奇妙的複數

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1 投稿類別 : 數學類 篇名 : 作者 : 游嵐心 私立僑泰高中 高二 班 指導老師 : 李國銀老師

2 壹 前言 一 研究動機 : 在高一時 第一次接觸到複數 有了虛數 i 的定義 讓我們所熟悉的一元二次方程式有了完整的解 不過對於這個 不存在 的數 還是存在著許多的疑問 畢竟它與我們的經驗和習慣是相違背的 而後來老師上三角函數這個單元時 提到將三角函數結合複數 將會有許多的妙用 這讓我更想深入了解複數以及如何運用複數來解決代數 三角 幾何中的問題 二 研究目的與方法 : ( 一 運用高中選修數學 ( 甲 上所介紹的 複數的極式與幾何意義 以複數的 角度解決代數 三角 幾何中的問題 ( 二 參考一些相關書籍 資料 試圖尋求不同的解題方法 貳 正文 一 複數的預備知識 :( 註 ( 一 複數平面:. 將複數 x+ yi ( x R y 對應到平面上的點 ( x y 把表示複數的坐標 平面 稱為複數平面 其中 x 軸上的點對應所有實數 稱為實軸 ; y 軸 上的點 ( 原點除外 對應所有純虛數 稱為虛軸 當 P 點對應 x+ yi 稱 x yi + 為 P 點的複數坐標 記作 P( 或 P( x yi +. 複數的絕對值 : x+ yi 的絕對值為 可得知 x + y 即是 到原點的距離 ( 二 複數的極式:. 設 x+ yi x y R r OP x y 軸正向形成之有向角 稱為 之輻角 如圖一 + 稱為 的向徑 是 OP 與 x

3 x y 且 cos x r cos si y r si r r 則 x yi r( cos isi + + 稱為 的極式 其中 之輻角 以 arg( 表示 ; 當 < π 時 稱為 的主輻角 以 Arg( 表示. 極式的表示法並不唯一 當兩個極式表示同一複數時 它們的向徑相 等 輻角為同界角 圖一 ( 三 複數的極式的乘法與除法: 圖二. 設 r( cos + isi r ( cos isi + 為 與 的極式 則 ( r r( cos( isi( r + 其中 r ( ( cos( isi(. 複數乘法的幾何意義 : 對於非零複數 來說 複數 在複數平面上所對應的點 就是以原點為中心 將 旋轉 角 再伸縮 r 倍後 所得的點 如圖二 ( 四 棣美弗定理 : 若複數 的極式為 r( cos isi + 則對於任意正整數 r ( cos isi + 均成立 事實上 為任意整數 上述定理亦成立 二 應用複數解代數問題 : ( 一 組合數求和 :

4 .. C C π C + C C cos π C + C5 C si 證明 : 利用 (+ x C + C x+ C x + C x + C x C x 將 x i 代入 得 (+ i C + C i+ C i + C i + C i C i π π 又 ( + i [ (cos + i si ] 故 C C ( C C + C C i( C C + C5 C7 + π π (cos + i si π C + C C cos ; π C + C5 C si ( 註... ( 二 整數解的問題 : 已知整數 a b c d 必存在正整數 u v 使得 ( a + b ( c + d u + v 證明 : 設 a+ bi c+ di b d 則 a + c + 故 a + b ( c + d ( ( ( ( ( 又 ( a+ bi( c+ di ( ac bd + i( bc+ ad 取 u ac bd v bc+ ad 時 則 a + b ( c + d ( ( ( ( u+ vi ( u vi u + v 若計算 ( a+ bi( c di ( ac+ bd + i( bc ad 我們亦可取 u ac+ bd v bc ad

5 此時 a + b ( c + d ( ( ( ( u+ vi ( u vi u + v ( 註 三 應用複數證明三角恆等式 : ( 一 三倍角公式:... si cos si si si si cos cos cos si cos cos ta ta ta ta < 方法一 > 在高中數學第三冊學此定理時 我們利用三角函數的和角公式及平方關係 證明此定理 : 證明 :(si si( + si cos+ cos si ( si cos + si si 將 cos 以 si 表示得 si si + si si si ( ( si si ( cos cos( + cos cos si si ( cos cos si cos si (cos cos cos ( cos cos cos

6 si si si ( ta cos cos cos 將分子 分母同除以 cos 得 ta ta ta cos cos ta (+ ta ta (+ ta ta ta ta < 方法二 > 利用棣美弗及二項式定理 推導三倍角公式 : 證明 ( 由二項式定理 ( cos + isi cos + cos isi+ cos ( i si + ( isi ( cos cos si i( cos si si + 又由棣美弗定理知 ( i cos + si cos + i si 所以 ( si cos si si si si si si si ( cos cos cos si cos cos cos cos cos si ( 設 + i ta + i cos (cos + i si cos 由棣美弗定理知 ( + i ta (cos + isi cos 又 ( + i ta + ( i ta + ( i ta + ( i ta ( ta + i (ta ta si cos 所以 ta ta ta cos cos 上列兩式相除 得 ta ta ta ( 註 ta 5

7 利用棣美弗定理推導三倍角公式 過程簡化許多 用此方法似乎也讓 我们有機會推導出更一般化的 倍角公式 : ( 二 倍角公式:. si C cos - si. cos cos. C cos - si + C cos - si + 5 ta C ta C ta + C5 ta... C ta + C ta... C 5 cos -5 si 5 C cos - si 證明 :( 設 cos + isi 由棣美弗定理知 (cos + isi cos + isi 又 (cos + isi C cos + C cos - (isi + C cos - ( isi + + C (isi (cos C cos - si + C cos - si + i( C cos - si C cos - si + C 5 cos -5 si 5 所以 cos cos C cos - si + C cos - si si C cos - si C cos - si + C 5 cos -5 si 5 ( 設 + i ta (cos + i si cos 由棣美弗定理知 ( + i ta (cos + isi cos 又 (+ i ta C + C ( i ta + C ( i ta C ( i ta ( C ta + C ta 5 + i ( C ta C ta + C5 ta... si 5 所以 C ta ta ta... C + C5 cos cos C ta ta... + C cos 6...

8 5 ta ta ta... 兩式相除 得 ta C C + C5 ( 註 C ta + C ta... 在第三冊三角函數中 常見到下列題目 : 化簡 si + si + si si 6? 我們利用算式中有許多組互為相反數的特性 輕鬆地解了這個問題 當然這是個很特別的情況 若將它一般化 這應該會是個有趣的問題 : ( 三 三角級數求和:. si + si + si si?. cos + cos + cos cos? 過程 : 設 cos + i si 則 cos isi 又 + ( si i (si cos si (si i cos π π si [cos( + + i si( + ] 分別將等式兩邊化簡 : ( 左式 (cos + i si + (cos + isi (cos + i si π π (cos+ i si si [cos( + + i si( + ] π π si [cos( + + i si( + ] ( + ( + si [cos + isi ] si 7

9 右式 (cos + i si + (cos + isi (cos + isi (cos + cos cos + i(si + si si ( + si cos 比較兩複數 實部為 cos + cos cos si ( + si si 虛部為 si + si si si 四 應用複數解幾何問題 : 在高中數學課程中 有許多幾何相關的問題 下面我舉了幾個常見到的題目 嘗試用複數的概念來解題 : ( 一 平行四邊形定理 : 平行四邊形 ABCD 中 試證 AC + BD ( AB + CD 證明 : 將平行四邊形 ABCD 置於以 A 為原點之複數平面 如圖三 設 B 點所代表之複數為 D 點所代表之複數為 則 C 點所代表之複數為 + 故 AC + BD + + ( + ( + + ( ( ( ( + ( + ( AB + CD ( 註 A D 圖三 B C D( C( A( B( 圖四 8

10 ( 二 設直角座標上的相異四點 A B C D 依序且依逆時針方向 可連成一個正方形 其中 A( C( 5 試求 B 點座標 過程 : 將此正方形置於複數平面 且設 A B C D 所表示的是複數分別 為 其中 i 5i + + 則以 A 為中心將點 C 依順時針方向旋轉 5 再伸縮 B 如圖四 利用複數乘法的幾何意義 得 ( [cos( 5 + isi( 5 ] ( + i( i (+ i + ( + i i 故 B ( 5 + i 倍即得點 ( 三 如圖五 由三個全等的正方形所形成 試證明 證明 : 將此圖形置於一個複數平面 令小正方形的邊長為 如圖六 設 A A A 所表示的是複數分別為 則 + i + i + i 所以可知 的大小分別等於 的主輻角 又 (+ i(+ i(+ i i (cos 9 + si 9 i 故可得 + + Arg( 9 A A A o 圖五 圖六 9

11 ( 四 證明三角形內角和 8 證明 : 設複數平面上一三角形 A B C 所表示的是複數分別為 如圖七 A Arg 則 B Arg C Arg A+ B+ C Arg( 故可得 又 cos8 + i si8 即 A + B+ C 8 ( 註 B( Arg( A( C( 圖七 參 結論 任何數學知識的發展 都是由解決問題開始 虛數的誕生當然也不例外 但它並不只是用來作為解二次方程式的工具 在一探究竟之下 才發現原來複數竟能解決代數 三角 幾何等問題 而且在各個不同的領域中 竟有著緊密的關聯與發展 在嘗試著不同的解題方法的過程中 也讓我有意想不到的收穫 更見識到了數學奇妙之美! 肆 引註資料 註. 許志農主編 ( 高中選修數學 ( 甲 上 新北市 : 龍騰文化事業股份有限公司 註. 長庚哲 (996 神奇的複數神奇的複數 台北市 : 九章出版社 註. 朱惠霖 ( 譯 (8 虛數虛數的故事故事 上海市 : 上海教育出版社 註. 葉文傑 ( 複數法在中學數學中的應用 數學傳播數學傳播 7 7(8-9

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