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瞒孚梁
5 years ago
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1 第九章机械振动目录 ( 一 ) 简谐振动 ( 二 ) 简谐振动的合成 ( 三 ) 阻尼振动 ( 四 ) 受迫振动与共振

2 ( 一 ) 简谐振动振动 : 描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化. 特征 :() 重复性周期性 ; () 对任意周期的运动, 可采用傅里叶展开分析简谐振动 : 不能进一步分解, 是最基本的成分单纯的振动在数学上, 一个周期为 T 的函数可被展开为一系列不同频率的简谐函数的叠加 - 傅里叶级数展开 : t t c cosf t,, n n n n n f n nf, f / T 其中而被称为基频. 机械振动 : 物体在一定位置附近作周期性往复运动

3 一简谐振动的特征及其表达式弹簧振子的运动简谐振子 : 理想模型, 轻弹簧振动质点. 胡克定律 : 牛顿定律 : k m m F d d dt k dt k 令 o 平衡位置弹簧振子做简谐振动的动力学方程 3

4 方程的解为 : t ) cos( 简谐振动的运动方程速度表达式 : d v sin( t ) dt 加速度表达式 : a d dt cos( t cos( t ) cos( t ) ) 4

5 二. 描述简谐振动的特征参量 cos( t ) 振幅 : 简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值周期 T: 完成一次全振动所需时间 T k m T m k 频率 : T k m 角频率 : T 5

6 ( t ) 相位 : 决定简谐运动状态的物理量初相 : 决定初始时刻物体运动状态的物理量相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态. 初始条件决定振幅和初相位设 t, v v, cos v sin ) ( v tg v 6

7 例题 9 9. 设想地球内有一光滑隧道, 如图所示证明质点 m 在此隧道内的运动为简谐振动, 并求其振动周期. 证明 : 质点 m 受力分析 y Gm r GmM r R R 3 e F ( M ˆ ˆ 3 e )r rr 3 建立 oy 坐标系 GmM e GmM e Fy F sin r sin y 3 3 R R F r o R GmM e y 3 R m d dt y 7

8 即 d dt y GM R e 3 y 满足简谐振动微分方程, 故为简谐振动其周期 : T R 3 GM e 84.3min 思考 : 巴黎与伦敦两城市直线距离为 3Km 现用一条直的地下铁道将其连接, 两城市间的火车仅在重力作用下运行, 试求火车的最大速度以及从伦敦出发到达巴黎所需时间 ( 地球的半径为 64Km,g=9.8m/s, 98 忽略摩擦力 ) 8

9 例题 9 9. 如图, 两个完全相同的圆柱体, 它们的轴平行, 且在同一水平面上, 相距为 L, 以相同的角速度绕轴快速转动, 在圆柱体上放一均质木板, 木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为开始时木板放在平衡位置偏右的位置, 且给它一个向右的初速度 v, 求木板的运动 O 解 : 选如图所示坐标, 原点取在木板平衡时中心的位置, 设木板质量为 m, 则当木板中心处于处时, 受力情况如图所示, 由牛顿定律可得 L L N N m () N N N N mg () 取 O 为参考点, 由角动量定理可得 NL NL mg (3) N N mg 9

10 由 () (3) 式可得 N mg ( L ) ( ), mg L N L L g L 代入 () 式, 化简后可得该方程通解为由初始条件 :t=,=,v=v, 得 g cos( t ) L v L, arctan( v L ) g g 则木板运动方程为 vl g v L cos( tarctan( )) g L g

11 三常见的简谐振动 () 竖直悬挂的弹簧振子选平衡位置为坐标原点平衡时 mg kl l O 位移时 F mg k ( l ) k 故物体仍做简谐振动

12 () 单摆重力形成的力矩, 在角度很小时有 M mgl sin mgl 根据转动定律 l 又有 I I M ml d mgl dt I d g dt l 表明 : 单摆的运动也是简谐振动, 故 O mg g, T l l g

13 (3) 复摆 : 一可绕水平固定轴摆动的刚体几种简谐振动 f 类似单摆写出方程为 : d I dt mgl sin d dt mgl I mgl mgl g I L, T I L mgl g L I ml 其中称为等值单摆长. 几种简谐振动.swf O l C 结论 : 一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力, 即 dv F( ) k ( k ) d mg 3

14 总结 : 任何物理量 ( 如长度角度电量电磁场强度等 ) 的变化规律满足简谐振动的动力学方程 d dt 且常量 ω 取决系统本身的性质, 则该系统的物理量做简谐振动其简谐振动的运动方程 : cos( t ) 4

15 四简谐振动的表示法. 旋转矢量图示法作坐标轴 o, 自原点作一矢量 OM ( ) 旋转矢量模角速度简谐振动振幅角频率与轴的夹角相位 t 初始与轴的夹角初相矢端 M 在轴投影的运动规律 : P 点的坐标 t ) cos( M t+ t= O 即 M 点位矢在轴上的投影 p 5

16 速度 v t ) sin( 即 M 点速率在轴上的投影加速度 a ( t ) cos( 即 M 点向心加速度在轴上的投影 t+ O p M t= P 点坐标速度和加速度都作简谐振动说明 : 旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法 ; 不能把 M 的运动误认为简谐振动 6

17 例题 9.3 一物体沿轴作简谐振动, 振幅为.4m, 周期为 s, 当 t= 时 =.m, 且向轴正方向运动. 试求 : ) 振动方程 ; ) 从 =-.m, 且向轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所需的时间. 提示 : 用旋转矢量图示法求解解 : ) 设振动方程为 t ).4m T s cos( 由题知和可得 T 为确定初相, 画出 t= 时旋转矢量的位置当 t = 时, =.m, v > O p M t= 7

18 由图得到振动方程为 : cos 5 或 O 3 3.4cos( t ) m 3 O p t= M ) 从 = -.m, 且向轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所需的时间 M t s. 83s 6 p D O 8

19 . -t 曲线图示法简谐振动也可用 -t 的振动曲线表示, 如下图所示, 图上已将振幅周期和初相标出. P P t O P' T P P P P O T t 9

20 v cos( t ) a d cos( t ) dt d cos( t ) dt (v) O t (a) O t

21 例题已知某质点作简谐运动, 振动曲线如图, 试根据图中数据写出振动表达式解 : 设运动表达式 cos( t ) 由图可见,=m m, 当 t = 时有 : (m) cos v sin 4 O - t(s) 又当 t = s 时, cos( t ) t v sin( t ) 4 4

22 3. 复数法解得 : cos( t ) 4 4 利用三角函数与复数的关系, 简谐振动也可用复数描述 : 其中或 i e i e e ( t ) i( t ) 是复数, 称为复振幅注 : 上式有意义的是实数部分 ( 或虚数部分 )

23 五简谐运动的能量设在某一时刻, 振子速度为 v 则系统的动能 : Ek mv sin ( ) m t k [ cos ( t )] 该 t 时刻物体的位移为 X,, 则系统的势能 : E p k cos ( ) k t k [ cos( t )] k 系统的总能量 : E E k E p 3

24 能量平均值 E T E K m sin ( t ) dt k E T 4 P T mk cos ( t ) dt k T 4 E (/)E E P 4

25 例题如图, 弹性系数为 k, 质量为 M 的弹簧振子静止地放置在光滑的水平面上, 一质量为 m 的子弹以水平 v 射入 M 中, 与之一起运动选 m M 开始共同运动的时刻为 t=, 求固有角频率振幅和初相位解 : 碰后振子的质量变为 M+m, 则 v 固有角频率为 M k M m 选如图所示坐标, 由碰撞过程中动量守恒得碰后的共同速度为 v M mv m k m 5

26 E ( k M mv ) 其初始动能为由初始动能在最大位移处将完全转为势能, 即 E p k ( M m ) v 得 M m m m v k( M m) v 由 cos( t ) d v sin( t ) dt 将初始条件 :t= 时 =,v=v < 代入上面两式可得 6

27 ( 二 ) 简谐振动的合成任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成一同方向同频率谐振动的合成合振动的运动方程 : cos( t ) cos( t ) cos( t ) cos( sin sin arctg cos cos 合成结果仍为简谐运动合振动与分振动在同一方向, 且有相同频率 ) 7

28 讨论 : ) 相位差同相 ) 相位差反相 k, k,, k 同相, 合振幅最大 ( k ), k,, k 当 = 时, 质点静止 3) 一般情况 ( 相位差任意 ) 反相, 合振幅最小总结 : 相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用 8

29 二两个同方向不同频率谐振动的合成设一质点同时参与了角频率分别为的简谐振动 t cos( t ) cos( ) 的两个同方向设两振动的振幅相同, 初相为 cos( t ) cos(vt ) cos( t ) cos(v t ) 合振动的运动方程为 : ( t t cos )cos( ) 9

30 讨论 : 两频率都较大, 而频率差很小的情况表明 : 一个高频振动受一个低频振动的调制注意 : 周期应有 (v -v )/ T= 决定合振动振幅 cos t 合振动频率 t t t 3

31 合振幅出现时大时小的现象拍现象合振幅变化频率为 : T 拍的形成.swf, 其中 v 称为拍频上述结果也可用旋转矢量合成法描述若, 如图, 以的角速度旋转, 则相对以的角速度旋转, 则合矢量的变化角频率为. 拍现象的应用 : t ( )t t t 用标准音叉振动校准乐器测定超声波测定无线电频率调制高频振荡的振幅和频率等注这里注 : 这里 = 3

32 三两个相互垂直的同频率谐振动的合成 y 消去参数 t, 得轨迹方程 y cos( t ) cos( t ) y cos( ) sin 椭圆偏振光.swf 合振动坐标的参量方程 ( ) 运动轨迹椭圆方程, 形状决定于分振动的振幅和相位差. 讨论 : ) 轨迹 : 两个分振动同相 y 合运动是简谐振动, 角频率与初相不变, 振幅为 3

33 ) 两个分振动反相轨迹 : y - 合运动是简谐振动, 角频率与初相不变, 振幅为 3) 轨迹 : y y 比位相超前 /,, 故椭圆轨道运动的方向是顺时针, 即右旋的. 33

34 4) 3 轨迹 : y y 比位相滞后 /, 故椭圆轨道运动的方向是逆时针, 即左旋的. 当 = 时, 正椭圆轨道将变为圆轨道, 即质点作圆周运动圆偏振光.swf 34

35 四两个相互垂直的不同频率谐振动的合成. 两分振动频率相差很小 ( ) t ( ) ( 可看作两频率相等而随 t 缓慢变化, 合运动轨迹将按上页图依次循环地缓慢变化. t 35

36 . 两振动的频率相差很大合振动轨道一般不是封闭曲线, 但当频率有简单的整数比关系时, 是稳定的封闭曲线, 称为利萨如图形 ( 如图 ) 利萨如图形的应用利用利萨如图形的形状判断二分振动的频率比, 再由已知频率测量未知频率工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差 36

37 例 9.6 有两个振动方向相同的简谐振动, 其振动方程分别为, 4cos(t ) cm ) 求它们的合振动方程 ; ) 另有一同方向的简谐振动 3cos(t / ) cm 3 cos(t 3 ) cm 问 : 当 3 为何值时, + 3 的振动为最大值? 当 3 为何值时, + 3 的振动为最小值? 解 :) 两个振动方向相同, 频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动, 合振动方程为 cos( t ) tan cos( ) sin sin cos cos 5(cm)

38 根据已知条件,t= 时, 合矢量应在第二象限, 故所求的振动方程为 4 5 5cos(t 4 / 5) (cm) ) 当 k k,, 时, 相位相同即 3 3 k k,,, 振幅最大当 k k,, 3 即 k k,, 3 时, 相位相反, 振幅最小 38

39 一阻尼振动 ( 三 ) 阻尼振动定义 : 振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动阻尼振动.swf 二阻尼振动的运动微分方程 v 粘滞阻力牛顿方程 f r d v dt d d m k dt dt k m O F f P 令 k m ( 固有角频率 ) m ( 阻尼因子 ) 39

40 得运动微分方程 e t d d () dt dt 将形如的解代入微分方程, 得特征方程其特征根是按阻尼度大小的不同, 微分方程有三种不同形式的解, 代表了振动物体的三种运动方式. 4

41 . 弱阻尼 ( ) 时, 阻尼振动运动方程的方程解为 e cos( t ) t 阻尼振动的角频率 : = 和决定于初始条件的积分常数 t 阻尼振动曲线 : e cos( t ) t e O t 4

42 弱阻尼曲线 : 近似为简谐振动振幅随时间 t 作指数衰减阻尼振动周期比系统的固有周期长 t e T 阻尼振子的能量与品质因数阻尼振子的总能量 : E E E de dt k p t me k 机械能不再守恒 v fv 即损失的能量用于克服 4 粘滞阻力做功

43 品质因数 : 用来描述阻尼项的大小这里 Q. 临界阻尼 E Q E E m t e T t T e m e e ( ) 时, 特征方程只有一个重根, 微分方程的解为 ( t) t c ct e 临界阻尼特点 : 不再振动, 但趋于平衡最快 43

44 3. 过阻尼 ( ) ( t 时, 阻尼较大, 特征方程有两个不同的实根, 这时方程的解为 ) t c e c e 这种过阻尼运动方式是非周期运动, 振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置, 不再做往复运动. 弱阻尼临界阻尼过阻尼 t 问题 : 怎样使灵敏电流计的指针尽快稳定以得到读数? O t 44

45 ( 四 ) 受迫振动共振一受迫振动. 定义 : 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动强迫力 : 阻尼力 : 恢复力 : F cost v k. 受迫振动的运动微分方程 m d k v dt F -k m F f cos t d d hcos t dt () dt 45

46 微分方程的通解为 t cos( e t ) cos( t ) 其中 : t e cos( t ) -- 阻尼振动, 随时间消失, 暂态解令 cos( t ) -- 简谐振动, 稳态解经一段时间受迫振动变为简谐振动 cos( t ) e i t t, 代入方程 (), 有 h i e it O t 46

47 由此得定态解的振幅和相位分别为二共振 h arctg ) 4 ( 驱动力的角频率为某一定值时, 受迫振动的振幅达到极大值的现象. d d d d ( ( h ) 4 ) 共振角频率 : 共振振幅 : r r h 47

48 分析 : ) 越小时 r r 越接近于, 也越大无阻尼 = 弱阻尼 > r ) = 时大阻尼 > 尖锐振动 r 应用 : 电磁共振选台 ( 收音机 ) 乐器利用共振提高音响效果 O 研究避免共振的破坏的措施 : 频率响应曲线破坏外力 ( 强迫力 ) 的周期性改变系统固有频率改变外力的频率增大系统阻尼力 48

49 ( 五 ) 复杂体系的振动 - 简正模 * ( 不做要求!) 问题 : 一个多个弹簧振子耦合在一起的复杂体系, 系统将怎样运动? 如 : 一个线性三原子分子 B m m B k k m B 例若此线性三原子分子 B 相邻原子之间的结合力是弹性力, 它们正比于原子的间距, 求分子可能的纵向运动形式和相应的振动角频率 49

50 m m B k k m 3 B 解设从左到右三原子的相对坐标 ( 相对于平衡位置发生的位移 ) 依次为,, 3, 则它们的运动方程为 d m k ( ) dt d ( ) ( ) dt d 3 m k( 3 ) dt mb k k 3 5

51 利用简谐振动的复数表方法, 设解具有以下形式 : it e ( i,,3, 为复振幅 ) i i i i k k ( ) m m k k k ( ) 3 mb mb mb k k ( ) 3 m m 代入以上方程组, 可得关于显然 3 的线性齐次代数方程组是方程组的解, 无实际意义 5

52 振幅存在非零解的条件为即 k k m m k k k mb mb mb k k m m k k k m m m m m ( ) ( ) ( ) B B 5

53 作因式分解, 得 k k ( m m ) m m m B ( ) [ ] 由此得三个根 B k k( m mb ),, 3 m m m B 将三个根分别代回到关于的方程组, 可得每个振动模式 i 中原子振幅之间的比例关系 :, 3 m : B 3 m :

54 :, 简正模 3 简正模 m : mm B 3 分子的刚性平动 : 3 3 非分子内部振动模式简正模式 : 系统中各振子以相同的频率做简谐振动的振动方式它是整个系统集体的运动方式, 而不是个别振子的运动行为! 54

55 考虑 CO 分子 : 其两个振动频率分别为 Hz 和 Hz, 试求 CO 键的弹性系数解由 k k 可解得 k, k( m m ) B m mmb mo kg ( Hz) 676N m mo mc mo m C 6.66 kg ( 7.4 Hz) 6 48N m 7 3 表明该模型基本正确, 但还不够精确 55

56 本章基本要求. 掌握谐振动的特征和规律, 理解描述谐振动的特征量的物理意义, 熟练确定振动系统的特征量, 建立谐振方程.. 熟练掌握描述谐振动的旋转矢量法和图示表示法. 3. 掌握同方向同频率谐振动的合成的特点与规律, 掌握互相垂直谐振动的合成的特点. 4. 理解阻尼振动受迫振动和共振的发生条件和规律. 56

幻灯片 1

幻灯片 1 第九章机械振动麻省理工学院公开课 : 振动与波 http://v.163.com/special/sp/vibrationsandwaves.html 9.1 简谐振动振动 : 任何一个物理量在某一数值附近的反复变化振动具有重复性和周期性振动是普遍存在的一种运动形式 1 物体的来回往复运动 ( 弹簧振子单摆等 ) 电流电压的周期性变化 L C A B + K 机械振动 : 物体在一定位置附近作周期性往复运动