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仿习靳
5 years ago
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1 第二章随机变量第一节随机变量

2 一随机变量概念的产生在实际问题中, 随机试验的结果可以用数量来表示, 由此就产生了随机变量的概念.

3 1 有些试验结果本身与数值有关 ( 本身就是一个数. 例如, 掷一颗骰子面上出现的点数 ; 每天从北京站下火车的人数 ; 昆虫的产卵数 ; 七月份郑州的最高温度 ;

4 在有些试验中, 试验结果看来与数值无关, 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就是说, 把试验结果数值化. 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样, 二者建立了一种对应关系.

5 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数. e. X(e Ω R 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗?

6 (1 它随试验结果的不同而取不同的值, 因而在试验之前只知道它可能取值的范围, 而不能预先肯定它将取哪个值. ( 由于试验结果的出现具有一定的概率, 于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在样本空间上的实值函数为简记为 r.v.(random variable

7 随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊字母 ζ,η 等表示而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母,y,z 等.

8 例如, 从某一学校随机选一学生, 测量他的身高. 我们可以把可能的身高看作随机变量 X, 然后我们可以提出关于 X 的各种问题. 如 P(X>1.7? P(X 1.5? P(1.5<X<1.7?

9 二引入随机变量的意义有了随机变量, 随机试验中的各种事件, 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如 : 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用 X 表示, 它是一个随机变量. 事件 { 收到不少于 1 次呼叫 } { X 1} { 没有收到呼叫 } {X 0}

10 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后, 对随机现象统计规律的研究, 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究. 事件及事件概率随机变量及其取值规律

11 四随机变量的分类通常分为两类 : 随机变量离散型随机变量如取到次品的个数, 收到的呼叫数等. 连续型随机变量例如, 电视机的寿命, 实际中常遇到的测量误差等. 所有取值可以逐个一一列举全部可能取值不仅无穷多, 而且还不能一一列举, 而是充满一个区间.

12 随机变量离散型随机变量连续型随机变量这两种类型的随机变量因为都是随机变量, 自然有很多相同或相似之处 ; 但因其取值方式不同, 又有其各自的特点. 学习时请注意它们各自的特点和描述方法.

13 第二章第二节离散型随机变量设 X 是一个离散型随机变量, 它可能取的值是 1,,. 为了描述随机变量 X, 我们不仅需要知道随机变量 X 的取值, 而且还应知道 X 取每个值的概率.

14 例 1 从中任取 3 个球且这样, 我们就掌握了 X 这个随机变量取值的概率规律. 取到的白球数 X 是一个随机变量 X 可能取的值是 0,1, 取每个值的概率为 P 3 i 1 P ( X i 1 3 C ( X 0 3 C 3 5 C C P( X 1 3 C C C P( X 3 C

15 一离散型随机变量概率分布的定义定义 1: 设 k (k1,, 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值, 称 p k 其中 (k1,, 满足 : (1 p 0, k k1,, ( pk 1 k P ( X k pk, k1,, 为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律, 有的书上也称概率函数. 用这两条性质判断一个函数是否是概率分布

16 例. 设随机变量 X 的概率分布为 : k λ P( X k a, k! k 0,1,,, λ > 0 试确定常数 a. 解 : 依据概率分布的性质 : P(X k 0, P( X k 1 k 从中解得注 λ a e : e λ k! 0 k λ 欲使上述函数为概率分布应有 k a k 0 0 k λ a k! ae λ 1

17 二表示方法再看例 1 (1 列表法 : X~ 任取 3 个球 ( 公式法 3k C C P( X k 3 C k 3 k 5, 0,1, X 为取到的白球数 X 可能取的值是 0,1,

18 三举例例 3. 某篮球运动员投中篮圈概率是 0.9, 求他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布. 解 : X 可取 0 1 为值 P(X 0(0.1( P(X 1 (0.9( P(X (0.9( 且 P(X 0 + P(X 1 + P(X 1

19 常常表示为 : X ~ 这就是 X 的概率分布.

20 例 4 如上图所示. 电子线路中装有两个并联的继电器. 假设这两个继电器是否接通具有随机性, 且彼此独立. 已知每个电器接通的概率为 0.8, 记 X 为线路中接通的继电器的个数. 求 :(1X 的分布律. ( 线路接通的概率.

21 解 : (1. 记 A i { 第 i 个继电器接通 },i1,. 两个继电器是否接通是相互独立的, A 1 和 A 相互独立, 另外 P(A 1 P(A 0.8. 下面求 X 的分布律. 首先 :X 可能取 0,1,, 三个值. P{X0}P{ 表示两个继电器都没接通 } P( A A P( A P( A

22 ( ( ( ( ( ( ( (( A P A P A P A P A A P A A P A A A A P P{X1}P{ 恰有一个继电器接通 } ( ( ( 1 1 A P A P A A P P{X}P{ 两个继电器都接通 },

23 , X 的分布律为 X 0 1 p k 是并联电路 P( 线路接通 P( 只要一个继电器接通 P{X 1} P{X1}+P{X}

24 ( 二常见的离散型随机变量的概率分布 (I 两点分布 l 来源设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验, 用 Ω{ω 1, ω } 表示其样本空间. P({ω 1 }p, P({ω }1-p X(ω 1, ω ω 1 0, ω ω

25 例 5 00 件产品中, 有 196 件是正品,4 件是次品, 今从中随机地抽取一件, 若规定 X(ω 1, 取到合格品 0, 取到不合格品则 P{X1}196/000.98, P{X0}4/000.0 故 X 服从参数为 0.98 的两点分布. 即 X B(1,0.98.

26 (II 贝努里概型和二项分布例 6 设生男孩的概率为 p, 生女孩的概率为 q1-p, 令 X 表示随机抽查出生的 4 个婴儿中男孩的个数. 我们来求 X 的概率分布.

27 X 表示随机抽查的 4 个婴儿中男孩的个数, 生男孩的概率为 p. 男女 X0 X 1 X X 3 X 4 X 可取值 0,1,,3,4. X 的概率分布是 : k P{ X k 4k k} C p (1 p, k 01, 4,,3,4

28 例 7 将一枚均匀骰子抛掷 3 次, 令 X 表示 3 次中出现 4 点的次数不难求得, X 的概率分布是 : P{ X k} C 1 ( 6 5 ( 6 k k 3k, k 3 01,,,3

29 一般地, 设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果 :A 或 A, 或者形象地把两个互逆结果叫做成功和失败. 掷骰子 : 掷出 4 点, 未掷出 4 点新生儿 : 是男孩, 是女孩抽验产品 : 是正品, 是次品再设我们重复地进行 n 次独立试验 ( 重复是指这次试验中各次试验条件相同

30 每次试验成功的概率都是 p, 失败的概率都是 q1-p. 这样的 n 次独立重复试验称作 n 重贝努里试验, 简称贝努里试验或贝努里概型. 用 X 表示 n 重贝努里试验中事件 A( 成功出现的次数, 则 k k nk P( X k C p (1 p, k 0,1, n n, 称 r.v.x 服从参数为 n 和 p 的二项分布, 记作 X~B(n,p

31 注 : 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求, 但有下述要求 : (1 每次试验条件相同 ; ( 每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 A, 且 P(Ap, P( A 1 p; (3 各次试验相互独立. 二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现成功次数 X 的概率分布.

32 例 8 某类灯泡使用时数在 000 小时以上视为正品. 已知有一大批这类的灯泡, 其次品率是 0.. 随机抽出 0 只灯泡做寿命试验, 求这 0 只灯泡中恰有 3 只是次品的概率. 解 : 设 X 为 0 只灯泡中次品的个数, 则. X ~ B (0, 0., P( X k C k 0 (0. k (0.8 k 0,1,...,0. 0k,

33 ¹ 说明下面我们研究二项分布 B(n,p 和两点分布 B(1,p 之间的一个重要关系. A 设试验 E 只有两个结果 :A 和. 记 pp(a, 则 P( 1- p,0<p<1, A 我们把试验 E 在相同条件下, 相互独立地进行 n 次, 且记 X 为 n 次独立试验中结果 A 出现的次数. 把描述第 i 次实验的随机变量记作 X i 则 X i B(1,p, 且 X 1,X,,X n 也是相互独立的 ( 随机变量相互独立的严格定义第三章再讲. 则有 X X 1 +X + +X n

34 一泊松分布的定义及图形特点 ( ~, 0 ;,, 01, ;! } { ; ( λ λ λ λ λ λ P X X k k e k X P k P k 的泊松分布是服从参数为称 > 设随机变量 X 所有可能取的值为 0, 1,,, 且概率分布为 : (III 泊松分布

35 易见 P{ X k} 0 λ k λ e 1 k 0 k! k 0,1,, 例 9 某一无线寻呼台, 每分钟收到寻呼的次数 X 服从参数 λ3 的泊松分布. 求 :(1 一分钟内恰好收到 3 次寻的概率. ( 一分钟内收到至 5 次寻呼的概率. 解 : (1 P{X3}p(3;3(3 3 /3!e ( P{ X 5} P{X}+P{X3}+P{X4}+P{X5} [(3 /!+(3 3 /3!+(3 4 /4!+(3 5 /5!]e

36 例 10 某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数为 0.8 的泊松分布. 求 : 该城市一天内发生 3 次以上火灾的概率. 解 : P{X 3}1- P{X<3} 1-[P{X0}+ P{X1}+P{X}] 1-[(0.8 0 /0!+(0.8 1 /1!+(0.8 /!]e

37 泊松分布的图形特点 : X~P( λ

38 二二项分布与泊松分布历史上, 泊松分布是作为二项分布的近似, 于 1837 年由法国数学家泊松引入的. l 命题对于二项分布 B(n,p, 当 n 充分大,p 又很小时, 则对任意固定的非负整数 k, 有近似公式 C λ k k k nk n p (1 p e λ,λ k! np

39 . for fied as 3.(1 ; for fied as.( ; (1! 1 ( 1 ( (1 1. : Proof,! (1 k n e n p n j n p j n n p n k p k n p n np p p C np e k p p C k n k n k n k k n k k n k k n + λ λ λ λ λ

40 我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件. 如地震火山爆发特大洪水意外事故等等由泊松定理,n 重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

41 例 11 某出租汽车公司共有出租车 400 辆, 设每天每辆出租车出现故障的概率为 0.0, 求 : 一天内没有出租车出现故障的概率. 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验 E. 因为每辆车是否出现故障与其它车无关, 于是观察 400 辆出租车是否出现故障就是做 400 次独立试验, 设 X 表示一天内出现故障的出租车数, 则 : X B(400, 0.0. 令 λnp 于是 : P{ 一天内没有出租车出现故障 }P{X0} B(0;400,0.0 (8 0 /0!e 解 :

42 这一讲, 我们介绍了离散型随机变量及其概率分布. 对于离散型随机变量, 如果知道了它的概率分布, 也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上, 我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定. 两点分布二项分布泊松分布及其关系

43 第二章第三节连续型随机变量

44 第二章第三节连续型随机变量连续型随机变量 X 所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓概率密度函数的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.

45 ( 一概率密度函数 (I 直方图 (II 连续型 r.v. 及其概率密度函数的定义对于随机变量 X, 如果存在非负可积函数 f(, (, +, 使得对任意 a, 有 b P ( a X b f ( d 则称 X 为连续型 r.v., 称 f( 为 X 的概率密度函数, 简称为概率密度或密度. a b

46 (III 概率密度函数的性质 1 o f ( 0 o f ( d 1 这两条性质是判定一个函数 f( 是否为某 r.vx 的概率密度函数的充要条件. f ( 面积为 1 o

47 3. 对 f( 的进一步理解 : 若是 f( 的连续点, 则 : lim 0 P( < X + + lim 0 f( f ( t dt 故 X 的密度 f( 在这一点的值, 恰好是 X 落在区间上的概率与区间长度之比的极限. 这里, 如果把概率理解为质量, f ( 相当于线密度. (, + ]

48 f ( o 要注意的是, 密度函数 f ( 在某点处 a 的高度, 并不反映 X 取值的概率. 但是, 这个高度越大, 则 X 取 a 附近的值的概率就越大. 也可以说, 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.

49 若不计高阶无穷小, 有 : P{ < X + } f ( 它表示随机变量 X 取值于于. f ( 的概率近似等 (, + ] f ( 在连续型 r.v 理论中所起的作用与 P X k p k ( 在离散型 r.v 理论中所起的作用相类似.

50 4. 连续型 r.v 取任一指定值的概率为 0. 即 : P( X a 0, a 为任一指定值这是因为 P( X a lim 0 P( a X < a + lim 0 a + a f ( d 0

51 由此得, 1 对连续型 r.v X, 有 P( a X b P( a < X b P ( a < X < b 由 P(Xa0 可推知 P ( a X < b P { a} f ( d P( X a 1 ( X R 而 {Xa} 并非不可能事件, { X R { a }} 并非必然事件可见, 由 P(A0, 不能推出由 P(B1, 不能推出 B A φ Ω

52 ( 二随机变量的分布函数 l 定义设 X(ω 是一个随机变量. 称函数 F(: P{X },- << 为随机变量 X 的分布函数. l 分布函数的性质 (1 a<b, 总有 F(a F(b( 单调非减性 (F( 是一个右连续的函数 (3 R 1, 总有 0 F( 1( 有界性, 且 lim F( 0,lim F( 1

53 证明 : 仅证 (1 注意 {a<x b}{x b} {X>a} {X b}-{x a}, 而 {X a} {X b}. P{a<X b} P{X b}- P{X a} F(b- F(a. 又 P{a<X b} 0, F(a F(b. 上述证明中我们得到一个重要公式 : P{a<X b}f(b- F(a. 它表明随机变量落在区间 (a,b] 上的概率可以通过它的分布函数来计算.

54 设离散型随机变量 X 的分布律为 p k P{X k }, k1,,, 则 X 的分布函数为离散型随机变量的分布函数 { } k k X P X P F } { ( { } k k k k p X P F (

55 分布函数 F( 是一个右连续的函数, 在 k (k1, 处有跳跃值 p k P{X k }, 如下图所示

56 F( 0 < X< X< 1 X

57 连续型 r.v. 的分布函数若 X 是连续型 r.v., X f (, ~ 则 F( P(X 即分布函数是密度函数的可变上限的定积分. f ( t dt 由上式可得, 在 f ( 的连续点, df( d f (

58 下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数. 例设 r.v X 的密度函数为 f ( 1, 1 1 f ( π 求 F(. 0, 其它解 : F( P(X f ( t dt

59 对 < -1,F( 0 + dt t dt F ( π 1 arcsin π π 1 1, 对对 >1, F ( 1

60 即 F( 0, π 1, arcsin π + 1, < 1 1 > 1 1

61 ( 三常见的连续型随机变量正态分布均匀分布指数分布

62 一正态分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 德莫佛 (De Moivre 最早发现了二项分布的一个近似公式, 这一公式被认为是正态分布的首次露面. 德莫佛正态分布在十九世纪前叶由高斯 (Gauss 加以推广, 所以通常称为高斯分布.

63 高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线

64 (I 正态分布的定义若 r.v. X 的概率密度为 f ( σ ( µ 1 σ e π, < < 其中 µ 和都是常数 σ, 任意, >0, 则称 X 服从参数为和的正态分布. σ 记作 X ~ N µ σ µ (Normal ( µ, σ f ( 所确定的曲线叫作正态曲线.

65 (II 正态分布 N ( µ, σ 的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线. µ 特点是两头小, 中间大, 左右对称.

66 正态分布 N( µ, σ 的图形特点决定了图形的中心位置, 决定了图形中峰的陡峭程度. µ σ

67 f ( σ ( µ 1 σ e π, < < 令 μ+c, μ-c (c>0, 分别代入 f (, 可得 f (μ+cf (μ-c 且 f (μ+c f (μ, f (μ-c f (μ 故 f( 以 μ 为对称轴, 并在 μ 处达到最大值 : f ( µ 1 πσ

68 f ( σ ( µ 1 σ e π, < < 当 ± 时,f( 0, 这说明曲线 f( 向左右伸展时, 越来越贴近轴即 f ( 以轴为渐近线

69 f ( σ ( µ 1 σ e π, < < 用求导的方法可以证明, μ ± σ 为 f ( 的两个拐点的横坐标

70 σ µ σ µ π σ σ µ π σ µ π σ π σ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ ± < < e e e f e f e f 0 ( 1 ( 1 ''( ( 1 '(, 1 ( 3 ( ( ( 3 ( 3 (

71 实例年降雨量问题, 我们用上海 99 年年降雨量的数据画出了频率直方图从直方图, 我们可以初步看出, 年降雨量近似服从正态分布

72 下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图红线是拟合的正态密度曲线可见, 某大学大学生的身高应服从正态分布

73 人的身高高低不等, 但中等身材的占大多数, 特高和特矮的只是少数, 而且较高和较矮的人数大致相近, 这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点

74 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外, 在正常条件下各种产品的质量指标, 如零件的尺寸 ; 纤维的强度和张力 ; 农作物的产量, 小麦的穗长株高 ; 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差 ; 信号噪声等等, 都服从或近似服从正态分布.

75 (III 设 X~ N( µ,, σ F( ( tµ 1 σ e σ π X 的分布函数是 dt, < <

76 (IV 标准正态分布 0, σ 1 µ 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用和表示 : ϕ ( 1 e π t 1 Φ( e ϕ ( π, ϕ ( Φ( < dt < Φ(

77 标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 定理 1 它的依据是下面的定理 : 设 X ~ N( µ, σ µ X σ, 则 ~N(0,1 根据定理 1, 只要将标准正态分布的分布函数制成表, 就可以解决一般正态分布的概率计算问题. Y

78 dy e d e d dy y d e F y < < σ µ σ µ σ µ π π σ σ σ µ π σ ( ( 1 1 then, Let, 1 ( : Proof

79 (V 正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表, 有了它, 可以解决一般正态分布的概率计算查表. 1 Φ( e π 表中给的是 >0 时, Φ( 的值. t dt 当 <0 时 Φ( 1 Φ(

80 ,, ( ~ σ µ N X 若 σ X µ Y ~N(0,1 若 X~N(0,1, ( ( } { } { σ µ σ µ σ µ σ µ Φ Φ < < a b b Y a P b X a P ( ( } { } { a b b X a P b X a P Φ Φ < < <

81 (VI 3 准则 σ 由标准正态分布的查表计算可以求得, 当 X~N(0,1 时, P( X 1 ( Φ Φ P( X ( P( X 3 ( Φ 这说明,X 的取值几乎全部集中在 [-3,3] 区间内, 超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.

82 将上述结论推广到一般的正态分布, ~ ( µ, σ Y N 时, P( Y µ σ P( Y µ σ P( Y µ 3σ 可以认为,Y 的取值几乎全部集中在 [ µ 3σ, µ + 3σ ] 区间内. 这在统计学上称作 3 准则 σ ( 三倍标准差原则.

83 例 1 (1 假设某地区成年男性的身高 ( 单位 :cmx~n(170,7.69, 求该地区成年男性的身高超过 175cm 的概率解 : (1 根据假设 X~N(170,7.69, 则 X 170 ~ N(0, P {X>175} 1 P{ X 175} 故事件 {X>175} 的概率为 Φ( 1 Φ(

84 ( 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的, 问车门高度应如何确定? 解 : 设车门高度为 h cm, 按设计要求 P(X h 0.01 或 P(X< h 0.99, 下面我们来求满足上式的最小的 h.

85 求满足 P(X< h 0.99 的最小的 h. X N(0,1 因为 X~N(170,7.69, 170 Φ( h 7.69 故 P(X< h 0.99 查表得 ( >0.99 Φ 所以 h , 7.69 即 h ~ 设计车门高度为 188 厘米时, 可使男子与车门碰头机会不超过 0.01.

86 二均匀分布 (Uniform 若 r.v. X 的概率密度为 : f ( f ( b 1 a 0,, a 其它 b a b 则称 X 服从区间 ( a, b 上的均匀分布, 记作 : X ~ U[a, b] ( 注 :X ~ U(a, b

87 若 X ~ U[a, b], 则对于满足 a c < d b 的 c,d, 总有 P{ c X d} f ( d c d d b c a 均匀分布常见于下列情形 : 如在数值计算中, 由于四舍五入, 小数点后某一位小数引入的误差, 例如对小数点后第一位进行四舍五入时, 那么一般认为误差服从 (-0.5, 0.5 上的均匀分布

88 三指数分布 : 若 r.v X 具有概率密度 f ( λ e λ 0 < 0 0 λ > 0 则称 X 服从参数为的指数分布. λ 常简记为 X~E(. λ 指数分布常用于可靠性统计研究中, 如元件的寿命.

89 Eponential Distribution

90 这一讲, 我们介绍了连续型随机变量概率密度函数及性质还介绍了正态分布, 它的应用极为广泛, 在本课程中我们一直要和它打交道后面第五章中, 我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布 ; 还要给出德莫佛极限定理的证明另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布

91 一问题的提出第二章第四节随机变量函数的分布在实际中, 人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 例如, 已知圆轴截面直径 d 的分布, 求截面面积 A 的分布. πd 4

92 又如 : 已知 tt 0 时刻噪声电压 V 的分布, 0 t 0 t 求功率 WV /R (R 为电阻的分布等. 一般地设随机变量 X 的分布已知,Yg (X ( 设 g 是连续函数, 如何由 X 的分布求出 Y 的分布? 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.

93 二离散型随机变量函数的分布例 1 设 X ~ 1 0. 求 Y X + 3 的概率函数. 解 : 当 X 取值 1,,5 时, Y 取对应值 5,7,13, 而且 X 取某值与 Y 取其对应值是两个同时发生的事件, 两者具有相同的概率. 故 Y ~

94 如果 g( k 中有一些是相同的, 把它们作适当并项即可. 一般, 若 X 是离散型 r.v,x 的概率函数为 X n n p p p 1 1 ~ 则 Yg(X ~ n n p p p g g g 1 1 ( ( (

95 如 : X ~ 则 YX 的概率函数为 : Y ~

96 三连续型随机变量函数的分布例设 X ~ f X ( 求 YX+8 的概率密度. /8, 0 < < 0, 其它 4 解 : 设 Y 的分布函数为 F Y (y, F Y (yp{ Y y } P (X+8 y y 8 y 8 P{ X } F X ( 于是 Y 的密度函数 f Y dfy ( y y 8 ( y fx ( dy 1

97 y 8 f ( 0 X y 8 y 8 f ( X 16 f Y f X ( /8, 0 < < 0, 其它 dfy ( y y 8 ( y fx ( dy 4 1 YX+8 注意到 0 < < 4 时, f X ( 0 故即 8 < y < 16 时, ( 0 此时 f Y ( y f X ( y 8 f X y 8 y 8 16 y 8, 3 0, 8 < 其它 y < 16

98 例 3 设 X 具有概率密度, 求 fyx 的概率密度. X ( 解 : 设 Y 和 X 的分布函数分别为和 F, Y ( y F X ( 注意到 YX 0, 故当 y 0 时, 当 y>0 时, ( y P( Y y 求导可得 f Y F Y 1 dfy ( y ( y y dy 0, F Y ( y 0 P( X y P( y X y F X ( y F ( y [ f ( y + f ( y ] X X X, y > y 0 0

99 若 e f X 1 π ( 则 YX 的概率密度为 : > 0 0, 0, 1 ( 1 y y y f e y y Y π [ ] > + 0 0, 0, ( ( 1 ( ( y y y f y f y dy y df y f X X Y Y < <

100 从上述两例中可以看到, 在求 P(Y y 的过程中, 关键的一步是设法从 { g(x y } 中解出 X, 从而得到与 {g(x y } 等价的 X 的不等式. 例如, 用 { X y代替 } 8 {X+8 y } { y X y} 用代替 { X y } 这样做是为了利用已知的 X 的分布, 从而求出相应的概率. 这是求 r.v 的函数的分布的一种常用方法.

101 例 4 设随机变量 X 的概率密度为 f 0 < < π ( π 0 其它求 YsinX 的概率密度. 解 : 注意到, 当故当 y 0 时, 0 < ( y 0, F Y < π 时 0 < y 1 当 y 1 时, ( y 1 当 0<y<1 时, F Y

102 < < otherwise / ( arcsin ( 1 arcsin ( arcsin ( arcsin (0 (sin ( ( arcsin arcsin 0 y y y f y y d π d π π X y π P y X P y X P y Y P y F Y π y π y Y π π π

103 例 5 已知随机变量 X 的分布函数 F( 是严格单调的连续函数, 证明 YF(X 服从 [0,1] 上的均匀分布. 证明 : 设 Y 的分布函数是 G(y, 由于于是 0 y 1 对 y<0, G(y0; 对 y>1, G(y1; 又由于 X 的分布函数 F 是严格递增的连续函数, 其反函数 F -1 存在且严格递增.

104 对 0 y 1, G(yP(Y y P(F(X y P(X (y F 1 F( F (y 1 y 即 Y 的分布函数是 G( y 0, y, 1, 0 y < 0 y 1 y > 1

105 求导得 Y 的密度函数 1, g( y 0, 0 y 1 其它可见, Y 服从 [0,1] 上的均匀分布.

106 下面给出一个定理, 在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.

107 定理设 X 是一个取值于区间 [a,b], 具有概率密度 f( 的连续型 r.v, 又设 yg( 处处可导, 且对于任意, 恒有或恒有, 则 g ( > 0 g ( < 0 Yg(X 是一个连续型 r.v, 它的概率密度为 f Y ( y f [ h( 0, y] dh( y dy, α < y < 其它 β h(y 是 yg( 的反函数 α min g( β ma g(, 其中,, a b a b 此定理的证明与前面的解题思路类似.

108 例 6 设随机变量 X 在 (0,1 上服从均匀分布, 求 Y-lnX 的概率密度. 解 : 在区间 (0,1 上, 函数 ln<0, 故 y-ln>0, < 0 于是 y 在区间 (0,1 上单调下降, 有反函数 y 由前述定理得 f Y ( y f X h( y e ( e y / y / y / y / 0, d( e dy, 0 < e 其它注意取绝对值 < 1

109 已知 X 在 (0,1 上服从均匀分布, 代入得 f Y ( y f Y f Y ( y f f X X ( ( e 的表达式中 ( y y / y / y / 0, e 0, 1, 0 < < 1 0, 其它 d( e dy 1 y / 即 Y 服从参数为 1/ 的指数分布., y, > 0 其它 0 < e 其它 < 1

110 这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量, 在求 Yg(X 的分布时, 关键的一步是把事件 { g(x y } 转化为 X 在一定范围内取值的形式, 从而可以利用 X 的分布来求 P { g(x y }.

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Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode] 66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布设是一随机变量, 是的函数, g(, 则也是一个随机变量. 本节的任务 : 当取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一离散型随机变量的函数设是离散型随机变量, 其分布律为或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量的分布, 并且已知 g 要求随机变量的分布. (, 是的函数 : g(, 则也是离散型随机变