利用線性規劃可求得最大利益 第 4 章 146
不等式可區分為兩類, 像 a 2 + b 2 2ab, 對於任意實數 a b 均成立的, 這種不等式稱為絕對不等式 ; 又如 x 2 + 4x- 5 > 0,2x+y- 7 < 0, 僅對某些特定範圍內的實數 x y 才能成立的, 這種不等式稱為條件不等式 本章將介紹絕對不等式中的算幾不等式與柯西不等式, 並討論條件不等式中的一元二次不等式與二元一次不等式的圖形, 再延伸到線性規劃 線性規劃是應用數學的一個領域, 如今已成為作業研究中重要的分支, 其應用範圍則遍及工商業管理, 以及國防管理 147
4-1 一元二次不等式 4-1 一元二次不等式 每一個正數都大於 0, 而每一個負數都小於 0 對於任意兩個實數 a 與 b, 如果 a - b 是正數, 則稱 a 大於 b, 記作 a > b; 如果 a - b 是負數, 則稱 a 小於 b, 記作 a < b; 如果 a - b 是 0, 則稱 a 等於 b, 記作 a = b 因為 a - b 是一個實數, 所以 a - b > 0,a - b < 0,a - b = 0 三種關係中恰有一種會成立 我們稱實數的這種性質為三一律 : 三一律對於任意兩個實數 a 與 b, 則 a > b,a < b,a = b 三個關係式中, 恰有一個成立 另外, 實數的不等關係具有下列的性質 : 公 式 設 a b c 為實數 遞移律 : 若 a > b 且 b > c, 則 a > c 加法律 : 若 a > b, 則 a + c > b + c 乘法律 : 若 a > b 且 c > 0, 則 a c > b c 若 a > b 且 c < 0, 則 a c < b c 在不等式中, 符號 a b 表示 a > b 或 a = b 中會有一式成立 ( a b 表示 a < b 或 a = b 中會有一式成立) 例如: 7 5 與 6 6 兩個不等式都正確, 而 6 8 則不正確 4-1.1 一元一次不等式 在討論一元二次不等式之前, 我們先簡單介紹一元一次不等式的解與圖示 148
當一個不等式經移項化簡後, 可化成 ax + b > 0,ax + b < 0,ax + b 0, ax + b 0( 其中 a b 為實數且 a 0) 的形式者, 均稱為一元一次不等式 要解一元一次不等式, 可利用不等式的加法律與乘法律 解不等式 2x- 3 < 4x+ 1, 並圖示其解 解對不等式 2x- 3 < 4x+ 1 利用加法律得 ( 2x- 3)+(- 4x+ 3)<( 4x+ 1)+(- 4x+ 3) 即 - 2x< 4 由乘法律得 (- 2x) (- 1 2 )> 4 (- 1 2 ) 即 x >- 2 因此此題不等式的解為 x >- 2 其圖形如下 : 註 上圖中空心圈 表示坐標- 2 的點不在圖形內 在 1 的解法中所用到加法律的步驟, 相當於移項 ( 將不等式右邊的 4x 移至左邊成 - 4x, 而將不等式左邊的 - 3 移至右邊成 + 3) 解不等式 5x+ 4 > 7x- 2, 並圖示其解 解不等式 - 2x+ 3 4 3 2 x - 1, 並圖示其解 解 對不等式 - 2x+ 3 4 3 2 x - 1 經移項得 - 2x- 3 2 x - 1-3 4 149
4-1 一元二次不等式 上式可化簡為 - 7 2 x - 7 4 由乘法律得 (- 7 2 x ) (- 2 7 ) (- 7 4 ) (- 2 7 ) 即 x 1 2 所以不等式的解為 x 1 2 其圖形如下 : 註 上圖中實心圈 表示坐標 1 2 的點在圖形內 解不等式 2(x - 2) 5x+ 6, 並圖示其解 在數線上, x 表示坐標為 x 的點到原點的距離 ; 而 x - y 則表示坐標 分別為 x y 的兩點之距離, 如下圖 4-1 所示 圖 4-1 設 a 為一正數, 則 x = a 代表 x 到 0 的距離為 a, 即 x = a 或 x =- a 例如 : x = 5 表示 x= 5 或 x=- 5 而 x <a 代表 x 到 0 的距離小於 a, 即 -a < x < a 例如: x < 5 表示 - 5 < x < 5 又 x > a 代表 x 到 0 的距離大於 a, 即 x > a 或 x <- a 例如: x > 5 表示 x > 5 或 x <- 5 將上述討論總結如下, 並參見圖 4-2 150
公 式 x = a x < a x > a x = a 或 x =- a - a < x < a x > a 或 x <- a 圖 4-2 小考箱 ( ) 設 a > 0, 則 x a 表示 - a x a; 而 x a 表示 x a 或 x - a 解下列各不等式 : 2 x - 1 > 7 3 x + 5 4 解原不等式可改寫成 2x - 1 > 7 或 2x - 1 <- 7 亦即 2x > 8 或 2x <- 6, 故得 x > 4 或 x <- 3 所以不等式的解為 x > 4 或 x <- 3 原不等式可改寫成 - 4 3x + 5 4 亦即 - 9 3x - 1, 故得 - 3 x - 1 3 所以不等式的解為 - 3 x - 1 3 解下列各不等式 : 5 x + 2 8 4 x - 3 < 5 151
4-1 一元二次不等式 4-1.2 一元二次不等式 設 a b c 為實數且 a 0, 不等式經移項化簡, 可化成形如 ax 2 + bx + c > 0,ax 2 + bx + c < 0,ax 2 + bx + c 0,ax 2 + bx + c 0 的式子, 均稱為一元二次不等式 滿足上述各一元二次不等式的所有實數 x, 稱為該一元二次不等式的解 首先我們考慮一元二次多項式 f(x)= x 2-4x+ 3 =( x - 1)(x - 3), 則方程式 f(x)= 0 的二實數根為 1 與 3 在數線上, 依 x < 1,1 < x < 3, x > 3 分段討論 x - 1 x - 3 ( x - 1 )(x - 3 ) 的正負如下 : x 值範圍 x < 1 1 < x < 3 x > 3 x - 1 - + + x - 3 - - + ( x - 1) ( x - 3 ) + - + 當 x < 1 時 :x - 1 為負,x - 3 為負, 而 ( x - 1 )(x - 3 ) 為正 當 1 < x < 3 時 :x - 1 為正,x - 3 為負, 而 ( x - 1 )(x - 3 ) 為負 當 x > 3 時 :x - 1 為正,x - 3 為正, 而 ( x - 1 )(x - 3 ) 為正 因此我們可得不等式 ( x - 1 )(x - 3 )> 0 的解為 x < 1 或 x > 3 ( x - 1 )(x - 3 )< 0 的解為 1 < x < 3 再考慮二次函數 y=x 2-4x+ 3 = (x- 1)(x- 3) 的圖形, 如圖 4-3 所示 圖 4-3 152
當 1 < x < 3 時, 圖形在 x 軸下方, 即 y = ( x - 1 )(x - 3 ) < 0; 當 x < 1 或 x > 3 時, 圖形在 x 軸上方, 即 y =( x - 1 )(x - 3 )> 0 由上面的討論, 我們可以推廣到一般情形如下 : 公 式 設 為二實數且 <, 則 ( x - )(x - )> 0 的解為 x > 或 x < ( x - )(x - )< 0 的解為 < x < 小考箱 ( ) 設 為二實數且 <, 則 x - x - 0 的解為 x 或 x, 又 x - x - 0 的解為 x 求下列各不等式的解 : x - 2 x + 3 > 0 x + 1 x - 5 0 解因為 x - 2 x + 3 > 0 故其解為 x > 2 或 x <- 3 因為 x + 1 x - 5 0 故其解為 - 1 x 5 求下列各不等式的解 : x - 1 x - 4 0 x + 2 x - 7 < 0 153
4-1 一元二次不等式 現在, 我們來討論一般的一元二次不等式 : ax 2 + bx + c > 0,ax 2 + bx + c < 0 在此我們限制 a > 0, 當 a < 0 時, 將不等式兩邊同乘以 - 1 就可使二次項係數為正 不等式的解可就判別式 D =b 2-4ac 的正 負情形, 分別討論如下 : D = b 2-4ac> 0 時 : 方程式 ax 2 + bx + c = 0 有二相異實根 = - b - b2-4 ac 2 a ( 其中 < ) 與 = - b + b2-4 ac 2 a 此時,ax 2 + bx + c = a(x - )(x - ) 如右圖 4-4 所示, ax 2 + bx + c > 0 之解為 x < 或 x > ax 2 + bx + c < 0 之解為 < x < 圖 4-4 二次不等式的解 (D > 0) 設 a > 0 且 b 2-4ac> 0, 為 ax 2 + bx + c = 0 之二根 ( 其中 < ), 則 ax 2 + bx + c > 0 之解為 x < 或 x > ax 2 + bx + c 0 之解為 x 或 x ax 2 + bx + c < 0 之解為 < x < ax 2 + bx + c 0 之解為 x 解不等式 8x 2-14 x - 15 > 0 解 因為 8x 2-14 x - 15 = ( 4x+ 3)(2x- 5) 所以不等式可改寫為 (4 x + 3) (2 x - 5)> 0 所以不等式的解為 x <- 3 4 或 x > 5 2 154
解不等式 2x 2-11 x + 12 < 0 解不等式 x 2-4x- 1 0 解因為 x 2-4x- 1 無法以十字交乘法分解所以使用公式, 求得方程式 x 2-4x- 1 = 0 的兩根為 x = - - 4-4 2-4 1-1 2 1 所以不等式的解為 2-5 x 2 + 5 = 4 20 2 = 2 5 解不等式 3x+ 2 < x 2 D = b 2-4ac= 0 時 : ax 2 + bx + c = a ( x + b 2 a ) 2 為一完全平方式 如右圖 4-5 所示, 不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解為 - b 2 a 的所有實數 ; 而不等式 ax 2 + bx + c < 0 則無解 以外 圖 4-5 155
4-1 一元二次不等式 二次不等式的解 (D = 0) 設 a > 0 且 b 2-4ac= 0,ax 2 + bx + c = a(x- ) 2, 則 ax 2 + bx + c > 0 之解為所有實數, 但 x ax 2 + bx + c 0 之解為所有實數 ax 2 + bx + c < 0 無解 ax 2 + bx + c 0 之解為 x = 解下列各不等式 : 4x 2-12x + 9 > 0 4x 2-12x + 9 0 4x 2-12x + 9 < 0 4x 2-12x + 9 0 解 4x 2-12x + 9 = ( 2x- 3) 2 因為實數的平方恆大於或等於 0, 則 4x 2-12x + 9 > 0 可化成 ( 2x- 3) 2 > 0 故其解為不等於 3 2 的任意實數 4x 2-12x + 9 0 可化成 ( 2x- 3) 2 0 故其解為所有實數 4x 2-12x + 9 < 0 可化成 ( 2x- 3) 2 < 0 故不等式無解 4x 2-12x + 9 0 可化成 ( 2x- 3) 2 0 故其解為 x = 3 2 解下列各不等式 : x 2 + 10x + 25 > 0 x 2 + 10x + 25 0 x 2 + 10x + 25 < 0 x 2 + 10x + 25 0 156
D = b 2-4ac< 0 時 : ax 2 + bx + c = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 ac - b 2 > 0 4 a 恆為正數, 如右圖 4-6 所示, 不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解為所有實數 ; 而不等式 ax 2 + bx + c < 0 則無解 圖 4-6 二次不等式的解 (D < 0) 設 a > 0 且 b 2-4ac< 0, 則不等式 ax 2 + bx + c > 0,ax 2 + bx + c 0 之解皆為所有實數 不等式 ax 2 + bx + c < 0,ax 2 + bx + c 0 皆無解 解下列各不等式 : x 2 + 3x + 4 0 2x 2-4x + 5 < 0 解 由配方法得 x 2 + 3x + 4 = ( x + 3 2 ) 2 + 7 4 7 4 即不論 x 為任何實數 x 2 7 + 3x + 4 恆大於或等於 4 所以不等式 x 2 + 3x + 4 0 的解為所有實數 由配方法得 2x 2-4x + 5 = 2(x- 1) 2 + 3 3 即不論 x 為任何實數 2x 2-4x + 5 恆大於或等於 3 所以不等式 2x 2-4x + 5 < 0 無解 157
4-1 一元二次不等式 解下列各不等式 : x 2-4x + 10 > 0 x 2 + x + 1 0 由上面的討論, 我們得知 : 不論 x 為任何實數, 二次式 ax 2 + bx + c 恆為正值的條件為 a > 0 且 b 2-4ac < 0; 又 ax 2 + bx + c 0 恆成 立的條件為 a > 0 且 b 2-4ac 0 設 k 為實數, 若對任意實數 x, 二次式 kx 2 + (k - 1)x +(k - 1)> 0 恆成立, 試求 k 的範圍 解 因為對於任意實數 x,kx 2 + (k- 1)x+(k- 1)> 0 恆成立 k > 0 故得 k - 1 2-4 k k - 1 < 0 即 k > 0 k - 1 3 k + 1 > 0 k > 0 k <- 1 3 或 k > 1 由圖示得知 : 使此題不等式成立的 k 的範圍是 k > 1 設 m 為實數, 若對任意實數 x, 二次式 mx 2 + 2x+ m 恆為正值, 試求 m 的範圍 158
已知不等式 ax 2-10 x + b > 0 的解為 - 3 < x < 1 2, 試求 a b 的值 解 因為 - 3 < x < 1 2 故得 ( x + 3)(2x- 1)< 0 亦即 2x 2 + 5x- 3 < 0 將上式兩邊各乘以 - 2 得 -4x 2-10 x + 6 > 0 與 ax 2-10 x + b > 0 比較得知 a =- 4,b = 6 已知不等式 ax 2 + bx + 1 0 的解為 x - 2 3 或 x 2, 試求 a b 的值 解不等式 3 x + 2 > 2 x + 1 解因為 3 x + 2 0 且 2 x + 1 0 故將不等式兩邊平方得 ( 3x+ 2) 2 > ( 2x+ 1) 2 移項得 ( 3x+ 2) 2 - ( 2x+ 1) 2 > 0 利用平方差公式得 [(3x+ 2)+ ( 2x+ 1)][( 3x+ 2)- ( 2x+ 1)]> 0 亦即 ( 5x+ 3)(x + 1)> 0 所以不等式的解為 x <- 1 或 x >- 3 5 解不等式 2 x + 3 x - 1 159
4-1 一元二次不等式 習題 4-1 解下列各不等式, 並圖示其解 : 4 3 ( x - 6)+ 2 2x- 5 2 3 x + 14 > 7 2 x + 8 3 解下列各不等式 : 2 x - 3 5 x 3-1 > 2 設不等式 5x- 2 > ax + 4 的解為 x > 2, 試求 a 值 提示 原不等式移項整理得 5 - a x > 6, 因其解為 x > 2, 故知 5 - a > 0 解下列各不等式 : 3x 2 + x - 10 > 0 12 + 4x- x 2 0 提示 將不等式兩邊同乘以 ( - 1), 則可使 x 2 項係數為正 解下列各不等式 : 9x 2-30 x + 25 > 0 x 2-6x+ 4 0 2x 2-8x+ 11 0 2 - x 2-4x 設 k 為一實數, 若 x 2-2kx+ 2k+ 3 > 0 對所有實數 x 均成立, 試求 k 的範圍 解不等式 3 x - 2 x + 4 已知二次不等式 ax 2 + bx + 12 0 的解為 - 4 3 x 3 2, 試求 a b 的值 160
4-2 絕對不等式 在 4-1 中所討論的一些不等式, 例如 :2x- 3 0,( x - 1) ( x+ 4)< 0, 等, 只有在某些範圍內的實數 x, 不等式才能成立的, 這樣的不等式我們稱為條件不等式 另外有一種不等式, 不論用任何有意義的實數代入其中的未知數, 不等式都能成立的, 這樣的不等式我們稱為絕對不等式 例如 :x 2 + 1 > 0,x 2 - x + 3 > 0,a 2 + b 2 2ab 都是絕對不等式 本節將介紹兩個重要的絕對不等式 : 算幾不等式與柯西不等式 4-2.1 算幾不等式 設 a b 為二正數, 我們稱 a 和 b 的幾何平均數 a + b 2 為 a 和 b 的算術平均數, 又稱 ab 為 因為 a b 均為正數, 故得 亦即 a + b 2 a + b 2 - ab = ( a ) 2 +( b ) 2-2 a b 2 = ( a- b ) 2 0 2 ab, 且當 a = b 時, a + b = ab 2 所以, 對於任意兩個正數 a 和 b, 它們的算術平均數 其幾何平均數 ab, 此性質稱為算幾不等式 a + b 2 恆大於或等於 算幾不等式 設 a b 為二正數, 則 a + b ab 2 上式等號成立的條件為 a = b 161
4-2 絕對不等式 設 a b 為二正數且 2a+3b=12, 試求 ab 的最大值及此時 a b 的值 解 由算幾不等式得知 : 2 a + 3 b 2 2 a 3 b 又知 2a+ 3b= 12, 故得 12 2 6 ab 兩邊平方整理得 ab 6 當 2a= 3b 時, 等號才能成立, 且 2a+ 3b= 12 所以當 a = 3,b = 2 時,ab 有最大值 6 設 x y 為二正數且 xy = 12, 試求 3x+ y 的最小值及此時 x y 的值 1 設 a b 為二正數且 ab= 9, 試求 a + 1 的最小值及此時 a b 的值 b 解由算幾不等式得知 : 1 a + 1 b 1 2 a 1 b = 1 ab = 1 9 = 1 3 1 亦即 a + 1 b 2 3 1 當 a = 1 時, 等號才能成立, 又 ab = 9 b 所以當 a = 3,b = 3 時, 1 a + 1 有最小值 2 b 3 設 a b 為二正數, 試求 b a + a b 的最小值 162
a 設 a 1,a 2,,a n 為 n 個正數, 則 1 + a 2 + + a n 稱為這 n 個正數的算 n n 術平均數, 又 a 1 a 2 a n 稱為這 n 個正數的幾何平均數 對於 n 個正數的算 幾不等式照樣成立 算幾不等式 設 a 1,a 2,,a n 均為正數, 則 a 1 + a 2 + + a n n a n 1 a 2 a n 上式等號成立的條件為 a 1 = a 2 = = a n 說明 當 n = 2 時 : 在前面已討論過 當 n = 4 時 : 因為 故得 a 1 + a 2 2 a 1 + a 2 + a + 3 a 4 2 2 2 a 1 a 2, a 3 + a 4 2 a 3 a 4, a 1 a 2 + a 3 a 4 2 a 1 a 2 a 3 a 4, a 亦即 1 + a 2 + a 3 + a 4 4 a 4 1 a 2 a 3 a 4 上式等號成立的條件必須 a 1 = a 2,a 3 = a 4, a 1 a 2 = a 3 a 4 同時成立, 亦即 a 1 = a 2 = a 3 = a 4 當 n = 3 時 : 令 k = a + 1 a + 2 a 3, 則由 n = 4 的情形知 3 a 1 + a 2 + a 3 + k 4 a 4 1 a 2 a 3 k, 3k + k 故得 4 a 4 1 a 2 a 3 k, 亦即 k 4 a 1 a 2 a 3 k 將上式兩邊同取四次方, 得 k 4 a 1 a 2 a 3 k, 亦即 k 3 a 1 a 2 a 3 163
4-2 絕對不等式 再將上式兩邊開三次方, 得 k 3 a 1 a 2 a 3, 所以 a 1 + a 2 + a 3 3 a 3 1 a 2 a 3 上式等號成立的條件為 a 1 = a 2 = a 3 (= k) 比照由 n = 2 推導出 n = 4 的方法, 我們可以繼續推導出 n = 8, 16,,2 m, ( 其中 m 為正整數 ) 的算幾不等式均能成立 同樣地, 比照由 n = 4 推導出 n = 3 的方法, 由 n = 8 的算幾不等式成立也可推導出 n = 5,6,7 的算幾不等式也成立 ; 再由 n = 16 的算幾不等式成立推導出 n = 9,10,11,,15 的算幾不等式都成立 由以上的說明, 我們得知對於任意 n 個正數的算幾不等式 a 1 + a 2 + + a n n n a 1 a 2 a n 均成立, 而等號成立的條件為 a 1 = a 2 = =a n 小考箱 ( ) 設 a b c 為正數且 abc = 1, 則 a + b + c 的最小值為 1 已知 a b c 為正數且 a + 2b + 3c = 18, 試求 abc 的最大值及此時 a b c 的值 解 a + 2b + 3c 由算幾不等式知 : 3 a 2b 3c 3 再用已知條件 a + 2b + 3c = 18 18 得 3 3 6abc, 亦即 6 3 6abc 將上式兩邊同取三次方整理得 abc 36 又當 a = 2b = 3c 時, 等號才能成立, 再由 a + 2b + 3c = 18 得知當 a = 6,b = 3,c = 2 時,abc 有最大值 36 164
設 x y z 為正數且 xyz = 108, 試求 x + y + 2z 的最小值及此時 x y z 的值 已知一長方體的表面積為 24, 試求此長方體體積的最大值 解 設長方體的長 寬 高分別為 a b c, 則體積 V = abc 表面積 A = 2(ab + bc + ca ) = 24 故得 ab + bc + ca = 12 利用上式以及算幾不等式知 : ab + bc + ca 3 ab bc ca 3 得 12 3 3 a 2 b 2 c 2, 亦即 4 3 V 2 兩邊三次方整理得 V 8 當 ab = bc = ca, 亦即 a = b = c 時,V = 8 此時, 由 ab + bc + ca = 12, 得 a = b = c = 2 所以當長 寬 高均為 2 時, 長方體的體積最大, 最大值為 8 設一長方體的長 寬 高分別為 a b c, 又 2a + 2b + c = 12, 試求 此長方體體積的最大值 165
4-2 絕對不等式 4-2.2 柯西不等式 在第一冊第 3 章我們討論過向量的內積, 設 a b 二向量的夾角為, 則 a b = a b cos 因為 cos 1, 故得 a b = a b cos a b, 亦即 a b a b, 等號成立的條件為 a b 有一為零向量, 或夾角 = 0 或 180, 亦即 a // b 在坐標平面上, 令 a = ( a 1,a 2 ) b = ( b 1,b 2 ), 代入不等式 a b a b, 得 a 2 1 + 2 a 2 b 2 1 + b 2 2 a 1 b 1 + a 2 b 2 將上式兩邊平方, 得 (a 2 1 + a 2 2 ) ( b 2 1 + b 2 2 ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 上面這個不等式, 稱為柯西不等式, 我們將它推廣到一般的情形, 說明如下 : 柯西不等式設 a 1,a 2,,a n 及 b 1,b 2,,b n 為 2n 個實數, 則 (a 2 1 + a 2 2 + + a 2 2 2 2 n ) ( b 1 + b 2 + + b n ) ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 上式等號成立的條件為 a 1 =a 2 = =a n = 0 或 b 1 =b 2 = =b n = 0, 或存在一實數 t, 使得 b k = a k t( 其中 k = 1,2,,n) 小考箱 ( ) 設 a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3 為實數且均不為 0, 則 a 2 1 + a 2 2 2 + a 3 b 2 1 +b 2 2 + b 2 3 (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2, 上式等號成立的條件為 a 1 = a 2 = a 3 且 b 1 = b 2 = b 3 166
設 x y 為實數且 x 2 +y 2 = 4, 試求 4x+ 3y 的最大 最小值, 並求當 4x+ 3y 有最大或最小值時 x y 的值 解由柯西不等式知 : ( 4 2 + 3 2 )(x 2 + y 2 ) ( 4 x + 3 y ) 2 又知 x 2 + y 2 = 4, 故得 25 4 ( 4x+ 3y) 2 亦即 - 10 4x+ 3y 10 當 x = 4t,y = 3t,t 為某一實數時, 等號才能成立 代入 x 2 + y 2 = 4 得 ( 4t) 2 + ( 3t) 2 = 4, 解得 t = 2 5 當 t = 2 5 時 : x = 8 5,y = 6 5 4x+ 3y 有最大值 10 當 t =- 2 5 時 : x =- 8 5,y =-6 5 4x+ 3y 有最小值 - 10 設 a b 為實數且 2a + 3b = 20, 試求 4a 2 + b 2 的最小值及此時 a b 的值 167
4-2 絕對不等式 設 a b c 為實數且 a 2 + b 2 + c 2 = 4, 試求 2a+ b + 2c 的最大 最小值, 並求當 2a+ b + 2c 有最大或最小值時 a b c 的值 解由柯西不等式知 : ( 2 2 + 1 2 + 2 2 )(a 2 + b 2 + c 2 ) ( 2a+ b + 2c) 2 又知 a 2 + b 2 + c 2 = 4, 故得 9 4 ( 2a+ b + 2c) 2 亦即 - 6 2a+ b + 2c 6 當 a = 2t,b = t,c = 2t,t 為某一實數時, 等號才能成立 代入 a 2 + b 2 + c 2 = 4 得 ( 2t) 2 + t 2 + ( 2t) 2 = 4, 解得 t = 2 3 當 t = 2 3 時 : a = 4 3,b = 2 3,c = 4 3 2a+ b + 2c 有最大值 6 當 t =- 2 3 時 : a =- 4 3,b =-2 3,c =-4 3 2a+ b + 2c 有最小值 - 6 設 a b c 為實數且 a + 2b + 3c= 7 2, 試求 a 2 + b 2 + c 2 的最小值 及此時 a b c 的值 168
習題 4-2 設 a b 為二正數且 a + 2b = 8, 試求 ab 的最大值, 並求此時 a b 的值 設 x y 為二正數且 xy = 3, 試求 3x+ 4y 的最小值, 並求此時 x y 的值 設二正數 a b 滿足 a+ 4b= 6, 試求 ab 2 的最大值及此時 a b 的值 提示 a + 2 b + 2 b 3 a 2 b 2b 3 設 a b c 均為正數且 a + b + c = 9, 試求 abc 的最大值 利用柯西不等式, 求 4 sin - 3 cos 的最大 最小值 提示 [4 2 +(- 3) 2 ] (sin 2 + cos 2 ) (4 sin - 3 cos ) 2 設 x y 為實數且 6x+ y = 10, 試求 9x 2 + y 2 的最小值 設 a b c 為實數且 a 2 + 4b 2 + 9c 2 = 48, 試求 a+ 2b+ 3c 的最大 最小值 提示 (1 2 + 1 2 + 1 2 ) [a 2 + (2 b) 2 + (3 c) 2 ] (a + 2b+ 3c) 2 設 a b 為二正數, 試求 ( a + 2b)( 1 a + 2 b ) 的最小值 提示 原式 =[ a 2 + 2b 2 ] [( 1 a ) 2 + ( 2 b ) 2 ] ( 利用柯西不等式 ) 169
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 4-3.1 二元一次不等式的圖解 設 a b c 為實數, 且 a b 不同時為 0, 則形如 ax + by + c > 0, ax + by + c < 0,ax + by + c 0,ax + by + c 0 的不等式, 均稱為二元一次不等式 滿足二元一次不等式的實數數對 ( x,y), 稱為二元一次不等式的解 我們可以在坐標平面上將二元一次不等式的解圖示出來 首先討論 ax + by + c > 0 的圖形, 為了方便起見, 我們假定 a > 0, 並以直線 L 表示 ax + by + c = 0 的圖形 很顯然, 直線 L:ax + by + c = 0 必將坐標平面分成 H 1 與 H 2 兩個部分, 如圖 4-7 所示 圖 4-7 習慣上, 我們稱 H 1 為直線 L 的右側半平面, 而 H 2 為直線 L 的左側半平面 設 P(x 1,y 1 ) 為 L 之右側半平面 ( 即 H 1 部分 ) 的任一點, 過 P 點作 x 軸的平行線 L 1 :y=y 1 交直線 L 於 Q 點 ( 如圖 4-7 所示 ), 則 Q 點坐標為方 ax + by + c = 0 程組的解, 即 Q y = y (- by 1 + c,y 1 a 1 ) 因為 P 點位置在 Q 點的右方, 所以 P 點的 x 坐標 x 1 必大於 Q 點的 x 坐標 - by 1 + c, 即 x a 1 >- by 1 + c a 又 a > 0, 故得 ax 1 >- ( by 1 + c), 移項化簡得 ax 1 + by 1 + c > 0 因此, 直 線 L 右側半平面內的每一點都滿足二元一次不等式 ax + by + c > 0 170
反之, 若 P(x 1,y 1 ) 為平面上的任一點且滿足 ax 1 + by 1 + c > 0( 其中 a > 0), 則 x 1 >- by 1 + c 因為 Q a (- by 1 + c,y a 1 ) 在直線 L 上, 所以 P(x 1,y 1 ) 在 Q 點的右方, 故 P 點必落在 L 的右側半平面內 從上面的討論, 我們得知直線 L 右側半平面內的點 ( x,y) 都滿足 ax+by + c > 0, 反之滿足 ax + by + c > 0 的點 ( x,y) 也都在直線 L 的右側半平面 內 換句話說, 在平面上滿足二元一次不等式 ax + by + c > 0( 其中 a > 0) 之所有的點 ( x,y) 所成的圖形就是直線 L 的右側半平面 同理可得, 不等式 ax + by + c < 0 的解所成的圖形為直線 L 的左側半平面 如果把直線 L 的右側半平面與直線 L 合起來, 就是 ax + by + c 0 的圖 形 同樣地, 把直線 L 的左側半平面與直線 L 合起來, 就是 ax + by + c 0 的圖形 ( 如圖 4-8 所示 ) 二元一次不等式的圖形, 以粉紅色覆蓋, 若其解包 含直線 L, 則直線 L 以實線畫出 ; 若其解不包含直線 L, 則直線 L 以虛線畫出 圖 4-8 171
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 綜合上述, 我們得到下面的結論 : 公 式 設直線 L:ax + by + c = 0 且 a > 0, 則 ax +by+c> 0 的圖形為直線 L 的右側半平面 ( 不含直線 L) ax + by + c 0 的圖形為直線 L 的右側半平面及直線 L ax +by+c< 0 的圖形為直線 L 的左側半平面 ( 不含直線 L) ax + by + c 0 的圖形為直線 L 的左側半平面及直線 L 小考箱 ( ) 設直線 L:ax + by + c = 0 且 a 0, 則不等式 ax + by + c < 0 的圖形為直線 L 的左側半平面 當二元一次不等式中 x 的係數 a < 0 時, 可經由移項整理使 x 的係數為 正, 再依上面的結論判斷其圖形 圖示下列各二元一次不等式的解 : 3x+ 2y- 6 > 0 x 2 解作直線 L 1 :3x + 2y - 6 = 0, 3x + 2y - 6 > 0 的圖形為 L 1 的右側半平面 ( 不含直線 L), 如右圖中粉紅色部分 ( 因不含直線 L 1, 故 L 1 以虛線畫出 ) 作直線 L 2 :x = 2, x 2 的圖形為 L 2 的左側半平面及直線 L 2, 如右圖中粉紅色部分 ( 因含直線 L 2, 故 L 2 以實線畫出 ) 172
圖示下列各二元一次不等式的解 : 2x + y < 0 x - 2 圖示下列各二元一次不等式的解 : - 2x< y - 6 4x+ 4y- 1 2x+ 5y- 3 解 - 2x< y - 6: 將上列不等式移項整理得 2x+ y - 6 > 0, 作直線 L 1 :2x+ y - 6 = 0, 則不等式 - 2x < y - 6( 即 2x +y- 6 > 0) 的圖形為 L 1 的右側半平面 ( 不含直線 L 1 ), 如右圖中粉紅色部分 4x+ 4y- 1 2x+ 5y- 3: 將上列不等式移項整理得 2x- y + 2 0, 作直線 L 2 :2x- y + 2 = 0, 則不等式 4x+ 4y- 1 2x + 5y- 3( 即 2x-y+ 2 0) 的圖形為 L 2 的左側半平面及直線 L 2, 如右圖中粉紅色部分 圖示下列各二元一次不等式的解 : - x + 3y- 6 0 x + 3y- 1 > 4y+ 2 173
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 設 x y 為正整數, 則滿足 2x + 3y 10 的解 ( x,y) 共有多少組? 滿足 2x + 3y 10 的解 ( x,y) 如下表 : x 1 1 2 2 3 y 1 2 1 2 1 所以 ( x,y) 可為 ( 1,1) ( 1,2) ( 2,1) ( 2,2) ( 3,1), 共 5 組解 圖解 2x + 3y 10 如下 : 因為 x y 為正整數, 故只要在第一象限內, 直線 L:2x + 3y = 10 的左邊 ( 含直線 L) 區域內找整數點 ( x,y) 即可, 如圖 所示, 共有 5 組解 設 x y 為正整數, 則滿足 4x + 5y < 20 的解 ( x,y) 共有多少組? 174
試寫出滿足右圖黃色區域的不等式 解 因為直線 L 通過 ( 2,0) 及 ( 0,3) 兩點, x 故直線 L 方程式為 2 + y 3 = 1, 即 L:3x + 2y - 6 = 0, 又黃色區域在直線 L:3x + 2y - 6 = 0 的左 側且含直線 L, 故不等式為 3x + 2y - 6 0 試寫出滿足右圖黃色區域的不等式 當二元一次不等式 ax + by + c > 0( 或 ax + by + c < 0) 中 x 的係數 a = 0 時, 則不等式變為 by + c > 0( 或 by + c < 0), 經移項化簡得 y >- c b 或 y <- c b 因此, 我們只要討論 y > k 或 y < k 的情形即可 茲以實例說明如下 : 圖示不等式 y > 1 的解 解作直線 L:y = 1 因為直線 L 上每一點的 y 坐標都是 1, 而在 L 之上方半平面的點 ( x,y), 其 y 坐標必大於 1 反之, 在坐標平面上滿足 y> 1 的點 ( x,y), 其 y 坐標都大於 1, 故必落在 L 的上方半平面 175
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 所以 y > 1 的圖形就是在直線 L:y = 1 的上方半平面 ( 不含直線 L), 如下圖所示 圖示下列各二元一次不等式的解 : y - 2 y < 3 類似於 5 的討論, 我們可以推得下面的結論 : 公 式 設直線 L:y = k, 則 y > k 的圖形為直線 L 的上方半平面 ( 不含直線 L) y k 的圖形為直線 L 的上方半平面及直線 L y < k 的圖形為直線 L 的下方半平面 ( 不含直線 L) y k 的圖形為直線 L 的下方半平面及直線 L 由於坐標平面上直線 L:ax + by + c = 0 將坐標平面分成兩個半平面, 其中一個半平面上的點均滿足 ax + by + c > 0, 而另一個半平面上的點則都滿足 ax + by + c < 0 因此, 若 A(x 1,y 1 ) B(x 2,y 2 ) 兩點在直線 L 的異側, 必有 ax 1 + by 1 + c > 0 且 ax 2 + by 2 + c < 0 或 ax 1 + by 1 + c < 0 且 ax 2 + by 2 + c > 0 176
同理, 若 A(x 1,y 1 ) B(x 2,y 2 ) 兩點在直線 L 的同側, 則必有 ax 1 + by 1 + c > 0 且 ax 2 + by 2 + c > 0 或 ax 1 + by 1 + c < 0 且 ax 2 + by 2 + c < 0 所以, 我們可以整理推得下述的性質 : 公 式 設直線 L:ax + by + c = 0 及 A(x 1,y 1 ) B(x 2,y 2 ) 兩點, 則 A B 在 L 的異側 ( ax 1 + by 1 + c)(ax 2 + by 2 + c)< 0 A B 在 L 的同側 ( ax 1 + by 1 + c)(ax 2 + by 2 + c)> 0 試判別下列各組點在直線 L:4x- 3y- 5 = 0 的同側或異側 : A(2,-3) B(3,1) C(- 1,2) D(- 2,-5) 解 A(2,-3) B(3,1): 因為 [ 4 2-3 (- 3)- 5] (4 3-3 1-5) = 12 4 > 0 所以 A B 兩點在直線 L 的同側 C(- 1,2) D(- 2,-5): 因為 [ 4 ( - 1)- 3 2-5][ 4 ( - 2)- 3 ( - 5)- 5] =(- 15) 2 < 0 所以 C D 兩點在直線 L 的異側 試判別下列各組點在直線 L:5x+ 2y- 7 = 0 的同側或異側 : A(0,2) B(- 1,5) C(3,1) D(2,- 3) 177
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 4-3.2 二元一次聯立不等式的圖解 兩個或兩個以上的二元一次不等式並列, 稱為二元一次聯立不等式, 因為聯立不等式的解, 必須同時滿足所列的每一個不等式 因此, 二元一次聯立不等式解的圖形, 就是聯立不等式中各不等式圖形的共同部分 圖解二元一次聯立不等式 解 2 x + y - 6 0 3 x - y + 3 0 先作直線 L 1 :2x+ y - 6 = 0 則 2x + y - 6 0 的圖形為直線 L 1 及其右側半平面, 如右圖所示 再作直線 L 2 :3x- y + 3 = 0 則 3x - y + 3 0 的圖形為直線 L 2 及其右側半平面, 如右圖所示 兩圖的共同部分, 即為二元一次 2 x + y - 6 0 聯立不等式的 3 x - y + 3 0 圖解, 如右圖紫色所覆蓋區域 178
圖解二元一次聯立不等式 3 x + 2 y > 4 x - 6 y - 5 x 0 圖解二元一次聯立不等式 y 5 x + y + 1 0 5 x + y - 10 0 解 仿照 7 的解法, 分別作出不等式 x 0,y 5,x + y + 1 0, 5 x + y - 10 0 的圖形, 得到四個半平面, 則此四個半平面的共 同部分, 即為此聯立不等式的圖解, 如下圖紫色所覆蓋區域 圖解二元一次聯立不等式 x - 1 y 2 x - y 1 2 x + y 4 179
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 4-3.3 線性規劃線性規劃所探討的問題是 在二元一次聯立不等式的條件下, 求得一個一次函數的最大或最小值, 這個二元一次聯立不等式稱為限制條件, 而待求最大或最小值的這個函數稱為目標函數 線性規劃為一門實用的學科, 近年來在工商管理與企業決策方面有廣泛的應用, 可以決定如何有效的使用或分配有限的資源 ( 如原料 資金 設備 勞力等 ), 來達成預期的目標 ( 如產量最大 最小成本 最大利潤等 ) 一般的線性規劃問題, 所牽涉的變數可能很多, 需要配合電腦使用始能快速求解 本節中, 我們只討論兩個變數的情形 2 x 5 在受制於 x + y 8 x + 3 y 5 大值及最小值 的條件下, 試求函數 f x, y = 2 x + y + 3 的最 解 先分別作出各不等式的圖形, 取其共同部分 2 x 5 得聯立不等式 x + y 8 x + 3 y 5 的解為下圖黃色所覆蓋區域 S 題意即要在 S 中分別找出點 x,y, 使 f x,y 的值為最大及最小 180
令 f x, y = k, 當 k 變動時, 則可得一組斜率為 - 2 的平行線, 如上圖所示 由圖形可以看出, 隨著 k 值的變大, 直線 2 x + y + 3 = k 也逐漸遠離原點而右移 因為直線 2x + y + 3 = k 上的任何一點 x, y, 都會使 f x, y 的 值等於 k, 所以 f x,y 在 S 中的最大值一定出現在直線 2x + y + 3 = k 最遠離原點且與 S 相交的地方, 這個地方就是直線 x = 5 與 x + y = 8 的交點, 其坐標為 5,3 由上面的討論, 我們得知當 x, y = 5,3 時 : f x, y 有最大值 f 5,3 = 2 5 + 3 + 3 = 16 同樣的, 由圖形也可以看出, 隨著 k 值的變小, 直線 2x+y+ 3 =k 也逐漸靠近原點而下降 類似於上面的說明, 我們得知 f x,y 在 S 中的最小值必出現在直線 2 x + y + 3 = k 最靠近原點且與 S 相交的地方, 這個地方就是直線 x = 2 與 x + 3 y = 5 的交點 2,1 因此, 當 x, y = 2,1 時 : f x, y 有最小值 f 2,1 = 2 2 + 1 + 3 = 8 x 0,y 0 x - y + 2 0 在受制於 2 x + 3 y - 26 0 x + y - 2 0 及最小值 的條件下, 求 f x, y = x - 2 y 的最大值 181
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 在 9 的討論中, 聯立不等式的解, 稱為此問題的可行解, 而可行解所成的區域 S, 稱為可行解區域 在可行解區域內, 使目標函數 f(x,y)=2x + y + 3 有最大值或最小值的這種點 ( x,y), 稱為最佳解 同學們或許已注意到目標函數 f(x,y) 的最佳解都是出現在可行解區域的頂點上 其實一般線性規劃的問題也是這樣的 所以, 我們常可藉由可行解區域的頂點所對應的目標函數值來找尋最佳解 小考箱 ( ) 在線性規劃的問題中, 只要將可行解區域各頂點的坐標 (x,y) 分別代入目標函數 f(x,y), 即可求得目標函數 f(x,y) 的最大值或最小值 x 0 y 0 在受制於 x 3 x - y + 1 0 x + y - 5 0 和最小值 的條件下, 求 f x, y = x - y + 2 的最大值 解 先作出聯立不等式所成的可行解區域 S, 如下圖黃色所覆蓋區域 : 由此求得 S 的頂點為 0,0 3,0 3,2 2,3 及 0,1 將這些頂點的坐標分別代入 f x, y = x - y + 2 中, 182
求得 f 0,0 = 2 f 3,0 = 5 最大 f 3,2 = 3 f 2,3 = 1 最小 f 0,1 = 1 最小所以 f x, y 的最大值為 5, 最小值為 1 在線性規劃的問題中, 會產生最大值或最小值的點可能不只一個, 10 中就有兩個點 2,3 與 0,1 同時使 x - y + 2 的值最小 事實上, 此兩點所成的線段上之任何一點都會使 x - y + 2 的值為最小 在受制於 最小值 0 x 3 0 y 4 x + y 3 x + y 5 的條件下, 求 f x, y = x + 3 y + 5 的最大值與 在討論過有關線性規劃的理論基礎後, 我們開始做一些應用問題 183
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 某工廠用兩種不同的原料均可生產同一產品 若採用甲種原料, 每噸成本 1000 元, 運費 500 元, 可得產品 9 公斤 ; 若採用乙種原料, 每噸成本 1500 元, 運費 400 元, 可得產品 10 公斤 又工廠每日預算要求成本不得超過 6000 元, 運費不得超過 2000 元, 試求此工廠每日最大的生產量 解設此工廠採用甲種原料 x 噸, 乙種原料 y 噸將題目資料列表如下 : 原料甲乙預算 成本 ( 元 ) 1000 1500 6000 運費 ( 元 ) 500 400 2000 產量 ( 公斤 ) 9 10 由題意知 : 成本不得超過 6000 元, 運費不得超過 2000 元, 又 x y 值不可能為負值, 故此題的限制條件可表為下列 x 0 y 0 聯立不等式 :, 1000 x + 1500 y 6000 500 x + 400 y 2000 x 0 y 0 可化簡為 2 x + 3 y 12 5 x + 4 y 20 而每日的生產量為 9 x + 10 y 公斤, 所以, 本題可轉化為 : x 0 y 0 在的限制條件下, 找出 x,y, 使目標函數 2 x + 3 y 12 5 x + 4 y 20 f x,y = 9 x + 10 y 的值最大 184
要解此題, 首先作出聯立不等式所成的可行解區域 S, 如下圖黃色所覆蓋區域 : 由此求得 S 的頂點為 0,0 4,0 ( 12 7, 20 7 ) 及 0,4 將這些頂點的坐標分別代入 f x, y = 9 x + 10 y, 求得 f 0,0 = 0 f 4,0 = 36 f ( 12 7, 20 7 ) = 44 最大 f 0,4 = 40 12 所以此工廠採用甲種原料 7 可得最大生產量 44 公斤 噸, 乙種原料 20 7 噸, 某工廠有 A B 兩部機器用來製造甲 乙兩種產品, 其利潤每單位分別為 8000 元及 10000 元 完成一單位的甲產品須在機器 A B 分別占用 0.6 小時 1.2 小時 ; 而完成一單位的乙產品須在機器 A B 分別占用 1.2 小時 0.4 小時 又每部機器每天至多只能工作 12 小時, 試問此工廠每天要安排生產甲 乙產品各多少單位才能獲得最大利潤, 又最大利潤為何? 185
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 根據營養學家的研究報告 : 每個人每週至少需要 12 單位的蛋白質 9 單位的醣與 8 單位的脂肪 今有甲 乙兩種食物, 其價格每公斤分別 為 100 元及 30 元 ; 甲種食物每公斤含有 4 單位的蛋白質 2 單位的醣及 1 單位的脂肪, 而乙種食物每公斤含有 1 單位的蛋白質 1 單位的醣及 2 單位的脂肪 試問每個人每週從甲 乙兩種食物中應各吃多少公斤, 始能維持最低營養標準, 而費用又最少? 解 設每人每週吃掉甲種食物 x 公斤 乙種食物 y 公斤 始能維持最低營養標準 將題目資料列表如下 : 食物甲乙每週需要量 蛋白質 4 1 12 醣 2 1 9 脂肪 1 2 8 價格 ( 元 ) 100 30 每人所需費用為 100 x + 30 y 元, x 0 y 0 而限制條件為 4 x + y 12 2 x + y 9 x + 2 y 8 所以, 本題可轉化為 : 在上面聯立不等式的限制條件下, 找出 x,y, 使目標函數 f x,y = 100 x + 30 y 的值最小 要解此題, 先作出前述聯立不等式所表示的可行解區域, 如下圖黃色所覆蓋區域 : 186
S 的頂點為 8,0 ( 10 3, 7 3 ) ( 3 2,6 ) 及 0,12, 將這些頂點的坐標分別代入 f x, y = 100 x + 30 y, 求得 f 8,0 = 800 f ( 10 3, 7 3 ) =1210 3 f ( 3 2,6 ) = 330 最小 f 0,12 = 360 3 所以每人每週應吃甲種食物公斤 乙種食物 6 公斤, 始能維 2 持最低營養標準, 而費用是 330 元為最少 某汽車公司有 A B 兩家裝配廠, 生產甲 乙兩種不同型的汽車, 若 A 廠每小時可完成 1 輛甲型車與 2 輛乙型車 ;B 廠每小時可完成 3 輛甲型車與 1 輛乙型車 今若欲製造 40 輛甲型車與 20 輛乙型車, 應如何分配工作, 方能使工作總時數最少? 187
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 由 11 及 12 的討論, 我們可以歸納出線性規劃應用問題求解的一般步驟如下 : 將題目資料列成簡明的表 以聯立不等式表示題目的限制條件 圖解聯立不等式, 即畫出可行解區域, 並求出各頂點的坐標 依題意列出目標函數 f x, y (f x, y 為 x y 的一次函數 ) 求得可行解區域頂點坐標所對應的目標函數值, 依題目所問, 以這些目標函數值中的最大或最小者為其解 188
習題 4-3 在直角坐標平面上, 圖示下列各二元一次不等式的解 : x - 2 y + 1 > 0 2 x + 3 y > 0-2 x + y + 4 0 試判別下列各組點在直線 L:3 x - y + 4 = 0 的同側或異側 : A 3,- 4 B 7,2 C - 2,3 D 2,5 圖示下列各二元一次聯立不等式的解 : x + y - 3 0 2 x + y - 3 0 3 x - 2 y + 1 0 x - 2 y + 1 > 0 y 4 在受制於 x 0 y 0 的條件下, 求函數 f x, y = 3 x - y 的最大值 2 x + y - 2 0 x + 3 y - 3 0 在受制於 x 0 y 0 3 x + y 9 的條件下, 求函數 f x, y = x + y 的最小值 x + 2 y 8 4 x + 3 y 22 189
4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃 兩種款式毛線織成的手套, 甲款式用紅色毛線 50 公尺, 白色毛線 40 公尺, 可賺 50 元 ; 乙款式用紅色毛線 20 公尺, 白色毛線 40 公尺, 可賺 30 元 現有紅色毛線 900 公尺, 白色毛線 1200 公尺, 若毛線全用來織甲 乙兩款式手套, 最多可賺多少元? 一農民有田地 5 甲, 手頭資金 48000 元, 依他的經驗, 在他的田地上種水稻, 每甲每期產量為 8000 公斤 ; 種花生則為 2000 公斤 但種水稻成本每甲每期為 16000 元 ; 花生為 4000 元 今稻米的收益為每公斤 2.6 元, 花生為每公斤 6.5 元, 則這農民該種水稻與花生各若干甲, 才可得到最大收益? 190
4-1 重點 設 a b c 為實數 三一律 : a > b a = b a < b 三式中恰有一式成立 遞移性 : 若 a > b 且 b > c, 則 a > c 加法律 : 若 a > b, 則 a + c > b + c 若 a > b 且 c > 0, 則 a c > b c 乘法律 : 若 a > b 且 c < 0, 則 a c < b c 設 x 為實數,a 為一正數, 則 x < a - a < x < a x > a x > a 或 x <- a 設 為二實數且 <, 則 x - x - > 0 之解為 x > 或 x < x - x - < 0 之解為 < x < 191
一元二次不等式的解法 : 設 a b c 為實數且 a > 0 判別式 b 2-4 ac > 0 b 2-4 ac = 0 b 2-4 ac < 0 二次不等式的解 設 為 ax 2 + bx + c = 0 之二根, 且 <, 則 ax 2 + bx + c > 0 之解 : x < 或 x > ax 2 + bx + c 0 之解 : x 或 x ax 2 + bx + c < 0 之解 : < x < ax 2 + bx + c 0 之解 : x 設 ax 2 + bx + c= a x - 2, 則 ax 2 + bx + c > 0 之解 : 不等於的所有實數 ax 2 + bx + c 0 之解 : 所有實數 ax 2 + bx + c < 0 之解 : 無解 ax 2 + bx + c 0 之解 : x = ax 2 + bx + c > 0 之解 : 所有實數 ax 2 + bx + c 0 之解 : 所有實數 ax 2 + bx + c < 0 之解 : 無解 ax 2 + bx + c 0 之解 : 無解 y = ax 2 + bx + c 圖形 (a > 0) 192
註 設 a b c 為實數, 則不等式 ax 2 + bx + c > 0 恆成立的條件 為 a > 0 且 b 2-4 ac < 0; 又不等式 ax 2 + bx + c 0 恆成立的 條件為 a > 0 且 b 2-4 ac 0 4-2 重點 算幾不等式 : 設 a 1,a 2,,a n 均為正數, 則 a 1 + a 2 + + a n n a n 1 a 2 a n 上式等號成立的條件為 a 1 =a 2 = =a n 柯西不等式 : 設 a 1,a 2,,a n 及 b 1,b 2,,b n 為 2n 個實數, 則 a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 b 1 2 +b 2 2 + + b n 2 a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n 2 上式等號成立的條件為 a 1 =a 2 = = a n = 0, 或 b 1 =b 2 = =b n = 0, 或存在一實數 t, 使得 b k = a k t( 其中 k = 1,2,,n) 4-3 重點 二元一次不等式 : a b c 為實數, 且 a b 不同時為 0, 則 ax + by + c > 0,ax + by + c < 0, ax + by + c 0,ax + by + c 0, 均稱為二元一次不等式 193
設直線 L:ax + by + c = 0 且 a > 0, 則 ax + by + c > 0 的圖形為直線 L 的右側半平面 ax + by + c 0 的圖形為直線 L 的右側半平面及直線 L ax + by + c < 0 的圖形為直線 L 的左側半平面 ax + by + c 0 的圖形為直線 L 的左側半平面及直線 L 設直線 L:y = k( 垂直 y 軸 ), 則 y > k 的圖形為直線 L 的上方半平面 y k 的圖形為直線 L 的上方半平面及直線 L y < k 的圖形為直線 L 的下方半平面 y k 的圖形為直線 L 的下方半平面及直線 L 設直線 L:ax + by + c = 0 及 A x 1, y 1 B x 2, y 2 兩點, 則 A B 在 L 的異側 ax 1 + by 1 + c ax 2 + by 2 + c < 0 A B 在 L 的同側 ax 1 + by 1 + c ax 2 + by 2 + c > 0 二元一次聯立不等式的圖解 : 二元一次聯立不等式的圖解為各二元一次不等式圖形的共同部分 線性規劃所探討的是 在二元一次聯立不等式的條件下, 求得一個一次函數的最大值或最小值, 這組二元一次聯立不等式稱為限制條件, 而待求最大值或最小值的函數稱為目標函數 線性規劃問題中, 滿足限制條件 ( 即一組聯立不等式 ) 的解稱為此問題的可行解, 又可行解所成的區域, 稱為可行解區域 在可行解區域內, 使目標函數 f x, y 有最大值 ( 或最小值 ) 的這種點 x, y, 稱為此問題的最佳解 194
線性規劃問題求解的一般步驟 : 將題目資料列成簡明的表 以聯立不等式表示題目的限制條件 圖解聯立不等式, 即畫出可行解區域, 並求出各頂點的坐標 依題意列出目標函數 f x, y (f x, y 為 x y 的一次函數 ) 求得可行解區域頂點坐標所對應的目標函數值, 依題目所問, 以這些目標函數值中的最大或最小者為其解 195
( ) 滿足不等式 3 2 x - 5 5 x + 11 的最小整數 x 為 - 5-4 - 3-1 4-1 ( ) 已知不等式 ax + 5 > 3 x - 10 的解為 x < 3, 則 a 值為 6 2-6 - 2 4-1 提示 原不等式移項整理得 a - 3 x >- 15, 因其解為 x < 3, 故知 a - 3 < 0 ( ) 滿足不等式 3 x - 2 5 的整數 x 共有 4 5 6 8 個 ( ) 不等式 3 x 2-2 x - 8 0 的解為 - 2 x 4 3 4-1 x 4 3 或 x - 2-4 3 x 2 x 2 或 x - 4 4-1 3 ( ) 不等式 9 x 2-6 x + 1 > 0 的解為 全部實數 x 1 3 的任意實數 x = 1 3 無解 4-1 ( ) 設 k 為一實數, 若 x 2 + kx + 9 0 對所有實數 x 均成立, 則 k 的範圍為 k 3 或 k - 3-3 k 3-6 k 6 k 6 或 k - 6 4-1 ( ) 不等式 2 x - 5 < x + 4 的解為 1 3 < x < 9 x > 9 或 x < 1 3-4 < x < 5 2 x > 5 2 或 x <- 4 4-1 ( ) 設 a b 為實數, 若不等式 ax 2-4 x + b < 0 的解為 - 1 2 < x < 5 2, 則 a + b 的值為 - 1 8-1 6-1 4-1 2 4-1 196
( ) 不等式 x 24-10 x 2 的解為 - 3 2 x 8 5 x 8 或 x - 3 5 2 x 3 或 x - 8 2 5-8 5 x 3 2 4-1 ( ) 設 x >- 2, 則 x + 4 + 9 的最小值為 x + 2 12 10 9 8 4-2 提示 x + 4 + 9 x + 2 = [ x + 2 + 9 x + 2] + 2, 利用算幾不等式 ( ) 設 a b 為二正數, 若 3 a + b = 12, 則 ab 的最大值為 ( ) 若二正數 x y 滿足 x + 4 y = 40, 則 log x + log y 的最大值為 ( ) 設 a b c 為正數, 則 先求 x + 2 + 9 的最小值 x + 2 ( ) 設 x y 為正數, 若 xy 2 = 8, 則 x + 2 y 的最小值為 8 6 ( ) 設 a b 為二實數, 若 a 2 + b 2 = 20, 則 a - 2 b 的最大值為 12 10 9 8 4-2 ( ) 設為任意角度, 則 12sin - 5cos 的最小值為 - 13-12 ( ) 設 a b c 為實數, 若 a + 2 b + 2 c = 12, 則 a 2 +b 2 +c 2 的最小值為 1 2 3 4 4-2 b a + c b + a c 的最小值為 1 2 3 3 3 4-2 4 3 4-2 提示 x + 2y= x + y + y 20 15 12 10 4-2 - 10-9 4-2 20 18 16 15 4-2 197
( ) 二元一次不等式 3 x + 2 y 12 中 x y 均為正整數的解共有 8 9 10 12 組 4-3 提示 分 x = 1,x = 2,x = 3 三種情形討論 ( ) 下圖所示的藍色區域為下列哪一個不等式的圖形? x - 2 y - 2 0 x - 2 y - 2 0 2 x - y + 2 0 2 x - y + 2 0 4-3 ( ) 下列哪一組聯立不等式的解為右圖的藍色區域? x + y - 2 0 x + y - 2 0 2 x - y > 0 2 x - y < 0 y + 2 0 y + 2 0 x + y - 2 0 x + y - 2 0 2 x - y < 0 2 x - y > 0 y + 2 0 y + 2 0 4-3 ( ) 下列哪一點與點 2,- 1 在直線 L:2 x - 3 y - 5 = 0 的同側? 1,2 2,1-1,- 3-2,0 4-3 x + y - 2 ( ) 在坐標平面上, 滿足不等式組 x - 2 y - 2 的區域面積為 12 x 2 15 16 20 4-3 198
( ) 在 x 0,y 0 x - 2 y - 2 的條件下,f x, y = x + y 的最大值為 5 4 2 x + y 6 3 1 4-3 ( ) 在面積 3000 平方公尺的建築用地上, 以不超過 2000 萬元的建築經費建 造甲 乙兩種不同形式的住宅, 已知甲種每戶占地 200 平方公尺, 造 價 400 萬元, 可獲利 200 萬元 ; 乙種每戶占地 300 平方公尺, 造價 100 萬元, 可獲利 250 萬元 那麼在此建地建築甲 乙兩種住宅, 總共最 多可獲利多少元? 1000 萬 2500 萬 2600 萬 3000 萬 4-3 ( ) 某麵包師傅受僱製造 A B 兩種餅乾, 其酬勞每單位分別為 300 元和 200 元 已知一單位 A 種餅乾需要 1 公斤的花生與 0.3 公斤的核桃 ; 而一單位 B 種餅乾需要 0.4 公斤的花生與 0.4 公斤的核桃, 如果這個 師傅的手上只有 6 公斤的花生以及 3.2 公斤的核桃, 則他製造 A B 兩種餅乾最多能獲得多少酬勞? 2400 2200 1800 1600 元 4-3 199