三 真题 ( 第二试 ) 1. 组装甲 乙 丙三种产品, 需要 A, B, C 三种零件. 每件甲需用 A, B 各 2 个 ; 每件乙需用 B, C 各 1 个 ; 每件丙需用 2 个 A 和 1 个 C. 用库存的 A, B, C 三种零件, 如组装成 p 件甲产品 q 件乙产

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1 年全国高中数学联赛第二试组合专题 华南师范大学尤利华 一 什么是组合数学? 它研究什么问题? 组合数学研究的中心问题是 : 按照一定的要求来安排所要考察的一组离散对象. 具体地说, 组合数学讨论的问题可分为四个方面 : 1 存在性问题 : 讨论符合要求的安排方式是否存在. 2 构造性问题 : 把符合要求的安排方式具体构造出来. 3 计数问题 : 计算符合要求的安排方式究竟有多少种. 4 优化问题 : 在所有符合要求的安排中找出使某一目标最优的安排. 二 竞赛大纲要求 高中数学竞赛大纲 (1992 年 3 月重庆会议通过初审稿,1994 年 3 月福州会议通过修订稿 ) 中把组合数学问题列为全国高中数学联赛加试的考查内容, 列出的主要内容有 : 抽屉原理, 容斥原理, 极端原理, 集合的划分, 覆盖 在 2006 年颁布的 高中数学竞赛大纲 (2006 年修订试用稿 ) 中把组合数学问题列为全国高中数学联赛加试的考查内容, 列出的主要内容有 : 圆排列, 有重复元素的排列与组合, 组合恒等式, 组合计数, 组合几何, 抽屉原理, 容斥原理, 极端原理, 图论问题, 集合的划分, 覆盖, 平面凸集 凸包及应用 ( 联赛不考, 冬令营考 ). 第 1 页

2 三 真题 ( 第二试 ) 1. 组装甲 乙 丙三种产品, 需要 A, B, C 三种零件. 每件甲需用 A, B 各 2 个 ; 每件乙需用 B, C 各 1 个 ; 每件丙需用 2 个 A 和 1 个 C. 用库存的 A, B, C 三种零件, 如组装成 p 件甲产品 q 件乙产品和 r 件丙产品, 则剩下 2 个 A 和 1 个 B, 但 C 恰好用完. 试证 : 无论怎样改变甲 乙 丙的产品件数, 也不能把库存的 A, B, C 三种零件都恰好用完. (1981 年第二试第 3 题 ) 2. 某足球邀请赛有 16 个城市参加, 每市派出甲 乙两个队, 根据比赛规则, 每两队之间至多赛一场, 并且同一城市的两队之间不进行比赛, 比赛若干天后进行统计, 发现除 A 市甲队外, 其他各队已比赛过的场数各不相同, 问 A 市乙队已赛过多少场? 请证明你的结论. (1985 年第二试第 3 题 ) 3. 平面上任给五个相异的点, 它们之间的最大距离与最小距离之比记为, 求证 : 0 2s 54, 并讨论等号成立的充要条件. (1985 年第二试第 4 题 ) 4. 平面直角坐标系中, 纵 横坐标都是整数的点称为整点, 请设计一种方法将所有的整点染色, 每一个整点染成白色 红色或黑色中的一种颜色, 使得 : (1) 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上 ; (2) 对任意白点 A 红点 B 和黑点 C, 总可以找到一个红点 D, 使得四边形 ABCD 为一个平行四边形, 证明你设计的方法符合上述要求. (1986 年第二试第 3 题 ) 第 2 页

3 5. ( >3) 名乒乓球选手单打比赛若干场后, 任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同. 试证 : 总可以从中去掉一名选手, 使得余下的选手中, 任意两个选手已赛过的对手, 仍然都不完全相同. (1987 年第二试第 3 题 ) 6. 有 ( 4) 的一张空白方格表, 在它的每一个方格内任意地填入 +1 与 -1 两个 数中的一个, 现将表内 个两两既不同行 ( 横 ) 又不同列 ( 竖 ) 的方格中的数的 乘积称为一个基本项, 试证 : 按上所述方式所填成的每一个方格表, 它的全部基 本项之和总能被 4 整除 ( 即总能表成 4 k 的形式, 其中 k Z ). (1989 年第二试第 3 题 ) 7. 某市有 所中学, 第 所中学派出 C 名学生 ( 1 C 39, 1 ) 来到体育馆参 观球赛, 全部学生总数为 C 1990, 看台上每一横排有 199 个座位, 要求同 1 一学校的学生必须坐在同一横排, 问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下? (1990 年第二试第 3 题 ) 8. 设 S 1,2,,, A 为至少含有两项的 公差为正的等差数列, 其项都在 S 中, 且添加 S 的其他元素于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列. 求这种 A 的个数 ( 这里只有两项的数列也看作等差数列 ). (1991 年第二试第 1 题 ) 9. 设 S 1,2,,. 若 X 是 S 的子集, 把 X 中的所有数的和称为 X 的 容量 ( 规 定空集的容量为 0). 若 X 的容量为奇 ( 偶 ) 数, 则称 X 为 S 的奇 ( 偶 ) 子集. (1) 求证 : S 的奇子集与偶子集个数相等. 第 3 页

4 (2) 求证 : 当 3 时, S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之 和相等. (3) 当 3 时, 求 S 的所有奇子集的容量之和. (1992 年第二试第 2 题 ) 10. 在平面直角坐标系中, 横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点, 任取 6 个格 点 P, y ) ( 1,2,3,4,5,6 ) 满足 : ( (1) 2, y 2 ( 1,2,3,4,5,6 ) ; (2) 任何三点不在同一条直线上. 试证 : 在以 P ( 1,2,3,4,5,6 ) 为顶点的所有三角形中, 必有一个三角形, 它的面积不大于 2. (1992 年第二试第 3 题 ) 11. 设 A 是一个含有 个元素的集合, A 的 m 个子集 A 1, A 2,, A m 两两互不 m 1 包含. 试证 :(1) 1;(2) A 1 C m 1 C A m 个数, C A 表示 个不同元素取 A 个组合数. 2, 其中 A 表示 A 所含元素的 (1993 年第二试第 2 题 ) 12. 给定平面上的点集 P P, P, P 1 2, 1994, P 中任三点均不共线, 将 P 中的所有 的点任意分成 83 组, 使得每组至少有 3 个点, 且每个点恰好属于一组, 然后将 在同一组的任两点用一条线段相连接, 不在同一组的两点不连接线段, 这样得到 一个图案 G, 不同的分组方式得到不同的图案, 将图案 G 中所含的以 P 中的点为 顶点的三角形个数记为 m (G). (1) 求 m (G) 的最小值 m 0. 第 4 页

5 (2) 设 G 是使 m( G ) m0 的一个图案, 若 G 中的线段 ( 指以 P 的点为端点的线段 ) 用 4 种颜色染色, 每条线段恰好染一种颜色, 证明存在一个染色方案, 使 G 染色后不含以 P 点为顶点的三边颜色相同的三角形. (1994 年第二试第 4 题 ) 13. 将平面上的每一个点都以红, 蓝两色之一着色, 证明 : 存在这样两个相似的 三角形, 它们的相似比为 1995, 并且每一三角形的三个顶点同色. (1995 年第二试第 4 题 ) 14. 有 ( 6) 个人聚会, 已知 : (1) 每人至少同其中 个人相互认识 ; 2 (2) 对于其中任意 个人, 或者其中有 2 个人相识, 或者余下的人中有 2 2 个人相识. 证明 : 这 个人中必有 3 个人两两相识. (1996 年第二试第 4 题 ) 15. 在 的长方形表格中每一格填入一个非负实数, 第 行第 j 列中填入的 数为 ( 1,2,,100; j 1,2,,25) ( 表 1). 然后将表 1 每列中的数按由大到小, j 的次序从上到下重新排列为 ( j 1,2,,25)( 表 2). 求最小自 然数 k, 使得只要表 1 中填入的数满足 1, j 2, j 100, j 25 j1 则当 k 时, 在表 2 中就能保证 成立. 25 j1, j 1( 1,2,,100), j 1( 1,2,,100) 第 5 页

6 表 1 1,1 1, 2 1, 25 2,1 2, 2 2, ,1 100, 2 1,1 1, 2 100, 25 表 2 1, 25 2,1 2, 2 2, ,1 100, 2 100, 25 (1997 年第二试第 3 题 ) 16. 给定正整数, 已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为 1,2,3,, 克的所有物品. (1) 求 k 的最小值 f () ; (2) 当且仅当 取什么值时, 上述 f () 块砝码的组成方式是唯一确定的? 并证明你的结论. (1999 年第二试第 3 题 ) 17. 有 个人, 已知他们中的任意两个人至多通电话一次, 他们中的任意 2个 k 人之间通电话的总次数相等, 都是 3 次, 其中 k 是自然数, 求 的所有可能值. (2000 年第二试第 3 题 ) 18. 将边长为正整数 m, 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形, 每个正方 形的边均平行于矩形的相应边, 试求证些正方形边长之和的最小值. (2001 年第二试第 3 题 ) 第 6 页

7 19. 在世界杯足球赛前,F 国教练为了考察 A1, A2,, A7, 这七名队员, 准备让他们在三场训练比赛 ( 每场 90 分钟 ) 都上场. 假定在比赛的任何时刻, 这些队员中有且仅有一人在场上, 并且 A 1, A2, A3, A4 每人上场的总时间 ( 以分钟为单位 ) 均被 7 整除, A 5, A6, A7 每人上场的总时间 ( 以分钟为单位 ) 均被 13 整除. 如果每场换人次数不限, 那么按每名队员上场的总时间计算, 共有多少种不同的情况. (2002 年第二试第 3 题 ) 由 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间图形, 其中 q q 1, l 1 q( q 1) 2 1 2, q 2, q N. 已知任四点不共面, 每一点至少有一条连线段, 存在一点至少有 q 2 条连线段, 证明 : 必存在一个空间四边形 ( 即由四点 A, B, C, D 和四条连线断 AB, BC, CD, DA 组成的图形 ). (2003 年第二试第 3 题 ) 21. 对于整数 4, 求出最小的整数 f (), 使得对于任意正整数 m, 集合 m, m 1, m 2,, m 1 的任何一个 f () 元子集中, 均有至少 3 个两两互素的 元素. (2004 年第二试第 3 题 ) 22. 如图, 在 7 8的长方形棋盘的 2 个小方格的中心点各放 1 个棋子, 如果 2 个 棋子所在的小方格共边或共顶点, 那么则称这 2 个棋子相连. 现从这 56 个棋子中 取出一些, 使得棋盘上剩下的棋子, 没有 5 个在一条直线 ( 横 竖 斜方向 ) 上 依次相连. 问最少取得多少个棋子才可能满足要求? 并说明理由. (2007 年第二试第 2 题 ) 第 7 页

8 23. 在非负数构成的 3 9 数表 P 中每行的数互不相同, 前六列中每列的三个数之和为 1, , 27, 37, 18, 38, 19, 29 均大于 1, 如果 P 的前三列构成的数表 S 1 k 满足下列的性质 (O) : 对于数表 P 中任意一列 2k ( k 1,2,,9) 均存在某个 3k 1,2,3 使得 u m, k 1 2, 求证 :(1) 最小值 m, 1 2, u, 1,2, 3一定取自数表的不同列. 1k ( 2 ) 存在数表 P 中唯一的一列 ( k 1,2,3) 2k 3k S k 2k 3k 仍具有性质 (O)., 使得 3 3 数表 (2009 年第二试第 4 题 ) 第 8 页

9 24. 一种密码锁的密码设置是在正 边形 A, A, 1 2, A 的每个顶点处赋值 0 或 1 两个数中的一个, 同时在每个顶点处涂染红 蓝两种颜色之一, 使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同, 问 : 该种密码锁共有多少种不同的密码设置? (2010 年第二试第 4 题 ) 25. 设 A 是一个 3 9 的方格表, 在每一个小方格内各填一个正整数. 称 A 中的一个 m ( 1 m 3,1 9) 方格表为 好矩形, 若它的所有数的和为 10 的倍数. 称 A 中的一个 1 1的小方格为 坏格, 若它不包含于任何一个 好矩形. 求 中 坏格 个数的最大值. (2011 年第二试第 4 题 ) 26. 设 P 0, P1, P2,, P 是平面上 1个点, 它们两两间的距离的最小值为 d ( d 0), d 求证 : P0 P1 P0 P2 P0 P ( 1)!. 3 (2012 年第二试第 3 题 ) 27. 一次考试共有 m 道试题, 个学生参加, 其中 m, 2 为给定的整数, 每道题的得分规则是 : 若该题恰有 个学生没有答对, 则每个答对该题的学生得 分, 未答对的学生得零分, 每个学生的总分为其 m 道题的得分总和, 将所有学生总分从高到低排列为 p1 p2 p, 求 p 1 p 的最大可能值. (2013 年第二试第 3 题 ) 第 9 页

10 28. 设 S 1,2,3,,100, 求最大的整数 k, 使得 S 有 k 个互不相同的非空子集, 具 有性质 : 对这 k 个子集中任意两个不同子集, 若它们的交非空, 则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同. (2014 年第二试第 3 题 ) 29. 设 S A, A, 2, A ( 2), 其中 A, A, 1 2, A 为 个互不相同的有限集合, 满 1 足对任意 A, A S, 均有 A A S. 若 k m A 2( X 表示有限集合 X 的 j j 1 元素个数 ), 证明 : 存在 1 A, 使得 属于 A, A, 1 2, A 中的至少 个集合. k (2015 年第二试第 2 题 ) 30. 给定空间中 10 个点, 其中任意四点不在一个平面上, 将某些点之间用线段相连, 若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形, 试确定所连线段数目的最大值. (2016 年第二试第 3 题 ) 第 10 页

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