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- 涛翕 宿
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1 2 2 排列 ( 甲 ) 直線排列 (1) 直線排列的引入 : 例子 : 從建中高二某班 5 個同學中, 選出 3 人排成一列, 有幾種排法? 解法 :5 個同學以 CDE 表示, 選出 3 人排成一列, 我們將這個過程, 分成 3 個步驟, 配合樹狀圖, 可得排法共有 種方法 數學上, 我們將這樣的排列方法稱為在 5 個不同的事物中, 選取 3 個排成一列, 符號上以 P 5 3 來表示 即 P 5 3=5 4 3 C D E C D E E D (2) 直線排列的定義 : 從 n 個不同的事物中, 選取 m 個 (1 m n) 來排列, 共有 n(n 1)(n 2) (n m+1) 種方法 [n 往下乘 m 個 ] 我們將這樣的方法數, 用 P n m 來表示 即 P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1) 為了方便表示, 規定 n!=1 2 3 n,0!=1 因此 P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1)= n(n 1)(n 2) (n m+1)(n m) 2 1 = (n m) 2 1 特別 P n n= n! 0! =n! 結論 : (1) 從 n 個不同的事物中, 選取 m 個 (1 m n) 來排列, 共有 P n m 種方法 n! (2) P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1)= (n m)! 例子 :3!=6,4!=24,5!=120,6!=720 例子 :P 6 4= = 6! (6 4)! = 6! 2!,P10 4= = 10! 6! [ 例題 1] 請計算下列各小題 : (1)2P n 3 =3 P n P n 1, 求 n=?(2)5p 9 n =6P 10 n 1, 求 n=? ns:(1)n=5 (2)n=7 n! (n m)! ~2 2 1~
2 [ 例題 2] 請求出下列各小題的方法數 : (1) 甲乙丙三人在排成一列的 8 個座位中, 選坐相連的三個座位, 則有幾種坐法? (2)9 個人組成一個少棒隊, 已知三 四棒的人選已定, 而投手與捕手要安排在第七 八 九棒, 請問教練可以排出幾種不同的打擊順序? ns:(1)36 (2)720 ( 練習 1) 設 P 3 n+1 =10P 2 n 1, 求 n=? ns:n=4 或 5 ( 練習 2) 若 2P 8 n 2=P 8 n, 則 n=? ns:8 n n 1 n 1 ( 練習 3) 請證明 : P = r P + r r P r 1 這個式子可以做這樣的解釋 : 假設 50 個人中含有一人為甲, 則從 50 個人中選取 6 個之排列數為 P 50 6 利用加法原理, 可將這樣的過程分成兩類 : 不含甲之排列數為 P 49 6 與含甲的排列數為 P 6 1 P 49 5( 某甲先選座位, 剩下 5 個座位再由其他 49 人選取排列 ) 因此可得 P 50 6= P P 6 1 P 49 5 ( 練習 4) 某桌球隊要從 10 名選手中排出 5 名, 分別參加五場單打友誼賽,10 名選手中近況特佳的有 3 位, 教練決定任意安排他們分別在第一 三 五場出賽, 另外兩場則由其餘選手任意選出排定, 則此球隊出場比賽的名單順序一共可以有 種 ns:252 ( 練習 5) 甲 乙 丙三人在排成一列的八個座位中選坐三個座位, 但不能三個座位全相連, 共有 種坐法 ns:300 ( 練習 6) 兄弟二人在排成一列的 20 個空位中, 選坐不相鄰的兩個座位, 則有多少種不同的坐法 ns:342 (83 學科 ) ~2 2 2~
3 (3) 有限制條件之直線排列 : (a) 若要求 k 個人相連, 先將這 k 個人視為一整體, 排定後再排此 k 個人 (b) 若要求 k 個人分開, 則先排其他人, 在將這 k 個人安排至其他人的空隙中 (c) 男女相間隔的排列, 先排女人 ( 或男人 ), 再插排入男人 ( 或女人 ) (d) 考慮反面計算 : 全部方法 不合的方法 (e) 應用排容原理 [ 例題 3] ( 有限制條件之直線排列 ) 甲乙丙丁等 7 人排成一列, 請求出下列情形的方法數 : (1) 甲乙丙三人相鄰 (2) 甲乙丙分開 (3) 甲乙相鄰, 丙丁不相鄰 (4) 甲不排首位 (5) 甲不排首位, 乙不排尾 (6) 甲乙相鄰, 甲丙不相鄰 ns:(1)3! 5!=720 (2)4! P 5 3=1440 (3)4! 2! P 5 2=960 (4)7! 6!=4320(5)3720 (6)1200 [ 例題 4] ( 有限制條件之直線排列 ) (1) 五男四女排成一列, 男女相間隔之排法有幾種? (2) 五男五女排成一列, 男女相間隔之排法有幾種? ns:(1)5! 4! (2)2 (5!) 2 ~2 2 3~
4 [ 例題 5] 設 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 是 1,2,3,4,5 的一種排列 ( 例如 13254,15432, 等均是 1,2,3,4,5 的一種排列 ) 求滿足下列各式的排列數 : (1)(2 a 4 )(1 a 3 )=0 (2)(1 a 1 )(3 a 3 ) 0 (3) (1 a 1 )(2 a 2 )(3 a 3 )(4 a 4 )(5 a 5 ) 0 ns:(1)42 (2)78 (3)44 ( 練習 7) 一對新婚夫妻家庭有 6 人排成一列拍結婚照, 但新婚夫妻一定排在中間的兩個位置, 請問共有幾種排法? ns:48 ( 練習 8) 有 4 個女生 3 個男生排成一列, 若要求男生排在一起, 女生排在一起, 則其排列方法有 種 ; 若要求男女相間隔排列, 排列方法有 種,3 個男生要分開排列的方法有 種 ns:288,144,1440 ( 練習 9) 甲乙丙丁戊己六人排成一列, 求下列的排列數? (1) 乙丙均與甲相鄰 (2) 甲乙相鄰, 甲丙不相鄰 (3) 甲乙丙中恰二人相鄰 ns:(1)48 (2)192 (3)432 ( 練習 10) 某班一天有七節課, 每一節課均排不同的科目, 其中體育課不排第四節, 數學課不排第七節, 請問這一天的課表有幾種排法?ns:3720 ( 練習 11) 甲, 乙, 丙 等七人排成一列, 求甲不排首, 乙不排次, 丙不排三的排列數 ns:3216 ( 練習 12) 設,,C,D 等十人排成一列, 規定, 不排首,C,D 不排末之方法有幾種?ns:8! 58 [ 提示 : 全部 (, 排首 ) (C,D 排末 )+(, 排首且 C,D 排末 )] ( 練習 13) 五對夫婦參加舞會, 每個先生均不與他的太太共舞的情形有幾種? ns:44 ( 練習 14) 有,,C,D,E,F 六家, 除 與 C 外, 其餘任兩家之間均有直路相通, 且無任三家在一直線上, 今有一人自 出發, 訪問其他五家, 又返回, 但每家不得重複訪問, 則有 種方法 ns:72 [ 提示 : 若 CDEF 表示 C D E F, 以 為起點, 為 ~2 2 4~
5 終點, 中間,C,D,E,F 任意排列, 每一種排法對應一種走法, 但,C 相鄰需排除掉, 即,C 要分開 ] ( 乙 ) 有相同物的直線排列例子 : 四個英文字母 排成一列, 請問有幾種排法? [ 方法 ]: 先將 這三個相同的字母視為不同, 設為 所以先視為 這 4 個不同字母的排列, 共有 4! 種, 如下所示 : 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, , 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, , 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, , 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 但是當我們將 還原成 的時候 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 以上 6 種排列情形, 均代表同一種 4! 換句話說 3! 種的排列要視為同一種, 因此排列方法有 3! =4 種 (1) 有相同物的直線排列 : 設有 n 件物品, 共有 k 種不同不同種類, 第一類有 m 1 個, 第二類有 m 2 個,., 第 k 類有 m k 個 ( 此處 n=m 1 +m 2 +m 3 +.+m k ), 此處此 n 件物品排成一列, n! 共有種不同的排法 m 1! m 2! m k! 例如 : 用 3 個相同的紅球,2 個相同的黃球,4 個相同的黑球, 排成一列有幾種排法? [ 解法 ]: 9! 3! 2! 4! [ 例題 6] pallmall 一字中各字母排成一列 (1) 有幾種排法?(2) 所有之 l 皆相鄰而兩個 a 分開 (3) 其中三個 l 在一起, 另一 l 分離 ns:(1)840(2)36 (3)240 ~2 2 5~
6 [ 例題 7] 有 2 個相同的紅球,3 個相同的白球,4 個相同的黑球分給 (1)9 人 (2)11 人每人至多一球, 球一定要分完, 請問有幾種分法? [ 例題 8] 鳴放氣笛作信號, 長鳴一次需 4 秒, 短鳴一次需 1 秒, 每次間隔時間為 1 秒, 請問 30 秒的時間可作出多少種的信號?ns:235 [ 例題 9],,C,D,E,F,G 排成一列, 求下列排列數 : (1),,C 順序不變 (2) 在,C 之前 (3) 在 之前,F 在 G 之後 (4), 在 C,D,E 之前 ns:(1)840 (2)1680 (3)1260 (4)504 ~2 2 6~
7 ( 練習 15) %%%& 以上 8 個符號排成一列, 若 %%% 均不相鄰, 共有幾種排法? ns:1200 ( 練習 16) 用 0,0,1,2,2,,2,3,3 排成一列 (1) 形成幾個八位數? (2) 形成幾個八位偶數? (3) 形成幾個八位數且為 5 的倍數?ns:(1)1260 (2)810 (3)360 [ 提示 :(1) 可考慮反面情形的計算 (2) 偶數表示末位為 0 或 2 (3) 末位數為 0] ( 練習 17) 七本書分給 10 個人, 每人至多一本 (1) 書本相同有幾種分法? (2) 書本不同有幾種分法? ns:(1)120 (2) ( 練習 18) LKKLMM 排成一列, 要求同字不相鄰, 方法有幾種? ns:30 ( 練習 19) pontoon 一字, 各字母排成一列, 求下列各排列數 : (1) 全部任意排成一列 (2) 三個 o 完全在一起 (3) 恰有兩個 o 在一起 (4) 三個 o 完全分開 ns:(1)420 (2)60 (3)240 (4)120 ( 練習 20) 甲, 乙, 丙,, 庚等 7 人排成一列, 甲在乙的左方, 且在丙的左方有種排法 ns: 1680 ( 練習 21) factoring 中各字母, 每次全取排列 (1) 母音保持 a,o,i 之順序有幾種排法? (2) 母音保持 a,o,i 之順序, 同時子音保持 f,c,t,r,n,g 之順序有幾種排法? ns:(1) 9! 3! (2) 9! 3!6! ( 練習 22) cabbage 一字, 各字母排成一列, 其中相同字母不相鄰, 有幾種排法? ns:660[ 提示 : 考慮反面情形的計算 ] ( 練習 23) 一樓梯有 8 級, 某人上樓, 每步走一級或二級或三級, 則此人上樓的方法有幾種? ns:81 ( 丙 ) 環狀排列例子 :CD 四個人圍成一個圓圈, 請問有幾種方法? [ 解法 ]: 若將 CD 四人視為直線排列, 共有 4! 種方法, 就圍成一圈的觀點 D C D C D C C D ~2 2 7~
8 以上的四種排列 CD DC CD CD 均視為同一種排法, 因此 CD 4! 四個人圍成一個圓圈, 共有 4 種方法 例子 : 在 6 人中選取四人圍成一個圓圈, 請問有幾種方法? [ 解法 ]: 先將在 6 人中選取 4 人作直線排列, 有 P 6 4 種方法 假設選了 CD 四個人作環狀排列, 由前面的說明可知 CD DC CD CD 均視為同一種排法, 因此每 4 個排法視為同一種, 因此在 6 人中選取四 人圍成一個圓圈共有 P 種方法 (1) 環狀排列的定義 : 自 n 個相異事物中, 每次取 m 個沿圓周或封閉曲線排列, 其排列數為 P n m 1 m [ 例題 10] 5 對夫妻圍圓桌而坐, 在下列情形中之排法有幾種? (1) 任意圍成一圓圈 (2) 男女相間隔 (3) 夫妻相鄰 (4) 夫妻相鄰且男女相間隔 (5) 男女相對 (6) 夫妻相對 ns:(1)9! (2)4! 5! (3)4! 2 5 (4)4! 2 (5)4! 2 4 5!(6)4! 2 4 [ 例題 11] 12 人圍坐下列情形之桌子, 每邊所坐人數相同, 則坐法有幾種? (1) 正三角形桌 (2) 正方形桌 (3) 正六角形桌 (4) 長方形桌長邊 4 人, 短邊 2 人 ns:(1) 12! 3 (2) 12! 4 (3) 12! 6 (4) 12! 2 ~2 2 8~
9 結論 : (a) 正 k 邊形之排列 : 1 正 k 邊形的桌子, 每邊坐的人數相同, 則 n 人之排列數為 k ( 直線排列數 ) (b) 長方形桌子之排列 : 長方形桌, 兩個長邊所作人數相同, 另兩短邊所作人數亦相同, 其排列數為 1 2 ( 直線排列數 ) [ 例題 12] 有紅色 藍色 綠色 紫色 4 種不同的水晶, 串成一串項鍊, 請問可以串成 幾種不同的項鍊? ns: 1 2 4! 1 4 結論 : 1 (a) 取 n 個相異的珠子串成一個項鍊, 有 2 (n 1)! 種方法 1 (b)n 個相異的珠子, 每次取 m 個串成一個項鍊, 有 2 Pn m 1 m 種方法 ( 練習 24) 爸爸, 媽媽, 哥哥, 妹妹四人參加喜宴, 與其他客人坐滿一張 12 人座位的圓桌 若四人座位相鄰, 且哥哥與妹妹夾坐於爸爸, 媽媽之間, 則共有幾種不同的坐法?ns: (83 自 ) ( 練習 25) 甲乙丙丁. 等 8 人為成一個圓圈而坐, 若甲乙相鄰且丙丁相對, 有幾種排法? ns:192 ( 練習 26) 紅, 黃, 白, 等 12 顆不同色的珠子, (1) 任選 8 顆作環狀排列, 有種不同的排法 (2) 任選 8 顆 ( 含紅, 黃, 白 ) 串成一項圈, 且紅, 黃, 白三色均不得相鄰, 則可串出種不同的項圈 ns:(1) P = (2)P P ( 練習 27) 8 人圍坐, (1) 坐一正方桌, 每邊 2 人, 有種坐法 (2) 坐一長方桌, 長邊 3 人, 短邊 1 人, 則有種坐法 8! 8! ns:(1) =10080(2) = ( 練習 28),,C,D,E,F,G,H 共 8 人作環狀排列, 求下列各排列數 : (1) C 互不相鄰 (2) 恰與,C,D 之一相鄰 ~2 2 9~
10 ns:(1)1440 (2)2880[ 提示 : 考慮 C 相鄰 (C,C,DC,CD 之情形 )=2 6! 5! 4=960, 同理,D 相鄰也是同樣的方法 ] ( 練習 29) aaabb 作環狀排列共有幾種排法? ns:2 ( 丁 ) 重複排列例子 : 用 五個字母排成一個三位數, (1) 數字可重複, 可作出幾個三位數? (2) 數字不可重複, 可作出幾個三位數? [ 解法 ]: (1) 百位數 十位數 個位數都有 5 種方法 5 3 種三位數字 ( 重複排列 ) (2) 百位數 十位數 個位數分別有 種方法 種三位數字 (1) 重複排列的定義 : 從 m 種不同之事物選取 n 個排成一列 (n,m 無大小關係 ), 但可以重複選取, 這種排列稱為重複排列, 排列方法有 m n 個 [ 例題 13] 請求出下列各小題的排列數 : (1) 有 10 位選舉人,3 位候選人, 採計名投票, 每人都要投, 請問有幾種結果? (2) 一個多重選擇題, 有,,C,D,E 五個選項, 請問答案有幾種型式? (3)10 名學生要爭奪 3 項比賽的錦標, 請問得到冠軍的可能性有幾種? (4)5 個人於十字路口話別後, 同時離開 ( 沒有 5 人同走一條路 ) 共有幾種可能情形? ns:(1)3 10 (2)2 5 1 (3)10 3 (4)4 5 4 [ 例題 14] 設有渡船 3 艘, 每船安全載量為 5 人, 求下列人數安全過渡的方法有幾種? (1)4 人 (2)6 人 (3)7 人 ns:(1)3 4 (2)3 6 3 (3)2142 ~2 2 10~
11 [ 例題 15] 有 5 封不同的信件, 投入甲乙丙丁 4 個不同的郵筒, 則甲乙丙三郵筒均至少投入一封郵件的投法有幾種? ns:390 ( 練習 30) 投擲 3 個不同的骰子, 請問會有幾種不同的結果? ns:216 ( 練習 31) 我國自用小汽車的牌照號碼, 前兩位為大寫英文字母, 後四位為數字, 例如 : -0950, 若最後一位數字不用 4, 且後四位數沒有 0000 這個號碼, 那麼我國可能有的自用小汽車牌照號碼有多少個 () ( ) () (C) ( )(D) ( )(E) 個 ns:(d) ( 練習 32) 7 個不同的書本分贈給 4 人, 請求依下列情形分配的方法有幾種? (1) 甲至少分得一本書 (2) 甲恰得一本書 (3) 甲至少二本書 (4) 每人至少一本書 ns:(1) (2)7 3 6 (3) (4) ( 練習 33) 5 本不同的玩具, 分贈給甲乙丙 3 人, 每人至少得一件之方法有幾種? ns:150 ( 練習 34) 渡船三隻, 每船可載 6 人, 則 (1) 8 人過渡, 有種安全渡法 (2) 7 人過渡, 但甲坐 船, 有種安全渡法 ns: (1) 6510(2) 728 ~2 2 11~
12 ( 戊 ) 排列的應用 (1) 走捷徑 : [ 例題 16] 如圖, 一人走捷徑由 到 ( 即只能走 ) (1) 走捷徑有幾種走法? (2) 若每次需經過 D, 其走法有幾種? (3) 若不經過 C 且不經過 D, 其走法有幾種? ns:(1)210 (2)100 (3)80 C D E E [ 例題 17] 如圖, 由 走到 走捷徑, 但不走斜線部分區域之路徑, 依下列情形求走法數 (1) 經 C (2) 經 D (3) 自由走但不經斜線區域 ns:(1)50 (2)8 (3)23 D C E D C ~2 2 12~
13 ( 練習 35) 棋盤街道如右圖, 南北街道有 8 條, 東西街道有 6 條, 某人自 取捷徑走到, 下列走法各有多少種? (1) 走捷徑 (2) 必須經過 P (3) 必須經過 P 與 Q (4) 不許經過 P,Q ns:(1)792 (2)350 (3)180 (4)286 P Q ( 練習 36) 如右圖, 由 走到 取捷徑 但不許經過斜線區之方法有幾種? ns:108 ( 練習 37) 在坐標平面上, 自 ( 4, 3) 走捷徑到 (3,3), (1) 要經過第二象限, 請問有幾種走法? (2) 不經過原點有幾種走法? (2) 數字問題 : 數字排列的一些常識 : (a) 首位數字不為 0 (b) 奇數 末位數字奇數 ; 偶數 末位數字為偶數 ; 4 的倍數 末兩位為 4 的倍數 ;3(9) 的倍數 數字和為 3(9) 的倍數 5 的倍數 末位數字 0 或 5 ~2 2 13~
14 (c) 字典式排列數之大小, 由首位 次位數,, 之大小逐個計算 (d) 所有整數的和 =( 個位數字的和 )+( 十位數字的和 ) 10+( 百位數字的和 ) (e) 不可含某數字 : 由個位數 十位數 看各位數字之其他可能情形, 再用乘法原理, 但要注意首位數字不為 0 (f) 至少含某一個數字 = 所有情形 ( 不含某數字 ) [ 例題 18] 用 0,1,2,3,4,5 作相異數字之四位數, 請求出滿足下列要求的四位數個數? (1) 數字相異四位數 (2) 偶數 (3)3 的倍數 (4)4 的倍數 (5)5 的倍數 ns:(1)300 (2)156 (3)96 (4)72 (5)108 [ 例題 19] 以 0,1,2,3,4 不重複所作的三位數之總和為? ns:12990 ( 練習 38) 用 2,3,4,5,6 五個數字排成三位數 (1) 數字可以重複, 有多少個不同的三位數 (2) 數字不可以重複, 則所有三位數的和 =? ns:(1)125 (2)26640 ( 練習 39) 二位數中 :(1) 個位數字 > 十位數字共有幾個?(2) 十位數字 > 個位數字共右幾個? ns:(1)36 (2)45 ~2 2 14~
15 ( 練習 40) 用 0,1,2,3,4,5 組成數字相異的四位數, 求其中小於 2345 者共有幾個? ns:92 ( 練習 41) 自 1~1000 之正整數中, 至少有一個數字 7 的共有幾個? ns:271 ( 練習 42) 用 0,1,2,3,4,5 作成四位數, (1) 數字不可重複, 則大於 2100 者有多少個? (2) 數字可重複, 則大於 2100 者有多少個? ns:(1)228 (2)827 (3) 塗色問題 : [ 例題 20] 今用 10 種不同的顏色, 試塗下列可轉動 ( 不可翻動 ) 的積木板, 但規定每一區域著不同的顏色, 問各有幾種塗法? (1) (2) (3) (4) (5) [ 分析 ]: 先固定塗色 ( 視為直線排列 ), 在除以旋轉合併數 ( 觀察每幾類旋轉視為同一種 )] ns:(1) P (2) P (3) P (4) P (5) P ~2 2 15~
16 [ 例題 21] 用 6 種顏色塗一正立方體每個面, 且各面須不同色, 有幾種不同的塗法? 結論 : 可翻轉的立體圖色 (a) 用 n 種不同的顏色塗正 y 面體 ( 每面為正 x 面體 ), 使每面不同色之塗法 = Pn y x y 定位排列數 (b) 排列數 = 平面上的旋轉 空間中的翻轉 ( 練習 43) 用 10 種不同的顏色塗下列各立體, 請問有幾種塗法? (1) (2) (3) ( 直圓柱 ) ( 正四面體 ) ( 正三角柱 ) (4) (5) ( 正四角柱, 底面正方形 ) ( 底面是長方形的長方體 ) ns:(1) P (2) P (3) P (4) 10 9 P (5) 10 9 P ( 練習 44) 用 9 種不同的顏色塗右圖中的 9 個區域, 每一個區域的顏色都不同, 則有幾種塗法 ( 圖形可以旋轉 ) ns:90720 ~2 2 16~
17 綜合練習 (1) 老師將 12 枝相同的鉛筆分給甲乙丙丁戊己六位小朋友, 其兩位分得四枝, 兩位分得兩支, 而有兩位沒分到, 則有種分法 (83 自 ) (2) 由 1,2,3,4,5,6,7,8 這八位數字中取出五個不同數字作成五位數, 且第一位, 第三位, 第五位均限用奇數, 問可作成若干不同之數? Ο Ο Ο Ο (3) 4 男 4 女排成二列, 如圖 : 求下列之排法數 : Ο Ο Ο Ο (a) 上排是男生, 下排是女生 (b) 上下兩排均是男女相間隔 (c) 上下左右均是男女相間隔 (4),,C,D,E 等 7 人排成一列, 求,,C 三人都不與 D 相鄰的排法有多少種? (5) 甲乙丙丁戊 5 人排成一列, (a) 若甲乙丙要保持順序不變 ( 不一定要相鄰 ), 則排列方法有幾種? (b) 若甲一定要排在丙丁之間, 則排列方法有幾種? (6) 設 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 是 1,2,3,4,5,6 的任一排列, 求下列的排列數 : (a)(x 1 1)(x 2 2)(x 3 3)=0 (b) (x 1 1)(x 2 2)(x 3 3)(x 4 4) 0 (c) (x 1 1)(x 2 2)(x 3 3)(x 4 4)(x 5 5)(x 6 6) 為奇數 (7) 把 庭院深深深幾許 七個字全取而排列之, 則 : (a) 任意排列之方法有 種 (b) 使其中三個 深 字不完全連在一起的排法有 (c) 使其中三個 深 字完全分開的排法有 (d) 使其中三個 深 字至少有兩個相鄰的排法有 (e) 使其中三個 深 字恰有兩個相鄰的排法有 (8) 左下圖所示為一個含有斜線的棋盤街道圖 今某人欲從 取捷徑走至, 共有種走法 種 種 種 種 (9) 下圖共 12 格 ( 每格有編號, 以表示位置固定 ), 今以黃色塗 3 格, 紅色塗 4 格, 綠色塗 2 格, 其餘 3 格不塗色, 請問有幾種塗法? ~2 2 17~
18 (10) 某地共有 9 個電視頻道, 將其分配給 3 個新聞台 4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型 若同類型電視台的頻道要相鄰, 而且前兩個頻道保留給體育台, 則頻道的分配方式共有種 (2006 學科 ) (11) attribute 一字, 各字母排成一列, 求下列的排列數 : (a) 子音排奇數位, 母音排偶數位 (b) 母音保持 a,i,u,e 之順序 (c) 子音保持 t,t,,r,b,t 之順序 (d) 子音母音的順序不變 (12) 鳴放氣笛作信號, 長鳴一次需 15 秒, 短鳴一次需 10 秒, 每次間隔時間為 5 秒, 請問 75 秒的時間可作出多少種的信號? (13) 空中懸吊著 C 三串珠子, 某神射手用槍彈一個個把珠子擊落, 不分 C 的順序, 任意射擊, 但每次只能打落一粒珠子, 請問 9 粒珠子全部打下來, 共有多少種方法? C (14) 黑白棋排成上下二列, 每列 9 個, 上列 3 白 6 黑, 下列 2 白 7 黑, 二列棋子一一對應, 若上下白子不相對, 請問有幾種排法? (15) 6 男 4 女圍成一圈而坐, 女性不相鄰的坐法有幾種? (16) (a) 設有 12 人分三層, 手拉手圍成三個圓圈, 內層 3 人, 中層 4 人, 外層 5 人, 則其排法有幾種? (b) 若 12 人等分為 3 組, 不分組每 4 人圍成一圈其排法有幾種? (17) 一根繩子長 100cm, 從端點開始每 20cm 染上一種顏色, 將其分乘 5 個區段, 若已知繩子粗細一樣, 有 5 種顏色可以染 : (a)5 個區段顏色均不同, 共有多少種染好的結果?( 注意 : 紅黃藍黑綠與綠黑藍黃紅算同一種染色的結果 ) (b) 相鄰區段不同色, 共有多少種染好的結果? (18) 高二有四個才藝班, 開學時, 來了五個轉學生,(a) 如果每班最多安插三個人, 則有種方法 (b) 如果五個人中, 甲, 乙兩人不分在同一班, 且每班安插的人數不限, 則有種方法 (19) 用紅 綠 黃 3 種顏色塗 5 個大小不同的木板, 每一個木板只塗一色, 要求三色都要用完, 請問有幾種塗法? (20) 在坐標平面上自 ( 3, 2) 到 (3,4) 走捷徑, 求下列情形有幾種走法? (a) 所有走法有幾種?(b) 過原點 (c) 不經過第二象限 (d) 不過 (1,1) 及 ( 2,3) (21) 0,1,2,3,4,5 等六個數字所排成的三位數中, 數字不重複者, 共有個, 其中可被 3 整除的, 共有個 ~2 2 18~
19 (22) 鉛印 1,2,3, 到 1000, 則排字工人共需要多少個鉛字? (23) 由 1 到 10000, 則數字 3 共寫了幾次? 進階問題 (24) 編號 1~6 之 6 個球滾入編號 1~6 的 6 個洞中, 每洞 1 球 (a) 恰有一球號與洞號相同, 方法有 種 (b) 所有球號與洞號皆不相同, 方法有 種 (25) 將右圖黑棋向右移動, 每次移動 1~3 格, 移到最右一格 共有幾種移法? (26) 將 a,a,a,b,b,c,d,e,f 全取排成一列, 相同字母不相鄰的排法有幾種? (27) 以黑白兩色塗右圖的 9 個同樣同樣大小的正方形, 每格限塗一色 (a) 將正方形旋轉 90, 若旋轉後的圖形, 與未旋轉前的圖形相同, 那麼這樣的塗法有多少種? (b) 將正方形旋轉 180, 若旋轉後的圖形, 與未旋轉前的圖形相同, 那麼這樣的塗法有多少種? (28) 用長 6 公分, 寬 3 公分的長方形 4 塊, 及邊長 3 公分正方形 1 塊, 每塊顏色互異, 則五塊拼成一正方形, 其樣式有幾種? (29) 兩人競選, 選舉得票數共 11 張, 唱票時, 一直保持領先, 且最後 恰以多一票獲勝, 則唱票的情形有多少種? ~2 2 19~
20 (1) (2) ! 4!4!2!2! =90 綜合練習解答 (3) (a)4! 4!=576 (b)(p 4 2) 2 (P 2 2) 2 4=2304(c)P 4 4 P 4 4 2=1152 (4) 1440 [ 提示 :(a) 全 (D 相鄰或 D 相鄰或 CD 相鄰 )(b)d 排首或排尾且與 E,F,G 之一相鄰 =3 5! 2=720,D 插在 E,F,G 之間的排法有 P 3 2 5!=720] (5) (a)20 (b)40 (6) (a)5! 3 4! 3+3!=294 (b)6! [5! 4 6 4!+4 3! 2!]=362 (c)3! 3!=36 (7) (a)840(b)720(c)240(d)600(e)480 C (8) 30 [ 提示 : 考慮 C E 與 E D F 兩種路線的走法 ] D 12! (9) 2!3!4!3! = F [ 提示 : 將 YYYRRRRGG 排成一列再與 1,2,..,12 一一對應, 就代表所有 的塗法 ] (10) 576 (11) (a)480 (b)2520 (c)3024 (d)126 [ 提示 :(a) 5! 3! 4!=480 (b) 9! =2520 (c)9! 3!4! 5! =3024 (d) 9! 5!4! =126] (12) 6 (13) 1260[ 提示 : 可視為 CCCC 的排列數因為打法與排法一一對應 ] (14) 1260 [ 提示 : 9! 3!2!4! =1260] (15) 5! P 6 4=43200 (16) (a) =(p ) (P ) (P ) (2) =P 4 12 P 8 4 P 4 4( 1 4 )3 1 3! (17) (a) 5! 2 =60 (b) =680 [ 提示 :(a) 紅黃藍黑綠與綠黑藍黃紅算同一種染色的結果, 即 2 種算一種, 5! 因此共 2 種 (b) 考慮 中的塗法, 對稱的情形 (5 4 2 種 ): 紅黃藍黃紅用中間的區段作對稱還是紅黃藍黃紅, 但非對稱的情形 ( ): 紅黃藍黑綠用中間的區段作對稱是綠黑藍黃紅, 因此每 2 種算 1 種, 因此共有 ~2 2 20~
21 1 2 ( ) 種 ] (18) (a) 960(b) 768 (19) =150[ 提示 : 用排容原理, 參考例題 15] (20) (a)924 (b)350 (c)462 (d)538[ 提示 :(3) 全部 ( 經過第二象限 )] (21) 100;36 [ 提示 :(1) 首位數可從 1,2,3,4,5 中取一個數, 第二 三位數從剩下 5 5 個數取兩數排列, 共有 5 P 2 =100 種排法 (2) 在 (1) 中可被 3 整除的三位數, 必須考慮三個數字和為 3 的倍數的情況, 依含 0 與不含 0 分類如下 : 含 0 的三個數 :(0,1,2),(0,1,5),(0,2,4),(0,4,5) 不含 0 的三個數 : (1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5) 含 0 的三個數, 排成三位數有 3 種方法, 不含 0 的有 3!=6 種方法, 所以, 三位數中, 被 3 整除的有 =36 個 ] (22) 2893[ 提示 : =2893] (23) 4000 [ 提示 : 3 之個位數 3, 共出現了 000,001,, 次 ; 3 之十位數 3, 共出現了 10 3 次,..] (24) (a)264 (b)265 [ 提示 :(a)6 ( 其他 5 個號碼與洞的號碼不同 )=6 44=264 (b)6! 6 5!+15 4! 20 3!+15 2! 6 1!+0!=265] (25) 44 [ 提示 : 設每次移動 1 格 x 次, 移動 2 格 y 次, 移動 3 格 z 次, 依題意可得 x+2y+3z=7] (26) ! [ 提示 : 先排 b,b,c,d,e,f(bb 相鄰共有 5!=120 種排法,bb 不相鄰有 2! 5! =240 種排法 ), 再插入 a,a,a, 若 bb 相鄰 : c b a b d e f 1 2 P6 2=15; 若 bb 不相鄰 : c b d e b f 1 3! P7 3=35, 所以共有 =10200] (27) (a)8 (b)32 [ 提示 :(a) 如圖, 當 1,3,9,7 同色,2,4,8,6 同色即可達到題目的要求 (2) 當 1,9 3,7 4,6 2,8 同色即可得到題目要求 ] (28) 108[ 提示 : 如下面所示的式樣, 可知其樣式有 4! 4+3! 2=108] ~2 2 21~
22 (29) 42 [ 提示 : 將 的得票數與 的得票數分別記在 x 軸,y 軸, 唱票時 一直保持領先, 故第一票為 所得, 即自 P(1,0) 出發, 第二票必是 獲得, 故由 (1,0) 移動到 (2,0), 令 的得票數分別為 a,b, 則形成點 (a,b), 其中 a>b 最後 恰以一票獲勝, 因此終點為 Q(6,5), 即自 P 點開始沿實線取捷徑走到 Q 點的方法, 會與唱票時, 一直保持領先, 且最後 恰以多一票獲勝的唱票情形一一對應 ] ~2 2 22~
Microsoft Word - 數學CIII_3-2排列組合.doc
數學 CIII_- 排列組合 年 班座號 姓名 一 單選題 (7 題每題 0 分共 0 分 ) ( )1. 若 P A ( ). 若 C D 8P, (A) (B)8 (C)10 (D)1 (E)8 P 8P (1)() 8 ( 1) ( 1) 8 11 C, 則 (A) (B)8 (C) 或 8 (D)10 (E)10 或 1 總 分 ( )( 1) ( 1) ( 1) 11 11 C C 1 1
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2 2 排列與組合 ( 甲 ) 直線排列 引入直線排列 : 例子 : 從建中高一某班 5 個同學中, 選出 3 人排成一列, 有幾種排法? 解法 : A 5 個同學以 ABCDE 表示, 選出 3 人排成一列, 我們將這個過程, 分成 3 個步驟, 配合樹狀圖, 可得排法共有 5 4 3 種方法 B B C D E B D E 數學上, 將這樣的排列方法稱為在 5 個不同的事物中, 5 選取 3 個安排到
遞迴數列
- 排列與組合 目標 首先能理解 排列 的意涵, 並能應用 乘法原理 處理 從 個不同元素的集合取出 個 ( ) 來排列的總排列數, 進而能推算 不盡相異物 的排列數, 以及可重複的排列問題 再者, 能了解 組合 的意涵, 並能處理不可重複與可重複的組合問題, 以及不定方程式 x+ x + L + x = 的非負整數解的問題 定義. 階乘 :! 讀作 的階乘, 其意義為! = ( ) ( ) L.
數學
一 多選題 ( )1. 下列各式何者正確? (1)!= 70. ()n!=. () = n(n 1)(n ) L (n m + 1). () 解答 1 n! =. ()0!= 1. ( n m)! ( ). 多項式 ( a + b + c + d) 的展開式中,則 (1) a 的係數 = 1. () b c 的係數 =. () a b c 的係數 = 10. () 型如 a b 的同型項有 項. ()
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2 2 排 列 與 組 合 ( 甲 ) 直 線 排 列 引 入 直 線 排 列 : 例 子 : 從 建 中 高 一 某 班 5 個 同 學 中, 選 出 3 人 排 成 一 列, 有 幾 種 排 法? 解 法 : A 5 個 同 學 以 ABCDE 表 示, 選 出 3 人 排 成 一 列, 我 們 將 這 個 過 程, 分 成 3 個 步 驟, 配 合 樹 狀 圖, 可 得 排 法 共 有 5 4
高中必備基礎文法
9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義 1 9 學年高中二年級下學期數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 第二章排列組合第 1 節基本的計數原理 第 1 部分乘法與加法原理 x y N, xy= 0, 則數對 ( x, y ) 共有幾組解? 2 ai {1,2,,,,6}, i = 1,2,,, 若 ( a1+ 1)( a2 + 2)( a+ )( a + ) 為 倍數, 則數對 ( a1, a2,
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
一、 是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0
台北市立陽明高中高二下自然組動手動腦 單元 :2-4 組合 (4) 班級 : 座號 : 姓名 : 1. 桌上有形狀 大小相同的橘子 4 個, 梨子 5 個, 蘋果 6 個, 任意分給甲 乙 丙三人, 試求下列情況之方法數 : (1) 每人每種水果至少得 1 個 (2) 每人至少得 1 個 2. 平面上有 8 條直線, 任意兩條直線皆不平行, 且任意三條直線皆不共點, 請問這些直線共有多少個交點? 3.
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單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
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Min-Hwei College of Health Care Management 排列與組合 Mathematics 3, Autumn 2010, C. J. Chang 加法原理 加法原理若完成某件事有 k 種做法可供選擇 其中 1, 2,, k 種做法分別有 m 1, m 2,, m k 個方法, 則完成此件事共有 m 1 +m 2 + +m k 種方法 Ex. 假設今天我們至簡餐店用餐,
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4. 資料表示法 4.1 十進位與數字系統 (1). 基本觀念 數字系統的觀念 人們習慣以十進位的計量方式來計算 不同的數字系統有二進位 (Binary) 八進位 (Octal) 十進位 (Decimal) 十六進位(Hexadecimal) 二進位 電腦內部用來表達訊號的資料只有兩種符號 : 0 表示沒電,1 表示有電透過多個電路的組合表示出無數符號, 電腦便利用這些符號來表示不同的數字 利用兩條電線可以表示出
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
一、 是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0
一 多重選擇題 ( 第 ~ 題每題 0 分 ).0 個字母 :aaaaa,bbbbb,ccccc,ddddd, 下列何者正確? 0 0 (A) 選取 個字母有 種方法 (B) 選取 個字母有 H 種方法 () 取 個 字母有 H 0 種方法 (D) 取 個字母排列有 0 種方法 (E) 取 個字母排 列, 同字不相鄰, 有 97 種方法 解答 (D)(E) (A) H (B) H () (D) =
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
標題
2 3 組合 ( 甲 ) 組合的意義例子 : 從建中高二某班 5 個同學中, 選出 3 人參加辯論比賽, 有幾種選法? [ 解法一 ]:( 以分類的觀點 ) 5 個同學以 ABCDE 表示, 先考慮選出 3 人排成一列, 配合樹狀圖, 可得排法共有 P 5 3=5 4 3 種方法 但選人的觀點是不論次序的, 即 ABC ACB BAC BCA CAB CBA 是算一樣的, 都是選中 ABC 三個人,
Microsoft Word - 第二章 排列 組合.doc
排列 組合 排列 (permutatio) 是集合中一群個體的有序選擇 ; 組合 (combiatio) 是集合中一群個體的無序選擇 在排列與組合中個體的選擇可允許重覆或不允許重覆 例加,a b c 三個字母中選出兩字母, 有 9 種字母可重複的排列 : aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc 有 6 種字母不可重覆的排列 : ab, ac, ba, bc, ca, cb
12. ( ) 下列哪一個數不是 4 的倍數? (A)336 (B)548 (C)1500 (D) ( ) 下列敘述何者不正確? (A)1 是 5 的因數 (B)5 是 1 的因數 (C)1 是 1 的因數 (D)1 是 1 的倍數 14. ( )2002 是下列哪一個數的倍數? (
第二章 : 分數的運算第一節 : 因數與倍數一 選擇 1. ( ) 下列敘述何者錯誤? (A)1 是任意整數的因數 (B)0 是任意整數的倍數 (C) 任意正整數的倍數有無限多個 (D) 任意正整數的因數個數是有限個 2. ( ) 設甲 乙兩數均為正整數, 若甲數能整除乙數, 則下列何者正確? (A) 甲數為乙數的倍數 (B) 乙數為甲數的倍數 (C) 乙數為甲數的因數 (D) 甲 乙兩數彼此沒有關係
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
標題
第二章排列組合 2 1 計數原理 ( 甲 ) 集合元素的計數 (1) 設 是一個有限集合, 則集合 的元素個數以 n() 或 表示之 例 : 設 ={a,b,c,d,e}, 則 n()=5 或 =5 (2) 二個集合的排容原理 ( 處理計數問題最基本的工具 ): 設, 是二個有限集合, 則 n( )=n()+n() n( ) 實例說明 : 設 ={1,3,5},={1,2,3,7}, 求 n( )=?
排列組合
排列組合 C = C + C r r r A B 姓名 : 主題一加法原理 ( 互斥原理 ) : 排列組合. 設 A,B 為絕不可能同時發生之兩事件,A 發生之情形數有 (A) 種,B 發生之情形數有 (B) 種, 則 A,B 任一或至少有一種發生之情形數為 (A)+(B) 種. 在一般情形下, 若 A 發生之情形數有 (A) 種,B 發生之情形數有 (B) 種, 則 A,B 至少有一種發生之情形數為
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B4C2
TFSH 05 數學第四冊第二章排列組合 P m! m!! m m! m! H m m m y r r y r r0 a p a q a 九十六學年度第二學期 座號 : 姓名 : http://cplee8tcfsh.blogspot.com/ cplee8tcfsh-4--/ - 計數原理一 加法原理 :( 或 )( 互斥 ) BA A A k, 且 A,A, A k 為兩兩互斥的集合, 則 (B)(A
,,, :,,,,,,,,,,,, 20 1 ,, 56,,,,, :,,,,,,, :,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 ,,,,,,,,, 2005 11 3 ( 1 ) ( 57 ) (116 ) (168 ) (223 ) (284 ) 1 : :,,,,,,,,,, 1 [ [,, [, [ [ :,,,, [ [, :,! [ :,, 2 [ [ :,, [ [ [ [ ( ),
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 9 圖 形 (A) 有 一 條 對 稱 軸 其 餘 的 圖 形 都 沒 有 對 稱 軸, 這 是 因 為 對 於 每 一 個 圖 形, 其 反 射 過 後 的 圖 形 為 都 無 法 與 原 圖 形 重 合 答 : (A) 6 小 貝 在 計 算 器 上 鍵
1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 8 1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 1 算 式 8 + 等 於 (A) (B) 8 (C) 12 (D) 32 (E) 8 8 + = 12 答 : (C) 2 假 設 今 天 是 星 期 四, 請 問 十 天 後 是 星 期 幾? (A) 星 期 一 (B) 星 期 二 (C) 星 期 三 (D) 星 期 六 (E) 星 期 日 今 天 的 七 天
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第 三 十 三 單 元 排 列 組 合 ( 甲 ) 基 本 計 數 法 則 (1) 窮 舉 法 : 通 過 一 一 的 列 舉 而 導 致 結 論 的 方 法, 稱 為 窮 舉 法 (2) 樹 狀 圖 的 設 計 樹 狀 圖 是 一 種 樹 枝 形 狀 的 圖 形, 用 來 列 舉 一 連 串 事 件 發 生 時 所 有 可 能 情 況 的 一 種 工 具 樹 狀 圖 是 用 窮 舉 法 解 題 時
數學
一 多選題 ( ). 若, N,且 > +,下列何者正確? () + =. () P =!.. () r 解答 =. () H =.. () H + H = H. r + () 巴斯卡定理,正確.!! () P =!! ( )! =!( )! = () =,故不正確. + r r r + + = + = + + = =. () H,故不正確. () H H H. ( ).0 個字母 :aaaaa,
星星排列 _for loop Protected Sub Page_Load(ByVal sender As Object, ByVal e As Dim h As Integer = 7 'h 為變數 ' Dim i, j As Integer For i = 1 To h
資訊系統與實習 製作 : 林郁君 一 2009.09.28 9X9 'button 被按下後 ' Dim i, j As Integer For i = 1 To 9 'i 從 1 到 9' For j = 1 To 9 'j 從 1 到 9' If j * i < 10 Then ' 如果 j 乘上 i 是為個位數 ' Response.Write(i & "*" & j & " =" & i *
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语 言 研 究,1993(1):46-50. 乳 儿 话 语 理 解 的 个 案 研 究 李 宇 明 零 导 言 一 岁 以 内 的 孩 子 称 为 乳 儿 乳 儿 后 期 已 能 理 解 一 些 简 单 的 话 语, 这 既 为 此 后 的 语 言 获 得 做 了 最 初 的 准 备, 也 是 个 体 话 语 理 解 的 开 始 它 标 志 着 个 体 由 第 一 信 号 系 统 进 入 到 第
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
2018WMI樣題
Grade 0 ( ). ( ). ( ) ( 9 ) 9 4 5. . ( ) Grade ) Look at the figures on the right. What is? 看右圖計算 :? 看右圖計算 :? 4 0 5 ) Which of the figures below doesn t show the concept of 4? 下面哪個圖形不是四分之一? 下面哪個圖形不是四分之一?
龍騰100-B5-習作-CH3.doc
8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
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17800 照 顧 服 務 員 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 學 科 一 是 非 題 : 1.(O) 飯 後 胃 結 腸 反 射 可 激 發 結 腸 及 大 腸 蠕 動 2.(X) 女 性 陰 部 清 潔 的 順 序 為 由 上 而 下, 由 外 往 內 3.(X) 男 女 尿 道 長 度 不 同, 女 性 尿 道 較 長, 所 以 易 感 染 發 炎 4.(X) 為 案 主 擦 拭 四 肢
研究一：n人以『剪刀、石頭、布』猜拳法猜拳一次，決定一人勝
嘉 義 市 第 三 十 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 猜 拳 決 勝 負 的 最 佳 策 略 探 討 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 關 鍵 詞 : 剪 刀 石 頭 布 黑 白 猜 編 號 : 壹 摘 要 在 玩 遊 戲 時 往 往 需 要 運 用 猜 拳 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 來 決 勝 負 或 是 分 組, 但 人 數 一 多, 便 無 法
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国 家 司 法 考 试 试 题 解 析 汇 编 (2009 2014) 旧 题 新 解 服 务 要 目 : 民 诉 解 释 电 子 修 订 1 立 法 法 电 子 修 订 80 民 诉 解 释 电 子 修 订 民 事 诉 讼 法 与 仲 裁 制 度 一 单 项 选 择 题 1. 居 民 甲 与 金 山 房 地 产 公 司 签 订 了 购 买 商 品 房 一 套 的 合 同, 后 因 甲 未 按 约
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8 第 章 機 率 - 樣 本 空 間 與 事 件 列 出 擲 一 粒 骰 子 所 出 現 點 數 的 樣 本 空 間, 並 以 集 合 表 示 下 列 各 事 件 : A 是 出 現 點 數 為 偶 數 的 事 件, B 是 出 現 點 數 為 奇 數 的 事 件, C 是 出 現 點 數 大 於 的 事 件 骰 子 出 現 的 點 數 可 能 是,,, 4,5, 6, 因 此 出 現 點 數 的
時間問題
解 難 之 趣 屯 門 區 小 學 數 學 比 賽 特 刊 第 十 六 屆 二 零 零 六 年 四 月 二 十 二 日 時 間 問 題 驟 眼 看 去, 時 間 問 題 很 容 易, 要 中 學 生 去 解 決 連 小 學 生 都 可 以 輕 易 解 決 的 戇 居 題 目, 簡 直 有 點 侮 辱 智 慧 不 過, 同 學 或 許 都 會 見 識 過 以 下 例 子 : 例 一 : 一 口 井 0
例題 練習 如果奇數 的第 k 個數寫如果奇數 的第 k 個數寫為為 k, 那麼偶數 Λ k +, 那麼偶數 Λ 的第 k 個數寫為多少? 的第 k 個數寫為多少? 例題 練習 一 二 三
Ⅰ. 數量關係 :. 奇數與偶數的關係. 兩個連續整數必有一個奇數與一個偶數, 它們之間的差為 b. 奇數與偶數的一般化 ( 或形式化 ) 偶數 : 因為偶數都是 的倍數, 而 的 倍即為, 故記為, 表所有整數 ; 所以 可為偶數的一般式 範例 4,6,8 4,0 5 因此可推得所有偶數皆可記為 :, 其中 為大於 之整數 奇數 : 因為奇數都是 的倍數減, 而 的 倍減, 故記為, 表所有整數
列 出 所 有 的 非 負 整 數 解, 係 數 越 大 者 越 先 決 定, 故 先 決 定 z, 再 決 定 y, 最 後 決 定 x, 故 有 + 6 + = 8 ( 種 ) x 0 0 6 8 0 0 6 8 0 6 8 0 y 0 5 0 0 9 8 7 6 5 0 z 0 0 0 0 0
- 乘 法 原 理 基 礎 型. 從 甲 地 至 乙 地 有 5 條 路 可 走, 由 乙 地 至 丙 地 有 條 路 可 走, 由 丙 地 至 丁 地 有 條 路 可 走, 試 問 從 甲 地 經 乙 丙 兩 地 至 丁 地 的 走 法 有 幾 種? 答 60 解 由 乘 法 原 理 知, 有 5 = 60 ( 種 ). 書 店 的 書 架 上 有 種 不 同 的 英 文 書 和 5 種 不 同
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數學 III_-~- 年 班座號 姓名 一 單選題 ( 題每題 0 分共 0 分 ) 總 分 ( ). 甲 乙二人平時能解出數學題之機率分別為 解出幾題? (A)0 (B) () (D) (E)7 今二人合作解 8 題且互不影響, 則可預期他們能 甲 乙二人合作能將題目解出之機率為 P( 甲 乙 ) P( 甲 ) P( 乙 ) P( 甲 乙 ) 解 8 題, 則可預期他們能解出 8 題 ( ). 擲一均勻的硬幣二次,
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1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能 整除 因此後玩 者贏 且關鍵數 字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍 數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵 數字是 6的倍 數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為7
九 -2 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 六 冊 主 題 二 機 率 的 計 算 二 機 率 怎 麼 算? 想 一 想 : (1) 投 擲 一 枚 公 正 硬 幣 一 次, 會 出 現 哪 幾 種 情 形? 這 些 情 形 各 自 發 生 的 機 率 是 多 少? 會 不
國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 六 冊 九 -1 單 元 九 機 率 的 概 念 主 題 一 認 識 機 率 一 機 率 是 什 麼? 想 必 大 家 一 定 都 看 過 氣 象 預 報, 也 一 定 都 聽 過 降 雨 機 率 下 表 為 某 一 週 氣 象 預 報 : 日 期 9 /15 9/16 9/17 9/18 9/19 9/20 9/21 降 雨 機 率 10%
第一章 §1 1
期 中 综 合 测 试 题 本 卷 分 为 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 ) 和 第 Ⅱ 卷 ( 非 选 择 题 ), 满 分 100 分, 时 间 90 分 钟 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 共 48 分 ) 一 选 择 题 ( 在 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 最 符 合 题 意 的 本 大 题 共 24 小 题, 每 小 题 2 分, 共 48 分 ) 1. 阅 读
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新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答案寫在答案卷上 一 選擇題 ( 每題 5 分, 共 60 分 ) 1.( ) 以下何者不是兩個三角形的全等性質?()
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
《米开朗琪罗传》
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. (A) (B) (C) A (D) (E). (A)(B)(C)(D)(E) A
. () () () () () (A) (B) (C) B (D) (E). (A) (B) (C) E (D) (E) (A) (B) (C) (D). () () () () E (A) (B) (C) (D) (E). C (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) D (E). () - () - () - () - () - D (A) (B) (C) (D)
中華民國 第49屆中小學科學展覽會
中華民國第 50 屆中小學科學展覽會 R 作品說明書 國小組數學科 佳作 08040 揭開 數 的神秘面紗 不同數字組合及其運算 關係 學校名稱 : 國立東華大學附設實驗國民小學 作者 : 指導老師 : 小六鍾沂廷 小六蕭亦廷 李瑜霏 陳貞泰 小六石慧醫 小六張弘軒 小六王元聖 關鍵詞 : 數字根 同價數字根 帶分數 ( 整數 + 假分 數 ) 摘要本作品是以 ~9 的 9 個數字為主軸, 藉由數
2007 TRML思考賽
TRML 思考賽 -2007 思考賽共 10 題, 每題 4 分 答題時必須寫明計算或證明過程, 為得到滿分, 答題方式必須合理, 層次清楚簡明 前面小題縱使未被證出, 也可被引用來解後面小題 ; 但反之後面小題的結果, 未正確證明之前, 不可用來解前面小題 繳交的答案紙每張至多一小題, 且必須在每張答案紙上方標明題號且依序排列 每張紙上只寫一面, 不要寫兩面 准考編號大會已直接印於答案紙上, 在繳交的答案時,
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100 40 28 2B c 3 10 8 m s h 6.63 10 34 J s e 1.6 10 19 C hc 1240 E hf ev λ λ nm 1 ev 1.6 10-19 J 1 mol 6.02 10 23 ph 8 10 N 14 O 16 Fe 56 Ag 108 NO.99341003 103-E3 第壹部分 ( 占 80 分 ) 56 1 說明 : 第 1 題至第 k
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第 章排列 組合 17-1 邏輯 集合與計數原理 1. 已知兩集合 { 1,} A = 與 B { x x ax b 0} 由題意知, 1與 為方程式 解得 a =, b =. 1 a+ b= 0 9 + a + b = 0 = + + = 相等,求實數 a, b 的值. x ax b + + = 0 的兩根.因此,可列得 a+ b= 1. a+ b= 9. 已知集合 A= {,a+ 1}, B=
國立台中一中合作盃數學金頭腦 第四十八次有獎徵答收稿時間 :98 年 5 月 20 日 ~ 98 年 5 月 22 日 14:00 說明 :(1) 解答請寫在答案稿紙上, 並務必註明 交件時間 班級 姓名 (2) 稿件寫完請投入敬業樓一樓數學科辦公室外銀色的有獎徵答收稿信箱內 (3) 答案稿紙可至數
國立台中一中合作盃數學金頭腦 第四十八次有獎徵答收稿時間 :98 年 5 月 0 日 ~ 98 年 5 月 日 14:00 說明 :(1) 解答請寫在答案稿紙上, 並務必註明 交件時間 班級 姓名 () 稿件寫完請投入敬業樓一樓數學科辦公室外銀色的有獎徵答收稿信箱內 (3) 答案稿紙可至數學科辦公室索取, 一張答案稿紙只能寫一個題目的解答, 如欲投稿兩題以上, 請分別寫在不同的答案稿紙, 否則不予評閱
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2 機 率 ( 甲 ) 古 典 機 率 的 定 義 與 性 質 古 典 機 率 的 定 義 : 設 樣 本 空 間 S 有 n 個 元 素, 而 每 個 元 素 出 現 的 機 會 均 等, 事 件 A 有 k 個 元 素, k 則 事 件 A 發 生 的 機 率 定 義 為 n, 符 號 寫 成 P(A)= n(a) k n(s) = n 此 定 義 是 由 Laplace( 法 國 人,749~827)
基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本
基本數學數學核心能力測驗 G2 行為觀察記錄記錄紙 學校 : 班級 : 姓名 : 日期 : 記錄者 : ~ 學生作答時, 請他 ( 她 ) 將雙手皆置於桌面 ~ 認識數字 ( 三 ): 數列 ( 共 1 頁 ) 注意事項 逐題觀察並作底下記錄, 等分測驗做完後, 每一個策略任選一題問 這一題你是怎麼算的? ( 如果只運用一種策略, 則再任選 2-3 題訪問 ) 利用學生的回答來作為 自己觀察記錄的證據
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
( )1
( )1. 如 圖 為 某 生 物 細 胞 行 減 數 分 裂 過 程 之 一, 正 常 情 況 下, 分 裂 完 成 後 子 細 胞 染 色 體 為 下 列 何 者? ( )2. 在 細 胞 的 分 裂 過 程 中,50 個 精 母 細 胞 與 50 個 卵 母 細 胞, 經 減 數 分 裂 後, 分 別 產 生 M 個 成 熟 的 精 配 子 細 胞 和 N 個 成 熟 的 卵 配 子 細 胞
Microsoft Word - 香港數學盃2016比賽模擬試題P3.docx
香 港 數 學 盃 2016 模 擬 試 題 小 三 香 港 數 學 盃 2016 模 擬 試 題 小 學 三 年 級 卷 一 選 擇 題 限 時 20 分 鐘 1. 200 + 208 + 200 +195 + 192 +205 + 210 + 190 +207 +193=? A. 1800 B.1900 C.2000 D.2200 2. 947+(372-447)-572+1928-(267-72)-33
Microsoft Word - 國文封面
臺 北 區 公 立 高 中 九 十 七 學 年 度 第 二 學 期 大 學 入 學 指 定 科 目 第 二 次 聯 合 模 擬 考 試 國 文 考 科 - 作 答 注 意 事 項 - 考 試 時 間 :80 分 鐘 題 型 題 數.. 選 擇 題 共 24 題 非 選 擇 題 共 二 大 題 作 答 方 式 : 選 擇 題 用 2B 鉛 筆 在 答 案 卡 上 作 答, 修 正 時 應 以 橡 皮
當 地 情 形 還 不 熟 悉 4 得 勝 的 歡 似 虎 : 形 容 因 勝 利 而 得 意 忘 形 5 不 吃 無 工 之 食 : 比 喻 人 不 能 無 緣 無 故 接 受 優 待 或 贈 與 4. 請 根 據 文 意, 在 中 填 入 正 確 的 成 語 代 號 ( 甲 ) 優 游 自 在
國 二 國 文 範 圍 :B3: 第 二 課 美 猴 王 一 國 字 及 注 音 1. 拱 ㄈㄨˊ 無 違 : 2. 拍 手 稱 ㄧㄤˊ : 3. 詼 ㄒㄧㄝˊ 風 趣 : 4. ㄔㄢˊ 鬥 : 5. 搔 癢 : 6. ㄓㄤ 頭 鼠 目 : 7. 玩 ㄕㄨㄚˇ : 8. 石 竅 : 9. 採 花 ㄇㄧˋ 果 : 10. 長 途 ㄅㄚˊ 涉 : 11. 喜 不 自 勝 : 12. 進 ㄓㄨˋ 水 簾
教 案 ( 首 页 ) 课 课 编 号 410105 结 构 力 学 总 计 :80 学 时 名 称 学 分 5 其 中 : 类 别 必 修 课 ( ) 选 修 课 ( ) 理 论 课 ( ) 实 验 课 ( 讲 课 :80 学 时 ) 实 验 : 学 时 任 课 教 师 曹 志 翔 职 称 副 教
结 构 力 学 教 案 主 讲 教 师 : 曹 志 翔 2010 年 8 月 教 案 ( 首 页 ) 课 课 编 号 410105 结 构 力 学 总 计 :80 学 时 名 称 学 分 5 其 中 : 类 别 必 修 课 ( ) 选 修 课 ( ) 理 论 课 ( ) 实 验 课 ( 讲 课 :80 学 时 ) 实 验 : 学 时 任 课 教 师 曹 志 翔 职 称 副 教 授 对 象 专 业 班
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陸 海 空 軍 服 制 條 例 附 圖 中 華 民 國 96 年 11 月 7 日 總 統 府 公 報 第 6769 號 附 件 附 圖 一 : 軍 常 服 制 式 圖 附 圖 一 之 一 : 陸 軍 男 性 軍 官 士 官 士 兵 軍 常 服 一 茶 綠 色 大 盤 帽, 淺 茶 綠 色 襯 衣, 黑 色 領 帶 二 茶 綠 色 上 下 裝, 上 裝 為 翻 領 對 襟 式, 衣 襟 上 下 各
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80 2B NO.99352001 102-E8 第壹部分 : 選擇題 ( 占 80 分 ) 72 1 說明 : 第 1 題至第 n 題, 每題有 4 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在 答案卡之 選擇題答案區 各題答對者, 得 2 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選 項者, 該題以零分計算 1 1873 C. Douglas 1923 Thomas Barclay A B
基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 abcde,,,,, 每次從中選取出 3 個變數來作 2 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 3 e( abc,, ) + e( abd,, ) + e
基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 bcde,,,,, 每次從中選取出 個變數來作 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( be,, ) + e( cd,, ) + e( ce,, ) + e( de,, ) + e(,, bcd) + e(
新北市立江翠國民中學 107 學年度第一學期第 1 次段考九年級數學科試題卷 P1. 測驗說明 : 1. 範圍 : 康軒版第五冊第 1 章第 1 節 ~ 第 1 章第 3 節 2. 本試卷共 5 頁 ( 題目卷 4 頁及答案卷 1 頁 ) 3. 全部試題共 24 題, 請將各題答案填入答案卷上, 否
新北市立江翠國民中學 107 學年度第一學期第 1 次段考九年級數學科試題卷 P1. 測驗說明 : 1. 範圍 : 康軒版第五冊第 1 章第 1 節 ~ 第 1 章第 3 節 2. 本試卷共 頁 ( 題目卷 4 頁及答案卷 1 頁 ) 3. 全部試題共 24 題, 請將各題答案填入答案卷上, 否則不予計分 一 選擇題 ( 每題 4 分, 共 40 分 ) 1. 下列各組圖形中, 哪一組圖形不一定相似?(
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十一單元 三角函數公式 倍角公式 ( 甲 ) 倍角公式 () 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (a)sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ 由和角公式 :tan(α
1 2 3 1. F 2. F 3. F 4. 12.5g 5. 14.2g 6. 30.6g 7. 8. 50cm 24cm 15cm 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 4 5 1. 1 2 2. 3. 50cm 24cm 15cm 4. 5. ABCD 1 15 24 50 15 24 50 6 7 8 1. 1 2. 3. 4. 5. AB 2 34 9 7
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中 華 民 國 健 身 運 動 協 會 社 區 健 走 教 室 100 點 種 子 指 導 員 研 習 手 冊 中 華 民 國 健 身 運 動 協 會 http://www.exercise.org.tw 0 課 程 內 容 : 時 間 課 程 內 容 講 師 備 註 健 走 研 習 13:30 健 走 實 技 與 指 導 劉 定 國 14:30 健 走 實 務 劉 定 國 講 師 一 位 15:00
直角座標與二元一次方程式的圖形 直角座標與二元一次方程式的圖形 一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 ax +by = c, 則 : ax +by = c by =- ax + c y =- a x + c b b 令 m =- a b, k = c b, 則原式可改寫為 : y
一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 +b = c, 則 : +b = c b =- + c =- + c b b 令 m =- b, k = c b, 則原式可改寫為 : = m + k 稱此式為直線方程式, 其中 m 即是直線方程式之斜率 m =0 的圖形 : 直線方程式 m =0 的圖形是一條平行 軸的水平直線, 如右圖所示 : o (0, k) = k m >0 的圖形 :
Ⅱ Chapter2 式的運算
Ⅲ Chapter1 排列組合 1-1 乘法原理與樹狀圖 1. 樹狀圖 : 樹狀圖是一種像樹枝的圖形, Ex 1 龍鳳汽車公司有兩條生產線, 第一條生產線有 5 種不同車型, 第二條生產線有 3 種不同車型, 阿玲欲在該公司購買 1 部汽車, 試問有多少種選購方法? 用來列舉一連串事件發生的可能情 況, 藉以計算事件所有可能發生情況的 總數 2. 加法原理 : 若完成某件事可分成 k 個類 Try
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對稱多項式的 h恆等式 ( 下 ): 將 h 用 的行列式表示 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 前言 : 關於對稱多項式, 有一個很重要的事實, 稱為 對稱多項式的基本定理, 簡單地說, 即任何 元 (,,, ) 的對稱多項式, 總是可以寫成 個基本對稱多項式 ( 即,,, ) 的多項式 ( 參考資料 [4]) 例如: ( ) ( ) [ (,, )] (,, ) 那 麼, 既然 h(,,,
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函
台 中 市 北 屯 區 東 山 里 橫 坑 9 林 志 明 0932-511633 巷 89-5 菜 豆 菜 大 漿 果 菜 豆 菜 大 漿 果 小 漿 果 核 果 柑 桔 9210065 103.2.21 107..19 210065 無 107.2.12 10 陳 錦 生 新 竹 市 香 山 區
序 農 產 品 經 營 業 者 名 稱 1 劉 士 魁 2 林 東 詳 3 林 俊 堯 廖 本 源 5 林 碧 龍 10 年 驗 戶 名 冊 ( 生 產 加 工 分 裝 流 通 ) 地 址 彰 化 縣 永 靖 鄉 崙 子 村 九 分 路 192 巷 21 屏 東 縣 屏 東 市 空 翔 里 2 鄰 迪 化 一 街 67 台 中 市 太 平 區 育 誠 街 12 巷 1 屏 東 縣 屏 東 市 華 盛
菩提道次第廣論
菩 提 道 次 第 广 论 下 士 道 ( 二 ) 深 信 业 果 18 ( 分 别 业 的 轻 重 3 ) 最 尊 贵 的 净 莲 上 师 讲 解 我 们 继 续 说 明 为 什 么 业 特 别 重 大 的 原 因 第 二 个, 是 它 所 依 门, 所 依 门 的 缘 故, 依 它 所 依 的 内 容 而 有 轻 重 的 差 别 第 一 个, 它 所 依 的 是 什 么 呢? 就 是 你 是 不
繁 華 國 小 101 學 年 母 親 節 感 恩 惜 福 - 跳 蚤 市 場 暨 科 學 闖 關 遊 戲 親 子 活 動 實 施 計 畫 一 依 據 : 本 校 101 學 年 度 校 務 計 畫 及 行 事 曆 二 目 的 : 1. 培 養 學 生 感 恩 惜 物 知 福 惜 福 的 節 儉 觀
屏 東 縣 繁 華 國 小 慶 祝 101 學 年 度 母 親 節 活 動 實 施 計 劃 壹 依 據. 一. 本 校 101 年 度 推 廣 教 育 優 先 區 親 職 教 育 及 社 區 化 教 育 辦 理 二. 本 校 101 學 年 度 第 二 學 期 行 事 曆 計 劃 辦 理 貳 目 的. 一. 建 立 正 確 的 現 代 父 母 角 色, 發 揮 親 職 教 育 之 功 能 二. 增
45 45 67 1935 10 7 1937 4 6 1943 1945 4 1952 46 47 5 5 1 5 1979 1964 1949 1954 1966 1967 1 9 48 49 1960 70 12 16 1 2 3 4 5 6 1970 1964 1966 50 51 1993 2001 1990 1993 9 25 1950 6 5 7 96 811 12 8 10 1972
育儿小故事（四）
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Microsoft Word - ZLI14A0-105
105 年 指 考 趨 勢 預 測 歷 史 考 歷 科 史 科 文 / 朱 詩 堯 老 文 師 / 朱 詩 堯 老 師 1 前 言 大 考 中 心 根 據 101 課 綱, 將 指 考 歷 史 科 測 驗 分 為 四 項 可 相 互 依 存 的 指 標 : 基 礎 知 識 文 本 閱 讀 歷 史 解 釋 資 料 證 據, 每 項 指 標 又 將 記 憶 閱 讀 分 析 推 證 等 能 力 納 入 一