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1 初二秋季第三讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. ⑴ 请在下列网格图中画出所给图形绕点 O 顺时针依次旋转 后所成的图形.( 注意 : 有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影. 不要求写画法 ) ⑵ 如图 作出 绕旋转中心 逆时针旋转 75 得到的图形. 解析 ⑴ 在方格纸上旋转 90 实际上就是找出某些直线的垂线 先选几个关键点 找出这几个关键点与旋转中心连线的垂线 再由线段相等找出它们的对应点. ⑵ 根据旋转的定义 把线段 绕点 逆时针旋转 75 得到 同法得到 连结 得. 75 习题. 在 中 = P 是 内任意一点 已知 P > P 求证 : P > P. P P 解析 因为 = 所以可将 P 绕点 旋转到 的位置 连结 P 则 P = P = = P 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 /

2 因为 P > P 所以 P > 由 = P 可得 P = P 则 P > P. > P 即 P> P. 习题 3. 如图 将边长为 + n ( n = 3 L ) 的正方形纸片从左到右顺次摆放 其对应的正方 形的中心依次为 3. 若摆放前 6 个正方形纸片 则图中被遮盖的 线段 ( 虚线部分 ) 之和为 ; 若摆放前 n ( n 为大于 的正整数 ) 个正方形纸片 则图中被遮盖的线段 ( 虚线部分 ) 之和为. 3 4 解析 我们可以先退一步 考虑边长一样的正方形按这种方式摆放有什么规律. 再退一步 就看两个正方形 : P O 图 O 图 Q 显然 在图 中可以证明 O O = S O = S O. 或者在图 中 可以证明 OP OQ P = Q S OP = S OQ. + = ( 即正方形的边长 ) S O = S. 4 被遮住的周长就是正方形的边长 所以前 6 个时 : = 0 ( ) 当 n n 个时 L + = ( n+ )( n ). 4 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 /

3 习题 4. 已知 Rt 中 = = 90 为 边的中点 = 90 绕 点旋转 它的两边分别交 ( 或它们的延长线 ) 于. 当 绕 点旋转到 于 时 ( 如图 ) 易证 S + S = S. 当 绕 点旋转到 和 不垂直时 在图 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成立? 若成立 请给予证明 ; 若不成立 S S S 又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想 不需证明. 图 图 图 3 解析 图 成立 ; 图 3 不成立. 证明图. 过点 作 则 = = = 90 再证 = = 有 S = S S = S = S + S 四边形 四边形 由信息可知 S S 四边形 = S + S = S 图 3 不成立 S S S 的关系是 : S S = S 习题 5. 一位同学拿了两块 45 的三角尺 K 做了一个探究活动 : 将 K 的直角顶点 放在 的斜边 的中点处 设 = = a. ⑴ 如图 两个三角尺的重叠部分为 则重叠部分的面积为 周长为 ; ⑵ 将图 中的 K 绕顶点 逆时针旋转 45 得到图 此时重叠部分的面积为 周长为 ; ⑶ 如果将 K 绕 旋转到不同于图 图 的位置 如图 3 所示 猜想此时重叠部分的面积为多少? 并试着加以验证. 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 3 /

4 解析 ⑴ K 图 4 a ( ) + a ;⑵ 4 a a ; ⑶ 猜想 : 重叠部分的面积为 4 a. 理由如下 : 过点 分别做 的垂线 图 H 垂足为 H. 设 与 的交点为 K 与 的交点为. 由于 是 斜边 的中点 = = a 所以 H = = a 又因为 H = 所以 Rt H Rt 因此阴影部分的面积等于正方形 H 的面积 即 4 a. K K 图 3 习题 6. 如图 正方形 是边长为 的正方形 正方形 H 的边 H H 与正方形 的边 交于点 顶点在对角线 上移动 设点 到 的距离分别是 H H 四边形 H 的面积是 S. ⑴ 当顶点 H 和正方形 的中心 O( 对角线交点 ) 重合时 ( 图 )S = H + H =.( 只要求写出结果 不用证明 ) ⑵ 若顶点 H 为 O 的中点 ( 图 ) 则 S = H + H =.( 只要求写出结果 不用证明 ) ⑶ 按要求完成下列问题 : 猜想 : 当 H = n 时 ( 图 3) 则 S = H + H =. 证明你得到的结论. 图 H H O 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 4 /

5 图 3 H 解析 ⑴ 4 ;⑵ 6 4 ; ⑶ n n. 证明如下 : 作 HP HQ 垂足分别为 P Q. 在正方形 H 和正方形 中 P Q 图 4 H H = = 90 H = H = 45 PH = QH 四边形 QHP 为正方形 n H = n S 正方形 PQH = PH + HQ = HQ + QH = 90 PH = QH PH = QH 在 PH 和 QH 中 PH = QH PH = QH PH QH S = S PH QH S H = S正方形 PQH n = = + H + H = n. 又 S H( H H ) H 习题 7. 如图 五边形 中 = = = = = 求. 解析 60. 提示 : 将 绕 点旋转至 的位置 再证明 为等边三角 形即可求出角度. 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 5 /

6 习题 8. 请阅读下列材料 : 已知 : 如图 在 Rt 中 = 90 = 点 分别为线段 上两动点 若 = 45. 探究线段 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是 : 把 绕点 顺时针旋转 90 得到 连结 使问题得到解决. 请你参考小明的思路探究并解决下列问题 : ⑴ 猜想 三条线段之间存在的数量关系式 并对你的猜想给予证明 ; ⑵ 当动点 在线段 上 动点 运动在线段 延长线上时 如图 其它条件不变 ⑴ 中探究的结论是否发生改变? 请说明你的猜想并给予证明. 图 图 解析 ⑴ = + 证明 : 根据 绕点 顺时针旋转 90 得到 = = = = 在 Rt 中 = = = 45 + = 90 即 = 90 + = 又 = 45 + = 45 + = 45 即 = 45 = = + ' ⑵ 关系式 = + 仍然成立 用与 ⑴ 类似的旋转变换同样可以证明结论 下面给出利用轴对称的证法 : 证明 : 将 沿直线 对折 得 连 = = = = 又 = = 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 6 /

7 = + = + 45 ( ) = = 90 = 45 + = 又 = = = = 45 = = 80 = 35 = = = 90 在 Rt 中 + = 即 = +. 习题 9. 在等边 的两边 所在直线上分别有两点 为 外一点 且 = 60 = 0 = 探究 : 当点 分别在直线 上移动时 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系. 图 图 图 3 ⑴ 如图 当点 在边 上 且 = 时 之间的 Q 数量关系式 ; 此时 L =. ⑵ 如图 当点 在边 上 且 时 猜想 () 问的两个结论还成立吗? 写出你的猜想并加以证明 ; ⑶ 如图 3 当点 分别在边 的延长线上时 若 = x 则 Q = ( 用 x L 表示 ) 解析 ⑴ + = ; ⑵ 猜想 : 仍然成立 Q L = 3 证明 : 如图 延长 至 使 = 连接 = 且 = 0 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 7 /

8 = = 30 由 是等边三角形 = = ( SS ) 90 = = = = 60 = 在 与 中 = = ( SS) = = + 的周长 Q= + + = ( + ) + ( + ) = + = ⑶ Q 而等边 的周长 L= 3 L =. 3 x + L 3 习题 0. ⑴ 如图 在四边形 中 = = = 90 分别是边 上的点 且 =. 求证 : = +. ⑵ 如图 在四边形 中 = + = 80 分别是边 上的点 且 = ⑴ 中的结论是否仍然成立? 不用证明. ⑶ 如图 在四边形 中 = + = 80 分别是边 延长线上的点 且 = ⑴ 中的结论是否仍然成立? 若成立 请证明 ; 若不成立 请写出它们之间的数量关系 并证明. 解析 ⑴ 延长 到 使 = 联结. 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 8 /

9 = = = 90 =. = = = + 3= =. =. 又 =. =. = +. = +. ⑵ ⑴ 中的结论 = + 仍然成立. ⑶ 结论 = + 不成立 应当是 =. 证明 : 在 上截取 使 = 连接. + = 80 + = 80 =. =. = =. + = + = =. =. =. = 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 9 /

10 = =. 习题. 如图所示 是边长为 的正三角形 是顶角为 0 o 的等腰三角形 以 为顶点作一个 60 o 的 点 分别在 上 求 的周长. 解析 如图所示 过 作 交 于 使得 =. = ; 过 作 交 于 使得 因为 = 0 o 为等腰三角形 所以 = 30 o 又因为 为正三角形 所以 = 30 o. 注意到 = = = 所以 可知 =. 同理 =. 则有 = = = =. 又因为 = 60 o = 0 o 则 + = 80 o. o o o o 而 = 0 = 0 = 0 = 0 故 + = 40 o = 60 o 因此 = 60 o 则 = 进而可知 的周长为. 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 0 /

11 教师备案 本题是大角夹半角模型的一种变化 可以将条件弱化成 是任意三角形的外 心 = 结论改成 就变成了一道相当有难度的 竞赛题了 ( 第 7 届全俄奥林匹克题 ). 习题. 在正方形 中 = 3 = 5 = 4 求 + 为多少度? 解析 过 作 取 = = 4 连接 可先证 再证 = = 45. 解题是一种实践性的技能 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 /