數學 A 第一章 : 直角坐標系 1. 2. 坐標平面上有 A 1, 1 B 2, 2 (1) A B 兩點之間的距離 :AB = 2 1 2 + 2 1 2 (2) A B 兩點的中點 :M AB = 1+ 2 2, 1+ 2 2 3. 分點公式 : 若坐標平面上有 A 1, 1 B 2, 2,P 為 AB 上之任一點, 且 PA: PB = m: n 則 P, = n 1+m 2 m+n, n 1+m 2 m+n m n A 1, 1 P, B 2, 2 *( 交叉相乘 ) 4. 重心坐標 : ABC 中,A 1, 1 B 2, 2 C 3, 3 則 ABC 的重心 :G, = 1+ 2 + 3 3, 1+ 2 + 3 3 A 1, 1 G * 重心 : 三中線的交點 B 2, 2 C 3, 3 1
5. 線型函數 : (1) 常數函數 : = f = k,k 為常數, 圖形為水平線 = f = k (2) 一次函數 : = f = a + b, 圖形為一直線 a. 左下右上 :a > 0 b. 左上右下 : a < 0 (3) 二次函數 : = f = a 2 + b + c, 圖形為拋物線 a. 頂點 :v b, b 2 4ac 2a 4a b. 對稱軸 : = b 2a c. 判別式 : = b 2 4ac 1. > 0: 和 軸交於兩點 2. = 0: 和 軸交於一點 3. < 0: 和 軸沒有交點 開口方向 > 0 = 0 < 0 恆正 開口向上 恆負 開口向下 2
第二章 : 三角函數 1. 扇形 (1) 弧長 S = rθ S (2) 面積 A = 1 2 rs = 1 2 r2 θ r θ 2. 角度與弧度的變換 O π 180 角度 弧度 3. 有向角 180 π (1) 正向角 : 逆時針方向旋轉的角 (2) 負向角 : 順時針方向旋轉的角 B B 終邊 始邊 正向角 負向角 O 始邊 A O 終邊 A 4. 同界角 : 始邊和終邊相同的有向角, 且其三角函數值相等 (1) 最小正同界角 : 角度小於 360 2π (2) 最大負同界角 = 最小正同界角 360 2π 5. 銳角三角函數 (1) 正弦 :sin θ = a c B (2) 餘弦 :cs θ = b c (3) 正切 :tan θ = a b c a (4) 餘切 :ct θ = b a θ (5) 正割 :sec θ = c b A b C (6) 餘割 :csc θ = c a 3
6. 特別角之三角函數 函數 角度 30 π 6 sin θ 1 2 cs θ 3 2 tan θ 1 3 45 π 4 60 π 3 ct θ 3 1 1 sec θ 2 3 csc θ 2 2 2 0 90 π 2 180 π 270 3π 2 1 2 3 2 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 2 1 3 0 無意義 0 無意義 3 無意義 0 無意義 0 2 2 1 無意義 1 無意義 3 無意義 1 無意義 1 2 2 1 1 2 3 30 45 3 60 1 7. 三角函數的基本關係式 (1) 平方關係 : a. sin 2 θ + cs 2 θ = 1 ( 倒三角 ) b. tan 2 θ + 1 = sec 2 θ c. 1 + ct 2 θ = csc 2 θ 4
(2) 倒數關係 : a. sin θ csc θ = 1 csc θ = 1 sin θ ( 對角線 ) b. cs θ sec θ = 1 sec θ = 1 cs θ c. tan θ ct θ = 1 ct θ = 1 tan θ (3) 商數關係 : a. tan θ = ( 相鄰乘積 ) b. ct θ = sin θ cs θ cs θ sin θ (4) 餘角關係 : a. sin 90 θ = cs θ ( 左右 ) cs 90 θ = sin θ b. tan 90 θ = ct θ ct 90 θ = tan θ c. sec 90 θ = csc θ csc 90 θ = sec θ 8. 廣義三角函數 :P(,) 為有向角 θ 終邊上之任一點, 其中 r = 2 + 2 sin θ = r csc θ = r cs θ = r sec θ = r P(,) r θ tan θ = ct θ = 9. 三角函數值得正負 : sin θ 皆正 csc θ tan θ cs θ ct θ sec θ 5
10. 化任意角的三角函數為銳角三角函數 : a. 判斷正負 : 根據題目原本的角度所在的象限判斷 b. 是否變餘角 : 用 90 或 270 作加減轉換的角度要變成餘角 11. 和差角公式 : a. sin α ± β = sin α cs β ± cs α sin β b. cs α ± β = cs α cs β sin α sin β c. tan α ± β = tan α± tan β 1 tan α tan β 12. 二倍角公式 : a. sin 2θ = 2 sin θ cs θ b. cs 2θ = cs 2 θ sin 2 θ = 1 2sin 2 θ = 2cs 2 θ 1 c. tan 2θ = 2 tan θ 1 tan 2 θ 6
第三章 : 式的運算 q ( 可以寫成分數 ) p 1. 數系的發展 : 正整數 : 自然數 (N) 實數有理數整數零 (R) (Q) (Z) 負整數 小數 無理數 : 不循環的無限小數 有限小數 循環小數 2. 運算性質 :( 針對加法和乘法 ) (1) 封閉性 : +, 都是實數 (2) 交換律 : + = + = (3) 結合律 : + + z = + + z z = z (4) 分配律 : + z = + z (5) 單位元素 : + 0 = 0 + = 1 = 1 = * 0 為加法單位元素 1 為乘法單位元素 (6) 反元素 : + = + = 0 1 = 1 = 1 ( 0) * 與 互為加法反元素 與 1 互為加乘法反元素 ( 倒數 ) 3. 性質 : (1) 三一律 : >, =, <, 三式中恰有一式成立 (2) 遞移律 : 若 > 且 > z, 則 > z (3) 加法律 : 若 >, 則 + z > + z (4) 乘法律 : 當 z > 0 時, 若 >, 則 z > z 當 z < 0 時, 若 <, 則 z < z 4. 多項式 :f = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0 (1) 係數 :a k (2) 領導係數 :a n (3) 常數項 :a 0 (4) 次數 :n, 通常以 deg f = n 表示 7
5. 常數多項式零次多項式 :f = a 0,a 0 0 零多項式 :f = 0 6. 多項式的加 減 乘法 (1) 注意事項 :a. 降冪排列 b. 對齊 c. 同類項合併 d. 缺項要補零 (2) 方法 : a. 橫式計算法 b. 直式計算法 c. 分離係數法 7. 多項式的除法 (1) 注意事項 :a. 降冪排列 b. 對齊 (2) 方法 : a. 長除法 c. 同類項合併 d. 缺項要補零 b. 綜合除法 : 用於除式為一次式時 Q 8. 除法原理 : 被除式 = 除式 商式 + 餘式 g f f = g Q + r() + r() 9. 餘式定理 : 設實數 a 0, 多項式 f 除以 a b 的餘式為 f b a 10. 因式定理 : 設 a 0, 若 a b 為 f 之因式, 即 f b a = 0 f b a = r( b a ) f b a = r( b a ) = 0 除法原理餘式定理因式定理 11. 因式分解公式 : (1) 完全平方公式 : a ± b 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (2) 完全立方公式 : a ± b 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 (3) 平方差公式 : a 2 b 2 = a + b a b (4) 立方和 差公式 :a 3 ± b 3 = a ± b a 2 ab + b 2 8
12. 一元二次方程式的解法 :a 2 + b + c = 0 (1) 因式分解法 (2) 十字交乘法 (3) 配方法 (4) 公式解法 : = b± b 2 4ac 2a 13. 判別式 :D = b 2 4ac (1) D > 0: 兩相異實根 (2) D = 0: 兩相等實根 (3) D < 0: 沒有實根 14. 根與係數的關係 : 設 α 和 β 為一元二次方程式 a 2 + b + c = 0 的兩根 則 (1) α + β = b a (2) αβ = c a 15. 整係數一次因式檢驗法 : 牛頓定理, 用於分解三次以上之一元方程式設 f = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0 為一個整係數 n 次多項式, 若整係數一次式 a b 是 f 之因式, 且 a b 互質, 則 a a n 且 b a 0 9
第四章 : 指數與對數 1. 指數律 : (1) a m b n m +n = a (2) am a n = am n (3) a b n = a n b n (4) a b n = a n b n (5) a m n = a mn 2. 整數指數 : (1) a 0 = 1 (2) a n = 1 a n 3. 分數指數 : (1) a 1 n n = a (2) a m n n = a m 4. 指數函數圖形 : = f = a (1) 指數圖形皆在 軸上方 = f = a > 0 (2) 必通過 (0,1) (3) 當 a>1, = f = a 遞增 (4) 當 0<a<1, = f = a 遞減 (5) = a 和 = 1 a 的圖形對稱 軸 5. 指數對數 a = b lg a b = 6. 對數性質 : (1) lg a 1 = 0 (2) lg a a = 1 (3) lg a MN = lg a M + lg a N (4) lg a M N = lg a M lg a N (5) lg a r M s = s r lg a M (6) a lg a M = M (7) lg a b lg b c = lg a c 10
7. 換底公式 :lg a b = lg c b lg c a 8. 對數函數圖形 : = f = lg a (1) 對數圖形皆在 軸右方 (2) 必通過 (1,0) (3) 當 a>1, = f = lg a 遞增 (4) 當 0<a<1, = f = lg a 遞減 (5) = lg a 和 = lg1 的圖形對稱 軸 a 9. 指數與對數函數圖形對稱於直線 = 10. 常用對數 : 以 10 為底的對數, 即 lg 10, 記作 lg 10 11. 自然對數 : 以 e= 2.71828 為底的對數, 即 lg e, 記作 ln 12. lg = n + a, 首數為 n 尾數為 a (1) n 必為整數,a 必為正的純小數或 0 (2) 若 n > 0, 則 為 n + 1 位數 (3) 若 n < 0, 則 在小數點以下第 n 位開始不為 0 11
第五章 : 直線方程式 1. 斜率 (m): 兩點座標 P 1, 1 Q 2, 2 m PQ = Δ Δ = 2 1 2 1 2. 斜角 (θ):tan θ = m 3. (a) 平行 軸 (c) 左下右上 (b) 垂直 軸 m = 0 θ = 0 (d) 左上右下 m > 0 0 < θ < 90 m = θ = 90 m < 0 90 < θ < 180 4. 平行 :L 1 L 2 m 1 = m 2 5. 垂直 :L 1 L 2 m 1 m 2 = 1 6. 直線方程式的求法 : 依據題目選擇 (a) 點斜式 : 定點 A,, 斜率 m L: 1 = m 1 (b) 兩點式 : 定點 A 1, 2 B 2, 2 L: 2 1 1 = 2 1 1 (c) 斜截式 : 斜率 m, 軸截距 b L: = m + b (d) 截距式 : 軸截距 a, 軸截距 b 7. 直線 L 1 : a + b + c = 0 L: a + b = 1 (a) L 1 L 2 L 2 : a + b + k = 0 L 1 L 2 L 2 : b a + t = 0 (b) b = 0 m L 不存在 b 0 m L = a b 12
8. 二元一次方程式圖形 : 直線 L 1 : a 1 + b 1 + c 1 = 0 L 2 : a 2 + b 2 + c 2 = 0 判別方式名稱解平面幾何意義圖形 a 1 a 2 b 2 b 2 a 1 a 2 = b 2 b 2 c 2 c 2 a 1 a 2 = b 2 b 2 = c 2 c 2 相容方程組恰有一解兩相交直線 矛盾方程組無解兩平行直線 相依方程組無限多解兩重合直線 9. 點到直線的距離 : 線外一點 P 0, 0 直線 L: a + b + c = 0 d P, L = a 0+b 0 +c a 2 +b 2 10. 兩平行線的距離 : 直線 L 1 : a + b + c 1 = 0 L 2 : a + b + c 2 = 0 d L 1, L 2 = c 1 c 2 a 2 +b 2 13
第六章 : 二元一次不等式與線性規劃 1. 一元一次不等式 : 保持未知數項的係數為正, 解未知數的範圍 2. 一元二次不等式 : 因式分解後求未知數的範圍 α < β (a) α β < 0 α < < β + + (b) α β > 0 > β < α (c) α β 0 α β α β (d) α β 0 β α 3. 絕對值不等式 : (a) < a a < < a (b) > a > a < a (c) a a a (d) a a a 4. 二元一次不等式 : 做圖時, 包含直線 L 則用實線表示, 不包含直線 L 則用虛線表示 (a) 直線之上方和右方為直線 >0 時 (b) 直線之下方和左方為直線 <0 時 5. 線性規劃 : 步驟 :(1) 依據題目意思列表 (2) 求目標函數 f, (3) 畫出可行解之區域 S (4) 標出各頂點坐標 (5) 代入 f,, 求出最大值 Ma 或最小值 min 14
第七章 : 圓 1. 圓的標準式 : 圓心, k 半徑 r 圓 c: 2 + k 2 = r 2 2. 圓的一般式 : 2 + 2 + d + e + f = 0, 其中判別式 = d 2 + e 2 4f (a) d 2 + e 2 4f > 0: 表一圓 (1) 圓心, k = d 2, e 2 (2) 半徑 r = 1 2 d 2 + e 2 4f (b) d 2 + e 2 4f = 0: 表一點圓心, k = d 2, e 2 (c) d 2 + e 2 4f < 0: 無圖形 3. 點與圓的關係 : 將點代入圓方程式求值 t (a) t > 0: 點在圓外 (b) t = 0: 點在圓上 (c) t < 0: 點在圓內 4. 線與圓的關係 : 直線 L: a + b + c = 0 圓 C: 2 + k 2 = r 2 (a) 相離 D > r 圓心到直線的距離 D = (b) 相切 D = r a+bk +c a 2 +b 2 (c) 相割 D < r L 5. 圓的切線方程式 : (a) 過圓上一點 P 0, 0 (1) 圓 c: 2 + k 2 = r 2 切線 L: 0 + 0 k k = r 2 (2) 圓 c: 2 + 2 + d + e + f = 0 切線 L: 0 + 0 + d + 0 2 + e + 0 2 + f = 0 (b) 過圓外一點 P 0, 0 : 切線方程式必有兩條 L 1 L 2 步驟 :(1) 求出圓心, k 和半徑 r (2) 假設切線方程式的斜率為 m 切線方程式為 0 = m 0 (3) 利用 d, L = r 求出 m (4) 將 m( 有兩解 ) 代回步驟 (2), 若 m 只有一解則另一切線為 = 0 15
第八章 : 排列組合 1. 乘法原理 2. 階層 : (a) 0! = 1 (b) n! = n n 1 n 2 3 2 1 3. 排列 : (a) 完全相異物的直線排列 : 從 n 個完全不相同的東西中取 m 個出來排列 P m n = n! (n m)! (b) 不完全相異物的直線排列 : 先看成完全相異物的直線排列, 再將相同的除掉 * P n n = n! P n 0 = 1 4. 重複排列 : 從 n 個完全不相同的東西中取 m 個出來排列, 可重複選取 n m 5. 組合 : (a) 不重複 : 從 n 個完全不相同的東西中取 m 個出來組合 C m n = P m n m! = n! n m!m! (b) 可重複 : (1) 從 m 個相同的東西分給 n 個人, 每人可兼得 (2) 1 + 2 + + n = m 的非負整數解 (3) 從 n 個完全不相同的東西中取 m 個出來組合, 可重複選取 H m n = C m m+n 1 6. 組合常用公式 : (1) C n n m = C n m (2) C n m = C n 1 n 1 m 1 + C m (3) C n n = C n 0 = 1 7. 二項式定理 : + n = C n 0 n + C n 1 n 1 + C n 2 n 2 2 + + C n k n k k n + + C n 1 n 1 + C n n n + n = n k=0 C k n n k k 16
第九章 : 機率 1. 集合 :A = a, b, c, d (1) 元素 :a, b, c, d (2) 屬於 : a A, b A ( 元素屬於集合 ) (3) 不屬於 : 2. 子集 :A = a, b, c, d B = a, b, c * ( 空集合 ) 為任一集合的子集 B A:B 包含於 A 3. 集合相等 :A B B A A = B (a) 元素個數相同 (b) 元素的數字相等 4. 聯集 :A B = A 或 B 5. 交集 :A B = A 且 B 6. 差集 :A B = A 且 B 7. 宇集 ( 基集 ) U 8. 補集 ( 餘集 ) A :A = U A 9. 集合元素個數 n 常用的公式 : (a) n A B = n A + n B n(a B) (b) n A B = n A n(a B) 10. De Mrgan 定律 : (a) A B = A B (b) A B = A B 11. 名詞介紹 : (a) 樣本空間 S: 一隨機試驗中, 所有可能發生的結果所成的集合 (b) 事件 : 樣本空間中的每一個子集 (1) 全事件 ( 必然事件 ): 樣本空間本身 (2) 空事件 ( 不可能事件 ): (3) 基本事件 : 只含一個樣本的事件 (4) 和事件 :A B (5) 積事件 :A B (6) 餘事件 :A (7) 互斥事件 :A B = 17
12. 機率 :P A = n(a) n(s) 13. 機率的性質 : (a) P S = 1 (b) P( ) = 0 (c) 0 P(A) 1 (d) P A = 1 P(A) (e) P A B = P A + P B P(A B) 14. 期望值 E = 機率 p 報酬 a E = p a 18
第十章 : 統計 1. 統計三要素 (a) 統計資料 :(1) 數字性 (2) 群體性 (3) 客觀性 (b) 統計方法 (c) 統計原理 :(1) 敘述統計學 (2) 解析統計學 2. 資料調查方法 : 普遍調查 ( 普查 ) 和抽樣調查 ( 抽查 ) 3. 抽樣方法 : (a) 非隨機抽樣 : 主觀 個體被選中的機會不一樣 (b) 隨機抽樣 :(1) 簡單隨機抽樣 : 隨便選 (2) 系統抽樣 : 先按順序排好, 再依照某個定律選 (3) 分層抽樣 : 先按某種標準分組, 再從每組中選取 ( 每組內差異小 組與組間差異大 ) (4) 部落抽樣 : 先按某種標準將之分散到各組, 再從中挑選任一組 ( 每組內差異大 組與組間差異小 ) 4. 次數分配表 : 步驟 (1) 求全距 R: 全距 = 最大值 最小值 (2) 定組數 (3) 定組距 : 組距 全距組數 (4) 定組限 : 每組中的最大值和最小值 (5) 將資料歸類並計算次數 5. 累積次數分配表 : (a) 以下累積 : 由小到大累加 (b) 以上累積 : 由大到小累加 6. 算術平均數 μ : (1) 未分組資料 : n (2) 已分組資料 : = 1 n 1 + 2 + + n = 1 n i=1 i = 1 n f 1 1 + f 2 2 + + f k k = 1 n k i=1 f i i 19
7. 加權平均數 W: W = 1W 1 + 2 W 2 + + n W n W 1 +W 2 + +W n 8. 中位數 M e : 將 n 個數值從小到大排列 (1) n 為奇數 :M e = n +1 2 (2) n 為偶數 :M e = 1 2 (n 2 + n 2 +1) 9. 眾數 M : 一群數值中出現最多次的數 10. 百分等級 (PR 值 ):PR = F n 100 (n 表總次數 表原始分數 F 表小於 的累積次數 ) 11. 四分位距 :IQR = Q 3 Q 1 * 四分位數 : 將 n 個數值從小到大排列後, 分成四等份的分界點 12. 母體 σ = 標準差 n 1 ( n i ) 2 i=1 σ 2 = 1 n 變異數 n i=1 ( i ) 2 樣本 S = n 1 ( n 1 i ) 2 i=1 S 2 = 1 n ( n 1 i ) 2 i=1 * S = 13. 常態分配 : 左右對稱 鐘形 (1) ± S:68% (2) ± 2S:95% (3) ± 3S:99% n 1 ( n 1 i ) 2 i=1 = 1 n 1 n i=1 i 2 n 2 14. 信賴區間 : 抽樣誤差 誤差容忍度題意 ± 抽樣誤差 15. 信心水準 : 有多大的信心 1 α 16. 顯著水準 α: 犯錯的機率 20