以微積分方法探討三角函數的性質 43 (D) 週期與對稱性質 (i) sin( x) = sin x ; cos( x) = cos x. (ii) sin( π x) = cosx ; cos(π x) = sin x. (iii) sin(π x) = sin x ; cos(π x) = co

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抗苗
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1 數學傳播 3 卷 3 期, pp. 4-5 以微積分方法探討三角函數的性質賈乃輝魏文恩郭倍綸劉玠玟羅春光摘要 : 三角函數的性質可分成恆等式和角公式週期與對稱性質和微分公式此研究是嘗試運用微分方法和積分方法來重新推導這些性質, 從而更了解該等函數這好比一間房子有三道門, 每一道門都可以進入房間, 一窺全貌. 前言三角函數是高中數學課程中十分重要的一個課題, 共有六個函數以 sin x 和 cosx 兩個函數作為代表一方面, 它們能模擬科學上大部分的振盪行為 ; 另一方面, 它們與幾何解析幾何和微積分有非常密切的關係三角函數的性質大概可分恆等式和角公式週期與對稱性質和微分公式此研究是嘗試運用微分方法和積分方法來重新推導這些性質, 從而更了解該等函數這好比一間房子有三道門, 每一道門都可以進入房間, 一窺全貌令單位圓上一點座標 P(x, y ), 定義 x = cosθ, y = sin θ 其中 θ 為線段 OP (O 為原點 ) 和 X 軸的夾角這是標準高中數學課程裡定義 sin x 和 cosx 的方式, 並可以此推導它們的性質而其他的函數 tan x, cotx, sec x 和 csc x 的性質則可由 sin x 和 cosx 的性質一一推導出來函數 sin x 和 cosx 的性質可分為以下幾部分 : (A) 恆等式 sin x + cos x =. (B) 和角公式 sin(x + y) = sin x cosy + sin y cosx ; cos(x + y) = cosxcosy sin x sin y. (C) 微分公式 d d sin x = cosx ; dx cosx = sin x. dx * 本文作者感謝教育部顧問室及國科會科教處對本研究的補助 4

2 以微積分方法探討三角函數的性質 43 (D) 週期與對稱性質 (i) sin( x) = sin x ; cos( x) = cos x. (ii) sin( π x) = cosx ; cos(π x) = sin x. (iii) sin(π x) = sin x ; cos(π x) = cosx. (iv) sin(π + x) = sin x ; cos(π + x) = cosx. (v) sin(π x) = sin x ; cos(π x) = cos x. 留意此中 (i), (ii) 和 (iii) 是主要的性質, 因為從 (iii) 和 (iv) 知 (v) 必然成立 ; 而從 (ii) 和 (iii) 知 : sin( π + x) = cosx, cos(π + x) = sin x. 重覆應用即得 (iv) 又從 (iv) 知 sin 和 cos 函數有週期 π: sin(π + x) = sin x ; cos(π + x) = cosx. 本文的目的是運用微分和積分的方法來導出以上這些性質, 事實上, 利用微分方法來推導三角函數的性質, 早已在一些教科書籍討論過, 例如 [, 3] 考慮函數 S 和 C 滿足以下微分關係 S (x) = C(x), C (x) = S(x) ; 且 S() =, C() = 即可直接推導出恆等式和角公式和週期與對稱性質可是似乎未有看過以積分方法去推導這正弦函數和餘弦函數的性質本文將以積分和反函數的方法去定義 sin x 函數和 cosx 函數, 具體而言, 我們將定義 S = S(t), C = C(t) 乃以下函數的反函數 : t = S ds, t = ds. s s 本文的研究動機來自 [], 在那篇論文中, r = sin(nθ) 是以原點為底端之 n 個花瓣的極座標方程式, 令 (R, θ) 代表花瓣之任何一點的極座標, t 表和原點至 (R, θ) 的弧長, 即可推出 t = R C r n dr. 以此定義出一些新函數 R = R(t) 並研究一些性質, 當 n = 時, t = sin R, ( < R < ), 即 R = sin(t) 本文正是要利用這個定義, 直接推導 sin x 函數和 cosx 函數的性質在第二節我們討論微分方法, 我們的鋪陳依據 Bartle and Sherbert 的書 ([]) 第 8.4 章節在第三節我們討論積分方法, 相關的證明雖然較繁瑣, 但脈絡還是很清楚, 而且是獨立於傳統方法和微分方法

3 44 數學傳播 3 卷 3 期民 95 年 9 月. 微分方法以下要用微積分 ( 其實是微分方程理論 ) 直接分析 C 和 S 的性質且說明 C 和 S 即三角函數 cos x 和 sin x 定理.: 存在唯一函數 C : R R 及 S : R R 滿足 (I) S (x) = S(x) 對所有 x R, 且有 S() =, S () = ; (II) C (x) = C(x) 對所有 x R, 且有 C() =, C () = 留意若概略證明 : 此定理是標準的微分方程存在唯一性定理的特例, 證明利用 Picard 迭代法 S (x) = C(x), C (x) = S(x), 且 S() =, C() =. (.) 則 (I),(II) 明顯成立故定義函數數列 < C n >, < S n > 滿足以下性質, 且 C n, S n 為連續函數, 對所有 n N, x R: (i) 令 C (x) =, S (x) = x; (ii) 令 S n (x) = x C n(t)dt; (iii) 令 C n+ (x) = x S n(t)dt 函數列 < S n >, < C n > 在任意區間 [ b, b] 上均勻收斂令 S(x) = lim n S n (x), C(x) = lim n C n (x), S 和 C 在 R 上連續且有 S() =, C() = 函數 S 和 C 滿足以上定理之 (I) 和 (II) 唯一性可用 S 和 C 的泰勒展開式證明詳見 [, p.39-3] 註 : 從以上定理知, S 即正弦函數, C 即餘弦函數 ; 且 S 和 C 滿足 (.) 以下我們將運用 (.) 和定理. 來推導性質, 不須通過傳統方法引理.: 以上函數 C, S 滿足恆等式 (A), 即對所有 x R, (C(x)) + (S(x)) =. 證明 : 令 f(x) = (C(x)) + (S(x)), 故對所有 x R, 故 f 是常數, 又 f() =, 所以 f f (x) = C(x)( S(x)) + S(x)C(x) =.

4 以微積分方法探討三角函數的性質 45 定理.3: 若 f : R R, 滿足對所有 x R, f (x) = f(x), 對所有 x R, f(x) = f()c(x) + f ()S(x) 證明 : 令 g(x) = f()c(x) + f ()S(x). 則有 g (x) = f()c(x) f ()S(x) = g(x). 且 g() = f(), g () = f () 由於存在唯一性定理., 故 f(x) = g(x) 證畢以下證明 S 和 C 也滿足和角公式定理.4: 對所有 x, y R, (a) S( x) = S(x) ; C( x) = C(x). (b) C(x ± y) = C(x)C(y) S(x)S(y); (c) S(x ± y) = S(x)C(y) ± S(y)C(x) 證明 : (a) 定義 φ(x) = C( x), 則可得 φ (x) = [C( x)] = C( x) = φ(x). 而且 φ() =, φ () = 從定理. 知 C( x) = φ(x) = C(x) 同理我們可證明 S( x) = S(x) (b) 令 f(x) = C(x + y), 則 f (x) = C (x + y) = C(x + y) = f(x) 且由定理.3 可得, f(x) = f()c(x) + f ()S(x), 其中 f() = C(y), f () = S(y) 因此 f(x) = C(x + y) = C(y)C(x) S(y)S(x). 而若 f(x) = C(x y) 時, 即將以上證明中 y 的改為 y, 即有 f(x) = C(x y) = C( y)c(x) S( y)s(x) = C(y)C(x) + S(y)S(x). (c) 同理, 令 f(x) = S(x+y), 則 f (x)) = f(x) 由定理.3 知 f(x) = f()s(x)+ f ()C(x), 其中 f() = C(y), f () = S(y). 即可得證

5 46 數學傳播 3 卷 3 期民 95 年 9 月定理.5: 若 x R 且 x 則 (a) x S(x) x, (b) x (c) x x3 6 (d) x C(x), S(x) x, C(x) x + x4 4 證明 : 由引理. 可得 C(t), 對 t R, 若 x, 則故 (a) 部份成立再積分可得 x x x C(t)dt = S(x) x. x S(t)dt x. 即 x C(x) + x 所以 x C(x). (b) 部份得證 (c) 部份是由 (b) 積分而來的 ;(d) 部份也是由 (c) 積分而來的根引理.6. 令 r 為 C 函數的最小正根, 則存在 r (, 3), 且 r 為函數 S 的最小正證明 : 由定理.5 (d) 知, r 且 r 4 r +4, 則 r < 6 3 < 3 由定理.4 (b) 得 S(r) = S(r)C(r) =, 即 r 是函數 S 的正根設 δ > 是函數 S 最小的正根, 利用相同的等式, C(δ) =, 即 δ = r 令 ω = r, 因為 < r < 6 3, 故有.88 < ω < 3.85 定理.7: 對所有 x R, (a) C( ω x) = S(x) ; S(ω x) = C(x). (b) S(ω x) = S(x) ; (c) S(ω + x) = S(x) ; C(ω x) = C(x), C(ω + x) = C(x),

6 證明 : 已知 C( ω ) =, S(ω ) =, 故此從和角公式 ( 定理.4(b)) 知, C( ω x) = C(ω )C( x) + S(ω )S(x) = S(x). 同理可得 S( ω x) = C(x) (a) 部份得證從和角公式知 C(ω) = C( ω ) S( ω ) =. 以微積分方法探討三角函數的性質 47 而 S(ω) = 故又 S(ω x) = S(ω)C(x) C(ω)S(x) = S(x). S(ω + x) = S(ω)C(x) + C(ω)S(x) = S(x). (b), (c) 其餘部份類似推論.8: 函數 S 和 C 滿足以下週期與對稱性質 (a) S(ω + x) = S(x); C(ω + x) = C(x). (b) S(ω x) = S(x); C(ω x) = C(x). (c) S( ω + x) = C(x); C(ω + x) = S(x). 3. 積分方法並令定義從 (3.) 可得知 t = S s ds, 其中 S. (3.) ω = ds. s dt ds =. S 因此, 函數 t = t(s) 在 [, ] 連續且嚴格遞增, 在 (, ) 上可微根據反函數定理, 在 t [ ω, ω ] 上, S = S(t) 也是一嚴格遞增函數, 且 ds dt = S.

7 48 數學傳播 3 卷 3 期民 95 年 9 月並有 S() =, S( ω ) =, S( ω ) =. 同理, 若 t = C s ds. 其中 C, 則 t 在 ( ω, ) (, ω ) 也是 C 的一個連續可微函數因此, 根據反函數定理, C = C(t), 滿足 dc dt = sgn(t) C 故當 t (, ω ) 時, C 嚴格遞降, 當 t ( ω, ) 時卻是嚴格遞增並有 C() =, C(± ω ) = 另外, 為了將函數延拓至 R 上, 我們定義, 對任意 t ( ω, ω ), k Z. S(t + kω) = ( ) k S(t) ; C(t + kω) = ( ) k C(t). (3.) 定理 3.: 對所有 t R, 有 S( t) = S(t) ; C( t) = C(t). 證明 : 當 t [ ω, ω ] 時, 從定義知 C( t) = C(t). 令 S = S(t), 利用轉換 r = s, S S ds = s dr = t. r 因此 S(t) = S( t). 一般而言, 令 t = t + kω, 其中 t ( ω, ω ), k Z, 有 S( t) = S( t kω) = ( ) k S( t), = ( ) k+ S( t) = S(t). 同理, C( t) = ( ) k C( t) = ( ) k C( t) = C(t). 定理 3.: 對所有 t R, 有 S(t) + C(t) =. (3.3) t = S 證明 : 先考慮 t [, ω ] 令 S = S(t), C = C(t), 只須證明 S + C =, 現有 s ds. 令 r = s, 則 t = S 因此 S = C(t) = C 即恆等式 (3.3) 成立 r dr.

8 以微積分方法探討三角函數的性質 49 若 t [ ω, ] 時, S 和 C 只是符號有變化而已, 因此 (3.3) 也是成立又當 t = t+kω 時利用延拓 (3.), 故此, (3.3) 成立. 證畢. 定理 3.3: 對所有 t R, 有 S(t) = ( ) k S( t), C(t) = ( ) k C( t). S (t) = C(t), C (t) = S(t). 證明 : 若 t ( ω, ω ), 應用反函數定理和 (3.3), 得 d dt S(t) = S(t) = C(t). 當 t = ω 時, 則運用洛必達原理, S(t) 在 t = ω 的左微分等於 ; 右微分方面, 令 t = t + ω, 再用洛必達原理, S(t) S( t) lim t (ω/) + t ω = lim t ( ω/) + t + ω, = lim C( t) =. t ( ω/) + 因此, S ( ω ) = = C(ω ) 一般而言, 可令 t = t + kω, 其中 t ( ω, ω ], (k Z), 則 S S( t + kω + h) S( t + kω) (t) = lim h h = ( ) k S( t + h) S( t) lim, h h = ( ) k C( t) = C(t). 同理, 在 ( ω, ) 和 (, ω ) 的區間上, C (t) = S(t) 當 t = 時, 求左右極限並運用洛必達原理, 得 C () = = S() 又 C ( ω ) = = S(ω ) 這樣, 對於 t ( ω, ω ] 時, 有 C (t) = S(t) 將之延拓至 t R 時, 結果依然成立引理 3.4: 若 t [, ω ], 有, S( ω t) = C(t) ; C(ω t) = S(t). 證明 : 令 S = S(t), 則 ω t = = S S ds s s ds. s ds,

9 5 數學傳播 3 卷 3 期民 95 年 9 月因此 C( ω t) = S(t). 另外, 若 C = C(t), ω C t = s ds. 因此 S( ω t) = C(t) 定理 3.5: 對所有 t R, 有 (a) S(t + t ) = S(t )C(t ) + C(t )S(t ). (b) C(t + t ) = C(t )C(t ) S(t )S(t ). 證明 : (a) 令 S i = S(t i ), C i = C(t i ), (i =, ). 先設 ω t, t ω, 且 ω t + t ω, 則 (a) 等價於 t + t = S C +S C ds, (3.4) s 由於定理 3., 有固定 t [ ω, ω ], 定義函數 d d C(t) = S(t), dt S(t) = C(t). dt 有 f() = t S f(t) = t + t s ds =, 並且 f (t) = S C(t)+C S(t) s ds. S C (t) + C S (t) (S C(t) + C S(t)) =, 因為從定理 3., (S C + SC ) (S C + S C ) = (S C + SC ) (CC S S), = (S C + C S + S S + C C ), =. 故此, 對所有 t 滿足 t + t [ ω, ω] 者, 有 f(t), 即 (3.4) 成立

10 以微積分方法探討三角函數的性質 5 ω 若 < t + t ω, 令 t = t ω, t = t ω, 則 ω < t + t <, 由於定理 3. 及引理 3.4, S(t + t ) = S( t + t + ω), = S( t + t ), = S( t )C( t ) C( t )S( t ), = S( t )C( t ) + C( t )S( t ), = S( ω t )C( ω t ) + C( ω t )S( ω t ), = C(t )S(t ) + S(t )C(t ). 另外, 由於定理 3., 當 ω t + t < ω 時, (a) 還是成立最後, 設 t = t + kω, t = t + lω, 其中 ω < t, t ω, 則 S(t + t ) = S( t + t + (k + l)ω), = ( ) k+l S( t + t ), = ( ) k+l (S( t )C( t ) + C( t )S( t )), = S(t )C(t ) + S(t )C(t ). 對函數 C, 先考慮 t, t [, ω ] 且 t + t [, ω ]. 令 f(t) = t + t C C(t) S S(t) s ds. 即可證明 (b) 式成立. 參照 (a) 部份的證明, 不難拓展至 t + t [ ω, ω] 和 t, t ( ω, ) 的情況若 ω < t < < t < ω 時, 不妨設 t + t >, 則以上函數 f 滿足 f( t ) =, 且對 t > t, f (t) = C C S S (C C S S) =. 故 (b) 部份對任意 t, t [ ω, ω ] 成立然後延拓至 R 上定理 3.6: 對所有 t R, 有 (a) S( ω t) = C(t), C(ω t) = S(t) ; (b) S(ω t) = S(t), C(ω t) = C(t) ; (c) S(ω + t) = S(t), C(ω + t) = C(t) ;

11 5 數學傳播 3 卷 3 期民 95 年 9 月 (d) S(ω t) = S(t), C(ω t) = C(t) ; (e) S(ω + t) = S(t), C(ω + t) = C(t) ; (f) S( ω + t) = C(t), C(ω + t) = S(t). 後記微分方法和積分方法美中不足之處, 即不能直接確定 ω 即單位圓的面積 π, 在微分方法中, 我們只能定義 ω/ 是 cosx 的第一個正根. 在積分方法中, ω = s ds. 另外, 在證完定理 3.5 後, 函數 S 和 C 即滿足第二節的微分條件, 並由唯一性知它們就是熟悉的三角函數 sin x 和 cosx; 但我們還是利用積分方法來完成定理 3.4 至定理 3.6 的證明參考文獻. R. G. Bartle and D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, nd ed., Wiley, New York, 99.. M. Cuko and P. Belcher, We need some new functions, Mathematical Spectrum, vol 6, no.3, 55-6, 3/4. 3. M. Spivak, 微積分 ( 中譯本 ), 科學出版社本文作者賈乃輝魏文恩是高雄中學高三學生, 郭倍綸是高雄中學高二學生, 劉玠玟是成功大學數學系大一學生, 羅春光是中山大學應用數學系教授

lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),

2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15