甲 直線的斜率 第二章直線與圓 -1 直線方程式及其圖形 乁重點整理乁 第二章直線與圓 59 1. 設 A( x 1, y 1 ), B( x, y ) 為直線 L 上相異兩點, 若 x1 x m L y = x y x 1 1 註 : 由定義可推知 : ; 若 x1 = x, 則 L 為鉛直線, 斜率不存在., 則直線 L 的斜率定義為 (1) 直線由左下往右上傾斜時, 斜率為正 ; 由左上往右下傾斜時, 斜率為負 ; 而水平直線斜率為 0. () 直線傾斜程度愈大, 其斜率的絕對值也愈大.. 設 L 1, L 為兩條相異的非鉛直線, 其斜率分別為 m 1, m, (1) L 1 // L m1 = m () L1 L mm 1 = 1 3. 斜角與斜率 : 坐標平面上, 若直線 L 與 x 軸正向所夾的有向角為 θ, 0 θ < 180 且 θ 90, 則 θ 稱為 L 的斜角, 此時 L 的斜率 m = tanθ., 例 1. 如右圖正五邊形中, 哪一個邊長的斜率最小? 答 : DE 類題 : 如右圖所示,若四直線 L 1, L, L 3 及 L 4 的斜率分別為 m 1, m, m 3 及 m 4, 試比較 m 1, m, m 3 及 m 4 的大小. 答 : m > m1 > m4 > m3
60 鳳中數學講義 ( 三 ) 例. 設有四點 A (, 3 ), B ( 1, ), C ( a 1, a 3 ), D ( a, 3a ) (1) 若 A, B, C 三點共線, 求 a 值 () AC BC, 求 a 值 (3) AB// CD, 求 a 值. 15 14 答 :(1) () 0 或 4 (3) 8 11 類題 :1. 一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方, 海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心, 由大王椰子樹向東走 1 步埋他的第一件珠寶 ; 由大王椰子樹向東走 4 步, 再往北走 a 步埋他的第二件珠寶, 最後由大王椰子樹向東走 a 步, 再往南走 8 步埋他的第三件珠寶. 事隔多年之後, 海盜僅記得 a > 0 及埋藏珠寶的三個地方在同一直線上. 那麼 a =. 88 學測. 設 A(6, ), B(5, 1), C(x, y), 則 (1) 若三點共線, 求 x, y 之關係式 () 若 AB AC, 求 x, y 之關係式. 3. 平面上有一個直角三角形, 其三邊的斜率為實數 m 1, m, m 3, 並假設 m1 > m > m3. 則下列選項哪些必定為真? (1) mm 1 = 1 () mm 1 3 = 1 (3) m 1 > 0 (4) m 0 (5) m 3 < 0 91 學測補考 4. Δ ABC 中, A(3, ), B( 1, a), C(, 1), 若 Δ ABC 為直角三角形, 則 a =? 答 :1.16.(1)3x + y 16 = 0 () x 3y 1 = 0 3. (3)(5) 4. 0, 10 3
第二章直線與圓 61 乙 直線方程式 乁重點整理乁一 直線的方程式 : 一般式 : 凡直線方程式都可以化成形如 ax + by + c = 0 的方程式, 其中 a b 不 a 同時為 0 若 b 0, 則此直線之斜率為, 若 b = 0, 則此直線必與 b x 軸垂直, 亦即無斜率 點斜式 : 若直線 L 過點 (x 0, y 0 ), 且斜率是 m, 則 L 之方程式為 y y 0 = m(x x 0 ) 斜截式 : 若直線 L 斜率是 m,y 截距 b, 則 L 之方程式為 y = mx + b 兩點式 : 若直線 L 與 x 軸不垂直, 且過相異兩點 P 1 (x 1, y 1 ), P (x, y ), 則 L 之 y y1 y y1 方程式為 = x x x x 1 1 x y 截距式 : 若直線 L 之 x 截距 a,y 截距 b, 則 L 之方程式為 + = 1( 但 ab 0) a b 二 直線之假設 : 標準式 : 水平線 : 鉛直線 : 通過原點的直線 : 斜率 m 之直線 : 與 ax + by = c 平行之直線 : 與 ax + by = c 垂直之直線 : 例 求出下列條件所決定的直線方程式 過二點 (4, 3) 與 ( 4, 1) 過一點 (3, ) 且斜率為 答 : x 4y + 8 = 0 x y 4 = 0 例. 求出下列條件所決定的直線方程式 (1) 斜率,y 截距為 5 () 斜率,x 截距為 5 (3)x 截距為 5,y 截距為 4 3 3 答 :(1)x 3y + 15 = 0 ()x 3y-10 = 0 (3) 4x + 5y + 0 = 0
6 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 3. 求過 (, 5), 且垂直於直線 x y = 7 的直線方程式 答 :x + y + 9 = 0 類題 : L 1 :x+ y 8= 0, L : x+ y+ 6= 0, 過 L 1, L 之交點並與直線 x y+ = 0垂 直之直線方程式為何? 答 : 3x +3 y = 例 4. 一線段之二端點 A ( 3, 3 ),B ( 1, 1 ), 試求其垂直平分線方程式? 答 :x y 4 = 0 類題 : 過點 ( 5, 7) 且 y 截距為 3 之直線方程式為何? 一直線 L, 若與直線 4x + 7y = 1 平行且在 y 軸之截距為 6 答 : x y + 3 = 0 4x + 7y 4 = 0 例 通過定點 (4, -), 且 x 截距與 y 截距相等的直線方程式 答 :x + y = 或 x+y=0
第二章直線與圓 63 類題 : 一直線通過 (, ), 且與二坐標軸所圍三角形面積為 1, 求此直線方程式 一直線通過 ( 3, 1), 且在二坐標軸上截距之絕對值相等, 求此直線方程式 3. 在坐標平面上, 根據方程式 x + 5 y 7 = 0, x + y + 4 = 0, x y 1 = 0 畫出三條直線 L 1,L,L 3, 如圖所示 試選出方程式與直線間正確的配置? (1)L 1 : x + 5 y 7 = 0 ; L : x + y + 4 = 0 ; L 3 : x y 1 = 0 ()L 1 : x y 1 = 0; L : x + 5 y 7 = 0 ; L 3 : x + y + 4 = 0 (3)L 1 : x + y + 4 = 0 ; L : x + 5 y 7 = 0 ; L 3 : x y 1 = 0 (4)L 1 : x y 1 = 0 ; L : x + y + 4 = 0 ; L 3 : x + 5 y 7 = 0 L y L 3 L 1 x (5)L 1 : x + y + 4 = 0 ; L : x y 1 = 0; L 3 : x + 5 y 7 = 0 89 學測 4. 如下圖, 兩直線 L 1,L 之方程式分別為 L 1 :x + ay + b = 0,L :x + cy + d = 0; 試問下列哪些選項是正確的? (1) a > 0 () b > 0 (3) c > 0 (4) d > 0 (5) a > c 9 學測 答 : x + y = 或 x + y = x + y + = 0 或 x y + 4 = 0 或 x + 3y = 0 3. (4) 4. (4)(5)
64 鳳中數學講義 ( 三 ) 丙 對稱與反射 乁重點整理乁一 點與座標 : 座標平面上兩點 A(x 1, y 1 ) B(x, y ) 1. 距離公式 :A B 兩點距離 AB = (x x ) + (y y 1 1 ) x1 + x y1 + y. 中點公式 : AB 的中點座標為 (, ) 3.ΔABC 之 (1) 重心 : 三角形三邊之中線的交點 ( ) 外心 : 三角形三邊之中垂線的交點 (3 ) 垂心 : 三角形三邊之高的交點 二 對稱 : 1. 點對稱 : 在坐標平面上, 若 PQ 的中點為 M, 則稱 P,Q 兩點對於 M 對稱 也可以 說 P,Q 互稱為對於 M 的對稱點 註 : 設 P(x 1,y 1 ) 與 Q(x,y ) 為坐標平面上相異兩點, 則 PQ 的中點坐標為 ( x 1+x, y 1+y ). 線對稱 : 設 L 是一直線,P,Q 為相異兩點, 若直線 L 是 PQ 的中垂線 ( 即垂直平 分線 ), 則稱 P,Q 兩點對於直線 L 對稱, 也可以說 P,Q 兩點互稱為對於直線 L 的對稱點 三 反射如果一條光線從 A 點射到直線 L 上一點 P, 反射經過 B 點, 則由物理實驗知, 入射角 α 等於反射角 β, 如圖, 故入射光線與直線 L 所夾的銳角等於反射光線與直線 L 所夾的銳角 今過 A 點作 L 的垂線與直線 BP 交於一點 A', 則直線 L 就是 AA' 的中垂線, 於 是 A' 就是 A 點對於直線 L 的對稱點 註 : 若 Q 是 L 上異於 P 的一點, 則 AQ + BQ > AP + BP 例 1. 設平行四邊形 ABCD, 三頂點 A( 3, ), B(5, 4), C(4, 1), 試求第四頂點 D 之坐標 答 :( 4, 7)
第二章直線與圓 65 類題 :1. 正 ΔABC 中, 若 A(0, 0), B( 3,-1), 求 C 點座標.ΔABC 中, AB, BC,CA 之中點分別為 D (-1, 1 ), E ( 4, 1 ), F (, 5 ), 求 A, B, C 之坐標 3. 給定平面上三點 (-6,- ),(,-1 ),( 1, ), 若有第四點和此三點形成一菱形 ( 四邊長皆相等 ), 則第四點的坐標為 (, ) 95 學測 答 : ( 3, 1) 或 (0, -).A ( -3, 5 ),B ( 1, -3 ),C ( 7, 5 ) 3. (9, 3) 例. 一三角形之三頂點的座標為 A ( 5, 1 ),B (, 6 ),C ( 3, 5 ), 試求此三角形之 (1) 重心的座標?() 外心的座標?(3) 此三角形外接圓面積為何? 10 答 :(1) (0, ) 3 ()( 1, ) (3)5π 類題 :1. 在 xy 平面上, 有三點 A ( 3, 0 ),B ( 1, ),C ( 1, ) 及點 P, 則當 P 之座標為 時, PA + PB + PC 有最小值 =. 設 A( 0, 0 ),B( 10, 0 ),C( 10, 6 ),D( 0, 6 ) 為坐標平面上的四個點, 如果直線 y=m ( x-7 )+4 將四邊形 ABCD 分成面積相等的兩塊, 那麼 m= ( 化成最簡分數 ) 95 學測 答 :1.( 1, 0 ),16. 1
66 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 3. 已知三角形的三頂點為 A(3,3),B( 1, 5) 與 C(6,0), 則邊 BC 上之高所在的 直線方程式為 ;ΔABC 之垂心的坐標為 14 答 :7x + 5y 36 = 0;(, ) 3 3 類題 :1. ABC 的三邊分別在 x + y = 9,x y = 9,3x y = 13 上, 試求此三角形 的 重心, 垂心, 外心, 此三點是否共線? 答 :1. ( 16 3, 5 3 ),( 6, 1 ),( 5, 3 ), 是, 共線 4x y 3 = 0 例 4. 座標平面上, 點 P ( 1, ),(1) 對於直線 y = 0 的對稱點座標? () 對於直線 x + y 5 = 0 的對稱點座標? 答 :( 1, ),( 9 5, 1 5 )
第二章直線與圓 67 例 5. 鳳山小球王撞球, 球從座標平面上點 P (, 6 ) 打出, 並撞到球檯 x 軸上的 A 點, 再折向撞擊 B 球, 已知 B ( 7, 4 ), 試求 (1) A 點座標? () 該球所形成軌跡的距離為? 答 :( 5, 0 ),5 5 1, 軸 類題 :1. 在坐標平面上, 一道光線通過原點 O 後, 沿著 y 軸射向直線 L:y = 補考 1 x + 碰到直線 L 後, 假設光線依光學原理 ( 入射角等於反射角 ) 反射後通過 x 上的 R 點, 則 R 點的 x 坐標為 ( 化成最簡分數 ) 9 學測. A (0,1),B (4,5),C (x,0), 若 ABC 周長為最小, 則 x= 3. 已知有二點 A (3,1),B (0,4), 且點 P 在直線 x y = 0上, 欲使 AP BP 之 值 最大, 求 P 點座標 答 :1. 4 3. 3 6 3. (, ) 5 5
68 鳳中數學講義 ( 三 ) 丁 二元一次方程組的解及其幾何意義 ax 1 + by 1 = c1 (1) ax + by = c () 乁重點整理乁 式中 a 1 b 1 c 1 a b c 都是已知數 a 1 b 1 不同時為 0,a b 不同時為 0 c1b cb1 a1c 若 a 1 b a b 1 0, 則 x =,y = a b a b a b 1 1 1 a c1 稱相容方程組 a b 若 a 1 b a b 1 = 0 但 b c 1 b 1 c 0 或 a 1 c a c 1 0, 則 A 式無解, 稱為矛盾方程組 若 a 1 b a b 1 = b c 1 b 1 c = a 1 c a c 1 = 0, 則 A 式無限多組解, 可以參數式表之, 稱為相依方程組 若 A 式為相容方程組時表二直線恰交於一點 若 A 式為矛盾方程組時表二直線平行無交點 若 A 式為相依方程組時表二直線重合, 交點無限多點 1 例 1. 若下列 A B 二元一次方程組解相同, 求 a b( 且唯一解 ) A: ax + by = 11,B: 7ax by = 5 3x + y = 7 5x y = 1 答 : (3, 4) 4 1 = 4 x y ax + by = 4 類題 : 與 6 有相同的解且唯一解, 求 a b + = 1 3ax 4by = 6 x y
答 : (3, 4) 第二章直線與圓 69 例. 試解 (1) x+ y x y + = 1 5 x y 3( x+ y) = 5 () 1 1 + = 3 3x y 3 9 = 0 x 4y 0 10 1 1 答 :(1) (, ) () (, ) 17 17 3 4 1 6 + = 4 x y 類題 : 解 5 1 = 1 x y 答 : (1, ) 1 x+ y = 6, 求 x xy + y 之值 x y = 4 例 3. 有一件工作, 若 A B 兩部機器同時使用, 則 1 小時可完成這件工作, 若先讓 A 機器工作 4 小時, 剩下工作由 B 機器去做 4 小時可完工, 問 A B 各獨做須幾小時可完成 答 :A 需 0 時,B 需 30 時 類題 : 有五位正整數, 其左邊三數字依順序所成三位數加 1 後所得數等於右邊二數字順序所成二位數的三倍, 又若將右邊二數字依順序移至數左邊後所得新數比原數多 3778, 求原數 答 :1345
70 鳳中數學講義 ( 三 ) 3mx + 4y + m = 0 例 4. 若 為相依方程組, 求 m 之值 (m 為實數 ) (m 1) x+ my+ 1= 0 答 : kx + 3y = 7 類題 : 為矛盾方程組, 求 k x 5y = 3 3 x+ by+ c= 0 為相依方程組, 求 b, c cx y + 1= 0 答 : 5 6 ( 1, 6),(1, 6)
綜合練習 第二章直線與圓 71 A. 基礎練習 1. A(1, 3),B( 3, 1), 求 AB 之垂直平分線. A(5, ),L:3x + y + 4 = 0 求 A 在 L 直線之投影點 B 之坐標 求 A 對 L 直線之對稱點坐標 3. Ax + By + 10 = 0 與 3x + y = 7 垂直且相交於 x 軸上, 求 A =?B =? 4. 設直線 L:ax + by + c = 0, 若 ab < 0,bc > 0, 則 L 必不通過何象限 5. 設 A(3, 3),B(, 1),C(7, 1), 求過 A 且將 ΔABC 的面積二等分之直線方程式 6. 設直線 L 之方程式為 y+1= mx, 及兩點 A(1, ),B(3, 1) (1) 若不論實數 m 為何值,L 恒通過點 P, 則 P 點座標為 () 若 L 不與 AB 相交, 求實數 m 的範圍 7. 兩相異直線 L 1 :x + (a )y + a = 0,L :ax + 3y + 1 = 0 若 L 1 // L, 求 a 值 若 L 1 L, 求 a 值 8. 若相異直線 L 1 :x y 1 = 0, L :x + y = 0, L 3 :ax y + = 0, 三線不能圍成一個三角形, 求 a 值 9. 有一三位數, 各位數字和為 14, 個位數字與百位數字對調後所得之新數較原數多 97, 百位數與十位數對調後所得之新數則較原數多 180, 求這個數 B. 進階練習 10. 設一直線與 3x + 4y = 5 垂直, 且與二坐標軸所圍成三角形之周長為 5, 求此直線方程式 11. 已知三直線 L 1 :x + y 1 = 0, L :x y + 4 = 0, L 3 :x y-4 = 0, 所圍的三角形中, 重心座標 外心座標 垂心座標 1. 設一直線過 (,-3), 且在第四象限內與坐標軸所成三角形之面積為最小, 求此直線方程式 13. 設 x 為實數, 試求 : (1) () ( x ) x ( x 4) ( x 1) + + + + 的最小值 ( x ) x ( x 4) ( x 1) + + + 的最小值
7 鳳中數學講義 ( 三 ) 14. 如右圖所示, 坐標平面上一鳶形 ABCD, 其中 A,C 在 y- 軸上,B,D 在 x- 軸上, 且 AB =AD =,BC =CD =4,AC =5, 令 m AB m BC m CD m DA 分別表直線 AB BC CD DA 之斜率, 試問以下哪些敘述成立? (1) 此四數值中以 m AB 為最大 () 此四數值中以 m BC 為最小 (3) m BC =-m CD (4) m AB m BC =-1 (5) m CD +m DA >0 94 學測 15. 試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A( n,0) 與點 B (0,) 的直線亦通過點 P ( 7, k), 其中 k 為某一正整數? (1) 個 () 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 無窮多個 96 學測 16. 某別墅有一個由四塊正方形的玻璃拼成的田字形窗戶, 窗外路燈的光線 ( 假設路燈是一個點光源 ) 透過窗戶在地板上形成一個變形的田字形光影 在地板上建置一個直角坐標系, 發現田字形光影外框的四個頂點的坐標分別為 ( 4, 40),(16, 0),(16, 40) 和 (8, 16) 求田字形窗戶的中心投影在地板上的坐標 96 指考乙 17. 在坐標平面上, 設 A 為直線 3x y= 0上一點, B 為 x 軸上一點 若線段 AB 的中點坐 標為 7 (,6), 則點 A 的坐標為, 點 B 的坐標為 97 學測 18. 坐標平面上四條直線 L 1, L, L 3, L 4 與 x 軸 y 軸及直線 y = x 的相關位置如圖所示, 其中 L 1 與 L 3 垂直, 而 L 3 與 L 4 平行 設 L 1, L, L 3, L 4 的方程式分別為 y = m1 x, y = mx, y = mx 3 以及 y = m4x+ c 試問下列哪些選項是正確的? (1) m3 > m > m1 () m1 m4 = 1 (3) m 1 < 1 (4) m m3 < 1 (5) c > 0 98 學測 19. 設實數 a > 0 學測 x y= 1 若 x y 的方程組 x y = a x ay = 1 有解, 則 a = 99 答案 x + y = 0 13 1 ( 10 10 38 5 11, ) A = 30, B = 90 5 7 7 第二象 限 6x + 3y 7 = 0 (1)(0, -1) ()m>3 或 m< 3 3 a = 3 a = a = 0 6 8 8 4 或 或 4 9. 356 10. 4x 3y = ±5 11. (, ) ( 1, ) (, ) 1. 5 5 5 5
第二章直線與圓 73 x y + = 1 13. (1) 37 () 17 14.()(3)(5) 15. () 16. (16, 5) 17. 4 6 (4,1), (3, 0) 18. ()(3)(4) 19. 14 - 線性規畫 甲 二元一次不等式的圖 乁重點整理乁 a, b, c R,a b 0, 則直線 L:ax by c 0 將坐標平面上不在 L 的點分成兩半 平面, 分別以 {(x, y) ax by c > 0} 與 {(x, y) ax by c < 0} 表示 直線 L 稱為半平面的界線 a > 0 時, ax by c > 0 的圖形是直線 L:ax by c 0 的右方半平面 ; ax by c < 0 的圖形是直線 L:ax by c 0 的左方半平面, a < 0 時, 則上述左右互換 b > 0 時, ax by c > 0 的圖形是直線 L:ax by c 0 的上方半平面 ; ax by c < 0 的圖形是直線 L:ax by c 0 的下方半平面, b < 0 時, 則上述上下互換 ax by c > 0 或 ax by c < 0 的圖形並不包含界線 L:ax by c 0, 此時 L 通常以虛線表示 ax by c 0 或 ax by c 0 的圖形包含界線 L:ax by c 0, 此時 L 通常以實線表示 格子點 : 坐標平面上,x 坐標及 y 坐標都是整數的點 例 在坐標平面上, 畫出 x 3y 6 > 0 的圖形 答 : 略 類題 : 畫出下列各不等式的圖形 : x y 0 x 5y 10 < 0 y > 4 x 答 : 略
74 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 若 A(6, 7),B(5, 9) 在直線 L:4x 3y k 0 的反側, 求 k 之範圍 答 : 7 < k < 3 類題 : 若 A( 7, ), B(4, 11), 已知 AB 與直線 L:5x y k 0 相交, 求 k 之範圍 答 : 31 k 4 例 3. 畫出不等式組的圖形 : 4x + 3y 1 0 y > x + 1 答 : 略 類題 : 畫出下列各不等式組的圖形 :( 並標示出各端點坐標 ) 4x + 3y 1 3x + 4y 1 x y 4 x 0 1 y 3 y 0 答 : 略 例 4. 設 ABC 的三頂點為 A(, 0), B(1, ), C(4, ) (1) 試以一組聯立不等式表示 ABC 的內部 () 若 P(k, k 1) 為 ABC 內部的一點,求 k 的範圍答 : x+ 3y+ 4> 0 答 :(1) 4x 3y 10< 0 x 3y+ > 0 () 1 < k < 5 5
第二章直線與圓 75 類題 : 設 A(4, 5),B(, ),C(, ) 為坐標平面上的三點, 試以聯立不等式表示 ΔABC 的內部 若 P(k, k 3) 為 ΔABC 內部的一點, 求實數 k 的範圍 x y > 6 答 : x + y > 0 7x y < 18 1 < k < 4 例 5. 試作不等式 6 x y x 6 的圖形, 並求此圖形圍成的區域面積 答 : 圖略,4 例 6. 圖示 x + y 1所表示之區域 3 4 答 : 略 類題 : 圖示下列各區域 : (x y 1)(x y ) 0 xy (x y ) 0
76 鳳中數學講義 ( 三 ) x y x y x y ( + 1)( + )( + 3) 0 4 4 4. 坐標平面上滿足聯立不等式 x + y, x + y 1 之區域的面積等於 ( 以最簡分數表示 ) 91 指考甲 答 :1. 略. 9 0 x 7 0 y 4 例 7. 已知聯立不等式, 若 x,y 均為整數, 則滿足此聯立不等式的 (x,y) 共 x+ y 9 4x+ 5y 30 有多少組解? 答 :10 組 類題 : 坐標平面上, 設 A(, 0),B(7, 0),C(4, 3), 則 ΔABC 區域內有多少個格子點?(x 坐標與 y 坐標都是整數的點稱為格子點 ). 某人帶 00 元買冷飲, 已知 A 種飲料每杯 15 元,B 種飲料每杯 0 元, 若至少買 3 杯, 問此人有幾種買法? 答 :1. 13 個.75 種
乙 線性規畫 第二章直線與圓 77 乁重點整理乁 若一個應用問題涉及兩變量 x, y, 且 x 與 y 受到幾個二元一次不等式的限制, 又 k 是一個 x 與 y 的一次函數, 則求出 (x, y) 而得到 k 的最大值或最小值的問題, 就稱為 ( 二元 ) 線性規畫 求 k ax by c 之最大值或最小值, 而限制條件如下 : a1x + b1 y c1 ax + b y c A: amx + bm y c m x, y 稱為決策變數 A 的圖形稱為可行解區域 函數 k 稱為目標函數 (x 0, y 0 ) 滿足 A, 則稱 (x 0, y 0 ) 為此問題的一個可行解 ( 可行的方案 ); 顯然 (x 0, y 0 ) 為可行解區域內的任一點 在可行解區域上找到一點 (x, y), 使目標函數 ax by c 有最大值或最小值稱為最佳解 (optimal solution) 在可行解區域上求得目標函數之最佳解的過程稱為線性規劃 (linear programming) 目標函數 k ax by c 之最佳解的求法 : (1) 平行線法 1 由限制條件, 畫出可行解區域 F 使直線 ax by c k 平行移動並通過可行解區域 F 3 由目標函數 k 的變化, 可求得 k 的最大值或最小值 () 頂點法 1 由限制條件, 畫出可行解區域 F 將區域下的所有頂點逐一代入目標函數 3 由目標函數 k 的變化, 可求得 k 的最大值或最小值 注意 : 最佳解可能沒有, 單一組或無窮多組
78 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 1. 設 x, y 滿足不等式組 : + 0 5 16 3 0 3 y x y x y x, 求 5x y 的最大值與最小值 答 :max. 5,min. 11 16 類題 :1. 若 + 0 3 3 y y x y x,k(x, y) =x +y 3 當 (x, y)= (x 0, y 0 ) 時 k(x 0, y 0 ) 是最大值, 試求 (x 0, y 0 ) 及 k(x 0, y 0 ). 在聯立不等式 + + 6 3 6 3 9 y x y x y x y x 的條件限制下,x=-3,y=3 能使得 kx y+3 有極小值, 則 k 的範圍為
第二章直線與圓 79 1 答 :1.(1)(x 0, y 0 ) =(1 +t, t),0 t 1 ()k(x 0, y 0 ) =3. k 1 例. 若 x 0,y 0,3x+ y 1 0,x + y 0, 求下列各式之最大值與最小值 : x y 1 5x y x y y + 1 x + 答 : Max. 7,min. 1 Max. 0,min. 1 Max. 36,min. Max. 7 1,min. 6 3x + y 14 類題 : 已知 P(x,y) 為聯立不等式 x 3y 8 所表示圖形區域內之一點, 試求 5x y 19 x y 3 的極大值與極小值 x y 的極大值與極小值 x + 的範圍 y + 1
80 鳳中數學講義 ( 三 ) 答 : 極大值 13, 極小值 5 極大值 61, 極小值 196 13 4 5 x + < y + 1 < 3 例 3. 求 z 3x 4y 之最大值, 而限制條件如下 : x + y + u = x + y + v = 4 x 0, y 0, u 0, v 0 答 :x 0, y z 8 為 Max. 例 4. 老王帶了 30000 元, 開著載重量為 600 公斤的貨車, 去批發水果 水梨與橘子的批發價 分別為每公斤 60 元與 0 元, 零售價分別為每公斤 80 元與 30 元, 請問他應該買進水梨 與橘子各多少公斤, 可以獲得最大利潤? 答 : 水梨 450 公斤 ; 橘子 150 公斤 ; 最大利潤 10500 元
第二章直線與圓 81 類題 :1. 南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤, 該植物每 00 公斤可提煉 1 公斤的中草藥, 每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品 中草藥每公斤可獲利 5000 元, 健康食品每公斤可獲利 100 元 ; 根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤, 健康食品最大需求量是 1800 公斤 如果南北生技農場決定提煉中草藥 x 公斤, 並製成健康食品 y 公斤, 設 P 為其可獲利潤 (1) 試以 x,y 表示 P () 如果想獲得最大利潤, 則 x,y 的值為何? 說明理由 93 指考乙 答 :1. (1) P = 5000x + 100y () (x,y) = (30,800) 例 5. 有一個五金商擁有兩座不同地區的倉庫, 其中第一倉庫現在存貨 40 單位, 第二倉庫現在存貨 50 單位, 現在這個商人接獲甲地客戶訂貨 30 單位, 同時接獲乙地客戶訂貨 40 單位 今知, 將一單位存貨由第一倉庫運到甲地需運費 10 元, 運到乙地需運費 14 元, 然而由第二倉庫運到甲地需 1 元, 運到乙地需 15 元, 這個商人應該如何調度所要出售的貨品, 才能達到最低運費, 並求此運費 答 : 自第一倉庫運貨 30 單位至甲地,10 單位至乙地 ; 自第二倉庫運貨 30 單位至乙地, 才能達到最低運費 890 元 類題 :1. 某公司所生產的產品, 存放在甲 乙兩倉庫分別有 50 單位 40 單位, 現在市場 A 市場 B 分別的需求量是 0 單位 30 單位, 下表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本 : 市場 A 市場 B 倉庫甲 500 元 450 元 倉庫乙 400 元 300 元 在滿足 A,B 市場的需求下, 最節省的運輸成本為 元 9 指
8 鳳中數學講義 ( 三 ) 考乙 答 :1. 18000 例 6. A, B 兩種不同規格材質的卡紙, 每張可製作大 中 小三種卡片的張數及至少需求量如 右表, 若 A, B 每張為 00 元, 100 元, 問應用 A, B 各多少張可使花費最少? 大 中 小 A 7 3 3 B 5 至少需求 8 1 30 答 :A:,B:8, 或 A:3,B:6, 花費最少 :100 元 類題 : 某航空公司想利用 A, B 兩型飛機飛航外島航線,A 型飛機每天可載 50 各乘客,B 型飛機每天可載 80 各乘客,A 型飛機每架需要有 名技師維修,B 型飛機每架也需要 名技師維修, 若該航線每日最少需載客 40 名, 而基於保險規則最
第二章直線與圓 83 多只能聘用 1 名技師, 若 A 型飛機每架 4 億元,B 型飛機每架 9 億元, 問該公司要買 A, B 兩型飛機各幾架最為省錢, 且又符合需要? 答 :A 型飛機 5 架,B 型飛機 0 架
84 鳳中數學講義 ( 三 ) 綜合練習 1. 某餅站製作的豆沙月餅每個成本 35 元, 售價 50 元 ; 鳳梨月餅每個成本 0 元, 售價 30 元 現在要將這兩種月餅裝成一盒, 個數不超過 10 個, 售價不超過 350 元, 問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個, 可使利潤最大?. 設 k 為實數, 試求 k 之範圍, 使得下列線性規劃問題有最佳解 (, 1): 試求 z x ky 之最大值, 而限制條件如下 : x+ y 4 x y 1 x 0,y 0 3. 如右圖所示之四邊形, 其四邊之直線方程式各為 x y 6, x y 3, 3x y 3, x y 8, 則四邊形區域 ( 含邊界 ) 可用下列那一組不等式表示? y (A) x y 6, x y 3, 3x y 3, x y 8 (B) x y 6, x y 3, 3x y 3, x y 8 (C) x y 6, x y 3, 3x y 3, x y 8 (D) x y 6, x y 3, 3x y 3, x y 8 x (E) x y 6, x y 3, 3x y 3, x y 8 [86 自 ] 1 x + y 3 4. 設聯立不等式 的解 (x, y) 形成的區域為 R, x + y 4 試在坐標平面上畫出 R 在 R 中, 求 3x y 的最大值 [86 社 ] 5. 設一線性規劃的可行解區域為如圖所示之正六邊形內部 ( 含邊 y A 界 ), 而目標函數為 y ax 若已知 A 點為此為目標函數取得最大值之唯一的點, 則 a 值的範圍要有限制 若以不等式表示, 則 a 之範圍為何? x (1, 0) 6. 右圖中 ABCDEF 為六邊形, 將各邊延長形成一個六角星形 令正六邊形所圍成之區域為 R 1, 斜線區域為 R, 設 f (x, y) 5x 4y, 則 f (x, y) 在 R 1 上之最大值為 ;f 在 R 上之最小值為 [84 自 ] x 0 y 0 7. 圖示以下不等式組, 並在此圖形的區域 3x + y 1 0 x + y 0 內, 求下列各小題的最大值與最小值 x + 4y x + y x + y + x + 4y + 5 8. 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知 : 每花 10 萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提升歌手的形象指數 5 點, 知名度指數 10 點 ; 反之, 若是在電臺上, 同樣花 10 萬元替歌手打廣告, 則可以提升歌手的形象指數 6 點, 知名度指數 4 點 根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少 160 點, 知名度指數亦至少 160 點, 而且綜合指數 ( 形象指數與知名度指數的和 ) 至少 360 點 試問 : 歌唱訓練班要讓一位新歌手 ( 假
第二章直線與圓 85 設其形象指數與知名度指數皆為 0) 成為名歌星至少應該花多少廣告費? 這些廣告費報章雜誌與電臺應各分配多少, 效果最好 ( 請在坐標平面上畫圖求解 ) 91 指考乙 9. 在一個牽涉到兩個未知量 x, y 的線性規劃作業中, 有三個限制條件 坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域 假設目標函數 ax + by (a, b 是常數 ) 在此三角形的一個頂點 (19,1) 上取得最大值 31, 而在另一個頂點 (13,10) 取得最小值 3 現因業務需要, 加入第四個限制條件, 結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域, 頂點少了 (19,1), 新增了 (17,13) 和 (16,11) 在這四個限制條件下, 請選出正確的選項 (1) ax + by 的最大值發生在 (17,13) () ax + by 的最小值發生在 (16,11) (3) ax + by 的最大值是 30 (4) ax + by 的最小值是 7 9 指考甲 10. 為預防禽流感, 營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養素 A 至少 7 單位的營養素 B 和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群 這三種營養素可由兩種飼料中獲得, 且知第一種飼料每公斤售價 5 元並含有 7 單位的營養素 A,3 單位的營養素 B 與 3 單位的營養素 C; 第二種飼料每公斤售價 4 元並含有 單位的營養素 A,6 單位的營養素 B 與 單位的營養素 C (1) 若雞場主人每天使用 x 公斤的第一種飼料與 y 公斤的第二種飼料就能符合營養師吩咐, 則除了 x 0, y 0 兩個條件外, 寫下 x, y 必須滿足的不等式組 () 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求, 則 x, y 的值為何? 最少的飼料成本又是多少? 95 指考乙 11. 建築公司在房市熱絡時推出甲 乙兩型熱門預售屋.企劃部門的規劃如下 : 甲型屋每棟地價成本為 500 萬元,建築費用為 900 萬元,乙型屋每棟地價成本為 00 萬元,建築費用為 1500 萬元,公司在資金部分限制地價總成本上限為 3500 萬元,所有建築費用的上限為 1 億 000 萬元 ; 無論甲型或乙型售出,每棟獲利皆為 500 萬元,假設推出的預售屋皆可售出,請問推出甲 乙兩型預售屋各幾棟,公司才可得到最大利潤. 97 指考乙 1. 某公司召聘新員工,共有 1600 人應徵參加筆試.筆試場地借用甲大學的教室,該校可租借的大教室有 50 間,每間可容納 40 人,每間租金 500 元 ; 小教室有 60 間,每間可容納 0 人,每間租金 150 元.考慮監考人員的限制,筆試教室不能超過 60 間.試問租借大教室 間,小教室 間,來進行筆試,最省租借場地費用. 98 指考乙 13. 已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形 ABCD 及其內部,其中 A (4,0),
86 鳳中數學講義 ( 三 ) B (8,10), C (6,14), D (,6) 為坐標平面上的四個點.若目標函數 k = ax+ by+ 3(a, b 為實數 ) 在四邊形 ABCD 的邊界上一點 (4,10) 有最小值 18,則 a =, b =. 99 指考乙 1. 豆沙 個, 鳳梨 8 個或豆沙 4 個, 鳳梨 5 個 max. 110 元. 1 k 3.(E) 4. 略 1 5. 3 < a < 0 6. 5 3 6, 5 3 7. M = 4,m = 4 M = 36,m = M = 65,m = 5 8. 至少 90 萬元, 報章雜誌分配 140 萬, 電臺分配 150 萬 9.(1)(3) 7x+ y 84 10. (1) x + y 4 3x+ y 60 答案 () x = 18 ( 公斤 ), y = 3 ( 公斤 ) 時, 飼料成本最少為 10( 元 ) 11. 甲 乙兩型預售屋各 5 棟 1. 0,40 13. 14, 7
第二章直線與圓 87-3 圓與直線的關係 甲 圓的方程式 乁重點整理乁 定義 : 在一平面上, 與一定點等距離的所成的圖形就是圓 圓的方程式 : 標準式 :(x h) + (y k) = r,(h, k) 為圓心, r 為半徑長 一般式 :x + y + dx + ey + f = 0,d, e, f R, 取 Δ = d + e 4f Δ > 0 時表一圓, 圓心 ( d e, 1 ), 半徑 Δ = 0 表一點 ( d e, ) Δ < 0 無圖形 d + e 4f 直徑式 : 相異兩點 A(x 1, y 1 ),B(x, y ), 以 AB 為直徑的圓方程式如下 : (x x 1 )(x x ) + (y y 1 )(y y ) = 0 補充 : 參數式 : 圓 x + y = r 的參數式 x = r cos θ, 0 θ < π y = r sin θ (x h) + (y k) = r 參數式 x = h + r cos θ, 0 θ < π y = k + r sin θ (4) 軌跡 : 具有某特定性質的一些點所成的圖形 3. 點在圓外, 圓上及圓內的判斷 : 平面上給予一圓 C: x + y + dx+ ey+ f = 0 及一點 P( x 0, y 0 ) (1) 點 ( x 0, y 0 ) 在圓 C 外 x 0 + y0 + dx0 + ey0 + f > 0 () 點 ( x 0, y 0 ) 在圓 C 上 x + y + dx + ey + f = 0 0 0 0 0 (3) 點 ( x 0, y 0 ) 在圓 C 內 x + y + dx + ey + f < 0 0 0 0 0 例 以點 (3, 5) 為圓心, 且過 x + y = 0 與 x y = 0 交點的圓方程式為何?
88 鳳中數學講義 ( 三 ) 答 :(x 3) + (y 5) = 40 例 求 x + y 6x + y 5 = 0 的圓心及半徑? 3 1 答 :(, ), 5 例 3. k R, 就 k 之值討論 x + y + x 6y + k = 0 之圖形 答 :k < 10 圓,k = 10 一點,k > 10 無圖形 例 4. 若 x + y + (m 1)x my + 3m = 0 之圖形為一圓, 求 m 之範圍? m 為何值時, 所表圓之面積為最大 答 : 3 < m < 1 m = 1 類題 : 一圓與圓 C:x + y x + y 1 = 0 同圓心, 且面積為圓 C 的二倍, 求此圓方程式? 若 x + y 4kx ky 0k 5 = 0 表一圓, 求 k 的範圍?
x + y + kx + (k + )y 坐標為何? 答 : x + y x + y 4 = 0 1 3 k R (, ) 4 第二章直線與圓 89 1 (k + 1) = 0 之圖形表圓, 其面積有最小值時, 圓心 4 例 5. 已知點 A(3, 1), 在圓 C: x + y + x 4y+ k = 0外的一點, 求實數 k 的範圍 答 : 1 < k < 5 例 6. 已知點 A(7, 1), 且 P 為圓 C: x + y 6x 8y+ 1= 0上的一動點,試求 : (1)AP 的最小值. 答 :(1) 3 () 7 ()AP 的最大值. 類題 :1. 已知 (a, b) 為圓 C: x + y 4x y+ 4= 0上的點, 求 a + ( b 1) 的最大 值與 最小值. 坐標平面上的圓 C:(x 7) + (y 8) = 9 上有個點與原點的距離正好是整數值 93 學測 答 :1. 最大值為 3, 最小值為 1. 1 例 7. 一圓過三點 (4, 4),(1, 5 ),( 3, 3), 求其方程式 答 :x + y x 4 = 0
90 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 8. 一圓過點 (3, 3) 且半徑為 6, 圓心在 x + y = 0 線上, 求此圓方程式? 答 :(x 3) + (y + 3) = 36 及 (x + 3) + (y 3) = 36 類題 : 若由三點 A( 1, 4),B(k, 3),C(, 1) 所決定的圓, 通過 D(1, 0), 求 k 求 x y = 0,y = 0 及 7x y = 4 三線所圍成三角形的外接圓方程式? 一圓過二點 (5, 1),(3, 1) 且圓心在 x + y 3 = 0 線上, 求此圓方程式? 求過 P(1, 4),Q(3, ) 兩點, 且 PQ 弦距離圓心為 10 的圓方程式? 5. 工匠在窗子外邊想做一個圓弧形的花臺, 此花臺在窗口的中央往外伸出 7 公分, 窗口的寬度是 168 公分 則此圓弧的圓半徑為公分 91 學測 答 : ± x + y 6x 8y = 0 (x 4) 1 + (y + ) 13 = 4 (x 5) + (y ) = 0 及 (x + 1) + y = 0 5. 85 例 9. 直線 y = x 與圓 x + y 5x = 0 相交於 A, B 兩點, 試以 AB 為直徑, 求圓的方程
式? 第二章直線與圓 91 答 :x + y x y = 0 類題 : 三直線 y = 3x,y = x 及 x + 3y = 5 圍成一直角三角形, 求其外接圓方程式? 二次函數 y = x x 7 之圖形交 x 軸於 A, B 兩點, 求以 AB 為直徑的圓方 程式? 答 : x + y x y = 0 x + y 1 7 x = 0 例 10. 已知點 (, 0) 為圓 x + y x y 3 = 0 內部一點, 則過 (, 0) 之所有弦中點的軌跡方程式為何? 答 :x + y 3x y + = 0 例 11. A( 9, 0),B( 1, 0), 若動點 P 滿足 PA : PB= 3:1, 求 P 之軌跡方程式? 答 :x + y = 9
9 鳳中數學講義 ( 三 ) 類題 :1. 設 AB 長為定數 a,a, B 兩點各在 x, y 軸上移動, 求 AB 中點 P(x, y) 所成的軌跡方程式. 自定點 A(a, 0) 作線段 AP, 當 P 點繞原點作一圓時, AP 的中點所成的圖形是什麼? 3. 定點 A(6, 5), 點 P 為圓 x + y = 4 上的動點, 則 AP 的中點軌跡方程式為何? 答 :1. 圓 x + y = a. 圓 3. 4x + 4y 4x 0y + 57 = 0 例 1. 滿足不等式 (x + y 1)(x + y x) 0 之圖形面積若干? π 答 : + 3 3 類題 : 求滿足 ( x 3) + ( y 4) 5 之圖形面積若干? 答 : 96 + 50π
乙 圓與直線的關係 第二章直線與圓 93 乁重點整理乁圓與直線有相交於相異兩點 相切 相離三種關係, 可用解方程組或用圓心距來判斷其關係 解方程組判別圖形關係 : ax + by + c = 0, 求其聯立解 x + y + dx + ey + f = 0 若 有二個不同的實數解, 則相割 ( 兩相異交點 ) 恰有一組解, 則交於一點 ( 相切 ) 無實數解, 則圖形不相交 ( 相離 ) 由弦心距判別圖形的關係 : 設圓的半徑為 r, 圓心到直線的距離為 D, 若 D > r, 則相離 ;D = r, 則相切 ; D < r, 則相交於相異兩點 補充 : 點 Px ( 0, y 0) 到直線 L: ax+ by+ c= 0之距離 dpl (, ) = ax + by + c 0 0 a + b 弦長 : 弦長 = ( 半徑 ) ( 弦心距 ) 註 : 弦的中點與圓心的距離為弦心距 弦中點與圓心連線與弦垂直 例 1. 已知直線 L:λx y λ 1 = 0 及圓 C:x + y 4x y + 1 = 0,λ R, 就 λ 之值, 討論 L 線與圓 C 的關係? 4 答 : 3 4 4 < λ < 0 時相離 λ = 0 或 時相切 λ > 0 或 λ < 時相交於兩點 3 3
94 鳳中數學講義 ( 三 ) 例. 圓 x + y + dx + ey + f = 0 與 x 軸交於相異兩點 A, B, 求 d, e, f 應滿足何種條件? AB 弦長 答 : d 4f > 0 d 4f 例 3. 求圓 x + y 6x + 8y = 0 上的點與直線 4x + 3y 30 = 0 之最近距離 m 及最遠距離 M =? 及最近 最遠點坐標? 答 : 點 (7, 1) 最近距離為 1; 點 ( 1, 7) 最遠距離 11 例 4. 一點 A( 3, 4) 與圓 C:x + y 4x + y + 1 = 0, 若直線 L 過 A 且與圓 C 相交於 P, Q 二點, 且 PQ= 3, 求 L 方程式 答 :3x + 4y 7 = 0 及 4x + 3y = 0
第二章直線與圓 95 例 5. 已知 P 1 (1, ),P (5, ) 為圓 C 一弦的兩端點, 且此弦與圓心距離為, 求圓 C 的方程式? 答 :(x 4) + (y 1) = 10 及 (x ) + (y + 1) = 10 例 6. 若圓 x + y 4x + 6y 3 = 0 與直線 3x + 4y + a = 0(a < 0) 相交於 A, B 兩點, 且 AB= 4 3, 求 a 之值? 答 : 4 類題 : 若圓 x + y = 5 與直線 y = x + c 不相交, 求 c 的範圍? 直線 x + y = 3 交圓 x + y x y 1 = 0 於 A, B 兩點,AB 弦長? 設 A(1, 1),B(3, 1) 為圓 C 上兩點且 AB 線與 C 圓心距離為, 求圓 C 之 方程式? 一圓之圓心為 (1, ), 有一弦中點坐標為 (3, 3) 且弦長為 4 5, 求 包含該弦的直線方程式? 圓的方程式為? 答 : c > 5 5 10 (x 3) + (y 1) = 4 及 (x 1) + (y + 1) = 4 x + y 9 = 0 (x 1) + (y ) = 5
96 鳳中數學講義 ( 三 ) 丙 圓的切線方程式 乁重點整理乁 圓的切線方程式 圓與切線的關係 圓心到切線的距離 = 半徑 圓與切線恰交於一點 ( 判別式 = 0) 圓心與切點的聯線與切線垂直 切線求法 : 過圓 (x h) + (y k) = r 上一點 (x 0, y 0 ) 作切線, 則切線方程式為 (x 0 h)(x h) + (y 0 k)(y k) = r 過圓 x + y + dx + ey + f = 0 上一點 (x 0, y 0 ) 作切線, 則方程式為 x + x 0 x 0 x + y 0 y + d( ) + e( + y y 0 ) + f = 0 自圓外一點 P(x 0, y 0 ) 作圓 (x h) + (y k) = r 之切線, 先設切線為 y y 0 = m(x x 0 ), 再由圓心 (h, k) 到切線距離 = r, 求 m 切線段長 : 自圓外一點 P(x 0, y 0 ) 向圓 C:x + y + dx + ey + f = 0 作切線段, 其長為 x 0 0 0 0 + + y + dx + ey f 例 1. 若直線 x y = k 與 x + y = 1 相切, 求 k 之值? 答 :± 例. 求過點 (, ) 與圓 (x 1) + (y + ) = 5 相切的直線方程式? 答 :3x 4y + 14 = 0
例 3. 過圓外一點 P(1, 1) 作圓 x + (y + 3) = 1 之切線, 求切線方程式? 答 :15x 8y 7 = 0 及 x = 1 第二章直線與圓 97 例 4. 在坐標平面上 (7, 5) 處有一光源, 求此光源將圓 x + (y-1) = 1 投射到 x 的影長 答 : 16 3 例 5. 一圓切直線 x + y = 6 於點 (, 4), 圓的半徑長為, 求此圓的方程式? 答 :(x 3) + (y 5) = 及 (x 1) + (y 3) =
98 鳳中數學講義 ( 三 ) 例 6. 直線 3x + 4y 6 = 0 與坐標軸 x, y 軸圍成一個三角形, 求此三角形內切圓方程式? 答 :x + y x y + 4 1 = 0 類題 : 求與直線 x y +1 = 0 平行且與圓 x + y = 4 相切的直線方程式? 試求過原點且與圓 x + y 9x 11y = 0 相切的直線方程式? 若直線 y = mx + 為圓 x + y = 1 切線, 求 m 之值? 過點 ( 4, 4) 且與圓 x + y 6x 6y 7 = 0 相切的直線方程式為何? 圓心在 x y = 6 線上且切兩軸之圓方程式為何? 過點 (1, 5) 且與圓 x + y + 4x y 4 = 0 相切之直線的方程式為何? 答 : y = x ± 5 9x + 11y = 0 ± 3 3x 4y + 8 = 0 及 4x + 3y + 4 = 0 (x + 6) + (y + 6) = 36 及 (x ) + (y + ) = 4 3x + 4y + 17 = 0 及 x 1 = 0 例 7. 自圓 3x + 3y +1x 6y + 11 = 0 外部一點 P(1, ) 作此圓之切線段, 求此切線段之長? 答 : 3 78 類題 : 圓 C:x + y x y 3 = 0, 求到圓 C 所作之切線段長恆為 5 之一切點所成集合的方程式? 同時與 x 軸及直線 4x 7y + 4 = 0 相切之圓的圓心所成的圖形方程式?
答 : x + y x y 8 = 0 3x 4y + 3 = 0 及 4x +3y + 4 = 0 第二章直線與圓 99 例 8. 過圓 (x + 1) + y = 4 外一點 P(3, ) 作圓的切線, 得切點為 A, B, 求 ΔPAB 之外接圓方程式為何? 答 :x + y x + y 3 = 0 類題 : 一圓的方程式為 x + y 8x + 4y 5 = 0, 考慮此圓任意兩條互相垂直切線的交點, 所有這種交點所成圖形的方程式為何? 87 社 二直線 L 1 :x y = 1,L :x + y = 4 的交點為 A, 再自另一點 P( 1, 0) 分別作 L 1, L 之垂線, 垂足分別是 B, C, 求過 P, A, B, C 四點的圓方程式? 答 : (x 4) + (y + ) = 50. x + y x y = 0
100 鳳中數學講義 ( 三 ) 綜合練習 1. 求圓 x + y 4x + y + 3 = 0 上的點到點 (6, 3) 的最小距離與最大距離各多少?. 求圓 x + y x 4y + 1 = 0 關於直線 x + y = 10 的對稱圖形方程式? 3. 點 (a +, a) 在圓 x + y 6x 8y + 1 = 0 的內部, 求實數 a 的範圍? 4. 一圓過兩點 (11, 1) 與 (1, 6) 且半徑為 5, 求其方程式? 5. 試就 k 之值 (k R) 討論 x + y x + 4y + k = 0 之圖形? 6. 作圖 x + 1 = 5 y 7. 若直線 kx y k 1 = 0 與圓 x + y 4x y + 1 = 0 相交 ( 含相切 ), 求 k 的範圍? 8. 求過原點且與圓 x + y x y + 1 = 0 相切的直線方程式為何? 又切線段之長為若干? 9. 直線 y + mx m = 0 與圓 x + y y = 0 相交於 A, B 兩點, 若 AB=, 求 m 之值? 10. 以 (1, 1) 為弦中點, 求圓 (x ) + y = 5 的弦長? 此弦的方程式為? 11. 半徑為 5, 圓心在直線 x = y 上且與 x 軸相切, 求圓的方程式? 1. 一圓的圓心在第一象限, 半徑長為 3 5 且與線 L:x + y = 5 相切於點 A(3, 1), 求 圓的方程式? 13. 一圓的圓心在第一象限, 圓與直線 x = y 相切並過兩點 (, 0),(4, 0), 求圓的方程式? 14. 一圓與 y 軸相切於點 (0, 4), 且在 x 軸截出段弦長為 6, 求此圓的方程式? 15. 圓 C:x + y 4x + y + 1 = 0, 點 A(6, ), 求下列各條件之值? A 到圓 C 之切線長? 點 P 在圓 C 上, 則 AP 最大值為若干? 上題中 AP 有最大值時 P 的坐標為何? A 到圓 C 作切線, 切點為 M, N, 求 ΔAMN 的外接圓方程式? 16. 由點 A( 1, 3) 向圓 x + y = 5 作切線, 求切點坐標? 17. 斜率為 m 且與圓 (x h) + (y k) = r 相切的直線方程式為 y k = m(x h) ± r 1 + m, 試證明之 18. 在坐標平面上, 選出與圓 ( x 3) + ( y 4) = 5 相切的直線 : (1) 3x+ 4y = 5 () 3x+ 4y = 0 (3) 4x+ 3y= 5 (4) 4x+ 3y = 0 (5) 4x + 3y = 1 95 指考乙 19. 設 P, A, B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點, 其中 P 點坐標為 ( 1,0), A 點 1 5 坐標為 (, ), 且 APB 為直角, 則 B 點坐標為 (, ) ( 化成最簡 13 13 分數 )
第二章直線與圓 101 96 學測 0. 在坐標平面上, 一圓通過點 (, 7), 且與直線 4x+ 3y 14= 0相切於點 ( 1, 6), 若此 圓的方程式為 x + y + ax + by + c = 0, 則 a =, b =, c = 96 指考甲 1. 設 Γ : x + y 10x+ 9 = 0 為坐標平面上的圓 試問下列哪些選項是正確的? (1) Γ 的圓心坐標為 (5,0) () Γ 上的點與直線 L : 3x+ 4y 15= 0的最遠距離等於 4 (3) 直線 1 + + = 與 Γ 相切 L : 3x 4y 15 0 (4) Γ 上恰有兩個點與直線 (5) Γ 上恰有四個點與直線 3 L : 3x 4y 0 + = 的距離等於 L :3x 4y 5 0 + = 的距離等於 97 學測. 試問坐標平面上共有幾條直線, 會使得點 O (0,0) 到此直線之距離為 1, 且點 A (3,0) 到 此直線之距離為?(1)1 條 () 條 (3)3 條 (4) 4 條 (5) 無窮多條 98 學測 x 3. 設 R 代表坐標平面上由下列兩個不等式所定義的區域, + y 4,求函數 x + y 在 y 1 區域 R 上的最大值與最小值 98 指考甲 4. 考慮坐標平面上以 O (0,0) A (3,0) B (0,4) 為頂點的三角形, 令 C 1 C 分別為 ΔOAB 的外接圓 內切圓 請問下列哪些選項是正確的? (1) C 1的半徑為 () C 1的圓心在直線 y = x上 (3) C 1的圓心在直線 4x+ 3y= 1上 (4) C 的圓心在直線 y = x上 (5) C 的圓心在直線 4x+ 3y= 6上 100 學測 1. 3,5. x + y 13 6x 1y + 41 = 0 3. 1 < a < 5 4. (x 15) + (y + ) = 5 或 (x 8) + (y + 3) = 5 5. k < 5 圓,k = 5 點,k > 5 無圖形 4 6. 略 7. k 0 或 k 3 答案 8.x = 0 及 y = 0;1 9.1 或 11. (x 5) + (y 5) = 5 或 (x + 5) + (y + 5) = 5 1. (x 6) + (y 7) = 45 1 7 10. 3,x + y = 0
10 鳳中數學講義 ( 三 ) 13.(x 3) + (y 1) = 14. (x ± 5) + (y 4) = 5 11 15.(1) 1 ()7 (3) (, ) (4) (x 6)(x ) + (y )(y + 1) = 0 16. (, 1) 及 (1, ) 5 5 1 5 17. 略 18. () 19. (, ) 13 13 3. 最大值為,最小值為 3+ 1 4. (3)(4) 0. a = 10, b = 6, c = 9 1. (1)()(4). (3)