柯西積分公式

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葵巩
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1 柯西積分公式林延輯台灣師範大學數學系 March 22, 2016

2 auchy-goursat 定理示例 Theorem (auchy-goursat) 設 R 是複數平面中的 region, 是一條簡單封閉路徑 simple closed contour, 並且與的內部 D 都落在 R 中如果 f 是 R 中的解析函數, 則路徑積分 dz = 0. Example 設為開圓盤 z < 2 中的任意一條封閉路徑則積分 z e z (z 2 dz = ) 5 因為被積分函數在該開圓盤中是解析函數 ( 函數不可微分之點 :z = ±3i, 在開圓盤 z < 2 之外 )

3 單連通區域 Simply onnected Domain Definition 設 domain D 如果 D 中的每一個簡單封閉路徑的內部點都一定在 D 裡面, 就稱 D 是單連通區域 simply connected domain orollary 如果 f 在一個單連通區域 D 中是解析函數, 則對 D 中的每一條封閉路徑, 都有路徑積分 dz = 0 Theorem (auchy-goursat) 設 R 是複數平面中的 region, 是一條簡單封閉路徑 simple closed contour, 並且與的內部 D 都落在 R 中如果 f 是 R 中的解析函數, 則路徑積分 dz = 0

4 單連通區域 Simply onnected Domain Definition 設 domain D 如果 D 中的每一個簡單封閉路徑的內部點都一定在 D 裡面, 就稱 D 是單連通區域 simply connected domain orollary 如果 f 在一個單連通區域 D 中是解析函數, 則對 D 中的每一條封閉路徑, 都有路徑積分 dz = 0 orollary 如果 f 在一個單連通區域 D 中是解析函數, 則 f 在 D 中有反導函數

5 多連通區域 Definition 設 domain D 如果 D 中的每一條簡單封閉路徑的內部點都一定在 D 裡面, 就稱 D 是單連通區域 simply connected domain Definition 設 domain D 如果 D 中的有一條簡單封閉路徑, 其內部點未全部落在 D 裡面, 就稱 D 是多連通區域 multiply connected domain Simply connected Multiply connected

6 多連通區域 Definition 設 domain D 如果 D 中的每一條簡單封閉路徑的內部點都一定在 D 裡面, 就稱 D 是單連通區域 simply connected domain Definition 設 domain D 如果 D 中的有一條簡單封閉路徑, 其內部點未全部落在 D 裡面, 就稱 D 是多連通區域 multiply connected domain 註 : 在單連通區域 D 中, 每一條簡單封閉路徑, 都可以連續變形, 縮成一個點 ( 點路徑 ), 且整個變形過程都落在 D 裡面 Simply connected

7 auchy-goursat 定理修飾版 Theorem 1. 設是一條正向的簡單封閉路徑 2. 設 k (k = 1, 2,..., n) 是在的內部的有限條負向的簡單封閉路徑, 這些路徑兩兩相異, 並且兩兩沒有共同的內部點的內部與這些 k 的外部 ( 含這些路徑 ) 形成了 multiply connected region R 如果函數 f 在 R 中為解析函數, 則 n dz + dz = 0. k=1 k R 2 1

8 auchy-goursat 定理修飾版 Theorem n dz + dz = 0. k=1 k R 2 1

9 路徑變形原則以下敘述, 稱為路徑變形原則 principle of deformation of paths orollary 設 1, 2 是兩條簡單封閉路徑, 都賦予正的定向, 並且 2 完全落在 1 的內部如果函數 f 在此兩路徑之間的區域 ( 包含該兩條路徑 ) 中的所有點都是解析函數, 則 dz = dz

10 Example 設是複數平面的一條簡單封閉路徑則 (z z 0 ) n dz = 0, n Z, n = 1; z 0 /. 這是因為當整數 n 不是 1 時, 函數 = (z z 0 ) n 在 domain \ {z 0 } 中有反導函數 F(z) = 1 n + 1 (z z 0) n+1. z 0

11 Example 現在討論 n = 1 的情形如果 z 0 在的外部, 則 1 z z 0 dz = 0. 因為在選取分支以後, 函數 = (z z 0 ) 1 有反導函數 F(z) = log(z z 0 ) 或根據 auchy 定理, 函數 = 1 在與的內部是解析函 z z 0 數 ( 不能微分的點 z 0 在的外部!), 所以路徑積分為 0

12 Example 設為複數平面上的正向簡單封閉路徑, 且點 z 0 位於的內部試 1 求 dz z z 0 Solution 我們先畫一個以 z 0 為圓心, 小正數 ε 為半徑的正向圓形路徑 0, 並且 0 完全落在的內部 0 z 0

13 Solution 我們先畫一個以 z 0 為圓心, 小正數 ε 為半徑的正向圓形路徑 0, 並且 0 完全落在的內部根據路徑變形原則, 1 1 2π dz = dz = z z 0 0 z z 0 0 εie it dt = 2πi. εeit 0 z 0

14 Example 設為正向的圓路徑 z = 3 試求 Solution 先對被積分函數作部分分式展開 : 6 z 2 4z dz = 3/2 z 6 z 2 4z dz. 3/2 dz + z 4 dz. 上行右邊的第二個積分, 因被積分函數在與的內部是解析函數, 所以該積分為 0 右邊的第一個積分, 直接參數化後可得答案為 3/2 (2πi) = 3πi ( 或利用路徑變形原則, 在內部 = 積分為 2πi ( 3/2) ) 答案 :0 + ( 3πi) = 3πi.

15 柯西積分公式 auchy integral formula Theorem (auchy integral formula) 設為複數平面中一條正向的簡單封閉路徑, 且 z 0 是內部的一點若函數 f 在與的內部都是解析的, 則路徑積分 f(z 0 ) = 1 dz. 2πi z z 0 Proof 存在一個以 z 0 為圓心正數 r 為半徑的開圓盤全部落在的內部根據路徑變形原理, 如果 0 < ρ < r, 則 dz = z z 0 ρ z z 0 dz, 其中 ρ 為以 z 0 為圓心 ρ 為半徑的正向圓路徑

16 Proof 存在一個以 z 0 為圓心正數 r 為半徑的開圓盤全部落在的內部根據路徑變形原則, 如果 0 < ρ < r, 則 1 2πi dz = 1 z z 0 2πi ρ z z 0 dz, 其中 ρ 為以 z 0 為圓心 ρ 為半徑的正向圓路徑 z 0 ρ

17 Proof 注意到等式 1 2πi dz = 1 z z 0 2πi ρ z z 0 dz, 對所有的 ρ (0, r) 皆成立, 也就是說 : 極限事實上是常數數列的極限 1 lim ρ 0 + 2πi ρ z z 0 dz (1) 由此, 我們將證明 (1) 式的極限存在且等於 f(z 0 ), 從而得到此常數數列就是這個常數 f(z 0 ), 即得證

18 Proof laim: lim ρ 0 + 因為 1 2πi ρ z z 0 dz = f(z 0 ). ρ 1 z z 0 dz = 2πi, 所以 1 2πi ρ dz f(z 0 ) = 1 f(z 0 ) dz. z z 0 2πi ρ z z 0 因為 f 在 z 0 點解析, 所以 f 在 z 0 連續因此對任意的 ε > 0, 都找得到 δ > 0 ( 且 δ < r) 使得 f(z 0 ) < ε, z B(z 0, δ).

19 Proof. 對任意的 ε > 0, 都找得到 δ > 0 ( 且 δ < r) 使得 f(z 0 ) < ε, z B(z 0, δ). 只要 0 < ρ < δ, 就有當 z ρ 時, f(z 0 ) z z 0 = f(z 0) ρ < ε ρ. 故由路徑積分的絕對值不等式, 可得當 0 < ρ < δ 時, 1 f(z 0 ) dz 2πi ρ z z 0 1 2π ε 2πρ = ε. ρ 由於 ε 是任意正數, 因此極限 lim ρ 0 + 得證 1 2πi ρ z z 0 dz = f(z 0 ), 定理

20 應用 auchy integral formula 的計算 Example 本頁的簡單封閉路徑都給了正的定向 e z z =2 z 1 dz = 2πi e1 有什麼問題? 設 = z 9 z 2 則 = z =2 z =2 z (9 z 2 )(z + i) dz z ( i) dz = 2πi f( i) = 2πi i 10 = π 5.

21 auchy integral formula for derivatives 以下我們將證明 : 如果一個函數 f 在一個開圓盤上是解析函數, 則它的導函數在上也是解析函數 ; 重複使用這個結論, 就可得到 : 在開圓盤上的解析函數是無窮可微的首先需要下面的公式 : Theorem (auchy integral formula for derivatives) 設為複數平面中一條正向的簡單封閉路徑, 且 z 0 是內部的一點若函數 f 在與的內部都是解析的, 則 f 的任意階導數值在 z 0 處皆存在, 並且以下公式成立 : f (n) (z 0 ) = n! dz, n = 1, 2, 3,.... 2πi (z z 0 ) n+1

22 Theorem (auchy integral formula for derivatives) 設為複數平面中一條正向的簡單封閉路徑, 且 z 0 是內部的一點若函數 f 在與的內部都是解析的, 則 f 的任意階導數值在 z 0 處皆存在, 並且以下公式成立 : f (n) (z 0 ) = n! dz, n = 1, 2, 3,.... 2πi (z z 0 ) n+1 Proof 我們先來證 n = 1 的情況, 亦即證明 :f 在 z 0 處可微分, 並且 f (z 0 ) = 1 dz. (2) 2πi (z z 0 ) 2 當然, 從 auchy 積分公式,f(z 0 ) = 1 2πi 分符號之下對 z 0 微分即得直接證明? z z 0 dz, 我們在積

23 Proof 假設 z 0 到的最短距離為 d(> 0) 則當 0 < h < d 時, f(z 0 + h) f(z 0 ) h f(z 0 ) = 1 2πi = 1 2πi = 1 2πi dz z z 0 ( 1 z z 0 h 1 ) z z 0 h dz (z z 0 h)(z z 0 ) dz. z 0 d

24 Proof 假設 z 0 到的最短距離為 d(> 0) 則當 0 < h < d 時, f(z 0 + h) f(z 0 ) = 1 h 2πi 1 2πi f(z 0 + h) f(z 0 ) h (z z 0 h)(z z 0 ) dz dz (z z 0 ) 2 = 1 2πi h dz (z z 0 h)(z z 0 ) 2. 設的長度為 L, 在上的最大值為 M ( 因為 f 是連續函數, 是緊緻集 ), 根據積分的絕對值不等式 : 當 0 < h < d/2 時, f(z 0 + h) f(z 0 ) 1 h 2πi (z z 0 ) 2 dz h M L 2π(d h ) d 2 < M L πd 3 h. 所以下列極限成立 : f f(z (z 0 ) = 0 + h) f(z 0 ) lim = 1 h 0 h 2πi (z z 0 ) 2 dz.

25 Proof. f (z 0 ) = 1 2πi (z z 0 ) 2 dz. 用類似上面的方法, 同樣可以證明 : f (z 0 ) = 2 2πi (z z 0 ) 3 dz. 事實上, 使用數學歸納法, 可證得 : 對所有的自然數 n N, f (n) (z 0 ) = n! dz. 2πi (z z 0 ) n+1 故導函數的 auchy 積分公式成立, 並且 f 在簡單封閉路徑的內部是無窮可微的

26 auchy integral formula for derivatives 示例 Example 設是正向單位圓 z = 1 考慮解析函數 = e 2z 試求路徑積分 z 4 dz Solution 根據 auchy integral formula for derivatives, z 4 dz = 2πi dz = z3+1 3! f (0) = 2πi 3! (8e2z ) z=0 = 8πi 3.

27 Example 試以 auchy integral formula for derivatives 解釋 : 當 n N, dz z 0 在簡單封閉路徑的內部時, (z z 0 ) n+1 = 0 Solution 考慮 1 所求即為 2πi n! f (n) (z 0 ) 但 f (n) 0 對所有的 n N 均成立 Done.

28 auchy integral formula for derivatives 的推論 orollary 如果函數 f 在某個點是解析的, 則 f 的任意階導函數在那個點是連續的註 : 當我們說 f 在 z 0 是解析的, 其意義是 f 在某個包含 z 0 的開集合是處處可微分的 orollary 如果函數 = u(x, y) + iv(x, y) 在某個點 z 0 = x 0 + iy 0 是解析的, 則 f 的實部 u 與虛部 v 在那個點 z 0 的任意階偏導數皆存在且連續

29 Morera 定理 Theorem (Morera) 設函數 f 在一個 domain D 上是連續的如果對每一個 D 中的封閉路徑, 都有 dz = 0, 則 f 是 D 中的解析函數 Proof. 由假設知 f 在 D 中有反導函數 F, 因此 F 在 D 中為解析函數由 auchy integral formula for derivatives 知,F 在 D 中無窮可微所以作為它的第一階導函數,f = F 在 D 中也是無窮可微的! 有趣的註解 : 在複變數函數中, 一個函數在 domain 中可積分 ( 有反導函數 ), 可推得此函數可微分, 進而得出它無窮可微!

30 柯西不等式由柯西積分公式, 我們可以得到下列的不等式 : Theorem (auchy s inequality) 設 R 是以 z 0 為圓心正數 R 為半徑的正向圓若函數 f 在 R 與 R 的內部都是解析的, 則對任一個非負整數 n, f (n) (z 0 ) n! M R R n, 其中 M R 是 f 在 R 的任一上界

31 auchy s inequality 的證明 Proof. 由柯西積分公式寫出 f (n) (z 0 ) = n! dz. 2πi R (z z 0 ) n+1 R 的路徑長為 2πR; 當 z R 時, (z z 0 ) n+1 M R R n+1, 所以根據積分的絕對值不等式, f (n) (z 0 ) n! 2π M R R n+1 2πR = n! M R R n.

32 柯西不等式的應用 Definition 在整個複數平面上處處可微的函數, 稱為整函數 entire function Example 設 f 是整函數, 且 A z + B 對所有複數 z 均成立 (A, B > 0) 試證 : 存在 a, b, 使得 = az + b 對所有 z 均成立 Proof. 對任意的複數 z 0 與正數 R, 根據 auchy s inequality, f (z 0 ) 2[A( z 0 + R) + B] R 2. (3) (3) 式對所有正數 R 均成立可是 (3) 式的右邊在 R + 會趨近於 0, 所以 f 0 故得證

33 Liouville 定理 Theorem (Liouville) 有界的整函數一定是常數函數 A bounded entire function is constant. Proof. 設 M 對所有的 z 均成立現給定任何一個點 z 0 與半徑 R > 0,f 會在 z z 0 R 這個閉圓盤上解析因此由柯西不等式 (n = 1) 可得 f (z 0 ) 1! M R = M R. (4) (4) 式會對任意的 R > 0 均成立可是當 R + 時, M R 0, 因此 f (z 0 ) 只好等於 0 所以 f 在整個複數平面上恆等於 0, 於是 f 是常數函數註 : 想一想, 這個定理在實數線上還真不可能成立!

34 代數基本定理利用 Liouville s theorem, 我們來證一個代數課很難證的定理 : Theorem (Fundamental theorem of algebra) 設 n 為正整數,a 0, a 1,..., a n 1 為複數則多項式函數 P(z) = z n + a n 1 z n 1 + a n 2 z n a 1 z + a 0 在複數平面上至少有一個零根 orollary 一元 n 次方程式有 n 個複數根 ( 計算重根 ) 註 : 本課程在後面的階段還會用另一個方法再證一次這個定理

35 代數基本定理 Theorem (Fundamental theorem of algebra) 設 n 為正整數,a 0, a 1,..., a n 1 為複數則多項式函數 P(z) = z n + a n 1 z n 1 + a n 2 z n a 1 z + a 0 在複數平面上至少有一個零根 Proof. 反證法 : 考慮其倒數 = 1 P(z) 如果 P(z) 處處不為 0, 則是整函數因為當 z + 時, P(z) +, 所以存在一個正數 R > 0 使得 : 從 z R 可推得 P(z) 1, 即 1 又在緊緻集 z R 中有最大值 M, 所以 f max{1, M}, 故 f 是有界函數根據 Liouville s theorem,f 是常數函數矛盾! 得證!

(Microsoft Word - chap3-\275\306\305\334\244\300\252R.doc)

$(Microsoft Word - chap3-\275\306\305\334\244\300\252R.doc)$ Chp 複變分析 Copl Anlss - 基本觀念在複數平面上定義一個複數如圖所示, 其中 : 稱複數稱為實數, 記為 R 稱為虛數, 記為 I 由圖可得, 與 r,θ 之關係可知 r osθ r snθ r osθ r snθ r osθ snθ θ r 極座標 E.. R: I: 定義 : 一個複數的絕對值長度 r 定義 : 一個複數的共軛複數複數加法定義 : 若則 E.. 加法