2011年南臺灣教育論壇

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1 2013 年 南 臺 灣 教 育 學 術 研 討 會 十 二 年 國 教 國 中 數 學 科 有 效 教 學 策 略 探 討 - 國 中 數 學 探 究 教 學 經 驗 分 享 研 究 者 : 高 雄 市 梓 官 國 中 林 雅 雯 高 應 大 電 子 工 程 系 江 柏 叡 副 教 授 蘭 陽 技 術 學 院 數 位 生 活 創 意 系 助 理 教 授 鍾 明 仁 發 表 日 期 :102 年 7 月 19 日

2 十 二 年 國 教 國 中 數 學 科 有 效 教 學 策 略 探 討 - 國 中 數 學 探 究 教 學 經 驗 分 享 摘 要 本 報 告 分 二 大 主 題 做 經 驗 分 享 :( 一 ) 分 享 作 者 的 教 學 研 究 ( 二 ) 兩 個 研 究 重 要 發 現 整 理 在 第 一 部 份, 作 者 在 研 究 中 發 展 出 一 套 融 入 RME 理 論 之 數 學 解 題 探 究 活 動 模 式 在 教 學 中, 教 師 必 須 設 計 探 究 取 向 的 任 務 採 用 探 究 取 向 的 引 導 而 這 樣 適 當 引 導 過 程, 及 成 功 引 發 促 進 與 維 持 學 生 學 習 與 討 論, 達 到 預 期 的 學 習 結 果 的 歷 程 相 信 正 是 十 二 年 國 教 有 效 教 學 的 一 種 教 學 策 略 第 二 部 份 是 作 者 在 教 學 活 動 中 的 兩 個 研 究 重 要 發 現 的 介 紹 :1. 學 生 小 組 討 論 的 重 要 因 素 - 教 材 2. 使 用 圖 形 表 徵 可 以 減 低 學 生 的 認 知 負 荷, 有 助 解 題 關 鍵 字 :RME 真 實 情 境 探 究 教 學 教 材 編 撰 經 驗 分 享 英 文 摘 要 The report consists of two major theme of Experience: (A) the sharing of teaching and research. (B) two important discoveries are finishing. In the first part, the author in the study developed a set of integration into the the RME theory of mathematical problem-solving mode of inquiry activities. The second part of the key findings of two studies in teaching activities. KEYWORD:action research, inquiry teaching, PCDC, RME, student s mathematics belief

3 十 二 年 國 教 國 中 數 學 科 有 效 教 學 策 略 探 討 - 前 言 國 中 數 學 探 究 教 學 經 驗 分 享 十 二 年 國 教 是 當 前 政 府 準 備 推 動 的 教 育 政 策 立 基 於 九 年 國 民 教 育, 提 升 中 小 學 教 師 教 學 品 質, 是 十 二 年 國 民 基 本 教 育 實 施 計 畫 中, 在 課 程 與 教 學 層 面, 有 關 維 護 與 提 升 學 習 品 質 的 重 要 工 作 因 此, 過 去 教 學 以 講 述 法 為 主 的 教 師 必 須 加 以 改 進, 才 能 有 助 學 生 的 數 學 學 習, 然 而 以 學 生 為 主 體 的 教 學, 考 驗 著 教 師 教 學 的 專 業 知 能, 精 通 教 材 內 容, 尚 不 足 以 保 證 成 為 稱 職 的 優 良 教 師, 教 師 還 要 懂 得 構 思 一 個 能 將 課 程 意 義 化 的 方 法 傳 達 給 學 生, 善 用 教 學 策 略 幫 助 學 生 結 合 生 活 情 境 與 舊 經 驗, 教 導 學 生 進 行 思 考 : 看 清 情 況 確 認 問 題 和 探 究 所 有 可 能 的 解 答 建 構 論 強 調 知 識 是 由 認 知 主 體 主 動 建 構 而 成, 而 非 被 動 接 受 而 來, 具 體 而 言, 學 生 是 主 動 或 積 極 地 投 入 學 習 活 動, 學 習 常 以 問 題 為 始, 尋 求 答 案 為 終, 學 習 過 程 由 學 生 自 己 主 導, 結 合 新 舊 經 驗 與 知 識, 強 調 思 考 與 創 作, 在 這 種 學 習 方 式 下, 學 生 是 學 習 的 主 角, 而 不 是 被 動 的 配 角 在 教 室 靜 坐 的 聽 眾 或 觀 眾 探 究 是 人 類 學 習 的 基 本 方 式 (Suchman,1966) 數 學 的 學 習 應 該 是 一 個 由 學 生 自 主 產 生 的 探 究 活 動, 不 應 是 由 教 師 傳 輸 知 識 的 模 仿 活 動 數 學 的 教 學 主 要 是 在 教 學 情 境 中, 以 教 學 方 法 引 發 學 生 對 問 題 的 好 奇, 並 進 一 步 引 導 學 生 加 以 探 究 從 情 境 中 去 發 現 從 討 論 中 去 質 疑 分 析 反 思 重 新 發 明 數 學 知 識 並 重 新 建 構 數 學 知 識 而 探 究 教 學 的 中 心 策 略 便 是 從 學 生 生 活 經 驗 產 生 的 真 實 性 問 題 來 進 行 探 究 活 動 而 現 實 數 學 教 育 (RME) 的 理 論 認 為 數 學 學 習 途 徑 是 循 序 漸 進 的 形 式 化 過 程 真 實 情 境 的 問 題 扮 演 著 學 生 可 以 從 非 正 式 和 正 式 的 策 略 之 間 來 回 思 考 的 橋 樑 當 學 生 在 數 學 的 抽 象 世 界 中 遇 到 困 難 時, 可 以 回 想 到 真 實 情 境 中 有 所 憑 藉 藉 由 逐 步 去 脈 絡 化 之 後, 學 生 能 夠 逐 漸 脫 離 情 境, 使 用 形 式 化 的 數 學 來 解 題 由 以 上 的 探 討 可 知,RME 的 教 學 理 念 與 探 究 教 學 理 念 很 相 近, 融 合 起 來 應 該 很 流 暢 老 師 教 學 改 變 有 效 的 方 法 就 是 採 取 教 育 行 動 研 究 法, 行 動 研 究 的 目 的 在 於 改 善 學 校 情 境 中 教 師 教 學 與 學 生 學 習 的 品 質, 支 持 教 師 能 有 效 地 因 應 實 務 工 作 中 的 挑 戰, 並 以 反 思 (reflective) 的 方 式 來 創 新 改 革 困 境 ( 夏 林 清, 民 86) 因 此 本 研 究 者

4 擬 以 行 動 研 究 的 方 式, 從 反 省 自 己 的 教 學 實 務, 以 及 和 學 生 的 直 接 互 動 當 中 形 成 知 識 因 此, 研 究 者 的 研 究 目 的 在 尋 找 國 中 數 學 課 室 中 如 何 實 施 融 入 RME 理 論 之 探 究 教 學? 進 行 探 究 教 學 於 國 中 數 學 課 室 中, 可 能 遭 遇 什 麼 困 難? 如 何 克 服 及 解 決 困 難 的 方 式 為 何? 這 樣 融 合 的 教 學 效 果 如 何? 將 是 研 究 者 所 要 探 討 的 問 題 文 獻 探 討 ( 一 ) 探 究 教 學 的 探 討 Haury (1993) 認 為, 探 究 是 讓 人 類 能 合 理 的 解 釋 他 們 好 奇 的 現 象 探 究 起 因 於 人 類 的 好 奇 心, 即 生 活 中 的 種 種 問 號 而 探 究 法 主 要 是 旨 在 教 學 情 境 中, 教 師 以 教 學 方 法 引 發 學 生 對 問 題 的 好 奇, 並 進 一 步 引 導 學 生 加 以 探 究 和 發 現 事 物 的 真 相 及 原 理 原 則 之 教 學 方 式 其 較 具 代 表 性 之 理 論 依 據 有 ( 引 自 張 世 忠,1999): A. 蘇 格 拉 底 的 詰 問, 蘇 格 拉 底 與 學 生 問 答 的 情 境 中, 蘇 格 拉 底 並 不 主 動 告 訴 學 生 答 案, 而 是 不 斷 得 問 學 生 問 題, 要 學 生 自 行 去 探 究 問 題 發 現 答 案, 蘇 氏 極 重 視 學 生 的 思 考 過 程 B. 布 魯 納 的 發 現, 其 基 本 觀 點 為 若 要 使 學 生 成 為 一 個 探 究 者 或 發 現 者, 便 需 要 給 予 學 生 機 會 去 探 究 及 發 現 探 究 教 學 是 引 導 學 生 發 現 及 解 決 問 題 的 教 學 方 法, 是 以 問 題 為 起 點 來 進 行, 因 此 問 題 的 引 發 對 於 探 究 教 學 而 言 是 重 要 的 第 一 步, 其 中 最 重 要 的 就 是 學 生 的 實 際 參 與, 經 由 解 決 問 題 的 過 程, 從 中 學 得 知 識 和 方 法 ( 二 ) 現 實 數 學 教 育 現 實 數 學 教 育 (RME) 是 依 據 Freudenthal (1973) 的 數 學 教 育 哲 學 理 念 所 發 展 出 的 一 門 有 關 數 學 教 與 學 的 理 論 目 前 已 經 被 許 多 國 家 採 用, 如 : 英 國 德 國 丹 麥 西 班 牙 葡 萄 牙 南 非 巴 西 美 國 日 本 和 馬 來 西 亞 等 等 (De Lange, 1996) 最 主 要 的 理 念 是 數 學 必 須 和 真 實 情 境 聯 結 數 學 是 人 的 活 動, 即 數 學 教 育 是 一 個 引 導 重 新 發 明 的 過 程, 學 生 能 夠 去 經 驗 一 個 數 學 概 念 被 發 明 的 相 似 過 程, 學 生 利 用 他 們 類 似 的 經 驗 來 處 理 數 學 問 題, 進 而 再 發 明 數 學, 這 樣 的 過 程 對 學 生 學 習 數 學 才 有 意 義 根 據 Freudenthal(1971) 的 觀 點, 數 學 活 動 是 一 個 解 決 問 題 的 活 動, 從 真 實 的 情 境 中 去 找 出 問 題 組 織 問 題, 而 最 主 要 的 活 動 就 是 數 學 化, 它 同 時 包 含 了

5 真 實 情 境 的 數 學 化 和 數 學 知 識 的 數 學 化 A. 水 平 數 學 化 (Treffers, 1991) 學 生 能 利 用 數 學 工 具 幫 助 他 們 去 組 織 和 解 決 真 實 生 活 的 問 題 例 如 : 將 數 學 概 念 用 在 一 般 的 情 境 脈 絡 中 或 將 真 實 世 界 的 問 題 轉 化 成 數 學 問 題 來 討 論 B. 垂 直 數 學 化 (Treffers, 1991) 在 數 學 系 統 本 身, 知 識 重 新 組 織 的 過 程 例 如 : 利 用 公 式 去 描 述 關 係 證 明 規 則 調 整 模 式 使 其 精 緻 化 利 用 公 式 表 示 一 個 數 學 模 式, 並 使 其 一 般 化 等 等 在 如 此 的 學 習 過 程 之 下, 形 式 化 的 數 學 知 識 能 夠 被 重 新 建 構 (Gravemeijer, 1994), 重 新 發 明 的 模 式 及 數 學 化 的 關 係 如 圖 1 而 這 樣 的 數 學 化 過 程 對 照 於 RME 理 論 的 重 要 原 則 自 我 發 展 模 式 ( 如 圖 2), 意 涵 更 形 清 晰 學 生 從 問 題 情 境, 到 依 賴 情 境 解 決 問 題, 到 用 數 學 語 言 做 數 學 推 理, 到 形 式 化 數 學 知 識 的 形 成, 由 下 而 上 逐 步 建 構 數 學 知 識, 重 新 發 明 數 學, 並 且 學 生 能 夠 從 情 境 的 模 式 過 渡 到 數 學 推 理 的 模 式, 就 是 具 備 了 數 學 化 的 能 力 圖 1 重 新 發 明 的 模 式 及 數 學 化 圖 2 自 我 發 展 模 式 ( 三 ) 學 生 數 學 信 念 的 研 究 信 念 是 一 種 對 事 物 相 信 深 信 認 定 為 真 的 心 理 傾 向 ( 高 強 華, 民 82), 會 引 導 人 類 的 行 為 和 思 考 (Brown & Cooney,1982; Harvey,1970,1986) 學 生 信 念 是 指 學 生 依 據 其 本 身 具 有 的 知 識 觀 邏 輯 觀 經 驗 觀 社 會 觀 或 情 緒 等, 形 成 對 其

6 學 習 學 科 等 相 關 問 題 的 看 法 研 究 者 依 據 數 學 信 念 研 究 的 類 型 對 數 學 本 質, 如 何 學 及 本 科 目 如 何 教 的 信 念 等 三 類 進 行 探 討 :A. 數 學 本 質 信 念 : 有 許 多 學 者 提 出 各 種 不 同 的 數 學 觀, 莊 淑 琴 (1998) 分 析 了 各 學 者 對 數 學 本 質 的 看 法, 而 分 成 動 態 觀 與 靜 態 觀 兩 種, 持 動 態 觀 者 認 為 數 學 知 識 不 一 定 是 不 變 的 而 持 靜 態 觀 者 認 為 數 學 是 真 理 的 象 徵 靜 態 不 變 的 產 物 B. 數 學 教 學 信 念, 分 為 建 構 教 學 觀 與 傳 統 教 學 觀, 持 建 構 教 學 觀 者 認 為 教 師 和 學 生 同 為 探 索 者, 數 學 教 學 是 讓 學 生 透 過 探 索 的 活 動 來 發 現 數 學 概 念 而 持 傳 統 教 學 觀 者 則 認 為 教 師 教 學 就 是 講 述 舉 例, 讓 學 生 反 覆 的 背 誦 和 多 方 面 的 練 習, 教 師 是 知 識 的 傳 授 者, 透 過 模 仿 和 講 述 的 過 程 就 能 讓 學 生 學 好 數 學 C. 數 學 學 習 信 念, 分 為 建 構 學 習 觀 與 傳 統 學 習 觀, 傳 統 的 數 學 教 學 方 式 所 培 養 出 來 的 學 習 觀, 強 調 知 識 是 由 教 師 所 傳 授 的, 學 生 必 須 記 住 教 師 所 示 範 的 解 題 方 法, 然 後 按 照 教 師 的 方 法 去 解 類 似 的 題 目, 學 習 者 只 是 扮 演 一 個 被 動 者, 所 學 到 的 也 只 是 依 堆 無 意 義 的 公 式 而 不 是 對 數 學 概 念 的 理 解 然 而, 依 建 構 主 義 的 觀 點 來 看, 知 識 是 由 學 習 者 自 己 建 構 的 因 為 信 念 的 內 涵 是 多 層 面 的, 從 歷 年 來 的 研 究 中, 可 以 發 現 評 量 信 念 的 方 法 有 觀 察 法 晤 談 學 生 日 誌 李 克 特 量 表 和 開 放 式 問 卷 等 方 法 研 究 工 具 資 料 蒐 集 與 流 程 ( 一 ) 研 究 工 具 數 學 信 念 問 卷 : 前 測 實 施 新 生 入 學 問 卷, 除 學 生 基 本 資 料 外, 還 包 含 你 最 喜 歡 的 科 目 你 最 討 厭 的 科 目 你 以 前 的 數 學 老 師 的 上 課 方 式 你 對 數 學 課 的 感 覺 你 理 想 中 的 數 學 課, 應 該 是 如 何 上 課 你 理 想 中 的 數 學 老 師, 應 該 是 如 何 你 認 為 為 什 麼 要 學 數 學 你 對 自 己 未 來 在 數 學 課 的 期 許 等 後 測 實 施 學 生 數 學 信 念 開 放 式 問 卷, 利 用 圖 示 來 呈 現 學 生 的 感 覺, 題 項 包 含 :1. 數 學 是 什 麼?( 像 什 麼 動 物?) 為 什 麼?< 可 用 畫 圖 的 >2. 數 學 課 應 該 要 教 什 麼? 老 師 應 該 如 何 教 數 學?3. 數 學 應 該 要 怎 麼 學? 學 生 要 如 何 學 習? 學 習 氣 氛 量 表 引 自 葉 倩 亨 於 民 國 88 年 在 建 構 取 向 教 學 在 國 中 一 年 級 數 學 課 之 實 驗 研 究 中 所 使 用 之 量 表, 其 中 包 含 教 師 支 持 (1-10 題 ) 同 儕 支 持 (11-20 題 ) 滿 意 程 度 (21-30 題 ) 與 內 聚 力 (31-40 題 ) 等 四 個 向 度 共 40 題 在 實 施 探 究 教 學 之 前 進 行

7 前 測, 待 實 施 教 學 具 有 一 定 的 成 熟 度 時 再 進 行 後 測, 並 以 T- 檢 定 進 行 分 析, 考 驗 是 否 達 到 顯 著 差 異 水 準 ( 二 ) 資 料 蒐 集 包 含 每 節 數 學 課 進 行 錄 影 資 料 學 生 數 學 學 習 週 記 學 生 非 正 式 晤 談 的 資 料 與 本 研 究 者 每 一 節 課 後 撰 寫 該 節 的 教 學 日 誌, 內 容 包 含 該 節 的 教 學 流 程 所 面 臨 的 問 題 與 暫 時 性 的 解 決 方 法 令 本 研 究 者 滿 意 的 教 學 片 段 學 生 發 表 的 意 見 及 反 應, 並 觀 察 學 生 數 學 信 念 和 行 為 的 改 變 並 於 網 路 論 壇 中 公 開 教 學 日 誌 與 討 論 ; 並 接 受 同 儕 與 專 家 的 分 析 與 指 導 ( 三 ) 研 究 流 程 本 研 究 流 程 主 要 分 三 個 階 段 : 第 一 階 段 為 嘗 試 改 變 期 (8 月 中 到 9 月 底 ) 屬 於 第 一 階 段 為 嘗 試 改 變 期, 研 究 者 將 自 己 原 先 老 師 講 學 生 聽 的 教 學 模 式 改 為 以 學 生 為 中 心 的 探 究 教 學 模 式, 此 即 本 研 究 的 開 始 研 究 者 在 教 學 後 針 對 任 教 班 級 學 生 的 學 習 心 得 及 上 課 記 錄 作 分 析, 並 且 從 收 集 之 資 料 中 獲 得 的 經 驗, 做 為 第 二 階 段 實 行 之 參 考 第 二 階 段 為 修 正 期 (9 月 底 到 11 月 中 ), 參 考 第 一 階 段 收 集 的 資 料, 並 且 持 續 文 獻 探 討 和 參 與 國 科 會 計 劃, 與 教 授 和 同 儕 進 行 密 切 的 互 動, 針 對 實 行 教 學 時 比 較 有 問 題 的 地 方 進 行 改 進 與 修 正 第 三 階 段 為 去 蕪 存 菁 期 (11 月 中 到 隔 年 3 月 中 ), 利 用 前 兩 階 段 較 好 的 方 式, 再 持 續 探 索 教 學 之 成 效 歷 經 三 次 教 學 改 變 之 後, 研 究 者 把 各 次 教 學 改 變 共 同 經 歷 的 具 體 步 驟 整 理 出 來, 發 現 逐 漸 浮 現 一 些 可 行 的 數 學 探 究 教 學 具 體 步 驟, 來 發 展 模 式 結 果 與 討 論 ( 一 ) 在 國 中 數 學 課 實 施 探 究 教 學 活 動, 可 能 遭 遇 的 問 題 與 解 決 的 方 式? 在 新 教 學 法 實 施 的 初 期, 無 論 老 師 或 學 生 都 嘗 試 適 應 此 種 新 的 教 學 法, 許 多 在 傳 統 教 學 情 境 中 不 常 見 到 的 現 象 會 發 生, 因 此, 可 能 遭 遇 的 困 難 則 隨 研 究 情 境 的 變 化 產 生, 解 決 問 題 的 方 式 則 隨 困 難 之 性 質 來 進 行 A. 在 選 擇 或 設 計 教 材 方 面 : 問 題 教 材 不 符 合 學 生 合 作 討 論 的 需 求 研 究 發 現 傳 統 形 式 的 教 材 不 符 合 學 生 合 作 討 論 的 需 要, 原 因 分 析 有 三 點 : 第 一,

8 附 解 答 的 編 排 方 式, 讓 學 生 覺 得 再 討 論 已 經 有 答 案 的 東 西 是 浪 費 時 間 ; 再 者, 制 式 的 問 題 沒 有 新 意, 引 不 起 學 生 討 論 的 興 趣 ; 第 三, 沒 有 情 境 或 是 少 有 情 境 的 內 容, 只 是 針 對 形 式 化 的 數 學 問 題 做 討 論, 使 得 學 生 覺 得 很 抽 象, 更 引 不 起 討 論 的 動 機 解 決 方 式 教 師 在 選 擇 或 設 計 教 材 任 務 時, 可 掌 握 下 列 原 則 : 1. 教 材 不 附 解 答 ; 2. 增 加 開 放 性 或 非 制 式 的 問 題 ; 3. 利 用 好 的 情 境 問 題 : 如 利 用 真 實 的 問 題 來 吸 引 學 生, 或 足 以 激 發 學 生 認 知 衝 突 的 問 題 ; 4. 善 用 比 喻 : 如 用 生 活 當 中 的 例 子 來 做 比 喻 ; 或 利 用 圖 形 數 學 式 子 或 符 號 來 具 體 表 徵 ; 5. 善 用 小 階 梯 使 學 生 更 容 易 學 習 B. 在 引 導 方 面 : 問 題 教 師 該 在 何 時 提 問 才 不 會 阻 礙 學 生 自 我 探 索 的 機 會 解 決 方 式 研 究 者 在 參 考 文 獻 與 指 導 教 授 請 教, 及 實 際 教 學 後, 歸 納 教 師 發 問 的 原 則 及 提 問 的 技 巧 有 : 1. 事 先 擬 定 問 題, 問 題 內 容 應 層 次 適 切 且 清 晰 ; 2. 混 用 不 同 思 考 層 次 的 問 題, 刺 激 學 生 多 方 面 思 考 ; 3. 運 用 NCTM 教 師 問 話 技 巧 協 助 學 生 學 習 數 學 思 考 :A. 幫 助 學 生 學 習 數 學 推 理 問 話, 例 如 使 用 你 能 想 個 反 例 嗎? 你 如 何 證 明 它? ;B. 幫 助 學 生 學 習 猜 測 發 明 和 解 題 問 話, 例 如 如 果..., 會 怎 麼 樣? 如 果 不 是 又 會 怎 麼 樣? 哪 裡 有 問 題? 可 能 問 題 在 哪 裡? 如 何 改 進? ; 幫 助 學 生 運 用 質 疑 來 學 習 的 問 話 舉 例 : 你 同 意? 還 是 不 同 意? 有 沒 有 人 答 案 相 同 但 是 解 釋 方 法 不 同 的? 你 了 解 他 們 在 說 什 麼 嗎? 你 能 說 服 我 們 那 是 很 有 道 理 的 嗎? ; 4. 任 何 問 題 都 盡 量 利 用 學 生 的 好 奇 心 和 好 勝 心 來 吸 引 學 生 ( 二 ) 探 究 教 學 的 成 效 A. 輕 鬆 應 付 學 校 考 試 研 究 對 象 在 入 學 分 班 時 是 屬 於 普 通 班 但 學 業 成 就 後 段 的 班 級, 在 歷 經 三 次 教 學

9 改 變 及 師 生 適 應 後, 該 班 有 較 明 顯 的 進 步, 排 名 到 了 全 年 級 中 間 ( 如 表 1) 表 1 學 生 第 一 次 段 考 數 學 競 試 與 第 二 次 段 考 成 績 比 較 由 表 1 可 看 出, 研 究 對 象 在 入 學 分 班 時 是 屬 於 普 通 班 但 學 業 成 就 後 段 的 班 級, 在 本 研 究 者 進 行 分 組 討 論 的 教 學 之 後, 從 第 一 次 段 考 成 績 可 以 看 出, 本 研 究 者 任 教 的 班 級 108 班 在 數 學 成 績 上 和 其 他 各 班 的 平 均 相 差 較 多, 和 第 一 名 班 級 有 12 分 的 差 距, 且 從 排 名 來 看 亦 屬 於 後 段 ; 在 期 中 數 學 競 試 中, 排 名 有 些 許 進 步, 但 仍 和 第 一 名 班 級 差 距 甚 大 ; 然 而 在 第 二 次 段 考 有 了 一 些 較 明 顯 的 進 步, 和 第 一 名 的 班 級 差 距 縮 小, 排 名 也 到 了 全 年 級 中 間 B. 學 生 學 習 態 度 的 改 變 1. 個 別 學 生 的 表 現 (1) 低 態 度 低 成 就 組 學 生 的 改 變 看 到 S33 很 有 自 信 的 出 來 用 畫 圖 的 解 題, 雖 然 說 不 清 楚, 但 是 他 能 接 受 用 圖 示 的 學 習 方 法 因 為 他 今 天 的 自 信, 他 很 主 動 的 上 台 很 多 次, 不 像 以 往 自 認 為 數 學 很 爛 的 S33 ( 日 誌 1221) 下 課 後, 研 究 者 發 現 一 個 現 象 :S26 和 S24 在 黑 板 上 自 己 在 摸 索 剛 剛 上 課 的 題 目, 他 們 的 對 話 正 在 辯 論 上 課 中 他 們 未 解 決 的 部 份, 沒 想 到 他 們 還 自 己 討 論 起 來 未 學 習 的 部 份 從 這 裡 發 現 一 些 從 小 就 對 數 學 沒 自 信 的 學 生, 透 探 究 學 習 學 習 去 觀 察 猜 測 實 驗 並 求 證 雖 然 不 全 然 透 露 探 究 的 全 貌, 但 是 他 們 開 始

10 對 自 己 的 學 習 產 生 信 心!( 日 誌 1210) (2)S33 的 改 變 帶 動 全 班 同 學 的 學 習 態 度 同 學 經 過 一 番 的 掙 扎 思 考, 班 上 發 現 了 這 樣 的 規 則 : 大 的 減 小 的 時 候... 去 掉 絶 對 值 不 用 顛 倒 位 置 當 小 的 減 大 的 時 候.. 就 要 顛 倒 位 置 班 上 同 學 很 興 奮, 尤 其 看 到 S33 的 表 情, 發 現 S33 開 始 很 有 自 信 的 在 解 絶 對 值!S34 和 平 常 都 不 配 合 的 S1, 因 為 S33 會 做, 他 們 也 不 服 氣 的 要 試 試 看 只 有 S2 說 他 要 再 看 一 次 就 會 了! 後 來 S2 看 到 大 家 陸 續 都 很 認 真 的 開 始 思 考 解 題, 他 也 加 入 了 今 天 的 討 論 因 為 S33 的 突 然 開 悟, 讓 全 班 驚 訝, 我 順 勢 鼓 勵 他, 也 鼓 勵 了 一 些 常 常 自 我 放 棄 的 同 學 ( 日 誌 1102)S26 沒 有 再 哇 哇 叫 了, 很 自 信 且 認 真 的 看 題 目, 並 且 思 考 問 題, 他 在 六 神 無 主 的 時 間 變 少 了, 變 得 比 較 積 極 了 看 到 本 班 同 學 的 優 點 : 不 會 責 怪 同 學 不 會 覺 得 在 浪 費 時 間 他 們 願 意 從 失 敗 中 學 習 他 們 願 意 分 享 這 跟 剛 開 始 有 非 常 不 一 樣 的 表 現 和 態 度 ( 日 誌 1214) 2. 高 成 就 組 學 生 的 改 變 (1) 高 成 就 學 生 不 覺 得 無 聊 反 而 更 投 入 學 生 私 下 與 我 閒 聊 S6: 老 師 你 的 教 材 都 有 故 事 的 ㄟ... 不 會 覺 得 無 聊 T: 恩... S6: 這 樣 比 較 有 意 義... S9: 對 啊... S6: 老 師 S15 的 想 法 很 死 ㄟ... 明 明 可 以 有 好 多 種 解 法... S14: 恩... 可 能 補 習 班 教 的 吧... S6: 老 師 我 們 這 樣 解 法 好 像 比 較 清 楚 ㄟ...( 利 用 教 材 相 消 的 觀 念 ) S9: 恩.. 用 畫 圖 的..ㄧ 下 子 就 想 通 了 S6: 老 師 考 試 的 時 候 一 定 要 用 補 習 班 那 一 套 嗎? T: 當 然 不 用 啊... 只 要 你 的 想 法 合 乎 道 理... 沒 有 人 可 以 說 這 樣 是 錯 的... S9: 那 幾 個 補 習 班 的 同 學.. 只 是 用 背 的... 我 們 用 這 樣 的 思 考 很 清 楚... 而 且 也 正 確 ㄟ... ( 日 誌 1221)

11 (2) 願 意 分 享 他 的 想 法 和 做 法 今 天 仍 有 人 在 下 課 時 在 討 論 數 學 問 題 S22: 我 的 想 法 不 知 道 正 不 正 確.. 他 提 供 給 同 學 他 的 算 式... S22 跟 其 他 同 學 分 享 他 的 想 法 和 做 法... S14 又 有 不 同 的 算 法 出 現 他 很 高 興 的 號 招 了 一 些 同 學... 他 們 在 下 課 中 討 論 這 一 題... 我 看 到 同 學 為 了 解 出 和 其 他 人 不 同 的 解 法... 想 了 很 多 的 創 新 論 點 當 然 也 看 到 同 學 的 投 入 與 用 心... 我 希 望 學 生 真 的 是 可 以 自 己 發 現 數 學 發 明 數 學 的 也 許 花 得 比 別 人 更 多 一 倍 的 時 間... 在 思 考 上 ( 非 計 算 上 ) 那 才 真 正 值 得.. 不 是 嗎????? ( 日 誌 0104) (3) 思 考 開 放 題 讓 S17 心 理 不 安, 認 為 要 更 用 心 討 論 S17 發 現 同 組 同 學 越 來 越 厲 害, 而 他 有 時 無 法 馬 上 思 考 出 解 題 方 式, 覺 得 壓 力 很 大, 思 考 開 放 題 讓 S17 心 理 不 安, 而 同 學 精 彩 的 表 現 讓 他 壓 力 很 大 S17: 老 師 你 都 不 直 接 告 訴 我 們 怎 麼 算... T: 恩... 你 覺 得 老 師 為 什 麼 要 這 樣? S17: 有 經 過 頭 腦 思 考 過.. 才 會 記 得 住... ( 日 誌 0103) 她 反 應 自 己 不 太 會 思 考, 常 常 自 己 解 不 出 答 案, 而 每 次 在 小 組 或 全 班 討 論 時, 她 發 現 自 己 思 考 不 出 來, 而 同 學 卻 好 像 有 想 法, 自 覺 壓 力 很 大, 因 為 他 從 小 習 慣 有 正 確 答 案, 正 確 的 解 題 方 式 和 順 序, 同 學 可 以 創 造 出 算 式, 但 自 己 好 像 一 片 空 白, 但 又 擔 心 成 績 會 掉 下 去, 怕 同 學 越 來 越 厲 害, 所 以 要 更 用 心 上 課 和 討 論 才 行, 且 任 何 想 法 都 要 提 供 出 來 才 好..( 日 誌 1227) 2. 全 班 的 表 現 (1) 師 生 關 係 非 常 溫 馨 下 課 後... 很 多 同 學 主 動 分 別 幫 忙 教 具 和 教 材 的 回 收...

12 S22: 老 師 你 會 教 我 們 三 年 吧...? S15: 師 你 不 要 調 走 喔... S4: 老 師.. 我 們 很 喜 歡 你 的 教 學 方 式.. T: 老 師 盡 量 說 服 男 友 啦.. 要 他 來 台 中 找 工 作 囉... S4: 老 師 ㄧ 定 啦... 要 他 來 台 中.. 你 不 要 走 啦... T: 盡 量 啦... 我 感 覺 到 學 生 已 經 慢 慢 投 入 我 這 樣 的 教 學 法 了...( 日 誌 1130) 時 間 已 經 悄 悄 下 課 了... 倒 是 我 和 同 學 們 都 不 知 道 了.. 一 群 同 學 大 約 十 幾 位 留 在 我 的 附 近 一 起 討 論 數 學... 一 直 到 上 課 鐘 聲 響 了... S3: 老 師.. 你 留 這 麼 晚.. 不 就 很 累.. 來 不 及 去 下 個 班 了 嗎?? T: 老 師 只 好 用 跑 的 囉.. 還 要 回 去 辦 公 室 拿 資 料 再 趕 去 上 課 呢... 我 看 到 很 多 同 學 同 情 的 表 情... 很 溫 暖...( 日 誌 1202) (2) 學 生 的 挫 折 容 忍 力 變 大 請 學 生 自 己 先 看 課 本 3-1 等 量 公 理 的 例 題, 他 們 已 經 很 願 意 去 挑 戰 嘗 試 比 較 不 害 怕 應 用 題 了 ( 由 學 生 的 表 現 態 度 看 來 ) 願 意 自 行 先 閱 讀 並 探 究 內 容 願 意 去 猜 測, 且 閱 讀 能 力 好 像 比 較 好, 文 句 中 有 陷 阱 學 生 也 自 行 判 斷 出 來, 但 也 有 些 同 學 自 動 開 始 討 論 起 來, 後 來 我 將 數 字 變 複 雜 跟 正 負 數 結 合 在 一 起, 學 生 很 願 意 去 挑 戰 嘗 試, 挫 折 容 忍 力 變 大 了, 尤 其 觀 察 S26 S33 不 再 只 會 在 班 上 一 直 大 叫 老 師 我 不 會 老 師 好 難 喔 老 師 我 看 不 懂, 他 們 願 意 去 試 試 看 ( 日 誌 1209) 探 究 學 習 提 升 低 成 就 組 學 生 的 信 心, 增 加 學 生 的 成 就 感, 帶 動 全 班 同 學 的 學 習 態 度 高 成 就 學 生 不 覺 得 無 聊 反 而 更 投 入 因 為 沒 有 傳 統 教 室 的 高 壓 管 理, 師 生 關 係 非 常 溫 馨 C. 學 習 氣 氛 的 改 變 研 究 者 分 別 於 學 生 入 學 前 及 學 期 末 進 行 學 習 氣 氛 的 前 後 測, 發 現 學 生 在 所 討 論 的 四 個 層 面 : 教 師 支 持 同 儕 支 持 滿 意 程 度 內 聚 力 上 均 呈 現 正 成 長, 表 示 班 級 氣 氛 皆 呈 現 正 向 的 改 變 再 利 用 統 計 分 析 ( 表 2), 結 果 發 現 研 究 班 級 在 接 受 教 學 前 後 班 級 氣 氛 呈 現 5% 顯 著 差 異, 亦 即 表 示 本 行 動 研 究 所 採 用 的 教 學 方 式 呈 現 出 良

13 好 的 氣 氛 表 2 學 習 氣 氛 分 析 成 對 樣 本 T 檢 定 表 D. 對 數 學 信 念 的 改 變 由 問 卷 分 析 ( 表 3) 歸 納 結 果 看 來, 學 生 對 於 數 學 教 學 的 信 念, 從 原 來 只 有 26.5% 持 動 態 觀, 到 後 來 高 達 79.4% 的 學 生 持 動 態 教 學 的 看 法, 也 就 是 說 有 絕 大 多 數 的 學 生 從 靜 態 教 學 觀 轉 向 動 態 教 學 觀 ; 而 關 於 數 學 學 習 觀 也 從 原 先 只 有 2.9 % 的 學 生 認 同 動 態 學 習, 到 後 來 增 加 到 52.9% 的 學 生 持 動 態 學 習 觀 點 由 此 可 看 出, 學 生 在 教 學 前 後, 對 於 數 學 所 呈 現 的 信 念 皆 有 明 顯 的 改 變, 由 原 先 抱 持 靜 態 教 學 觀 靜 態 學 習 觀, 經 過 一 學 期 多 的 教 學 改 變, 轉 向 抱 持 動 態 教 學 觀 與 動 態 學 習 觀 表 3 學 生 數 學 信 念 前 後 測 比 較 表 但 是 從 分 析 結 果 也 看 出 仍 有 滿 多 持 有 動 態 教 學 觀 的 學 生 卻 抱 持 著 靜 態 學 習 觀, 這 是 為 什 麼 呢? 研 究 者 目 前 的 推 論 是, 第 一 因 為 學 生 的 學 習 經 驗 和 信 念 已 經 在 國

14 小 建 立 許 久, 才 進 行 一 學 期 的 探 究 教 學, 學 生 也 許 能 認 可 教 學 的 理 念, 但 因 所 把 持 的 數 學 本 質 信 念, 仍 固 守 在 靜 態 的 數 學 知 識, 因 此 仍 覺 得 數 學 學 習 應 該 要 用 練 習 計 算 來 完 成 ; 再 者, 學 校 的 考 試 影 響 學 生 的 學 習 方 式, 考 試 內 容 以 計 算 公 式 和 熟 練 為 主, 故 學 生 仍 覺 得 熟 練 計 算 才 是 學 習 的 主 流 ; 第 三 家 長 與 學 校 其 它 老 師 仍 會 告 知 和 期 望 他 們 要 多 練 習 習 題 熟 練 計 算 速 度 等, 這 些 都 仍 影 響 著 學 生 學 習 的 信 念 由 目 前 可 知, 學 生 的 數 學 信 念 不 僅 受 老 師 的 教 學 影 響, 週 遭 環 境 人 事 物 都 會 影 響 其 對 數 學 的 觀 點 與 學 習 的 方 式 ( 二 ) 教 學 活 動 發 現 分 享 - 作 者 的 兩 個 研 究 重 要 發 現 1. 一 個 影 響 學 生 小 組 討 論 的 重 要 因 素 研 究 假 設 老 師 所 用 的 討 論 單, 可 能 是 影 響 學 生 小 組 討 論 及 探 究 學 習 的 重 要 因 素 背 景 說 明 這 個 班 級 是 作 者 新 接 的 班 級, 他 們 是 全 二 年 級 最 活 潑 最 吵 的 一 個 班, 本 班 可 以 說 是 二 年 級 的 牛 頭 班, 各 科 老 師 以 換 過 無 數 個, 全 班 有 37 人, 就 半 學 期 的 觀 察 和 與 導 師 的 溝 通 後, 發 現 真 正 願 意 認 真 上 課 的 人 只 有 10 人, 其 餘 都 是 陪 讀 的 ( 被 強 迫 陪 伴 在 旁 邊 的 人 ) 雖 然 讓 作 者 接 過 來 帶 後, 上 課 態 度 有 好 一 些, 但 是 仍 有 約 十 多 人 對 數 學 採 取 完 全 放 棄 的 態 度, 他 們 的 學 習 成 就 與 意 願 相 當 低 落, 在 上 課 中 常 常 不 自 覺 地 分 心 講 話 甚 至 睡 覺 而 老 師 的 教 學 方 法 一 直 都 是 傳 統 教 學, 老 師 說 學 生 聽 的 教 學, 而 作 者 也 不 例 外, 只 是 作 者 較 無 打 罵 的 方 式, 讓 他 們 比 較 接 受 而 願 意 較 為 配 合 上 課 作 法 以 下 是 當 天 的 作 者 當 天 的 教 學 經 過 : 因 為 昨 天 光 正 國 中 觀 摩 會 中, 發 表 了 一 個 教 材 : 愛 情 久 久 的 討 論 單, 我 有 很 大 的 感 觸, 這 份 討 論 單 看 得 出 是 經 過 深 思 熟 慮 而 寫 成 的 題 目, 並 非 制 式 的 題 目, 雖 然 曾 經 在 制 式 的 應 用 題 中 看 過, 但 沒 想 過 可 以 如 此 分 項 來 慢 慢 導 引 同 學 的 思 考 階 梯 因 此 今 天 印 製 了 此 份 討 論 單, 且 當 場 就 近 隨 意 分 組, 發 給 每 人 一 份 討 論 單 讓 他 們 自 由 先 行 討 論 但 是, 一 開 始 我 發 現 學 生 並 沒 有 討 論, 各 自 做 各 自 的 : 有 幾 位 智 優 的 同 學, 直 接 開 始 用 補 習 班 已 教 的 代 入 消 去 法, 很 努 力 的 在 計 算, 並 不 跟 其 他 人

15 交 談 ; 其 他 人 藉 著 可 以 交 談 的 機 會, 隨 意 在 聊 天, 根 本 沒 有 注 意 到 這 張 討 論 單 的 內 容 結 果 倒 是 幾 位 班 上 幾 乎 都 不 參 與 上 課 的 同 學, 作 者 看 到 他 們 對 以 下 敘 述 倒 是 討 論 起 來 了 : S3:ㄟ 情 人 節 到 了?? S5: 對 啊! 但 是 送 百 合 太 怪 了 吧!( 看 著 討 論 單 ) S3: 那 個 愛 情 久 久 的 久 久, 是 不 是 寫 錯 了? S5: 管 他! 還 道 明 寺 ㄟ. 因 為 內 容 講 到 情 人 節 的 主 題 和 主 角 杉 菜 道 明 寺 吸 引 了 他 們, 而 去 討 論 內 容 雖 然 學 生 沒 有 就 數 學 的 部 份 去 討 論, 但 是, 至 少 他 們 被 吸 引 了 討 論 單 中 利 用 表 格, 玫 瑰 與 百 合 之 間 存 在 著 許 多 關 係 我 去 巡 視 時, 發 現 智 優 的 同 學 有 些 各 自 在 解 答, 但 是 他 們 似 乎 對 表 格 的 關 係 都 不 知 道 有 什 麼 意 思 作 者 想 讓 學 生 自 行 探 索, 以 免 於 知 識 的 記 憶 與 背 誦, 且 讓 學 生 經 歷 探 索 的 過 程 但 是 作 者 透 過 觀 察, 發 現 幾 乎 所 有 學 生 皆 無 法 透 過 表 格 的 關 係 來 回 答, 也 不 清 楚 該 如 何 思 考, 只 是 盲 目 地 在 做 計 算 的 工 作 作 者 只 好 將 表 格 畫 在 黑 板 上 並 引 導 學 生 思 考 五 分 鐘 後, 我 請 學 生 分 享 表 格 內 的 可 能 的 答 案 : T: 說 說 看 三 個 方 程 式 之 間 有 什 麼 關 係? 等 了 1 分 鐘, 學 生 並 沒 有 反 應

16 作 者 看 到 這 樣 的 反 應, 仍 在 預 料 之 中, 他 們 需 要 更 小 的 階 梯 來 幫 助 他 們 思 考, 於 是, 作 者 在 將 再 題 目 細 分 : T: 玫 瑰 這 一 欄 中, 編 號 有 什 麼 關 係? 結 果 讓 我 意 外 的 是 放 棄 數 學 很 久 的 班 上 最 後 一 名 同 學 直 接 很 快 的 告 訴 我 他 的 直 覺 : S9: 就 11+9=20,5+3=8 T: 那 麼 你 猜 測 第 三 個 方 程 式 的 總 價 是 多 少...? S9: =... ( 他 的 計 算 很 慢, 但 是 因 為 他 已 經 說 到 這 了, 其 他 同 學 便 很 快 算 出 答 案 1560) S9:1560 我 很 快 的 給 予 他 正 面 肯 定, 而 全 班 更 是 震 驚 了 一 下 因 為 他 的 表 現, 其 他 組 開 始 仔 細 看 下 面 幾 題 的 內 容 頓 時 之 間, 學 生 的 思 維 集 中 了, 一 下 子 就 找 出 關 係, 得 以 進 一 步 地 探 索 其 他 的 關 係 第 二 到 第 六 題, 大 家 開 始 會 自 動 開 始 討 論 起 來 : 此 時 作 者 發 現 部 分 學 生 已 經 私 下 討 論 互 動 起 來, 便 鼓 勵 學 生 自 行 找 同 學 討 論 學 生 們 自 動 形 成 好 幾 堆, 有 三 人 一 組, 有 兩 人 一 組, 有 的 就 近 討 論, 有 的 大 老 遠 找 好 朋 友 商 量 在 此, 作 者 主 要 目 的 是 要 讓 學 生 弄 清 楚 表 格 中 玫 瑰 和 百 合 的 關 係, 進 而 對 二 元 一 次 方 程 式 的 關 係 有 所 體 認 而 透 過 引 導 讓 學 生 發 現 表 格 中 玫 瑰 和 百 合 之 間 的 關 係, 來 代 替 直 接 地 告 知, 並 將 學 生 的 思 維 引 入 另 一 個 思 索 層 次 對 於 程 度 較 低 的 學 生 來 說 透 過 實 做 與 引 導 得 以 清 楚 方 程 式 的 意 義 與 相 關 性 質, 而 程 度 較 高 的 同 學 也 可 以 再 進 一 步 思 索 精 確 的 數 字, 可 以 說 所 有 學 生 都 有 機 會 參 與 這 是 引 導 代 替 知 識 直

17 接 傳 輸 所 帶 來 的 效 果 研 究 結 果 這 節 課 沒 有 任 何 人 在 睡 覺, 而 且 從 原 來 只 有 兩 三 位 同 學 真 的 在 仔 細 想 題 目, 到 後 來 幾 乎 全 班 都 進 入 討 論 題 目 的 內 容 裡, 我 覺 得 帶 起 來 格 外 輕 鬆 我 原 來 很 擔 心 這 個 班 的 表 現, 因 為 他 們 是 全 二 年 級 最 活 潑 最 吵 的 一 個 班, 今 天 的 試 驗 讓 我 震 驚! 當 然 似 乎 也 驗 證 了 我 原 先 的 假 設 - 討 論 任 務 是 關 鍵, 學 生 真 的 很 自 然 的 討 論 起 來, 不 需 要 我 帶 他 們 如 何 討 論 這 堂 課 作 者 發 現 許 多 幾 乎 完 全 與 數 學 絕 緣 的 學 生 有 復 活 的 跡 象, 且 與 學 生 隨 意 的 談 話 中 發 現 學 生 願 意 投 入 討 論 學 習 主 要 是 因 為 有 趣 想 學 也 學 的 會 且 討 論 時 盛 況 空 前, 幾 乎 所 以 人 都 熱 烈 的 圍 成 好 幾 團 在 互 相 討 論, 感 覺 就 像 一 堆 人 聚 在 一 起 擲 骰 子 賭 博 的 專 注 情 形, 耽 誤 了 下 課 時 間, 學 生 也 都 不 知 道 許 多 成 就 高 的 人 也 體 會 了 討 論 的 樂 趣, 而 成 就 低 的 人 也 經 歷 了 一 次 成 功 的 經 驗, 反 而 學 生 得 以 自 發 行 成 實 質 上 共 同 學 習 的 小 組 不 但 如 此 作 者 還 發 現 處 理 邊 緣 的 學 生 並 不 需 要 靠 逼 迫, 學 生 也 可 以 認 真 來 學 習 結 論 與 討 論 因 著 任 務 - 老 師 所 用 的 討 論 單, 可 能 是 影 響 學 生 小 組 討 論 及 探 究 學 習 的 重 要 因 素 的 臆 測, 利 用 二 年 級 的 班 級 來 試 驗 這 個 假 設 實 驗 的 結 果 不 但 一 掃 學 生 不 參 與 討 論 不 願 意 互 動 分 心 與 講 話 的 窘 境, 更 讓 探 究 教 學 的 架 構 浮 現 出 來 2. 使 用 教 具 ( 圖 形 表 徵 ) 可 以 減 低 學 生 的 認 知 負 荷, 有 助 解 題 Emig (1977) 認 為 以 圖 形 表 徵 話 語 是 第 一 階 (first order) 的 想 法 過 程 的 語 言 表 徵 (representation) 的 功 能, 並 不 限 於 與 他 人 溝 通, 也 是 與 自 己 溝 通 的 工 具, 幫 助 學 生 自 己 聯 絡 各 種 不 同 數 學 概 念 的 表 徵, 例 如, 物 體 的 圖 像 的 符 號 的 文 字 的 與 心 理 的 表 徵 如 圖 5 上 半 部 將 正 負 卡 轉 換 成 圖 用 圖 示 法 來 解 題, 而 圖 3 下 半 部 則 是 將 青 蛙 跳 畫 成 箭 頭 語 言 再 解 題, 更 進 一 步 從 具 體 轉 換 成 抽 象 的 數 學 符 號 來 解 題

18 圖 3 圖 形 表 徵 與 解 題 因 為 原 來 直 接 學 習 解 一 元 一 次 方 程 式 概 念 的 階 梯 對 學 生 來 說 可 能 太 大, 所 以 將 大 單 元 ( 一 元 一 次 方 程 式 ) 化 成 一 系 列 的 小 主 題 ( 青 蛙 跳 跳 跳 異 性 相 吸 利 用 一 元 一 次 方 程 式 解 生 活 中 的 問 題 ), 大 階 梯 中 間 再 架 構 適 當 的 小 階 梯 ( 具 體 情 境 使 用 圖 形 幫 助 解 題 - 視 覺 化 方 程 式 將 問 題 轉 換 成 圖 形 模 式 化 問 題 轉 為 方 程 式 等 量 公 理 代 數 策 略 ), 使 學 生 更 容 易 學 習 ( 如 圖 4) 大 階 梯 大 階 梯 大 階 梯 梯 小 階 代 數 策 略 來 代 表 數 等 量 公 理 梯 小 階 模 式 化 問 題 轉 為 方 程 式 將 問 題 轉 換 成 圖 形 梯 小 階 使 用 圖 形 幫 助 解 題 ( 視 覺 化 方 程 式 ) B 異 性 相 吸 ( 負 方 向 具 體 情 境 ) 使 用 圖 形 幫 助 解 題 ( 視 覺 化 方 程 式 ) A 青 蛙 跳 跳 跳 ( 正 方 向 具 體 情 境 ) 一 元 一 次 方 程 式 應 用 一 元 一 次 方 程 式 知 識 一 元 一 次 方 程 式 概 念 圖 4 一 元 一 次 方 程 式 教 材 階 梯

19 結 論 ( 一 ) 到 底 數 學 課 室 中 如 何 實 施 探 究 教 學? 經 由 行 動 研 究 作 者 發 展 出 一 套 融 入 RME 理 論 之 數 學 解 題 探 究 活 動 模 式 : 在 進 行 數 學 解 題 探 究 活 動 中, 教 師 利 用 四 個 的 主 要 步 驟 : 佈 題 小 組 討 論 全 班 討 論 達 成 共 識, 並 在 RME 理 論 的 引 導 之 下, 教 師 讓 學 生 經 歷 數 學 家 發 明 數 學 的 過 程 來 發 展 數 學 知 識 A. 任 務 : 設 計 探 究 取 向 的 任 務 1. 重 點 本 研 究 者 在 設 計 學 習 單 與 在 班 上 運 作 後 發 現, 在 設 計 隱 含 探 究 問 題 的 情 境 任 務 時 應 考 慮 : (1) 教 學 目 標 教 學 目 標 是 什 麼? 學 生 為 什 麼 要 學 這 個 單 元? 為 了 解 決 什 麼 問 題? 學 生 的 舊 經 驗 在 哪 裡? 有 沒 有 生 活 化 有 趣, 能 引 發 探 索 的 例 子? 如 何 將 這 些 東 西 做 有 效 的 串 聯? (2) 學 生 已 有 的 智 能 任 務 中 少 讓 學 生 用 數 學 公 式, 而 應 該 讓 學 生 用 他 熟 悉 有 意 義 有 能 力 的 方 法 來 處 理 問 題 (3) 核 心 概 念 任 務 中 應 避 免 一 次 傳 達 太 多 的 數 學 概 念, 應 該 有 核 心 概 念, 待 學 生 核 心 概 念 熟 練 之 後, 再 加 以 推 廣 或 綜 合 比 較 (4) 發 展 順 序 任 務 設 計 發 展 的 過 程 應 由 圖 形 數 字 文 字, 先 有 圖 形 的 引 導, 讓 學 生 瞭 解 題 意, 再 慢 慢 將 圖 形 去 除, 讓 學 生 自 己 建 立 解 題 模 型 (5) 開 放 性 任 務 的 問 題 宜 開 放 些, 以 免 剝 奪 學 生 探 索 的 機 會 如 果 實 際 運 作 時 學 生 看 不 懂, 老 師 再 用 口 語 較 封 閉 的 問 法 來 補 強 2. 策 略 (1) 夠 複 雜 利 用 現 實 問 題 情 境 的 複 雜 性, 或 焦 聚 在 非 傳 統 的 主 題 上, 即 明 顯 的 不 確 定 性 來 製 造 矛 盾 以 利 學 生 思 考 與 辨 證 (2) 利 用 認 知 衝 突 製 造 含 糊 與 衝 突 的 問 題, 讓 學 生 會 詢 問 如 果 事 情 不 是 這 樣, 會 發 生 何 事?, 鼓 勵 學 生 追 蹤 這 一 些 問 題 (3) 鼓 勵 學 生 搜 尋 資 訊 製 造 閱 讀 機 會 去 支 持 探 究, 並 教 導 學 生 使 用 任 何 資

20 訊 來 源 這 將 幫 助 學 生 成 為 獨 立 的 學 習 者 問 題 解 決 者 批 判 思 考 者 資 料 來 源 包 括 了 數 學 史 文 章 描 述 特 定 數 學 應 用 的 報 告 雜 誌 傳 記 (4) 善 用 來 自 學 生 的 問 題 利 用 學 生 所 提 出 的 問 題, 而 有 些 情 況 下, 學 生 並 沒 有 直 接 提 出 問 題, 而 是 在 小 組 討 論 時 提 出 的 問 題, 只 要 稍 加 修 改, 使 之 更 為 深 入 3. 探 究 取 向 任 務 的 特 徵 本 研 究 者 從 教 學 現 場 中 也 發 現 了 會 引 發 學 生 探 究 的 問 題 特 徵 : (1) 非 例 行 性 的 題 目 從 課 本 例 題 再 加 以 變 化 或 跳 脫 課 本 例 題 的 形 式 (2) 較 生 活 化 較 具 體 能 感 受 得 到 的 問 題 (3) 會 產 生 認 知 衝 突 的 問 題 (4) 開 放 性 具 有 較 多 可 能 和 擴 展 空 間 的 題 目 B. 引 導 : 採 用 探 究 取 向 的 引 導 1. 重 點 :

21 在 進 行 數 學 解 題 探 究 活 動 中, 教 師 利 用 四 個 的 主 要 步 驟 : 佈 題 小 組 討 論 全 班 討 論 達 成 共 識, 並 在 RME 理 論 的 引 導 之 下, 教 師 讓 學 生 經 歷 數 學 家 發 明 數 學 的 過 程 來 發 展 數 學 知 識 在 教 學 中, 讓 學 生 投 入 解 題 工 作, 發 展 自 己 的 解 題 策 略 再 透 過 精 緻 化, 漸 漸 地 進 入 形 式 化 數 學 的 層 次 圖 5 是 本 研 究 者 融 入 RME 理 論 的 數 學 解 題 探 究 活 動 模 式 圖 圖 5 融 入 RME 理 論 之 數 學 解 題 探 究 活 動 模 式 圖 2. 實 例 : 學 生 重 新 發 明 數 學 的 體 驗 - 學 生 自 行 建 構 模 式 逐 步 發 展 形 式 化 數 學 知 識 學 生 在 解 題 過 程 中 會 自 行 發 展 模 式, 做 為 非 形 式 化 知 識 與 形 式 化 數 學 之 間 的 橋 樑, 它 是 由 下 而 上 的 發 展 方 式, 學 生 自 行 建 構 模 式, 逐 步 去 發 展 形 式 化 數 學 知

22 識 在 教 學 中 可 以 觀 察 到 : 學 生 知 道 如 何 從 情 境 (Situation) 的 層 次, 發 展 到 情 境 的 特 殊 脈 絡 模 式 (Model of Situation), 再 到 數 學 推 理 的 模 式 (Model for Mathematical Reasoning), 最 後 發 展 出 形 式 化 的 數 學 知 識 (Formal Knowledge) 學 生 在 青 蛙 跳 跳 跳 異 性 相 吸 這 幾 個 問 題 情 境 中, 會 應 用 一 些 自 己 的 策 略 或 操 作 來 敘 述 (Situation 層 次 ) 接 著 小 組 討 論 時, 學 生 在 自 己 的 學 習 單 上 或 黑 板 上 寫 下 式 子, 將 情 境 脈 絡 表 示 出 來 (Model of 的 層 次 ), 接 著 利 用 數 學 推 理 去 思 考 a+bx=c+dx 的 關 係 (Model for 的 層 次 ), 最 後 可 以 利 用 以 符 號 代 表 數 等 代 數 策 略 做 等 量 公 理 的 運 算 (Formal Knowledge 的 層 次 ) 如 圖 6 圖 6 學 生 自 行 建 構 逐 步 數 學 化 模 式

23 較 開 放 的 探 究 要 有 形 成 問 題 的 步 驟, 所 以, 老 師 需 要 適 時 的 引 導 學 生 去 形 成 問 題 或 發 現 問 題 以 下 的 一 些 策 略 頗 為 有 用 : 3. 策 略 (1) 將 令 人 困 惑 的 情 境 呈 現 給 學 生 透 過 所 給 予 的 資 訊 引 導 學 生 提 出 問 題, 發 現 答 案 (2) 鼓 勵 由 學 生 提 出 的 問 題 引 導 學 生 更 加 清 楚 地 或 更 加 完 整 地 提 出 問 題, 並 且 要 避 免 為 學 生 回 答 問 題, 並 且 鼓 勵 學 生 嘗 試 猜 測 做 中 學 不 要 怕 錯 誤 (3) 以 問 題 回 應 學 生 的 問 題 不 主 動 告 訴 學 生 答 案, 而 是 不 斷 得 問 學 生 問 題, 要 學 生 自 行 去 探 究 問 題 發 現 答 案 (4) 要 有 等 待 的 時 間 讓 學 生 有 獨 力 奮 戰 的 機 會, 先 不 說, 由 學 生 去 探 究 出 自 己 的 發 現 (5) 具 體 化 當 報 告 者 說 明 不 清 楚 時, 儘 量 請 學 生 用 圖 形 數 學 式 子 符 號 來 表 示 他 口 語 的 說 明 4. 技 巧 運 用 不 斷 的 挑 戰 與 提 問 可 以 幫 助 學 生 運 用 質 疑 來 學 習, 以 刺 激 腦 力 合 作 分 享 多 元 思 考 並 增 進 高 層 次 學 習 本 研 究 者 從 教 學 現 場 也 利 用 了 以 下 的 問 話 技 巧 來 引 導 學 生 : (1) 幫 助 學 生 學 習 數 學 推 理 問 話 : 例 如 使 用 你 能 想 個 反 例 嗎? 你 如 何 證 明 它? (2) 幫 助 學 生 學 習 猜 測 發 明 和 解 題 問 話 : 例 如 如 果..., 會 怎 麼 樣? 如 果 不 是 又 會 怎 麼 樣? 哪 裡 有 問 題? 可 能 問 題 在 哪 裡? 如 何 改 進? (3) 幫 助 學 生 運 用 質 疑 來 學 習, 問 話 舉 例 : 你 同 意? 還 是 不 同 意? 有 沒 有 人 答 案 相 同 但 是 解 釋 方 法 不 同 的? 你 了 解 他 們 在 說 什 麼 嗎? 你 能 說 服 我 們 那 是 很 有 道 理 的 嗎? 在 這 樣 的 教 學 模 式 中, 教 師 必 須 設 計 探 究 取 向 的 任 務 採 用 探 究 取 向 的 引 導 而 這 樣 適 當 引 導 過 程, 及 成 功 引 發 促 進 與 維 持 學 生 學 習 與 討 論, 達 到 預 期

24 的 學 習 結 果 的 歷 程 相 信 正 是 十 二 年 國 教 有 效 教 學 的 一 種 教 學 策 略 ( 二 ) 建 議 根 據 在 本 研 究 過 程 中, 就 本 研 究 者 的 研 究 心 得, 提 出 一 些 看 法, 作 為 對 後 續 研 究 的 建 議 建 議 如 下 : A 教 師 面 對 教 學 困 境 的 處 理, 除 了 自 行 尋 求 同 儕 的 幫 助 之 外, 如 果 能 以 行 動 研 究 的 精 神, 針 對 自 己 在 教 室 情 境 中 所 面 臨 的 問 題, 深 入 探 討, 對 自 己 的 教 學 加 以 省 思 研 究 批 判 改 進 再 應 用 於 教 室 情 境 中, 對 於 解 決 教 室 情 境 會 更 有 幫 助 B 有 生 活 化 情 境 及 隱 含 衝 突 的 教 材, 可 以 引 發 學 生 學 習 和 討 論 的 興 趣, 可 做 為 編 寫 教 材 的 參 考 參 考 文 獻 Brown, Catherine A, & Cooney, Thomas J. (1982). Research on Teacher Education: A Philosophical Orientation. Journal of research and Development in Education, 15(4), delange, J. (1996). Using and applying mathematics in education (Vol. 1): International Handbook of Mathematics Education. Emig, Janet. (1977). Writing as a mode of learning. College composition and communication, 28(2), Freudenthal, Hans. (1971). Geometry between the devil and the deep sea. Educational Studies in mathematics, 3(3), Freudenthal, Hans. (1973). Mathematics as an educational task. Gravemeijer, Koeno, Rainero, Ruth, & Vonk, Hetty. (1994). Developing realistic mathematics education: Freudenthal institute Utrecht, The Netherlands. Harvey, OJ. (1970). Beliefs and Behavior: Some Implications for Education. Science Teacher. Harvey, OJ. (1986). Belief systems and attitudes toward the death penalty and other

25 punishments. Journal of Personality, 54(4), Haury, David L, & OH, Education Columbus. (1993). Teaching science through inquiry. ERIC/CSMEE Digest. Columbus, OH: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics and Environmental Education. Retrieved September, 25, Mathematics, National Council of Teachers of Mathematics. Commission on Standards for School. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics: Natl Council of Teachers of. Mathematics, National Council of Teachers of Mathematics. Commission on Teaching Standards for School. (1991). Professional standards for teaching mathematics: Natl Council of Teachers of. Mathematics, National Council of Teachers of. (2000). Principles and standards for school mathematics (Vol. 1): Natl Council of Teachers of. Skemp, R.R. (1978). Relational understanding and instrumental understanding. Arithmetic Teacher, 26(3), Suchman, J Richard. (1966). Developing inquiry (Vol. 1): Science Research Associates. Treffers, A. (1991). Realistic mathematics education in the Netherlands Realistic mathematics education in primary school, Wheatley, G.H. (1991). Constructivist perspectives on science and mathematics learning. Science Education, 75(1), 尤 詩 憶, & 張 靜 嚳. (2004). 價 值 導 向 的 PCDC 教 學 模 式 之 建 立 與 實 施. 林 鈺 雰, & 張 靜 嚳. (2001). 在 國 中 數 學 教 室 試 行 價 值 行 動 研 究. 高 強 華. (1993). 論 信 念 的 意 義, 結 構 與 特 性 : 現 代 教 育. 張 世 忠. (1999). 教 材 教 法 之 實 踐 要 領. 方 法, 研 究. 台 北 : 五 南. 張 靜 嚳. (1995). 問 題 中 心 教 學 在 國 中 發 展 之 經 過, 效 果 及 可 行 性 之 探 討. Chinese Journal of Science Education, 3(2),

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