TFSH 05 數學第四冊第二章排列組合 P m! m!! m m! m! H m m m y r r y r r0 a p a q a 九十六學年度第二學期 座號 : 姓名 : http://cplee8tcfsh.blogspot.com/ cplee8tcfsh-4--/
- 計數原理一 加法原理 :( 或 )( 互斥 ) BA A A k, 且 A,A, A k 為兩兩互斥的集合, 則 (B)(A )(A ) (A k ) (B) 表集合 B 的元素個數 A,A,,A k 稱為集合 B 的一個分割 (Partitios) E. 從甲地到乙地, 走公路有 6 條路線, 走海路有 條路線, 利用航空有 4 條路線, 其餘沒有其他路線, 則從甲地到乙地共有幾條路線可到達?As:. 補集 : ()(A )(U)-(A) ()(A B )((A B) )(U)-(A B) (DeMorga). 差集 :(A-B)(A)-(A B) E.A{ N, 0 6 },B{ 0k,k Z}, 則 (A-B)?As:900 二 排容原理 : ()(A B)(A)(B)-(A B) ()(A B )(A)(B)()-(A B)-(B )-( A)(A B ) ()(A A A t ) t i A i A i A j A i A j A k t A i A j A t i j i j k. 加法原理 : 上式中, 因為互斥, 所以交集均為空集合 E. 從 000 到 000000 的自然數中, 既不是平方數, 也不是立方數者有多少個? As:997948 E4. 自然數若干個, 其中 的倍數有 5 個,6 的倍數有 個, 或 的倍數有 60 個, 則其中 的倍數有幾個?As: E5. 某班人數 60 人, 在一次抽考英文 數學 化學的考試中, 英文及格的有 4 人, 數學及格的有 9 人, 化學及格的有 4 人 ; 英文 數學兩科不及格的有 4 人, 數學化學兩科不及格的有 人, 英文 化學兩科不及格的有 人, 有兩科或兩科以上不及格的人數為 0 人, 則 :() 三科都不及格的有幾人?() 至少有一科不及格的有幾人?() 三科都及格的人數有幾人? As:9,9, E6. 有一首流行歌曲 姊姊妹妹站起來, 其中一段歌詞是 十個男人, 七個傻, 八個呆, 九個壞, 根據這段歌詞, 請問這十個男人中 : () 又傻又呆的男人, 最少? 位, 最多? 位 As:5,7 () 又傻又呆又壞的男人, 最少? 位, 最多? 位 As:4,7 cplee8tcfsh-4--/
. 歐拉公式 : 到 中, 為 p 倍, 而非 q 倍的數, p,q, 個數 : p,q 整除 : ( p )(- q ) p,q 不整除 : ( p )(- q ) 展開後, 各別取高斯符號 [] E7. 比 4 小且與 4 互質的正整數有幾個?As:0 E8. 由 到 00 的自然數中, 可被 整除, 但不被,5 整除者共有幾個?As:4 三 乘法原理 :( 且 )( 並存 ). 若一試驗包含 k 個步驟, 第一個步驟有 種方法可供選擇, 對於第一個步驟的每一種方法, 第二個步驟都有 種方法可供選擇, 對於前二個步驟的每一種方法, 第三個步驟都有 種方法可供選擇, 依法類推, 則完成此試驗可能的選擇共有 N k ( 種 ) E9. 一樹有 莖, 每莖分 幹, 每幹生 4 枝, 每枝開一花, 問此樹共有多少花? As:4 E0. 某人有相異的帽子三頂, 領帶二條, 上衣三件, 皮帶二條, 褲子三件, 皮鞋二雙, 且外出時必穿戴整齊, 每樣均帶, 求外出時的穿法有幾種?As:6 E.(abcd)(efg)(yzuv) 之展開式中共有幾項?As:60 E.() 元幣 個,0 元幣 個,50 元幣 個,00 元幣 張, 可付出多少種不同款額?As:95 () 若改為 元幣 6 個,0 元幣 個,50 元幣 4 個,00 元幣 張, 則可付出多少種不同款額?As:5. 樹形圖 E. 四面體 ABD, 由 A 至 B 沿稜走, 路程中頂點不重覆, 共有幾種走法? As:5 E4.A,B 兩隊比賽籃球, 無平手, 規定 A 勝三局 A 贏,B 勝二局 B 贏, 試求此比賽之所有可能情形有幾種?As:0 E5. 牆上有一寬 公寸, 長 9 公寸的空白長方形, 現有許多紅色及綠色的長方形磁磚, 而紅磁磚寬 公寸, 長 公寸 ; 綠磁磚寬 公寸, 長 6 公寸, 若用這些磁磚填滿牆上的長方形, 則可填出幾種不同圖形?As:9 cplee8tcfsh-4--/
. 積集合 : () 若 A,B 為兩集合, 且 (A),(B), 則 A,B 的積集合為 A B{(a,b) a A,b B}, 且 (A B)(A) (B) ()A B {(a,b,c) a A,b B,c },(A B )(A)(B)() ()A {(a,a,,a ) a i A, i,,------,},(a )[(A)] E6. 設 A{,,},B{a,b}, 求 A B?As: {(,a),(,b),(,a),(,b),(,a),(,b)} 四 其他 :. 塗色問題 E7. 五種不同的顏色塗右圖, 相鄰著異色, 共有多少種不同的塗法?As:0 E8. 以 5 種不同顏色塗在右圖各區, 但相鄰得異色, 顏色可重複使用, 則共有幾種塗法? As:5 4 4 4 E9. 五種不同的顏色塗右圖, 相鄰著異色, 共有多少種不同的塗法?As:5 4. 街道問題 E0. 如圖所示 橫街 條, 直街 5 條 所組成之社區, 現由 A 到 B, 若途中走過之路段不得重複, 則有幾種不同的路線?As:6 A B E. 如圖街道, 某甲欲由 A 走到 B, 不許走 方向, 且走過的路不能再走, 問有幾種走法? 其中不經 Q 的走法有幾種? As:00;5 A Q B E. 如圖, 由 A 走到 B 的捷徑走法, () 有幾種?() 經過 P 點者有幾種? As:9,5 A P B E. 三位數中, 百位數與個位數之差的絕對值為 的數共有幾個?As:50 E4. 設 a67500, 則 ()a 的正因數有多少個?()a 之正因數中為 9 的倍數, 但不為 5 的倍數者有多少個? 其和為何?As:60;,5 cplee8tcfsh-4--4/
E5. 從 寫到 000 的自然數中, 總共? 個自然數含有, 又一共寫了? 個 (0) 從 到 000 與從 0~999 () 至少一個, 反面作法, 0 9 79 (.) 恰一個 恰二個 恰三個 9 9 9 00 (.) 個位 十位 百位 0 0 0 0 0 0 00 (.) 均分 000 000 As:7;00 E6. 自甲市到乙市有 9 條路, 其中 條是甲向乙單行道, 條是乙向甲單行道, 某人開一汽車作甲乙市往返, 去回不走同路走法有幾種?As:8 E7. 丌枻與美眉來到自助餐店吃晚餐, 今日餐廳提供 道魚 4 道肉 5 道蔬菜 ;() 美眉為了瘦身, 只點一道, 方法幾種?() 丌枻為了營養均衡, 魚 肉 蔬菜各點一道, 方法幾種?As:,60 E8. 某房子有五個門可供進出, 甲 乙由不同門進入, 且由不同門出來, 且各人進去與出來之門不同, 則其法有多少種?As:60 E9. 有一百貨公司佔一 二樓, 而上下樓除有 4 個電梯外, 無其他樓梯可用 今有警察及小偷各一人, 同時由一樓搭不同的電梯上二樓, 過一段時間後, 又同時搭不同的電梯下樓, 且每人上 下樓所搭的電梯亦相異, 則他們上 下樓之方法有幾種? As:84 E0. 長方體中, 互為歪斜線的稜線共有幾對? As:4 E. 有一條鐵路, 沿線有 8 個大站,8 個小站, 若規定大站與大站間用綠色車票, 小站與小站間用黃色車票, 大站與小站間用藍色車票, 則鐵路局應準備綠 黃 藍色單程車票各幾種?As:56;06;88 E. 有一十字路口, 規定不得迴轉及南北向不可左轉, 則此路口有幾種車流動向? As:0 E. 計程車牌號規格為 **-###( 其中 ** 依序由英文字母 AA 編至 ZZ,### 依序由正整數 00 編至 999), 牌號順序如下 :AA-00 AA-00 AA-999 AB- 00 AB-00 AB-999 A-00 AZ-999 BA-00 BB-00, 請問計程車車牌由 PJ-888 至 QA-666 的車共有? 輛 As:676 E4. 有一房間共有五個門, 甲乙丙三人由不同的門進入及出去, 且自己不可由相同的門進出, 則進出一次共有幾種方法?As:90 cplee8tcfsh-4--5/
E5. 愛心彩卷自 00000 號到 999999 號共 999999 張, 老張買了一張, 開獎結果與第一特獎 456 號, 只有一個數字相異, 則老張那張彩卷有幾種可能號碼? As:54 E6. 如圖, 自 A 到 B 規定只能走,, 三個方向, 求下列各有幾種走法? ()A 到 B ()A 到 B 但不經過 P ()A 到 B 但不經過 Q (4)A 到 B 不經過 P 且不經過 Q (5)A 到 B 但必經過 P (6)A 到 B 但必經過 Q (7)A 到 B 但必經過 P 且必經過 Q (8)A 到 B 但必經過 P 且不經過 Q As:40,05,7,0,5,68,9,4 A P Q B E7. 從 00 到 000 的自然數中, 是 的倍數或 5 的倍數者共有多少個?As:4 E8. 從 至 00 的自然數中滿足下列條件的有幾個? () 的倍數但不為 的倍數 ()5 的倍數但不為, 的倍數 ()7 的倍數但不為,,5 的倍數 As:50,40,80 E9. 三位數中與 互質的共有幾個?As:55 E40. 從 到 00 的自然數中,() 是 4 的倍數或是 6 的倍數的有幾個?() 不是 4 的倍數也不是 6 的倍數的有多少個?As:,67 E4. 從 到 000 的自然數中, 是 ()4 的倍數或 6 的倍數或 9 的倍數的共有幾個? () 是 4 的倍數或 6 的倍數, 但不是 9 的倍數的有幾個?() 不是 4 或不是 6 或不是 9 的倍數的有幾個?As:89,78,97 E4. 將 50 元紙幣一張兌換成 元或 5 元或 0 元之法有? 種 As:6 E4. 將 000 元換成 500 元,00 元,50 元且規定 00 元至少要一張, 則有? 種換法 As:5 E44. 一元硬幣 個,5 元硬幣 4 個,0 元硬幣 5 個, 則 () 若至少取出一個, 則有幾種不同的取法?() 可配出多少種不同的款項?As:9,59 cplee8tcfsh-4--6/
E45. 從 到 985 的自然數中,() 數字中有 0 的數, 共有幾個?() 從,, 寫到 985, 共需寫幾個 0?As:596,865 E46. 某人寫了一張含所有四位數在內的數表, 則他一共寫了多少個 "6"?As: 700 E47.5400 的正因數有? 個, 所有正因數的總和為? 完全平方之正因數的有? 個, 完全平方之正因數的總和為? 正因數中為 的倍數者有? 個, 若 為 5400 的正因數, 且 (,99), 則 的個數為?As:48,8600,8,00,8, E48. 今有甲 乙 丙三門大砲, 每砲各發射 00 發砲彈, 甲砲每一分鐘發射一發, 乙砲每兩分鐘發射一發, 丙砲每三分鐘發射一發 三砲同時發射第一發砲彈, 問從開始發射到三砲全部發射完畢, 總共可以聽到幾響砲聲?As:99 E49. 某班 50 人參加第一次段考, 經統計知 : 數學及格有 5 人, 英文及格有 40 人, 國文及格有 45 人, 問 :() 數學及格且英文及格的最多有多少人? 最少有多少人? () 數學 英文 國文均及格的最多有多少人? 最少有多少人?As:5,5; 5,0 E50. 班上 60 位同學每人至少須參加 A B 三社團其中之一, 若參加 A 社團的有 4 人, 參加 B 社團的有 6 人, 參加 社團的有 7 人, 三社團皆加入者有 8 人, 則 () 恰參加一社團者有人 () 恰參加二社團者有人 As:,9 E5. 甲乙兩人比賽網球, 規定第一個連勝兩場或先勝三場者贏得比賽, 試求比賽之所有情形有幾種?As:0 E5. 空間中,,y,z 坐標皆為整數, 且距原點 7 的點共有幾個?As:48 E5.T{,,,4,5,6},S{(A,B) A B T}, 則 (S)?As: 6 E54. 樓梯有 8 階, 某人上樓時或跨一階, 或二階, 或三階, 設其由地面至第 級的方法數為 a, 且 a pa qa ra, 則序對 (p,q,r)?, 此人上 8 階的樓梯共有? 法 As:(,,),8 cplee8tcfsh-4--7/
- 排列 (Permutatio) 一 直線排列 :. 完全相異物的直線排列 : () 定義 : 自 個相異物中, 不可重複的取出 m 個, 排成一列, 稱為直線排列, 其方法數記 為 P m m () 公式 : 取部分 : P ( )( ) LL( m ) m 全部取 : P! () 規定 :0! (4) 其中!... ( N) 6 8 9 E55. 求 P P P 4! ( m)! 之值 As:0,6,04 E56.() 設 N, 若 P 0P 4P, 則 P?As:0 4 0 0 0 () 設 N, 若 6P P, 則 P?As:90 錯排 : 應用排容原理 E57. 甲 乙 丙 丁 戊 5 人排成一列, 求下列各情況之排列數 : () 甲不排首 As:96 () 甲不排首, 且乙不排第二位 As:78 () 甲不排首, 乙不排中, 丙不排尾 As:64 (4) 甲 乙 丙 丁依次不在第一 二 三 四位置 As:5 (5) 甲 乙 丙 丁 戊依次不在第一 二 三 四 五位置 As:44. 不盡相異物的直線排列 : () 個物品, 其中含有 k 種不同的種類, 而第 類有 m 個, 第 類有 m 個,------, 第 k 類有 m k ( 此處 m m...m k ),! 將此 個物品全取作直線排列, 共有 m! m! Lm! 種不同的排法 () 若僅取一部份作直線排列, 則需討論取出物件的不同情形, 分別計算排列數想法 : 凡相關位置 ( 相對次序 ) 不變者 視為同物整理 :. 全異物全取排列. 全異物不全取排列. 不全異物全取排列 4. 不全異物不全取排列 E58.a,a,a,b,b,c,c,d 等 8 個字母中, 任取 4 個的方法數為何? 任取 4 個排列的方法數為何?As:6;6 k cplee8tcfsh-4--8/
E59. 如圖, 棋盤形街道由 A 走到 B, 在下列情形各有幾種走法? () 取捷徑走法 () 取捷徑必經 P Q () 取捷徑不經 P 且不經 Q As:0;6;0 P Q B E60. 如圖, 取捷徑由 A 至 B, 有幾種走法? As:8 A B A E6. 由 A(-4,-) 取捷徑移到 B(,), 但每次均移動至格子點 求下列情形的走法數 () 過原點,() 經第二象限,() 不經第四象限 As:50,8,4 想法 : 完全相鄰 :( 先綁著再對調 )( 插空第二式 ) 完全不相鄰 :( 先抽掉再插空隙 )( 插空第一式 )( 越插越少 ) 不完全相鄰 :( 全 完全相鄰 ) ps.( 何時會越插越多?)( 插空第三式 ) E6. 將 5 男 5 女排成一列, 則男女相間的排列數有幾種?As:8800 E6. 甲乙丙三人在排成一列的八個座位中, 選出三個座位就坐,() 若選坐三個相鄰座位, 有幾種不同的坐法?() 若甲乙丙均不相鄰, 有幾種坐法?() 若甲與乙丙不相鄰, 有幾種坐法?(4) 若甲乙丙中恰有 人相鄰, 則有幾種坐法?As: 6,0,80,80 E64. 甲 乙 丙 丁 4 人排成一列, 則 () 規定甲一定在乙左方的排法有幾種?() 規定甲在乙之左方, 乙又在丙之左方的排法有幾種?() 規定甲在乙和丙之左方的排法有幾種?As:,4,8 E65. 忠孝仁愛信義和平 八字全取排成一列, 但 忠孝 不許分開, 信義 必須分開, 和 必須排在 平 的左邊, 則有幾種排法?As:600 E66. 種瓜得瓜種豆得豆 八字全取排列, 瓜 豆 不鄰, 有幾種排法?As:660 E67. 能被 整除而又含有數字 6 之四位數共有幾個?As:056. 重複排列 : 種相異物任取 m 個作直線排列, 可重複選取, 排列數為 m 想法 : 具 唯一性 者, 有主動選擇權!( 主動者在上面 ) E68. 將 6 封不同的信任意投入 4 個不同的郵筒中, 方法共有幾種?As:4096 E69. 渡船 艘, 每艘最多可載 5 人, 今有下列人數要同時安全過河, 問各有幾法? ()4 人 ()5 人 ()6 人 (4)7 人 As:8;4;76;4 cplee8tcfsh-4--9/
E70. 將 5 封不同的信件, 投入 4 個不同的郵筒 ( 分別稱為甲 乙 丙 丁 ), 則甲 乙 丙三郵筒均至少一封的投法有幾種?As:90 註 : 不可分二階段, 舉錯誤示範 二 環狀排列 :( 僅考慮相對位置之排列法 ) 直排 旋轉 環排環排 翻面 鍊排 P. 個元素之環狀排列總數為! ( )! 直排數. 個元素中取 m 個 (m ) 之環狀排列總數 環排邊數 P m m! m m! 想法 :. 轉動法 ( 用除法 );. 指定席 ( 其餘直排 ) E7. 設有甲 乙 丙 ----- 等 8 人, 今選出 5 人作環狀排列,() 任意選取之排列數為何?() 必須含甲之排列數為何?As:44;840 E7. 爸爸 媽媽 哥哥 與妹妹 4 人參加喜宴, 與其他客人坐滿一張 個坐位的圓桌 若 4 人坐位相鄰, 且哥哥 妹妹夾坐於爸爸 媽媽中間, 則共有幾種不同的坐法? As:680 E7. 甲 乙 丙 ----- 等 8 人圍一圓桌而坐, 依下列條件分別求其坐法 :() 任意圍坐 () 甲 乙兩人相鄰而坐 () 甲 乙相鄰而坐, 但丙 丁不相鄰 (4) 甲 乙相鄰, 但丙 丁要相對 (5) 甲 乙 丙相鄰且丙坐於甲 乙之間 (6) 甲 乙 丙三人完全分開 As: 5040;440;960;9;40;440. 正 k 邊形桌排列 : 直排數 個人, 取 km 個人坐正 k 邊形桌, 每邊坐 m 人 ( km), 其坐法 P km k k E74. 有一方桌, 每邊可坐 人,()8 人入坐, 坐法若干?()0 人選 8 入坐, 坐法 若干?As: 7!; P 8 4 0 4. 長方形桌排列 : 個人, 取 r 個人坐長方形桌, 長邊坐 a 人, 短邊坐 b 人 ( rab), P r 其坐法 直排數 / E75. 有 0 人圍一長方形桌而坐, 長邊 人, 短邊 人, 則坐法若干?As:5 9! E76.() 有 8 人圍坐若改坐一長方形桌, 長邊 人, 短邊 人, 則有幾種坐法?() 有 6 人圍坐一正三角形桌, 每邊 人, 則有幾種坐法?As:060;40 5. 鍊狀排列 :( 環排數 /); 個不同物串成一項鍊, 串法有!! cplee8tcfsh-4--0/
E77. 將 5 粒不同顏色的珠子串成手鐲,() 共有幾種串法?() 其中黃 白色一定要在一起, 不得隔離之串法有幾種?() 其中黃 白二色相鄰, 但黃 黑兩色分離之串法有幾種?As:;6;4 三 著色問題. 平面著色 () 先決定各區域之相鄰區域數 () 從相鄰區域數最多者開始, 適當編定順序後, 再逐步塗之 () 當某步驟的塗法有兩種可能情形時, 須分同色 異色加以討論 (4) 在平面上可旋轉時 : 視為環狀排列. 環狀著色 (k 色塗 格, 鄰異色 ): 用 k 色塗 格環形區域 ( 不可旋轉 ), 顏色可重複使用, 且相鄰區域異色的塗法有 a k k 種 遞迴關係式 : a a k k 證明 : 考慮 k 色塗 格直排, 顏色可重複使用, 且相鄰區域異色的塗法有 k k 種, 假設用 k 色塗環形區域 格的方法數為 a 當第一格與第 格異色時塗法為 a, 當第一格與第 格同色時塗法為 a, 可得遞迴關係式 : a a k k 以,4,5,, 代入得 a a k( k ) a4 k( k ) 4 4 a5 k( k ) a k( k ) a a a 累加 同乘 ( ) a a k( k ) 同乘 ( ) a a k( k ) 4 同乘 ( ) a a k( k ) 同乘 ( ) 4 5 4 ( ) a 4 ( ) a ( ) - - -......... - k( k ) a a k k k k k k k k 4 k k a 0 a k k k k k k a k k E78.5 色環塗 6 格, 每格一色, 相鄰異色, 有幾種塗法?As:400 6 5 4 E79. 用 6 種不同的顏色塗下列可轉動的積木木板, 規定每塊均不同色, 則各有幾種方法?As:60,44,80. 立體著色 () 轉動法 : 直排 翻轉數 旋轉數 () 指定席 : 用指定破解翻轉與旋轉步驟 : 指定底面 ( 破解翻轉 ) 頂面 指定側面種類 ( 破解旋轉 ) 其他面例 :6 色塗正 6 面體 5! 例 :0 色塗正 0 面體 9 6 7! 例 : 色塗 BulkBall 五底 六底 6 9! 0 9! cplee8tcfsh-4--/
E80. 色塗正 面體 (4,6,8,,0), 每面一色, 顏色不重複使用, 塗法有幾種? As: 4! 4, 6! 6 4, 8! 8,! 5, 0! 0 E8. 若圖形可翻轉, 用 0 種顏色, 塗下列圖形, 每面一色, 顏色不重複使用, 其塗法各有幾種?() 直四角錐 ( 底為正方形 ) () 正三角錐臺 ( 上 下底部都是正三角形, 側面為全等之梯形 ) () 直圓柱 (4) 正立方體 (5) 正四面體 (6) 長方體 ( 上 下底為正方形 ) (7) 長方體 ( 長寬高互異 ) As:7560;0080;60;600;40;8900;7800 E8. 設 P 4 4P 0P, 求?As:5 E8. 設 a,b,c,d,e 為,,,4,5 之一種排列, 求滿足下列條件之排列數 : ()(a-)(b-) 0 ()(a-)(b-)(c-) 0 ()(a-)(b-)(c-)(d-4)(e-5) 0As:As:78;64;44 E84. 有 5 封不同的信, 及寫好不同住址的 5 個信封, 將 5 封信任意放入這 5 個信封, 則恰有 4 封放錯的共有幾種? As:45 E85. 編號 至 6 的六個球滾入 至 6 的六個洞中, 每洞一球, 則 () 恰有一球號與洞號相同的情形有幾種?As:64 () 所有球號與洞號均不同的情形有幾種?As:65 E86. 如圖所示為一含有斜線之棋盤形街道 今某人欲從 A 取最短捷徑走到 B, 共有幾種走法? As:0 B E87. 一街道如圖, () 若不規定必須走捷徑, 但只能往右, 往上或斜上而走, 則由 A 至 B 之法有幾種?As: () 若規定必須走捷徑, 則由 A 至 B 之法有幾種?As:0 A A B E88. 由 0 人中選出 5 人任意排成一列, 則排列數為何? 又其中甲必須參加, 則排列數為何?As:040,50 cplee8tcfsh-4--/
E89. 甲 乙 丙 丁等 7 人排成一列, 則 () 甲不排首位的排列數為何?As:40 () 甲 乙 丙 人不可分離的排列數為何?As:70 () 甲 乙 丙 人須完全分離的排列數為何?As:440 (4) 甲 乙相鄰, 丙 丁不相鄰的排列數為何?As:960 (5) 甲 乙 丙 人中恰有 人相鄰的排列數為何?As:880 (6) 甲 乙 丙 人中至少有 人相鄰的排列數為何?As:600 (7) 甲 乙 丙 人中至多有 人相鄰的排列數為何?As:40 (8) 甲 乙 丙均不與丁相鄰的排列數為何?As:440 (9) 甲 乙 丙均排在偶數位的排列數為何?As:44 (0) 甲不排首, 乙不排尾的排列數為何?As:70 () 甲不排首, 乙不排中, 丙不排尾的排列數為何?As:6 () 甲 乙之間恰有另二人的排列數為何?As:960 E90. 甲 乙 丙 丁 戊 己六人排成一列, 則 () 甲不排首, 乙不排末的方法有幾種?() 甲 乙 丙不排首, 乙 丙 丁不排末的方法有幾種? As:504,68 E9. 有 4 個男生及 個女生排成一列 若要求男生必須排在一起, 女生亦須排在一起, 則排法有幾種? 若只要求男生必須排在一起, 則排法有幾種?As:88;576 E9.4 個女生及 5 個男生排成一列, 同性不相鄰, 排列方法有幾種?As:880 E9. 精益求精, 實事求是 排成一列, 則同音不相鄰的排法有幾種? As:4440 E94. 由 庭院深深深幾許 七個字, 求下列各個排列數 :() 任意排列 () 三個 深 完全相鄰 () 三個 深 完全不相鄰 (4) 三個 深 不是完全相鄰 (5) 三個 深 恰有二個相鄰 (6) 三個 深 至少有二個相鄰 As:840,0,40,70,480,600 E95. 用 0,,,,4,5, 六個數字排成三位數, 但數字不許重複, 則 () 共有幾種排法?As:00 () 所有這些三位數的總和為何?As: 640 () 的倍數者有幾個?As:40 (4)4 的倍數者有幾個?As:4 (5)5 的倍數者有幾個?As:6 (6) 大於 者有幾個?As:70 (7) 由小而大依次排列, 則第 0 個的三位數為何?As: E96. 將 0,,,,,, 全取排列, 可排出幾個七位數? 其中奇數有幾個? As:60;50 cplee8tcfsh-4--/
E97. 我為人人, 人人為我 排成一列, 使同字不相鄰之排法共有種 As:4 E98. 此恨綿綿無絕期 七個字重新排成一列, 則 () 恨綿綿 三個字相關位置不變, 方法有? 種 () 無絕期 三個字相關位置不變, 方法有? 種 As:840;40 E99.abscissa 八個字母排成一列, 求下列各排列數 :() 任意排列 () 三個 s 相鄰 ()a 為首,s 為尾 (4)b,c,i 的順序不變 (5) 二個 a 不相鄰, 三個 s 分開 (6)b c 不相鄰 As:60;60;60;560;960;50 E00.()baaa 一字中各字母排列之, 共有幾種排法?()mississippi 全取排列之法有多少?As:60;4650 E0. 由 Pallmall 8 個字母, 求下列各項之排列數 :() 全部排列 () 所有 l 均相鄰 () 所有 l 不全相鄰 (4) 所有 l 不相鄰 (5) 所有 l 均相間 (6)m 與 a 相鄰 (7) 同字母不相鄰 As:840;60;780;60;4;90;54 E0. 將 aabbcc 六個字母排成一列, 同字母不相鄰, 排法有幾?As:0 E0. 將 0,,,,,,,4 八個數字排成一排, 可作出幾個八位數? 其中偶數者有幾個?As:940;500 E04. 用,,,4,5 五個數字作成五位數, 數字不許重複, 且由小到大排列, 則 ()45 是第幾個數?() 第 40 個數為何?As:55;45 E05. 一個多重選擇題, 有 A,B,,D,E 五選項, 某同學用猜的, 則他有幾種選法 As: E06. 由 0,,,,4 中, 可重複, 選出三個數字, 排成三位數, 共有幾種排法? 其中為 的倍數者有幾個?As:00; E07. 由,,,4,5,6 六個數字所組成 ( 數字可以重複 ) 的四位數中, 含有奇數個 的共有幾個?As:50 E08. 有 5 件不同的獎品全分給甲乙丙三人, 每人可兼得, 則 () 任意分給之方法有幾種?As:4 () 其中甲未得之方法有幾種?As: () 其中甲至少得一件之方法有幾種?As: (4) 其中甲恰得一件之方法有幾種?As:80 (5) 甲 乙二人每人均至少得一件之方法有幾種?As:80 (6) 每人至少得一件之方法有幾種?As:50 cplee8tcfsh-4--4/
E09. 甲 乙 丙 ----- 等 8 人圍一圓桌而坐, 且甲恰與乙 丙之一相鄰, 則有幾種坐法?As:400 E0. 甲 乙 丙等 8 人, 選出六人做環狀排列, 則下列各情形之方法數為?() 任意選取 ;() 甲必須參加 ;() 甲必須參加但乙不能參加 ;(4) 甲參加時乙不能參加, 甲不參加時丙不可以參加 As:60,50,70,840 E. 主人夫婦與賓客 對夫婦共 8 人圍一圓桌, 依下列條件分別求其坐法 :() 任意圍坐 () 主人夫婦相鄰 () 主人夫婦相對 (4) 男女相間 (5) 男女相間且夫婦相鄰 (6) 夫婦相鄰 (7) 男女相間且夫婦不相鄰 (8) 男女相間且夫婦不全相鄰 (9) 每對夫婦相對而坐 (0) 每對夫婦相對而坐且男女相間 () 男女相間且至少一對夫婦相鄰 () 男生坐在一起, 女生坐在一起 As:5040;440;70;44;;96;;;48; 0;;576 E. 主人夫婦與賓客 對夫婦共 6 人圍一長方形桌而坐, 長邊 人, 短邊 人, 則 () 共有幾種坐法?() 主人夫婦分坐短邊的坐法有幾種?() 主人夫婦相對而坐的坐法有幾種?(4) 主人夫婦在同一邊且相鄰的坐法有幾種?As:60;4;7;48 E. 紅 黃 白 ----- 等 0 個不同色的珠子, 串成一項圈 ( 可翻轉 ), 試求 :() 紅 黃白三色互不相鄰之串法有幾種?() 紅 黃 白三色中恰有兩色相鄰之串法有幾種? As:75600;9070 E4. 有一正三角柱, 即頂面與底面為兩全等正三角形, 側面為三全等矩形 今欲從 7 種顏色中選取 5 種, 塗於此柱, 各面異色, 可得幾種不同的正三角柱?As: 40 E5. 一警報器, 長鳴一次 秒, 短鳴一次 秒, 而鳴放間隔 秒, 則歷時 5 秒, 可放出多少種不同的訊號 ( 但恰於第 5 秒時鳴完 )?As:7 E6. 投一骰子 5 次, 設其出現的點數依次為 a,b,c,d,e, 則 () 滿足 (a b)(b c)(c d)(d e)0 的情形共有幾種? () 滿足 (a b)(b c)(c d)(d e)(e a)0 的情形共有幾種?As:406,4656 E7. 將 AAAAABBBBB 共 5 個字母排成一列, 若前五個位置不排 A, 中間五個位置不排 B, 後面五個位置不排, 則排法有幾種?As:5 E8. 八個身高互異的人直線排列, 若要求任一人之左右鄰不得同時高於自己, 試問有幾種排列方法?As:8 cplee8tcfsh-4--5/
- 組合 (ombiatio) 一 不可重複之組合 :. 定義 : 自 個不同物件中, 任取 r 件 ( 不重複 ) 而不計選出物的次序關係, 則其組合數為 r P r r!! r! r! r ( N,r Z,0 r ) r r r ( 分子由大乘到小共 r 個, 分母由小乘到大共 r 個, 分子分母數量相等 ) ( 組合數 vs. 巴斯卡三角形 ) E9. 若 8, 9, 0 成等差數列, 求 之值?As:4or E0. P 4 84, 求 之值? As:6or7 E. 從大樂透 ~49 之中選出 6 個不相鄰的號碼, 有幾種選擇?As: 44 6 E. 已知 及 k 為正整數, 且 >k, 若 k : k : k ::, 則?As:4. 性質 : () r ( 其中,r N, r)( 左右對稱 ) r ( 從 件相異物中取出 m 個之組合數與取出 -m 個之組合數相同 ) () y 或 y () 0 (4) P m m m! y (5) (,r N, r )( 巴斯卡定理 )( 左上 右上 下 ) r r r E.() 若, 則 8 7 47 47?() 若, 則 r?as:40;5or4 r r 5 4 98 99 E4.() 若 m 4 5 6 89 0 86 m () 若,m<5, 求數對 (,m) As:(00,),m<0, 求數對 (,m) As:(90,4). 幾何計數: () 平面上 個相異點, 若無任三點共線, 則可決定 條直線 () 平面上 個相異點, 若無任三點共線, 則可決定 個三角形 () 平面上 個相異點, 若恰有 m 個點共線, 則可決定 m 條直線 (4) 平面上 個相異點, 若恰有 m 個點共線, 則可決定 m 個三角形 (5) 平面上 條相異直線, 若任三線不共點且兩兩不平行, 則共有 個交點 (6) 平面上 條相異直線, 若恰有 m 條直線平行, 則共有 m 個交點 (7) 平面上 條相異直線, 若恰有 m 條直線交於一點, 則共有 m 個交點 cplee8tcfsh-4--6/
E5. 一平面上有 5 個相異點, 其中任三點不共線, 則 () 可決定幾條直線? () 以這些點為頂點的三角形共有幾個?As:0;0 E6. 一平面上有 個相異點, 其中 A,B,,D 四點共線, 又 A,E,F,G,H 五點亦共線, 其餘任三點無共線者, 則此 個點可決定幾條直線? 幾個三角形?( 以已知點為頂點 )As:5;06 E7. 平面上有 條相異直線, 其中有 4 條直線共點, 另有 5 條直線兩兩互相平行, 其餘任三線不共點, 任二線不平行, 則 () 這些直線共有? 個交點 () 這些直線共可圍成? 個三角形 As:5;6 E8. 如圖, 每一小格均為正方形, 則 () 矩形有? 個 () 正方形有? 個 As:60;0 E9. 如圖, 每一小格均為正方形, 則 () 矩形有? 個 () 正方形有? 個 As:64;40 三 分組與分堆問題 : 將相異物分給 個人的原則 : 先組合, 再排列 E0. 將 9 件不同的玩具, 依下列各款分法若干? () 平分給甲 乙 丙三人 As:680 9 6 () 平分成三堆 As:80 9 6! () 平分給三人 As:680 9 6 (4) 分給甲 4 件, 乙 件, 丙 件 As:60 9 5 4 (5) 按 4 件 件 件分成三堆 As:60 9 5 4 (6) 按 4 件 件 件分給三人 As:7560 9 5! 4 (7) 分給甲 4 件, 乙 4 件, 丙 件 As:60 9 5 4 4 (8) 按 4 件 4 件 件分成三堆 As:5 9 5! 4 4 (9) 分給三人, 其中 人各得 4 件, 另 人得 件 As:890 9 5!! 4 4 E. 將 8 件不同的物品全部分給甲 乙 丙三人, 求下列各分法若干? () 每人至少一件 As:5796 () 甲至少得 件, 乙至少得 件, 丙至少得 件 As:68 () 其中一人至少得 件, 一人至少得 件, 另一人至少得 件 As:568 cplee8tcfsh-4--7/
四 重複組合 :. 從 種相異物中 ( 每種都足夠多個 ), 任取 m 個 ( 可重複 ) 的組合法為 H m 種. 方程式... m(m N) 的非負整數解共有 H m 組. 定義 : H m m m ( 上異下同 )( 上種類下數量 )( 上加下減一 ) E. 將 5 種不同的酒, 倒入 個酒杯中, 酒不能混合, 不得有空杯 () 酒杯不同, 且各杯之酒亦不同, 共有? 種倒法 As: P 5 () 酒杯不同, 且各杯之酒可相同, 共有? 種倒法 As:5 () 酒杯相同, 各杯之酒不同, 共有? 種倒法 As: 5 (4) 酒杯相同, 各杯之酒可相同, 共有? 種倒法 As: H 5 E. 求下列方程式的解有幾組 ()yz0 的非負整數解?As: ()yz0 的正整數解?As:7 ()yz0 的非負偶數解?As:66 (4)yzu 9 的正整數解有幾組?As:6 (5)yzu<9 的正整數解有幾組?As:70 (6)yz0,, y, z 的整數解有幾組?As:8 E4. 方程式 yzu 0 且,y,z,u N 的解共有幾組?As:06 E5. 方程式 yzu88 且,y,z,u N 的解共有幾組?As:560 方程式 yzu88 且,y,z,u Z 的解共有幾組?As: 560 E6. 在所有三位數 abc 中, 百位數字為 a, 十位數字為 b, 個位數字為 c, 則 () 滿足 a<b<c 者, 共有? 個 As:84 9 () 滿足 a>b>c 者, 共有? 個 As:0 0 () 滿足 a b c 者, 共有? 個 As:65 H 9 (4) 滿足 a b c 者, 共有? 個 As:9 H 0 (5) 滿足 a b>c 者, 共有? 個 As:65 E7. 有紅帽 頂, 黃帽 頂, 白帽 4 頂, 求 () 任取 4 頂有幾種顏色組合?() 由甲 乙 丙 丁各取一頂戴在頭上, 四人再排成一列, 有幾種排法? As:, 896 4 4! E8. 有 7 位科學家共同研究某計劃, 其中資料鎖在保險櫃中, 只有當超過半數的科學家在場才有辦法打開鎖 () 保險櫃上最少有幾個鎖?() 科學家每人最少要配幾把鑰匙? As:5( 7 ),0( 6 ) cplee8tcfsh-4--8/
E9.NBA 季後賽採七戰四勝制, 熱火贏湖人之賽場數有幾種可能?As: 7 4 E40. 將 5 顆球放入 個箱子 ( 每箱最多可容 5 件 ), 若可有空箱, 則 () 球不同, 箱子不同的放法有? 種 As:4 () 球同, 箱子不同的放法有? 種 As: () 球同, 箱子同的放法有? 種 As:5 (4) 球不同, 箱子同的放法有? 種 As:4 E4. 五位數中, 數字自左而右減小者有? 個 As:5 E4. 由 至 000 的自然數中, 各位數字和為 0 者共有幾個?As:6 E4. 自 {,,,4,5,6,7,8,9} 中, 任意取出 5 個數字 ( 可重複 ), 其積為 5 的倍數者, 共有幾個?As:495 E44. 自,,,4,------,0 中任取三個相異數, 則 () 其中兩個是偶數, 一個是奇數者有? 個 () 三數乘積為偶數者有? 個 () 三數乘積為 4 之倍數者有? 個 As:450;00;795 E45. 由 到 的自然數中, 任取三個數, 則下列各情況分別有幾種取法,() 和為奇數,() 乘積為偶數,() 三數能成等差,(4) 數字和為 的倍數 As: 80,45,5,57 E46. 某拳擊比賽, 規定每位選手必須和所以其他選手各比賽一場, 賽程總計為 78 場, 則選手人數為? 人 As: E47. 碼頭停靠 艘快艇, 今有 5 位乘客租借若干艘快艇出遊 () 其中有 艘快艇各搭載 位乘客, 另一艘有 位乘客的搭乘情形有多少種?() 若每艘快艇限 位乘客搭乘, 則有多少種搭乘情形?As:90;0 E48. 一湖岸有 A,B, 三船,A 船可容 人,B 船可容 人, 船可容 人 今有 位大人, 位小孩欲分乘此三船, 每船未必均有人, 但小孩必須有大人陪同, 則有? 種搭乘方法 As:7 E49. 有 6 男 4 女共 0 名學生擔任本週值日生, 導師規定在本週 5 個上課日中, 每天兩名值日生, 且至少須有 名男生, 試問本週安排值日生的方式共有幾種? As:400 E50. 欲將八位新生平均分發到甲 乙 丙 丁四班, 共有幾種分法? As:50 cplee8tcfsh-4--9/
E5. 籃球 人鬥牛賽, 共有甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 9 人參加, 組成 隊, 且甲 乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少?As:0 E5. 有學生 0 人, 住 A B 三間房, 若 A 房住 4 人,B 房住 人, 房住 人, 則其住法有幾種? 其中甲 乙必住同房的住法有幾種?As:400;0 E5. 男 女上一輛有 7 節車廂的火車, 則 () 男在同一車廂, 女在同一車廂, 有幾種選車廂的方法?() 恰好 男 女在一節車廂, 另 男 女在另一節車廂, 有幾種選車廂的方式?As:49,84 E54. 將八人任意分成三組, 每組至少有兩人, 則有種分法 As:490 E55. 將 5 枝相同的紅筆及 4 枝相同的藍筆全部分給甲 乙 丙三人, 每人不限得 枝, 則 () 分法有幾?() 甲至少得 枝, 分法有幾?() 每人至少得 枝, 分法有幾? As:5;85;8 E56.() 將 5 個相同的玩具, 全部分給甲 乙 丙三人, 分法有幾?() 將相同的骰子 粒一次擲出, 共可出現幾種不同的花色?As:;56 E57. 相同的蘋果 4 個及相同的梨子 6 個, () 分給甲 乙兩人, 分法有幾?As:5 () 分給甲 乙兩人, 每人至少得 個, 分法有幾?As: () 分給甲 乙 丙三人, 分法有幾?As:40 (4) 分給甲 乙 丙三人, 每人至少得 個, 分法有幾?As:8 E58. 一列火車從第一車到第十車共 0 節車廂 要指定其中 節車廂准許吸煙, 則共有幾種指定方法? 若更要求此 節准許吸煙的車廂兩兩不相銜接, 則共有幾種指定方法?As:0;56 E59. 一副撲克牌共 5 張, 任取 5 張, 則 ()5 張皆同花的可能情形有幾種? ()TwoPairs 的情形有幾種?()FullHouse 的情形有幾種?As: 548,55,744 E60.6 個相異的球放於三個相異的箱子中, 每箱均可存放 6 球, 則 () 有幾種放法? () 若每箱至少有一球, 則有幾種放法 As:79,540 E6. 將 7 件相異物放入 5 個相同的箱子, 其中有兩個箱子各放 件, 三個箱子各放 件, 則有種放法?As:05 cplee8tcfsh-4--0/
4 E6.() 若 90, 則? 0 4 0 8 9 0 0,y 0 () 設 As:9;, 則 y? E6. 若, 且 7 0 k 4 k m 4 r, 則 m?as:8 E64. 空間中, 立方體 ABD EFGH 的八個頂點共可決定幾個平面?As:0 E65. 有兩個凸多邊形, 共有 6 個邊及 4 條對角線, 則此兩凸多邊形的邊數各為何?As:7,9 E66. 圓周上有相異 個點, 兩兩連成一弦, 這些弦的交點在圓內部者至多有幾個? As: 4 E67. 一圓周上有相異 個點, 十二等分此圓, 則由此 個點中,() 可造出直角三角形共? 個, 銳角三角形共? 個 () 可造出矩形有? 個, 正方形有? 個 As: 60,40,5, E68. 將 a,b,c,d,e,f 六人分成三組, 依下列各款分法若干? () 一組 人, 一組 人, 一組 人 () 甲組 人, 乙組 人, 丙組 人 () 等分為三組 (4) 等分為甲 乙 丙三組 As:60,60,5,90 E69.0 件相異物, 放入 A B 個箱子, 依下列各款放法若干? ()A4 件,B4 件, 件 () 二箱 4 件, 一箱 件 As:50;9450 E70. 將 a,b,c,d,e,f 六人任意分成恰三組 ( 未必平分 ), 則其分法共有幾種? 其中 a,b 二人不在同一組的分法有幾種?As:90;65 E7. 有相同的白球 個, 黑球 4 個, 紅球 6 個, 任意取出 5 個球, 共有幾種取法? As:7 E7. 用 45 一數中之七個數字取四個, 作成四位數,() 共有幾個?() 大於 5000 者有幾個?() 大於 400 者有幾個?As:70,4,58 cplee8tcfsh-4--/
-4 二項式定理一 二項式定理設 N,,y R, 則. r r r y y y y y 0 ) ( r r r r y 0 展開式中 r r r y 稱為一般項. r r 0 ) ( E7.( y) 7 展開式中, 4 y 5 項的係數為何?As: 6048 E74. 在 ) (9 的展開式中,() 常數項 () 項的係數為何?As:495; 7 7 E75. 計算 0.98 的近似值至小數點後第三位 As:0.785 E76. 自然數 的十位數字為何? 百位數字為何? 千位數字為何?As:,9, E77. 以 ( ) 除 0 ) (, 所得餘式為?As:0-0 E78. 求 ( )( ) ( ) 展開整理後 項的係數 As: ( ) 6 E79. 在 ()()()...(0) 的展開式中, 8 項的係數為?As:0. 令,y, 則 0 4. 令, y, 則 0 ) ( 0 E80. 0 0 0 0 0?As:0 E8. 若 4 80, 求 值?As:8 E8. 試證 : 5. 5 4 0 E8. 5 0 k k? 5 k k?as:5,0 6.!! )! ( ) ( ) ( ) ( 0 cplee8tcfsh-4--/
50 50 50 50 50 50 E84. 設 0 49 50 k, 且 >k, 則 k 之值為?As:49 二 三項式定理 : 三項式 (yz) 展開式中的一般項為! p! q! r! p y q z r, 其中 p,q,r N 0, p q r (yz) 的展開式中共有 H 個不同的項, 且所有項的係數和為 E85. ( y 8 z) 展開式中, y z 的係數為 As:-50 E86. ( ) 6 展開式中, 常數項的係數為 As:60 E87. 展開 y z 0, 合併同類項後, 可得幾個次數為 4 的單項式? As:7 三 多項式定理 : m! m p p p ( ) 展開式中的一般項為, p! p! p! 其中 p, p,, p N {0}, p p p m m ( ) 的展開式中共有 H m 個不同的項, 且所有項的係數和為 E88. 求 ( y z u 7 v) 展開式中, y z 的係數?As:0 m E89. 多項式 P( ) L 0 9 0 則 P() 和 Q() 的乘積中, 9 的係數為?As:0 4 8 0 與 Q( ) 5 L 9, 0 0 E90. 在 ( ) 展開式中,() 常數項為 ;() 項的係數為?() 項係數 為? As:60,80,0 E9. 求 ()() () 6() 6 的展開式中, 項的係數 As: 89 E9.( )( ) ( ) ( ) 0 展開整理後, 4 項的係數為何?As: 0 0 E9. 若 ( a ) 之展開式中, 4 項的係數為 660, 求 a 值 As: cplee8tcfsh-4--/
8 E94. 已知 ( k ) 展開式中, 7 項的係數為 89, 求 k 值 As: 5 E95. 設 a R, 若 ( a ) 的展開式中, 4 項的係數為 80, 則 As:0 項的係數為 E96.()() 依 之降冪式展開後, 第 5 與 項之係數相同, 求 () 設 N, 若 () 展開式中的 8, 9, 0 項係數依次成等差數列, 求 () 若 () 展開式中, 有連續三項的係數分別為 0,495,79, 求 As:44;4or; E97. 在 ( ) ( ) ( ) ( ) 的展開式中, 項的係數為 a, 0 09 則 ()a?()?as:, a 40 E98.() k 之展開式中, 項的係數為 P k,k,,4,---,, 求 () P k () () As: ( k P k k P ; ) ; k k E99. N, 若 (ab) 與 (ba) 的展開式中, 項的係數相同, 求 a As: E00.()()(5)...[(-)] 的展開式中, 項係數為?As: 6 E0. 4 5 的展開式中 7 項的係數為 As:984 E0. 求滿足 500 ( 已知 log0.00,log0.477)as:6 之最小正整數 E0. 多項式 ( ) 5 的展開式中, 6 項的係數為何?As: 90 E04. 0 的展開式為 a b c 0 中, 係數 a?b?c? As:a0,b4949,c- E05.[(a-b) -c] 5 展開式中,() 共有? 項 () 其中 a b c 項的係數為? As:6,-4400 cplee8tcfsh-4--4/
E06. 求 0.99 6 的近似值至小數點後第四位 As:0.945 E07. 在 4 5 00 的展式中, 為有理數的項共有? 項 As:6 E08. 試求 0 0 乘積的末尾連續有幾個 0?As: E09.() 求 8 除以 ( ) 之餘式?As:8 48 () 試求以 () 除 0 0 之餘式?As:4950 98004849 E0. 求 8 除以 000 的餘數為何? As:48 E. 計算 :() 5 7 9?As:4096 () 4 5 6?As:4095 () 4 50?As:085 E. 化簡 () 0 As:4 () 0 4?As: () 0 5 As: (4) 5 8 As: E. 不等式 000< <000, 則?As: 0 E4. 若, 則?As:4 cplee8tcfsh-4--5/
-5 遞迴關係一 遞迴關係式..是一種遞迴地定義一個數列的方程式 如果數列 a 的一般項 a 可以 用它的前幾項來表示的話, 就稱為遞迴數列 例如... 等差數列,5,8,,4, 的第 項為 a, 滿足遞迴關係式 : { a a a,. 等比數列,,9,7,8, 的第 項為 a, 滿足遞迴關係式 : { a a a,. 數列 a, a,a 7,a 4,a 5, 的第 項為 a, 滿足遞迴關係式 : { a a a, 4. 費波那契數列 (Fiboacci sequece) 或簡稱為費氏數列 F..,,,,5,8,,,4,55, 假設一對 ( 雌雄各一 ) 新生小兔, 經過一個月後就長成大兔子, 再一個月後會生出一對 ( 雌雄各一 ) 小兔子, 而且從此以後每個月都會生出一對 ( 雌雄各一 ) 小兔子 假設每對小兔子的生長與生育過程都是這樣只生不死 ( 萬歲萬歲萬萬歲 ) 設 F 表示第 個月時兔子的對數, 根據假設, 畫樹狀圖來協助我們瞭解, 以 表示一對新生兔子, 表示一對大兔子 由題意知, 從 起, 第 個月時的兔子可分為大兔子與新生小兔兩種 每對大兔子都是從第 個月留下來的, 因此第 個月時的大兔子對數與第 個月時的兔子對數相等 而新生小兔的父母必須在第 個月時就存在, 再者每次兔子的生育都是生一對 因此, 第 個月時的新生小兔的對數與第 個月時的兔子對數相等 從以上分析中, 不難看出數列 F 中隱含著以下的遞迴關係式 : { F F F F F, 二 數列的一般項 a 的表示法.. 在費氏數列 F 中, 雖然由 F 的遞迴關係式 : { F F F F F, 我們可以逐一求出各項 F 的值, 但這個過程比較冗長不便, 例如 : 想知道 F 0 的 值就必須先算出前 9 項的值 如果想求 F 00, 那麼逐一遞迴的求法顯然不實用, 而 且容易計算錯誤 因此, 我們希望從遞迴關係式, 直接導出該數列的一般項 F 的表 示法, 以便直接代入求出其值 cplee8tcfsh-4--6/
三 階差數列..若 b a a, 則稱數列 b 是原數列 a a ) 一般項 a b a a b a a b a a b a a b b k k a a b b b a 四 常見的遞迴數列型式 :. 累加型 : a a f. 累乘型 : a f a. 混合型 : a p a q,( 其中 p q 是常數 ) 4. 二階遞迴 : a p a q a,( 其中 p q 是常數 ) 題型. 觀察與歸納 的階差數列, 則 E5. 已知一數列 a 定義為 a, a a 4 a,,,,, 則 () 求 a,a,a 4 () 觀察 () 的規則性, 並推測第 項 a ( 以 表示之 ) () 試以數學歸納法證明 () 的推測是否成立 答 :, 5,4 7,a 解.. () a 4, a 4 5, a 5 4 4 4 5 7, () a () 當 時 a, 等式成立 設 k 時成立, 即 a k k k k 則 k 時 a k a k 4 a k k k k k 4 k 4 k k k k 由數學歸納法知 N, a 恆成立, 等式也成立 cplee8tcfsh-4--7/
E6. 某人爬樓梯時, 有時一步上一階, 有時一步上二階 若 a 表示某人上 階樓梯的 方法數, 試求.. () a 的遞迴關係式及初始值 () 樓梯有 0 階, 某人上樓或跨一階或二階, 此人上樓共有多少種方法 答 :() a a a, a, a () 89 解.. () 若某人第一步跨上一階, 則尚有 階, 有 a 種方法 若第一步跨上二階, 則尚有 階, 有 a 種方法 故其遞迴關係式為 a a a 且 a, a,,4,5,6, () a a a a7 a6 a5 8 a4 a a 5 a8 a7 a6 4 a5 a4 a 5 8 a9 a8 a7 4 55 a6 a5 a4 8 5 a0 a9 a8 55 4 89 題型. 累加型 : a a f E7. 設一數列 <a >, 已知 a 且 a a ( ), N, 則 a? ( )( ) As: a 6 解.. a a a a a a ) a a ( ) ( ) 一般項 a a L L ( )( ) 6 題型. 累乘型 : a f a E8. 設一數列 <a >, 已知 a 且 a a, N, 則 a? 答 :a () 4 5 解..由 a a ; a a ; a 4 a ; ; a a 4 5 ( ) 相乘得 a a ( ), 而 代入上式亦成立, 故 a (), N 題型 4. 混合型 : a p a q cplee8tcfsh-4--8/
E9. 數列 <a > 定義為 a,a a, N, 則 a? 5 答 : a 6 [ 法一 ] a a 且 a a a a ( a a ) 即 b b 階差數列 b 為公比 r 的等比數列, 7 5 其首項 b a a 5 故 [ ( ) ] a a b k 5[ ( ) ] 6 5( ) k [ 法二 ] 令 Alim 原式即 a 6 ( a 6 ) a 6 a 6 a 6 a 6 ) a 6 a 6 5 相乘對消得 a 6 ( a 6), 故 a 6 題型 5. 二階遞迴 : a p a q a 設原式為 a p a q a,,( 其中 p, q,a, a 是給定常數 ), 令 p, q,( 即, 是二次方程式 p q0 的兩根 ) 得 a a a { a a a a a a a a 分別以累乘型運算 { a a a a a a a a () () 得 a a a a a 可解出 a a a a a 謎之音 : 最好是有人想背這個公式啦! 謎之彬音 : 那... 改良一下 a h k 這樣有沒漂亮一點呀 謎之音 : 挖勒! 還是不知道 h 與 k, 有啥用? 謎之彬音 : 挖勒,too! 啊是不會隨便代個 a, a 解 h,k 喔 ( 請看下面例題 [ 法二 ]) cplee8tcfsh-4--9/
E0. 設數列 a 滿足 { a,a 5 a 5a 6a,, 試求 [ 法一 ] 5 6 0,, { a a a a a a a a,( 計算恕略 ) 累乘後 { a a a a a a a a { a a a a 4 a [ 法二 ] 5 6 0,, 令 a h k, 當, { a h k a 4 h 9k5 { h k a a E. 設 F 是費波那契數列 : { F, F F F F,, 則 F? 解.. 0 5, 5 令 F h 5 k 5 h 當, {F 5 k 5 F h 5 k 5 {h 5 k 5 F 5 5 5 5 h {F 5, F h 5 k 5 k 5 五 高階遞迴 ( 課外補充 ). 重根二階遞迴 : 遞迴式 : a p a q a,( p 4q0 ) 若 p q0 有重根 β β, 則一般式 a h k 取該數列之前二項代入求出係數 h,k, 即可得 a 一般式. 三階遞迴數列 : 三異根 : 遞迴式 a p a q a r a 若 p q r0 之根為 α β γ, 則一般式 a g h k 二同一異根 : 遞迴式 a p a q a r a 若 p q r0 之根為 α β β, 則一般式 a g h k 三同根 : 遞迴式 a p a q a r a 若 p q r0 之根為 β β β, 則一般式 a g h k cplee8tcfsh-4--0/
E. 設數列 a 滿足 { a,a 4 a a a,, 試求 a?as: a E. 已知數列 a 滿足 a, 且 a a 4,,,, a () 求 a,a,a 4 () 觀察 () 的規則性, 並推測第 項 a ( 以 表示之 ) () 試以數學歸納法證明 () 的推測是否成立 As:,5,7 4,a E4. 設一數列 a, 已知 a 且 a,,,4,, 則 a a? As: a E5. 若 a, a, a, 依此規則, 寫出數列 a 之遞迴關係式, 並證明 N,a As: a a E6. 樓梯有 0 階, 某人上樓時或跨一階, 或二階, 或三階, 此人上樓共有多少種方法?As:74 E7. 設一數列 a, 已知 a 且 a a, N, 則 a? As: a 5 E8. 平面上有 0 個圓, 最多可將平面分成幾個區域 As:9 E9. 平面上有 0 個圓, 若此 0 個圓均過一點 P, 其餘沒有三圓共點, 則可將平面分成幾個區域 As:56 E0. 設一數列 a, 已知 a 且 a a, N, 則 a? As: a E. 數列 a 定義為 a, a a, N, 則 a? As: a cplee8tcfsh-4--/
E. 河內塔(Haoi Tower) 問題 有 A,B, 三柱, 其中 A 柱上套著 個大小不 同的圓盤, 將其由小到大編號為,,, 若藉助 A,B, 三柱作橋樑, 且每次 移動圓盤時都保持較大圓盤在下面, 較小圓盤放在上面的規定, 設 a 表示將 個圓盤全部由 A 柱搬到 柱所需的最少次數, 則.. () a 的遞迴關係式為?() a?as: { a a a,, a E. 設數列 a 滿足 { a,a 4 a a a,, 試求 a? As: a 4 5 4 E4. 設一數列 a, 已知 a 且 a a 5( ), N, 則 a? As: a 5 5 8 E5. 平面上 條直線最多將平面分割成 As: a, a 5 6 a 個區域, 試求 a 及 a 5 之值 E6. 平面上有 個相異圓, 最多有 a 個交點, 試求出數列 a 之遞迴關係式, 並求 a 之值 As: a a, a E7. 平面上有一個凸 邊形 4, 任三條對角線在內部不交於一點, 令所有對角線之交點個數為 a, 求 () a 之遞迴關係式,() a 之值 As:() a a () a 4 E8. 設遞迴數列 a 的前 6 項為,5,,,5,5, 以後各項也遵循這個規律變化, 試求 :() a 的遞迴關係式 () 一般項 a 及 a 00 As:() a a () a,4950 E9. 設數列 a 的前 5 項為 5 5,,,,, 8 4 5 5 L, 以後各項也遵循這個規律變化, 試求 : a 的遞迴關係式與一般項 a As: a a, 5 a 5 ( ) 8 5 E40. 設一數列 a, 已知 a 且 a ( ) a, N, 則 a?as: a! cplee8tcfsh-4--/
E4. 設 a 滿足 a 6, a a, N, 試求 a As: a ( )( 6) E4. 設 a 滿足遞迴關係式 : a 9, a a 5 4, N, 試求 a As: a 6 (0 5 9) E4. 設 a 4a, N, 且 a, 試求 a As: a 4 E44. 設 a 5, a a 4, N, 求 a 之值 As: a 4 E45. 數列 a 定義為 a, a a 0, N, 試求 a As: a ( ) E46. 數列 a 定義為 a, a a, N, 試求 a? As: a ( ) E47. 設 F 是費波那契數列 : F F, F F F ( ), 則 () F F F?() 前 500 項中有幾項是奇數 As:-,4 E48. 設數列 a 滿足 a,a 6, 且 a 4a 4a, N, 試求 As: a ( 6 5) a E49. 設數列 b 滿足 b 6,b 7, 且 b 6b 9b, N, 試求 b As: a ( 6 5) cplee8tcfsh-4--/