8-质点体系-(III)两体碰撞和多体问题

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兆路胡
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1 质点体系 (III) 两体碰撞和多体问题 1

2 牛顿摆牛顿摆 (Newton s cradle) 最早是由法国物理学家埃德姆马略特 (Edme Mariotte) 于 1676 年提出的当摆动最右侧的球并在回摆时碰撞紧密排列的另外四个球, 最左边的球将被弹出, 并仅有最左边的球被弹出 wiki 2

3 碰撞是探测的手段 3

4 碰撞就有搞头! 4

5 1. 碰撞正碰斜碰弹性碰撞非弹性碰撞 2. 两体问题刚盘碰撞卢瑟福散射实验折合质量中心力场质心坐标系柯尼希定理弹弓效应 3. 从两体到多体三体问题布朗运动逆风行舟气体压强内容 5

6 思路 1. 两体碰撞分正碰 ( 对心 ) 与斜碰 ( 非对心 ) 分弹性和非弹性想象能量耗散与守恒 2. 两体问题质心坐标系引入折合质量概念柯尼希定理中心力场问题 3. 从两体到多体 6

7 物理中的碰撞和散射重要的探测手段物理理论的验证 : 碰撞后测响应直接提供重要物理现象, 提出核心物理问题广泛存在于力热电光等宏观过程中, 以及原子亚原子微观过程中 7

8 对心碰撞完全弹性碰撞 1 m v 1 m v 1 m v 1 m v m1v 1 m2v2 m1v 10 m2v20 m m 2m v v v m1 m2 m1 m2 2m m m v v v m1 m2 m1 m2 8

9 讨论结果 (1) m 1 = m 2 : 两球碰后交换速度. (2) m 1 << m 2, 且 v 20 = 0 (m 2 静止 ) : 大球不动, 小球以相等的速率返回. (3) m 1 >> m 2, 且 v 20 = 0 (m 2 静止 ) : 大球几乎以原速继续前进, 而小球以两倍于大球的速率前进. 9

10 对心碰撞完全非弹性碰撞两物体碰后不再分开 m v m v ( m m ) v v v v m v m v =? = ( m m ) v Δ Ek Ek Ek0 ( m1 m2) v m1v 10 m1v 能量 ( 动能 ) 不守恒? 如何弥补这个显然的漏洞? 为何要从动量守恒出发, 而不从能量守恒出发? 10

11 对心碰撞恢复系数定义恢复系数 v v e 1 v10 v v v2 0 恢复系数由实验测得. 只与两物体质料有关. v v 称分离速度称接近速度认定动量守恒 m1v 1 m2v2 m1v 10 m2v20 v v m 2 1 v10 v m1 m2 m ( 1 e)( v10 20 ) 1 2 v20 v m1 m2 ( 1 e)( v10 20 ) 11

12 冲击摆冲击摆可用于测子弹速率. 长度为 l 的线绳悬挂质量为 m 的木块, 子弹质量为 m 0, 沿水平方向射入木块, 子弹最后嵌在木块内一定位置, 且测得木块摆过角度, m m 0, 求子弹射入的速率 v. l m 0 m (a) (b) (c) O x 12

13 据称是一战时加利波利战役中两颗相撞的弹头 13

14 乌克兰发现 150 年前子弹空中相撞, 合为一体 14

15 恢复系数如图所示, 将一种材料制成小球, 另一种材料制成平板, 并水平放置令小球从一定高度 H 自由下落, 测得其反跳高度为 h 试求这两种材料之间的恢复系数 e. H h e v2 v1 h v v H

16 回弹能有几高? 大小球跳高 m v M v 16

17 这跟爆炸有何联系? 17

插播 CUPT&IYPT 2012, Problem No. 1 Gaussian cannon A chain of identical steel balls and a strong magnet (somewhere in the chain) are lying in a nonmagnetic channel.

18 插播 CUPT&IYPT 2012, Problem No. 1 Gaussian cannon A chain of identical steel balls and a strong magnet (somewhere in the chain) are lying in a nonmagnetic channel. A further steel ball rolls slowly towards the chain and collides. The last outgoing ball in the chain is shot away faster, than you would imagine. Optimize the magnet s position for the largest effect. 观看短片 :Gaussian gun 18

19 非对心碰撞一般为三维问题, 较复杂. 需缩小讨论范围. 讨论特殊情况, 设小球光滑, 碰撞前一个小球处在静止状态, 这种碰撞是个二维问题. 再缩小至完全弹性碰撞, 且 m 1 = m 2,m 2 先不动,v 20 = 0. [ 例题 ] 证明上述条件下, 两个球碰撞后分开的角度是 90 o. y 碰前碰后 2 x 19

20 好了, 有打台球的基本理论了当然, 还有诸多细节 20

21 卢瑟福撞开微观世界的大门建立原子有核模型 (1904) Nobel Prize in Chemistry (1908) 暂不需要量子力学 ( 在同学们的基础内 ) 21

22 纯数学游戏 : 刚盘碰撞是刚还是钢? 含义 : 弹性碰撞两个概念瞄准距离 b? ( 微分 ) 散射截面 s ( )? db s ( )? d u 0 b u a = 2 R 几何意义? 物理意义? 又一个理解微分的良好的物理例子! 22

23 这是画的啥? s ( ) Rsin 2 23

24 如果是钢球呢? 照此办理原子物理学用得着 24

25 有心力 ( 场 ) 质点所受作用力的作用线总通过某一点的力. 该点称力心. F F rˆ O A 电场力万有引力弹力球 25

26 有心力的两体问题事情不简单! 力是互相作用的 26

27 暂时只看动能部分用 u 表示 m 1 相对于 m 2 的速度, 在质心系可发现 u v v v v v v v v 1 2 c 1 c 即质心系有 m u m v m v m v 1 1 m2v2 0 v 1 mu 2 m m 1 2 m1v 1 m2v2 m1v 10 m2v20 27

28 折合质量质心系看到相对动能而地面系看到 1 1 E mv mv k u mm m m Ek mv u c 1 2 {m 1, m 2 } {m = m 1 +m 2, = m 1 m 2 /(m 1 +m 2 )} {v 1, v 2 } {v c, u} 折合质量虚拟物体! 28

29 推广 : 质心坐标系柯尼希定理质心系中第 i 个质点 m i 相对基本参考系 v i 相对质心系 v i ri rc r i 质点系相对基本参考系总动能 miri rc m 1 2 Ek mivi 2 i vi vc vi 设质心速度为 v c vi vc v? i 1 2 Ek m( i vc v i) 2 i m( i vc v i 2vc v i) 2 i 29

30 E k 1 1 m v m v ' v m v 2 2 i 1 2 mv 2 2 i c i i c i i i 2 c 质心参考系, 则 mivi mvc 0? i 补 : vi vc m v m v 1 2 m i v 2 i i i i c vi m v i i 质心动能质点系相对质心动能柯尼希定理质点系相对于某基本参考系的动能等于质心动能和相对动能之和. 质点系的动量等于质心的动量质点系的动能, 在一般情况下并不等于质心的动能 30

31 ( 引力 ) 弹弓效应利用行星引力进行减速利用行星引力进行加速 31

32 弹弓效应土星质量为 5.67x10 26 kg, 以相对于太阳的速率 9.6km/s 运行, 一探测器质量为 150kg, 以相对于太阳 10.4km/s 的速率向土星飞去, 由于土星引力, 探测器绕过土星飞往原来速度相反的方向, 求这时速度的大小 m m 2m v v v m1 m2 m1 m2 2m m m v v v m1 m2 m1 m2 x 32

33 Pioneer 10 and 11 both made close flybys of Jupiter that resulted in dramatic changes to their trajectories. With Pioneer 11, navigators used the giant planet s gravity to deliberately slingshot the spacecraft so that it would fly past Saturn in As the probes continued on, their hyperbolic paths became straighter and straighter. 33

34 阿弥托福, 差了一点点! 2017 年 10 月底, 太阳系迎来了一位不速之客美国国家航空航天局 (NASA) 位于夏威夷的泛星巡天望远镜定位到了一颗走位异常飘忽的天体它的速度极快, 轨道不是椭圆形, 而且形状有可能是长条形数据分析显示, 它并不属于太阳系 11 月 6 日, 国际天文联合会将该小天体命名为 1I/ʻ Oumuamua I 是专为它新设的星体编号, 意为星际天体 (Interstellar object) 这颗小行星被命名为 Oumuamua, 在夏威夷语中意为远方的信使目前,Oumuamua 受到太阳引力抛掷后, 正在离开太阳系 34

35 三体问题可复杂了三个质量初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体, 在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题数值模拟的问题 : 混沌简化 : 限制性三体问题 ( 欧拉三体问题 ): 两大一小 35

即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰, 仍然有保持在原来位置处的倾向每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角

36 零星突破 : 寻找特殊稳定轨道拉格朗日 (Lagrangian) 点 1772 年, 拉格朗日在平面限制性三体问题条件下找到了 5 个特解 (L1- L5), 也就是著名的拉格朗日点其中有两个是稳定的 (L4-L5), 即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰, 仍然有保持在原来位置处的倾向每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角拉格朗日点在深空探测中具有很高的科研价值, 主要体现在两个方面 : 科学观测的极佳位置和深空探测的中转站地月体系拉格朗日点 L4 日地体系拉格朗日点 36

超级多体问题布朗运动 1905 年, 爱因斯坦的三大贡献之一坐等热学课程释疑之一二, 更深则需随机微分方程?

值得注意的是, 布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动, 而不是分子的随机运动但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动一般而言,

3nm( 非球形, 故依部位而有些许差异 ), 略为花粉的十万分之一因此, 花粉难以产生不规则振动, 事实上花粉几乎不受布朗运动之影响在罗伯特

37 超级多体问题布朗运动 1905 年, 爱因斯坦的三大贡献之一坐等热学课程释疑之一二, 更深则需随机微分方程? No, 对于真实微观世界, 数学应该长什么样, 还不知道! 还需要猜典型微观粒子数目 : 阿伏伽德罗常数 N A =? 值得注意的是, 布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动, 而不是分子的随机运动但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动一般而言, 花粉之直径分布于 30~50μm 最小亦有 10μm 之谱, 相较之下, 水分子直径约 0.3nm( 非球形, 故依部位而有些许差异 ), 略为花粉的十万分之一因此, 花粉难以产生不规则振动, 事实上花粉几乎不受布朗运动之影响在罗伯特布朗的手稿中, tiny particles from the pollen grains of flowers 意味着自花粉粒中迸出之微粒子, 而非指花粉本身然而在翻译为诸国语言时, 时常受到误解, 以为是水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动积非成是之下, 在大众一般观念中, 此误会已然根深蒂固 37

38 轰击器壁气体压强气体压强! 理想气体热学中会进一步阐释 [ 例题 ] 用大量小球不断正面轰击墙壁, 分两种情况求压强 :(n = const.) a) 小球嵌入墙壁 ; b) 小球弹性反弹 ( 杨 ) 38

39 雨点压强非弹性! 39

40 教益少到一两个好办多到无穷个似乎也好办帐多不愁, 虱子多不痒! 不多不少最难办! 40

41 一个大问题牛顿力学能推出能量守恒吗? 注意 : 首先, 牛顿力学好像只认识机械能 41

42 放弃能量守恒? 如何编故事? [ 讨论 ] 能量不守恒? Δ Ek Ek Ek0 ( m1 m2) v m1v 10 m1v 为何? 两个球相撞后形成一个大球 42

43 如何认定能量守恒定律? 如何断言能量守恒? 不错的理由 : 一切都是微观的错! 但是微观是什么? 尚虚无缥缈 43

44 物理知识中的事实与观点事实 : 实验记录物理学历史进程 ( 不要混淆客观和数学 ) 观点 : 物理理论对历史阶段性理论及人物的看法要点区分事实与观点, 并不是区分对与错! 事实有真假之分, 需要得到澄清对错都是对观点进行的判断, 是吵吵嚷嚷的根源如果割裂, 实验事实不是物理学, 理论观点也不是物理学每一次物理学发生大的飞跃, 都是物理学家们在对实验进行创新和改进对观点进行重组和优化后产生的 44

45 更多练习 : 事实与观点 1. 气体压强是大量气体分子撞击器壁造成的 (F/O) 2. 弹性碰撞过程中, 机械能守恒 (F/O) 3. 在非弹性碰撞过程中, 机械能不守恒, 说明物体有微观细节尚未得到揭示 (F/O) 4. 在任何物理过程中, 能量总是守恒的 (F/O) 45

46 插播 CUPT&IYPT 2013, Problem No. 3 Bouncing ball If you hold a Ping-Pong ball above the ground and release it, it bounces. The nature of the collision changes if the ball contains liquid. Investigate how the nature of the collision depends on amount of liquid inside the ball and other relevant parameters. 46

47 47

48 不论物理学家咋说都是对的! 这个过程能量不守恒! 这个过程能量守恒! 48

49 忠告对行内人可以这么说但是, 对外行人可不能这样 49

50 逆风行舟 50

51 预告 : 尚待学会处理的几个碰撞问题因为有转动分成微元 dm 积分? 51

52 预告 : 尚待学会处理的几个碰撞问题因为狭义相对论 [ 例题 ] 在惯性参考系 S 中, 有两个静止质量都是 m 0 的粒子 A 和 B, 分别以速度 v 沿同一直线相向运动, 相碰后合在一起成为一个粒子, 求合成粒子静止质量 M 0 的值 (c 表示真空中光速 ) 不服来试试? 52

53 结束 53

7-质点体系-(III)两体碰撞和多体问题 - 大班课

7-质点体系-(III)两体碰撞和多体问题 - 大班课大班课质点体系 (III) 两体碰撞和多体问题 1 牛顿摆牛顿摆 (Newton s cradle) 最早是由法国物理学家埃德姆马略特 (Edme Mariotte) 于 1676 年提出的当摆动最右侧的球并在回摆时碰撞紧密排列的另外四个球, 最左边的球将被弹出, 并仅有最左边的球被弹出 wiki 2 碰撞是探测的手段 3 碰撞就有搞头! 4 1. 碰撞 1 2 3 正碰斜碰弹性碰撞非弹性碰撞