大学物理 ( 下册 ) 复力, 受到此类力作用的系统一般为简谐振动系统由牛顿第二定律可得 : 令由式 (..) (..) 得到 : d x m = kx d t (..) k ω = m (..) d x + ω x = (..3) d t 式 (..3) 是振子简谐振动的动力学方程, 求解该二

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斋墩邬
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第章机械振动基础人类生活在充满振动的自然界之中, 固体物质中原子的振动宇宙空间的电磁振荡机械钟表钟摆的摆动等, 振动现象俯拾皆是而机械振动是机械工程和日常生活普遍可见的力学现象, 行驶交通工具的振动人体脉搏不停息地跳动和内燃机工作状态的振动等均属此类运动机械振动的传播便形成机械波, 因此本章是第章波动的学习基础值得注意的是, 机械振动和机械波的基本内容还是电工学

1 第章机械振动基础人类生活在充满振动的自然界之中, 固体物质中原子的振动宇宙空间的电磁振荡机械钟表钟摆的摆动等, 振动现象俯拾皆是而机械振动是机械工程和日常生活普遍可见的力学现象, 行驶交通工具的振动人体脉搏不停息地跳动和内燃机工作状态的振动等均属此类运动机械振动的传播便形成机械波, 因此本章是第章波动的学习基础值得注意的是, 机械振动和机械波的基本内容还是电工学无线电技术自动控制技术等科学技术领域的理论基础本章将重点介绍简谐振动及其规律, 讨论简谐振动的合成, 以及阻尼振动受迫振动等更接近客观实际的机械振动模型在本章学习过程中, 应重视简谐振动的学习, 掌握其动力学方程的建立与求解, 简谐振动合成复杂振动的研究等, 为机械振动在专业课程的学习和技术工程中的应用奠定扎实的理论基础. 简谐振动物体在其平衡位置附近往复运动称为机械振动, 简谐振动属于最简单最基本的机械振动, 是研究复杂振动的基础, 因为复杂的振动可由若干简谐振动合成获得由原长为 l 劲度系数为 k 的轻弹簧和质量为 m 的物体构成的弹簧振子如图. 所示, 若不计空气阻力水平桌面的摩擦力, 则该力学系统做简谐振动, 应用牛顿第二定律可以求解其运动方程以下通过对弹簧振子的求解, 详细介绍简谐振动问题的求解方法以固定于地面的水平桌面为惯性系, 选择如图. 所示的坐标系, 取振动系统的平衡位置为坐标原点 O, 由胡克定律得到质量为 m 的振子所受弹性力与其位移成正比得 : F = kx 图. 弹簧振子如上式所述, 将始终指向振子平衡位置又与其位移成正比的力称为线性回

2 大学物理 ( 下册 ) 复力, 受到此类力作用的系统一般为简谐振动系统由牛顿第二定律可得 : 令由式 (..) (..) 得到 : d x m = kx d t (..) k ω = m (..) d x + ω x = (..3) d t 式 (..3) 是振子简谐振动的动力学方程, 求解该二阶线性齐次微分方程得到振子简谐振动的运动方程为 : x( t) = cos( ω t + ϕ ) (..4) 将式 (..4) 对时间分别求一二次导数得到振子简谐振动的速度加速度为 : d x v = = ω sin( ω t + ϕ ) d t (..5) d v a = = ω cos( ωt + ϕ) = ω x d t (..6) 由式 (..4)~(..6) 可知, 物体做简谐振动时, 其位移速度和加速度均为时间的周期性函数, 图. 给出了相应的函数图像应用位置速度和加速度与时间的函数图像描述简谐振动, 具有直观的特点, 称之为图像方法而应用式 (..4)~(..6) 描述简谐振动称为解析方法, 尤其是用于理论证明, 该方法具有简洁的特点其实只要振动物体的动力学方程或运动方程与式 (..3) 或式 (..4) 的形式相同, 且其中的 ω 仅取决于振动系统本身的固有性质, 则振动物理量并不局限于位移, 即可判定其做简谐振动图. 简谐振动的函数图像

3 简谐运动方程式 (..4) 中的 ϕ 均为积分常量, 可由初始条件确定其中为简谐振动物体位移的最大绝对值, 限定物体的振动范围, 称为振幅由式 (..) 给定的 ω 取决于振动系统的固有性质, 称为角频率,SI 单位为 rad s 把物体完成一次完全振动所经历的时间称为周期,SI 单位为 s 利用周期性函数的性质及式 (..4) 可以得到周期与角频率的关系为 : π T = (..7) ω 将单位时间内物体所做的完全振动的次数称为频率, 用 ν 表示, SI 单位为 Hz 频率周期与角频率的关系为 : ν = = (..8) T ω π 将式 (..) 带入式 (..7) 式 (..8) 可得到振子的谐振动周期频率以及角频率为 : π T = = π ω m k k ν = = (..) T π m k ω = m 由式 (..4)~(..6) 可以看出, 当和 ω 一定时, 确定振动物体任意时刻位移速度和加速度的物理量是 ( ω t + ϕ ), 称为振动相位而 ϕ 对应时间 t = 时的振动相位, 称为初相位, 反映 t = 时振动物体的运动状态由初始条件可以确定简谐运动方程式 (..4) 中的积分常量 ϕ 将 t = 带入式 (..4) 式(..5) 得到初始位移初始速度为 : x = cos ϕ 于是得到 : v d x = = ω sin ϕ (..) d t v = x + ω (..) v ϕ = arctan ω x (..) 综上所述, 描述简谐振动的特征物理量是 T 和 ( ω t + ϕ ), 振动系统决定 T 或 ω 振动系统确定后, ϕ 由初始条件 x v 决定, 式 (..4)~(..6) 给出弹簧振子简谐振动的解析描述第章机械振动基础 3

4 4 大学物理 ( 下册 ). 旋转矢量简谐振动的描述可以采用解析方法, 也可以采用如图. 所示的图像方法, 两种方法各有千秋本节将介绍另外一种描述简谐振动的方法, 即具有形象特点的旋转矢量法, 特别是用于讨论简谐振动的合成, 该方法有其独到之处设在如图.3 所示的 xoy 直角坐标系中, 矢量的起始点位于原点 O, t = 时, 与 x 轴的正向夹角为 ϕ, 任意时刻 t, 与 x 轴的正向夹角为 ( ω t + ϕ ), 且以角速度 ω 绕 z 轴逆时针转动, 则如此定义的矢量称为旋转矢量于是任意时刻 t 旋转矢量在 x 轴上的投影为 : x( t) = cos( ω t + ϕ ) 图.3 旋转矢量同理, 将端点的速度矢量加速度矢量在 x 轴上投影, 就可以得到如式 (..5) 式 (..6) 表示的物体简谐振动的速度和加速度于是可知, 旋转矢量的模为简谐振动的振幅, 旋转矢量转动的角速度为简谐振动的角频率, 旋转矢量与 x 轴的正向夹角为简谐振动的相位, 旋转矢量的端点以及端点的速度和端点的加速度在 x 轴上的投影即为简谐振动的运动方程以及振动速度和振动加速度的表达式因此有结论 : 旋转矢量可以描述简谐振动.3 简谐振动的应用本节将以例题的形式介绍单摆复摆等振动装置的简谐振动, 同时还将涉及简谐振动的能量地球隧道中质点的谐振动等问题例题.3. 单摆与简谐振动设长为 l 且不可伸长的细线上端固定, 其下端悬挂质量为 m 的小球, 构成如图.4 所示的振动系统称为单摆, 又称数学摆小球细线分别称为单摆的摆球和摆线试讨论单摆在小角摆动条件下的运动规律

5 图.4 单摆解 : 由题意知可忽略不计摆线的质量, 同时也不计空气阻力及细线上端固定点的摩擦力以下应用牛顿第二定律进行分析, 若摆球在铅垂面内做小角摆动, 则单摆的摆动为简谐振动将摆球视为质点, 其受到重力与细线的拉力, 如图.4 所示选摆线固定点 C 为惯性系, 取摆球的平衡位置为 O 点, 设任意时刻摆线与其平衡位置铅垂线的夹角为摆角, 令任意时刻单摆的角位移为 θ, 取逆时针摆向为其正向, 于是应用自然坐标系得到重力在摆球轨迹 e t 方向的分量为 : F = mg sin θ t 其中负号表示 F t 的方向与 θ 的正向相反, 应用牛顿第二定律得到摆球的动力学方程沿其轨迹 e t 的分量式为 : 整理得 : d θ mgsin θ = mat = ml d t d θ g + sinθ = (.3.) d t l 若限定摆球为小角摆动 θ 5, 故有 sinθ θ, 于是得到 : F = mgθ g 上式表明, 摆球 m 所受到的力也是回复力再令 ω = 得到 : l 求解式 (.3.) 得 : t d θ + ω θ = (.3.) dt θ = θ cos( ω t + ϕ ) (.3.3) m g 其中 : ω = (.3.4) l π l T = = π (.3.5) ω g 讨论 : () 由式 (.3.)~(.3.5) 可知, 单摆的小角摆动是简谐振动, 此时单摆 5 第章机械振动基础

6 6 大学物理 ( 下册 ) 的简谐振动周期取决于摆长及当地的重力加速度, 与摆球的质量无关, 故可应用单摆装置测量当地重力加速度的数值, 也可应用单摆作为计时装置 () 若摆球的尺寸较大, 或绳的质量不能忽略, 就不能再作为单摆对待, 此时摆的周期就与摆球的尺寸或绳的质量有关 (3) 请思考若取消单摆小角摆动的限制条件, 其运动规律又将如何? 现代物理学之父伽利略伽利雷 (Galileo Galilei,564~64 年 ) 对于单摆的研究作出过较大贡献伽利略 8 岁在比萨大学就读期间, 观察到教堂悬灯的摆动, 他用脉搏的跳动测量吊灯摆动的时间, 发现无论吊灯摆动角度的大小如何, 脉搏跳动的次数总是一样的! 伽利略奔回宿舍, 寻找到不同长度的绳子铁球等材料, 一次又一次重复试验最后他得出结论 : 单摆的周期与摆长的平方根成正比, 而与振幅大小摆锤质量无关, 这就是单摆的等时性定律该规律的发现为以后的振动理论和机械计时装置的研制建立了理论基础荷兰著名物理学家克里斯蒂安惠更斯 (Christian Huygens,6~65 年 ) 进一步验证了单摆振动的等时性, 并用于计时器的研制,656 年研制成功第一架计时摆钟史蒂芬霍金 (Stehen Hawking, 4~) 认为自然科学的诞生要归功于伽利略阿尔伯特爱因斯坦 (lbert Einstein,87~55 年 ) 评价 : 伽利略的发现, 以及他所用的科学推理方法, 是人类思想史上最伟大的成就之一, 而且标志着物理学真正的开端! 例题.3. 复摆与简谐振动设质量为 m 的任意形状的刚体, 可绕固定水平轴 O 在铅直平面内自由摆动, 如图.5 所示, 该振动系统称为复摆, 又称物理摆设 C 为复摆的质心,h = OC 为转轴到复摆质心的距离, 设 J 为复摆对固定水平轴 O 的转动惯量, 在忽略不计空气阻力及水平轴处摩擦力的条件下, 试分析复摆的小角振动为简谐振动图.5 复摆解 : 选定固定水平轴为惯性系, 若使刚体偏离其平衡位置一个小角度, 设为刚体的角位移 θ, 取逆时针方向为其正向由于刚体仅受重力作用, 于是得到任意时刻相对水平轴 O 复摆受到的重力矩为 :

7 M = mghsin θ mgh θ 其中已限定复摆为小角摆动 θ 5, 并取 sinθ θ 如上式所述刚体受到的始终指向其平衡位置且又与其角位移成正比的力矩称为线性回复力矩, 受到此类力矩作用的力学系统一般为谐振动系统于是由刚体定轴转动定律可得 : 其中 : 大小 ; d θ mgh d θ + θ = + ω θ = (.3.6) dt J d t 求解式 (.3.6) 得 : θ = θ cos( ω t + ϕ ) (.3.7) 讨论 : m mgh ω = (.3.8) J π J T = = π (.3.) ω mgh () 由式 (.3.) 知, 应用复摆可测量其周期角频率或当地重力加速度的 () 应用复摆可测量任意形状的刚体对固定水平轴的转动惯量 ; (3) 应用复摆可验证平行轴定理 ; (4) 若令 J = l m, 并带入有关复摆的各公式, 可以得到单摆对应的式 (.3.)~(.3.5), 于是有结论, 复摆包括单摆 3 3 例题.3.3 地球隧道中质点的谐振动设地球为密度 ρ = 5.5 ( kg m ) 半径为 R 的球体, 若沿其直径打通一条隧道, 设隧道内质量为 m 的质点做无摩擦运动, () 试证明隧道内质点做谐振动 ;() 试计算该质点谐振动的周期解 : () 隧道内质点做谐振动只要从动力学角度分析质点在隧道内运动时的受力特征即可取坐标如图.6 所示, 坐标原点为地球中心, 故当质点位于坐标 x 处时所受地球引力为 : mx m F = G (.3.) x 第章图.6 隧道内质点的运动机械振动基础 7

8 8 大学物理 ( 下册 ) 其中 m = x 4π 3 ρx 3 4π ρm, 令 k = G, 则得到质点位于 x 处的受力为 : 3 4π ρm F = Gx = kx (.3.) 3 由式 (.3.) 可知质点在隧道内所受地球引力为线性回复力, 因此质点做谐振动 () 质点谐振动周期与弹簧振子谐振动周期式 (..) 类比可得 : T 3π Gρ 3 = π m / k = = 84.5min = 5.7 ( s ) (.3.) 讨论 : () 可以证明, 沿地球表面圆轨道运行人造地球卫星的周期与地球隧道内质点谐振动周期相同 ; () 可以证明, 将上述隧道贯穿地球任意位置, 质点谐振动周期均为式 (.3.) 表示的结果, 即质点谐振动周期与隧道的位置无关 ; (3) 对于地球隧道内质点振动问题的讨论, 还可以增加地球自转公转等因素例题.3.4 弹簧振子简谐振动的能量以弹簧振子的简谐振动为例, 讨论谐振动的能量, 其中包括弹簧振子的振动动能弹性势能和总能量等问题解 : 由式 (..4) 式 (..5) 可知, 任意时刻弹簧振子简谐振动的运动方程振动速度为 : x( t) = cos( ω t + ϕ ) v = ω sin( ω t + ϕ ) 于是得到该系统任意时刻的动能弹性势能为 : Ek = mv = mω sin ( ω t + ϕ ) (.3.3a) E = kx = k cos ( ω t + ϕ ) (.3.3b) 故弹簧振子系统的总能量为 : E = Ek + E = mv + kx = mω = k (.3.4) 将式 (.3.3) 第二式带入式 (.3.4) 又得到 : Ek = k kx (.3.5) 图.7(a) 所示为式 (.3.3) 对应的动能弹性势能随时间的变化关系图.7(b) 所示为简谐振动动能弹性势能随空间的变化关系讨论 : () 简谐振动系统的 E k E 均为 t 的周期函数如图.7(a) 所示, 动能最大时 E =, 势能最大时 E k =, 振动过程就是系统 E k E 的相互转换过程 ;

9 图.7 简谐振动能量随时间 / 空间变化图像 () 如图.7(b) 所示, 简谐振动系统的 E k E 也可为 x 的周期函数动能最大时 E =, 势能最大时 E k =, 振动过程就是系统 E k E 的相互转换过程 ; (3) 简谐振动系统是保守系统, 如图.7(a) (b) 所示, 系统的总能量守恒弹簧振子简谐振动的守恒量与振幅的二次方成正比, 简谐振动是等幅振动例题.3.5 试由弹簧振子的总能量出发, 导出其简谐振动的动力学方程解 : 由式 (.3.4) 可知, 弹簧振子的总能量为 : E = mv + kx = k 将上式两边对时间求一次导数, 并注意上式右端为常量, 得到 : 讨论 : dv dx d x mv + kx = m + ω x = dt d t d t () 由上述结果, 即可求得弹簧振子简谐振动的运动方程式 (..4) ; () 由弹簧振子的总能量导出其简谐振动动力学方程的方法, 较之应用牛顿第二定律的求解方法简单快捷, 完全可以不去顾及弹簧振子的受力, 省去了受力分析等环节, 该方法对于保守系统普遍成立 ; (3) 应用式 (.3.3)~(.3.5) 描述简谐振动称为能量方法, 在解决某些第章机械振动基础

10 大学物理 ( 下册 ) 简谐振动问题时有其方便之处 ; (4) 能量方法可用于求解简谐振动系统的固有频率, 该方法在工程技术中具有广泛应用例题.3.6 能量的时间平均值问题与时间有关的物理量 ( t ) 在时间间隔 T 内的平均值定义为 : T = ( t)d t T (.3.6) 试计算弹簧振子简谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能解 : 由式 (.3.6) 可求得弹簧振子简谐振动在周期 T 内的平均动能平均势能和平均机械能分别为 : T T T Ek = Ek ( t)dt mv dt m sin ( t )dt k J T = T = T ω ω + ϕ = ( ) 4 T T T E = E ( t)dt kx dt k cos ( t )dt k J T = T = T ω + ϕ = ( ) (.3.7) 4 T T E = E = Ed t = Ek ( t) E ( t) dt = k J T T + ( ) 上述结果表明, 弹簧振子简谐振动在 T 内的 E = E, 而 E k 和 E 相等, 分别等于 E 的一半, 这是关于简谐振动系统能量的重要结论, 该结论在第章及第 3 章讨论气体分子的平均动能及摩尔热容问题时有具体应用例题.3.7 氢原子的简谐振动原子的振动可近似为简谐振动, 已知氢原子 7 4 质量 m =.68 ( kg ), 振动频率 ν =. ( Hz ), 振幅 =. ( m ) 试计算氢原子做简谐振动时 : () 最大振动速度 ; () 振动总能量解 :() 最大振动速度由简谐振动速度式 (..5) 可得氢原子做简谐振动的最大速度为 vmax = ω = π ν = 6.8 ( m s ) () 振动总能量氢原子的振动总能量为 E mv = / = 3.3 ( J ) max 由此结果可以看出, 氢原子简谐振动速度较大, 但其简谐振动能量具有非常小的数量级.4 简谐振动的合成诸如行驶列车引起铁路桥梁的振动, 火山爆发产生地动山摇的地震, 演奏悠扬乐曲的琴弦等均为复杂振动多个简谐振动的合成可以得到较复杂的振动, 而且振动的合成在光学电工学无线电技术等领域均有应用, 本节重点介绍简谐

11 振动的四类合成.4. 两个同方向同频率简谐振动的合成设有两个同方向同频率的简谐振动, 其运动方程为 : x ( t) = cos( ω t + ϕ ) ( i =, ) i i 可以应用旋转矢量方法解决上式所描述的两个简谐振动的合成设如图.8 所示两个分振动的旋转矢量分别为, t = 时, 旋转矢量与 x 轴的正向夹角分别为 ϕ ϕ 由于均以相同的角速度 ω 做匀角速转动, 故由其构成的平行四边形形状保持不变, 合矢量的模也保持不变, 并也以 ω 随平行四边形做匀角速转动故由平行四边形法则得到时刻 t 的合矢量为 : = + i 图.8 两个同方向同频率简谐振动的合成及在 x 轴上的投影关系为 : x = x + x 于是得到在 x 轴上的投影为 : x = x + x = cos( ω t + ϕ ) (.4.a) 如图.8 所示, 应用余弦定理可以求得合振动的振幅, 由直角三角形 OPM 可求得合振动的初相位, 分别如下所示 : = + + cos( ϕ ϕ ) sinϕ + sin ϕ tan ϕ = cosϕ + cos ϕ (.4.b) 上述合成结果表明, 两个同方向同频率简谐振动的合成, 仍然是同方向同频率的简谐振动, 其中合振动的运动方程振幅和初相位分别由式 (.4.a) (.4.b) 给出易于证明, 上述方法对于多个同方向同频率简谐振动的合成依然成立, 合成结果依然是同方向同频率的简谐振动正如式 (.4.b) 所示, 合振动的振幅与第章机械振动基础

12 大学物理 ( 下册 ) 两个分振动的振幅相位差均有关系, 对此可做如下讨论 : () 若 ( ϕ ϕ ) = kπ ( k =, ±, ± ), 则两个分振动同相位, 即两个分振动旋转矢量同向重合, 此时分振动相互加强, 合振动振幅最大 : max = + + = + ; () 若 ( ϕ ϕ ) = ( k+)π ( k =, ±, ± ), 则两个分振动反相位, 即两个分振动旋转矢量反向重合, 此时分振动相互削弱, 合振动振幅最小 : min = + = ; (3) 若 ( ϕ ϕ ) 为异于 () () 的其他情况, 则合振动振幅为 : < < +.4. 两个相互垂直同频率简谐振动的合成设有两个相互垂直同频率的简谐振动, 分别在平面直角坐标系 x y 轴上运动, 则对应运动方程为 x( t) = cos( ω t + ϕ ) y( t) = cos( ω t + ϕ ) 将 t 消去可得合振动物体的轨迹方程为 : x y xy + cos( ϕ ϕ ) = sin ( ϕ ϕ ) (.4.) 式 (.4.) 为椭圆方程, 故两个相互垂直同频率简谐振动的合振动轨迹为椭圆曲线, 其具体形状由分振动的振幅及其相位差决定, 对此可做如下讨论 : () 将 ( ϕ ϕ ) = ± kπ ( k =,, ) 带入式 (.4.) 得 y = x, 对应图. 所示斜率为正值的直线 ; () 将 ( ϕ ϕ ) = ± (k + )π ( k =,, ) 带入式 (.4.) 得 y = x, 对应图. 所示斜率为负值的直线 ; π x (3) 将 ( ϕ ϕ ) = (k + ) ( k =,, ) 带入式 (.4.) 得 y + =, 对应图. 所示的正椭圆 ; π 3π (4) 当 < ( ϕ ϕ ) < π, < ( ϕ ϕ ) < π 或为其他值时, 合振动轨迹为图. 所示的斜椭圆

13 图. 两个相互垂直同频率简谐振动的合成.4.3 两个同方向不同频率简谐振动的合成由于此时两个分振动的频率不同, 故两者的相位差及合振动的振幅均与时间有关, 而且两个同方向不同频率简谐振动的合成结果一般不再是简谐振动, 而是较复杂的振动以下结合拍现象, 仅讨论一种特例, 即两个分振动的频率均较大, 但两频率差较小的情况设有两个同方向不同频率的简谐振动, 又有 ν ν << ( ν + ν ), 为简化讨论又不影响合成结果, 设两个简谐振动的振幅相同初相为零, 于是有 : x = cos ω t = cos π ν t x = cosω t = cos π ν t 由于是两个同方向的振动, 故可得合振动的运动方程为 : ν ν ν + ν x = x + x = cos π t cos π t (.4.3) 图. 给出了合振动的振动曲线图, 其中合振动的振幅随时间做缓慢的周期性变化这类分振动频率较大频率差较小的两个同方向不同频率简谐振动的合成, 其合振动振幅时大时小周期性变化的现象称为拍容易看出合振动运动方程式 (.4.3) 包含两个周期性变化的因子, 但是 ν ν ν + ν cos π t 的周期大于 cos π t 的周期, 故前者频率要比后者频率小得多, 因此前者随时间的变化要比后者缓慢得多可以类比简谐振动, 将变化缓第章机械振动基础 3

14 4 大学物理 ( 下册 ) ν ν 慢的 cos π t 作为合振动的振幅, 其值在 ~ 之间变化, 其周期为 ν ν, 合振动振幅变化的频率为两个分振动频率之差 ν = ν ν, 称为拍频 ν + ν 将作为合振动的频率, 其周期为 ( ν + ν ) 图. 两个同方向不同频率简谐振动的合成可以利用两个固有频率稍有差异的音叉演示拍现象 : 敲击两个音叉, 由于两者的振动在空间相遇区域的叠加, 会听到忽高忽低的拍音, 而应用拍音可以校准钢琴对于两个频率相近的振动, 若已知其一, 则可应用拍频的测量测得未知振动的频率, 该方法常用于高精度速度测量卫星跟踪等工程技术领域.4.4 两个相互垂直不同频率简谐振动的合成两个相互垂直不同频率的简谐振动, 其合成结果较为复杂, 一般情况下其合振动轨迹不能形成稳定的闭合曲线但是两个分振动的频率若成整数比, 则相应的合振动轨迹为稳定的闭合曲线, 且曲线图形与分振动的频率比初相位振幅均有关, 此类图形称为利萨茹图形, 如图. 所示利用示波器沙漏摆均可实现利萨茹图形的观察与测量由于利萨茹图形的花样与分振动的频率比有关, 因此可以利用图形花样确定分振动的频率比, 再由已知分振动频率测量获得另一未知分振动的频率另外若已知两个分振动的频率比, 利用利萨茹图形的花样, 可以判定两分振动的相位关系, 这些测量方法在电学测量技术中均有重要应用近年来也有设计师以利萨茹图形作为基本设计元素, 应用计算机技术将其优化组合, 从而构成具有鲜明特色的设计图案, 印制在服装窗帘桌布等产品上, 为大众生活增添了绚丽的色彩

15 图. 利萨茹图形.5 阻尼振动受迫振动共振本节将分别讨论阻尼振动受迫振动和共振等更接近客观实际的振动首先建立其动力学方程, 然后给出方程的解, 最后以实例展示阻尼振动受迫振动和共振在工程技术领域及日常生活中的应用.5. 阻尼振动简谐振动系统是保守系统, 系统的机械能守恒, 简谐振动是等幅振动其实简谐振动是在忽略不计各种阻力条件下的理想模型, 又称为无阻尼自由振动而客观实际的振动系统, 不可避免地要受到各种形式的阻力作用在无外界能量补充的情况下, 其振幅将随时间逐渐衰减直至为零振动系统由于受阻力做振幅减小的运动, 称为阻尼振动考虑如图. 所示的弹簧振子在粘性介质中的阻尼振动, 设弹簧振子所受阻力与其运动速率成正比, 表示为 : d x Fγ = γ v = γ d t 其中 γ 称为阻力系数, 取决于振动物体的形状大小及介质的性质, 可由实验测量获得式中的负号表示振动物体所受阻力与其速度反向选择如图. 所示的坐标系, 以固定于地面的水平桌面为惯性系, 于是由牛顿第二定律得到该振动系统在弹性力阻力作用下阻尼振动的动力学方程为 : d x d x m = kx γ d t d t 第章机械振动基础 5

16 6 大学物理 ( 下册 ) k γ 对于给定的振动系统及介质, m k γ 均为常量若令 ω = β =, 带 m m 入上式整理得 : d x d x + β + ω x = (.5.) d t d t 其中 ω 为弹簧振子无阻尼自由振动的固有频率, 取决于振动系统本身的性质 β 为阻尼系数, 与振动系统及阻尼介质有关, 是反映阻尼大小的物理量式 (.5.) 为常系数二阶线性齐次微分方程, 对于给定的振动系统, 由微分方程理论知, 可依据阻尼系数的大小解得三种可能的运动状态, 如图. 至图.4 所示图. 弱阻尼图.3 过阻尼图.4 临界阻尼 () 阻尼较小, 即 β < ω, 称为弱阻尼, 由式 (.5.) 可求得弱阻尼运动方程为 : 其中 ϕ 由初始条件决定 x( t) = e cos( ωt + ϕ ) (.5.) β t ω = ω β () 阻尼较大, 即 β > ω, 称为过阻尼, 由式 (.5.) 可求得过阻尼运动方程为 : 其中 c c 由初始条件决定 ( β ω β ) t ( β + ω β ) t x( t) = c e + c e (.5.3) (3) β = ω, 称为临界阻尼, 由式 (.5.) 可求得临界阻尼运动方程为 : 其中 c c 由初始条件决定 β t x( t) = ( c + c t )e (.5.4).5. 受迫振动共振在无法克服阻尼, 又要维持振动不断进行的情况下, 可行的方案是由外界持续向振动系统施加周期性外力在周期性外力持续作用下, 振动系统的振动称为受迫振动若弹簧振子在阻力 F = γ v, 周期性外力 F = F cos( ) ω t 共同作用下振动, 选 γ 择如图. 所示坐标系, 以固定于地面的水平桌面为惯性系, 由牛顿第二定律可得

17 该振动系统受迫振动的动力学方程为 : 整理得到 : d x d x γ + cos( ω ) m = kx F t (.5.5) d t d t d x d x + β + ω x = f cos( ω t ) (.5.6) d t d t 其中 k γ ω = β = f = F 式(.5.6) 为常系数二阶线性非齐次微分方程, 由 m m m 微分方程理论可知, 其解由齐次微分方程式 (.5.) 的通解与非齐次微分方程式 (.5.6) 的特解叠加而成, 于是得到 : x( t) = e cos( ωt + ϕ )+ cos( ω t + ψ ) (.5.7) β t 值得注意的是, 由于式 (.5.7) 的第一项为阻尼振动的解, 随着时间的延续将衰减为零, 因此描述受迫振动稳定状态的解为式 (.5.7) 的第二项, 即有 : x( t) = cos( ω t + ψ ) (.5.8) 对于式 (.5.8) 受迫振动稳定状态的解中, 其中 ω 是周期性外力的频率, 而振幅及初相 ψ 由振动系统阻尼力和周期性外力共同确定 :.5.3 位移共振 = f ( ω ω ) +4 β ω βω tan ψ = ω ω (.5.) (.5.) 由受迫振动稳定状态的振幅式 (.5.) 可知, 此时振幅是周期性外力角频率 ω 的函数振动系统受迫振动时, 其振幅达到极大值的现象称为位移共振, 对应共振角频率 ω t 和共振振幅 t 利用式 (.5.) 对 ω 求极值可得共振角频率为 : ω = t ω β (.5.) 式 (.5.) 称为位移共振条件, 由该式可知, ω t 由该系统的固有角频率 ω 和阻尼系数 β 决定将式 (.5.) 带入式 (.5.) 得到共振振幅为 : f t = β ω β (.5.) 需要强调的是, ω t 一般不等于振动系统的固有角频率 ω, 但当阻尼趋于无限小时, 共振角频率无限接近于固有角频率, 但此时共振振幅将趋于无限大, 产生极强烈的位移共振, 如图.5 所示当然, 客观现实中在没有达到极强烈的位移共振之前, 振动系统或许就已经被破坏掉了 7 第章机械振动基础

18 8 大学物理 ( 下册 ) 图.5 共振频率.5.4 阻尼振动受迫振动和共振的应用. 阻尼振动的应用由.5. 节可知, 由于阻尼振动包含有衰减因子 e β t, 因此阻尼可以导致振动衰减, 而适当的阻尼可以使振动消失, 故其在工程技术及日常生活中大有用武之地, 为消除有害振动提供了有效途径 () 诸多类型的减振器工作原理均为阻尼减振, 目前常用的汽车减振器就是采用油液或气体作为阻尼介质产生阻尼力, 达到阻尼减振的目的, 起到改善汽车行驶平顺性的作用 () 机械设备也采用阻尼减振, 精密机床的阻尼隔振就是减弱影响精度的振动, 以保证机床的加工精度高层建筑工程应用高阻尼橡胶垫隔振, 其目的是应用特殊材料减少振动对建筑的损害, 确保高层建筑的安全使用 (3) 家用电器如洗衣机电冰箱等应用阻尼减振技术, 其主要目的是降低由于电器振动而产生的噪音, 保证生活环境的安静与舒适特别是马桶盖的减振装置在房门上安装阻尼铰链等, 由于其阻尼接近临界阻尼, 故使用时既不会产生噪音, 也能较快的关闭例如当安装阻尼铰链的房门突然被大风吹动时, 也能做到无噪音迅速关闭 (4) 易碎物品运输过程增加泡沫塑料等柔软材料的保护, 冬季穿着较厚衣服以及脂肪丰富的人摔倒不易骨折等事例, 均为阻尼减振原理的应用. 受迫振动的应用受迫振动有弊有利, 如周期性阵风作用下建筑物发生的振动, 火车行驶而引起桥梁的周期性振动等均为有害的一面受迫振动在日常生活中也存在有益于人类的作用, 在电磁学建筑工程机械工程等领域均有重要应用 () 摆钟在发条作用下产生受迫振动, 从而实现钟表持续准确的计时功能从能量角度看, 发条储存的势能定量定时地施加于钟摆, 使得钟摆不至于因能量损耗而逐渐停下来 () 多种家用按摩器应用偏心电动机产生受迫振动起到按摩健身的作用 (3) 利用冲击振动作用分层夯实回填土的夯土机为一种压实机械蛙式夯机

19 的工作原理为应用飞轮加装偏心块产生受迫振动, 带动夯机机身向前移动, 从而实现夯锤自动夯实土壤的功能 3. 共振的应用可以利用共振原理研制仪器和设备为人类服务, 例如应用共振原理研制的火车秤, 可以方便的秤重装载数十吨乃至上百吨矿石的货运车厢其他应用共振原理的仪器有超声波发生器回旋质谱仪等但共振现象也会产生一些危害, 例如 3 年月 5 日杨利伟乘坐神舟五号飞船进入太空, 成为中国进入太空的第一人, 其实就在火箭上升过程中产生了共振, 杨利伟感到非常痛苦, 几乎难以承受, 共振现象持续约 6 秒后逐渐减轻返回后他详细描述了共振过程工程技术人员研究认为, 飞船的共振主要来自火箭的振动之后改进了技术工艺, 解决了该问题, 在神舟七号飞行中再没有出现过类似情况 4 年 7 月日, 建成通车不到五个月的美国 Tacoma 悬索桥因阵风引起共振而坍塌, 该事故也成为研究建筑物因共振而破坏的典型事例因此, 在日常生活及工程技术中应采取有效措施和方法, 尽量避免共振现象产生的危害例如火车过桥慢行大队人马过桥便步走登山运动禁止大声喧哗等均属于避免共振产生危害的有效措施习题. 设测试振动台为简谐运动, 运动方程为 x =.cos(π t + π), 其中 t x 的单位分别为 s m, 试求 : () 振动台的振幅频率角频率周期和初相 ; () t = s 时振动台的位移速度和加速度. 钟摆的小角摆动为简谐振动, 若已知钟摆的振幅 = 4. (m) 周期 T =.(s) 初相 ϕ =.75π 试写出钟摆的运动方程速度和加速度.3 竖直轻弹簧下端悬挂一小球, 弹簧被拉长 l = 5 (cm) 时平衡, 释放后小球在竖直方向做振幅 = (cm) 的振动, 取其平衡位置为坐标原点, 竖直向下为正建立坐标系, 并选取小球在向下最大位移处开始计时 () 试证明此振动为简谐振动 ; () 试写出简谐运动方程.4 质量为 m 的小球在半径为 R 的光滑球形碗底做微小振动设 t = 时, θ =, 小球的速度为 v, 且如图.6 所示向 θ 增加的方向运动试求小球的振动方程.5 现将两个劲度系数分别为 k k 的轻质弹簧串联, 构成一个组合弹簧系统设该弹簧系统下端悬挂图.6 习题.4 用图第章机械振动基础

20 大学物理 ( 下册 ) 质量为 m 物体, 若将其置于光滑斜面上运动 () 试证明物体做简谐运动 ; () 试求解该系统的振动频率.6 设物体做简谐振动的振幅 = 4(cm) 周期 T =.5(s) 若当 t = 时 : () 物体在平衡位置并向负方向运动 ; () 物体在 (cm) 处, 并向正方向运动 ; (3) 物体在正方向最大位移处 ; 试求以上三种情况物体的运动方程.7 设海面上的远洋货轮在竖直方向的运动可近似视为简谐振动, 若振幅为周期为 T, 且初始时刻货轮的运动状态为 : () x = ; () 通过平衡位置向 x 轴正方向运动 ; (3) 通过 x = 处向 x 轴负方向运动 ; (4) 通过 x = 处向 x 轴正方向运动 ; 试用旋转矢量法确定相应的初相位, 并写出振动表达式.8 利用单摆可以测量月球表面的重力加速度设宇航员将地球上周期为. (s) 的秒摆置于月球上, 测得其周期为 4.(s), 若取地球表面的重力加速度 g =.8 ( m / s ), 试求月球表面的重力加速度. 测量摆钟的摆长, 可有多种方法例如先将某精密摆钟摆锤上移 (mm), 可测得此时摆钟每分钟快.(s), 由该数据即可确定钟摆摆长, 试确定该精密摆钟的摆长. 设单摆绳长为.(m), 如图.7 所示, 初始时刻摆角最大为 5, 试求 : () 单摆的角频率和周期 ; () 单摆的运动方程 ; (3) 摆角为 4 时的角速度和摆球的线速度图.7 习题. 用图. 设质量为 (kg) 的物体做简谐运动, 振幅为 4(cm) 周期为 4(s), 当 t = 时位移为 (cm) 且向 Ox 轴负方向运动, 试求 : () 简谐运动方程 ; () 由初始位置到 x = 所需最短时间 ; (3) 系统的总能量. 质量为.(kg) 的物体, 以振幅. ( m ) 做简谐运动, 其最大加速度为 4. ( m s ), 试求 : () 物体通过平衡位置时的总能量 ;

21 () 物体位于何处动能与势能相等 ; (3) 物体的位移为振幅一半时其动能和势能各为多少.3 质量为 (kg) 的物体, 以振幅.(m) 做简谐振动, 其最大加速度为 8. ( m s ), 试求 : () 谐振动周期 ; () 最大动能 ; (3) 物体在何处动能与势能相等.4 设一物体同时参与在同一直线上的两个谐振动, 其振动方程分别为 : π x =.5cos 4 t + 6 (m), 5 x =. cos 4 t π 6 (m) 试求该物体的振动方程.5 行驶轮船上钟摆的运动可以视为多种振动的合成, 假设钟摆同时参与两个同方向同频率的简谐振动, 其振动方程分别为 : 5π x =.4cos π t 6 (m), x =.5cos(π t + ϕ ) (m) 试求 : () ϕ 为何值时钟摆振动的幅值最大? 最大值为多少? π () 若合振动的初相 ϕ =, ϕ 值为多少, 合振幅为多少? 6.6 已知两个同方向同频率的简谐运动方程分别为 x = 5cos(t +.75π) (m), x = 6cos(t +.5π) (m), 试求 : () 合振动的振幅及初相, 并写出合振动的运动方程 ; () 若有另一个同方向同频率的简谐运动 x 3 = 7cos( t + ϕ 3 ) (m), 则 ϕ 3 为多少时, x + x 3 的振幅最大? 第章机械振动基础

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<4D F736F F F696E74202D20B5DABEC5D5C2BBFAD0B5D5F1B6AF205BBCE6C8DDC4A3CABD5D> 第九章机械振动目录 ( 一 ) 简谐振动 ( 二 ) 简谐振动的合成 ( 三 ) 阻尼振动 ( 四 ) 受迫振动与共振 ( 一 ) 简谐振动振动 : 描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化. 特征 :() 重复性周期性 ; () 对任意周期的运动, 可采用傅里叶展开分析简谐振动 : 不能进一步分解, 是最基本的成分单纯的振动在数学上, 一个周期为 T 的函数可被展开为一系列不同频率的简谐函数的叠加

大学物理 ( 下册 ) 复力, 受到此类力作用的系统一般为简谐振动系统 由牛顿第二定律可得 : 令 由式 (..) (..) 得到 : d x m = kx d t (..) k ω = m (..) d x + ω x = (..3) d t 式 (..3) 是振子简谐振动的动力学方程, 求解该二

大学物理 ( 下册 ) 复力, 受到此类力作用的系统一般为简谐振动系统由牛顿第二定律可得 : 令由式 (..) (..) 得到 : d x m = kx d t (..) k ω = m (..) d x + ω x = (..3) d t 式 (..3) 是振子简谐振动的动力学方程, 求解该二