數學乙考科 10 年 師大附中 / 蘇國海老師 指考試題關鍵解析 前言 今年是使用 99 課綱後, 第一年的指考, 大考中心將指考的測驗目標分為 (1) 測驗考生對學科知識的了解 () 測驗考生資料閱讀 判斷 推理 分析的能力 () 測驗考生表達的能力 () 測驗考生應用學科知識的能力 綜觀今年數學乙的考題仍然循此四大目標命題, 整份考題, 題目數不多仍為 1 題, 但難度比往年高, 預估前標 均標降 ~5 分, 考題鑑別度高, 內容仍以觀念為主, 沒複雜的計算, 不必再死背公式, 題目有點像 PISA 考題, 題幹敘述文字長, 像考申論題, 考驗學生思考邏輯, 值得一提的是圖表題多, 更是未來要注意的, 但整體來說, 命題方向符合社會組進入大學的社科 商管領域應有的數學能力 針對今年的數學乙考題, 以下提出一些個人的觀點, 請先進同仁們不吝指教 : (1) 今年考題全部都是 顆星 的部分, 下表是 10 年數學乙試題配分表 : 冊別 測驗內容 題型單選題多選題選填題非選題 配分 一 第 章多項式 1 6 第 章指數與對數 一 1 二 第 章排列組合 A 8 第 章數據分析 5 1 三 第 章直線與圓 二 0 第 章平面向量 C 8 四 第 章矩 陣 7 8 選修上 ( 乙 ) 第 1 章機率統計 Ⅱ 6 B 16 選修下 ( 乙 ) 第 1 章極限與函數 8 () 第三冊配分最多, 第四冊與選修下冊 ( 乙 ) 配分最少, 但機率統計部分 :,5,6,A, B 仍為大宗, 線性規劃也出現兩題 :, 二, 需特別注意 () 單選 1,, 多選 為基本 送分題, 所以程度比較不好的同學仔細寫也有基本分 數學乙考科 1
() 多選第 5 題題目佔去整張 A 考卷 堪稱數學乙有史以來 最長 的題目 考生可能 被嚇到 但實際上只要看題目提供的數字趨勢決定坐標軸 不用計算就可以解出來 同學可不可考滿分 這題還蠻關鍵的 (5) 線性規劃真得是每年必考題 請同學如果想考數學乙 務必留意 (6) 熱門考題 信心水準 信賴區間今年終於出現 在多選 6 此部分同學 老師比較陌 生 觀念也比較不清晰 明年這些題目仍是重點 (7) 非選第一題要學生說明常用對數的理由 這樣的考法在過去指考相當少見 類似 PISA 考試有申論題的味道 未來可能成為命題的趨勢 不能只背公式 要能說出數 學原理背後的成因 10 年指考試題關鍵解析
試題詳解與分析第壹部分 : 選擇題 ( 單選題 多選題及選填題共占 76 分 ) 一 單選題 ( 占 1 分 ) 說明 : 第 1 題至第 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 6 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算 1. 設 a,b,c 為實數, 且二次多項式 f (x)=ax ( x-1 )+bx ( x- )+c ( x-1 ) ( x- ) 滿足 f (0)=6 f (1)= f ()=- 請問 a+b+c 等於下列哪一個選項? (1) 0 () () 1 () - 1 (5) - 答案 () 概念中心 二次多項式的求值 餘式定理 命題出處 南一版數學第一冊 - 多項式的運算與應用 試題解析 f (0)=c ( 0-1 ) ( 0- )=6 c=, f (1)=b 1 ( 1- )= b=-1, f ()=a ( -1 )=- a=- 1 a+b+c=- 1 +(-1 )+=, 故選 (). 綜合數種糧食的 糧食自給率 定義為 A B, 其中 A 為 每一種糧食之國內生產量乘以該糧 食每單位產生熱量之後的總和,B 為 每一種糧食之國內消費量乘以該糧食每單位產生熱 量之後的總和 已知甲 乙 丙三種糧食相關數據如下表 : 糧食 國內生產量國內消費量單位糧食產生的熱量 ( 單位 : 千公噸 ) ( 單位 : 千公噸 ) ( 單位 : 大卡 / 每百公克 ) 甲 1000 100 00 乙 80 0 100 丙 100 1000 600 請問綜合甲 乙 丙這三種糧食的 糧食自給率 最接近下列哪一個選項? (1) 7% () 9% () 1% () % (5) 5% 答案 () 概念中心 表達數據代表值的統計量 命題出處 南一版數學第二冊 -1 單變量數據分析 試題解析 分子 分母的單位一致可互消 不必考慮單位直接依定義計算糧食自給率 = A B = 1000 00+80 100+100 600 100 00+0 100+1000 600 = 88000 99000 0.911 9% 故選 () 數學乙考科
二 多選題 ( 占 0 分 ) 說明..第 題至第 7 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 8 分 ; 答錯 1 個選項者, 得.8 分 ; 答錯 個選項者, 得 1.6 分 ; 答錯多於 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算. 坐標平面上兩點 (, 1 ) 和 ( 5, 9 ) 在直線 x-y-k=0 的兩側, 其中 k 為整數 請選出正確 的選項 (1) 滿足上式的 k 最少有 5 個 () 所有滿足上式的 k 的總和是 5 () 所有滿足上式的 k 中, 最小的是 7 () 所有滿足上式的 k 的平均是 9 (5) 所有滿足上式的 k 中, 奇數與偶數的個數相同 答案 ()(5) 概念中心 半平面與二元一次不等式的解 命題出處 南一版數學第三冊 - 線性規劃 試題解析 平面上兩點 (, 1 ) 和 ( 5, 9 ) 在直線 x-y-k=0 的兩側 ( -1-k ) ( 5-9-k )<0 ( 11-k ) ( 6-k )<0 ( k-11 ) ( k-6 )<0 6<k<11 又 k 為整數 k=7,8,9,10 (1) : 滿足上式的 k 有 個 () : 滿足上式 k 的總和 7+8+9+10= () : 滿足上式 k 的最小值為 7 () : 滿足上式 k 的平均為 7+8+9+10 (5) : 滿足上式的 k 有 個奇數 個偶數 故選 ()(5) = =8.5. 下列有關循環小數的敘述中, 請選出正確的選項 (1) 0.7 +0. =0.6 +0. () 0.7 +0.8 =1.1 () 0.5 +0.5 =1.1 (5) 0.9 =0.5 10 年指考試題關鍵解析 () 0.7 +0. =1 答案 (1)()(5) 概念中心 循環小數化為分數 命題出處 南一版選修數學下冊 ( 乙 ) 1- 無窮等比級數 試題解析 (1) :0.7 +0. = 7 9 + 9 = 10 9,0.6 +0. = 6 9 + 9 = 10 9 () :0.7 +0.8 = 7 99 + 8 99 = 100 99,1.1 =1 1 9 = 10 9 () :0.7 +0. = 7 9 + 9 = 10 9 1 () :0.5 +0.5 = 5 9 + 5 9 = 10 9 =1.1 (5) :0.9 = 9-90 故選 (1)()(5) = 5 90 = 1 =0.5 0.7 +0. =0.6 +0. 0.7 +0.8 1.1
5. 某研究所處理個人申請入學, 其甄選總成績係採計測驗 A 分數及測驗 B 分數各占 50% 50 位申請同學依甄選總成績高低排序, 錄取前 0 名 現依准考證號碼順序, 將這些同學的成 績列表如下 :( 例如, 第一位同學的測驗 A 分數及測驗 B 分數分別為 9 分及 8 分 ) 測驗 A 9 98 100 100 100 98 96 96 98 96 96 98 98 測驗 B 8 50 59 5 67 0 15 6 11 7 1 59 測驗 A 9 100 100 100 100 98 98 96 98 100 96 100 96 測驗 B 1 5 61 57 55 6 5 0 9 60 測驗 A 96 96 96 100 100 96 98 98 91 100 96 100 98 測驗 B 66 9 58 55 5 16 8 8 7 51 9 0 測驗 A 98 96 96 9 98 96 98 98 98 98 9 測驗 B 18 8 8 5 8 5 0 5 7 所有學生測驗 A 分數的平均數為 97.8, 而測驗 B 分數的平均數為 0. 現從甄選總成績 測驗 A 分數及測驗 B 分數之中任選兩種成績作散佈圖, 圖甲及圖乙為其中之二 ; 兩圖中各 有 50 個資料點, 每一點代表一位同學 ; 兩個橫軸與縱軸之單位長可能皆不相同 請選出正 確的選項 (1) 圖乙的橫軸為測驗 A 分數 () 圖乙的縱軸為甄選總成績 () 圖甲的橫軸為甄選總成績 () 若只以測驗 B 分數高低錄取 0 位同學 ( 不採計測驗 A 分數 ), 錄取的同學與以甄選總成 績高低錄取的同學完全相同 (5) 甄選總成績的平均數為 97.8 及 0. 的平均數 圖甲 圖乙 答案 (1)()()(5) 概念中心 圖表散布圖的解讀 平均數的求取 命題出處 南一版數學第二冊 - 雙變量數據分析 試題解析 (1) : 由成績列表知測驗 A:100 分有 1 人,98 分有 17 人,96 分有 15 人, 9 分有 人,91 分有 1 人, 顯然可知圖乙的橫軸為測驗 A 的分數 () : 由成績列表知測驗 A:91 分的同學其測驗 B:8 分 甄選總成績為 91 0.5+8 0.5=59.5 分 圖乙的縱軸可知為甄選總成績 ( 或者利用測驗 A:9 分同學數據來找 ) 數學乙考科 5
() : 圖甲的橫軸為測驗 B 的分數, 縱軸為甄選總成績 () : 由圖甲顯然可知 B 成績最高的 0 位同學甄選總成績亦最高 以測驗 B 分數高低錄取的 0 位同學與以甄選總成績高低錄取的同學完 全相同 (5) : 甄選總成績的平均數 = 97.8 50+0. 50 100 故選 (1)()()(5) = ( 97.8+0. ) 50 100 = 1 ( 97.8+0. ) 為 97.8 與 0. 的平均數 6. 想要了解選民對候選人真正的支持度 ( 支持率 ) p, 四家媒體所做的民意調查結果如下表所 示 : 6 10 年指考試題關鍵解析 媒體 A 媒體 B 媒體 C 媒體 D p^ 0.0 0.0 0.0 0.8 σ^ 0.0 σ^ B 0.01 0.01 其中 p^ 表示抽樣支持度,σ^ = p^ ( 1-p^ ) n,n 為抽樣人數 請選出正確的選項 (1) 在 95% 的信心水準之下, 媒體 A 抽樣所得 p 的信賴區間為 [ 0.8, 0. ] () 如果媒體 B 抽樣的人數與媒體 A 相同, 則 σ^ B 大於 0.0 () 媒體 C 抽樣人數約為媒體 A 抽樣人數的兩倍 () 媒體 A 的抽樣支持度比媒體 B 的抽樣支持度更接近候選人真正的支持度 p (5) 在 95% 的信心水準之下, 至少有一家媒體的抽樣所得 p 的信賴區間會包含真正的支持度 p 答案 () 概念中心 信賴區間 信心水準 命題出處 南一版選修數學上冊 ( 乙 ) 1-5 抽樣與統計推論 試題解析 (1) :95% 的信心水準下, 媒體 A 的抽樣誤差 e=σ^ A= 0.0=0.0 信賴區間為 [ 0.0-0.0, 0.0+0.0]=[ 0.6, 0. ] () : 設人數為 n,σ^ A=0.0= 0. 0.7 n 0. 0.6 n > 0. 0.7 n () :σ^ A=0.0= 0. 0.7 n A,σ^ B= 0. 0.6 n σ^ B>0.0,σ^ C=0.01= 0. 0.7 n C σ^ A=σ^ C n C = n A 媒體 C 抽樣人數為媒體 A 抽樣人數的 倍 () : 媒體 A 的支持度 p^=0., 媒體 B 支持度 p^=0., 但候選人真正的支持度 p 不知道 媒體 A 或 B 誰比較接近真正的支持度 p, 無法判定 (5) : 在 95% 的信心水準就是說重覆抽樣 100 次, 每次都會有一個信賴區間, 大約有 95 個信賴區間會包含母群體真正的支持度 p, 但沒辦法確定此 家媒體抽樣所得 p 的信賴區間會包含真正的支持度 p 故選 ()
7. 已知二階方陣 A= a c (1) A 的行列式 ( 值 ) 為 6 () A =5A-6 1 0 0 1 () A -1 = - 0 () A 1 = 9 6 (5) [ 1 1 ] A=[ 5 7 ] b d 滿足 A 1 1 = 5,A 1 = 7, 請選出正確的選項 答案 (1)()() 概念中心 矩陣的乘法 反方陣 命題出處 南一版數學第四冊 - 矩陣的運算 - 矩陣的應用 試題解析 A 1 1 1 = 5 7 A= 5 7 1 1 1-1 = 5 7-1 -1 1 = 0 (1) :det (A)= 0 =6 () :A = 0 0 = 9 10 0,5A-6I = 15 10 0 10-6 0 0 6 = 9 10 0 A =5A-6I () :A -1 = 0-1 1 = 6-0 () :A 1 = 0 1 = 9 6 (5) :[ 1 1 ] A=[ 1 1 ] 0 =[ ] [ 5 7 ] 故選 (1)()() 三 選填題 ( 占 分 ) 說明.. 1. 第 A 至 C 題, 將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (8 1). 每題完全答對給 8 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 從玫瑰 菊花 杜鵑 蘭花 山茶 水仙 繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排成一列, 其 中杜鵑及山茶都被選到, 且此兩盆花位置相鄰的排法有 8 9 10 種 答案 10 概念中心 排列組合 命題出處 南一版數學第二冊 - 排列與組合 試題解析 將杜鵑和山茶花除外的五盆花取 盆, 再將 盆依題意排列 C 5!!=10 6 =10 數學乙考科 7
B. 袋中有 顆白球與 1 顆黑球, 每次隨機從袋中抽出 1 球, 袋中每一球被抽到的機率皆相同, 抽出後不放回, 直到抽中黑球時遊戲結束 若在第 k 次抽到黑球, 則得到 k 元獎金 此遊戲 可獲得獎金的數學期望值為元 ( 化為最簡分數 ) 1 答案 5 11 概念中心 期望值 命題出處 南一版選修數學上冊 ( 乙 ) 1- 期望值 變異數 標準差 試題解析 第 1 次抽到黑球第 次抽到黑球第 次抽到黑球第 次抽到黑球 機率 1 1 = 1 1 = 1 1 1= 1 獎金 ( 元 ) 1 期望值 E (x)= 1 1+ 1 + 1 + 1 10 = = 5 ( 元 ) C. 在坐標平面上, 設 O 為原點, 向量 a =( 1, ), b =(, 1 ), c =( 1, 1 ), d =(-1, 1 ) P 為平面上的動點, 令點集合 A={ P OP =x a +y b 且 0 x 1 且 0 y 1 }, 點集合 B={ P OP =x c +y d 且 0 x 1 且 0 y 1 }, 則區域 A B 的面積為 ( 化為最簡 1 分數 ) 答案 1 概念中心 不平行的平面向量所圍成的面積 命題出處 南一版數學第三冊 - 面積與二階行列式 試題解析 將題目坐標化, 依題意作圖 其中 點集合 A 所圍的面積即為平行四邊形 OAFB, 點集合 B 所圍的面積即為正方形 OCGD, 所求之 A B 的面積為套色區塊 ( OCP ) L:x+y=, M:y=x, 可解出交點 P (, ), 1 1 1 故 OCP 面積為 = 1 = 1 1 8 10 年指考試題關鍵解析
第貳部分 : 非選擇題 ( 占 分 ) 說明..本部分共有二大題, 答案必須寫在 答案卷 上, 並於題號欄標明大題號 ( 一 二 ) 與 子題號 ( (1) () ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分甚至零分 作 答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆 每一子題配分標於題末 一 已知 log 0.010,log 0.771 (1) 請以對數律計算 log 1.5 ( 不必四捨五入 ) ( 分 ) () 請以對數律計算 log ( 1.5 ) 60 ( 不必四捨五入 ) ( 分 ) () 請問 ( 1.5 ) 60 的整數部分是幾位數? 請說明理由 ( 分 ) () 請問 ( 1.5 ) 60 的整數部分中, 最左邊的數字是幾? 請說明理由 ( 分 ) 答案 (1) 0.1761;() 10.566;() 11 位數 ;() 概念中心 指數與對數的運算 首數性質 命題出處 南一版數學第一冊 - 對數與對數定律 -5 指數與對數的應用 試題解析 (1) log 1.5=log =log -log =0.771-0.010=0.1761 () log ( 1.5 ) 60 =60 log 1.5=60 0.1761=10.566 () log ( 1.5 ) 60 =10.566=10+0.566, 又 log =0.771,log = log =0.600, 故 10+log <log ( 1.5 ) 60 <10+log log 10 10 <log ( 1.5 ) 60 <log 10 10 10 10 <( 1.5 ) 60 < 10 10 ( 1.5 ) 60 整數部分為 11 位數 () 由 10 10 <( 1.5 ) 60 < 10 10, 可知 ( 1.5 ) 60 最左邊的數字為 數學乙考科 9
二 某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金 其中每單位的甲合金是由 5 公克的 A 金屬 公克的 B 金屬以及 公克的 C 金屬組成 而每單位的乙合金是由 公克的 A 金屬 6 公 克的 B 金屬與 公克的 C 金屬所組成 已知甲 乙合金每單位的獲利分別為 600 700 元 若工廠此次進了 1000 公克的 A 金屬 100 公克的 B 金屬與 660 公克的 C 金屬投入生產這 兩種合金 試問甲 乙兩種合金各應生產多少單位 才能獲得最大利潤 又此時利潤為多 少 1 分 答 案 甲生產 100 單位 乙生產 10 單位 有最大利潤 1000 元 概念中心 線性規劃 命題出處 南一版數學第三冊 - 線性規劃 試題解析 甲合金 乙合金 限制 A 5 1000 B 6 100 C 660 單位 公克 設甲合金生產 x 單位 乙合金生產 y 單位 5x y 1000 x 6y 100 x y 660 x 0 y 0 5x y 1000 x y 0 x y 0 x 0 y 0 目標函數 f ( x, y ) 600x 700y (x,y) f(x,y) ( 0, 0 ) ( 00, 0 ) ( 170, 50 ) ( 100, 10 ) ( 0, 170 ) 0 10000 17000 1000 119000 由線性規劃可知甲生產 100 單位 乙生產 10 單位 有最大利潤 1000 元 結 論 從 100 101 及 10 指考的考題看來 命題趨勢已經回歸到基本面 沒有冗長的計算及 公式的記憶 題目都是平易近人 只要了解課本的基本觀念 融會貫通就可掌握基本分數 平日多培養數學能力 日積月累 反覆練習 多多閱讀課本 了解課本上每一句話所表示的 數學意義 每一個圖形所表示的意涵 多看 多做 多問 就能大大提升實力 爭取高分 10 10 年指考試題關鍵解析