内容简介本书是一本高等院校非数学专业 ( 本科三批, 简称本三 ) 的概率论与数理统计教材. 全书共 0 章, 内容包括随机事件 一维随机变量 二维随机变量 数字特征 大数定律与极限定理 样本与统计量 参数估计 假设检验 方差分析和一元线性回归分析等, 各章均配有适量习题, 书后附有习题答案, 书末

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1 高等教育 十二五 规划教材 概率论与数理统计 刘应安主编夏业茂副主编 科学出版社职教技术出版中心 北 京

2 内容简介本书是一本高等院校非数学专业 ( 本科三批, 简称本三 ) 的概率论与数理统计教材. 全书共 0 章, 内容包括随机事件 一维随机变量 二维随机变量 数字特征 大数定律与极限定理 样本与统计量 参数估计 假设检验 方差分析和一元线性回归分析等, 各章均配有适量习题, 书后附有习题答案, 书末给出了 6 个附录. 本书一方面力求使用较少的数学知识, 注重从实际问题出发, 导引出概率统计概念, 并用多样性的实例加以阐释 ; 另一方面针对本三学生的基础和农林院校专业特点, 保留概率论与数理统计的基本内容但适当降低难度, 尽量与农林实际相结合. 本书可作为高等院校工科 农学 经济 管理等专业的概率统计课程的教材, 也可作为实际工作者的自学参考书籍 图书在版编目 ( 犆犐犘 ) 数据 概率论与数理统计 / 刘应安主编. 北京 : 科学出版社,03 ( 高等教育 十二五 规划教材 ) ISBN Ⅰ. 概 Ⅱ. 刘 Ⅲ. 概率论高等学校教材 数理统计高等学校教材 Ⅳ.O 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (03) 第 0654 号 责任编辑 : 张振华 / 责任校对 : 刘玉靖责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 科地亚盟 印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 03 年 月第一版开本 :787 09/6 03 年 月第一次印刷印张 :/4 字数 :75000 定价 :7 00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 ) 销售部电话 编辑部电话 (VA03) 版权所有, 侵权必究举报电话 : ; ;

3 前 言 近些年来, 为了满足人们对高等教育的迫切需求, 开拓高等教育资源, 扩大高校办学 规模, 由普通本科院校和社会力量合作办学的独立学院应运而生. 教材建设是独立学院保 证人才培养质量的重要工作, 也是独立学院可持续发展的关键. 目前, 全国一本 二本和高 职高专类院校都有系统的教材, 而唯独独立学院由于办学时间相对较短, 教材建设还处于 起步阶段, 还没有属于自己的系统教材, 开设课程时很难选择合适的教材. 大多独立学院 选用母体学校的本科教材或高职同类教材, 而母体高校的本科教材, 显得过于有难度, 选 用高职高专教材又显得过于浅显. 普通本科院校人才培养定位是 宽基础, 强能力, 高职 高专定位是 理论够用, 实践为重, 而独立学院则是 小理论, 大应用. 独立学院的教材, 不仅应针对本科三批院校学生的特点, 着眼于加强学生动手能力的培养, 符合培养应用型 人才的办学定位, 而且要针对独立学院的师资特性, 适合不同特点和层次的教师使用, 具 有较强的可教性. 近几十年, 我国的实际工作者对概率统计的认识和实际应用的自觉性与日俱增. 概率 统计不仅理论研究硕果累累, 一些新的理论和方法不断涌现, 而且实际应用都得到了长足 发展, 已经广泛应用于工程技术 经济金融 农林科学及矿业 气象等领域. 根据独立学院 学生的特点和定位要求, 编者试图为独立学院非数学类专业的学生编写一本熟悉概率论 与数理统计的基本内容, 同时能为后继课程学习储备必需的解决随机问题的理论和方法 的概率论与数理统计教材. 教材内容的选择和写作手法上, 一方面力求使用较少的数学知识, 注重从实际问题出 发, 导引出概率统计概念, 并用多样性的实例加以阐释, 另一方面针对独立学院学生的基 础和农林院校专业特点, 保留概率论与数理统计的基本内容但适当降低难度, 尽量与农林 实际相结合. 根据我们近年来讲授这门课程的经验积累, 并参考国内外有关著作编写了本 书. 教材叙述均按由浅入深 由简到繁 循序渐进的模式展开, 每章都配备了比较充分的典 型例题, 便于自学和应用参考, 内容充实, 具有较强可教性和很强的实用性. 本书的第 章 第 章 第 6 章 第 7 章和第 0 章由刘应安编写, 第 3~5 章由韩秋红 编写, 第 8 章 第 9 章由夏业茂编写, 全书由刘应安统稿 韦博成审稿. 书中的部分内容及 例子还参考了国内外其他一些图书资料, 谨此向有关的作者表示由衷的谢意! 由于作者水平有限, 书中难免有不妥与谬误之处, 敬请同行专家和广大读者提供宝贵 的批评和建议, 以使本书不断得以完善. 科学出版社职教技术出版中心 刘应安 0 年 8 月于南京

4 目 录 前言第 章随机事件与概率. 随机事件及其统计规律性. 随机事件及其关系.3 事件的概率及其性质 6.4 条件概率和乘法公式.5 全概率公式和贝叶斯公式 3.6 事件的独立性与伯努利概型 5 习题一 7 第 章随机变量及其分布. 随机变量及其分布函数. 离散型随机变量的分布律 3.3 常见离散型随机变量分布 5.4 连续型随机变量的概率密度函数 7.5 常用连续型随机变量分布 8.6 随机变量函数的分布 3 习题二 36 第 3 章多维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量及其分布律 二维连续型随机变量及其概率密度 边缘分布 随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布 条件分布 5 习题三 54 第 4 章随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 常见随机变量的数学期望和方差 协方差与相关系数 68

5 iv 概率论与数理统计 4.5 其他特征数 7 习题四 74 第 5 章大数定律与中心极限定理 切比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理 80 习题五 8 第 6 章数理统计的基本概念 总体和样本 经验分布函数 统计量的基本概念 χ 分布 狋分布和犉 正态总体的抽样分布 93 习题六 97 第 7 章参数估计 矩估计 最大似然估计 估计量的评价标准 单个正态总体均值与方差的区间估计 两个正态总体均值与方差的区间估计 单侧置信区间 8 习题七 第 8 章假设检验 4 8. 假设检验的基本思想 4 科学出版社职教技术出版中心 8. 单个正态总体均值的假设检验 单个正态总体方差的假设检验 两个正态总体均值的假设检验 两个正态总体方差的假设检验 37 习题八 39 第 9 章方差分析 4 9. 单因素方差分析 4 9. 两因素方差分析 46 习题九 5 第 0 章一元线性回归分析 一元线性回归模型 线性回归方程的显著性检验 57

6 目 录 v 0.3 一元线性回归模型预测 59 习题十 60 习题答案 6 参考文献 7 附录 73 附表 标准正态分布函数表 73 附表 标准正态分布分位数表 74 附表 3 狓分布分位数表 76 附表 4 狋分布分位数表 77 附表 5 犉分布分位数表 78 附表 6 相关系数检验表 86

7 第 章 随机事件与概率 概率论与数理统计是研究随机现象规律性的学科. 概率论侧重于对随机现象出现的可能性大小做出数量上的描述, 形成一整套数学理论和方法 ; 数理统计是在概率论的基础上研究, 收集数据 分析数据并据以对所研究的问题做出一定的结论的科学和艺术. 概率论与数理统计是既有理论基础又有应用潜力的学科, 其理论与方法已广泛应用于林业 农业 工程 社会学 经济学等领域中, 还在不断向新兴学科渗透并与之结合发展. 从本章开始, 将引出概率论的基本概念, 给出概率论的基本性质, 并逐步展开概率论与数理统计理论和方法的研究.. 随机事件及其统计规律性 客观世界的各种现象大体可分为两类. 一类称为决定性现象, 即在一定的条件下, 只 出现一个结果. 例如, 在标准大气压下, 水升温至 00 时沸腾 ; 每天清晨, 太阳总从东方 升起 ; 向空中抛一物体, 必然下落等. 另一类称为非决定性现象, 即在一定的条件下, 并不 总是出现相同结果, 在概率论中称为随机现象, 例如, 播种一粒银杏种子, 可能发芽, 也可 能不发芽 ; 掷一颗骰子, 可能出现 ~6 点. 该类现象有以下两个特点 : 结果不止一个 ; 事先 不能确定出现的结果. 随机现象是概率论与数理统计的研究对象. 随机试验 例 随机现象的例子 : () 播种一粒银杏种子, 观察银杏种子是否发芽 ; () 掷一颗骰子, 观察出现的点数 ; (3) 单位时间内, 某手机被呼叫的次数 ; (4) 某种型号冰箱的使用寿命 ; (5) 测量课本的长度, 观测其误差. 在一定条件下, 对自然与社会现象进行的观察或实验称为试验, 在概率论中, 将满足 下述条件的试验称为随机试验 : () 试验在相同的条件下是可以重复进行的 ; () 试验的结果不止一个, 但全部可能结果事先是知道的 ; (3) 每一次试验都会出现上述全部可能结果中的某一个结果, 至于是哪一个结果则 事先无法预知. 科学出版社职教技术出版中心 随机现象的统计规律性 对一个随机试验来说, 每次试验结果具有不确定性, 规律性不强, 但大量重复性试验

8 概率论与数理统计 的结果就存在一定的规律性. 例如, 若抛掷一枚均匀硬币, 一次抛掷, 出现正面还是出现反 面很难确定, 但重复大量次抛掷, 出现正面次数占抛掷总次数的. 历史上有许多科学家做过抛掷硬币的试验. 抛掷均匀硬币, 其结果见表. 表 历史上抛掷硬币试验 实验者 抛硬币次数 出现正面次数 频率 德摩根 (DeMorgan) 蒲丰 (Bufon) 费勒 (Feler) 皮尔逊 (Pearson) 皮尔逊 可以看出, 试验中出现正面次数与抛硬币次数的比值, 当试验次数较小时, 随机波动 较大 : 当试验次数较大时, 随机波动较小. 随着试验次数的增大, 出现正面次数与抛硬币次 数的比值逐渐稳定于固定值 0.5, 出现很强的规律性. 随机现象在大量次试验中所呈现出的规律性, 称为随机现象的统计规律性. 事实上, 随机现象的统计规律是随机现象本质特征的一种反映, 因此, 我们可以通过 研究随机现象的统计规律来揭示随机现象本质特性. 概率论就是研究随机现象统计规律 的一门学科, 数理统计则以概率论为基础研究如何根据试验数据, 推断随机现象本质规律 的理论和方法. 由于概率论和数理统计所研究的试验都是随机试验, 所以随机试验简称为试验.. 随机事件及其关系 样本空间与随机事件. 样本空间 随机现象一切可能的基本结果组成的集合称为样本空间, 用 Ω={ω} 表示, 其中 ω 表 示基本结果, 又称为样本点. 例 给出例. 中随机现象的样本空间. () 播种一粒银杏种子的样本空间 :Ω={ω,ω}, 其中 ω 表示银杏种子发芽,ω 表 示银杏种子不发芽. () 掷一颗骰子的样本空间 :Ω={ω,ω,,ω6}, 其中 ω 犻表示出现犻点, 犻 =,,, 6. 也可更直接记此样本空间为 Ω={,,,6}. (3) 单位时间内某手机被呼叫次数的样本空间 :Ω3={0,,, }. (4) 某种型号冰箱使用寿命的样本空间 :Ω4={ 狋 狋 0}. (5) 测量课本的长度, 测量误差的样本空间 :Ω5={ 狓 - < 狓 <+ }.

9 第 章 随机事件与概率 3. 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件, 简称事件, 一般用大写字母犃, 犅, 犆 表示. 例如, 掷一颗骰子, 犃 : 出现奇数点 是一个事件, 即犃 ={,3,5}. 关于事件的定义, 有以下几点说明. () 任一事件犃是样本空间 Ω 的子集. 在概率论中 我们可用维恩 (Venn) 图表示 ( 见图 ), 类似集合表示, 可以帮助理解. () 当犃中某个样本点出现了, 就说事件犃发生了. (3) 事件既可以用语言描述, 也可以用集合表示. 应 学会两种表示相互翻译. 图 (4) 由样本空间 Ω 中的单个元素组成的子集称为基本事件. 样本空间的最大子集, 即其本身称为必然事件, 记作 Ω. 样本空间的子集之一, 空集称 为不可能事件, 记作. 例 3 掷一颗骰子的样本空间为 Ω={,,,6}. 事件犃 : 出现 点, 即犃 ={}, 它是一个基本事件. 事件犅 : 出现的点数不超过 6, 即犅 ={,,3,4,5,6}=Ω, 它就是必然事件. 事件犆 : 出现的点数小于, 即犆 =, 它就是不可能事件. 事件的关系及运算 假设以下的讨论是在同一个样本空间 Ω 中进行的.. 事件间的关系 ) 包含关系如果犃中的样本点都是犅中的样本点, 则称犃包含于犅 ( 见图 ), 或称犅包含犃, 也称犃为犅的子事件, 记为犃 犅或犅 犃. 用概率论语言描述 : 事件犃发生必然导致事 件犅发生. 例如, 冰箱的使用寿命犜超过 3000h, 记为事件犃 ={ 犜 >3000}, 使用寿命犜超过 3500h, 记为事件犅 ={ 犜 >3500}, 则犃 犅. 对任一事件犃, 必有 犃 Ω. 科学出版社职教技术出版中心 ) 相等关系如果事件犃与事件犅满足 : 犃中的样本点都是犅中的样本点, 同时犅中的样本点又 都是犃中的样本点, 即犃 犅且犅 犃, 则称事件犃与事件犅相等, 记为犃 = 犅. 例如, 掷两颗骰子, 记事件犃为 两颗骰子的点数之和为奇数, 事件犅为 两颗骰子 的点数为一奇一偶, 则犃 = 犅. 3) 互不相容关系如果犃与犅没有相同的样本点 ( 见图 3), 则称犃与犅互不相容. 用概率论语言描

10 4 概率论与数理统计 述为 : 事件犃与事件犅不能同时发生. 例如, 掷一颗骰子, 记事件犃为 出现偶数点, 记事件犅为 出现奇数点, 则犃与犅 互不相容. 图 图 3 例 4 掷一颗骰子的样本空间为 Ω={,,,6}. 犃 : 出现 点, 即犃 ={}; 犅 : 出现偶数点, 即犅 ={,4,6}, 显然有犃 犅. 犆 : 出现非奇数点, 即犆 ={,4,6}, 显然有犅 = 犆. 犇 : 出现奇数点, 犆 ={,3,5}, 显然犇与犃, 犅, 犆都互不相容.. 事件间的运算 事件的运算与集合的运算类似, 有和 积 差等运算. () 事件犃与犅的和, 记为犃 犅. 其含义为 由事件犃与犅中所有样本点 ( 相同的 只计入一次 ) 组成的新事件 ( 见图 4). 用概率论语言描述为 : 事件犃与犅中至少有一 个发生. 狀事件的和运算可推广至有限个或可列个的情形 : 犃犻或 犃犻. 犻 = 犻 = () 事件犃与犅的积, 记为犃 犅或简记为犃犅. 其含义为 由事件犃与犅中公共的 样本点组成的新事件 ( 见图 5). 用概率论语言描述为 : 事件犃与犅同时发生. 图 4 图 5 狀事件的积运算可推广至有限个或可列个的情形 : 犃犻或 犃犻. 犻 = 犻 = (3) 事件犃与犅的差, 记为犃 - 犅. 其含义为 由事件犃中而不在犅中的样本点组成 的新事件 ( 见图 6). 用概率论语言描述为 : 事件犃发生而犅不发生.

11 第 章 随机事件与概率 5 图 6() 图 6() (4) 对立事件. 事件犃的对立事件, 记为珡犃, 即 由在 Ω 中而不在犃中的样本点组成的新事件 ( 见图 7). 用概率论语言描 述为 : 犃不发生, 即珡犃 =Ω- 犃 ; 注 :() 珢犃 = 犃, 珚 Ω=, =Ω; () 犃与犅为对立事件的充分必要条件是犃 犅 =, 且犃 犅 =Ω. 例 5 图 7 掷一颗骰子的样本空间为 Ω={,,,6}. 设犃 ={,,4}, 犅 ={,4,5}, 则 犃 犅 ={,,4,5}; 犃 犅 ={,4}; 犃 - 犅 ={}; 珡犃 ={3,5,6}. 例 6 设犃, 犅, 犆是某个随机现象的三个事件, 则 () 犃发生, 犅, 犆都不发生 的事件可表示为犃珚犅珚犆 = 犃 - 犅 - 犆. () 犃, 犅都发生, 犆不发生 的事件可表示为犃犅珚犆 = 犃犅 - 犆. (3) 三个事件都发生 的事件可表示为犃犅犆. (4) 三个事件中至少有一个出现 的事件可表示为犃 犅 犆 = 犃犅犆. 3. 事件的运算性质 () 交换律 : () 结合律 : (3) 分配律 : 犃 犅 = 犅 犃, 犃犅 = 犅犃. (.) ( 犃 犅 ) 犆 = 犃 ( 犅 犆 ), ( 犃犅 ) 犆 = 犃 ( 犅犆 ). (.) ( 犃 犅 ) 犆 = 犃犆 犅犆, ( 犃 犅 ) 犆 = ( 犃 犆 ) ( 犅 犆 ). (.3) (4) 对偶律 ( 德摩根公式 ): 犃 犅 = 珡犃 珚犅, 犃 犅 = 珡犃 珚犅. (.4) 对偶律可推广至有限个及可列个的情形 : 狀狀 犃犻 = 珡犃犻, 犻 = 犻 = 犻 = 犃犻 = 珡犃犻, 犻 = 狀 犻 = 犻 = 狀犃犻 = 犻 = 犃犻 = 科学出版社职教技术出版中心 犻 = 犃犻, (.5) 犃犻. (.6)

12 6 概率论与数理统计.3 事件的概率及其性质 3 概率的定义. 概率的频率定义 定义 设在狀次随机试验中, 事件犃出现的次数为狀 ( 犃 ), 这里的狀 ( 犃 ) 又被称为事件犃出现的频数. 称事件犃出现的频数与随机试验总数之比, 即 为事件犃出现的频率. 容易验证频率满足 : () 非负性犳狀 ( 犃 ) 0; () 正则性犳狀 (Ω)=; ( 狀 ( 犃 ) 犳狀犃 )= 狀 (3) 有限可加性若犃, 犃,, 犃狀两两互不相容, 则犳狀 ( 狀 犻 = 犃犻 ) 狀 = 犻 = 犳狀 ( 犃犻 ). (.7) 随机现象的统计规律性表明, 随着试验重复次数狀的增加, 事件犃出现的频率犳狀 ( 犃 ) 会稳定在某一常数狆附近, 即频率的稳定值, 这个频率的稳定值就是事件犃发生的概率, 因此我们可以用事件犃的频率来定义事件犃的概率, 即 犘 ( 犃 ) 犳狀 ( 犃 )( 狀足够大 ). 下面用例子进一步说明频率的稳定性. 例 7 考虑某树种发芽率试验. 从一大批树种中随机抽取 7 批树种做发芽试验, 其 结果如表 所示. 表 树种发芽试验的频率 树种粒数 发芽粒数 发芽率 从表 可以看出, 树种发芽的频率也具有随机波动性. 当树种粒数较小时, 随机波 动较大 ; 当树种粒数较大时, 随机波动较小. 最后, 随着树种粒数的增大, 发芽率逐渐稳定 于固定值 0.9. 用概率的频率定义描述为 : 该树种发芽的概率为 概率的古典定义 古典概型满足 : () 样本空间 Ω 中只有有限个样本点,Ω={ω,ω,,ω 狀 }; () 每个样本点发生的可能性相等, 犘 (ω)= 犘 (ω)= = 犘 (ω 狀 )=, 若事件犃含狀

13 第 章 随机事件与概率 7 有犽个样本点, 则事件犃的概率为犘 ( 事件犃所含样本点的个数犽犃 )= Ω 中所有样本点的个数 =. (.8) 狀例 8 抛两枚硬币, 记事件犃为 一个正面朝上, 一个反面朝上, 事件犅为 两个正面朝上, 犆为 至少一个正面朝上, 求, 犘 ( 犃 ), 犘 ( 犅 ), 犘 ( 犆 ). 解此试验的样本空间为 Ω={( 正, 正 ),( 正, 反 ),( 反, 正 ),( 反, 反 )}, 即样本空间 Ω 有 4 个样本点. 由于犃 ={( 正, 反 ),( 反, 正 )}, 即犃含有两个样本点, 所以犘 ( 犃 )= ; 由于犅 ={( 正, 正 )}, 即犅含有一个样本点, 所以犘 ( 犅 )= 4 ; 由于犆 ={( 正, 正 ),( 正, 反 ),( 反, 正 )}, 即犆含有三个样本点, 所以犘 ( 犆 )= 3 4. 在计算古典概型时, 一般不需要把样本空间详细写出, 但一定要保证样本点为等可能, 并且能够求出相应的狀和犽. 例 9 设有两种树苗栽成一排, 每种树苗都是 4 棵, 为了美观, 树苗必须交叉排列, 求栽植概率. 解利用排列组合知识, 有 犘 = 4 3! 犃 4 犃 8! = 35. 例 0 今年有 名同学进行暑期社会实践, 其中有 3 名同学是女生, 现将它们随机地平均分配到三个小组中去, 问 : () 每个小组都分配到一名女同学的概率是多少? ()3 名女同学分配在同一小组的概率是多少? 解 名同学平均分配到三个小组中的分法总数为 4 ( )() 4 8 () 4 4 =! 4!4!4!. () 每个小组分配到一名女同学的分法有 3! 种. 对应每种分法, 其余 9 名同学平均分配到三个小组的分法共有 () 3 9 () 3 6 () 3 3 = 9! 种, 故所求的概率为 3!3!3! 狆 = 3!9! 3!3!3!! 4!4!4! =6 55. 科学出版社职教技术出版中心 () 将 3 名女同学分配在同一小组的分法有 3 种, 对应每种分法, 其余 9 名同学的分法共有 () 9 () 4 8 () 4 4 = 9! 种, 故所求的概率是!4!4! 狆 = 3 9!!4!4!! 4!4!4! = 例 设袋中有犪只白球, 犫只黑球. 每次从中任取一只, 取后放回袋中, 共取狀次, 试求犃犽 = 狀次取球中有犽次取到白球 的概率.

14 8 概率论与数理统计 解 若记犪 = 狆, 则犪 + 犫 利用排列组合知识, 有 狀犘 ( 犃犽 )= ( ) 犽 犽犫 ( )( ) 犪犪 +犫 狀犘 ( 犃犽 )= ( ) 犪 +犫 狀 - 犽, 犽 =0,,, 狀. 狀狆犽 (- 狆 )- 犽, 犽 =0,,, 狀. 犽例 设有狀个球, 每个球都等可能地被放到犖个不同盒子中的任一个, 每个盒子所放球数不限. 试求 : () 指定的狀 ( 狀 犖 ) 个盒子中各有一球的概率狆 ; () 恰好有狀 ( 狀 犖 ) 个盒子中各有一球的概率狆. 解利用排列组合知识, 有 () 狀! 狆 = 犖 狀 ; ( ) 犖狀! () 狀犖! 狆 = 狀 = 狀犖犖 ( 犖 - 狀 )!. 例 3 是多少? 狀个人生日全不相同的概率狆狀 解把狀人看成狀球, 将一年 365 天看成犖 =365 个盒子, 则 狀个人生日全不相同 就相当于 恰好有狀 ( 狀 犖 ) 个盒子中各有一球, 所以狀个人生日全不相同的概率为 365! 狆狀 = 狀 365 (365- 狀 )!. 当狀 =60 时,- 狆 60=0.99, 表明在 60 个人的群体中至少有两个人生日相同的概 率超过 99%. 3. 概率的几何定义 几何概型满足 : () 样本空间 Ω 充满某个区域, 其度量 ( 长度 面积或体积等 ) 大小可用犛 Ω 表示 ; () 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的, 与子区域的形状及子区域在 Ω 中位置无关, 若事件犃为 Ω 中的某个子区域 ( 见图 8), 其度量大小可用犛犃表示, 则事 件犃的概率为 犘 ( 犃 )= 犛犃犛 Ω. (.9) 例 4( 会面问题 ) 甲 乙两人约定在 8 时到 9 时之间在某处会面, 并约定先到者 应等候另一人 0min, 过时即可离去. 求两人会面的概率. 解以狓和狔分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间, 则两人能够会面的充要条 件为 狓 - 狔 0. 在平面上建立直角坐标系 ( 见图 9), 则 犘 ( 犃 )= 犛犃犛 Ω = = 5 9.

15 第 章 随机事件与概率 9 图 8 图 9 4. 概率的公理化定义 定义 设 Ω 为一个样本空间, 对 Ω 中的任一随机事件犃, 定义一个实数值犘 ( 犃 ) 满足 : () 非负性犘 ( 犃 ) 0; () 正则性犘 (Ω)=; (3) 可列可加性若犃, 犃, 两两互不相容, 有 ( 犘 犻 = 犃犻 ) = 犻 = 犘 ( 犃犻 ), (.0) 则称犘 ( 犃 ) 为事件犃的概率. 由概率的公理化定义知, 概率是事件 ( 集合 ) 的映射, 当这个映射能满足上述公理的三条, 就被称为概率. 概率的频率定义 古典定义和几何定义是形象具体的, 概率的公理化定义是抽象的, 但抽象的公理化定义揭示了概率的本质. 3 概率的性质 科学出版社职教技术出版中心 概率具有一系列性质, 以下给出概率的几个常用性质, 其他性质都可以由它们推出. 性质 犘 ( )=0. 因为犘 (Ω)=, 所以犘 ( )=- 犘 (Ω)=0. 性质 ( 有限可加性 ) 若有限个事件犃, 犃,, 犃狀互不相容, 则狀狀犘 ( 犃犻 ) = 犻 = 犘 ( 犃犻 ). (.) 犻 = 性质 3 对任一事件犃有犘 ( 珡犃 )=- 犘 ( 犃 ). (.) 例 5 设袋中有 5 只白球,7 只黑球. 从中任取 3 只, 求至少取到 只白球的概率. 解记事件犃为 取出的 3 只中至少有 只白球, 则犃包括三种情况 : 取到 只白球 只黑球, 或取到 只白球 只黑球, 或取到 3 只白球 0 只黑球. 而珡犃只包括一种情况, 即 取到的 3 只全是黑球, 从而

16 0 概率论与数理统计 所以 () 7 犘 ( 3 珡犃 )= ( ) 3 = , 犘 ( 犃 )=- 犘 ( 珡犃 )= 即 由此可见, 应用性质 3 进行概率计算较为简便. 性质 4 若犃 犅, 则犘 ( 犃 - 犅 )= 犘 ( 犃 )- 犘 ( 犅 ). (.3) 证明因为犃 犅, 所以犃 = 犅 ( 犃 - 犅 ), 且犃 - 犅与犅互不相容, 则犘 ( 犃 )= 犘 ( 犅 )+ 犘 ( 犃 - 犅 ), 犘 ( 犃 - 犅 )= 犘 ( 犃 )- 犘 ( 犅 ). 推论 ( 单调性 ) 若犃 犅, 则犘 ( 犃 ) 犘 ( 犅 ). 注 : 以上推论的逆命题不成立, 请读者自己举例说明. 性质 5 对任意两个事件犃, 犅, 有 犘 ( 犃 - 犅 )= 犘 ( 犃 )- 犘 ( 犃犅 ). (.4) 例 6 从,,,00 中任取一数, 求它能被 整除但不能被 3 整除的概率. 解记事件犃为 取到的数能被 整除, 事件犅为 取到的数能被 3 整除, 则事件 能被 整除但不能被 3 整除 可表示为犃 - 犅. 由性质 5, 有 多少? 犘 ( 犃 - 犅 )= 犘 ( 犃 )- 犘 ( 犃犅 )= =7 50. 性质 6( 加法公式 ) 对任意两个事件犃, 犅, 有 犘 ( 犃 犅 )= 犘 ( 犃 )+ 犘 ( 犅 )- 犘 ( 犃犅 ). (.5) 应用数学归纳法可以证明, 对任意狀个事件犃, 犃,, 犃狀有 ( 狀犘 犻 = 犃犻 ) 狀 = 犻 = 犘 ( 犃犻 )- 犘 ( 犃犻犃犼 )+ 犻 < 犼 狀 犻 < 犼 < 犽 狀 犘 ( 犃犻犃犼犃犽 )+ + (-) 狀 - 犘 ( 犃 犃 犃狀 ). (.6) 推论 ( 半可加性 ) 对任意两个事件犃, 犅, 有 例 7 解 所求概率为 犘 ( 犃 犅 ) 犘 ( 犃 )+ 犘 ( 犅 ). (.7) 从 ~000 中随机取一整数, 问取到的整数能被 4 或 6 整除的概率是 记事件犃为 取到的整数能被 4 整除, 事件犅为 取到的整数能被 6 整除, 则

17 第 章 随机事件与概率 由于 犘 ( 犃 犅 )= 犘 ( 犃 )+ 犘 ( 犅 )- 犘 ( 犃犅 ). 则 所以 =50, 66< <67, 4< <4, 犘 ( 犃 )= , 犘 ( 犅 )= , 犘 ( 犃犅 )= 4 000, 犘 ( 犃 犅 )= 犘 ( 犃 )+ 犘 ( 犅 )- 犘 ( 犃犅 ) = = 3 8. 例 8 已知犘 ( 犃 )= 犘 ( 犅 )= 犘 ( 犆 )= 4, 犘 ( 犃犅 )= 犘 ( 犅犆 )=, 犘 ( 犃犆 )=0, 则犃, 犅, 犆中至少有一个发生的概率是多少? 犃, 犅, 犆都不发生的概率是多少? 解因为犘 ( 犃犆 )=0, 犃犅犆 犃犆, 所以由概率的单调性知犘 ( 犃犅犆 )=0. 再由加法公 式, 得犃, 犅, 犆中至少有一个发生的概率为 犘 ( 犃 犅 犆 )= 犘 ( 犃 )+ 犘 ( 犅 )+ 犘 ( 犆 )- 犘 ( 犃犅 )- 犘 ( 犅犆 )- 犘 ( 犃犆 )+ 犘 ( 犃犅犆 ) = = 7..4 条件概率和乘法公式 在实际问题中, 除了要考虑某事件犃的概率外, 有时还需要考虑在 事件犅已经发 生 的条件下, 某事件犃发生的概率. 一般情况下, 前后两者的概率不同. 为了有所区别, 常称后者的概率为条件概率, 记为犘 ( 犃 犅 ) 或犘犅 ( 犃 ), 读作 在事件犅发生的条件下, 事 件犃发生的条件概率. 4 条件概率 例 9 从标有号码为,,3,4,5,6 的 6 个同型同质的球中等可能地任取一球, 记事件犃为 取得标号为 4, 事件犅为 取得标号为偶数, 求在取得标号为偶数条件下, 取 得标号为 4 的概率. 解由于 6 个球中有 3 个标号为偶数, 按古典概型计算, 得 犘 ( 犃狘犅 )= 3, 科学出版社职教技术出版中心 而犘 ( 犃 )= 6, 由此可见犘 ( 犃 犅 ) 犘 ( 犃 ). 还可以得到 很巧合 的结论, 可以计算得犘 ( 犃犅 )= 6, 犘 ( 犅 )=, 从而

18 概率论与数理统计 犘 ( 犃狘犅 )= 3 = /6 / = 犘 ( 犃犅 ) 犘 ( 犅 ). 受此启发, 可以给出条件概率的定义. 定义 3 设犃, 犅是两个随机事件, 且犘 ( 犃 )>0, 称犘 ( 犘 ( 犃犅 ) 犅狘犃 )= 犘 ( 犃 ) 为在事件犃发生条件下事件犅发生的条件概率. 不难验证, 条件概率犘 ( 犃 ) 满足概率定义中的三条公理, 即 () 非负性 : 对于任一事件犅, 有犘 ( 犅 犃 ) 0; () 正则性 : 犘 (Ω 犃 )=; (3) 可列可加性 : 若犅, 犅, 两两互不相容, 则犘 ( 犅犻犃 ) 犻 = = 犻 = 犘 ( 犅犻狘犃 ). (.8) 因为条件概率符合上述三则公理, 所以关于概率的一些重要结果都适用于条件概率. 例如, 犘 ( 珚犅 犃 )=- 犘 ( 犅 犃 ); 又对于任意事件犅, 犅, 有 犘 ( 犅 犅 狘犃 )= 犘 ( 犅 狘犃 )+ 犘 ( 犅 狘犃 )- 犘 ( 犅 犅 狘犃 ). 例 0 某种动物出生后活到 0 岁的概率为 0.8, 活到 30 岁的概率为 0.7, 求现年为 0 岁的这种动物活到 30 岁的概率. 解记事件犃为 动物出生后活到 0 岁, 事件犅为 动物出生后活到 30 岁, 则 由条件概率计算公式, 得 犘 ( 犃 )=0.8, 犘 ( 犅 )= 犘 ( 犃犅 )=0.7, 犘 ( 犘 ( 犃犅 ) 犅狘犃 )= 犘 ( 犃 ) = 犘 ( 犅 ) 犘 ( 犃 ) = =0.9. 例 掷两颗骰子, 已知有一个出现 6 点, 求点数之和不小于 9 的概率. 解方法一该试验的样本空间为 Ω = {(,),(,),,(,6),,(6,),(6,),,(6,6)}, 共含有 36 个样本点. 记事件犃为 至少有一个 6 点, 则 犃 = {(,6),(6,),(,6),(6,),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)(6,6)}, 含有 个样本点. 记事件犅为 点数之和不小于 9, 则 犅 = {(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5)(6,6)}, 含有 0 个样本点. 而 犃犅 = {(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)}, 含有 7 个样本点. 由条件概率计算公式, 得

19 第 章 随机事件与概率 3 方法二 犘 ( 犘 ( 犃犅 ) 犅狘犃 )= 犘 ( 犃 ) = 7 /36 /36 = 7. 可先将样本空间缩小为 Ω 犃 = {(,6),(6,),(,6),(6,),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)}, 共含有 个样本点. 在样本空间 Ω 犃中, 事件犅 犃 ={(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)(6,6)}, 含 有 7 个样本点. 直接计算得 犘 ( 犅狘犃 )= 7. 4 乘法公式 () 若犘 ( 犃 )>0, 则 () 若犘 ( 犃 犃 犃狀 -)>0, 则 犘 ( 犃犅 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犅狘犃 ). (.9) 犘 ( 犃 犃 犃狀 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犃 狘犃 ) 犘 ( 犃 3 狘犃 犃 ) 犘 ( 犃狀狘犃 犃 犃狀 -). (.0) 例 某单位 00 人进行年欢游戏活动, 共有 号, 号,,00 号共 00 支签, 其中有 0 支中奖签, 依次进行抽签, 求恰好第三人抽中奖签的概率. 解记事件犃犻为 第犻人抽中 号签, 犻 =,,,00, 则所求概率为 5 全概率公式 犘 ( 珡犃 珡犃 犃 3)= 犘 ( 珡犃 ) 犘 ( 珡犃 狘珡犃 ) 犘 ( 犃 3 狘珡犃 珡犃 ) = 全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式是概率论中的一个重要的公式, 它可以简化复杂事件的概率计算. 设犅, 犅,, 犅狀是样本空间 Ω 的事件, 满足 : () 犅, 犅,, 犅狀互不相容 ; 狀 () 犅犻 =Ω; 犻 = (3) 犘 ( 犅犻 )>0, 犻 =,,, 狀 则称犅, 犅,, 犅狀是样本空间 Ω 的一个完备事件组. 如果犅, 犅,, 犅狀是样本空间 Ω 的一个完备事件组, 则对样本空间 Ω 的任一事件 犃, 有 科学出版社职教技术出版中心

20 4 概率论与数理统计 证明 因为 狀犘 ( 犃 )= 犘 ( 犅犻 ) 犘 ( 犃狘犅犻 ). (.) 犻 = 狀狀犃 = 犃 Ω = ( 犃 犅犻 ) = ( 犃犅犻 ), 犻 = 且犃犅, 犃犅,, 犃犅狀互不相容, 则由可加性可得 犻 = 狀狀犘 ( 犃 )= 犘 [ ( 犃犅犻 ) ] = 犻 = 犘 ( 犃犅犻 ), 犻 = 再将犘 ( 犃犅犻 )= 犘 ( 犅犻 ) 犘 ( 犃 犅犻 )( 犻 =,,, 狀 ) 代入式 (.) 即得 狀犘 ( 犃 )= 犘 ( 犅犻 ) 犘 ( 犃狘犅犻 ). 犻 = 关于全概率公式的几点说明 : () 全概率公式的最简单的形式, 若 0< 犘 ( 犅 )<, 则 犘 ( 犃 )= 犘 ( 犅 ) 犘 ( 犃狘犅 )+ 犘 ( 珚犅 ) 犘 ( 犃狘珚犅 ); (.) () 条件犅, 犅, 犅狀为样本空间 Ω 的一个完备事件组, 可改成犅, 犅,, 犅狀互不 狀相容, 且 犅犻 犃, 式 (..) 仍成立 ; 犻 = 5 贝叶斯公式 在乘法公式和全概率公式的基础上可推得另一个很著名的公式 贝叶斯公式. 设犅, 犅,, 犅狀是样本空间 Ω 的一个完备事件组, 即 () 犅, 犅,, 犅狀互不相容 ; 狀 () 犅犻 =Ω. 犻 = 如果犘 ( 犃 )>0, 犘 ( 犅犻 )>0, 犻 =,,, 狀则 犘 ( 犅犻狘犃 )= 犘 ( 犅犻 ) 犘 ( 犃狘犅犻 ), 狀犻 =,,, 狀. (.3) 犘 ( 犅犼 ) 犘 ( 犃狘犅犼 ) 犼 = 例 3 设某县有 A B C D E 共 5 个片区种植杨树, 各个片区种植面积分别占总面积的 5%,0%,5%,30%,0%, 各个片区杨树中 79 杨 的百分比分别为 80%, 70%,60%,75%,90%, 如从该县杨树中任抽取一棵, 求 : () 任取一棵为 79 杨 的概率 ; () 若取到的是 79 杨, 它依次是 A E 片区种植的概率. 解记事件犢为 取到 79 杨. () 由全概率公式, 有 犘 ( 犢 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犢狘犃 )+ 犘 ( 犅 ) 犘 ( 犢狘犅 )+ 犘 ( 犆 ) 犘 ( 犢狘犆 ) + 犘 ( 犇 ) 犘 ( 犢狘犇 )+ 犘 ( 犈 ) 犘 ( 犢狘犈 ) =

21 第 章 随机事件与概率 5 () 由贝叶斯公式, 有 犘 ( 犃狘犢 )= 犘 ( 犈狘犢 )= =0.75. 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犢狘犃 ) 犘 ( 犢 ) = = 9, 犘 ( 犈 ) 犘 ( 犢狘犈 ) 犘 ( 犢 ) = = 事件的独立性与伯努利概型 事件的独立性是概率论中又一个重要的概念, 应用它有助于简化概率的计算. 下面介 绍两个事件之间的独立性及多个事件之间的相互独立性, 最后利用事件的独立性讨论著 名的伯努利概型. 6 事件的独立性. 两个事件的独立性 两个事件之间的独立性是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生. 例如, 在抛两 枚硬币的试验中, 记事件犃为 第一枚硬币出现正面, 记事件犅为 第二枚硬币出现正 面. 显然犃与犅的发生是相互不影响的. 从概率的角度看, 如果事件犅的发生不影响事件犃的发生, 即犘 ( 犃 犅 )= 犘 ( 犃 ), 由 此又可推出犘 ( 犅 犃 )= 犘 ( 犅 ), 即事件犃的发生也不影响事件犅的发生. 可见独立性是相 互的, 它们等价于 犘 ( 犃犅 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犅 ). (.4) 另外, 对于犘 ( 犅 )=0 或犘 ( 犃 )=0, 式 (.4) 仍然成立. 由此, 给出两个事件相互独立 的定义. 定义 4 如果犘 ( 犃犅 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犅 ) 成立, 则称事件犃与犅相互独立, 简称犃与犅独立. 否则称犃与犅不独立或相依. 从而 由此得 在许多实际问题中, 可以根据经验来判断事件间的独立性. 性质 若事件犃与犅独立, 则犃与珚犅独立, 珡犃与犅独立, 珡犃与珚犅独立. 证明 这里只证事件犃与珚犅独立, 其余类似. 因为 犃 = 犃犅 犃珚犅, 犘 ( 犃 )= 犘 ( 犃犅 )+ 犘 ( 犃珚犅 ). 犘 ( 犃珚犅 )= 犘 ( 犃 )- 犘 ( 犃犅 ) = 犘 ( 犃 )- 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犅 ) = 犘 ( 犃 )[- 犘 ( 犅 )] = 犘 ( 犃 ) 犘 ( 珚犅 ). 科学出版社职教技术出版中心

22 6 概率论与数理统计 所以事件犃与珚犅独立.. 多个事件的相互独立性 首先研究 3 个事件的独立性, 对此我们给出以下的定义. 定义 5 设犃, 犅, 犆是 3 个事件, 如果有烄犘 ( 犃犅 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犅 ) 烅犘 ( 犅犆 )= 犘 ( 犅 ) 犘 ( 犆 ), (.5) 烆犘 ( 犃犆 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犆 ) 则称犃, 犅, 犆两两独立. 若还有犘 ( 犃犅犆 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犅 ) 犘 ( 犆 ), (.6) 则称犃, 犅, 犆相互独立. 进一步地, 给出 3 个以上事件的相互独立性. 定义 6 设有狀个事件犃, 犃,, 犃狀, 若犘 ( 犃犻 犃犻 犃犻犽 )= 犘 ( 犃犻 ) 犘 ( 犃犻 ) 犘 ( ) 犃犻犽 ( 犻犻犽 狀 ) (.7) 成立, 则称事件犃, 犃,, 犃狀相互独立. 性质 狀个相互独立的事件中, 任意一部分与另一部分独立. 与性质 类似, 还可以证明以下性质. 性质 3 将狀个相互独立的事件中的任一部分换为对立事件, 所得的诸事件仍为相互独立的. 例 4 设三事件犃, 犅, 犆相互独立, 试证犃 - 犅与犆相互独立. 证明因为犘 (( 犃 - 犅 ) 犆 )= 犘 (( 犃珚犅 ) 犆 )= 犘 ( 犃珚犅犆 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 珚犅 ) 犘 ( 犆 ) = 犘 ( 犃珚犅 ) 犘 ( 犆 )= 犘 ( 犃 - 犅 ) 犘 ( 犆 ). 仿此题的证明, 可以推得犃 犅与犆独立, 犃犅与犆独立. 例 5 甲 乙两射手彼此独立地向同一目标射击, 甲射中目标的概率为 0.8, 乙射中目标的概率为 0.9, 求目标被击中的概率. 解记事件犃为 甲射中目标, 事件犅为 乙射中目标, 则 目标被击中 可表示为犃 犅, 故犘 ( 犃 犅 )= 犘 ( 犃 )+ 犘 ( 犅 )- 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犅 ) = = 伯努利概型 将随机试验犈重复进行狀次, 各次试验的结果互不影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其他各次试验的结果, 这样的试验称为狀重独立试验. 特别地, 若在狀重独立试验中, 每次试验的结果只有两个 : 犃与珡犃, 且犘 ( 犃 )= 狆, 犘 ( 珡犃 )= 狇 (0< 狆 <, 狆 + 狇 = ), 则这样的试验称为伯努利 (Bernouli) 试验或伯努利概型. 对于伯努利概型, 需要计算事件犃在狀次独立试验中恰好发生犽次的概率.

23 第 章 随机事件与概率 7 性质 4 在伯努利概型中, 设事件犃在各次试验中发生的概率犘 ( 犃 )= 狆 (0< 狆 <), 则在狀次独立试验中恰好发生犽次的概率为 其中狆 + 狇 =, 犽 =0,,,, 狀. 证明 狀犘狀 ( 犽 )= ( ) 狆犽 犽 - 犽狇狀, 若用事件犃犻表示 事件犃在第犻次试验中发生, 则有 犘 ( 犃犻 )= 狆, 犘 ( 珡犃犻 )=- 狆 = 狇, 犻 =,,, 狀. 因为各次试验是相互独立的, 所以事件犃, 犃,, 犃狀是相互独立的. 由此可见, 狀次 独立试验中事件犃在指定的犽次 ( 如在前面犽次 ) 试验中发生而在其余狀 - 犽次试验中不 发生的概率为 犘 ( 犃 犃犽犃犽 + 犃狀 )= 犘 ( 犃 ) 犘 ( 犃犽 ) 犘 ( 犃犽 +) 犘 ( 犃狀 ) 犽 = 狆 狆 狇 狇 = 狆狇}} 狀个 ( 狀 - 犽 ) 个 狀由于事件犃在狀次独立试验中恰好发生犽次共有 ( ) 狀应一个事件, 易知这 ( ) 狀 - 犽. 种不同的方式, 每一种方式对犽 个事件是互不相容的, 所以根据概率的可加性得犽 狀犘狀 ( 犽 )= ( ) 犽 - 犽狆狇狀, 犽 =0,,,, 狀. 犽 由于该式右端正好是二项式 ( 狆 + 狇 ) 狀的展开式中的第犽 + 项, 所以通常把这个公式 称为二项概率公式. 顺便指出, 概率犘狀 ( 犽 ) 满足恒等式 狀 犽 =0 狀犘狀 ( 犽 )= 犽 =0 ( 狀 犽狀犽 ) - 犽狀狀狆狇 = ( 狆 + 狇 ) = =. 例 6 某种植物移栽成活率为 0.8, 现移栽 0 棵, 求有 8 棵成活的概率. 解植物移栽成活是相互独立的, 因此移栽 0 棵植物就是进行 0 次独立重复试验. 于是, 可以用二项概率公式计算得 ( ) 犘 ( 0 8)= 0 8 ( 0.8) 8 (0.) 习题一 科学出版社职教技术出版中心 写出下列随机试验的样本空间 : () 将一枚均匀的硬币抛掷三次, 观察正面出现的次数 ; () 将一枚均匀的硬币抛掷两次, 观察正反面出现的情况 ; (3) 同时掷两颗骰子, 记录两颗骰子点数之和 ; (4) 向一目标进行射击, 直到第二次击中目标为止, 记录所需要的射击次数.

24 8 概率论与数理统计. 用步枪射击目标 5 次, 记事件犃犻为 第犻次击中目标 ( 犻 =,,3,4,5), 事件犅为 5 次中击中次数大于, 用文字叙述下列事件 : () 犃 = 5 犻 = 犃犻 ; () 犃 ; (3) 犅. 3. 设犃, 犅, 犆为三事件, 试用犃, 犅, 犆表示下列各事件 : () 犃, 犅, 犆恰有一个发生 ; () 犃, 犅, 犆恰有两个发生 ; (3) 犃, 犅, 犆至少有两个发生 ; (4) 犃, 犅, 犆同时发生 ; (5) 犃, 犅, 犆都不发生. 4. 将一枚均匀的硬币抛掷三次, 记事件犃犻为 第犻次抛掷出现正面 ( 犻 =,,3), 试用犃犻表示下列事件 : () 只第一次出现正面 ; () 只出现一次正面 ; (3) 至少出现一次正面 ; (4) 出现正面不多于一次. 5. 一盒子中 0 个白球,3 个黑球,4 个红球, 从中任意不放回地取 9 个球, 求恰好取到 4 个白球, 个黑球,3 个红球的概率. 6. 两封信随机地投入 3 个邮筒, 求前两个邮筒没有信的概率及第一个邮筒只有一封信的概率. 7. 袋中有 5 个白球及 4 个红球, 从中做不放回抽取两次, 每次任取一球, 求 : () 取到两个红球的概率 ; () 取到两种颜色球的概率. 8. 从号码为 ~0 的 0 名运动员中任意选出 4 人参加比赛, 求比赛的 4 人中 : () 最大号码是 6 的概率 ; () 奇数号码不少于 3 个的概率 ; (3) 至少有一号码为偶数的概率 个产品中有 3 个次品, 任取 5 个, 求其次品数分别为 0,,,3 的概率. 0. 狀个人围成一圈, 求甲 乙两人站在一起且甲站在乙的左侧的概率.. 将 3 个球随机地放入 4 个盒子中, 求下列随机事件的概率 : () 第 个盒子中刚好有 个球 ; () 第 3 个盒子中各有 个球 ; (3) 盒子中球的最大个数不超过..500 件产品中有 50 件次品, 从中任取 0 件, 求 : () 恰取到 0 件次品的概率 ; () 至少取到 件次品的概率. 3. 设一质点一定落在狓犗狔平面内由狓轴 狔轴及直线狓 + 狔 = 所围成的三角形内, 而落在这三角形内各点处的可能性相等, 计算该质点落在直线狓 = 3 的左侧的概率.

25 第 章 随机事件与概率 9 4. 已知犘 ( 犃 )=0.5, 犘 ( 犅 )=0.4, 犘 ( 犃犅 )=0., 求 : () 犘 ( 犃珚犅 ); () 犘 ( 犃 犅 ); (3) 犘 ( 犃 犅 ). 5. 设事件犃, 犅的概率分别为 3,. 在下列三种情况下分别求犘 ( 犅珡犃 ) 的值 : () 犃与犅互斥 ; () 犃 犅 ; (3) 犘 ( 犃犅 )= 设犃, 犅, 犆是三个事件, 满足犘 ( 犃 )= 犘 ( 犅 )= 犘 ( 犆 )= 4, 犘 ( 犃犆 )= 犘 ( 犅犆 )=0, 犘 ( 犃犅 )= 8, 求犘 ( 珡犃珚犅珚犆 ). 7. 已知犘 ( 犃 )=0.3, 犘 ( 犅 )=0.4, 犘 ( 犃珚犅 )=0.5, 试求犘 ( 犅 犃 犅 ). 8. 设 0 件产品中有 3 件次品,7 件正品. 现今从中取 次, 每次取 件, 且取后不放回, 试求下列事件的概率 : () 前两次均取到次品 ; () 已知第一次取到次品的条件下第二次也取到次品. 9. 从 5 张扑克牌中, 不放回地抽取三次, 每次取一张. 求第三次才取到 红桃 的概率. 0. 甲 乙 丙三人同时独立地对飞机进行射击,3 人击中飞机的概率分别为 0.4, 0.5,0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为 0., 被两人击中而被击落的概率为 0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求飞机被击落的概率.. 已知甲箱中有 4 只红球,4 只白球 ; 乙箱中有 6 只红球,4 只白球. 求下列事件的概率 : () 随机取一箱, 再从该箱中随机取一球, 该球是白球 ; () 合并两箱中的球, 从中随机取一球, 该球是白球.. 设有来自甲 乙 丙 3 个地区的各 0 名 0 名 30 名考生的报名表, 其中女生报名表分别为 3 份 0 份 8 份, 现将三个地区报名表放在一起并从中任取一份. 求 : () 取到的一份为男生报名表的概率 ; () 已知取到的一份是女生报名表, 则该份报名表来自甲地区的概率. 3. 设某工厂有甲 乙 丙 3 个车间, 生产同一种电子零件, 各个车间的产量分别占总产量的 30%,30%,40%, 各个车间成品中次品率分别为 0.0,0.04,0.0, 若从该厂产品 中抽取一件, 得到的是次品, 求它依次是甲 乙 丙车间生产的概率. 4. 已知犃与犅独立, 且犘 ( 犃 )= 3, 犘 ( 犅 )=, 求犘 ( 犃犅 ) 与犘 ( 犃 犅 ). 5. 设犃, 犅, 犆相互独立, 且 求犘 [ 犆 -( 犃 - 犅 )]. 犘 ( 犃 )=0.4, 犘 ( 犅 )=0.3, 犘 ( 犆 )=0.8, 科学出版社职教技术出版中心 人同时独立地射击一目标, 击中目标的概率分别为 0.5,0.4,0.,0.3, 求目标被击中的概率.

26 0 概率论与数理统计 7. 电灯泡使用寿命在 000h 以上的概率为 0.3, 求 3 个灯泡在使用 000h 以后, 最多只有 个坏了的概率. 8. 假若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 混合 00 人的血清, 求此血清中含有肝炎病毒的概率. 9. 加工一个产品要经过三道工序, 设第一 二 三道工序的合格率分别为 0.9,0.95, 0.8, 若假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的产品是次品的概率 人独立去破译一密码, 已知各人能译出的概率分别为 0.4,0.,0.. 求此密码被译出的概率. 3. 将一骰子重复掷 0 次, 求有 3 次至 5 次出现 点的概率是多少? 3. 设某种型号的高射炮, 每一门炮发射一发子弹而击中飞机的概率为 0.5, 问至少需要几门这种高射炮同时发射 ( 每炮只射一发 ) 才能以 99% 的把握击中来犯的一架敌机?

27 第 章 随机变量及其分布 为了更深刻地揭示随机现象的统计规律性, 有必要将随机试验的结果数量化, 即把随机试验的结果与实数对应起来, 可以凭借更多的数学工具分析随机试验的结果, 因此需要引入随机变量的概念. 本章将介绍一维随机变量及其分布.. 随机变量及其分布函数 随机变量的概念 定义 设犈是随机试验,Ω 是其样本空间. 如果对每个 ω Ω, 总有一个实值函数 犡 = 犡 (ω) 与之对应, 则称 Ω 上的实值函数犡 (ω) 为犈的一个随机变量. 随机变量常用大写字母犡, 犢, 犣等表示, 其取值用小写字母狓, 狔, 狕等表示. 若一个随 机变量仅取有限个或可列个值, 则称其为离散随机变量. 若一个随机变量的可能取值充满 数轴上的一个区间 ( 犪, 犫 ), 则称其为连续随机变量, 其中犪可以是 -, 犫可以是 +. 通过以下几个例子, 可以很好地理解上述抽象的定义. () 掷一颗骰子, 出现的点数犡. () 单位时间内某手机被呼叫的次数犢. (3) 某种杨树的寿命犜. (4) 测量某物理量的误差 ε. (5) 若某个试验只有两个结果, 例如, 播种一颗银杏种子, 可以定义随机变量犣 =, 种子发芽 {. 0, 种子不发芽 科学出版社职教技术出版中心 值得注意的是 : 对任意实数狓,{ 犡 狓 } 表示随机事件 ; 可以求出概率犘 { 犡 狓 }. 在上面的例子中, 犘 { 犡 =3}= 6, 犘 { 犡 >4}= 犘 { 犡 =5}+ 犘 { 犡 =6}= = 3 等 ; 但是不能求得以下概率, 如犘 { 犢 =00}, 犘 { 犜 <500}, 犘 { ε.5} 等, 因此还需要引入随机变量分布函数的概念. 随机变量的分布函数 定义 设犡是一个随机变量, 对任意实数狓, 称 犉 ( 狓 )= 犘 { 犡 狓 } (.) 为随机变量犡的分布函数. 且称犡服从犉 ( 狓 ), 记为犡 ~ 犉 ( 狓 ). 有时也可用犉犡 ( 狓 )( 把犡作为犉的下标 ) 以表明是犡的分布函数. 例 向半径为狉的圆内随机抛一点, 求此点到圆心之距离犡的分布函数犉 ( 狓 ),

28 概率论与数理统计 { } 狉并求犘犡 >. 从而 解 事件 犡 狓 表示所抛之点落在半径为狓 (0 狓 狉 ) 的圆内, 故由几何概率知 { } 犉 ( 狓 )= 犘 { 犡 狓 }= π 狓 = π 狉 狉犘犡 > =- 狉犘犡 狓 ( 狉 ), { } =- 狉犉 ( ) =- ( ) = 3 4. 从分布函数的定义可见, 任一随机变量犡 ( 离散的或连续的 ) 都有一个分布函数. 有了分布函数, 就可据此算得与随机变量犡有关事件的概率. 下面先给出分布函数的 3 个基本性质. 定理 任一随机变量的分布函数犉 ( 狓 ) 都具有如下三条基本性质. () 单调性 : 犉 ( 狓 ) 是定义在整个实数轴 (-,+ ) 上的单调非减函数, 即对任意的狓 < 狓, 有犉 ( 狓 ) 犉 ( 狓 ). () 有界性 : 对任意的狓, 有 0 犉 ( 狓 ), 且 即 犉 (- )= lim 犉 ( 狓 )=0, 犉 (+ )= lim 犉 ( 狓 )=. 狓 - 狓 + (3) 右连续性 : 犉 ( 狓 ) 是狓的右连续函数, 即对任意的狓 0, 有 lim 犉 ( 狓 )= 犉 ( 狓 0), + 狓 狓 0 犉 ( 狓 0+0)= 犉 ( 狓 0). 另一方面, 满足这 3 个性质的函数一定是某个随机变量的分布函数. 例 设随机变量犡的分布函数为犉 ( 狓 )= 犃 + 犅 arctan 狓, - < 狓 <+, 试求 :() 待定系数犃, 犅 ;() 随机变量犡落在 (-,) 内的概率. 解 () 由犉 (- )=0, 犉 (+ )=, 可得 解得犃 =, 犅 = π, 于是 ( ) 烄犃 + 犅 - π =0 烅, π 犃 + 犅烆 ( ) = 犉 ( 狓 )= + π arctan 狓, - < 狓 <+. () 犘 {-< 犡 }= 犉 ()- 犉 (-) ( ) ( ) [ ] [ ] = + arctan - π + π arctan (- ) ( ) = + π π π π 4 =.

29 第 章 随机变量及其分布 3 利用随机变量犡的分布函数, 可以计算有关犡的各种事件的概率. 例如, 对任意的实 数犪, 犫有 犘 { 犪 < 犡 犫 }= 犉 ( 犫 )- 犉 ( 犪 ), 犘 { 犡 = 犪 }= 犉 ( 犪 )- 犉 ( 犪 -0), 犘 { 犡 犫 }=- 犉 ( 犫 -0), 犘 { 犡 > 犫 }=- 犉 ( 犫 ), 犘 { 犪 < 犡 < 犫 }= 犉 ( 犫 -0)- 犉 ( 犪 ), 犘 { 犪 犡 犫 }= 犉 ( 犫 )- 犉 ( 犪 -0), 特别当犉 ( 狓 ) 在犪与犫连续时, 有 例 3 犘 { 犪 犡 < 犫 }= 犉 ( 犫 -0)- 犉 ( 犪 -0). 犉 ( 犪 -0)= 犉 ( 犪 ), 犉 ( 犫 -0)= 犉 ( 犫 ). 设随机变量犡的分布函数为 烄 0, 狓 <0 0.4, 0 狓 < 犉 ( 狓 )= 烅, 0.6, 狓 <3 烆, 狓 3 试求 :() 犘 {< 犡 3};() 犘 { 犡 >};(3) 犘 { 犡 =.5}. 解 () 犘 {< 犡 3}= 犉 (3)- 犉 ()=-0.4=0.6; () 犘 { 犡 >}=- 犉 ()=-0.6=0.4; (3) 犘 { 犡 =.5}= 犉 (.5)- 犉 (.5-0)= =0. 定义 3 犡取狓犻的概率. 离散型随机变量的分布律 设犡是一个离散型随机变量, 其所有可能的取值是狓, 狓,, 狓犻,, 则称 狆犻 = 犘 { 犡 = 狓犻 }, 犻 =,, (.) 为犡的概率分布律或简称为分布律, 记为犡 ~{ 狆犻 }, 分布律也可用列表的方法来表示 : 或记成 犡狓 狓 狓犻 狆犽狆 狆 狆犻 烄狓 狓 狓犻 烌犡 ~ 烆狆 狆 狆犻烎分布律的基本性质 : () 狆犻 0, 犻 =,, ; () 狆犻 =. 犻 = 由离散型随机变量犡的分布律很容易写出犡的分布函数 : 科学出版社职教技术出版中心

30 4 概率论与数理统计 犉 ( 狓 )= 犘 { 犡 狓 }=. 狓犻 狓狆犻它的图形是有限级 ( 或无穷级 ) 的阶梯函数. 在离散场合, 常用分布律来描述分布, 很少用到分布函数. 因为求离散随机变量犡的有关事件的概率时, 用分布律比用分布函数来得更方便. 例 4 设离散型随机变量犡的分布律为 犡 - 3 狆犽 试求 : 犘 { 犡 0.5}, 犘 {.5< 犡 0.5}, 并写出犡的分布函数. 解犘 { 犡 0.5}= 犘 { 犡 =-}=0.5, 犘 {.5< 犡.5}= 犘 { 犡 =}=0.5, 烄 0, 狓 <- 0.5, - 狓 < 犉 ( 狓 )= 烅 =0.75, 狓 <3 烆 =, 狓 3 犉 ( 狓 ) 的图形如图 所示. 特别地, 常量犮可看做仅取一个值的随机变量犡, 即犘 { 犡 = 犮 }=. 这个分布常称为单点分布或退化分布, 它的分布函数是 其图形如图 所示. 犉 ( 狓 )= 0, 狓 < 犮 {. (.3), 狓 犮 图 图 以下例子说明, 已知离散型随机变量的分布函数, 可以求出它的分布律. 例 5 设随机变量犡的分布函数为烄 0, 狓 <0 0., 0 狓 < 犉 ( 狓 )= 烅 0.5, 狓 <3, 0.8, 3 狓 <5 烆, 狓 5

31 第 章 随机变量及其分布 5 则犡的分布律为 犡 狆犽 常见离散型随机变量分布. 两点分布 若离散型随机变量犡的分布律为 犡 0 狆犽 - 狆狆 则称这个分布为两点分布 ( 或 0- 分布 ), 记为犡 ~ 犅 (, 狆 ). 例 6 播种一颗银杏种子, 定义随机变量 则犡 ~ 犅 (,0.95), 其中 0.95 为发芽率.. 二项分布 若离散型随机变量犡的分布律为 狀犘 { 犡 = 犽 }= ( ) 犡 =, 种子发芽 {, 0, 种子不发芽 则称这个分布为二项分布, 记为犡 ~ 犅 ( 狀, 狆 ). 多少? 狀狆犽 (- 狆 )- 犽, 犽 =0,,,, 狀. (.4) 犽 两点分布是二项分布中当狀 = 时的特例. 例 7 假设银杏移栽的成活率为 0.95, 现移栽 0 棵, 问至少有 8 棵成活的概率是 解 设移栽银杏的棵数为犡, 则犡 ~ 犅 (0,0.95), 而所求概率为 犘 { 犡 8}= 犘 { 犡 =8}+ 犘 { 犡 =9}+ 犘 { 犡 =0} 3. 泊松分布 ( ) ( ) ( ) = 若离散型随机变量犡的分布律为 科学出版社职教技术出版中心

32 6 概率论与数理统计 犘 { 犡 = 犽 }= λ 犽犽! e-λ, 犽 =0,,,, (.5) 其中, 参数 λ>0. 则称这个分布为泊松分布, 记为犡 ~ 犘 (λ). 例 8 已知某种产品表面上的疵点数服从参数 λ=0.5 的泊松分布, 若规定疵点数不超过一个的产品为合格品, 疵点数至少为两个的产品为不合格品. 试求此产品为不合格 品的概率. 解设犡为此产品表面上的疵点数, 则犡 ~ 犘 (0.5), 即 于是有 犘 { 犡 = 犽 }= 0.5 犽犽! e-0.5, 犽 =0,,,. 犘 { 犡 }=- 犘 { 犡 <}=- 犘 { 犡 =0}- 犘 { 犡 =} = ! e ! e 几何分布 若离散型随机变量犡的分布律为 犘 { 犡 = 犽 }= 狆狇犽 -, 犽 =,,, (.6) 其中,0< 狆 <, 狇 =- 狆, 则称随机变量犡服从参数为狆的几何分布, 记为犡 ~ 犌 ( 狆 ). 设犈为一随机试验, 犃为其事件, 犘 ( 犃 )= 狆, 犘 ( 珡犃 )=- 狆 = 狇, 现作独立重复试验直 到犃出现为止. 以犡表示事件犃出现的总次数, 则随机变量犡可取值,,, 犽,. 以犃犽表示在第犽重试验中事件犃出现的事件, 则 5. 超几何分布 犘 { 犡 = 犽 }= 犘 ( 犃 犃 犃犽 - 犃犽 ) = 犘 ( 珡犃珡犃 珡犃犃 )= 犘 ( 珡犃 ) 犘 ( 珡犃 ) 犘 ( 珡犃 ) 犘 ( 犃 ) = 狆狇犽 -, 犽 =,,. 若离散型随机变量犡的分布律为犽狀 - 犽 ( ) 犘 { 犕犖犡 = 犽 -犕 }=, (.7) 狀 ( ) ( ) 其中,0 犕 犖,0 狀 犖, 犽是满足不等式 max{0, 狀 - 犖 + 犿 } 犽 min{ 狀, 犕 } 的所有整 数, 则称随机变量犡服从参数为狀, 犕, 犖的超几何分布, 记为犡 ~ 犎 ( 狀, 犕, 犖 ). 例 9 设一批木工板共犖张, 其中有犕张次品 (0 犕 犖 ), 犖 - 犕张合格品. 今从这批木工板中任取狀 (0 狀 犖 ) 张, 以犡表示所取得的次品数, 试求随机变量犡的分 布律. 解 若狀 = 犖 - 犕, 则犡可取的最小数显然为 0; 若狀 > 犖 - 犕, 则犡可取的最小数为 犖

33 第 章 随机变量及其分布 7 狀 -( 犖 - 犕 ). 这样, 犡可取的最小数是 max{0, 狀 - 犖 + 犿 }. 若狀 犕, 则犡可取的最大数为狀 ; 若狀 > 犕, 则犡可取的最大数为狀 -( 犖 - 犕 ). 这 样, 犡可取的最大数是 min{ 狀, 犕 }. 按古典概型计算得犽狀 - 犽 ( ) 犘 { 犕犖犡 = 犽 -犕 }=, 狀 ( ) ( ) 其中,0 犕 犖,0 狀 犖, 犽是满足不等式 max{0, 狀 - 犖 + 犿 } 犽 min{ 狀, 犕 } 的所有 整数..4 连续型随机变量的概率密度函数 定义 4 设随机变量犡的分布函数为犉 ( 狓 ), 如果存在实数轴上的一个非负可积函数犳 ( 狓 ), 使得对任意实数狓, 有 犖 狓犉 ( 狓 )= 犳 ( 狋 )d 狋, (.8) - 则称犡为连续型随机变量, 称犳 ( 狓 ) 为犡的概率密度函数, 简称密度函数. 在犉 ( 狓 ) 的可导点处有 密度函数的基本性质 : () 犳 ( 狓 ) 0. () + 犳 ( 狓 )d 狓 =. - 犉 ( 狓 )= 犳 ( 狓 ). (.9) (3) 若设犡的密度函数犳 ( 狓 ), 则犘 { 狓 犐 }= 狓 犐犳 ( 狓 )d 狓, 其中犐为某一区间. (4) 若犡为连续型随机变量, 则 犘 { 犪 < 犡 < 犫 }= 犘 { 犪 犡 < 犫 }= 犘 { 犪 < 犡 犫 }= 犘 { 犪 犡 犫 }. 注意与离散情形的区别. 例 0 已知随机变量犡的密度函数为犮狓, 0< 狓 < 犳 ( 狓 )= {, 0, 其他 { } 求 :() 常数犮 ;() 犘 0< 犡 < 3 ;( 3) 分布函数犉 ( 狓 ). 解 () 由 = + 犳 ( 狓 )d 狓 = - 犮犮狓 d 狓 = 0, 得犮 =; () 犘 { 0< 犡 < 3} = 3 3 狓 d 狓 = 狓狘 0 = 0 9 ; 科学出版社职教技术出版中心

34 8 概率论与数理统计 (3) 根据狓的取值情况来确定积分 狓犉 ( 狓 )= 犳 ( 狋 )d 狋. - 狓当狓 <0 时, 犉 ( 狓 )= d 狋 =0; - 当 0 狓 < 时, 犉 ( 狓 )= 0 狓 0d 狋 + 狋 d 狋 = 狓 ; - 0 当狓 时, 犉 ( 狓 )= 0 0d 狋 狓 狋 d 狋 + 0d 狋 =. 从而得随机变量犡的分布函数为 烄 0, 狓 <0 犉 ( 狓 )= 狓 烅, 0 狓 <, 烆, 狓 犉 ( 狓 ) 的图形如图 3 所示. 例 设随机变量犡的密度函数为烄狓, 0 狓 < 图 3 犳 ( 狓 )= 烅 - 狓, 狓 <, 烆 0, 其他试求随机变量犡的分布函数犉 ( 狓 ). 狓解当狓 <0 时, 犉 ( 狓 )= 犳 ( 狋 )d 狋 =0; - 狓 当 0 狓 < 时, 犉 ( 狓狓 )= 狋 d 狋 = 0 ; 当 狓 < 时, 犉 ( 狓 )= 狓 狓狋 d 狋 + (- 狋 )d 狋 =- 0 + 狓 -; 当狓 时, 犉 ( 狓 )= 狋 d 狋 + 0 狋 )d 狋 =. (- 综上所述, 得犡的分布函数为 烄 0, 狓 <0 狓, 0 狓 < 犉 ( 狓 )= 烅. 狓 - + 狓 -, 狓 < 烆, 狓 犉 ( 狓 ) 的图形如图 4 所示. 图 4.5 常用连续型随机变量分布. 均匀分布 若连续型随机变量犡的密度函数 ( 见图 5()) 为

35 第 章 随机变量及其分布 9 烄, 犪 狓 犫犳 ( 狓 )= 烅犫 - 犪, (.0) 烆 0, 其他则称犡服从区间 [ 犪, 犫 ] 上的均匀分布, 记为犡 ~ 犝 ( 犪, 犫 ), 其分布函数为 ( 见图 5()). 烄 0, 狓 < 犪犉 ( 狓 - 犪狓 )= 烅, 犪 狓 < 犫. (.) 犫 - 犪烆, 狓 犫 图 5() 图 5() 例 设随机变量犡服从区间 [0,] 上的均匀分布, 现对犡进行 4 次独立观测, 试求至少有 3 次观测值大于 的概率. 解设犢是 4 次独立观测中观测值大于 的次数, 则犢 ~ 犅 (4, 狆 ), 其中狆 = 犘 { 犡 > }. 由犡 ~ 犝 (0,) 知, 犡的密度函数为犳 ( 狓 )=, 0 狓 {. 0, 其他 所以 于是 { } 狆 = 犘犡 > = d 狓 =, 犘 { 犢 3}= 犘 { 犢 =3}+ 犘 { 犢 =4}= () 4 3 狆 (- 狆 ) + 3 () 4 4. 指数分布 3 4 =4 ( ) ( ) + ( ) 若连续型随机变量犡的密度函数为 = 5 6. 科学出版社职教技术出版中心 4 狆 (- 狆 ) 0

36 30 概率论与数理统计 狓烄犳 ( 狓 )= θ e- θ, 狓 >0 烅 (θ>0), (.) 烆 0, 狓 0 则称犡服从参数为 θ 的指数分布, 记为犡 ~Exp ( θ ). 例 3 设某电子产品的使用寿命犡 ( 单位 :h) 服从参数为 θ=500 的指数分布, 试 求该电子产品的使用寿命超过 000h 的概率. 于是 ( ) 解由犡 ~Exp 知 正态分布 狓烄 500, 犳 ( 狓 )= 500 e- 狓 >0 烅. 烆 0, 狓 0 犘 { 犡 >000}= + 狓 e- 500 d 狓 =e - 狓 狘 000e 正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布, 后面还要指出正态分布是一切 分布的中心. ) 正态分布的密度函数和分布函数若连续型随机变量犡的密度函数为 ( 狓 -μ ) 犳 ( 狓 )= 槡 πσ e- σ, - < 狓 <+, (.3) 则称犡服从参数为 μ, σ 的正态分布, 称犡为正态变量, 记为犡 ~ 犖 ( μ,σ ). 其中参数 - <μ<+,σ>0. 其密度函数犳 ( 狓 ) 图形如图 6() 所示. 犳 ( 狓 ) 的图形是一条钟形 线, 其对称轴为狓 =μ. 犳 ( 狓 ) 在狓 =μ 处取最大值 拐点. 正态分布犖 ( μ,σ ) 的分布函数为 犉 ( 狓 )= 狓槡 πσ 它是一条光滑上升的犛形曲线 ( 见图 6())., 曲线上对应于狓 =μ+σ 的点为槡 πσ e -( 狋 -μ ) - σ d 狋. (.4) 图 6() 图 6()

37 第 章 随机变量及其分布 3 图 7 给出了在 μ 和 σ 变化时, 相应正态密度曲线的变化情况. () 从图 7() 中可以看出, 如果固定 σ, 改变 μ 的值, 则图形沿狓轴平移, 而不改变 其形状. 也就是说正态密度函数的位置由参数 μ 所确定, 因此也称 μ 为位置参数. () 从图 7() 中可以看出, 如果固定 μ, 改变 σ 的值, 则 σ 越小, 曲线越陡峭 ;σ 越 大, 曲线越扁平. 也就是说, 正态函数的尺度由参数 σ 所确定, 因此也称 σ 为尺度参数. 图 7() ) 标准正态分布称 μ=0,σ= 的正态分布犖 (0,) 为标准正态分布. 记标准正态分布的密度函数为 φ ( 狓 ), 分布函数为 Φ( 狓 ), 即 狓 φ ( 狓 )= 槡 π e-, - < 狓 <+, 狓槡 π e - 狋 图 7() Φ( 狓 )= d 狋, - < 狓 <+. - 由于标准正态分布的分布函数不含任何未知参数, 故其值 Φ( 狓 )= 犘 { 犡 狓 } 完全可 以算出, 附表 对狓 0 给出了 Φ( 狓 ) 的值, 利用这张表可以算得以下结果 : ()Φ(- 狓 )=-Φ( 狓 ); () 犘 { 犡 > 狓 }=-Φ( 狓 ); (3) 犘 { 犪 < 犡 < 犫 }=Φ( 犫 )-Φ( 犪 ); (4) 犘 { 犡 < 犮 }=Φ( 犮 )-. 例 4 设犡 ~ 犖 (0,), 利用附表, 求下列事件的概率 : () 犘 { 犡.5}=Φ(.5)=0.8944; () 犘 { 犡 >.5}=-Φ(.5)= =0.056; (3) 犘 { 犡 <-.5}=Φ(-.5)=-Φ(.5)= =0.056; (4) 犘 { 犡.5}=Φ(.5)-= = ) 一般正态分布的标准化为了计算与一般正态变量有关的事件的概率, 需要将一般正态分布进行标准化, 然后 再查标准正态分布函数表. 若犡 ~ 犖 ( μ,σ ), 则 ( ) ( ) 科学出版社职教技术出版中心 犮 () 犘 { 犡 犮 -μ }=Φ σ ; (.5) 犫 () 犘 { 犪 < 犡 犫 -μ }=Φ σ -Φ 犪 -μ ( ) σ. (.6)

38 3 概率论与数理统计 例 5 设犡 ~ 犖 (86,4), 求 : () 犘 {8< 犡 <9}; () 常数犪, 使得犘 { 犡 < 犪 }=0.95. ( ) ( ) 解 () 犘 {8< 犡 <9}=Φ Φ () 由 =Φ(3)-Φ(-)=Φ(3)+Φ()- = = ( ) 犘 { 犪 -86 犡 < 犪 }=Φ =0.95, 或 Φ - 犪 -86 (0.95)=, 其中,Φ - 为 Φ 的反函数. 从附表 由里向外反查得 Φ(.64)=0.9495, Φ(.65)=0.9505, 再利用线性内插法可得 Φ(.645)=0.95, 即 Φ - (0.95)=.645, 故犪 -86 =.645, 从中解得犪 = 随机变量函数的分布 设犢 = 犵 ( 犡 ) 是定义在直线上的一个函数, 犡是一个随机变量, 那么犢 = 犵 ( 犡 ) 作为犡 的一个函数, 同样也是一个随机变量. 我们所要研究的问题是 : 已知犡的分布, 如何求犢 = 犵 ( 犡 ) 的分布. 6 离散型随机变量函数的分布 设犡是一个离散型随机变量, 犡的分布律为 犡狓 狓 狓犻 狆犽狆 狆 狆犻 则犢 = 犵 ( 犡 ) 也是一个离散型随机变量, 此时犢的分布律可表示为 犢犵 ( 狓 ) 犵 ( 狓 ) 犵 ( 狓犻 ) 狆犽狆 狆 狆犻 当犵 ( 狓 ), 犵 ( 狓 ),, 犵 ( 狓犻 ), 中有某些值相等时, 则把那些相等的值分别合并, 并将对应的概率相加即可. 例 6 已知犡的分布律为 犡 狆犽

39 第 章 随机变量及其分布 33 () 求犢 = 犡 + 的分布律 ; () 求犢 = 犡 3 - 犡的分布律. 解 () 犢 = 犡 + 的分布律为 犢 狆犽 () 犢 = 犡 3 - 犡的分布律为 犢 狆犽 再将相等的值合并得 犢 狆犽 连续型随机变量函数的分布 通过以下几则例子, 介绍求连续型随机变量函数的分布的一种方法, 称之为分布函 数法. 例 7 设随机变量犡的密度函数为犳犡 ( 狓 )= 狓, 0< 狓 < {, 0, 其他 试求随机变量犢 = 犡 + 的密度函数犳犢 ( 狔 ). 解犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }= 犘 { 犡 + 狔 } { } = 犘犡 ( 狔 - ) = ( 狔 -) 犳犡 ( 狋 )d 狋 - 科学出版社职教技术出版中心 [ ] ( 犳犢狔 )= 犉 犢 ( 狔 )= 狆犡 ( 狔 - ) 烄 = ( 狔 -), < 狔 <3 烅. 烆 0, 其他一般地, 还可以利用分布函数法证明以下定理. 定理 设犡是连续型随机变量, ( 其密度函数为犳犡狓 ), 犢 = 犵 ( 犡 ) 是另一个随机变量. 若狔 = 犵 ( 狓 ) 严格单调, 其反函数犺 ( 狔 ) 有连续导函数, 则犢 = 犵 ( 犡 ) 的密度函数为 烄 [ 犳犡犺 ( 狔 )] 狘犺 ( 狔 ) 狘, 犪 < 狔 < 犫 ( 犳犢狔 )= 烅. (.7) 烆 0, 其他其中, 犪 =min{ 犵 (- ), 犵 (+ )}, 犫 =max{ 犵 (- ), 犵 (+ )}.

40 34 概率论与数理统计 证明 不妨设狔 = 犵 ( 狓 ) 是严格单调递增函数, 这时它的反函数犺 ( 狔 ) 也是严格单调递 增函数, 且犺 ( 狔 )>0. 记犪 = 犵 (- ), 犫 = 犵 (+ ), 这就意味着狔 = 犵 ( 狓 ) 仅在区间 ( 犪, 犫 ) 取 值, 于是 当狔 < 犪时, 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }=0; 当狔 > 犫时, 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }=; 当犪 狔 犫时, 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }= 犘 { 犵 ( 狓 ) 狔 }, 由此得犢的密度函数为 犺 ( 狔 ) 犘 { 犡 犺 ( 狔 )}= 犳犡 ( 狋 )d 狋. - 烄 [ 犳犡犺 ( 狔 )] 犺 ( 狔 ), 犪 < 狔 < 犫 ( 犳犢狔 )= 烅. 烆 0, 其他同理可证当狔 = 犵 ( 狓 ) 是严格单调递减函数时, 结论也成立. 但此时应注意犺 ( 狔 )<0, 所以要加绝对值符号, 这时犪 = 犵 (+ ), 犫 = 犵 (- ). 利用上述定理, 可以证明以下一个很有用的结论. 定理 3 若犡 ~ 犖 ( μ,σ ), 则犢 = 犡 -μ σ ~ 犖 (0,). 狓证明狔 = -μ 是严格递增函数, 仍在 (-,+ ) 上取值, 其反函数为狓 = 犺 ( 狔 )= σ σ 狔 +μ, 犺 ( 狔 )=σ, 由定理. 可得 所以 定理 4 ( 犳犢狔 )= [ 犳犡犺 ( 狔 )] 狘犺 ( 狔 ) 狘 = 犳犡 (σ 狔 +μ ) 狘 σ 狘 = 槡 π e- 犡犢 = -μ σ ~ 犖 (0,). 狔, 设随机变量犡服从正态分布犡 ~ 犖 ( μ,σ ), 则当犪 0 时, 有犢 = 犪犡 + 犫 ~ 犡 ~ 犖 ( 犪 μ+ 犫, 犪 σ ). 证明当犪 >0(<0) 时, 狔 = 犪狓 + 犫是严格递增 ( 减 ) 函数, 仍在 (-,+ ) 上取值, 其反函数为狓 = 犺 ( 狔 )=( 狔 - 犫 )/ 犪, 犺 ( 狔 )=/ 犪, 由定理. 可得 ( ) 犪 { } 犳犢 ( 狔 )= 犳犡 [ 犺 ( 狔 )] 狘犺 ( 狔 ) 狔 - 犫狘 = 犳犡犪 = 槡 π( 狘犪狘 σ) exp - [ 狔 - ( 犪 μ+ 犫 )] 犪 σ. 这是正态分布犖 ( 犪 μ+ 犫, 犪 σ ) 的密度函数, 结论得证. 这个定理表明, 正态变量的线性函数仍为正态变量. 特别地, 取犪 =/σ, 犫 =-μ / σ, 则 犢 = 犪犡 + 犫 ~ 犖 (0,), 此即定理.3. 定理 5 若犡的分布函数犉犡 ( 狓 ) 为连续严格递增的连续函数, 则犢 = 犉犡 ( 犡 ) 服从 区间 (0,) 上均匀分布犝 (0,).

41 第 章 随机变量及其分布 35 从而 证明 由于分布函数犉犡 ( 狓 ) 仅在区间 [0,] 上取值, 所以 当狔 <0 时, 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }= 犘 { 犉犡 ( 犡 ) 狔 }=0. 当狔 时, 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }= 犘 { 犉犡 ( 犡 ) 狔 }=. 当 0 狔 < 时, 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }= 犘 { 犉犡 ( 犡 ) 狔 } = 犘 { 犡 犉 - 犡 - ( 狔 )}= 犉犡 ( 犉犡 ( 狔 ))= 狔. ( 犳犢狔 )= 犉 犢 ( 狔 )=, 0< 狓 < {, 0, 其他 所以犢 ~ 犝 (0,). 前面的例子及定理, 都要求犵 ( 狓 ) 严格单调, 这在有些场合不能满足. 以下的两个例子 是更一般的情形. 例 8 设随机变量犡服从标准正态分布犖 (0,), 试求犢 = 犡 的分布. 从而 于是 解由于犢 = 犡 0, 所以当狔 0 时, 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }=0. 狔 >0 时, 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }= 犘 { 犡 狔 }= 犘 {- 槡狔 犡 槡狔 } 槡狔 = φ ( 狋 )d 狋, - 槡狔 ( ) 犳犢 ( 狔 )= 犉 犢 ( 狔 )=φ ( 槡狔 ) -φ ( - 槡狔 )- 槡狔 槡狔 =φ ( 槡狔 ) 狔 -, - 狔 e - 狔烄, 狔 >0 犳犢 ( 狔 )= 烅槡 π. (.8) 烆 0, 狔 0 具有上述密度函数的分布称为自由度为 的卡方分布, 记为犢 ~χ (). 例 9 设随机变量犡的密度函数为烄 狓犳犡 ( 狓 )= π, 0< 狓 <π 烅, 烆 0, 其他求犢 =sin 犡的密度函数犳犢 ( 狔 ). 解由于犡在区间 (0,π) 内取值, 所以犢 =sin 犡的可能取值为区间 (0,). 在犢的可能取值区间外, 犉犢 ( 狔 )=0. 当 0< 狔 < 时, 有犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }= 犘 {sin 犡 狔 } = 犘 {0 犡 arcsin 狔 }+ 犘 {π-arcsin 狔 犡 π} = arcsin 狔犳犡 ( 狋 )d 狋 + 0 π ( 狋 )d 狋. π-arcsin 狔犳犡从而 科学出版社职教技术出版中心

42 36 概率论与数理统计 综合得 犳犢 ( 狔 )= 犉 犢 ( 狔 )= arcsin 狔 π 槡 - + (π-arcsin 狔 ) 狔 π 槡 - = 狔 π 槡 - 狔. 烄, 0< 狔 < 犳犢 ( 狔 )= 烅 π 槡 - 狔. 烆 0, 其他 习题二. 射击一目标, 直到击中为止. 以犡表示射击次数, 试用随机变量犡的取值表示以下随机事件 : () 至少射击 5 次才击中目标 ; () 击中目标时至多射击了 0 次 ; (3) 恰在奇数次射击击中目标. 烄 0, 狓 <0. 设随机变量犡的分布函数犉 ( 狓 )= 烅犃狓, 0 狓, 则常数犃 =. 烆, 狓 > 3. 已知随机变量犡只能取 -,0,, 四个数, 其相应的概率依次为, 3, 5,, 犽 4 犽 8 犽 8 犽 则犽 =. 4. 设袋中装有 0 个球, 编号为,,,0, 从中任取 5 个球, 求 : () 取出的 5 只球中的最小号码犡的分布律 ; () 取出的 5 只球中的最大号码犢的分布律. 5. 从 个白球 3 个红球中任取 3 个球, 以犡表示取到的白球数, 求犡的分布律及分 布函数. 6. 将一枚骰子独立地先后掷两次, 以犡表示两次掷出的点数之和, 求犡的分布律. 7. 设犡服从参数为 λ 的泊松分布, 且犘 { 犡 =}= 犘 { 犡 =}, 求犘 { 犡 =3}. 8. 某人进行射击, 设每次射击的命中率为 0.0, 独立射击 400 次, 求至少击中两次的概率? 9. 设随机变量犡的分布函数为 烄 0, 狓 <- 3, - 狓 <0 犉 ( 狓 )= 烅,, 0 狓 < 烆, 狓 求犘 { 犡 <}, 犘 { 犡 <3} 和犘 { 犡 -}.

43 第 章 随机变量及其分布 设离散型随机变量的分布函数为烄 0, 狓 <- 犪, - 狓 < 犉 ( 狓 )= 烅 3 -, 犪, 狓 < 烆犪 + 犫, 狓 且犘 { 犡 =}=, 试确定常数犪和犫, 并求犡的分布律. 犽 e 4 狓, 狓 0. 设犡的密度函数为犳 ( 狓 )= { 0 狓 >0, 求 : () 常数犽 ;() 犘 {-3< 狓 <0};(3) 犡的分布函数犉 ( 狓 ). 犪 + 犫狓, 0 狓. 设犡的密度函数为犳 ( 狓 )= {, 且犘 { 狓 }= 0, 其他 4, 求 : () 常数犪和犫 ;() 犡的分布函数犉 ( 狓 ). 犫 sin 狓, 0 狓 π 3. 设犡的密度函数为犳 ( 狓 )= {, 求 : 0, 其他 () 常数犫 ;() 犡的分布函数犉 ( 狓 ). 4. 设顾客在某超市收银台等待交款的时间犡 ( 以分钟计 ) 服从指数分布, 其密度函数为 狓烄犳 ( 狓 )= 5 e- 5, 狓 >0 烅, 烆 0, 狓 0 某顾客一个月要到超市购物 5 次, 以犢表示一个月内其在超市收银台等到交款超过 0min 的次数. 求犢的分布律及犘 { 犢 }. 5. 某型号电子管, 其寿命 ( 以小时计 ) 为一随机变量, 密度函数烄 00 犳 ( 狓 )= 狓, 狓 00 烅, 烆 0, 其他某一电子设备内配有 3 个这样的电子管, 求电子管使用 50h 都不需要更换的概率. 6. 设犡在 [-4,4] 服从均匀分布, 求方程 4 狋 +4 犡狋 + 犡 +6=0 有实根的概率. 7. 设一批零件的长度犡服从参数为 μ=0,σ=0.0 的正态分布, 规定长度犡在 0±0.03 内为合格品, 现任取一个零件, 问它为合格品的概率? 8. 公共汽车的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.0 以下来设计的, 设男子身高犡 ( 单位 :cm) 服从正态分布犖 (70,6 ), 试确定车门的高度犺. 9. 设犡的分布律为 科学出版社职教技术出版中心 犡 - 0 狆犽

44 38 概率论与数理统计 求 :() 犢 = 犡 - 的分布律 ;() 犢 = 犡 的分布律. ( ) 0. 设随机变量犡在 - π,π 上服从均匀分布, 求 : () 犢 =tan 犡的密度函数 ;() 犢 =sin 犡的密度函数.. 设犡 ~ 犖 (0,σ ), 求 : 犡 () 犢 =e 的密度函数 ;() 犢 = 犡 的密度函数. 烄. 设随机变量犡的密度函数为犳 ( 狓 )= π(+ 狓 ), 狓 >0 烅, 求犢 =ln 犡的密度函数. 烆 0, 狓 0

45 第 3 章 多维随机变量及其分布 一维随机变量是指随机试验的结果和一维实数之间的某个对应关系. 在许多随机现 象中, 一个随机变量很难描述随机试验结果, 往往需要多个随机变量才能准确描述, 即对 于每一个试验结果, 同时与多个实数值相对应. 例如, 随机进行树木调查, 可以观察其树 高 胸径 树龄等多个数据. 本章主要介绍二维随机变量以及边缘分布和条件分布. 3 狀维随机变量 3. 多维随机变量及其分布 一般地说, 每个随机试验结果可以有狀个数值与之对应, 此时就称这种对应关系是一 个狀维随机变量, 也称狀维随机向量. 在一维随机变量的基础上, 现在给出狀维随机变量 的定义. 定义 3 设犡, 犡,, 犡狀是定义在样本空间 Ω 上的狀个随机变量, 则由它们构成的一个狀维向量 ( 犡, 犡,, 犡狀 ) 叫做定义在 Ω 上的狀维随机变量或狀维随机向量. 3 二维随机变量的分布函数 类似于一维随机变量的分布函数, 给出二维随机变量的分布函数的定义. 定义 3 设 ( 犡, 犢 ) 是二维随机变量, 对于任意实数狓, 狔, 称二元函数 犉 ( 狓, 狔 )= 犘 { 犡 狓, 犢 狔 } (- < 狓 <+,- < 狔 <+ ) (3.) 为二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布函数或随机变量犡和犢的联合分布函数. 注 : 这里 { 犡 狓, 犢 狔 } 等价于 { 犡 狓 } { 犢 狔 }. 如果将二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 看成是平面上随 机点的坐标, 则分布函数犉 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处的 函数值就是随机点 ( 犡, 犢 ) 落在以 ( 狓, 狔 ) 为顶点而 位于该点下方的无穷矩形 ( 见图 3 ) 内的概率. 分布函数犉 ( 狓, 狔 ) 具有以下性质. () 犉 ( 狓, 狔 ) 是关于每个变量单调不减的函 数, 即对于任意的狓 < 狓, 犉 ( 狓, 狔 ) 犉 ( 狓, 狔 ); 对于任意的狔 < 狔, 犉 ( 狓, 狔 ) 犉 ( 狓, 狔 ). ()0 犉 ( 狓, 狔 ), 且有犉 (-, 狔 )=0, 图 3 犉 ( 狓,- )=0, 犉 (+,+ )=. (3) 犉 ( 狓, 狔 ) 关于狓, 狔是右连续的, 即犉 ( 狓 +0, 狔 )= 犉 ( 狓, 狔 +0)= 犉 ( 狓, 狔 ). (4) 设狓 < 狓, 狔 < 狔, 则有 科学出版社职教技术出版中心

46 40 概率论与数理统计 犉 ( 狓, 狔 ) - 犉 ( 狓, 狔 ) - 犉 ( 狓, 狔 ) + 犉 ( 狓, 狔 ) 0. 注 : 犉 ( 狓, 狔 ) - 犉 ( 狓, 狔 ) - 犉 ( 狓, 狔 ) + 犉 ( 狓, 狔 ) 表示随机点落入以 ( 狓, 狔 ),( 狓, 狔 ), ( 狓, 狔 ),( 狓, 狔 ) 为顶点的矩形内的概率 ( 见图 3 ). 图 3 3. 二维离散型随机变量及其分布律 3 二维离散型随机变量 定义 3 3 如果二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 一切可能取到的值是有限对或可列对时, 则称 ( 犡, 犢 ) 为二维离散型随机变量. 设二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 一切可能取到的值为 ( 狓犻, ), 狔犼犻, 犼 =,,, 狆犻犼 = 犘 { 犡 = 狓犻, 犢 = 狔犼 }, 犻, 犼 =,, (3.) 为二维离散型随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布律, 或犡和犢的联合分布律. 我们也能用表格来表示犡和犢的联合分布律, 如下所示. 犡 犢 狔 狔 狔犼 狓 狆 狆 狆 犼 狓 狆 狆 狆 犼 狓犻狆犻 狆犻 狆犻犼 联合分布律具有以下两个基本性质 : () 狆犻犼 0, 犻, 犼 =,, ; () 狆犻犼 =. 犻 = 犼 = 另外, 如果将二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 看成是平面上随机点的坐标, 则离散型随机变量犡 和犢的联合分布函数为

47 第 3 章 多维随机变量及其分布 4 犉 ( 狓, 狔 )= 狆犻犼. 狓犻 狓狔 狔犼 其中, 和式是对一切满足狓犻 狓, 狔犼 狔的犻, 犼来求和的. 例 3 设随机变量犡在,,3,4 四个整数中任取一数, 另一个随机变量犢在 ~ 犡 中任取一整数, 试求 ( 犡, 犢 ) 的分布律, 并求概率犘 { 犢 =}. 解 { 犡 = 犻, 犢 = 犼 } 的取值情况 : 犻 =,,3,4, 犼取不大于犻的正整数, 由乘法公式知 于是,( 犡, 犢 ) 的分布律为 犘 { 犡 = 犻, 犢 = 犼 }= 犘 { 犡 = 犻 } 犘 { 犢 = 犼狘犡 = 犻 }=, 4 犻 犢犡 由全概率公式知 4 4 犘 { 犢 =}= 犘 { 犡 = 犻 } 犘 { 犢 = 狘犡 = 犻 }= 犘 { 犡 = 犻 } 犘 { 犢 = 狘犢 = 犻 } 犻 = 犻 = = =3 48. 显然, 犘 { 犢 =} 的值恰好是上述分布律中的第二列的概率之和. 例 3 设 ( 犡, 犢 ) 的分布律为 犡 0 犢 试求 ( 犡, 犢 ) 的分布函数犉 ( 狓, 狔 ). 解如图 3 的方法, 可得 ( 犡, 犢 ) 的分布函数为烄 0, 狓 <0, 狔 <0 0, 0 狓 <,0 狔 < 犉 ( 狓, 3 狔 )= 烅 0, 0 狔 <, 狓 5, 0 狓 <, 狔 烆, 狓, 狔 科学出版社职教技术出版中心 5 5

48 4 概率论与数理统计 3.3 二维连续型随机变量及其概率密度 类似于一维连续型随机变量, 下面给出二维连续型随机变量的定义. 定义 3 4 对于二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布函数犉 ( 狓, 狔 ), 如果存在非负函数犳 ( 狓, 狔 ), 使对于任意实数狓, 狔, 有 狓狔犉 ( 狓, 狔 )= 犳 ( 狌, 狏 )d 狌 d 狏, (3.3) - 则称 ( 犡, 犢 ) 为二维连续型随机变量, 函数犳 ( 狓, 狔 ) 称为二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的概率密度函 数 ( 简称密度函数 ), 或称随机变量犡和犢的联合密度函数. 联合密度函数犳 ( 狓, 狔 ) 具有以下性质 : () 犳 ( 狓, 狔 ) 0; () 犳 ( 狓, 狔 )d 狓 d 狔 =; (3) 设犇是狓犗狔平面上的区域, 则随机点 ( 犡, 犢 ) 落在犇内的概率为 (4) 若犳 ( 狓, 狔 ) 在点 ( 狓, 狔 ) 处连续, 则有 例 3 3 () 求参数犃 ; 犘 {( 犡, 犢 ) 犇 }= 犇犳 ( 狓, 狔 )d 狓 d 狔 ; (3.4) 犉 ( 狓, 狔 ) = 犳 ( 狓, 狔 ). 狓 狔 设犡与犢的联合密度函数为犃 (- 狓 ) 狔, 0 狓,0 狔 狓犳 ( 狓, 狔 )= {. 0, 其他 () 求概率犘 { 犡 - 犢 <}; (3) 求分布函数在 解 ( )( ), 4,, 两点的值. () 由归一性知, 狓犃 (- 狓 ) 狔 d 狔 d 狓 = 0 5 犃 =, 得犃 = () 犘 { 犡 - 犢 <}= d 狔 0 + 狔 4 狔 5 ( - 狓 ) 狔 d 狓 = 0. (3) 犉 (, 4) = 犘犡, { 犢 4} = 4 d 狔 0 4 狔 5 ( - 狓 ) 狔 d 狓 =0.0836; ( ) { } 犉, = 犘犡, 犢 = 狓 4 狓 0d 0 5 ( - 狓 ) 狔 d 狔 =0.65. 例 3 4( 二维正态分布 ) 设 μ, μ, σ,σ, ρ 为 5 个常数, 且 σ>0,σ>0, ρ <, 令 犳 ( 狓, 狔 )= πσσ 槡 -ρ ex p{ - [ ( 狓 -μ ) (-ρ ) σ

49 第 3 章 多维随机变量及其分布 43 ( 狓 )( -μ 狔 ) -μ -ρ + ( 狔 -μ ) σσ ]} σ (- < 狓 <+,- < 狔 <+ ). (3.5) 易知犳 ( 狓, 狔 ) 0, 并且还可以证明 犳 ( 狓, 狔 )d 狓 d 狔 =, 因而犳 ( 狓, 狔 ) 是一个二维联合密度函数. 以犳 ( 狓, 狔 ) 为密度函数的二维联合分布称为二维正态分布, 记作 ( 犡, 犢 )~ 犖 ( μ, μ,σ,σ, ρ ). 如果二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布是二维正态分布, 也称 ( 犡, 犢 ) 是一个二维正态随机变量. 3.4 边缘分布 二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 作为一个整体, 具有联合分布函数犉 ( 狓, 狔 ), 而犡和犢都是随机 变量, 各自也有分布函数, 将它们分别记为犉犡 ( 狓 ) 和犉犢 ( 狔 ), 依次称它们为二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 关于犡和犢的边缘分布函数. 边缘分布函数可以由 ( 犡, 犢 ) 的分布函数所确定, 即有 类似地, 有 犉犡 ( 狓 )= 犘 { 犡 狓 }= 犘 { 犡 狓, 犢 <+ }= 犉 ( 狓,+ ). (3.6) 犉犢 ( 狔 )= 犘 { 犢 狔 }= 犘 { 犡 <+, 犢 狔 }= 犉 (+, 狔 ). (3.7). 二维离散型随机变量的边缘分布 设二维离散随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布律为 则关于犡和犢的两个边缘分布律为 和 狆犻犼 = 犘 { 犡 = 狓犻, 犢 = 狔犼 }, 犻, 犼 =,,, 犘 { 犡 = 狓犻 }= 犼狆犻犼 = 狆犻, 犻 =,, (3.8) 犘 { 犢 = 狔犼 }= 犻狆犻犼 = 狆 犼, 犼 =,,. (3.9) 一般地, 若二维离散随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布律如下 : 科学出版社职教技术出版中心 犢犡 狔 狔 狔犼 狓 狆 狆 狆 犼 狓 狆 狆 狆 犼 狓犻 狆犻 狆犻 狆犻犼

50 44 概率论与数理统计 只须将上述概率值按行 ( 列 ) 相加即可得到犡 ( 犢 ) 的边缘分布律 犡 犢 狔 狔 狔犼 狆犻 狓 狆 狆 狆 犼 狆 狓 狆 狆 狆 犼 狆 犻 狓犻 狆犻 狆犻 狆犻犼 狆犻 狆 犼 狆 狆 狆 犼 例 3 5 设 ( 犡, 犢 ) 的分布律为 犢犡 试求关于犡和犢的边缘分布律. 解 由下表 犢犡 3 4 狆 犼 3 4 狆犻 得犡和犢的边缘分布律如下 : 和 犡 3 4 犘犽 犢 3 4 犘犽

51 第 3 章 多维随机变量及其分布 45 例 3 6 设 ( 犡, 犢 ) 服从参数为狀, 狆, 狆 的三项分布, 即 犘 { 犡 = 犻, 狀! 犻犼犢 = 犼 }= 犻! 犼!( 狀 - 犻 - 犼 )! 狆 狆 ( - 狆 - 狆 ) 狀 - 犻 - 犼, 犻 =0,,, 狀, 犼 =0,,, 狀, 犻 + 犼 狀, 其中, 狀是给定的自然数 ;0< 狆 <,0< 狆 <, 狆 + 狆 <. 试求关于犡和犢的边缘分布律. 解 狀 - 犻犘 { 狀! 犻犡 = 犻 }= 犻! 犼!( 狀 - 犻 - 犼 )! 狆 犼 =0 狀! 犻 = 犻!( 狀 - 犻 )! 狆 狀 - 犻 犼 =0 犼 狆 ( - 狆 - 狆 ) 狀 - 犻 - 犼 ( 狀 - 犻 )! 犼犼![( 狀 - 犻 )- 犼 ]! 狆 [( - 狆 ) - 狆 ]( 狀 - 犻 )- 犼 狀! 犻 = 犻!( 狀 - 犻 )! 狆 [( - 狆 ) - 狆 + 狆 ] 狀 - 犻 狀! 犻 = 犻!( 狀 - 犻 )! 狆 ( - 狆 ) 狀 - 犻, 犻 =0,,, 狀, 于是知犡 ~ 犅 ( 狀, 狆 ), 类似地可以得到犢 ~ 犅 ( 狀, 狆 ).. 二维连续型随机变量的边缘分布 二维连续型随机变量 ( 犡, 犢 ) 的密度函数犳 ( 狓, 狔 ), 由于 狓犉犡 ( 狓 )= 犉 ( 狓,+ )= 可知犡是一个连续型随机变量, 且其密度函数为 [ 犳 ( 狓, 狔 )d 狔 ] d 狓, ( 犳犡狓 )= + 犳 ( 狓, 狔 )d 狔. (3.0) 同样, 可知犢是一个连续型随机变量, 且其密度函数为 例 ( 犳犢狔 )= + 犳 ( 狓, 狔 )d 狓. (3.) - 二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 服从分布函数 烄 - (- 狓 ) 4, 0 狓, 狔 0 ( 7+0 狔 +3 狔 ), 狓 >, 狘狔狘 < 犉 ( 狓, 狔 )= 烅 0 ( 7+0 狔 +3 狔 )[- (- 狓 4 )],. 0 狓, 狘狔狘 <, 狓 >, 狔 < 烆 0, 其他 求 :()( 犡, 犢 ) 的边缘分布函数 ;() 犡的概率密度. 解 烄 -(- 狓 ) 4, 0 狓 () ( 犉犡狓 )= 犉 ( 狓,+ )= 烅, 狓 > ; 烆 0, 狓 <0 科学出版社职教技术出版中心

52 46 概率论与数理统计 烄 0 ( 7+0 狔 +3 狔 ), 狔 < ( 犉犢狔 )= 犉 (+, 狔 )= 烅., 狔 > 烆 0, 狔 <- () ( 犳犡狓 )= 犉 犡 ( 狓 )= 4 (- 狓 ) 3, 0 狓 {. 0, 其他例 3 8 设随机变量 ( 犡, 犢 ) 具有下列概率密度犳 ( 狓, 狔 )= 3 狓, 0< 狓,0 狔 狓 {, 0, 其他分别求关于犡和犢的边缘概率密度. 解 狓 烄 3 狓 d 狔, 0< 狓 < ( 犳犡狓 )= 0 = 3 狓, 0< 狓 < 烅 ; 烆 0, 其他 0, 其他烄 ( 犳犢狔 )= 3 狓 d 狓, 0< 狔 < 烄 3 狔 = ( - 狔 ), 0< 狔 < 烅烅. 烆 0, 其他烆 0, 其他我们不加证明地给出下例的结果. 例 3 9 设 ( 犡, 犢 )~ 犖 ( μ, μ,σ,σ, ρ ), 则犡 ~ 犖 ( μ,σ ), 犢 ~ 犖 ( μ,σ ). 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 并且不依赖于参数 ρ, 也即对于给 定的 μ, μ, σ,σ, 不同的 ρ 对应不同的二维正态分布, 但它们却有相同的边缘分布. 这一 事实表明, 仅由关于犡和犢的边缘分布, 一般来说, 不能确定随机变量犡和犢的联合 分布. { 3.5 随机变量的独立性 随机变量的独立性是一个十分重要的概念, 我们将利用两个随机事件相互独立的概 念引出两个随机变量相互独立的概念. 定义 3 5 设犉 ( 狓, 狔 ) 及犉犡 ( 狓 ), 犉犢 ( 狔 ), 分别是二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布函数及边 缘分布函数. 若对于任意实数狓, 狔, 有 即 犘 { 犡 狓, 犢 狔 }= 犘 { 犡 狓 } 犘 { 犢 狔 }, 犉 ( 狓, 狔 )= 犉犡 ( 狓 ) 犉犢 ( 狔 ), (3.) 则称随机变量犡和犢是相互独立的. 在离散随机变量场合, 犡和犢相互独立的充分必要条件是, 对于 ( 犡, 犢 ) 的所有可能 取值 ( 狓犻, 狔犼 ), 有 犘 { 犡 = 狓犻, 犢 = 狔犼 }= 犘 { 犡 = 狓犻 } 犘 { 犢 = 狔犼 }, (3.3)

53 第 3 章 多维随机变量及其分布 47 在连续随机变量场合, 犡和犢相互独立的充分必要条件是, 对于任意实数狓, 狔, 有 犳 ( 狓, 狔 )= ( 犳犡狓 ) ( 犳犢狔 ). (3.4) 判别两个随机变量的独立性, 也可应用以下两个较为方便的定理. 定理 3 设 ( 犡, 犢 ) 为二维离散型随机变量, 其联合分布律为狆犻犼 = 犘 { 犡 = 狓犻, 犢 = }, 狔犼犻, 犼 =,,, 则犡和犢相互独立的充分必要条件是矩阵 ( ) 中任意两行 ( 列 ) 对应元素成比例狆犻犼. 定理 3 设 ( 犡, 犢 ) 为二维连续型随机变量, 其联合密度函数为犳 ( 狓, 狔 ), 则犡和犢相互独立的充分必要条件是, 存在犳 ( 狓 ) 和犳 ( 狔 ), 使得 犳 ( 狓, 狔 )= 犳 ( 狓 ) 犳 ( 狔 ) (- < 狓 <+,- < 狔 <+ ). 建议读者自己完成证明. 例 3 0 设 ( 犡, 犢 ) 的分布律为 犢 犡 3 3 犪 犫 且犡, 犢相互独立, 求犪, 犫. 解由犡, 犢相互独立, 有 ( ) 狆犻犼 = 狆犻 狆 犼. 烄 9 = 9 + 犪 烄犪 = 3 9 从而烅 8 = (, 解得烅. 8 + 犫 ) 犫 = 烆 3 烆 9 例 3 若 ( 犡, 犢 ) 的密度函数为犳 ( 狓, 狔 )= 8 狓狔, 0 狓 狔 {, 0, 其他问犡, 犢是否独立? 解先求出两个边缘密度函数犳犡 ( 狓 )= + 烄犳 ( 狓, 狔 )d 狔 = 8 狓狔 d 狔, 0 狓 烅狓 = 4 狓 (- 狓 ), 0 狓 - {, 烆 0, 其他 0, 其他及狔犳犢 ( 狔 )= + 烄 8 狓狔 d 狓, 0 狔 犳 ( 狓, 狔 )d 狓 = 烅 0 = 4 3 狔, 0 狔 - {. 烆 0, 其他 0, 其他因为犳 ( 狓, 狔 ) ( 犳犡狓 ) ( 犳犢狔 ), 所以犡和犢不独立. 例 3 从 (0,) 中任取两个数分别记为犡和犢.() 求 ( 犡, 犢 ) 的密度函数犳 ( 狓, 狔 ); () 计算概率犘 { 犡 + 犢 <.}. 科学出版社职教技术出版中心

54 48 概率论与数理统计 解 () 由犡和犢独立, 且都服从 (0,) 上均匀分 布, 所以 ( 犡, 犢 ) 的密度函数犳 ( 狓, 狔 )=, 0< 狓 <,0< 狔 < {. 0, 其他 () 从图 3 3 可知 图 3 3 犘 { 犡 + 犢 <.}= 0. 0 d 狓 0d 狔 + 0. d 狓.- 狓 d 狔 =0.+ 狓 )d 狓 0.(.- = = 二维随机变量函数的分布 设 ( 犡, 犢 ) 是一个二维随机变量, 则犣 = 犵 ( 犡, 犢 ) 是 ( 犡, 犢 ) 的函数, 犣是一维随机变量. 现在的问题是如何由 ( 犡, 犢 ) 的分布, 求出犣的分布. 下面将以例子的形式介绍几种方法. 3 6 二维离散型随机变量函数的分布 例 3 3 设 ( 犡, 犢 ) 的分布律为 犡 - 犢 试求 : 犣 = 犡 + 犢, 犣 = 犡 - 犢, 犣 3=max{ 犡, 犢 } 和犣 4=min{ 犡, 犢 } 的分布律. 解将 ( 犡, 犢 ) 及各个函数的取值对应列于同一表中 : 狆犽 4 ( 犡, 犢 ) (-,-) (-,) (-,) (,-) (,) (,) 犣 = 犡 + 犢 犣 = 犡 - 犢 犣 3=max{ 犡, 犢 } - 犣 4=min{ 犡, 犢 } 然后经过合并整理就可得最后结果 : 犣 = 犡 + 犢 狆犽 4 3 4

55 第 3 章 多维随机变量及其分布 49 续表 犣 = 犡 - 犢 狆犽 犣 3=max{ 犡, 犢 } - 狆犽 犣 4=min{ 犡, 犢 } - 狆犽 例 3 4( 泊松分布的可加性 ) 设犡 ~ 犘 (λ), 犢 ~ 犘 (λ), 且犡和犢相互独立, 证明 犣 = 犡 + 犢 ~ 犘 (λ+λ). 犽犽证明犘 { 犣 = 犽 }= 犘 { 犡 = 犻, 犢 = 犽 - 犻 }= 犘 { 犡 = 犻 } 犘 { 犢 = 犽 - 犻 } 犻 =0 犻 =0 犽 = 犻! e-λ 犻 =0 犻 λ = ( λ+λ) 犽 λ 犽 - 犻 ( 犽 - 犻 ) e-λ 犽犽! e- (λ +λ ) = ( 犽 λ+λ) 犽! e- (λ +λ ) λ 犽! 犻 =0 犻!( 犽 - 犻 )! λ 犻 λ ( λ+λ )( λ+λ ) ( + ) λ 犽 λ+λ λ+λ = ( 犽 λ+λ) 犽! e- (λ +λ ), 犽 =0,,,. 这表明犡 + 犢 ~ 犘 (λ+λ), 结论得证. 注意犡 - 犢不服从泊松分布. 3 6 二维连续型随机变量函数的分布 例 3 5 设连续型随机变量犡的分布函数和密度函数分别为犉犡 ( 狓 ) 和犳犡 ( 狓 ), 连续 型随机变量犢的分布函数和密度函数分别为犉犢 ( 狔 ) 和犳犢 ( 狔 ), 且犡和犢相互独立. 试求 犝 =max{ 犡, 犢 } 及犞 =min{ 犡, 犢 } 的密度函数犳犝 ( 狌 ) 及犳犞 ( 狏 ). 解犉犝 ( 狌 )= 犘 { 犝 狌 }= 犘 {max( 犡, 犢 ) 狌 }= 犘 { 犡 狌, 犢 狌 } = 犘 { 犡 狌 } 犘 { 犢 狌 }= 犉犡 ( 狌 ) 犉犢 ( 狌 ). (3.5) 于是在犉犝 ( 狌 ) 的可导点处有 犳犝 ( 狌 )= 犉 犝 ( 狌 )= 犉 犡 ( 狌 ) 犉犢 ( 狌 )+ 犉犡 ( 狌 ) 犉 犢 ( 狌 ) = 犳犡 ( 狌 ) 犉犢 ( 狌 )+ 犉犡 ( 狌 ) 犳犢 ( 狌 ). (3.6) 犉犞 ( 狏 )= 犘 { 犞 狏 }= 犘 {min{ 犡, 犢 } 狏 }=- 犘 {min( 犡, 犢 )> 狏 } 于是在犉犞 ( 狏 ) 的可导点处有 =- 犘 { 犡 > 狏, 犢 > 狏 }=- 犘 { 犡 > 狏 } 犘 { 犢 > 狏 } =- [- 犘 { 犡 狏 }][- 犘 { 犢 狏 }] =- [- 犉犡 ( 狏 )][- 犉犢 ( 狏 )]. (3.7) 犳犞 ( 狏 )= 犉 犞 ( 狏 )=- [- 犉犡 ( 狏 )] [- 犉犢 ( 狏 )]- [- 犉犡 ( 狏 )][- 犉犢 ( 狏 )] 犽 - 犻 科学出版社职教技术出版中心

56 50 概率论与数理统计 = 犳犡 ( 狏 )[- 犉犢 ( 狏 )]+ [- 犉犡 ( 狏 )] 犳犢 ( 狏 ). (3.8) 若犡和犢独立同分布, 分布函数和密度函数分别为犉 ( ) 和犳 ( ), 则在犉犝 ( 狌 ) 的可导点 处及犉犞 ( 狏 ) 的可导点处, 有 及 例 3 6 犳犝 ( 狌 )= 犳 ( 狌 ) 犉 ( 狌 ), (3.9) 犳犞 ( 狏 )= 犳 ( 狏 )[- 犉 ( 狏 )]. (3.0) 随机变量犡与犢的联合概率密度为犳 ( 狓, 狔 )= e-3 狓 -4 狔, 狓 >0, 狔 >0 {, 0, 其他 求 :() 犣 = 犡 + 犢 ;() 犕 =max{ 犡, 犢 };(3) 犖 =min{ 犡, 犢 } 的概率密度. 所以 所以 解 () 当犣 >0 时, () 当狕 >0 时, 犉犣 ( 狕 )= 犘 { 犣 狕 }= 犘 { 犡 + 犢 狕 } 0 ( ) 狕狕 - 狓 = e -3 狓 -4 狔 d狔 d 狓 =-4e -3 狕 +3e -4 狕, 0 ( 犉犣狕 )= -4e-3 狕 +3e -4 狕, 狕 >0 { 0, 狕 0, ( 犳犣狕 )= e-3 狕 -e -4 狕, 狕 >0 { 0, 狕 0. 犉 max ( 狕 )= 犘 { 犕 狕 }= 犘 {max{ 犡, 犢 } 狕 }= 犘 { 犡 狕, 犢 狕 } (3) 当狕 >0 时, 狕 = =e -7 狕 狕 e 0-3 狓 -4 狔 ( d ) 0 狓 d 狔 -e -3 狕 -e -4 狕 + 犳 ( max 狕 )= -7e-7 狕 +3e -3 狕 +4e -4 狕, 狕 { >0 0, 狕 0. 犉 min ( 狕 )= 犘 {min{ 犡, 犢 } 狕 }=- 犘 {min( 犡, 犢 ) 狕 } =- 犘 { 犡 狕, 犢 狕 } =- + e -3 狓 -4 狔 ( d狓 ) d 狔 =-e -7 狕, 狕 + 狕 犳 ( min 狕 )= 7e-7 狕, 狕 >0 { 0, 狕 0. 例 3 7 设随机变量犡, 犢相互独立, 且都服从分布犖 (0,σ ), 求犣 = 犡 槡 + 犢的分

57 第 3 章 多维随机变量及其分布 5 布函数和分布密度函数. 解由于犡, 犢相互独立, 且都服从分布犖 (0,σ ), 即 所以 ( 犡, 犢 ) 的概率密度函数为 当犣 >0 时, 犣的分布函数为 狓 犳犡 ( 狓 )= 槡 πσ e- σ, - < 狓 <+, 狔 犳犢 ( 狔 )= 槡 πσ e- σ, - < 狔 <+, 犳 ( 狓, 狔 )= 犳犡 ( 狓 ) 犳犢 ( 狔 )= e - 狓 + 狔 πσ σ. 犉犣 ( 狕 )= 犘 { 犣 狕 }= 犘 { 槡犡 + 犢 狕 } = 槡 作极坐标变换狓 = 狉 cosθ, 狔 = 狉 sinθ, 得 狓 + 狔 狕 犉犣 ( 狕 )= πσ π e - 狓 + 狔 πσ σ d 狓 d 狔. 狕 0 0 e - 当犣 0 时, 犣的分布函数为犉犣 ( 狕 )=0. 于是 狉 σ 狉 d 狉 =-e - 烄犉犣 ( 狕 )= -e- σ, 狕烅 >0, 烆 0, 狕 0 由此可得犣的分布密度函数为 狕 狕 σ. 狕 烄狕 - 犲犳犣 ( 狕 )= σ σ, 狕 >0 烅. 烆 0, 狕 0 该分布是参数为 σ(σ>0) 的瑞利 (Rayleigh) 分布. 例 3 8 设随机变量犡, 犢相互独立, 且都服从标准正态分布犖 (0,), 求犣 = 犡 + 犢的分布密度函数. 解由于犡, 犢相互独立, 且都服从标准正态分布犖 (0,), 即 所以 ( 犡, 犢 ) 的概率密度函数为 当犣 >0 时, 犣的分布函数为 狓 犳犡 ( 狓 )= 槡 π e-, 犳犢 ( 狔 )= 槡 π e- 犳 ( 狓, 狔 )= 犳犡 ( 狓 ) 犳犢 ( 狔 )= π e- 科学出版社职教技术出版中心 狔, 狓 + 狔.

58 5 概率论与数理统计 犉犣 ( 狕 )= 犘 { 犣 狕 }= 犘 { 犡 + 犢 狕 } = 作极坐标变换狓 = 狉 cosθ, 狔 = 狉 sinθ, 得 π e- 狓 + 狔 狕 犉犣 ( 狕 )= π π 槡狕 0 0 e - 当犣 0 时, 犣的分布函数为犉犣 ( 狕 )=0. 于是 狓 + 狔 d 狓 d 狔. 狉 狉 d 狉 =-e - 狕烄犉犣 ( 狕 )= -e-, 狕 >0 烅烆 0, 狕 0 由此可得犣的分布密度函数为 狕. 狕烄 犳犣 ( 狕 )= e-, 狕 >0 烅. 烆 0, 狕 0 此时, 称犣 = 犡 + 犢服从自由度为 的 χ 分布, 记为犣 ~χ (). 3.7 条件分布 二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 之间主要表现为独立与相依两类关系. 由于在许多问题中有关的随机变量取值往往是彼此有影响的, 这就使得条件分布成为研究变量之间相依关系的一个有力工具. 3 7 离散型随机变量的条件分布 设二维离散随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布律为狆犻犼 = 犘 { 犡 = 狓犻, 犢 = }, 狔犼犻, 犼 =,,. 仿照条件概率的定义, 给出离散型随机变量的条件分布列. 定义 3 6 对一切使犘 { 犢 = 狔犼 }= 狆 犼 >0, 称的狔犼犘 { 犡 = 狓犻, 犢 = } 狔犼狆犻狘犼 = 犘 { 犡 = 狓犻狘犢 = } 狔犼犘 { 犢 = } = 狆犻犼, 犻 =,, (3.) 狔犼 为给定犢 = 狔犼条件下犡的条件分布律. 同理, 对一切使犘 { 犡 = 狓犻 }= 狆犻 >0 的狓犻, 称 犘 { 犡 = 狓犻, 犢 = } 狔犼狆犼狘犻 = 犘 { 犢 = 狔犼狘犡 = 狓犻 } 犘 { 犡 = 狓犻 } = 为给定犡 = 狓犻条件下犢的条件分布律. 狆 犼 狆犻犼 狆犻 有了条件分布律, 就可以给出离散型随机变量的条件分布函数. 定义 3 7 给定犢 = 狔犼条件下犡的条件分布函数为, 犼 =,, (3.)

59 第 3 章 多维随机变量及其分布 53 犉 ( 狓狘犢 = 狔犼 )= 犘 { 犡 = 狓犻狘犢 = 狔犼 }=, (3.3) 狆犻狘犼狓犻 狓狓 狓犻 给定犢 = 狔犼条件下犡的条件分布函数为 例 3 9 犉 ( 狔狘犡 = 狓犻 )= { 犢 = 狔犼犻狘犡 = 狓 }= 狔 狔犘狔犼 设二维离散随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布律为 狔犼 狆犼狘犻. (3.4) 犢犡 3 狆犻 狆 犼 用第一行各元素分别除以 0.6, 就可得给定犡 = 条件下, 犢的条件分布为 犢 犡 = 3 狆犽 6 用第二行各元素分别除以 0.4, 就可得给定犡 = 条件下, 犢的条件分布为 3 犢 犡 = 3 狆犽 用第一列各元素分别除以 0.3, 就可得给定犢 = 条件下, 犡的条件分布为 犡 犢 = 狆犽 用第二列各元素分别除以 0.35, 就可得给定犢 = 条件下, 犡的条件分布为 犡 犢 = 狆犽 用第三列各元素分别除以 0.35, 就可得给定犢 =3 条件下, 犡的条件分布为 科学出版社职教技术出版中心 犡 犢 =3 狆犽 连续型随机变量的条件分布 设二维连续型随机变量 ( 犡, 犢 ) 的密度函数为犳 ( 狓, 狔 ), 边缘密度函数为犳犡 ( 狓 ),

60 54 概率论与数理统计 ( 犳犢狔 ). 定义连续型随机变量的条件分布如下. 定义 3 8 ( 对一切使犳犢狔 )>0 的狔, 给定犢 = 狔的条件下犡的条件分布函数和条件 密度函数分别为 狓犉 ( 犳 ( 狌, 狔 ) 狓狘狔 )= - ( 犳犢狔 ) d 狌, (3.5) 犳 ( 犳 ( 狓, 狔 ) 狓狘狔 )= ( 犳犢狔 ). (3.6) 同理, 对一切使犳犡 ( 狓 )>0 的狓, 给定犡 = 狓的条件下犢的条件分布函数和条件密度 函数分别为 狔犉 ( 犳 ( 狓, 狏 ) 狔狘狓 )= - ( 犳犡狓 ) d 狏, (3.7) 犳 ( 犳 ( 狓, 狔 ) 狔狘狓 )= ( 犳犡狓 ). (3.8) 例 3 0 设 ( 犡, 犢 )~ 犖 ( μ, μ,σ,σ, ρ ), 由边缘分布知犡服从正态分布犖 ( μ,σ ), 犢服从正态分布犖 ( μ,σ ). 还可以证明, 在给定犢 = 狔条件下犡的条件分布仍为正态分布犖 ( μ3,σ 3), 其中 μ3 =μ+ρ σ ( 狔 ), -μ σ 3 =σ (-ρ ). σ 同理, 在给定犡 = 狓条件下犢的条件分布仍为正态分布犖 ( μ4,σ 4), 其中 μ4 =μ+ρ σ ( 狓 ), -μ σ 4 =σ (-ρ ). σ 由此也可以看出, 二维正态分布的边缘分布和条件分布都是一维正态分布, 这是正态 分布的一个重要性质. 习题三. 设一个袋中有 个黑球,3 个白球, 从中任意依次取出 个球, 每次取出后不放回, 令犡表示第一次取出的白球个数, 犢表示第二次取出的白球个数, 求 ( 犡, 犢 ) 的分布律.. 把 3 个球随机地放入 3 个盒子中, 每个球放入各个盒子的可能性是相同的, 犡及 犢分别表示投入第一个和第二个盒子中的球的个数, 求 ( 犡, 犢 ) 的分布律. 3. 将一枚均匀硬币抛 3 次, 令犡表示前两次抛掷中正面出现的次数, 犢表示三次抛掷中正面出现的总次数, 求 ( 犡, 犢 ) 的分布律. 4. 设 ( 犡, 犢 ) 的分布函数为 狔 ( )( 犆 +arctan ) 犉 ( 狓, 狓狔 )= 犃犅 +arctan 求 :() 常数犃, 犅, 犆 ;()( 犡, 犢 ) 的概率密度犳 ( 狓, 狔 ). ( - < 狓 <+,- < 狔 <+ ),

61 第 3 章 多维随机变量及其分布 设二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 具有密度函数 犳 ( 狓, 狔 )= { } 3 犽狓狔, 0 狓,0 狔, 0{ 其他 求 :() 常数犽 ;() 犘犢 ;( 3) 犘 { 犢 犡 }. 6. 设二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 具有密度函数犪 e - (3 狓 + 狔 ), 狓犳 ( 狓, >0, 狔 >0 狔 )= {. 0, 其他 求 :() 常数犪 ;() 分布函数犉 ( 狓, 狔 );(3) 犘 { 犡 + 犢 <}. 7. 求 :() 题 中的随机变量 ( 犡, 犢 ) 关于犡的边缘分布律 ;() 题 3 中的随机变量 ( 犡, 犢 ) 关于犢的边缘分布律. 8. 袋中有单色球 个, 双色球 个, 三色球 3 个, 从中作不放回抽取两次, 每次任取一球, 以犡, 犢分别表示第一 二次取出的球的颜色的种数, 试求 ( 犡, 犢 ) 的边缘分布律. 9. 已知二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的概率密度函数为犳 ( 狓, 狔 )= 6 狓狔, 0 狓,0 狔 {. 0, 其他 求 :() 犘 { 犢 犡 };()( 犡, 犢 ) ( 的边缘密度函数犳犡狓 ) ( 和犳犢狔 ). 0. 设二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的密度函数犳 ( 狓, 狔 )= 3e-( 狓 + 狔 ), 0< 狓 < 狔 <+ {, 0, 其他 试求关于犡 犢的边缘密度函数犳犡 ( 狓 ) 与犳犢 ( 狔 ).. 设二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布律如下 犡 犢 求 :()α, β 取何值时犡与犢相互独立?()( 犡, 犢 ) 关于犢的边缘分布律.. 二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 具有密度函数 烄 犳 ( 狓, 狔 )= 4π, 狓 + 狔 4 烅, 烆 0, 其他求 :() ( 边缘密度函数犳犡狓 ) ( 和犳犢狔 );() 犡与犢是否相互独立? 3. 设随机变量犡与犢相互独立, 其密度函数分别为 9 α 科学出版社职教技术出版中心 8 β

62 56 概率论与数理统计 烄 ( 犳犡狓 )=, 0 狓 烅, ( 犳犢狔 )= e- 狔, 狔 >0 { 烆 0, 其他 0, 狔 0, 求 :() 犡和犢的联合密度函数犳 ( 狓, 狔 );() 犘 { 犡 < 犢 }. 4. 已知二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的概率密度函数为烄 狓狔, 狓 狔 犳 ( 狓, 狔 )= 烅 4. 烆 0, 其他求 :() 犘 { 犢 < 犡 };()( 犡, 犢 ) ( 的边缘密度函数犳犡狓 ), ( 犳犢狔 ), 判断犡, 犢是否独立? 5. 设二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 的分布律为 犡 犢 布律. 求 :() 犣 = 犡 - 犢的分布律 ;() 犣 =max{ 犡, 犢 } 的分布律 ;(3) 犣 3=min{ 犡, 犢 } 的分 6. 设随机变量犡和犢的分布律分别为 犡 0 犢 0 狆犽 狆犽 已知犘 { 犡犢 =0}=, 求 :()( 犡, 犢 ) 的分布律 ;() 犣 =max{ 犡, 犢 } 的分布律. 7. 随机变量犡, 犡,, 犡狀相互独立, 同服从均匀分布犝 (0,θ), 求 的密度函数. 犕 = max{ 犡, 犡,, 犡狀 } 8. 设随机变量犡, 犢独立同分布, 其共同的密度函数为犳 ( 狓 )= λe-λ 狓, 狓 >0 { 0, 狓 0. 求 :() 犝 =max{ 犡, 犢 } 的密度函数 ;() 犞 =min{ 犡, 犢 } 的密度函数. 9. 设随机变量犡和犢相互独立, 同服从参数为 θ= 的指数分布, 犡 + 犢求犣 = 的密 度函数. 0. 设随机变量犡和犢相互独立, 其密度函数分布为烄 ( 犳犡狓 )=, 0 狓 烅, ( 犳犢狔 )= λe-λ 狔, 狔 >0 { 烆 0, 其他 0, 狔 0,

63 第 3 章 多维随机变量及其分布 57 求犣 = 犡 + 犢的密度函数.. 以犡记某医院一天出生婴儿的个数, 以犢表示其中男婴的个数. 设 ( 犡, 犢 ) 的联合分布律为 e -4 犘 { 犡 = 犻, 犢 = 犼 }= ( 犼犻 7.4) (6.86) - 犼犼!( 犻 - 犼 )!, 犼 =0,,,, 犻 =0,,,. 求犡 =0 时犢的条件分布律.. 设二维随机变量 ( 犡, 犢 ) 具有密度函数烄狓 狓狔 + 犳 ( 狓, 狔 )= 3, 0 狓,0 狔 烅, 烆 0, 其他求 :() 条件密度函数犳 ( 狓 狔 );() 犘犢 { 犡 }. 科学出版社职教技术出版中心

64 第 4 章 随机变量的数字特征 随机变量的分布函数完整地刻画了随机变量的概率性质, 描述了随机变量统计规律性. 对一般的随机变量, 要完全确定它的精确分布不是容易的事. 不过在许多实际问题中, 并不需要知道它的分布函数, 只需要知道随机变量的特征. 所谓随机变量的数字特征, 是指联系于它的分布函数的某些数, 如平均值, 离散程度等. 本章介绍随机变量的常用数字特征 : 数学期望 方差 相关系数 矩等. 4. 随机变量的数学期望 4 数学期望的定义 如下 : 例 4 甲 乙两射击手击中目标的环数用随机变量犡 犢表示, 它们的分布分别 犡 狆犽 犢 狆犽 试比较甲 乙两射击手射击技术的优劣. 解假设甲 乙两射击手分别射击犖次, 则射击手甲击中的总环数为 平均环数为 射击手乙击中的总环数为 平均环数为 犖 犖 犖 0.6 0, 犖 犖 犖 =9.3; 犖 犖 犖 犖 0.5 0, 犖 犖 犖 =9.4. 犖 由上述平均环数可知, 射击手乙的射击技术优于射击手甲. 从例 4. 可以看出, 在大量次独立重复试验中, 离散型随机变量的平均值总是稳定在 一个常数附近, 这个常数就是将分布列表中各组对应数据相乘所得乘积的总和, 据此, 我 们给出随机变量数学期望的定义. 定义 4 设离散型随机变量犡的分布律为犘 { 犡 = 狓犻 }= 狆犻, 犻 =,.