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5 本 書 的 出 版, 有 很 多 要 感 謝 的 貴 人, 首 先 要 感 謝 新 北 市 頂 溪 國 小 王 修 亮 老 師 的 數 學 教 學 團 隊 宜 蘭 縣 人 文 國 中 小 蘇 珈 玲 老 師 的 數 學 教 學 團 隊 桃 園 縣 林 森 國 小 潘 鳳 琴 老 師 的 數 學 教 學 團 隊 台 北 市 民 權 國 小 郭 熙 妙 老 師 與 黃 杏 寧 老 師 的 協 助 ; 更 感 謝 雲 林 維 多 利 亞 中 小 學 李 佳 芬 副 董 天 主 教 光 仁 中 學 林 沛 英 校 長 天 主 教 八 里 聖 心 小 學 畢 明 德 校 長, 以 及 新 北 市 江 翠 國 小 吳 昌 期 校 長 等 的 支 持 在 這 十 三 年 探 究 式 教 學 實 驗 課 程 中, 產 生 了 相 當 多 教 學 實 務 的 智 慧, 由 基 層 老 師 所 分 享 出 的 課 程 結 晶, 才 讓 我 有 這 動 力 將 這 所 有 的 成 果 分 享 給 有 志 一 同 的 數 學 教 學 領 域 的 夥 伴 們 再 者, 亦 要 感 謝 長 期 與 我 進 行 數 學 學 習 認 輔 的 新 北 市 大 觀 國 小 魏 素 鄉 校 長 與 中 山 國 小 王 健 旺 校 長, 至 今 已 有 十 三 年, 有 超 過,000 位 數 學 低 成 就 個 案 的 案 例, 讓 我 成 長 良 多 最 後, 感 謝 我 的 家 人, 妻 子 王 望 舒 博 士 兒 子 安 捷 安 醇, 以 及 父 母 對 我 永 遠 的 愛 I 本 書 的 第 二 作 者 潘 鳳 琴 老 師, 是 我 景 仰 的 國 小 數 學 教 師, 在 小 學 有 相 當 豐 富 的 實 務 經 驗 在 合 作 進 行 探 究 式 教 學 實 務 課 程 時, 是 我 成 長 最 多 的 階 段, 於 是 產 生 撰 寫 本 書 的 動 機 三 年 前 邀 請 鳳 琴 老 師 時, 獲 得 首 肯, 願 意 共 同 為 本 書 努 力 那 時, 才 對 於 本 書 的 方 向 更 加 明 確, 也 因 此, 本 書 的 定 位 會 是 在 實 務 應 用, 理 論 引 領 實 務 的 發 展 方 向 為 能 讓 強 化 本 書 在 數 學 教 學 實 務 的 連 結, 鳳 琴 老 師 教 與 學 的 叮 嚀 教 學 法 寶 與 學 習 活 動 等 三 個 章 節, 實 有 畫 龍 點 睛 之 效 本 書 共 有 5 章, 第 章 數 學 教 與 學 的 不 同 觀 點, 與 第 2 章 數 學 學 習 的 探 究 歷 程 解 題 推 理 與 證 明 溝 通 與 連 結, 為 貫 穿 其 它 3 個 章 節 的 共 通 觀 點 所 以, 前 兩 章 所 提 的 教 學 觀 念 為 本 書 的 核 心, 也 期 許 讀 者 能 對 這 兩 個

6 章 節 有 深 入 的 了 解, 對 於 教 師 在 教 學 的 信 念 有 相 當 的 助 益 第 3 章 為 基 礎 的 數 學 學 習, 早 期 的 數 字 概 念 與 數 數, 為 學 童 在 3 歲 至 7 歲 的 重 要 發 展 概 念, 於 本 章 中, 如 何 讓 教 師 了 解 數 數 與 加 減 法 的 關 係, 進 一 步 了 解 數 數 的 重 要 性 第 4 章 為 整 數 四 則, 讓 教 師 了 解 加 減 乘 除 的 不 同 題 型, 尤 其 對 於 除 法 直 式 的 概 念, 要 能 有 清 晰 的 教 學 步 驟, 才 能 使 學 生 了 解 再 者, 本 書 所 提 供 的 整 數 四 則 活 動, 對 於 教 師 在 教 案 的 使 用, 則 有 更 為 靈 活 的 選 擇 第 5 章 為 理 解 十 進 位 位 值 概 念 與 多 位 數 的 認 識 本 章 的 目 的 在 於 協 助 教 師 了 解 不 同 的 進 位 概 念, 對 不 同 國 家 的 數 字 使 用 有 一 定 的 了 解 教 師 應 要 協 助 學 童 對 於 位 值 概 念 要 有 清 楚 的 認 識, 而 教 具 的 使 用 則 不 可 或 缺, 如 百 格 板 千 格 板 錢 幣 紙 鈔 等 第 6 章 為 整 數 的 數 感 與 估 測, 學 童 對 於 數 字 沒 有 感 覺, 對 於 估 測 的 概 念 沒 有 概 念, 這 是 國 內 學 童 普 遍 的 問 題 如 何 讓 學 童 對 於 數 字 的 數 感 與 量 感 II 更 加 敏 銳, 讓 學 童 對 於 週 遭 事 物 的 產 生 感 覺 才 是 解 決 之 道 本 書 提 供 一 些 活 動, 強 化 學 童 數 感 與 量 感, 將 有 助 於 學 童 的 學 習 第 7 章 為 有 理 數 與 分 數, 本 章 提 到 分 數 的 四 種 意 義, 有 理 數 的 定 義 與 學 習 概 念, 解 析 學 童 在 分 數 的 學 習 困 難, 提 出 分 數 的 不 同 題 型 等 對 於 分 數 的 教 學 活 動, 則 能 對 於 學 校 教 師 提 供 具 體 教 學 的 策 略 與 方 法 第 8 章 為 分 數 運 算 的 意 義, 提 及 分 數 的 四 則 運 算, 學 童 在 整 數 與 分 數 及 分 數 與 分 數 運 算 上 所 要 注 意 的 情 境 設 計 再 者, 對 於 分 數 的 質 性 思 考, 在 不 需 實 際 計 算, 即 可 找 出 答 案 的 策 略 為 何? 對 於 分 數 除 分 數, 除 數 為 什 麼 要 倒 過 來 乘 的 解 釋, 提 出 釐 清 第 9 章 為 小 數 與 小 數 運 算, 對 於 小 數 的 概 念 小 數 的 使 用 原 因 小 數 的 四 則 運 算, 均 有 具 體 的 陳 述 尤 其 對 於 小 數 的 除 法, 最 容 易 混 淆 的 商 數 與 餘 數 部 分, 提 供 具 體 的 解 釋, 對 於 小 數 所 適 用 的 教 學 活 動, 也 提 供 明 確 的 方 向

7 第 0 章 為 括 號 概 念, 是 本 書 的 特 有 章 節 括 號 概 念 為 一 運 算 概 念, 括 號 使 用 於 兩 步 驟 以 上 的 混 合 運 算, 而 產 生 了 分 配 律 與 結 合 律 等 相 關 法 則, 如 何 應 用 圖 示 與 活 動 的 方 式, 協 助 學 童 對 於 括 號 概 念 有 清 楚 的 了 解, 本 章 則 提 供 具 體 的 方 向 括 號 概 念 對 於 國 中 在 代 數 形 式 的 運 用, 更 為 困 難, 如 何 協 助 學 童 在 整 數 情 境 下, 對 於 括 號 相 關 法 則 的 使 用, 至 關 重 要 第 章 為 比 率 比 值 與 百 分 比, 比 率 與 比 值 概 念 為 有 難 度 的 單 元, 此 部 分 的 概 念 如 正 反 比 概 念 如 折 扣 概 念, 會 運 用 分 數 與 小 數 的 情 況 學 童 要 能 理 解 題 意, 對 不 同 的 比 例 題 型 有 所 釐 清, 才 不 會 產 生 錯 誤 百 分 比 概 念 為 便 於 比 較 的 形 式, 學 童 要 能 對 於 使 用 百 分 比 的 情 境 進 行 應 用, 才 能 將 百 分 比 與 比 例 的 關 係 有 深 入 的 了 解 第 2 章 為 統 計 與 機 率 統 計 概 念 在 小 學 一 年 級 時 即 有 畫 記 的 活 動, 一 直 到 五 年 級 有 折 線 圖 與 直 條 圖 的 製 作, 而 機 率 概 念 在 國 中 三 年 級 才 出 現 而 統 計 的 集 中 量 數 如 平 均 數 眾 數 中 位 數 等 概 念, 在 小 學 階 段 即 可 介 紹, 但 應 對 其 適 用 情 境 有 明 確 的 了 解 第 3 章 為 幾 何 與 空 間 概 念, 如 平 面 圖 形 立 體 圖 形 角 錐 體 角 柱 體 III 等 概 念 學 童 在 不 同 柱 體 的 展 開 圖, 透 視 圖 會 產 生 學 習 困 難, 其 原 因 在 於 學 童 沒 有 實 際 操 作 的 經 驗 如 何 協 助 學 童 對 於 長 方 體 立 方 體 與 不 同 錐 體 的 展 開 概 念, 有 實 際 的 操 作 經 驗, 本 書 也 提 供 了 一 些 策 略 第 4 章 為 量 與 實 測, 可 分 重 量 容 量 時 間 長 度 面 積 體 積 角 度 等 七 向 度 除 時 間 為 抽 象 量 概 念 外, 其 它 均 為 具 體 量 概 念 本 章 分 為 七 向 度, 每 一 向 度 均 有 基 礎 概 念, 測 量 概 念 與 估 測 概 念 三 部 分 本 章 依 此 七 向 度 提 供 教 學 活 動, 可 資 教 師 在 不 同 的 概 念 進 行 教 學 參 考 第 5 章 為 代 數 與 前 代 數 概 念 前 代 數 概 念 與 代 數 概 念 如 何 銜 接, 為 本 章 的 重 點 本 章 提 及 學 童 在 代 數 概 念 產 生 的 困 難 為 何? 教 師 要 如 何 設 計 前 代 數 的 活 動, 以 利 學 童 轉 化 至 代 數 概 念 代 數 活 動 的 設 計, 從 小 學 一 年 級 至 六 年 級 都 有, 其 目 的 為 整 合 不 同 年 級 的 活 動, 以 利 教 師 協 助 學 童 在 七 年 級

8 學 習 代 數 時 能 順 利 的 學 習 是 故, 本 章 節 會 探 討 所 有 不 同 年 級 與 代 數 相 關 的 活 動, 以 協 助 教 師 對 代 數 有 整 體 的 認 識 最 後, 雖 有 5 章 節 的 篇 幅, 亦 未 盡 完 整 本 書 期 能 帶 給 數 學 教 育 界 的 教 師 們, 一 些 教 學 的 經 驗, 共 同 進 行 專 業 成 長 本 書 若 有 未 盡 妥 善 之 處, 也 請 惠 賜 良 見, 以 助 我 們 在 未 來 的 修 正 中, 進 行 參 考, 感 謝 于 國 立 台 灣 藝 術 大 學 師 資 培 育 中 心 IV

9 很 榮 幸 也 深 感 幸 福 地 能 和 台 藝 大 謝 如 山 教 授 從 民 國 9 年 合 作 至 今, 以 探 究 式 教 學 方 法 課 室 觀 察 以 及 學 童 的 認 知 發 展 為 議 題 進 行 教 學 實 驗 從 實 施 九 年 一 貫 教 育 以 來, 強 調 教 師 專 業 自 主, 希 望 藉 由 協 同 教 學 開 創 教 學 創 新 的 新 局 面, 讓 學 童 可 以 藉 由 教 學 方 法 的 改 變, 進 而 促 進 學 習 的 改 變, 而 能 讓 學 童 真 正 獲 得 數 學 能 力 的 增 長, 提 升 學 童 未 來 競 爭 力! 一 直 到 現 在, 政 府 繼 續 推 動 精 進 教 學, 鼓 勵 教 師 社 群 的 發 展, 研 發 有 效 的 教 學 方 式, 期 待 教 育 能 翻 轉, 走 向 有 希 望 的 未 來 ( 明 日 ) 學 校! 在 教 學 現 場 裡, 常 常 疑 惑 : 為 什 麼 學 童 覺 得 因 數 與 倍 數 分 數 很 抽 象? 為 什 麼 大 單 位 換 算 等 量 公 理 複 合 形 體 面 積 很 困 難? 真 正 從 教 學 實 驗 中 會 發 現 : 學 童 缺 乏 這 些 數 學 概 念 的 生 活 經 驗, 並 沒 有 經 過 探 究 與 思 考, 不 是 從 做 中 學 得 來, 只 是 被 灌 輸 當 作 數 學 知 識 強 迫 記 憶, 所 以 學 童 覺 得 數 學 好 抽 象 好 困 難 於 是 老 師 感 到 教 學 無 力, 學 童 對 學 習 數 學 V 感 到 困 難 於 是 我 們 思 考 : 數 學 究 竟 是 什 麼? 我 們 為 什 麼 要 學 數 學? 數 學 的 功 能 在 哪 裡? 老 師 要 怎 麼 教 才 能 引 起 學 童 的 學 習 興 趣? 更 進 一 步 要 思 考 : 怎 樣 才 能 促 進 學 童 的 學 習 成 效? 長 期 和 謝 教 授 在 教 學 現 場 進 行 教 學 實 驗, 探 討 可 以 促 進 學 童 有 效 學 習 的 教 學 設 計, 希 望 藉 由 這 本 書 提 供 現 場 教 學 的 教 師, 思 考 另 類 的 教 學 模 式, 並 促 進 教 師 專 業 成 長 本 套 書 的 編 輯 理 念 理 論 與 實 務 並 重, 一 部 分 由 教 授 撰 寫 數 學 的 教 育 理 論 基 礎, 提 供 教 學 現 場 教 師 專 業 的 詮 釋 數 學 概 念 擬 出 教 學 的 流 程 與 注 意 事 項 ; 一 部 分 採 取 實 作 方 式, 利 用 簡 易 可 行 的 教 學 活 動 設 計, 提 供 教 師 教 學 參 考 實 務 部 分 在 每 個 活 動 之 前 進 行 打 開 智 慧 寶 盒, 做 起 始 行 為 的 檢

10 視 ; 在 教 學 活 動 中 列 出 主 題 適 用 年 級 教 學 目 的 與 功 能 核 心 概 念 ; 提 供 教 學 小 法 寶 檢 核 活 動 與 延 伸 活 動, 讓 教 師 可 以 實 際 應 用 在 教 學 上 期 待 這 樣 理 論 與 實 務 並 重 的 書 籍 和 教 育 現 場 的 老 師 分 享! VI

11 目 錄 謝 潘 序... Ⅰ 序... Ⅴ Chapter 數 學 教 與 學 的 不 同 觀 點...0 壹 數 學 教 與 學 的 不 同 觀 點 貳 數 學 教 育 的 發 展 方 向 參 教 學 方 法 的 改 變 探 究 式 教 學... 2 Chapter 2 數 學 學 習 的 探 究 歷 程 : 解 題 推 理 與 證 明 溝 通 與 連 結...9 壹 解 題... 9 貳 推 理 與 證 明 參 溝 通... 4 肆 連 結 Chapter 3 基 礎 的 數 學 學 習 : 早 期 的 數 字 概 念 與 數 數...5 VII 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰 參 數 字 的 四 種 意 義 肆 數 數 的 原 則 與 加 減 法 策 略 伍 數 數 的 教 學 活 動 Chapter 4 整 數 四 則 : 低 年 級...7 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰 參 四 則 運 算 的 題 型 肆 四 則 運 算 的 教 學 活 動... 89

12 Chapter 5 理 解 十 進 位 位 值 概 念 多 位 數 的 認 識 壹 前 瞻...04 貳 教 師 的 挑 戰...06 參 十 進 位 的 重 要 性 肆 位 值 的 教 學 活 動... 伍 位 值 教 與 學 的 叮 嚀...5 陸 教 學 法 寶...7 柒 學 習 活 動...20 Chapter 6 整 數 的 數 感 與 估 測 VIII 壹 前 瞻...23 貳 教 師 的 挑 戰...24 參 數 感 的 定 義 與 重 要 性...25 肆 數 感 的 教 學 活 動...32 伍 數 感 與 估 測 教 與 學 的 叮 嚀...38 陸 教 學 法 寶...39 柒 學 習 活 動...43 捌 數 感 概 念 的 警 鐘...45 Chapter 7 有 理 數 與 分 數 壹 前 瞻...49 貳 教 師 的 挑 戰...50 參 有 理 數 的 學 習...50 肆 分 數 的 類 型...58 伍 分 數 的 教 學 活 動...60 陸 分 數 教 與 學 的 叮 嚀...65 柒 教 學 法 寶...67 捌 學 習 活 動...7

13 Chapter 8 分 數 運 算 的 意 義 壹 前 瞻...76 貳 教 師 的 挑 戰...76 參 數 學 的 學 習...76 肆 分 數 的 教 學 活 動...80 伍 分 數 運 算 教 與 學 的 叮 嚀...94 陸 教 學 法 寶...97 柒 學 習 活 動...20 Chapter 9 小 數 與 小 數 運 算 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰 參 小 數 的 學 習 肆 小 數 的 四 則 運 算...2 伍 小 數 的 教 學 活 動...29 陸 小 運 算 教 與 學 的 叮 嚀 柒 教 學 法 寶 捌 學 習 活 動 IX Chapter 0 括 號 概 念 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰 參 括 號 概 念 的 學 習 肆 括 號 的 教 學 活 動 伍 括 號 教 與 學 的 叮 嚀 陸 教 學 法 寶 柒 學 習 活 動...268

14 Chapter 比 比 例 與 百 分 比 壹 前 瞻...27 貳 教 師 的 挑 戰 參 比 比 例 與 百 分 比 概 念 的 學 習 肆 比 比 例 與 百 分 比 的 教 學 活 動 伍 學 習 活 動 Chapter 2 統 計 與 機 率 X 壹 前 瞻...30 貳 教 師 的 挑 戰 參 統 計 與 機 率 的 學 習 肆 統 計 與 機 率 的 教 學 與 學 習 叮 嚀...34 伍 學 習 活 動...35 Chapter 3 幾 何 與 空 間 概 念 壹 前 瞻...38 貳 教 師 的 挑 戰...38 參 幾 何 空 間 的 學 習 與 教 學 肆 空 間 幾 何 的 教 學 活 動 伍 幾 何 空 間 的 教 學 與 學 習 叮 嚀...34 陸 教 學 法 寶 柒 學 習 活 動...345

15 Chapter 4 量 與 實 測 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰...35 參 量 與 實 測 的 學 習 肆 量 與 實 測 的 教 學 活 動 伍 量 與 實 測 的 教 學 與 學 習 叮 嚀 陸 教 學 法 寶...39 柒 學 習 活 動 Chapter 5 前 代 數 與 代 數 的 轉 化 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰...40 參 前 代 數 與 代 數 的 學 習...40 肆 前 代 數 與 代 數 的 教 學 活 動 伍 前 代 數 與 代 數 的 教 學 與 學 習 叮 嚀...42 陸 教 學 法 寶 柒 學 習 活 動 XI

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17 chapter 數 學 教 與 學 的 不 同 觀 點 回 想 你 在 中 小 學 的 時 代, 教 師 上 數 學 課 的 情 景 為 : 作 者 在 教 授 數 學 科 教 材 教 法 時, 第 一 堂 課 問 師 培 生, 想 像 一 下 你 們 在 中 小 學 上 數 學 課 的 情 景? 上 述 的 幾 種 想 法, 確 實 發 生 在 我 們 中 小 學 的 數 學 課 堂 ; 有 些 教 師 可 能 會 問, 現 在 還 是 這 樣 嗎? 如 果 現 在 進 到 中 小 學 的 課 室 裡, 可 以 發 現 這 些 現 象 還 很 普 遍 學 童 為 什 麼 喜 歡 數 學? 為 什 麼 對 數 學 恐 懼? 為 什 麼 對 數 學 學 習 產 生 抗 拒? 為 什 麼 對 學 習 數 學 缺 乏 自 信? 為 什 麼 在 往 後 的 學 習 中 不 想 再 看 到 數

18 國小數學教材教法 學 這些關鍵就在於教師的教學方法 教師在活動的設計 教師對於數 學概念的了解 最重要的是 教師對於一成不變的教學模式要有改變的想 法 若按照教科書的內容 照表操課是不可能讓學童產生學習興趣的 課程標準 教育部 2009 NCTM, 2000 提到何謂 數學力 探究式教學 mathematics power 依Baroody與Coslick 998 的觀點 要使學童 具備數學力有三個條件. 對數學學習與應用要有正向的學習態度 例如對數學的解題 溝 通 推理與理解要有自信 並有主動的探索能力 2. 在探求數學解題的過程 能有追根究柢的能力 例如建立假設 運 用邏輯推理 解決高難度的問題等 3. 對數學能有深入的了解 數學的課程能與生活結合 能連結至其它 的學科 並能與其他的數學內涵結合 02 為了達成三個向度的數學力 從幼兒至小學到國中數學階段的學習相 當重要 重點不只是放在學童如何學 而是著重教師要如何教 至於學 童喜好數學的態度 大多取決於教師如何教的過程 Baroody & Coslick, 998 亦有研究發現 傳統教數學的方式會讓學童喪失數學力 Trafton & Shulte, 989 壹 數學教與學的不同觀點 以下依有關數學教學的觀點 不同教學觀點的理論依據與有關數學學 習的觀點等三項 分別論述

19 一 有關數學教學的觀點 範例一 什麼是傳統的教學方式 小王教師在上數學課的時候 要求學童背誦 九九乘法表 一一 得一 一二得二 一三得三 一四得四 一五得五 一六得六 一七得 七 一八得八 全班上數學課如同背唐詩一樣 小王教師的想法是 數學只要讓學童背熟就會了 有一天 小王教師問我 為什麼有一位 小珍同學老是背錯 只要從九一開始小珍就會背 但是一問九六多少 小珍就要從九一開始數到九六 才知道答案是五十四 小王教師背誦 九九乘法表 的教學過程 是台灣大部分學童都經歷過的學習方式 甚至在對岸的中國已將一一得一的背誦口訣列入教科書中 從以上的教學過程 我們可以有幾個問題. 學童背誦完成後 是否了解 九九乘法表 與加法的關係 2. 學童是否能具備判斷背錯與背對的思考能力 範例二 什麼是重視理解的教學方式 小吳教師在上數學課時 要求學童使用古氏積木 在教2的乘法倍數 時 小吳教師說 各位同學 看到個紅色積木等於2個白色積木 2個 紅色積木等於4個白色積木 那3個紅色積木 4個紅色積木呢 接著 小吳教師說 看到個綠色積木等於3個白色積木 2個綠色積木等於6 個白色積木 那3個綠色積木呢 那4個綠色積木呢 小吳教師在上課時 要求學童使用古氏積木來促進對數學的理解 但 是認真的小吳教師在教學步驟上 一步一步的主導學童的學習方式 可以 發現有以下幾個問題 chapter 數學教與學的不同觀點 3. 用背誦的方式來促進數學的學習是否有效 03

20 國小數學教材教法. 學童可以理解 九九乘法表 與加法的關係嗎 2. 這樣的教學是否可以促進學童的思考 3. 這樣的教學是否就是所謂 建構理念 的教學方式 探究式教學 範例三 什麼是重視數學思考的教學模式 小謝教師在上數學課時 在教2的乘法倍數時 拿出條橘色積木 等同於0個白色積木 與條紅色積木 等同於2個白色積木 問 說 請問同學 條橘色積木是幾條紅色積木呢 如果有 個 紅色積木 你想想看 答案會是多少呢 你也可以使用積木來回答 在教3的乘法倍數時 小謝教師用類似的方法 他拿出條藍色積木 等同於9個白色積木 與條綠色積木 等同於3個白色積木 問說 請問同學 條藍色積木是幾條綠色積木呢 如果有 個 綠色積木 你想想看 答案會是多少呢 你也可以使用積木來回答 04 小謝教師在上課時 要求學童使用古氏積木找出答案 來促進學童對 數學的思考 但是重思考的謝教師在教學步驟上 並沒有一步一步的主導 學童 而是相信學童有能力 所以給與學童一定難度的問題 這樣的學習 方式 我們可以發現有以下幾個問題. 學童可以解出這些有難度的問題嗎 2. 當學童個別無法解出時 可以運用分組討論的方式嗎 3. 這樣的方法會花更多的時間 還是可以更有效率的促進學童學習 4. 重視思考的教學模式與前兩種教學模式到底有何不同 二 不同教學觀點的理論依據 一 範例一的教學模式 由範例一的教學方法中 可以看出教師相信只要透過反覆不斷的練

21 習, 即 可 促 進 學 童 的 學 習, 而 這 樣 的 教 學 方 式 也 廣 泛 地 被 認 為 是 最 有 效 率 的 學 習 方 式 然 而, 這 樣 的 教 學 方 式 早 在 935 年 時,Brownell 即 歸 類 為 技 巧 練 習 性 的 教 學 模 式 (drill approach or skill-practice approach), 其 教 學 模 式 的 目 的 即 在 透 過 反 覆 的 背 誦, 練 習 基 本 的 數 學 技 巧, 以 達 到 精 熟 的 目 標 ; 其 想 法 源 自 於 Thorndike(922), 認 為 數 學 只 要 反 覆 熟 練, 學 童 就 會 數 學 基 本 的 運 算 能 力 Brownell(935) 舉 例 指 出, 當 學 童 進 行 42-8 的 算 式 運 算 時, 要 依 教 師 所 教 的 方 式, 例 如 2-8 要 跟 4 借 個 0, 然 後 才 能 -8,4 因 為 借 了 個 0 給 2, 所 以 剩 下 3,3 再 - 等 於 2, 所 以 答 案 是 24 Brownell 認 為 這 樣 的 運 算 過 程, 有 以 下 幾 項 嚴 重 的 問 題 :. 借 位 的 運 算 過 程 很 抽 象, 與 學 童 的 學 習 完 全 無 法 連 結 2. 忽 略 運 算 過 程 中 應 該 要 理 解 的 數 字 意 義 3. 學 童 必 須 要 依 教 師 的 指 示 來 學 習, 不 容 許 有 任 何 學 童 自 己 的 想 法 來 思 考 數 字 之 後 的 邏 輯 關 係 需 要 學 習 一 種 新 的 重 複 運 算 技 能, 以 加 速 學 童 的 運 算 技 巧 對 於 教 師 使 用 技 巧 練 習 的 教 學 方 式, 學 童 是 否 會 接 受 呢?Brownell 以 研 究 數 據 說 明, 有 32 位 學 童 經 由 教 師 使 用 技 巧 練 習 的 方 式 進 行 教 學 後, 教 師 設 計 了 6 題 給 每 位 同 學 施 測 結 果 顯 示, 有 22.7% 的 學 童 是 用 數 數 的 方 式 解 題, 有 4.% 的 學 童 用 其 它 的 方 法, 有 23.8% 的 學 童 猜 錯, 只 有 39.4% 的 學 童 是 用 反 覆 練 習 的 方 式 解 題 ; 也 就 是 說, 即 使 教 師 用 這 種 方 法 教 學, 學 童 會 使 用 這 樣 的 方 式 解 決 問 題 的 比 例 也 不 高, 部 分 學 童 還 是 會 選 擇 用 他 自 己 的 方 式 來 解 題 ( 二 ) 範 例 二 的 教 學 模 式 範 例 二 的 教 學 模 式 著 重 學 童 的 理 解, 然 而 學 童 的 學 習 過 程, 全 都 為 教

22 國小數學教材教法 師主導 著重學童於數學概念的了解 這樣的教學模式被Brownell稱之為 意義化的學習 為了讓學童能了解 所以教師教學的核心即在數學的 教學過程 意義化學習與之前所提技巧練習的教學方式 可相互搭配 即 學童在了解數字背後的含意時 就要反覆的練習 以加深記憶 Brownell 探究式教學 指出 意義化的學習視數學為一嚴密的系統 學童在學習過程中要仔細了 解其中的想法 原則與過程 Brownell認為數字很難理解 因為數字很抽象 例如5代表的是什麼 如果沒有具體物的出現 學童如何知道5的意義 就算5代表的是五朵花 學童在沒有看到五朵花的情況下 又如何能理解5代表五朵花的意義 所以 什麼是5 在數學教學中 要學童對數字產生意義是相當重要的 意義化學習 的重點在於 教師教學的順序要有邏輯 能按部就班 的教導學童 從學童可理解的起點建立起對數學系統的認識 所以 此種 教學方式著重的是教師直接的教學 而輔以引導學童發現學習數學的意 06 義 教師以展示教具的方式 要求學童模仿教師所教的過程 確定學童理 解了教師所教的方法 以達到數學學習的目的 三 範例三的教學模式 本教學模式著重問題的解決 學童必須思考才能解決教師所引導的問 題 Brownell稱之為 隨意學習 incidental learning 隨意學習的出 現是對於技巧練習方法的反動 隨意學習的觀點在於學童能自己發展出適 當的數學概念 可自行達成所需的基本運算技巧 學童可以發現重要數學 的關係與價值 但Brownell認為隨意學習的學習目標並不明確 學童自我 的探索與發現可能與所教的課程無關 而且隨意學習重視的是學童在心智 方面的成熟度 所以隨意學習可能無法達到教師預設的教學目標 然而 範例三的教學模式 於理論上已經過些許的修正 作者可依問題解決的想 法 設定欲達成的教學目標 促進學童的數學思考 而這樣的教學方式

23 源自於Baroody與Coslick 998 的想法 探究式教學 investigative approach 在探究式教學的特色中 重視既定的教學目標 設計中高難度的教學 活動 學童經由數學活動的探索 發現數學的關係 由於數學活動的難度 較高 學童需透過分組合作的方式進行解題 以達成目標 所以 教師的 角色為活動的提供者 而非直接教學者 為線索的暗示者 而非答案的提 供者 學童可以使用教具來驗證他們的答案是否合理 或是透過教具來發 現其他的特性 特別的是 探究式教學的過程中 學童會產生隨意學習中 自我發展出數學概念的可能性 進而使學童對數學產生好奇心與求知慾 進一步對數學學習產生正向的學習興趣 三 有關數學學習的觀點 從上述 可得知教師有關教學的觀點有三種類型 而有關學童於數學 的學習亦有三種類別 第一 用背誦的方式 學習數學 其二 依教師教 一 用背誦的方式 學習數學 在台灣 於64年版 教育部 975 的數學課程 大部分的學童都用 背誦的方式學習數學 在教師的觀念中 認為學童的學習要用背誦 不需 理解 重視步驟 不重概念 例如在小學一年級時 教師就會教大數減小 數 要學童背起來 學童就會將3 8 5 常有學童將個位的8減掉3 答 案 變成5 但是並沒有發現數字越減反而越大 在小學二年級時 背 誦 九九乘法表 例如一一得一 一二得二 一三得三 等等 將背 唐詩的作法拿來背誦數學 學童即使背錯了也不曉得原因 而在中 高年 級甚至國中的課程中 要求學童背誦的方式與口訣 更是不勝枚舉 為什麼要要求學童學習數學用背誦的呢 原因其來有自 有以下的這 chapter 數學教與學的不同觀點 學 理解數學 第三 運用思考的方式 學習數學 07

24 些 原 因 :. 可 能 教 師 之 前 數 學 的 學 習 也 是 用 背 誦 的, 所 以 現 在 當 教 師 了, 也 要 學 童 用 背 誦 的, 其 說 法 就 是 先 背 起 來 以 後 就 會 了 2. 可 能 為 了 上 課 的 進 度, 要 求 學 童 用 背 誦 的, 進 度 就 趕 上 了, 就 不 用 擔 心 進 度 落 後 的 問 題 3. 要 求 學 童 用 背 誦 的 方 式 學 習 數 學, 其 效 率 最 高 學 童 能 背 誦, 那 表 示 他 會 了 ; 反 之, 不 能 背 誦, 那 表 示 他 不 會 其 中, 就 能 看 出 教 師 教 學 的 效 果 而 在 小 學 最 嚴 重 的 問 題 就 是, 教 數 學 的 教 師 普 遍 數 學 素 養 不 夠, 對 數 學 觀 念 不 夠 清 楚, 未 能 掌 握 數 學 的 核 心, 所 以 學 童 在 學 習 時, 教 師 未 能 面 對 他 們 不 了 解 的 數 學 問 題, 對 症 下 藥 ( 二 ) 依 教 師 教 學, 理 解 數 學 08 台 灣 於 82 年 ( 教 育 部,993) 推 動 新 數 學 課 程, 在 九 年 一 貫 課 程 實 施 後, 學 童 的 學 習 逐 漸 成 為 依 教 師 的 教 學 步 驟, 重 視 理 解 的 過 程 而 這 段 政 策, 也 引 起 了 一 些 爭 議, 也 就 是 所 謂 的 建 構 數 學, 例 如 有 些 教 師 認 為 一 個 題 目 的 解 題 策 略 有 三 種, 就 要 教 三 遍, 這 樣 的 想 法 造 成 教 學 時 間 嚴 重 不 足 然 而, 此 一 政 策 將 全 國 的 學 童 進 行 為 期 九 年 的 實 驗, 先 不 論 效 果 如 何, 這 個 過 程 從 已 往 重 視 學 童 背 誦 的 方 式, 改 為 學 童 要 能 理 解 老 師 所 教 的 概 念, 過 程 中 引 起 不 小 的 反 彈 乃 起 因 於 相 關 配 套 不 完 整, 例 如 教 師 未 能 接 收 即 時 的 訓 練, 以 了 解 建 構 理 念 的 教 學 模 式 等 ( 三 ) 運 用 思 考 的 方 式, 學 習 數 學 在 台 灣 的 課 堂 中, 將 學 童 的 學 習 過 程 當 做 一 思 考 性 的 課 堂, 有 這 樣 思 維 的 教 師, 其 實 不 多 作 者 在 台 北 縣 頂 溪 國 小 進 行 自 編 課 程 研 究 時, 有 一 堂 課, 教 師 要 求 學 童 測 量 教 室 有 多 長, 在 下 一 堂 課 時, 又 要 求 學 童 測 量 跑

25 道 有 多 長 ( 謝 如 山,2003) 看 到 學 童 彼 此 討 論, 發 現 進 而 產 生 結 論 的 過 程, 作 者 才 看 到 數 學 的 學 習 原 來 應 該 要 是 這 樣 這 樣 的 學 習 歷 程 有 別 於 前 兩 種 的 學 習 方 式, 是 能 讓 學 童 擴 張 思 考 的 過 程, 而 非 如 一 般 教 科 書 將 已 做 好 的 教 材 包 讓 學 童 消 化 (Cobb, Wood, & Yackel, 99, p.5) 數 學 的 教 育 方 式 需 要 改 變 嗎? 很 多 家 長 告 訴 作 者, 他 們 懷 念 以 前 的 教 育 方 式, 認 為 以 前 的 方 式 最 好, 問 我 為 什 麼 要 改 變, 我 回 答 的 是, 學 數 學 的 目 的 是 要 啟 發 學 童 的 思 考 力 想 像 力 與 推 理 能 力, 以 前 的 教 育 方 式 無 法 滿 足 時 代 的 需 要, 如 果 我 們 要 用 以 往 的 教 育 方 式, 要 想 培 育 出 2 世 紀 所 需 的 能 力, 那 是 不 可 能 的 事 09 數 學 教 育 改 革 的 需 要 性, 可 以 從 兩 個 層 面 來 探 討 ( N a t i o n a l Commission on Excellence in Education, 983): ( 一 ) 社 會 快 速 的 變 遷 現 在 台 灣 的 學 童 在 十 到 二 十 年 後 將 面 對 世 界 的 競 爭, 他 們 會 面 對 更 多 量 化 的 資 料, 例 如 統 計 資 料 資 訊 資 料 財 務 資 料 等, 隨 著 科 技 進 步, 不 論 是 現 在 或 未 來, 更 要 具 備 的 是 資 料 處 理 分 析 組 織 創 造 與 邏 輯 等 等 的 能 力 (Fey, 990) 再 者, 隨 著 科 技 能 力 的 普 及, 例 如 SPSS(Statistical Program for Social Science) 等 軟 體 的 使 用, 對 於 計 算 能 力 的 過 度 練 習, 記 憶 數 學 公 式 等 已 不 再 是 學 習 數 學 重 要 的 課 題, 而 是 了 解 如 何 應 用 適 當 的 公 式 來 分 析 所 獲 得 的 資 料, 以 能 提 供 更 充 分 的 資 訊

26 ( 二 ) 下 一 代 將 面 臨 國 際 的 競 爭 力 隨 著 經 濟 的 競 爭, 國 家 的 界 限 越 趨 模 糊, 下 一 代 將 面 對 的 是 跨 國 的 競 爭 壓 力, 例 如 在 兩 岸 穩 定 的 發 展 下, 台 灣 的 學 生 到 中 國 進 修, 中 國 的 學 生 來 台 灣 留 學, 隨 著 網 路 知 識 的 流 通, 知 識 的 分 享 與 學 習 更 為 便 捷 是 故, 學 生 於 跨 國 文 化 的 吸 收 力 與 適 應 力 更 為 重 要, 而 數 學 相 關 領 域 為 可 跨 國 學 習 的 學 科, 未 來 具 數 學 競 爭 優 勢 的 學 梓, 將 更 具 有 世 界 競 爭 力 的 優 勢 發 展 學 童 的 數 學 能 力, 有 三 個 部 分 : 第 一, 意 義 化 學 習 ; 第 二, 建 立 學 童 正 向 的 學 習 態 度 ; 第 三, 建 立 探 究 的 學 習 歷 程 (Baroody & Coslick, 998) ( 一 ) 意 義 化 的 學 習 0 在 台 灣 九 年 一 貫 數 學 的 指 標 中, 提 及 有 關 意 義 化 的 學 習 概 念 ( 教 育 部,2003) 學 童 在 學 習 客 觀 可 檢 驗 的 數 學 語 言 與 思 考 規 則 時, 必 然 攜 帶 著 自 發 的 非 形 式 的 語 言 與 思 考 方 式, 如 果 教 學 者 只 強 調 形 式 化 的 數 學 材 料, 可 能 導 致 學 童 無 法 理 解 所 以, 了 解 學 童 所 具 有 的 先 備 知 識 另 類 概 念 直 觀 非 形 式 推 理 等 心 智 活 動, 配 合 學 童 的 認 知 發 展 狀 態, 適 當 地 選 擇 教 材 與 教 學 活 動, 才 能 協 助 學 童 進 行 有 意 義 的 學 習 要 如 何 協 助 學 童 了 解 數 學, 建 立 意 義 化 學 習 的 歷 程 是 必 要 的, 也 就 是 說, 建 立 數 學 與 生 活 連 結 的 經 驗 舉 例 來 說, 要 教 導 學 童 時 間 的 先 後, 如 前 一 小 時 或 後 兩 小 時 的 概 念, 可 連 結 至 學 童 學 習 畫 畫 或 學 習 游 泳 的 時 間, 了 解 什 麼 時 候 出 門, 什 麼 時 間 活 動 後 回 家, 即 可 有 效 學 習 時 間 的 計 算 Baroody 與 Coslick(998) 提 及, 建 立 意 義 化 學 習 比 背 誦 數 學 更 佳 的 優 勢 在 於 :

27 . : 因 學 童 了 解 其 原 理, 可 進 行 廣 泛 的 應 用, 進 而 強 化 數 學 學 習 的 興 趣 2. : 學 童 會 覺 得 數 學 是 容 易 理 解 的 學 科, 是 一 連 貫 性 的 知 識 相 對 的, 背 誦 數 學 會 使 學 童 覺 得 困 難, 才 需 要 不 斷 進 行 背 誦 3. : 學 童 能 用 數 學 概 念 連 結 至 生 活, 能 夠 更 加 容 易 了 解, 進 入 學 童 的 長 期 記 憶, 對 於 概 念 的 連 結 會 更 加 強 化 (Hiebert & Carpenter, 992) 4. : 學 童 在 學 習 類 似 概 念 時, 可 快 速 的 連 結 至 新 的 學 習 概 念, 建 立 新 的 知 識 架 構 更 為 容 易 ( 二 ) 建 立 學 童 正 向 的 學 習 態 度 在 台 灣 九 年 一 貫 數 學 的 指 標 中, 亦 提 及 有 關 學 童 正 向 的 學 習 態 度 ( 教 育 部,2003) 數 學 教 育 的 目 的, 若 要 讓 學 童 在 未 來 的 人 生 旅 途 中, 維 持 充 沛 的 數 學 學 習 與 探 究 的 能 力, 單 單 只 靠 開 拓 學 童 的 數 學 能 力 仍 嫌 不 夠, 還 必 須 培 養 學 童 正 向 的 數 學 態 度, 而 數 學 態 度 包 括 了 數 學 學 習 態 度 與 對 數 學 的 態 度 ( 三 ) 建 立 探 究 的 學 習 歷 程 於 台 灣 九 年 一 貫 數 學 的 指 標 中, 亦 提 及 有 關 探 究 的 學 習 歷 程 ( 教 育 部,2009) 九 年 一 貫 的 數 學 課 程 中, 應 養 成 學 童 具 有 主 動 探 究 數 學 及 願 意 利 用 數 學 方 法 解 決 數 學 上 與 生 活 上 的 問 題 等 兩 種 正 向 的 數 學 學 習 態 度 ; 也 應 破 除 數 學 只 有 考 試 時 才 有 用 的 負 面 態 度, 而 是 相 信 數 學 是 描 述 生 活 中 數 與 形 之 規 律 的 利 器 數 學 規 律 是 有 其 道 理 的 學 習 數 學 有 助 於 立 足 社 會, 以 及 數 學 是 推 進 人 類 文 明 的 要 素

28 國小數學教材教法 然而 傳統教授數學的方式影響學童學習數學的興趣 有以下三種可 能性 傳統教學強化了學童對數學不喜歡的態度 教師或家長傾向於讓孩子快速的學習數學 即是用背誦唐詩的方法來 探究式教學 學數學 使學童不了解數字產生的緣由 例如 九九乘法表 的背誦 往 往學童背誦錯了 亦不自知 這樣的教學方式重視的是短期的效果 但是 學童累積的不確定與不了解 卻可能造成學童在學習更高難度概念的障 礙 如同蓋一間十層的大樓 其地基不可能是由紙箱所架構的道理一樣 課堂中並沒有給學童進行解題過程的訓練 教師沒有給學童時間來做推理 例如上縮圖課程時 並沒有實際要求 學童將教室畫在一張紙上思考縮圖的比例 也沒讓學童如何運用分組的方 式來進行討論與學習 因此學童並沒有自課堂中發展出這樣的解題能力 2 教師重視的是數學的步驟 而非數學的概念 在學校的數學教學中 教師較多著重的是課堂的練習 而非數學思考 的訓練 例如二年級學童在學習進退位時 教師對2 6的演算 強調的是 2要變成 在的上方加0 才可以減6 而不知這只是減法退位的步驟 學童完全可利用古氏積木的操作來解題 而不必用上述的方式來解題 然 而 有些教師不知有其他方式可進行數學解題 就要求所有學童用一樣的 方式 若學童無法接受或理解 那他們將無法將數學應用至生活中 也可 能會造成學童在學習數學時的恐懼 Davis, 984; Kilpatrick, 985 參 教學方法的改變 探究式教學 很多的教師在研習時 都會問 如果用合作學習 學童要思考那麼 久 教學時數會不會不夠用 我的回答是 上課本來就是學童學習的

29 時間 而數學本來就是思考的訓練 大人在想一題數學題時 都可能花上 一週 一個月的時間 如果教師只讓學童想5分鐘 就要給一個答案 你覺 得這是在做數學的思考嗎 在九年一貫的課程指標中也指出 要重視學 童的解題與推理的探究歷程 如果學童沒有這些經驗 他們並無法真正學 習到數學的內涵 更沒有辦法進入數學的思考 探究式教學 the investigative approach 一詞是由Baroody與 Coslick 998 所提出的 有別於技巧練習的教學模式 探究式教學的特 性在於促進學童意義化的了解 也不同於概念式教學 不會要求學童使用 教師所提供的解題策略 而是要求學童進行探索與發現的歷程 以學童學習 九九乘法表 為例 在分析九九乘法表的架構時 學童 最快能學會的是 2 5與0的乘法 為什麼 2 5與0會讓孩子很快學 會呢 因為在的乘法規則中 任何數乘都是任何數 在2的乘法規則中 只要發現相同數字加兩次 就是乘2的結果 在5的乘法規則中 因為人有 五根手指頭 所以有關5的類型 很快就能學會 而在0的乘法規則中 學 乘法則會有學習的困難 因為乘法的倍數過大 而學童如果能運用 2 5 0的乘法基礎 就能有效解決 例如7 7 有些學童可以使用7 5 再 加上7 2的乘法概念 即可解決 所以 探究式教學著重的是 學童要能 發現數字彼此間的關係 並且尊重他們的解題策略 讓學童體會到數學的 架構 以更有效率的方式來學習數學 是故 作者在應用探究式教學的實驗課程中 謝如山 謝如山 王修亮 2002 歸納出探究式的教 學設計有以下的特色 分別加以論述 一 教師能採取開放與探究的教學方式 作者與小學教師合作課程的歷程中發現 教師不敢讓學童嘗試 不敢 chapter 數學教與學的不同觀點 童只要發現任何數之後加0 即是0的乘法 然而 學童對於 的 3

30 國小數學教材教法 給學童高難度的問題 在教學現場中 看到了太多的僵化 太多的不敢 然而 在專業的協助下 教師的能力可獲得提升 亦能勇於嘗試 當教師 的觀念改變了 隨之而來 看到學童們的創意與想法後 他們發現了教室 外的另一個天空 探究式教學 二 教師能採用有價值的教學活動 何謂有價值的教學活動 即活動設計能刺激學童多元思考的解題策 略 能形成學童的認知衝突 能引起學童的學習動機 能釐清學童的數學 觀念 能發揮學童的創造力與思考力 作者在參與探究式教學實驗的過程中發現 將數學的問題情境化讓學 童身歷其中 是很重要的關鍵 以下即為活動舉例說明 4 課程名稱 Kitty貓的活動設計 時間 約兩節課 年級 三年級 設計目的 使學童能加深對千至億的概念 並能診斷學童基礎乘法的 能力 例如一位數 一位數 二位數 一位數 三位數 以一位數 至多位數 一位數的乘法概念 活動一 Kitty貓的活動設計 I 三年級 小山要出國2天 請小華幫他養貓 有兩種付費方式 第一種付 費方式為小山每一天都付給小華00元 一直到第2天 第二種為小山 第一天付小華元 第二天付他2元 第三天付4元 第四天付8元 一 直到第2天 請問如果你是小華 會選擇哪一種付費方式?為什麼

31 活動二 Kitty貓的活動設計 II 四年級 後來小山決定要出國個月 他發現如果用第二種付費方式 在某 一天付給小華的費用會超過億元 請問是在哪一天呢 活動三 Kitty貓的活動設計 III 四年級 如果小山第一天付元 第二天付3元 第三天付9元 第四天付27 元 在第幾天他支付的金額會超過億元 活動四 Kitty貓的活動設計 IV 四年級 如果小山第一天付元 第二天付4元 第三天付6元 第四天付 64元 在第幾天他支付的金額會超過億元 三 從上而下的教學思維 何謂由上而下的教學思考 即在擬定教學計劃之前 先預設將達到的 設的學習概念 Baroody & Coslick, 998 例如上述的學習單元 學童 要學億的概念時 教師即設計活動二的單元 當學童發現哪一天會超過億 時 印象會特別深刻 然而 一般傳統式的教學方式 例如技巧練習的教 學或是意義化的學習模式 都是由下而上的教學設計 即先由教師教導基 本概念 再一步一步的教授更為深入的學習概念 但 由上而下的教學模 式是以學童為學習中心的想法出發 有別於由下而上的教學模式 其關鍵 在於教師要先改變其教學的模式 才能達到學童有效學習的目標 四 合作學習的需求 合作學習的方式 是九年一貫課程中達到溝通能力的重要歷程 為 chapter 數學教與學的不同觀點 數學學習概念 再進行單元設計 之後再進行教學 讓學童能發現到所預 5

32 國小數學教材教法 什麼需要溝通 communication 依課程標準 教育部 2009 NCTM, 2000 將溝通列為重要能力 如討論 質疑 辯證 發表等均為溝通能力 的表現 透過合作學習的歷程 學童可以學習到不同的溝通能力 除此之外 探究式教學 學童要能用數學語言來進行溝通 還要表現出尊重 傾聽等態度 然而 要促進學童合作 其前提在於教師要設計出中高難度的活動 一般教科書 的數學題目過於簡單 沒有合作的需求 因此 教師如何設計出適合該年 級學童的解題活動 在於教師要能了解該年級的程度 以設計出能符合學 童進行合作學習的活動 國內目前各縣市所提倡的學習共同體 黃郁倫 鍾啟泉譯 202 其理論即源自於合作學習的概念 五 統整的教學設計 統整課程的概念 在很多研究中都有述及 但數學課程中少有提到 6 統整 數學課程如何能與其它學科進行統整 亦為教師的一項挑戰 在 數學學科而言 九年一貫中的正式指標並不稱為統整 應稱為 連結 connection 教育部 2009 在美國的數學課程標準中也提到連結 NCTM, 2000 連結的意義有三 第一 要能連結數學的重要概念 例 如加法是乘法的累加 第二 要能有整體的數學知識 例如 可以為除法 2 概念 可以為分數概念 也可以為比值概念 其相互關係為何 第三 要 能將數學與生活結合 學童要能連結數學的概念應用至生活中 例如學童 在有限的經費中 規劃畢業旅行的行程等 所以 如何促進學童連結的能 力 才是統整教學中的核心 六 發揮學童的最大潛能 謝如山 2004 引自Ginsburg 997 中提及Piaget設計活動的目的在

33 於 能激發孩子最大的潛能 孩子到底會到什麼地步 永遠是身為大人的 我們所不了解的 我們能做的就只是觀察 發現 但透過活動的設計與實 驗 才知道這些活動是否適合學童的學習 所以 要設計出能激發孩子最 大潛能的活動 應是教師要有的專業想法 惟有透過數學活動的刺激 學 童的主動學習才會更加積極 才會更有數學的思考能力 參考書目 黃郁倫 鍾啟泉譯 202 佐藤學著 學習的革命 從教室出發的改革 台 北 天下雜誌 教育部 2009 國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域 台北市 教育 部 教育部 993 國民小學數學課程標準 台北市 教育部 7 教育部 975 國民小學數學課程標準 台北市 教育部 專題研究計畫成果報告 NSC S 新北市 國立台灣藝術 大學 謝如山 2002 九年一貫數學探究式之自編教材建構實驗課程研究 行政 院國家科學委員會專題研究計畫成果報告 NSC S 新北 市 國立台灣藝術大學 謝如山 2003 學校本位課程行動研究 以頂溪國小數學自編教材為例 南師學報 數理與科學類 37() 謝如山譯 2004 進入孩子心中的世界 台北 五南 謝如山 2007 台北縣頂溪國小數學探究式自編教材建構實驗課程研究 新北市教育局成果報告 台北縣 台北縣教育局 謝如山 2009 探究式教學數學課程實驗計劃 宜蘭人文小學 教育部 成果報告 台北 教育部 謝如山 20 探究式教學數學課程實驗計劃 桃園林森小學 桃園縣 chapter 數學教與學的不同觀點 謝如山 200 小學數學探究式之建構實驗教學 行政院國家科學委員會

34 教 育 局 成 果 報 告 桃 園 縣 : 桃 園 縣 教 育 局 謝 如 山 王 修 亮 (2002) 探 究 式 教 學 數 學 自 編 教 材 二 上 篇 台 北 : 山 之 聲 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Brownell, W. A. (935). A psychological considerations in the learning and the teaching of arithmetic. The teaching of arithmetic, the tenth yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics. New York: Teachers College. Columbia University. Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (99). A constructivist approach to second grade mathematics. In E. Von Glasersfeld (Ed.), Constructivism in mathematics education (pp. 7-48). Boston: Kluwer. Davis R. B. (984). Learning mathematics: The cognitive science approach to mathematics education. Norwood, NJ: Ablex. Fey, J. T. (990). Quantity. In L. A. Steen (Ed.), On the shoulders of giants. (pp. 6-94). Washington, DC: National Research Council. 8 Ginsburg, H. P. (997). Entering the Child' s Mind: The Clinical Interview In Psychological Research and Practice. New York: Cambridge University Press. Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (992). Learning teaching with understanding. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. (pp ). New York: Macmillian, Kilpatrick, J. (985). Doing mathematics without understanding it: A commentary on Higbee and Kunihira. Educational Psychologist, 20, National Commission on Excellence in Education (983). A nation at risk. Washington, DC: U.S. Government Printing Office. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM. Trafton, P. R., & Shulte, A. P. (Eds.), (989). New directions for elementary school mathematics (989 Yearbook). Reston, VA: National Counicl of Teachers of Mathematics. Thorndike, E. L. (922). The psychology of arithmetic. New York: The Macmillian Co.

35 Chapter 2 數 學 學 習 的 探 究 歷 程 : 解 題 推 理 與 證 明 溝 通 與 連 結 解 題 推 理 與 溝 通 在 數 學 學 習 的 歷 程 中, 扮 演 了 相 當 重 要 的 角 色 以 下 依 解 題 推 理 與 證 明 溝 通 與 連 結 等 四 部 分, 加 以 說 明 課 程 標 準 ( 教 育 部,2009;NCTM, 2000) 視 解 題 為 所 有 數 學 學 習 的 整 體, 其 意 義 為 學 童 在 事 先 不 了 解 一 個 問 題 的 解 法 下, 來 思 考 數 學 問 題 為 了 要 找 出 解 題 的 方 法, 透 過 數 學 思 考 的 歷 程, 學 童 可 以 學 到 更 新 的 數 學 概 念 也 就 是 說, 學 童 要 能 解 決 複 雜 的 問 題, 在 過 程 中 能 形 成 並 努 力 的 思 考 問 題, 過 程 中 可 能 會 花 上 很 多 的 精 力, 老 師 要 能 鼓 勵 學 童 不 斷 的 反 思, 以 促 進 學 童 的 數 學 思 考 所 以, 教 師 在 解 題 的 觀 念 需 要 建 立, 學 童 在 解 題 的 面 向, 在 NCTM(2000) 的 標 準 中 亦 有 所 要 求 以 下 依 教 師 教 學 面 向 與 學 童 學 習 面 向, 分 別 論 述 有 關 解 題 在 教 師 教 學 的 觀 點, 有 以 下 四 面 向 (Schroeder & Lester,

36 989; Stanic & Kilpatrick, 989) ( 一 ) 教 導 如 何 解 題 這 種 方 式 就 是 所 謂 的 直 接 教 學 法, 也 就 是 教 師 教 導 學 童 解 題 的 策 略, 以 應 用 Polya(973) 的 解 題 四 步 驟 模 式 為 最 具 代 表 性 的 方 法 有 關 Polya 的 解 題 策 略 請 參 ( 引 自 謝 如 山 謝 名 起 謝 名 娟 譯,2003:p70) 這 種 依 教 師 的 教 導 進 行 解 題 的 方 式, 是 較 為 傳 統 的 教 學 方 式 (Baroody & Coslick, 998) 在 學 校 中, 教 師 常 會 教 導 學 童 有 關 的 解 題 策 略, 例 如 看 到 未 知 數 就 設 x, 先 發 現 數 字 在 那 裡 等 方 式, 試 圖 能 教 導 學 童 快 速 解 題 這 些 用 講 述 的 方 法, 都 是 傳 統 式 教 導 解 題 的 教 學 方 式, 是 傾 向 於 技 巧 練 習 型 的 教 學 方 式 ( 二 ) 用 解 題 的 方 式 進 行 教 學 20 用 解 題 的 方 式 教 導 數 學 的 內 容, 目 的 在 使 學 童 能 易 於 了 解 解 題 在 此 可 被 視 為 練 習 計 算 技 巧 的 工 具, 亦 可 用 來 激 發 學 童 的 學 習 動 機, 讓 學 童 熟 練 教 學 的 技 巧 用 這 樣 的 方 式 進 行 教 學 可 以 有 兩 種 方 式 : 一 是, 看 到 學 童 從 開 始 到 解 題 完 成, 可 以 達 成 那 些 既 定 的 目 標 ; 二 是, 用 一 種 比 較 趣 味 的 方 式 來 應 用 學 校 所 學 的 數 學 知 識, 此 種 方 式 較 接 近 於 意 義 化 的 學 習 ( 三 ) 為 解 題 進 行 教 學 為 解 題 進 行 教 學 的 方 式 是 將 解 題 視 為 教 學 的 目 的, 教 師 要 能 提 供 學 童 具 挑 戰 性 的 數 學 問 題, 能 確 切 的 應 用 Polya 的 解 題 四 步 驟, 來 啟 發 學 童 的 解 題 思 考 所 以, 學 童 在 解 題 的 過 程 中, 即 已 建 構 了 解 題 所 需 的 策 略, 此 種 方 式 較 接 近 問 題 解 決 模 式 ( 四 ) 整 體 的 解 題 教 學 實 際 上, 教 師 在 教 導 解 題 的 技 巧 上 運 用 了 解 題 進 行 教 學, 或 是 為 了 達

37 2-Polya. 2. 敍 敍 資 料 來 源 :George Polya(973), How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method. Copyright 945, renewed 973 by Princeton University Press. Outline reprinted with permission of Princeton University Press. 2

38 到 學 童 解 題 能 力 的 不 同 階 段, 會 有 重 複 的 部 分 教 師 如 何 依 學 童 學 習 的 過 程, 設 定 學 習 的 目 標, 促 進 學 童 的 解 題 能 力, 培 養 學 童 解 決 生 活 中 真 實 的 問 題, 這 種 方 式 即 為 探 究 式 教 學 的 精 神 而 教 師 在 協 助 學 童 進 行 解 題 的 策 略 有 五 項, 分 述 如 下 :. : 教 師 可 以 在 班 上 張 貼 每 日 一 題, 或 是 每 週 一 題 的 數 學 問 題, 讓 學 童 花 較 長 的 時 間 來 思 考, 這 些 問 題 有 別 於 考 試 的 問 題, 是 無 法 在 5 分 鐘 或 是 0 分 鐘 內 就 可 以 解 決 的, 這 些 問 題 可 以 有 一 個 以 上 的 答 案 可 以 是 邏 輯 推 理 的 可 以 是 沒 有 特 定 形 式 的 可 以 是 生 活 情 境 中 的 可 以 是 與 學 校 課 程 不 同 的 等 等 問 題 的 來 源 可 來 自 網 路 課 外 書 籍 也 可 以 是 學 校 中 的 問 題, 例 如 要 如 何 節 省 電 力 如 何 節 省 水 資 源 如 何 繪 製 學 校 地 圖 等, 學 童 亦 可 提 出 他 們 自 己 想 要 解 決 的 問 題 (NCTM, 99) 教 師 應 該 要 用 不 同 的 22 數 學 問 題, 來 啟 發 學 童 不 同 的 能 力 (Ohanian, 992: p.7) 2. : 一 般 教 師 多 著 重 於 計 算 的 練 習, 或 是 已 知 解 題 策 略 的 練 習 題, 讓 學 童 反 覆 的 操 作, 這 些 練 習 對 學 童 多 元 的 解 題 能 力 與 解 決 多 變 的 實 際 問 題, 並 沒 有 助 益 (Kilpatrick, 985) 在 學 童 剛 開 始 解 題 的 階 段, 會 畫 圖 將 資 料 變 成 圖 表 會 尋 找 特 性 或 是 嘗 試 錯 誤 再 修 正 等 所 以, 學 童 解 題 策 略 的 能 力 是 逐 漸 養 成 的, 直 到 有 了 一 些 經 驗 後, 才 會 運 用 Polya 所 提 的 解 題 四 步 驟 模 式 3. : 教 師 的 責 任 就 是 要 營 造 一 個 能 進 行 解 題 的 班 級 氣 氛 在 進 行 解 題 時, 老 師 要 有 耐 心, 因 為 解 題 的 歷 程 是 緩 慢 的, 教 師 要 積 極 的 形 成 解 題 的 氛 圍 要 注 意 的 是, 教 師 不 是 解 答 的 提 供 者, 學 童 惟 有 自 己 解 決 問 題, 才 能 建 構 出 真 正 的 數 學 知 識 4. : 學 童

39 所使用的策略 一定有別於教師的想法 如教師如何激發學童多元 的解題方法 進行不同的數學思考 才能使學童相互發現新的知 識 以強化學童的學習 而非正式的思考策略 是創意的來源 更 是學童產生更有效率解決問題的開始 5. 能更有彈性 促進學童對於問題的條件 能更仔細的進行判斷 教 師要能協助學童在問題的解讀上 清楚的理解對於題目的意義及想 要獲得的結果 能進行邏輯的判斷 教師亦可協助學童產生圖像的 概念 讓學童從圖像來發現題目的方向 進行解題 二 解題在學童學習的觀點 培養學童的解題能力 是一種緩慢與困難的過程 Kilpatrick,. 985b: p.8 要成為一位問題解決者 需要面對高難度問題的挑戰 要用對方法 來協助學童對於數學能有概念性的了解 藉由解題的歷程 學童能培養出 23 思考的方法 能對不熟悉的題目產生好奇心 一定要解決與高度自信等態 從學童學習的角度來看 NCTM 2000 在幼稚園中班到高中三年級 pre-kindergarten through grade 2 的指標中 對於解題有以下四項的標 一 建立數學學習的新知識 首先 在建立數學學習的新知識部分 數學教師的專業角色在於選擇 有價值的數學問題與活動 要促進學童在解題的歷程中獲得數學知識 活 動的設計要能激發起學童的好奇心與學習的動機 例如 神奇表 如 表2-2 的單元設計 即為一種相當優質的活動設計 其目標在於建立二 年級學童在乘法交換律的觀念 使學童在不斷的發現與歸納的歷程中 可 溝通與連結 準 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 度 如此對於日常生活的事務 才會是一位成功的問題解決者

40 國小數學教材教法 探究式教學 24 表2-2 神奇表 x 以找出 為一對稱軸 而學童必須找 出為什麼數字會對稱的原因 在國小中年級 學童可以找出3的倍數 其數 字和相加均為3的倍數 9的倍數數字和相加也有同樣的特性 在國小高年 級 學童可以發現等值分數 如 等 在七年級 學童可以發現 的欄位加2的欄位等於3的欄位 用代數的關係式表示 即x 2x 3x x 可是0到9的任何數字 所以 一個好的活動可以在不同年級產生不同的數 學概念 而 神奇表 就是一個很好的例子 如表2-3

41 2-30 x n 2 3. Ex Ex Ex

42 ] Ex nn+n+n Ex 所 以, 教 師 在 選 擇 一 項 有 趣 的 活 動 或 問 題 時, 要 事 先 進 行 教 學 計 劃 訂 定 教 學 目 標, 有 計 劃 的 引 導 學 童 發 現 與 歸 納 或 許 有 些 發 現 或 創 意 不 在 教 學 計 劃 之 內, 但 學 童 發 現 的 過 程 均 應 獲 得 尊 重 ; 若 有 些 數 學 問 題 相 當 有 趣, 但 與 教 學 目 標 無 關, 在 時 間 有 限 的 課 堂 中, 就 可 能 要 需 要 考 慮 其 適 當 性 而 予 以 刪 除 ( 二 ) 解 決 在 數 學 情 境 或 其 它 的 情 況 中 所 產 生 的 問 題 一 位 問 題 解 決 能 力 較 佳 者, 會 基 於 不 同 的 情 境, 採 用 數 學 的 模 式 來 形 成 問 題 並 解 決 問 題 他 們 會 先 將 問 題 簡 化 後, 再 思 考 問 題 背 後 較 為 複 雜 的 因 素, 例 如 在 國 小 高 年 級 的 課 程 中, 就 兩 家 旅 行 社 中 選 擇 一 家 較 為 優 質 的 業 者, 這 就 是 一 個 較 為 簡 單 的 問 題, 但 是 為 什 麼 要 選 擇 這 一 家 特 別 的 業 者, 就 需 要 列 出 優 於 另 一 家 的 優 點, 如 價 格 旅 遊 的 景 點, 住 宿 的 飯 店

43 等 在 這 個 問 題 中, 學 童 要 先 有 清 楚 的 認 識, 深 入 的 分 析 後, 來 判 斷 哪 一 家 旅 行 業 者 能 提 供 最 好 的 服 務, 再 進 行 選 擇, 在 選 擇 的 過 程 中, 教 師 所 要 扮 演 的 角 色 是 提 問 與 引 導, 協 助 學 童 歸 納 出 結 論, 並 提 出 更 具 挑 戰 性 的 問 題 問 題 的 形 成 對 於 學 童 而 言, 是 相 當 容 易 的, 例 如 要 花 多 久 的 時 間 可 以 環 繞 台 灣 一 圈? 用,000 元 到 家 樂 福 可 以 買 哪 些 東 西? 等 等, 教 師 和 家 長 都 可 以 提 出 生 活 上 的 數 學 問 題, 以 促 進 學 童 對 生 活 上 的 數 學 問 題 進 行 思 考 尤 其, 教 師 在 營 造 班 級 氣 氛 與 創 造 問 題 的 情 境 上, 對 於 協 助 學 童 在 解 題 能 力 上 的 發 展, 是 相 當 重 要 的 ; 教 師 應 鼓 勵 學 童 發 現 嘗 試 錯 誤 分 享 解 題 的 歷 程 與 成 功 的 經 驗 等 在 教 師 給 予 一 個 支 持 性 的 學 習 環 境 下, 學 童 能 發 展 出 解 題 的 自 信, 越 能 形 成 在 生 活 中 的 數 學 問 題, 並 有 更 強 的 意 志 力 來 解 決 高 難 度 的 挑 戰 性 問 題 ( 三 ) 應 用 或 採 用 不 同 的 策 略 進 行 解 題 學 童 解 題 的 策 略 相 當 多 元, 他 們 可 以 畫 出 圖 形 尋 找 數 字 特 性 列 出 27 所 有 可 能 的 策 略, 來 進 行 解 題 ; 也 可 能 想 出 類 似 的 題 目 運 用 不 同 數 數 的 策 略 用 猜 測 估 測 或 是 用 手 指 數 算 的 方 式, 來 進 行 解 題 其 實, 真 正 的 問 題 在 於, 教 師 如 何 教 學 童 這 些 策 略 台 灣 在 82 年 ( 教 育 部,993) 所 推 行 的 新 數 學 課 程, 在 執 行 面 出 現 一 些 不 同 的 意 見, 例 如 教 科 書 中 列 出 了 三 種 解 題 策 略, 教 師 就 將 這 些 解 題 策 略 都 教 了 一 遍, 造 成 教 學 時 間 嚴 重 不 足 的 現 象, 因 此, 很 多 教 師 對 這 樣 的 教 學 出 現 了 相 當 分 歧 的 想 法 很 明 顯 的, 學 童 的 策 略 與 想 法, 應 是 由 教 師 啟 發 而 來 的, 並 非 是 由 傳 統 的 講 述 方 法 進 行 教 授, 因 為 學 童 的 解 題 策 略 是 一 種 發 明 是 一 種 創 新, 教 師 在 教 室 中 的 角 色, 是 要 鼓 勵 學 童 產 生 多 元 的 解 題 策 略, 之 後 加 以 歸 納 與 比 較, 讓 學 童 對 同 一 問 題 的 想 法 能 用 不 同 的 方 式 來 解 決, 例 如 從 台 北 到 新 竹 有 幾 種 路 線? 若 是 走 高 速 公 路, 可 能 只 有 兩

44 種 方 法 ; 若 是 走 省 道 或 是 搭 乘 不 同 的 交 通 方 式, 就 可 能 產 生 不 同 的 路 線 ; 若 是 要 想 出 所 有 的 可 能 路 線, 可 能 需 要 學 童 分 組 來 進 行 思 考, 之 後 分 組 發 表, 而 教 師 則 協 助 學 童 分 類, 再 歸 納 出 最 後 的 結 果 有 教 師 會 質 疑, 這 樣 的 教 學 是 否 會 影 響 授 課 的 進 度? 會 佔 用 很 多 上 課 的 時 間? 但 是, 我 們 要 關 心 的 是, 上 完 課 的 學 童 是 否 真 的 學 會 數 學 了? 如 果 上 課 只 是 讓 學 童 聽, 而 非 讓 學 童 進 行 思 考, 這 樣 的 教 學 是 無 效 的 惟 有 讓 學 童 自 己 建 構 出 數 學 的 策 略 與 想 法, 那 才 是 學 童 進 行 解 題 的 歷 程, 才 是 數 學 學 習 的 關 鍵, 否 則 一 切 的 學 習 都 是 枉 然! ( 四 ) 驗 算 或 是 反 思 數 學 解 題 的 過 程 要 能 有 效 的 進 行 解 題, 就 要 能 不 斷 的 檢 視 並 且 調 整 思 考 的 歷 程 NCTM(2000) 提 及, 當 題 目 是 文 字 題 時, 應 要 小 心 的 閱 讀 題 目, 直 到 理 解 ; 若 題 目 是 口 述 式 的, 則 一 定 要 問 清 楚 為 止 有 效 能 的 解 題 者, 會 在 解 28 題 的 時 候, 定 時 的 檢 視 是 否 解 題 的 方 向 正 確, 萬 一 不 能 繼 續 往 下 解 題, 則 會 停 止, 思 考 其 他 解 題 的 方 式 一 些 研 究 者 指 出 (Garofalo and Lester, 985; Schoenfeld, 987), 學 童 在 解 題 方 向 的 錯 誤, 原 因 是 經 常 誤 用 了 一 些 他 們 所 知 道 的 方 式, 而 並 不 是 缺 乏 數 學 知 識 所 致 Bransford 等 人 (999) 也 述 及 有 關 優 秀 的 解 題 者 會 意 識 到 他 們 在 做 什 麼, 不 斷 的 自 我 檢 視, 並 且 判 斷 他 們 的 策 略 是 否 能 有 效 的 進 行 解 題 所 以, 學 童 會 用 到 反 思 的 技 巧 或 是 所 謂 的 後 設 認 知, 這 樣 的 能 力 在 課 堂 學 習 中 是 應 該 要 被 教 師 支 持 的, 因 此, 教 師 的 角 色 應 在 於 協 助 學 童 發 展 這 樣 的 反 思 習 慣, 例 如 教 師 應 要 問 的 問 題 是, 你 了 解 這 個 問 題 嗎? 你 確 定 用 這 樣 的 方 式 可 以 解 決 問 題 嗎? 你 可 以 再 檢 視 一 下 過 程 嗎? 有 沒 有 其 他 的 方 法 可 以 解 決 呢? 而 這 樣 的 反 思 態 度 應 建 立 在 低 年 級 的 階 段, 當 教 師 持 續 的 使 用 這 些 問 題 時, 學 童 可 以 隨 時 調 整 解 題 的 策 略, 也 就 會 越 來 越 喜 歡 思 考 解 題 歷 程 的 合 理 性, 進 而 培 養 出 自 我 負 責 的 能 力

45 挑戰性問題 Baroody & Coslick, 998: p2-8. 小華想要準備聯考 但是 他家的廚房在滴水 發出滴的聲音 不幸的是 他家的客廳也在滴水 發出答的聲音 如果滴的聲音 分鐘平均有3次 答的聲音分鐘有5次 在滴與答同時出現後 小華下一次同時聽到滴答的聲音是什麼時候 2. 小華在50公尺的比賽中比小名快5公尺 如果小華對小名說 我在 起跑點前5公尺和你一起跑 我們應該會同時到達 小名說 你 真不愧是一位運動家 試問 他們會同時到達嗎 為什麼 29 溝通與連結 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 3. 有位工匠想要從地面到屋頂間造個階梯 地面到屋頂高28公 分 每階梯高8公分 試問 他要做幾個階梯 4. 小山和小舒是一對在軍中服役的情侶 小山每工作3天休假天 小舒每工作5天休假天 如果月日禮拜天他們同時休假 他們 下一次同時休假是什麼時候

46 國小數學教材教法 探究式教學 5. 小山打算數一數他存在小豬裡的元銅幣 當他5個一數時 剩下2 元 不管是2個一數 3個一數 或是4個一數都剩下元 若小山 的錢不超過00元 試問他的錢有多少 6. 3個連續整數的和是534 這3個整數是什麼 7. 小山有一袋高爾夫球 當在路上碰到小真 小真要了他袋中球的 一半多2個 後來又碰到小強 他也和小真有同樣的要求 後來 又碰到小華 小華也和小真有同樣的要求 最後小山的袋中剩下 30 2顆球 問小山本來有幾顆球 8. 請用四條線 將這九個點相連起來 線與線間不得重複或間斷

47 9. 只能移動一個點 把行與列的點數都要相同 不能製造出新的列或行 0. 在西洋棋盤上你能找出有幾個正方形嗎 挑戰性問題 2 Baroody & Coslick, 998: p2-4 梯上升了2層樓 又上升了5層樓 然後又上升了6層樓 又下了 9層樓 又上了4層樓 再上了7層樓 又下了8層樓 然後糊塗的 2. 一隻蝸牛要爬出8公分高的水溝 他白天只能爬6公分 到了晚上 又滑回3公分 試問要幾天 這隻蝸牛才能爬出洞口 3. 大年要把一塊板子平切成八塊 他找了一位切的師傅 已知要平 切成4塊的價格是24元 當切成八塊時大年要付多少元 假設 每塊都是平切的 4. 淑娟要買4張郵票 服務人員問他說 要4張在一起的嗎 他說 是 你能幫淑娟找出 有多少種4張郵票會放在一起的情況嗎 如 溝通與連結 阿山走出了電梯 試問他距離第4樓有多遠 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明. 粗心的阿山教授從樓搭電梯 他忘記按到第4樓的按鈕 當電 3

48 國小數學教材教法 5. 如果7根牙籤可組成下列3個三角形 需要多少根牙籤才可以組成 00個三角形 探究式教學 6. 如果有36個花片形成個三角形 試問你需要移動多少個花片才能 讓這個三角形的方向相反 圖片上僅顯示前三列的花片 每次只 32 能移動一個花片

49 7. 請在 中排入-9個數字 使每一行數字的和都能相同 8. 秀才 舉人 進士瓜分他們在考試中出題的薪水 共320元 進 士得到的是秀才所得的8倍 舉人得到的是進士與秀才薪水的差 價 請問 他們所得的錢各是多少 9. 一位賭徒剛領了薪水 週末就跑去賭博 他每天要付停車費3元及 吃飯0元 週六他一付完停車費及吃飯後 就減少了 的錢 週 4 日他又付完停車費及吃飯後 又減少了 的錢 在週日晚上回到 4 家後 只剩下60元 試問他的薪水多少 0. 小強把個0元 個0元和個5元 2個5元 分別放入3個不同 的杯子中 如果這3個杯子貼上錯誤的標籤 請問如何從杯中取 出一個銅幣後 可以確認每個杯子裡有多少錢 33 溝通與連結 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明

50 數 學 推 理 與 證 明 是 一 種 強 有 力 的 手 段 與 方 法, 來 發 現 生 活 現 象 的 能 力 ( 教 育 部,2009;NCTM, 2000: p56) 在 我 們 的 日 常 生 活 中, 對 於 週 遭 環 境 數 字 的 特 性 能 分 析 與 歸 納, 進 而 運 用 數 學 的 語 言 來 進 行 證 明, 例 如 在 找 地 址 時, 看 到 門 牌 號 碼 一 邊 是 單 數, 就 知 道 另 一 邊 是 雙 數 ; 往 前 走 看 到 號 碼 遞 減, 就 知 道 往 後 走 就 會 遞 增, 這 就 是 推 理 之 後 的 結 果 所 以,NCTM (2000) 特 別 提 到, 在 理 解 數 學 後, 重 要 的 關 鍵 就 是 推 理 在 各 年 級 階 段, 要 能 協 助 每 位 學 童 發 展 數 學 的 想 法, 來 探 索 日 常 的 現 象 判 斷 合 理 的 結 果 並 且 能 對 數 學 進 行 合 理 的 臆 測 及 對 事 物 的 複 雜 性 有 合 理 的 期 望 等 要 注 意 的 是, 推 理 與 證 明 不 是 可 以 在 一 個 數 學 單 元 中 被 教 導 的, 為 什 麼 學 童 覺 得 證 明 很 困 難, 是 因 為 證 明 需 要 嚴 謹 的 邏 輯 演 繹 過 程, 但 若 是 學 童 覺 得 證 明 很 困 難, 那 有 可 能 是 因 為 他 們 只 有 在 高 中 階 段 才 有 證 明 的 經 驗 34 (Moore, 994) 所 以, 推 理 與 證 明 應 該 在 幼 稚 園 到 高 中 時, 被 視 為 是 一 種 長 期 養 成 的 習 慣, 在 很 多 的 數 學 單 元 中, 都 應 該 持 續 的 進 行 推 理 的 訓 練 (NCTM, 2000: p56) NCTM(2000) 提 到, 推 理 與 證 明 要 能 使 十 二 年 一 貫 的 學 童 有 以 下 四 個 面 向 的 學 習 方 向 從 幼 兒 階 段 學 習 數 學, 要 讓 他 們 覺 得 對 事 情 堅 持 是 要 有 理 由 的 教 師 在 數 學 課 堂 中 要 對 孩 子 進 行 提 問, 例 如 為 什 麼 你 覺 得 這 是 對 的? 為 什 你 覺 得 這 個 答 案 是 不 一 樣 的? 你 為 什 麼 會 這 樣 想? 你 是 怎 麼 知 道 的? 像 這 些 問 題, 他 們 都 應 該 要 學 習 去 接 受 一 個 合 理 的 理 由, 並 且 能 同 意 或 是 不 同 意 同 學 的 說 法, 而 不 是 我 聽 同 學 說 的 我 聽 媽 媽 說 的 例 如 :

51 有一個題目是 寫出你的年齡 5 將結果 2 再 0 再 5 告訴我答案 我就會告訴你答案是多少 如果你將答案 0再 0就 會是答案 為什麼是這樣 學童要能解釋這個題目的理由 到底是為什 麼 NCTM, 2000: p57 各年級的學童應該要有系統性的推理能力 以台灣一至九年級的學童 為例 一年級應要能有跳數的能力 二年級要有奇偶數的推理能力 三年 級應要能有四則運算的估算與數字拆解能力 四年級要有四邊形特徵的邏 輯能力 五年級要有因數與倍數關係的推算能力 六年級應有怎樣解題類 型的歸納能力 七年級對於代數的關係式與圖形要有清楚的對應 八年級 對於畢氏定理的證明與演繹的方向能有清楚的想法 九年級對於相似形的 比例問題能有深入的了解等 二 產生與探索數學的推測能力 在演算數學的過程中 會要求學童推測 以進行更深入的發現 而學 師在學童發現的過程中 應藉由問題來強化學童進行推測 例如你看到什 麼 你發現有什麼特性 你覺得下一個變化是什麼 等等 一個六面的骰子 每一點出現的機率會是多少 如果兩個六面的骰子一塊 擲出 每一點出現的機率會會是多少 每一點出現的機率會一樣嗎 學童 或許會推測每個點數的機率是一樣的 但是當他們真正擲了00次所出現點 數的機會後 就知道推測的答案可能需要修正 所以 在小學階段 學童 可能需要具體操作計算機或是其它的教具來模擬 以探究他們的推測是否 正確 隨著年級的增高 運用抽象數學符號的機會也相對增加 學童也需要 學習與他人合作解題的能力 對其他同學所提出的推測想法 進行分享與 溝通與連結 教師也要能協助學童對數學問題進行推測 例如教師提問學童說擲出 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 童在推測的過程中 是發現數學特性的主要方法 NCTM, 2000: p57 教 35

52 國小數學教材教法 質疑 才能具備更全面思考的推理能力 此時 教師扮演著重要的角色 以協助學童進行思考上的修正 例如在整數的概念中 數字越大代表越 大 但是在分數的課程中 分母越大代表數值越小 分母越小代表數值越 大 教師如何修正學童不同的思維能力 可能對分數的教學要更為具體 探究式教學 以進行釐清 三 發展與評鑑數學的論證與證明 學童對於任何在數學上的想法 均要能有證明的方法 如二年級在教 奇偶數時 學童問 0是偶數還是奇數 經過討論後 學童說 0是 偶數 教師說 你可以想出0是偶數的理由嗎 學童說 0應該是 在下排 因為偶數都在下面 所以 可以如下所示 是偶數 小學二年級的學童就懂得發現數字規律的證明 來證明0是 否為偶數 在三年級教學童單位分數時 使用分數板進行教學 讓學童發 現整體的等值分數 如 ?? 因為他們發 現2片 2 等於 3片 3 等於 所以可以歸納出40片 40 等於 00片 00 等 於 四年級 教旋轉角的概念時 請學童找出2 5時 分針與時針的角 度是多少 學童要能想出當分針轉5分時 時針轉多少角度的概念 大多 數學童可證明為82.5度 五年級 要求學童能找出分配律的所有題型 結 合律的所有題型等 當學童理解分配律與結合律的性質後 均能找出其規 律 六年級 要能理解時間 距離 速率三者間的關係 才能釐清正反比 的關係 要能繪出正反比的圖形 才能更有效率的學習 在國中小階段 學童要能解釋他們解題的歷程 要能以清楚的表達方 式 透過小組的討論 分享以凝聚共識 並能於全班公開發表結論 因為

53 言語上的溝通論證 比用書寫的證明更為重要 NCTM, 2000: P58 四 選擇與使用不同類型的推理與證明方法 在數學中的推理 包括了幾何推理 代數推理 統計推理 比例推 理 機率推理 邏輯推理等等 教師要能協助學童來修正推理或證明的過 程 要能夠用數學語言來進行溝通 例如在 九九乘法表 中 學童可能 對5 7的算式會使用 的方式來進行拆解 以獲得正確的結果 或是當他們知道5 7的答案時 運用乘法交換律就會知道7 5的答案 這 些策略有可能是被教師所教授的 或是由學童自行產生的推理策略 推理的種類 可分為直覺性型考 歸納型思考與演繹型思考等 Baroody & Coslick, 998: p2-23 直覺型思考與歸納型思考都是在運用 猜測的方式進行推理 而演繹型思考則是運用之前的特性 來進行應用 例如 在生活中應用直覺型思考的想法 如小明認為通常藝術家都是天秤 座 因為他們都具備創作的本性 歸納型思考的想法 如小華看過的另類 繹型思考的想法 如小華所看到另類舞蹈的呈現 都是組合語言舞團的傑 作 所以今天晚上的另類舞蹈 應該也是組合語言的作品 活動一 你可以找出哪三個數字不見了 溝通與連結 以上三種推理思考在數學上的應用 可列舉如下各活動 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 舞蹈都是組合語言舞團所編的 所以組合語言跳的都是另類的舞蹈 而演 37

54 國小數學教材教法 你如何找出這三個數字. 你發現哪些數字不見了 是運用了哪一類型的思考模式 2. 當你找出了一個線索 是運用了哪一類型的思考模式 3. 當你要確定這三個數的位置 是運用了哪一類型的思考模式 探究式教學 活動二 教師的圖形是什麼 教師在釘板上使用橡皮筋圍出一個四邊形 如 梯形 要求全班 每一組學童輪流問一個問題 例如圖形是不是有一個直角 教師只能 回答是與不是 學童要能聆聽其他組同學的問題 來決定下一個問題 是什麼 直到將梯形的形狀猜出來 根據NCTM 989 課程標準 要協助學童發現數字的特性 來發 展邏輯性的思考與判斷 如何透過數學遊戲與活動的方式 來促進學 童這一方面的能力 就顯得相當重要 38

55 活動三 阿本 阿山 阿德排成一列的問題 Baroody & Coslick, 998: p2-25 阿本 阿山 阿德排成一列 阿本一定說真話 阿山有時說假話 阿德一定說假話 您能分出誰是誰嗎 在中間的 是阿本 我是阿山 在中間的 是阿德 39 活動四 你可以找出下列的法則嗎 2. -, - 0, 0, 2, 32 3, x 3. 請決定下列哪一項是絕對正確的 (2) 四邊等長的一定是正方形 (3) 如果出現圖形的四個邊是不等長的 那一定不是正方形 (4) 如果出現不是正方形 四個邊一定不等長 活動五 檢視反例. 檢視反例 如果下列的解釋不對 請將之訂正 () 四個連續整數相加 就是偶數 (2) 兩個連續整數相乘 便是偶數 溝通與連結 () 如果出現的是正方形 一定是四邊等長 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明.

56 40 (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2. () (2) (3) (4) 3. AB () AB (2) AB

57 活動七 我們這樣使大腦發達 農夫 愛吃醋的丈夫 介紹兩則古代有名的故事 據說東洋 日本 在西曆紀元以前即已存在 而西洋史只能追 溯到8世紀的阿羅汗時期 不過古代的傳說 在世界各地都一直流傳 著 到了6世紀 義大利數學家塔努塔里將第二則故事作了改編. 一個農夫帶著一匹狼 一頭山羊和一顆白菜想渡過河去 可是 船很小 除了他之外 每次只能帶狼 山羊 白菜的其中之一 才能渡過去 如果他不在旁邊的話 狼就會吃掉山羊 如果山 羊和白菜的話 它就會吃掉白菜 農夫要想把它們全部都運到 對岸去 而又絲毫不用擔心的話 該怎麼辦呢 2. 三個愛吃醋的丈夫 各自帶了妻子來過河 可是渡船只有一 艘 而且只能同時載兩個人 請問他們如何才能渡過河去 他們制訂了如下協議 不管是河邊還是對岸 丈夫不在身邊時 妻 子不能和其他男人在船上 而且丈夫不在身邊時 妻子即使和另外兩 個男人在一起也不行 那麼 他們想出了什麼方法呢 盪 修正 討論 以獲得更好的結果 溝通的歷程能讓想法更有意義 能 促進學童個別的想法在公開場合接受質疑 或是學童能經由溝通的方式來 思考進行數學的推理 並能與其他同學進行口頭與書面上的溝通 使他們 的想法將更為清晰與具備說服力 Hatano and Inagaki, 99 傾聽亦是一種能力 學童經由專注的傾聽能獲得別人的想法 來建構 出自己的理解方式 溝通的功能主要在於 從不同的觀點來協助學童 使 他們的想法更為完整 且能做出連結 以涉略數學不同的深度與廣度 溝通與連結 溝通是一種分享與釐清了解的歷程 透過溝通的歷程 學童能相互激 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 參 溝通 4

58 學 童 進 行 討 論 的 主 要 目 的, 在 於 形 成 共 識 的 過 程, 而 共 識 就 是 要 能 從 每 位 同 學 不 同 的 想 法, 來 產 生 一 致 性 的 想 法 與 做 法 形 成 共 識 是 不 容 易 的, 同 組 每 一 位 同 學 都 可 能 出 現 不 一 樣 的 答 案, 但 是 教 師 要 求 每 組 只 能 有 一 個 答 案, 這 時 全 組 就 必 須 形 成 共 識, 以 確 定 答 案 的 產 生 是 合 理 的 然 而, 若 是 使 用 講 述 法 的 方 式, 學 童 沒 有 討 論 的 空 間, 也 無 法 讓 數 學 的 想 法 經 過 分 享 的 機 制 來 進 行 對 個 人 想 法 的 修 正 所 以,NCTM(2000) 指 出, 溝 通 的 標 準 在 教 學 活 動 上, 要 能 有 以 下 的 教 學 效 能 : 運 用 各 種 形 式 溝 通 溝 通 可 以 運 用 各 種 形 式, 如 圖 像 使 用 教 具 數 學 符 號 或 是 口 頭 說 明 42 等 方 式 來 進 行 重 要 的 是, 透 過 溝 通 等 模 式 可 減 少 學 童 對 於 迷 思 概 念 的 錯 誤 再 者, 溝 通 可 以 讓 學 童 協 助 需 要 的 同 學, 形 成 學 習 的 社 群, 讓 教 師 與 同 學 共 同 分 擔 教 與 學 的 責 任 (Silver, Kilpatrick, and Schlesinger, 990) 思 考 與 溝 通 是 交 互 作 用 的 歷 程 很 多 時 候, 學 童 表 示 知 道 怎 麼 做, 可 是 不 會 用 說 的, 那 表 示 他 們 的 思 路 還 不 夠 清 晰, 若 要 學 童 能 會 用 說 的, 就 需 要 經 過 再 思 考 的 歷 程 在 低 年 級 階 段, 教 授 湊 十 的 組 合 方 法 時, 要 求 學 童 能 用 各 種 方 法 找 出 與 橘 色 積 木 一 樣 長 的 方 法, 一 般 學 童 可 以 找 出 20 種 不 同 的 方 式, 例 如 用 5 個 紅 色 積 木, 個 紅 色 積 木 是 2, 也 可 以 用 3 個 淺 綠 色 積 木 和 個 白 色 積 木 等 孩 子 在 私 下 可 以 很 容 易 說 出 他 們 所 找 出 的 答 案, 但 是 若 要 學 童 上 台 發 表, 他 們 就 會 說 不 出 來, 一 是 膽 却 ; 二 是 可 能 在 台 上 怕 同 學 找 出 錯 誤 的 答 案 但 是, 上 台 發 表 是 一 個 重 要 的 過 程, 是 需 要 勇 氣, 也 需 要 訓 練, 教 師 應 要 從 低 年 級 就 能 訓 練 學 童 的 發 表 能 力

59 當 學 童 在 排 出 20 種 湊 十 的 方 法 後, 學 童 要 能 將 這 個 結 果 記 錄 下 來, 不 論 是 記 在 他 們 常 用 的 數 學 簿 上, 或 是 記 在 他 們 的 學 習 單 上 這 個 記 錄 的 過 程 很 重 要, 因 為 記 錄 也 是 一 個 溝 通 的 歷 程, 他 們 可 以 透 過 記 錄 來 發 現 他 們 找 出 的 重 要 結 果, 再 加 以 檢 視 是 否 合 理, 且 這 樣 書 寫 的 過 程, 能 促 使 學 童 使 用 正 式 的 數 學 語 言 來 溝 通, 在 未 來, 他 們 也 可 以 用 這 樣 的 記 錄 方 式, 來 進 行 後 續 的 活 動, 如 湊 二 十 的 方 法 等 發 表 的 過 程 是 公 開 化 的 重 要 階 段 學 童 在 私 下 解 題 時, 或 許 不 曉 得 要 如 何 解 決, 但 是 透 過 公 開 的 發 表, 同 學 可 以 很 容 易 分 享 到 別 人 的 解 題 策 略, 進 而 了 解 公 開 化 是 一 個 結 果 的 發 表, 發 表 的 同 學 在 上 台 前, 需 要 先 確 定 他 們 的 想 法 是 否 可 行, 有 些 同 學 往 往 在 發 表 後, 經 由 其 他 同 學 的 提 醒, 才 發 現 他 們 的 邏 輯 有 問 題, 再 進 行 43 修 正 所 以, 透 過 公 開 發 表 的 機 會, 可 以 給 學 童 再 反 思 的 機 會, 也 可 以 給 教 師 重 新 檢 視 的 機 會 (Lampert, 990), 經 由 不 斷 的 發 表 與 反 思, 學 童 的 思 考 會 更 加 精 鍊 要 能 促 進 孩 子 的 思 考 與 發 表 的 空 間 教 師 要 能 給 學 童 一 個 自 由 發 想 的 環 境, 來 促 進 孩 子 的 思 考 國 小 低 年 級 學 童 可 由 教 師 的 協 助 來 進 行 討 論 與 發 表 的 過 程, 這 些 活 動 甚 至 可 以 在 一 年 級 或 二 年 級 的 課 堂 就 開 始 進 行 了 若 學 童 在 國 小 低 年 級 已 經 有 討 論 的 慣 性, 那 國 小 中 年 級 階 段 的 討 論, 可 以 進 入 到 較 深 的 主 題, 例 如 可 以 分 組 測 量 學 校 跑 道 的 長 度, 再 進 行 發 表 ; 到 國 小 高 年 級 時, 可 以 製 做 學 校 的 縮 圖, 以 分 組 解 決 生 活 上 的 問 題 但 是, 若 在 國 小 中 年 級 才 開 始 進 行 分 組 討

60 國小數學教材教法 論的課程模式 可能會較為困難 不過如能在教師的努力引導下 還是可 以完成 若是到了國小高年級才開始進行分組討論的課程模式 因學童獨 自解題的慣性已經形成後 要讓學童改變進行分組方式 對教師而言是項 挑戰 探究式教學 書寫的溝通技巧 對於國小低年級學童而言 因為字彙的關係 還沒有很多的經驗 所 以可能需要用畫圖的方式來進行溝通 但當語文字彙增加時 用書寫的文 字會更加完整 在國小中年級時 學童在書寫時 會更為成熟 學童可能 仍會使用一般性的語言來描述數學的概念 例如使用尖尖的表示角 至高 年級時 學童可以使用更加完整的數學語言 進行溝通 到了國中或是高 中時 學童使用的語言將更為數學化 不論是那一階段的數學語言 教師 的引導與協助 都是非常重要的 44 三 能分析與評判他人的數學思考與策略是否 合理 在進行解題的過程中 有些學童會有較快的領悟能力 而有些學童可 能還不了解題目的意義 但經由分享與討論的過程 學童能很快的清楚解 題的方向 並能與同學討論 分享他們解題的歷程 進而發現是否合理 在三年級的課程中 我嘗試讓學童解一個題目 一隻工蟻長0.3公分 蚱蜢長3公分 工蟻和蚱蜢排成一排 共長5 公分 請問有幾隻蚱蜢和工蟻 在這解題的過程中 要讓學童了解其他學童的解題想法 其實是相當 困難的 因為學童的解釋可能無法讓其他同學理解 在解題的過程中 重 點應放在解題的策略與討論的歷程 有些策略是合理的 有些策略是不合

61 理的 例如學童認為有5隻蚱蜢 沒有工蟻 合不合理 學童要能從這些策 略中 篩選與判斷答案的合理性 進而形成全組的共識 四 能準確使用數學的語言與表現數學思考 學童在國小低年級時 很容易使用一般的語言來描述數學的語言 例 如和與分 即代表加與減 用積木的橘色代表0 白色代表 0 就 是橘色加白色 這些都是很常見的一般語言 但在國小中年級時 數學的 正式單位語言漸漸增加 例如分數 除法與單位的量詞 以單位來看 三 年級學童需要理解公分 公尺與公釐的關係 需要理解公升 分公升與毫 公升的不同 這些正式的數學語言 會讓學童混淆 產生很多的錯誤 所 以 在介紹這些正式的數學語言時 教師應讓學童去體驗00公尺有多長 00公分與00公釐在生活上的使用為何 再介紹這些單位的不同 當數學 的學習成為有意義的情況下 學童發生錯誤的情況就會降低了 在學童進行正式數學概念的課程時 教師要避免在教學的進度上不能 先讓學童描述這個正方體的角是什麼 為什麼我們稱它為角 邊長與頂點 也應先讓學童了解其意義為何 再進行角 邊與頂點的活動 最好是能讓 肆 連結 學童要能連結數學至生活上的經驗 如此對數學的了解才會更為深 入 作者在與三年級的教師進行教學時 學童會做四位數與三位數的減法 計算 但是在使用錢幣時 學童就不會了 例如小山用,000元要買235元 的模型車 請同學當老闆 應該要找回給小山幾元呢 很多學童都不會找 溝通與連結 學童進行操作 讓學童對於這些概念有清楚的了解 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 太快 否則可能會造成學童學習的挫折 例如介紹角 邊長與頂點時 應 45

62 錢, 這 種 情 形 就 說 明 了 學 童 只 會 做 學 校 的 數 學 題, 但 是 不 會 將 其 計 算 情 境 應 用 至 生 活 中 在 教 育 部 (2009) 提 到, 教 學 應 該 要 能 重 視 數 學 觀 念 的 連 結, 不 是 只 有 學 數 學, 而 是 要 能 學 習 如 何 使 用 這 些 數 學 知 識 要 讓 數 學 與 生 活 連 結, 教 師 並 非 只 有 教 授 課 本 上 的 知 識, 更 要 能 進 行 實 際 的 實 作, 例 如 當 學 童 對 於 公 尺 的 概 念 很 模 糊 時, 除 了 在 三 年 級 教 授 公 分 公 尺 與 毫 米 的 換 算, 更 要 營 造 出 學 童 在 學 習 公 分 公 尺 與 毫 米 的 需 求 教 師 可 以 提 問 學 童, 教 室 要 用 什 麼 樣 的 單 位 來 測 量? 原 子 筆 呢? 課 本 的 厚 度 呢? 等 等, 找 出 學 童 使 用 這 些 單 位 的 需 求, 才 能 引 起 學 童 的 學 習 動 機, 也 才 能 促 進 學 童 對 長 度 的 深 層 思 考 以 下, 依 NCTM(2000) 所 提 有 關 連 結 的 面 向, 分 別 論 述 教 師 要 在 課 堂 中 協 助 學 童 解 決 數 學 問 題, 同 時 也 要 建 立 連 結 的 態 度 46 ( 教 育 部,2009;NCTM, 2000) 教 師 不 應 將 數 學 知 識, 只 視 為 是 一 些 零 散 的 知 識 概 念 與 技 巧, 例 如 當 學 童 看 到 雙 數 的 地 址 號 碼 時, 要 能 運 用 的 數 字 跳 數 特 性 連 結 的 方 向 可 分 為 三 種 :. 將 生 活 與 數 學 連 結 的 觀 念 應 要 存 在 於 所 有 的 年 級 中 : 於 量 的 概 念 來 看, 二 年 級 的 學 童 在 生 活 中 能 應 用 乘 法 的 概 念, 如 日 曆, 可 發 現 是 以 七 跳 數 的 策 略 ; 三 年 級 時, 在 容 量 單 元, 如 瓶 養 樂 多, 應 該 認 知 到 為 00 毫 升 ; 在 四 年 級 時, 對 跑 道 的 長 度, 應 有 大 約 是 200 公 尺 長 的 距 離 等 ; 在 五 年 級 時, 對 於 大 單 位, 如 公 秉 的 概 念, 應 要 與 水 的 度 數 連 結, 並 能 了 解 大 概 度 水 是 000 公 升 的 概 念 ; 在 六 年 級 時, 討 論 有 關 時 間 距 離 與 速 率 的 關 係 時, 應 要 能 與 生 活 上 的 交 通 工 具, 如 高 鐵 台 鐵 等 概 念 連 結, 才 會 有 更 清 楚 的 應 用 關 係 2. 除 了 生 活 上 的 連 結 外, 學 童 應 要 能 理 解 數 學 概 念 間 的 連 結 : 例 如 在

63 四 年 級 時, 學 童 應 要 能 了 解 之 前 所 學 習 的 乘 法 與 加 法 除 法 與 乘 法 加 法 與 減 法 減 法 與 除 法 等 的 關 係 3. 學 童 要 能 將 數 學 應 用 於 其 它 學 科 : 例 如 在 自 然 科 中, 學 童 能 將 數 學 在 比 例 上 所 學 的 概 念, 應 用 至 攝 氏 與 華 氏 的 轉 換 公 式 上 在 NCTM(2000) 的 概 念 中, 更 將 連 結 的 能 力 分 為 四 階 段 : : 幼 稚 園 中 班 到 二 年 級 時, 學 童 要 能 發 現 數 字 的 規 律, 如 一 星 期 有 七 天 等 : 三 到 五 年 級 時, 學 童 要 能 發 現 四 則 運 算 的 相 互 關 係 等 : 六 到 八 年 級 時, 學 童 要 能 發 現 有 理 數 與 無 理 數 的 特 性, 並 能 理 解 線 性 的 關 係 : 九 到 十 二 年 級 時, 學 童 要 能 從 所 學 的 一 個 概 念, 應 用 至 其 它 不 同 的 數 學 概 念 連 結 的 意 義 在 學 童 的 學 習 上, 即 要 與 之 前 的 學 習 經 驗 結 合, 當 學 童 在 47 應 用 小 數 的 乘 法 時, 可 能 就 要 連 結 到 之 前 學 習 整 數 的 乘 法 ; 再 者, 學 童 在 進 行 異 分 母 的 加 減 法 時, 就 要 連 結 到 之 前 的 最 小 公 倍 數, 在 通 分 後, 才 能 進 行 加 減 法 運 算 在 比 例 上, 當 學 童 在 進 行 尋 找 圓 周 率 的 時 候, 可 以 使 用 各 種 圓 形 的 容 器, 如 奶 粉 罐 寶 特 瓶 量 杯 輪 胎 免 洗 餐 盤 等, 使 用 平 均 值 求 得 圓 周 率 的 比 值, 來 估 計 直 徑 與 圓 周 長 的 比 率 學 童 在 不 同 的 年 級 階 段, 在 同 一 數 學 概 念 的 架 構 下, 會 有 不 同 的 學 習 概 念, 例 如 在 公 分 的 概 念 上, 學 童 在 一 年 級 時 認 識 長 短, 二 年 級 時 認 識 公 分, 三 年 級 時 認 識 平 方 公 分, 四 年 級 時 認 識 四 邊 形, 五 年 級 時 認 識 立 方 公 分 等 體 積 概 念, 即 是 將 量 的 概 念 進 行 整 體 的 了 解 ; 再 者, 在 數 的 概 念 上,

64 學 童 在 一 年 級 對 整 數 的 加 減 要 能 有 大 概 的 了 解, 在 二 年 級 時 要 能 對 乘 法 有 所 了 解, 在 三 年 級 時 能 認 識 除 法, 四 年 級 時 能 運 用 括 號 進 行 二 步 驟 的 四 則 混 合 運 算, 五 年 級 能 了 解 分 數 與 小 數 的 觀 念, 六 年 級 則 能 對 分 數 與 小 數 進 行 四 則 混 合 運 算 等 若 是 學 童 在 某 個 年 級 的 概 念 沒 有 建 立 整 體 觀, 即 會 對 之 後 的 數 學 學 習 產 生 斷 層 雖 然 不 同 年 級 會 有 不 同 延 伸 的 概 念, 但 當 學 童 能 對 不 同 年 級 所 學 的 概 念 產 生 連 結, 就 不 會 覺 得 數 學 是 零 碎 的 知 識 所 以, 將 數 學 的 概 念 和 步 驟 進 行 整 合, 是 教 學 的 核 心 在 國 中 小 學 校 的 數 學 學 習, 要 能 解 決 在 課 本 之 外 的 數 學 問 題, 這 與 如 何 應 用 數 學 課 程 至 其 它 科 目 一 樣 的 重 要 NCTM(2000) 提 到, 有 關 幼 兒 到 二 年 級 的 課 程 要 能 與 生 活 密 切 相 關, 在 三 至 五 年 級 學 童 要 能 應 用 數 學 知 48 識 到 其 它 的 科 目, 而 在 更 高 年 級 時, 學 童 要 能 更 有 自 信 的 應 用 數 學 知 識, 來 解 決 更 為 複 雜 的 生 活 問 題 應 用 一 個 生 活 的 情 境, 來 讓 學 童 有 機 會 來 學 習 數 學, 是 相 當 重 要 的 數 學 可 以 應 用 在 商 學 醫 學 科 學 與 人 文 科 學 領 域, 要 將 數 學 應 用 至 其 它 領 域 並 非 只 是 在 學 科 的 內 涵 進 行, 而 是 要 在 學 科 的 歷 程 進 行 轉 化, 也 就 是 應 用 數 學 的 知 識 來 解 決 科 學 的 問 題 等, 例 如 在 進 行 攝 氏 與 華 氏 的 溫 度 轉 換 時, 應 要 運 用 數 學 的 比 例 概 念, 來 找 出 轉 換 公 式 的 關 係 式 等

65 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 教 育 部 (993) 國 民 小 學 數 學 課 程 標 準 台 北 市 : 教 育 部 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Bransford, J. D., Brown, A. L., & Cocking, R. R. (999). How People Learn: Brain, Mind, Experience, and School. Washington, D.C.: National Academy Press. Garofalo, J., & Lester, F. K. (985). Metacognition, Cognitive Monitoring, and Mathematical Performance. Journal for Research in Mathematics Education 6, Hatano, G., & Inagaki, K. (99). Sharing Cognition through Collective Comprehension Activity. In L. B. Resnick, J. M. Levine, J. M. & S. D. Teasley (Ed.), Perspectives on Socially Shared Cognition, pp Washington, D.C.: American Psychological Association. 49 Kilpatrick, J. (985). A restrospective account of the past twenty-five years of research on teaching mathematical problem solving. In E. A. Silver (Ed.), Teaching and learning mathematical problem solving (pp-5). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Lampert, M. (990). When the Problem Is Not the Question and the Solution Is Not the Answer: Mathematical Knowing and Teaching. American Educational Research Journal, 27 (), National Council of Teachers of Mathematics (989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (99). Professional Standards for Teaching Mathematics. Reston, Va.: NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM. Ohanian, S. (992). Garbage pizza, patchwork quilts, and math magic: Stories about teacher' s who love to teach and children who love to learn. New York: W. H. Freeman

66 and Co. Polya, G. (973). How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton, NJ: Princeton University Press. Schoenfeld, A. H. (987). What ' s All the Fuss about Metacognition? In Schoenfeld: In Cognitive Science and Mathematics Education, pp Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates. Silver, E. A., Kilpatrick, J., & Schlesinger, B. G. (990). Thinking through Mathematics: Fostering Inquiry and Communication in Mathematics Classrooms. New York: College Entrance Examination Board. 50

67 Chapter 3 基 礎 的 數 學 學 習 : 早 期 的 數 字 概 念 與 數 數 數 數 是 學 童 在 學 齡 前 就 已 具 備 的 能 力, 從 唱 數 到 使 用 具 體 物 進 行 一 對 一 的 數 算 是 不 一 樣 的 在 3 歲 時, 學 童 就 應 要 能 具 備 數 字 3 至 5 以 內 的 對 應 能 力,4 歲 就 應 要 有 到 0 的 數 算 能 力, 在 5 歲 時 就 應 要 能 具 備 20 以 內 的 數 算 能 力 學 童 的 數 數 策 略 是 自 行 發 展 出 來 的, 但 我 們 常 看 到 很 多 家 長 為 了 怕 孩 子 挫 敗, 而 主 動 教 孩 子 數 數 的 方 法, 這 非 但 沒 有 幫 到 忙, 可 能 還 因 此 阻 礙 了 學 童 在 數 數 策 略 的 發 展 我 常 問 教 師 : 數 數 難 不 難? 為 什 麼 要 數 數? 學 童 不 會 數 數 會 有 什 麼 關 係? 教 師 們 回 答 : 因 為 課 程 要 求 學 童 要 數 數, 所 以 我 們 要 教 這 個 答 案 並 沒 有 真 正 的 回 答 學 童 在 數 數 的 重 要 性 數 數 的 重 要 性, 不 是 只 為 了 課 程 標 準 的 實 踐, 是 因 為 數 數 是 為 了 要 找 出 一 群 物 體 的 數 量, 有 些 學 童 為 了 避 免 重 複 數 算, 所 以 只 要 數 過 的 就 會 用 畫 記 的 方 法 ; 有 些 為 了 更 有 效 率 的 數 算, 而 發 展 出 了 兩 個 一 數 的 策 略, 這 些 數 數 的 策 略, 就 是 為 了 要 分 析 數 量 有 多 少 所 以, 數 數 是 一 種 能 力, 是 一 種 策 略 的 發 展, 更 是 對 於 兩 堆 數 量 的 分 與 和, 即 加 與 減 的 重 要 基 礎 而 學 童 的 數 數 能 力, 對 於 在 整 數 的 四 則 運 算 上, 會 是 重 要 的 關 鍵 學 童 在 數 數 的 階 段, 是 用 手 指 點 數 的 方 法 學 童 習 慣 用 手 指 來 做 加 法 和 減 法 運 算, 為 什 麼? 因 為 手 指 是 他 們 最 直 接 可 以 使 用 的 具 體 物, 他 們 需 要 手 指 來 熟 悉 這 些 運 算, 因 為 運 算 本 身 是 抽 象 的, 他 們 需 要 從 具 體 操 作 來 建 立 抽 象 的 運 算 概 念 有 些 教 師 會 不 讓 學 童 使 用 手 指 進 行 運 算, 覺 得 這 是 低 階 的 計 算 方 法 ; 相 對 的, 這 些 學 童 若 是 沒 有 其 他 的 具 體 物 來 替 代, 則 會 有 計 算 的 錯 誤 ; 更 嚴 重 的 是, 在 心 理 上, 對 數 學 學 習 會 產 生 恐 懼, 會 沒 有 自 信 教 師 需 要 的 是, 當 學 童 在 用 手 指 進 行 數 算 時, 應 對 這 些 學 童 仔 細 的

68 觀 察, 發 現 這 些 學 童 的 需 要, 並 可 提 供 更 為 具 體 的 教 具 進 行 操 作, 以 協 助 他 們 對 於 進 位 或 退 位 的 觀 念 數 字 是 一 種 複 雜 且 多 面 向 的 概 念, 有 意 義 的 數 數 活 動, 在 學 齡 前 即 可 開 始, 一 般 而 言, 幼 稚 園 中 班 的 幼 兒, 對 數 數 即 有 相 當 的 理 解 數 數 的 順 序 雖 是 機 械 性 的, 但 數 數 的 意 義 是 所 有 其 他 數 字 觀 念 的 關 鍵 概 念 數 數 技 巧 包 括 兩 種 : 首 先, 學 童 必 須 能 依 順 序 說 出 標 準 的 數 詞 ; 其 次 能 連 結 其 順 序, 一 個 接 一 個 的 點 數, 一 次 只 數 一 個, 而 且 只 有 一 數 能 夠 數 數 與 知 道 數 數 所 指 為 何 是 有 差 別 的, 數 數 時, 最 末 一 數 便 是 這 一 組 基 數 的 名 稱, 大 約 4 歲 半 的 幼 兒 才 具 有 基 數 原 則 的 能 力 數 數 在 國 小 階 段 所 要 達 到 的 教 學 目 標, 總 括 的 說 就 是 指 能 進 行 數 的 52 說 讀 聽 寫 做 等 數 字 的 書 寫 與 辨 認,Baroody(987) 認 為 書 寫 練 習 需 要 時, 將 可 節 省 許 多 時 間, 用 以 討 論 各 個 數 字 的 特 徵 以 及 畫 出 數 字 的 筆 劃 另 外, 應 該 提 供 學 童 向 前 數 與 往 後 數 的 經 驗, 因 為 對 多 數 兒 童 而 言, 這 是 困 難 的 技 巧, 尤 其 倒 數 首 先, 讓 學 童 在 數 數 活 動 中, 能 數 出 一 堆 計 數 物 的 個 數, 然 後 蓋 住 一 部 分, 要 求 學 童 說 出 蓋 住 的 個 數 此 活 動, 另 可 做 為 合 成 與 分 解 的 前 置 經 驗 最 後, 要 加 強 學 童 理 解 數 字 間 的 關 係, 並 查 覺 樣 式, 經 過 系 統 性 的 探 索 活 動, 學 童 的 學 習 才 具 有 拓 展 性 研 究 顯 示, 學 童 都 有 數 數 的 能 力, 同 時 也 包 含 背 誦 理 解 有 多 少 或 哪

69 一 個 的 概 念 Piaget(965) 曾 說, 數 字 是 藏 在 物 體 中 而 非 顯 露 在 外, 是 一 種 人 類 心 靈 的 建 構 每 個 學 童 都 必 須 發 展 自 己 對 數 字 的 了 解, 包 括 數 字 的 連 續 性 數 數 的 原 則 數 數 的 階 段 等 教 師 應 仔 細 觀 察 學 童 數 數 的 發 展 過 程, 並 注 意 以 下 事 項 :. 觀 察 學 童 計 算 情 形, 確 定 他 們 數 字 連 結 的 情 形 2. 協 助 學 童 使 用 數 數 原 則 3. 給 予 學 童 類 似 隱 藏 的 挑 戰 性 問 題 4. 協 助 學 童 藉 由 數 數 的 組 織 性 活 動, 拓 展 數 數 能 力 5. 協 助 學 童 發 展 數 數 能 力, 以 及 小 目 標 群 體 數 字 (0-6) 的 即 時 認 知 6. 提 供 學 童 往 前 數 與 倒 數 的 學 習 經 驗 7. 提 供 有 意 義 的 學 習 環 境 53 依 Baroody 與 Coslick(998) 的 分 類, 數 字 有 基 數 測 量 順 序 及 名 義 上 等 四 種 不 同 的 意 義, 分 別 如 下 論 述 數 字 可 以 視 為 一 整 體 量 的 概 念, 可 以 用 來 描 述 一 堆 東 西 有 多 少 在 一 般 的 概 念, 例 如 3 顆 蘋 果 3 位 同 學 3 條 土 司 等, 都 可 以 被 歸 類 為 3 3 是 整 體 的 概 念, 不 同 於 第 三 個 順 序 的 意 義 有 些 數 字 是 需 要 測 量 才 有 其 意 義, 例 如 有 些 數 字 為 分 離 量 的 特 性 ( 如 : 人 球 筆 等 個 別 的 物 品 ), 可 以 使 用 數 數 的 方 式 來 得 到 數 量 然

70 而, 有 些 性 質 是 使 用 連 續 量 的 單 位 ( 如 : 面 積 長 度 容 量 等 ), 需 使 用 測 量 的 方 式 才 能 得 到 答 案 有 關 分 離 量 與 連 續 量 的 部 分, 在 分 數 的 使 用 會 有 些 應 用 上 的 不 同, 將 在 第 7 章 分 數 章 節 中 詳 細 探 討 數 字 可 被 用 來 定 位 來 標 示 相 關 的 位 置 與 順 序 順 序 性 的 意 義, 如 第 一 個 第 二 個 第 三 個 等 等, 都 是 順 序 性 的 意 義, 例 如 台 北 市 中 山 北 路 一 段 號 相 鄰 的 建 築 物 就 是 中 山 北 路 一 段 3 號, 而 中 山 北 路 一 段 2 號 則 會 是 在 馬 路 對 面, 運 用 數 字 的 順 序 概 念 來 建 立 地 址 的 位 置, 可 以 讓 我 們 更 方 便 找 到 房 屋 的 座 落 地 點 54 數 字 可 被 用 來 命 名 在 農 場 中, 我 們 可 以 將 牛 編 號, 如 一 號 牛 二 號 牛 等 ; 也 可 以 用 電 話 號 碼 或 是 身 分 證 字 號 來 當 作 會 員 編 號, 例 如 當 我 們 進 餐 廳 用 餐 或 到 賣 場 電 腦 商 場 時, 店 家 常 會 使 用 電 話 號 碼 來 當 作 個 人 資 料 的 代 碼 數 字 在 此 的 目 的, 只 是 當 作 身 分 的 辨 識, 並 不 能 用 來 計 算 或 當 作 順 序 的 用 途 有 關 數 數 的 原 則, 請 參 考 Gellman 與 Gallistel(978) 所 提 出 的 數 數 五 項 原 則 : 一 對 一 對 應 (one-one correspondence) 固 定 順 序 (stable order) 整 體 的 意 義 (cardinality) 深 思 法 則 (abstraction) 及 順 序 無 關 法 則 (order-irrelevance) 以 下 分 述 之 :

71 . : 此 原 則 要 求 一 個 數 字 須 對 應 一 個 物 件 另 外, 在 一 對 一 對 應 法 則 的 規 範 下, 學 童 要 能 將 不 同 對 應 的 數 字, 讀 成 相 對 應 的 發 音 2. : 經 過 一 段 時 間 後, 學 童 開 始 無 意 義 背 誦 數 數 的 順 序 3 歲 的 學 童, 可 能 對 一 堆 數 字 數 出 的 結 果 都 不 相 同, 到 最 後 會 出 現 固 定 的 結 果, 他 們 可 能 用 我 們 所 接 受 的 法 則, 或 是 用 他 們 自 己 的 方 式 (Gelman & Gallistel, 978), 例 如 從 到 0, 小 明 數 出 的 方 式 是 , 但 小 華 數 的 結 果 是, 用 他 自 己 的 版 本 : 基 數 概 念 是 學 童 對 最 後 一 個 數 字, 理 解 其 特 殊 的 涵 意 也 就 是 同 時 代 表 這 個 數 字 的 唸 法 及 代 表 全 部 的 數, 例 如 學 童 數 出 ,5 代 表 的 是 最 後 一 個 數, 同 時 也 代 表 全 部 的 5 個 數 字, 通 常 可 透 過 有 多 少? 的 問 句, 來 測 出 學 童 是 否 有 這 個 概 念 根 據 Gelman 與 Gallistel(978) 指 出, 當 學 童 有 了 一 對 一 對 應 與 固 定 順 序 的 概 念 後, 才 會 對 數 字 產 生 整 體 的 概 念 : 學 童 在 這 個 階 段 能 辨 別, 什 麼 是 可 數 的 什 麼 是 不 能 數 的 這 時, 他 們 不 但 會 數 出 同 樣 類 別 的 物 品, 就 算 是 不 同 形 狀 大 小 顏 色 的 東 西 都 會 拿 來 數 有 些 學 者 提 及,2 至 3 歲 的 兒 童 能 數 出 不 同 種 類 的 玩 具, 同 樣 的 他 們 也 可 辨 別 聲 音 和 動 作 的 次 數 (Gelman & Gallistel, 978; Schaeffer et al., 974; Wynn, 990) 5. :Gelman 與 Gallistel(978) 提 及 學 童 在 4 至 5 歲 的 時 候, 會 有 順 序 無 關 的 觀 念 ; 也 就 是 他 們 會 發 現, 不 論 是 從 左 往 右 數 或 是 由 右 往 左 數, 所 產 生 的 結 果 都 不 會 改 變 Geary(994) 認 為, 一 對 一 對 應 固 定 順 序 及 整 體 的 意 義 等 前 三 項 原 則, 架 構 了 如 何 數 的 規 則 根 據 Piaget(965) 的 說 法, 原 則 之 間 的 關 係 也 就 形 成 了 學 童 初 期 數 數 的 基 模, 然 而, 學 童 也 可 能 在 這 些 法 則 的 運 用 情

72 國小數學教材教法 況中 產生困難 Fuson 988 提到 學童數錯可能是因為題目太難 並不是因為他們不了解上述數數的法則 換言之 學童若無法表現出數數 的行為 可能歸因於他們不會這些原則或是題目太難的緣故 不可否認的 是 Gelman與Gallistel提供數數的原則 在數的概念領域中 具有相當重 探究式教學 要的貢獻 Gelman, 990 二 數數的加法策略 當學童為了方便 他們會由實物的數數轉變成口語上的數數 Groen & Resnick, 977 根據學者的研究 一般幼稚園學童在口語數數的加法 可應用以下四種策略 一 從第一個數全部追蹤數 C A F, c o u n t i n g a l l f r o m t h e f i r s t n u m b e r 56 從第一個數追縱數的策略 是學童為了追蹤每個數字 將第一個數及第 二個數全部數一遍 這是學童最基本的口語數數的策略 例如算式3 5 學 童會先數出 2 3 然後再是 答案是8 事實上 這個策 略是相當複雜的 不但沒有實體 concrete model 來協助 並且要依循上述 數數的原則 Baroody, 987a; Baroody 987b; Carpenter & Moser, 984; Fuson, 982 二 從第一個數字往上數 C O F, c o u n t i n g o n f r o m t h e f i r s t n u m b e r 當學童發現了數數的捷徑 接下來可能發現第一個數往上數的策略 他們可由第一個數字開始數 而不須從頭開始 例如算式3 5 學童可從 3往上數 學童 這時候發現3不僅代表一個順序的名稱 同時也代表整體 Cardinal 的含

73 意 三個的意義 Fuson, 982; Geary, Bow-Tomas, & Yao, 992 因為 這個策略並沒有省到多少的時間 所以只有少數的學童會使用 Baroody, 987a; Baroody & Ginsburg, 986 三 從最大的數字追蹤數 C A L, c o u n t i n g a l l f r o m t h e l a r g e n u m b e r Baroody 984 從Felicia的例子中發現 學童可能有另一種數數的方 式 也就是從最大的數追蹤數 例如算式3 5 學童快速數出 然後才往上數 採用這個方法 的特性是 學童自動找出了較大的數字 並且先追蹤最大的數字 才往上 數 四 從最大的數字往上數 C O L, c o u n t i n g o n f r o m t h e l a r g e n u m b e r 經由從最大的數字追蹤數後 學童最後可能發現一個更有效率的策 他們從5往上數 這個策略比從最大的數 字追蹤數要省時省力 當學童發現從最大的數字追蹤數是多餘的 他們會 採用這個策略 Fuson, 982; Resnick & Neches, 984 然而 當學童知道 從最大的數追蹤數時 並不表示他們知道加法交換律 Baroody & Gannon, 984 其實 學童的數數策略並不會停留在某一特別的階段 例如Baroody與 Gannon 984 提到 一位幼稚園學童在首次課程時 Casey完全使用從 第一個數全部追蹤數 在第二次課程時 於3 6的算式中 Casey一如往常 的從3開始 2 3 但是 過了一會兒 Casey停下來說 這一次我要從 6開始數 我想 停下來後 Casey偏好 chapter 3基礎的數學學習 早期的數字概念與數數 略 即是由最大的數字往上數 例如算式3 5 學童發現5是最大的數字 57

74 國小數學教材教法 用從頭開始追蹤數的策略在一些其他的算式 例如算式2 4 可能是因為 較小的數字不需要花太多追蹤數的精神 有關數數策略的發展 可如下圖 所示 探究式教學 CAF COF COL CAL 三 數數的減法策略 在初期減法的概念 學童還是用實物協助他們來操作 例如他們將拿 走視為減法的概念 Carpenter & Moser, 982 然後漸漸的發展出口語 的方式 當學童在解決一些減法問題時 也可能使用加法與減法互補的策 58 略 Baroody, 984; Carpenter & Moser, 982; Siegler, 989; Steinberg, 985; Svenson & Hedenborg, 979; Woods, Resnick, & Groen, 975 Siegler與和Shrager 984 表示 很多4歲及5歲的兒童 已經能解 決減法的問題 例如 如果你有3個餅乾 給了你哥哥個 你會剩下多少 個 等 為了解決上述的問題 Carpenter與Moser 982 提到3個用操 作物來解決問題的策略 第一步為分離 separating from 也就是學童先 用3個小白積木代表3塊餅乾 給了哥哥塊 就把個小白積木分出去 然 後學童再數出剩下的小白積木 第二個策略是往上加 adding on 就是 從減掉的數 再往上加到原來的數目 和加法一樣 當學童學會口語上的算法後 他們會放棄用實物來數的 方法 Baroody 984 提到一個最常用的方式 就是往下數 counting down 的方法 也就是Carpenter與Moser 982 論述的分離策略 例如 往下數是從原來的數開始數3 2 給哥哥的那塊餅乾以後 所以還

75 剩 下 2 塊 要 會 往 下 數 的 策 略, 學 童 必 須 要 知 道 數 字 之 前 的 倒 數 數 量, 也 要 知 道 數 字 的 順 序 名 稱, 才 能 理 解 要 倒 回 去 數 的 數 目 (Baroody, 984) Baroody 也 提 到 往 下 數 的 方 法, 比 加 法 的 方 式 更 要 困 難, 因 為 加 法 是 往 前 數 (counting forward), 而 減 法 的 方 式 是 往 下 數 ( 倒 數,counting down)(fuson et al., 982; Ginsburg & Baroody, 983) 另 外,Baroody (987b:p.38) 提 到 當 學 童 往 下 數 時, 他 們 在 做 數 字 追 蹤 時 不 像 加 法 往 前, 而 是 要 往 反 方 向 來 追 蹤 每 一 個 數 字, 以 確 定 不 會 數 錯 國 內 有 關 數 數 相 關 概 念 的 教 學 研 究, 亦 相 當 多 元, 如 陳 品 華 與 陳 俞 君 (2006) 發 現, 國 內 幼 教 教 師 從 小 班 以 前 即 可 進 行 唱 數 一 對 一 對 應 認 讀 數 字 比 較 及 計 數 與 數 的 保 留 之 教 學, 陳 彥 廷 與 柳 賢 (2007) 指 出 確 實 有 許 多 教 師 是 這 樣 進 行 的 與 此 相 應, 一 些 學 者 ( 陳 彥 廷 沈 雅 萍 許 睿 芸,2007; 黃 意 舒,2002; 蔡 葉 偉 朱 芳 美 桂 亞 珍,998; 謝 如 山, ) 針 對 幼 兒 數 概 念 之 教 學, 進 行 探 究 與 論 述 因 此, 國 內 目 前 雖 然 未 有 經 過 教 育 部 審 定 之 教 材 可 供 參 考, 惟 大 部 分 的 幼 兒 園 仍 會 透 過 正 式 或 非 正 式 課 程, 導 入 數 概 念 的 學 習 活 動 袁 媛 (200) 指 出, 幼 兒 至 少 能 正 確 無 誤 的 數 出 數 詞 至 30, 且 絕 大 部 分 幼 兒 已 具 有 很 好 的 數 數 技 能 潘 世 尊 (2009) 更 進 一 步 探 究 4 歲 至 6 歲 幼 兒, 對 數 數 策 略 的 運 用 及 減 法 類 型 的 表 現 差 異 ; 謝 如 山 (204) 則 取 樣 國 內 540 位 3 至 9 歲 兒 童, 建 立 國 內 幼 兒 數 概 念 的 常 模 參 照 測 驗 有 些 研 究 者, 以 角 落 教 學 繪 本 教 學 或 圖 畫 書 融 入 數 學 教 學 等, 探 究 對 幼 兒 數 概 念 發 展 的 影 響 ( 林 易 青,2006; 張 天 慈,2006; 黎 佳 欣, 2008)

76 國小數學教材教法 伍 數數的教學活動 一 一年級 探究式教學 判斷學童是否有基數原則能力 如給予一組實物 問 有幾個 重複或強調最後一個數 即可推論具有基數原則能力 如活動一至活 動八 活動一 數幾堆東西 請學童數一些數量相等 但尺寸大小相差很多的物件 討論他們的 相似與相異處 並問 你會為他們的總數相同而驚訝嗎 為什麼 或為什麼不會 活動二 數數與重新排列 60 請學童數一組實物 然後重新排列並問 現在有幾個 PS 如果他們認為不需要再數 可推論能不因重新排列而將基數 與其對應 如果選擇需要再數 則要討論為什麼答案是相同 的 活動三 往上數與倒數 請5位學童到台前排成一行 全班從數到5 一次蹲下個 然後 從5數到 並且依序站起來 活動四 利用計數物來數數 給每位學童0至2個小物件 並將他們在桌上由左到右排列 告訴他們先數4個並藏在左手中 然後說 指著你的手 裡面有幾 個

77 活動五 真正來數數 卡片上擺一些實物或圖卡個物 一些用紙遮住 一些外露 告訴學 童藏著的個數 問 總共有幾個 活動六 學習樣式 提供每位學童0個計數物和張紙 老師擲骰子 學童依骰子的 點數擺出計數物並在紙上寫出點數是多少 並問 你怎麼看出來 的 PS 花一些時間和學童討論排列方式 學習樣式和共有多少點 數 活動七 骰子閃示卡 教師拿出骰子閃示卡 閃示點數3秒鐘並問 有多少 怎麼看 的 PS 也可以讓同學使用閃示卡 互相考對方 互相練習 學童每人有圖卡或花片和數字卡 老師出題說出數字 讓學童擺出 個物和數字卡 PS 也可以分組練習 二 活動設計 國小低年級的小朋友 應該在生活情境中學習數學概念 尤其數數概 念在生活中有很多情境 可以提供他們學習 例如點數喜愛的零嘴文具 搭電梯 坐公車 等等 本活動的設計 以整合的架構結合學童生活場 景 藉助多媒體視聽的學習 以冒險探究的解題活動 引導學童經由生活 中常接觸的場所 習得更多活用的知識 落實功能性的教學活動 並且提 chapter 3基礎的數學學習 早期的數字概念與數數 活動八 配對 6

78 國小數學教材教法 供探究式活動 激發學童探究的興趣 活動九至活動十五 可協助學童在基數 序列 一對一對應 往前 數 往後數 跳著數等發現數列關係 探究式教學 教學活動 教學重點 活動九 影片欣賞.播放有關數字歌的童謠 2.學童發表影片的內容 學到什麼 3.教師歸納與回饋 4.學會0以內的說 讀 聽 寫 做 活動十 童謠比賽或表演.分組朗誦與表演數字歌 2.學會基數與序列 活動十一 尋寶大冒險.事先規劃好尋寶路線圖 以及指示單 2.分組活動 3人小組 5人小組 3.路線圖分為五關 找到第二個電梯 搭電 梯到3樓 往下走一樓 往前走6間教室 到年6班的教室第五排第四個座位 活動十二 對獎囉.尋寶共有6張彩券 視班級組別而定 內 附統一發票 2.教師事先做好獎項 張貼在黑板上 3.教導學童解讀統一發票中獎單的表格 4.教導學童利用一對一的數字關係 對統一 發票 62 活動十三 加多一點點和 少一點點 排數字卡 活動十四 數字列車 學童每人有-0的數字卡 減的從0開始排序 列 加的從開始排序 教師發問 每次少 排出的數列會是什麼 ps 學 童依次察 覺減 的數列是 減2的數列是 加 的數列是 學童分組 每組張白紙 彩色筆 組員互 相腦力激盪 設計數字列車 2.分組發表數字列車 並請其他組員解題 找出數列 例如 2 4 ( ) ( ) 0 儘量發揮美 感與創意 塗上顏色和美化列車 可以 是毛毛蟲 火車 汽車 等

79 活動十五 撲克牌大賽 一 撿紅點 湊十遊戲 二 湊 至5人 每人依撿紅點方式發牌 2.依順時鐘方向出牌 只要能湊出3即拿 走 合 數 的 所 有 牌 如 可湊2至5張牌 3.湊錯的人被敲一次手 以示警告 並減少 玩一次 撲克牌重新擺回桌面 輪到下一 位出牌並湊牌 4.出完牌後 統計撲克牌張數 最多者贏 5.熟練後 可挑戰湊4和5 甚至於20 三 湊 人 每 人依撿紅點 方式 發牌 先拿走 2和3的人頭牌 2.依順時鐘方向出牌 3張牌湊出 即拿走 3.湊錯的人被敲一次手以示警告 並減少玩 一次 撲克牌重新擺回桌面輪到下一位出 牌並湊牌 4.出完牌後統計撲克牌張數 最多者贏 一 一位數的猜數活動 活動十六 猜數達高手 二 二位數的猜數活動.拿出至9的數字卡2組 2.先抽出2張牌藏在胸前 確定十位數和個位 數的擺放位置 3.可讓猜者問5個問題 直到逼近該數為止 例如 比50大或小 十位數比5大還是小 等等 限制5個問題 是讓孩子學會 問問題的重點 63 chapter 3基礎的數學學習 早期的數字概念與數數.拿出至0的數字卡 2.先抽出一張牌藏在胸前 3.猜者可以問問題 直到逼近該數為止 例 如 比 7 大 或 比 7 小 加 2 是 不 是 9 等 等 猜數活動目的是讓孩子有數字感

80 64

81 學 習 目 標 : 數 字 形 像 表 徵 學 習 目 標 : 往 前 數 和 往 後 數 學 習 目 標 : 數 字 連 續 性 65 學 習 目 標 : 跳 數 學 習 目 標 : 數 字 連 續 性

82 國小數學教材教法 活動十七 點數數量 請圈出正確的數量 探究式教學 活動十八 從開始 將點連起來 從開始 按照正確的順序 依序連接下一個數字 結果你畫出了 什麼 66

83 林 易 青 (2006) 圖 畫 書 融 入 數 學 教 學 對 幼 兒 學 習 數 概 念 效 應 之 研 究 國 立 台 北 教 育 大 學 幼 兒 教 育 學 系 碩 士 論 文, 未 出 版 袁 媛 (200) 新 竹 地 區 學 齡 前 幼 兒 數 概 念 研 究 明 新 學 報,27, 張 天 慈 (2006) 繪 本 對 幼 兒 算 數 與 幾 何 概 念 學 習 成 效 之 研 究 國 立 中 山 大 學 教 育 研 究 所 碩 士 論 文, 未 出 版 陳 品 華 陳 俞 君 (2006) 幼 稚 園 教 師 數 概 念 教 學 知 識 之 研 究 當 代 教 育 研 究,4(2),8-8 陳 彥 廷 柳 賢 (2005) 前 塵 與 展 望 : 幼 兒 園 幼 兒 數 學 教 學 之 實 際 與 反 思 華 醫 學 報,23,-3 陳 彥 廷 沈 雅 萍 許 睿 芸 (2007) 創 意 的 發 想 : 幼 兒 數 學 合 成 與 分 解 概 念 教 學 模 組 的 設 計 幼 教 資 訊,202,26-36 黃 意 舒 (2002) 幼 稚 園 課 程 之 幼 兒 基 本 學 習 能 力 研 究 國 科 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告,NSC H 潘 世 尊 (2009) 幼 兒 數 概 念 的 發 展 : 一 所 幼 兒 園 的 個 案 研 究 及 其 啟 示 真 理 67 大 學 人 文 學 報,8,-39 黎 佳 欣 (2008) 角 落 情 境 下 幼 兒 數 概 念 發 展 之 個 案 研 究 台 北 市 立 教 育 大 學 兒 童 發 展 碩 士 學 位 學 程 碩 士 論 文, 未 出 版 蔡 葉 偉 朱 芳 美 桂 亞 珍 (998) 幼 兒 數 概 念 的 教 學 北 縣 國 教 輔 導, 5,46-50 謝 如 山 (2000) 從 數 的 概 念 看 九 年 一 貫 新 課 程 教 學 設 計 學 校 行 政, 7,48-55 謝 如 山 (204) 學 童 數 學 成 就 測 驗 3-9 歲 台 北 : 心 理 Baroody, A. J. (984). The case of Felicia: A young child's strategies for reducing memory demands during mental addition. Cognition and Instruction, (), Baroody, A. J. (987a). The development of counting strategies for single-digit addition. Journal for Research in Mathematics Education, 8, Baroody, A. J. (987b). Children' s mathematical thinking: A developmental framework for preschool, primary, and special education teachers. New York: Teachers College

84 Press. Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Baroody A. J., & Gannon, K. (984). The development of the commutativity principles and economical addition strategy. Cognition and Instruction,, Baroody, A. J. & Ginsburg, H. P. (982b). Generating number combinations: Rote process or problem solving? Problem Solving, 4, 3-4. Carpenter, T. P., & Moser, J. M. (982). The development of addition and subtraction problem-solving skills. In T. P. Carpenter, J. M. Moser, & T. A. Romberg (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive perspective (pp. 9-24). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Fuson, K. G. (982). An analysis of the counting-on solution procedure in addition. In T. P. Carpenter, J. M. Moser, & T. A. Romberg (Eds.), Addition and Subtraction: A cognitive perspective (pp. 67-8). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Fuson, K. C. (988). Children' s counting and concepts of number. New York: Springer- Verlag. 68 Fuson, K. G., Richards, J., & Briars, D. J. (982). The acquisition and elaboration of the number word sequence. In C. Brainerd (Ed.), Children' s logical and mathematical cognition: Progress in cognitive development (pp ). New York: Springer- Verlag. Geary, D. C. (994). Children' s mathematical development. Washington D. C.: APA. Geary, D. C., Bow-Thomas, C. C., & Yao, Y. (992). Counting knowledge and skill in cognitive addition: A comparison of normal and mathematically disabled children. Journal of Experimental Child Psychology, 54, Gelman, R. (990). First principles organize attention to and learning about relevant data: Number and the animate-inanimate distinction as examples. Cognitive Science, 4, Gelman, R., & Gallistel, C. R. (978). The child' s understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press. Ginsburg, H. P., & Baroody, A. J. (983). The test of early mathematics ability. Austin, TX: Pro-Ed.

85 Groen, G., & Resnick, L. B. (977). Can preschool children invent addition algorithms? Journal of Educational Psychology, 69, Piaget, J. (965). The child' s conception of number. New York: Norton. Resnick, L. B. & Neches, R. (984). Factors affecting individual differences in learning ability. In R. J. Sternberg (Ed.), Advances in the psychology of human intelligence (vol. 2, pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Schaeffer, B., Eggleston, V. H., & Scott, J. L. (974). Number development in young children. Cognitive Psychology, 6, Siegler, R. S. (989). Hazards of mental chronometry: An example of multiplication skill. Journal of Experimental Psychology: General, 7, Siegler, R. S., & Shrager, J. (984). Strategy choice in addition and subtraction: How do children know what to do? In C. Sophian (Eds.), Origins of cognitive skills (pp ). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Starkey, P., & Gelman, R. (982). The development of addition and subtraction abilities prior to formal schooling in arithmetic. In T. P. Carpenter, J. M. Moser, & T. A. Romberg (Eds.)., Addition and subtraction: A cognitive perspective (pp. 99-6). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Steinberg, R. M. (985). Insturction on derived facts strategies in addition and subtraction. 69 Journal for Research in Mathematics Education, 6, Svenson, O., & Hedenborg, M. L. (979). Strategies used by children when solving simple subtractions. Acta Psychologica, 43, Woods, S. S., Resnick, L. B., & Groen, G. J. (975). Experimental test of five process models for subtraction. Journal of Educational Psychology, 67, 7-2. Wynn, K. (990). Children's understanding of counting. Cognition, 36,

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87 Chapter 4 整 數 四 則 : 低 年 級 學 童 在 學 習 整 數 的 四 則 ( 即 加 減 乘 除 ) 運 算 時, 需 要 了 解 這 四 種 運 算 的 相 互 關 係 為 什 麼 需 要 有 加 法 減 法 乘 法 與 除 法? 加 法 是 兩 堆 物 體 放 在 一 起 的 概 念 ; 減 法 是 兩 堆 物 體 相 差 多 少 的 概 念 ; 乘 法 是 加 法 的 簡 化, 所 以 是 累 加 的 概 念 ; 除 法 是 減 法 的 簡 化, 所 以 是 累 減 的 概 念 有 加 法 就 有 減 法, 有 乘 法 就 有 除 法, 孩 子 會 發 現 有 著 互 為 相 反 的 運 算 關 係, 正 式 數 學 語 言 稱 為 加 減 互 逆 與 乘 除 互 逆 印 象 中 最 深 刻 的 是, 在 一 間 小 學 三 年 級 的 課 堂 中 教 授 除 法 概 念 時, 請 學 童 將 桌 上 的 30 個 元 錢 幣 分 成 三 堆, 請 問 一 堆 有 多 少 元? 班 上 過 半 數 的 學 童 會 計 算, 但 是 不 會 將 錢 分 為 三 堆 為 什 麼 呢? 因 為 學 童 在 一 至 二 年 級 時 缺 乏 實 物 操 作 的 經 驗, 知 道 抽 象 運 算 的 答 案, 但 是 不 會 操 作, 這 就 像 是 會 寫 考 汽 車 駕 照 的 題 目, 但 是 不 會 開 車 上 路 的 情 況 一 樣 學 童 真 正 的 學 習, 應 要 先 建 立 具 體 的 操 作 概 念 後, 才 進 行 抽 象 概 念 的 運 算 在 三 年 級 學 童 身 上 看 到, 學 童 們 不 會 實 物 的 操 作, 這 個 現 象 凸 顯 了, 小 學 一 二 年 級 的 學 童 在 缺 乏 具 體 物 的 奠 基 下, 會 對 學 童 在 日 後 四 則 運 算, 甚 至 小 數 與 分 數 的 思 考 上, 只 知 其 然, 而 不 知 其 所 以 然, 這 對 數 學 的 學 習 會 有 很 大 的 障 礙 所 以, 在 一 至 四 年 級 的 整 數 四 則 運 算, 具 體 物 的 操 作 是 相 當 的 重 要, 也 是 必 要 的 在 Piaget 的 認 知 階 段,7 至 歲 稱 為 具 體 運 思 期, 也 就 是 小 學 的 一 至 五 年 級, 此 階 段 的 學 童 若 有 具 體 物 操 作 的 經 驗, 那 對 進 入 形 式 運 思 的 抽 象 概 念, 將 會 有 相 當 的 助 益

88 低 年 級 的 整 數 運 算, 要 先 建 立 學 童 在 具 體 物 的 學 習 經 驗, 再 建 立 心 中 的 圖 像, 之 後 建 立 抽 象 的 符 號 概 念 在 幼 兒 階 段 的 合 與 分 概 念, 就 是 在 學 校 正 式 運 算 的 加 與 減, 然 而 加 與 減 的 運 算 概 念, 並 不 是 建 立 在 無 意 義 的 運 算 或 背 頌 上, 而 是 建 立 在 具 體 操 作 與 應 用 的 情 境 中, 學 童 要 能 解 決 不 同 情 境 的 加 減 法 問 題, 才 算 是 真 正 的 了 解 ( 一 ) 數 量 對 應 : 即 數 字 與 數 量 的 關 係 在 教 導 學 童 如 何 進 行 加 法 遊 戲 時, 讓 學 童 先 將 古 氏 積 木 的 顏 色 與 數 字 對 應 先 背 起 來, 是 白 色 2 是 紅 色 3 是 綠 色 4 是 紫 色 5 是 黃 色 6 是 深 綠 色 7 是 黑 色 8 是 咖 啡 色 9 是 藍 色 0 是 橘 色 ( 如 )

89 續 表4- 糖果棒 黃色 5 橘色 0 白色 可以問學童 8是什麼顏色 黃色是幾 黑色是幾 二 加法概念 一位與一位數的加法 接著問學童 請問綠色加黃色是什麼顏色 學童如果回答8 這並 不是正確答案 應該要回答是咖啡色 教師可繼續嘗試其它在0以內兩種 顏色的加法 如表 表4-2 加法概念 顏色 黑 白 咖啡 紅 黃 黑 淺綠 紫 黑 深綠 紅 咖啡 黃 紫 藍 白 藍 橘 紅 黑 藍 深綠 紫 橘 黑 淺綠 橘 紫 紫 咖啡 黃 黃 橘 咖啡 紅 橘 chapter 4整數四則 低年級 組合

90 國小數學教材教法 三 加法進位概念 若要學童進行0以上的加法運算 例如問學童黃色加黑色等於多少 學童如果回答橘色加紅色 或是咖啡色加紫色等也可以 若能回答橘色加 紅色 則較佳 因為可以看到0 2的概念 也比較容易理解 探究式教學 四 減法概念 一位與一位數的減法 在減法的運算 可問學童 黃色減綠色是什麼顏色 或問橘色減紅 色是什麼顏色 橘色減紅色是很重要的減法概念 因為學童可以很自然 看到橘色與紅色相差8 答案就是咖啡色 五 減法退位概念 當學童了解了橘色減紅色 就可以運用到橘色加紅色減紫色的運算 很自然就會用橘色減紫色 再加回紅色 也就是當學童碰到2 4的問題 74 時 可運用 的策略來解決 也就是自然跳過了退位的問 題 無形之中問題就容易被解決了 六 跳數概念 跳數的概念是初期乘法的重要基礎 例如以2跳數 運用古氏積木讓學童學習跳數 可使學童很自然建立跳數的抽象 概念 進而介紹以3跳數 以4跳數等 當學童有跳數的概念後 就容易建 立 九九乘法表 的概念 七 乘法概念 運用古氏積木進行乘法概念 主要為運用古氏積木的面積概念 例如 6 7 學童可理解為深綠色積木有7個 或是黑色積木有6個 但不論是那 一種想法 其面積都是42平方公分

91 八 除法概念 運用古氏積木教除法概念 例 如42 6 如用42個小白積木分為 六堆 每堆會有幾個小白積木 學童可以運用具體物來分 以得 到除法的初期概念 貳 教師的挑戰 教師在教授低年級四則運算的學習概念時 應要能了解下面的教學原 則. 對數數概念連結至加減法概念的策略 2. 對於加減法的題型有所了解 並對不同題型的難易度造成學童的學 75 習困難 能有所認知 4. 能了解乘除法題型 5. 能對乘除法學習困難的學童 了解問題 以協助學童在乘除法概念 的觀念 參 四則運算的題型 課程標準 教育部 2009 NCTM, 2000 提到 學童從幼稚園到四 年級的數學課程 應涵蓋加法 減法 乘法 除法的概念 小學一年級會 進行加法與減法的內容 二年級探討乘法的概念 三年級會介紹除法的概 念 以下針對四則運算的概念 分別論述 chapter 4整數四則 低年級 3. 能運用教具協助學童處理加減法問題

92 ( 一 ) 低 年 級 的 加 法 題 型 低 年 級 的 加 法 題 型, 有 併 加 型 及 添 加 型 等 兩 種 類 別 而 依 F u s o n (992) 的 分 類, 可 有 十 五 種 加 減 法 題 型, 以 下 分 述 之 併 加 型 這 是 兩 堆 東 西 合 在 一 起 的 概 念, 相 對 的, 也 就 是 一 堆 合 起 來 的 東 西 可 以 分 開 為 兩 堆, 例 如 小 山 有 3 元, 小 海 有 4 元, 兩 人 共 有 幾 元? 這 樣 的 題 型 即 為 併 加 的 意 義 添 加 型 添 加 型 有 動 作 上 的 方 向 性 概 念, 即 開 始 時 就 有 一 些 物 品, 之 後 再 增 加 76 了 一 些, 有 一 個 動 作 來 增 添, 例 如 小 山 有 3 元, 小 海 又 給 了 小 山 4 元, 請 問 小 山 有 幾 元? 這 樣 的 題 型 即 為 添 加 的 題 型 以 上 這 兩 種 題 型, 在 難 度 上, 並 沒 有 明 顯 異 差 別, 但 是 因 為 這 兩 種 類 別 又 各 有 和 未 知 加 數 未 知 與 被 加 數 未 知 等 三 種 題 型, 所 以 在 加 法 題 型, 共 可 以 有 六 種 題 型 ( 二 ) 低 年 級 的 減 法 題 型 低 年 級 的 減 法 題 型 有 拿 走 型 比 較 型 與 追 加 型 三 種 類 別 拿 走 型 係 指 一 堆 東 西 被 拿 走 不 見 的 概 念, 即 有 一 堆 東 西, 後 來 被 拿 走, 剩 下 有 多 少 的 情 況, 例 如 小 山 有 5 元, 給 了 小 海 3 元, 剩 下 幾 元? 像 這 樣 的 題 型, 即 為 拿 走 型

93 比較型 有兩堆物品經兩兩互相比較 看看誰較多或較少的差別 例如小山有5 元 小海有3元 小山比小海多幾元 學童要能理解題目 兩人的錢數各有 多少 才能進行之後的運算 追加型 係指先經兩兩比較後 如果較少 原來的一位還要再加多少 兩位才 會相等的概念 例如小山有3元 小海有5元 小山還需要多少元才會與小 海一樣多 所以 追加型有別於比較型題目 要問的是原來的還需增加多 少 才會與相比較的一樣多的問題 從題意上來看 拿走型較簡單 比較型次之 追加型的減法概念最難 Fuson 992 如果每種概念又可分為差未知 減數未知與被減數未知的 題型 則減法題型共有九種題型 如表 題目類型 A±B= 添加性類型 添加 拿走性類型 拿走 開始 最後 ±A=B 和未知 加數未知 被加數未知 小明有7顆糖 果 小玫又給 他2顆 小明共 有幾顆糖 小明有7顆糖 果 小玫又給 他一些 小明 共有9顆糖 小 玫給了小明幾 顆糖 小明有一些糖 果 小玫又給 了他2顆 小明 共有9顆糖 小 明原本有幾顆 糖 最後 開始 A± =B 差未知 減數未知 被減數未知 小明有7顆糖 果 給了小玫2 顆 小明剩下 幾顆糖 小明有7顆糖 果 給了小玫 一些 小明剩 下5顆糖 他 給了小玫幾顆 糖 小明有一些糖 果 又給了小 玫2顆 小明剩 下5顆糖 小 明原本有幾顆 糖 chapter 4整數四則 低年級 表4-3 Fuson 992 加法和減法應用問題的類型

94 國小數學教材教法 續 表4-3 Fuson 992 加法和減法應用問題的類型 題目類型 A±B= 併加性類型 探究式教學 開始 拿走 最後 追加性類型 } 加多少 使小等 於大 大 小 大 比較性類型 A± =B ±A=B 和未知 加數未知 被加數未知 小明有7顆糖 果 小玫有2 顆 他們共有 幾顆糖 小明有7顆糖 果 小玫有一 些糖果 他們 共有9顆糖果 小 玫 有 幾 顆 糖 小明有一些糖 果 小玫有2顆 糖果 他們共 有9顆糖果 小 明有幾顆糖 差未知 減數未知 和未知 小明有7顆糖 果 小玫有2 顆 小玫要再 買多少顆糖 才會和小明一 樣多 小明有7顆糖 果 小玫有一 些糖果 小玫 要再買5顆糖 才會和小明一 樣多 小玫原 來有幾顆糖 小明有一些糖 果 小玫有2顆 糖果 小玫要 再買5顆糖 才 會和小明一樣 多 小明有幾 顆糖 差未知 減數未知 和未知 小明有7顆糖 小明有7顆糖 果 小玫有一 些糖果 小明 比小玫多5顆 糖 小玫原來 有幾顆糖 小明有一些糖 果 小玫有2顆 糖果 小明比 小玫多5顆糖 小 明 有 幾 顆 糖 }差多少 果 小 玫 有 2 顆 小明比小 玫多幾顆糖 78 三 加減法的教學 有關加減法題型 可請同學判斷下面的加減法類型為何 活動一 請判斷下列題目的題型. 小山買了6條口香糖 但是在路上遺失了3條 還剩下幾條口香 糖 2. 小強有2朵玫瑰花 小真有5朵 小強要買幾朵才會和小真一樣 多 3. 小保有4枝鉛筆 小華有6枝 他們共有幾枝 4. 小年看了9本書 小土只看了本 小年比小土多看了幾本書 5. 小山吃了2條口香糖 已知小黃比小山多吃了5條 請問小黃吃 了幾條

95 活動二 灌籃高手 籃球比賽中規定 投進球數最多的選手獲勝. 第一隊是小明和小華 () 在比賽中 小明已投進8球 小華投進了0球 他們共投進 了幾球 (2) 小華比小明多投進了幾球 (3) 小明若要追上小華 小明要再投進幾球 (4) 小明又投了6球 進了3球 他有幾球沒投進 (5) 小明共投進了幾球 2. 第二隊是小強和小中 () 已知小強投進了球 兩人共投進20球 小中投進了幾球 (2) 但是裁判算錯 只算小強投進了8球 裁判少算了幾球 (3) 裁判也算錯了小中的球數 算出小中投進了5球 裁判多算 了幾球 (4) 比賽最後 小強投進了8球 小中要再投進4球才能和小強 一樣多 小中投進了幾球 3. 第三隊是小珍和小娟 () 小珍忘記了原先投進的球數 後來她又投進了4球 她共投 進了9球 小珍原先投進了幾球 (2) 但是裁判少算了小珍2球 如果球數沒有算錯 小珍應該投 進了幾球 (3) 若小娟和小珍 正確的球數 共投進了20球 小娟投進了幾 球 (4) 最後 若小珍共投進了4球 要再投進5球 才能和小娟的 球數一樣多 小娟投進了幾球 (5) 若小珍投進了2球 小娟比小珍多投進了7球 小娟投進了 幾球 從上面的結果中 你能找出投進最多球數 正確球數 的優勝者 嗎 chapter 4整數四則 低年級 (5) 若小強投進20球 比小中多4球 小中投進了幾球 79

96 乘 法 題 型 可 以 簡 單 分 為 可 相 互 交 換 與 不 可 相 互 交 換 等 兩 種 題 型 ( 一 ) 可 相 互 交 換 的 情 況 大 致 上 可 分 為 互 相 交 乘 ( 即 交 換 律 ) 與 非 互 相 交 乘 兩 種 情 況 什 麼 是 互 相 交 乘 的 情 況, 就 是 乘 數 與 被 乘 數 可 相 互 交 換 的 關 係, 因 為 單 位 相 同, 有 兩 種 類 型 如 下 :. : 例 如 小 珍 有 紅 色 白 色 籃 色 等 三 件 不 同 顏 色 的 外 套, 有 粉 紅 色 黑 色 綠 色 褐 色 等 四 件 不 同 顏 色 的 襯 衣, 請 問 小 珍 有 幾 種 不 同 的 配 法 2. : 例 如 有 一 塊 長 方 形 田 地, 一 邊 長 8 公 尺, 另 一 邊 長 7 公 尺, 其 面 積 為 多 少 平 方 公 尺? 80 ( 二 ) 不 可 相 互 交 換 的 情 況 另 一 種 情 況 是 不 能 互 換 的, 因 為 單 位 不 同, 有 下 列 三 種 類 型 :. : 例 如 小 惠 有 3 袋 蘋 果, 袋 有 6 顆 蘋 果, 問 小 惠 有 幾 顆 蘋 果? 2. : 例 如 小 強 有 0 枝 鉛 筆, 小 華 是 小 強 的 三 倍, 試 問 小 華 有 幾 枝 鉛 筆? 3. : 例 如 台 灣 地 圖 的 比 例 尺, 公 分 為 公 里, 若 台 北 到 新 竹 是 0 公 分, 那 實 際 是 幾 公 里? 根 據 相 關 的 研 究 顯 示, 有 些 一 年 級 的 學 童 就 能 解 決 群 組 性 類 型 的 題 目, 而 組 合 型 與 面 積 型 的 題 目 則 較 為 困 難, 在 經 過 一 些 暗 示 後, 有 些 三 年 級 的 學 童 能 解 決 這 兩 種 類 型 的 題 目, 最 為 困 難 是 有 關 比 較 型 與 比 例 型 的 題

97 目 (Kouba & Franklin, 993) 在 教 科 書 的 內 容 ( 國 立 編 譯 館,993), 二 年 級 上 學 期 時 的 第 三 單 元 : 隻 青 蛙 有 4 條 腿, 即 是 群 組 型 的 乘 法 類 型 ; 在 二 年 級 下 學 期 的 第 一 單 元 : 幾 的 幾 倍, 就 介 紹 了 有 關 比 較 型 的 乘 法 問 題 所 以, 在 二 年 級 的 這 個 學 年, 學 童 並 沒 有 學 習 到 有 關 比 例 型 組 合 型 與 面 積 型 等 三 種 乘 法 的 類 型 ( 三 ) 檢 視 乘 法 題 型 有 關 乘 法 題 型, 以 下 有 五 種 圖 表 的 類 型, 你 能 辨 別 出 是 哪 些 乘 法 類 型 嗎? a. d. b. e. 8 c. ( 四 ) 非 正 式 的 乘 法 策 略 一 年 級 時, 可 能 會 使 用 重 複 的 加 法 策 略, 來 達 成 乘 法 的 目 的, 這 樣 重 複 性 的 方 法, 可 能 也 會 被 應 用 在 比 例 型 的 題 目 上 例 如, 小 華 有 3 個 袋 子, 每 個 袋 子 中 有 4 個 蘋 果, 請 問 小 華 有 多 少 個 蘋 果? 學 童 可 能 會 把 所 有 的 蘋 果 數, 從 到 2 都 數 過 一 遍, 等 到 他 們 更 熟 悉 後, 他 們 可 能 會 產 生 更 快 的 算 法, 例 如 的 跳 數 算 法

98 國小數學教材教法 五 如何教乘法 乘法的產生是加法上的捷徑 也就是說乘法具備累加的特性 例如 與5 4相比較的話 5 4是明顯較為簡化多了 所以 乘法的教學 必須要奠基於累加的基礎上 並且在隨後的乘法教學上 應著重於讓學童 探究式教學 了解群組類型的特型及其它乘法的題型 六 乘法手指 請參閱謝如山等譯 2003 p269 的乘法手指 如 圖4- 概念 可 用於乘數與被乘數均為6以上的乘法 0+20=30 4 3=2 30+2=42 82 圖4- 乘法手指 一些法國中部的人並不學習超過5的乘法 如果他們想要做出6 7 他 們伸出左手根手指及伸出右手2根手指 如圖4-所示 伸出手指的數目 代表結果有幾個0 2 3個0 而彎曲手指的乘積 再 加上30即為答案 讀者可以試試8 7及9 8 而當6 6時 會有什麼情況 發生 一個與手指乘法相似的步驟 即是彎曲的手指數等於2相乘數字與0的 差 因此 要解8 8 想法即為0 8 2 可依圖4-所示將兩根手指 彎曲 剩下的手指數 每一根代表0 再把兩根彎曲的手指數相乘

99 以 下 對 於 非 正 式 的 除 法 概 念 除 法 類 型 與 除 法 的 教 學, 分 別 如 下 論 述 ( 一 ) 非 正 式 的 除 法 概 念 學 童 在 幼 稚 園 階 段, 即 可 有 初 期 的 除 法 概 念, 他 們 會 發 明 一 些 除 法 的 策 略, 例 如 一 個 一 個 分 與 一 堆 一 堆 分 的 概 念 (Hiebert & Tonnesesn, 978) 一 個 一 個 分 這 個 策 略 就 是 一 個 一 個 平 均 分 配 的 概 念, 就 是 要 解 決 一 個 除 法 問 題, 例 如 有 6 瓶 養 樂 多, 平 分 給 3 個 小 朋 友, 學 童 會 先 將 6 瓶 養 樂 多 先 數 一 遍, 再 將 每 瓶 分 給 3 個 人, 依 序 分 完, 再 數 每 個 人 有 多 少 瓶 養 樂 多, 這 個 歷 程 就 是 平 分 的 概 念 83 一 堆 一 堆 分 當 要 分 的 物 品 較 多 時, 例 如 2 瓶 養 樂 多 要 平 分 給 3 位 小 朋 友, 學 童 會 產 生 較 快 速 的 方 法, 如 一 次 分 2 瓶 養 樂 多 給 同 位 小 朋 友, 依 序 分 完 當 學 童 從 瓶 進 階 到 2 瓶 的 概 念 時, 就 是 有 一 堆 一 堆 分 的 概 念, 也 就 是 包 含 的 概 念 ( 二 ) 除 法 類 型 除 法 類 型 分 為 可 互 相 交 換 與 不 可 互 相 交 換 的 情 況 可 互 相 交 換 的 類 型 又 可 分 為 組 合 型 與 面 積 型 兩 種, 組 合 型 的 題 目 較 少 在 國 小 課 程 出 現, 面 積 型 的 題 目 較 常 在 國 小 四 年 級 以 後 才 會 出 現 而 不 可 互 相 交 換 的 類 型, 可 分 為 等 分 除 與 包 含 除 兩 種 類 型, 等 分 除 的 部 分 著 重 於 多 少 的 份 量, 而 包 含 除 著 重 可 分 的 組 別 等 分 除 的 題 目, 例 如

100 國小數學教材教法 小華有9個彈珠 要分給3個人 每人可分幾個 題意的重點在於每人可分 得多少 包含除的題目 例如小華有9顆彈珠 若每人得要有3顆彈珠 可 分給幾顆人 在幼稚園的學童能用平分的方式 解決等分除的題目 例如先一個一 探究式教學 個分 等到分完了 再數每個人有幾個彈珠 但是 包含除的部分是當學 童先理解等分除的意義後 才能做進一步了解 可互相交換的情況 題型 結果未知a b= 被除數未知 與乘法聯結? a=b 組合型 小華的餐廳有數種果汁 如柳橙 汁 檸檬汁等 他提供中 西2種 套餐 每種套餐只配種果汁 已 知有6種配法 請問小華的餐廳提 供幾種果汁 小華的餐廳有3種果汁 如柳橙 汁 檸檬汁與芒果汁等 他提供 中 西2種套餐 每種套餐只配 種果汁 請問小華的套餐有幾種配 法 面積 小華有塊長方形田地 面積為24 平方公尺 已知長4公尺 問寬多 少公尺 小華有塊長方形田地 已知長4公 尺 寬6公尺 面積有多少平方公 尺 84 不可互相交換的情況 題型 結果未知a b= 除數未知a?=b 被除數未知 與乘法 連結? a=b 等分除 小華有2顆蘋果 平 分給3個人 每人可得 幾顆 小華有2顆蘋果 已 知分給一些人 每人 分得4顆蘋果 請問他 分給多少人 小華有一些蘋果 他 分給3個人 每人得4 顆蘋果 小華原有幾 顆蘋果 包含除 小華有2顆蘋果 他 每個人分給了4顆蘋 果 可分給多少人 小華有2顆蘋果 有 3個人平分這些蘋果 問個人可分多少顆蘋 果 小華有一些蘋果 每 個人均分得4顆 分給 3個人 小華原有幾顆 蘋果 三 除法的教學 在進行教學過程中 謝如山 2002 五年級的一位學童 因為不了 解要如何將假分數化為帶分數 就沒有任何反應 因為是一位學習成就落 後的孩子 我即刻進行了解 以下是我與同學的對話

101 謝老師 你要如何將 67 化為帶分數呢 4 小 麟 謝老師 你要如何將 7 化為帶分數呢 4 小 麟 謝老師 你要如何將 7 化為帶分數呢 4 小 麟 謝老師 7裏面有幾個4呢 小 麟 有一個4 剩下3 謝老師 你可以用除法直式表示出來嗎 小 麟 謝老師 如果是使用7 4呢 可以有四個4 剩下 chapter 4整數四則 低年級 小 麟

102 國小數學教材教法 謝老師 如果是使用67 4呢 小 麟 5 老師可不可以用5 我說當然可以 2 探究式教學 2 2 老師可不可以用2 我說當然可以

103 謝老師 我們再來一次 可不可以找出再快一點的方法 小 麟 0 老師可不可以用0 我說當然可以 謝老師 我們再來一次 可不可以有不一樣的方法 小 麟 6 因為5不夠 7又超過 所以6最適合 0 老師可不可以用0 我說當然可以 在此教學過程中 雖然花了兩小時才讓小麟了解除法直式的意義 但 他可自己發現用哪些策略會較容易 並能用乘法概念與估商的能力 來發 現除法直式的關鍵 但一般除法教學認為須判別6 4 所以在十位數部分要上 但這種方 式並未能讓學童真正了解上的理由 其實 乘法概念中 2 5 0是 最容易學得的乘法運算 應是 2 5再產生0的估商過程 並非用死背的 方式來記憶 也因為小麟學會了估商 所以在除法運算的概念上 就會有 根本的了解 chapter 4整數四則 低年級 40

104 88

105 肆 四則運算的教學活動 以下依加減法的活動與乘除法活動 分別陳述 一 加減法的活動 有關加減法的活動 對於20以內的計算概念 可參活動一至三 活動一 算算看 填填看 算出下面每一個區塊中的答案 並塗上規定的顏色 2 藍色 4 紅色 5 黃色 7 棕色 8 綠色 89 chapter 4整數四則 低年級

106 國小數學教材教法 活動二 交叉數 填滿下列空格 來完成算式 = 探究式教學 + = + 5 = = 9 = 9 + = = 90 = = + = = 8 8 = = + = + = = = 2 = 4 = + = = = 7 8 = = 活動三 大家來釣魚 他們各抓到哪種魚 把每個小朋友的數字算出來 並畫條線連接到 有相同數字的魚上

107 活動四為數字推理 由數字讓學童進行邏輯判斷 產生正確的答案 活動四 氣球 算算看每種東西代表什麼數字 把答案寫在右邊的框框裡 活動五為讓學童對於加法運算更為熟悉 透過表格方式可發現數字的 活動五 數字格子 橫的數字和直的數字相加 把答案填在兩者交叉的空格內 chapter 4整數四則 低年級 特性 9

108 國小數學教材教法 活動六為數字運算與英文字母的結合 於結果可發現英文單字的意 義 活動六 神秘的單字 探究式教學 算一算下列算式 把答案寫在英文字母旁的方框裡 算完後 再把 答案從左邊開始 由小到大的寫在下面第一排 再把對照的英文字母 寫在第二排 5+0= N 9+9= +2= O S 6+7= Y 3+5= 5 3= K M 20 0= E 活動七的目的為發現奇數與偶數的特性 請學童發現奇數與偶數的差 92 別 活動七 帆船 把每艘帆船身上的總數加起來 寫在旗子上 把偶數的旗子塗上黃 色 奇數的旗子塗上紅色

109 活動八可讓學童練習魔方陣的數字組合 讓學童發現數字線索 用歸 納與演繹思考產生合理的數字 活動八 魔方陣.在下面表格中 不管是橫的數字相加或是直的數字相加 總數都 是 在下面表格中 不管是橫的數字相加或是直的數字相加 總數都 是20 記得這項規則 請你填完剩下的空格 活動九為另一種形式的推理 可讓學童發現數字相加的特性 進而發 現空格內的數字 活動九 金字塔 金字塔內每個磚塊的數字都是由下面兩個磚塊數字相加 請把沒有 數字的磚塊填完 93 chapter 4整數四則 低年級

110 國小數學教材教法 探究式教學 活動十為數字運算推理 讓學童從累加概念 找出太陽 月亮 星星 分別是那些數字 活動十 太陽 月亮 星星 請寫出太陽 月亮 星星 雲 流星分別代表哪個字 = = = =

111 = = + + = = + + = 20 = 24 = 二 乘除法活動 乘除法概念為一整合性的學習活動 亦可與加減法活動進行整合 活 動敘述如下 活動十一為讓學童發現所有可被3整除的算式 請學童塗上顏色 活動十一 神秘的畫 chapter 4整數四則 低年級 算算看 把所有被3整除的數字的區塊塗上色顏色 看看會出現什麼 95

112 國小數學教材教法 活動十二 活動十三均為讓學童找出加 減 乘 除的四種算式的合 理情況 讓學童找出缺少的答案 活動十二 饑餓的老鼠 探究式教學 這些飢餓的老鼠都把紙張咬破了 算算看 把咬破的數字寫出來 活動十三為另一種讓學童發現答案的方式 可讓學童熟悉四則運算 活動十三 英文字母 把數字填到下面四個大英文字母裡的空格 完成算式

113 活動十四為學童要一直進行四則混合運算以找出最後的答案 活動十四 貪吃蛇 把這條貪吃的蛇 吃了數字5 請從蛇的頭開始 用5把蛇身體的 chapter 4整數四則 低年級 算式算完 並把答案寫出來 97

114 國小數學教材教法 活動十五為學童要將四則運算的答案連起來 以能對運算結果進行檢 核 活動十五 他們住哪裡 算算看 每個小朋友下面的數字 並畫線連到有相同數字的房子 探究式教學 裡 (00 0) 6 (7 5) 2 (250 5) 0 (56 8) 45 ( (9 9) 8

115 活動十六為結合英文概念 先計算再排大小 以能找出所有的排列方 式 活動十六 神秘的單字 算一算下列算式 把答案寫在英文字母旁的方框裡 算完後 再把 答案從左邊開始 由大到小的寫在下面第一排 再把對照的英文字母 寫在第二排 0 = E = O = U = I = E = R = R = T = L = L = V = A 99 chapter 4整數四則 低年級 古氏積木在教學上的應用 主題 內容 數數 數與計算 加法 減法 例子

116 國小數學教材教法 乘法 除法 四則運算 排滿 用2個 才能 探究式教學 數與計算 分數 將 0的組合方式 找出所有可能組成0的方式 進位數系統 滿0個 擴分或約分 比較數的大小 測量長度 換個 比 面積 體積 小塊是 量與實測 立方公分 容積 小塊是 毫公升 砝碼 重量 小塊是公克 關係 比 求出3個 長 並排而成的面積 求出4個 所組成之正立方體體積 將個 丟入水中 求其容積 利用天秤得知個戰鬥陀螺需要50個 能平衡 才 密度 丟入水中可得知 古氏積木的密度是 g cm3 比例 找出和 比值 找出比值為3的積木組合 數列規律 適當的積木 加 乘法交換律 關係 大 以個 2公分 去測量張遊戲王卡 的長度或寬度 比較長短 00 加 乘法結合律 公因數 找出可將 積木 等比例的古氏積木 找出 剛好排滿的

117 圖形與空間 統計與機率 公倍數 利用 合 和 可以拼成一樣長的組 幾何要素 小塊是由幾個面 幾個頂點 幾個邊所組 成的 平行 垂直 每個古氏積木都是長方體 可以指導 平行 垂直概念 空間 排成三度空間體 由其中角度猜測可能 的組合 數 二維形體 利用古氏積木排成一正方形 三維形體 利用古氏積木排成一正立方體 分類 統計圖表 以長短 顏色 數字分類與整理成表 0 猜五位數字 分組出題 蟲蛀法 chapter 4整數四則 低年級 製作圖卡學乘除法

118 國 立 編 譯 館 (993) 國 民 小 學 二 年 級 上 學 期 課 本 台 北 市 : 國 立 編 譯 館 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 謝 如 山 (2002) 九 年 一 貫 數 學 探 究 式 之 自 編 教 材 建 構 實 驗 課 程 研 究 國 科 會 專 案 計 劃 台 北 市 : 國 科 會 謝 如 山 謝 名 起 謝 名 娟 譯 (2003) 數 學 科 教 材 教 法 台 北 : 五 南 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Fuson, K. C. (992). Research on whole number addition and subtraction. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan. Hiebert, J., & Tonnessen, L. H. (978). Development of the fraction concept in two 02 physical contexts: An exploratory investigation. Journal for Research in Mathematics Education, 9, Kouba, V. L., & Franklin, K. (993). Multiplication and division: Sense making and meaning. In R. J. Jensen (Ed.), Research ideas for the classroom: Early childhood mathematics (pp ). New York: Macmillan. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.

119 Chapter 5 理解十進位 位值概 念 多位數的認識 數字之謎 有天上街去買芒果 老闆說斤24元 我拿了幾顆 秤出來的結果是 2.2斤 要價66元 我問老闆說 你確定價格是對的嗎 因為我估 算了一下 2斤是48元 0.2應是2.4元左右 價錢應落在50元左右 怎麼 會是66元呢 你如果是老闆 可以幫忙解釋嗎 數字之謎2 你可以發現下面巴比羅尼亞數字 楔型文字 的規則嗎 找出它們 的關係吧 一群考古學家想要解出約西元前四千年巴比羅尼亞人的數字系統 你能協助他們解出來嗎

120 國小數學教材教法 a. 從上述的圖片中 你可以看出它們有什麼特性嗎 b. 從上述的圖片中 你可以發現它們有什麼關係 c. 你可以發現還有其他哪些關係嗎 d. 它與阿拉伯數字系統有何關聯 探究式教學 壹 前瞻 學童在生活中 會碰到很多不同於學校所學的數字系統 例如數字之 謎所看到的 在台灣的斤是十六進位 也就是斤6兩 而非所謂的十進 位 之後是兩0錢 就成了十進位 時間的單位 分鐘是60秒 小時是 60分鐘 天是24小時 星期是7天 個月是30或3天 又或是28 29天 等等 在生活中 也充滿了很多的不同進位觀念 例如美國使用的容 量單位是加崙 重量單位是盎斯 還有長度單位 例如台呎 英呎 04 公尺 海浬 公里 英哩等 電腦語言使用的是二進位 等等 有太多 的單位需要用到不同的進位方法 而如何讓學童對於進位方法有廣度與深 度的理解 將是老師要面對的課題 在教學活動中 比較有難度的是十進位中的進位與退位 在進行十進 位的概念來看 教師的教學與學童的學習 產生相對的矛盾 以下分別論 述 一 教師的十進位教學 以下依有關加法的教學與有關減法的教學 分別論述 一 有關加法的教學 通常教師在教導加法進位時 例如進行22 9算式時 會將個位2 9 的個位數加法 進位到十位數 再進行十位的加法 即再加上20 0的運

121 算 例如 22 9 二 有關減法的教學 通常教師在教導減法退位時 於進行22 3 因為2 3不夠減 所以 會至十位借一個0 即20 變成0 再用 再用剩下的0減 掉0 如下所示 22 3 二 學童的十進位學習 如上所述教師的教學方式 則與學童的學習方式完全不同 若是在使 與減法的學習 分別論述 一 加法的學習 若是進行22 9算式的教學時 學童會先將十位數的20與0相加 也就是30 再加上2 9 2是紅色的數棒 9是藍色的數棒 紅色加藍色則 等於橘色加上白色 這時再加上30 答案就出來了 顯現古氏數棒的圖 樣 chapter 5理解十進位 位值概念 多位數的認識 用古氏數棒的情境下 學童則有截然不同的解題方式 以下依加法的學習 05

122 國小數學教材教法 二 減法的學習 在學童學習減法的過程中 減法的概念亦來自於古氏數棒的操作 例 如22 3 孩子會先將20 0先做 剩下0 之後再用0 3 剩下7 再 2 顯現古氏數棒的圖樣 探究式教學 由以上學童的學習 相對於老師的教學來看 學童對加減法的運算是 先從十位處理 即大位數先算 而老師的教學則是從個位來做運算 即 小位數先算 為什麼孩子的想法與老師的教學方式不同 是因為孩子的 學習是從圖像而來 在具體物的操作中 如 古氏數棒 學童很自然會 06 先將橘色的數棒先加 再數個位的數棒 也就是會先從大數開始 再處理 較小的數字 其實大人也是如此 就像我們在7-Elven付錢時 如要付的錢 是$8,540也是先付8千元 再付5百元 再付40元等 如果這樣的運算邏輯 符合學童的發展 那由個位運算的方法 可能就是制式化的教學方式 而 這樣的教學方式 可能會讓學童的學習產生困擾 貳 教師的挑戰 教師在十進位的教學時 應能讓學童了解下面的原則 教育部 2009 NCTM, 學童要能經由具體物的操作 建構十進位的基礎 2. 學童要能經由具體的數算 經驗與位值概念了解我國的數字系統 3. 學童要能理解不同的數字系統 並能相對比較出十進位的便利性

123 4. 學童要能發現日常生活事物運用了不同的進位系統 參 十進位的重要性 在學童學習十進位的過程中 十進位的概念是很自然就發生的 當然 這也有文化上的差異 一 常見的教學困難 在教學中 教師可能會見到一些學童在學習十進位的困難 例如要求 學童寫出 四百零二 的阿拉伯數字時 學童所書寫的數字就是40002 我 們在口語上所表達的數學觀念 與學童實際學會的數學觀念 可能完全不 同 當學童寫出40002時 可以很明顯的發現 他對於位值概念的觀點是不 清楚的 07 位值 即數字在不同的位置所代表的數值 例如數字在百位則代表 百 在千位則代表千 學童剛開始不會了解位值的概念有多麼重要 因為他們的概念來自於數數 當他們碰到兩個數字的時候 例如7 當在 念的時候 認為7是由0跟7兩個數字組合而成的 是兩個不同的數字 學童的迷思概念 可從以下兩位個案看出 學童在學習位值的觀念 個案一 孝姿的案例 位值在他的觀念中 就是兩個數字 可從下列的對話看出 謝老師 如2 請問在個位數的2是什麼 孝 姿 是2 chapter 5理解十進位 位值概念 多位數的認識 二 什麼是位值

124 國小數學教材教法 謝老師 2是什麼 孝 姿 是 再一個 謝老師 請問在十位數的是什麼 孝 姿 是個 探究式教學 個案二 在小明的想法中 他的位值概念與我們在課堂所 教 完全是相反的 謝老師 請問234 請由左到右 要怎麼唸 小 明 千百十個 謝老師 請問4是什麼位 小 明 千位 謝老師 請問3是什麼位 小 明 百位 從以上個案中顯示出 學童在背位值的時候 將位值的方位背錯了 08 也就是個十百千 變成了千百十個 或許這樣的案例很特別 但要注意的 是 如果學童沒有使用具體物的方式學習而是用背頌的 即可能發生很多 令人覺得不可思議的錯誤 三 不同國家的數字系統 一 比較不同國家的數字系統 阿拉伯 巴比倫人 埃及人 羅馬字 I II III IV V VI VII VIII

125 9 VIII 0 X 5 XV 50 L 60 LX 62 LXII 00 C 20 CXX IЭ M M. 上 述 那 一 種 系 統 有 位 值 的 觀 念? 2. 你 可 以 用 巴 比 倫 的 數 字 系 統 表 示 與 242 嗎? 3. 如 何 用 巴 比 倫 系 統 表 示 ? 4. 巴 比 倫 系 統 是 一 個 十 進 位 的 系 統 嗎? ( 二 ) 馬 雅 的 數 字 系 統 ( ) 09 南 美 洲 馬 雅 人 的 祖 先 設 計 了 只 有 三 種 符 號 的 數 字 系 統, 從 以 下 的 範 例 中, 你 可 以 找 出 下 面 三 種 符 號 所 代 表 的 意 義 嗎? 眼 睛 代 表 什 麼? 若 小 明 說 眼 睛 代 表 20, 你 同 意 嗎? 請 特 別 注 意 代 表 2 與 42 的 數 字

126 . 當 你 知 道 數 字 規 則 後, 你 知 道 如 何 解 出 下 列 符 號 所 代 表 的 數 字? 2. 如 何 用 馬 雅 數 字, 表 示 下 列 阿 拉 伯 數 字? (a) 9 (b) 25 (c) 74 (d) 09 (e) 500 (f) 903 同? 3. 馬 雅 數 字 系 統 和 阿 拉 伯 數 字 系 統 從 進 位 的 觀 點 比 有 較, 有 什 麼 不 0 有 關 十 進 位 的 概 念, 可 有 二 種 模 式 : 一 為 等 比 例 模 式, 即 古 氏 數 棒 的 教 學, 十 即 為 0 個, 百 即 為 00 個 ; 二 為 非 等 比 例 模 式, 學 童 可 用 十 來 代 表 同 一 種 或 另 一 種 符 號, 即 為 非 等 比 例 模 式, 例 如 錢 幣 以 下 分 述 之 ( 一 ) 等 比 例 模 式. 學 童 自 行 圈 出 十 個 數 2

127 2. 由學童自行交換一個十做為十位數 2 二 非等比例模式. 將十當做一個不同的物體來代表 2. 將十用同一個物體來代表 肆 位值的教學活動 級協助學童建立位值的概念 讓學童抓一把數棒 可使學童產生十進位的 位值概念 如活動一 活動一 抓一把數棒 可愛的小蜜蜂 用小手抓了不同顏色的數棒 數數看 數棒有幾根 呢 數字是多少呢 十位 個位 3 讀做 三十四 十位 個位 4 5 讀做 五十五 5 chapter 5理解十進位 位值概念 多位數的認識 有關位值的教學活動 從一年級至三年級各有不同的教學活動 一年

128 國小數學教材教法 十位 個位 4 十位 個位 0 3 探究式教學 讀做 四十 7 讀做 三十七 活動二可看出數量在數線上的差別 一年級的孩子可從數線上看出位 值的數量差異 活動二 數線. 每一格代表多少 ㄅ 2 2. 是 是 是 ㄆ 3. 每一格代表多少 4. 是 是 是 ㄇ 是 是

129 活動三為二年級學童在學百位的概念 使用百格板的具體概念 同時 有錢幣非等比例的概念 活動三 數數看. 數數看 個 個 個 2. 用 0 元 元畫畫看. 8元 元 3. 07元 3 例概念 活動四 畫畫看. 圈出735枝吸管 chapter 5理解十進位 位值概念 多位數的認識 活動四為二年級500以上的概念 用吸管的等比例數量及錢幣的非等比

130 國小數學教材教法 2. 一共要付多少元 用 00 0 的圖畫畫看 探究式教學 活動五為三年級千位數的位值概念 可用千格板 數序及錢幣等建立 千位的位值概念 活動五 數數看. 做一做 4 個 個 2. 填填看 () 兒童大百科有,836頁 兒童牛頓有,683頁 哪一本的頁數 比較多 (2) 魯夫有,546個金幣 那美有,465個金幣 那美比魯夫多幾 個金幣 (3) (4) 把每樣物品的價格填在定位板上 () 收音機 千百十個 位位位位 2 2 3

131 (2) 磅秤 千百十個 位位位位 伍 位值教與學的叮嚀 位值 是單位的轉換 人類生活中的需求 古時候會擺上石頭或打 繩結來計數 當物件太多時 數數數得太多很難記憶 於是古人學會用 另一種物件代表一定的數量 就好像我們數錢幣 不會個個數到 而會將錢幣0個一疊 然後 來數 更 大的數量 則又以00一疊來數 十 百 千 萬 的位值概念因而 建立 頭 0個腳指頭 所以學童剛進入十進位的加減 或者剛開始的十以內的 合成與分解時 手指頭便是學童們最便利的道具 來幫助學童具體操作 當然 學童的學習要順著認知發展 因此教科書的安排就會切割成十 以內的合成與分解 再來是百以內的數 然後千以內的數 萬以內的數 最後是億以內的數 這樣的結構 可以幫助學童在整數系統中找到規 律性 例如個 十 百 千以四個位數為一循環 接下來是萬 十萬 百 萬 千萬 個十百千 萬 然後是億 個十百千 億 學習個 十 百 千 萬 億 兆 等位名 利用數錢幣是很好的 媒介 生活情境中 讓孩子數元 0元 00元 要數得快 就得 元堆成0元 0元堆成00元 00元堆成000元 個十百千萬的位值 單位就很容易建立 所以 建議多利用 假鈔 和 錢幣 來建立位值概 chapter 5理解十進位 位值概念 多位數的認識 十進位是相當便利的計數方式 又符合身體構造 我們有0個手指 5

132 念 十 進 位 制 的 加 減 運 算 學 習 過 程 中, 最 難 的 是 進 退 位, 尤 其 多 位 數 的 進 退 位, 學 童 總 是 容 易 出 錯, 原 因 是 具 體 操 作 與 運 算 理 解 過 程, 在 教 學 中 被 忽 略 或 被 省 略 了 尤 其 在 少 子 化 的 時 代, 孩 子 寶 貝 的 不 得 了, 父 母 幫 孩 子 做 太 多 事 情, 剝 奪 孩 子 思 考 學 習 的 機 會, 例 如 點 數 大 數 的 機 會 換 鈔 票 找 錢 的 機 會, 因 此 學 童 對 位 值 的 需 求 與 規 律, 需 要 老 師 在 教 學 時, 充 分 提 供 機 會 讓 學 童 操 作 除 了 十 進 位 外, 小 學 階 段 會 學 到 的 是 時 間 的 二 十 四 進 位 和 六 十 進 位, 需 要 另 外 教 學 有 關 進 退 位 的 學 習, 利 用 錢 幣 與 假 鈔, 讓 學 童 找 錢 與 湊 錢, 會 有 很 大 的 幫 助 我 們 一 起 來 檢 視 生 活 中, 學 童 的 十 進 位 與 其 他 進 位 的 經 驗 請 問 :. 您 的 孩 子 知 道 十 進 位 是 什 麼 嗎? 6 2. 您 的 孩 子 對 十 百 千 萬 與 億 有 量 感 嗎? 請 孩 子 說 說 看 5,000 元 可 以 買 哪 些 東 西?0,000 元 可 以 買 哪 些 東 西?00,000 元 可 以 買 哪 些 東 西?,000,000 元 可 以 買 哪 些 東 西? 3. 說 出 生 活 中, 兩 種 以 上 價 值 上 千 萬 的 物 品 4. 年 有 365 天, 三 年 級 的 學 童 是 0 歲, 如 果 他 已 經 生 活 了 0 年, 總 共 經 過 了 幾 天 的 日 子? 天 有 24 小 時, 星 期 總 共 經 過 了 幾 個 小 時? 數 到 86,400 下, 大 約 經 過 了 天 嗎? 5. 99,990,000 人 大 約 是 多 少 人? 你 會 說 是 大 約 億 人 嗎?87,654,320 你 會 說 大 概 是 多 少 人 呢?

133 您 對 大 單 位 的 認 知, 原 本 以 為 是 什 麼? 現 在 您 對 大 單 位 的 認 知, 有 哪 些 感 到 訝 異 的? 和 您 原 本 的 認 知 不 同? 7 多 位 數 與 大 數 的 學 習, 從 生 活 情 境 引 入, 透 過 假 鈔 的 點 數 與 找 錢 的 活 動, 幫 助 學 童 建 立 位 值 概 念 以 下 提 供 一 些 不 錯 的 教 學 法 寶 陳 列 如 下 表, 提 供 參 考 應 用

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138 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM. 22

139 Chapter 6 整數的數感與估測 數感概念是學童在學習數學過程中 很重要的能力 例如在進行2 5 3的運算時 學童應要知道上述這個算式是錯的 因為答案比原來的數 字還要大 從減法的邏輯來看 這是不應發生的結果 但是多數學童不會 發現 僅應用減法的步驟進行運算 不去了解所產生的結果是否合理 在課堂上 我常會要求學童思考當他們去便利商店買東西時 想想00 元可以買什麼 如瓶飲料 包洋竽片 盒口香糖 盒果凍 等等 雖然 這些事物很平常 但可以培養學童的價格估測 讓學童有一些估測 能力 進而有助益對計算的概念 上述的兩個例子都與數感有關 但是何謂數感 是學童對數的感覺 嗎 還是對數的直覺 Howden 989 對數感的想法 認為上述兩者都是 正確的 在數學教學上 學童對數字的感覺到底是什麼 到底數感與教學 有什麼關係 如在生活上 要求二年級學童思考到便利商店 買25元的商 品 可以買到什麼呢 壹 前瞻 台灣的學校並未將幼兒時期的數感概念列入正式課程 即學童學習正 式的數學概念 是直到7歲才開始 這些數感課程均與估測有密切的關係 例如從台北到桃園車票大概要花多少錢 有多遠 坐火車大概要多久 一 顆蘋果大概有多重 等等 若是學童對於數感與量感沒有很強的觀 念 則會造成他們在生活中很多的不方便 即使學童進入學校後 由於課本進度及小學教師對數感概念的想法有

140 所 差 異, 所 以 對 數 感 概 念 的 建 立 上, 需 要 更 多 的 努 力, 例 如 對 數 字 大 小 的 感 覺, 即 學 童 對 萬 與 十 萬 十 萬 與 百 萬 的 感 覺 等 沒 有 概 念, 因 此 在 教 學 上, 即 需 要 使 用 錢 幣 與 紙 鈔, 以 建 立 學 童 對 於 這 些 數 字 間 的 概 念 這 些 正 式 的 數 感 課 程, 亦 可 約 略 分 為 數 與 計 算 量 與 實 測 及 圖 形 與 空 間 三 個 部 分. : 可 由 錢 幣 的 估 測 四 則 運 算 的 估 測 分 數 及 小 數 的 估 測 等 看 到 學 童 的 數 感 概 念, 例 如 到 超 市 買 了 每 包 99 元 的 米 5 包, 大 約 多 少 錢?2,000 元 夠 不 夠? 2. : 可 由 單 位 的 了 解, 例 如 長 度 容 量 體 積 面 積 重 量 與 時 間 等 面 向, 看 到 學 童 對 量 感 的 感 覺, 例 如 有 相 同 容 器 250ml 的 瓶 子, 要 倒 入,000ml 的 大 容 器, 只 能 倒 幾 瓶? 3. : 可 由 展 開 圖 透 視 圖 比 例 尺 不 同 三 角 形 四 24 邊 形 的 從 屬 關 係 等 概 念 來 發 現, 例 如 0 大 樓 是 由 哪 些 形 狀 構 成? 教 師 在 進 行 數 感 概 念 的 教 學 時, 應 能 讓 學 童 了 解 下 面 的 原 則 :( 教 育 部,2009;NCTM, 2000). 促 進 學 童 使 用 不 同 的 策 略, 來 想 出 估 測 的 方 法 2. 要 能 使 學 童, 發 現 什 麼 估 測 的 結 果 是 適 當 的 3. 要 能 協 助 學 童, 發 現 結 果 的 合 理 性 4. 在 數 量 測 量 的 生 活 事 務 上, 要 能 應 用 估 測 的 能 力

141 以 下 對 數 感 的 定 義 數 感 的 重 要 數 感 概 念 的 發 展 與 估 測 等 四 部 分, 分 別 論 述 NCTM(2000) 定 義 數 感 係 為 學 童 能 拆 解 與 組 合 數 字, 能 使 用 數 字 如 或 00 做 為 參 考, 來 解 決 相 關 的 數 學 問 題 數 感 是 一 種 對 數 字 直 覺 性 的 2 感 覺, 要 能 引 導 學 童 對 於 數 字 能 做 出 彈 性 與 最 佳 的 決 定 (Howden, 989; Sowder, 992) 學 童 要 能 了 解 十 進 位 數 字 系 統 來 進 行 估 測, 以 理 解 數 字 並 確 認 數 字 的 相 關 大 小 與 絕 對 性, 作 者 採 用 Yang 與 Wu(200) 對 於 數 感 的 定 義 有 以 下 四 個 方 向 :. 能 了 解 基 本 數 字 與 運 算 的 意 義, 例 如 學 童 應 能 了 解 十 進 位 的 數 字 系 25 統 ; 或 是 學 童 能 用 不 同 表 徵 來 表 示 同 樣 的 數 字, 例 如 學 童 能 發 現 000 是 0 個 00, 也 可 以 是 00 個 0(McIntosh et al., 992) 2. 學 童 要 能 確 認 數 字 的 相 關 大 小 與 絕 對 性, 例 如 在 估 測 童 要 了 解 2 應 會 介 於 與 間, 因 為 2 等 於 , 及 2 是 6 2 有 多 大 時, 學 能 使 用 適 當 的 基 準 點, 例 如 教 室 的 高 度, 可 能 是 兩 倍 的 大 人 高 度 (McIntosh et al., 992) 4. 能 判 斷 答 案 的 合 理 性, 即 學 童 要 能 有 估 測 的 能 力, 例 如 學 童 對 於 學 校 操 場 跑 道 的 長 度 約 為 00 公 尺 的 範 圍, 而 不 會 誤 認 為 0 公 里 或 0 公 尺

142 國小數學教材教法 二 數感的重要 有關數感的重要 Yang與Wu 200 提出以下四個理由. 數感可以表現出彈性 創造 合理與效率的思考模式 Dunphy, 探究式教學 2007 例如 算式2 9 一年級學童在做加法運算時 可以 運用湊十的特性來解決 應用2 0 的方式來得到答案 2. 對於數量 數字 運算的主要概念 能有效率及有彈性的應用至生 活中 例如 當台玩具汽車需要599元 個音樂盒需要399元時 小明要買2個 需花多少張00元 學童要能理解599元需要幾張00 元的概念 3. 成年人的數學思考發展也與數感有直接的關係 Dehaene 997 與Berch 2005 提及 成年人應要進行直覺的數感 來使未來的 數學思考與應用更加豐富 過度的計算不僅會限制孩子在數學的思考與理解 也會阻礙孩子 在數感上的發展 Burns, 994; Kiplatrick et al., 200; Reys & Yang, 998; Yang & Li, 2008 例如 學童對於 答案應該是 25的一半左右 學童的答案如果是.25 則他們缺乏數感的能力 Yang與Wu 200 亦指出 傳統的數學教學若過於重視紙筆運算 會使學童缺乏數感能力 Alajmi, 2004; Markovits & Sowder, 994; Menon, 2004; Yang, 2005; Yang & Li, 2008 在NCTM 989 對於數感概念 界定了以下五項內涵. 學童要能發展出數感的意義 這包括了什麼是基數與數的順序概 念 2. 學童要能透過教具的操作 來發展出數的關係 例如 對於50這個 數字 學童能說出50是5個0 是2個25 是4個0與0個等概念

143 3. 學 童 要 能 了 解 數 字 的 相 對 性 例 如,3 與 4 相 比 較 大 與 28 差 不 多 大 約 為 60 的 一 半 比 00 比 小 很 多 若 是 學 童 能 一 個 一 個 數 到 00, 再 數 到 000, 可 能 會 看 到 數 字 大 小 的 相 對 性 4. 發 展 直 覺 在 數 字 運 算 的 相 對 效 果 對 於 數 字 計 算 的 概 念 而 言,7-5 的 結 果 一 定 比 7 小, 如 果 答 案 算 出 來 比 7 大, 一 定 出 了 問 題 5. 發 展 出 相 對 應 其 情 境 與 可 參 考 性 的 數 據 資 訊 例 如, 我 們 對 於 小 學 老 師 的 年 紀 應 該 界 於 30 歲 到 60 歲 之 間, 小 學 老 師 不 可 能 90 歲 還 在 教 書 在 範 圍 內 的 常 識, 提 供 了 一 個 判 斷 答 案 合 理 性 的 重 要 基 礎 學 前 階 段, 又 可 視 為 非 正 式 數 學 的 學 習 階 段, 即 學 童 在 未 進 入 學 校 之 前, 就 已 經 有 了 部 分 的 數 學 學 習 基 礎 ( 如 : 數 算 概 念 ) 數 算 是 非 正 式 數 學 的 基 礎, 有 關 此 概 念 可 分 為 三 種 類 型 : 唱 數 數 字 接 龍 與 合 理 性 數 數 唱 數, 是 要 求 學 童 依 口 頭 之 順 序 唱 數 到 不 會 數 為 止 ; 數 字 接 龍, 即 教 師 唱 27 數 後, 請 學 童 接 續 ; 合 理 性 數 數, 則 是 要 求 學 童 數 算 東 西, 也 包 括 基 數 的 數 字 概 念, 其 活 動 可 參 考 Ginsburg 與 Russell(98) 的 研 究 有 關 數 數 的 原 則, 則 依 Gellman 與 Gallistel(978) 所 提 出 的 數 數 五 項 原 則 : 一 對 一 對 應 (one-one correspondence) 固 定 順 序 (stable order) 整 體 的 意 義 (cardinality) 深 思 法 則 (abstraction) 及 順 序 無 關 法 則 (order-irrelevance), 這 些 部 分 之 詳 細 敘 述, 請 參 考 第 三 章 以 下 依 2 至 4 歲 與 4 至 5 歲 兩 階 段, 分 別 論 述 ( 一 )2 至 4 歲 數 感 的 開 始, 開 始 於 幼 兒 早 期 的 非 正 式 認 知 活 動, 例 如 Ginsburg (989) 所 提 出 的 幼 兒 使 用 手 指 數 算 使 用 具 體 物 操 作 等 至 幼 兒 入 學 接 受 正 式 教 育 後, 才 將 已 知 的 非 正 式 知 識 融 入 於 學 校 教 學 中 3 至 4 歲 的 幼

144 兒, 大 部 分 已 具 有 非 正 式 之 概 念 與 技 能 (Fuson & Hall, 983), 即 這 些 概 念 與 技 能 早 在 進 入 學 校 以 前 就 已 經 了 解 幼 兒 透 過 各 種 非 正 式 的 管 道, 獲 得 這 些 非 正 式 的 概 念 與 技 能, 這 些 概 念 與 技 能, 例 如 唱 數 與 合 理 性 的 數 算, 幼 兒 早 在 2 3 歲 時, 已 學 會 數 算 唱 名 (counting words)( 2 3), 然 後 逐 漸 學 習 到 更 多 與 更 大 之 數 算 數 字 (Ginsburg & Russell, 98; Sax, Guberman, & Gearhart, 987), 這 些 活 動 包 括 了 數 玩 具 或 是 數 餅 乾 或 是 在 玩 遊 戲 時 ( 如 :23 木 頭 人 ), 都 可 能 會 用 到 唱 數 的 概 念 ( 二 ) 至 歲 另 一 非 正 式 概 念 即 是 多 的 概 念, 在 幼 兒 4 至 5 歲 時 就 知 道 口 說 數 字 7 比 3 大 (Ginsburg & Russell, 98) 之 後, 學 童 將 這 種 多 的 基 本 概 念, 發 展 為 直 覺 數 線 (Resnick, 983), 當 使 用 數 線 時, 幼 兒 知 道 8 與 0 的 距 離 比 2 與 8 的 距 離 近 幼 兒 憑 感 覺 得 知 哪 一 個 數 字 較 大, 哪 一 組 的 數 字 較 28 近, 當 然 這 種 知 識 是 直 覺 的, 因 為 幼 兒 對 於 數 之 相 對 大 小 與 位 置, 只 有 粗 淺 的 概 念, 通 常 無 法 用 成 人 的 正 式 術 語 表 達 這 些 概 念 估 測 可 涉 及 到 數 的 大 小 測 量 的 範 圍 與 計 算 的 總 結 等 估 測 需 要 的 是, 經 過 謹 慎 的 思 考 與 分 析 來 解 決 問 題 的 能 力 (Baroody & Coslick, 998) 因 此, 估 測 是 一 個 對 於 鼓 勵 學 童 數 學 思 考 與 解 決 問 題 的 重 要 工 具 (Driscoll, 98) 以 下 針 對 數 感 長 度 時 間 容 量 重 量 等 概 念 的 學 習 向 度 依 序 論 述, 而 有 關 長 度 時 間 容 量 與 重 量 等 量 與 實 測 概 念, 請 參 考 第 十 四 章 ( 一 ) 數 感 概 念 數 感 概 念 最 明 顯 的 是 在 小 學 一 年 級 時, 學 習 到 0 的 數 字, 需 要 使 用 古

145 氏 數 棒 來 做 數 量 的 對 應, 即 對 應 的 就 是 白 色 積 木 2 對 應 的 是 紅 色 積 木 3 對 應 的 是 淺 綠 色 積 木 4 對 應 的 是 紫 色 積 木 5 對 應 的 是 黃 色 積 木 6 對 應 的 是 深 綠 色 積 木 7 對 應 的 是 黑 色 積 木 8 對 應 的 是 咖 啡 色 積 木 9 對 應 的 是 藍 色 積 木 0 對 應 的 是 橘 色 積 木 經 由 數 量 對 應 的 具 體 關 係, 以 建 立 學 童 對 量 感 的 觀 念, 而 不 是 只 有 抽 象 的 數 字 觀 念, 這 個 基 礎 很 重 要, 如 學 童 在 認 知 00 的 時 候, 就 會 聯 想 到 0 根 橘 色 積 木 ;,000 的 時 候, 就 會 想 到 00 根 的 橘 色 積 木, 可 以 變 成 一 個 長 寬 高 各 為 0 公 分 的 正 立 方 體 而 這 些 歷 程, 就 是 建 立 數 感 概 念 的 重 要 關 鍵, 其 課 程 就 在 小 學 一 年 級 時, 第 一 單 元 到 0 的 概 念 之 後, 學 童 在 二 年 級 建 立 到 千 的 數 感 概 念 ; 在 三 年 級 建 立 約 0 萬 的 數 感 概 念 ; 到 四 年 級 時 建 立 億 的 數 感 概 念 ; 到 國 中 建 立 線 性 函 數 曲 線 函 數 負 數 與 科 學 符 號 的 數 感 概 念 等 ; 到 高 中 建 立 更 為 複 雜 的 數 字 關 係, 如 曲 面 機 率 三 角 函 數 等 數 學 概 念 ; 到 大 學 則 可 能 依 學 系 屬 性 的 不 同, 對 數 學 概 念 的 應 用 更 為 多 元 出 社 會 後, 成 人 對 金 錢 的 數 感 建 立, 則 是 更 為 直 接 例 如, 對 於 所 買 29 的 衣 服 褲 子 鞋 子 等 都 會 建 立 一 個 大 概 可 以 購 買 的 價 格 範 圍 ; 對 於 更 昂 貴 的 物 品, 如 房 子 的 購 買, 也 會 依 自 己 的 所 得, 對 於 能 支 付 房 貸 進 行 評 估 雖 然, 這 些 都 是 大 人 所 碰 到 的 問 題, 但 這 與 數 感 概 念 的 應 用, 有 直 接 的 關 係, 也 就 是 說 數 感 與 我 們 在 食 衣 住 行 的 運 用 產 生 重 要 的 連 結 ( 二 ) 長 度 概 念 還 記 得 曾 教 導 一 位 三 年 級 的 小 梅 同 學, 因 為 她 對 於 長 度 的 換 算 非 常 模 糊, 為 了 要 釐 清 她 對 公 釐 公 分 與 公 尺 有 清 楚 的 了 解, 我 就 請 他 量 教 室 的 長 度, 請 找 出 教 室 有 多 長? 是 幾 公 尺 幾 公 分 與 幾 公 釐? 經 過 了 兩 小 時 耐 心 的 量 測 與 換 算, 她 終 於 了 解 了, 也 對 公 釐 公 分 與 公 尺 有 清 楚 的 了 解 奇 妙 的 事 情 發 生 在 四 年 級, 有 天 教 師 問 : 請 問 9.2 公 分, 有 幾 個 0. 公

146 分? 她 馬 上 回 答 : 有 92 個 從 這 樣 的 反 應, 就 可 以 發 現 她 對 於 公 釐 與 公 分 的 觀 念, 有 了 清 楚 而 深 入 的 了 解 又 有 一 個 例 子, 是 發 生 在 桃 園 的 學 校 裡, 當 對 四 年 級 進 行 量 測 活 動 時, 要 求 全 班 同 學 量 測 從 教 室 到 廁 所 有 多 遠, 實 際 的 長 度 是 93 公 尺, 但 有 學 童 估 測 的 長 度 從 20 公 尺 到 公 里 不 等, 由 此 可 知, 學 童 的 量 感 是 需 要 加 強 的 ( 三 ) 時 間 概 念 在 二 年 級 時, 要 求 學 童 進 行 時 間 的 估 測, 請 學 童 眼 睛 閉 起 來, 分 鐘 後, 請 學 童 猜 猜 看, 時 間 過 了 多 久, 猜 測 的 時 間 從 20 秒 到 0 分 鐘 不 等, 學 童 對 於 時 間 的 感 覺 很 難 猜 測, 其 實 是 因 為 學 童 看 不 到 時 間 的 長 度, 也 很 少 實 際 去 想 像 這 個 問 題 時 間 的 量 感, 在 生 活 上 最 明 顯 的 運 用, 就 是 生 理 時 間 的 產 生 一 些 有 30 責 任 感 的 孩 子, 對 於 時 間 觀 念 非 常 清 楚, 如 早 上 7 點 半 上 學, 可 能 自 己 就 會 在 7 點 0 分 左 右 起 床, 這 就 是 對 時 間 的 量 感 我 們 大 人 的 生 理 時 鐘, 也 多 半 會 因 為 上 班 時 間 的 關 係, 建 立 起 一 天 的 作 息 量 感, 當 生 理 時 鐘 的 機 制 建 立 完 成 後, 對 於 很 多 事 情 的 管 理 就 會 更 為 便 利 ( 四 ) 容 量 概 念 容 量 概 念 很 難 用 口 語 描 述 的 方 式 來 教 學, 例 如 如 何 教 cc 的 概 念, 到 底 cc 是 多 少? 老 師 很 難 說 得 清 楚, 但 如 果 能 運 用 教 具 古 氏 數 棒 來 教 學, 就 會 變 得 容 易 多 了, 因 為 古 氏 數 棒 的 立 方 公 分 就 是 cc 2 立 方 公 分 就 是 2cc 在 便 利 商 店 買 的 礦 泉 水 是 多 少 cc? 在 大 賣 場 買 最 大 瓶 的 汽 水 是 多 少 cc? 如 果 學 童 對 於 這 些 容 量 有 概 念, 就 表 示 他 們 對 容 量 有 些 感 覺 在 小 學 六 年 級 時, 課 程 中 會 介 紹 有 關 公 秉 的 概 念, 例 如 公 秉 有 多 少? 其 實 自 來 水 公 司 所 計 算 的 單 位 度, 就 是 以 公 秉 為 單 位 那 公 秉 有 多

147 少, 公 秉 就 是 立 方 公 尺, 就 是 長 寬 與 高 各 為 公 尺 的 正 立 方 體, 也 就 是 00 萬 cc 如 果 學 童 對 度 水 有 感 覺, 他 們 就 會 了 解 如 果 個 月 家 裡 的 用 水 是 300 度, 他 們 可 能 就 要 節 約 用 水 了 ( 五 ) 重 量 概 念 學 童 對 重 量 的 概 念, 可 能 更 感 覺 不 到 我 曾 在 課 堂 中 讓 師 培 學 生, 測 量 支 nokia 手 機 有 多 重? 答 案 從 20 公 克 到 800 公 克 都 有, 而 正 確 答 案 是 74 公 克 為 什 麼 一 個 答 案 小 於 00 公 克 的 東 西, 學 生 會 猜 800 公 克? 問 題 就 在 於, 我 們 的 學 童 缺 乏 重 量 的 量 感, 而 這 樣 量 感 的 訓 練, 其 實 在 國 民 小 學 時 期 就 應 該 要 被 訓 練 了 對 在 菜 市 場 賣 菜 的 菜 販 而 言, 能 隨 手 量 測 出 精 準 的 斤 兩, 就 是 因 為 他 們 有 豐 富 的 測 量 經 驗 而 我 們 的 學 童, 因 為 較 少 上 菜 市 場 買 菜, 或 是 較 少 有 提 重 物 的 經 驗, 就 比 較 沒 有 重 量 的 估 測 概 念 在 學 校 課 程 中, 有 要 求 學 童 使 用 秤 盤 或 是 使 用 天 秤 的 課 程 但 是 在 與 學 校 進 行 課 程 的 經 驗 中, 很 多 學 校 的 秤 盤 出 現 無 法 歸 零 指 針 壞 掉 量 測 3 不 準 或 是 測 量 經 驗 不 夠 充 分 等 不 同 的 問 題, 這 些 問 題 的 發 生 就 可 能 會 讓 學 童 的 學 習 不 夠 紥 實, 對 於 該 學 習 的 概 念 不 夠 深 入 缺 乏 量 感 的 學 童, 可 能 在 買 東 西 時, 對 於 斤 兩 不 足 可 能 沒 有 感 覺, 就 會 出 現 被 佔 便 宜 的 現 象

148 國小數學教材教法 肆 數感的教學活動 有關數感概念的活動 以下可分數感概念 長度概念 時間概念 容 量概念與重量概念等五部分 分別舉例說明 探究式教學 一 數感概念 數感概念在小學一年級階段 就可用錢幣來進行估測 如活動一 三 年級 則可進行萬以內比大小的活動 如活動二 三年級時 可用除法的 估商概念 如活動三 四年級 使用四捨五入 無條件捨去與無條件進入 法 進行估測 如活動四 活動一 早餐的組合 小山想買三種早餐 有哪些選擇呢 請找出三個組合 每個組合分 32 別要付多少元呢 35元 40元 8元 27元 7元. 熱狗 三明治 吐司 70元 2. 蛋糕 沙拉 三明治 85元 3. 沙拉 吐司 三明治 72元 活動二 大抽獎. 從撲克牌到9 抽出5個數字 誰能排出最大的數字呢 如果抽 到的數字是 要如何排列 數字最大呢

149 2. 請用撲克牌 自行抽出5個數字 使數字最大 3. 請依大小順序 將 這三個數字排出來 活動三 一起玩球. 籃球的價格 20元 小蜜蜂 小甲蟲和獨角仙共同出錢 每位 出的錢都一樣多 沒有剩下多餘的錢 籃球的價格可能是幾元 呢 20 3= =40 A 20元 420 3=40 420元 720 3= 元 2. 棒球的價格是2 0元 小蚱蜢也想玩 由小蜜蜂 小甲蟲 獨 33 角仙和小蚱蜢共同出錢 每位出的錢都一樣多 沒有剩下多餘 2 0 4= =50 A 20元 220 4=55 220元 240 4=60 240元 260 4=65 260元 280 4=70 280元 活動四 千元電氣行 只收千元大鈔的千元電器行大特賣 想買到划算的電器可要有聰明 清楚的腦袋 一起來看看 怎樣買才划算吧 chapter 6整數的數感與估測 的錢 棒球的價格可能是幾元呢

150 國小數學教材教法 探究式教學 先想想看 各種電器分別賣多少錢. 媽媽想買吸塵器和電視 大概需要多少錢呢 請先取概數 後 再以四捨五入法計算 2. 爸爸想買音響和冰箱 大概需要多少錢呢 請先計算後 再 取概數至千位 以四捨五入法 3. 以四捨五入法取概數到百位後 吸鹿器和收音機相差多少錢 呢 4. 樂樂想買收音機 若用無條件捨去法和四捨五入法計算會相差 多少錢呢 取概數至千位 34 二 長度概念 有關長度概念的估測 於二年級介紹公分與公尺時 可請同學進行活 動五 活動五 公分. 請圈出較適合的測量單位 () 鉛筆的長度 公分 公尺 (2) 橡皮擦的長度 公分 公尺 (3) 我的指甲 公分 公尺 (4) 課本的長度 公分 公尺 2. 加加減減 () 23公分 28公分 公分 (2) 86公分 28公分 公分

151 (3) 62公分 9公分 公分 (4) 42公分 3公分 公分 (5) 70公分 2公分 公分 三 時間概念 有關時間的估測 於二年級時引入秒鐘 分鐘與小時的時間 可請 學童進行時間的估測 如活動六 活動六 時間的快慢. 小珍學會時間的概念了 秒鐘有多久呢 分鐘有多久呢 小 時有多久呢 () 秒鐘的時間可以做什麼呢 (2) 分鐘的時間可以做什麼呢 (3) 小時的時間可以做什麼呢 35 看 () 唱一首歌約3 秒鐘 分鐘 小時 (2) 吃午餐約25 秒鐘 分鐘 小時 (3) 寫功課約需要 秒鐘 分鐘 小時 (4) 洗澡約需要0 秒鐘 分鐘 小時 (5) 跑00公尺約25 秒鐘 分鐘 小時 (6) 一天上學約8 秒鐘 分鐘 小時 四 容量概念 有關容量的估測 學童可從平常生活中找出容器 進行估測 如活動 七 chapter 6整數的數感與估測 2. 下面是小珍平時的活動 正確的時間單位是什麼呢 請圈圈

152 國小數學教材教法 活動七 量量看 找出生活中常用的容器 猜一猜 它們的容量分別是多少呢 哪一 組猜的最準呢 猜好之後 請用量杯量量看 探究式教學 物品 估測 實測 物品 36 估測 實測 五 重量概念 有關重量的估測 學童可從平常生活中找出物品 進行估測 如活動 八 活動八 秤秤看 同學們的鉛筆盒 有的大 有的小 請猜猜看 再量量看 哪一位 同學的鉛筆盒最重呢. 猜猜看鉛筆盒的重量 同學組別 重量

153 2. 3. () (2) (3)

154 國小數學教材教法 伍 數感與估測教與學的叮嚀 數感 與 估測 是一體兩面 具有數感的學童 估測較精確 由 於多數教師太注重分數 使用反覆的練習 要求學童得到高分 然而 算 探究式教學 則 的產生 是需經過學童嘗試錯誤的過程 例如2 8 當學 童已有湊十的觀念 其策略為 經過 策略的思考 才會建立系統的算則 然而 數感則是對數字的敏感度以及洞察力 譬如說到00 就能感覺 是200的一半 50的2倍 再加900等於000 比200小00 等等 所以 有數感的學童約估能力較強 數字拆解能力也較強 數感是可以訓練 也 是必須訓練的 因此教學需要強調 約估 量與實測中的約估 必須建立在基本量感上 所以教學的步驟 不能 省略直觀比較 間接比較 具體單位實測 估測等四步驟 尤其具體實測 38 建立基本量感後 才能產生對量的量感 若能在大小單位的實測後 透過 數學步道方式 實測生活週遭的物件 更能有效掌握量感 例如實測生活 週遭的長度 先掌握公分的量感 於是找到鼻孔 眼睛 耳垂 手指頭 的長度是公分 再讓學童約估手掌是幾公分 步長是幾公分 再進 一步借用身體的長度量桌長 教室長 等 一段時間後 已能掌握公分 的量感 再進行公尺的量感教學 接著是公里的量感教學 經過實際的測量後 學童才能掌握個別單位的量感 也因為步驟性的 連續實測過程 學童早就了解公尺就是00公分 因此20公分很快可轉換 成公尺20公分 兩個單位量的轉換就不成問題了 當然 因為透過實測 建立基本量感後 估測的成功率就會提升 我 們一起來檢視生活中 學童的數感與量感究竟如何 請問. 請帶您的孩子到賣場 選擇3 4樣物品後 請他說出大概要付多少 錢

155 2. 給 學 童 00 元, 讓 他 規 劃 可 以 買 那 些 他 想 要 的 東 西 3. 和 學 童 一 起 估 測 量 家 具 的 長 度 客 廳 的 面 積 浴 池 的 容 量 等 您 對 數 感 與 量 感 的 認 知, 原 本 以 為 是 什 麼? 現 在 您 對 數 感 與 量 感 的 認 知, 有 哪 些 感 到 訝 異 的? 和 您 原 本 的 認 知 不 同? 39 數 感 的 學 習 從 數 字 約 估 著 手, 量 感 的 學 習 透 過 實 測 建 立 基 本 量 感 後 估 測, 來 幫 助 孩 子 建 立 數 感 與 量 感 以 下 將 提 供 一 些 不 錯 的 教 學 法 寶 陳 列 如 下 表, 提 供 參 考 應 用

156 J,Q,K 來 玩 大 富 翁 囉 億 以 內 的 數 學 童 學 習 歷 程 40 0

157 4 6

158 42

159 數 學 步 道 校 園 裡 哪 裡 有 公 里? 學 童 學 習 歷 程

160

161 台 灣 學 童 缺 乏 數 感 概 念 的 問 題, 其 實 相 當 嚴 重, 主 要 因 為 大 部 分 的 學 校 教 學 仍 以 計 算 為 導 向, 即 教 師 在 教 數 學 時, 主 要 的 觀 念 還 是 要 求 學 童 反 覆 不 斷 的 練 習 為 主, 而 反 覆 不 斷 的 練 習, 則 可 能 對 學 童 的 數 感 能 力 有 所 傷 害 (Yang & Wu, 200) 其 實, 數 學 的 學 習 重 點, 應 放 在 學 童 的 理 解 與 應 用, 而 不 是 停 留 在 計 算 的 練 習 與 操 作 上, 學 童 只 要 對 數 學 的 概 念 理 解, 僅 需 一 些 題 目 的 熟 練

162 後, 即 能 充 分 的 了 解 強 迫 學 童 過 度 練 習, 不 但 對 學 童 的 數 感 概 念 有 害, 而 且 會 讓 學 童 對 數 學 的 學 習 反 感 學 校 老 師 在 面 對 期 中 考 期 末 考 時, 都 是 以 考 卷 方 式 強 化 學 童 的 練 習, 數 學 的 學 習 重 點 不 是 在 練 習 考 卷, 而 是 要 設 計 有 趣 的 教 學 活 動, 讓 學 童 從 討 論 與 發 表 的 過 程 中, 相 互 釐 清 在 數 學 概 念 模 糊 與 不 完 整 的 區 塊, 進 而 產 生 更 完 整 的 數 學 概 念, 而 評 量 與 考 試 的 目 的 僅 在 確 定 學 童 不 會 的 觀 念 但 是, 學 童 的 觀 念 沒 有 透 過 課 堂 間 的 教 學, 進 行 概 念 的 了 解 ; 再 者, 很 多 學 童 並 無 法 自 行 理 解 來 促 進 數 學 成 就 的 提 升, 所 以 只 有 考 試, 而 沒 有 教 學, 就 無 法 解 決 學 童 的 數 學 學 習 問 題 因 此, 為 了 促 進 學 童 在 數 感 概 念 的 發 展, 在 教 學 上, 教 師 可 能 要 注 意 以 下 的 一 些 教 學 原 則. 教 師 應 運 用 適 合 的 教 具, 以 建 立 學 童 的 數 感 概 念, 如 數 棒 錢 幣 天 秤 量 杯 時 鐘 皮 尺 等 教 師 在 教 學 時, 應 要 讓 學 童 先 估 測, 後 實 測 以 改 進 學 童 的 數 感 概 念 3. 教 師 在 教 學 時, 可 即 時 檢 視 與 察 覺 學 童 的 迷 思 概 念, 並 於 課 堂 中 調 整 與 改 變 教 學 的 活 動 流 程 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 Alajmi, A. (2004). Eighth grade Kuwaiti students' performance in recognizing reasonable answers and strategies they use to determine reasonable answers. Unpublished doctoral dissertation, University of Missouri, Columbia.

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165 Chapter 7 有 理 數 與 分 數 3 與 2 誰 比 較 5 6 大, 分 子 的 3 比 2 大, 因 為 分 子 與 分 母 都 6 有 一 次, 在 上 三 年 級 的 分 數 比 大 小 時, 要 求 學 童 比 出 大, 學 童 說 大, 所 以 3 比 較 大, 因 為 比 5 2 大 6 比 在 異 分 母 比 大 小 單 元, 三 年 級 學 童 會 找 出 3 比 2 大 的 策 略, 不 是 使 5 6 用 大 人 所 教 的 方 法, 而 是 出 於 學 童 自 發 性 的 策 略, 找 出 分 子 與 分 子 比, 分 母 與 分 母 比 的 直 覺 性 策 略, 而 直 覺 往 往 是 學 童 解 題 的 創 意 當 然, 在 其 它 的 分 數 情 境 可 能 就 沒 有 辦 法 使 用 這 些 策 略, 但 他 們 可 能 會 用 其 它 的 解 題 方 式 學 童 的 比 較 觀 念 相 當 直 接, 在 邏 輯 上 也 相 當 合 理 為 什 麼 學 童 會 對 異 分 母 比 大 小 的 概 念 相 當 清 楚, 那 是 因 為 對 於 分 子 與 分 母 的 定 義 有 相 當 了 解 學 童 在 學 習 分 數 概 念 時, 要 真 正 了 解 分 子 與 分 母 的 定 義, 而 不 是 背 頌 媽 媽 背 孩 子 的 想 法, 因 為 這 個 概 念 在 日 後 在 假 分 數 時 就 不 適 用 了 分 母 的 概 念 是 全 部 分 幾 片 的 概 念, 而 分 子 是 擁 有 多 少 的 概 念, 這 兩 個 定 義 釐 清 後, 對 於 未 來 更 複 雜 的 分 數 情 況 將 易 掌 握, 也 就 不 會 出 現 意 想 不 到 的 錯 誤 分 數 的 概 念 在 二 年 級 時, 就 已 經 提 及 單 位 分 數 與 認 識 一 半 的 概 念, 之 後 在 三 年 級 介 紹 整 體 的 分 數 概 念, 四 年 級 進 入 到 同 分 母 分 數 的 加 減 法, 五 年 級 異 分 母 分 數 的 加 減 法, 六 年 級 等 值 分 數 的 擴 分 與 約 分 概 念, 至 六 年 級 時 進 入 分 數 的 四 則 運 算 等

166 在 形 成 分 數 概 念 時, 教 師 要 認 知 到 如 何 讓 學 童 確 實 了 解 分 子 與 分 母 的 意 義 了 解 分 數 與 除 法 的 關 係 了 解 分 數 與 小 數 的 連 結 等 為 使 學 童 能 清 楚 的 釐 清 分 數 概 念, 要 讓 學 童 能 將 分 數 運 用 到 日 常 生 活 的 情 境 中 教 師 在 介 紹 分 數 時, 要 能 使 用 適 當 的 教 具, 協 助 學 童 了 解 分 數 的 概 念 與 四 則 運 算, 例 如 圓 形 分 數 板 長 條 形 分 數 板 或 正 方 形 分 數 板 等 若 能 適 當 的 使 用 分 數 的 教 具, 可 在 三 年 級 階 段 建 立 清 晰 的 分 數 概 念 多 數 學 童 在 分 數 的 學 習 會 有 挫 折, 主 要 的 問 題 在 於 學 童 不 了 解 分 數 的 概 念 的 意 義, 如 學 童 可 能 對 於 二 分 之 一 個 與 一 半 產 生 誤 解, 例 如 5 個 大 餅 的 一 半 與 個 大 餅, 在 意 義 上 是 完 全 不 同 的 2 教 師 要 依 不 同 年 級 的 需 求, 協 助 學 童 發 展 以 下 四 個 指 標 的 能 力 ( 教 育 50 部,2009;NCTM, 2000):. 發 展 分 數 的 不 同 概 念 2. 發 展 對 分 數 的 量 感 3. 使 用 不 同 策 略, 發 展 等 值 分 數 的 關 係 4. 運 用 分 數 至 分 數 的 情 境 有 理 數 可 化 為 任 何 分 數, 且 分 母 不 為 0 的 數 為 什 麼 分 數 或 是 有 理 數 這 樣 重 要? 從 整 數 的 加 減 乘 除 四 則 運 算 來 看, 其 和 差 積 商 或 是 餘 數, 均 為 整 數 的 形 式, 但 是 在 除 法 概 念, 則 會 出 現 整 除 或 是 無 法 整 除 的 情 況, 其 結 果 也 有 可 能 不 會 是 整 數 在 無 法 整 除 的 情 況, 如 圓 周 率 π 則

167 無 法 化 為 分 數 的 形 式, 則 被 視 為 無 理 數 的 範 圍, 但 凡 可 以 化 為 分 數 形 式 的 數, 都 稱 為 有 理 數 有 關 分 數 的 意 義, 依 Kieren(988) 則 歸 納 有 下 列 四 種 : ( 一 ) 部 分 與 全 體 的 概 念 分 數 可 以 表 示 部 分 與 整 體 的 觀 念, 例 如 塊 披 薩 被 平 分 為 3 份, 其 中 的 份 是 多 少? 這 樣 的 形 式, 可 視 為 部 分 與 整 體 的 關 係 ( 二 ) 比 例 概 念 如 2 可 視 為 2:3 的 比 例 關 係 第 一 種 意 義 為 部 分 與 全 體 的 比 例, 例 如 3 全 校 有 2 的 學 童 為 女 性 ; 第 二 種 意 義 為 整 體 與 整 體 的 比 例, 例 如 全 校 男 生 3 與 女 生 的 比 例 為 2:3 有 關 比 例 比 率 與 百 分 比 的 概 念, 將 在 第 十 一 章 中 5 詳 加 論 述 ( 三 ) 商 數 的 意 義 分 數 可 以 被 視 為 除 法 的 商 數 概 念, 例 如 兩 個 蛋 糕 平 分 給 2 個 人, 個 人 可 以 分 得 多 少 份? ( 四 ) 運 算 的 意 義 分 數 可 以 當 做 運 算 的 數 字 概 念, 例 如 甲 學 校 的 人 數, 是 乙 學 校 的 乘 以 2; 若 甲 學 校 人 數 為 300 人, 那 乙 學 校 人 數 為 多 少? 再 3 學 童 在 學 習 分 數 時, 與 教 師 在 進 行 分 數 教 學 時, 會 出 現 一 些 學 習 的 困

168 國小數學教材教法 難 以下分別論述 一 學童在學習分數時 會發生的困難 學童在學習分數時 會出現一 探究式教學 些學習的困難 有以下三點. 分數與整數在學童學習上的 不同 就是分數無法用數數 的策略進行 Behr & Post, 988 因為分數的概念牽 涉到除法的概念 在概念形成初期 是處理以內的等分概念 所 以 學童無法用數數的策略應用至分數概念 2. 等值分數的關係是一種乘積概念 有別於整數的情況是一種累加 52 的關係 例如 2 是分子乘以2 與分母乘以2才會相等 而不 3 6 是分子加3與分母加3 但在整數的情況 例如 左邊與右邊等式同時加2 等式仍然會成立 Vergnaud, 在進行分數比大小時 學童往往會認為 比 大 是因為整數的3 3 2 比2大 Yiu, 992 於此 學童並不會認知到 與 是兩個量在 3 2 比較 而是用整數的觀點在進行比較 這種情況會發生 是因為學 童對於 與 具體的概念 沒有被建立 3 2 二 教師在教分數時所發生的困難 教師在進行分數教學時 會發生一些問題 例如 進度太快 對於分 數的分母與分子的意義 未明確的進行釐清 即未提供分數概念的了解 例如等分的觀念和分子與分母乘積的關係 再者 老師對於一般分數概

169 念的連結關係 並未進行統整 例 如 分數的概念與商 比例與分數 當作運算符號的關係 未進行整體 的介紹 Novillis, 976; NovillisLarson, 980 三 教分數的建議 分數到底要在什麼時候進行教學 是在低年級進行呢 還是要等到 學童成熟些再進行教學呢 到底要用直接教學法 還是應用探究的方式 進行教學呢 Behr,et.al., 992 雖然 對於這些教學方式並未取得共 識 但是作者建議應用探究的教學方式來進行教學 才能建立學童基本 的分數概念 以下幾項是對於分數教學方向 所提供的建議 Baroody & Coslick,998: p9-7. Streefland 993 提出 要應用平分概念來建立具體的有理數概 童而言 用平分的觀念建立商數概念比較容易接受 Freudenthal, 983 學童很自然能接受有理數 例如用包糖果或是巧克力平 分給一些人 以建立分數的基本概念 例如 請學童估測以下問題 的結果 答案是否會大於 或是小於 或是小於一半等情況 問題一 小明和他3位朋友 要平分0塊巧克力 每人可以拿幾塊 巧克力 問題二 有5位學童 平分8個披薩 請問每位學童會得到幾個披 薩 問題三 小華和他2位朋友 要平分2個提拉米蘇的蛋糕 請問每人 可拿幾塊蛋糕 2. 要鼓勵學童運用非正式的解題方式 例如具體物 教具或用畫圖的 chapter 7有理數與分數 念 一般來說 分數概念應建立在部分與整體的關係上 因為對學 53

170 國小數學教材教法 方式 來解決平分的問題 在除法概念的應用中 學童 能用一個一個分的等分模 式 來解決分的問題 這些 探究式教學 一個一個分的非正式解題策 略 提供了分數解題的基礎 Mack, 990 例如 在例題一 一年級或二年級的學童即會先 每個人分塊披薩後 再將剩下的2塊披薩各分成二等份 每人再 分塊 請參考 圖7- 而在例題二 學童會用各種的解決方式將 例題二的答案找出來 請參考 圖7-2 在例題二中 要如何使用 一個一個分的策略 來解決部分與整體題型的需求 例如解決 3 與 4 5 的分數問題 解法A至C說明一個一個分的解題策略 解法D則顯 4 示出部分對整體的關係 54 例題一 5個人 分8塊Pizza 解決方式 A B C 圖7- 二年級學童的三種非正式解決方式 Baroody & Coslick, 998: p

171 例題二 A. 將每個Pizza分成四等份 3個Pizza分成等份 5個Pizza分成等分 B. 用等分法將每個Pizza分給4個人 C. 用等分法將每個Pizza分給4個人 D. 用等分法將每個Pizza分給4個人 部分與整體的關係 22 2 E. 符號表徵 圖7-2 等分問題能提供商數與部分對整體上的分數解釋 3. 要協助學童了解分數概念的不同意義 這些不同的意義如何連結到 有理數的關係 教師應要找到學童可應用部分與整體概念的需求 有關商數意義的需求 有關比例概念的需求 以及有關運算符號的 需求 三 學童在分數的學習 要了解學童在分數概念的學習 可先從分數與整數的差別 學童分數 學習的困難與學童分數的解題策略等三部分 來論述 chapter 7有理數與分數 3 4

172 國小數學教材教法 一 分數與整數的差別 如表7-可看出學童 在學習整數概念與分數概念的差異 從上述的差 異中可看出 學童在整數學習的認知概念應用至分數概念時 會產生一些 矛盾 例如在探討數字與數字的間格時 分數可被切割成無限個分數 但 探究式教學 是整數的數字是可被計算出來的 表7- 整數與分數的比較 Baroody & Coslick, 998: p9-9 特性 56 整數 分數 可處理的量概念 分離量 分離量與連續量 可處理的單位量 個別物體或是一群的個別量 部分與整體的量 關鍵的學習策略 數數 等分概念 符號的表徵形式 一個數字由單一或多個數字組合而 由中間一橫切成上下的兩組 成 數字 概念表徵 整數 關係的類別 累加 如 2是兩倍的概 乘積 如 等值分數概念 念 兩個整數的關係 符號所代表的量概念 整數的數字 無限的有理數 值 絕對 相對 在區間的數 固 定 量 如 7 與 5 之 間 的 數 只 有 無限多個數 介於0與之間 6 的分數 有無限多 下一個數字 可由數數的方式決定 無法決定 有一固定的分母 分子依固 順序的數字 2 可 有 每 一 個 固 定 量 的 數 字 增 加 定比例增加 如 3 3 如 固定以3或5的跳數 3 3 二 學童分數學習的困難 一般學童在學習分數時 其觀念未被建立完整 其原因如下

173 . 因為教師在教學時 經常使用蛋糕或是披薩等圓形的例子 較少使 用長方形或數線等連續量模式來介紹 所以學童的學習可能會被侷 限 2. 一些學童在分的時候 並沒有注意要等分的情況 他們在切分 等 4 分的時候 切割的形狀可能不是四等分 而是不平均 大小不一的 四份 3. 一些學童對於分離量的 2 與連續量的 2 無法連結 如 一些學童對於分數概念的分子與分母關係 並不了解 例如他們不 了解 4 4 對於分母變大與變小的意義 也不清楚 很多學童對於等值分數的概念不了解 例如他們知道下面的分數是 6. 很多學童對於分數的估測概念也很薄弱 7. 一般學童對於分數概念代表一種關係 並無法接受 例如他們一定 要看到 小於 要基於同一種量來看 他們對於分數的比例觀念 3 2 較無法接受 8. 很多學童會應用整數的觀點 來看分數 例如 大於 3 2 因為 很多學童在處理分數問題 時 不了解整體的概念 57 chapter 7有理數與分數 3 但不了解分數 分母 也代表 6 2

174 例 如 表 中 的 2 4, 其 結 果 是 代 的 量, 還 是 全 部 的 量 2 0. 教 師 在 建 立 單 位 分 數 時, 並 沒 有 介 紹 整 體 的 分 數 概 念, 例 如 在 介 紹 先 讓 學 童 了 解 什 麼 是 介 紹 什 麼 是 2 之 前, 應 2 2 2, 再 ( 三 ) 學 童 分 數 的 解 題 策 略 分 數 的 解 題 策 略 有 兩 種 : 一 是, 一 個 一 個 分 ( 於 第 四 章 除 法 策 略 中, 有 詳 述 ); 二 是, 先 分 一 半 的 策 略. : 為 了 要 解 決 分 離 量 的 分 數 問 題, 學 童 傾 58 向 於 使 用 一 個 一 個 分 的 策 略 2. : 學 童 為 了 要 解 決 連 續 量 的 問 題, 會 使 用 先 分 一 半 的 策 略 (Hierbert & Tonnessen, 978), 例 如 學 童 要 能 估 測 一 條 線 段 的 4, 他 們 會 先 將 線 段 折 成 一 半, 之 後 再 摺 成 一 半, 之 後 就 是 4 先 分 一 半 的 策 略 與 一 個 一 個 分 的 策 略 有 兩 點 不 同 : 第 一 是, 先 分 一 半 的 策 略, 需 要 事 先 計 劃 ; 第 二 是, 先 分 一 半 的 策 略, 是 用 在 連 續 量 的 情 況 下 以 下 依 生 活 型 態 的 資 料, 分 為 分 離 變 數 與 連 續 變 數 分 數 題 型 的 分 析, 與 分 數 的 模 式 等 三 部 分, 進 行 論 述

175 一 分離變數與連續變數 分離變數即為一個一個的量 如巧克力 雞蛋 座位等即為分離量 連續變數則為不可分割的量 如蛋糕 身高與體重的量等即為連續量 以下的活動 為分別分離變數與連續變數的實例 實例 請分別下列哪些數是分離變數 或是連續變數. 身高 7. 睡覺時間 2. 體重 8. 休假天數 3. 聯考分數 9. 蛋糕數量 4. 名次 0. 家裏人數 5. 社經地位. 近視度數 6. 性別 2. 打電話次數 59 如表7-3 以下是三種分數題型的分析 表7-3 三種分數題型 類別 分數未知 分離量 連續量 3 9= 2 8= 小明從哥哥那兒 如果 小明將Pizza切 拿了3顆糖 哥 是全 成8片 他吃了 哥有9顆 請問 部 那麼 2片 請問他吃 請問灰色部分佔 他拿了幾分之幾 佔全部的幾分之 了全部的幾分之 全部的幾分之 顆糖 幾 幾 幾 chapter 7有理數與分數 二 分數題型的分析

176 國小數學教材教法 9= 3 部分未知 8= 4 小明拿了哥哥 如果 全部糖的 3 小明將Pizza切 是全部 成8片 他吃了 如果哥哥有9顆 糖 那小明拿了 那麼 會有 3 多少 全部的 請 4 問他吃了幾片 請問灰色部分佔 全部的幾片 探究式教學 哥哥幾顆糖 3 = 3 整體未知 2 = 4 小明從哥哥那兒 如果 是全 小明吃了2片 拿了3顆糖 佔 部的 Pizza 他吃了 哥哥全部糖果的 那麼 3 全部是多少 請問哥哥 3 有幾顆糖 塊 請問他 4 請畫出其他的片 數 將Pizza切了幾 片 三 分數的模式 圖7-3為分數的各種模式 可分為連續量與分離量模式 其中連續量模 60 式又可分面積模式 長度模式與其他的測量模式與等三種類型 Baroody & Coslick, 998; p9-9 伍 分數的教學活動 一 分數的應用 分數的應用可在分離量的使用 如活動一 可使用在連續量的情況 如活動二 可應用在數棒的使用 如活動三 亦可應用至群組性的乘法 如活動四

177 連續量模式 面積模式 長度模式 其他測量模式 分離量模式 量杯模式 圓形模式 尺規模式 時間模式 個人模式 長方形模式 數線模式 重量模式 符號模式 三角形模式 線段模式 鷄蛋模式 平行四邊形模式 摺紙模式 有幾個一半的Pizza 摺紙模式 分數模式 圖7-3 分數的各種模式 活動一 停車場 小山停車場可停36部車 全部停滿可收7,200元 如果現在只停了 2部車 他可以收多少錢 能不能用分數表示 你還可以用其他方法 得出答案嗎 活動二 買可樂 一杯500cc的可樂30元 如果只買300cc要幾元 chapter 7有理數與分數

178 = 2 4

179 活動四 分數與群組性的乘法問題 用你的非正式策略 來處理群組性的乘法問題 3. 即將要停水了 小華在裝水時發現有3桶水都只裝了 4 如果他 要把每桶都裝滿 他還要裝幾桶水 2. 小華看電視吃了剩下冰淇淋的 2 如果剩下的冰淇淋有 3 桶 3 4 試問小華吃了多少桶冰淇淋 3. 小華除草 已知這塊除好的草坪寬度為 4 公里 除好的草坪長 2 為 5 公里 除好的面積為多少 二 包含除的概念. 如果有2塊pizza 要使每個人得到 2 塊 可分給多少人 如果冰箱的牛奶剩下 小山每天喝 他還可以喝幾天 如果小山要將其中 9 圍成一塊長方形 如果寬為 7 請問其長度 三 使用教具來得到答案 上述算式中 哪一個是整體 哪一個是部分 要如何來解 4 3 釋 他們夠分嗎 如果是 呢 想一想包含除的想法是什麼 什麼是 快速的解題策略 為什麼 這個步驟跳過了什麼 要如何協助小朋 友發現這個捷徑 可使用分母通分的方法 如 活動五 分離量 分離量與連續量的關係與比例概念的推理 以下分二個部分 第一 chapter 7有理數與分數 為 63

180 . 320,000 km km

181 2. 一 條 長 形 蛋 糕, 你 要 如 何 平 分 成 2 個 人? 如 果 是 5 個 人, 你 要 如 何 的 平 分? 整 數 系 統 是 日 常 生 活 常 接 觸 的, 而 分 數 是 學 童 較 不 常 接 觸 的, 或 正 確 的 說 是 被 忽 略 的, 更 可 怕 的 是 被 整 數 系 統 混 淆 了, 譬 如 買 了 個 披 薩, 平 均 切 割 成 6 塊, 吃 了 其 中 的 塊, 其 實 是 吃 了 個 披 薩, 但 我 們 在 生 活 中 卻 6 不 習 慣 感 知 整 體 部 分 量, 而 說 哥 哥 吃 了 塊 弟 弟 貪 吃 吃 了 2 塊 等 等 其 實, 分 數 的 生 活 經 驗 是 不 少 的, 因 為 瓶 飲 料 不 可 能 個 人 喝 完, 於 是 從 整 體 中 再 切 割, 就 有 了 分 數 的 需 求 平 分 成 6 杯, 其 中 杯 就 是 6 瓶 ; 又 如 塊 大 餅, 平 分 給 0 個 人, 個 人 就 可 分 得 0 個 大 餅 我 們 平 常 做 蛋 糕 調 酒, 都 需 要 量 杯, 量 杯 也 是 分 數 的 應 用, 杯 奶 油 2 杯 伏 特 3 65 加, 可 知 分 數 和 生 活 息 息 相 關 學 童 對 學 習 分 數 產 生 困 難, 是 因 為 缺 少 生 活 體 驗, 建 議 在 教 學 前 多 提 供 生 活 經 驗, 讓 學 童 體 驗 分 數, 分 數 的 學 習 就 會 和 整 數 系 統 一 樣 簡 單, 這 就 是 同 構 的 學 習 法 所 以, 在 教 分 數 單 元 時, 從 等 分 引 入 單 位 分 數, 透 過 摺 紙 切 割 將 部 分 上 色 等 來 理 解 單 位 分 數, 建 立 分 數 基 本 概 念, 並 加 入 分 糖 果 活 動, 建 立 分 數 的 兩 個 單 位 的 轉 換, 例 如 包 糖 果 有 2 顆, 包 就 等 於 4 顆 糖 3 果, 經 過 多 次 經 驗 的 累 積, 學 童 就 能 建 立 分 數 在 兩 單 位 的 轉 換, 就 能 順 利 的 遷 移 到 分 數 的 計 算 分 數 單 元 除 了 基 本 的 分 數 概 念 外, 單 位 分 數 最 簡 分 數 分 數 的 命 名 分 數 的 加 減 乘 除 運 算, 都 和 整 數 的 學 習 同 構, 一 樣 要 經 過 說 讀 聽 寫 做 的 歷 程 因 此, 分 數 的 量 感 分 數 比 大 小 分 數 的 拆 解

182 國小數學教材教法 分數的約估 等等 也都是很重要的訓練 例如 2 是2個 5 比 2 多 個 也就是2個 等 能建立完整的單位分數概念 做累量與分 數拆解 分數的運算就會和整數運算完全同構 探究式教學 分數的教學透過教具操作 更容易表徵與理解 譬如長條分數板的應 用 從 圖像表徵中 可察覺分母越大 分數值就越小 所 以 更可以從堆疊中察覺 2 3 透過 圓形 分數板 讓學童拼出同樣大小的 掌握 分數 切割的不同量感 於是 會察覺 甚或會堆疊出 可以經驗不同分數間的關係 還可以從表徵中 看到有關分數的 算式 所以 分數 的教學 提供教具的使用也很重要 總之 從生活經驗中進行分數的教學 並透過教具的操作與觀察 體 驗分數的生活問題 順利透過從單位分數的累量與操作 和整數系統的運 66 算接軌 分數的學習就會變簡單 我們一起來檢視生活中 學童的分數經驗究竟如何. 請和學童一起做蛋糕 特別留意材料的分量 觀察學童是否能正確 量出 2 杯奶油 3 杯麵粉 2. 和學童一起玩長條分數板或圓形分數板 做出不同顏色和 2 等值的 千層派 2 3. 和學童一起分吐司 口香糖 海苔 等 請孩子拿出正確的 7 包 口香糖 3 條吐司

183 您對分數的認知 原本以為是什麼 現在您對分數的認知 有哪些感到訝異的 和您原本的認知不同 柒 教學法寶 67 分數的學習 從單位分數的操弄著手 透過教具操弄 將分數具象化 表 教具或活動 學習目的 活動方式 2.察覺 圓形分數板 拼湊圓形分數 板 長條分數板 多色蛋糕 2.察覺分數的 算式關係 3.察覺拼湊成 的各式分 數.理解單位分 數的大小關 係.老師請每位小朋友抓取張分數板 2.請每位同學到黑板拼湊完整的 3.觀察發現了什麼 各是什麼分數 4.哪些是 5.還可以怎麼拼湊成 6.可以寫出哪些算式.人塊長條分數板 2.觀察長條分數板 發現單位分數的大 小關係 chapter 7有理數與分數 來幫助學童建立分數的數感與量感 提供一些不錯的教學法寶 陳列如下

184 國小數學教材教法 2.經驗等值分 數 長條分數板 多色蛋糕 3.排出全盤的二色蛋糕 例如 排出全盤的三色蛋糕 例如 排出全盤的四色蛋糕 例如 探究式教學 長條分數板 千層派.經驗擴分與 約分 2.經驗等值分 數.人塊長條分數板 2. 2 和幾個 4 一樣長 3.排出和 2 一樣長的千層派 4.排出和 3 一樣長的千層派 5.排出和 一樣長的千層 派 68 等值分數 學童學習歷程 來調飲料 等值分數 學童學習歷程 3 各種 6 分數的表徵 觀察長條分數板 發現了什麼

185 69

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189 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Behr, M. J., & Post, T. R. (988). Teaching rational number and decimal concepts. In T. R. Post (Ed.), Teaching mathematics in grades K-8. Boston: Allyn and Bacon. Behr, M. J., Harel, G., & Lesh, R. (992). Rational number, ratio, and proportion. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan. Herbert, J., & Tonnessen, L. H. (978). Development of the fraction concept in two physical contexts: An exploratory investigation. Journal for Research in Mathematics Education, 9, Kieren, T. E. (988). Personal knowledge of rational numbers: Its intuitive and formal development. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations 73 in the middle grades (pp. 62-8). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Mack, N. K. (990). Learning fractions with understanding. Building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 2, National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Novillis, C. G. (976). An analysis of the fraction concept into a hierarchy of selected subconcepts and the testing of the hierarchical dependencies. Journal for Research in Mathematics Edcuation, 7, Novillis-Larson, C. G. (980). Locating proper fractions. School Science and Mathematics, 53, Streefland, L. (993). Fractions: A realistic approach. In T. P. Carpenter, E. Fennema, & T. A. Romberg (Eds.), Rational numbers: An integration of research (pp ). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

190 Vergnaud, G. (983). Multiplicative structures. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp ). New York: Academic Press. Yiu, T. (992). A study of children' s understanding of fraction size and its relationship to proportional reasoning. Unpublished doctoral disseratation, University of Illinois, Urbana-Champaign. 74

191 Chapter 8 分 數 運 算 的 意 義 上 述 這 四 個 算 式 的 難 易 程 度, 需 依 題 意 進 行 思 考, 而 不 是 依 據 乘 法 或 除 法 符 號 最 簡 單 的 算 式 為 2 4, 是 因 為 2 塊 pizza 有 4 個, 請 問 總 共 有 幾 個? 其 想 法 是 二 年 級 的 倍 數 概 念, 所 以 在 圖 像 概 念 會 形 成 第 二 簡 單 的 算 式 為 2 4, 就 是 塊 pizza 平 分 成 4 個 人, 請 問 每 人 可 以 2 分 到 幾 片 pizza, 其 意 義 為 等 分 除 的 概 念 第 三 個 算 式 為 4 2, 其 意 義 為 有 4 塊 pizza, 每 塊 分 給 一 個 人, 可 分 2 成 幾 個 人, 其 概 念 為 包 含 除 概 念, 比 等 分 除 的 意 義 困 難, 因 此 可 看 出 分 數 除 法 會 造 成 越 除 越 大 的 情 況, 所 以 學 童 可 能 會 產 生 混 淆 最 後 一 個 算 式 為 4 2, 多 數 教 師 會 想 不 出 來 此 題 的 情 境 為 何? 是 因 為 其 概 念 為 有 杯 4 公 升 的 水, 其 中 的 一 半 為 多 少? 這 一 情 境 之 所 以 困 難, 是 因 為 倍 數 為 分 數 的 關 係, 即 4 公 升 的 出 分 數 乘 法 越 乘 越 小 的 情 況 倍 為 多 少? 就 較 容 易 釐 清, 在 此 可 看 2 在 第 四 個 算 式 中, 很 多 教 師 會 出 現 42 的 題 意, 如 4 公 升 的 水 平 分 給 2 人, 每 人 可 分 多 少? 此 題 與 4 2 不 同, 雖 然 數 學 算 式 的 答 案 相 同, 但 意 義 完 全 不 同 所 以, 教 師 在 進 行 分 數 運 算 概 念 時, 需 要 注 意 這 些 算 式 的 差 異

192 教 師 在 教 分 數 概 念 時, 要 先 了 解 跨 年 級 的 分 數 概 念, 知 道 學 童 在 不 同 年 級 的 教 學 內 容 是 什 麼, 例 如 二 年 級 建 立 一 半 的 概 念 三 年 級 建 立 整 體 的 分 數 概 念 與 單 位 分 數 四 年 級 要 有 異 分 母 比 較 的 概 念 五 年 級 至 六 年 級 要 建 立 分 數 四 則 的 概 念 等 再 者, 教 師 在 進 行 分 數 教 學 時, 要 對 分 數 的 四 則 運 算 有 全 面 的 了 解, 例 如 分 數 在 加 減 乘 與 除 法 不 同 的 類 型 分 數 在 不 同 運 算 符 號 下 的 文 字 意 義 分 數 運 算 可 能 出 現 的 生 活 情 境 等 分 數 四 則 概 念 的 建 立, 其 實 要 基 於 學 童 對 於 分 數 的 具 體 圖 像 來 建 立, 例 如 整 體 的 分 數 概 念, 即 為 一 完 整 的 圓 形 或 方 形, 或 是 數 線 長 度 為 76 教 師 要 能 於 高 年 級, 協 助 學 童 發 展 以 下 四 個 指 標 的 能 力 ( 教 育 部, 2009;NCM, 2000):. 計 算 分 數 等 有 理 數 的 四 則 運 算 2. 能 發 展 分 析 與 解 釋 這 些 計 算 的 步 驟, 亦 能 估 測 3. 能 應 用 計 算 與 估 測 來 解 決 問 題 4. 能 用 估 測 來 檢 視 是 否 結 果 為 合 理 之 學 童 的 學 習, 可 分 非 正 式 的 解 題 策 略 與 分 數 的 四 則 運 算, 以 下 分 述

193 一 非正式的解題策略 有關學童非正式的解題策略 即學童不是用計算的方式來得出結果 可由分數的估測 分數比大小及分數的擬題三部分來說明 一 分數的估測 為什麼分數的估測很重要 因為學童往往會被計算所制約 作者於小 學六年級進行分數教學時 給學童一個數學算式 請學童找出4 4 與 有何不同 請學童用圖形表示 學童在計算4 8 時 通常會先將 8 變 成 之後再用4 很多同學又會將4與2再繼續約分 如2 得出 2 2 答案為2或是 這兩個答案都是錯的 因為他們用背誦的方式來解題 其 2 實 從估測的觀點來看 4 的答案一定大於4 因為4 就等於4 若 2 是4再除以比小的 答案應該比4大 因此學童應該會發現2與 的答案都 2 太小了 若是學童對分數估測沒有概念 而是用背誦的方式來解決問題 則會出現很多令老師想不到的錯誤 作者於小學三年級進行分數教學時 曾要求學童對於異分母比大小的 概念進行解題 用四種分數比大小的問題 要求學童進行解題 以下分述 之. 3 與 2 學童在解決這個問題時 發現 也同時發現 即分母相比時 比較大 分子相比時3也比2大 所以 與 4 學童會將 2 直接換成 4 的等值分數 再與 4 相比 發現 所以 與 3 學童發現 3 而 4 所以 與 5 學童發現 4 少了 而 5 少了 因為 所以 chapter 8分數運算的意義 二 分數比大小 77

194 國小數學教材教法 5 因這方法只有少部分同學了解 大部分同學對於此策略 仍不 6 太了解 由以上四種題型 可發現異分母分數比大小的問題 有難易之分 有 些策略學童可以使用在不同的異分母比大小的情況 但有些策略可能難度 探究式教學 過高 但這些方法 都不用正式的計算方式即可將答案判斷出來 三 分數的擬題 分數的擬題 亦為非正式的解題策略 學童在進行分數的擬題時 要 了解什麼是分數與運算符號的意義 如3 要如何想出一個分數的問 2 題 其問題的概念 在於3是什麼意義 是代表什麼 又是什麼 其結 2 果代表了多少 學童在進行擬題時 常會擬成3 2 而不是3 雖然兩 2 個算式的答案相同 但意義完全不同 例如3個蛋糕平分成2個人與3個蛋糕 中的一半 是完全不一樣的概念 分數的擬題 注重的是學童在分數概念 78 的釐清而不是計算 擬題的訓練是分數教學中很重要的一環 二 分數四則運算 有關分數四則運算 可分加 減 乘和除四部分來說明 一 分數的加法與減法 有關分數加法與減法的類型 可參考第四章有關整數四則的加法與減 法類型 約有十五種題型 在加法部分 有添加型與併加型 減法類型有拿走型 比較型與追加 型等三種類型 每種類型中 又可分有三種不同未知的題型 例如被加數 未知 加數未知與和數未知等 分數的加法概念會出現的問題 就是學童會將分母與分母相加 分子

195 與分子相加 例如 2 為什麼會有這樣的錯誤產生 因為學童沒 有將分數的圖形畫出來 也就是沒有用圖來進行連結 同樣的 減法也可 能出現類似的錯誤 二 分數的乘法 分數除法的概念 當除數小於的時候 會出現數字越乘越小的矛盾現 象 因為整數的乘法應該要越乘越大 雖然 學童可以運用重複累加的策 略來解決乘法問題 例如 3或是3 以上兩個算式均可解釋為 而 就沒有辦法如此解釋了 但是 如下的三種情況 則可 以解釋這樣的算式 Baroody & Coslick, 998: p0-2. 群組型 若是用群組型的乘法問題 即為一群體的量概念 有關 如 3 2 可解釋為 如小明小時走 3 公里 請問他花 2 小時可以 走多遠 三 分數的除法 分數的除法問題 是高年級學童觀念需要突破的關鍵 可分為以下兩 種解題的類型 79 chapter 8分數運算的意義 3 可以視為 盒的雞蛋 有3個 盒的雞蛋是多少 再者 亦可視為3盒雞蛋的 是多少 若是要解釋 可以視為 盒雞蛋的 是多少 面積型 若是用面積型的乘法問題 即單位為平方公分 平方公尺 與平方公里等概念 例如請找出長為3 寬為 2 的長方形面積 可 用於解釋3 或 3的概念 再者 請找出長為 寬為 的長 方形面積 可用於解釋 2 3 或是 3 2 的算式 3. 比例型 若是用比例型的乘法概念 可以用速度的關係來解釋 例

196 國小數學教材教法. 包含除 有關分數的除法 當除數小於時 無法適用於等分除的 探究式教學 情況 只能有包含除的方式進行解釋 例如4 2 的擬題情境為 有4塊蛋糕 每 塊裝盤 可裝幾盤 同樣的 的擬題情境 為 有 4 塊蛋糕 每 2 塊裝盤 可裝幾盤 情境不合理 因為 4 比 2 小 改用倍數問題比較合理 例如 4 塊蛋糕是 2 塊蛋糕的幾 倍 2. 面積型 算式 可被視為面積為 若是長為 則寬為多少 的問題 由於面積型問題的單位相同 被乘數與乘數均可互換 若 算式的被乘數與乘數相互交換 如 亦可等於 肆 分數的教學活動 80 一 建構一個概念學習的基礎 以概念學習為基礎的分數教學 需要建立學童對於分數運算的學習觀 念 學童要了解分數運算的概念 有些學童看到分數的除法如4 就想 2 到分數倒過來乘 如4 2 當然這個算式是錯的 是因為學童背 2 4 錯了 同時將被除數與除數都倒過來 或是4 2 因為學童約分 2 約錯了 以上這些 都是學童在不了解分數運算的意義下 可能會發生的 錯誤 要求學童對於分數運算的意義要能畫出圖形 才是根本解決錯誤的方 法 作者曾經於六年級進行分數教學時 請學童畫出4 4 的圖形 學童 8 剛開始都用計算的方式來解決問題 之後學童畫出了不同的圖形 如 圖 8- 為了要促進學童在分數概念的學習 學童需在質性思考 qualitative

197 reasoning 與分數估測的培養 所以在這兩方面的活動設計 特別重要 以下分述之 甲 甲 乙 乙 丙 丙 甲 丙 甲 丙 乙 乙 丁 丁 丁 丁 圖8- 學童於4 4 的解題策略 8 8 chapter 8分數運算的意義

198 國小數學教材教法 一 質性思考 質性思考的概念在於學童在沒有進行分數運算之前 就可以對分數的結果 進行推理判斷 如以下的問題 探究式教學 於分數概念的應用 問題一 小明家買了一個蛋糕 第一天小明吃了一半 第二天他吃 了剩下的 3 請問小明吃掉的蛋糕 a. 少於一半 b. 剛好 一半 c. 多於一半 問題二 小明家的蛋糕只剩下一半 他吃了全部蛋糕的 3 請問剩 下的蛋糕 a. 少於一半 b. 剛好一半 c. 多於一半 問題三 小明家在桌上的蛋糕只剩下 3 他吃了 2 請問小明吃的 蛋糕會是全部蛋糕 a. 少於一半 b. 剛好一半 c. 多於一 半 問題四 小明家在桌上的蛋糕只剩下 2 如果他每天只能吃 6 請 問小明的蛋糕可以吃多久 a. 少於一天 b. 剛好一天 c. 多於一天 82 於分數運算的連結 3 2 問題一 在不要計算的前題下 請找出 4 8 的答案是否 3 3 a. 小於 4 b. 大於 4 但小於 c. 大於 a. 如果 變大 其值會如何? 問題二 b. 如果 變大 其值會如何 c. 如果 變小 變大 其值會如何 d. 如果 變小 變大 其值會如何 e. 請思考如何讓答案變大 變小與不變 a. 如果 變大 其值會如何 問題三

199 b. 如果 變大 其值會如何 c. 如果 變小 變大 其值會如何 d. 如果 變小 變大 其值會如何 e. 請思考如何讓答案變大 變小與不變 a. 如果 變大 其值會如何 b. 如果 變大 其值會如何 問題四 c. 如果 變小 變大 其值會如何 d. 如果 變小 變大 其值會如何 e. 請思考如何讓答案變大 變小與不變 二 分數估測 分數估測即是在不用計算的前題下 可以大約了解答案的範圍 這是 對分數的數感概念 以下問題為分數估測的題型 問題一 在不要計算的情況下 請找出 的答案會接近於 a. b. 2 c. 298 d. 300 問題二 請用少於分鐘的時間 估測下列的數字大概最接近那一 個整數 a d b e c f 二 以探究為方式的教學方法 在教學上 有兩個原則來進行教學 Baroody & Coslick, 998, p09 第一是 鼓勵學童用他們自己的方式 來創造出分數的正式運算方 法 也就是說 他們可以使用教具或圖像的方式 來發現這些有意義的非 正式解題策略 Bezuk, & Bieck, 993, p32 第二是 學童要能解釋他 chapter 8分數運算的意義 下列那一數字 83

200 國小數學教材教法 們所提出的方式 學童要能了解這些運算步驟所代表的意義 才能促進他 們在分數概念上的學習 以下依乘法的運算 除法的運算及分數的教學活動 進行敘述 一 乘法的運算 探究式教學 若是以乘法的策略來看 可用分數與分數交集的區域 來看出分數乘 法的概念 例如 可看出交集的區域 如 圖8-2 所示 因為所使用 2 3 的是正方形分數板 學童可以很清楚地由教具的操作中 看到明確的結 果 圖8-2 應用正方形分數板分辨出 的交集概念 若使用圖8-2的策略 你可以使用正方形分數板來找出下列算式的結果 嗎 a. 2 3 b. 2 2 c. 5 3 d 二 除法的運算 有兩種方式 可以解決分數與分數除法的運算概念 一是 分數倒過 來相乘的做法 另一是 分母通分的方法 分數倒過來乘 有關分數倒過來乘的做法 與同分母相乘的意義是相互連結的 在 2 的算式中 會變成 此部分的連結可從以下來解 釋

201 = 與 的份數 與 2 的份數 6 6 3份除以2份的概念 6 6 同一分母6即可省略 其它有關分數倒過來乘的數學證明 有以下三種 分母通分法 分母通分方法的解釋概念 應用至其它較複雜的算式 例如 學童即可發現 3 5 的乘法關係 這也 就解決了分數除分數的算法問題 若使用正方形分數板進行分數解題 如下列三題. 你可以找出下列問題的結果嗎 a. b. c. 2 2 d 你可以找出下列問題的結果嗎 a. 2 b chapter 8分數運算的意義 3. 因為 所以任何數都可 視為a 如 因為 3 所以

202 國小數學教材教法 3. 你可以用 5 來說明 為什麼答案是 整數代表什麼意義 又是什麼意義 4 三 分數的教學活動 探究式教學 分數概念在二年級才開始介紹 以下依不同年級進行論述 二年級 二年級概念著重於分數的等分概念 可被切出兩份 三份與四份等 如活動一與活動二 活動一 切蛋糕. 一個蛋糕平均分成兩份 一個人吃 個圓蛋糕 一個三角蛋糕平分成三份 一個人吃 個三角蛋糕 3. 一個方形蛋糕平分成四份 一個人吃 個方形糕 活動二 填入分數比大小 在 內填入分數後 在 填入 或

203 三年級 三年級要教單位分數 如 與 需先建立分數整體的概念 如活動 2 3 三 於此亦可設計分數的減法 如活動四 活動三 小蜜蜂的Pizza 87 Pizza 黃色Pizza 藍色Pizza 粉紅色Pizza 橘色Pizza 綠色Pizza 咖啡色Pizza 黑色Pizza 白色Pizza 拼出紫色Pizza一樣大的形狀吧 顏色 需要片數 算式 紅色 2 + １ 2 2 黃色 3 ++ １ 藍色 １ 粉紅色 １ 橘色 １ chapter 8分數運算的意義 小蜜蜂準備了很多顏色的Pizza 一起用同樣顏色 例如 紅色

204 國小數學教材教法 探究式教學 綠色 １ 咖啡色 0 １ 黑色 2 １ １ 白色 你可以發現 活動四 紫色Pizza 小蜜蜂用紫色Pizza與其他顏色的Pizza一同比大小 你可以找出紫 色Pizza這些顏色的Pizza相比多多少嗎 88 顏色 顏色 多多少 紫色 紅色 2 2 紫色 藍色 紫色 橘色 紫色 綠色 紫色 咖啡色 紫色 黑色 紫色 白色

205 在三年級時 亦可帶入分數數線的概念 如活動五 活動五 有多遠 皇宮到小蜜蜂家有00公尺遠 那麼從風車到公園有多遠 00m 四年級 四年級時 進行真分數 假分數與帶分數的概念 學童可從數線的比 活動六 填填看 這些的分數 分 別是哪一種分數呢 真分數 假分數 帶分數 2. 下面的線上a b c d各是多少 用分數表示出來 0 a 2 b 3 c 4 5 d 6 chapter 8分數運算的意義 較看出這些分數的差異性 如活動六與活動七 89

206 國小數學教材教法 3. () 2 3 (2) 3 5 (3) (4) 0 2 (5) (6) 8 8 探究式教學 活動七 找找看 請填上適當的數 符合算式 五年級 90 五年級時 對於帶分數的加減法 如活動八 真分數的乘法概念 如 活動九 真分數的除法概念 如活動十 均為較進階的分數運算 活動八 算算看 4 5. 一棟大樓有8 9 公尺高 幻影忍者已經爬了3 5 請問他還要爬 幾公尺才能爬到屋頂上 公尺 7 2. 忍者村有一塊大草坪需要修剪 白光忍者用除草機修剪了 2 平 5 方公尺 還剩下 2 平方公尺 請問這塊草皮有多大 平方公尺 3. 忍者龜太郎每天都半夜2點才上床睡覺 昨天他睡到早上8點起 床 吃飯和休息共花了9小時 其餘時間都在工作 請問他昨天 的工作時間佔了一整天的幾分之幾呢

207 的時間在工作 活動九 偵探事務所. 將答案填入表格中 你就是偵探事務所新任的小偵探唷 2 X 活動十 分數乘除. 忍者龜的龜殼重4 5 kg 如果每天洗澡 龜殼會變成當天重量的 4 5 倍 如果連續洗三天 忍者龜的殼會變多重呢 A 閃電俠每發一次閃電 耗損全部 9 的電力 如果他身上有00% chapter 8分數運算的意義

208 國小數學教材教法 的電力 他可以發幾次電 A 4次 六年級 探究式教學 六年級時 學童會進行分數的除法概念 如活動十一 亦可要求學童 進行擬題 如活動十二 建立學童於分數除法的觀念 如活動十三 對於 分數除法的多步驟運算 如活動十四 協助性釐清一半與 的概念 如活 2 動十五 活動十一 等分除 今天的下午茶 小山準備了好多點心 有方塊酥 果汁 牛奶 92. 小山拿了包方塊酥 裡面有3片 每人分 3 片 可以平分給幾個 人 A 9片 3 2. 媽媽調了2公升的蘋果牛奶 每個小朋友分得 8 公升 可以平 分給幾位小朋友 =32 A 32位 活動十二 擬題 5. 小花 小明跟小翰 一共喝了 3 公升的汽水 請問每個人平均 喝多少公升的汽水 換你出一題 5 A 9 公升 3 小明家有4個人 平分了 4 奶 每個人可以分到多少公升呢 公升的牛

209 活動十三 比大小 在 裡填入 或 你發現了什麼 分數 大於 會小於原來的分數 分數 會等於原來的分數 分數 小於 會大於原來的分數 活動十四 馬戲團 馬戲團來到數字王國演出 國王給了一塊土地讓馬戲團在上面搭帳 蓬 作為演出地點 聰明的你可以算出這塊土地有多大嗎 0.7m m m 活動十五 馬太太歡迎他六年級的學生於過年之後回來學校 在過年時 她烤 了一些Pizza 所以她必須給別人一些 她要求我拿一半又 2 個Pizza 之後再找2個人依序這樣分 即第2個人拿剩下一半又 2 個Pizza 第3個 人再拿剩下一半又 2 個Pizza 這樣她不用切即可分完 請問她有幾個 Pizza 圖示 Pizza chapter 8分數運算的意義

210 國小數學教材教法 伍 分數運算教與學的叮嚀 分數 的四則運算 整體而言分三大區塊 一是同分母的計算 二 是異分母的計算 三為整數與分數的計算 探究式教學 一 同分母的計算 同分母的計算有 等 若把同分母的四則運算情境以倍數概念引入 則運算的轉化比較容易理 解 例舉如下 布題情境為 一瓶果汁平分成八等分 姊姊喝了 5 瓶 妹妹喝了 瓶 兩人共喝了多少瓶 加法的理解建立在共喝了 8 5 倍的 布題情境為 一瓶果汁平分成八等分 姊姊喝了 5 瓶 妹妹喝了 瓶 兩人相差多少瓶 減法的理解建立在 5 倍的 布題情境為 一瓶果汁有 5 公升 妹妹喝了 瓶 她喝 了多少公升 乘法的理解建立在喝了 公升的 倍 或 個 5 公 升 4. 5 布題情境為 藍莓果汁有 5 公升 草莓果汁有 公升 藍莓果汁是草莓果汁的幾倍 除法的理解建立在 5 倍 二 異分母的計算 異分母的計算有 等 若把異分母的四則運算情境以整數系統的概念引入 在計算時 先轉化為

211 同分母即可 例舉如下. 5 布題情境為 同樣都是公升的果汁兩瓶 姊姊喝了 瓶 妹妹喝了 瓶 兩人共喝了多少瓶 布題情境為 同樣都是公升的果汁兩瓶 姊姊喝了 瓶 妹妹喝了 瓶 兩人相差多少瓶 布題情境為 一瓶果汁有 公升 妹妹喝了 瓶 她喝 了多少公升 乘法的理解建立在喝了 公升的 倍 或 個 5 公 升 4. 5 布題情境為 藍莓果汁有 5 公升 草莓果汁有 公升 藍莓果汁是草莓果汁的幾倍 除法的理解先化成同分母 即 即 20 3 倍 三 整數與分數的計算. 整數 分數或分數 整數 布題情境為 同樣都是 8 公升的果汁兩瓶 姊姊喝了瓶 妹妹喝了 瓶 兩人共喝了多少 8 瓶 加法的理解建立在共喝了 又 整數 分數或帶分數 整數 布題情境為 同樣都是 8 公升的果汁兩瓶 姊姊喝了瓶 妹妹喝了 瓶 兩人相差多少 瓶 減法的理解建立在 整數 分數 布題情境為 瓶果汁有2公升 妹妹喝 8 chapter 8分數運算的意義 整數與分數的計算有 等 運算情境同樣以整數系統的概念引入 則運算的 8 8 轉化很容易同構 例舉如下 95

212 國小數學教材教法 探究式教學 了 瓶 她喝了多少公升 乘法的理解建立在喝了2公升的 倍 8 8 或 個2公升 分數 整數 布題情境為 瓶果汁有 公升 妹妹喝 8 8 了2瓶 她喝了多少公升 乘法的理解建立在喝了 公升的2倍 或 8 2個 公升 整數 分數 布題情境為 藍莓果汁有2公升 草莓 8 果汁有 公升 藍莓果汁是草莓果汁的幾倍 除法的理解建立在 倍 分數 整數 布題情境為 藍莓果汁有 公升 草莓果 8 8 汁有2公升 藍莓果汁是草莓果汁的幾倍 除法的理解建立在 倍 8 8 其實 分數的運算在生活中的經驗並不少 多提供生活經驗 讓學童 96 體驗分數的運算 學習就會和整數系統一樣簡單 這就是 同構 的學習 法 我們一起來檢視生活中 學童的分數運算經驗究竟如何. 準備一瓶飲料 拿出各種容量大小不同的杯子 先讓孩子猜猜看各 可以倒幾杯 各是幾分之幾瓶 2. 來喝花茶 一壺花茶可倒6杯 阿姨喝了5杯 她喝了幾壺花茶 媽 媽和姊姊共喝了杯 她們喝了幾壺花茶 3. 拿條公尺長的繩子 問孩子 條繩子是多長 如果改成2公尺長 5 2 的繩子 條繩子是多長 條繩子是多長 怎麼算 買個切成八等份和個切成六等份的披薩 爸爸各吃片 請問爸 爸共吃了多少個披薩

213 您對 分數運算 的認知原本以為是什麼 會哪些運算 最感困難的 是哪個部分 現在您對 分數運算 的認知 有哪些感到訝異的 和您原本的認知 不同 97 分數 運算的學習 從整數系統的情境引入 並透過具體物 如圓 形分數板 長條分數板等 來幫助孩子理解與掌握 分數 兩量間的關 係 能有效促進學童成功解題 提供一些不錯的教學法寶 陳列如下表 教具或活動 學習目的 活動方式 2.察覺 2 圓形分數板 請小朋友拼湊各種等於的圓形分數 板 2.請小朋友發表觀查發現了什麼 3.老師提問 和 2 一樣大的分數有 哪些 4.老師提問 和 3 一樣大的分數有 哪些 chapter 8分數運算的意義 陸 教學法寶

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216 8 200

217 柒 學習活動 一 打開智慧寶盒 活動目標 理解分數的四則運算 體驗生活中有關分數的運算問題並成功解題 主題活動 來喝下午茶囉 老師準備數瓶飲料 數壺花茶和鬆餅 學童帶各種一樣 大小的杯子 容器和盤子 活動一 分飲料 布題 活動二 分鬆餅 布題 全班分組.有六組 各有2個鬆餅 請平分鬆餅 2.怎麼分 各組每個人吃多少個鬆餅 3.請記錄各組平分多少個鬆餅 4.發表與訂正 活動三 大胃王 布題.各組推派一位大胃王 2.老師事先擺好各種份量的飲料和鬆餅 3.計時5分鐘 分別計算吃了多少食物 4.公布計算結果 5.宣布大胃王得主 20 chapter 8分數運算的意義 活動方式.一瓶飲料能不能平分給十個人喝 怎麼分 先發表意見 再實際分分看 2.瓶飲料能不能平分給2個人喝 怎麼分 3.2瓶飲料平分給0個人喝 個人喝幾瓶 4.每組瓶飲料平分給組員喝 要怎麼分 個人喝幾瓶 5.估估看 一壺花茶大概可平分幾杯全部分完 6.請記錄各組平分多少瓶飲料 7.發表與訂正

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219 運 算 魔 術 整 數 四 則 計 算 學 生 學 習 歷 程 203

220 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 謝 如 山 (20) 探 究 式 教 學 數 學 課 程 實 驗 計 劃 桃 園 林 森 小 學 桃 園 縣 教 育 局 專 案 計 劃 桃 園 縣 : 桃 園 縣 教 育 局 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Bezuk, N. S. & Bieck, M. (993). In D. T. Owens (Ed.), Research ideas for the classroom: Middles grades mathematics (pp. 8-36). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 204

221 Chapter 9 小數與小數運算 小數與進位容易混淆 但是十分位 百分位的關係確是學童在處理小 數位值上需要建立的基本概念 例如片百格板是個小白積木的00倍 然 而 個小白積木是片百格板的多少 是百分之一 學童在面對小數的概 念時 應要基於具體的概念來思考 而不是只停留在計算的公式步驟 小數乘小數的概念則更為抽象 如 我們常要求學童背誦就是 兩位小數 只要將小數點向後移兩格就好了 這個教法雖然很快 但是學 童根本不了解背後的意義 所以這樣的教學沒有辦法建立數學思考 而是 要讓學童知道 0.2其中的0.份是多少 例如運用直尺 放大後 找出0.2 的位置 再將0.2切成十等份 其中的份 即為0.02 所以 學童的了解 是基於圖像的意義 但是多數的數學課程沒有建立學童圖像的概念 而是 停留在紙筆的操作 若是學童只有表面上的計算 而沒有基本的概念 這 樣的學習是相當薄弱的 壹 前瞻 教師在教小數概念時 要能了解分數與小數的關係 能知道為什麼要 教小數 學童要了解跨年級的小數概念 在不同年級的小數單元內容是什 麼 如三年級建立分數與小數的概念 四年級要能應用小數的概念到長 度 面積等概念 五年級至六年級應要建立小數四則運算的概念 甚至如 百分率 比率和比值的關係等 小數在生活上的應用很廣 舉凡政黨得票百分比 人口 身高 體 重 匯率 雨量 重量 面積 長度 體積 油量 時間等都會用到小

222 國小數學教材教法 數 在時間的應用更為特別 因為時間進位不同 如3.2小時 很容易讓學 童覺得是3小時20分 其實是3小時2分 因是60進位 有關分數與小數的連結 學童最常出現的問題是小數的位值出現錯 誤 在小數除法中 商數的小數點標錯位置 例如 問學童哪裡 探究式教學 出現錯誤 大部分的學童很難理解這些錯誤的源由 關鍵性的概念在於 看到這樣的算式是否小於 這三個數 字的意義為何 雖然 小數點後的數值較難理解 若是老師從題目的意義 對於小數或分數進行連結 用一些關鍵性的問題 一步步釐清 學童就可 全面了解 為了讓學童對於小數概念能有清楚的了解 教師應對小數與進位 分 數與小數 分數與整數的關係進行深究 以建立學童的小數概念 貳 教師的挑戰 206 教師要能在中至高年級時 協助學童發展以下四個指標的能力 教育 部 2009 NCTM, 連結小數與分數的關係 2. 對於小數的計算能與生活連結 3. 能用適當的策略來進行概數的估測 4. 能應用比率 百分率來解決問題 參 小數的學習 有關小數在數學學習的面向 可分為小數的概念設計 連結小數 整 數與分數 為什麼要使用小數 學童的學習困難及小數與生活連結等五個 面向

223 一 小數的概念設計 小數的概念在小學三年級時首次引入 先由分數的概念來引導進入小 數的觀念 如 0. 依據教科書三下的版本 雖然 這是最好引入小 0 數概念的地方 也是最容易誤導分數與小數關係的單元 要如何解決學童們的困惑 教師可利用學童的認知衝突來協助他們思 考 例如學童可能會發現 但可用 所以 雖然 此時可能會引入異分母的觀念 來使學童思考其盲點 也就是 0 說 目前小學的教材中 只在三年級與四年級時 做了小數與分數有關 0 與 的連結 並未處理其他分數形式如 與小數上的連結 直到 六年級時才正式介紹 在目前的教學內容中 亦未提及為什麼要教小數的 源由 使得學童欠缺學習小數的動機 小數在教育部 2009 的標準中 對三年級至六年級的要求如下 三年級 一位小數的認識 化聚 進位與位值 一位小數的數線 207 一位小數的加減 二位小數的加減 分母為十 一百與一千的雙向連結 五年級 三位小數的加減乘除 分數與小數的關係 六年級 小數的四則運算 二 連結小數 整數與分數 以下依小數與整數及小數與分數的連結 進行說明 一 小數與整數 小數的教學必須要和整數做連結 學童的學習是從已知到未知 已知 的領域是整數 未知的部分是小數 如果以三年級的角度來看 學習的方 法是由大來看小 以小為一個單位 例如個橘色積木是由幾個小白積木 chapter 9小數與小數運算 四年級 二位小數的認識 化聚 進位與位值 二位小數的數線

224 國小數學教材教法 組成的 這是由大單位當做基準 對小單位進行比較 也就是以小白積木 當做個單位進行比較 可以發現個橘色數棒是幾個白色數棒呢 但若從 小單位對大單位進行比較 即以橘色數棒為 如果我要個橘色積木 但是目前只有個小白積木 那是幾個橘色積木呢 答案是只有0.個橘色 探究式教學 積木 為讓學童能很清楚的了解與0.的相對關係 古氏積木的運用是相 當必要的 二 小數與分數 小數與分數的連結 通常可用量杯 數線模式或是定位板等三種模 式. 量杯模式 教師使用量杯協助學童發現公升的單位 如公升 0 分公升 所以 公升 0.公升 在數線中 將公分切為十等份 如一般的直尺 公分 0.公分 0 等 3. 即是用定位板的觀點來進行小數與分數的概念 如下所示 3 例如 分數 小數為 三 為什麼要使用小數 其實 在學童的心中 他們可能認為只要學習分數就好了 為什麼要

225 那麼多事還要用小數 Baroody與Coslick 998 提出兩個理由 第一 就是易於比較 如要比較兩個分數的大小時 若將分數化為小數 則結果 顯而易見 第二 就是易於計算 如果兩個分數 不同分母 互相加減 化為小數 因都基於十進位的基礎 所以較便於計算 另外 還有一些情 況是無法用分數表示的 例如π 這些情況在前些章節討論過 是屬於無 理數的領域 是不是所有的分數都可以化為小數 是 但有些小數不能化 為分數 小數的分類可有三類. 不循環小數 如 重覆循環小數 如 不重覆循環小數 如 在小數的應用 用以下的兩個例子表示說明 2. 比大小 你認為下列的數字那個比較大 a b c 四 學童會出現的學習困難 學童在學習時 有可能會出現小數的學習困難 大概有以下六方面. 小數的位值劃錯 三年級時 大部分教師規定要使用定位板來操 作 目的在於讓學童知道小數與整數的表示是不同的 劉曼麗 209 chapter 9小數與小數運算. 在自然教室裡 小華那一組的桌上有兩杯水 小華記錄為杯有 34 杯的水 另杯有 杯 小珍那一組的桌上也有2杯水 小珍的記錄 5 是0.45杯水與0.4杯 試問那一組的水比較多

226 2002) 但 是, 定 位 板 的 使 用 只 是 在 名 稱 上 的 建 立, 若 是 要 協 助 學 童 在 概 念 上 的 建 立, 學 童 要 能 了 解 具 體 物 ( 如 : 積 木 ) 操 作 的 歷 程, 才 能 看 到 持 續 的 學 習 成 效 2. : 整 數 與 小 數 關 係 的 建 立 需 要 教 具 的 連 結, 如 果 不 使 用 教 具 來 教 小 數, 是 相 當 困 難 的, 例 如 0.99 與 的 分 別 ( 劉 曼 麗,998) 在 教 學 上, 若 使 用 百 格 板 當 作, 可 以 看 出 0.99 就 是 99 個 小 白 積 木, 所 以 0.99 與 就 是 差 在 個 小 白 積 木 所 以, 建 立 學 童 在 百 格 板 與 個 小 白 積 木 間 的 具 體 圖 像, 是 必 要 的 步 驟 3. : 例 如 學 童 不 知 0.5 的 0, 所 代 表 的 意 義 ( 劉 曼 麗,2002; 陳 永 峰,998), 如 果 0.5 用 個 橘 色 積 木 與 黃 色 積 木 的 關 係 來 看, 黃 色 積 木 是 橘 色 積 木 的 0.5 倍 ; 相 對 的, 若 是 問 橘 色 積 木 是 幾 個 黃 色 積 木 呢? 答 案 是 2 個 黃 色 積 木 教 師 若 從 相 對 性 的 比 較 觀 點 進 行 教 學, 則 更 能 協 助 學 童 了 解 小 數 的 意 義 所 以, 使 用 具 體 20 物, 例 如 運 用 橘 色 積 木 與 黃 色 積 木 的 相 對 關 係 進 行 比 較, 則 更 能 促 進 學 童 在 小 數 概 念 與 整 數 倍 關 係 的 具 體 了 解 4. : 小 學 在 處 理 時 間 的 觀 念 上, 常 會 出 現 小 時 是 0 分 鐘 的 錯 誤 答 案, 或 是 出 0 現 小 時 是 6 分 鐘 的 錯 誤 迷 思 雖 然, 這 兩 種 錯 誤 都 是 時 間 的 位 值 6 錯 誤, 卻 是 源 自 於 兩 種 不 同 的 想 法 : 第 一 種 想 法, 是 學 童 對 於 時 間 是 六 十 進 位 的 想 法 產 生 疑 惑 : 第 二 種 想 法, 則 是 學 童 在 小 數 與 分 數 的 連 結 上 有 錯 誤 認 知, 例 如 學 童 認 為 0 =0., 錯 誤 的 認 知 以 為 0.2, 3 =0.3, 6 =0.6 等 ( 劉 曼 麗,2002) 2 = 5. : 學 童 會 有 錯 誤 的 想 法, 認 為 小 數 點 後 的 數 字 越 多, 其 數 字 越 大, 例 如 0.23 大 於 0.2; 或 是 有 些 學 童 認 為 小 數 點 後 的 數 字 越 多, 其 值 越 小, 例 如 0.22 大 於 ( 吳 昭 容,996; 郭 孟 儒 2002; 劉 曼 麗,2002)

227 6. 小數單位的轉換錯誤 學童在進行單位的轉換時 如公里與公尺 或是公尺與公分 學童可能將3.7公尺視為3公尺7公分 陳永峰 998 原因即在於學童建立單位觀念時 所產生的混淆 在長度 教學或是涉及測量的相關概念時 如 容量 重量 時間等 教 師要能設計出讓學童進行實作的測量課程 讓學童能有具體的操作 經驗 才較能提供小數概念的正確表示 五 小數與生活連結 在生活中什麼時候會用小數表示. 當運動員比賽計時 如 跑步 會看到碼錶的顯示方式是 秒以 下的單位從0.0到0.99那是十進位 但是從秒到分是六十進位 2. 體重與身高的表示 體重23.5公斤 3. 小明加油時 公升的油26.7元 加了20.公升 會是多少錢 5. 降雨的機率是40% 去買水果時 用的電子秤 學童在小數的概念有生活上的體認後 應要培養學童對於小數數感的 認識 例如學童於什麼時候應可使用小數 例如小數點的下一位或是下二 位 應該都要有所體驗 小數點下一位的概念可能使在身高或體重 而下 兩位的概念則可能會用在跑50公尺或是00公尺的時間計算 這些都是小數 在生活上的應用 肆 小數的四則運算 以下針對小數的加 減 乘 除四則運算 來進行探討 2 chapter 9小數與小數運算 4 4. 小華用計算機計算 0 等於多少

228 國小數學教材教法 一 小數的加法與減法 在教學的過程中 教師要能協助學童在小數加法與減法上的概念 在 概念上來看 學童要能進行質性推理與估測 其次 學童要能使用教具與 他們自己的解題策略 來解決問題 探究式教學 教師在教學上 有以下三點需要注意的 Baroody & Coslick, 998. 要鼓勵學童能自己創造出不同的解題策略 這才能反映出他們是否 真的對於小數概念有所了解 2. 要鼓勵學童發現他們所計算的步驟要能與具體的數據相對應 在每 一步驟上都能有清楚的了解 3. 使用不同位值的小數進行加減法 以確定學童對於小數的運算能有 清楚的了解 例如 所以 在小數的加減法運算 需重視學童在位值上的了解 如使用百 22 格板當作 進行算式.32.2與.32.2 可如下圖所示. 小數加法 小數減法

229 二 小數的乘法 以下對於小數乘法的類型 進行敘述 一 整數乘小數 要能協助學童對於小數的乘法概念 可從分數的乘法進行連結 如 5 可協助學童對於5 0.25的了解 再者 小數的乘法即為小數的連 4 加概念 如 如以下的例題 綢布公尺賣30元 買20公尺 3 公尺 2.5公尺 0.5公尺 0.25公 尺各要多少錢 怎樣列式 小數的乘法概念 應著重如何讓學童發現乘數在小於時 會出現愈乘 愈小的結果 學童要能解釋為什麼乘數會愈乘愈小的原因 可先設計整數 乘以小數的例題 如下 鐵絲公尺重00克 0.0公尺 0.02公尺各重多少克 如何讓學童發現帶小數與純小數相乘的情境 以下為有關帶小數乘以 純小數的例題 如下 番茄醬公升重.3公斤 0.公升 0.2公升各重多少公斤 三 純小數乘純小數 以下為純小數乘以純小數的例題 可用面積模式來擬題 例題如下 長0.3公尺 寬0.85公尺的長方形面積是多少平方公尺 chapter 9小數與小數運算 二 帶小數乘純小數 23

230 國小數學教材教法 亦可用面積模式來擬題 如圖所示 0.85m 0.5m 0.3m 探究式教學 m 四 帶小數乘帶小數 以下為使用帶小數乘以帶小數的情境 例題如下 鋼筋公尺重3.4公斤 同樣的鋼筋0.7公尺和.8公尺各重多少公斤 24 五 分數乘小數 以下為使用分數乘小數的情境 有0.2公尺的竹竿 其中 6 漆成紅色 紅色的部分為幾公尺 以下可 0 用數棒表示 如圖所示 0.m 0.m 0.m m

231 六 小數的質性思考 要能協助學童發現當乘數為純小數時 其答案會比原來的被乘數要 小 學童要能透過過程解釋結果 獲得乘數小於時 所得的結果是被乘數 的幾分之幾 當然所得的積會較小 乘數小於 越乘會越小要能理解此概 念 小數的教學勢必從 引進 00 0 學童對於小數乘法的比率型問題較有困難 Owens & Super, 993 如下所示 小華的船小時可走24公里 如果他的船只走了5分鐘 請問他走了 幾公里 比率型問題改為分數較能理解 再者 學童對於被乘數與乘數都為小數的情況可能有較大的學習困 難 與分數有同樣的情況 就是為什麼會愈乘愈小 如純小數乘以純小數 的情況 25 小數的除法概念也可視為整數的除法概念 從概念來看 亦可用於整 數情境等分除與包含除的性質進行解釋 但若除數為小數時 應用包含除 概念較為適合 對於整數與小數的除法類別 可從整數除以小數 小數除以小數 小 數除以整數三分面的題型來論述 一 整數除以小數 對於整數除以小數或是小數的除法概念 可用如下列例題的情境來解 釋. 將4公升的鮮奶分別裝入不同的容器中 如果每桶裝2公升 可裝 chapter 9小數與小數運算 三 小數的除法

232 國小數學教材教法 成多少桶 如果每瓶可裝.25公升 可裝成多少瓶 如果每杯可裝 0.25公升 可裝成多少杯 怎樣列式 2. 把公升鮮奶裝入杯子裡 每杯0.公升 可裝成幾杯 3. 大小兩個容器 大的容量是3公升 小的容量是2.5公升 大的容量 探究式教學 是小的幾倍 4. 美勞書上寫著: 做朵玫瑰花要用0.25公尺的緞帶 現在有公尺緞 帶 可做幾朵 5. 福來成衣廠製作運動服 每套用布2.68公尺 現有布67公尺 可做 多少套 以例題5為例 若用除法直式進行時 可如下所示 可先將2.68與67均乘00 成為 從上述可看出 商數為25 餘數為00 即可做出25套 剩下公尺 的布 因為00需再除00等於 因為2.68與67均先乘過00的原因 為什 麼商數不用除 是因為商數並不會因為除數與被除數同時放大 而改變其 值 如下所示 或是可視為等值分數的概念 如 學童在進行小數除法概念時 很容易混淆餘數要除回去 而商數不用 除回去的概念 從例題5可由公尺換算成公分的概念 來協助學童釐清為什 麼餘數要除00的觀念

233 二 小數除以小數 有關小數除以小數的情境 會比整數除以小數更為困難 因為學童 童若在觀念上不清楚 則可能會將除法算式相互顛倒 產生錯誤 如例 題 到底應將 還是應為 當然 正確的算式應為 教師在解釋時 可將0.2先視為2 若是2公升的冰淇淋呢 則很 容易看出應要將2.5 2 再將2視為0.2 即可得出正確的算式. 0.2公升的冰淇淋是2.5元 公升賣多少錢 海水4.75公斤含鹽46.3克 公斤含鹽多少克 帶子長公尺 每0.23公尺剪成一段 共可剪成多少段? 是不是剛 好 如果有剩下 剩下多少公尺 A 4段 剩下0.08m 較型的除法問題來看 其觀念與生活的應用密切相關 其類型與等分除與 包函除有所不同 4. 風雅藝品店綠色緞帶.2公尺賣36元 紅色緞帶0.8公尺賣36元 那 一種顏色的緞帶比較貴 綠色鍛帶 紅色鍛帶 A 紅色 5. 汽車長4.2公尺 汽車模型長0.4公尺 汽車是汽車模型的幾倍 chapter 9小數與小數運算 例題4與例題5為比較型的除法問題 即兩種物品相比誰較便宜 於比 27

234 國小數學教材教法 三 小數除以整數或整數除以小數. 小數除以整數的情況 很容易被學童混淆 因為他們的認知是大數 除以小數 但是小數除以整數為小數除以大數 較難理解 所以 探究式教學 在教學上應要協助學童畫出相關圖形 以釐請小數除法的情境 其 布題如下 有0.5公升的水 平分給2人 每人可分得幾公升 其圖示為 0.5L 人 人 0.5L L 2. 如果是整數除以小數 就會愈除愈大 Graeber & Tirosh, 990 其布題如下 28 有2公升的水 每個人要分0.5公升 一個人可分得幾公升 其圖示為 2L L 人 人 人 人 2L.5L 人 L 0.5L 3. 如果是純小數除帶小數 則會更困難 因為純小數可能無法分得完 整一份 僅會拿到部分 其實應為部分對整體的概念 其布題如 下 小明有0.5公升的水 放入2.5公升的量杯 可佔量杯的多少容量 其圖示為

235 2.5L 2L.5L L 0.5L 或 5 伍 小數的教學活動 以下依小數的加減與乘除概念 對於教學活動進行敘述 一 小數的加減概念 於四年級小數與分數的連結 主要以數線模式來表示 如活動一 29 活動一 透明大橋 哦 在三年級 小數比大小部分 可以遊戲方式進行 如活動二 有關小 數的加法 如活動三 小數應用問題 如活動四 chapter 9小數與小數運算 要先學會分數變小數的魔法 才能通過透明魔法橋 進入魔法世界

236 國小數學教材教法 活動二 擲骰子 請擲骰子以後 把數字填進框框裡 比一比大小 例舉 擲出 < 探究式教學 活動三 小數加法 請擲骰子以後 把數字填進框框算算看 活動四 螞蟻雄兵. 量量看隻工蟻長幾公分 公分 4隻工蟻排在一起共長 幾公分呢 公分 螞蟻寶寶隻長0.公分 5隻螞蟻寶寶排在一起共長幾公分呢 請列出算式 或 A 0.5公分

237 五年級的小數活動 要建立學童對於三位小數的概念 如活動五 及 小數加法 如活動六 小數減法的概念 如活動七 活動五 數線 請找出下面數線Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ五點各表示多少 A B C D E 活動六 外星人的前三步 火星人和爬蟲人走出飛碟時 前三步的距離分別是 爬蟲人 第一步 0.367m 0.376m 第二步 0.344m 0.355m 第三步 0.389m 0.335m 22 chapter 9小數與小數運算 火星人 請你把他們前三步走的距離 畫出數線 依序標示出來吧 第一步 第三步 第二步 第一步 第二步 第三步

238 國小數學教材教法 活動七 腳踏車 大頭騎腳踏車騎了8.282公里 小明騎了7.5842公里 請問大頭 比小明多騎了幾公里 探究式教學 A 公里 二 小數的乘法活動 在四年級時 會進行整數與小數的乘法活動 如活動八 五年級時 會 引入多位數的乘法活動 如活動九 小數亦會與四捨五入等概念結合 如活動 十 活動八 電話費率大PK 222 打給蜜蜂 打給甲蟲 打給蚱蜢 一般時段 3.元 秒 3.4元 秒 3.4元 秒 減價時段 2.元 秒.4元 秒.25元 秒. 螞蟻在一般時段打給蜜蜂 他們講電話花了25秒 共花了幾 元 如果是減價時段撥打要多少元 A 77.5元 A 52.5元 2. 螞蟻在一般時段打給甲蟲邀請她參加派對 講電話講了半分 鐘 共花了幾元 如果改成在減價時段撥打 那她可以比一般 時段便宜幾元

239 A 94.2元 59.97元 3. 螞蟻在一般時段打給蚱蜢 講電話花了40秒 後來又在減價時 段講了分鐘 螞蟻花了多少元 = A 元 活動九 美金和台幣 幫忙換台幣 美金可以換29.76元台幣 請問下列美金可以換多少 台幣 美金 台幣 爸爸經過統計之後發現 他的汽車公升的汽油可以跑.925公 里 爸爸的車加滿油有49.552公升 請你幫忙算算看爸爸的車加滿油之 後可以跑多遠 請先用四捨五入法取概數到小數第一位 再算算看 A 公里 對於小數乘法的質性推理 如活動十一 活動十一 的活動 哪些會超過 哪些可能會超過 哪些一定小於 哪些可能會小 於 chapter 9小數與小數運算 活動十 到底跑多遠 223

240 國小數學教材教法 被乘數 探究式教學 A B C D E F G H I 乘數 積 三 小數的除法活動 有關整數除以整數 會產生小數的結果 可參活動十二 有關整數與 小數的除法概念 可參活動十三 有關小數的乘法與除法概念的質性推 理 可參活動十四 224 活動十二 8公斤倒水比賽 總重8公斤倒水比賽. 河馬家有5位參加 平均每位要倒幾公斤的水 A.6kg 2. 小豬家有0位參加 平均每位要倒幾公斤的水 A 0.8kg 活動十三 美國加油站. 大頭在美國有一部VW的跑車 加滿油後可以跑450km 如果他 的油箱一次可以裝5加侖的油 加侖的油可以跑幾km 加 侖=3.79L 公升的油可以跑幾公里 四捨五入到小數點第 二位

241 A 7.92km 2. 如果加侖的油需美金元 元 34.5元台幣 大頭的VW跑 車公里要花多少錢 四捨五入到小數點第二位 公升的價格 =.5 A.5元 活動十四 小數的質性推理 比 大還是比 小 觀察下面的算式 答案比 大打 比 小的打 重點提示 乘法時 乘大於的數 會比自己的數大 除法時 除小於的數 會比自己的數大 225 chapter 9小數與小數運算. 2.8

242 國小數學教材教法 活動十五為7的除法活動 可讓學童觀察其特性為何 活動十五 7的遊戲 本活動運用於四年級時 可讓學童發現數字的特性 探究式教學 從上面算式 你發現了什麼 陸 小運算教與學的叮嚀 226 很多老師認為學童很笨才學不會數學 其實不然 學童不會只是因為 老師的教學媒介不對 或甚至於教學素材安排不當所致 更重要的問題關 鍵 在於學童不知為什麼需要學 譬如什麼時候學 小數 為什麼要 學 哪時候用得到 如果老師從學童的生活經驗引入 學童就有探究學習 小數的興趣 學習當然就有需求性與必要性 學童才會有學習的動機啊 何時用到小數 教書這麼多年的我 一直以為學童接觸到的小數應該 只有量身高 體重和視力時 例如身高35.7公分 體重45.5公斤 視力0.8 等 但其實不然 當開放讓學童回答或事先開放去搜查 如哪些時候 會看到小數 或哪裡有小數 學童的答案可是五花八門 舉例如加油23.6 加侖 公升32.7元 肯德基的炸雞塊熱量235.6卡 股市股97.8 房子坪 45.3萬元 連化學元素的週期表也是小數 既然生活中充斥著小數 它們代表什麼意義呢 有關的數學內涵有哪 些 這些就是教學與學習的重點 所以 老師要思考的也就是要選取哪些

243 教學素材 以及如何幫忙學童建構學習元素 首先考量的是學習類化與遷 移的問題 整個數學的學習 在小學階段都在整數系列中 因此小數的學 習也應該建立在整數系中 小數的教學應建構在整數的基模下 例如的 0 倍是0. 的 00 倍是 0.0 的 倍是0.00 等 建基於十進位制的基模 因此 小數教 000 學最好的切入點是直尺和量杯 直尺觀察公分與公尺 公分中有十小格 一小格就是0.公分 也就是公厘 公尺有00公分 公分就是0.0公尺 觀察量杯中公升有0分公升 所以分公升就是0.公升 等等 學童在學習小數時 其實是在十進位數線的基模中具體的觀察 透過命名 活動建立小數的讀 聽 寫 做 所以提供的教具有公分尺 捲尺 量杯 等 另外 在運算過程中 位值板和百格板 橘色積木和小白積木也是 必要的 整數的計算建構在百格板 方瓦 小白積木 正是透過方瓦的 百 十 個的操作 察覺十進位的關係 而百格板 橘色積木和小白積 227 木 正是小數的具體操作物 如果橘色積木代表 小白積木就是0. 學 板代表 橘色積木就是0. 小白積木就是0.0 學童就可以操弄5個0.0 是0.05 2個0.0是 如此一來 學童學習小 數和整數一模一樣 就容易促進學習遷移 小數的概念有了具體的操弄 就不會有文獻上的迷思了 例如0.2決不會大於0.2 因為0.2是2個橘色積 木 0.2是個橘色積木和2個小白積木 也可以說0.2是20個小白積木 當 然大於0.2是2個小白積木 有關小數的概念教學 透過位值板和百格板 橘色積木和小白積木的 具體操作來形成 另外 有關教學設計上 可引進麥當勞點餐 進行熱量 大考驗 來學習小數的四則運算內容 小數的運算 有關加減部分 只要確定位值 也就是小數位置正確 chapter 9小數與小數運算 童就可以操弄5個0.是0.5 2個0.是 如果百格

244 國小數學教材教法 計算就和整數基模一樣是一致的 有關乘法部分 不管是整數乘以小數 探究式教學 還是小數乘以小數 都該一併看成整數的 或 例如 就可以看成是 於是學童就能很容易轉移小數的乘法 就是整數乘法答案的 或 更進而察覺到小數乘法與整數乘法之 0 00 間的關係 就僅在乘數與積小數位數的關係而已 例如上例題 乘數是小 數一位 積的小數位數也是一位 這樣的教學就是我一再強調的 讓學童 的學習建立在他原本的基模上 才能促進學習遷移 有效的學習遷移才能 學習成功 而有關除法部分亦同 不管是整數除以小數 還是小數除以小 數 可以先將被除數和除數小數變成整數再運算 例如 可以 看成是23 4 於是學童也就能很容易地轉移小數的除法和整數除法的關 係 另外 小數的數感要如何培養呢 建議和整數數感一樣 可先從猜數 和約估來培養 現在我們一起來檢視生活中 學童的小數經驗究竟如何 228. 從報章雜誌剪貼有關小數的資料中 請圈選最常見的小數的資訊 2. 想想看 為什麼需要用到小數 可以用什麼代替小數的資料 3. 拿條公尺長的繩子 問學童 條繩子是多長 等於幾公分 等 00 於幾公尺 怎麼算 4. 拿條公尺長的繩子 問學童 條繩子是多長 等於幾公分 等於 0 幾公尺 怎麼算 5. 拿條公尺長的繩子 問學童 條繩子是多長 等於幾公分 等於 5 幾公尺 怎麼算

245 您 對 小 數 的 認 知, 原 本 以 為 是 什 麼? 會 哪 些 運 算? 最 感 困 難 的 是 哪 個 部 分? 同? 現 在 您 對 小 數 的 認 知, 有 哪 些 感 到 訝 異 的? 和 您 原 本 的 認 知 不 229 有 關 小 數 的 學 習, 應 建 基 在 整 數 系 統 中, 透 過 百 格 板 橘 色 積 木 小 白 積 木 教 具 操 作, 將 小 數 的 概 念 具 體 化 來 幫 助 學 童 建 立 小 數 的 數 感 與 量 感 提 供 一 些 不 錯 的 教 學 法 寶, 陳 列 如 下 表

246 小 數 列 車 二 位 小 數 學 生 學 習 歷 程 0.0.0

247 =

248 232

249 捌 學習活動 一 打開智慧寶盒 活動目標 一般學童在生活中對小數缺乏經驗 因此藉由蒐集報章雜 誌 察覺生活中小數 希望達成的活動目標有.具有小數的生活經驗 2.具有小數量感 3.能蒐集並解讀生活中小數的資料 活動一 蒐集小數資訊.個別蒐集報章雜誌中有關小數的資訊 2.將資料剪貼在白紙上 活動方式 活動二 報讀並解釋資訊.張貼製作的小數資訊 2.全班分享 3.報讀並解釋有關小數的報導 如加油32.5加侖 熱量 25.23卡 二 統整 活動 麥當勞的熱量 適用年級 教學目標 核心概念 中年級.具有小數的生活經驗 2.具有小數量感 3.能蒐集並解讀生活中小數的資料 4.能進行小數的加減並解決生活中有關小數的問題 解決與應用生活中有關小數的問題 chapter 9小數與小數運算 活動三 提問與討論.加油32.5加侖 熱量25.23卡 中的32.5和25.23要怎 麼唸 2.加油32.5加侖 熱量25.23卡 中的32.5和25.23和整 數 有什麼不同 又有什麼關係 233

250 吳 昭 容 (996) 先 前 知 識 對 國 小 學 童 小 數 概 念 學 習 之 影 響 國 立 台 灣 大 學 博 士 學 位 論 文, 未 出 版, 台 北 市 郭 孟 儒 (2002) 國 小 五 年 級 學 童 小 數 迷 思 概 念 及 其 成 因 之 研 究 國 立 屏 東 師 範 學 院 數 理 教 育 研 究 所 碩 士 論 文, 未 出 版 : 屏 東 市 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 陳 永 峰 (998) 國 小 六 年 級 學 童 小 數 知 識 之 研 究 國 立 屏 東 師 範 學 院 國 民 教

251 育 研 究 所 碩 士 論 文, 未 出 版 : 屏 東 市 劉 曼 麗 (2002) 國 小 數 學 教 學 實 踐 課 程 開 發 研 究 小 數 認 識 及 加 減 部 分 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 (NSC ) 屏 東 市 : 國 立 屏 東 師 範 學 院 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Graeber, A. O., & Tirosh, D. (990). Insights fourth and fifth graders bring to multiplication and division with decimals. Educational Studies in Mathematics, 2, Greer, B. (992). Multiplication and division. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Owens, D. T., & Super, D. B. (993). Teaching and learning decimal fractions. In T. Owens (Ed.), Research issues for the classroom: Middle grades mathematics (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 235

252

253 Chapter 0 括號概念 作者第一年進入教學現場 學校要舉辦教學觀摩 就是教四年級的括 號概念 當時不覺得這個單元有多麼困難 但當教學觀摩檢討會後 充滿 自信發下小考試卷檢驗成果時 才發現全班僅約 的學童了解 這對一位 3 在教學上自我感覺良好的老師 是一個打擊 為什麼學童對所教的內容不 了解 為什麼他們會有學習的困難 到底是課程設計 還是教學流程出現 問題 括號學習的迷思 可從以下兩個例子看出來學童在學習會發生的困 難 實例一 小靜在看到5 3 2 的問題時 她說 算式等於5 3 2 我問 為什麼 她回答說 因為括號不見了 前面要變號 這是 老師說的 這樣的回答讓我太震驚了 老師應該教的是 當括號不見 了 後面的 要變成 是她背錯了 實例二 算式5 3 2 小華回答說 算式等於5 3 2 可知小 華也沒弄清楚 括號不見後 不用變號 因為這個算式具備結合律的屬 性 當四年級學童 在沒有完全理解結合律或是符號會改變的情況下 他 們在解題的過程 會出現令老師無法預期的錯誤

254 國小數學教材教法 壹 前瞻 括號概念的教學 應要對括號概念的使用及需求 括號相關的不同題 型 與學童在國中的學習時會有哪些的影響等 國小教師要了解括號的使 探究式教學 用 在國小階段的形式為整數 分數與小數 在國中的形式為代數 國中的括號概念是代數形式 學童最常出現的錯誤就是 a b 2是不 是等於a2 b2 國中的考題對於這方面的觀念相當重視 其實這是分配律概 念的應用 教師要注意 若是學童在整數形式的括號題型出現問題 未來 在國中所出現的代數形式 學童將會產生更多關鍵的迷思 因此 教師需思考教學活動的設計 要能針對括號概念的法則讓學童 徹底了解 進行所有括號題型的討論與溝通 以釐清括號使用下的意義 才能為國中數學的學習奠定紮實的基礎 貳 教師的挑戰 238 教師在進行教學時 要能協助學童發展以下四個指標的能力. 對括號的意義 2. 對於使用括號的策略與不使用括號的策略 3. 對使用括號概念所衍生的結合律 分配律 造成符號改變的情況與 括號可以不用的題型 要能有清楚的認識 4. 應用括號在整數 小數 分數與代數的形式 解決生活上的數學問 題 參 括號概念的學習 括號概念不僅可應用於整數 分數 小數 在負數與代數的情境下

255 其意義在於簡化運算 破除了先乘除後加減的規定 並依其使用性 而有 了括號多餘的情況 結合律 分配律 符號改變與一定要用括號的情況等 五種用法 謝如山 2000 以下介紹括號的理論架構 括號初期的概 念 括號概念的相關法則 括號概念的迷思與括號的關鍵教學等五部分 一 括號的理論架構 括號概念的學習困難是可預期的 學童在學習括號的過程會產生系統 性的錯誤 謝如山 2000 不論是九年一貫課程或是十二年一貫課程的 學習階段 括號概念在數學運算上的重要性不可忽視 也是老師在四至五 年級教學階段的挑戰 謝如山 a 在 有關台灣小學學童對括號概念 的研究 中 提出了學習括號的理論架構 可區分為以下六個學習層次 一 第零層次 時 就應具備的重要觀念 學童對於四則運算的深入了解 其觀念在於要 建立學童對於加減的關係 加乘的關係與減除的關係 學童才會對於為什 麼要先乘或除再加或減的原因有所了解 也會知道其實加與減及乘與除的 運算沒有先後的運算關係 只有由左至右的運算規定 這些觀念的了解 是學習括號概念之前就需具備的基礎 二 第一層次 學童要了解括號的意義 知道括號內的數字要先做 例如學童看到 5 3 2的算式 就了解5 3要先做 才能再乘2 在此一層次 學童要了 解若是括號不存在 3 2就要先做 但因為使用括號 才會打破了先乘除 後加減的約定 chapter 0 括號概念 學童需了解先乘除後加減的約定 這個約定是在學童進行四則運算 239

256 國小數學教材教法 三 第二層次 學童知道括號相關的法則 如結合律 分配律等 他們了解在一些情 況下不用括號時 符號要改變 例如算式5 3 2 =5 3 2 也知道在 某些情況下使用括號是多餘的 例如算式 但是他 探究式教學 們會產生誤用這些法則的現象 就像學童可能會誤用符號改變的規律在結 合律的情況一樣 例如算式 可能會誤用結合律在 分配律的情況 例如算式 也可能誤用將分配 律在括號多餘使用的情況 例如算式 以上這些觀 念的混淆 會造成學童未來在分數與代數上學習的困難 所以教師協助學 童釐清這些括號概念的使用情境 才能解決學童學習上的問題 四 第三層次 學童知道括號要先做的意義 在整數的情境下 應用括號相關法則於 240 適當的情境中 也就是說 學童知道括號相關法則的相互關係 也了解應 在什麼時候運用這樣的概念來解題 學童知道分配律的概念 例如算式 他們就能判斷在這個情況下 可以使用分配律的 特性 而不會有誤用的情況 同樣的 學童能使用結合律 符號改變 括 號多餘的情況 而不會有誤用的情形 學童在此階段中 對於分配律的所 有題型只有部分的了解 可能是由於教科書版面的限制 並未介紹所有有 關分配律 結合律 符號改變與括號多餘的使用 所以學童在此階段雖不 知所有的題型 但已知不能誤用的情況 五 第四層次 學童知道各種法則相關的題型 知道所有與分配律 結合律 符號改 變等相關法則的題型 對於這些題型能有清楚的判斷與認識 能歸納出這 些題型的使用情況 有關括號所有相關題型的類別 請參閱表0-

257 表0- 括號相關法則題型的分類 括號相關法則的類型 結合律的類型 括號位於前二個數 括號位於後二個數 字的題型 字的題型 分配律的題型及一定要使用 * * 括號的題型 括號多餘法則及符號改變法 chapter 0 括號概念 則的類型 括號多餘法則的題型 註 *表示一定要使用括號的情況 編號表示32項題目的編排順序 六 第五層次 學童於此一層次能夠適當的使用括號於其他的運算情況 如 分數 小數 代數等情境 才能為國中七年級的課程銜接做好準備

258 國小數學教材教法 二 括號初期的概念 學童一至二年級 在整數加法與減法運算時 即有一些括號相關法則 的經驗 這些經驗若能連結到四年級 則能對括號的學習更有效率 這些 概念可從括號相關法則的類別中 分別探討 探究式教學 通常學童對於為什麼要使用括號 往往充滿了疑惑 在一些題目的運 算中 學童即使不使用括號也可以將答案算出 所以在課程設計時 要能 讓學童了解使用括號的需求 才能讓學童對於括號的運算有所了解 一 結合律的初期概念 數字拆解是學童學習加減法進位與退位的重要策略 例如加法 學童 在一年級時 有些學童會將 雖然這是簡單的數字拆解 其 目的是要形成湊0的概念 雖然 目的是湊0 但這對於日後結合律的運 算已有初期的概念 例如 如減法 若是從0的數字拆解 來看 學童要先將2拆成0與2 再將8與2交換 這也是結合律的應用概 念 所以結合律在加減法的應用有a b ｃ與a b c兩種題型 二 分配律的初期概念 學童在進行乘法概念時 就會採用分配律的概念進行解題 例如算式 但 二年級學童因為覺得7這個數字太大 若是拆解 成5 2 則將更為容易 在乘法時 學童會將此概念進行拆解 已就有初 期的分配律概念 也有可能學童會用湊十策略 進行減法分配律的應用 例如算式 這就是乘法分配律在減法概念的應用 三 符號改變的初期概念 什麼是符號改變的情況 就是使用括號或是不使用括號 會造成運算

259 符號的改變 例如 因為運算符號的變化 會讓教 師的教學與學童的學習 更為困難 學童在一年級下學期時或是在二年級 階段 會有連減的問題 這時就可能出現如算式5 3 2的連減問題 例如 條黃色積木 減掉條綠色積木與紅色積木 剩下多少 有些學童可能會 將綠色與紅色積木相加 再用黃色積木相減 這些概念在低年級時 就會 產生 三 括號概念的相關法則 括號概念的相關法則 可有括號的多餘使用 結合律的表現 分配律 的情況 形成符號改變與一定要使用括號的情況等 一 括號多餘的使用 根據先乘除後加減的法則 乘法與除法比加法及減法有優先被運算的 順序 然後依算式由左而右算出答案 當使用括號時 括號內的數字必須 這樣的情況時 我稱為 括號多餘法則 例如算式5 3 2與 在使用或是不使用括號的情況下 都是相同的 二 結合律的表現 括號的第二種用法 就是結合律 結合律的定義 是不論數字組合的 順序 都產生同樣的結果 例如算式 表示 不論先做5 3或是先處理3 2 都能獲得同樣的結果 雖然 有些學者討 論結合律的用法 Borenson, 978; Fletcher, 972; Flournoy, 964; Meconi, 972; Resnick & Omanson, 987 chapter 0 括號概念 先做 順序優於除法或乘法 但有時括號的使用並未提供較多的資訊 在 243

260 國小數學教材教法 三 分配律的情況 括號的第三種用法 是以這個符號表示分配律 分配律的意義 是不 使用括號時 一個數字能個別分配給其他兩個數字 所產生的兩個數字 結果能相加或相減 例如算式 括號的功能為 探究式教學 5要同時與3及2相乘 有研究顯示 分配律可提前至中年級來教授 Gray, 965; Schell, 968; Watson, 993; Weaver, 973 四 形成符號改變 括號的第四種用法是符號改變 Lesgold, Putman, Resnick, & Sterrett, 987 根據符號改變法則 當括號前面的符號是加法或是減法時 括號 裡數字的符號便會改變 例如算式5 3 2 與5 3 2相同 與算式5 3 2不同 同樣的 算式6 3 2與6 3 2 相同 括號表示6要被3與 2除 所以限定了3與2先要相乘 244 五 一定要使用括號的情況 一定要使用括號的情況 和分配律的使用情境很類似 例如算式4 3 2 一定要使用括號才能得到解決 其答案與 並不相同 從以上括號概念的五種用法 謝如山 a 發現了括號多餘 法則與結合律是較為簡單的概念 分配律較為困難 符號改變法則更為困 難 學童對於一定要使用括號的概念的情況不太清楚 顯示在教學需要更 加注意 而學童在這些不同概念的釐清則更為需要 因研究發現學童誤解 的情況相當普遍 四 括號概念的迷思 在數學的領域裡 括號的應用有數種功能 例如在算式5 3 2

261 中 應用括號的情況產生了兩種方 法 一種是 3和2可以分別乘5 然 後個別的乘積相加 也就是 另外的方法是 在乘5之前 先將3與2相加 也就是 與 不使用括號的情況比較 算式的結果 將會不同 例如 有關括號概念的探討 有些學者在代數學習方面 很早就提出學童會 有學習的困難 例如Weaver 973 提及 我們經常要求學童如何操作分 配律 如 a b c a b a c 但從未要求學童了解分配律 不適用的情況 因此他提出了有些學童可能在某些情況下誤用了分配律 Gray 965 年提及有關分配律的研究 在他的實證研究中 為小學三 年級的學童設計了兩組有關分配律的實驗課程 一組學童有意義的學習分 配律 另一組學童用背頌的 結果顯示 不同的教學方法有顯著差異 在 五 括號的教學關鍵 在括號教學中 需參考上述括號相關法則的概念與學童學習認知的層 次 進行教學設計 介紹括號概念的先備知識 在於要求對於學童在整數 四則運算的關係 要能有清楚的了 解 例如乘法與加法關係 除法與減 法的關係 乘法與除法的關係 先乘 除後加減觀念的建立與括號多餘法 則 發現節結合律 發現分配律 發現一定要使用括號的情況 發現 符號改變法則的使用等 謝如山 chapter 0 括號概念 Gary 的研究中 也顯示出傳統式教學出現了一些問題 245

262 國小數學教材教法 2003b 謝如山 鄭惠娟 200 一 乘法與加法的關係 乘法與加法的關係 可分兩部分來協助學童進行了解 一是 從數學 探究式教學 算式的理解 二是 從算式背後的意義進行理解 在數學算式的理解部分 如要釐清學童在2 6 3的算式中 會等於 哪一個算式 有些學童認為2 6先做或是6 3先做 會出現一樣的答案 其實不是 若是2 6先做 其答案會是24 但若是6 3先做 則答案會是 20 這時 老師會要求學童釐清為什麼答案是20 不是24 就要請學童發 現 的關係 也就是 的簡化關係 是因 為乘法簡化了加法的運算 所以6 3要先做 但若希望2 6先做 就需用 括號進行規範 在意義上的理解部分 要求學童擬題能讓學童在加法與乘法概念上 246 加深乘法與加法觀念的釐清 例如算式2 6 3的題意為何 在引導學童思 考的方向上 可要求學童先思考6 3的意義 再思考 2的概念 學童可思 考盒水果有6顆 小明買了3盒 老闆又送了他2顆 請問他現在有幾顆水 果 當學童從題意上理解數字的概念 對於6 6 6的概念會更為清楚 二 除法與減法的關係 除法與減法的關係 亦可分兩部分來協助學童進行了解 一是 從數 學算式的理解 二是 從算式背後的意義進行理解 在數學算式的理解部分 除法與減法的關係 其實與上述加法與減法 的概念是類似的 例如24 8 3的算式 教師要能協助學童理解8 3先 做與24 8先做有何差別 兩個算式答案是否會一樣 當答案不相同時 哪一個算式要先算 才會是正確的 教師也要能協助學童發現8 3 其 實是 共減了6次 之後再用 其關 鍵 即在於教師要協助學童發現意義上的理解 要求學童擬題 能讓學童

263 在除法與減法概念上的釐清 例如24 8 3的算式 要求學童依此算式進 行出題 學童要先了解8 3的意義 再被24加 才會是適當的思考方向 例如 小明有8朵花 平分種在左邊 右邊與中間 其中 中間又多種了 24朵花 請問中間現在有幾朵花 當學童從題意上理解數字的概念 對於 的概念就會更為清楚了 三 乘法與除法的關係 乘法與除法的關係 在數學的概念上 有乘除法互逆的正式名稱 但 是在學童的觀點中 認為乘法與除法是相反的關係 不論是相反或是互 逆 學童對於乘法與除法的關係在概念上 都是一致的 在教學現場中 要建立學童在乘除法互逆的概念 可從2 3 6與6 2 3來發現2 3 6這三個數字有什麼關係 進而引導學童發現乘除法互逆 的觀點 在學童建立對於乘法與除法的關係後 更進一步當學童遇到兩步驟的 247 乘法算式時 則需要建立他們在括號概念使用的規範 例如算式2 8 6 論是先進行乘法運算或是先進行除法運算 並沒有差異 因為兩者的答案 都是一致的 但是在某些情況下 例如算式6 8 6則會有符號改變的情況 即 為了讓學童能了解這樣的算式 教師可從題意 進行了解 例如小明有6元 他平分給自己與7位同學 如果小華的錢是小 明平分後的6倍 請問小華有多少錢 四 先乘除後加減觀念的建立與括號多餘法則 當學童了解加 減 乘 除運算的關係後 對於兩步驟的四則運算 即在三個整數的情況下 要進行兩步驟的運算 例如算式 7 3 在這 樣的算式中 即教師未進行括號教學之前 學童需要知道先乘除後加減的 chapter 0 括號概念 具備結合律的性質 即 因此也證明了 不

264 國小數學教材教法 約定 如7 3要先做 之後才會 這時若學童在7 3的運算式上 加上 括號也可以 但沒有必要 因此他們也要了解 這 種情況 可稱為括號多餘的使用 因為不論是否使用括號與不使用括號都 沒有差別 可參考表0-中括號多餘法則的八種題型 探究式教學 若是學童對於先乘除後加減的約定不了解 則他們可能會先做 7 再 3 但是若要正確的讓 7先做 則可能就要使用括號的運算符號 才 能讓 7先做 所以 括號的使用是有其必要性的 學童要了解何時他們 需要使用括號 何時括號的使用則非必要 對於括號多餘的使用 教師可設計如下的兩種情境. 淑君天工作2小時 共計5天 如果之前已工作了5小時 請問她 已工作了幾小時 其算式應為 若是使用括號先做 或是用先乘除後 248 加減的觀念 答案都相同 其圖像可用數棒表示 用圓圈代表 2. 康強要買一些果汁 他身上有00元 瓶果汁80元 他只買半瓶 還剩多少元 半瓶價格是瓶的一半 其算式應為 本題型與上一題相似 即使用括號 先做 或是用先乘除後加減的觀念 答案都相同 其圖像可用數棒 表示

265 用圓圈代表 五 發現結合律 結合律是一種容易讓學童理解的約定 如 的兩個算式中 從題目的意義 可看出是兩種解題的想法 例如 小名有5 華的錢數相加 再加小珍 也可以將小華與小珍的錢數相加 再加小名 不論是使用哪一種策略 都有一致的結果 可參考表0-中的結合律 共 有八種題型 結合律亦具備括號多餘法則的特性 也就是具備結合律的題型 不使 用括號也可以得到一致的結果 教師應要協助學童發現括號多餘法則與結 合律的關係 例如 對於結合律的使用 教師可設計如下的兩種情境. 小明買了5顆蘋果 又買了8顆水梨 之後再買了5顆木瓜 請問小 明有多少顆水果 其算式應為 即不論是先加蘋果和 水梨 再加木瓜 或是先加水梨和木瓜 再加蘋果 答案都相同 chapter 0 括號概念 元 小華有3元 小珍有2元 請問3個人共有幾元 學童可以先將小名與小 249

266 國小數學教材教法 其圖像可用數棒表示 用圓圈代表 探究式教學 2. 小華有4盤桃子 每盤桃子有9顆 全都平分給3個小朋友 每位小 朋友可分得幾個桃子 其算式應為 即不論是先將盤數乘以 桃子數量 再分給小朋友 或是先將每盤數量先分給小朋友 再乘 上盤數 答案都相同 250 先算出全部桃子 再分給3人 人 2人 人 一盤先分給3人 再分4次 第人 第2人 第3人 第人 第2人 第3人 第人 第2人 第3人 第人 第2人 第3人 六 發現分配律 在分配律的應用情況下 可使用面積模式來進行解題 而面積模式即 為使用圖形的方式 引入分配律的概念 其布題如下

267 假設下圖是塊蛋糕 長是3公分 寬是2公分 假設媽媽要切蛋糕給 大家吃 媽媽從公分的地方切給小華吃 那蛋糕剩多少 老師在寬邊 中間分一半各公分 3公分 公分 2公分 公分 學童在進行解題時 會出現 2 3與2 3 3兩種想法 第 一種想法 是先將全部的寬減 再乘長 第二種方法是 將全部的3 2與 2 乘出來後 再用全部的蛋糕減掉要吃的蛋糕 所以 分配律的概念著 重的是兩種解決的想法 而這兩種想法會得到一致的結果 即他們可從這 兩種解法中 看到分配律的特性 例如 分配律 25 的題型共有六種情況 可參考如表0- a a b a a a b 或是 a b 2 a 2 b 2 2ab 這些代數的應 用觀念 其基礎在於整數於括號的使用是否能夠釐清 所以在小學階段的 分配律概念 顯得相當重要 對於分配律的使用 除上述面積模式外 教師亦可設計如下的兩種情 境. 小珍買了2個杯子 又買了6個盤子 杯子和盤子的價格都是0 元 請問小明花了多少元 其算式應為 即不論是先加杯子和 盤子 再乘價格 或是先用杯子的總數加上盤子的總數 答案都相 同 chapter 0 括號概念 分配律的概念 在更高年級的使用下 會使用代數的形式出現 例如

268 國小數學教材教法 用圓圈代表 探究式教學 康康買了6枝筆 每枝5元 小宜買了6個橡皮擦 每個3元 康康比 小宜多花幾元 其算式應為 即不論是先將康康的總 數與小宜的總數相減 或是先將筆與橡皮擦的價格相減 在乘以數 量 兩者答案均相同 全部的筆價格 全部的橡皮擦價格 筆價格分別各減橡皮擦價格6次後 再相加 七 發現一定要使用括號的情況 如表0-所示 一定要使用括號的題型有兩種 除 外 另一種是 例如算式 與 並不相 等 且這樣的算式很容易與前述的分配律概念混淆 因為題型類似分配

269 律 相對於 卻具備分配律的特性 教師要能協助學童判斷那 些題型是不具備分配律特性 而這些判斷的策略 比只教授分配律的情況 而言 顯得更為重要 對於一定要使用括號的情況 教師可設計如下的兩種情境. 小軒花了36元買了8根冰棒和4盒冰淇淋 如果根冰棒和盒冰淇淋 數量相同 則根冰棒要多少元 其算式應為 不等同於 因為在意義上 就不能相同 或 2. 小捷為了慶祝生日 帶了36顆糖果平分給8位好朋友 但是有4位沒 來 若沒有糖果剩下 請問每位小朋友分得幾顆 其算式應為 不等同於 因為在意義 上就不能相同 其圖像可用數棒表示 chapter 0 括號概念 253

270 國小數學教材教法 八 發現符號改變法則的使用 符號改變法則對學童而言 會有相當的學習困難 因為符號改變法則 的情況較無法讓學童理解 為什麼在括號省略後符號會變號 例如算式 尤其 在國中的學習時 更會面臨在代數領域的符號 探究式教學 改變情況 例如a b c a b c 對於一定要使用括號的情況 教師可設計如下的兩種情境. 小霖有5元 給了小華3元 小珍又給了小華2元 請問小霖有幾元 其算式應為 即小明先用5元減3元 再加 回2元 與先將給小華的錢與小珍的錢相減 即先做3 2 總共 只花了元 再用5 4 得出答案 其圖像可用數棒表示 小如老師有54枝筆 平分給班上同學 如果班上有6組同學 每組有 3位學生 每位同學會獲得幾枝筆 其算式應為 即小明先用54元先除6組 再除3位同學 與先將全班6組乘3位同學 即先做6 3 8 再用54 除8的答案是相同的

271 綜觀上述 對於括號教學的深入探討 其實重點在於整合整數四則運 算的重要關係與脈絡 以建立括號相關法則所產生的五種約定 希望教師 能掌握括號概念的教學關鍵 以提升學童對數學概念的連結與關係等能 肆 括號的教學活動 以下依括號的活動設計內容 分別敘述之 以提供教師在進行括號教 學的參考 活動一 三個整數的活動設計 在進行括號概念的活動之前 學童必需要先了解加 減 乘 除 彼此間的關係 本設計是根據Hsieh 999 所提出的教學策略 稱為 三個整數的活動 目的在協助學童透過不同情境 來了解括號相 關法則的應用 並能更進一步知道結合律 分配律 括號多餘法則 chapter 0 括號概念 力 255

272 國小數學教材教法 符號改變法則與一定要使用括號情況的關係 活動對象 本活動的對象為小學四至五年級學童 在他們具備整數四則的概念 並了解先乘除後加減的法則後 再進行此一活動 探究式教學 事前準備 準備個0元及個5元銅幣 0張紙卡 數字從0到9 銅幣同時 出現人頭時 需視為加法 同時出現5元及0元時 需視為減法 出現 個0元和個人頭時為乘法 出現個人頭和個5元為除法 學童同時 必須準備紙和筆 活動規則 遊戲的規則是 學童必須由這三個數字的運算中 找到最大的值 256 如果運算中出現不夠減的情況 將一律視為0 因學童在此時仍無法 處理負數的情況 學童在數字卡依序抽出後 必須依序決定數字的位 置 決定後不得改變 之後 再由銅幣的出現 決定加減乘除所應放 置的位置 待所有的數字與運算都決定後 最後再由學童決定括號的 情境 使所產生的結果為最大 活動情境 此遊戲所表現的情境如下 =最大 代表的是3個數字 老師由數字卡中抽出3個數字 然後學童依 序決定他們所要放的位置 表示運算符號 即 或 老師由銅幣中擲出運算符號 由學童決定位置 代表括號的位置 即最後由學童決定在何處使用括號 使得出的結果為最大 也就是在

273 的位置上 指明括號須置於前兩位數字或是放於後兩位數字 活動過後所產生的算式 可請學童進行擬題 請他們根據算式想出 適當的情境 接著 請他們討論不用括號 括號置於前或置於後 其 所得的答案會不會改變 學童可以根據他們所想的題目 或是從算式 本身的特性來思考 透過這樣的活動設計 學童可同時釐清應用括號 相關法則的概念 活動二 數字密碼 學童在進行數字密碼時 即可用 或是 放入 下列的算式 以產生如下的結果 請學童試試看 看誰最先找出來 小山和爺爺要互相挑戰 2人各自出了問題 要考考對方能不能圈 出正確的算式 並說出原因和舉例說明 我們來看看他們出了什麼問 題吧 小山出題 (a) (b) (a) 正確 具備結合律的特性 爺爺出題 (a) (b) (a) 正確 具備結合律的特性 chapter 0 括號概念 活動三 發現結合律 一

274 (a) 284 (b) 284 (c) 284 ac 284 (a) 284 (b) 284 (c) ab (a) 886 (b) 886 (c) 886 a

275 活動六 發現分配律 烤完肉 大一起用水把環境洗乾淨 爺爺家的水塔 加入桶水會 多,235毫升 洗好環境後 水塔還有9,998桶水 爺爺又加入了2桶水 到水塔 請問水塔中有多少水呢,235 9,998, ,235 9,998 2,235 0,000 2,350,000 A 2,350,000毫升 爺爺加水後 小山用了桶水去澆花 水塔還有多少水呢 可以怎 麼計算會比較方便呢 為什麼,235 9,999 3,235 0,000,235 0,000,235 23,548,765 A 23,548,765毫升 可以省去複雜的乘法 259 找找看 下列哪些算式的答案是一樣的 結合律 (a) (b) (c) 符號改變規則 (a) (b) (c) 分配律 (a) chapter 0 括號概念 活動七 找找看 發現有哪些法則

276 國小數學教材教法 (b) (c) 結合律 (a) (b) 探究式教學 (c) 活動八至活動十九 摘自 趣味數學300題 凡異編輯部 999 活動八 都等於１ 下面七個算式 只寫出了數字 卻沒有把運算符號寫出來 請你 從 中 挑選出合適的符號 填進算 式 使算式結果都等於 活動九 限你3分鐘 下面是一個錯誤的算式 可是 只要其中的兩個數字對換一下 等式就能成立 為了試試你 的心算 不要用筆算 看看在3分鐘內能對換成功嗎

277

278 國小數學教材教法 活動十三 加括號 請你在下面等式中 加入括號 使等式成立 探究式教學 活動十四 乘法等式 5568 算式裡 共有9個圓圈 請你把從到9等9個數填進去 組成3個二 位數 個三位數 使等式成立 262 提示 將乘積分解因數 就容易知道怎麼填數了 活動十五 加減乘除都用上 在這組等式的9個圓圈裡 填入了從到9等9個數字 用加減乘除 四個運算符號連起來 使等式成立 請你按照這個辦法 來完成下面兩組等式. 2.

279 活動十六 3個等式 請把從到9的9個數字填入圓圈 使等式成立 活動十七 三位數 請把從到9的9個數字填入圓圈 使等式成立 活動十八 2個等式 請把從到9的9個數字填入圓圈 使等式成立 活動十九 沒有除法 請把從到9的9個數字填入圓圈 使等式成立 chapter 0 括號概念 263

280 國小數學教材教法 伍 括號教與學的叮嚀 括號教學的引入 其實要回歸到數學教育的本質 整部數學史的發 展 無疑是簡化的過程 解決問題時可能要列出很多條算式 於是有了兩 探究式教學 步驟的併式出現 括號也是為了簡化算式才應運而生的 我們常反思 為什麼學童覺得數學很抽象 實在是教學設計與內容太 抽象化 忘了從學童的生活經驗中引入 有了解題的需求 發現了括號 讓解題的列式變得簡單 最後學童從探究中發現四則運算的規則 知道了 先乘除後加減 有括號先算 等規則 而非由老師來講解說明 一旦學 童從歸納中得出規則 那四則運算就輕而易舉了 教學時 先要求學童列出兩條算式 再探討如何變成一條算式 並檢 驗兩步驟算式和併式的答案是否一致 透過老師的布題 學童在解題過程 中 發覺了兩步驟算式到併式的過程 理解了連加 連減 連乘或連除的 264 例子中 簡化算式變成一步驟的算式 加減乘除混合時 運算過程的規則是先乘除後加減 並非由教師進行 講述宣告 而是在解題過程中 從兩步驟到併式的答案要一致 發現要是 有乘除的算式 則先算再計算加減部分 因此在計算時 老師還會點醒學 童 先算什麼再算什麼 並請學童先算的部分畫線段 以免遺忘 括號其 實就是計算時先算的部分 所以有括號要先算 而事實是多餘的規律 括 號的發展就是在算式中要先算 我們一起來檢視生活中學童的 四則混合運算 經驗究竟如何 和 兩條算式一樣嗎 為什麼 和 兩條算式一樣嗎 為什麼 和 兩條算式一樣嗎 4. 請出文字題符合以下算式

281 您對四則混合運算的認知 原本以為是什麼 會哪些運算 最感困難 的是哪個部分 現在您對 四則混合運算 的認知有哪些感訝異的 和您原本的認知 不同 265 四則混合 的學習 和兩步驟到併式的學習有關 而理解移項法 則 則是快速計算數字拆解的法寶 因此提供一些不錯的教學法寶 幫助 學童學習計算四則混合 陳列如下表 教具或活動 學習目的.察覺算式的 移項法則 XYZ乾坤大挪移 2.能分組說明 與歸納移項 法則 活動方式.老師準備 運算符號 2.X Y Z代表三個數 3.老師出題 X Y Z可以怎麼乾坤 大挪移變出相等的算式 4.學童分組討論列出相等算式 例如X Z Y Y Z X chapter 0 括號概念 陸 教學法寶

282 國小數學教材教法 5.老師變化運算符號讓學童列出相等算 式 XYZ乾坤大挪移 探究式教學.能針對四則 混合算式進 行擬題 2.能計算並解 四則混合的 題目 #神奇箱.老師準備2個箱子 和# 神奇箱 2個 箱中各有不同的數字和算式 2. 老師從 神奇箱中抽出個數字或算 式 張貼在 黑 板 上 放 在 左 邊 在 # 神奇箱抽另條算式或數字 張貼在右 邊 老師在兩個數或算式中加入運算 符號 3.先讓學童分組擬題 4.再讓學童分組計算解題 例如 () 神奇箱中抽出數字34 # 神奇箱 抽出數字7 老師在中間擺出運 算符號就會出現34 7或34 7 或34 7或34 7學童先分組擬 題再解題 (2) 神奇箱中抽出算式34 5 # 神 奇箱抽出數字7 老師在中間 擺出運算符號就會出現34 5 7或34 5 7或34 5 7或 學童先分組擬題再解 題 266 #神奇箱 (3) 神奇箱中抽出算式34 5 # 神奇箱抽出算式34 7 老師 在中間擺出運算符號就會出現 或 或 或 學童先分組擬題再解題

283 整數四則計算 學生學習歷程 運算魔術 整數四則計算 學生學習歷程 乾坤大挪移 兩步驟到併式 267 依算式擬題 學生的擬題與解題 chapter 0 括號概念 透過擬提察覺如何列四則混和 的算式

284 國小數學教材教法 柒 學習活動 一 打開智慧寶盒 探究式教學 活動目標 268 活動方式 察覺兩步驟到併式的算式關係 理解四則混合的計算規則 能擬題並解四則混合問題 活動一 老師出題學童列式 列兩步驟的算式 一 布題.媽媽買了蘋果230元 鳳梨80元 香蕉20元 總共要多 少元 連加 2.媽媽帶了230元 買了80元鳳梨和20元香蕉 還剩多少 元 連減 3.爸爸有,000元 媽媽有230元 箱鳳梨,200元 盒蘋 果500元 還不夠多少元 加減混合 4.老師買大袋餅乾 只知大袋裡裝有2盒 盒裡又分成 0小包 只知小包是25元 請問老師買大袋餅乾要多 少元 連乘 5.老師買大袋餅乾總共3,000元 只知大袋裡裝有2盒 盒裏又分成0小包 請問小包餅乾要多少元 連除 6.阿姨買了斤23元的蘋果5斤 斤8元的鳳梨5斤 總共 要多少元 乘除混合 7.阿姨買了盒蘋果500元和斤8元的鳳梨5斤 總共要多 少元 加減乘 8.阿姨有,000元 如果只要買5斤2,000元的蘋果斤 還可 找多少元 加減除 9.阿姨買了斤23元的蘋果5斤 斤8元的鳳梨5斤 總共 要多少元 四則混合 0.阿姨買了5斤蘋果25元 5斤鳳梨80元 各買斤要多 少元 四則混合 二 學童分組列出兩步驟算式 活動二 從兩步驟到併式.布題 同上 2.學童列出併式 3.分組解題計算 活動三 討論與說明.分組討論兩步驟到併式的過程 2.說明解題過程 3.共同檢討與訂正

285 凡 異 編 輯 部 (999) 趣 味 數 學 300 題 台 北 : 凡 異 謝 如 山 (2000) 括 號 學 習 的 理 論 模 式 藝 術 學 報,66,pp49-66 謝 如 山, 鄭 惠 娟 (200) 從 括 號 學 習 的 理 論 與 實 務 思 考 臺 灣 教 科 書 的 括 號 教 學 載 於 革 新 國 民 中 小 學 數 學 教 育 議 題,35-59 嘉 義, 國 立 嘉 義 大 學 數 學 教 育 系 謝 如 山 (2003a) 潛 在 分 類 模 式 在 括 號 概 念 的 應 用 教 育 與 心 理 研 究, 26(2),pp 謝 如 山 (2003b) 建 構 理 念 教 學 在 括 號 相 關 法 則 的 應 用 國 立 台 北 師 範 學 院 學 報 數 理 與 科 技 教 育 類,6(2),37-70 Borenson, H. (978). Promoting discovery in algebra. Mathematics Teacher, 7(9), Flournoy, F. (964). Applying basic mathematical ideas in arithmetic. The Arithmetic Teacher,, Gray, R. F. (965). An experiment in the teaching of introductory multiplication. The Arithmetic Teacher, 2, Hsieh, J. S. (999). Children' s Understanding of the Use of Parentheses. Unpublished Doctoral Dissertation. University of Illinois at Urbana-Champaign. Lesgold, S. B., Putnam, R. T., Resnick, L. B., & Sterrett, S. G. (987). Referents and understanding of algebraic transformations. Paper presented at the annual convention of the American Educational Research Association, Boston, MA. Meconi, L. J. (972). Discovering structure through patterns. The Arithmetic Teacher, 9(7), Resnick, L. B., & Omanson, S. F. (987). Learning to understand arithmetic. In Glaser (Ed.), Advances in instructional psychology (Vol. 3, pp. 4-95). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Schell, L. M. (968). Learning the distributive property by third graders. School Science and Mathematics, 68, Watson J. M. (993). The distributive property undersold. School Science and Mathematics, 93(6),

286 Weaver, J. F. (973). Pupil performance on examples involving selected variations of the distributive idea. The Arithmetic Teacher, 20(8),

287 Chapter 比 比例與百分比 五年級的小捷在跑00公尺的大隊接力時 跑了7秒 他說在他們班 跑步算快的 因為還有跑超過20秒的 在小捷的思維中 超過20秒的時 間 就算是慢的 20秒以內就算是快的 這個分際就是學童約略的比率 概念 他們不用計算 但是可以從他們比賽的秒數中看出來 小強買慢跑鞋時 會到新北市的專賣店去買 他說每一款鞋最少打 75折 一般百貨公司只打9折 一雙鞋2,000元 可以省下250元 他覺 得很划算 可是我說 你單程要騎車40分鐘 你覺得划得來嗎 他 說 如果他買兩雙 就划得來了 上面的兩個例子 都是在比較的情況下 會覺得哪一種方式比較好 應用比率概念所產生的結果 這些比較的概念 在生活中常見 例如我們 到日月潭旅遊 會比較2,000元與3,000元的旅店 也會多跑幾間看看有沒有 更便宜住宿的地點 這些比較的想法 會因應情境而生 如何將這些生活 中的經驗 設計進入課程 將會是有趣的議題 壹 前瞻 在生活中會經常碰到的比率概念 例如到百貨公司購物 會有買2,000 送200 或是買五送一 或是20%off 或是打75折等等 這都與比率有關 在生活上 店家常會促銷 讓消費者覺得他們賺到了 進而達到銷售 的目的 例如我們在買旅遊卷或是餐卷時 會上網去找大團購 在這些大 團購的網站中會說下殺4.折 2.2折等的促銷手法 讓我們覺得很便宜 進 而購買 在菜市場也會有類似的情況 例如購買壽司買十送五 購買水果 買五送一 等等 都是屢見不鮮 甚至坐高鐵時 買早鳥票 也可以買

288 到 7 折 或 是 9 折 的 票, 這 也 是 讓 我 們 有 賺 到 的 感 覺, 所 以 比 率 的 概 念 用 在 生 活 上, 處 處 可 見 如 果 我 們 能 將 數 學 連 結 至 生 活 中, 讓 學 童 在 學 校 外 可 以 應 用, 這 才 是 我 們 進 行 教 學 的 目 的 九 年 一 貫 綱 要 中 提 及, 在 國 小 五 年 級 的 教 學 內 容 中, 要 協 助 學 童 了 解 比 率 打 折 與 百 分 比 的 概 念 ; 在 六 年 級 要 能 認 識 比 和 比 值 的 概 念 ; 在 七 年 級 要 認 識 比 例 中 正 比 與 反 比 的 意 義, 對 連 比 也 要 能 理 解 與 應 用 ; 在 八 年 級 為 全 等 概 念 ; 在 九 年 級 時, 要 能 用 等 比 例 概 念 在 圖 形 的 應 用 來 解 題 由 此 可 見, 五 年 級 所 介 紹 的 比 例 概 念, 就 是 未 來 國 中 七 至 九 年 級 的 重 要 基 礎 教 師 在 進 行 比 比 例 與 百 分 比 的 教 學 時, 要 了 解 所 可 能 面 對 的 方 向 如 272 下 ( 教 育 部,2009;NCTM, 2000):. 什 麼 是 比? 是 部 分 與 整 體 的 關 係 部 分 與 部 分 的 關 係, 或 是 整 體 對 整 體 的 關 係? 2. 什 麼 是 正 比? 什 麼 是 反 比? 正 比 與 反 比 在 生 活 上, 有 哪 些 應 用? 3. 比 比 例 與 百 分 比 的 關 係 為 何? 在 生 活 上, 有 哪 些 應 用? 4. 比 比 例 在 國 中 數 學 的 連 結, 有 哪 些? 為 什 麼 需 要 用 到 比? 比 的 使 用, 在 生 活 上 相 當 普 遍, 例 如 打 棒 球 或 投 球 時, 會 依 據 你 所 投 的 球 數 與 進 球 的 球 數, 來 看 出 一 位 球 員 的 優 劣 所 以, 比 的 使 用 常 常 被 用 來 當 每 個 人 的 情 況 不 同 時, 可 互 相 來 做 比 較 我 們

289 也 常 常 在 菜 市 場 中, 比 較 哪 一 家 賣 的 菜 便 宜, 這 些 都 是 在 無 形 中 對 比 的 應 用 比 (ratios) 與 比 率 (rate) 有 所 不 同, 比 率 是 一 特 定 比 的 關 係, 是 比 值 的 概 念, 如 在 運 動 上 可 以 用 在 跑 步 時, 同 樣 是 00 公 尺, 看 誰 跑 得 比 較 快 ; 在 打 籃 球 時, 可 以 比 較 不 同 隊 員 的 投 球 命 中 率 及 罰 球 命 中 率 等 (Lamon, 999) 在 生 活 中, 常 碰 到 的 比 例 概 念 有 :. 在 超 級 市 場,5 顆 富 士 蘋 果 90 元 2. 在 滷 東 西 時, 杯 醬 油 3 杯 水 3. 在 行 車 時,500 元 可 以 買 多 少 公 升 的 油? 4. 在 美 國 時, 元 可 以 買 磅 的 馬 鈴 薯, 那 馬 鈴 薯 斤 是 多 少 元? 5. 從 台 北 到 高 雄, 若 時 速 90, 多 久 可 以 到 達? 以 下 依 比 比 例 與 百 分 比 等, 分 別 敍 述 之 273 以 下 依 比 的 定 義 比 的 關 係 比 的 不 同 表 示 方 式 與 比 的 用 策 略 等, 分 別 論 述 之 ( 一 ) 比 的 定 義 什 麼 是 比? 以 下 有 關 比 的 定 義, 可 參 考 Baroody 與 Coslick(998) 的 觀 點, 用 三 種 關 係 來 表 示 一 個 固 定 的 關 係 聽 一 場 音 樂 會,000 元 或 是 一 固 定 的 比, 有 些 名 師 教 琴 就 是 別 人 的 2 倍 等, 這 些 都 是 固 定 比 關 係 但 有 些 比 會 因 時 間 而 改 變, 如 油 價 匯 率 等 ; 有 些 則 不 會 改 變, 例 如 天 有 24 小 時 小 時 有 60 分 鐘 請 判 斷 下 列 哪 些 情

290 國小數學教材教法 況 具備固定的關係. 細菌的病毒分裂 天數 數量 2 2 探究式教學 正方形的邊長與周長關係 邊長 周長 正方形的邊長與面積關係 邊長 面積 森林遊樂區門票與人數關係 每增加一人少20元 274 人數 收費 乘積的關係 正方形的對角線 就是其邊長的 2 是一乘積的關係 而非加法或是其 它的關係 Vergnaud, 983 例如 3 倍 舉例來說 30公升中的 3 倍 是 而不是 順序的概念 舉例說明 如滷東西要杯醬油3杯水 而不是3杯水杯醬油 再者 台北市的平均房價是坪55萬 而不是55坪萬 這樣的順序顯示出一些特 別的關係 如果這些關係的順序對換 則明顯與現實不符 所以 單位的 順序相當重要 這也是比率產生的重要條件

291 二 比的關係 Baroody與Coslcik 998 提出 比的數字關係與分數的數字關係不 同. 比可代表的是整體對部分的關係 例如學校內全部學生人數與男生 的比率是 比可代表的是兩個不同部分的比較關係 例如A學校的男生對全校 學童比 與B學校的男生對全體學童的比例關係 3. 兩個不同單位的比較關係 例如3斤柳丁50元 那6斤柳丁多少元 這種不同的比較關係 與分數的關係有所不同 三 比的不同表示方法. 單一的數字表示 不同的比率有不同的表示方法 例如50公里小 示 3. 0的情況 在分數的情況時 分母不能為0 然而 在比率的情況 下 分母可以為0 例如9 0 或是 比與無理數 一般分數的分母都為整數 然而 有些比率可以用 2 的方式來呈現 5. 比的比較 不須要同一分母 例如杯滷汁 濃淡之分可由比率中 看出 6. 比的合併 在上半場 阿山的籃球投進與不投進的比是2 8 下半 場是4 9 全部是6 7 然而 在分數的情況中 不可能用 來表示 chapter 比 比例與百分比 50 來表示 2. 不同的表現方法 例如水比醬油 可用 2 或是, 2 來表 時 可以用50km hr 但不可以用

292 國小數學教材教法 四 比的使用策略 比的使用可用於不同分母與同分母的比較 以下分別敘述之. 不同分母的比較 常用於異分母間的比較 例如每個棒球員的打擊 探究式教學 率 因為每位球員上場次數不同 所以打擊率用來比較每位球員的 優劣 2. 同分母的比較 要比較消耗油量 可用不同車輛所消耗的公里數除 上公升的油量得知 二 比例的概念 proportion 以下依比例的定義 比例的題型 學童在比例的學習與比例的教學 分別論述之 276 一 比例的定義 比與比例是相通的 比表示兩數量的對應關係 如a b 比例是兩個 比值的等價關係 如a b c d 劉祥通 2007 例如 水比醬油是比 3 在比率來看是 其關係也是一種乘積的關係 比例的使用與真實生活 3 息息相關 可從做事效率的快慢 速度的快慢 濃度 密度 匯率 機器 的效能等 各方面來表現 Heller et al., 989 再者 如齒輪的大小運作 機制 均由比例的應用而來 本節中 要如何協助教師對於學童在比例概 念的發展 是相當重要的 如下的匯率表中 可看出美元對新台幣為單一匯率 也就是只有單一 的比例關係 美元 新台幣

293 ( 二 ) 比 例 的 題 型 比 例 的 題 型 可 分 兩 種 : 一 是, 直 接 的 比 例 關 係 ; 另 一 是, 相 反 的 比 例 關 係 (Behr et. al.,992) 直 接 的 比 例 關 係 直 接 的 比 例 關 係, 可 利 用 竹 子 與 影 長 來 說 明, 如 下 表 所 示, 若 是 影 長 固 定 為 竹 子 長 度 的.5 倍 另 一 種 為 相 反 數 關 係, 如 下 表 所 示, 甲 乙 兩 隊 進 行 比 賽, 可 以 發 現 當 甲 隊 與 乙 對 比 賽, 甲 贏 分, 乙 就 是 輸 分, 甲 輸 9 分 乙 就 贏 9 分 這 一 種 相 對 性 的 關 係, 也 就 是 在 國 中 七 年 級 的 教 學 中, 所 提 的 相 反 數 關 係 277 如 下 表 所 示, 可 以 看 出 兩 者 的 倒 數 關 係 : 反 比 例 關 係 常 見 的 反 比 關 係 在 距 離 速 度 與 時 間 的 關 係 中, 可 以 看 出 時 間 與 速 度 之 間 有 反 比 關 係, 例 如 台 北 到 高 雄 有 360 公 里, 時 間 與 速 度 的 關 係, 可 如 下 表 所 示 :

294 國小數學教材教法 時間 hr 速度km hr 在上述資料中可以發現 時間越長 速度越短 時間越短 速度越長 探究式教學 的反比關係 生活上 還有很多情況是反比例的關係 例如山的高度越 高 空氣越稀薄 高爾夫球的竿數越少 名次越高等 這些概念 都是反 比的情況 三 學童在比例的學習 學童初期在比例概念的學習 會使用加法策略來進行 例如本圖畫 書0元 2本圖畫書需要多少元 這是在一年級就會出現的比例情況 學 童可以用加法的策略來解決 若是用古氏數棒來看 個紅色積木 2 比 上紫色積木 4 等於黃色積木 5 比上什麼顏色 答案是 橘色積木 一般而言 學童對於比例的問題會產生學習的困難 甚至成人對 於比例推理的題目也會有困難 Hoffer, 988; Lovell, 96; Wollman & Karplus Baroody與Coslick 998 提到 學童對於比例概念的學習困難 有 累加推理 非整數的乘積關係及使用交叉相乘的解題策略等三方面的問 題 累加推理 學童會優先使用累加策略來進行解題 而不是用乘法策略來進行 Hart, 984; Karplus, Klparlus, & Wollman, 974 例如 3顆橘子0元 如果小珍有30元 可以買幾顆

295 學童傾向於使用加法策略來進行上述的解題 所以會用 但是 使用加法策略僅是學童暫時使用的過渡做法 對於教師教學是有助 益的 當老師能營造出使用乘法推理的需求時 學童會因老師教學的要求 而改變 非整數的乘積關係 有關非整數的乘積關係 可有三種題型 如下 題型一 3顆蘋果25元 請問6顆蘋果幾元 比例關係如下 在此題型 學童發現3與25無法整除 但是6是3的2倍 可用此倍數關 係 來得出結果 題型二 3顆蘋果27元 請問5顆蘋果幾元 比例關係如下 在此題型 學童發現3與27可以整除 但是3與5不能整除 所以學童亦 得到結果 如 題型三 3顆蘋果25元 買5顆要多少元 在此題型 學童會發現不論是3與25或是5與3都無法整除 所以 在 這種情況下 其答案並非整數 如 25 此題型 也必需要使用乘法 3 5 推理來獲得結果 但是當學童對於25 3 5的相對關係不了解時 就無法 進行解題 就會產生學習困難 Karplus, Pulos, & Stage, 983; Post et al., 993 使用交叉相乘的解題策略 交叉相乘的解題策略 是一個技巧性的方法 也就是說 如題型三 chapter 比 比例與百分比 使用3與27的倍數關係 獲得9 再乘5 即為答案 學童亦可使用加法策略 279

296 國小數學教材教法 學童為了要求得未知數 會用 也就是 25 其實學童 5 了解這樣的技巧性的策略 但多數學童不了解比例的概念就可進行運算 Hoffer, 988; Lesh, Post, & Behr, 988 交叉相乘的解題策略 是基於對比例性問題在有深入了解後 可發 探究式教學 展出來的一種計算技巧 如題型三 也就是學童發現要得到 會發現 25 5之後再除3 經過算式的理解後 所發展而來的精簡方法 但是 若 是學童碰到如下另一種的比例問題時 可能就會出現錯誤 題型四 已知一盒的餅乾有25個 香草口位與草莓口位的比例是 2 3 請問香草口味有多少 答案明顯是 2 不正確的 所以 若是只會技巧性的解題應用 可能會產生一些錯誤 學 若是使用上述的算式進行解題 則答案會是 280 童對於比例的概念 還是需要概念上的理解 若是要能正確的解出題型四的方法 可有以下三種方式. 學童可直接算出比例中 份是多少 例如使用 得出份是5後 再乘以2 得到答案 2. 學童可列出 即香草比例與全部比例 香草數量 全部數量 以求得結果 3. 學童可列出 2 即香草比例與香草數量 5 25 全部比例 全部數量 以求得結果

297 若是學童能找出其中一種的解題策略 即表示對於比例概念有深入的 理解 四 比例的教學 比例的教學可從兩分面來看 一是 概念取向 二是 符號取向 概念取向 學童要能對比例概念有質性推理的能力 而質性推理對於學童在量 化類型的比例概念來說 有相當的助益 Behr, et al. 992 何謂質性推 理 就是當學童在看到題目 先不計算 請學童估測結果 若是學童能估 測出結果 大概落於哪個範圍 則就是一種量化推理 例如 少 2 根竹竿有5公尺長 於水中佔 5 於土中佔 5 那在水面上有多 28 學童在看到這樣的題目時 可以知道水面上的長度一定小於一半 若 再者 有關影長的題目 則會有不同的推理策略 例如 根竹竿長5公尺 若是早上 中午 下午 其影長可能有多長 學童可能要有中午的影長最短 下午越接近日落的影長是越長的推理 思考 所以 質性思考是一種內在的推理模式 學童在計算後 可以用質 性推理以檢視其合理性 學童需要有不同的比例類型 來進行應用 例如學童在進行縮圖與比 例尺時 他們可以將一間教室放在A4紙上 也可以將學校的操場放在A4紙 上 這些都是比例概念的應用 甚至 學童可以畫出校園地圖 可以嘗試 將整個校園都畫在A4紙上 chapter 比 比例與百分比 是答案出現大於一半 甚至大於5的答案 都是不合理的

298 國小數學教材教法 符號取向 學童在國中會使用代數符號 來表達比例的概念 例如代數的比例模 a b a a2 這個算式與 算式相同 而學童要了解為什麼這兩個 a2 b2 b b2 算式的答案會相同 為了要能讓學童理解上述的算式是正確的 要能從問 式 如 探究式教學 題的情境中 進行應用 例如 男生比女生的比例是3 5 若全校的男生是30人 請問女生是多少 人 3 30 其算式為 5 其意義為男生比例 女生比例 男生人數 女生 3 5 人數 亦可用其算式為 30 其意義為男生比例 男生人數 女生比 例 女生人數 在符號取向甚至可延伸至連比的概念 例如a b c a b c 如 何協助學童對於更為複雜的運算 將是連結至國中的重要概念 282 三 百分比的概念 為什麼要使用百分比 往往百分比的使用是基於分數 小數與比例 後 所轉化而來的的表達方式 應用百分比可以更容易的進行比較 例如 選舉的政黨得票率 國中基測或大學學測的PR值等等 都是百分比的應 用 一 百分比的定位 百分比在學校的使用 可被應用來針對學校間的比較 例如學校內學 童使用營養午餐的比例 學校內學童參與社團的比例等 都是百分比的應 用 而這些都是部分對整體之間的比例 另外 可看到比率方面的百分

299 比 這些在日常生活中都看得到 例如我們購買餅乾 會標示每百公克 一般人都會看反式脂肪佔多少% 若是0% 則較為放心 所以 百分比的 標示 已成為飲料 食品與很多生活用品的必備知識 學童在使用百分比 時 對於百分比的解釋要能適切 百分比有時會讓我們看到錯誤的影像 例如打折 當我們進到百貨公 司或進到網路購物 可看到下殺3.折或是折大拍賣 銷售業者往往將價 格提高 再打折的例子屢見不鮮 消費者對於原價要能特別注意 看看是 否真得打折 在與其它類似產品比較後 計算折後的價格 就會看到真實 的數字 有關百分比應用的需求 可以列舉出以下的例題 學校運動會舉辦射箭比賽 小明射中的命中率是0.9 小珍射中的命 3 中率是 5 小強是92% 請問哪一位的命中率最高 上面的題型中 很明顯的是要將小數與分數轉化後 才可以看到更為 清楚的百分比 之後才能進行比較 也就是小明是90% 小珍是60% 小 二 )百分比的題型 百分比的題型 依照Baroody與Coslick 998 的分類 可以分為部 分未知 百分比未知與整體未知三種題型. 部分未知的情況 例如小強要買遙控車 標價250元 打8折 請問 小強省了多少元 其解答為 % 80% 元 2. 百分比未知的情況 例如小強要買遙控車 標價250元 已知省了 50元 請問打幾折 其解答為 也就是 20% 3. 整體未知的情況 如小強要買遙控車 標價不知多少元 已知打 chapter 比 比例與百分比 強是92% 所以是小強的命中率最高 283

300 國小數學教材教法 8折 省了50元 請問原價多少元 其解答為 三 百分比的教學 探究式教學 學童在進行百分比的教學時 會出現以下五種的學習困難 Baroody Coslick, 998. 學童在進行分數或是小數的轉換時 可能會產生錯誤 2. 學童不知道到百分比最大的數即是 字 00 他們可能會算出超過的數 學童對於百分比的題型 如百分比未知與整數未知的情況 會產生 學習困難 4. 學童對於百分的概念不了解 5. 學童對於百分之一的%不了解 284 上面這些情況 都是教師在進行百分比教學時 所要注意的特別情 況 在教師教學面向上 有以下兩方面需特別注意 百分比與生活的應用 學童可經由班上的調查 如一至十二月的生日分布 看看哪一個月班 上同學的生日 是最高的 或是可以從全班的身高 設定5公分的間距 看 看哪些同學的身高最多集中在哪一個範圍 如35至40公分佔全班百分比 的多少 這些都是連結至生活的應用 百分比的數感概念 要協助學童建立百分比的數感概念 有以下的幾個面向 00 是最大的數 可以請學童分享什麼情況是0% 什 00 麼情況是200% 要如何解釋. 學童要認知

301 2. 學童要知道25%代表什麼 在生活上可代表什麼意義 學童要知道 85%是什麼 在學校中 有什麼可以代表85%的現象 如只有85% 參加校外教學 3. 要能判斷 大概是多少 若是答案出現50% 學童可以很明顯的 3 判斷出答案是錯的 答案應介於25%至50%之間 也就是 與 之 4 2 間 學童在分數與百分比之間的量感是很重要的估算概念 4. 學童要能知道0.5%或是 % 或是0.%所代表的意義 例如0.5% 2 會代表的意義是 0.%代表的意義是 學童亦可使用古氏 積木中的百格板來協助學童了解 例如百格板為 小白積木就是 0.0 相對的 百格板為00 小白積木就是 更容易產生與00 的相對關係 肆 比 比例與百分比的教學活動 285 chapter 比 比例與百分比 以下依比 比例與百分比三部分 分別論述 一 比 比率概念在一至二年級時就已具備 如活動一與活動二 活動一 正比關係. 若你每天存入3元 到第0天你會有幾元 天 元 如果你幫小華養一隻貓 第天收5元 每天只增加2元 到第 0天你會有幾元

302

303 活動二 射氣球遊戲 若從下面三位朋友的射中球數來看 誰射中氣球的比率最高 你是如 何判斷的 名字 射出 射中球數 阿山 0 2 阿億 2 4 阿強 5 5 五年級時 會經驗比率與百分比的關係 如活動三 同時會處理打折 的問題 如活動四 活動三 王國有多大. 數字王國的總面積是個000平方公尺的大圓 其中整數國有 平方公尺 分數國有400方平方公尺 小數國有00平方公尺 嗎 2. 數宇王國打敗數字魔王之後 數字王國的領土增加了兩倍 每 個國家的領土也有變化 其中整數國佔40% 分數國佔25% 小 數國佔5% 百分國佔20% 你可以算出每個國家有多少平方公 尺嗎 整數王國 2=2000 整 %=800 chapter 比 比例與百分比 百分國有200平方公尺 請問你可以幫國王畫出每個國家的領土

304 國小數學教材教法 分 %=500 小 %=300 百 %=400 活動四 跳蚤市場 探究式教學. 有一些市場裡的貨品 標貨的時候被放上牌子 例如8折 對 折 40%off 其他國家的人不知道什麼意思 是變便宜還是變 貴 你可以說明嗎 80 8折是 % 是 00 對折是 打對折是最便宜的 2. 芬芬在攤位上看到支可愛的數字花洋傘 上面定價是800元 可是旁邊擺了牌子25%off 請問芬芬應該要付多少錢啊 元 A 600元 3. 點點用0,000元買到台打8折的相機 請問相機是原價的多少 錢 0, ,500 A 2,500元 二 比例 六年級時 學童會學習比例與比值概念 如活動五 學習比例概念 如活動六 有面積的比例概念 如活動七 比例尺概念 如活動八 比例 尺的應用 如活動九 正反比的概念 如活動十

305 活動五 六年一班 六年一班有男生24人 女生2人 那麼. 男生人數與女生人數的比是 2. 男生人數與全班人數的比是 3. 女生人數與全班人數的比是 4. 男生人數是全班人數的 倍 24 36的比值是 5. 女生人數是全班人數的 倍 2 36的比值是 活動六 果汁達人 超級無敵好喝的柳丁汁 比例是柳丁原汁20cc 水80cc. 小蜜蜂水加太多了 加了60cc 要加幾cc柳丁原汁才會變好喝 呢 小甲蟲柳丁原汁加太少 只加了5cc 要加多少cc的水才會變好 喝 A 20c.c.的水 3. 小蚱蜢做出來的果汁共400cc 請問他加了多少cc的柳丁原汁及 多少cc的水 chapter 比 比例與百分比

306 國小數學教材教法 A 60c.c.的原汁 240c.c.的水 探究式教學 活動七 面積 將找出的色紙摺痕 畫在下方3 3的正方形中 並將比例寫在下 方空格中 例如 有色部分的面積 白色部分的面積

307 活動八 比例尺. 把下列各比例尺用比值的方式表示出來 () 0 00 m A 2000 (2) km A (3) km A (4) km A 把下面各比或比值用圖示法表來示出來 () 500 A (2) 2500 A (3) 000 A cm m m chapter 比 比例與百分比 0

308 國小數學教材教法 探究式教學 (4) A (5) A (6) A km km km 3. 填填看 ()下圖公分的實際長度為 50 公尺 比例尺的比是 5000 A m (2)下圖公分的實際長度為 30 公尺 比例尺的比是 Ａ m 活動九 比例尺應用. 有A B兩張地圖 A地圖的比例尺是 而B地圖的比 例尺是個謎 假如克雷鳥家和菁英學園的距離在A地圖上是9公 分 而在B地圖上是5公分 已知雷克鳥家與呆呆熊家距離在B 地圖上是6公分 實際上兩家的距離是幾公里 cm km A 0.8km 2. 實際面積是900平方公尺的正方形土地 在比例尺 500的地圖 上 其一邊長是幾公分

309 900 30m 30m 3000cm A 6cm 3. 在一張比例尺 6000的地圖上 有個山洞長3公分 現在有輛 長50公尺的火車以每秒30公尺 進入山洞的速度從火車進入到 火車尾端 離開山洞要幾秒鐘 3cm cm 80m A 秒 4. 鐵塔的高度是若干公尺 從兩點仰望鐵塔 仰角是45度 眼睛 離地.3公尺 甲乙相距40公尺 鐵塔的高度大約是幾公尺 40+.3= A 4.3m 甲 40m 乙.3m 活動十 正反比. 胖虎從台北到高雄共長300公里 他坐高鐵 和欣巴士 火車與 騎機車的時間如下表 你可以找出他們的速度是多少嗎 交通工具 時間 速度 高鐵 2 50 和欣巴士 6 50 火車 騎機車 5 20 chapter 比 比例與百分比

310 速度 國小數學教材教法 你可以將時間和速度的關係圖畫出來嗎 探究式教學 時間 2. 如果胖虎只能花2個小時坐車或騎車 依照上面的速度他坐高 鐵 和欣巴士 火車與騎機車可以坐到多遠 交通工具 速度 距離 高鐵 和欣巴士 火車 騎機車 294 你可以將速度和距離的關係圖畫出來嗎 速度 時間 3. 如果胖虎只能騎機車 速度只能20公里但是不限時間與距離 你可以找出時間與距離的關係嗎 時間 距離 小時 20 2小時 40 3小時 60 4小時 80 5小時 00

311 你可以將時間和距離的關係圖畫出來嗎 距離 時間 時間 距離 速度 哪二者是正比關係 哪二者反比關係 正比是 什麼意義 反比是什麼意義 重點提示 時間與速度是反比 距離與速度是正比 chapter 比 比例與百分比 距離與時間是正比 295

312 國小數學教材教法 三 百分比 六年級的百分比概念 如活動十一 活動十一 假日生活作息調查 探究式教學 假日的時候小蜜蜂的爸爸媽媽都帶著他到各地旅遊 你們假日的時 候都在做什麼活動呢 請在下面的表格 將你上個週末所做的活動及 時間分配情形做一個整理吧 活動 打球 寫作業 看書 騎腳踏車 看電視 郊遊 爬山 時間 2hr 4hr 3hr 4hr 2hr 6hr 3hr 分數 % 6.67% 2.5% 6.67% 83.33% 25% 2.5% 百分率 296 根據上面的表格 請你在下面的圓形百分圖上畫出你個人的假日生 活圓形百分圖吧 看書 8 爬山 看電視 騎腳踏車 寫作業 6 打球 2 4 郊遊

313 () (2) (3)

314 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 劉 祥 通 (2007) 分 數 與 比 例 問 題 解 析 從 數 學 提 問 教 學 的 觀 點 台 北 市 : 師 大 書 苑 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Behr, M. J., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (992). Rational number, ratio, and proportion. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan. Heller, P., Ahlgren, A., Post, T., Behr, M., & Lesh, R. (989). Proportional reasoning: The effect of two context variable, rate type and problem solving. Journal for Research in Science Teaching, 26 (3), Hart, K. (984). Ratio: Children' s strategies and errors. Windsor, England: NFER-Nelson. Hoffer, A. R. (988). Ratios and proportional thinking. In T. R. Post (Ed,), T Teaching mathematics in grades K-8: Research-based methods (pp ). Boston: Allyn & Bacon. Karplus, R., Karplus, E., & Wollman, W. (970). Intellectual development beyond elementary school IV: Ratio, a survey. Berkley: University of California, Lawrence Hall of Science. Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E. K. (983). Proportional reasoning in early adolescents. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and procedures (pp.45-89). New York: Academic Press. Lamon, S. J. (999). Teaching fractions and ratios for understanding. S. J. Mahwah, NJ: Erlbaum. Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (988). Proportional reasoning. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp.93-8). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Lovell, K. (96). A Follow-up study of Inhelder and Piaget's the growth of logical

315 thinking. British. Journal of Psychology. 52(2), National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Post, T. R., Cramer, K. A., Behr, M., Lesh, R., & Harel, G. (993). Curriculum implications of research oon the learning, teaching and assessing of rational number concepts. In T. P. Carpenter, E. Fennema, & T. A. Romberg (Eds.), Rational numbers: An integration of research (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Wollman, W., & Karplus, R. (974). Intellectual development beyond elementary school V: Using ration in differing tasks. School Science and Mathematics, 74, Vergnaud, G. (983). Multiplicative structures. In R. Lesh & M. Landau (Eds), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp.27-74). New York: Academic Press. 299

316

317 Chapter 2 統 計 與 機 率 統 計 與 機 率 的 概 念, 在 生 活 上 的 應 用 相 當 廣 泛, 例 如 學 童 在 選 班 長 時, 就 會 使 用 統 計 來 計 票 ; 在 進 行 學 童 會 長 的 選 舉 時, 也 會 計 算 票 數 與 當 選 機 率 的 評 估, 這 些 都 是 統 計 與 機 率 的 應 用 在 生 活 上 的 應 用 更 是 如 此, 例 如 克 強 在 假 日 要 到 阿 里 山 遊 玩, 氣 象 報 告 指 出 週 六 與 週 日 會 下 雨 的 機 會 各 是 3, 請 問 克 強 去 遊 玩 2 天 都 不 會 下 雨 的 機 會 是 多 少? 像 這 樣 的 機 率 問 題, 雖 然 是 屬 於 條 件 機 率, 但 是 在 國 小 階 段 就 可 能 被 學 童 解 出 來 天 氣 預 報 中, 我 們 最 關 心 的 是 天 氣, 而 下 雨 的 機 率 常 也 常 是 我 們 最 關 心 的, 明 天 會 不 會 下 雨, 台 北 台 中 高 雄 下 雨 的 機 率 一 樣 嗎? 下 雨 的 機 率 會 因 地 點 有 所 不 同 嗎? 氣 象 局 除 了 以 衛 星 雲 圖 來 估 測 降 雨 的 機 率 外, 也 會 根 據 50 年 來 的 這 一 天 下 雨 的 機 率, 來 進 行 評 估, 但 是 我 們 常 常 會 抱 怨 氣 象 預 報 估 計 的 不 準, 明 明 今 天 不 會 下 雨, 為 什 麼 又 下 起 雨 來 了 這 些 預 測 的 結 果, 也 是 運 用 統 計 的 重 要 功 能, 我 們 要 如 何 協 助 學 童 對 於 日 常 生 活 上 的 統 計 有 所 認 識, 進 而 產 生 統 計 的 應 用, 這 對 學 童 未 來 在 進 行 相 關 預 測 時, 會 有 相 當 的 助 益 統 計 與 機 率 概 念, 在 生 活 上 的 應 用 相 當 普 遍 教 師 在 教 學 的 過 程 中, 應 對 於 統 計 在 國 小 至 國 中 九 年 的 概 念 要 能 了 解, 例 如 國 小 階 段 學 童 要 能 有 繪 製 長 條 圖 折 線 圖 餅 圖 的 能 力 ; 學 童 要 能 判 斷 什 麼 情 況 下 適 合 使 用 這 些 不 同 的 圖 形, 除 此 之 外, 學 童 更 要 有 讀 圖 與 分 析 的 能 力 ; 在 平 均 數 的 應

318 用 與 解 釋, 學 童 亦 要 能 有 清 楚 的 概 念 再 者, 於 國 中 階 段, 學 習 到 中 位 數 眾 數 與 平 均 數 時, 學 童 也 要 能 找 出 這 三 種 使 用 的 情 況, 知 道 什 麼 情 況 下 使 用 眾 數 中 位 數 或 平 均 數 較 為 適 合, 學 童 要 能 了 解 全 距 與 四 分 位 數 的 意 義 這 些 統 計 的 概 念, 到 了 高 中 認 識 標 準 差 變 異 數 時, 就 會 有 更 深 入 的 銜 接 機 率 在 國 小 階 段 較 少 有 相 關 的 課 程, 到 國 三 才 會 開 始 介 紹 機 率 的 概 念 學 童 要 能 分 辨 隨 機 的 情 況, 例 如 袋 子 中 裝 的 是 顆 藍 球 與 顆 紅 球, 請 問 抽 出 紅 球 的 機 率 是 多 少? 又, 如 果 袋 子 中 有 50 顆 藍 球 與 50 顆 紅 球, 請 問 抽 中 紅 球 的 機 率 又 是 多 少? 學 童 要 能 對 在 隨 機 狀 況 下 的 機 率, 有 正 確 的 概 念 302 教 師 要 能 對 於 統 計 與 機 率 概 念 有 基 本 的 認 識, 讓 學 童 有 系 統 的 整 理 資 料 與 分 析 資 料, 使 學 童 具 備 下 列 的 各 項 能 力 :. 學 童 要 能 對 生 活 上 的 資 料, 進 行 統 計 的 應 用 2. 學 童 要 能 對 圖 表 進 行 分 析 與 判 讀, 如 長 條 圖 折 線 圖 與 圓 餅 圖 等 3. 學 童 要 能 繪 製 長 條 圖 折 線 圖 與 圓 餅 圖, 並 能 了 解 這 些 圖 表 的 適 用 性 4. 學 童 要 對 於 平 均 數 中 位 數 眾 數, 能 有 適 當 的 應 用 5. 學 童 對 於 機 率 的 概 念 要 有 適 當 的 了 解, 如 什 麼 是 條 件 機 率 等 以 下 分 統 計 與 機 率 的 學 習, 分 別 論 述 之

319 一 統計的學習 統計是與生活密切結合的課程 也是一個充滿數字資訊與使學童發現 學習樂趣的學門 學童如何從一堆數字中看出端倪 看到數字所呈現的意 義 並能加以分析與解釋 這才是學習統計概念的核心 可從統計圖表與 集中量數兩方面來論述 一 統計圖表 統計課程的設計 學童在低年級時 就需要學到統計的分類與畫記 雖然在這個單元並不困難 但是學童已經可以學習在個袋子中 看看他們 抽的球是什麼顏色 若是每個人都抽顆球 看看哪種顏色抽到的球最多 例如 若全班有32人 各色顏球被抽中的數量統計如 表2- 從被抽中球 的數量可以發現 可能袋子中藍色的球比較多 綠色的球比較少 但是如 果袋中每種顏色的數量是一樣的 那就可能是班上同學抽出來的球有所誤 差 這時 老師可要求每位同學抽5顆 將數量變多 就可以發現每顆球出 表2- 球的計數 球的顏色 紅 白 藍 綠 數量 長條圖 在進行分類統計時 最好是讓學童有感覺 能有感覺體會到統計與自 己的經驗相關 例如 一年級學童就可以統計出每個月的生日有幾人 若 全班有32人 每個月的生日分布如 表2-2 所示 學童除了生日的統計外 在國小一年級時 他們還可以從統計圖表中觀察出 哪些月份學童的人數 最多 哪些月份學童的人數最少 在暑假時可能沒辦法幫忙同學慶生的人 chapter 2 統計與機率 現的情況是相近的 303

320 數 有 幾 人 全 部 加 起 來 的 人 數 是 不 是 32 人, 有 沒 有 人 被 遺 漏 等 這 些 都 是 由 統 計 圖 表 中, 可 以 看 出 來 的 訊 息 學 童 在 中 年 級 時, 會 進 行 圖 表 的 判 讀, 亦 會 有 圖 表 的 繪 製, 例 如 長 條 圖 折 線 圖 與 餅 圖 等 在 班 上 的 統 計 圖 表 中, 最 常 出 現 的 就 是 分 數 的 統 計, 如 數 學 的 分 數 或 是 其 它 科 別 的 分 數 假 設 以 班 級 學 童 人 數 32 人 為 例 ( 如 ), 學 童 在 班 上 的 成 績 分 布, 從 班 級 的 成 績 可 以 看 出, 全 班 在 學 習 上 需 要 協 助 的 學 童 可 能 有 7 位, 因 為 是 在 70 分 以 下 ; 若 是 從 百 分 比 來 看, 經 四 捨 五 入 後 是 7 32 =22% 在 上 面 的 分 類 中, 可 以 發 現 學 童 的 成 績 分 布 情 形, 也 可 以 將 學 童 的 月 考 成 績 用 長 條 圖 來 呈 現 從 長 條 圖 的 資 訊 中, 可 以 更 快 看 出 分 的 人 數 最 多,60 分 以 下 的 人 數 最 少, 圖 表 所 顯 示 的 訊 息 能 更 快 發 現 本 班 的 特 性, 如 下 圖 所 示

321 圖 形 的 繪 製 是 學 童 需 培 養 的 能 力, 而 長 條 圖 折 線 圖 與 餅 圖 的 繪 製, 學 童 需 先 進 行 判 斷, 再 決 定 哪 一 種 圖 形 較 為 適 合 例 如 長 條 圖, 學 童 在 進 行 長 條 圖 繪 製 時 ( 如 表 2-3), 須 先 考 慮 橫 軸 應 會 是 分 數, 直 軸 應 會 是 人 數, 也 可 以 繪 製 橫 軸 為 人 數, 直 軸 為 分 數, 在 這 樣 的 情 況 下, 老 師 可 說 明, 一 般 長 條 圖 的 呈 現 方 式, 會 是 前 者 的 情 況 下 圖 顯 示 的 是 班 上 所 喜 歡 的 偶 像, 即 用 橫 條 圖 與 長 條 圖 兩 種 方 式 來 呈 現 305

322 折 線 圖 第 二 種 方 式 是 折 線 圖, 折 線 圖 的 使 用 也 提 供 了 另 一 種 圖 表 的 繪 製 方 法 例 如, 表 2-4 為 班 上 同 學 最 喜 歡 的 科 目, 學 童 可 複 選, 從 折 線 圖 中 可 以 看 出 男 女 生 喜 好 的 差 別, 雖 然 也 可 使 用 長 條 圖 來 表 示 兩 者 間 的 關 係, 但 使 用 折 線 圖 的 方 式 則 較 為 清 楚, 可 以 看 出 學 童 在 選 擇 最 喜 歡 科 目 上 的 不 同, 例 如 男 生 喜 歡 體 育, 女 生 喜 歡 英 文 等 在 折 線 圖 的 繪 製, 除 了 橫 軸 與 直 軸 的 標 記 外, 學 童 也 需 將 男 生 與 女 生 的 線 段 依 統 計 數 據 進 行 描 繪, 然 後 再 將 點 與 點 連 起 來, 才 有 辦 法 看 到 兩 線 段 的 關 係 折 線 圖 的 應 用 會 考 量 三 個 層 面 : 一 是 科 目, 即 橫 軸 ; 二 是 人 數, 即 直 軸 ; 三 是 男 生 與 女 生, 即 線 段 的 連 結 所 以, 折 線 圖 的 繪 製 會 較 長 條 圖 略 為 複 雜

323 圓餅圖 使用圓餅圖時 常用百分比的方式來表示全部與部分的比例 以表 2-4的資料為例 有關餅圖的繪製 通常轉換為百分比為主 可看出所分 307 配的比率 餅圖的繪製會更為複雜 若要繪製精準 不太容易 例如學童 chapter 2 統計與機率 再算出是49% 度 用量角器才能畫出正確的度數 如下圖所示 要畫49%的餅圖 要先了解%約為3.6度 即

324 國小數學教材教法 探究式教學 二 集中量數的概念 集中量數可有三種類型 一是平均數 二是中位數 三是眾數 這三 種集中量數 均考量一資料集中或是擴散的方向 也各有其適用的情況 在國小階段 會提到平均數 但到了國中階段 才會加入中位數與眾數的 308 觀念 以下分別論述之 平均數 平均數是國小常用的代表分數 如全班的體重平均多少 全班的數學 分數平均多少 全班的國語分數平均多少 等等 例如 小明班上有十位 同學的數學分數為 其平均數 為全部同學的分數相加 再除以0 即為平均分數 如 平均數的特性 是每一位同學減平均數 若是將所有差距分數相加 其和為0 如 =0

325 分數 平均數 差距 平均數的使用 在生活上相當普遍 例如車商在廣告中會介紹車子多 省油 平均油耗為公升5公里等 請學童在生活中 找出其它可看到的平 均數 以利學童在生活上的應用 中位數 中位數是另一種代表分數的使用 也就是將數字由高到低 取中間 的數來作代表 若以上述的例子 可以發現每位同學與平均數的差距是2 分到23 只有一位同學特別高 是52分 這時若用中位數的方法 將第 五位與第六位同學的分數相加除以2 就是中位數 例如 其第五位是80 第六位是75 兩位相加是 中位數有別於平均數 可避免分數過高或過低所帶來的誤差 有時全 班平均數可能因為特定學童 而讓全班分數產生誤差 中位數可避免這樣 的問題 但是為了避免分數較低的學童帶來的誤差 也有另一種方法 就 是不算20分的學童 再算一次平均數 如 再算一次平均數的結果 可發現中位數與再算一次平均的結果 相當 接近 眾數 眾數即是發生最多次的數字 這些數字所代表的數 例如從上述的十 309 chapter 2 統計與機率 =77.5 所以77.5就是這十位同學的中位數 2

326 位 同 學 的 分 數 來 看, 可 看 出 兩 位 學 童 的 分 數 是 90 分, 所 以 眾 數 就 是 90 分 其 實, 上 述 的 情 況 並 不 適 用 於 眾 數, 因 為 很 多 數 字 只 出 現 一 次 或 是 兩 次 若 是 考 量 一 班 學 童 參 與 社 團 的 分 布 ( 如 下 表 所 示 ), 以 參 與 人 數 來 看, 最 可 以 代 表 這 個 班 的 社 團, 即 為 樂 團 班, 因 為 樂 團 的 參 與 人 數 最 多 從 上 面 三 個 集 中 量 數 來 看, 學 童 應 要 能 判 斷 何 時 可 使 用 平 均 數 中 位 數 與 眾 數, 以 找 出 最 能 代 表 資 料 型 態 的 方 法 機 率 在 生 活 上 的 使 用 相 當 普 遍, 例 如 氣 象 報 告 明 天 會 下 雨 的 機 率, 或 30 是 投 球 投 中 的 機 率 在 學 校 中, 常 會 用 抽 籤 的 方 式 來 決 定 誰 要 回 答 老 師 的 問 題, 這 些 也 都 是 機 率 的 應 用 以 下 分 為 機 率 的 類 型 機 率 的 認 知 發 展 階 段 與 機 率 概 念 教 學 等, 分 別 論 述 之 ( 一 ) 機 率 的 類 型 機 率 的 分 類, 可 分 為 古 典 機 率 實 驗 機 率 主 觀 的 機 率 及 形 式 的 機 率 等 四 種, 分 述 如 下 (Hawkins & Kapadia, 984; Konold, 99; Shaughnessy, 992)... : 機 率 是 在 隨 機 的 試 驗 中, 每 一 事 件 發 生 的 機 會 均 等, 是 唯 一 均 勻 的 機 率 分 配, 亦 可 稱 為 理 論 機 率 或 先 驗 機 率 例 如, 學 童 丟 擲 顆 公 正 的 骰 子, 所 出 現 至 6 點 的 機 會 是 相 等 的, 都 是 會 6 的 機 2. : 機 率 的 計 算 是 藉 著 觀 察 重 複 試 驗 不 同 結 果 的 相 對 次 數,

327 即 根 據 實 驗 設 計 的 觀 察 結 果, 來 決 定 事 件 發 生 的 可 能 大 小, 故 也 稱 為 次 數 機 率 學 童 可 對 丟 擲 骰 子 進 行 模 擬, 每 個 人 都 丟 0 次 骰 子, 全 班 30 人, 共 丟 了 300 次, 可 計 算 每 點 出 現 的 模 擬 機 率, 可 發 現 會 接 近 6 3. : 係 指 機 率 的 大 小, 是 依 照 個 人 的 信 念 或 主 觀 的 觀 點 呈 現, 尚 有 賴 於 將 它 化 成 數 學 方 式 來 判 斷 例 如, 投 票 率 的 分 析, 可 發 現 所 居 住 的 地 域 是 北 部 或 南 部, 其 傾 向 於 投 票 給 什 麼 政 黨, 對 於 政 治 傾 向 可 能 有 所 差 異 4. : 利 用 數 學 法 則 或 定 理 來 計 算 機 率, 有 時 也 稱 為 客 觀 的 或 標 準 的 機 率 例 如, 班 上 的 數 學 成 績, 出 現 平 均 數 與 標 準 差, 理 論 上 會 出 現 常 態 分 配, 即 班 上 同 學 約 有 67% 落 於 平 均 數 加 或 減 一 個 標 準 差 的 範 圍 ( 二 ) 機 率 的 認 知 發 展 階 段 在 機 率 的 發 展 階 段, 可 從 P i a g e t 與 I n h e l d e r ( ) 及 J o n e s 3 Langrall Thornton 與 Mogill(997) 等 人 所 提 出 的 結 果, 分 別 論 述 Piaget 與 Inhelder Piaget 與 Inhelder(975) 所 提 出 的 機 率 發 展 三 階 段, 認 為 學 童 會 隨 著 年 齡 的 發 展 ( 引 自 張 捷 勝,2002), 而 對 機 率 概 念 有 所 認 知. 第 一 階 段 (4~7 歲 ) : 即 中 班 至 小 學 一 年 級, 學 童 無 法 區 分 可 能 和 必 然 兩 者 的 差 異, 亦 不 了 解 隨 機 的 概 念, 對 於 整 體 結 果 缺 乏 整 體 觀, 常 會 用 直 觀 判 斷, 未 具 有 完 整 的 機 率 概 念, 亦 欠 缺 邏 輯 及 算 術 的 比 較, 多 以 經 驗 來 組 合, 缺 乏 排 列 組 合 的 能 力 2. 第 二 階 段 (7~ 歲 ) : 即 小 學 一 年 級 至 五 年 級, 學

328 童 能 了 解 可 能 和 必 然 之 意 義 在 此 時 期, 能 了 解 機 率 的 可 能 性, 即 有 隨 機 的 概 念, 面 對 單 一 比 較 的 情 境 時, 會 較 為 容 易, 遇 到 比 例 的 情 境, 則 較 容 易 產 生 迷 思 的 問 題 3. 第 三 階 段 ( 歲 以 上 ) : 即 國 小 五 年 級 以 上, 學 童 可 以 使 用 量 化 來 描 述 整 體 的 機 率, 亦 能 比 較 機 率 大 小, 發 現 組 合 與 排 列 的 可 能 性 Jones Langrall Thornton 與 Mogill Jones Langrall Thornton 與 Mogill(997) 的 機 率 思 考 架 構 亦 提 出, 學 童 的 機 率 概 念 思 考 可 分 四 個 層 次 : 主 觀 的 思 考 層 次 過 渡 的 層 次 非 正 式 量 化 的 層 次 和 數 量 的 推 理 層 次. : 於 此 階 段 的 學 童 會 以 主 觀 的 價 值 判 斷 來 思 考 機 率 問 題, 此 階 段 亦 類 似 於 Piaget 與 Inhelder(975) 的 第 一 階 段 例 32 如, 班 上 抽 籤 時, 只 要 我 喊 的 大 聲, 我 就 會 被 抽 中 2. : 此 階 段 會 介 於 主 觀 和 客 觀 的 量 化 思 考 之 間, 但 又 會 傾 向 於 主 觀 的 判 斷 3. : 學 童 會 嘗 試 以 數 字 來 量 化 機 率, 但 是 由 於 比 例 概 念 的 不 足, 未 能 完 全 解 決 機 率 問 題, 此 時 期 和 Piaget 與 Inhelder (975) 的 第 二 階 段 較 為 近 似 4. : 此 時 期, 學 童 已 能 進 行 較 為 抽 象 的 推 理, 能 運 用 機 率 進 行 預 測, 於 此 階 段, 與 Piaget 與 Inhelder(975) 的 第 三 階 段 亦 較 為 接 近 ( 三 ) 機 率 的 教 學 階 段 Bognar 與 Nemetz(977) 指 出, 國 中 小 階 段 的 學 童, 在 未 接 受 機 率 教 學 之 前, 可 從 日 常 生 活 中 了 解 機 率 的 簡 單 概 念, 因 此 機 率 課 程 的 安 排, 可

329 依 學 童 不 同 年 齡 之 概 念 發 展, 來 引 入 機 率 教 學. 7 至 8 歲 的 學 童, 可 以 教 導 簡 單 的 概 念, 例 如 確 定 事 件 (certain events) 不 可 能 事 件 (impossible events) 及 互 斥 事 件 (mutually exclusive events) 什 麼 是 確 定 事 件, 是 一 定 會 發 生 的 事 件, 例 如 週 一 到 週 五, 在 沒 有 特 殊 情 況 時, 一 定 會 上 學, 這 是 確 定 事 件 不 可 能 事 件 為 不 會 發 生 的 事 件, 例 如 現 在 會 有 恐 龍, 則 是 不 會 發 生 的 互 斥 事 件 即 為 事 件 是 A, 就 不 會 同 時 為 B, 例 如 學 童 上 課 的 出 席 與 缺 席 是 相 互 排 斥 的, 即 當 小 明 上 學 就 會 是 出 席, 不 可 能 同 時 會 記 為 缺 席 2. 9 至 0 歲 的 學 童, 可 依 據 可 能 發 生 的 事 情, 教 導 較 可 能 事 件 (more likely events) 較 不 可 能 事 件 (less likely events) 及 次 序 事 件 (order events) 較 可 能 事 件, 例 如 騎 腳 踏 車 時, 可 能 會 爆 胎 但 是, 如 果 在 沒 有 戳 到 任 何 東 西 的 話, 爆 胎 機 率 很 低, 也 就 是 較 不 可 能 事 件 次 序 事 件 是 會 依 序 發 生 的 情 況, 例 如 選 舉 時, 會 去 投 票, 33 去 投 票 才 會 去 選 擇 特 定 的 候 選 人, 如 果 不 去 投 票, 什 麼 都 不 會 發 生 3. 至 2 歲 的 學 童, 可 以 教 導 相 對 次 數 (relative frequencies) 及 畫 出 可 表 示 機 率 事 件 的 圖 表 (diagrams) 相 對 次 數 就 是 相 比 較 的 次 數, 例 如 男 生 與 女 生 即 是 相 對, 他 們 所 喜 歡 的 科 目, 就 會 出 現 相 對 的 不 同, 也 可 以 用 長 條 圖 來 表 示 4. 3 至 4 歲 的 學 童, 可 以 教 導 獨 立 ( i n d e p e n d e n t ) 和 相 關 (correlated) 的 實 驗 及 事 件 獨 立 事 件 即 表 示 A 事 件 發 生 與 B 事 件 無 關, 例 如 哥 哥 數 學 考 滿 分, 弟 弟 數 學 可 能 不 會 因 為 哥 哥 的 關 係 而 考 滿 分, 而 可 能 會 考 不 及 格, 兄 弟 的 數 學 分 數 是 沒 有 關 聯 的 相 關 事 件 表 示 兩 個 事 件 是 有 關 係 的, 例 如 小 珍 的 數 學 考 滿 分, 可 能 物 理 也 會 考 高 分, 因 為 物 理 與 數 學 的 關 係 很 接 近, 都 與 數 字 有 關

330 國小數學教材教法 雖然有關機率可在國小至國中 進行不同的機率課程 但目前從九年 一貫的能力指標來看 在國中三年級階段 學童才會學到情境機率的相關 概念 而在國小階段並未有相關的機率指標 未來對於機率課程 可進行 相關設計 以強化學童對於機率與統計概念的連結 探究式教學 肆 統計與機率的教學與學習叮嚀 生活中 到處有統計圖和統計表 例如火車時刻表 身高體重表 健 康中心的視力與齲齒統計圖 等 如果能提供學童洞察的機會 先蒐集 再報讀 那統計圖表的學習是很豐富的 機率問題也是到處存在 尤其國人很愛猜拳 猜拳贏的機率 賓果遊 戲贏的機率 擲杯聖茭的機率 等 都是在小學階段可以實際體驗的 所以 建議統計圖表的教學 可以先從了解班上學童建立資料著手 調查 34 班上同學的身高 體重 視力 齲齒 看電視的時間 出生月日 等 做二維表格及劃記的記錄 可以調查最喜愛的偶像 寵物 票選模範生 圖書 電視節目 等 來劃長條圖 折線圖和圓形圖 抽球活動. 老師可以實際演練 先讓學童猜一猜 老師有兩張卡 一張打 一張打 任意一個學童抽中 的機率是多少 2. 有A K3張紅桃撲克牌 抽到A的機率有多少 若有52張撲克 牌 抽到紅桃A的機率又有多少 3. 全班一起來體驗 紅 藍 黃球抽中的機率為什麼接近三分之 一 活動是 () 老師將紅 藍 黃球3顆放進箱子內 全班輪流抽 老師隨即 將抽中球的顏色 記錄在黑板上的記錄表裡 (2) 表格如下

331 球的顏色 紅球 黃球 籃球 抽中次數 (3) 全班抽完 統計各球抽中的機率 總之 統計與機率的學習是相當有趣的 先從簡單易懂的小活動開 始 再做延伸活動 加深機率的各種條件與限制 從而理解機率的各種變 化與應用 伍 學習活動 機率的學習 在前一頁已談及 教學法寶僅提供統計圖的教學參考 活動一 網路蒐集各種統計圖表.學童分組 網路搜尋各種統計圖表 2.包括基本統計圖 長條圖 折線圖與圓形圖 3.其他統計圖 泡泡圖 曲面圖 盒鬚圖 活動方式 活動二 完成簡報.分組討論 2.做成簡報 3.上傳 活動三 分組報告.先各組報告 2.其他組別提問 3.遇有問題再搜尋解答 35 chapter 2 統計與機率 活動目標 透過蒐集 察覺各式各樣的統計圖表 透過分組合作學習 完成各種統計圖表的簡報 透過分組報告及質疑辯證 了解各種統計圖表的呈現方式與 功能

332 張 捷 勝 (2002) 探 討 兒 童 的 機 率 學 習 以 國 小 六 年 級 的 學 童 為 例 國 立 台 北 師 範 學 院 數 理 教 育 研 究 所 碩 士 論 文, 未 出 版, 台 北 36 蔡 欣 潔 葉 啟 村 (2006) 國 小 高 年 級 學 童 機 率 概 念 與 其 學 習 前 數 學 概 念 之 關 聯 性 研 究 教 育 研 究 學 報,40(),5-73 Bognar, K. & Nemetz, T. (977). On the teaching of probability at secondary level. Educational Studies in Mathematics, 8, Fischbein, E. (975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. Dordrecht, The Netherlands: Reidel. Fischbein, E. & Gazit, A. (984). Do the teaching of improve probability intuitions? Educational Studies in Mathematics, 5, -24. Hawkins, A., & Kapadia, R. (984). Children's conceptions of probability- A psychological and pedagogical review. Educational Studies in Mathematics, 5, Jones, G. A., Thornton, C. A., Langgrall, C. W., & Mogill, A. T. (997). A Fra mework for assessing and nuturing Young Children's Thinking in Probability. Educational Studies in Mathematics, 32, Konold, C. (99).Understanding students'beliefs about probability. In E. von Glasersfield (Ed.), Radical Constructivism in Mathematics Education (pp.39-56). Holland:

333 Kluwer. Piaget, J. & Inhelder, B. (975). The origin of the idea of chance in children. London: Routledge Kegan Paul. Schaughnessy, J. M. (992). Research in Probability and Statistics: Reflections and Directions. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 37

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335 Chapter 3 幾何與空間概念 小明很喜歡畫圖 但是他在畫人物時 常會將腳畫得特別長 老師 問 為什麼你的腳畫得那麼長呢 小明說 我想用腳走遍全世 界 畫畫的經驗 或許可以容許學童將腳畫得很長 但是數學上 腳的 長度要合乎比例 所以數學講究的是精準 美術要求的是感覺 兩者雖然 在目的有所不同 但是空間概念的運用 卻是密不可分 圖形是學童在幼兒時期即已發展的概念 幼兒早在2歲時即能用圓代表 任何事物 如代表房子 車子 人物等 3歲以後 依其圖像的經驗 能 將人物繪製得更為清楚 然而 數學的圖形概念 則與學童的圖像經驗密 切相關 例如圖像中的對稱概念 比例概念 透視概念等 均在美術課程 中 佔了相當重要的分量 所以數學的空間幾何與美術課程的專業訓練 其實是互為一體 雖然 學童的圖形概念很早就開始發展 但學校所教的正式圖形概 念 卻在小學一年級時才開始 例如學童要能辨識正方形 長方形 三角 形與圓形 在圖形與生活結合的部分 學童會說三角形像是御飯團 長方 形像電視或是電冰箱 正方形像蘇打餅乾 圓形就是一塊錢 等 這些 圖形都與學童的生活密切相關 圖形概念與生活的連結 到底有何關聯 教師如何讓學童應用課本的 圖像知識到生活中 在高年級時 為了能讓學童進行連結 會要求學童將 教室的大小 依比例繪製在一張紙上 甚至要求學童對教室空間進行繪 製 讓他們將黑板 門窗 書櫃等物品均描繪清楚 即使這是空間設計的 概念 或許教師認為這樣的設計概念太難 但是學童的縮圖與比例尺概 念 在經過比例的換算過程後 才能應用到生活上

336 幾 何 概 念 在 學 童 的 學 習 概 念 發 展 中, 其 實 是 相 當 抽 象 的, 例 如 在 小 學 階 段, 會 要 求 學 童 畫 透 視 圖 正 方 體 的 展 開 圖 ; 要 求 學 童 計 算 複 合 圖 形 的 概 念 ; 也 要 求 學 童 對 縮 圖 比 例 尺 要 能 了 解 在 國 中 階 段 的 尺 規 作 圖 全 等 三 角 形 及 圖 形 相 關 的 證 明, 均 與 圖 形 相 關 甚 至, 到 了 高 中 階 段 的 三 角 函 數 微 積 分 概 念 等, 都 與 幾 何 空 間 概 念 有 關 如 何 運 用 適 當 的 教 學 設 計, 來 協 助 學 童 在 此 一 階 段 的 發 展, 是 教 師 在 專 業 上 的 責 任 幾 何 概 念 對 學 童 未 來 的 生 活 應 用, 有 相 當 的 影 響, 例 如 學 童 對 於 空 間 的 配 置 對 於 形 體 的 描 繪 對 於 方 向 概 念 的 掌 握 等, 均 為 幾 何 的 應 用 要 能 促 進 學 童 對 於 幾 何 空 間 的 了 解, 教 師 要 能 在 課 堂 上 使 用 輔 具 幫 助 學 童 理 解, 例 如 用 扣 條 進 行 不 同 邊 形 的 平 面 與 立 體 操 作, 甚 至 三 角 形 全 等 概 念 的 發 現 ; 用 釘 板 進 行 幾 何 圖 形 的 設 計 ; 用 方 形 智 慧 片 進 行 展 開 圖 的 實 作 ; 應 320 用 直 尺 與 圓 規 讓 學 童 進 行 思 考 與 實 作 等, 這 些 教 學 輔 具 的 應 用 需 要 確 實, 學 童 在 空 間 概 念 的 學 習 才 能 漸 漸 穩 固 學 童 在 學 習 幾 何 概 念 時, 會 有 明 顯 的 個 別 差 異, 例 如 有 些 學 童 能 很 快 就 發 現 對 稱 關 係, 或 是 物 體 翻 轉 的 圖 形, 但 是 有 些 學 童 就 需 要 花 較 久 的 時 間, 這 或 許 與 學 童 先 前 的 學 習 經 驗 有 關, 但 也 可 能 與 學 童 對 圖 形 的 敏 感 度 有 關 教 師 要 能 對 學 童 在 幾 何 概 念 上, 所 可 能 出 現 的 困 難 預 做 準 備, 能 解 決 學 童 在 學 習 幾 何 的 困 難 教 師 對 於 國 小 至 國 中 的 幾 何 空 間 概 念, 要 能 有 一 貫 的 認 識, 對 於 重 要 的 幾 何 概 念, 要 能 使 學 童 具 備 下 列 的 能 力 ( 教 育 部,2009)

337 . 對 於 平 面 圖 形 ( 如 : 三 角 形 與 四 邊 形 的 類 型 ), 能 加 以 辨 識, 並 對 於 這 些 圖 形 的 特 徵, 能 描 述 與 進 行 分 類 國 中 階 段, 學 童 要 能 應 用 三 角 形 的 邊 角 概 念, 證 明 三 角 形 的 全 等 概 念 ; 運 用 四 邊 形 的 特 徵, 了 解 四 邊 形 的 從 屬 關 係, 例 如 正 方 形 為 長 方 形 的 一 種 特 例 長 方 形 為 平 行 四 邊 形 的 特 例 等 2. 對 於 平 面 圖 形, 放 大 圖 與 縮 小 圖 的 比 例 概 念, 要 有 應 用 與 繪 製 的 能 力 3. 對 於 平 面 圖 形 的 對 稱 概 念 ( 如 : 對 稱 軸 對 稱 點 ), 要 能 依 對 稱 軸 與 對 稱 點 描 繪 出 相 對 應 的 圖 形 4. 對 於 立 體 圖 形, 例 如 錐 體 與 柱 體 等, 能 對 其 特 徵 進 行 描 述 與 分 類 ; 對 於 錐 體 與 柱 體 的 展 開 圖 與 透 視 圖, 要 有 描 繪 的 能 力 5. 對 於 垂 直 與 平 行, 在 國 小 的 學 童 要 能 用 三 角 板 與 圓 規 做 垂 直 與 平 行 線, 而 在 國 中 的 學 童 則 要 能 用 圓 規 做 出 中 垂 線 等 再 者, 對 於 兩 線 平 行 之 同 位 角 內 錯 角 的 應 用 概 念, 也 要 能 有 深 入 的 了 解 6. 對 於 圖 形 教 學 所 需 的 教 具, 例 如 六 形 六 色 扣 條 智 慧 片 七 巧 32 板 五 方 連 塊 古 氏 積 木 等, 學 童 要 能 有 操 作 與 練 習 的 機 會, 才 能 加 深 對 於 圖 形 概 念 的 建 立

338 以 下 依 幾 何 空 間 概 念 的 學 習 與 教 學 兩 方 面, 來 進 行 論 述 322 可 從 Piaget 與 Inhelder(967) 的 認 知 發 展 概 念, 以 及 Van Hiele (986) 的 幾 何 概 念 發 展 理 論 等 文 獻 發 現, 學 童 對 幾 何 概 念 的 學 習 ( 一 ) 與 ( ) 的 認 知 發 展 概 念 Piaget 與 Inhelder 將 空 間 概 念, 分 為 知 覺 層 次 與 概 念 層 次 兩 部 分, 知 覺 層 次 是 經 由 感 官 的 方 式 進 行 學 習 ( 如 : 視 覺 與 觸 覺 等 兩 種 ), 而 概 念 層 次 則 是 經 由 思 考 與 想 像 來 學 習 知 覺 層 次 知 覺 的 發 展, 可 依 年 齡 分 為 以 下 三 個 層 次 :. 2 至 4 歲 : 能 辨 別 封 閉 圖 形 與 非 封 閉 圖 形 學 童 對 實 物 的 周 界 能 用 探 索 與 比 較 的 方 式, 來 比 較 它 們 的 封 閉 性 與 分 離 性, 但 仍 無 法 區 別 正 方 形 三 角 形 的 不 同

339 2. 4 至 6 歲 : 能 辨 認 幾 何 圖 形, 能 區 別 直 線 與 曲 線 的 不 同, 但 仍 未 能 區 別 正 方 形 與 長 方 形, 圓 形 與 橢 圓 形 的 不 同 3. 7 歲 : 有 能 力 辨 認, 如 長 方 形 正 方 形 梯 形 等 封 閉 式 圖 形 概 念 層 次 概 念 發 展, 可 依 年 齡 分 為 以 下 四 個 層 次 :. 3 歲 以 下 : 畫 圖 的 塗 鴉 階 段 2. 3 至 4 歲 : 能 區 別 封 閉 與 非 封 閉 圖 形, 能 畫 出 非 封 閉 圖 形 3. 4 至 8 歲 : 能 區 別 直 線 與 曲 線 圖 形, 能 區 別 正 方 形 長 方 形 圓 形 與 橢 圓 形 的 不 同, 也 能 畫 出 這 些 封 閉 圖 形 4. 6 至 7 歲 : 能 畫 出 如 菱 形 等 封 閉 圖 形, 對 形 狀 的 了 解, 以 達 到 心 智 發 展 的 運 思 層 次 Piaget 與 Inhelder 的 發 現, 對 於 學 童 在 透 視 展 開 的 空 間 能 力 部 分 未 能 顯 現, 但 在 幼 兒 至 8 歲 的 圖 形 認 知 概 念, 已 有 相 當 的 貢 獻 323 ( 二 ) ( ) 的 幾 何 概 念 發 展 理 論 Van Hiele 提 出 了, 視 覺 概 念 發 展 的 五 個 思 考 層 次, 分 別 為 視 覺 層 次 (visual Level) 描 述 分 析 層 次 (the descriptive-analytic level) 非 形 式 歸 納 層 次 (relation or informal deduction level) 形 式 歸 納 層 次 (formal deduction level), 以 及 嚴 密 性 (rigorous or axiomatic level) 或 公 理 性 層 次 等 視 覺 層 次 此 階 段, 學 童 可 從 生 活 環 境 中 連 結 對 圖 形 的 認 識, 例 如 學 童 知 道 正 方 形 長 方 形 三 角 形 與 圓 形 等 圖 形 ( 如, 且 會 從 生 活 中 發 現, 桌 子 故 事 書 冰 箱 停 車 格 等 都 是 長 方 形 ; 小 白 積 木 色 紙 都 是 正 方 形 ;

340 時 鐘 是 圓 形 ; 交 通 號 誌 是 三 角 形 等 若 給 學 童 一 張 白 紙, 學 童 即 能 畫 出 類 似 的 圖 形, 但 學 童 對 於 正 方 形 長 方 形 三 角 形 與 圓 形 的 特 性, 並 沒 有 深 入 的 了 解, 例 如 長 方 形 與 正 方 形 均 有 四 個 直 角, 以 及 兩 對 邊 相 互 平 行 等 圖 3- 三 角 形 正 方 形 長 方 形 與 圓 形 324 描 述 分 析 層 次 此 層 次 是 幾 何 分 析 的 開 始, 學 童 經 由 觀 察 能 發 現 圖 形 的 特 徵, 例 如 學 童 能 發 現 正 方 形 的 特 徵 為 四 邊 等 長 四 個 直 角 對 角 線 相 互 垂 直 平 分 可 切 割 出 四 個 等 腰 直 角 三 角 形 面 積 為 邊 長 乘 邊 長 等, 但 是 學 童 不 能 理 解 正 方 形 為 菱 形 的 一 種, 正 方 形 一 定 是 菱 形, 菱 形 不 一 定 是 正 方 形 ; 長 方 形 是

341 平 行 四 邊 形, 平 行 四 邊 形 不 一 定 是 長 方 形 的 推 理 與 邏 輯 關 係 此 層 次 的 學 童, 在 教 學 上 應 使 用 釘 板 與 扣 條, 以 協 助 學 童 在 圖 形 特 徵 的 辨 識 與 了 解 非 形 式 演 繹 層 次 在 這 個 層 次 的 學 童, 能 認 識 圖 形 的 特 徵, 可 以 用 這 些 特 定 的 特 徵, 來 描 述 定 義 這 些 圖 形, 以 建 立 圖 形 相 互 的 內 在 關 係, 例 如 平 行 四 邊 形 的 對 角 相 等 ; 又 如, 正 方 形 是 長 方 形 的 一 種, 因 為 正 方 形 滿 足 長 方 形 的 特 性, 因 為 兩 對 邊 平 行 且 相 等, 四 個 角 均 為 直 角, 從 這 些 條 件 中, 他 們 能 夠 歸 納 出 圖 形 的 屬 性 在 教 學 應 用 上, 教 師 可 提 點 部 分 圖 形 的 特 徵, 例 如 對 角 線 可 相 互 垂 直 平 分, 請 問 符 合 這 個 條 件 的 圖 形 有 哪 些? 可 讓 學 童 產 生 對 圖 形 歸 納 的 思 考 模 式 但 是 在 此 層 次, 學 童 不 能 歸 納 或 證 明 這 些 定 義, 例 如 國 二 學 童 要 做 中 垂 線, 需 於 線 上 不 同 的 A B 兩 點 為 圓 心, 取 相 同 半 徑 做 出 兩 相 交 的 圓 弧, 相 交 的 兩 點 相 連 結, 即 為 中 垂 線 學 童 對 此 方 式, 只 能 做 出 步 驟 性 的 操 作, 但 不 了 解 其 緣 由 325 形 式 演 繹 層 次 此 層 次, 學 童 有 能 力 了 解 數 學 公 式 與 定 理 的 關 係, 可 用 邏 輯 證 明 的 方 式, 來 證 明 相 關 的 定 理, 例 如 上 述 的 作 圖 證 明, 學 童 了 解 中 垂 線 的 意 義, 了 解 為 什 麼 要 從 A B 兩 點 做 圓 弧 相 互 交 會, 因 為 可 形 成 一 菱 形, 菱 形 的 特 徵 即 為 對 角 線 相 互 垂 直 平 分, 四 個 邊 均 等 長, 學 童 能 了 解 中 垂 線 的 原 理 並 進 而 證 明, 對 此 概 念 有 更 深 入 的 認 識 嚴 密 性 或 公 理 性 層 次 此 層 次 的 學 習 者, 能 進 行 各 種 不 同 公 設 系 統, 包 括 非 歐 幾 里 德 幾 何 (Non-Euclidean Geomethy) 與 歐 幾 里 德 幾 何 (Euclidean Geomethy) 的 差 異 比 較 與 推 理 這 時 期 的 數 學 專 家, 有 能 力 建 立 一 套 嚴 密 的 幾 何 系 統, 可 以 在 不 同 的 系 統 間 建 立 定 理 分 析 並 比 較 這 些 系 統 性 的 差 異 此 層 次 一 般

342 人 不 太 容 易 達 到, 即 使 身 為 數 學 的 專 業 學 者 也 不 太 容 易 達 到 對 於 幾 何 概 念 學 習 的 重 要,UsisKin(987) 做 了 一 些 說 明, 如 果 國 小 學 校 課 程 沒 有 幾 何 學 課 程, 將 導 致 學 童 進 入 高 中 之 後 沒 有 足 夠 的 幾 何 學 知 識, 來 銜 接 高 中 幾 何 課 程 Porter(989) 提 及, 由 於 教 師 對 四 年 級 至 五 年 級 的 學 童, 因 為 沒 有 花 很 多 時 間 仔 細 教 導 幾 何 學 課 程, 甚 至 在 教 課 的 時 候, 都 把 幾 何 學 當 成 一 種 展 示, 或 是 只 教 導 一 些 片 面 的 知 識, 學 童 在 沒 有 進 行 實 際 操 作 的 過 程, 所 以 對 於 空 間 幾 何 概 念 的 發 展 是 薄 弱 的 又, 因 為 老 師 應 用 傳 統 式 的 教 學 方 法, 讓 學 童 背 誦 一 些 形 狀 ( 如 : 展 開 圖 的 形 狀 ), 使 學 童 在 幾 何 概 念 的 層 次 上, 還 停 留 在 空 間 概 念 上 的 第 一 或 第 二 層 次 (e. g., Bruni & Seidenstein, 990; Fuys & Liebov, 993) 所 以, 如 何 協 助 學 童 進 行 發 現, 並 歸 納 幾 何 326 圖 形 的 特 徵, 才 是 關 鍵 學 童 在 學 習 幾 何 空 間 概 念 時, 會 發 生 一 些 錯 誤 的 想 法 以 下, 歸 納 一 些 學 童 在 學 習 幾 何 概 念 時, 常 見 的 迷 思 :. 正 方 形 與 菱 形 不 同, 不 認 為 正 方 形 是 菱 形 的 一 種 2. 正 方 形 要 放 平 的, 放 成 斜 的 就 是 菱 形 3. 長 方 形 與 平 行 四 邊 形 面 積 不 同 4. 平 行 四 邊 形, 較 長 的 一 邊 要 置 於 水 平 ; 若 是 將 短 的 一 邊 置 於 水 平, 就 認 不 出 是 平 行 四 邊 形 5. 梯 形 一 定 是 等 腰 梯 形 6. 如 果 一 個 圖 形 是 四 邊 等 長, 一 定 是 正 方 形 7. 三 角 形 一 定 是 正 三 角 形 8. 箏 形 的 兩 對 邊 平 行

343 學童會出現上述的迷思概念 是因為沒有實際操作與比較的結果 教 師需將教學活動落實 才能讓學童對三角形 四邊形有深入的了解 肆 空間幾何的教學活動 於空間幾何的學習部分 於小學一年級至國中 於不同年級的空間幾 何概念均有涉略 以下依平面圖形 立體圖形 平行與垂直等 進行論 述 一 平面圖形 平面圖形可分平面圖形的分類與製作 平面圖形的特徵 對稱與圖形 特性關係等 一 平面圖形的分類與製作 像的連起來 活動二 請同學找找看 一樣的形狀 活動一 連連看 連連看 形狀很像的連起來 chapter 3 幾何與空間概念 平面圖形的分類與製作是在小學一年級 如活動一 請同學將形狀很 327

344 國小數學教材教法 活動二 找找看 找找看 一樣的形狀打 探究式教學 328 活動三與活動四 在小學一年級時 可進行平面圖形的製作 如可用 釘板與扣條做出平面圖形 活動三 做出形狀 請用釘板 把下面的形狀做出來 該怎麼做呢

345 活動四 用扣條 請用扣條 把下面的形狀做出來 該怎麼做呢 活動五與活動六 於小學一年級 可用六形六色的教具 將梯形與平 行四邊形拼出一更大的圖形 於小學六年級時 會要求學童用手繪出放大 圖 如活動七 活動五 做梯形 請用4片梯形 拼出一個較大的梯形 你還可以拼出更大的梯形 嗎 329 請用4片菱形 拼出一個較大的菱形 你還可以拼出更大的菱形 嗎 chapter 3 幾何與空間概念 活動六 做菱形

346 330

347 活動七 放大鏡 請在格子中畫出下面原始圖形的2倍放大圖 並標示出其放大圖之 對應點 對應邊及對應角 原紿圖 2倍放大圖 Ｄ L Ｅ K G Ｆ H M N Ａ Ｂ C I J 二 平面圖形的特徵. 三角形的類別 從邊長來分 可分正三角形 等腰三角形與任意三 角形 此部分概念於小學四年級時 即會介紹 若是從角度來分 可分為直角 銳角與鈍角三角形三種 如活動八 亦可使用扣條來 製作這些三角形與四邊形 如活動九 於活動十 可讓學童經由扣 條的使用 發現三角形的條件需為兩邊和大於第三邊的概念 活動八 三角形家族 三角形家族是很有系統的喔 請畫出每一個三角形 他們的特徵是什麼呢 chapter 3 幾何與空間概念 於平面圖形的特徵部分 可從三角形 四邊形分別論述 33

348 國小數學教材教法 特徵 正三角形 三個邊一樣長 三個角一樣大 探究式教學 直角三角形 三個邊不一樣長 有一個直角 另外二個角加起來 是90度 等腰三角形 有二個邊一樣長 有個角一樣大 等腰 直角三角形 332 畫畫看 有二個邊一樣長 有一個直角 另外二個角都是45 度 銳角三角形 三個邊不一樣長 三個角都小於90度 鈍角三角形 三個邊不一樣長 有一個角大於90度 活動九 扣條做形狀 這些形狀 可以使用哪些扣條來做呢. 正方形 2. 長方形 3. 三角形

349 活動十 做形狀 這些扣條可以做出什麼形狀 三角形 無 大於 重疊線 三角形 2. 四邊形 在小學四年級時 有關四邊形的概念 學童需要了解正 方形 長方形 菱形 箏形 梯形 平行四邊形的概念 如活動 十一 可讓學童發現這些圖形相互間的特性 活動十一 四邊形 每個四邊形之間都有一點的親戚關係 因為它們之間有部分相似的 形狀 2對對邊 分別等長 4個邊相等 正方形 長方形 菱形 對對邊相 等 邊都不等長 箏形 平行四邊形 四邊形 等腰梯形 chapter 3 幾何與空間概念 地方 你知道是什麼地方嗎 333

350 在 國 中 時, 學 童 對 這 些 四 邊 形 的 屬 性 關 係, 要 能 有 更 扎 實 的 了 解, 對 於 不 同 圖 形 的 特 徵, 要 能 清 楚 的 認 識, 如 下 圖 所 示 從 下 圖 中 可 以 看 出, 四 邊 形 可 分 沒 有 對 邊 平 行, 例 如 箏 形 與 任 意 四 邊 形 等 ; 一 組 對 邊 平 行, 例 如 梯 形 ; 二 組 對 邊 平 行, 例 如 平 行 四 邊 形 矩 形 或 長 方 形 正 方 形 菱 形 等 長 方 形 為 平 行 四 邊 形 的 一 種, 因 有 四 個 直 角, 正 方 形 為 長 方 形 的 一 種, 因 為 四 邊 等 長 且 有 四 個 直 角, 正 方 形 亦 為 菱 形 的 一 種, 因 為 四 邊 等 長 學 童 要 能 理 解 並 能 畫 出 四 邊 形 的 從 屬 關 係, 才 能 對 四 邊 形 的 特 徵 有 充 分 的 了 解 梯 形 平 行 四 邊 形 長 方 形 正 方 形 菱 形 334 四 邊 形 箏 形

351 三 對稱 對稱概念是在五年級 學童需找出各種圖形的對稱軸 如活動十二 畫出線對稱的另一半圖形 如活動十三 點對稱圖形 如活動十四 活動十二 對稱軸 小山蒐集了各式各樣的剪紙圖騰 從這些圖騰中 你可以畫出對稱 軸嗎 335 chapter 3 幾何與空間概念

352 國小數學教材教法 探究式教學 336 活動十三 對稱圖形 小山剪好了圖騰 放在桌上還沒有打開 只看到了一半的圖騰 幫 忙把另一半圖騰畫出來吧 活動十四 對稱點 請把下面點對稱圖形畫出來

353 四 圖形特性關係 圖形特性關係 即為從圖形中尋找規律的特性 會於四至五年級進行 教學 如活動十五 活動十五 規律三角形 下面的三角形 有規律地排列著 第5個三角形會有幾個小三角形 呢 第3個 第4個 第5個 有 個 有 個 第2個 第個 有個 有4個 有9個 337 立體圖形可分為為錐體與柱體的分類及立體圖形的展開圖與透視圖 等 一 柱體與錐體的分類 在四年級時 學童即會對柱體和錐體進行分類 如活動十六 chapter 3 幾何與空間概念 二 立體圖形

354 國小數學教材教法 活動十六 角椎與角柱 大寶班上有些同學沒有把交換禮物的規則看清楚 不小心包成了其 他的盒子 請你猜猜看 他們包的是什麼形體盒子呢 探究式教學 我猜它是 我猜它是 我猜它是 我猜它是 四角錐 五角錐 六角柱 四角錐 我猜它是 八角錐 338 我猜它是 我猜它是 八角柱 六角錐 大家包的禮物 如果要分成兩類 可以怎麼分類呢 錐體 柱體 二 立體圖形的展開圖與透視圖 五年級時 學童要能對正立方體展開圖 能有所認識 其中正方體展 開圖的十一種方式 同時有二十四種方式不能成為正立方體展開圖 為 活動十七 透視圖於活動十八 於六年級 會介紹剖面的關係 如活動 十九

355 活動十七 展開圖. 連連看 找出下列立體圖形的展開圖 請畫出正立方體的展開圖 式 () 可組成正方體的展開方式 chapter 3 幾何與空間概念 以下為正立方體的種展開圖與24種不能形成立體的組合方

356 (2)

357 活動十八 透視圖 畫出長3cm的正立方體透視圖 A ㄅ ㄆ ㄈ ㄉ B ㄇ C ㄌ ㄊ ㄋ 活動十九 剖面圖 畫出下列形體的剖面 34 平行與垂直的概念在小學二年級時 即開始進行教學 學童要能觀察 生活中平行與垂直的概念 學童要能從生活中看出那些物品有相互平行與 垂直的關係 如活動二十 於四年級時 學童要能做出平行與垂直線 如 活動二十一 chapter 3 幾何與空間概念 三 平行與垂直

358 國小數學教材教法 活動二十 垂直和平行. 哪些圖形有垂直和平行的特性 探究式教學 () (2) (3) (4) (5) (6) 2. 有垂直特性的圖形是 3. 有平行特性的圖形是 活動二十一 做垂直和平行 原來教室中有那麼多垂直和平行的地方 下面的問題請你試試看 342 哦. 如何從線上一點作出互相垂直的直線呢 2. 如何從線的一點作出相互垂直的直線呢

359 3. 如何畫出兩條垂直的直線呢 伍 幾何空間的教學與學習叮嚀 幾何空間的教學 要從生活中觀察形體 接著是複製形體 然後是解 構形成要素 最後拼疊做出形體 所以 從幼兒開始 在馬路上 街道 公共場所 就可分別指認這是圓形 這是正方形 這是三角形 343 或者讓孩子在報章雜誌辨認各種圖形 這是觀察與辨認的階段 讓學童 頂點珠 智慧片 拼出形體 不但是在做形體 同時也在建構形體的組 成要素 這就是製作形體的階段 有了這些階段的實際經驗與覺察 又 透過輔具的實際操作 學童對幾何圖形的了解就很具體 幾何空間的學習 感到最困難的 應該是形體的包含問題 複合形體 面積的計算 面積與體積的公式背誦 等 事實上 這些困難全源自於 具體操作與繪製圖形的經驗不足 如果能夠透過七巧板的拼圖 提供等積 異形的經驗 那學童對複合形體的拆解與面積公式就能理解 又 如果能 夠透過扣條 頂點珠的操作 那對形體的包含關係就能充分理解 繪圖的教學 其實很重要 譬如全等圖形 要辨認兩個全等圖形其對 應邊與對應角 若經過繪製 剪下 轉動不同方向 擺放在黑板上 再讓 chapter 3 幾何與空間概念 拿著圓筒底部 照著描繪出來 就是複製形體階段 讓學童利用扣條

360 學 童 說 出 對 應 邊 與 對 應 角, 就 容 易 多 了, 否 則 有 些 幾 何 空 間 能 力 較 弱 或 經 驗 不 足 的 學 童, 經 常 會 混 淆 無 法 辨 識 ; 又 如, 三 角 形 與 四 邊 形 的 分 類 命 名, 若 讓 學 童 先 畫 出 各 種 三 角 形 與 四 邊 形, 一 方 面 透 過 繪 製 了 解 其 特 性, 一 方 面 剪 下 後 經 轉 向, 那 學 童 對 三 角 形 與 四 邊 形 的 形 體 就 不 會 陷 入 僵 化, 其 形 體 更 多 元 與 多 變, 要 對 摺 要 拼 貼 要 拆 解 都 比 較 方 便 我 們 一 起 來 檢 視 生 活 中, 學 童 的 幾 何 空 間 經 驗 究 竟 如 何?. 閉 著 眼 睛, 在 紙 上 用 筆 畫 出 圓 畫 出 的 圓 是 圓 嗎? 2. 睜 開 眼 睛, 在 紙 上 用 筆 畫 出 圓 畫 出 的 圓 是 圓 嗎? 3. 怎 樣 才 是 圓? 344 您 對 幾 何 空 間 的 認 知, 原 本 以 為 是 什 麼? 有 哪 些 相 關 內 容? 最 感 困 難 的 是 哪 個 部 分? 不 同? 現 在 您 對 幾 何 空 間 的 認 知, 有 哪 些 感 到 訝 異 的? 和 您 原 本 的 認 知

361 345 6

362 國小數學教材教法 探究式教學 利用色紙或白紙,以七巧板 的方式拼出等積異形 可拼出長方形 正方 形 三角形 平行四邊 形與梯形 陸 教學法寶 346 幾何空間 的學習 從察覺到複製與作圖來幫助孩子建立形體的構 成要素與特性 提供一些教學法寶 如下表 教具或活動 扣條頂點珠 智慧片 學習目的 活動方式.理解三角形 與四邊形的 構成要素 2.察覺三角形 與四邊形命 名的分類 3.理解正方體 與長方體的 構成要素.每組一包扣條 或頂點珠 2.各組拼出各種不同的三角形 3.分類 有哪些不同的三角形 怎麼 分類 依角度 邊長 4.各組拼出各種不同的四邊形 5.分類-有哪些不同的四邊形 怎麼分 類 依角度 邊長 6.各組拼出正方體 如何拼出正方 體 7.各組拼出長方體 如何拼出長方 體.經驗錐體與 柱 體 的 構 成.各組一包智慧片 2.每人拼出正方體 3.每人拼出長方體

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365 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 Bruni, J. V., & Seidenstein, R. B. (990). Geometric concepts and spatial sense. In J. Payne (Ed), Mathematics for the young child (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Fuys, D. J., & Liebov, A. K. (993). Geometry and spatial sense. In R. J. Jensen (Ed.), Research Ideas for the classroom: Early childhood mathematics (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Piaget, J.,& Inhelder, B. (967). The child' s conception of geometry. New York: Basic Books. Porter, A. (989). A curriculum out of balance: The case of elementary school mathematics. Educational Researcher, 8, 9-5. van Hiele, P. M. (986). Structure and insight. Orlando, FL: Academic Press. Usiskin, Z. (987). Resolving the continuing dilemmas in school geometry. In M. M.

366 Lindquist & A. P. Shulte (Eds), Learning and teaching geometry, K-2, 987 yearbook (pp.7-3). Reston, VA: Nation Council of Teachers of Mathematics. 350

367 Chapter 4 量 與 實 測 量 與 實 測 可 設 計 為 有 趣 的 教 學 課 程, 還 記 得 曾 帶 領 過 四 年 級 學 童 測 量 跑 道 有 多 長 時, 在 大 太 陽 底 下, 每 組 在 測 量 跑 道 時, 辛 苦 與 具 成 就 感 的 表 情 學 童 拿 著 條 不 知 道 長 度 的 尼 龍 繩, 除 了 要 先 量 出 繩 子 的 長 度 外, 再 將 跑 道 的 長 度 量 出 學 校 總 共 有 6 條 跑 道, 每 組 量 2 條, 總 共 有 6 組, 每 組 跑 道 就 會 出 現 兩 種 結 果, 若 是 哪 一 組 所 量 的 跑 道 出 現 很 大 的 誤 差, 就 會 被 老 師 要 求 重 測 量 跑 道 是 一 重 要 的 實 作 課 程, 因 為 學 童 可 從 測 量 跑 道 的 過 程 中, 了 解 跑 道 的 長 度 約 有 200 公 尺, 越 外 圍 的 跑 道 長 度 越 長, 越 內 圈 的 跑 道 長 度 越 短 在 測 量 過 程 同 學 們 要 能 相 互 合 作, 例 如 5 人 一 組 進 行 測 量, 需 要 有 人 記 錄 量 了 幾 次, 因 為 跑 道 是 彎 的, 所 以 有 3 位 學 童 需 要 蹲 下 來 將 繩 子 固 定, 才 能 精 準 的 測 量, 最 後 人 要 能 協 助 同 學 或 協 助 記 錄, 若 是 同 學 需 要 替 換 亦 可 ; 又 由 於 太 陽 很 大, 要 如 何 快 速 量 完, 又 不 失 精 準, 需 要 大 家 一 起 完 成 學 童 在 測 完 一 次 後, 可 以 想 想 如 果 不 用 從 頭 到 尾 測 量 一 次, 又 可 以 如 何 進 行 測 量 呢? 除 了 讓 學 童 量 跑 道 外, 我 也 會 讓 學 童 量 學 校 圍 牆 通 常 學 童 量 完 跑 道 後, 會 說 : 要 再 量 一 次 嗎? 我 說 : 如 果 你 們 不 想 再 量 一 次, 就 要 思 考 策 略 接 著 我 會 問 : 你 們 看 到 什 麼? 記 得 有 一 位 學 童 說 : 我 什 麼 都 沒 看 到! 我 說 : 很 好, 但 這 個 答 案 對 你 們 解 決 問 題 沒 有 幫 助! 接 著 我 繼 續 問, 學 童 回 答 說 : 我 看 到 旁 邊 有 樹 又 有 一 位 說 : 我 看 到 圍 牆 的 一 根 根 柱 子 又 一 位 說 : 我 看 到 了 停 車 格 我 回 答 說 : 那 你 們 知 道 要 怎 麼 量 圍 牆 了 嗎?

368 國小數學教材教法 小明在家中對量感很有感覺 每次媽媽問 剩下的湯要用哪一種容 器來裝 小明都能很快地找出適當的容器 而且都剛剛好可以裝得下 有一天 小明不在家 媽媽就多洗了一個鍋子 你知道媽媽可能缺乏什 麼概念嗎 為什麼 小珍剛買了一輛車 在倒車時 因為不曉得車庫的距離 就請小明 探究式教學 幫忙 小明可以把倒車的距離量得剛剛好 有一天 小明不在 小珍自 己倒車 就撞到了車庫 你覺得小珍可能缺乏什麼概念呢 猜猜看 學童在實測的過程中 實做是很重要的 實做不僅可讓孩子加深印 象 而徹底建立學童測量的概念 更可讓他們身歷其境的面對問題 解決 問題 學習數學的目的 即是要能讓學童解決生活的問題 不是嗎 壹 前瞻 量與實測的範圍相當廣泛 舉凡重量 容量 時間 長度 面積 體 352 積 角度等等 這與生活上可以量測的事物 有密切相關 量與實測的關 鍵在於小學一至六年級的學習 要能真正落實在量的估測與實測 在學校 很多的事物都能激發學童的好奇心與求知慾 如何結合學校 環境與教學目標 進行單元設計則是很重要的課題 而量與實測的應用則 是最容易結合的 量與實測的概念 可應用於複雜的測量 學童要能培養 敏銳的觀察力 而上述量圍牆的例子 就是要能培養出估測的能力 例如 教室到門口多遠 大概會花多久時間 最後 要能建立學童對時間管理的 能力 學童在進行量與實測的學習活動時 必要的用具有皮尺測量長度 量 杯測量容量 天秤測量重量 體積要用古氏積木或千格板 時間要用時 鐘 角度要用量角器等等 這些教具的準備與操作 是讓學童具備量感能 力的重要工具

369 教 師 在 進 行 量 與 實 測 的 教 學 概 念 時, 要 給 學 童 時 間 來 進 行 量 測 活 動 ; 學 童 在 進 行 量 測 活 動 時, 要 能 思 考 出 策 略, 思 考 出 分 工 的 細 節, 要 用 什 麼 工 具 來 測 量, 如 何 確 定 結 果 是 精 準 的, 而 不 只 是 停 留 在 紙 筆 上 的 操 作 教 師 位 於 協 助 的 立 場, 提 出 暗 示 與 線 索, 協 助 學 童 解 決 問 題, 在 學 童 的 結 果 有 錯 的 時 候, 提 出 一 些 問 題, 協 助 釐 清, 學 童 在 這 些 學 習 過 程 中, 才 會 建 立 他 們 的 知 識 架 構 教 師 要 能 對 於 國 小 至 國 中 的 幾 何 空 間 概 念, 要 能 有 一 貫 的 認 識, 對 於 重 要 的 幾 何 概 念, 使 能 具 備 下 列 的 能 力 :. 對 於 長 度 的 估 測 與 實 測, 要 能 運 用 學 校 的 環 境 進 行 設 計 2. 對 於 平 面 圖 形 的 周 長 與 面 積, 例 如 梯 形 箏 形 菱 形 平 行 四 邊 形 等 面 積 公 式 的 源 由, 要 能 了 解 並 證 明 對 於 圓 半 徑 圓 心 與 圓 面 積 圓 周 的 概 念, 學 童 要 能 了 解 圓 周 率 π 的 意 義, 並 能 解 決 複 合 圖 形 面 積 的 問 題 在 國 中 時, 學 童 要 能 對 於 圓 周 角 切 線 等 其 他 有 關 於 圓 形 的 應 用 與 證 明, 要 能 有 更 為 深 入 的 認 識 4. 對 於 立 體 圖 形 及 複 合 性 的 立 體 圖 形, 要 能 對 體 積 與 表 面 積 概 念 有 清 楚 的 認 識 5. 對 於 多 邊 形 的 角 度, 例 如 三 角 形 四 邊 形 五 邊 形, 甚 至 多 邊 形 的 內 角 和 公 式, 要 能 了 解 其 源 由 並 證 明 6. 對 於 時 間 概 念 的 估 測, 時 間 的 運 算 都 能 有 清 楚 的 了 解 與 認 識 7. 對 於 重 量 的 估 測 與 實 測, 能 有 清 楚 的 了 解, 並 能 了 解 重 量 單 位 的 換 算

370 8. 對 於 容 量 的 估 測 與 實 測, 能 有 清 楚 的 了 解, 並 能 了 解 容 量 單 位 的 換 算 9. 對 於 測 量 所 需 之 教 具, 例 如 皮 尺 天 秤 量 角 器 量 杯 時 鐘 古 氏 積 木 等, 學 童 要 能 有 操 作 與 練 習 之 機 會, 才 能 加 深 對 於 圖 形 概 念 之 建 立 九 年 一 貫 數 學 領 域 的 量 與 實 測, 可 分 為 長 度 面 積 體 積 容 量 重 量 角 度 與 時 間 ( 教 育 部,2009), 相 對 於 之 前 82 年 的 數 學 綱 要 少 了 錢 幣 和 速 度 兩 種 ( 教 育 部,993), 錢 幣 較 偏 向 數 的 概 念, 而 速 度 較 偏 向 於 正 反 比 概 念 上 列 的 數 學 領 域 中, 除 時 間 量 較 為 抽 象 外, 其 他 均 為 可 觀 察 到 的 具 體 量 部 分 354 美 國 NCTM 課 程 標 準 在 幼 稚 園 到 國 小 四 年 級 的 測 量 課 程 中, 對 於 測 量 的 課 程 提 出 四 項 建 議 ( 謝 如 山 等 譯,2003):() 理 解 各 種 量 的 屬 性 ;(2) 發 展 測 量 的 過 程 及 測 量 的 相 關 概 念 ;(3) 有 效 使 用 估 測 ;(4) 有 效 的 使 用 測 量 法 來 解 決 問 題 及 日 常 生 活 狀 況 Piaget Inhelder 與 Szeminska(960) 對 於 長 度 面 積 容 量 和 重 量 等 概 念 所 做 的 研 究, 將 學 童 的 測 量 概 念 歸 納 出 以 下 的 三 個 階 段 階 段 一 : 學 童 於 4 至 4.5 歲, 傾 向 於 使 用 直 觀 的 視 覺 比 較, 即 直 接 比 較 的 方 法, 即 視 覺 是 唯 一 的 比 較 策 略 階 段 二 : 學 童 於 4.5 歲 至 7 歲, 於 測 量 過 程 中 傾 向 移 動 物 體, 或 用 手 輔 助 視 覺 的 測 量 方 式, 或 是 用 一 些 簡 單 的 物 品 來 輔 助 測 量, 例 如 鉛 筆 手 的 長 度 等 階 段 三 : 學 童 於 7 至 8 歲, 他 們 傾 向 於 使 用 共 同 的 物 品 來 進 行 測 量, 例

371 如 古 氏 數 棒 來 重 複 測 量, 即 間 接 測 量 的 概 念 以 下 依 長 度 面 積 體 積 容 量 重 量 角 度 與 時 間 等 七 個 概 念, 分 別 論 述 之 長 度 的 教 學 目 標 在 一 年 級 時, 會 先 引 入 誰 比 較 長 的 直 接 比 較 概 念 ; 二 年 級 會 介 紹 公 分 與 公 尺 ; 三 年 級 會 介 紹 毫 米 公 分 與 公 尺 的 關 係 ; 四 年 級 會 介 紹 公 里 高 年 級 則 沒 有 長 度 的 概 念, 但 是 會 用 到 比 例 來 找 出 實 際 的 長 度 有 多 長 ( 教 育 部,2009) 有 關 長 度 概 念, 可 分 長 度 基 礎 概 念, 長 度 測 量 概 念 與 長 度 估 測 概 念 等 三 個 部 分 ( 一 ) 長 度 基 礎 概 念 長 度 的 基 礎 概 念, 又 可 分 為 長 度 保 留 概 念 與 長 度 計 數 概 念 兩 部 分 355 長 度 保 留 概 念 長 度 保 留 概 念 的 意 義, 即 對 於 物 體 不 因 產 生 位 移 形 變 或 重 組, 仍 維 持 長 度 不 變 的 想 法 Piaget(969) 對 5 8 歲 兒 童 進 行 長 度 保 留 概 念 時 發 現, 認 為 兒 童 在 6 至 9 歲 時 具 有 長 度 保 留 概 念 國 內 學 者, 亦 有 針 對 國 小 學 童 進 行 保 留 概 念 之 研 究 ( 利 玉 芳,2003; 蔣 建 忠,2002; 駱 美 如, 2002; 簡 文 真,2005) 長 度 計 數 概 念 長 度 概 念 的 計 數, 學 童 需 從 直 尺 上 的 0 開 始 進 行 點 數, 但 很 多 學 童 慣 於 從 開 始 計 數, 可 能 是 因 為 從 開 始 唱 數 的 原 因 所 以, 長 度 的 計 數 要 注 意 學 童 可 能 會 少 數 公 分 的 問 題

372 ( 二 ) 長 度 測 量 概 念 長 度 的 測 量 有 兩 種 比 較 方 式, 一 為 直 接 比 較, 即 為 兩 種 長 度 直 接 相 比, 如 直 線 與 曲 線 拉 長 後 相 比, 就 會 看 出 比 較 長 的 線 段 ; 另 一 種 是 間 接 比 較, 對 於 教 室 或 是 黑 板, 要 量 測 誰 比 較 長, 長 多 少, 就 需 要 用 尺 或 是 課 本 的 長 度, 進 行 測 量, 採 用 較 公 正 的 測 量 工 具, 即 為 間 接 比 較 的 概 念 ( 三 ) 長 度 估 測 概 念 有 關 長 度 的 估 測, 是 學 童 重 要 量 感 培 養 的 過 程 我 曾 請 三 年 級 學 童 估 測 從 教 室 到 廁 所, 看 看 有 多 遠, 後 來 有 學 童 說 一 公 里, 這 說 明 了 學 童 對 於 長 度 概 念 其 實 很 模 糊 再 者, 學 童 對 於 長 度 的 單 位, 如 毫 米, 公 分 公 尺 與 公 里 的 換 算, 更 要 有 清 楚 的 認 識, 學 童 需 要 了 解 這 四 個 單 位 實 際 的 長 度, 進 行 估 測 與 實 測, 否 則 可 能 會 出 現 一 些 在 單 位 換 算 方 面 的 迷 思 ( 利 玉 芳,2003; 蔣 建 忠,2002) 356 在 小 學 二 年 級 時 即 開 始 介 紹 面 積 概 念, 面 積 概 念 是 二 維 的 概 念 架 構, 也 是 學 童 在 學 習 乘 法 概 念 後, 才 學 習 面 積 的 概 念 面 積 概 念 在 各 階 段 學 習 的 內 容 為 :. 二 年 級 為 開 始 數 格 子 2. 三 年 級 介 紹 平 方 公 分 3. 四 年 級 介 紹 平 方 公 尺 長 方 形 和 正 方 形 面 積 4. 五 年 級 介 紹 平 方 公 里 公 頃 與 公 畝 的 大 單 位 概 念 ; 梯 形 面 積 與 平 行 四 邊 形 面 積, 較 複 雜 的 四 邊 形 面 積 運 算 等 5. 六 年 級 介 紹 圓 面 積, 扇 形 面 積 等 複 合 面 積 的 計 算 ( 教 育 部, 2009)

373 部 分 有 關 面 積 概 念, 可 分 面 積 基 礎 概 念 面 積 測 量 概 念 與 面 積 估 測 概 念 三 ( 一 ) 面 積 基 礎 概 念 面 積 基 礎 概 念, 可 分 為 面 積 保 留 概 念 與 面 積 的 計 數 兩 部 分 面 積 保 留 概 念 Piaget(974) 與 英 國 的 Lovell Ogilvie(960 96) 曾 進 行 物 體 量 保 留 概 念 的 研 究, 認 為 面 積 保 留 是 指 兒 童 認 知 物 件 經 過 某 種 轉 換 ( 如 : 位 置 形 狀 改 變 ) 後, 其 面 積 仍 然 保 持 不 變 的 能 力 蔡 春 美 (982) 認 為 面 積 保 留 概 念 是 對 某 一 封 閉 平 面 圖 形, 不 論 形 狀 位 置 如 何 改 變, 其 面 積 恆 常 不 變 的 認 知 能 力 譚 寧 君 (995) 提 出 面 積 保 留 概 念, 包 含 了 兩 個 不 同 的 層 次 : 一 是 基 本 面 積 保 留, 二 是 互 補 面 積 保 留 基 本 面 積 保 留 代 表 任 何 封 閉 範 圍 內 面 的 大 小, 不 因 位 置 改 變 而 有 所 不 同, 也 就 是 說 圖 形 的 面 積 不 會 因 為 移 動 轉 357 動 或 切 割 而 改 變 其 面 積 大 小 互 補 面 積 保 留 概 念 為 學 童 可 截 取 多 出 來 的 面 積, 補 足 缺 少 的 面 積, 以 形 成 完 整 的 圖 形 面 積 的 計 數 即 面 積 的 計 數 是 指, 在 計 算 斜 線 部 分 的 面 積 或 指 定 的 圖 形, 進 行 點 數 若 是 當 圖 形 都 是 整 數 格, 可 直 接 點 數, 若 圖 形 含 有 非 整 數 格 時, 則 需 利 用 面 積 的 補 償 關 係 進 行 計 算 ( 二 ) 面 積 測 量 概 念 譚 寧 君 (998a) 提 及, 面 積 測 量 概 念 的 三 階 段, 如 下 所 述 : 階 段 一 : 學 童 可 透 過 點 數 方 形 格 子, 對 於 不 完 整 格 子 的 面 積, 建 立 面 積 互 補 的 策 略 來 計 算

374 階 段 二 : 面 積 測 量 可 透 過 不 同 方 式 拼 湊 而 成, 如 等 積 異 形 ; 學 童 可 用 同 樣 的 面 積 排 成 不 同 形 狀, 如 三 角 形 長 方 形 等 階 段 三 : 即 學 童 須 探 討 面 積 公 式 的 源 由, 如 三 角 形 面 積 為 長 方 形 正 方 形 或 平 行 四 邊 形 面 積 的 一 半, 學 童 須 經 由 具 體 的 學 習 經 驗 來 驗 證 以 下 依 單 位 轉 換 與 公 式 運 用 等, 分 別 來 論 述 面 積 測 量 概 念 單 位 轉 換 學 童 對 於 大 面 積 的 運 算, 例 如 平 方 公 分 平 方 公 尺 平 方 公 里 公 頃 與 公 畝 等 的 運 算, 容 易 發 生 錯 誤, 所 以 學 童 要 能 了 解 大 單 位 面 積 的 實 際 概 念, 才 會 減 少 在 面 積 運 算 時, 所 產 生 的 問 題 ( 譚 寧 君,998b; 朱 玉 如, 2003) 358 面 積 公 式 在 面 積 的 學 習, 學 童 常 會 使 用 加 法, 而 不 使 用 乘 法 ; 在 進 行 三 角 形 平 行 四 邊 形 的 面 積 運 算 時, 對 尋 找 高 的 長 度 有 困 難, 對 圓 面 積 與 圓 周 長 的 運 算 也 容 易 混 淆 面 積 公 式, 例 如 長 方 形 面 積 等 於 長 乘 以 寬 三 角 形 面 積 為 底 乘 高 再 除 2 梯 形 面 積 是 基 於 平 行 四 邊 形 面 積 的 概 念 箏 形 面 積 是 兩 對 角 線 相 乘 再 除 以 2, 即 兩 對 角 線 可 形 成 一 更 大 的 長 方 形 等 等, 學 童 應 該 要 發 現 圖 形 間 的 相 互 關 係, 就 能 找 出 公 式 間 的 脈 絡 但 對 於 複 合 圖 形 的 概 念, 就 會 應 用 不 同 圖 形 面 積 的 公 式, 來 進 行 運 算 ( 三 ) 面 積 估 測 概 念 發 展 量 感 中, 估 測 活 動 是 不 可 或 缺 的 方 法, 例 如 黑 板 約 需 要 幾 張 圖 畫 紙 才 能 蓋 滿? 估 測 後 再 實 測, 較 能 引 起 學 童 學 習 的 興 趣 ( 譚 寧 君, 997) 王 選 發 (2002) 指 出, 估 測 可 讓 學 童 驗 證 算 出 來 的 答 案 是 否 正

375 確, 在 進 行 面 積 教 學 時, 對 於 面 積 量 感 的 培 養, 應 先 透 過 估 算 活 動 後 再 進 行 測 量 活 動, 如 此 才 能 讓 學 童 真 正 了 解 面 積 的 量 感 體 積 的 概 念 設 計, 在 四 年 級 時, 也 就 是 立 方 公 分 的 引 入 ; 五 年 級 時, 要 介 紹 大 單 位 體 積, 如 立 方 公 尺 等 單 位 體 積 的 概 念 為 三 維 概 念, 也 就 是 長 寬 和 高 的 概 念, 由 於 其 概 念 與 立 體 概 念 有 關, 所 以 置 於 四 至 六 年 級 才 開 始 介 紹 ( 教 育 部,2009) Dickson Brown 與 Gibson(984) 認 為, 體 積 應 有 下 列 四 種 意 含 :. (external volume): 即 透 過 視 覺, 不 論 實 心 或 空 心 的 物 體 所 佔 的 大 小, 例 如 足 球 積 木 或 箱 子 等 2. (internal volume): 指 物 體 內 部 空 間 容 量 的 大 小, 即 容 積 例 如, 在 盒 內 可 裝 有 2 個 白 色 小 積 木, 每 個 積 木 為 立 方 公 分, 那 麼 盒 子 的 容 積 即 為 2 立 方 公 分 (displace volume): 物 體 體 積 的 大 小, 是 物 體 放 入 液 體 排 開 水 量 的 多 少 例 如, 石 頭 置 入 滿 水 位 的 容 器 中, 流 出 液 體 的 體 積 即 為 石 頭 體 積 4. (liquid volume and capacity): 液 積, 表 示 液 體 所 佔 空 間 的 大 小, 又 稱 為 液 量 ; 容 量, 則 是 容 器 所 能 容 納 的 體 積 有 關 體 積 概 念, 可 分 體 積 的 基 礎 概 念 體 積 測 量 概 念 與 體 積 估 測 概 念 三 部 分 ( 一 ) 體 積 基 礎 概 念 體 積 基 礎 概 念, 可 分 保 留 概 念 與 體 積 的 計 數 兩 個 部 分

376 國小數學教材教法 體積保留概念 Piaget 974 認為 學童沒有具備體積的保留概念 則無法進行體 積的間接比較 也無法進行體積相關的計算 保留概念指的是 物體不會 因為大小 方向 位置的改變而改變 此概念較無法經由教學建立 需要 探究式教學 多次經驗才會形成 譚寧君 2000 體積保留概念 conservation 意 指 學童在面對物體轉換歷程中 了解物體的體積不因位置改變 經過切 割或重組 而其量仍保持不變的概念 蔡春美 983 體積的計數 對於體積的計算 學童通常會用一層層的方式進行計數 只有當學 童使用 層 的概念時 他們似乎才會將計數的過程公式化 Battista & Clements, 998a Battista與Clements 998b 認為 學童建構自己的點 算過程才是有意義的 且這樣的方式也比傳統背頌的公式 體積 長 寬 360 高 有用 因此 學童建構出來的策略 可以一般化到所有的柱體 也 可以形成微積分的基本概念 二 體積測 量概念 體積測量概念 可分單位量的轉換與體積公式的運用兩部分 單位量的轉換 體積是一兼具幾何和測量的概念 體積的測量活動除了需要具備測量 的發展外 還要轉化為空間概念 譚寧君 2000 體積單位的轉換比面 積更難 需經由操作來經驗單位轉換的關係 林芳姬 2004 譚寧君 995 例如利用正方體 在每邊用2個邊長為公分的白色積木堆疊 會 需要8個白色積木 若是每邊用2個邊長為2公分的紅色積木 則其體積為 何 學童需要發現 2個紅色積木的長度為4公分 所以其體積為 立方公分

377 體 積 公 式 的 運 用 體 積 公 式 的 產 生, 應 是 先 由 長 與 寬 的 面 積 概 念 形 成 後, 再 以 分 層 概 念 得 出 高 的 層 數 所 以, 體 積 公 式 應 是 建 立 學 童 對 於 長 寬 與 高 的 了 解, 進 而 對 長 寬 與 高 的 相 互 乘 積 有 所 認 識 但 在 教 學 現 場, 通 常 較 注 重 公 式 背 頌 的 教 學 方 式 ( 譚 寧 君,995) ( 三 ) 體 積 估 測 概 念 Battista 與 Clements(998b) 指 出, 在 學 童 實 際 點 數 積 木 之 前, 先 對 物 體 進 行 預 測, 使 其 產 生 認 知 衝 突, 再 藉 此 來 提 升 空 間 推 理 及 點 數 策 略 的 能 力 沈 佑 霖 (2003) 研 究 發 現, 有 些 學 童 對 長 度 的 估 測 量 感 不 足, 導 致 體 積 估 測 時, 出 現 離 譜 的 錯 誤 答 案 要 能 讓 學 童 有 體 積 估 測 的 概 念, 較 實 際 的 作 法, 即 是 請 學 童 估 估 看 教 室 的 體 積 是 多 少? 只 要 給 學 童 顆 小 白 積 木, 請 他 們 算 算 看, 要 填 滿 教 室, 需 要 用 到 多 少 顆 白 色 積 木? 36 容 量 最 早 出 現 在 國 小 二 年 級, 即 對 容 量 大 小 的 比 較 容 量 多 與 少 的 比 較, 此 時 的 教 學 較 偏 向 於 保 留 概 念 的 檢 視 ; 三 年 級 介 紹 立 方 公 分, 即 毫 升 與 公 升 的 概 念 ; 五 年 級 介 紹 公 秉 的 概 念, 即 立 方 公 尺, 亦 會 介 紹 容 積 與 體 積 間 的 關 係 ( 教 育 部,2009) 有 關 容 量 概 念, 可 分 容 量 基 礎 概 念 容 量 測 量 概 念 與 容 量 估 測 概 念 三 部 分 念 : ( 一 ) 容 積 基 礎 概 念 以 下 依 容 量 保 留 概 念 與 容 量 的 計 數 兩 部 分, 分 別 來 介 紹 容 積 基 礎 概

378 容 量 保 留 概 念 Piaget Indelder 與 Szeminska(960) 發 現,5 6 歲 以 前 的 幼 兒, 無 法 掌 握 液 量 保 留 概 念 邏 輯 上 的 必 然 性,6 歲 以 後 具 有 保 留 概 念 的 學 童 才 能 夠 判 斷 但, 無 論 是 已 發 展 與 未 發 展 液 量 保 留 概 念 的 學 童, 其 認 知 結 構 上 的 差 異 涉 及 以 下 三 種 心 智 運 思 能 力 (Ginsburg & Opper, 988; Gross, 985):. (reciprocity): 係 指 學 童 具 備 相 互 性 的 運 思 能 力, 了 解 某 部 分 增 加 就 會 抵 銷 另 一 減 少 的 部 分 例 如, 在 液 量 實 驗 中, 水 由 矮 寬 杯 子 倒 入 到 高 窄 杯 子 中 時, 造 成 水 的 高 度 增 加, 但 寬 度 卻 減 少 了, 因 此 2 個 杯 子 中 的 水 仍 為 相 同 2. (identity): 係 指 學 童 具 有 恆 同 性 的 運 思 能 力, 了 解 在 轉 換 過 程 中, 一 直 以 同 樣 的 量, 沒 有 增 加 或 取 走 任 何 東 西 例 如, 在 液 量 實 驗 中, 將 杯 中 的 水 倒 入 另 一 容 器 時, 沒 有 多 倒 入 或 倒 掉 任 何 362 水, 仍 是 相 同 的 水 ; 3. (negation): 係 指 學 童 具 有 可 逆 性 的 運 思 能 力, 了 解 改 變 狀 態 可 經 由 反 向 的 轉 換, 返 回 原 本 的 狀 態 容 量 的 計 數 容 量 的 計 數 與 體 積 不 同, 體 積 可 數, 但 容 積 不 可 數 所 以, 要 如 何 將 容 積 進 行 點 數, 國 內 學 者 黃 金 鐘 (997) 提 及, 容 量 可 用 兩 種 方 式 進 行 測 量 : 一 為, 使 用 容 器 ; 二 為, 使 用 量 筒 這 兩 種 方 式 都 與 實 測 相 關, 讓 學 童 能 了 解 容 量 的 測 量 概 念, 才 能 建 立 清 楚 的 容 量 計 算 概 念. 使 用 小 容 器 進 行 測 量 : 將 容 器 的 液 量 分 割 成 小 單 位, 也 就 是 將 液 量 倒 入 小 杯 子, 再 點 數 杯 子 的 數 量 2. 使 用 量 筒 測 量 : 將 液 量 倒 入 量 筒, 只 要 讀 取 量 筒 水 面 的 刻 度, 就 可 看 出 單 位 量

379 ( 二 ) 容 積 測 量 概 念 林 仁 得 謝 祥 宏 陳 文 典 等 人 (993) 對 於 容 積 與 體 積 的 測 量, 分 為 以 下 五 個 層 次 的 能 力 : : 觀 測 量 之 屬 性 的 確 認 比 較 及 排 序, 即 容 積 比 多 或 比 少 之 概 念 : 運 用 現 成 的 工 具 度 量, 例 如 能 運 用 毫 升 公 升 等 單 位 : 能 權 宜 的 運 用 方 便 的 工 具 和 適 當 的 單 位 來 替 代 使 用, 能 找 出 適 當 的 時 機 使 用 不 同 的 單 位 : 等 值 換 算 不 同 單 位 的 度 量 值, 例 如 能 換 算 毫 升 公 升 與 公 秉 等 單 位 : 靈 活 運 用 度 量 策 略, 能 運 用 代 數 等 來 進 行 解 題 其 結 果 發 現, 國 小 一 年 級 的 學 童, 具 有 層 次 一 的 能 力 ; 二 三 年 級 的 學 童, 大 都 具 有 層 次 二 與 層 次 三 的 能 力 ; 四 至 五 年 級 的 學 童, 具 有 層 次 四 363 的 能 力 ; 而 六 年 級 和 國 中 的 學 童, 則 具 有 層 次 五 的 能 力 這 五 個 層 次 提 及 容 量 的 重 要 階 段, 當 學 童 在 基 本 層 次 的 學 習 較 為 穩 固 後, 才 能 提 升 至 更 高 的 學 習 層 次 ( 三 ) 容 積 估 測 概 念 黃 敏 晃 (986, 譯 自 Usiskin) 提 及 使 用 容 量 估 測 的 理 由 有 四 :. : 在 大 多 數 的 狀 況 下, 因 為 得 不 到 正 確 的 數 值, 所 以 必 須 估 測, 例 如 水 庫 的 水 量, 沒 有 辦 法 精 準 測 量, 只 能 用 水 位 了 解 進 行 估 計 2. : 例 如, 水 量 公 秉, 如 以 約 20 公 秉 來 表 示, 將 更 為 清 楚 3. : 例 如, 要 計 算 浴 缸 的 水 時, 需 要 幾 個.25 公 升 的

380 瓶 子? 如 將 瓶 子 以 公 升 來 計, 將 較 為 方 便 計 算 4. : 例 如, 一 般 的 礦 泉 水 均 為 600 毫 升, 會 列 出 多 或 少 3 毫 升 等 張 淑 怡 (2003) 亦 對 國 小 學 童 缺 乏 容 量 估 測 概 念, 提 出 教 學 的 建 議, 她 指 出, 容 量 的 估 測 其 實 是 相 當 必 要 的, 例 如 在 生 活 上 的 用 水, 就 與 日 常 生 活 密 切 相 關, 而 如 何 讓 學 童 能 了 解 每 天 的 用 水 量, 進 而 培 養 用 水 的 環 保 概 念, 就 是 一 個 相 當 重 要 的 容 量 課 程 之 一 有 關 重 量 概 念, 於 國 小 二 年 級 即 介 紹 重 量 的 大 小 概 念 ; 三 年 級 引 入 公 斤 與 公 克 的 單 位 概 念 ; 四 年 級 重 視 公 斤 與 公 克 的 換 算 概 念 ; 五 年 級 重 點 在 於 公 噸 公 斤 與 公 克 三 者 間 的 單 位 換 算 ( 教 育 部,2009) 364 部 分 有 關 重 量 概 念, 可 分 重 量 基 礎 概 念, 重 量 測 量 概 念 與 重 量 估 測 概 念 三 ( 一 ) 重 量 基 礎 概 念 以 下 分 為 重 量 保 留 概 念 與 重 量 計 數 概 念, 來 說 明 重 量 基 礎 概 念 : 重 量 保 留 概 念 Piaget 與 Inhelder(969) 用 兩 個 重 量 相 等 的 膠 泥 球, 一 個 不 變, 另 一 個 用 手 捏 成 香 腸 形 狀, 然 後 問 學 童 說, 哪 個 比 較 重? 結 果,7 至 8 歲 的 兒 童 會 認 為 形 狀 改 變 重 量 也 會 改 變, 但 9 至 0 歲 兒 童 則 會 認 為 都 一 樣 國 內 學 者 ( 劉 德 生 蔡 寶 桂 陳 文 典,993; 陳 文 典,993) 發 現, 重 量 概 念 具 有 階 段 性 他 們 提 出 了 二 項 建 議 : 一 為, 教 學 宜 配 合 學 童 輕 重 測 量 概 念 的 發 展 ; 二 為, 教 學 應 生 活 化 多 樣 化 顏 稚 仁 (2000) 提 出, 建 構 概 念 的 教 學 方 式, 較 容 易 使 學 童 形 成 正 確

381 的 概 念, 在 解 決 問 題 的 策 略 上, 也 比 較 豐 富 重 量 計 數 概 念 重 量 的 計 數 可 用 小 白 積 木 來 點 數, 個 小 白 積 木 即 為 立 方 公 分, 也 就 是 公 克 的 法 碼 學 童 對 於 重 量 的 計 算, 可 用 天 秤 和 秤 盤 來 表 示, 天 秤 與 秤 盤 的 使 用 需 要 歸 0, 若 是 學 童 在 未 歸 0 的 情 況 下 使 用, 就 會 產 生 誤 差 ( 二 ) 重 量 測 量 概 念 重 量 的 測 量, 可 分 為 直 接 比 較 與 間 接 比 較 兩 種 直 接 比 較 直 接 比 較, 係 指 對 兩 物 品 直 接 相 比, 誰 較 重 的 概 念 一 般 的 測 量 概 念, 對 於 形 狀 不 同, 重 量 相 同 者, 例 如 公 斤 的 棉 花 與 公 斤 的 鐵 塊, 看 看 是 哪 件 物 品 較 重? 若 從 直 接 比 較 的 觀 點 來 看, 形 狀 大 小 可 能 會 影 響 學 童 在 重 量 判 斷 的 結 果 亦 有 研 究 探 討 顏 色 不 同, 重 量 相 同, 學 童 會 在 直 觀 上 產 生 誤 差 ( 廖 婉 君,2002) 365 間 接 比 較 另 一 種 為 間 接 比 較, 即 透 過 電 子 秤 秤 盤 或 是 天 秤 等 進 行 比 較 這 樣 的 比 較 更 為 精 準, 也 能 讓 學 童 對 於 生 活 上 的 各 種 事 物, 有 重 量 的 概 念 ( 三 ) 重 量 估 測 概 念 重 量 估 測 是 很 重 要 的 能 力 在 生 活 上, 我 們 到 菜 市 場 買 水 果 買 米 買 魚 等, 都 會 用 到 估 測 的 作 法, 例 如 要 買 2 斤 的 米, 老 闆 會 先 目 測, 用 手 感 覺 一 下, 再 將 米 放 於 秤 盤 上, 加 一 些 或 減 一 些, 就 秤 好 了 這 個 過 程, 估 測 佔 了 很 重 要 的 部 分, 因 為 正 確 的 估 測 可 以 減 少 時 間, 讓 估 測 更 簡 便 我 曾 用 一 支 手 機, 請 國 小 五 年 級 的 學 童 進 行 估 測, 一 個 實 際 重 量 只 有 74 公 克 的 手 機, 同 學 估 測 800 公 克 最 多, 而 估 測 30 公 克 最 少 者 為, 可 見 同 學

382 在 重 量 的 量 感 上, 有 進 行 教 學 的 需 要 性 角 度 的 概 念, 在 國 小 三 年 級 時, 會 定 義 角 是 什 麼? 並 能 比 較 角 的 大 小 ; 四 年 級 時, 學 童 需 要 用 量 角 器 量 出 或 畫 出 指 定 的 角, 會 介 紹 旋 轉 角 的 概 念 ; 五 年 級 時, 則 引 入 圓 心 角 的 概 念 ; 六 年 級 時, 學 童 會 計 算 扇 形, 也 會 應 用 到 角 度 的 相 關 概 念 ; 到 了 國 中 二 年 級 時, 則 會 介 紹 同 位 角 對 頂 角 內 錯 角 等 概 念, 應 用 角 度 的 概 念, 來 證 明 圖 形 的 相 關 性 質 ( 教 育 部, 2009) 部 分 有 關 角 度 概 念, 可 分 角 度 的 認 知 層 次 角 度 的 類 別 與 角 度 估 測 概 念 三 ( 一 ) 角 度 的 認 知 層 次 366 Van Hiele(986) 發 現, 學 童 對 角 度 概 念 有 五 種 層 次, 各 層 次 說 明 如 下 :. (visualization): 在 此 層 次, 學 童 只 察 覺 到 角 的 外 形, 能 選 出 角 的 圖 形 及 指 出 三 角 形 有 三 個 內 角, 但 不 知 道 角 的 性 質, 即 學 童 知 道 直 角 三 角 形 有 三 個 角, 但 卻 無 法 察 覺 三 個 內 角 中, 有 一 個 是 直 角 2. (the descriptive-analytic level): 此 層 次, 學 童 懂 得 角 的 測 量 意 義, 能 利 用 角 的 性 質 將 圖 形 分 類, 例 如 比 直 角 大 比 直 角 小, 了 解 正 方 形 有 四 個 直 角, 也 能 確 認 角 的 性 質 及 角 度 之 間 的 關 係 3. (relation or informal deduction level): 此 層 次, 學 童 了 解 角 的 特 性, 能 依 角 度 的 關 係 進 行 演 繹, 了 解 三 角 形 不 能 同 時 有 二 個 鈍 角, 且 能 了 解 直 角 三 角 形 的 內 角 和 為 80 度 減 去 直 角,

383 剩 餘 的 90 度 為 直 角 三 角 形 的 兩 個 銳 角 和 4. (formal deduction level): 此 層 次, 學 童 不 只 是 記 憶 圖 形 的 性 質, 且 能 用 演 繹 邏 輯 證 明 定 理, 並 建 立 相 關 定 理 的 網 路 結 構, 能 理 解 一 個 定 理 的 充 分 或 必 要 條 件 之 內 在 關 係, 發 現 正 逆 命 題 間 的 差 異 性, 例 如 應 用 同 位 角 與 內 錯 角 的 相 互 關 係, 以 證 明 角 度 相 同 的 原 理 5. (rigorous or axiomatic level): 此 層 次, 學 童 能 擁 有 正 確 的 數 學 架 構, 且 能 利 用 各 種 方 式 說 明 此 數 學 架 構, 同 時 能 在 不 同 的 的 公 理 系 統 中 建 立 定 理, 並 分 析 或 比 較 這 些 系 統 的 特 性 達 到 此 層 次 的 人 很 少, 即 使 是 數 學 家 亦 很 難 達 到 由 角 度 的 層 次 可 以 發 現, 學 童 在 角 的 概 念 發 展 順 序 為 : 一 為, 視 覺 來 感 覺 角 的 外 貌 ; 二 為, 分 析 角 的 特 性 與 角 度 的 關 係 ; 三 為, 應 用 圖 形 內 角 與 角 之 間 的 關 係 ; 四 為, 能 用 證 明 與 推 理 的 能 力 ; 五 為, 能 提 出 角 度 的 定 理 等 367 ( 二 ) 角 度 的 類 別 角 度 對 學 童 而 言, 是 具 體 可 見 的, 例 如 教 室 周 圍 即 可 看 到 牆 壁 四 周 所 形 成 的 立 體 角 甯 平 獻 (200) 對 於 角 度 的 類 別, 可 分 為 圖 形 角 張 開 角 與 旋 轉 角 等 三 種 類 形. : 即 為 平 面 圖 形 的 角, 可 以 三 角 形 四 邊 形 五 邊 形 等 多 邊 形 的 角 引 入, 會 較 為 清 楚, 因 為 角 度 均 小 於 80 度 在 國 小 三 至 五 年 級 階 段, 會 介 紹 多 邊 形 內 角 和 等, 即 為 圖 形 角 的 概 念 2. : 張 開 角 的 概 念, 即 為 開 放 圖 形, 與 上 述 的 圖 形 角 不 同, 圖 形 角 為 封 閉 圖 形 張 開 角 有 始 邊 與 終 邊, 兩 邊 均 為 射 線, 可 無 限 延 長, 其 概 念 如 扇 子 的 開 合 等 3. : 旋 轉 角 是 一 種 動 態 性 的 概 念, 引 入 旋 轉 角 的 最 佳 概 念 為 時

384 鐘 的 時 針 與 分 針, 當 時 鐘 為 準 點 時, 其 時 針 與 分 針 的 角 會 在 不 同 時 間 有 角 度 的 變 化, 即 時 針 為 始 邊, 分 針 為 終 邊, 時 針 與 分 針 的 交 點 為 頂 點 或 稱 為 旋 轉 中 心 旋 轉 角 的 概 念, 則 會 超 過 80 度 的 限 制 不 論 是 那 一 種 角 度 類 型, 學 童 只 要 對 角 度 有 測 量 的 概 念, 都 能 有 效 的 學 習 ( 三 ) 角 度 估 測 概 念 角 度 估 測 概 念, 能 讓 學 童 很 容 易 辨 別 角 度 是 銳 角 鈍 角 還 是 直 角 在 估 測 的 判 斷 上, 角 度 是 否 大 於 90 度, 是 否 大 於 80 度 或 是 平 角, 或 是 超 過 360 度 或 是 圓 周 角 這 些 角 度 的 判 斷, 可 讓 學 童 對 於 角 度 的 大 小 有 所 依 據 雖 然, 這 些 概 念 很 平 常, 但 在 國 中 引 入 外 角 概 念 時, 角 度 的 運 算 與 估 測, 則 可 讓 學 童 判 斷 計 算 的 角 度 是 否 正 確 368 時 間 概 念, 在 國 小 一 年 級 時, 要 能 報 讀 準 點 與 半 點 ; 國 小 二 年 級 時, 能 報 讀 幾 時 幾 分, 認 識 年 月 日 的 概 念, 知 到 月 與 星 期 的 天 數 ; 國 小 三 年 級 時, 能 認 識 時 間 單 位, 能 進 行 時 間 量 的 加 減 計 算, 但 不 含 進 退 位 ; 國 小 四 年 級 時, 能 進 行 進 退 位 的 加 減 計 算 ; 國 小 五 年 級 時, 能 解 決 時 間 的 乘 除 計 算 ( 教 育 部,2009) 有 關 時 間 概 念, 可 分 時 間 的 認 知 層 次 時 間 量 概 念 時 間 概 念 的 教 學 特 性 三 部 分 ( 一 ) 時 間 的 認 知 層 次 Piaget(969; 引 自 俞 筱 鈞,988) 指 出, 兒 童 與 成 人 推 理 邏 輯 並 不 相 同, 正 確 之 時 間 概 念, 包 括 常 用 的 年 月 日 十 分 秒, 以 及 快 慢 等, 將 時 間 概 念 區 分 為 以 下 三 個 發 展 時 期 :

385 . (ordinal stage): 此 時 期 屬 於 認 知 發 展 的 第 二 階 段, 即 前 具 體 運 思 期 (pre-operation stage), 又 稱 為 直 覺 時 期 (intuitive stage), 介 於 7 歲 至 8 歲 的 兒 童, 有 以 下 之 特 性 : () 思 維 受 知 覺 限 制, 不 清 楚 時 間 與 空 間 不 同 (2) 會 根 據 空 間 的 遠 近, 來 判 斷 移 動 時 間 的 長 短, 對 於 時 間 的 連 續 期 間 與 空 間 距 離, 容 易 混 淆 (3) 注 意 經 過 視 線 之 情 況 (4) 對 次 序 的 感 覺 (5) 強 調 結 果, 例 如 同 時 到 達 (6) 排 列 事 情 之 先 後, 限 於 同 一 件 事 2. (hyperordinal stage): 此 時 期 為 過 渡 期, 學 童 約 在 9 至 0 歲 間, 有 下 列 之 特 性 : () 能 將 先 後 事 物 進 行 排 序, 也 能 同 時 了 解 空 間 與 經 過 時 間 的 關 係 (2) 能 比 較 時 距 的 長 短 (3) 走 的 遠 一 點 認 為 速 度 快, 多 做 一 點 事 認 為 時 間 較 長 369 (4) 不 了 解 連 續 與 期 間 的 差 異, 能 正 確 判 斷 期 間, 但 不 了 解 連 續, 或 是 了 解 連 續 而 不 了 解 期 間 3. (stage of metric): 學 童 約 在 至 2 歲, 此 時 期 所 顯 示 的 時 間 概 念 為 正 確 了 解, 有 下 列 特 性 : () 強 調 所 涉 及 之 空 間 完 成 的 事, 以 及 從 開 始 到 終 止 所 經 過 之 時 間 關 係 (2) 了 解 連 續 與 期 間 的 概 念 (3) 明 瞭 速 度 與 頻 率 的 補 償 作 用 (4) 追 溯 及 預 測 基 於 上 述 的 認 知 發 展 概 念, 學 童 在 時 間 概 念 的 學 習 是 有 跡 可 尋 的, 早 期 的 時 間 學 習 會 與 空 間 連 結, 影 響 學 童 對 時 間 的 學 習, 若 前 一 階 段 的 發 展

386 不 完 全, 則 會 影 響 下 一 階 段 的 學 習 時 期 ( 二 ) 時 間 量 概 念 Piaget(969) 將 時 間 分 為 心 理 時 間 (psychological time) 和 物 理 時 間 (physical time), 年 紀 越 大 的 兒 童 較 能 使 用 物 理 時 間, 年 紀 越 小 的 兒 童 較 常 使 用 心 理 時 間 (Tartas, 200) 心 理 時 間 與 物 理 時 間 唯 一 的 不 同 是, 心 理 時 間 是 與 個 人 有 關, 很 少 獨 立 於 個 人 行 為 之 外, 即 兒 童 對 事 件 順 序 的 看 法, 是 建 立 在 他 自 己 有 興 趣 的 事 物 上, 並 非 時 間 的 真 實 順 序, 大 部 分 8 歲 以 前 兒 童 的 故 事 敘 述 和 活 動 記 憶, 是 以 自 我 為 中 心 的 現 象 ( 鍾 靜,998) 物 理 時 間 較 量 化 客 觀, 與 外 在 事 物 較 有 關 聯, 也 可 參 照 時 鐘 或 與 其 他 事 物 對 比 大 部 分 7 8 歲 以 上 的 兒 童, 才 能 處 理 物 理 時 間 的 持 續 先 後 問 題 兒 童 的 時 間 概 念 常 受 到 個 人 心 理 時 間 的 影 響, 無 法 將 數 學 問 題 與 真 370 實 的 情 境 結 合 (Pace, 2004), 導 致 學 習 時 產 生 困 難 所 以, 生 活 經 驗 對 於 兒 童 在 時 間 單 元 學 習 的 影 響 很 大 ( 陳 佩 玉,2002; 蕭 志 芳,2003; 簡 瑞 萍,2004) 是 故, 教 學 上 若 能 使 用 更 有 效 的 策 略 來 幫 助 學 童 學 習, 應 能 減 少 迷 思 概 念 的 產 生, 更 有 研 究 指 出, 應 用 合 作 學 習 概 念 能 提 升 學 童 的 時 間 認 知 ( 湯 惠 雅,202) ( 三 ) 時 間 概 念 的 教 學 特 性 鍾 靜 ( ) 指 出, 教 導 學 童 時 間 概 念 需 要 掌 握 時 間 的 順 序 性 週 期 性 等 時 性 同 步 性 連 續 性 與 單 向 性 等 六 大 特 性 在 教 學 中, 教 師 要 能 先 了 解 這 些 概 念, 才 能 設 計 符 合 學 童 的 教 材. : 指 能 對 事 件 先 後 排 出 順 序 學 童 能 將 一 些 事 件, 依 發 生 的 先 後 排 成 順 序, 即 對 時 間 順 序 性 的 了 解 2. : 指 時 間 雖 不 可 逆, 但 卻 不 停 的 循 環, 具 有 週 期 性, 例 如 每

387 日 都 有 早 上 8 點 一 週 過 去 又 回 到 星 期 一, 時 鐘 月 曆 皆 具 有 此 特 性 3. : 指 時 鐘 指 針 的 速 率 相 同, 例 如 我 看 書 看 了 5 分 鐘 你 跑 步 跑 了 5 分 鐘, 花 的 時 間 是 一 樣 長 的, 不 會 因 為 跑 步 而 過 的 比 較 快, 也 不 會 因 為 看 書 而 過 的 比 較 慢 ; 時 鐘 的 指 針 維 持 相 等 的 速 率, 所 以 時 鐘 測 量 一 動 作 的 時 間, 不 會 因 動 作 不 同 而 使 時 鐘 的 運 行 變 快 或 變 慢, 即 時 間 之 等 時 性 4. : 指 同 時 間 開 始 也 同 時 間 結 束 的 活 動, 不 會 因 為 不 同 時 鐘 而 不 同, 即 用 不 同 的 時 鐘 測 量 分 鐘, 所 測 出 的 時 間 應 相 同, 例 如 測 量 兩 人 跑 步 的 時 間, 不 會 因 為 不 同 的 時 鐘 而 不 同, 即 為 時 間 之 同 步 性 5. : 指 時 間 是 不 可 逆, 已 經 過 去 的 時 間 不 會 再 回 來 6. : 指 時 間 是 接 連 不 斷 的 不 會 停 止 37 以 下 依 長 度 面 積 體 積 容 量 重 量 角 度 與 時 間 等 七 方 面, 分 別 論 述 之 一 長 度 長 度 概 念 在 一 年 級 時, 要 建 立 直 觀 的 比 較 概 念, 即 直 接 比 較, 如 活 動 一 ; 同 時 要 建 立 間 接 的 比 較 概 念, 如 活 動 二 ; 對 於 公 分 的 測 量, 要 從 0 開 始 量, 如 活 動 三

388 國小數學教材教法 活動一 比誰長 小蜜蜂和小甲蟲的跳繩 哪一條比較長 小蜜蜂 探究式教學 小甲蟲 活動二 比誰長 2 第一條繩子 有 個黑色積木長 372 第二條繩子 有 個黑色積木長 活動三 長度 小甲蟲也在學學測量長度 小甲蟲測量出手錶的長度是3公分 小甲蟲量對嗎 正確的長度是多少呢 為什麼小甲蟲量錯了呢 cm

389 二 面積 國小三年級時 介紹面積的與周長的等積異形概念 如活動四 四年 級 會介紹長方形與正方形的複合圖形概念 如活動五 五年級時 會介 紹梯形面積 如活動六 同時也會引入較複雜的圖形面積 如活動七 活動四 等積異形 你可以用相同顏色的積木 排出面積是24cm²的長方形嗎 = = 蜜蜂國王有好多花園 花園的周長及面積有多大呢 花園的形狀 周長 面積 = A 76cm A 288cm2 chapter 4 量與實測 活動五 面積計算

390 國小數學教材教法 花園的形狀 0 面積 探究式教學 30 周長 (30 40) (2 4) A 032cm2 A 64cm (27 0) (38 5) A 60cm A 057cm =38 (8 8) (7 9) 活動六 梯形面積 請使用釘板 拉出一個上底2cm 下底4cm的梯形 再拉出另外一 個相同但顛倒的梯形 請畫出來

391 . 請問可以拼出什麼形狀 2. 梯形的特徵是什麼 3. 請問梯形與原長方形有何不同 有何相同 4. 請轉換平行四邊形公式變成梯形公式 5. 你覺得和之前你發明的梯形面積計算方式哪一個比較方便 為什 麼 活動七 複合圖形 你可以算出下面圖形中有顏色部分的面積是多少平方公分 () (2) 0cm 6cm 5cm 8cm (8 0) cm2 8cm (6 8) cm2 3cm 6cm (4) 2cm 0cm (2 3) (0 3) 63 63cm2 4cm (5) 8cm 2cm 2cm 20cm cm2 8cm A 6cm B 8cm C 2cm D 6cm chapter 4 量與實測 2cm 3cm (3) 375

392 國小數學教材教法. A是 平方公分 B是 平方公分 C是 平方公分 D是 平方公分 2. 圖形和 圖形的面積一樣大 在圓形概念 學童要能對於圓心 半徑與圓周的意義 圓形與其他的 探究式教學 複合圖形關係 要能辨識其特性 三年級時 即能畫出圓心 半徑與圓 周 如活動八 五年級時 要能依半徑 算出圓周長與圓面積的概念 如 活動九 活動十 六年級時介紹複合圖形的圓面積 如活動十一 活動八 做圓 請畫出一個半徑3公分的圓 並標示出圓心 半徑和直徑 半徑 圓心 376 直徑 活動九 完成下列表格 半徑 40cm 5 cm 7cm 0 cm 6cm 5 cm 直徑 80 cm 0cm 4 cm 20cm 2 cm 30cm 圓周率 / 圓周長 25.2 cm 5 cm 44 cm 60cm 36 cm 94.2 cm

393 活動十 求長度 求出下面圖形的周度 3m 3m 3m 2cm 60 3m 3m 3m π cm 40cm 0cm 40cm 40 π 活動十一 圖形有大 這是由2個正方形和個圓形組合而成的 請你算出中間弧形的圖 形有多大 8公分 π A 92.34cm2 377 chapter 4 量與實測 π =7.4

394 國小數學教材教法 三 體積 國小二年級時 學童要能辨識立體的形體 如活動十二 要能對積 木進行點數 如活動十三 也要求畫出正方體與長方體等圖形 如活動 十四 四年級時 要能計算立體圖形的體積 如活動十五 六年級時 要 探究式教學 能對錐體與柱體展開圖進行辨識 如活動十六 同時要能算出立體的表面 積 如活動十七 活動十二 找找看 生活有些物品 像下列的各種形體呢 形體名稱 378 形體 物品

395 形體名稱 形體 物品 活動十三 疊疊樂 下列疊在一起的積 是由幾個小積木組合成的呢 379 個 個 個 個 個 個 個 個 個 chapter 4 量與實測

396 國小數學教材教法 活動十四 畫畫看 請畫出一個正方體和一個長方體 探究式教學 活動十五 體積 寫出下面形體體積的算法 380 算法 6+9+5=30 算法 4 9=36

397 算法 4 3=52 算法 3 4=42 38 活動十六 角錐與角柱 () (2) () (3) (2) (3) chapter 4 量與實測 寫出下面各立體圖形的名稱

398 國小數學教材教法 (7) (8) 探究式教學 (0) (9) () (2) 活動十七 生日禮物 呆呆熊打算在生日這天邀請大家來交換禮物 可是需要一位包裝禮 物小幫手 你來幫幫忙吧 你可以幫忙算算需要多少包裝紙嗎 382 阿山哥的禮物 你有幾種算法呢 四 容量 容量概念與體積概念在單位使用上是一致的 例如立方公分即為毫

399 升 在三年級時 會引入容量的公升與毫升的計算 如活動十八 五年級 時 進行較高難度的計算 如活動十九 活動十八 獨角仙旳舞會派對 獨角仙邀請大家參加他的舞會派對 派對裡有好多好吃的食物與好 喝的飲料 冰紅茶 果汁 牛奶 熱紅茶 450ml ml 980ml 可樂 20ml 6000ml. 請問牛奶是幾公升 幾毫升 公升980毫升 2. 果汁比冰紅茶多了725ml 請問果汁有幾毫升 毫升 共喝了多少毫升呢 ml 毫升 活動十九 容量 在以下的容器中 丟入個50立方公分的砝碼 請問水面會升高到 幾公分 此容器厚度為公分 2 cm A cm 6cm 7cm 22cm chapter 4 量與實測 3. 獨角仙跳完舞後太渴了 於是喝了2杯果汁與瓶可樂 請問他

400 國小數學教材教法 五 重量 國民小學對重量的教學 在三年級時 學童要能報讀3公斤秤盤 如活 動二十 也要能進行公斤與公克的換算 活動二十一 五年級時 要能依 公噸與公斤進行換算 如活動二十二 探究式教學 活動二十 秤盤 小蜜蜂去商店買東西 看到老闆拿出了這個東西 你知道它是什麼 嗎 該如何使用呢 一小格代表幾 一小格代表幾g呢 一大格代表幾g呢 一大格代表幾 呢 g g 這是 kg( g = g = kg kg 500g 2kg.5kg= gg.5kg kg.5kg kg( g.5kg.5kg= gg = g = 活動二十一 重量 周老師練火影術 其中包括雙節棍 大刀 火斧頭 火箭弓與暗 器 他週一到週五練的功不同 請問. 他哪一天使用武器最輕 2. 他哪一天使用武器最重 3. 火斧頭與大刀差多少公斤

401 4. 全部武器一共有多重呢 星期 一 二 三 四 五 武器 雙節棍 大刀 火斧頭 火箭弓 暗器 重量 kg400g 2,800g 2.6kg,700g 0.4kg 活動二十二 公噸與公斤 下面是快樂國小 三到六月份的資源回收量統計表 月份 三 四 五 六 回收量 907公斤 0.76公噸 3.03公噸 4公噸6公斤. 如果資源回收每公噸可以換得回收金2,300元 三月和五月可以 換回多少回金 2. 六月份平均一天的資源回收量是多少公斤 3. 快樂國小 三到六月份的回收量平均一個月是多少公噸 角度的應用 需先將角的定義 進行釐清 如活動二十三 四年級 時 學童要能測量出角度有多少 進行角度的測量 如活動二十四 也要 能進行旋轉角的概念 如活動二十五 到五年級時 要能歸納內角和的公 式概念 如活動二十六 活動二十三 角的定義 在這個客廳有一些角在裡面 請你張大眼睛找一找 看看什麼角在 裡面呢 chapter 4 量與實測 六 角度 385

402 國小數學教材教法 探究式教學. 請問 有角嗎 2. 那這個 有角嗎 為什麼呢 活動二十四 量角器 386 請用量角器量一量 哪些地方藏有角度呢 你可以找到幾種大小相差0度以上的角度呢

403 活動二十五 旋轉面 時鐘上的指針有好多角度哦 指針一直轉不停 你可以測量指針的 角度嗎 點 2點 3點 4點 5點 6點 7點 8點 9點 0點 點 2點 387 chapter 4 量與實測 幾點的時候 時針和分針是直角呢 請塗上紅色 幾點的時候 時針和分針是銳角呢 請塗上橘色 幾點的時候 時針和分針是鈍角呢 請塗上綠色 幾點的時候 時針和分針是80度呢 請塗上藍色

404 國小數學教材教法 活動二十六 多邊形 由下面正多邊形的角度中 你可以發現正七邊形 正八邊形 正九 邊形的內角和是幾度嗎 名稱 探究式教學 正四邊形 正五邊形 正六邊形 正七邊形 正八邊形 正九邊形 內角和 360度 540度 720度 900度 080度 260度 內角度數 920度 08度 20度 28.57度 35度 40度 圖形. 你可以歸納出內角和的計算規則嗎 2. 你可以算出正二十邊形的內角和度數嗎 3. 正二十邊形的每個角各是幾度 388 七 時間 與時間概念相關的教學活動 從一年級至六年級都有 一年級較強調 時間整點與半點的概念 如活動二十七 同時包括每月天數的觀察 如活 動二十八 二年級提及時間的報讀 如活動二十九 對於日期間隔的計 算 如活動三十 三年級對於分 秒的單位換算 如活動三十一 四年級 對於時間概念加減法的計算 如活動三十二 五年級對於時間的乘除計 算 如活動三十三 六年級對於時間於速度概念的應用 如活動三十四 活動二十七 我的時鐘. 現在是 點 分 2. 長針指到6 就表示 分 又可以稱 為 整點或半點

405 3. 長針指到2 就表示 分 又可以稱為 整點或半 點 4. 分針走得比時針快還是慢 5. 分針走圈 時針走 活動二十八 每個月有幾天 今年是中華民國 年 西元 年 請填入今年 每個月的天數 天 十二月 天 十一月 天 十月 天 九月 天 八月 天 七月 天 六月 天 五月 天 四月 天 三月 二月 一月 天 天 活動二十九 下課 是幾點幾分下課呢 請畫出來 活動三十 跨年. 小山2月3日參加跨年活動 2月25日是星期一 小山是星期 幾參加跨年活動呢 2. 九族文化村的櫻花祭 從2月日開始到4月20日結束 請問櫻花 祭一共有幾天呢 chapter 4 量與實測 早上8點40分 蜜蜂公主開始上第一堂課 40分鐘後下課 請問她 389

406 ET ET ET00M223 25M. 5km68km ,20072km62km

407 從獨木橋兩端往中間跑 多久後會相撞 數線表示 3. 鴕鳥和大象在玩捉迷藏 如果時間只有0秒鐘 他們要怎麼 跑 才能在固定時速下相距最遠呢 A 同時 同地 反方向跑 伍 量與實測的教學與學習叮嚀 量與實測的教學 最重要的是培養量感 例如實際測量公分 公 尺 公里 實際經驗公克 公斤 公噸 實際倒水毫升 分公升 公升 從生活中找到測量的工具 如公分刻度尺 秤和量杯等 實際 測量後具備長度 重量與容量等的基本量感 有了基本量感就能較準確的 估測 因此 進行量與實測的教學時 可以先讓學童猜一猜 全班誰最 高 誰最輕 哪個容器裝得水最多 透過猜測 即進 當然 量與實測的教學 除了直觀比較 還有間接比較 所謂間接比 較是沒有工具 又無法直觀比較時 採用的其它工具 譬如2個相似的水 桶 究竟誰裝得多 可以透過杯子 間接的比較工具 看2個水桶各可以 倒幾杯水 就知道哪個水桶容量大 要比較2人的頭圍 可以透過繩子 當做間接的比較工具 因為使用這些不同的間接比較工具 有的是4 個迴紋針長 有的是3枝鉛筆長 有的是5本數學課本長 因為不同的 單位無法得知誰長 因此就有了標準單位的需求 所以 要經驗量與實測 的直觀比較 直接比較 間接比較到標準單位的比較 從實測到估測的步 驟 慢慢累積基本量感 那量與實測的學習就成功了 量與實測的學習 應該是最貼近生活的 舉凡長度 重量 面積與體 積 時間 等 都是生活上常使用到的數學知識與技能 教學時提供真 chapter 4 量與實測 行直觀比較 再問 那高多少 就有標準單位的學習需求 39

408 實 情 境, 讓 學 童 實 際 測 量 長 度 實 際 秤 重 實 際 倒 水, 就 能 對 所 有 測 量 的 量 充 分 理 解 我 們 一 起 來 檢 視 生 活 中, 學 童 的 量 與 實 測 經 驗 究 竟 如 何?. 掂 掂 看, 本 課 本 有 多 重? 個 鉛 筆 盒 有 多 重? 2. 掂 掂 看, 包 糖 果 有 多 重? 3. 不 用 尺, 在 紙 上 畫 出 5 公 分? 你 怎 麼 畫 出 來 的? 比 5 公 分 長 還 是 短? 4. 身 上 哪 裡 有 公 分? 扠 有 幾 公 分? 5. 教 室 裡 哪 裡 有 平 方 公 尺? 校 園 裡 圖 書 館 的 面 積 大 約 幾 平 方 公 尺? 6. 校 園 裡 哪 裡 有 直 角? 最 大 的 角 是 幾 度? 392 您 對 量 與 實 測 的 認 知, 原 本 以 為 是 什 麼? 有 哪 些 相 關 內 容? 最 感 困 難 的 是 哪 個 部 分? 不 同? 現 在 您 對 量 與 實 測 的 認 知, 有 哪 些 感 到 訝 異 的? 和 您 原 本 的 認 知

409 量 與 實 測 的 學 習, 包 括 有 長 度 面 積 體 積 容 量 重 量 角 度 與 時 間 等, 而 教 學 步 驟, 包 括 直 觀 比 較 直 接 比 較 間 接 比 較 到 標 準 單 位 的 比 較 ; 從 實 測 到 估 測 幫 助 孩 子 基 本 量 感 提 供 一 些 不 錯 的 教 學 法 寶, 陳 列 如 下 表

410 9 394

411 拼出錐體 智慧片拼出的創意造型 柒 學習活動 一 打開智慧寶盒 認識公克 公斤報讀秤面的刻度 具有重量量感能實測和估測物品重量 活動一 感覺00公克 布題 每人帶一包00公克的糖果.每組一個秤 先觀察秤面 2.把每包00公克的糖果放上秤面 觀察指針移動的情形 3.報讀秤面的刻度 4.掂掂看 還有什麼東西和00公克的糖果一樣重 活動方式 活動二 估測與實測 布題 拿出身邊各種物品 書 鉛筆盒 水壺 書包.找出最重的物品 估估看有多重 2.各組先估測再實測 3.找出最輕的物品 估估看有多重 4.各組先估測再實測 5.比賽六回合 每次最接近實測的組別得一分 統計後勝 利者為估測王 chapter 4 量與實測 活動目標 395

412

413 王 選 發 (2002) 國 小 六 年 級 學 童 面 積 學 習 之 研 究 未 出 版 之 碩 士 論 文, 臺 中 師 範 學 院, 台 中 林 仁 得 謝 祥 宏 陳 文 典 (993) 國 小 學 童 對 體 積 測 量 的 認 識 師 大 學 報,38, 林 芳 姬 (2004) 國 小 六 年 級 體 積 補 充 教 學 之 研 究 未 出 版 之 碩 士 論 文, 國 立 嘉 義 大 學, 嘉 義 朱 玉 如 (2003) 台 北 市 國 小 學 童 面 積 概 念 學 習 情 形 之 探 討 台 中 師 範 學 院 教 育 測 驗 統 計 研 究 所 碩 士 論 文

414 沈 佑 霖 (2003) 國 小 六 年 級 學 童 體 積 概 念 之 研 究 未 出 版 之 碩 士 論 文, 國 立 屏 東 師 範 學 院, 屏 東 利 玉 芳 (2003) 國 小 二 年 級 學 童 長 度 概 念 之 診 斷 教 學 研 究 未 出 版 之 碩 士 論 文, 國 立 台 北 師 範 學 院, 台 北 俞 筱 鈞 譯 著 (988) 認 知 發 展 實 驗 : 理 論 與 方 法 中 國 文 化 大 學 出 版 部 陳 佩 玉 (2003) 國 小 學 童 時 間 單 位 量 概 念 之 研 究 國 教 學 報,5,6-88 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 教 育 部 (2003) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 張 淑 怡 (2003) 國 小 五 年 級 學 童 容 量 概 念 之 研 究 台 中 師 範 學 院 數 理 教 育 研 究 所 碩 士 論 文 陳 文 典 (993) 國 小 學 童 測 量 概 念 的 認 識 科 學 教 育 月 刊,(2),- 34 黃 金 鐘 (997) 新 課 程 中 年 級 容 量 教 材 的 設 計 國 民 小 學 數 學 科 新 課 程 398 概 說 ( 中 年 級 ) 協 助 兒 童 認 知 發 展 的 數 學 課 程 板 橋 : 教 師 研 習 會, 頁 黃 敏 晃 譯 ( ) 作 估 測 的 理 由 科 學 教 育 月 刊, 第 9 3 期, 頁 25-4 (Usiskin, Z. (986). Reasons for estimation. Estimation and Mental Computation:986 Yearbook, (pp.-5). Reston, VA: NCTM) 甯 平 獻 (200) 數 學 科 教 材 教 法 台 北 : 五 南 湯 惠 雅 (202) 學 童 小 組 成 尌 區 分 法 在 二 年 級 數 學 學 習 之 行 動 研 究 以 時 間 概 念 為 例 未 出 版 之 碩 士 論 文, 明 道 大 學, 台 中 廖 婉 君 (2002) 國 民 小 學 中 年 級 兒 童 對 重 量 概 念 認 知 之 研 究 未 出 版 之 碩 士 論 文, 國 立 台 北 師 範 學 院, 台 北 蔣 建 忠 (2002) K~ 六 年 級 學 童 長 度 迷 思 概 念 的 直 觀 規 律 類 型 之 研 究 國 小 學 童 長 度 測 量 概 念 之 研 究 未 出 版 之 碩 士 論 文, 國 立 台 北 師 範 學 院, 台 北 蔡 春 美 (983) 台 東 縣 山 地 兒 童 面 積 保 留 概 念 與 面 積 測 量 概 念 的 發 展 台 東 師 專 學 報,,23-76 駱 美 如 (2002) 台 北 市 國 小 中 年 級 學 童 在 長 度 概 念 的 表 現 未 出 版 之 碩 士 論 文, 國 立 台 北 師 範 學 院, 台 北

415 劉 德 生 蔡 寶 桂 陳 文 典 (993) 國 小 學 童 輕 重 測 量 概 念 與 技 能 之 研 究 國 教 學 報,5,43-6 簡 文 真 (2005) 利 用 傳 統 統 計 及 模 糊 理 論 來 探 討 國 小 一 二 三 年 級 學 童 長 度 概 念 的 發 展 未 出 版 之 碩 士 論 文, 國 立 台 北 師 範 學 院, 台 北 謝 如 山 謝 名 起 謝 名 娟 譯 (2003) 數 學 科 教 材 教 法 台 北 : 五 南 鍾 靜 (998) 時 間 教 材 與 速 率 教 材 的 設 計 國 民 小 學 數 學 科 新 課 程 概 說 ( 高 年 級 ), 臺 北 : 臺 灣 省 國 民 學 校 教 師 研 習 會 鍾 靜 (2003) 兒 童 時 間 概 念 全 國 施 測 詴 題 設 計 與 初 步 分 析 2003 數 學 與 科 學 的 對 話 : 概 念 學 習 科 教 處 學 術 研 討 會 國 立 高 雄 師 範 大 學 科 學 教 育 研 究 所 承 辦 鍾 靜 (2004): 兒 童 時 間 概 念 調 查 及 診 斷 教 學 之 研 究 (3 3) 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 劃 成 果 報 告,NSC S 蕭 志 芳 (2003) 中 高 年 級 國 小 學 童 時 間 概 念 之 探 究 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 ) 國 立 台 北 師 範 學 院, 臺 北 簡 瑞 萍 (2004) 國 小 學 童 時 間 順 序 與 週 期 概 念 課 程 設 計 與 實 施 ( 未 出 版 之 碩 士 論 文 ) 國 立 臺 北 師 範 學 院, 臺 北 顏 稚 仁 (2000) 國 小 中 年 級 學 童 輕 重 概 念 認 知 初 探 科 學 教 育 研 究 與 發 展,20, 譚 寧 君 (995) 面 積 概 念 探 討 國 民 教 育,35(7 8),4-9 譚 寧 君 (997) 面 積 與 體 積 的 教 材 分 析 國 民 小 學 童 學 科 新 課 程 概 念 ( 中 年 級 ) 協 助 兒 童 認 知 發 展 的 數 學 課 程 ( 頁 75-92) 台 北 : 教 育 部 台 灣 省 國 民 學 校 教 師 研 習 會 譚 寧 君 (998a) 高 年 級 面 積 教 材 分 析 國 民 小 學 數 學 科 新 課 程 概 說 ( 高 年 級 ) 協 助 兒 童 認 知 發 展 的 數 學 課 程 ( 頁,24-229) 台 灣 省 國 民 學 校 教 師 研 習 會 譚 寧 君 (998b) 國 小 兒 童 面 積 迷 思 概 念 分 析 研 究 國 立 台 北 師 院 學 報,, 譚 寧 君 (2000) 面 積 與 體 積 載 於 國 民 小 學 數 學 實 驗 課 程 總 結 性 評 量 分 析, 台 北 : 教 育 部 台 灣 省 國 民 學 校 教 師 研 習 會 Battista, M. T., & Clements, D. H. (998a). Finding the number of cubes in rectangular cube buildings. Teaching Children Mathematics, 4,

416 Battista, M. T., & Clements, D. H. (998b). How many blocks? Mathematics Teaching in the Middle School, 3, Dickson L., Brown M. & Gibson O. (984). Children Learning Mathematics: A Teacher' s Guide to Recent Research. Oxford, Great Britain, England: Schools Council Publications. Pace, R. D. (2004). On time with Arthur. Teaching Children Mathematics, 0(8), Piaget, J. (969). The Child ' s conception of Time. (A. J. Pomerans, trans.) London: Routledage & Kegan Paul. Piaget, J. (974). The Child ' s Conception of Quantities. New York: W. W. Norton & Company. Piaget, J. & Inhelder, B. (969). The Psychology of the Child. New York: W. W. Norton & Company. Tartas, V. (200). The development of systems of conventional time: A study of the appropriation of temporal locations by four-to-ten-year old children. European Journal of Psychology of Education, 6(2), van Hiele, P. M. (986). Structure and insight. Orlando, FL: Academic Press. 400

417 Chapter 5 前 代 數 與 代 數 的 轉 化 在 國 中 常 有 學 童 誤 將 (a+b) 2 =a 2 +b 2, 為 什 麼? 因 為 學 童 常 常 背 誦 公 式, 當 公 式 背 錯 了, 就 會 出 現 不 同 的 錯 誤 要 修 正 學 童 的 錯 誤, 不 是 反 覆 的 考 試 或 訂 正, 而 是 要 讓 學 童 能 徹 底 了 解 公 式 的 原 理, 才 能 使 學 童 真 正 的 學 會 (genuine learning) 代 數 使 用 的 目 的, 是 要 發 現 數 量 的 關 係, 要 用 代 數 的 形 式 來 表 現 這 樣 的 關 係, 而 不 是 只 停 留 在 公 式 的 背 誦 與 操 作 所 以, 學 童 如 何 將 數 字 的 資 料 轉 化 成 代 數 的 方 式, 才 是 教 學 的 關 鍵, 這 樣 的 思 考 才 是 歸 納 的 思 考, 若 進 一 步 進 行 預 測, 則 是 演 繹 的 思 考 而 前 代 數 概 念 的 設 計, 是 為 了 讓 學 童 產 生 代 數 概 念, 使 能 順 利 銜 接, 減 少 學 習 的 困 難 什 麼 是 代 數? 代 數 的 概 念 是 數 量 特 性 (pattern) 的 發 現, 例 如 3 5 7, 接 在 後 面 的 數 字 會 是 什 麼? 就 是 9 3 等 小 學 一 年 級 的 學 童 大 都 能 發 現 這 樣 的 數 字 關 係, 這 在 國 中 七 年 級 就 是 2x+ 的 關 係, 當 x 為 0 時, 答 案 是 ;x 為 時, 答 案 是 3; 等 等, 七 年 級 學 童 要 如 何 將 上 面 的 奇 數 特 性, 轉 化 為 2x+ 的 代 數 形 式, 就 需 要 使 用 代 數 代 數 範 圍 涵 蓋 的 面 向 很 廣, 只 要 是 有 數 量 特 性 的 關 係, 例 如 函 數 數 學 公 式 的 表 現 及 分 析 的 改 變 等, 都 可 以 用 代 數 來 表 示 從 小 學 一 年 級 的 加 法 交 換 律 小 學 二 年 級 的 乘 法 交 換 律 小 學 三 年 級 的 乘 除 法 互 逆 關 係, 到 小 學 四 年 級 的 分 配 律 與 結 合 律 小 學 五 年 級 的 圖 形 面 積 公 式 小 學 六 年 級

418 國小數學教材教法 的正反比關係等等 都與代數有密切相關 甚至 到了國中一年級的一元 一次 國中二年級的畢氏定理 國中三年級的幾何作圖 也都與代數有直 接的關係 代數要如何與學校的課程相互結合 例如在學校的生活環境中 什麼 探究式教學 時候可以使用代數 什麼時候可以發現數字間的關係 學童要能用代數來 預測一些情況 像學校運動會在200公尺競賽時 為什麼站在第二跑道的 同學 站得比第一跑道的同學前面 而兩位間相差幾公尺 經過實測後 會發現原來學校的第一跑道是200公尺 第二跑道是220公尺 第三跑道是 240公尺 依此類推 所以第二跑道的同學會站得比第一跑道的同學 多20公尺 此時 可以再問 那第六跑道的同學會比第一跑道相距多遠 答案也就是 公尺 那如何列出關係式呢 就是 x 20 x就是第幾跑道 即為第一跑道 再乘上固定的差距比例 所以 代數的功能除了找出關係外 另一功能即為預測 402 學童在進行代數概念的學習時 需了解學習代數的目的是什麼 需了 解代數概念要如何與生活相結合 代數的表達是一種溝通 能讓一般人了 解所表達的意義 可用來找出更有效率的方式解決問題 如上例 學童的 好奇心來自運動會200公尺的比賽 但是多數的學童並不了解其中的原因 如果學童發現了上述關係 就會了解內圈與外圈的差別 也就了解什麼時 候可以切換跑道 才不會犯規 教師的責任在於發現平常生活中與代數有關的情境 不只是教導公式 的背誦或是計算的方法 要注重於題目的設計 重點在學童的數學思考 而不是數學的公式計算 當學童完全理解時 就會減少所發生的錯誤 當 學童是用一知半解的方式學習 就會產生很多的問題 例如計算不準確 學習沒有自信 沒有興趣 沒有動機等 所以 數學的代數課程需要設 計 才能營造出合作的需求 也才能協助學童了解代數的樂趣所在

419 貳 教師的挑戰 教師對於國小至國中的代數概念 要能有一貫的認識 對於代數關 係 教師要能具備下列的概念 教育部 2009 NCTM, 對於加法交換律 乘法交換律的特性 能用代數形式來表示 2. 了解等號的意義 即等號為兩邊可同時進行加 減 乘 除的運算 等 3. 對於分配律 結合律等與括號相關的概念 能有深入的認識 並可 釐清使用的情境 可參考第十章的括號概念 4. 對於加減與乘除法的互逆關係 能有清楚的認識 5. 對於數學規律的發現 例如數列 跳數的關係 圖形的規律發現 等 能發現其代數關係式 使其具備歸納與演繹的思考能力 6. 能運用比例的概念 找出兩者間的關係 例如速度與時間等 可參 考第十一章的比率 比例與百分比 8. 對於圖形公式 例如梯形面積等 能創造出更簡便的方式來表達 9. 對於怎樣解題的概念 例如植數問題 年齡問題 雞兔問題 注水 問題 和差問題 規律問題等 都能歸納為代數模式來進行解題 參 前代數與代數的學習 以下依代數的重要性 代數概念的類型 代數概念學習的困難與代數 的教學 分別論述 chapter 5 前代數與代數的轉化 7. 能繪製圖形 並能讀圖看出圖形的關係 403

420 教 育 部 (2009) 將 數 學 綱 要, 分 為 數 與 量 幾 何 代 數 統 計 與 機 率 連 結 等 五 項, 亦 指 出 代 數 概 念 應 用 未 知 數 做 為 數 學 算 式 協 助 學 童 認 識 變 數 概 念 理 解 等 量 公 理 代 數 是 一 重 要 的 主 題, 是 由 數 字 變 數 和 符 號 所 組 成 的 數 學 系 統 ( 廖 瓊 菁,2000) 莊 舜 如 (2006) 提 出, 代 數 概 念 包 含 等 號 的 意 義 算 式 未 知 數 變 數 函 數 和 等 量 公 理 的 概 念 國 小 階 段 與 代 數 相 關 的 概 念, 從 小 學 一 年 級 開 始 到 六 年 級 均 有, 而 國 中 七 年 級 至 九 年 級 全 都 以 代 數 形 式 進 行 解 題 運 算 在 國 小 階 段 的 一 年 級 課 程 中, 應 要 重 視 數 列 規 律 加 法 交 換 律 加 減 法 的 關 係 與 等 號 的 意 義 等 ; 二 年 級, 要 重 視 乘 法 交 換 律 與 面 積 概 念 的 乘 法 等 ; 三 年 級, 要 對 於 乘 除 法 關 係 找 出 周 長 與 面 積 的 關 係 等 ; 四 年 級, 要 能 對 整 數 四 則 分 配 律 與 結 404 合 律 的 概 念 有 深 入 的 了 解 ; 五 年 級, 要 能 運 用 未 知 數 來 代 表 算 式, 並 能 找 出 比 例 的 關 係 等 ; 六 年 級, 要 能 對 於 正 反 比 怎 樣 解 題 與 代 數 結 合 的 連 結, 使 學 童 具 備 高 階 解 題 的 概 念 前 代 數 概 念, 即 為 用 甲 乙 等 代 表 未 知 數 的 符 號 等, 而 代 數 的 概 念 則 是 用 正 式 的 符 號, 例 如 x y 等 來 表 示 未 知 數 在 學 童 學 習 階 段 的 部 分, 前 代 數 概 念 是 在 國 小 教 導, 而 代 數 概 念 是 在 國 中 介 紹 ( 教 育 部, 2009) 有 關 代 數 概 念 的 類 型, 可 從 代 數 的 概 念 類 型 與 代 數 的 文 字 層 次, 分 別 論 述

421 一 代數的概念類型 Usiskin 999 指出 代數具有四種概念 引自陳嘉皇 2006 分別 為. 為歸納算式的特性 如 即可用2 x 來代表其特 性 2. 為解決某特定問題的步驟 當用x代表未知數時 能便於解題 3. 表示數量關係 例如 攝氏與華氏的公式轉換 如y 9 x 32 即 5 表示y為華氏 x為攝氏 4. 當成數學結構 數學語言的表達與公式的證明 均使用代數的形式 進行證明 例如畢式定理 即為邊與斜邊的代數關係 為了求解 均可使用代數形式進行運算 未來至高中 對於統計概 念 三角函數概念等 均可使用代數來進行較為深入的結構運算 二 代數的文字層次 下. 符號可為一個算值 letter evaluated 例如 x 2 5 則x 3 2. 符號可忽視不用 letter ignored 例如 a b 8 請問a b 7 解題過程中 學童會直接忽視a b 而形成8 7 5的答案 3. 符號可為一個物體 letter used as an object 例如 使用n代表物 體的數量 4. 符號可當成一個未知數 letter used as a specific unknown 例如 正三角形的邊長為n 則其周長為3n 5. 符號可當成數字 letter used as a generalized number 例如 a b 8 其中a b可代表很多的數字 chapter 5 前代數與代數的轉化 Kuchemann 98 發展出六個文字符號的概念層次 其層次分述如 405

422 國小數學教材教法 6. 符號是一個變數 letter used as a variable 例如 符號可視為是 一個特定的數值 而此符號是可以改變的 並看出一些符號之間的 關係 從代數的層次來看 學童要能對代數的意義進行轉換 產生不同的概 探究式教學 念 才能對代數有深入的認識 三 代數概念學習的困難 有關代數學習的困難 不論是國內外的學者都提出相關研究 點出了 學童在用x或y代表未知數時 會產生一些迷思概念 以下就等號的迷思 運算的迷思與未知數的迷思 分別論述 一 等號的迷思 Kieran 992 提出 國小高年級學童對於等號和未知數的意義 有 406 概念上的謬誤 例如學童在進行一個數學算式時 如5 2 通常會 認為等號就是一個結果 而不是一個等價的關係 當學童無法將等號視為 一個等價的關係時 就會將2A 5寫成7A Booth, 987; Iiany & Shmueli, 998 也就是說 他們認為等號的右邊應該獲得一個答案 而代數英文 字母大小寫 沒有特別的涵義 Iiany與Shmueli 998 認為 學童對於代數式沒有結構的概念 例如 3 A 2 求A 學童無法將A 視為一個整體 使用等量 公理的概念 得出結果 反而 會忽略括號從等號的左邊進行運算 二 運算的迷思 戴文賓與邱守榕 999 發現 國中七年級學童在代數概念上 會有 以下的迷失概念

423 . 有關代數的意義 在代數問題 學童誤把3x視為3 x 2. 有關代數的運算規則 () 只處理文字符號的同類項 關於常數項的部分 則不視為同類 項 (2) 直接對代數式進行加法運算 例如 對3x 5的算式 繼續化簡 至8x (3) 不知x x 而無法將x視作數字進行運算 3. 含括號的化簡問題 例如 括號外的數字只乘第一項 其他項沒有 相乘 例如5 x 2 5x 2 4. 無法同時對照文字數的代數表徵與圖形表徵 例如 對一次函數與二 次函數 所對應的代數沒有判斷能力 如x 2為線型函數 x2 2為 曲線函數等 三 未知數的迷思 407 Lesh Post與Behr 987 認為 代數是一種符號化的模式 學習代 程式來解題 呂溪木與呂玉琴 998 指出 學童在代數解題所發生的錯誤 例如 不了解 的意義 不了解題意 列式時忽略括號 不會提公因數 不會分 配律等 學童在處理未知數概念時 如雞兔同籠問題時 不知雞的隻數要 視為x 兔的隻數要當成y 綜合上述 代數的學習應避免學童背誦公式或規則 應將代數的情境 結合生活 將數字的特性用代數的形式表達 在作答時 可用圖表的方式 來呈現 來理解題意 教師應要能協助學童 對於代數的迷失概念加以澄 清 例如透過分組的討論 辯證 推理與證明等 來加強代數的使用 讓 學童對代數有深入的了解 chapter 5 前代數與代數的轉化 數的特徵 就是要以符號來表徵未知數的數字關係 並將問題情境轉成方

424 代 數 的 教 學, 其 關 鍵 在 於 培 養 學 童 歸 納 推 理 的 能 力 Ball 與 Bass (2003) 對 於 培 養 推 理 能 力, 提 出 三 點 的 重 要 性 :() 教 師 不 強 調 推 理, 數 學 的 理 解 是 沒 有 意 義 的 ;(2) 數 學 推 理 是 一 項 基 礎 的 能 力, 推 理 能 力 是 使 用 數 學 的 基 礎 ;(3) 數 學 推 理 是 建 構 知 識 的 基 礎 九 年 一 貫 ( 教 育 部, ) 強 調, 應 將 推 理 變 成 習 慣 馬 秀 蘭 (2007) 指 出, 教 師 在 數 學 教 育 的 引 導, 應 協 助 學 童 在 解 決 問 題 時, 能 思 考 所 學 的 概 念, 以 形 成 新 的 概 念 要 如 何 促 進 代 數 的 學 習, 學 者 對 於 分 組 合 作 的 教 學 方 式, 認 為 能 促 進 學 童 的 推 理 能 力 問 題 解 決 的 能 力 溝 通 的 能 力 的 培 養 ( 如 : 歐 惠 如, 2006; 蔡 文 煥,2004; 陳 嘉 皇,2006) Kaput(999) 提 出, 在 國 小 的 代 數 教 學 可 和 數 的 概 念 結 合, 經 由 推 理 408 與 歸 納, 形 成 變 數 之 間 的 式 樣 與 規 律, 進 而 解 決 代 數 的 問 題 因 此, 推 理 與 歸 納 的 能 力, 是 可 以 幫 助 學 童 形 成 代 數 的 概 念, 幫 助 學 童 了 解 形 成 更 多 元 的 思 考 從 上 述 概 念 中, 可 發 現 推 理 能 力 能 促 進 學 童 對 代 數 的 認 識, 不 僅 可 幫 助 學 童 建 立 代 數 概 念, 能 協 助 學 童 對 代 數 概 念 的 思 考 更 為 清 楚, 也 能 夠 協 助 學 童 提 升 問 題 解 決 的 能 力 在 國 小 階 段, 前 代 數 概 念 至 代 數 的 形 成 相 當 關 鍵, 如 何 協 助 學 童 具 備 推 理 的 能 力, 從 小 學 一 到 六 年 級 都 有 不 同 的 活 動, 能 提 升 學 童 的 推 理 分 析 能 力, 也 就 是 代 數 的 核 心 能 力 以 下 依 一 年 級 至 六 年 級 對 代 數 的 相 關 活 動, 提 供 具 體 的 建 議

425 一 一年級的活動 在一年級時 代數概念的活動 可以協助學童發現圖形與數字的推 理 如活動一 二年級時 可對於跳數概念 例如 的形 成 運用古氏數棒來協助學童對乘法有初步概念 跳數的規律也是數列的 重要基礎 如活動二 活動一 找出消失的圖形與數字. 2. ８ ７ ５ ３ ８ ５ ８ ３ ８ ５ ８ ７ ５ 活動二 跳數 chapter 5 前代數與代數的轉化. 409

426 國小數學教材教法 3. 探究式教學 在一年級時 對於加法的數字組合能有概念 例如加法棋盤的活動 可以讓學童在到20的數字組合中 發現相加的特性 學童發現當兩個數字 相加為0的時候 一個數字變大 另一個數字就會變小 例如 等 當左邊的數字變大時 右邊的數字就會變 小 活動三 加法棋盤

427 二 二年級的活動 二年級時 學童可對於00以上的百數表 發現數字規律 對於百數表 的使用 可參考活動四 活動四 百數表 每一條由右上到左下的對角線 相差多少 2. 每一條由左上到右下的對角線 相差多少 3. 為什麼每一行的個位數 都是一樣的數字呢 都相差0 所 以個位數都是一樣 4. 從05開始 每5個數字一數 圈起來 可以發現什麼呢 個 位數是0或5 兩個數字 二年級時 對於乘法概念的認識 例如0 任何數 0 任何數 任何數等 這些乘法的關係都要能有深入的了解 在活動五的乘法神奇 表中 學童要能發現乘法交換律的對稱關係 以建立a b b a的整數概 念 chapter 5 前代數與代數的轉化 還有哪些特別的地方呢 4

428 國小數學教材教法 活動五 乘法神奇表 探究式教學 二年級也是分數概念引入的重要階段 建立學童分數的整體概念 以 形成 2 3 的重要概念 進而讓學童發現 n 的初期整數關係 2 3 n 42 之後才能對於分數的單位概念建立基礎 如活動六 活動六 長條方數板

429 你可以發現等於什麼嗎 例如 2 2 還有什麼呢 二年級也可建立學童的圖形規律概念 讓學童能形成推理的重要觀 念 如活動七 活動七 規律三角形 下面的三角形 有規律地排列著 第5個三角形會有幾個小三角形 呢 第2個 第3個 第個 有4個 有9個 第5個 有 個 有 個 三 三年級的活動 三年級為引入除法概念的階段 學童要能發現被除數 商數與餘數的 關係 活動八即為固定除數0 以能協助學童發現 除法中商與餘數的概 念 更進一步 要能建立學童乘除法互逆的關係 如活動九 活動八 除法方陣 請把數字除以0 分別在 中填入商和餘數 43 chapter 5 前代數與代數的轉化 有個 第4個

430 國小數學教材教法 商 4 5 探究式教學 你發現什麼關係呢 餘數 提示 商和十位數的關係是 餘數和個位數的關係是 44

431 45

432 國小數學教材教法 活動九 發現 的數 請用4 7 2 分別填入下列的 中 () (2) (3) 2 請用8 6 3 分別填入下列的 中 探究式教學 () (2) (3) 四 四年級的活動 四年級為介紹長度的階段 對毫米與公分的長度概念 學童要能建立 簡單的組合概念 如活動十 在此階段 也會引入未知數 如活動十一 同時 更加深對於乘除法互逆 有餘數關係的發現 如活動十二 活動十 工蟻組合 46 工蟻長0.3公分 毛毛蟲長3公分 工蟻和毛毛蟲排排站 共長5公 分 請問工蟻和毛毛蟲各有幾隻. 毛毛蟲隻3公分 工蟻40隻 2. 毛毛蟲2隻6公分 工蟻30隻 3. 毛毛蟲3隻9公分 工蟻20隻 4. 毛毛蟲4隻2公分 工蟻0隻 活動十一 未知數 小花的錢比小明的錢多5元 如果小明的錢是30元 請問小花的

433 錢是多少元. 你可以用 甲 表示小花的錢嗎 算式要如何列呢 30 5 甲 甲 如果小明的錢是40元 小花的錢會是多少元呢 40 5 甲 甲 如果小明的錢是50元 小花的錢會是多少元呢 50 5 甲 甲 你從上面的答案中 發現什麼關係呢 小花的錢都比小明多5元 可以用加法也可以用減法來算 活動十二 數字小天使 數字小天使 在乘法與除法 加法 減法數字王國中 發現有 數字小天使 找到每一組數字進到組合王國的方法嗎 第一組數字是 五 五年級的活動 於五年級的活動設計 對於學童在未知數的使用 可用確認的方式進 行教學 如活動十三 活動十四 目的在於協助學童發現數字的規律關 係 以建立代數的加法關係 活動十五 其目的為建立關係的歸納概念 以協助學童進行更為抽象的思考 chapter 5 前代數與代數的轉化 4個數字需要變換位置 就可以進到任意的組合王國 你可以幫這些 47

434 國小數學教材教法 活動十三 選選看. 6顆鷄蛋30元 如果用A表示顆鷄蛋的價格 下面哪一個算式是 對的 在 中打 A 6 30 探究式教學 A 6 30 A 一年級全部有A人 可以分成8班 每班2人 請問下列哪些算 式是對的 A 8 24 A A 8 活動十四 超級數字機 48 超人買了一台數字機 它會變魔術 如果一堆數字 經過數字機 後 出現下面的數字 你可以發現它是哪一種數字機嗎 加 減 乘 除哪一種呢 你有沒有發現什麼關係呢 20

435 活動十五 數字預言 請隨便寫下一個數字加8 將總和再加一次 再減6 再除以2 再 減掉你寫下的數字 請問答案是多少呢 看看你的答案跟老師的預言 一不一樣呢 六 六年級的活動 在六年級的數列規律 將更有難度 學童要能發現規律關係 進而判 斷 如活動十六 活動十六 數列規律. 找出規律 完成下列空格 () (2) (4) 有一個數列 中 7 是第幾個數 六年級的和差問題 也就是國中二元一次方程式的問題 在六年級 學童可以用湊數的方式進行運算 如活動十七 活動十七 和差問題 兩個數字的和是08 兩個數字的差是44 這兩個數字分別是多 少 chapter 5 前代數與代數的轉化 (3)

436 國小數學教材教法 x y 08 亦可用 x y x y 探究式教學 六年級的雞牛問題 也是二元一次方程式的應用 學童可嘗試各種答 案的方式 以發現數量的變化關係 進而形成兩未知數的列式與相互關 係 如活動十八 活動十八 雞牛問題 一位農夫不想讓它的鄰居知道他有多少隻牛 於是當鄰居問他時 他說 我有牛和鷄35隻 總共78隻腳 試問農夫共有多少隻牛 如果用表格方式整理 你可以發現牛和鷄的數量變化關係嗎 420 鷄的數量 牛的數量 總共的腳數 你要用什麼方式來表示 腳的數量 2 鷄 4 牛 如果用a代表鷄的隻數 b代表牛的隻數 你會發現什麼關係 2a 4b 腳的數量 六年級的圖形規律問題 也就是要能歸納關係 進而從線性關係進行

437 預測 如三根牙籤的問題 如活動十九 活動十九 3根牙籤 如下圖 如果3根牙籤可以排成一個 排成00個 排列方式由左而右 若要 則需要幾根牙籤. 從表格中 你可以發現什麼關係 牙籤 如果要找出牙籤和 2 的關係 用代數的方式表示 是什麼關係 呢 42 n n 2n 與攝氏轉換的關係 如活動二十 活動二十 溫度公式 種類 零點 沸點 華氏 攝氏 0 00 如何找出華氏與攝氏之間的關係 學童可利用 及 中 發現攝氏從零度到沸 chapter 5 前代數與代數的轉化 六年級的比例概念 期望學童能從零點與沸點兩個資訊中 發現華氏

438 國小數學教材教法 探究式教學 422 點的00度等於華氏的80度 從中可以發現攝氏每增加度 華氏要增 80 加 度 因華氏是從32度開始 所以學童可以發現 95 32度的公式關係

439 伍 前代數與代數的教學與學習叮嚀 在國小階段 學習的數學內容以算術為主 亦即數的運算為主 所以 學童有比較多的算術思維 而缺少代數思維 因此 要如何將 代數 的 思維 有技巧的加入國小六年的學習 就變成課程設計需要思考的部分 代數的教學 在國小階段可以從將文字題以未知數列式 解密碼 嘗試從 數列或數量關係中找出公式等三方面著手 從這三方面的經驗來建立代數 的思維 低年級時就可以和學童玩列式遊戲 出題目讓學童按照題意列出算 式 例如姐姐有5元 妹妹不知有多少錢 只知兩人相差2元 學童要按照 題意列出算式5 x 2 只要列式成功就可 並不需要解題 算出答 案 因為單純的達成列式的目標並不難 學童從以未知數來列式 可以增 加學童理解題意與未知數的連結 並能建立等號兩邊等價的意義 中年級時和學童玩密碼遊戲 對學童的未知數解題很有助益 學童很 很有興趣 題目例如老師的電話是4xx40xy 你能猜出老師的電話號碼嗎 當然 要先和學童討論4xx40xy這七碼數字有什麼關係 要先讓學童知道3 個x代表同一個數字 而y代表另一個數字 而且不會是4和0 要解這兩個 數學童可以亂猜 並不需要解題 所以要再加兩個條件 如x y 3 x y 學童會從嘗試錯誤中 去組合成功的數據 若多玩幾次 也讓學童 來出題 學童可以從解密碼的經驗 察覺到如何解未知數 另外 在中高年級時 遇到面積 體積 等有關公式的建立時 可 以讓學童經驗以未知數列出算式 例如正三角形的邊長是m 請問周長是 多少 就是3m 國小代數的教學是要幫學童建構經驗 因此 設計有趣的密碼遊戲 讓學童解未知數 利用多種類的題目 越具挑戰性 學童學習的收穫就越 chapter 5 前代數與代數的轉化 愛解密碼 老師出題讓學童解題 因為要解密碼 學童覺得很具挑戰性 423

440 國小數學教材教法 大 現在 我們就來檢視學童的代數經驗 如利用以下的活動. 爸爸有0元 5元 元的錢幣共20元 可以有哪些組合 2. 如果告訴你 錢幣共有8個 20元中0元 5元 元錢幣 各有 探究式教學 幾個 3. 請出有關錢幣的組合問題 4. 來解密碼 我的手機是092m2nm99m 如果只告訴你m 2n 有幾 種組合 如果再加一個條件是m n 2 那答案是什麼 5. 你也來設計密碼 讓別人解解看 您對代數的認知 原本以為是什麼 有哪些相關內容 最感困難的是 424 哪個部分 現在您對 代數 的認知有哪些感訝異的 和您原本的認知不同

441 前 代 數 與 代 數 的 學 習, 以 未 知 數 ( 用 符 號 代 替 ) 為 開 路 先 鋒 列 出 算 式, 接 著 解 未 知 數, 然 後 理 解 移 項 法 則, 以 及 最 後 能 理 解 等 量 公 理 因 此, 符 號 表 徵 未 知 數 的 活 動, 是 不 錯 的 教 學 法 寶 xyz x 4. 8= = =40 85=40 408=5 405= =40 8=40. 8 = =40 =

442 國小數學教材教法 柒 學習活動 一 打開智慧寶盒 探究式教學 活動目標 經驗未知數的意義 經驗移項法則 經驗算式中去 的變化 經驗未知數的四則混合解題 活動一 變變變 布題 利用電子白板布題. 老師在電子白板設計幾道題目 各是代表多少 = 將符號未知數擺在等號的一端 數字算式會有什麼變 化 3. 發現了什麼 4. 仿題請擬題 426 活動二 去 的變化 布題 老師出計算題 小朋友擬相對應的文字題 活動方式 請擬題 請擬題 請擬題 請擬題 5. 針對以上四題 去 後 算式為何 請討論 6. 發現了什麼 活動三 解四則混合的未知數 布題 老師出計算題 學童解題. x x 2. x x 3. x x 4. x x 5. x x 6. x x

443 二 統整 活動 解密碼大賽 適用年級 教學目標 中 高年級.具有解未知數的生活經驗 2.理解未知數的需求 3.能解未知數 核心概念 未知數的必要性與方便性 設計構想 未知數其實存在生活中 學童最常碰到的就是解密碼 因此 以解密碼的方式讓學童經驗未知數的必要性與方便性 是滿 貼切的活動 教學活動 教學重點 活動二 尋寶的鎖鑰 4.有太多組合了不好猜 如果老師再給條件 y x 有 哪些組合 也還是太多了 再給一個條件 x y 3 發現了什 麼 6.想知道班上同學誰的電話 請他設計密碼 解出來就可 以打給他囉 7.請學童分組出題 讓別組解密碼 chapter 5 前代數與代數的轉化 活動一 老師的電話號 碼.老師呈現電話號碼 4xx40xy 2.誰看得懂老師的電話號碼 4xx40xy是什麼意思 學童 能知道xy代表兩個不同的數字 而且是除了4和0之外的 數 3.猜猜看 學童嘗試組合.學童分五組 2.每組有一串鑰匙 3.保險箱分別有五個鎖孔 需要配對正確的鑰匙 才能打 開拿到寶物 4.每串鑰匙有mnxyz五個密碼 5.通關密碼如下 m n x x y z 2x n z y m n x y z 26 x y z 9 6.最快解開密碼的得到寶物

444 國小數學教材教法.有張神秘寶藏 寶藏圖只有一條算式 奇妙的是其中被 隱形水藏住的數字就等於整條算式的答案 活動三 神秘寶藏 探究式教學 2.寶藏圖的算式如下 你能解出隱藏的數字嗎 4.需要求助嗎 據說古老的東方有隻智慧龍 牠開金口指 示 此隱藏術是奇數 而且具有神奇的力量 是個特 殊的數字 5.你要先猜猜再解嗎 解出對等的算式就算答對囉 加 油 參考書目 呂溪木 呂玉琴 988 代數在國民小學教學之可行性研究 國科會專題 研究計劃報告 NSC74-0-S003-6 NSC74-0-S 莊舜如 2006 國小高年級學童代數思考能力測驗之研究 國立台南教育大 學統計研究所碩士論文 未出版 台南市 馬秀蘭 2007 學童思考過程之探究 以實務推理為例 科學教育學 刊 第5卷第4期 陳嘉皇 2006 國小五年級學童代數推理策略應用之研究 以 圖卡覆蓋 解 題情境歸納算式關係為例 屏東教育大學學報 教育部 2009 國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域 台北市 教育 部 蔡文煥 2004 協同教師發展有利數學意義產出之課室討論文化之研究 海峽兩岸教育行動研究研討會論文集 下 北京師範大學教育學院 廖瓊菁 2000 國小六年級代數教學之研究 屏東師範學院國民教育研究所 論文 未出版 屏東 歐惠如 2006 數學推理規範發展下對三年級學童數學推理歷程之探究 國 立新竹師範學院國民教育研究所碩士論文 戴文賓 邱守榕 999 國一學童由算術領域轉入代數領域呈現的學習現象與 特徵 科學教育 0 頁48-74

445 Ball, D. L. & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W. G. Martin, and D. Schifter (Eds.), A research Companion to Principals and Standards for School Mathematics (pp.27-44). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Booth, L. R. (987). Equation revisited. Tn Bergeron, J. R., Herscovic, N., Kieran, C. (Eds.), Proceedings of the Eleventh International Conference for the psychology of Mathematics Education (pp ). Iiany, B. S., & Shmueli, N.(998). Automatism"in finding a solution"among junior high school students, PME 22(3), Kuchemann, D. E. (98). Algebra. In K. M. Hart (ED.), Children ' s understanding of mathematics: -6, London: John Murray. Kaput, J. (999). Teaching and learning a new algebra. In E. Fennema and T. Romberg (Eds.), Mathematics Classrooms That Promote Understanding, Mathwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Kieran, C.(992). The learning and teaching of school algebra. In D. A. Grouws (ED.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, New York: Macmillan Pub. Lesh, R., Post, T., & Behr. M. (987). Representations and translations among 429 representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier(ED.), Problems or representation in the teaching and learning of mathematics. NJ: Lawrence Erlbaum Associates. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM. Usiskin, Z. (999b). Conceptions of school algebra and uses of variables. In B. Mose (ED.), Algebraic thinking grades K-2 (pp.7-3). Reston, Virginia: NCTM.

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