ι Ι + 4) &Υ ϑ% Ο ) Χ Υ &! 7) &Ξ) Ζ) 9 [ )!! Τ 9 = Δ Υ Δ Υ Ψ (

= Υ Ξ & 9 = ) %. Ο) Δ Υ Ψ &Ο. 05 3; Ι Ι + 4) &Υ ϑ% Ο ) Χ Υ &! 7) &Ξ) Ζ) 9 [ )!! Τ 9 = Δ Υ Δ Υ Ψ ( ! # %! & (!! ) +, %. ( +/ 0 1 2 3. 4 5 6 78 9 9 +, : % % : < = % ;. % > &? 9! ) Α Β% Χ %/ 3. Δ 8 ( %.. + 2 ( Φ, % Γ Η. 6 Γ Φ, Ι Χ % / Γ 3 ϑκ 2 5 6 Χ8 9 9 Λ % 2 Χ & % ;. % 9 9 Μ3 Ν 1 Μ 3 Φ Λ 3 Φ ) Χ. 0

More information

4 # = # 4 Γ = 4 0 = 4 = 4 = Η, 6 3 Ι ; 9 Β Δ : 8 9 Χ Χ ϑ 6 Κ Δ ) Χ 8 Λ 6 ;3 Ι 6 Χ Δ : Χ 9 Χ Χ ϑ 6 Κ

4 # = # 4 Γ = 4 0 = 4 = 4 = Η, 6 3 Ι ; 9 Β Δ : 8 9 Χ Χ ϑ 6 Κ Δ ) Χ 8 Λ 6 ;3 Ι 6 Χ Δ : Χ 9 Χ Χ ϑ 6 Κ ! # % & & ( ) +, %. % / 0 / 2 3! # 4 ) 567 68 5 9 9 : ; > >? 3 6 7 : 9 9 7 4! Α = 42 6Β 3 Χ = 42 3 6 3 3 = 42 : 0 3 3 = 42 Δ 3 Β : 0 3 Χ 3 = 42 Χ Β Χ 6 9 = 4 =, ( 9 6 9 75 3 6 7 +. / 9

More information

概率论与数理统计

概率论与数理统计 数理统计 上海财经大学 统计与管理学院 Contents 第二章抽样分布 2.1 总体与样本 2.2 样本数据的整理与显示 2.3 统计量及其分布 2.4 三大抽样分布 2.5 充分统计量 第二章抽样分布 例 2.1 某公司要采购一批产品, 每件产品不是合格品就是不合格品, 但该批产品总有一个不合格品率 p 由此, 若从该批产品中随机抽取一件, 用表示这一批产品的不合格数, 不难看出服从一个二点分布

More information

untitled

untitled 6 + a lim = 8, a =. a l. a a + a a a a lim = lim + = e, a a a e = 8 a= l ( 6,, ), 4 y+ z = 8. + y z = ( 6,, ) 4 y z 8 a ( 6,, ) + = = { } i j k 4,,, s = 6 = i+ j k. 4 ( ) ( y ) ( z ) + y z =. + =, () y

More information

<4D F736F F F696E74202D20B5DACEE5D5C220CDB3BCC6CDC6B6CFB7BDB7A8205BBCE6C8DDC4A3CABD5D>

<4D F736F F F696E74202D20B5DACEE5D5C220CDB3BCC6CDC6B6CFB7BDB7A8205BBCE6C8DDC4A3CABD5D> 7.3 区间估计 iterval etimate. 在点估计的基础上, 给出总体参数估计的一个区间范围, 该区间由点估计量加减估计误差而构成 估计误差 区间半径 置信区间 样本统计量 点估计 置信下限 置信上限 06/0/8 8 . 包含总体参数的区间是一个随机区间 它有两个方面的含义一是估计误差大小二是估计误差发生的可能性大小 3. 估计误差发生的可能性大小是根据点估计量的抽样分布来确定的 比如,

More information

2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2

2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2 第二章随机变量及其分布 2. 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其分布 3.4 随机变量函数的分布 2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2 . 离散型随机变量的分布律 定义 2.2. 设离散型随机变量 的所有可能的不同取 的值为 x 而 取值,,2, x 的概率为 p, 即 x p,,2,

More information

!!! #! )! ( %!! #!%! % + % & & ( )) % & & #! & )! ( %! ),,, )

!!! #! )! ( %!! #!%! % + % & & ( )) % & & #! & )! ( %! ),,, ) ! # % & # % ( ) & + + !!! #! )! ( %!! #!%! % + % & & ( )) % & & #! & )! ( %! ),,, ) 6 # / 0 1 + ) ( + 3 0 ( 1 1( ) ) ( 0 ) 4 ( ) 1 1 0 ( ( ) 1 / ) ( 1 ( 0 ) ) + ( ( 0 ) 0 0 ( / / ) ( ( ) ( 5 ( 0 + 0 +

More information

Ψ! Θ! Χ Σ! Υ Χ Ω Σ Ξ Ψ Χ Ξ Ζ Κ < < Κ Ζ [Ψ Σ Ξ [ Σ Ξ Χ!! Σ > _ Κ 5 6!< < < 6!< < α Χ Σ β,! Χ! Σ ; _!! Χ! Χ Ζ Σ < Ω <!! ; _!! Χ Υ! Σ!!!! ββ /β χ <

Ψ! Θ! Χ Σ! Υ Χ Ω Σ Ξ Ψ Χ Ξ Ζ Κ < < Κ Ζ [Ψ Σ Ξ [ Σ Ξ Χ!! Σ > _ Κ 5 6!< < < 6!< < α Χ Σ β,! Χ! Σ ; _!! Χ! Χ Ζ Σ < Ω <!! ; _!! Χ Υ! Σ!!!! ββ /β χ < ! # %!! ( (! +,. /0 0 1 2,34 + 5 6 7,3. 7, 8, 2 7 + 1 9 #. 3 : + ; + 5 83 8 % 8 2 ; , 1 1 8 2 =? : + 2 = 2 = Α 1,!. Β 3 + 5 Χ Β Β

More information

PowerPoint 演示文稿

PowerPoint 演示文稿 频率直方图, 频率直方图是统计学中表示频率分布的图形, 该图形在直角坐标系中, 用横轴表示随机变量的取值, 横轴上的每个小区间对应一个组的组距, 作为小矩形的底边 ; 纵轴表示频率与组距的比值, 并用它作小矩形的高, 以这种小矩形构成的一组图称为频率直方图..3 连续型随机变量及其概率分布 概率密度函数 案例某制造商为给其所生产的某种型号的晶体管打寿命标签, 对该型号的晶体管的使用寿命进行了抽查,

More information

Born to win 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1. 下列函数中, 在 x 0 错误! 未找到引用

Born to win 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1. 下列函数中, 在 x 0 错误! 未找到引用 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中, 在 错误! 未找到引用源 处不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f cos( ) 答案 D A 可导 : D. f ( )

More information

Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与

Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 当 时, 若 t 与 是同阶无穷小, 则 (A). (C). (B). (D)4. 答案 C 解析 t ( o( )) ~, 故.,, () 设函数 f ( ) l,, 则 是 f (

More information

untitled

untitled 5 55-% 8-8 8-5% - 7 7 U- lim lim u k k k u k k k k ` k u k k lim.7. 8 e e. e www.tighuatutor.com 5 79 755 [ e ] e e [ e ] e e e. --7 - u z dz d d dz u du d 8d d d d dz d d d d. 5-5 A E B BA B E B B BA

More information

untitled

untitled arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.

More information

一 台湾地区 大法官会议 如何诠释法治与人性尊严 % %

一 台湾地区 大法官会议 如何诠释法治与人性尊严 % % !!! 从实践到理论的反思 庄世同 ## 祇和理性来统 ## 一 台湾地区 大法官会议 如何诠释法治与人性尊严 % % !!! 从实践到理论的反思 ## ## !!!!!! # # !!! 从实践到理论的反思 二 法治应该具备哪些要件 & % ( & & % ( !!! 从实践到理论的反思 % ) % & & !!! 从实践到理论的反思 三 人性尊严应该具有哪些内涵 & % % & & !!! 从实践到理论的反思

More information

订这两种报纸中的一种, 求同时订这两种报纸的住户的百分比 4. 一批零件共 00 个, 次品率为 0%, 接连两次从这批零件中任取一个零件, 第一次 取出的零件不再放回, 求第二次才取得正品的概率 5. 设随机变量 A B C 两两独立, A 与 B 互不相容. 已知 P ( B) P( C) 0

订这两种报纸中的一种, 求同时订这两种报纸的住户的百分比 4. 一批零件共 00 个, 次品率为 0%, 接连两次从这批零件中任取一个零件, 第一次 取出的零件不再放回, 求第二次才取得正品的概率 5. 设随机变量 A B C 两两独立, A 与 B 互不相容. 已知 P ( B) P( C) 0 . 写出下列试验下的样本空间 : ( ) 将一枚硬币抛掷两次 ( ) 将两枚骰子抛掷一次 第一章复习题 ( 3) 调查城市居民 ( 以户为单位 ) 烟 酒的年支出. 甲, 乙, 丙三人各射一次靶, 记 A 甲中靶 述三个事件的运算来分别表示下列各事件 : () 甲未中靶 : () 甲中靶而乙未中靶 : (3) 三人中只有丙未中靶 : (4) 三人中恰好有一人中靶 : (5) 三人中至少有一人中靶 :

More information

,!! #! > 1? = 4!! > = 5 4? 2 Α Α!.= = 54? Β. : 2>7 2 1 Χ! # % % ( ) +,. /0, , ) 7. 2

,!! #! > 1? = 4!! > = 5 4? 2 Α Α!.= = 54? Β. : 2>7 2 1 Χ! # % % ( ) +,. /0, , ) 7. 2 ! # %!% # ( % ) + %, ). ) % %(/ / %/!! # %!! 0 1 234 5 6 2 7 8 )9!2: 5; 1? = 4!! > = 5 4? 2 Α 7 72 1 Α!.= = 54?2 72 1 Β. : 2>7 2 1 Χ! # % % ( ) +,.

More information

随机信号分析 第三章 泊松过程 (Poisso Processes) Sigal processig & Iformaio Neworkig i Commuicaios 罗锴 提纲 u 泊松过程定义 u 泊松过程的数字特征 u 时间间隔分布 等待时间分布及到达时间的条件分布 u 非齐次泊松过程 u 复合泊松过程 泊松过程定义 泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程 例如 : 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数

More information

随机事件与概率

随机事件与概率 帮学堂配套电子讲义 概率论与数理统计 概率论与数理统计 强化讲义 ( 数一 ) 帮学堂配套电子讲义 概率论与数理统计 课程配套讲义是学习的必备资源, 帮帮为大家精心整理了高质量的配套讲义, 确保同学们学习的方便不高效 该讲义是帮帮结合大纲考点及考研辅导名师多年辅导经验的基础上科学整理的 内容涵盖考研的核心考点 复习重点 难点 结构明了 脉络清晰, 幵针对丌同考点 重点 难点做了丌同颜色及字体的标注,

More information

6.3 正定二次型

6.3 正定二次型 6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k

More information

IDEO_HCD_0716

IDEO_HCD_0716 IDEO HCD Toolkit Tencent CDC ...? Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC

More information

统计意义上可以认为 p 就是平均每天出现的次品数 以此为背景 我们引入下面的定义定义.. 设离散型随机变量 的可能取值为 且 取相应 值的概率依次为 p p p 若级数 随机变量 的数学期望 简称期望 记为 p 即 p 绝对收敛 则称该级数的和为 此时也称 的数学期望存在若级数 p 发散 则称 的数

统计意义上可以认为 p 就是平均每天出现的次品数 以此为背景 我们引入下面的定义定义.. 设离散型随机变量 的可能取值为 且 取相应 值的概率依次为 p p p 若级数 随机变量 的数学期望 简称期望 记为 p 即 p 绝对收敛 则称该级数的和为 此时也称 的数学期望存在若级数 p 发散 则称 的数 教案 随机变量的数字特征 教学内容 随机变量的分布函数全面地反映了随机变量的统计规律 利用分布函数可以很方便地计算各种事件的概率但在实际应用中 常常并不需要全面了解随机变量的变化情况 只需要知道一些能反映随机变量的特征的指标就能解决问题 这些指标便是数字特征本节主要讲解以下内容 : 数学期望 方差 协方差和相关系数等概念和计算方法 ; 随机变量的函数的数学期望的计算方法 ; 一些常见分布的数字特征的计算

More information

Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C

Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C Bor to wi 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f ( ) cos D. f ( ) cos( ) 答案 D A 可导

More information

器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 3 电势与电势差 1 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 E p 与电荷量 q Ep 的比值叫做该点处的电势 表达式为 V 电场中两点之间的 q 电势之差叫做电势差 表达式为 UAB V A VB 2 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量

More information

! # %! #! #! # % + &, % % ) %. /! # 0 1

! # %! #! #! # % + &, % % ) %. /! # 0 1 ! # %! #! #! # % + &, % % ) %. /! # 0 1 2 32 % 4! #! # 4 4 2 32 4 4! # 2 32 ! # % 2 5 2 32 % % 6 2 7 8 %! 6 # %3 3 9 % /, 9 % 2 % % 3 #7 9 % 2 8 7 2 % 3 7 7 7 8 7 7 7 7 3 9 8 8 % 3! # 7 12 1191 1 ; % %

More information

3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε

3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε (! # # %& ) +,./ 0 & 0 1 2 / & %&( 3! # % & ( ) & +, ), %!,. / 0 1 2. 3 4 5 7 8 9 : 0 2; < 0 => 8?.. >: 7 2 Α 5 Β % Χ7 Δ.Ε8 0Φ2.Γ Φ 5 Η 8 0 Ι 2? : 9 ϑ 7 ϑ0 > 2? 0 7Ε 2?. 0. 2 : Ε 0 9?: 9 Κ. 9 7Λ /.8 720

More information

% & :?8 & : 3 ; Λ 3 3 # % & ( ) + ) # ( ), ( ) ). ) / & /:. + ( ;< / 0 ( + / = > = =? 2 & /:. + ( ; < % >=? ) 2 5 > =? 2 Α 1 Β 1 + Α

% & :?8 & : 3 ; Λ 3 3 # % & ( ) + ) # ( ), ( ) ). ) / & /:. + ( ;< / 0 ( + / = > = =? 2 & /:. + ( ; < % >=? ) 2 5 > =? 2 Α 1 Β 1 + Α # % & ( ) # +,. / 0 1 2 /0 1 0 3 4 # 5 7 8 / 9 # & : 9 ; & < 9 = = ;.5 : < 9 98 & : 9 %& : < 9 2. = & : > 7; 9 & # 3 2

More information

! ΑΒ 9 9 Χ! Δ? Δ 9 7 Χ = Δ ( 9 9! Δ! Δ! Δ! 8 Δ! 7 7 Δ Δ 2! Χ Δ = Χ! Δ!! =! ; 9 7 Χ Χ Χ <? < Χ 8! Ε (9 Φ Γ 9 7! 9 Δ 99 Φ Γ Χ 9 Δ 9 9 Φ Γ = Δ 9 2

! ΑΒ 9 9 Χ! Δ? Δ 9 7 Χ = Δ ( 9 9! Δ! Δ! Δ! 8 Δ! 7 7 Δ Δ 2! Χ Δ = Χ! Δ!! =! ; 9 7 Χ Χ Χ <? < Χ 8! Ε (9 Φ Γ 9 7! 9 Δ 99 Φ Γ Χ 9 Δ 9 9 Φ Γ = Δ 9 2 ! # % ( % ) +,#./,# 0 1 2 / 1 4 5 6 7 8! 9 9 : ; < 9 9 < ; ?!!#! % ( ) + %,. + ( /, 0, ( 1 ( 2 0% ( ),..# % (., 1 4 % 1,, 1 ), ( 1 5 6 6 # 77 ! ΑΒ 9 9 Χ! Δ? Δ 9 7 Χ = Δ ( 9 9! Δ! Δ! Δ! 8 Δ!

More information

! # Χ Η Ι 8 ϑ 8 5 Χ ΚΗ /8 Η/. 6 / Λ. /. Η /. Α Α + Α 0. Η 56 + Α : Α Μ / Η +9 Δ /. : Α : ϑ. Η. /5 % Χ

! # Χ Η Ι 8 ϑ 8 5 Χ ΚΗ /8 Η/. 6 / Λ. /. Η /. Α Α + Α 0. Η 56 + Α : Α Μ / Η +9 Δ /. : Α : ϑ. Η. /5 % Χ ! # % ( ) +. / 0 1 + 2+ 3 4. 56. / 7 8 9 8. 6 2 # :! # # ( : : :! ( = = ( = > > : > : (? : : # : :! :!? : ( : # Α Β Α # : Α > % : Α : Α ( Χ #! Χ # Δ Χ ( Χ ( Φ Χ : Χ ( Χ ( #! / 2 (!( Α Α ( Α Α : =! Γ6 Α

More information

一 根据所给图表,回答下列问题。

一 根据所给图表,回答下列问题。 版权所有翻印必究 QQ 488 7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学三 ) 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos,, () 若函数 f ( ) a 在, 处连续, 则 ( ) b,, (A) ab (B) ab (C) ab

More information

湖北文都考研官网 : 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0, 若 x tan x与 x 是同阶

湖北文都考研官网 : 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0, 若 x tan x与 x 是同阶 湖北文都考研官网 :wwwhbweducom 9 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 若 ta 与 是同阶无穷小 则 k = A B C D4 设函数 f( ) 则 = 是 f() 的 l A 可导点 极值点 B 不可导点 极值点 C 可导点 非极值点 D 不可导点

More information

定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23

定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23 定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /

More information

07-3.indd

07-3.indd 1 2 3 4 5 6 7 08 11 19 26 31 35 38 47 52 59 64 67 73 10 18 29 76 77 78 79 81 84 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

More information

<4D F736F F F696E74202D20B5DA3133BDB220B7BDB2EEB7D6CEF62DB5A5D2F2CBD8205BBCE6C8DDC4A3CABD5D205BD0DEB8B4B5C45D>

<4D F736F F F696E74202D20B5DA3133BDB220B7BDB2EEB7D6CEF62DB5A5D2F2CBD8205BBCE6C8DDC4A3CABD5D205BD0DEB8B4B5C45D> 方差分析 ---- 单因素方差分析 . 起源 ANOVA 由英国统计学家 R.A.Fiher 首创, 为纪念 Fiher, 以 F 命名, 故方差分析又称 F 检验 (F tet . 什么是方差分析 (ANOVA. 引例 * 研究问题 : 各肥料品种是否有差异 * 问题转化 : 各肥料品种是否有差异体现为各肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异 记 为肥料 A 下的小麦亩产量, 为平均亩产量 ; 为肥料

More information

论文,,, ( &, ), 1 ( -, : - ), ; (, ), ; ;, ( &, ),,,,,, (, ),,,, (, ) (, ),,, :. : ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ),,,, 1 原译作 修补者, 但在英译版本中, 被译作

论文,,, ( &, ), 1 ( -, : - ), ; (, ), ; ;, ( &, ),,,,,, (, ),,,, (, ) (, ),,, :. : ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ),,,, 1 原译作 修补者, 但在英译版本中, 被译作 * 夏传玲 : 本文简要回顾了国内外定性研究在最近 多年的发展概况, 总结 了定性研究的六个发展趋势和分析策略上的三种流派 在上述两种背景下, 本文探讨了计算机辅助的定性分析给定性研究带来的机遇和挑战, 特别是它和手工操作对比时的优势和劣势, 以及应用这种定性分析技术所可能面临的困难 : 定性研究定性分析 文化差异,, (, ),,,, ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) (

More information

untitled

untitled f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =

More information

. Ν Σ % % : ) % : % Τ 7 ) & )? Α Β? Χ )? : Β Ν :) Ε Ν & Ν? ς Ε % ) Ω > % Τ 7 Υ Ν Ν? Π 7 Υ )? Ο 1 Χ Χ Β 9 Ξ Ψ 8 Ψ # #! Ξ ; Ξ > # 8! Ζ! #!! Θ Ξ #!! 8 Θ!

. Ν Σ % % : ) % : % Τ 7 ) & )? Α Β? Χ )? : Β Ν :) Ε Ν & Ν? ς Ε % ) Ω > % Τ 7 Υ Ν Ν? Π 7 Υ )? Ο 1 Χ Χ Β 9 Ξ Ψ 8 Ψ # #! Ξ ; Ξ > # 8! Ζ! #!! Θ Ξ #!! 8 Θ! !! # %& + ( ) ),., / 0 12 3, 4 5 6, 7 6 6, 8! 1 9 :; #< = 1 > )& )? Α Β 3 % Χ %? 7) >ΔΒ Χ :% Ε? 9 : ; Φ Η Ι & Κ Λ % 7 Μ Ν?) 1!! 9 % Ο Χ Χ Β Π Θ Π ; Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ ; . Ν Σ % % : ) % : % Τ 7 ) & )? Α Β? Χ )?

More information

! Β Β? Β ( >?? >? %? Γ Β? %? % % %? Χ Η Ιϑ Κ 5 8 Λ 9. Μ Ν Ο Χ? Π Β # % Χ Χ Θ Ρ% Ρ% Θ!??? % < & Θ

! Β Β? Β ( >?? >? %? Γ Β? %? % % %? Χ Η Ιϑ Κ 5 8 Λ 9. Μ Ν Ο Χ? Π Β # % Χ Χ Θ Ρ% Ρ% Θ!??? % < & Θ ! # % & ( ) +,. / 0 1 + 2. 3 4. 56. / 7 89 8.,6 2 ; # ( ( ; ( ( ( # ? >? % > 64 5 5Α5. Α 8/ 56 5 9. > Β 8. / Χ 8 9 9 5 Δ Ε 5, 9 8 2 3 8 //5 5! Α 8/ 56/ 9. Φ ( < % < ( > < ( %! # ! Β Β? Β ( >?? >?

More information

Α 3 Α 2Η # # > # 8 6 5# Ι + ϑ Κ Ι Ι Ι Η Β Β Β Β Β Β ΔΕ Β Β Γ 8 < Φ Α Α # >, 0 Η Λ Μ Ν Ο Β 8 1 Β Π Θ 1 Π Β 0 Λ Μ 1 Ρ 0 Μ ϑ Σ ϑ Τ Ο Λ 8 ϑ

Α 3 Α 2Η # # > # 8 6 5# Ι + ϑ Κ Ι Ι Ι Η Β Β Β Β Β Β ΔΕ Β Β Γ 8 < Φ Α Α # >, 0 Η Λ Μ Ν Ο Β 8 1 Β Π Θ 1 Π Β 0 Λ Μ 1 Ρ 0 Μ ϑ Σ ϑ Τ Ο Λ 8 ϑ ! # % & ( ) % + ( ), & ). % & /. % 0 1!! 2 3 4 5# 6 7 8 3 5 5 9 # 8 3 3 2 4 # 3 # # 3 # 3 # 3 # 3 # # # ( 3 # # 3 5 # # 8 3 6 # # # # # 8 5# :;< 6#! 6 =! 6 > > 3 2?0 1 4 3 4! 6 Α 3 Α 2Η4 3 3 2 4 # # >

More information

= > : ; < ) ; < ; < ; : < ; < = = Α > : Β ; < ; 6 < > ;: < Χ ;< : ; 6 < = 14 Δ Δ = 7 ; < Ε 7 ; < ; : <, 6 Φ 0 ; < +14 ;< ; < ; 1 < ; <!7 7

= > : ; < ) ; < ; < ; : < ; < = = Α > : Β ; < ; 6 < > ;: < Χ ;< : ; 6 < = 14 Δ Δ = 7 ; < Ε 7 ; < ; : <, 6 Φ 0 ; < +14 ;< ; < ; 1 < ; <!7 7 ! # % # & ( & ) # +,,., # / 0 1 3. 0. 0/! 14 5! 5 6 6 7 7 7 7 7! 7 7 7 7 7 7 8 9 : 6! ; < ; < ; : 7 7 : 7 < ;1< = = : = >? ) : ; < = > 6 0 0 : ; < ) ; < ; < ; : < ; < = = 7 7 7 Α > : Β ; < ; 6 < > ;:

More information

9 : : ; 7 % 8

9 : : ; 7 % 8 ! 0 4 1 % # % & ( ) # + #, ( ) + ) ( ). / 2 3 %! 5 6 7! 8 6 7 5 9 9 : 6 7 8 : 17 8 7 8 ; 7 % 8 % 8 ; % % 8 7 > : < % % 7! = = = : = 8 > > ; 7 Ε Β Β % 17 7 :! # # %& & ( ) + %&, %& ) # 8. / 0. 1 2 3 4 5

More information

Β Χ + Δ Ε /4 10 ) > : > 8 / 332 > 2 / 4 + Φ + Γ 0 4 Η / 8 / 332 / 2 / 4 + # + Ι + ϑ /) 5 >8 /3 2>2 / 4 + ( )( + 8 ; 8 / 8. 8 :

Β Χ + Δ Ε /4 10 ) > : > 8 / 332 > 2 / 4 + Φ + Γ 0 4 Η / 8 / 332 / 2 / 4 + # + Ι + ϑ /) 5 >8 /3 2>2 / 4 + ( )( + 8 ; 8 / 8. 8 : !! # % & % () + (. / 0 ) 1 233 /. / 4 2 0 2 + + 5. 2 / 6 ) 6. 0 ) 7. 8 1 6 / 2 9 2 :+ ; < 8 10 ; + + ( =0 41 6< / >0 7 0?2) 29 + +.. 81 6> Α 29 +8 Β Χ + Δ Ε /4 10 )+ 2 +. 8 1 6 > 2 9 2 : > 8 / 332 > 2

More information

3978 30866 4 3 43 [] 3 30 4. [] . . 98 .3 ( ) 06 99 85 84 94 06 3 0 3 9 3 0 4 9 4 88 4 05 5 09 5 8 5 96 6 9 6 97 6 05 7 7 03 7 07 8 07 8 06 8 8 9 9 95 9 0 05 0 06 30 0 .5 80 90 3 90 00 7 00 0 3

More information

% % %/ + ) &,. ) ) (!

% % %/ + ) &,. ) ) (! ! ( ) + & # % % % %/ + ) &,. ) ) (! 1 2 0 3. 34 0 # & 5 # #% & 6 7 ( ) .)( #. 8!, ) + + < ; & ; & # : 0 9.. 0?. = > /! )( + < 4 +Χ Α # Β 0 Α ) Δ. % ΕΦ 5 1 +. # Ι Κ +,0. Α ϑ. + Ι4 Β Η 5 Γ 1 7 Μ,! 0 1 0

More information

; < 5 6 => 6 % = 5

; < 5 6 => 6 % = 5 ! # % ( ),,. / 0. 1, ) 2 3, 3+ 3 # 4 + % 5 6 67 5 6, 8 8 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 9! 7 9 9 6 : 6 ; 7 7 7 < 5 6 => 6 % = 5 Δ 5 6 ; Β ;? # Ε 6 = 6 Α Ε ; ; ; ; Φ Α Α Ε 0 Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Β Α Α Α Α Α

More information