棣美弗定理與 Euler 公式林琦焜 The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain. J. Hadamard ( ) 數學裡有許多迷人的公式能夠知道

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戎莫
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1 棣美弗定理與 Euler 公式林琦焜 The shortest path betwee two truths i the real domai passes through the complex domai. J. Hadamard ) 數學裡有許多迷人的公式能夠知道它的來源, 瞭解其內涵並有深刻的体會, 雖然花點時間但絕對是值得的引用高斯 Karl Friedrich Gauss, ) 的商標, 即一幅畫其中有一棵樹, 上面只結了七個果實, 下面寫著雖少卻熟透, 所謂抓一小把而心安理得, 遠勝過雙手滿捧卻勞碌捕風在三角函數與複數理論中最重要的公式, 我個人認為是 Euler 公式 e iθ = cosθ + i si θ 這是 Euler 在 1748 年所發表若 θ = π 就是 e πi + 1 = Euler ) 非常喜愛這個公式, 並宣稱這是最美麗的數學公式, 他熱愛到將這公式刻在皇家科學院的大門上這式子有 1, 分別是乘法, 加法這兩個基本運算系統的單位元素, 整個數字系統最根本的概念, 還有三個運算方法加乘與次方另外還有兩個特別的數 : 指數 e 與圓周率 π, 再加上 i 這個虛數單位 i 顧名思意是取虛數 imagiary umber 的第一個字母, 這是 Euler 第一個提議, 但卻是高斯使得代表 1 的符號 i 廣被使用, 他將 a + ib 命名為複數 complex umber) 而稱 a + b 為範數 orm)) i 的幾何意義是旋轉, 將 x 軸轉換到 y 軸關於這個事實人們有這麼一段笑話 : You have reached a imagiary umber. If you reguire a real umber, please rotate your telephoe by 9 ad try agai. 您撥的是虛號虛數 ), 如果您要撥實號實數 ) 請將您的電話旋轉 9 度後再重撥 3

2 4 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月歷史上第一個給出複數之幾何表示的學者是挪威數學家 Casper Wessel ) 之後 Jea Robert Argad ), J. Ware 和高斯 Gauss) 等人也相繼獨立發表了複數的幾何表示其中以高斯的工作對於後代的數學產生普遍的影響實際上 Euler 並不是憑空想像推導出 Euler 公式, 在他之前法國數學家棣美弗 de Moivre, ) 就在 17 年提出著名的棣美弗定理 1.1), 由棣美弗定理加上極限的概念可推導出 Euler 公式除此之外, 棣美弗也是機率論的創始者之一, 今天我們所說的常態分配 ormal distributio) 或高斯分配事實上是棣美弗先發現的, 關於其生平讀者可參閱毛起來說三角 [4]) 一書 1. 棣美弗定理從歷史的發展而言, Euler 公式與棣美弗定理有直接密切的關係, 令 ϕ = θ 則 cosϕ + i si ϕ) = cosϕ + i si ϕ) 1.1) cos θ + i si θ = cos θ + i si θ ) 1.) 這等式對所有的正整數都成立, 所以可以考慮的情形, 由三角函數之性質 cos θ 1, si θ θ, 1, θ 可以合理地猜測 cosθ + i si θ = lim cos θ ) + i si θ = lim 1 + iθ ) = e iθ 1.3) 這就是 Euler 公式! 在這裡我們已悄悄地承認極限 lim 1 + x ) = e x 對於複數 x 也成立我們從三角公式 cos x + si x = 1 畢氏定理 ) 開始, 因式分解可得令右式的兩個函數分別是 1 = cos x + si x = cosx + i si x)cos x i si x) fx) = cos x + i si x, gx) = cosx i si x 1.4) f, g 之關係為 fx)gx) = 1, gx) = f x)

3 棣美弗定理與 Euler 公式 5 則棣美弗定理告訴我們 f 滿足函數方程 fx)fy) = fx + y), [fx)] = fx) 1.5) 但根據我們對於函數的瞭解, 具有這個性質的函數就是指數函數 expoetial fuctio) 所以可以大膽假設 f 就是指數函數 fx) = cosx + i si x = e Kx K 待求 ) 我們可以驗證看看 e Kx1 e Kx = e Kx 1+x ), e Kx ) = e Kx) 與 1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分因此 K = i, 換言之 df dx = KeKx = si x + i cosx = icosx + i si x) 這正是 Euler 公式同理對於函數 gx) 也有類似的公式 : fx) = cosx + i si x = e ix 1.6) gx)gy) = gx + y), [gx)] = gx) 1.7) gx) = cosx i si x = e ix 1.8) 將正負兩者合併 cosx ± i si x) = cosx ± i si x 設 z=rcosθ + i si θ) 則棣美弗定理的一般式為 =, 1,, 3,...) z = [rcosθ + i si θ)] = r cosθ + i si θ) 1.9) 實際上棣美弗定理對於負整數也成立, 假設 1/z=ρcosϕ+i si ϕ) 則 1 = z z 1 = rρ[cosθ + ϕ) + i siθ + ϕ)] 所以故 rρ = 1, θ + ϕ = π = ρ = 1, ϕ = θ + π r z 1 = 1 z = r 1 cosθ i si θ) = r 1 [cos θ) + i si θ)]

4 6 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月再由歸納法結論 z = 1/z) = r [cos θ) + i si θ)] 1.1). 指數函數既然 Euler 公式本質上就是指數函數 e x 之解析延拓 aalytic cotiuatio) 的問題, 我們就從指數函數的角度來探討 Euler 公式基本上指數函數 e x 有兩個定義方式 A) e x = lim 1 + ) x, x R B) e x x =!, x R = A) 我們模仿 A) 的定義方式將 x 換為任意的複數 z = x + iy 首先將 1 + z 表為極式其中 r = 所以由棣美弗定理得知假設極限存在 ) e z = lim 1 + z.1) ) 1 + z = 1 + x ) + i y = r cos θ + i si θ ).) 1 + x ) + y ), ta θ = y 1 + x = y x +.3) e z = lim 1 + z = lim r ) cosθ + i si θ ) = rcosθ + i si θ).4) 所以現在的問題就是決定 r, θ 這兩個極限 r = lim r =? θ = lim θ =?.5) 直觀而言 r = 1 + x ) + y = 因此由指數的定義可以證明 1 + x + x + y r = lim r = lim 1 + x ) / 1 + x, 1 = e x.6)

5 棣美弗定理與 Euler 公式 7 另外因為 θ ) 所以 lim θ ta θ = lim θ si θ cosθ = 1 ) θ θ θ = lim θ = lim ta θ = lim taθ ta θ ) y 1 + x = y.7) 定理.1. 已知 z = x + iy 則 e z = e x+iy = e x cosy + i si y).8) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式由這個定理可容易證明函數方程系.. 指數函數 e z 滿足函數方程 e z 1+z = e z 1 e z z 1, z C.9) 證明 : z 1 = x 1 + iy 1, z = x + iy 則 e z 1+z = e x 1+x )+iy 1 +y ) = e x 1+x cosy 1 + y ) + i siy 1 + y )) = e x 1 cos y 1 + i si y 1 ) e x cosy + i si y ) = e z1 e z 這個函數方程 fuctioal equatio) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看 B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 e z = = z, z = x + iy.1)! 在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 aalytic fuctio), 因為是無窮級數所以必需先討論收斂性問題對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 modulus) 或範數 orm) z = x + iy = x + y

6 8 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月其實就是平面向量 x, y) 之長度, 因為 z z, 所以 e z z = =! = z! = e z 這個不等式告訴我們對所有的複數 z C, z <, e z 都是有定義的即收斂 ), 而且可證明其收斂半徑 R =, e z 不僅是解析函數, 更是一全函數 etire fuctio) 逐項微分 d dz [ez ] = =1! z 1 = =1 也就是說 w = e z 滿足微分方程且是唯一解!) 1 1)! z 1 = = 1! z = e z.11) 同理可證 dw dz = w, w) = 1.1) d dz ez+ξ e z ) = d ) wz + ξ)w z) dz = w z + ξ)w z) wz + ξ)w z) = wz + ξ)w z) wz + ξ)w z) = 因此 e z+ξ e z 是一常數函數, 所以令 z = ) 令 ξ = 則 e z+ξ e z = e ξ e = e ξ.13) e z e z = e = 1 = e z = 1 e z 利用這個關係式.13) 兩邊乘 e z 就是指數函數的加法運算法則等式.14) 告訴我們指數函數 e z 滿足函數方程 e z+ξ = e z e ξ.14) fz + ξ) = fz)fξ).15) 我們也可以由 Taylor 展開式來證明函數方程令 fz) = = z! 逐項微分 f ) z) = fz), z C, N

7 棣美弗定理與 Euler 公式 9 所以 fz + ξ) = fz) + f z) ξ + f z) 1!! = fz) [1 + ξ 1! + ξ = fz)fξ) ξ + + f) z) ξ +!! + + ξ! + ] 這個著名的函數方程可追溯至法國數學家 Cauchy Cours d Aalysis 181) 在實數的情形, 他證明 e αx 是唯一的連續函數滿足函數方程.15), 在後來的研究更證明, 在有限區間時, 指數函數 e αx 是唯一滿足.15) 的可測函數 measurable fuctio) 令 z = iy 代入定義 B) 就是 Euler 公式 e iy = iy) =! = 利用函數方程可得更一般的公式 1) k k= k)! yk + i k= 1) k k + 1)! yk+1 = cosy + i si y.16) e z = e x+iy = e x e iy = e x cos y + i si y).17) 我們可以驗證 e z 滿足所有在實數情形的指數函數之性質而且更豐盛, 例如 e z+πi = e z e πi = e z cos π + i si π) = e z.18) e z 是一個週期函數其週期為 πi 虛的週期!) 這個性質在實數是不存在的 3. 微分方程從微分方程的角度來看 Euler 公式也是很自然的令 z = x + iy 為任意複數, 由指數之性質我們期待 e z = e x+iy = e x e iy 3.1) e iy 這項是全新, 如果我們希望指數的運算法則對於複數也成立的話, 那麼第一要務就是釐清 e iy 是什麼! 由微分方程而言這相當於姑且將虛數 i 視為一個實數 ) fy) 不可能是實數, 因此令 fy) = e iy df dy = if, f) = 1 3.) fy) = gy) + ihy) 3.3)

8 1 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月代回微分方程 3.) 實部等於實部, 虛部等於虛部, 所以 df dy = g y) + ih y) = ify) = hy) + igy) g y) = hy), h y) = gy) 所以 g, h 都滿足二階微分方程 g y) + gy) =, h y) + hy) = g, h 之差異可由 f) = 1 來決定 f) = g) + ih) = 1 g) = 1, h) = 但這還不夠因為 g, h 都滿足二階微分方程由 g, h 之關係可得 g ) = h) =, h ) = g) = 1 整理一下 g, h 滿足二階微分方程的初始值問題 g y) + gy) =, g) = 1, g ) = h y) + hy) =, h) =, h ) = 1 3.4) 由二階微分方程的理論可以證明 gy) = cosy, hy) = si y, 這就是 Euler 公式 fy) = e iy = cos y + i si y 前面的推導過程中我們發現 f 滿足一階微分方程係數是複數 ) 而其實部與虛部則滿足二階微分方程實係數 ), 這完全是合理的, 因為複數本來就是二維 C R ) 4. 三角函數與雙曲函數 Euler 公式告訴我們 e ix = cosx + i si x, e ix = cos x i si x, x R 因此三角函數可以表示為指數函數之形式 cosx = 1 eix + e ix ), si x = 1 i eix e ix ) tax = si x cosx = eix e ix ie ix + e ix ) 4.1)

9 棣美弗定理與 Euler 公式 11 這件事實同時說明 Euler 公式也是三角函數與指數函數之橋樑利用類比法, 我們可以將三角函數推廣至複數 z C 整理就是複數形式的 Euler 公式 cosz = 1 eiz + e iz ), si z = 1 i eiz e iz ), taz = si z cosz = eiz e iz ie iz + e iz ) 4.) e iz = cos z + i si z, z C 另外仿定義 B) 也可以從冪級數的角度定義三角函數 cosz = 1 z! + z4 4! + + 1) z )! + 4.3) si z = z z3 3! + z5 5! + + 1) z )! + 而且可以證明 4.) 由 4.) 不難證明所有的三角公式複數的情形!) 例如註解 : 1) 如果 z = π, 則 siz 1 ± z ) = si z 1 cosz ± cosz 1 si z cosz 1 ± z ) = cosz 1 cosz si z 1 si z 4.4) si z + cos z = 1, siz + π ) = cosz, siz π ) = cos z 4.5) d d si z = cosz, dz cosz = si z 4.6) dz e iπ = cosπ + i si π = 1 或 e iπ + 1 = 4.7) 這就是 Euler 所說最美麗的公式我們可以更進一步取對數, 則 log 1) = iπ, 負數的對數是一個虛數實際上對 Euler 而言複數是可以放進超越函數裡面! ) 取 z = π/ 則 e i π = cos π + i si π = i 4.8) 取對數 π = i l i 圓周率 π 可藉由虛數來表示 ), 或者 4.8) 兩邊取 i 次方 i i = e iπ/ ) i = e π/.78...

10 1 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月虛數的虛數次方可以是實數! 這只是其中一個值, 更正確地說 i i = e i log i = e i iπ/+kπ) = e π/+kπ), k =, ±1, ±, 回顧一下雙曲函數因此 cosx ± iy) = 1 sih x = ex e x, cosh x = ex + e x tah x = sih x cosh x = ex e x e x + e x e ix±iy) + e ix±iy)) = 1 e ix e y) + e ix e ±y) = 1 e y cosx + i si x) + 1 e±y cos x i si x) 4.9) = cos x cosh y ± i si x sih y 4.1) 同理可得 six ± iy) = si x cosh y ± i cosxsih y. 4.11) 在複數的領域我們可以輕易地在三角函數圓函數 ) 與雙曲函數之間作變換三角函數與雙曲函數之關係如下 : siiz) = i sih z, sihiz) = i si z, 其它雙曲函數的重要性質有 sih z) = sih z, cosiz) = cosh z coshiz) = cosz cosh z) = cosh z 4.1) sihz 1 ± z ) = sih z 1 cosh z ± cosh z 1 sih z 4.13) coshz 1 ± z ) = cosh z 1 cosh z ± sih z 1 sih z cosh z sih z = 1 關於其它重要性質讀者可參閱複變函數論的書除此之外, 還有更出乎意料之外的, 例如三角方程式 cos z = a, si z = a, a > 1

11 棣美弗定理與 Euler 公式 13 在複數的情形是有解且有無窮多解!) 這在實數的情形是絕對不可能的因為 si x 1), 例如 cos z = 由 4.1) 得 cosz = cosxcosh y + i si x sih y = cosxcosh y =, si x sih y = 這組聯立方程式的解為 x = π, cosh y =, =..., 1,, 1,... 所以 e y 4e y + 1 =, = y = l ± 3) 因此 z = cos 1 = π + i l ± 3) 三角方程式 cos z = 不僅有解甚至是無窮多解 5. 在積分之應用對 Euler 而言複數的積分可以視為實數的積分, 後來 Poisso, Laplace 更是藉此方法複數的變數變換 ) 計算了許多著名的積分, 這也間接促成 Cauchy 為了解決積分的問題而創立複變函數論, 也難怪 Hadamard 要說 : 複數是通往兩個實數真理的捷徑將 p + iq 視為實數, 則由微積分的常識可得再由 Euler 公式將 5.1) 分成實部與虛部 e px cosqxdx = e p+iq)x dx = p + iq p + q p > ) 5.1) 將 q 視為變數, p 為常數, 從 a 到 b 積分 b a e px cosqxdxdq = 但另一方面變換積分順序 b e px a = b e px si qxdx = a b/p a/p p p +q 5.) q p +q b p p + q dq = 1 dq p a 1 + q/p) du 1 + u = b/p ta 1 u = ta 1 b a/p p a ta 1 p cos qxdqdx = e pxsi bx si ax dx x

12 14 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月令 b =, 可得積分公式再令 p, e pxsi ax dx = ta 1 a x p lim e pxsi ax p x dx = ta 1 ± ) = π, a > π, a < 把 a = 也考慮進來就是著名的 Dirichlet 積分 π si ax, a > dx =, a = 5.3) x π, a < 例題 5.1. 證明 π cos θ cosθ dθ = π, =, 1,, ) 解 : 這個積分可由複變函數理論的留數定理 Residue theorem) 而來! 但是藉由棣美弗定理則是比較直觀首先由等式 cosθe iθ = 1 + e iθ 可得 cos θe iθ = 1 + e iθ ) 再令 θ θ cos θe iθ = 1 + e iθ ) 兩個等式相加 cos θe iθ + e iθ ) = +1 cos θ cos θ = 1 + e iθ ) e iθ ) 但是由二項式定理 1 + e iθ ) = 1 + a 1 e iθ + + a e iθ, a 1, a,...,a, R 1 + e iθ ) = 1 + b 1 e iθ + + b e iθ, b 1, b,...,b R 由於故 π e ikθ dθ =, k = ±1, ±,...,± π π +1 cos θ cos θdθ = dθ = π

13 有興趣也可證明 Wallis 積分 =, 1,,...) π 令, 可以證明或者是 Wallis 乘積 ) π 棣美弗定理與 Euler 公式 15 si θdθ = cos θdθ = π)!!) ) π ) 1) = = π, 5.5) 4 6 ) 4 6 π = lim ) 1 π = lim ) + 1) 例題 5.. 證明 Mehler 公式 π 1 a + b cosθ dθ = 5.6) π a b, a, b, b/a < 1 5.7) 解 : 因為 bz + az + b = bz α)z β) 其中 α = a a b, β = a + a b, αβ = 1 b b 但由棣美弗定理 1 a + b cosθ = a + be iθ + e iθ ) = e iθ be iθ + ae iθ + b e iθ = bα e iθ )e iθ β) = β α) [ ] 1 1 βe iθ = + a b 1 βeiθ 1 βe iθ [ 1 = βe iθ ] β e iθ + β e iθ a b 1 = [1 + a b 因為 π cos θdθ =, = 1,, 3,... 故 π = = β cosθ 1 a + b cosθ dθ = = ] π a b α α e iθ + β ) e iθ β 5.8)

14 16 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月這個積分也可由複變函數理論的留數定理而來! 如果將 5.8) 最後的等式視為 Fourier 級數, 則不難猜測留數 residue) 與平均值 Fourier 級數之首項 ) 或質量中心有極密切之關係 6. 正多邊形與等分圓當複數被引進數學界之後, 正邊形的作圖問題就可藉助於分圓方程式 cyclotomic equatio) z 1 = 來解決所謂作圖, 按歐幾里德的意義僅限於使用圓規與直尺, 在這種限制之下可以證明 ) 只能作出有理數, 平方根以及經由有限次的有理運算即加減乘除之四則運算 ) 或開方所得的數, 所以一般而言, 三次方根不能以圓規直尺作圖, 這就是三等分一角及倍立方等古希臘問題不能解的原因關於正多邊形的作圖最著名的就是高斯在 18 歲時所發現正十七邊形的作圖法, 他對此一發現既高興又驕傲甚至對朋友說, 將來他的墓碑上要刻一個正十七邊形 [6]) 例題 6.1. 試解分圓方程式 z = 1 解 : 可以假設 z = cosθ + i si θ, θ < π, 則由棣美弗定理可知 z = cosθ + i si θ) = cosθ + i si θ = 1 所以 cos θ = 1, si θ = 由正弦餘弦函數之性質可得 θ =, π, 4π,..., 1)π, π = θ =, π, 4π 所以方程式的個根為 z = 1, cos π + i si π 1)π,, cos + i si 這些點正好把單位圓分成等分, 分圓方程式可以因式分解 1)π,...,, π 1)π 因此方程式 z 1 = z 1)z 1 + z + + z + 1) = z 1 + z + + z + 1 = 的根由棣美弗定理可以表示為 k = 1,,..., 1) z = z k = cos π + i si π ) k = e i π ) k = cos kπ kπ + i si 我們可以跟古典的方法做比較, 考慮 = 5, z 5 = 1: 摹仿 Lagrage 的方法, 改寫成 z 4 + z 3 + z + z + 1 =

15 棣美弗定理與 Euler 公式 17 令 u = z + z 1, z + z = u 則 z + z ) + z + z 1 ) + 1 = u + u 1 = u = 1 ± 5 另外由 u 之定義可知 z 滿足二次方程式 z uz + 1 = 所以 z = u ± u 4 再利用 u = 1± 5 可以將 z 表為與棣美弗定理所得相同之答案, 但如果考慮更高階方程式就不可能像棣美弗定理那麼直接了當給出所有所有的解我們看方程式 z 5 = 1 其中一個解 z = cos π 5 + i si π 5, u = z + z 1 = z + 1 z = cos π 5 因此 4 cos π 5 + cos π 5 1 = 所以 cos π 5 = 1± 5 4 因為 cos π 5 > 故 cos π 5 = 5 1 4, 因此這個數可以僅用有限個有理數與平方根來表示 5 可以由 1 與 5 的比例中項而得 ), 換句話說正五邊形 petago) 可藉由圓規直尺作圖而得圖一. z = 1 的根例題 6.. 試解次方程式 z = 1 解 : 仍然假設 z = cosθ + i si θ, θ < π, 則由棣美弗定理得知 z = cosθ + i si θ) = 1 因此 θ = π, 3π, 5π,..., 1)π = θ = π, 3π,..., 1)π z = cos π + i si π 1)π 1)π,, cos + i si

16 18 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月這些點仍然將單位圓分成等份, 但與 z = 1 比較則是旋轉了 π/ 角圖二. z = 1 的根例題 6.3. 方程式 z = ξ = re iθ = rcosθ + i si θ) 的解為 k =, 1,,..., 1) [ z = ξ 1/ = r 1/ e iθ+kπ)/ = r 1/ cos θ + kπ ) θ + i si + kπ ) ] 從幾何的觀點而言, 複數 ξ = rcosθ + i si θ) 開次方根可以解釋為 : 以原點為原心, r 1/ 為半徑畫一個圓而後在這圓上作一正邊形, 再將此正邊形旋轉至其中一個頂點所在位置之輻角等於 θ/, 則此正邊形的個頂點所在位置之複數座標就是 ξ = rcosθ+i si θ) 的次方根圖三. z = ξ 的根我們看兩個例題 : 二次方程式 z = i 與 z = i 的兩個根為 z 1 = e iπ/4 = i) z = e i5π/4 = 1 1 i) z 1 = e i3π/4 = i) z = e i7π/4 = 1 1 i)

17 棣美弗定理與 Euler 公式 19 其幾何意義圖示如下圖四. z = i 的根 A, B, z = i 的根 A, B 關於任意角三等分的問題可以表示為 z 3 = cosθ + i si θ, 其三個根分別是 z 1 = e iθ/3 = cos θ 3 + i si θ 3 z = e iθ+π)/3 = cos θ + π + i si θ + π 3 3 z 3 = e iθ+4π)/3 = cos θ + 4π 3 + i si θ + 4π 3 我們可以證明方程式不可化簡 irreducible), 也就是這三次方程式的根無法經由有限次的開根號表示, 所以三等分任意角特殊角除外 ) 不可能藉由圓規直尺作圖而得例題 6.4. 試解 z + 1) = z 解 : 顯然 z = 不會是方程式的根, 因此方程式可以改寫為 z+1 z ) = 1 根據棣美弗定理, 這次方根的解可以表示為 k =, 1,,..., 1) z + 1 = cos kπ z 交叉相乘並利用半角公式整理可得 1 = z 1 cos kπ 所以 z = = z = iz si kπ 1 i si kπ cos kπ + i si kπ ) + i si kπ ) kπ i si si kπ i si kπ cos kπ cos kπ + i si kπ ) ) = cos kπ i si kπ i si kπ = 1 i1 cot kπ, k = 1,,..., 1

18 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月值得一提的是所有的根都落在 x = 1 這個軸上例題 6.5. 證明三角恆等式 1 si kπ 1 = cos kπ = 1. 解 : 考慮方程式 z 1 = z ) 1 = 這個方程式有個根, 正好將單位圓分成等分, 每一等分之角度為按因式分解 π = π, 方程式除 z = ±1 以外其他的根為 z 1 = z 1)z + 1) e iπ± kπ ), k = 1,,..., 1 = z 1)z + 1) = z 1)z 1 z e iπ+ kπ )) z e iπ kπ )) z + z cos kπ + 1 ) z + cos kπ + z 1 ) 兩邊同時除以 z z z = z z 1 ) 1 z + cos kπ + z 1 ) z 位於單位圓上, 因此可設為 z = cos θ + i si θ, 則由棣美弗定理可知代回上式 z 1 = cos θ i si θ, z = cosθ + i si θ, z = cosθ i si θ 1 i si θ = i si θ cosθ + cos kπ ) si θ si θ = 1 1 cosθ + cos kπ ) 令 θ, 因為 lim θ siθ si θ =, lim θ cos θ = 1, 所以 1 = cos kπ 1 ) = 1 cos kπ

19 棣美弗定理與 Euler 公式 1 因為 cos kπ >, k = 1,,..., 1) 所以開根號得 1 另外由於 si θ = cos π θ) 可容易證明 1 cos kπ = si kπ = Chebyshev 多項式由棣美弗定理與二項式定理可以推導出 Chebyshev 多項式 cosθ + i si θ = cos θ + i si θ) = cos θ + cos 1 θi si θ) + 1) cos θi si θ) + + i si θ) 7.1) 所以 cosθ 就是右邊的實部, 也就是 i si θ 的偶次方之和, 但 si θ = 1 cos θ, 因此所有正弦函數 si θ 都可以變換為 cosθ, 也就是 cosθ 可以表示為 cosθ 的多項式我們利用這關係式定義 Chebyshev 多項式 T x): 令 x = cos θ, 1 x 1, 則利用共軛之關係可得 cosθ = T cosθ) 7.) T x) = cos cos 1 x) 7.3) cosθ = 1 [cos θ + i si θ) + cosθ i si θ)] = 1 [ cosθ + i si θ) + cosθ i si θ) ] = 1 [ cosθ + i 1 cos θ) + cosθ i 1 cos θ) ] = 1 [ cosθ + cos θ 1) + cosθ cos θ 1) ] 7.4) T x) 可以寫成 T x) = 1 [ x + x 1) + x x 1) ] 7.5)

20 數學傳播 7 卷 4 期民 9 年 1 月顯然 T x) 是 x 的次多項式我們也可以將 7.1) 表示為 ) cosθ + i si θ = cos m θi si θ) m m 令 m = k, k =, 1,,..., [/] m= i si θ) m = 1) k 1 cos θ) k = cos θ 1) k 7.6) 所以 cos θ = T x) = [/] k= [/] k= ) cos k θcos θ 1) k 7.7) k! k)! k)! x k x 1) k 7.8) Chebyshev 多項式前面兩項為 T x) = 1, T 1 x) = x 但是其它項由 7.8) 直接計算是太過複雜, 正確的方法是導出遞迴公式 cos θ = cos[θ + 1)θ] = cosθ cos 1)θ si θ si 1)θ cos )θ = cos[ θ + 1)θ] = cosθ cos 1)θ + si θ si 1)θ 兩式相加 cosθ + cos )θ = cosθ cos 1)θ 7.9) 這等式相當於 T x) + T x) = xt 1 x) 7.1) 由此可推得 T x) = x 1, T 3 x) = 4x 3 3x, T 4 x) = 8x 4 8x ) 參考文獻 1. George F. Simmos, Differetial Equatios with Applicatios ad Historical Notes, d Ed., McGraw-Hill, George F. Simmos, Calculus with Aalytic Geometry, d Ed., McGraw-Hill, Eli Maor, e: The story of a umber, Priceto Uiversity Press, Priceto, New Jersey, 中譯本 : 毛起來說 e, 胡守仁譯, 天下文化出版, ) 4. Eli Maor, Trigoometric Delights, Priceto Uiversity Press, Priceto, New Jersey, 中譯本 : 毛起來說三角, 鄭惟厚譯, 天下文化出版, )

21 棣美弗定理與 Euler 公式 3 5. Paul J. Nahi, A Imagiary Tale: The Story of 1, Priceto Uiversity Press, Priceto, New Jersey, 偉大數學家的一生, 高斯 Karl F. Gauss ), 凡異出版社, 林琦焜著, 數, 十進位與 Cator 集, 數學傳播中央研究院數學所 ), 4 卷 4 期民 89 年 1 月 ), p 林琦焜著, Euler ) 數學的莎士比亞, 數學傳播中央研究院數學所 ), 6 卷期民 91 年 6 月 ), p 林琦焜著, 從三角求和公式到 Fourier 級數, 數學傳播中央研究院數學所 ), 6 卷 3 期民 91 年 9 月 ), p.11-9 本文作者任教於國立成功大學數學系

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01.dvi 物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f

棣美弗定理與 Euler 公式 林琦焜 The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain. J. Hadamard ( ) 數學裡有許多迷人的公式能夠知道

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